विभिन्न आधारों और घातांकों वाली डिग्रियों के गुण। डिग्री और उसके गुण

बीजगणित और समस्त गणित में मुख्य विशेषताओं में से एक डिग्री है। बेशक, 21वीं सदी में, सभी गणनाएँ ऑनलाइन कैलकुलेटर पर की जा सकती हैं, लेकिन मस्तिष्क के विकास के लिए यह सीखना बेहतर है कि इसे स्वयं कैसे किया जाए।

इस लेख में हम इस परिभाषा से संबंधित सबसे महत्वपूर्ण मुद्दों पर विचार करेंगे। अर्थात्, हम समझेंगे कि यह सामान्य रूप से क्या है और इसके मुख्य कार्य क्या हैं, गणित में क्या गुण हैं।

आइए उदाहरण देखें कि गणना कैसी दिखती है और मूल सूत्र क्या हैं। आइए मुख्य प्रकार की मात्राओं पर नजर डालें और वे अन्य कार्यों से कैसे भिन्न हैं।

आइए समझें कि इस मात्रा का उपयोग करके विभिन्न समस्याओं को कैसे हल किया जाए। हम उदाहरणों के साथ दिखाएंगे कि शून्य शक्ति, तर्कहीन, नकारात्मक आदि को कैसे बढ़ाया जाए।

ऑनलाइन घातांक कैलकुलेटर

किसी संख्या की शक्ति क्या है

"किसी संख्या को घात तक बढ़ाएँ" अभिव्यक्ति का क्या अर्थ है?

किसी संख्या की घात n एक पंक्ति में n बार परिमाण के कारकों का गुणनफल है।

गणितीय रूप से यह इस प्रकार दिखता है:

ए एन = ए * ए * ए * …ए एन।

उदाहरण के लिए:

• तीसरी डिग्री में 2 3 = 2. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 कदम तक. दो = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 कदम तक. चार = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 5 चरणों में। = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 = 10 4 चरणों में। = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

नीचे 1 से 10 तक वर्गों और घनों की एक तालिका है।

1 से 10 तक डिग्री की तालिका

प्राकृतिक संख्याओं को सकारात्मक घातों तक बढ़ाने के परिणाम नीचे दिए गए हैं - "1 से 100 तक"।

च-लो	दूसरा सेंट.	तीसरा चरण
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

डिग्री के गुण

ऐसे गणितीय फलन की विशेषता क्या है? आइए मूल गुणों पर नजर डालें।

वैज्ञानिकों ने निम्नलिखित स्थापित किया है सभी डिग्रियों की विशेषता वाले संकेत:

• ए एन * ए एम = (ए) (एन+एम) ;
• ए एन: ए एम = (ए) (एन-एम) ;
• (ए बी) एम =(ए) (बी*एम) .

आइए उदाहरणों से जांचें:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. दूसरी ओर, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

इसी प्रकार: 2 3: 2 2 = 8/4 =2. अन्यथा 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. यदि यह भिन्न है तो क्या होगा? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

जैसा कि आप देख सकते हैं, नियम काम करते हैं।

लेकिन किस बारे में? जोड़ और घटाव के साथ? यह सरल है. पहले घातांक लगाया जाता है, और फिर जोड़ और घटाव किया जाता है।

आइए उदाहरण देखें:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16। कृपया ध्यान दें: यदि आप पहले घटाते हैं तो नियम लागू नहीं होगा: (5 - 3) 2 = 2 2 = 4।

लेकिन इस मामले में, आपको पहले जोड़ की गणना करने की आवश्यकता है, क्योंकि कोष्ठक में क्रियाएं हैं: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512।

कैसे उत्पादन करें अधिक जटिल मामलों में गणना? क्रम वही है:

• यदि कोष्ठक हैं, तो आपको उनसे शुरुआत करने की आवश्यकता है;
• फिर घातांक;
• फिर गुणा और भाग की संक्रियाएँ निष्पादित करें;
• जोड़ने, घटाने के बाद.

ऐसे विशिष्ट गुण हैं जो सभी डिग्री की विशेषता नहीं हैं:

1. किसी संख्या a से m डिग्री का nवाँ मूल इस प्रकार लिखा जाएगा: a m/n।
2. किसी भिन्न को घात तक बढ़ाते समय: अंश और उसका हर दोनों इस प्रक्रिया के अधीन होते हैं।
3. विभिन्न संख्याओं के गुणनफल को एक घात तक बढ़ाने पर, अभिव्यक्ति इन संख्याओं के गुणनफल को दी गई घात के अनुरूप होगी। वह है: (ए * बी) एन = ए एन * बी एन।
4. किसी संख्या को ऋणात्मक घात तक बढ़ाते समय, आपको 1 को उसी शताब्दी की एक संख्या से विभाजित करना होगा, लेकिन "+" चिह्न के साथ।
5. यदि किसी भिन्न का हर ऋणात्मक घात वाला है, तो यह अभिव्यक्ति अंश के गुणनफल और हर के धनात्मक घात के गुणनफल के बराबर होगी।
6. किसी भी संख्या की घात 0 = 1, और घात। 1 = अपने आप को.

ये नियम कुछ मामलों में महत्वपूर्ण हैं; हम नीचे उन पर अधिक विस्तार से विचार करेंगे।

एक नकारात्मक घातांक के साथ डिग्री

माइनस डिग्री के साथ क्या करें, यानी जब संकेतक नकारात्मक हो?

गुण 4 और 5 के आधार पर(ऊपर बिंदु देखें), यह पता चला है:

ए (- एन) = 1 / ए एन, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25।

और इसके विपरीत:

1 / ए (- एन) = ए एन, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

यदि यह एक अंश है तो क्या होगा?

(ए/बी) (- एन) = (बी/ए) एन, (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9।

प्राकृतिक सूचक के साथ डिग्री

इसे पूर्णांकों के बराबर घातांक वाली डिग्री के रूप में समझा जाता है।

याद रखने योग्य बातें:

ए 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1...आदि।

ए 1 = ए, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3...आदि.

इसके अलावा, यदि (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...तो परिणाम "+" चिह्न के साथ होगा। यदि किसी ऋणात्मक संख्या को विषम घात तक बढ़ा दिया जाए, तो इसके विपरीत।

सामान्य गुण और ऊपर वर्णित सभी विशिष्ट विशेषताएं भी उनकी विशेषता हैं।

आंशिक डिग्री

इस प्रकार को एक योजना के रूप में लिखा जा सकता है: ए एम / एन। इस प्रकार पढ़ें: संख्या A से घात m तक nवाँ मूल।

आप भिन्नात्मक संकेतक के साथ जो चाहें कर सकते हैं: इसे कम करें, इसे भागों में विभाजित करें, इसे किसी अन्य शक्ति तक बढ़ाएं, आदि।

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री

मान लीजिए α एक अपरिमेय संख्या है और A ˃ 0 है।

ऐसे संकेतक के साथ डिग्री के सार को समझने के लिए, आइए विभिन्न संभावित मामलों पर नजर डालें:

• A = 1. परिणाम 1 के बराबर होगा। चूँकि एक स्वयंसिद्ध कथन है - सभी घातों में 1 एक के बराबर है;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 - परिमेय संख्याएँ;

• 0˂А˂1.

इस मामले में, यह दूसरा तरीका है: ए आर 2 ˂ ए α ˂ ए आर 1 दूसरे पैराग्राफ की समान शर्तों के तहत।

उदाहरण के लिए, घातांक संख्या π है।यह तर्कसंगत है.

आर 1 - इस मामले में 3 के बराबर है;

आर 2 – 4 के बराबर होगा.

फिर, A = 1 के लिए, 1 π = 1.

ए = 2, फिर 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

ए = 1/2, फिर (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8।

ऐसी डिग्रियों की विशेषता ऊपर वर्णित सभी गणितीय संक्रियाओं और विशिष्ट गुणों से होती है।

निष्कर्ष

आइए संक्षेप में बताएं - ये मात्राएँ किस लिए आवश्यक हैं, ऐसे कार्यों के क्या फायदे हैं? बेशक, सबसे पहले, वे उदाहरणों को हल करते समय गणितज्ञों और प्रोग्रामर के जीवन को सरल बनाते हैं, क्योंकि वे उन्हें गणनाओं को कम करने, एल्गोरिदम को छोटा करने, डेटा को व्यवस्थित करने और बहुत कुछ करने की अनुमति देते हैं।

यह ज्ञान और कहाँ उपयोगी हो सकता है? किसी भी कामकाजी विशेषता में: चिकित्सा, औषध विज्ञान, दंत चिकित्सा, निर्माण, प्रौद्योगिकी, इंजीनियरिंग, डिजाइन, आदि।

शक्तियां कैसे बढ़ाएं? कौन सी शक्तियों को बढ़ाया जा सकता है और कौन सी नहीं? किसी संख्या को घात से गुणा कैसे करें?

बीजगणित में, आप दो स्थितियों में घातों का गुणनफल पा सकते हैं:

1) यदि डिग्रियों का आधार समान है;

2) यदि डिग्रियों में समान संकेतक हों।

समान आधारों से घातों को गुणा करते समय, आधार को वही छोड़ा जाना चाहिए, और घातांकों को जोड़ा जाना चाहिए:

समान संकेतकों के साथ डिग्री को गुणा करते समय, समग्र संकेतक को कोष्ठक से बाहर निकाला जा सकता है:

आइए देखें कि विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके शक्तियों को कैसे गुणा किया जाए।

इकाई को घातांक में नहीं लिखा जाता है, लेकिन घातों को गुणा करते समय, वे ध्यान में रखते हैं:

गुणा करते समय घातों की कोई भी संख्या हो सकती है। यह याद रखना चाहिए कि आपको अक्षर से पहले गुणन चिह्न नहीं लिखना है:

भावों में सबसे पहले घातांकीकरण किया जाता है।

यदि आपको किसी संख्या को घात से गुणा करने की आवश्यकता है, तो आपको पहले घातांक लगाना चाहिए, और उसके बाद ही गुणा करना चाहिए:

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घातों का जोड़, घटाव, गुणा और भाग

शक्तियों का जोड़ और घटाव

यह स्पष्ट है कि घात वाली संख्याओं को अन्य मात्राओं की तरह जोड़ा जा सकता है , उन्हें उनके संकेतों के साथ एक के बाद एक जोड़कर.

तो, a 3 और b 2 का योग a 3 + b 2 है।
a 3 - b n और h 5 -d 4 का योग a 3 - b n + h 5 - d 4 है।

कठिनाइयाँ समान चरों की समान शक्तियाँजोड़ा या घटाया जा सकता है.

तो, 2a 2 और 3a 2 का योग 5a 2 के बराबर है।

यह भी स्पष्ट है कि यदि आप दो वर्ग ए, या तीन वर्ग ए, या पांच वर्ग ए लेते हैं।

लेकिन डिग्री विभिन्न चरऔर विभिन्न डिग्री समान चर, उन्हें उनके चिह्नों के साथ जोड़कर रचना की जानी चाहिए।

तो, a 2 और a 3 का योग a 2 + a 3 का योग है।

यह स्पष्ट है कि a का वर्ग और a का घन, a के वर्ग के दोगुने के बराबर नहीं है, बल्कि a के घन के दोगुने के बराबर है।

a 3 b n और 3a 5 b 6 का योग a 3 b n + 3a 5 b 6 है।

घटावशक्तियों को जोड़ के समान ही क्रियान्वित किया जाता है, सिवाय इसके कि उपप्रकारों के चिह्नों को तदनुसार बदला जाना चाहिए।

या:
2ए 4 - (-6ए 4) = 8ए 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(ए - एच) 6 - 2(ए - एच) 6 = 3(ए - एच) 6

शक्तियाँ बढ़ाना

घात वाली संख्याओं को, अन्य मात्राओं की तरह, एक के बाद एक लिखकर, उनके बीच गुणन चिह्न के साथ या उसके बिना, गुणा किया जा सकता है।

इस प्रकार, a 3 को b 2 से गुणा करने का परिणाम a 3 b 2 या aaabb है।

या:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
ए 2 बी 3 वाई 2 ⋅ ए 3 बी 2 वाई = ए 2 बी 3 वाई 2 ए 3 बी 2 वाई

अंतिम उदाहरण में परिणाम को समान चर जोड़कर क्रमबद्ध किया जा सकता है।
अभिव्यक्ति इस प्रकार होगी: a 5 b 5 y 3.

कई संख्याओं (चर) की शक्तियों के साथ तुलना करके, हम देख सकते हैं कि यदि उनमें से किन्हीं दो को गुणा किया जाता है, तो परिणाम एक संख्या (चर) होता है जिसकी शक्ति बराबर होती है मात्राशर्तों की डिग्री.

तो, ए 2 .ए 3 = ए.ए.ए.ए = एएए = ए 5।

यहां 5 गुणन परिणाम की घात है, जो कि पदों की घातों के योग 2 + 3 के बराबर है।

तो, a n .a m = a m+n।

n के लिए, a को n की घात से कई गुना अधिक गुणनखंड के रूप में लिया जाता है;

और जितनी बार डिग्री m बराबर होती है उतनी बार a m को गुणनखंड के रूप में लिया जाता है;

इसीलिए, समान आधार वाली घातों को घातों के घातांकों को जोड़कर गुणा किया जा सकता है।

तो, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8। और x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

या:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
बी 2 वाई 3 ⋅ बी 4 वाई = बी 6 वाई 4
(बी + एच - वाई) एन ⋅ (बी + एच - वाई) = (बी + एच - वाई) एन+1

(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y) को गुणा करें।
उत्तर: x 4 - y 4.
(x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1) को गुणा करें।

यह नियम उन संख्याओं के लिए भी सत्य है जिनके घातांक हैं नकारात्मक.

1. तो, a -2 .a -3 = a -5 . इसे (1/aa).(1/aaa) = 1/aaa के रूप में लिखा जा सकता है।

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. ए -एन .ए एम = ए एम-एन।

यदि a + b को a - b से गुणा किया जाए तो परिणाम a 2 - b 2 होगा: अर्थात

दो संख्याओं के योग या अंतर को गुणा करने का परिणाम उनके वर्गों के योग या अंतर के बराबर होता है।

यदि दो संख्याओं का योग और अंतर बढ़ा दिया जाए वर्ग, परिणाम इन संख्याओं के योग या अंतर के बराबर होगा चौथीडिग्री.

तो, (ए - वाई).(ए + वाई) = ए 2 - वाई 2.
(ए 2 - वाई 2)⋅(ए 2 + वाई 2) = ए 4 - वाई 4।
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

डिग्रियों का विभाजन

घातांक वाली संख्याओं को अन्य संख्याओं की तरह, लाभांश से घटाकर या भिन्न रूप में रखकर विभाजित किया जा सकता है।

इस प्रकार, a 3 b 2 को b 2 से विभाजित करने पर a 3 के बराबर होता है।

5 को 3 से विभाजित करके लिखना $\frac जैसा दिखता है $. लेकिन यह 2 के बराबर है। संख्याओं की एक श्रृंखला में
ए +4, ए +3, ए +2, ए +1, ए 0, ए -1, ए -2, ए -3, ए -4।
किसी भी संख्या को दूसरे से विभाजित किया जा सकता है, और घातांक बराबर होगा अंतरविभाज्य संख्याओं के सूचक.

समान आधार से अंशों को विभाजित करने पर उनके घातांक घटा दिए जाते हैं।.

तो, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. अर्थात, $\frac = y$.

और a n+1:a = a n+1-1 = a n। यानी, $\frac = a^n$.

या:
y 2m: y m = y m
8ए एन+एम: 4ए एम = 2ए एन
12(बी + वाई) एन: 3(बी + वाई) 3 = 4(बी + वाई) एन-3

यह नियम संख्याओं के लिए भी सत्य है नकारात्मकडिग्रियों का मान.
-5 को -3 से विभाजित करने पर परिणाम -2 आता है।
इसके अलावा, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 या $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

घातों के गुणन और विभाजन में अच्छी तरह से महारत हासिल करना आवश्यक है, क्योंकि बीजगणित में ऐसे संक्रियाओं का बहुत व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

घातों वाली संख्याओं वाले भिन्नों को हल करने के उदाहरण

1. घातांक को $\frac $ से कम करें उत्तर: $\frac $।

2. घातांक को $\frac$ से कम करें। उत्तर: $\frac$ या 2x.

3. घातांक a 2 /a 3 और a -3 /a -4 को कम करें और एक उभयनिष्ठ हर पर लाएँ।
a 2 .a -4, a -2 पहला अंश है।
a 3 .a -3 एक 0 = 1 है, दूसरा अंश।
a 3 .a -4 एक -1 है, जो सामान्य अंश है।
सरलीकरण के बाद: a -2 /a -1 और 1/a -1 .

4. घातांक 2a 4 /5a 3 और 2 /a 4 को कम करें और एक उभयनिष्ठ हर पर लाएँ।
उत्तर: 2ए 3 /5ए 7 और 5ए 5 /5ए 7 या 2ए 3 /5ए 2 और 5/5ए 2।

5. (a 3 + b)/b 4 को (a - b)/3 से गुणा करें।

6. (a 5 + 1)/x 2 को (b 2 - 1)/(x + a) से गुणा करें।

7. b 4 /a -2 को h -3 /x और a n /y -3 से गुणा करें।

8. a 4 /y 3 को a 3 /y 2 से विभाजित करें। उत्तर: ए/वाई.

डिग्री के गुण

हम आपको याद दिलाते हैं कि इस पाठ में हम समझेंगे डिग्री के गुणप्राकृतिक संकेतकों और शून्य के साथ। आठवीं कक्षा के पाठों में तर्कसंगत घातांक वाली शक्तियों और उनके गुणों पर चर्चा की जाएगी।

प्राकृतिक घातांक वाली एक शक्ति में कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं जो हमें शक्तियों के साथ उदाहरणों में गणना को सरल बनाने की अनुमति देते हैं।

संपत्ति क्रमांक 1
शक्तियों का उत्पाद

समान आधारों से घातों को गुणा करने पर, आधार अपरिवर्तित रहता है, और घातों के घातांक जोड़ दिए जाते हैं।

a m · a n = a m + n, जहां "a" कोई संख्या है, और "m", "n" कोई प्राकृतिक संख्या है।

शक्तियों का यह गुण तीन या अधिक शक्तियों के उत्पाद पर भी लागू होता है।

अभिव्यक्ति को सरल कीजिये.
बी बी 2 बी 3 बी 4 बी 5 = बी 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = बी 15

इसे डिग्री के रूप में प्रस्तुत करें.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

इसे डिग्री के रूप में प्रस्तुत करें.
(0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

कृपया ध्यान दें कि निर्दिष्ट गुण में हम केवल समान आधारों वाली घातों के गुणन के बारे में बात कर रहे थे. यह उनके जोड़ने पर लागू नहीं होता.

आप योग (3 3 + 3 2) को 3 5 से नहीं बदल सकते। यह समझ में आता है अगर
गिनती (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, और 3 5 = 243

संपत्ति क्रमांक 2
आंशिक डिग्री

समान आधारों से घातों को विभाजित करते समय, आधार अपरिवर्तित रहता है, और भाजक के घातांक को लाभांश के घातांक से घटा दिया जाता है।

भागफल को घात के रूप में लिखिए
(2बी) 5: (2बी) 3 = (2बी) 5 - 3 = (2बी) 2

गणना करें.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
उदाहरण। प्रश्न हल करें। हम भागफल शक्तियों की संपत्ति का उपयोग करते हैं।
3 8: टी = 3 4

उत्तर: टी = 3 4 = 81

गुण संख्या 1 और संख्या 2 का उपयोग करके, आप आसानी से अभिव्यक्तियों को सरल बना सकते हैं और गणना कर सकते हैं।

उदाहरण। अभिव्यक्ति को सरल कीजिये.
4 5 मी + 6 4 मी + 2: 4 4 मी + 3 = 4 5 मी + 6 + मी + 2: 4 4 मी + 3 = 4 6 मी + 8 - 4 मी - 3 = 4 2 मी + 5

उदाहरण। घातांक के गुणों का उपयोग करके किसी अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करें।

2 11 − 5 = 2 6 = 64

कृपया ध्यान दें कि संपत्ति 2 में हम केवल शक्तियों को समान आधारों से विभाजित करने के बारे में बात कर रहे थे।

आप अंतर (4 3 −4 2) को 4 1 से नहीं बदल सकते। यह समझ में आता है यदि आप (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, और 4 1 = 4 की गणना करें

संपत्ति क्रमांक 3
एक डिग्री को एक शक्ति तक बढ़ाना

किसी डिग्री को घात तक बढ़ाने पर, डिग्री का आधार अपरिवर्तित रहता है, और घातांक गुणा हो जाते हैं।

(ए एन) एम = ए एन · एम, जहां "ए" कोई संख्या है, और "एम", "एन" कोई प्राकृतिक संख्या है।

कृपया ध्यान दें कि संपत्ति संख्या 4, डिग्री के अन्य गुणों की तरह, भी विपरीत क्रम में लागू की जाती है।

(ए एन बी एन)= (ए बी) एन

अर्थात्, समान घातांकों से घातों को गुणा करने के लिए, आप आधारों को गुणा कर सकते हैं, लेकिन घातांक को अपरिवर्तित छोड़ सकते हैं।

उदाहरण। गणना करें.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10,000

उदाहरण। गणना करें.
0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1

अधिक जटिल उदाहरणों में, ऐसे मामले हो सकते हैं जहां विभिन्न आधारों और विभिन्न घातांक वाली शक्तियों पर गुणन और विभाजन किया जाना चाहिए। इस मामले में, हम आपको निम्नलिखित कार्य करने की सलाह देते हैं।

उदाहरण के लिए, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

दशमलव को घात तक बढ़ाने का एक उदाहरण.

4 21 (−0.25) 20 = 4 4 20 (−0.25) 20 = 4 (4 (−0.25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

गुण 5
भागफल की शक्ति (अंश)

भागफल को एक घात तक बढ़ाने के लिए, आप लाभांश और भाजक को अलग-अलग इस घात तक बढ़ा सकते हैं, और पहले परिणाम को दूसरे से विभाजित कर सकते हैं।

(ए: बी) एन = ए एन: बी एन, जहां "ए", "बी" कोई तर्कसंगत संख्या है, बी ≠ 0, एन - कोई प्राकृतिक संख्या।

उदाहरण। अभिव्यक्ति को शक्तियों के भागफल के रूप में प्रस्तुत करें।
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

हम आपको याद दिलाते हैं कि भागफल को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसलिए, हम अगले पृष्ठ पर भिन्न को घात तक बढ़ाने के विषय पर अधिक विस्तार से चर्चा करेंगे।

शक्तियाँ और जड़ें

शक्तियों और जड़ों के साथ संचालन. नकारात्मक के साथ डिग्री ,

शून्य और भिन्नात्मक सूचक. उन अभिव्यक्तियों के बारे में जिनका कोई अर्थ नहीं है।

डिग्री के साथ संचालन.

1. समान आधार से घातों को गुणा करने पर उनके घातांक जोड़े जाते हैं:

पूर्वाह्न · ए एन = ए एम + एन .

2. अंशों को एक ही आधार से विभाजित करते समय उनके घातांक काट लिया जाता है .

3. दो या दो से अधिक कारकों के उत्पाद की डिग्री इन कारकों की डिग्री के उत्पाद के बराबर होती है।

4. अनुपात (अंश) की डिग्री लाभांश (अंश) और भाजक (भाजक) की डिग्री के अनुपात के बराबर होती है:

(ए/बी) एन = ए एन / बी एन .

5. किसी घात को घात तक बढ़ाने पर, उनके घातांक को गुणा किया जाता है:

उपरोक्त सभी सूत्र बाएँ से दाएँ और इसके विपरीत दोनों दिशाओं में पढ़े और क्रियान्वित किए जाते हैं।

उदाहरण (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

जड़ों के साथ संचालन. नीचे दिए गए सभी सूत्रों में प्रतीक का अर्थ है अंकगणित मूल(मूल अभिव्यक्ति सकारात्मक है).

1. कई कारकों के उत्पाद का मूल इन कारकों की जड़ों के उत्पाद के बराबर है:

2. किसी अनुपात का मूल लाभांश और भाजक के मूलों के अनुपात के बराबर होता है:

3. किसी जड़ को किसी शक्ति तक बढ़ाते समय, यह इस शक्ति तक बढ़ाने के लिए पर्याप्त है मूलांक संख्या:

4. यदि आप मूल की डिग्री को m गुना बढ़ाते हैं और साथ ही मूलांक को mth घात तक बढ़ाते हैं, तो मूल का मान नहीं बदलेगा:

5. यदि आप मूल की डिग्री को m गुना कम कर देते हैं और साथ ही मूल संख्या का mवाँ मूल निकालते हैं, तो मूल का मान नहीं बदलेगा:

डिग्री की अवधारणा का विस्तार. अब तक हमने केवल प्राकृतिक घातांक वाली डिग्रियों पर विचार किया है; लेकिन शक्तियों और जड़ों के साथ संचालन भी हो सकता है नकारात्मक, शून्यऔर आंशिकसंकेतक. इन सभी प्रतिपादकों को अतिरिक्त परिभाषा की आवश्यकता है।

एक नकारात्मक घातांक के साथ डिग्री. एक ऋणात्मक (पूर्णांक) घातांक वाली एक निश्चित संख्या की घात को ऋणात्मक घातांक के निरपेक्ष मान के बराबर घातांक वाली उसी संख्या की घात से विभाजित करने के रूप में परिभाषित किया जाता है:

अब सूत्र पूर्वाह्न : एक = ए एम - एनन केवल के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है एम, इससे अधिक एन, लेकिन साथ भी एम, से कम एन .

उदाहरण ए 4: ए 7 = ए 4 — 7 = ए — 3 .

अगर हमें फॉर्मूला चाहिए पूर्वाह्न : एक = पूर्वाह्न — एनजब उचित था एम = एन, हमें डिग्री शून्य की परिभाषा की आवश्यकता है।

शून्य सूचकांक वाली डिग्री. घातांक शून्य वाली किसी भी गैर-शून्य संख्या की घात 1 है।

उदाहरण. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री. किसी वास्तविक संख्या a को घात m/n तक बढ़ाने के लिए, आपको इस संख्या a की mवें घात का nवां मूल निकालना होगा:

उन अभिव्यक्तियों के बारे में जिनका कोई अर्थ नहीं है। ऐसी अनेक अभिव्यक्तियाँ हैं।

कहाँ ए ≠ 0 , मौजूद नहीं होना।

दरअसल, अगर हम ऐसा मान लें एक्सएक निश्चित संख्या है, तो विभाजन संक्रिया की परिभाषा के अनुसार हमारे पास: ए = 0· एक्स, यानी ए= 0, जो शर्त का खंडन करता है: ए ≠ 0

— कोई भी संख्या.

वास्तव में, यदि हम यह मान लें कि यह व्यंजक किसी संख्या के बराबर है एक्स, तो विभाजन संक्रिया की परिभाषा के अनुसार हमारे पास है: 0 = 0 · एक्स. लेकिन ये समानता तब होती है जब कोई भी संख्या x, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता थी।

0 0 — कोई भी संख्या.

समाधान. आइए तीन मुख्य मामलों पर विचार करें:

1) एक्स = 0 – यह मान इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है

2) कब एक्स> 0 हमें मिलता है: एक्स/एक्स= 1, अर्थात 1 = 1, जिसका अर्थ है

क्या एक्स- कोई भी संख्या; लेकिन इसे ध्यान में रखते हुए

हमारे मामले में एक्स> 0, उत्तर है एक्स > 0 ;

विभिन्न आधारों से घातों को गुणा करने के नियम

तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री,

पावर फ़ंक्शन IV

§ 69. समान आधारों से घातों का गुणन और विभाजन

प्रमेय 1.समान आधारों से घातों को गुणा करने के लिए, घातांकों को जोड़ना और आधार को वही छोड़ देना पर्याप्त है, अर्थात

सबूत।डिग्री की परिभाषा के अनुसार

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

हमने दो शक्तियों के उत्पाद को देखा। वास्तव में, सिद्ध संपत्ति समान आधार वाली किसी भी संख्या की शक्तियों के लिए सत्य है।

प्रमेय 2.घातों को समान आधारों से विभाजित करने के लिए, जब लाभांश का सूचकांक भाजक के सूचकांक से अधिक हो, तो भाजक के सूचकांक को लाभांश के सूचकांक से घटाना और आधार को वही छोड़ देना पर्याप्त है, अर्थात पर टी > पी

(ए =/= 0)

सबूत।याद रखें कि एक संख्या को दूसरे से विभाजित करने का भागफल वह संख्या है, जिसे भाजक से गुणा करने पर लाभांश मिलता है। अत: सूत्र को कहाँ सिद्ध करें ए =/= 0, यह सूत्र को सिद्ध करने के समान है

अगर टी > पी , फिर संख्या टी - पी स्वाभाविक होगा; इसलिए, प्रमेय 1 द्वारा

प्रमेय 2 सिद्ध है.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सूत्र

हमने इसे केवल इस धारणा के तहत ही सिद्ध किया है टी > पी . इसलिए, जो सिद्ध हो चुका है, उससे, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित निष्कर्ष निकालना अभी संभव नहीं है:

इसके अलावा, हमने अभी तक नकारात्मक घातांक वाली डिग्रियों पर विचार नहीं किया है और हम अभी तक नहीं जानते हैं कि अभिव्यक्ति 3 को क्या अर्थ दिया जा सकता है - 2 .

प्रमेय 3. किसी डिग्री को घात तक बढ़ाने के लिए, डिग्री के आधार को वही छोड़कर, घातांक को गुणा करना पर्याप्त है, वह है

सबूत।इस खंड की डिग्री और प्रमेय 1 की परिभाषा का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

क्यू.ई.डी.

उदाहरण के लिए, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (मौखिक) निर्धारित करें एक्स समीकरणों से:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 एक्स ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 एक्स ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 एक्स ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 एक्स .

519. (सेट संख्या) सरल करें:

520. (सेट संख्या) सरल करें:

521. इन भावों को समान आधार वाली अंशों के रूप में प्रस्तुत करें:

1) 32 और 64; 3) 8 5 और 16 3; 5) 4 100 और 32 50;

2)-1000 और 100; 4) -27 और -243; 6) 81 75 8 200 और 3 600 4 150।

पिछले वीडियो पाठ में, हमने सीखा कि एक निश्चित आधार की डिग्री एक अभिव्यक्ति है जो घातांक के बराबर मात्रा में ली गई आधार के उत्पाद का प्रतिनिधित्व करती है। आइए अब हम शक्तियों के कुछ सबसे महत्वपूर्ण गुणों और संचालन का अध्ययन करें।

उदाहरण के लिए, आइए दो अलग-अलग घातों को एक ही आधार से गुणा करें:

आइए इस कार्य को संपूर्णता में प्रस्तुत करें:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

इस अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने पर, हमें संख्या 32 मिलती है। दूसरी ओर, जैसा कि उसी उदाहरण से देखा जा सकता है, 32 को 5 बार लिए गए एक ही आधार (दो) के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है। और वास्तव में, यदि आप इसे गिनें, तो:

इस प्रकार, हम विश्वासपूर्वक यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

यह नियम किसी भी संकेतक और किसी भी कारण से सफलतापूर्वक काम करता है। शक्ति गुणन का यह गुण इस नियम का पालन करता है कि किसी उत्पाद में परिवर्तन के दौरान अभिव्यक्तियों का अर्थ संरक्षित रहता है। किसी भी आधार a के लिए, दो अभिव्यक्तियों (a)x और (a)y का गुणनफल a(x + y) के बराबर है। दूसरे शब्दों में, जब समान आधार वाला कोई भी व्यंजक उत्पन्न होता है, तो परिणामी एकपदी में पहले और दूसरे भाव की घातों को जोड़कर कुल घात बनाई जाती है।

प्रस्तुत नियम कई भावों को गुणा करते समय भी बढ़िया काम करता है। मुख्य शर्त यह है कि सभी का आधार समान हो। उदाहरण के लिए:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

डिग्री जोड़ना असंभव है, और वास्तव में अभिव्यक्ति के दो तत्वों के साथ किसी भी शक्ति-आधारित संयुक्त कार्रवाई को अंजाम देना असंभव है यदि उनके आधार अलग-अलग हैं।
जैसा कि हमारे वीडियो में दिखाया गया है, गुणा और भाग की प्रक्रियाओं की समानता के कारण, किसी उत्पाद में शक्तियां जोड़ने के नियम पूरी तरह से विभाजन प्रक्रिया में स्थानांतरित हो जाते हैं। इस उदाहरण पर विचार करें:

आइए अभिव्यक्ति को पद दर पद उसके पूर्ण रूप में रूपांतरित करें और लाभांश और भाजक में समान तत्वों को कम करें:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

इस उदाहरण का अंतिम परिणाम इतना दिलचस्प नहीं है, क्योंकि इसे हल करने की प्रक्रिया में पहले से ही यह स्पष्ट है कि अभिव्यक्ति का मान दो के वर्ग के बराबर है। और यह दो है जो दूसरे अभिव्यक्ति की डिग्री को पहले की डिग्री से घटाकर प्राप्त किया जाता है।

भागफल की डिग्री निर्धारित करने के लिए, भाजक की डिग्री को लाभांश की डिग्री से घटाना आवश्यक है। नियम अपने सभी मूल्यों और सभी प्राकृतिक शक्तियों के लिए एक ही आधार पर काम करता है। अमूर्तन के रूप में हमारे पास है:

(ए) एक्स / (ए) वाई = (ए) एक्स - वाई

समान आधारों को डिग्रियों से विभाजित करने के नियम से, शून्य डिग्री की परिभाषा अनुसरण करती है। जाहिर है, निम्नलिखित अभिव्यक्ति इस प्रकार दिखती है:

(ए) एक्स / (ए) एक्स = (ए) (एक्स - एक्स) = (ए) 0

दूसरी ओर, यदि हम विभाजन को अधिक दृश्य तरीके से करते हैं, तो हमें मिलता है:

(ए) 2 / (ए) 2 = (ए) (ए) / (ए) (ए) = 1

भिन्न के सभी दृश्यमान तत्वों को कम करने पर, अभिव्यक्ति 1/1 हमेशा प्राप्त होती है, अर्थात एक। इसलिए, यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि शून्य शक्ति तक उठाया गया कोई भी आधार एक के बराबर है:

ए के मूल्य की परवाह किए बिना.

हालाँकि, यह बेतुका होगा यदि 0 (जो अभी भी किसी भी गुणन के लिए 0 देता है) किसी तरह एक के बराबर है, इसलिए फॉर्म (0) 0 (शून्य से शून्य घात) की अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है, और सूत्र ( ए) 0 = 1 एक शर्त जोड़ें: "यदि ए 0 के बराबर नहीं है।"

आइए अभ्यास को हल करें। आइए इस अभिव्यक्ति का अर्थ जानें:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

चूँकि आधार हर जगह समान है और 34 के बराबर है, अंतिम मान का आधार डिग्री के साथ समान होगा (उपरोक्त नियमों के अनुसार):

दूसरे शब्दों में:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

उत्तर: अभिव्यक्ति एक के बराबर है.

हम आपको याद दिलाते हैं कि इस पाठ में हम समझेंगे डिग्री के गुणप्राकृतिक संकेतकों और शून्य के साथ।

आठवीं कक्षा के पाठों में तर्कसंगत घातांक वाली शक्तियों और उनके गुणों पर चर्चा की जाएगी।

संपत्ति क्रमांक 1
शक्तियों का उत्पाद

प्राकृतिक घातांक वाली एक शक्ति में कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं जो हमें शक्तियों के साथ उदाहरणों में गणना को सरल बनाने की अनुमति देते हैं।

याद करना!

समान आधारों से घातों को गुणा करने पर, आधार अपरिवर्तित रहता है, और घातों के घातांक जोड़ दिए जाते हैं।

शक्तियों का यह गुण तीन या अधिक शक्तियों के उत्पाद पर भी लागू होता है।

• a m · a n = a m + n, जहां "a" कोई संख्या है, और "m", "n" कोई प्राकृतिक संख्या है।
  अभिव्यक्ति को सरल कीजिये.
• बी बी 2 बी 3 बी 4 बी 5 = बी 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = बी 15
  इसे डिग्री के रूप में प्रस्तुत करें.
• बी बी 2 बी 3 बी 4 बी 5 = बी 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = बी 15
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

(0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

महत्वपूर्ण! कृपया ध्यान दें कि संकेतित संपत्ति में हम केवल शक्तियों को गुणा करने के बारे में बात कर रहे थे उसी आधार पर

. यह उनके जोड़ने पर लागू नहीं होता.
आप योग (3 3 + 3 2) को 3 5 से नहीं बदल सकते। यह समझ में आता है अगर

संपत्ति क्रमांक 2
आंशिक डिग्री

प्राकृतिक घातांक वाली एक शक्ति में कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं जो हमें शक्तियों के साथ उदाहरणों में गणना को सरल बनाने की अनुमति देते हैं।

गिनती (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, और 3 5 = 243

समान आधार से घातों को विभाजित करते समय, आधार अपरिवर्तित रहता है, और भाजक के घातांक को लाभांश के घातांक से घटा दिया जाता है।

= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
उदाहरण। प्रश्न हल करें। हम भागफल शक्तियों की संपत्ति का उपयोग करते हैं।

3 8: टी = 3 4

टी = 3 8 − 4

गुण संख्या 1 और संख्या 2 का उपयोग करके, आप आसानी से अभिव्यक्तियों को सरल बना सकते हैं और गणना कर सकते हैं।

• उत्तर: टी = 3 4 = 81
  उदाहरण। अभिव्यक्ति को सरल कीजिये.
• उदाहरण। घातांक के गुणों का उपयोग करके किसी अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करें।
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  (0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

  4 5 मी + 6 4 मी + 2: 4 4 मी + 3 = 4 5 मी + 6 + मी + 2: 4 4 मी + 3 = 4 6 मी + 8 - 4 मी - 3 = 4 2 मी + 5

  कृपया ध्यान दें कि संपत्ति 2 में हम केवल शक्तियों को समान आधारों से विभाजित करने के बारे में बात कर रहे थे। (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 आप अंतर (4 3 −4 2) को 4 1 से नहीं बदल सकते। यदि आप गिनें तो यह बात समझ में आती है

  , और 4 1 = 4

  संपत्ति क्रमांक 3
  एक डिग्री को एक शक्ति तक बढ़ाना

  प्राकृतिक घातांक वाली एक शक्ति में कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं जो हमें शक्तियों के साथ उदाहरणों में गणना को सरल बनाने की अनुमति देते हैं।

  ध्यान से!

  किसी डिग्री को घात तक बढ़ाने पर, डिग्री का आधार अपरिवर्तित रहता है, और घातांक गुणा हो जाते हैं।

  
  

  (ए एन) एम = ए एन · एम, जहां "ए" कोई संख्या है, और "एम", "एन" कोई प्राकृतिक संख्या है।
  उत्पाद शक्ति

  प्राकृतिक घातांक वाली एक शक्ति में कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं जो हमें शक्तियों के साथ उदाहरणों में गणना को सरल बनाने की अनुमति देते हैं।

  किसी उत्पाद को पावर तक बढ़ाते समय, प्रत्येक कारक को पावर तक बढ़ा दिया जाता है। फिर प्राप्त परिणामों को गुणा किया जाता है।

  (ए बी) एन = ए एन बी एन, जहां "ए", "बी" कोई तर्कसंगत संख्याएं हैं; "n" कोई प्राकृतिक संख्या है.

  • उदाहरण 1.
    (6 ए 2 बी 3 सी) 2 = 6 2 ए 2 2 बी 3 2 सी 1 2 = 36 ए 4 बी 6 सी 2
    
  • उदाहरण 2.
    (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  (0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

  कृपया ध्यान दें कि संपत्ति संख्या 4, डिग्री के अन्य गुणों की तरह, भी विपरीत क्रम में लागू की जाती है।

  (ए एन · बी एन)= (ए · बी) एन

  अर्थात्, समान घातांकों से घातों को गुणा करने के लिए, आप आधारों को गुणा कर सकते हैं, लेकिन घातांक को अपरिवर्तित छोड़ सकते हैं।

  • उदाहरण। गणना करें.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10,000
  • उदाहरण। गणना करें.
    0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1

  अधिक जटिल उदाहरणों में, ऐसे मामले हो सकते हैं जहां विभिन्न आधारों और विभिन्न घातांक वाली शक्तियों पर गुणन और विभाजन किया जाना चाहिए।

  इस मामले में, हम आपको निम्नलिखित कार्य करने की सलाह देते हैं। उदाहरण के लिए,
  

  दशमलव को घात तक बढ़ाने का एक उदाहरण.

  4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

  4 21 (−0.25) 20 = 4 4 20 (−0.25) 20 = 4 (4 (−0.25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4
  गुण 5

  प्राकृतिक घातांक वाली एक शक्ति में कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं जो हमें शक्तियों के साथ उदाहरणों में गणना को सरल बनाने की अनुमति देते हैं।

  भागफल की शक्ति (अंश)

  भागफल को एक घात तक बढ़ाने के लिए, आप लाभांश और भाजक को अलग-अलग इस घात तक बढ़ा सकते हैं, और पहले परिणाम को दूसरे से विभाजित कर सकते हैं।

  • (ए: बी) एन = ए एन: बी एन, जहां "ए", "बी" कोई तर्कसंगत संख्या है, बी ≠ 0, एन कोई प्राकृतिक संख्या है।
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  उदाहरण। अभिव्यक्ति को शक्तियों के भागफल के रूप में प्रस्तुत करें।

हम आपको याद दिलाते हैं कि भागफल को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसलिए, हम अगले पृष्ठ पर भिन्न को घात तक बढ़ाने के विषय पर अधिक विस्तार से चर्चा करेंगे।

यदि हम आठवीं शक्ति की उपेक्षा करें तो हम यहाँ क्या देखते हैं? आइए 7वीं कक्षा के कार्यक्रम को याद करें। तो, क्या आपको याद है? यह संक्षिप्त गुणन अर्थात् वर्गों के अंतर का सूत्र है! हम पाते हैं:

आइए हर को ध्यान से देखें। यह काफी हद तक अंश कारकों में से एक जैसा दिखता है, लेकिन गलत क्या है? शर्तों का क्रम ग़लत है. यदि उन्हें उलट दिया जाता, तो नियम लागू हो सकता था।

लेकिन यह कैसे करें? यह पता चला है कि यह बहुत आसान है: हर की सम डिग्री यहां हमारी मदद करती है।

जादुई ढंग से शर्तें बदल गईं। यह "घटना" किसी भी अभिव्यक्ति पर एक समान डिग्री तक लागू होती है: हम कोष्ठक में संकेतों को आसानी से बदल सकते हैं। लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है:!

सभी संकेत एक ही समय में बदलते हैं

आइए उदाहरण पर वापस जाएं:

और फिर सूत्र:साबुत

हम प्राकृतिक संख्याएँ, उनके विपरीत (अर्थात " " चिह्न के साथ ली गई) और संख्या कहते हैं।, और यह प्राकृतिक से अलग नहीं है, तो सब कुछ बिल्कुल पिछले अनुभाग जैसा दिखता है।

अब नजर डालते हैं नए मामलों पर. आइए इसके बराबर एक संकेतक से शुरू करें।

शून्य घात की कोई भी संख्या एक के बराबर होती है:

हमेशा की तरह, आइए हम खुद से पूछें: ऐसा क्यों है?

आइए आधार के साथ कुछ डिग्री पर विचार करें। उदाहरण के लिए, लें और इससे गुणा करें:

तो, हमने संख्या को गुणा किया, और हमें वही चीज़ मिली जो वह थी -। आपको किस संख्या से गुणा करना चाहिए ताकि कुछ भी न बदले? यह सही है, चालू. मतलब।

हम एक मनमानी संख्या के साथ भी ऐसा ही कर सकते हैं:

आइए नियम दोहराएं:

शून्य घात की कोई भी संख्या एक के बराबर होती है।

लेकिन कई नियमों के अपवाद भी हैं. और यहाँ यह भी है - यह एक संख्या है (आधार के रूप में)।

एक ओर, यह किसी भी डिग्री के बराबर होना चाहिए - चाहे आप शून्य को स्वयं से कितना भी गुणा कर लें, फिर भी आपको शून्य ही मिलेगा, यह स्पष्ट है। लेकिन दूसरी ओर, शून्य घात की किसी भी संख्या की तरह, यह बराबर होना चाहिए। तो यह कितना सच है? गणितज्ञों ने इसमें शामिल न होने का निर्णय लिया और शून्य से शून्य घात बढ़ाने से इनकार कर दिया। अर्थात्, अब हम न केवल शून्य से विभाजित कर सकते हैं, बल्कि इसे शून्य घात तक बढ़ा भी सकते हैं।

पर चलते हैं। पूर्णांकों में प्राकृतिक संख्याओं और संख्याओं के अलावा ऋणात्मक संख्याएँ भी शामिल होती हैं। यह समझने के लिए कि ऋणात्मक घात क्या है, आइए पिछली बार की तरह करें: किसी सामान्य संख्या को उसी संख्या से ऋणात्मक घात से गुणा करें:

यहां से यह व्यक्त करना आसान है कि आप क्या खोज रहे हैं:

आइए अब परिणामी नियम को एक मनमानी डिग्री तक विस्तारित करें:

तो, आइए एक नियम बनाएं:

ऋणात्मक घात वाली संख्या उसी संख्या की धनात्मक घात वाली संख्या का व्युत्क्रम होती है। लेकिन साथ ही आधार शून्य नहीं हो सकता:(क्योंकि आप विभाजित नहीं कर सकते)।

आइए संक्षेप में बताएं:

I. मामले में अभिव्यक्ति परिभाषित नहीं है। यदि, तो.

द्वितीय. शून्य घात की कोई भी संख्या एक के बराबर होती है:।

तृतीय. एक संख्या जो किसी ऋणात्मक घात के शून्य के बराबर नहीं है, उसी संख्या की एक धनात्मक घात के व्युत्क्रम है:।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

खैर, हमेशा की तरह, स्वतंत्र समाधानों के उदाहरण:

स्वतंत्र समाधान के लिए समस्याओं का विश्लेषण:

मुझे पता है, मुझे पता है, संख्याएँ डरावनी हैं, लेकिन एकीकृत राज्य परीक्षा में आपको किसी भी चीज़ के लिए तैयार रहना होगा! यदि आप इन्हें हल नहीं कर सके तो इन उदाहरणों को हल करें या उनके समाधानों का विश्लेषण करें और आप परीक्षा में आसानी से उनका सामना करना सीख जाएंगे!

आइए एक प्रतिपादक के रूप में "उपयुक्त" संख्याओं की सीमा का विस्तार करना जारी रखें।

अब आइये विचार करें भिन्नात्मक संख्याएं।कौन सी संख्याएँ परिमेय कहलाती हैं?

उत्तर: वह सब कुछ जिसे भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां और पूर्णांक हैं, और।

यह समझने के लिए कि यह क्या है "आंशिक डिग्री", भिन्न पर विचार करें:

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को एक घात तक बढ़ाएं:

आइए अब इसके बारे में नियम याद रखें "डिग्री से डिग्री":

प्राप्त करने के लिए किस संख्या को घात तक बढ़ाया जाना चाहिए?

यह सूत्रीकरण वें डिग्री की जड़ की परिभाषा है।

मैं आपको याद दिला दूं: किसी संख्या की वें घात का मूल () एक संख्या है, जिसे एक घात तक बढ़ाने पर, बराबर होता है।

अर्थात्, वें शक्ति का मूल एक शक्ति को ऊपर उठाने का व्युत्क्रम संक्रिया है:।

यह पता चला है कि। जाहिर है, इस विशेष मामले का विस्तार किया जा सकता है:।

अब हम अंश जोड़ते हैं: यह क्या है? पावर-टू-पावर नियम का उपयोग करके उत्तर प्राप्त करना आसान है:

लेकिन क्या आधार कोई संख्या हो सकता है? आख़िरकार, सभी संख्याओं से मूल नहीं निकाला जा सकता।

कोई नहीं!

आइए नियम को याद रखें: किसी भी संख्या को सम घात तक बढ़ाने पर वह एक धनात्मक संख्या होती है। अर्थात् ऋणात्मक संख्याओं से सम मूल निकालना असंभव है!

इसका मतलब यह है कि ऐसी संख्याओं को सम हर के साथ भिन्नात्मक घात तक नहीं बढ़ाया जा सकता है, यानी अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है।

अभिव्यक्ति के बारे में क्या?

लेकिन यहां एक समस्या खड़ी हो जाती है.

संख्या को अन्य, कम करने योग्य भिन्नों के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, या।

और यह पता चला कि यह अस्तित्व में है, लेकिन अस्तित्व में नहीं है, लेकिन ये एक ही संख्या के दो अलग-अलग रिकॉर्ड हैं।

या दूसरा उदाहरण: एक बार, फिर आप इसे लिख सकते हैं। लेकिन अगर हम संकेतक को अलग तरीके से लिखते हैं, तो हम फिर से परेशानी में पड़ जाएंगे: (यानी, हमें पूरी तरह से अलग परिणाम मिला!)।

ऐसे विरोधाभासों से बचने के लिए हम विचार करते हैं भिन्नात्मक घातांक के साथ केवल सकारात्मक आधार घातांक.

तो यदि:

• - प्राकृतिक संख्या;
• - पूर्णांक;

उदाहरण:

उदाहरण के लिए, जड़ों के साथ अभिव्यक्ति को बदलने के लिए तर्कसंगत घातांक बहुत उपयोगी होते हैं:

अभ्यास के लिए 5 उदाहरण

प्रशिक्षण के लिए 5 उदाहरणों का विश्लेषण

1. डिग्री के सामान्य गुणों के बारे में मत भूलना:

2. . यहां हमें याद आया कि हम डिग्रियों की तालिका सीखना भूल गए थे:

आख़िरकार - यह है या. समाधान स्वतः ही मिल जाता है: .

खैर, अब सबसे कठिन हिस्सा आता है। अब हम इसका पता लगाएंगे अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री.

अपवाद के साथ, यहां डिग्री के सभी नियम और गुण तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ डिग्री के समान ही हैं

आख़िरकार, परिभाषा के अनुसार, अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिन्हें भिन्न के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, जहाँ और पूर्णांक हैं (अर्थात, परिमेय संख्याओं को छोड़कर सभी अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ हैं)।

प्राकृतिक, पूर्णांक और तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हर बार हमने एक निश्चित "छवि", "सादृश्य" या अधिक परिचित शब्दों में विवरण बनाया।

उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक घातांक वाली डिग्री एक संख्या है जिसे अपने आप से कई बार गुणा किया जाता है;

...शून्यवीं घात तक की संख्या- यह, मानो, एक संख्या है जिसे एक बार स्वयं से गुणा किया जाता है, अर्थात, उन्होंने अभी तक इसे गुणा करना शुरू नहीं किया है, जिसका अर्थ है कि संख्या स्वयं अभी तक प्रकट भी नहीं हुई है - इसलिए परिणाम केवल एक निश्चित "रिक्त संख्या" है , अर्थात् एक संख्या;

...ऋणात्मक पूर्णांक डिग्री- ऐसा लगता है जैसे कोई "उल्टी प्रक्रिया" घटित हुई हो, अर्थात संख्या को स्वयं से गुणा नहीं किया गया, बल्कि विभाजित किया गया।

वैसे, विज्ञान में अक्सर एक जटिल घातांक वाली डिग्री का उपयोग किया जाता है, अर्थात, घातांक एक वास्तविक संख्या भी नहीं है।

लेकिन स्कूल में हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं; आपको संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर मिलेगा।

जहां हमें यकीन है कि आप जाएंगे! (यदि आप ऐसे उदाहरणों को हल करना सीख जाते हैं :))

उदाहरण के लिए:

अपने लिए तय करें:

समाधान का विश्लेषण:

1. आइए एक शक्ति को एक शक्ति तक बढ़ाने के सामान्य नियम से शुरू करें:

अब सूचक को देखें. क्या वह तुम्हें कुछ याद नहीं दिलाता? आइए हम वर्गों के अंतर के संक्षिप्त गुणन के सूत्र को याद करें:

इस मामले में,

यह पता चला है कि:

उत्तर: .

2. हम घातांकों में भिन्नों को एक ही रूप में घटाते हैं: या तो दोनों दशमलव या दोनों साधारण। उदाहरण के लिए, हमें मिलता है:

उत्तर: 16

3. कुछ खास नहीं, हम डिग्रियों के सामान्य गुणों का उपयोग करते हैं:

अग्रवर्ती स्तर

डिग्री का निर्धारण

एक डिग्री इस रूप की अभिव्यक्ति है: , जहां:

• — डिग्री का आधार;
• - प्रतिपादक.

प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री (एन = 1, 2, 3,...)

किसी संख्या को प्राकृतिक घात n तक बढ़ाने का अर्थ है उस संख्या को उसी संख्या से गुणा करना:

पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री (0, ±1, ±2,...)

यदि प्रतिपादक है सकारात्मक पूर्णांकसंख्या:

निर्माण शून्य डिग्री तक:

अभिव्यक्ति अनिश्चित है, क्योंकि एक ओर, किसी भी डिग्री तक यह है, और दूसरी ओर, वें डिग्री तक कोई भी संख्या यह है।

यदि प्रतिपादक है ऋणात्मक पूर्णांकसंख्या:

(क्योंकि आप विभाजित नहीं कर सकते)।

एक बार फिर शून्य के बारे में: मामले में अभिव्यक्ति परिभाषित नहीं है। यदि, तो.

उदाहरण:

तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ शक्ति

• - प्राकृतिक संख्या;
• - पूर्णांक;

उदाहरण:

डिग्री के गुण

समस्याओं को हल करना आसान बनाने के लिए, आइए समझने की कोशिश करें: ये गुण कहाँ से आए? आइए उन्हें साबित करें.

आइए देखें: क्या है और?

परिभाषा से:

तो, इस अभिव्यक्ति के दाईं ओर हमें निम्नलिखित उत्पाद मिलता है:

लेकिन परिभाषा के अनुसार यह एक घातांक वाली संख्या की घात है, अर्थात:

क्यू.ई.डी.

उदाहरण : अभिव्यक्ति को सरल बनाएं.

समाधान : .

उदाहरण : अभिव्यक्ति को सरल बनाएं.

समाधान : हमारे नियम में यह ध्यान रखना जरूरी है अनिवार्य रूप सेवही कारण होंगे. इसलिए, हम शक्तियों को आधार के साथ जोड़ते हैं, लेकिन यह एक अलग कारक बना रहता है:

एक और महत्वपूर्ण नोट: यह नियम - केवल शक्तियों के उत्पाद के लिए!

आप किसी भी हालत में ऐसा नहीं लिख सकते.

पिछली संपत्ति की तरह, आइए डिग्री की परिभाषा की ओर मुड़ें:

आइए इस कार्य को इस प्रकार पुनः व्यवस्थित करें:

इससे पता चलता है कि व्यंजक को स्वयं से कई गुना गुणा किया जाता है, अर्थात परिभाषा के अनुसार, यह संख्या की वीं घात है:

संक्षेप में, इसे "संकेतक को कोष्ठक से बाहर निकालना" कहा जा सकता है। लेकिन आप इसे समग्र रूप से कभी नहीं कर सकते: !

आइए संक्षिप्त गुणन सूत्र याद रखें: हम कितनी बार लिखना चाहते थे? लेकिन आख़िरकार यह सच नहीं है।

नकारात्मक आधार वाली शक्ति.

इस बिंदु तक हमने केवल इस पर चर्चा की है कि यह कैसा होना चाहिए सूचकडिग्री. लेकिन आधार क्या होना चाहिए? की शक्तियों में प्राकृतिक सूचक आधार हो सकता है कोई भी संख्या .

वास्तव में, हम किसी भी संख्या को एक-दूसरे से गुणा कर सकते हैं, चाहे वे धनात्मक, ऋणात्मक या सम हों। आइए विचार करें कि किन चिह्नों ("" या "") में धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं की घातें होंगी?

उदाहरण के लिए, संख्या धनात्मक है या ऋणात्मक? ए? ?

पहले वाले से, सब कुछ स्पष्ट है: चाहे हम कितनी भी सकारात्मक संख्याओं को एक-दूसरे से गुणा करें, परिणाम सकारात्मक ही होगा।

लेकिन नकारात्मक बातें थोड़ी अधिक दिलचस्प हैं। हमें छठी कक्षा का सरल नियम याद है: "माइनस के लिए माइनस एक प्लस देता है।" वह है, या. लेकिन यदि हम () से गुणा करें तो हमें - मिलता है।

और इसी तरह अनंत काल तक: प्रत्येक बाद के गुणन के साथ चिह्न बदल जाएगा। निम्नलिखित सरल नियम बनाये जा सकते हैं:

1. यहां तक ​​कीडिग्री, - संख्या सकारात्मक.
2. ऋणात्मक संख्या को बढ़ा दिया गया विषमडिग्री, - संख्या नकारात्मक.
3. किसी भी डिग्री तक एक धनात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या होती है।
4. किसी भी शक्ति का शून्य शून्य के बराबर होता है।

स्वयं निर्धारित करें कि निम्नलिखित भावों में कौन सा चिन्ह होगा:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

क्या आप संभाल पाओगे? यहाँ उत्तर हैं:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

पहले चार उदाहरणों में, मुझे आशा है कि सब कुछ स्पष्ट है? हम बस आधार और घातांक को देखते हैं और उचित नियम लागू करते हैं।

उदाहरण 5 में) सब कुछ उतना डरावना नहीं है जितना लगता है: आखिरकार, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आधार किसके बराबर है - डिग्री सम है, जिसका अर्थ है कि परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा। खैर, सिवाय इसके कि जब आधार शून्य हो। आधार तो एक समान नहीं है? जाहिर है नहीं, चूँकि (क्योंकि)।

उदाहरण 6) अब इतना सरल नहीं है। यहां आपको यह पता लगाना होगा कि कौन सा कम है: या? अगर हम उसे याद रखें तो यह स्पष्ट हो जाता है कि, यानी आधार शून्य से भी कम है। अर्थात्, हम नियम 2 लागू करते हैं: परिणाम नकारात्मक होगा।

और फिर से हम डिग्री की परिभाषा का उपयोग करते हैं:

सब कुछ हमेशा की तरह है - हम डिग्री की परिभाषा लिखते हैं और उन्हें एक दूसरे से विभाजित करते हैं, उन्हें जोड़े में विभाजित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

इससे पहले कि हम आखिरी नियम देखें, आइए कुछ उदाहरण हल करें।

भावों की गणना करें:

समाधान :

यदि हम आठवीं शक्ति की उपेक्षा करें तो हम यहाँ क्या देखते हैं? आइए 7वीं कक्षा के कार्यक्रम को याद करें। तो, क्या आपको याद है? यह संक्षिप्त गुणन अर्थात् वर्गों के अंतर का सूत्र है!

हम पाते हैं:

आइए हर को ध्यान से देखें। यह काफी हद तक अंश कारकों में से एक जैसा दिखता है, लेकिन गलत क्या है? शर्तों का क्रम ग़लत है. यदि उन्हें उलट दिया जाए तो नियम 3 लागू हो सकता है लेकिन कैसे? यह पता चला है कि यह बहुत आसान है: हर की सम डिग्री यहां हमारी मदद करती है।

यदि आप इसे इससे गुणा करें, तो कुछ भी नहीं बदलेगा, है ना? लेकिन अब यह इस तरह हो गया है:

जादुई ढंग से शर्तें बदल गईं। यह "घटना" किसी भी अभिव्यक्ति पर एक समान डिग्री तक लागू होती है: हम कोष्ठक में संकेतों को आसानी से बदल सकते हैं। लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है: सभी संकेत एक ही समय में बदलते हैं!आप केवल उस एक नुकसान को बदलकर इसे प्रतिस्थापित नहीं कर सकते जो हमें पसंद नहीं है!

आइए उदाहरण पर वापस जाएं:

और फिर सूत्र:

तो अब आखिरी नियम:

हम इसे कैसे साबित करेंगे? बेशक, हमेशा की तरह: आइए डिग्री की अवधारणा पर विस्तार करें और इसे सरल बनाएं:

खैर, अब कोष्ठक खोलें। कुल कितने अक्षर हैं? गुणक द्वारा गुणा - यह आपको क्या याद दिलाता है? यह एक ऑपरेशन की परिभाषा से अधिक कुछ नहीं है गुणा:वहां सिर्फ मल्टीप्लायर थे. अर्थात्, परिभाषा के अनुसार, यह एक घातांक वाली संख्या की घात है:

उदाहरण:

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री

औसत स्तर के लिए डिग्री के बारे में जानकारी के अलावा, हम एक अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री का विश्लेषण करेंगे। यहां डिग्री के सभी नियम और गुण बिल्कुल उसी तरह हैं जैसे कि एक तर्कसंगत घातांक वाली डिग्री के लिए, अपवाद के साथ - आखिरकार, परिभाषा के अनुसार, अपरिमेय संख्याएं वे संख्याएं हैं जिन्हें एक अंश के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, जहां और पूर्णांक हैं (अर्थात्) , परिमेय संख्याओं को छोड़कर सभी अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ हैं)।

प्राकृतिक, पूर्णांक और तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हर बार हमने एक निश्चित "छवि", "सादृश्य" या अधिक परिचित शब्दों में विवरण बनाया। उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक घातांक वाली डिग्री एक संख्या है जिसे अपने आप से कई बार गुणा किया जाता है; शून्य घात की एक संख्या, मानो, एक संख्या है जिसे स्वयं से एक बार गुणा किया जाता है, अर्थात, उन्होंने अभी तक इसे गुणा करना शुरू नहीं किया है, जिसका अर्थ है कि संख्या स्वयं अभी तक प्रकट भी नहीं हुई है - इसलिए परिणाम केवल एक निश्चित है "रिक्त संख्या", अर्थात् एक संख्या; पूर्णांक ऋणात्मक घातांक वाली एक डिग्री - ऐसा लगता है मानो कोई "विपरीत प्रक्रिया" घटित हुई हो, अर्थात, संख्या को स्वयं से गुणा नहीं किया गया, बल्कि विभाजित किया गया।

एक अपरिमेय घातांक वाली डिग्री की कल्पना करना अत्यंत कठिन है (जैसे कि 4-आयामी स्थान की कल्पना करना कठिन है)। बल्कि यह एक विशुद्ध गणितीय वस्तु है जिसे गणितज्ञों ने डिग्री की अवधारणा को संख्याओं के संपूर्ण स्थान तक विस्तारित करने के लिए बनाया है।

वैसे, विज्ञान में अक्सर एक जटिल घातांक वाली डिग्री का उपयोग किया जाता है, अर्थात, घातांक एक वास्तविक संख्या भी नहीं है। लेकिन स्कूल में हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं; आपको संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर मिलेगा।

यदि हम एक अपरिमेय प्रतिपादक देखते हैं तो हम क्या करते हैं? हम इससे छुटकारा पाने की पूरी कोशिश कर रहे हैं :)

उदाहरण के लिए:

अपने लिए तय करें:

1)

2)

3)

उत्तर:

1. आइये याद करते हैं वर्गों के अंतर का फार्मूला. उत्तर: ।
2. हम भिन्नों को एक ही रूप में घटाते हैं: या तो दोनों दशमलव या दोनों साधारण। उदाहरण के लिए, हमें मिलता है: .
3. कुछ खास नहीं, हम डिग्रियों के सामान्य गुणों का उपयोग करते हैं:

अनुभाग और बुनियादी सूत्रों का सारांश

डिग्रीफॉर्म की अभिव्यक्ति कहा जाता है: , जहां:

पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री

एक डिग्री जिसका घातांक एक प्राकृतिक संख्या है (यानी, पूर्णांक और सकारात्मक)।

तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ शक्ति

डिग्री, जिसका घातांक ऋणात्मक और भिन्नात्मक संख्याएँ हैं।

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री

एक डिग्री जिसका घातांक एक अनंत दशमलव अंश या मूल है।

डिग्री के गुण

डिग्री की विशेषताएं.

• ऋणात्मक संख्या को बढ़ा दिया गया यहां तक ​​कीडिग्री, - संख्या सकारात्मक.
• ऋणात्मक संख्या को बढ़ा दिया गया विषमडिग्री, - संख्या नकारात्मक.
• किसी भी डिग्री तक एक धनात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या होती है।
• शून्य किसी भी शक्ति के बराबर है.
• शून्य घात की कोई भी संख्या बराबर होती है।

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