ऋणात्मक संख्याओं को गुणा और भाग करना। ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के नियम

इस लेख में हम इस प्रक्रिया को समझेंगे गुणा नकारात्मक संख्याएँ . सबसे पहले, हम ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने का नियम बनाते हैं और उसे उचित ठहराते हैं। इसके बाद, हम विशिष्ट उदाहरणों को हल करने के लिए आगे बढ़ेंगे।

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हम तुरंत इसकी घोषणा करेंगे ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने का नियम: दो ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको उनके निरपेक्ष मानों को गुणा करना होगा।

आइए इस नियम को अक्षरों का उपयोग करके लिखें: किसी भी नकारात्मक वास्तविक संख्या −a और −b के लिए (इस मामले में, संख्या a और b सकारात्मक हैं), निम्नलिखित समानता सत्य है: (−a)·(−b)=a·b .

आइए ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने का नियम सिद्ध करें, अर्थात समानता (−a)·(−b)=a·b सिद्ध करें।

लेख में संख्याओं को गुणा करने पर विभिन्न संकेतहमने समानता a·(−b)=−a·b की वैधता की पुष्टि की है, इसी तरह यह दिखाया गया है कि (−a)·b=−a·b. ये परिणाम और विपरीत संख्याओं के गुण हमें निम्नलिखित समानताएँ लिखने की अनुमति देते हैं (−a)·(−b)=−(a·(−b))=−(−(a·b))=a·b. इससे ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने का नियम सिद्ध होता है।

उपरोक्त गुणन नियम से यह स्पष्ट है कि दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल एक धनात्मक संख्या है। दरअसल, चूँकि किसी भी संख्या का मापांक धनात्मक होता है, मापांक का गुणनफल भी एक धनात्मक संख्या होता है।

इस बिंदु के निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि विचारित नियम का उपयोग वास्तविक संख्याओं को गुणा करने के लिए किया जा सकता है, भिन्नात्मक संख्याएंऔर पूर्णांक.

इसे सुलझाने का समय आ गया है दो ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के उदाहरण, हल करते समय हम पिछले पैराग्राफ में प्राप्त नियम का उपयोग करेंगे।

दो ऋणात्मक संख्याओं -3 और -5 को गुणा करें।

गुणा की जाने वाली संख्याओं का मापांक क्रमशः 3 और 5 है। इन संख्याओं का गुणनफल 15 है (यदि आवश्यक हो तो गुणा देखें)। प्राकृतिक संख्या), इसलिए मूल संख्याओं का गुणनफल 15 है।

प्रारंभिक ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने की पूरी प्रक्रिया संक्षेप में इस प्रकार लिखी गई है: (−3)·(−5)= 3·5=15.

विश्लेषित नियम का उपयोग करके ऋणात्मक परिमेय संख्याओं के गुणन को गुणन तक कम किया जा सकता है साधारण अंश, मिश्रित संख्याओं को गुणा करना या दशमलव को गुणा करना।

गुणनफल की गणना करें (−0.125)·(−6) .

ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के नियम के अनुसार, हमारे पास (−0.125)·(−6)=0.125·6 है। जो कुछ बचा है वह गणना समाप्त करना है; एक कॉलम में दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करें:

अंत में, ध्यान दें कि यदि एक या दोनों कारक अपरिमेय संख्याएँ हैं, जो मूल, लघुगणक, घात आदि के रूप में दी गई हैं, तो उनके उत्पाद को अक्सर संख्यात्मक अभिव्यक्ति के रूप में लिखा जाना चाहिए। परिणामी अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना केवल आवश्यक होने पर ही की जाती है।

किसी ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से गुणा करें।

आइए सबसे पहले गुणा की जाने वाली संख्याओं के मॉड्यूल खोजें: और (लघुगणक के गुण देखें)। फिर, गुणा करने के नियम के अनुसार, हमारे पास ऋणात्मक संख्याएँ हैं। परिणामी उत्पाद उत्तर है.

आप अनुभाग का संदर्भ लेकर विषय का अध्ययन जारी रख सकते हैं वास्तविक संख्याओं को गुणा करना.

कुछ विस्तार के साथ, वही स्पष्टीकरण उत्पाद 1-5 के लिए मान्य है, यदि हम मानते हैं कि "योग" एक एकल से है

पद इस पद के बराबर है. लेकिन गुणनफल 0 5 या (-3) 5 को इस तरह से नहीं समझाया जा सकता: शून्य या शून्य तीन पदों के योग का क्या मतलब है?

हालाँकि, आप कारकों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं

यदि हम चाहते हैं कि कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने पर उत्पाद न बदले - जैसा कि मामले में था सकारात्मक संख्या- तो इसलिए हमें यह मान लेना चाहिए

अब गुणनफल (-3) (-5) पर चलते हैं। यह किसके बराबर है: -15 या +15? दोनों विकल्पों का एक कारण है. एक ओर, एक कारक में ऋण पहले से ही उत्पाद को नकारात्मक बना देता है - और भी अधिक, यदि दोनों कारक नकारात्मक हैं तो यह नकारात्मक होना चाहिए। दूसरी ओर, तालिका में. 7 में पहले से ही दो माइनस हैं, लेकिन केवल एक प्लस है, और "निष्पक्षता में" (-3)-(-5) +15 के बराबर होना चाहिए। तो आपको किसे प्राथमिकता देनी चाहिए?

निःसंदेह, आप ऐसी बातों से भ्रमित नहीं होंगे: से स्कूल पाठ्यक्रमगणितज्ञों आपने दृढ़तापूर्वक जान लिया है कि ऋण से ऋण से धन प्राप्त होता है। लेकिन कल्पना कीजिए कि आपका छोटा भाई या बहन आपसे पूछता है: क्यों? यह क्या है - एक शिक्षक की सनक, उच्च अधिकारियों का एक आदेश, या एक प्रमेय जिसे सिद्ध किया जा सकता है?

आमतौर पर ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के नियम को तालिका में प्रस्तुत उदाहरणों के साथ समझाया जाता है। 8.

इसे अलग ढंग से समझाया जा सकता है. आइए संख्याओं को एक पंक्ति में लिखें

ऋणात्मक संख्याओं का योग धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं के योग का विश्लेषण संख्या रेखा का उपयोग करके किया जा सकता है। समन्वय रेखा का उपयोग करके संख्याओं को जोड़ना छोटे मॉड्यूलो संख्याओं को जोड़ना सुविधाजनक है [...]
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आइए अब उन्हीं संख्याओं को 3 से गुणा करके लिखें:

यह देखना आसान है कि प्रत्येक संख्या पिछली संख्या से 3 अधिक है। अब आइए उन्हीं संख्याओं को उल्टे क्रम में लिखें (उदाहरण के लिए, 5 और 15 से शुरू करें):

इसके अलावा, संख्या -5 के नीचे एक संख्या -15 थी, इसलिए 3 (-5) = -15: प्लस से माइनस एक माइनस देता है।

अब संख्याओं को 1,2,3,4,5 से गुणा करके वही प्रक्रिया दोहराते हैं। -3 से (हम पहले से ही जानते हैं कि प्लस से माइनस माइनस देता है):

निचली पंक्ति में प्रत्येक अगली संख्या पिछली पंक्ति से 3 कम है। संख्याओं को उल्टे क्रम में लिखें

संख्या -5 के अंतर्गत 15 हैं, अतः (-3) (-5) = 15.

शायद ये स्पष्टीकरण आपको संतुष्ट कर देंगे छोटा भाईया बहन. लेकिन आपको यह पूछने का अधिकार है कि चीजें वास्तव में कैसी हैं और क्या यह साबित करना संभव है कि (-3) (-5) = 15?

इसका उत्तर यह है कि यदि हम चाहते हैं कि जोड़, घटाव और गुणन के सामान्य गुण नकारात्मक संख्याओं सहित सभी संख्याओं के लिए सही रहें तो हम साबित कर सकते हैं कि (-3) (-5) 15 के बराबर होना चाहिए। इस प्रमाण की रूपरेखा इस प्रकार है।

आइए पहले सिद्ध करें कि 3 (-5) = -15. -15 क्या है? यह 15 की विपरीत संख्या है, अर्थात वह संख्या जिसे 15 में जोड़ने पर 0 आता है। इसलिए हमें यह सिद्ध करना होगा

(कोष्ठक से 3 निकालकर, हमने वितरण के नियम ab + ac = a(b + c) का उपयोग किया - आखिरकार, हम मानते हैं कि यह नकारात्मक सहित सभी संख्याओं के लिए सत्य है।) तो, (सावधानीपूर्वक) पाठक हमसे पूछेंगे कि ऐसा क्यों है। हम ईमानदारी से स्वीकार करते हैं: हम इस तथ्य के प्रमाण को छोड़ देते हैं - साथ ही शून्य क्या है इसकी सामान्य चर्चा को भी छोड़ देते हैं।)

आइए अब सिद्ध करें कि (-3) (-5) = 15. ऐसा करने के लिए, हम लिखते हैं

और समानता के दोनों पक्षों को -5 से गुणा करें:

आइए बाईं ओर के कोष्ठक खोलें:

यानी (-3) (-5) + (-15) = 0. इस प्रकार, संख्या संख्या -15 के विपरीत है, यानी 15 के बराबर है। (इस तर्क में भी अंतराल हैं: इसे साबित करना आवश्यक होगा) कि केवल एक ही संख्या है, -15 के विपरीत।)

ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के नियम

क्या हम गुणन को सही ढंग से समझते हैं?

“ए और बी पाइप पर बैठे थे। A गिर गया, B गायब हो गया, पाइप पर क्या बचा है?
“तुम्हारा पत्र मेरे पास बाकी है।”

(फिल्म "यूथ्स इन द यूनिवर्स" से)

किसी संख्या को शून्य से गुणा करने पर परिणाम शून्य क्यों होता है?

दो ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने पर एक धनात्मक संख्या क्यों उत्पन्न होती है?

शिक्षक इन दो प्रश्नों के उत्तर देने के लिए हर संभव प्रयास करते हैं।

परन्तु यह स्वीकार करने का साहस किसी में नहीं है कि गुणन के निरूपण में तीन अर्थ संबंधी त्रुटियाँ हैं!

क्या बुनियादी अंकगणित में गलतियाँ होना संभव है? आख़िरकार, गणित स्वयं को एक सटीक विज्ञान के रूप में स्थापित करता है।

स्कूल की गणित की पाठ्यपुस्तकें इन सवालों के जवाब नहीं देती हैं, स्पष्टीकरणों को नियमों के एक सेट से बदल देती हैं जिन्हें याद रखने की आवश्यकता होती है। शायद मिडिल स्कूल में इस विषय को समझाना कठिन माना जाता है? आइए इन मुद्दों को समझने की कोशिश करें.

7 गुणज है. 3 गुणक है. 21-कार्य.

आधिकारिक शब्दों के अनुसार:

किसी संख्या को किसी अन्य संख्या से गुणा करने का अर्थ है गुणक द्वारा निर्धारित संख्या में गुणक जोड़ना।

स्वीकृत सूत्रीकरण के अनुसार, कारक 3 हमें बताता है कि समानता के दाईं ओर तीन सात होने चाहिए।

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

लेकिन गुणन का यह सूत्रीकरण ऊपर पूछे गए प्रश्नों की व्याख्या नहीं कर सकता।

आइए गुणन के शब्दों को ठीक करें

आमतौर पर गणित में मतलब तो बहुत कुछ होता है, लेकिन उसके बारे में बात नहीं की जाती या उसे लिखा नहीं जाता।

यह समीकरण के दाईं ओर पहले सात से पहले प्लस चिह्न को संदर्भित करता है। आइए इस प्लस को लिखें।

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

लेकिन पहले सात को किसमें जोड़ा गया है? बेशक, इसका मतलब शून्य है। आइए शून्य लिखें.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

यदि हम तीन घटा सात से गुणा करें तो क्या होगा?

— 7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = — 21

हम गुणक -7 का जोड़ लिखते हैं, लेकिन वास्तव में हम शून्य से कई बार घटा रहे हैं। आइए कोष्ठक खोलें।

— 7 * 3 = 0 — 7 — 7 — 7 = — 21

अब हम गुणन का अधिक सटीक सूत्रीकरण दे सकते हैं।

गुणन गुणक (-7) में जितनी बार गुणक इंगित करता है उतनी बार जोड़ने (या शून्य से घटाने) की प्रक्रिया है। गुणक (3) और उसका चिह्न (+ या -) उन संक्रियाओं की संख्या दर्शाते हैं जिन्हें शून्य में जोड़ा या घटाया जाता है।

गुणन के इस स्पष्ट और थोड़े संशोधित सूत्रीकरण का उपयोग करते हुए, गुणक ऋणात्मक होने पर गुणन के लिए "चिह्न नियम" आसानी से समझाए जाते हैं।

7 * (-3) - शून्य के बाद तीन ऋण चिह्न होने चाहिए = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21

- 7 * (-3) - पुनः शून्य = के बाद तीन ऋण चिह्न होने चाहिए

0 — (-7) — (-7) — (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

शून्य से गुणा करें

7 * 0 = 0 + . कोई अतिरिक्त-से-शून्य संचालन नहीं हैं।

यदि गुणन शून्य में जोड़ा गया है, और गुणक शून्य में जोड़ने की संक्रियाओं की संख्या दिखाता है, तो गुणक शून्य दर्शाता है कि शून्य में कुछ भी नहीं जोड़ा गया है। इसलिए यह शून्य रहता है.

इसलिए, गुणन के मौजूदा सूत्रीकरण में, हमें तीन अर्थ संबंधी त्रुटियाँ मिलीं जो दो "चिह्न नियमों" (जब गुणक ऋणात्मक है) और किसी संख्या को शून्य से गुणा करने की समझ को अवरुद्ध करती हैं।

आपको गुणक जोड़ने की आवश्यकता नहीं है, बल्कि इसे शून्य में जोड़ने की आवश्यकता है।
गुणा करना न केवल शून्य को जोड़ना है, बल्कि शून्य से घटाना भी है।
गुणन को पदों (या घटाए गए) में विघटित करते समय गुणक और उसका चिह्न पदों की संख्या नहीं, बल्कि प्लस या माइनस चिह्नों की संख्या दिखाता है।

सूत्रीकरण को कुछ हद तक स्पष्ट करने के बाद, हम गुणन के क्रमविनिमेय नियम की सहायता के बिना, वितरण नियम के बिना, संख्या रेखा के साथ सादृश्य को शामिल किए बिना, समीकरणों के बिना किसी संख्या को शून्य से गुणा करने के संकेतों के नियमों को समझाने में सक्षम हुए। , व्युत्क्रम से प्रमाण के बिना, आदि।

गुणन के परिष्कृत निरूपण के संकेत नियम अत्यंत सरलता से निकाले गये हैं।

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 — 7 — 7 — 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 — (+7) — (+7) — (+7) = 0 — 7 — 7 — 7 = -21 (+ — = -)

7 * (-3) = 0 — (-7) — (-7) — (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- — = +)

गुणक और उसका चिह्न (+3 या -3) समीकरण के दाईं ओर "+" या "-" चिह्नों की संख्या दर्शाते हैं।

गुणन का संशोधित सूत्रीकरण किसी संख्या को घात तक बढ़ाने की क्रिया से मेल खाता है।

2^0 = 1 (एक को किसी भी चीज़ से गुणा या विभाजित नहीं किया जाता है, इसलिए वह एक ही रहता है)

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

गणितज्ञ इस बात से सहमत हैं कि किसी संख्या को सकारात्मक घात तक बढ़ाने का अर्थ है उसे बार-बार गुणा करना। और एक संख्या बढ़ा रहा हूँ नकारात्मक डिग्रीएक इकाई का एकाधिक विभाजन है।

गुणन की क्रिया घातांक की क्रिया के समान होनी चाहिए।

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*0 = 0 (शून्य में कुछ भी नहीं जोड़ा जाता है और शून्य से कुछ भी नहीं घटाया जाता है)

2*-3 = 0 — 2 — 2 — 2 = -6

गुणन का संशोधित सूत्रीकरण गणित में कुछ भी नहीं बदलता है, लेकिन गुणन संक्रिया का मूल अर्थ लौटाता है, "चिह्नों के नियम" की व्याख्या करता है, किसी संख्या को शून्य से गुणा करता है, और गुणन को घातांक के साथ समेटता है।

आइए जाँच करें कि गुणन का हमारा सूत्रीकरण विभाजन संक्रिया के अनुरूप है या नहीं।

15: 5 = 3 (गुणन का व्युत्क्रम 5 * 3 = 15)

भागफल (3) गुणन के दौरान शून्य (+3) को जोड़ने की संक्रियाओं की संख्या से मेल खाता है।

संख्या 15 को 5 से विभाजित करने का अर्थ है कि आपको 15 में से 5 को कितनी बार घटाने की आवश्यकता है। यह क्रमिक घटाव द्वारा किया जाता है जब तक कि शून्य परिणाम प्राप्त न हो जाए।

विभाजन का परिणाम जानने के लिए, आपको ऋण चिह्नों की संख्या गिननी होगी। उनमें से तीन हैं.

15: 5 = शून्य प्राप्त करने के लिए 15 में से पाँच घटाने की 3 संक्रियाएँ।

15 - 5 - 5 - 5 = 0 (भाग 15:5)

0 + 5 + 5 + 5 = 15 (5*3 का गुणा)

शेषफल सहित विभाजन.

17 — 5 — 5 — 5 — 2 = 0

17:5 = 3 और 2 शेषफल

यदि शेषफल से विभाजन है तो उपांग से गुणा क्यों नहीं?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

आइए कैलकुलेटर पर शब्दों के अंतर को देखें

गुणन का मौजूदा सूत्रीकरण (तीन पद)।

10 + 10 + 10 = 30

सही गुणन सूत्रीकरण (शून्य संक्रियाओं में तीन जोड़)।

0 + 10 = = = 30

(तीन बार "बराबर" दबाएँ।)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

3 का गुणक इंगित करता है कि गुणक 10 को तीन बार शून्य में जोड़ा जाना चाहिए।

शब्द (-10) शून्य को तीन बार जोड़कर (-10) * (-3) को गुणा करने का प्रयास करें!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 — 10 — 10 = -30 ?

तीन के लिए ऋण चिह्न का क्या मतलब है? संभावित हो?

(-10) * (-3) = (-10) — (-10) — (-10) = — 10 + 10 + 10 = 10?

ऑप्स. उत्पाद को पदों (-10) के योग (या अंतर) में विघटित करना संभव नहीं है।

संशोधित शब्दांकन इसे सही ढंग से करता है।

0 — (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 — (-10) — (-10) — (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

गुणक (-3) इंगित करता है कि गुणक (-10) को शून्य से तीन बार घटाया जाना चाहिए।

जोड़ और घटाव के लिए साइन नियम

ऊपर हमने गुणन के शब्दों के अर्थ को बदलकर गुणन के लिए चिह्नों के नियम प्राप्त करने का एक सरल तरीका दिखाया है।

लेकिन निष्कर्ष के लिए हमने जोड़ और घटाव के संकेतों के नियमों का उपयोग किया। वे गुणन के लिए लगभग समान हैं। आइए जोड़ और घटाव के संकेतों के नियमों का एक दृश्य बनाएं, ताकि पहली कक्षा का छात्र भी इसे समझ सके।

"माइनस", "नेगेटिव" क्या है?

प्रकृति में कुछ भी नकारात्मक नहीं है. नहीं नकारात्मक तापमान, कोई नकारात्मक दिशा नहीं, कोई नकारात्मक द्रव्यमान नहीं, कोई नकारात्मक आवेश नहीं। यहां तक कि साइन भी अपनी प्रकृति से केवल सकारात्मक हो सकता है।

लेकिन गणितज्ञ ऋणात्मक संख्याएँ लेकर आये। किस लिए? "माइनस" का क्या मतलब है?

माइनस का मतलब है उल्टी दिशा. बाएँ दांए। ऊपर से नीचे। दक्षिणावर्त - वामावर्त। आगे - पीछे। ठंडक गरमी। हल्का भारी। तेज लेकिन धीमी गति से चलना। यदि आप इसके बारे में सोचें, तो आप कई अन्य उदाहरण दे सकते हैं जहां इसका उपयोग करना सुविधाजनक है नकारात्मक मानमात्रा

जिस दुनिया को हम जानते हैं, उसमें अनंत शून्य से शुरू होता है और प्लस अनंत तक जाता है।

"माइनस इनफिनिटी" में असली दुनियामौजूद नहीं होना। यह "माइनस" की अवधारणा के समान ही गणितीय परंपरा है।

तो, "माइनस" विपरीत दिशा को दर्शाता है: गति, घूर्णन, प्रक्रिया, गुणा, जोड़। आइए विश्लेषण करें अलग-अलग दिशाएँधनात्मक और ऋणात्मक (दूसरी दिशा में वृद्धि) संख्याओं को जोड़ते और घटाते समय।

जोड़ और घटाव के संकेतों के नियमों को समझने में कठिनाई इस तथ्य के कारण होती है कि इन नियमों की व्याख्या आमतौर पर संख्या रेखा पर की जाती है। संख्या रेखा पर तीन अलग-अलग घटकों को मिलाया जाता है, जिससे नियम प्राप्त होते हैं। और भ्रम के कारण, विभिन्न अवधारणाओं को एक ढेर में समेटने के कारण, समझने में कठिनाइयाँ पैदा होती हैं।

नियमों को समझने के लिए, हमें विभाजित करने की आवश्यकता है:

पहला पद और योग (वे क्षैतिज अक्ष पर होंगे);
दूसरा पद (यह ऊर्ध्वाधर अक्ष पर होगा);
जोड़ और घटाव संचालन की दिशा.

यह विभाजन चित्र में स्पष्ट रूप से दिखाया गया है। मानसिक रूप से कल्पना करें कि ऊर्ध्वाधर अक्ष क्षैतिज अक्ष पर आरोपित होकर घूम सकता है।

जोड़ संचालन हमेशा ऊर्ध्वाधर अक्ष को दक्षिणावर्त (प्लस चिह्न) घुमाकर किया जाता है। घटाव ऑपरेशन हमेशा ऊर्ध्वाधर अक्ष को वामावर्त (ऋण चिह्न) घुमाकर किया जाता है।

उदाहरण। निचले दाएं कोने में आरेख.

यह देखा जा सकता है कि दो आसन्न ऋण चिह्न (घटाव संक्रिया का चिह्न और संख्या 3 का चिह्न) के अलग-अलग अर्थ हैं। पहला ऋण घटाव की दिशा दर्शाता है। दूसरा ऋण ऊर्ध्वाधर अक्ष पर संख्या का चिह्न है।

क्षैतिज अक्ष पर पहला पद (-2) ज्ञात कीजिए। ऊर्ध्वाधर अक्ष पर दूसरा पद (-3) ज्ञात कीजिए। ऊर्ध्वाधर अक्ष को मानसिक रूप से वामावर्त घुमाएं जब तक कि (-3) क्षैतिज अक्ष पर संख्या (+1) के साथ संरेखित न हो जाए। संख्या (+1) योग का परिणाम है।

ऊपरी दाएं कोने में आरेख में जोड़ संचालन के समान परिणाम देता है।

इसलिए, दो आसन्न ऋण चिह्नों को एक धन चिह्न से बदला जा सकता है।

हम सभी अंकगणित के बने-बनाए नियमों का उनके अर्थ के बारे में सोचे बिना उपयोग करने के आदी हैं। इसलिए, हम अक्सर यह भी ध्यान नहीं देते हैं कि जोड़ (घटाव) के संकेतों के नियम गुणा (भाग) के संकेतों के नियमों से कैसे भिन्न हैं। क्या वे एक जैसे लगते हैं? लगभग। निम्नलिखित चित्रण में थोड़ा अंतर देखा जा सकता है।

अब हमारे पास गुणन के चिह्न नियम प्राप्त करने के लिए आवश्यक सभी चीजें मौजूद हैं। आउटपुट अनुक्रम इस प्रकार है.

हम स्पष्ट रूप से दिखाते हैं कि जोड़ और घटाव के संकेतों के नियम कैसे प्राप्त किए जाते हैं।
हम गुणन के मौजूदा सूत्रीकरण में अर्थ संबंधी परिवर्तन करते हैं।
गुणन के संशोधित सूत्रीकरण तथा योग के लिए चिह्नों के नियमों के आधार पर हम गुणन के लिए चिह्नों के नियम प्राप्त करते हैं।

नीचे लिखा है जोड़ और घटाव के लिए साइन नियम,विज़ुअलाइज़ेशन से प्राप्त किया गया। और लाल रंग में, तुलना के लिए, गणित की पाठ्यपुस्तक से संकेतों के समान नियम। कोष्ठक में ग्रे प्लस एक अदृश्य प्लस है, जो किसी सकारात्मक संख्या के लिए नहीं लिखा गया है।

पदों के बीच हमेशा दो चिह्न होते हैं: संचालन चिह्न और संख्या चिह्न (हम प्लस नहीं लिखते हैं, लेकिन हमारा मतलब इससे होता है)। चिह्नों के नियम जोड़ (घटाव) के परिणाम को बदले बिना वर्णों के एक जोड़े को दूसरे जोड़े से बदलने का प्रावधान करते हैं। वास्तव में, केवल दो नियम हैं.

नियम 1 और 3 (विज़ुअलाइज़ेशन के लिए) - डुप्लिकेट नियम 4 और 2... स्कूल व्याख्या में नियम 1 और 3 दृश्य योजना से मेल नहीं खाते हैं, इसलिए, वे जोड़ने के लिए संकेतों के नियमों पर लागू नहीं होते हैं। ये कुछ अन्य नियम हैं.

स्कूल नियम 1. (लाल) आपको एक पंक्ति में दो प्लस को एक प्लस से बदलने की अनुमति देता है। यह नियम जोड़ और घटाव के चिन्हों के प्रतिस्थापन पर लागू नहीं होता है।

स्कूल नियम 3. (लाल) आपको घटाव संक्रिया के बाद किसी धनात्मक संख्या के लिए धन चिह्न नहीं लिखने की अनुमति देता है। यह नियम जोड़ और घटाव के चिन्हों के प्रतिस्थापन पर लागू नहीं होता है।

जोड़ के लिए संकेतों के नियमों का अर्थ जोड़ के परिणाम को बदले बिना वर्णों के एक जोड़े को दूसरे वर्णों के जोड़े से बदलना है।

स्कूल पद्धतिविदों ने दो नियमों को एक नियम में मिलाया:

- सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं को जोड़ते और घटाते समय संकेतों के दो नियम (चिह्नों की एक जोड़ी को संकेतों की दूसरी जोड़ी के साथ बदलना);

- दो नियम जिनके अनुसार आप किसी धनात्मक संख्या के लिए धन चिह्न नहीं लिख सकते।

दो अलग नियम, एक में मिश्रित, गुणन में संकेतों के नियमों के समान हैं, जहां दो संकेतों का परिणाम तीसरा होता है। वे बिल्कुल एक जैसे दिखते हैं.

बड़ी उलझन! बेहतर ढंग से सुलझाने के लिए फिर से वही बात। आइए हम ऑपरेशन चिह्नों को संख्या चिह्नों से अलग करने के लिए उन्हें लाल रंग से हाइलाइट करें।

1. जोड़ और घटाव. चिह्नों के दो नियम जिनके अनुसार पदों के बीच चिह्नों के जोड़े आपस में बदले जाते हैं। ऑपरेशन चिन्ह और संख्या चिन्ह.

2. दो नियम जिनके अनुसार किसी धनात्मक संख्या के लिए धन चिह्न न लिखने की अनुमति है। प्रवेश फॉर्म के ये हैं नियम जोड़ने पर लागू नहीं होता. धनात्मक संख्या के लिए केवल संक्रिया का चिन्ह लिखा जाता है।

3. गुणन के लिए चिन्हों के चार नियम। जब कारकों के दो लक्षण उत्पाद के तीसरे लक्षण में परिणत होते हैं। गुणन चिह्न नियमों में केवल संख्या चिह्न होते हैं।

अब जब हमने फॉर्म नियमों को अलग कर दिया है, तो यह स्पष्ट होना चाहिए कि जोड़ और घटाव के लिए संकेत नियम गुणन के लिए संकेत नियमों के समान नहीं हैं।

"ऋणात्मक संख्याओं और संख्याओं को विभिन्न चिन्हों से गुणा करने का नियम।" 6 ठी श्रेणी

पाठ के लिए प्रस्तुति

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पाठ मकसद।

विषय:

ऋणात्मक संख्याओं और विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को गुणा करने का नियम बनाएं,
छात्रों को सिखाएं कि इस नियम को कैसे लागू किया जाए।

मेटाविषय:

प्रस्तावित एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करने की क्षमता विकसित करें, अपने कार्यों के लिए एक योजना बनाएं,
आत्म-नियंत्रण कौशल विकसित करें।

निजी:

संचार कौशल विकसित करें,
रूप संज्ञानात्मक रुचिछात्र.

उपकरण:कंप्यूटर, स्क्रीन, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, पावरप्वाइंट प्रस्तुति, हैंडआउट: रिकॉर्डिंग नियमों, परीक्षणों के लिए तालिका।

(एन.वाई.ए. विलेनकिन द्वारा पाठ्यपुस्तक "गणित। 6वीं कक्षा", एम: "मेनेमोसिने", 2013।)

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण।

पाठ के विषय को संप्रेषित करना और छात्रों द्वारा विषय को नोटबुक में रिकॉर्ड करना।

द्वितीय. प्रेरणा।

स्लाइड संख्या 2। (पाठ लक्ष्य। पाठ योजना)।

आज हम एक महत्वपूर्ण अंकगणित गुण - गुणन का अध्ययन जारी रखेंगे।

आप पहले से ही जानते हैं कि प्राकृतिक संख्याओं को कैसे गुणा किया जाता है - मौखिक और स्तंभात्मक रूप से,

दशमलव और साधारण भिन्नों को गुणा करना सीखा। आज आपको ऋणात्मक संख्याओं तथा विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं के लिए गुणन नियम बनाना होगा। और न केवल इसे तैयार करें, बल्कि इसे लागू करना भी सीखें।

तृतीय. ज्ञान को अद्यतन करना।

समीकरण हल करें: a) x: 1.8 = 0.15; बी) वाई: = . (ब्लैकबोर्ड पर छात्र)

निष्कर्ष: ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए आपको विभिन्न संख्याओं को गुणा करने में सक्षम होना चाहिए।

2) घर की जाँच स्वतंत्र काम. दशमलव, भिन्न और मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के नियमों की समीक्षा करें। (स्लाइड संख्या 4 और संख्या 5)।

चतुर्थ. नियम का निरूपण.

कार्य 1 (स्लाइड संख्या 6) पर विचार करें।

कार्य 2 (स्लाइड संख्या 7) पर विचार करें।

समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में, हमें विभिन्न चिह्नों और ऋणात्मक संख्याओं वाली संख्याओं को गुणा करना पड़ा। आइए इस गुणा और इसके परिणामों पर करीब से नज़र डालें।

विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को गुणा करने पर हमें एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है।

आइए एक और उदाहरण देखें. गुणन को समान पदों के योग से प्रतिस्थापित करके गुणनफल (-2) * 3 ज्ञात कीजिए। इसी प्रकार, गुणनफल 3 * (-2) ज्ञात कीजिए। (जांचें - स्लाइड संख्या 8)।

प्रशन:

1) संख्याओं को विभिन्न चिन्हों से गुणा करने पर परिणाम का चिन्ह क्या होता है?

2) परिणाम मॉड्यूल कैसे प्राप्त किया जाता है? हम विभिन्न चिह्नों से संख्याओं को गुणा करने का एक नियम बनाते हैं और नियम को तालिका के बाएँ कॉलम में लिखते हैं। (स्लाइड संख्या 9 और परिशिष्ट 1)।

ऋणात्मक संख्याओं तथा संख्याओं को विभिन्न चिन्हों से गुणा करने का नियम।

आइए दूसरी समस्या पर लौटते हैं, जिसमें हमने दो ऋणात्मक संख्याओं को गुणा किया था। ऐसे गुणन को दूसरे तरीके से समझाना काफी मुश्किल है।

आइए उस स्पष्टीकरण का उपयोग करें जो 18वीं शताब्दी में महान रूसी वैज्ञानिक (स्विट्जरलैंड में पैदा हुए), गणितज्ञ और मैकेनिक लियोनहार्ड यूलर द्वारा दिया गया था। (लियोनार्ड यूलर न केवल पीछे रह गए वैज्ञानिक कार्य, लेकिन अकादमिक व्यायामशाला के छात्रों के लिए गणित पर कई पाठ्यपुस्तकें भी लिखीं)।

तो यूलर ने परिणाम को मोटे तौर पर इस प्रकार समझाया। (स्लाइड संख्या 10)।

यह स्पष्ट है कि -2 · 3 = - 6. इसलिए, गुणनफल (-2) · (-3) -6 के बराबर नहीं हो सकता। हालाँकि, यह किसी तरह संख्या 6 से संबंधित होना चाहिए। एक संभावना बनी हुई है: (-2) · (-3) = 6।

प्रशन:

1) उत्पाद का चिन्ह क्या है?

2) उत्पाद मापांक कैसे प्राप्त किया गया?

हम ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने का नियम बनाते हैं और तालिका के दाहिने कॉलम को भरते हैं। (स्लाइड संख्या 11)।

गुणा करते समय संकेतों के नियम को याद रखना आसान बनाने के लिए, आप पद्य में इसके सूत्रीकरण का उपयोग कर सकते हैं। (स्लाइड संख्या 12)।

प्लस माइनस से, गुणा करके,
हमने बिना जम्हाई लिए माइनस लगा दिया।
माइनस को माइनस से गुणा करें
हम आपको प्रत्युत्तर में एक प्लस देंगे!

वी. कौशल का गठन.

आइए जानें कि गणना के लिए इस नियम को कैसे लागू किया जाए। आज के पाठ में हम केवल पूर्ण संख्याओं और दशमलव भिन्नों के साथ गणना करेंगे।

1) एक कार्य योजना बनाना।

नियम लागू करने की एक योजना तैयार की गई है। बोर्ड पर नोट्स बनाए जाते हैं. स्लाइड संख्या 13 पर एक अनुमानित आरेख।

2) योजना के अनुसार कार्य करना।

हम पाठ्यपुस्तक संख्या 1121 (बी, सी, आई, जे, पी, पी) से हल करते हैं। हम तैयार किए गए आरेख के अनुसार समाधान करते हैं। प्रत्येक उदाहरण को एक छात्र द्वारा समझाया गया है। वहीं, समाधान स्लाइड नंबर 14 पर दिखाया गया है।

3) जोड़ियों में काम करें.

स्लाइड संख्या 15 पर कार्य।

छात्र विकल्पों पर काम करते हैं। सबसे पहले, विकल्प 1 का छात्र विकल्प 2 का समाधान हल करता है और समझाता है, विकल्प 2 का छात्र ध्यान से सुनता है, मदद करता है और यदि आवश्यक हो तो सुधार करता है, और फिर छात्र भूमिकाएँ बदलते हैं।

उन जोड़ियों के लिए अतिरिक्त कार्य जो पहले काम ख़त्म कर लेते हैं: क्रमांक 1125।

काम के अंत में, स्लाइड नंबर 15 (एनीमेशन का उपयोग किया जाता है) पर स्थित तैयार समाधान का उपयोग करके सत्यापन किया जाता है।

यदि कई लोग संख्या 1125 को हल करने में कामयाब रहे, तो निष्कर्ष यह निकलता है कि (?1) से गुणा करने पर संख्या का चिह्न बदल जाता है।

4) मनोवैज्ञानिक राहत.

5) स्वतंत्र कार्य.

स्वतंत्र कार्य - स्लाइड संख्या 17 पर पाठ। कार्य पूरा करने के बाद - तैयार समाधान का उपयोग करके स्व-परीक्षण (स्लाइड संख्या 17 - एनीमेशन, स्लाइड संख्या 18 पर हाइपरलिंक)।

VI. अध्ययन की गई सामग्री को आत्मसात करने के स्तर की जाँच करना। प्रतिबिंब।

छात्र परीक्षा देते हैं. कागज के उसी टुकड़े पर, तालिका भरकर कक्षा में अपने काम का मूल्यांकन करें।

"गुणन नियम" का परीक्षण करें। विकल्प 1।

ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करना: नियम, उदाहरण

इस लेख में हम ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने का नियम बनाएंगे और उसका स्पष्टीकरण देंगे। ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने की प्रक्रिया पर विस्तार से चर्चा की जाएगी। उदाहरण सभी संभावित मामले दिखाते हैं.

ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करना

ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने का नियमयह है कि दो ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के लिए, उनके मॉड्यूल को गुणा करना आवश्यक है। यह नियम इस प्रकार लिखा गया है: किसी भी नकारात्मक संख्या - ए, - बी के लिए, यह समानता सत्य मानी जाती है।

ऊपर दो ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने का नियम दिया गया है। इसके आधार पर, हम अभिव्यक्ति सिद्ध करते हैं: (— ए) · (— बी) = ए · बी। विभिन्न चिह्नों से संख्याओं को गुणा करने वाला लेख कहता है कि समानताएँ a · (- b) = - a · b मान्य हैं, साथ ही (- a) · b = - a · b भी मान्य हैं। यह विपरीत संख्याओं के गुण से अनुसरण करता है, जिसके कारण समानताएं इस प्रकार लिखी जाएंगी:

(— ए) · (— बी) = — (— ए · (— बी)) = — (— (ए · बी)) = ए · बी।

यहां आप ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के नियम का प्रमाण स्पष्ट रूप से देख सकते हैं। उदाहरणों के आधार पर, यह स्पष्ट है कि दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल एक धनात्मक संख्या है। संख्याओं के मॉड्यूल को गुणा करते समय, परिणाम हमेशा एक सकारात्मक संख्या होता है।

यह नियम वास्तविक संख्याओं, परिमेय संख्याओं और पूर्णांकों को गुणा करने के लिए लागू होता है।

ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के उदाहरण

आइए अब दो ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के उदाहरणों को विस्तार से देखें। गणना करते समय आपको ऊपर लिखे नियम का प्रयोग अवश्य करना चाहिए।

संख्याओं - 3 और - 5 को गुणा करें।

समाधान।

गुणा की जाने वाली दो संख्याओं का निरपेक्ष मान धनात्मक संख्याओं 3 और 5 के बराबर है। उनके उत्पाद का परिणाम 15 है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि दी गई संख्याओं का गुणनफल 15 है

आइए हम ऋणात्मक संख्याओं के गुणन को ही संक्षेप में लिखें:

(- 3) · (-5) = 3 · 5 = 15

उत्तर: (- 3) · (- 5) = 15.

नकारात्मक परिमेय संख्याओं को गुणा करते समय, चर्चा किए गए नियम का उपयोग करके, आप भिन्नों को गुणा करने, मिश्रित संख्याओं को गुणा करने, दशमलव को गुणा करने के लिए जुटा सकते हैं।

गुणनफल की गणना करें (- 0 , 125) · (- 6) .

ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के नियम का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6. परिणाम प्राप्त करने के लिए, आपको दशमलव अंश को स्तंभों की प्राकृतिक संख्या से गुणा करना होगा। यह इस तरह दिख रहा है:

हमने पाया कि व्यंजक (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6 = 0, 75 का रूप लेगा।

उत्तर: (− 0, 125) · (− 6) = 0, 75.

ऐसी स्थिति में जब गुणनखंड अपरिमेय संख्याएँ हों, तो उनके गुणनफल को इस रूप में लिखा जा सकता है संख्यात्मक अभिव्यक्ति. आवश्यक होने पर ही मूल्य की गणना की जाती है।

ऋणात्मक - 2 को अऋणात्मक लघुगणक 5 1 3 से गुणा करना आवश्यक है।

दिए गए नंबरों के मॉड्यूल ढूँढना:

- 2 = 2 और लॉग 5 1 3 = - लॉग 5 3 = लॉग 5 3।

ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के नियमों का पालन करने पर, हमें परिणाम मिलता है - 2 · लॉग 5 1 3 = - 2 · लॉग 5 3 = 2 · लॉग 5 3। यह अभिव्यक्ति उत्तर है.

उत्तर: — 2 · लॉग 5 1 3 = — 2 · लॉग 5 3 = 2 · लॉग 5 3।

विषय का अध्ययन जारी रखने के लिए, आपको वास्तविक संख्याओं को गुणा करने वाले अनुभाग को दोहराना होगा।

अब निपटते हैं गुणन और भाग.

मान लीजिए कि हमें +3 को -4 से गुणा करना है। इसे कैसे करना है?

आइए ऐसे ही एक मामले पर विचार करें. तीन लोग कर्ज में डूब गए और प्रत्येक पर 4 डॉलर का कर्ज था। कुल कर्ज कितना है? इसे खोजने के लिए, आपको सभी तीन ऋणों को जोड़ना होगा: 4 डॉलर + 4 डॉलर + 4 डॉलर = 12 डॉलर। हमने तय किया कि तीन संख्याओं 4 का योग 3x4 के रूप में दर्शाया जाता है। चूँकि इस मामले में हम कर्ज के बारे में बात कर रहे हैं, 4 से पहले एक "-" चिन्ह है। हम जानते हैं कि कुल ऋण $12 है, इसलिए हमारी समस्या अब 3x(-4)=-12 हो गई है।

यदि समस्या के अनुसार, चार लोगों में से प्रत्येक पर $3 का कर्ज़ है तो हमें वही परिणाम मिलेगा। दूसरे शब्दों में, (+4)x(-3)=-12. और चूँकि गुणनखंडों का क्रम मायने नहीं रखता, हमें (-4)x(+3)=-12 और (+4)x(-3)=-12 मिलता है।

आइए परिणामों को संक्षेप में प्रस्तुत करें। जब आप एक धनात्मक संख्या और एक ऋणात्मक संख्या को गुणा करते हैं, तो परिणाम हमेशा एक ऋणात्मक संख्या होगा। उत्तर का संख्यात्मक मान वही होगा जो सकारात्मक संख्याओं के मामले में होता है। गुणनफल (+4)x(+3)=+12. "-" चिह्न की उपस्थिति केवल चिह्न को प्रभावित करती है, लेकिन संख्यात्मक मान को प्रभावित नहीं करती है।

दो ऋणात्मक संख्याओं को गुणा कैसे करें?

दुर्भाग्य से, इस विषय पर एक उपयुक्त वास्तविक जीवन का उदाहरण प्रस्तुत करना बहुत कठिन है। 3 या 4 डॉलर के कर्ज की कल्पना करना आसान है, लेकिन -4 या -3 लोगों के कर्ज में डूबने की कल्पना करना बिल्कुल असंभव है।

शायद हम अलग रास्ते पर चलेंगे. गुणन में, जब किसी एक गुणनखंड का चिह्न बदलता है, तो गुणनफल का चिह्न भी बदल जाता है। यदि हम दोनों कारकों के चिह्न बदलते हैं, तो हमें दो बार बदलना होगा कार्य चिन्ह, पहले सकारात्मक से नकारात्मक की ओर, और फिर इसके विपरीत, नकारात्मक से सकारात्मक की ओर, अर्थात, उत्पाद पर एक प्रारंभिक चिह्न होगा।

इसलिए, यह काफी तार्किक है, हालांकि थोड़ा अजीब है, कि (-3) x (-4) = +12।

संकेत स्थितिगुणा करने पर यह इस प्रकार बदलता है:

धनात्मक संख्या x धनात्मक संख्या = धनात्मक संख्या;
ऋणात्मक संख्या x धनात्मक संख्या = ऋणात्मक संख्या;
धनात्मक संख्या x ऋणात्मक संख्या = ऋणात्मक संख्या;
ऋणात्मक संख्या x ऋणात्मक संख्या = धनात्मक संख्या।

दूसरे शब्दों में, समान चिन्हों वाली दो संख्याओं को गुणा करने पर हमें एक धनात्मक संख्या प्राप्त होती है. दो संख्याओं को विभिन्न चिन्हों से गुणा करने पर हमें एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है.

गुणन के विपरीत क्रिया के लिए भी यही नियम सत्य है - के लिए।

आप इसे चलाकर आसानी से सत्यापित कर सकते हैं व्युत्क्रम गुणन संक्रियाएँ. उपरोक्त प्रत्येक उदाहरण में, यदि आप भागफल को भाजक से गुणा करते हैं, तो आपको लाभांश मिलेगा और सुनिश्चित करें कि इसका चिह्न समान है, उदाहरण के लिए (-3)x(-4)=(+12)।

चूँकि सर्दियाँ आ रही हैं, यह सोचने का समय है कि अपने लोहे के घोड़े के जूते को किसमें बदला जाए ताकि बर्फ पर फिसलें नहीं और सर्दियों की सड़कों पर आत्मविश्वास महसूस करें। उदाहरण के लिए, आप वेबसाइट पर योकोहामा टायर खरीद सकते हैं: mvo.ru या कुछ अन्य, मुख्य बात यह है कि वे उच्च गुणवत्ता वाले हैं, अधिक जानकारीऔर कीमतें आप वेबसाइट Mvo.ru पर पा सकते हैं।

Yandex.RTB R-A-339285-1

ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करना

परिभाषा 1

(- ए) · (- बी) = ए · बी.

ऊपर दो ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने का नियम दिया गया है। इसके आधार पर, हम अभिव्यक्ति सिद्ध करते हैं: (- ए) · (- बी) = ए · बी। विभिन्न चिह्नों से संख्याओं को गुणा करने वाला लेख कहता है कि समानताएँ a · (- b) = - a · b मान्य हैं, जैसा कि (- a) · b = - a · b है। यह विपरीत संख्याओं के गुण से अनुसरण करता है, जिसके कारण समानताएं इस प्रकार लिखी जाएंगी:

(- ए) · (- बी) = - (- ए · (- बी)) = - (- (ए · बी)) = ए · बी।

उदाहरण 1

संख्याओं - 3 और - 5 को गुणा करें।

समाधान।

आइए हम ऋणात्मक संख्याओं के गुणन को ही संक्षेप में लिखें:

(- 3) · (- 5) = 3 · 5 = 15

उत्तर: (- 3) · (- 5) = 15.

उदाहरण 2

गुणनफल की गणना करें (- 0 , 125) · (- 6) .

समाधान।

हमने पाया कि व्यंजक (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6 = 0, 75 का रूप लेगा।

उत्तर: (− 0, 125) · (− 6) = 0, 75.

ऐसी स्थिति में जब गुणनखंड अपरिमेय संख्याएँ हों, तो उनके गुणनफल को संख्यात्मक अभिव्यक्ति के रूप में लिखा जा सकता है। आवश्यक होने पर ही मूल्य की गणना की जाती है।

उदाहरण 3

ऋणात्मक - 2 को अऋणात्मक लघुगणक 5 1 3 से गुणा करना आवश्यक है।

समाधान

दिए गए नंबरों के मॉड्यूल ढूँढना:

2 = 2 और लघुगणक 5 1 3 = - लघुगणक 5 3 = लघुगणक 5 3।

उत्तर: - 2 · लॉग 5 1 3 = - 2 · लॉग 5 3 = 2 · लॉग 5 3।

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इस लेख में हम निपटेंगे विभिन्न चिन्हों से संख्याओं को गुणा करना. यहां हम पहले धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने का नियम बनाएंगे, उसका औचित्य सिद्ध करेंगे और फिर उदाहरणों को हल करते समय इस नियम के अनुप्रयोग पर विचार करेंगे।

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विभिन्न चिन्हों से संख्याओं को गुणा करने का नियम

एक धनात्मक संख्या को एक ऋणात्मक संख्या से, साथ ही एक ऋणात्मक संख्या को एक धनात्मक संख्या से गुणा करना, इस प्रकार किया जाता है: विभिन्न चिह्नों से संख्याओं को गुणा करने का नियम: विभिन्न चिह्नों से संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको गुणा करना होगा और परिणामी उत्पाद के सामने ऋण चिह्न लगाना होगा।

चलो इसे लिख लें यह नियमपत्र रूप में. किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या a और किसी भी नकारात्मक वास्तविक संख्या −b के लिए, समानता a·(−b)=−(|a|·|b|) , और एक ऋणात्मक संख्या -a और एक धनात्मक संख्या b के लिए भी समानता (−a)·b=−(|a|·|b|) .

विभिन्न चिन्हों से संख्याओं को गुणा करने का नियम पूर्णतः सुसंगत है वास्तविक संख्याओं के साथ संक्रियाओं के गुण. दरअसल, उनके आधार पर यह दिखाना आसान है कि वास्तविक और सकारात्मक संख्याओं के लिए ए और बी फॉर्म की समानता की एक श्रृंखला है a·(−b)+a·b=a·((−b)+b)=a·0=0, जो साबित करता है कि a·(−b) और a·b विपरीत संख्याएं हैं, जो समानता a·(−b)=−(a·b) को दर्शाता है। और इससे प्रश्न में गुणन नियम की वैधता का पता चलता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विभिन्न चिह्नों से संख्याओं को गुणा करने का बताया गया नियम वास्तविक संख्याओं, परिमेय संख्याओं और पूर्णांकों दोनों के लिए मान्य है। यह इस तथ्य से पता चलता है कि तर्कसंगत और पूर्णांक संख्याओं के संचालन में वही गुण होते हैं जो उपरोक्त प्रमाण में उपयोग किए गए थे।

यह स्पष्ट है कि परिणामी नियम के अनुसार विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को गुणा करने पर धनात्मक संख्याओं का गुणन होता है।

यह केवल अलग-अलग चिह्नों से संख्याओं को गुणा करते समय विघटित गुणन नियम के अनुप्रयोग के उदाहरणों पर विचार करने के लिए ही रह गया है।

विभिन्न चिह्नों से संख्याओं को गुणा करने के उदाहरण

आइए कई समाधान देखें विभिन्न चिह्नों से संख्याओं को गुणा करने के उदाहरण. आइए कम्प्यूटेशनल जटिलता के बजाय नियम के चरणों पर ध्यान केंद्रित करने के लिए एक साधारण मामले से शुरुआत करें।

ऋणात्मक संख्या -4 को धनात्मक संख्या 5 से गुणा करें।

विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को गुणा करने के नियम के अनुसार, हमें सबसे पहले मूल गुणनखंडों के निरपेक्ष मानों को गुणा करना होगा। -4 का मापांक 4 है, और 5 का मापांक 5 है, और प्राकृतिक संख्या 4 और 5 को गुणा करने पर 20 प्राप्त होता है। अंत में, परिणामी संख्या के सामने ऋण चिह्न लगाना बाकी है, हमारे पास -20 है। इससे गुणा पूरा हो जाता है.

संक्षेप में, समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है: (−4)·5=−(4·5)=−20.

(−4)·5=−20.

विभिन्न चिह्नों से भिन्नों को गुणा करते समय, आपको साधारण भिन्नों को गुणा करने, दशमलवों और उनके संयोजनों को प्राकृतिक और मिश्रित संख्याओं से गुणा करने में सक्षम होने की आवश्यकता होती है।

विभिन्न चिन्हों 0, (2) और से संख्याओं को गुणा करें।

एक आवधिक दशमलव भिन्न को साधारण भिन्न में परिवर्तित करके, और से संक्रमण निष्पादित करके भी मिश्रित संख्याएक अनुचित अंश के लिए, मूल उत्पाद से हम फॉर्म के विभिन्न संकेतों के साथ सामान्य अंश के उत्पाद पर आएंगे। यह गुणनफल विभिन्न चिह्नों से संख्याओं को गुणा करने के नियम के बराबर है। हमारे पास कोष्ठकों में दी गई साधारण भिन्नों को गुणा करना ही शेष है .

अलग-अलग, यह अलग-अलग संकेतों के साथ संख्याओं के गुणन का उल्लेख करने योग्य है, जब एक या दोनों कारक होते हैं

अब निपटते हैं गुणन और भाग.

मान लीजिए कि हमें +3 को -4 से गुणा करना है। इसे कैसे करना है?

दो ऋणात्मक संख्याओं को गुणा कैसे करें?

इसलिए, यह काफी तार्किक है, हालांकि थोड़ा अजीब है, कि (-3) x (-4) = +12।

संकेत स्थितिगुणा करने पर यह इस प्रकार बदलता है:

धनात्मक संख्या x धनात्मक संख्या = धनात्मक संख्या;
ऋणात्मक संख्या x धनात्मक संख्या = ऋणात्मक संख्या;
धनात्मक संख्या x ऋणात्मक संख्या = ऋणात्मक संख्या;
ऋणात्मक संख्या x ऋणात्मक संख्या = धनात्मक संख्या।

गुणन के विपरीत क्रिया के लिए भी यही नियम सत्य है - के लिए।

चूँकि सर्दियाँ आ रही हैं, यह सोचने का समय है कि अपने लोहे के घोड़े के जूते को किसमें बदला जाए ताकि बर्फ पर फिसलें नहीं और सर्दियों की सड़कों पर आत्मविश्वास महसूस करें। उदाहरण के लिए, आप वेबसाइट mvo.ru या कुछ अन्य पर योकोहामा टायर खरीद सकते हैं, मुख्य बात यह है कि वे उच्च गुणवत्ता वाले हैं, आप वेबसाइट Mvo.ru पर अधिक जानकारी और कीमतें पा सकते हैं।

यह आलेख एक विस्तृत सिंहावलोकन प्रदान करता है संख्याओं को विभिन्न चिह्नों से विभाजित करना. सबसे पहले संख्याओं को विभिन्न चिह्नों से विभाजित करने का नियम दिया गया है। नीचे धनात्मक संख्याओं को ऋणात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को धनात्मक से विभाजित करने के उदाहरण दिए गए हैं।

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संख्याओं को विभिन्न चिन्हों से विभाजित करने का नियम

पूर्णांकों का विभाजन लेख में पूर्णांकों को विभिन्न चिह्नों से विभाजित करने का नियम प्राप्त हुआ। उपरोक्त लेख के सभी तर्कों को दोहराकर इसे तर्कसंगत संख्याओं और वास्तविक संख्याओं दोनों तक बढ़ाया जा सकता है।

इसलिए, संख्याओं को विभिन्न चिन्हों से विभाजित करने का नियमनिम्नलिखित सूत्रीकरण है: किसी धनात्मक संख्या को ऋणात्मक से या ऋणात्मक संख्या को धनात्मक से विभाजित करने के लिए, आपको लाभांश को भाजक के मापांक से विभाजित करना होगा, और परिणामी संख्या के सामने ऋण चिह्न लगाना होगा।

आइए इस विभाजन नियम को अक्षरों का उपयोग करके लिखें। यदि संख्या ए और बी के अलग-अलग चिह्न हैं, तो सूत्र मान्य है a:b=−|a|:|b| .

बताए गए नियम से यह स्पष्ट है कि संख्याओं को विभिन्न चिह्नों से विभाजित करने पर परिणाम एक ऋणात्मक संख्या होती है। दरअसल, चूँकि लाभांश का मापांक और भाजक का मापांक धनात्मक संख्याएँ हैं, उनका भागफल एक धनात्मक संख्या है, और ऋण चिह्न इस संख्या को ऋणात्मक बना देता है।

ध्यान दें कि माना गया नियम विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं के विभाजन को सकारात्मक संख्याओं के विभाजन तक कम कर देता है।

आप विभिन्न चिह्नों से संख्याओं को विभाजित करने के नियम का एक और सूत्रीकरण दे सकते हैं: संख्या a को संख्या b से विभाजित करने के लिए, आपको संख्या a को संख्या b -1 से गुणा करना होगा, जो संख्या b का व्युत्क्रम है। वह है, a:b=a b −1 .

इस नियम का उपयोग तब किया जा सकता है जब पूर्णांकों के सेट से आगे जाना संभव हो (क्योंकि प्रत्येक पूर्णांक का व्युत्क्रम नहीं होता है)। दूसरे शब्दों में, यह परिमेय संख्याओं के समुच्चय के साथ-साथ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर भी लागू होता है।

यह स्पष्ट है कि संख्याओं को विभिन्न चिह्नों से विभाजित करने का यह नियम आपको विभाजन से गुणा की ओर बढ़ने की अनुमति देता है।

ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करते समय भी इसी नियम का उपयोग किया जाता है।

यह विचार करना बाकी है कि उदाहरणों को हल करते समय संख्याओं को विभिन्न चिह्नों से विभाजित करने का यह नियम कैसे लागू किया जाता है।

विभिन्न चिह्नों से संख्याओं को विभाजित करने के उदाहरण

आइए कई विशेषताओं के समाधान पर विचार करें विभिन्न चिह्नों से संख्याओं को विभाजित करने के उदाहरणपिछले पैराग्राफ से नियमों को लागू करने के सिद्धांत को समझने के लिए।

ऋणात्मक संख्या −35 को धनात्मक संख्या 7 से विभाजित करें।

संख्याओं को विभिन्न चिह्नों से विभाजित करने का नियम पहले लाभांश और भाजक के मॉड्यूल को खोजने का निर्देश देता है। -35 का मापांक 35 है, और 7 का मापांक 7 है। अब हमें लाभांश के मापांक को भाजक के मापांक से विभाजित करने की आवश्यकता है, अर्थात हमें 35 को 7 से विभाजित करने की आवश्यकता है। यह याद रखने पर कि प्राकृत संख्याओं का विभाजन कैसे किया जाता है, हमें 35:7=5 प्राप्त होता है। विभिन्न चिह्नों से संख्याओं को विभाजित करने के नियम में जो अंतिम चरण बचा है, वह परिणामी संख्या के सामने ऋण लगाना है, हमारे पास −5 है।

यहाँ संपूर्ण समाधान है: .

विभिन्न चिह्नों से संख्याओं को विभाजित करने के नियम के भिन्न सूत्रीकरण से आगे बढ़ना संभव था। इस मामले में, हम पहले भाजक 7 का व्युत्क्रम ज्ञात करते हैं। यह संख्या सामान्य भिन्न 1/7 है. इस प्रकार, । यह विभिन्न चिह्नों से संख्याओं को गुणा करना बाकी है: . जाहिर है, हम एक ही नतीजे पर पहुंचे।

(−35):7=−5 .

भागफल 8:(−60) की गणना करें।

संख्याओं को विभिन्न चिह्नों से विभाजित करने के नियम के अनुसार, हमारे पास है 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60) . परिणामी अभिव्यक्ति एक नकारात्मक साधारण भिन्न से मेल खाती है (विभाजन चिह्न को भिन्न पट्टी के रूप में देखें), आप भिन्न को 4 से कम कर सकते हैं, हमें मिलता है .

आइए संपूर्ण समाधान को संक्षेप में लिखें: .

भिन्नात्मक परिमेय संख्याओं को विभिन्न चिह्नों से विभाजित करते समय, उनके लाभांश और भाजक को आमतौर पर साधारण भिन्न के रूप में दर्शाया जाता है। यह इस तथ्य के कारण है कि अन्य अंकन (उदाहरण के लिए, दशमलव में) में संख्याओं के साथ विभाजन करना हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है।

लाभांश का मापांक बराबर है, और भाजक का मापांक 0,(23) है। लाभांश के मापांक को भाजक के मापांक से विभाजित करने के लिए, आइए सामान्य भिन्नों की ओर बढ़ते हैं।

तालिका 5

तालिका 6

हालाँकि, आप कारकों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं

यदि हम चाहते हैं कि कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने पर उत्पाद न बदले - जैसा कि सकारात्मक संख्याओं के मामले में था - तो हमें यह मान लेना चाहिए

तालिका 7

बेशक, आप इस तरह की बातों से भ्रमित नहीं होंगे: अपने स्कूल के गणित पाठ्यक्रम से आपने दृढ़ता से सीखा है कि माइनस बाय माइनस एक प्लस देता है। लेकिन कल्पना कीजिए कि आपका छोटा भाई या बहन आपसे पूछता है: क्यों? यह क्या है - एक शिक्षक की सनक, उच्च अधिकारियों का एक आदेश, या एक प्रमेय जिसे सिद्ध किया जा सकता है?

तालिका 8

इसे अलग ढंग से समझाया जा सकता है. आइए संख्याओं को एक पंक्ति में लिखें

आइए अब उन्हीं संख्याओं को 3 से गुणा करके लिखें:

आइए अब वही प्रक्रिया दोहराएँ, संख्याओं 1,2,3,4,5... को -3 से गुणा करें (हम पहले से ही जानते हैं कि प्लस और माइनस का परिणाम माइनस होता है):

और जारी रखने के लिए:

संख्या -5 के अंतर्गत 15 हैं, अतः (-3) (-5) = 15.

शायद ये स्पष्टीकरण आपके छोटे भाई या बहन को संतुष्ट कर देंगे। लेकिन आपको यह पूछने का अधिकार है कि चीजें वास्तव में कैसी हैं और क्या यह साबित करना संभव है कि (-3) (-5) = 15?