बिंदु A पर केन्द्रित.
α रेडियन में व्यक्त कोण है।

स्पर्शरेखा ( टैन α) कर्ण और पैर के बीच के कोण α के आधार पर एक त्रिकोणमितीय फलन है सही त्रिकोण, विपरीत भुजा |BC| की लंबाई के अनुपात के बराबर

आसन्न पैर की लंबाई तक |AB| . कोटैंजेंट () सीटीजी α

एक त्रिकोणमितीय फलन है जो एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और पैर के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो आसन्न पैर की लंबाई के अनुपात के बराबर है |AB|

विपरीत पैर की लंबाई तक |बीसी| . स्पर्शरेखाकहाँ

एन
.
;
;
.

- साबुत।

पश्चिमी साहित्य में, स्पर्शरेखा को इस प्रकार दर्शाया गया है:

विपरीत पैर की लंबाई तक |बीसी| . स्पर्शरेखाकहाँ

स्पर्शरेखा फलन का ग्राफ़, y = tan x
.
कोटैंजेंट
;
;
.

पश्चिमी साहित्य में, कोटैंजेंट को इस प्रकार दर्शाया गया है:

निम्नलिखित नोटेशन भी स्वीकार किए जाते हैं:

कोटैंजेंट फ़ंक्शन का ग्राफ़, y = ctg x

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के गुण दौराफ़ंक्शंस y = टीजी एक्सऔर y =

सीटीजी एक्स

अवधि π के साथ आवर्ती हैं।

समता

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट कार्य विषम हैं। स्पर्शरेखापरिभाषा और मूल्यों के क्षेत्र, बढ़ते, घटते

	स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट फलन अपनी परिभाषा के क्षेत्र में निरंतर हैं (निरंतरता का प्रमाण देखें)। स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं ( दौरा	स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट फलन अपनी परिभाषा के क्षेत्र में निरंतर हैं (निरंतरता का प्रमाण देखें)। स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं ( टीजी एक्स
- साबुत)।
य =	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
दायरा और निरंतरता		-
मूल्यों की सीमा	-
की बढ़ती	-	-
अवरोही 0
चरम 0	स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट फलन अपनी परिभाषा के क्षेत्र में निरंतर हैं (निरंतरता का प्रमाण देखें)। स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं ( 0	-

शून्य, y =

कोटि अक्ष के साथ बिंदुओं को अवरोधित करें, x =

; ;
; ;
;

सूत्रों

साइन और कोसाइन का उपयोग करते हुए अभिव्यक्तियाँ

योग और अंतर से स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के सूत्र

उदाहरण के लिए, शेष सूत्र प्राप्त करना आसान है

स्पर्शरेखाओं का गुणनफल

स्पर्शरेखाओं के योग और अंतर का सूत्र

यह तालिका तर्क के कुछ मूल्यों के लिए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान प्रस्तुत करती है।

;
;

सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करते हुए व्यंजक

; .

.
अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के माध्यम से अभिव्यक्तियाँ
.
संजात

फ़ंक्शन के चर x के संबंध में nवें क्रम का व्युत्पन्न:

स्पर्शरेखा के लिए सूत्र व्युत्पन्न करना > > > ; कोटैंजेंट के लिए > > >

अभिन्न शृंखला विस्तार x की घातों में स्पर्शरेखा का विस्तार प्राप्त करने के लिए, आपको कार्यों के लिए घात श्रृंखला में विस्तार के कई पद लेने होंगे पाप एक्सऔर

क्योंकि x

और इन बहुपदों को एक दूसरे से विभाजित करें।
इससे निम्नलिखित सूत्र तैयार होते हैं। पर ।पर ।
;
;
कहाँ
बटालियन

- बर्नौली संख्याएँ। वे या तो पुनरावृत्ति संबंध से निर्धारित होते हैं:

कहाँ ।

या लाप्लास के सूत्र के अनुसार:

उलटा कार्य स्पर्शरेखाकहाँ

स्पर्शज्या और कोटैंजेंट के व्युत्क्रम फलन क्रमशः चापस्पर्शज्या और चापस्पर्शज्या हैं।

उलटा कार्य स्पर्शरेखाकहाँ

आर्कटिक, आर्कटेंजेंट
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।
जी कॉर्न, वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के लिए गणित की पुस्तिका, 2012।

आपको कई विशिष्ट परिणाम स्थापित करने की अनुमति देता है - साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट के गुण. इस लेख में हम तीन मुख्य गुणों पर गौर करेंगे। उनमें से पहला कोण α के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के संकेतों को इंगित करता है, जो इस पर निर्भर करता है कि कोण का समन्वय तिमाही α है। आगे हम आवधिकता की संपत्ति पर विचार करेंगे, जो कोण α के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मूल्यों की अपरिवर्तनीयता स्थापित करता है जब यह कोण क्रांतियों की पूर्णांक संख्या से बदलता है। तीसरा गुण विपरीत कोणों α और −α के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मानों के बीच संबंध को व्यक्त करता है।

यदि आप फलन साइन, कोसाइन, टैंगेंट और कोटैंजेंट के गुणों में रुचि रखते हैं, तो आप लेख के संबंधित अनुभाग में उनका अध्ययन कर सकते हैं।

पेज नेविगेशन.

चौथाई भाग द्वारा ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के चिह्न

इस पैराग्राफ में नीचे वाक्यांश "I, II, III और IV समन्वय तिमाही का कोण" दिखाई देगा। आइये बताते हैं क्या हैं ये कोण.

आइए एक इकाई वृत्त लें, उस पर प्रारंभिक बिंदु A(1, 0) अंकित करें, और इसे बिंदु O के चारों ओर एक कोण α द्वारा घुमाएं, और हम मान लेंगे कि हम बिंदु A 1 (x, y) पर पहुंच जाएंगे।

वे कहते हैं कि कोण α I, II, III, IV समन्वय चतुर्थांश का कोण है, यदि बिंदु A 1 क्रमशः I, II, III, IV तिमाहियों में स्थित है; यदि कोण α ऐसा है कि बिंदु A 1 किसी भी समन्वय रेखा Ox या Oy पर स्थित है, तो यह कोण चार तिमाहियों में से किसी से संबंधित नहीं है।

स्पष्टता के लिए, यहां एक ग्राफिक चित्रण है। नीचे दिए गए चित्र 30, -210, 585, और -45 डिग्री के घूर्णन कोण दिखाते हैं, जो क्रमशः I, II, III और IV समन्वय क्वार्टर के कोण हैं।

एंगल्स 0, ±90, ±180, ±270, ±360, ...डिग्रियाँ किसी भी समन्वित तिमाही से संबंधित नहीं हैं।

अब आइए जानें कि किन चिह्नों में घूर्णन कोण α की ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या और कोटैंजेंट का मान होता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि कौन सा चौथाई कोण α है।

साइन और कोसाइन के लिए यह करना आसान है।

परिभाषा के अनुसार, कोण α की ज्या बिंदु A 1 की कोटि है। जाहिर है, I और II समन्वय तिमाहियों में यह सकारात्मक है, और III और IV तिमाहियों में यह नकारात्मक है। इस प्रकार, कोण α की ज्या में पहली और दूसरी तिमाही में प्लस चिह्न होता है, और तीसरी और छठी तिमाही में ऋण चिह्न होता है।

बदले में, कोण α की कोज्या बिंदु A 1 का भुज है। पहली और चौथी तिमाही में यह सकारात्मक है, और दूसरी और तीसरी तिमाही में यह नकारात्मक है। नतीजतन, I और IV तिमाहियों में कोण α की कोज्या का मान सकारात्मक है, और II और III तिमाहियों में वे नकारात्मक हैं।

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के चौथाई भाग द्वारा चिह्नों को निर्धारित करने के लिए, आपको उनकी परिभाषाओं को याद रखना होगा: स्पर्शरेखा बिंदु A 1 की कोटि का भुज से अनुपात है, और कोटैंजेंट बिंदु A 1 के भुज और कोटि का अनुपात है। फिर से संख्याओं को विभाजित करने के नियमउसी के साथ और विभिन्न संकेतइससे यह निष्कर्ष निकलता है कि जब बिंदु A 1 के भुज और कोटि चिह्न समान होते हैं तो स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट में प्लस चिह्न होता है, और जब बिंदु A 1 के भुज और कोटि चिह्न भिन्न होते हैं तो ऋण चिह्न होता है। नतीजतन, कोण के स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट में I और III समन्वय तिमाहियों में + चिह्न होता है, और II और IV तिमाहियों में ऋण चिह्न होता है।

वास्तव में, उदाहरण के लिए, पहली तिमाही में बिंदु A 1 का भुज x और कोटि y दोनों सकारात्मक हैं, फिर भागफल x/y और भागफल y/x दोनों सकारात्मक हैं, इसलिए, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट में + चिह्न होते हैं। और दूसरी तिमाही में, भुज x ऋणात्मक है, और कोटि y धनात्मक है, इसलिए x/y और y/x दोनों ऋणात्मक हैं, इसलिए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट में ऋण चिह्न होता है।

आइए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की अगली संपत्ति पर चलते हैं।

आवधिकता संपत्ति

अब हम किसी कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या और कोटैंजेन्ट की संभवतः सबसे स्पष्ट संपत्ति को देखेंगे। यह इस प्रकार है: जब कोण पूर्ण क्रांतियों की पूर्णांक संख्या से बदलता है, तो इस कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान नहीं बदलते हैं।

यह समझ में आता है: जब कोण क्रांतियों की पूर्णांक संख्या से बदलता है, तो हम हमेशा यूनिट सर्कल पर प्रारंभिक बिंदु ए से बिंदु ए 1 तक पहुंचेंगे, इसलिए, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान अपरिवर्तित रहते हैं, चूँकि बिंदु A 1 के निर्देशांक अपरिवर्तित हैं।

सूत्रों का उपयोग करते हुए, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की मानी गई संपत्ति को इस प्रकार लिखा जा सकता है: पाप (α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tan(α+ 2·π· z)=tgα , ctg(α+2·π·z)=ctgα , जहां α रेडियन में घूर्णन का कोण है, z कोई है, निरपेक्ष मूल्यजो पूर्ण क्रांतियों की संख्या को इंगित करता है जिसके द्वारा कोण α बदलता है, और संख्या z का चिह्न घूर्णन की दिशा को इंगित करता है।

यदि घूर्णन कोण α को डिग्री में निर्दिष्ट किया गया है, तो संकेतित सूत्र को इस प्रकार फिर से लिखा जाएगा पाप(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , ctg(α+360°·z)=ctgα .

आइए इस संपत्ति के उपयोग के उदाहरण दें। उदाहरण के लिए, , क्योंकि , ए . यहाँ एक और उदाहरण है: या.

यह गुण, कमी सूत्रों के साथ, "बड़े" कोणों के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मूल्यों की गणना करते समय अक्सर उपयोग किया जाता है।

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की मानी जाने वाली संपत्ति को कभी-कभी आवधिकता की संपत्ति कहा जाता है।

विपरीत कोणों की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के गुण

मान लीजिए A 1 प्रारंभिक बिंदु A(1, 0) को बिंदु O के चारों ओर कोण α द्वारा घुमाने से प्राप्त बिंदु है, और बिंदु A 2 बिंदु A को कोण α के विपरीत कोण −α द्वारा घुमाने का परिणाम है।

विपरीत कोणों के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की संपत्ति एक बिल्कुल स्पष्ट तथ्य पर आधारित है: ऊपर उल्लिखित बिंदु ए 1 और ए 2 या तो मेल खाते हैं (पर) या ऑक्स अक्ष के सापेक्ष सममित रूप से स्थित हैं। अर्थात्, यदि बिंदु A 1 के निर्देशांक (x, y) हैं, तो बिंदु A 2 के निर्देशांक (x, −y) होंगे। यहां से, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाओं का उपयोग करके, हम समानताएं लिखते हैं और।
उनकी तुलना करने पर, हम फॉर्म के विपरीत कोणों α और −α के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बीच संबंधों पर आते हैं।
यह सूत्रों के रूप में विचाराधीन संपत्ति है।

आइए इस संपत्ति के उपयोग के उदाहरण दें। उदाहरण के लिए, समानताएं और .

यह केवल ध्यान देने योग्य है कि पिछली संपत्ति की तरह, विपरीत कोणों के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की संपत्ति का उपयोग अक्सर साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मूल्यों की गणना करते समय किया जाता है, और आपको नकारात्मक से पूरी तरह से बचने की अनुमति मिलती है। कोण.

सन्दर्भ.

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• बीजगणितऔर विश्लेषण की शुरुआत: प्रोक. 10-11 ग्रेड के लिए. सामान्य शिक्षा संस्थान / ए. एन. कोलमोगोरोव, ए. एम. अब्रामोव, यू. पी. डुडनित्सिन और अन्य; एड. ए. एन. कोलमोगोरोव - 14वां संस्करण - एम.: शिक्षा, 2004. - 384 पीपी. - आईएसबीएन 5-09-013651-3।
• बश्माकोव एम.आई.बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: पाठ्यपुस्तक। 10-11 ग्रेड के लिए. औसत विद्यालय - तीसरा संस्करण। - एम.: शिक्षा, 1993. - 351 पी.: बीमार। - आईएसबीएन 5-09-004617-4.
• गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी.गणित (तकनीकी स्कूलों में प्रवेश करने वालों के लिए एक मैनुअल): प्रोक। भत्ता.- एम.; उच्च स्कूल, 1984.-351 पी., बीमार।

मूल्यों की तालिका त्रिकोणमितीय कार्य

टिप्पणी. त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन मानों की यह तालिका इंगित करने के लिए √ चिह्न का उपयोग करती है वर्गमूल. भिन्न को इंगित करने के लिए, प्रतीक "/" का उपयोग करें।

यह भी देखेंउपयोगी सामग्री:

के लिए त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का मान निर्धारित करना, इसे त्रिकोणमितीय फलन को दर्शाने वाली रेखा के प्रतिच्छेदन पर खोजें। उदाहरण के लिए, साइन 30 डिग्री - हम हेडिंग साइन (साइन) वाले कॉलम की तलाश करते हैं और इस टेबल कॉलम का प्रतिच्छेदन पंक्ति "30 डिग्री" के साथ पाते हैं, उनके चौराहे पर हम परिणाम पढ़ते हैं - एक आधा। इसी प्रकार हम पाते हैं कोज्या 60डिग्री, साइन 60डिग्री (एक बार फिर, पाप स्तंभ और 60 डिग्री रेखा के प्रतिच्छेदन पर हम मान पाप 60 = √3/2 पाते हैं), आदि। अन्य "लोकप्रिय" कोणों की ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा का मान उसी तरह पाया जाता है।

साइन पाई, कोसाइन पाई, स्पर्शज्या पाई और रेडियन में अन्य कोण

कोज्या, ज्या और स्पर्शरेखा की नीचे दी गई तालिका त्रिकोणमितीय फलनों का मान ज्ञात करने के लिए भी उपयुक्त है जिसका तर्क है रेडियन में दिया गया है. ऐसा करने के लिए, कोण मानों के दूसरे कॉलम का उपयोग करें। इसके लिए धन्यवाद, आप लोकप्रिय कोणों के मान को डिग्री से रेडियन में बदल सकते हैं। उदाहरण के लिए, आइए पहली पंक्ति में 60 डिग्री का कोण ज्ञात करें और उसके नीचे रेडियन में इसका मान पढ़ें। 60 डिग्री π/3 रेडियन के बराबर है।

संख्या पाई स्पष्ट रूप से परिधि की निर्भरता को व्यक्त करती है डिग्री मापकोना। इस प्रकार, पाई रेडियन 180 डिग्री के बराबर हैं।

पाई (रेडियन) के रूप में व्यक्त किसी भी संख्या को पाई (π) को 180 से प्रतिस्थापित करके आसानी से डिग्री में परिवर्तित किया जा सकता है.

उदाहरण:
1. साइन पाई.
पाप π = पाप 180 = 0
इस प्रकार, पाई की ज्या 180 डिग्री की ज्या के समान है और यह शून्य के बराबर है।

2. कोसाइन पाई.
कॉस π = कॉस 180 = -1
इस प्रकार, पाई की कोज्या 180 डिग्री की कोज्या के समान है और यह शून्य से एक के बराबर है।

3. स्पर्शरेखा पाई
टीजी π = टीजी 180 = 0
इस प्रकार, स्पर्शरेखा पाई 180 डिग्री की स्पर्शरेखा के समान है और यह शून्य के बराबर है।

0 - 360 डिग्री के कोणों के लिए ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा मानों की तालिका (सामान्य मान)

कोण α मान (डिग्री)	कोण α मान रेडियन में (पीआई के माध्यम से)	पाप (साइनस)	ओल (कोसाइन)	टीजी (स्पर्शरेखा)	सीटीजी (कोटैंजेंट)	सेकंड (सेकेंट)	कोसेक (कोसेकेंट)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

यदि त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की तालिका में फ़ंक्शन मान (स्पर्शरेखा (टीजी) 90 डिग्री, कोटैंजेंट (सीटीजी) 180 डिग्री) के बजाय एक डैश इंगित किया गया है, तो कोण की डिग्री माप के दिए गए मान के लिए फ़ंक्शन कोई विशिष्ट मूल्य नहीं है. यदि कोई डैश नहीं है, तो सेल खाली है, जिसका अर्थ है कि हमने अभी तक आवश्यक मान दर्ज नहीं किया है। हम इस बात में रुचि रखते हैं कि उपयोगकर्ता हमारे पास किन प्रश्नों के लिए आते हैं और तालिका को नए मूल्यों के साथ पूरक करते हैं, इस तथ्य के बावजूद कि सबसे सामान्य कोण मूल्यों के कोसाइन, साइन और स्पर्शरेखा के मूल्यों पर वर्तमान डेटा अधिकांश को हल करने के लिए काफी पर्याप्त है। समस्याएँ.

सबसे लोकप्रिय कोणों के लिए त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन पाप, कॉस, टीजी के मूल्यों की तालिका
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 डिग्री
(संख्यात्मक मान "ब्रैडिस तालिकाओं के अनुसार")

कोण α मान (डिग्री)	रेडियन में कोण α मान	पाप (साइन)	कॉस (कोसाइन)	टीजी (स्पर्शरेखा)	सीटीजी (कोटेंजेंट)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

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समस्या 6.12. पिछली समस्या जैसा ही प्रश्न, लेकिन एक नियमित पंचकोण के लिए (संकेत: समस्या 3.5 देखें)।

समस्या 6.13. समस्या 4.8 में कहा गया था कि एक छोटे कोण α की कोज्या के अनुमानित मान के रूप में, हम संख्या 1 ले सकते हैं, अर्थात कोज्या फलन का मान शून्य पर है। क्या होगा यदि, बिना किसी देरी के, हम एक छोटे कोण α की ज्या के अनुमानित मान के रूप में 0 = पाप 0 लेते हैं? यह बुरा क्यों है?

चावल। 6.4. बिंदु M एक चक्रवात के अनुदिश गति करता है।

समस्या 6.14. त्रिज्या 1 के एक पहिये पर विचार करें जो मूल बिंदु पर x-अक्ष को छू रहा है (चित्र 6.4)। आइए मान लें कि पहिया x-अक्ष के अनुदिश सकारात्मक दिशा में 1 की गति से घूमता है (अर्थात्, समय t के दौरान इसका केंद्र t दाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है)।

ए) एक वक्र बनाएं (लगभग) जिसे बिंदु एम द्वारा वर्णित किया जाएगा, जो पहले क्षण में भुज अक्ष को छूएगा।

बी) पता लगाएं कि गति शुरू होने के बाद समय टी के बाद बिंदु एम का भुज और कोटि क्या होगा।

6.1. स्पर्शरेखा अक्ष

इस अनुभाग में हमने साइन और कोसाइन को ज्यामितीय रूप से परिभाषित किया है, एक बिंदु के कोटि और भुज के रूप में, और स्पर्शरेखा - बीजगणितीय रूप से, पाप टी / कॉस टी के रूप में। हालाँकि, स्पर्शरेखा को एक ज्यामितीय अर्थ देना संभव है।

ऐसा करने के लिए, निर्देशांक (1; 0) (त्रिकोणमितीय वृत्त पर मूल) वाले बिंदु के माध्यम से त्रिकोणमितीय वृत्त की एक स्पर्श रेखा खींचें - अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा

चावल। 6.5. स्पर्शरेखा अक्ष.

तालमेल आइए इस सीधी रेखा को स्पर्शरेखा अक्ष कहते हैं (चित्र 6.5)। यह नाम इस प्रकार उचित है: मान लीजिए कि M संख्या t के संगत त्रिकोणमितीय वृत्त पर एक बिंदु है। आइए त्रिज्या SM को तब तक जारी रखें जब तक कि यह स्पर्शरेखा अक्ष के साथ प्रतिच्छेद न हो जाए। तब यह पता चलता है कि प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि tg t के बराबर है।

वास्तव में, चित्र में त्रिभुज NOS और MP S हैं। 6.5, जाहिर है

	लेकिन समान. यहाँ से
	जो कहा गया था.									या (0; −1), फिर सीधे
	यदि बिंदु M के निर्देशांक (0; 1) हैं

मई एसएम स्पर्शरेखा अक्ष के समानांतर है, और स्पर्शरेखा को हमारी विधि का उपयोग करके निर्धारित नहीं किया जा सकता है। यह आश्चर्य की बात नहीं है: इन बिंदुओं का भुज 0 है, इसलिए t के संगत मानों के लिए cos t = 0, और tg t = syn t/ cos t परिभाषित नहीं है।

6.2. त्रिकोणमितीय फलनों के लक्षण

आइए जानें कि टी के किन मूल्यों पर साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा सकारात्मक हैं, और किन मूल्यों पर वे नकारात्मक हैं। परिभाषा के अनुसार, पाप टी संख्या टी के अनुरूप त्रिकोणमितीय वृत्त पर एक बिंदु की कोटि है। इसलिए यदि बिंदु t चालू है तो पाप t > 0