किसी संख्या का मूल क्या है? वर्गमूल को शीघ्रता से कैसे निकालें

किसी शब्द को सही ढंग से करने के लिए यह जानना आवश्यक है कि उसका मूल क्या है रूपिम पार्सिंग. इसके अलावा, से यह अवधारणारूसी भाषा कई वर्तनी की सही वर्तनी पर भी निर्भर करती है, क्योंकि नियम बताते हैं कि समान मूल वाले शब्दों का चयन करना आवश्यक है। यह क्या है? हम आपको इस आर्टिकल में बताएंगे.

मूल शब्द: अवधारणा की परिभाषा

रूसी भाषा के किसी भी शब्द को मर्फीम - महत्वपूर्ण भागों में विभाजित किया जा सकता है। उनमें से कुछ में व्याकरणिक सामग्री है, अन्य में शाब्दिक सामग्री है। उत्तरार्द्ध जड़ है. इसी भाग में शाब्दिक अर्थ निहित है।

किसी शब्द का मूल उसका मुख्य भाग होता है। दरअसल, एक लेक्सेम उपसर्ग, प्रत्यय के बिना मौजूद हो सकता है और इसमें शून्य विभक्ति हो सकती है। लेकिन जड़ के बिना, यह अक्षरों या प्रतीकों का एक निरर्थक समूह होगा।

आइए एक उदाहरण दें: "बैकवाटर" और "वाटर" शब्दों में क्रमशः एक उपसर्ग और एक प्रत्यय है। यदि हम उन्हें हटा दें तो "पानी से संबंधित कुछ" का अर्थ शेष रह जाता है। लेकिन यदि आप जड़-पानी- को हटा दें, तो वे ऐसे नहीं रहेंगे। इस प्रकार हमने सिद्ध कर दिया कि जड़ ही मुख्य अर्थ का वाहक है।

यह रूपिम मुक्त हो सकता है (अन्य भागों के बिना मौजूद) और बाध्य (उपसर्ग, अंत और प्रत्यय के बिना इसका कोई मतलब नहीं है)। इस प्रकार, लेक्समे "रन" की जड़ स्वतंत्र है (रन - शब्द का अर्थ निर्धारित किया जा सकता है), लेकिन लेक्सेम "ट्विस्ट" की जड़ बाध्य है, क्योंकि विभक्ति और प्रत्यय के बिना यह बस एक अर्थहीन है शब्दांश.

बिना जड़ का शब्द

रूसी भाषा में एक अनोखा शब्द है जिसका कोई मूल नहीं है: "बाहर निकालो"। किसी शब्द का मूल क्या है, यह जानने के बाद ऐसी कल्पना करना कठिन है! बहरहाल, ऐसा हमेशा नहीं होता।

व्युत्पत्ति की दृष्टि से, इस शब्द की एक जड़ है, हालाँकि, भाषा के विकास की प्रक्रिया में यह लुप्त हो गया। इसे अलग तरह से लिखा जाता था - "बाहर निकालो"। समय के साथ, भाषा विकसित हुई और "छड़ी", "झटका", "स्पर्श" जैसी क्रियाएं दिखाई देने लगीं। उनके अनुरूप, "टेक आउट" भी बदल गया - इसे "टेक आउट" के रूप में लिखा और उच्चारित किया जाने लगा। तो अब औपचारिक रूप से इस शब्दांश में केवल उपसर्ग आप-, प्रत्यय -नु- और विभक्ति -टी शामिल है। जड़ को केवल व्युत्पत्ति के आधार पर ही पहचाना जाता है।

किन शब्दों का मूल एक ही है?

सजातीय शब्द वे होते हैं जिनका मूल एक ही होता है और उनका शाब्दिक अर्थ भी एक समान होता है। शब्द "परेशानी" - "गरीब" - "गरीबी" - "गरीब हो जाना" सजातीय हैं, क्योंकि उनका मूल एक ही है -बिस्तर-, जो दुर्भाग्य, अभाव को दर्शाता है।

आइए एक और उदाहरण दें: "खोज" शब्द की जड़ "खोज", "खोज", "खोज इंजन", "कृतघ्न" शब्दों के रूपिमों से मेल खाती है। इस प्रकार, ये सभी शब्द एक ही मूल के हैं।

सजातीय शब्दों को पहचानने में गलती होने का खतरा रहता है। यह स्पष्ट रूप से समझ लेना चाहिए कि समान सामान्य भाग के अतिरिक्त उनका एक समान अर्थ भी होना चाहिए। उदाहरण के लिए, "चलाना" और "पनडुब्बी" शब्दों में मूल एक ही है, -वोड-। हालाँकि, इन शब्दों के अर्थ अलग-अलग हैं: ड्राइव - प्रबंधन वाहन, और एक पनडुब्बी वह है जो पानी के नीचे काम करता है। इस प्रकार, ये समानार्थी मूल सजातीय शब्दों की जोड़ी नहीं बनाते हैं।

सजातीय शब्दों के रूप में एक ही शब्द के रूपों को अलग करना भी एक गलती होगी: "नर्स" - "नानी" - "नर्स"। यह सिर्फ नर्स करने की क्रिया है, जिसका प्रयोग एकवचन में किया जाता है बहुवचनऔर स्त्रीलिंग.

किसी शब्द का मूल कैसे खोजें

मुख्य रूपिमों की सही पहचान करने के लिए केवल यह जानना पर्याप्त नहीं है कि किसी शब्द का मूल क्या है। यहां आपको समान मूल और संबंधित शब्दों के शब्दों का चयन करने में सक्षम होना चाहिए।

ऐसे शब्द जरूरी नहीं कि भाषण के किसी विशिष्ट भाग से संबंधित हों; वे सभी महत्वपूर्ण हो सकते हैं। इस प्रकार, लेक्सेम का मूल एक ही होगा: "प्रकाश" - "प्रकाश" - "चमक" - "प्रकाश"; "हरा" - "हरा" - "हरा" - "हरा"; "शांति" - "वैश्विक" - "सामंजस्य बिठाना" - "शांतिपूर्वक।"

किसी शब्द के मूल को कैसे उजागर करें? नियम कहता है कि आपको इसके शाब्दिक अर्थ में गहराई से जाना चाहिए, संबंधित शब्दों का चयन करना चाहिए और देखना चाहिए कि कौन से भाग दोहराए गए हैं। इस तरह आप आसानी से समझ सकते हैं कि मुख्य रूपिम कहाँ है। कभी-कभी यह प्रारंभ में उपसर्ग, विभक्ति और प्रत्यय को "काटने" में मदद करता है, खासकर यदि उनके पास एक विकल्प हो।

उदाहरण के लिए, शब्द "प्लांटैन" में एक उपसर्ग पो- है (इसका कोई अन्य रूप नहीं है और इसे आसानी से देखा जा सकता है) और एक प्रत्यय निक- है, जो संज्ञाओं की भी बहुत विशेषता है। जड़-सड़क- बनी हुई है। आइए समान मूल वाले शब्दों का चयन करके इसे साबित करें: पथ, सड़क।

अंतिम उदाहरण यह भी दर्शाता है कि जड़ों में प्रत्यावर्तन होता है। यह भाषा में ऐतिहासिक परिवर्तनों से तय होता है। व्यंजन और स्वर दोनों ध्वनियाँ भिन्न-भिन्न हो सकती हैं।

सड़क एक रास्ता है.

सूखा-सूखा.

हाथ - कलम.

इकट्ठा करो - इकट्ठा करो - इकट्ठा करो।

मरना तो मरना है.

चमकीला - चमकना ।

यह जानकर कि किसी शब्द का मूल क्या है और उसे सही तरीके से कैसे खोजा जाए, आप गलती करने के डर के बिना सुरक्षित रूप से ऐसे शब्दों का रूपात्मक विश्लेषण कर सकते हैं।

अक्सर, समस्याओं को हल करते समय, हमारा सामना बड़ी संख्याओं से होता है जिनसे हमें निकालने की आवश्यकता होती है वर्गमूल. कई छात्र निर्णय लेते हैं कि यह एक गलती है और पूरे उदाहरण को फिर से हल करना शुरू कर देते हैं। किसी भी परिस्थिति में आपको ऐसा नहीं करना चाहिए! इसके दो कारण हैं:

1. से जड़ें बड़ी संख्यावास्तव में समस्याओं में घटित होता है। विशेषकर पाठ वाले में;
2. एक एल्गोरिथ्म है जिसके द्वारा इन जड़ों की गणना लगभग मौखिक रूप से की जाती है।

हम आज इस एल्गोरिथम पर विचार करेंगे। शायद कुछ बातें आपको समझ से बाहर लगेंगी. लेकिन अगर आप इस पाठ पर ध्यान देंगे तो आपको मिलेगा सबसे शक्तिशाली हथियारख़िलाफ़ वर्गमूल.

तो, एल्गोरिथ्म:

1. ऊपर और नीचे आवश्यक रूट को उन संख्याओं तक सीमित करें जो 10 के गुणज हैं। इस प्रकार, हम खोज सीमा को 10 संख्याओं तक कम कर देंगे;
2. इन 10 संख्याओं में से उन संख्याओं को हटा दें जो निश्चित रूप से मूल नहीं हो सकतीं। परिणामस्वरूप, 1-2 संख्याएँ शेष रह जायेंगी;
3. इन 1-2 संख्याओं का वर्ग करें। जिसका वर्ग मूल संख्या के बराबर हो वह मूल होगा।

इस एल्गोरिदम को व्यवहार में लाने से पहले, आइए प्रत्येक व्यक्तिगत चरण को देखें।

जड़ सीमा

सबसे पहले, हमें यह पता लगाना होगा कि हमारा मूल किन संख्याओं के बीच स्थित है। यह अत्यंत वांछनीय है कि संख्याएँ दस के गुणज हों:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

हमें संख्याओं की एक श्रृंखला मिलती है:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

ये संख्याएँ हमें क्या बताती हैं? यह सरल है: हमें सीमाएँ मिलती हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 1296 लें। यह 900 और 1600 के बीच है। इसलिए, इसका मूल 30 से कम और 40 से अधिक नहीं हो सकता:

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यही बात किसी भी अन्य संख्या पर लागू होती है जिससे आप वर्गमूल ज्ञात कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 3364:

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इस प्रकार, एक अतुलनीय संख्या के बजाय, हमें एक बहुत ही विशिष्ट श्रेणी मिलती है जिसमें मूल जड़ निहित होती है। खोज क्षेत्र को और अधिक संकीर्ण करने के लिए, दूसरे चरण पर आगे बढ़ें।

स्पष्ट रूप से अनावश्यक संख्याओं को हटाना

तो, हमारे पास 10 संख्याएँ हैं - मूल के लिए उम्मीदवार। हमने उन्हें जटिल सोच और एक कॉलम में गुणा किए बिना, बहुत जल्दी प्राप्त कर लिया। आगे चलने का समय आ गया है।

मानो या न मानो, अब हम उम्मीदवारों की संख्या घटाकर दो कर देंगे - एक बार फिर बिना किसी जटिल गणना के! विशेष नियम जानना ही काफी है. यह रहा:

वर्ग का अंतिम अंक अंतिम अंक पर ही निर्भर करता है मूल संख्या.

दूसरे शब्दों में, बस वर्ग के अंतिम अंक को देखें और हम तुरंत समझ जाएंगे कि मूल संख्या कहाँ समाप्त होती है।

केवल 10 अंक हैं जो दिखाई दे सकते हैं अंतिम स्थान. आइए यह जानने का प्रयास करें कि वर्ग करने पर वे क्या बन जाते हैं। तालिका पर एक नजर डालें:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

यह तालिका मूल की गणना की दिशा में एक और कदम है। जैसा कि आप देख सकते हैं, दूसरी पंक्ति की संख्याएँ पाँचों के सापेक्ष सममित निकलीं। उदाहरण के लिए:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

जैसा कि आप देख सकते हैं, अंतिम अंक दोनों मामलों में समान है। इसका मतलब यह है कि, उदाहरण के लिए, 3364 का मूल 2 या 8 में समाप्त होना चाहिए। दूसरी ओर, हमें पिछले पैराग्राफ का प्रतिबंध याद है। हम पाते हैं:

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लाल वर्ग दर्शाते हैं कि हम अभी तक यह आंकड़ा नहीं जानते हैं। लेकिन मूल 50 से 60 तक की सीमा में है, जिस पर 2 और 8 में समाप्त होने वाली केवल दो संख्याएँ हैं:

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इतना ही! सभी संभावित जड़ों में से, हमने केवल दो विकल्प छोड़े हैं! और यह सबसे कठिन स्थिति में है, क्योंकि अंतिम अंक 5 या 0 हो सकता है। और तब मूल के लिए केवल एक ही उम्मीदवार होगा!

अंतिम गणना

तो, हमारे पास 2 उम्मीदवार संख्याएँ बची हैं। आप कैसे जानते हैं कि जड़ कौन सी है? उत्तर स्पष्ट है: दोनों संख्याओं का वर्ग करें। जो वर्ग मूल संख्या देगा वही मूल होगा।

उदाहरण के लिए, संख्या 3364 के लिए हमें दो उम्मीदवार संख्याएँ मिलीं: 52 और 58। आइए उनका वर्ग करें:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

इतना ही! यह पता चला कि मूल 58 है! साथ ही, गणना को सरल बनाने के लिए, मैंने योग और अंतर के वर्गों के लिए सूत्र का उपयोग किया। इसके कारण, मुझे संख्याओं को एक कॉलम में गुणा करने की भी आवश्यकता नहीं पड़ी! यह गणना अनुकूलन का एक और स्तर है, लेकिन, निश्चित रूप से, यह पूरी तरह से वैकल्पिक है :)

जड़ों की गणना के उदाहरण

निस्संदेह, सिद्धांत अच्छा है। लेकिन आइए इसे व्यवहार में जांचें।

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सबसे पहले, आइए जानें कि संख्या 576 किन संख्याओं के बीच स्थित है:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

अब आखिरी नंबर पर नजर डालते हैं. यह 6 के बराबर है. ऐसा कब होता है? केवल यदि मूल 4 या 6 पर समाप्त होता है। हमें दो संख्याएँ मिलती हैं:

जो कुछ बचा है वह प्रत्येक संख्या का वर्ग करना और उसकी मूल संख्या से तुलना करना है:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

महान! पहला वर्ग मूल संख्या के बराबर निकला। तो यह जड़ है.

काम। वर्गमूल की गणना करें:

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900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

आइए अंतिम अंक देखें:

1369 → 9;
33; 37.

इसे चौकोर करें:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 - 3) 2 = 1600 - 2 40 3 + 9 = 1369।

यहाँ उत्तर है: 37.

काम। वर्गमूल की गणना करें:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

हम संख्या सीमित करते हैं:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

आइए अंतिम अंक देखें:

2704 → 4;
52; 58.

इसे चौकोर करें:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

हमें उत्तर मिला: 52. अब दूसरी संख्या का वर्ग करने की आवश्यकता नहीं होगी।

काम। वर्गमूल की गणना करें:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

हम संख्या सीमित करते हैं:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

आइए अंतिम अंक देखें:

4225 → 5;
65.

जैसा कि आप देख सकते हैं, दूसरे चरण के बाद केवल एक विकल्प बचा है: 65. यह वांछित रूट है। लेकिन आइए फिर भी इसे वर्गाकार करें और जांचें:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

सब कुछ सही है। हम उत्तर लिखते हैं.

निष्कर्ष

अफ़सोस, इससे बेहतर कुछ नहीं। आइए कारणों पर नजर डालें. उनमें से दो:

• किसी भी सामान्य गणित परीक्षा में, चाहे वह राज्य परीक्षा हो या एकीकृत राज्य परीक्षा, कैलकुलेटर का उपयोग निषिद्ध है। और यदि आप कक्षा में कैलकुलेटर लाते हैं, तो आपको आसानी से परीक्षा से बाहर किया जा सकता है।
• मूर्ख अमेरिकियों की तरह मत बनो. जो सिर्फ जड़ें नहीं हैं - वे दो हैं प्रमुख संख्यावे इसे मोड़ नहीं सकते. और जब वे भिन्न देखते हैं, तो वे आम तौर पर उन्मादी हो जाते हैं।

इस लेख में हम परिचय देंगे किसी संख्या के मूल की अवधारणा. हम क्रमिक रूप से आगे बढ़ेंगे: आइए शुरू करते हैं वर्गमूल, इससे हम घनमूल के विवरण की ओर बढ़ते हैं, जिसके बाद हम nवीं डिग्री के मूल को परिभाषित करके मूल की अवधारणा को सामान्यीकृत करते हैं। साथ ही, हम परिभाषाएँ, संकेतन प्रस्तुत करेंगे, जड़ों के उदाहरण देंगे और आवश्यक स्पष्टीकरण और टिप्पणियाँ देंगे।

वर्गमूल, अंकगणितीय वर्गमूल

किसी संख्या के मूल और विशेष रूप से वर्गमूल की परिभाषा को समझने के लिए, आपके पास यह होना आवश्यक है। इस बिंदु पर हम अक्सर किसी संख्या की दूसरी घात - किसी संख्या का वर्ग - का सामना करेंगे।

आइये शुरू करते हैं वर्गमूल परिभाषाएँ.

परिभाषा

ए का वर्गमूलएक संख्या है जिसका वर्ग a के बराबर है।

आगे होना वर्गमूलों के उदाहरण, कई संख्याएँ लें, उदाहरण के लिए, 5, −0.3, 0.3, 0, और उनका वर्ग करें, हमें क्रमशः 25, 0.09, 0.09 और 0 संख्याएँ मिलती हैं (5 2 =5·5=25, (−0.3) 2 =(−0.3)·(−0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3·0.3=0.09 और 0 2 =0·0=0 ). फिर, ऊपर दी गई परिभाषा के अनुसार, संख्या 5 संख्या 25 का वर्गमूल है, संख्याएँ −0.3 और 0.3 0.09 का वर्गमूल हैं, और 0 शून्य का वर्गमूल है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी भी संख्या के लिए a मौजूद नहीं है जिसका वर्ग a के बराबर है। अर्थात्, किसी भी ऋणात्मक संख्या a के लिए कोई वास्तविक संख्या b नहीं है जिसका वर्ग a के बराबर हो। वास्तव में, किसी भी ऋणात्मक a के लिए समानता a=b 2 असंभव है, क्योंकि b 2 नहीं है ऋणात्मक संख्याकिसी भी बी के लिए इस प्रकार, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में किसी ऋणात्मक संख्या का कोई वर्गमूल नहीं होता है. दूसरे शब्दों में, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर, ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल परिभाषित नहीं होता है और इसका कोई अर्थ नहीं होता है।

इससे एक तार्किक प्रश्न उठता है: "क्या किसी गैर-नकारात्मक a के लिए a का कोई वर्गमूल है"? उत्तर है, हाँ। इस तथ्य को वर्गमूल का मान ज्ञात करने के लिए प्रयुक्त रचनात्मक विधि द्वारा उचित ठहराया जा सकता है।

फिर अगला तार्किक प्रश्न उठता है: "किसी दी गई गैर-नकारात्मक संख्या a के सभी वर्गमूलों की संख्या क्या है - एक, दो, तीन, या इससे भी अधिक"? यहाँ उत्तर है: यदि a शून्य है, तो शून्य का एकमात्र वर्गमूल शून्य है; यदि कोई कुछ है सकारात्मक संख्या, तो संख्या a के वर्गमूलों की संख्या दो है, और मूल हैं। आइए इसे उचित ठहराएँ।

आइए मामले से शुरू करते हैं a=0 । सबसे पहले, आइए दिखाएँ कि शून्य वास्तव में शून्य का वर्गमूल है। यह स्पष्ट समानता 0 2 =0·0=0 और वर्गमूल की परिभाषा का अनुसरण करता है।

अब आइए सिद्ध करें कि 0 ही शून्य का एकमात्र वर्गमूल है। आइए विपरीत विधि का प्रयोग करें। मान लीजिए कि कोई शून्येतर संख्या b है जो शून्य का वर्गमूल है। तब शर्त b 2 =0 को संतुष्ट किया जाना चाहिए, जो असंभव है, क्योंकि किसी भी गैर-शून्य b के लिए अभिव्यक्ति b 2 का मान सकारात्मक है। हम एक विरोधाभास पर पहुँच गये हैं। इससे सिद्ध होता है कि 0 ही शून्य का एकमात्र वर्गमूल है।

आइए उन मामलों की ओर बढ़ते हैं जहां a एक धनात्मक संख्या है। हमने ऊपर कहा कि किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्या का हमेशा एक वर्गमूल होता है, मान लीजिए कि a का वर्गमूल संख्या b है। मान लीजिए कि एक संख्या c है, जो a का वर्गमूल भी है। फिर, वर्गमूल की परिभाषा के अनुसार, समानताएँ b 2 =a और c 2 =a सत्य हैं, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि b 2 −c 2 =a−a=0, लेकिन चूँकि b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , फिर (b−c)·(b+c)=0 . परिणामी समानता वैध है वास्तविक संख्याओं के साथ संक्रियाओं के गुणकेवल तभी संभव है जब b−c=0 या b+c=0 . इस प्रकार, संख्याएँ b और c बराबर या विपरीत हैं।

यदि हम मान लें कि एक संख्या d है, जो संख्या a का एक और वर्गमूल है, तो पहले से दिए गए तर्क के समान तर्क से, यह सिद्ध होता है कि d संख्या b या संख्या c के बराबर है। अतः, एक धनात्मक संख्या के वर्गमूलों की संख्या दो है, और वर्गमूल विपरीत संख्याएँ हैं।

वर्गमूलों के साथ काम करने की सुविधा के लिए, ऋणात्मक मूल को धनात्मक मूल से "अलग" किया जाता है। इसी उद्देश्य से इसे पेश किया गया है अंकगणितीय वर्गमूल की परिभाषा.

परिभाषा

एक गैर-ऋणात्मक संख्या का अंकगणितीय वर्गमूल aएक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका वर्ग a के बराबर है।

a के अंकगणितीय वर्गमूल के लिए संकेतन है। चिह्न को अंकगणितीय वर्गमूल चिह्न कहा जाता है। इसे मूलांक चिन्ह भी कहा जाता है। इसलिए, आप कभी-कभी "रूट" और "रेडिकल" दोनों सुन सकते हैं, जिसका अर्थ एक ही वस्तु है।

अंकगणितीय वर्गमूल चिन्ह के नीचे की संख्या कहलाती है मूल संख्या, और मूल चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति है उग्र अभिव्यक्ति, जबकि शब्द "रेडिकल नंबर" को अक्सर "रेडिकल एक्सप्रेशन" से बदल दिया जाता है। उदाहरण के लिए, नोटेशन में संख्या 151 एक रेडिकल संख्या है, और नोटेशन में अभिव्यक्ति a एक रेडिकल अभिव्यक्ति है।

पढ़ते समय, शब्द "अंकगणित" अक्सर छोड़ दिया जाता है, उदाहरण के लिए, प्रविष्टि को "सात दशमलव उनतीस का वर्गमूल" के रूप में पढ़ा जाता है। "अंकगणित" शब्द का प्रयोग केवल तभी किया जाता है जब वे उस पर जोर देना चाहते हैं हम बात कर रहे हैंविशेष रूप से किसी संख्या के धनात्मक वर्गमूल के बारे में।

प्रस्तुत संकेतन के प्रकाश में, यह अंकगणितीय वर्गमूल की परिभाषा से निम्नानुसार है कि किसी भी गैर-नकारात्मक संख्या के लिए।

किसी धनात्मक संख्या a के वर्गमूल को अंकगणितीय वर्गमूल चिह्न का उपयोग करके और के रूप में लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, 13 का वर्गमूल और है। शून्य का अंकगणितीय वर्गमूल शून्य है, अर्थात। ऋणात्मक संख्याओं a के लिए, जब तक हम अध्ययन नहीं करेंगे तब तक हम अंकन को अर्थ नहीं देंगे सम्मिश्र संख्याएँ . उदाहरण के लिए, अभिव्यक्तियाँ अर्थहीन हैं।

वर्गमूल की परिभाषा के आधार पर वर्गमूल के गुण सिद्ध होते हैं, जिनका व्यवहार में प्राय: उपयोग होता है।

इस अनुच्छेद के निष्कर्ष में, हम ध्यान देते हैं कि संख्या a के वर्गमूल चर x के संबंध में x 2 =a के रूप के समाधान हैं।

किसी संख्या का घनमूल

घनमूल की परिभाषासंख्या a का वर्गमूल की परिभाषा के समान ही दिया गया है। केवल यह किसी संख्या के घन की अवधारणा पर आधारित है, वर्ग नहीं।

परिभाषा

ए का घनमूलएक संख्या है जिसका घन a के बराबर है।

आइए देते हैं घनमूल के उदाहरण. ऐसा करने के लिए, कई संख्याएँ लें, उदाहरण के लिए, 7, 0, -2/3, और उनका घन करें: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . फिर, घनमूल की परिभाषा के आधार पर, हम कह सकते हैं कि संख्या 7, 343 का घनमूल है, 0 शून्य का घनमूल है, और −2/3 −8/27 का घनमूल है।

यह दिखाया जा सकता है कि किसी संख्या का घनमूल, वर्गमूल के विपरीत, हमेशा मौजूद रहता है, न केवल गैर-नकारात्मक a के लिए, बल्कि किसी भी वास्तविक संख्या a के लिए भी। ऐसा करने के लिए, आप उसी विधि का उपयोग कर सकते हैं जिसका उल्लेख हमने वर्गमूलों का अध्ययन करते समय किया था।

इसके अलावा, किसी दी गई संख्या a का केवल एक ही घनमूल होता है। आइए अंतिम कथन को सिद्ध करें। ऐसा करने के लिए, तीन मामलों पर अलग से विचार करें: a एक धनात्मक संख्या है, a=0 और a एक ऋणात्मक संख्या है।

यह दिखाना आसान है कि यदि a धनात्मक है, तो a का घनमूल न तो ऋणात्मक संख्या हो सकता है और न ही शून्य। दरअसल, मान लीजिए कि b, a का घनमूल है, तो परिभाषा के अनुसार हम समानता b 3 =a लिख सकते हैं। यह स्पष्ट है कि यह समानता ऋणात्मक b और b=0 के लिए सत्य नहीं हो सकती, क्योंकि इन मामलों में b 3 =b·b·b क्रमशः एक ऋणात्मक संख्या या शून्य होगी। अतः किसी धनात्मक संख्या a का घनमूल एक धनात्मक संख्या है।

अब मान लीजिए कि संख्या b के अतिरिक्त संख्या a का एक और घनमूल है, आइए इसे c से निरूपित करें। फिर सी 3 =ए. इसलिए, b 3 −c 3 =a−a=0, लेकिन बी 3 −सी 3 =(बी−सी)·(बी 2 +बी·सी+सी 2)(यह संक्षिप्त गुणन सूत्र है घनों का अंतर), जहां से (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. परिणामी समानता केवल तभी संभव है जब b−c=0 या b 2 +b·c+c 2 =0. पहली समानता से हमारे पास b=c है, और दूसरी समानता का कोई समाधान नहीं है, क्योंकि इसका बायाँ भाग किसी भी सकारात्मक संख्या b और c के लिए तीन सकारात्मक पदों b 2, b·c और c 2 के योग के रूप में एक सकारात्मक संख्या है। यह एक धनात्मक संख्या a के घनमूल की विशिष्टता सिद्ध करता है।

जब a=0, तो संख्या a का घनमूल केवल संख्या शून्य होता है। वास्तव में, यदि हम मान लें कि एक संख्या b है, जो शून्य का एक गैर-शून्य घनमूल है, तो समानता b 3 = 0 होनी चाहिए, जो केवल तभी संभव है जब b = 0 हो।

नकारात्मक ए के लिए, सकारात्मक ए के मामले के समान तर्क दिए जा सकते हैं। सबसे पहले, हम दिखाते हैं कि किसी ऋणात्मक संख्या का घनमूल किसी धनात्मक संख्या या शून्य के बराबर नहीं हो सकता। दूसरे, हम मानते हैं कि एक ऋणात्मक संख्या का दूसरा घनमूल है और दिखाते हैं कि यह आवश्यक रूप से पहले के साथ मेल खाएगा।

इसलिए, किसी भी वास्तविक संख्या a का हमेशा एक घनमूल और एक अद्वितीय संख्या होती है।

आइए देते हैं अंकगणितीय घनमूल की परिभाषा.

परिभाषा

एक गैर-ऋणात्मक संख्या का अंकगणितीय घनमूलएक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका घन a के बराबर है।

किसी अऋणात्मक संख्या a के अंकगणितीय घनमूल को इस प्रकार दर्शाया जाता है, चिह्न को अंकगणितीय घनमूल का चिह्न कहा जाता है, इस अंकन में संख्या 3 को अंकगणितीय घनमूल का चिह्न कहा जाता है। जड़ सूचकांक. मूल चिह्न के नीचे की संख्या है मूल संख्या, मूल चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति है उग्र अभिव्यक्ति.

हालाँकि अंकगणितीय घनमूल को केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं a के लिए परिभाषित किया गया है, लेकिन अंकगणित का उपयोग करना भी सुविधाजनक है जिसमें अंकगणितीय घनमूल के चिह्न के नीचे ऋणात्मक संख्याएँ पाई जाती हैं। इन्हें हम इस प्रकार समझेंगे: , जहां a एक धनात्मक संख्या है। उदाहरण के लिए, .

हम सामान्य लेख जड़ों के गुण में घन जड़ों के गुणों के बारे में बात करेंगे।

घनमूल के मान की गणना करना घनमूल निकालना कहलाता है; इस क्रिया की चर्चा मूल निकालने वाले लेख में की गई है: विधियाँ, उदाहरण, समाधान।

इस बिंदु को समाप्त करने के लिए, मान लें कि संख्या a का घनमूल x 3 =a के रूप का एक समाधान है।

nवाँ मूल, घात n का अंकगणितीय मूल

आइए हम किसी संख्या के मूल की अवधारणा का सामान्यीकरण करें - हम परिचय कराते हैं nवें मूल की परिभाषाएन के लिए

परिभाषा

ए का एनवाँ मूलएक संख्या है जिसकी nवीं घात a के बराबर है।

से यह परिभाषायह स्पष्ट है कि संख्या a का प्रथम घात मूल संख्या a ही है, क्योंकि प्राकृतिक घातांक के साथ घात का अध्ययन करते समय हमने 1 =a लिया।

ऊपर हमने n=2 और n=3 - वर्गमूल और घनमूल के लिए nवें मूल के विशेष मामलों को देखा। अर्थात्, वर्गमूल दूसरी डिग्री का मूल है, और घनमूल तीसरी डिग्री का मूल है। n=4, 5, 6, ... के लिए nवीं डिग्री की जड़ों का अध्ययन करने के लिए, उन्हें दो समूहों में विभाजित करना सुविधाजनक है: पहला समूह - सम डिग्री की जड़ें (यानी, n = 4, 6, 8 के लिए) , ...), दूसरा समूह - मूल विषम डिग्री (यानी, n=5, 7, 9, ... के साथ)। यह इस तथ्य के कारण है कि सम घातों की जड़ें वर्गमूलों के समान होती हैं, और विषम घातों की जड़ें घनमूलों के समान होती हैं। आइए एक-एक करके उनसे निपटें।

आइए जड़ों से शुरू करें, जिनकी शक्तियाँ हैं सम संख्या 4, 6, 8, ... जैसा कि हमने कहा, वे संख्या a के वर्गमूल के समान हैं। अर्थात्, संख्या a की किसी भी सम घात का मूल केवल गैर-ऋणात्मक a के लिए मौजूद होता है। इसके अलावा, यदि a=0, तो a का मूल अद्वितीय और शून्य के बराबर है, और यदि a>0, तो संख्या a की सम घात के दो मूल हैं, और वे विपरीत संख्याएँ हैं।

आइए हम अंतिम कथन की पुष्टि करें। मान लीजिए कि b संख्या a का एक सम मूल है (हम इसे 2·m के रूप में दर्शाते हैं, जहां m कोई प्राकृतिक संख्या है)। मान लीजिए कि एक संख्या c है - संख्या a से 2·m डिग्री का एक और मूल। फिर b 2·m −c 2·m =a−a=0 . लेकिन हम b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) का रूप जानते हैं (बी 2 एम−2 +बी 2 एम−4 सी 2 +बी 2 एम−6 सी 4 +…+सी 2 एम−2), फिर (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. इस समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि b−c=0, या b+c=0, या b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. पहली दो समानताओं का मतलब है कि संख्याएँ b और c बराबर हैं या b और c विपरीत हैं। और अंतिम समानता केवल b=c=0 के लिए मान्य है, क्योंकि इसके बाईं ओर एक अभिव्यक्ति है जो गैर-नकारात्मक संख्याओं के योग के रूप में किसी भी b और c के लिए गैर-नकारात्मक है।

विषम n के लिए nवीं डिग्री की जड़ों के लिए, वे घनमूल के समान हैं। अर्थात्, संख्या a की किसी भी विषम डिग्री का मूल किसी भी वास्तविक संख्या a के लिए मौजूद होता है, और किसी दी गई संख्या a के लिए यह अद्वितीय होता है।

संख्या a के विषम अंश 2·m+1 के मूल की विशिष्टता, a के घनमूल की विशिष्टता के प्रमाण के साथ सादृश्य द्वारा सिद्ध होती है। समानता की जगह सिर्फ यहीं ए 3 −बी 3 =(ए−बी)·(ए 2 +ए·बी+सी 2)फॉर्म b 2 m+1 −c 2 m+1 = की समानता का उपयोग किया जाता है (बी−सी)·(बी 2·एम +बी 2·एम−1 ·सी+बी 2·एम−2 ·सी 2 +… +सी 2·एम). अंतिम कोष्ठक में अभिव्यक्ति को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है बी 2 एम +सी 2 एम +बी सी (बी 2 एम−2 +सी 2 एम−2 + बी सी (बी 2 एम−4 +सी 2 एम−4 +बी सी (…+(बी 2 +सी 2 +बी सी)))). उदाहरण के लिए, m=2 के साथ हमारे पास है बी 5 −सी 5 =(बी−सी)·(बी 4 +बी 3 ·सी+बी 2 ·सी 2 +बीसी·सी 3 +सी 4)= (बी−सी)·(बी 4 +सी 4 +बीसी·सी·(बी 2 +सी 2 +बीसी·सी)). जब a और b दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक होते हैं, तो उनका गुणनफल एक धनात्मक संख्या होता है, तब उच्चतम नेस्टेड कोष्ठकों में अभिव्यक्ति b 2 +c 2 +b·c धनात्मक संख्याओं के योग के रूप में धनात्मक होती है। अब, नेस्टिंग की पिछली डिग्री के कोष्ठक में भावों की ओर क्रमिक रूप से आगे बढ़ते हुए, हम आश्वस्त हैं कि वे सकारात्मक संख्याओं के योग के रूप में भी सकारात्मक हैं। परिणामस्वरूप, हम पाते हैं कि समानता b 2 m+1 −c 2 m+1 = (बी−सी)·(बी 2·एम +बी 2·एम−1 ·सी+बी 2·एम−2 ·सी 2 +… +सी 2·एम)=0केवल तभी संभव है जब b−c=0, यानी जब संख्या b संख्या c के बराबर हो।

अब nवें मूलों के अंकन को समझने का समय आ गया है। इसी उद्देश्य से यह दिया गया है nवीं डिग्री के अंकगणितीय मूल की परिभाषा.

परिभाषा

एक गैर-नकारात्मक संख्या की nवीं डिग्री का अंकगणितीय मूलएक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसकी nवीं घात a के बराबर है।

शब्द केवल के लिए ही आवश्यक नहीं हैं सही निष्पादनरूपिम विश्लेषण, लेकिन अधिकांश शब्दों की सही वर्तनी के लिए भी, क्योंकि किसी विशिष्ट रूपिम की सही वर्तनी जानना अक्सर आवश्यक होता है।

मॉर्फेमिक्स, इसका विषय और लक्ष्य

रूसी भाषा विज्ञान में रूपिमों की प्रणाली और शब्दों और शब्द रूपों की रूपिम संरचना के अध्ययन के लिए समर्पित एक अनुभाग है, जिसे रूपिमीक्स कहा जाता है। रूपिम विज्ञान का मुख्य कार्य रूपिम का अध्ययन और वर्गीकरण है, साथ ही शब्दों को रूपिम में विभाजित करने के लिए एक एल्गोरिदम भी है।

रूपिम, रूपिम विज्ञान की मूल इकाई होने के साथ-साथ, भाषा की सबसे छोटी इकाई है जिसका अर्थ होता है। यह ध्यान देने योग्य है कि रूपिम में अन्य सभी भाषा स्तरों की इकाइयों के साथ अंतर है। इस प्रकार, यह अर्थ की उपस्थिति में एक ध्वनि से, एक शब्द से - व्याकरणिक रूप से औपचारिक नाम की अनुपस्थिति में, एक वाक्य से - इसमें भिन्न होता है कि यह एक संचार इकाई का प्रतिनिधित्व नहीं करता है।

मूल शब्द

रूसी भाषा के प्रत्येक शब्द को रूपिमों में विभाजित किया जा सकता है। सभी मर्फीम को जड़ (स्वयं जड़) और गैर-जड़ (उपसर्ग, प्रत्यय, अंत) में विभाजित किया गया है। और यदि गैर-रूट मर्फीम ले जाते हैं व्याकरणिक अर्थशब्द, तो मूल शाब्दिक अर्थ व्यक्त करता है। उदाहरण के लिए, "पानी के नीचे" और "पानी" शब्दों में, मूल "पानी-" का अर्थ "पानी से संबंधित कुछ" है। हालाँकि, ऐसे शब्द भी हैं जिनका अर्थ जड़ या किसी अन्य रूपिम में सटीक रूप से निहित नहीं है। उदाहरण के लिए, अर्थ में "मैटिनी" शब्द बच्चों की पार्टीकिसी भी रूपिम में अपना अर्थ व्यक्त नहीं करता है।

जड़ शब्द का मुख्य भाग है, जिसके बिना इसका अस्तित्व नहीं हो सकता। ऐसे कई शब्द हैं जिनका उपयोग उपसर्ग, प्रत्यय या अंत (वनपाल, कुर्सी, टैक्सी, आदि) के बिना किया जा सकता है, लेकिन मूल के बिना शब्द अक्षरों का एक सरल समूह बन जाता है जिसका कोई अर्थ नहीं होता है। अपवाद है एकमात्र शब्दरूसी में, जिसकी कोई जड़ नहीं है। यह "टेक आउट" शब्द है, जिसमें उपसर्ग आप-, प्रत्यय -वेल और विभक्ति -टी शामिल है। इस शब्द में जड़ की अनुपस्थिति को इसकी व्युत्पत्ति का अध्ययन करके समझाया जा सकता है। तथ्य यह है कि भाषा के विकास की प्रक्रिया में दिया गया शब्दइसे बदल दिया उपस्थिति, और मूल संस्करण "टेक आउट" के बजाय, जहां रूट -एन- को प्रतिष्ठित किया जा सकता था, "टेक आउट" फॉर्म उपयोग में आया, जहां रूट को केवल व्युत्पत्ति संबंधी रूप से अलग किया जा सकता है।

सभी जड़ों को मुक्त और जुड़े में विभाजित किया जा सकता है। पूर्व का उपयोग या तो स्वतंत्र रूप से या विभिन्न विभक्तियों (फायरफाइटर, अंडरवाटर, रन, आदि) के संयोजन में किया जा सकता है। उत्तरार्द्ध का उपयोग केवल विभक्तियों (ना-डी-एट, ओ-डी-एट, रज़-डी-एट, आदि) के संयोजन में किया जाता है।

किसी शब्द के मूल को संबंधित शब्दों के सामान्य भाग के रूप में भी परिभाषित किया जाता है। लेकिन यहां भी, आपको यह याद रखना होगा कि ऐसी बहुत सारी जड़ें हैं जो केवल एक शब्द में हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, "अफसोस", "कॉकटू", कुछ भौगोलिक नाम।

सजातीय

जिन शब्दों का भाग (मूल) समान होता है तथा अर्थ में समान होते हैं, सजातीय कहलाते हैं। उदाहरण के लिए: बारिश, बरसाती, रेनकोट; गोली मारो, गोली मारो, मार गिराओ।

किसी शब्द में मूल को सही ढंग से पहचानने के लिए, आपको समान मूल वाले अधिक से अधिक शब्दों का चयन करना होगा। शब्द का वह भाग जो एक ही मूल वाले सभी शब्दों में दोहराया जाता है, मूल होगा। हालाँकि, ऐसी बारीकियाँ हैं जिन्हें समान मूल वाले शब्दों का चयन करते समय ध्यान में रखा जाना चाहिए।

सबसे पहले, आपको एक ही मूल के शब्दों को संबंधित शब्दों के साथ भ्रमित नहीं करना चाहिए। सभी सजातीय आपस में जुड़े हुए हैं, यानी उनके अर्थ में कुछ न कुछ समानता है, लेकिन सभी सजातीय सजातीय नहीं हैं। यह इस तथ्य के कारण है कि कुछ शब्दों ने अपने विकास की प्रक्रिया में अपना मूल अर्थ खो दिया है। उदाहरण के लिए, शब्द "काला" और "स्याही" संबंधित हैं, लेकिन उनकी जड़ें अलग-अलग हैं, हालांकि इन शब्दों के अर्थों के बीच व्युत्पत्ति संबंधी संबंध का पता लगाया जा सकता है। में आधुनिक भाषा"लिखने वाली छड़ी में चिपकाएँ" के अर्थ में "स्याही" शब्द ने "काले" के अर्थ से अपना संबंध खो दिया है, क्योंकि स्याही किसी भी रंग की हो सकती है। इसलिए, संबंधित शब्दों में मूल की सही पहचान करने के लिए, उनकी व्युत्पत्ति का पता लगाना अक्सर आवश्यक होता है।

दूसरे, समान मूल वाले शब्दों का चयन करते समय आप एक शब्द के रूपों का उपयोग नहीं कर सकते। इस प्रकार, "कुक", "कुकिंग", "कुकिंग" शब्द एक ही मूल हैं। और "उबला हुआ", "उबला हुआ", "उबला हुआ" शब्द एक ही शब्द के रूप हैं।

तीसरा, हमें यह नहीं भूलना चाहिए कि समानार्थी जड़ें भी होती हैं। ये जड़ें सुनने और दिखने में एक जैसी हैं, लेकिन हैं विभिन्न अर्थ. उदाहरण के लिए, जड़ें "चलाना" और "जलीय" शब्दों में हैं।

संयुक्त शब्द

किसी शब्द में एक जड़ की पहचान करना मुश्किल हो सकता है, भले ही उसमें कई जड़ें हों। ऐसे शब्दों को यौगिक शब्द कहते हैं। इनका निर्माण दो या तीन शब्दों को जोड़कर और उनके अर्थों को मिलाकर किया जाता है। किसी जटिल शब्द में जड़ों की सही पहचान करने के लिए, आपको उसका अर्थ सही ढंग से निर्धारित करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, एक पैदल यात्री (चलता है), एक इस्पात श्रमिक (स्टील डालता है), एक कंक्रीट मिक्सर (कंक्रीट मिलाता है)। आमतौर पर, शब्दों को जोड़कर बनाने के लिए, जोड़ने वाले स्वर -ओ- (गैस-ओ-तार) और -ई- (तेल-ए-तार) का उपयोग किया जाता है।

प्रत्यावर्तन के साथ जड़ें

रूसी भाषा में, ऐसी जड़ें हैं जो शब्द के रूप के आधार पर, जड़ में स्वर या व्यंजन अक्षर लिखने के लिए कई विकल्पों की अनुमति देती हैं। ऐसी जड़ों को प्रत्यावर्ती जड़ें कहा जाता है। ऐसे मामलों में, ज्ञान किसी शब्द में मूल की पहचान करने में मदद करेगा संभावित विकल्पविकल्प. तो, स्वरों में ये हैं:

ओ/ए (जला - तन);

ओ/ई/आई (जलाना - प्रज्वलित करना - जलाना);

ओ/एस (ओं) (हॉवेल - चिल्लाना, पीटा - लड़ाई);

ओ/एस/यू (सूख गया - सूख गया - सूख गया);

ओ/शून्य ध्वनि (नींद - सपने);

ई/शून्य ध्वनि (दिन-दिन)।

ऐसी जड़ों की वर्तनी तनाव, बाद के अक्षरों, स्थान और शाब्दिक अर्थ पर निर्भर हो सकती है और नियमों द्वारा निर्धारित की जाती है।

व्यंजनों के बीच, निम्नलिखित विकल्प प्रतिष्ठित हैं:

जी/एफ/जेड (दोस्त - दोस्त बनना - दोस्त);

के/एच (हाथ - मैनुअल);

डी/रेलवे (चालक - परामर्शदाता - अनुरक्षण);

एच/एसएच (शांत - शांत);

पी/पीएल (अंधा - अंधा);

एम/एमएल (फ़ीड - फीडिंग);

बी/बीएल (प्यार करना - प्यार में);

वी/वीएल (पकड़ो - पकड़ो)।

किसी शब्द के मूल में वर्तनी

वर्तनी किसी शब्द में वह स्थान है जहाँ गलती हो सकती है। ऐसे स्थान शब्द के मूल सहित किसी भी भाग में हो सकते हैं। किसी शब्द के मूल में वर्तनी की पहचान करने के बाद, आपको सबसे पहले यह निर्धारित करना होगा कि यह सत्यापन योग्य है या अप्राप्य है। अनियंत्रित वर्तनी की वर्तनी को शब्दकोश में जांचा जाना चाहिए और याद किया जाना चाहिए। परीक्षण की गई वर्तनी में ये हैं: बिना तनाव वाले युग्मित ध्वनियुक्त और ध्वनिहीन व्यंजन, अघोषित व्यंजन की वर्तनी। सही वर्तनी चुनने के लिए, आपको संदेह वाले अक्षर को मजबूत स्थिति में रखना होगा। एक स्वर के लिए यह स्थिति तनावग्रस्त होगी (फ्लाई - पायलट), और एक व्यंजन के लिए - एक स्वर या सोनोरेंट (ओक - ओक, हैलो - स्वास्थ्य, दांत - दांत) से पहले। जल्दी और के लिए सही चयनपरीक्षण शब्द, समान मूल वाले शब्दों में मूल की सटीक पहचान करना आवश्यक है, जो परीक्षण शब्द हैं।

इस प्रकार, किसी शब्द में मूल को सही ढंग से पहचानने की क्षमता सक्षम लेखन की कुंजी में से एक है। नियमों को याद रखने के अलावा, पढ़ना निस्संदेह इस कौशल को विकसित करने में मदद कर सकता है। आखिर क्या अधिक लोगजो पढ़ता है, उसकी शब्दावली उतनी ही समृद्ध होती है।

तथ्य 1.
\(\बुलेट\) आइए कुछ गैर-नकारात्मक संख्या \(a\) लें (अर्थात, \(a\geqslant 0\) )। फिर (अंकगणित) वर्गमूलसंख्या \(a\) से ऐसी गैर-ऋणात्मक संख्या \(b\) कहलाती है, जिसका वर्ग करने पर हमें संख्या \(a\) प्राप्त होती है: \[\sqrt a=b\quad \text(समान )\quad a=b^2\]परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). ये प्रतिबंध वर्गमूल के अस्तित्व के लिए एक महत्वपूर्ण शर्त हैं और इन्हें याद रखा जाना चाहिए!
याद रखें कि किसी भी संख्या का वर्ग करने पर वह गैर-नकारात्मक परिणाम देता है। यानी, \(100^2=10000\geqslant 0\) और \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\बुलेट\) \(\sqrt(25)\) किसके बराबर है? हम जानते हैं कि \(5^2=25\) और \((-5)^2=25\) । चूँकि परिभाषा के अनुसार हमें एक गैर-ऋणात्मक संख्या ज्ञात करनी चाहिए, तो \(-5\) उपयुक्त नहीं है, इसलिए, \(\sqrt(25)=5\) (क्योंकि \(25=5^2\) )।
\(\sqrt a\) का मान ज्ञात करना संख्या \(a\) का वर्गमूल निकालना कहलाता है, और संख्या \(a\) को मूलांक अभिव्यक्ति कहा जाता है।
\(\बुलेट\) परिभाषा, अभिव्यक्ति \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), आदि के आधार पर। कोई मतलब नहीं.

तथ्य 2.
त्वरित गणना के लिए वर्गों की तालिका सीखना उपयोगी होगा प्राकृतिक संख्या\(1\) से \(20\) तक : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 और \quad14^2=196\\ 5^2=25 और \quad15^2=225\\ 6^2=36 और \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 और \quad17^2=289\\ 8^2=64 और \quad18^2=324\\ 9^2=81 और \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(सरणी)\]

तथ्य 3.
आप वर्गमूलों के साथ कौन-सी संक्रियाएँ कर सकते हैं?
\(\गोली\) वर्गमूलों का योग या अंतर, योग या अंतर के वर्गमूल के बराबर नहीं है, अर्थात \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]इस प्रकार, यदि आपको गणना करने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , तो शुरुआत में आपको \(\sqrt(25)\) और \(\ का मान ढूंढना होगा sqrt(49)\ ) और फिर उन्हें मोड़ें। इस तरह, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] यदि \(\sqrt a+\sqrt b\) जोड़ने पर मान \(\sqrt a\) या \(\sqrt b\) नहीं मिल पाता है, तो ऐसी अभिव्यक्ति आगे रूपांतरित नहीं होती है और वैसी ही बनी रहती है। उदाहरण के लिए, योग \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) में हम पा सकते हैं कि \(\sqrt(49)\) \(7\) है, लेकिन \(\sqrt 2\) को इसमें परिवर्तित नहीं किया जा सकता है किसी भी तरह, इसीलिए \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). दुर्भाग्य से, इस अभिव्यक्ति को और अधिक सरल नहीं बनाया जा सकता\(\बुलेट\) वर्गमूल का गुणनफल/भागफल गुणनफल/भागफल के वर्गमूल के बराबर होता है, अर्थात \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (बशर्ते कि समानता के दोनों पक्ष सार्थक हों)
उदाहरण: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\).
\(\बुलेट\) इन गुणों का उपयोग करके, बड़ी संख्याओं का गुणनखंड करके उनका वर्गमूल निकालना सुविधाजनक है।
आइए एक उदाहरण देखें. आइए \(\sqrt(44100)\) खोजें। चूँकि \(44100:100=441\) , तो \(44100=100\cdot 441\) . विभाज्यता की कसौटी के अनुसार, संख्या \(441\) \(9\) से विभाज्य है (चूंकि इसके अंकों का योग 9 है और 9 से विभाज्य है), इसलिए, \(441:9=49\), यानी, \(441=9\ cdot 49\) . इस प्रकार हमें मिला:\[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\बुलेट\) आइए अभिव्यक्ति \(5\sqrt2\) के उदाहरण का उपयोग करके वर्गमूल चिह्न के नीचे संख्याएं कैसे दर्ज करें (अभिव्यक्ति \(5\cdot \sqrt2\) के लिए संक्षिप्त संकेतन) दिखाएं। चूँकि \(5=\sqrt(25)\) , तो \ यह भी ध्यान दें, उदाहरण के लिए,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

ऐसा क्यों है? आइए उदाहरण 1 का उपयोग करके समझाएं)। जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, हम किसी भी तरह संख्या \(\sqrt2\) को रूपांतरित नहीं कर सकते। आइए कल्पना करें कि \(\sqrt2\) कोई संख्या \(a\) है। तदनुसार, अभिव्यक्ति \(\sqrt2+3\sqrt2\) \(a+3a\) (एक संख्या \(a\) और समान संख्याओं के तीन और \(a\)) से अधिक कुछ नहीं है। और हम जानते हैं कि यह चार ऐसी संख्याओं \(a\) के बराबर है, यानी, \(4\sqrt2\) ।

तथ्य 4.
\(\बुलेट\) वे अक्सर कहते हैं "आप मूल नहीं निकाल सकते" जब आप किसी संख्या का मान ज्ञात करते समय मूल (मूल) के चिह्न \(\sqrt () \ \) से छुटकारा नहीं पा सकते हैं . उदाहरण के लिए, आप संख्या \(16\) का मूल ले सकते हैं क्योंकि \(16=4^2\) , इसलिए \(\sqrt(16)=4\) । लेकिन संख्या \(3\) का मूल निकालना, यानी \(\sqrt3\) निकालना असंभव है, क्योंकि ऐसी कोई संख्या नहीं है जिसका वर्ग करने पर \(3\) मिलेगा।
ऐसी संख्याएँ (या ऐसी संख्याओं वाले व्यंजक) अपरिमेय हैं। उदाहरण के लिए, संख्याएँ \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)वगैरह। तर्कहीन हैं.
संख्याएँ \(\pi\) (संख्या "pi", लगभग \(3.14\) के बराबर), \(e\) (इस संख्या को यूलर संख्या कहा जाता है, यह लगभग \(2.7) के बराबर है) भी अपरिमेय हैं \)) वगैरह।
\(\बुलेट\) कृपया ध्यान दें कि कोई भी संख्या या तो परिमेय होगी या अपरिमेय। और सभी परिमेय और सभी अपरिमेय संख्याएँ मिलकर एक समुच्चय बनाते हैं जिसे कहा जाता है वास्तविक संख्याओं का एक सेट.इस सेट को \(\mathbb(R)\) अक्षर से दर्शाया जाता है।
इसका मतलब यह है कि जितने भी नंबर चालू हैं इस समयहम जानते हैं कि वास्तविक संख्याएँ कहलाती हैं।

तथ्य 5.
\(\बुलेट\) एक वास्तविक संख्या \(a\) का मापांक एक गैर-ऋणात्मक संख्या है \(|a|\) , दूरी के बराबरवास्तविक रेखा पर बिंदु \(a\) से \(0\) तक। उदाहरण के लिए, \(|3|\) और \(|-3|\) 3 के बराबर हैं, क्योंकि बिंदु \(3\) और \(-3\) से \(0\) तक की दूरी है समान और \(3 \) के बराबर।
\(\बुलेट\) यदि \(a\) एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, तो \(|a|=a\) ।
उदाहरण: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) .
उदाहरण: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
वे कहते हैं कि ऋणात्मक संख्याओं के लिए मापांक ऋण को "खा जाता है", जबकि धनात्मक संख्याएँ, साथ ही संख्या \(0\) को मापांक द्वारा अपरिवर्तित छोड़ दिया जाता है।
लेकिनयह नियम केवल संख्याओं पर लागू होता है. यदि आपके मापांक चिह्न के नीचे कोई अज्ञात \(x\) (या कोई अन्य अज्ञात) है, उदाहरण के लिए, \(|x|\) जिसके बारे में हम नहीं जानते कि यह सकारात्मक है, शून्य है या नकारात्मक है, तो छुटकारा पाएं मापांक का हम नहीं कर सकते. इस स्थिति में, यह अभिव्यक्ति वही रहती है: \(|x|\) . \(\बुलेट\) निम्नलिखित सूत्र मान्य हैं: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\]\[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( बशर्ते ) a\geqslant 0\]
अक्सर निम्नलिखित गलती की जाती है: वे कहते हैं कि \(\sqrt(a^2)\) और \((\sqrt a)^2\) एक ही हैं। यह केवल तभी सत्य है यदि \(a\) एक धनात्मक संख्या या शून्य है। लेकिन यदि \(a\) एक ऋणात्मक संख्या है, तो यह गलत है। इस उदाहरण पर विचार करना ही काफी है. आइए \(a\) के स्थान पर संख्या \(-1\) लें। फिर \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , लेकिन अभिव्यक्ति \((\sqrt (-1))^2\) बिल्कुल भी मौजूद नहीं है (आखिरकार, मूल चिह्न का उपयोग करके ऋणात्मक संख्याएँ डालना असंभव है!)इसलिए, हम आपका ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करते हैं कि \(\sqrt(a^2)\) \((\sqrt a)^2\) के बराबर नहीं है! उदाहरण: 1)\(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\)<0\) ;

, क्योंकि \(-\sqrt2 \(\फैंटम(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) .
\(\bullet\) चूँकि \(\sqrt(a^2)=|a|\) , तो \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\]
(अभिव्यक्ति \(2n\) एक सम संख्या को दर्शाता है)
अर्थात् किसी संख्या का मूल किसी अंश तक निकालने पर यह अंश आधा हो जाता है।
उदाहरण:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)

2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (ध्यान दें कि यदि मॉड्यूल की आपूर्ति नहीं की गई है, तो यह पता चलता है कि संख्या का मूल \(-25\) के बराबर है ) ; लेकिन हमें याद है, कि जड़ की परिभाषा के अनुसार ऐसा नहीं हो सकता: जड़ निकालते समय, हमें हमेशा एक धनात्मक संख्या या शून्य प्राप्त करना चाहिए)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (चूंकि सम घात वाली कोई भी संख्या गैर-ऋणात्मक होती है)
तथ्य 6.<\sqrt b\) , то \(a(अभिव्यक्ति \(2n\) एक सम संख्या को दर्शाता है)
दो वर्गमूलों की तुलना कैसे करें? \(\बुलेट\) वर्गमूल के लिए यह सत्य है: यदि \(\sqrt a 1) \(\sqrt(50)\) और \(6\sqrt2\) की तुलना करें। सबसे पहले, आइए दूसरी अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
\(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\)
. इस प्रकार, चूँकि \(50<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
2) \(\sqrt(50)\) किन पूर्णांकों के बीच स्थित है? \[\begin(संरेखित) &\sqrt 2-1>0.5 \ \बड़ा| +1\quad \text((दोनों तरफ एक जोड़ें))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \बड़ा| \ ^2 \quad\text((दोनों पक्षों का वर्ग करना))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end(allined)\]हम देखते हैं कि हमने एक गलत असमानता प्राप्त की है। इसलिए, हमारी धारणा गलत थी और \(\sqrt 2-1<0,5\) .
ध्यान दें कि असमानता के दोनों पक्षों में एक निश्चित संख्या जोड़ने से उसके चिह्न पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। किसी असमानता के दोनों पक्षों को किसी धनात्मक संख्या से गुणा/विभाजित करने पर भी उसके चिह्न पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है, लेकिन ऋणात्मक संख्या से गुणा/विभाजन करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है!
आप किसी समीकरण/असमानता के दोनों पक्षों का वर्ग तभी कर सकते हैं जब दोनों पक्ष गैर-नकारात्मक हों। उदाहरण के लिए, पिछले उदाहरण की असमानता में आप असमानता \(-3) में दोनों पक्षों का वर्ग कर सकते हैं<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\बुलेट\) यह याद रखना चाहिए \[\प्रारंभ(संरेखित) &\sqrt 2\लगभग 1.4\\ &\sqrt 3\लगभग 1.7 \end(संरेखित)\]संख्याओं की तुलना करते समय इन संख्याओं का अनुमानित अर्थ जानने से आपको मदद मिलेगी!
\(\बुलेट\) किसी बड़ी संख्या से, जो वर्गों की तालिका में नहीं है, मूल निकालने के लिए (यदि इसे निकाला जा सकता है), आपको पहले यह निर्धारित करना होगा कि यह किस "सैकड़ों" के बीच स्थित है, फिर - किसके बीच " दहाई", और फिर इस संख्या का अंतिम अंक निर्धारित करें। आइए एक उदाहरण के साथ दिखाएं कि यह कैसे काम करता है।
आइए \(\sqrt(28224)\) लें। हम जानते हैं कि \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), आदि। ध्यान दें कि \(28224\) \(10\,000\) और \(40\,000\) के बीच है। इसलिए, \(\sqrt(28224)\) \(100\) और \(200\) के बीच है।
अब आइए निर्धारित करें कि हमारी संख्या किस "दहाई" के बीच स्थित है (उदाहरण के लिए, \(120\) और \(130\) के बीच)। वर्गों की तालिका से भी हम जानते हैं कि \(11^2=121\) , \(12^2=144\) आदि, तो \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . तो हम देखते हैं कि \(28224\) \(160^2\) और \(170^2\) के बीच है। इसलिए, संख्या \(\sqrt(28224)\) \(160\) और \(170\) के बीच है।
आइए अंतिम अंक निर्धारित करने का प्रयास करें। आइए याद रखें कि कौन सी एकल-अंकीय संख्याएँ, जब वर्गित की जाती हैं, तो अंत में \(4\) देती हैं? ये \(2^2\) और \(8^2\) हैं। इसलिए, \(\sqrt(28224)\) या तो 2 या 8 में समाप्त होगा। आइए इसे जांचें। आइए \(162^2\) और \(168^2\) खोजें:
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .

गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा को पर्याप्त रूप से हल करने के लिए, आपको सबसे पहले सैद्धांतिक सामग्री का अध्ययन करने की आवश्यकता है, जो आपको कई प्रमेयों, सूत्रों, एल्गोरिदम आदि से परिचित कराती है। पहली नज़र में, ऐसा लग सकता है कि यह काफी सरल है। हालाँकि, ऐसा स्रोत ढूंढना जिसमें गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा के सिद्धांत को किसी भी स्तर के प्रशिक्षण वाले छात्रों के लिए आसान और समझने योग्य तरीके से प्रस्तुत किया गया हो, वास्तव में, एक कठिन कार्य है। स्कूल की पाठ्यपुस्तकें हमेशा हाथ में नहीं रखी जा सकतीं। और गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए बुनियादी सूत्र ढूंढना इंटरनेट पर भी मुश्किल हो सकता है।

न केवल एकीकृत राज्य परीक्षा देने वालों के लिए गणित में सिद्धांत का अध्ययन करना इतना महत्वपूर्ण क्यों है?

1. क्योंकि यह आपके क्षितिज को विस्तृत करता है. गणित में सैद्धांतिक सामग्री का अध्ययन उन लोगों के लिए उपयोगी है जो अपने आसपास की दुनिया के ज्ञान से संबंधित विभिन्न प्रकार के प्रश्नों के उत्तर प्राप्त करना चाहते हैं। प्रकृति में हर चीज़ व्यवस्थित है और उसका एक स्पष्ट तर्क है। ठीक यही बात विज्ञान में प्रतिबिंबित होती है, जिसके माध्यम से दुनिया को समझना संभव है।
2. क्योंकि इससे बुद्धि का विकास होता है. गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए संदर्भ सामग्री का अध्ययन करने के साथ-साथ विभिन्न समस्याओं को हल करने से, एक व्यक्ति तार्किक रूप से सोचना और तर्क करना सीखता है, विचारों को सक्षम और स्पष्ट रूप से तैयार करना सीखता है। वह विश्लेषण करने, सामान्यीकरण करने और निष्कर्ष निकालने की क्षमता विकसित करता है।

हम आपको शैक्षिक सामग्रियों के व्यवस्थितकरण और प्रस्तुति के लिए हमारे दृष्टिकोण के सभी लाभों का व्यक्तिगत रूप से मूल्यांकन करने के लिए आमंत्रित करते हैं।