एक परिमेय संख्या क्या है? परिमेय संख्याएँ क्या हैं? वहाँ और क्या हैं?

भिन्नात्मक संख्याएं

क्वार्टरों

1. सुव्यवस्था. एऔर बीएक नियम है जो किसी को उनके बीच तीन संबंधों में से एक और केवल एक को विशिष्ट रूप से पहचानने की अनुमति देता है: "< », « >" या " = ". इस नियम को कहा जाता है आदेश देने का नियमऔर इस प्रकार तैयार किया गया है: दो गैर-नकारात्मक संख्याएं और दो पूर्णांक और के समान संबंध से संबंधित हैं; दो गैर-सकारात्मक संख्याएँ एऔर बीदो गैर-नकारात्मक संख्याओं के समान संबंध से संबंधित हैं और; अगर अचानक एगैर-नकारात्मक, लेकिन बी- फिर नकारात्मक ए > बी.

   

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2. भिन्न जोड़नाअतिरिक्त कार्रवाई. एऔर बीकिसी भी तर्कसंगत संख्या के लिए वहाँ एक तथाकथित है योग नियमसी योग नियम. उसी समय, संख्या स्वयं बुलायामात्रा एऔर बीनंबर तथा द्वारा निरूपित किया जाता है, तथा ऐसी संख्या ज्ञात करने की प्रक्रिया कहलाती हैयोग . योग नियम है: .
3. अगला दृश्यअतिरिक्त कार्रवाई. एऔर बीकिसी भी तर्कसंगत संख्या के लिए गुणन संक्रिया.गुणन नियम योग नियमसी योग नियम. उसी समय, संख्या स्वयं , जो उन्हें कुछ तर्कसंगत संख्या प्रदान करता हैमात्रा एऔर बीकाम तथा द्वारा निरूपित किया जाता है तथा ऐसी संख्या ज्ञात करने की प्रक्रिया भी कहलाती हैगुणा .
4. . गुणन नियम इस प्रकार दिखता है:आदेश संबंध की परिवर्तनशीलता. ए , बीऔर योग नियमपरिमेय संख्याओं के किसी त्रिक के लिए एअगर बीऔर बीअगर योग नियमकम एअगर योग नियम, वह ए, और यदि बीऔर बी, और यदि योग नियमकम ए, और यदि योग नियमके बराबर होती है
5. . 6435">जोड़ की क्रमविनिमेयता। तर्कसंगत पदों के स्थान बदलने से योग नहीं बदलता है।
6. जोड़ की संबद्धता.तीन परिमेय संख्याओं को जोड़ने का क्रम परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
7. शून्य की उपस्थिति.एक परिमेय संख्या 0 है जो जोड़ने पर हर दूसरी परिमेय संख्या को सुरक्षित रखती है।
8. विपरीत संख्याओं की उपस्थिति.किसी भी परिमेय संख्या की एक विपरीत परिमेय संख्या होती है, जिसे जोड़ने पर 0 आता है।
9. गुणन की क्रमविनिमेयता.तर्कसंगत कारकों के स्थान बदलने से उत्पाद नहीं बदलता है।
10. गुणन की साहचर्यता.जिस क्रम में तीन परिमेय संख्याओं को गुणा किया जाता है वह परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
11. यूनिट की उपलब्धता.एक परिमेय संख्या 1 है जो गुणा करने पर हर दूसरी परिमेय संख्या को सुरक्षित रखती है।
12. पारस्परिक संख्याओं की उपस्थिति.किसी भी परिमेय संख्या में एक व्युत्क्रम परिमेय संख्या होती है, जिसे गुणा करने पर 1 प्राप्त होता है।
13. जोड़ के सापेक्ष गुणन की वितरणशीलता।एक ही तर्कसंगत संख्या को तर्कसंगत असमानता के बाएँ और दाएँ पक्ष में जोड़ा जा सकता है।
14. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border='0'>आर्किमिडीज़ का अभिगृहीत. एपरिमेय संख्या जो भी हो ए, आप इतनी अधिक इकाइयाँ ले सकते हैं कि उनका योग अधिक हो जाए

.

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अतिरिक्त गुण

परिमेय संख्याओं में निहित अन्य सभी गुणों को मूल गुणों के रूप में प्रतिष्ठित नहीं किया जाता है, क्योंकि, आम तौर पर बोलते हुए, वे अब सीधे पूर्णांकों के गुणों पर आधारित नहीं होते हैं, बल्कि दिए गए मूल गुणों के आधार पर या सीधे कुछ गणितीय वस्तु की परिभाषा के आधार पर सिद्ध किए जा सकते हैं। . ऐसी बहुत सारी अतिरिक्त संपत्तियां हैं. उनमें से केवल कुछ को ही यहां सूचीबद्ध करना उचित है।

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एक सेट की गणनाशीलता तर्कसंगत संख्याओं की संख्या.

परिमेय संख्याओं की संख्या का अनुमान लगाने के लिए, आपको उनके सेट की प्रमुखता ज्ञात करनी होगी। यह सिद्ध करना आसान है कि परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है। ऐसा करने के लिए, एक एल्गोरिदम देना पर्याप्त है जो तर्कसंगत संख्याओं की गणना करता है, यानी, तर्कसंगत और तर्कसंगत के सेट के बीच एक आक्षेप स्थापित करता है प्राकृतिक संख्याइनमें से सबसे सरल एल्गोरिदम इस तरह दिखता है। एक अंतहीन तालिका बनाई जाती है साधारण अंश, सभी के ऊपर मैं-प्रत्येक में पंक्ति साधारण अंशजे मैंवह स्तम्भ जिसमें भिन्न स्थित है। निश्चितता के लिए, यह माना जाता है कि इस तालिका की पंक्तियों और स्तंभों को एक से शुरू करके क्रमांकित किया गया है। तालिका कक्षों को , द्वारा दर्शाया जाता है

- तालिका पंक्ति की संख्या जिसमें सेल स्थित है, और

- कॉलम नंबर.

परिणामी तालिका को निम्नलिखित औपचारिक एल्गोरिदम के अनुसार "साँप" का उपयोग करके पार किया जाता है। इन नियमों को ऊपर से नीचे तक खोजा जाता है और पहले मैच के आधार पर अगली स्थिति का चयन किया जाता है।ऐसे ट्रैवर्सल की प्रक्रिया में, प्रत्येक नई परिमेय संख्या किसी अन्य प्राकृतिक संख्या से जुड़ी होती है। अर्थात्, भिन्न 1/1 को संख्या 1, भिन्न 2/1 को संख्या 2, आदि को सौंपा गया है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि केवल अप्रासंगिक भिन्नों को क्रमांकित किया जाता है।

इस एल्गोरिथम का अनुसरण करके, हम सभी सकारात्मक परिमेय संख्याओं की गणना कर सकते हैं। इसका अर्थ यह है कि धनात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है। प्रत्येक परिमेय संख्या को इसके विपरीत निर्दिष्ट करके सकारात्मक और नकारात्मक परिमेय संख्याओं के सेट के बीच एक आक्षेप स्थापित करना आसान है। वह। ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय भी गणनीय है। उनका संघ भी गणनीय समुच्चय के गुण से गणनीय है। परिमेय संख्याओं का समुच्चय एक परिमित समुच्चय के साथ गणनीय समुच्चय के मिलन के रूप में भी गणनीय होता है।

परिमेय संख्याओं के समुच्चय की गणनीयता के बारे में कथन कुछ भ्रम पैदा कर सकता है, क्योंकि पहली नज़र में ऐसा लगता है कि यह प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय से कहीं अधिक व्यापक है। वास्तव में, ऐसा नहीं है और सभी परिमेय संख्याओं की गणना करने के लिए पर्याप्त प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

तर्कसंगत संख्याओं का अभाव

ऐसे त्रिभुज के कर्ण को किसी परिमेय संख्या द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता

प्रपत्र 1 की तर्कसंगत संख्या / एनअत्याधिक एनमनमाने ढंग से छोटी मात्राएँ मापी जा सकती हैं। यह तथ्य यह भ्रामक धारणा पैदा करता है कि तर्कसंगत संख्याओं का उपयोग किसी भी ज्यामितीय दूरी को मापने के लिए किया जा सकता है। यह दिखाना आसान है कि यह सच नहीं है।

टिप्पणियाँ

साहित्य

• I. कुशनीर। स्कूली बच्चों के लिए गणित की पुस्तिका. - कीव: एस्टार्टा, 1998. - 520 पी।
• पी. एस. अलेक्जेंड्रोव। सेट सिद्धांत और सामान्य टोपोलॉजी का परिचय। - एम.: अध्याय. एड. भौतिकी और गणित जलाया एड. "विज्ञान", 1977
• आई. एल. खमेलनित्सकी। बीजगणितीय प्रणालियों के सिद्धांत का परिचय

लिंक

विकिमीडिया फाउंडेशन.

2010.संख्या

- एक महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणा जो सदियों से बदल गई है।

संख्या के बारे में पहला विचार लोगों, जानवरों, फलों, विभिन्न उत्पादों आदि की गिनती से उत्पन्न हुआ। परिणाम प्राकृतिक संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4, ...

ऐतिहासिक रूप से, संख्या की अवधारणा का पहला विस्तार प्राकृतिक संख्या में भिन्नात्मक संख्याओं का योग है।अंश

किसी इकाई या अनेक समान भागों के एक भाग (शेयर) को कहते हैं। द्वारा नामित: , कहाँएम, एन

- पूर्णांक; एनहर 10 वाले भिन्न एन, कहाँ - एक पूर्णांक, कहा जाता है: .

दशमलव दशमलव के बीचविशेष स्थान पर कब्जा: आवधिक अंश - शुद्ध आवर्त अंश,

- मिश्रित आवधिक अंश। संख्या की अवधारणा का और अधिक विस्तार गणित (बीजगणित) के विकास के कारण हुआ है। 17वीं शताब्दी में डेसकार्टेस। अवधारणा का परिचय देता है.

ऋणात्मक संख्या संख्याएँ पूर्णांक (धनात्मक एवं ऋणात्मक), भिन्न (धनात्मक एवं ऋणात्मक) तथा शून्य कहलाती हैंभिन्नात्मक संख्याएं

लगातार बदलती परिवर्तनीय मात्राओं का अध्ययन करने के लिए, संख्या की अवधारणा का एक नया विस्तार आवश्यक हो गया - तर्कसंगत संख्याओं में अपरिमेय संख्याओं को जोड़कर वास्तविक (वास्तविक) संख्याओं का परिचय: तर्कहीन संख्याअनंत दशमलव गैर-आवधिक भिन्न हैं।

बीजगणित में असंगत खंडों (एक वर्ग की भुजा और विकर्ण) को मापते समय अपरिमेय संख्याएँ प्रकट हुईं - जड़ें निकालते समय, एक अनुवांशिक, अपरिमेय संख्या का एक उदाहरण π है, ई .

नंबर प्राकृतिक(1, 2, 3,...), साबुत(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), तर्कसंगत(एक अंश के रूप में प्रतिनिधित्व करने योग्य) और तर्कहीन(अंश के रूप में प्रस्तुत करने योग्य नहीं ) एक सेट बनाएं वास्तविक (वास्तविक)नंबर.

गणित में सम्मिश्र संख्याओं को अलग-अलग प्रतिष्ठित किया जाता है।

जटिल संख्याएँमामले के वर्गों को हल करने की समस्या के संबंध में उत्पन्न होता है डी< 0 (здесь डी- द्विघात समीकरण का विभेदक)। लंबे समय तक, इन नंबरों को भौतिक अनुप्रयोग नहीं मिला, यही वजह है कि इन्हें "काल्पनिक" नंबर कहा जाता था। हालाँकि, अब वे भौतिकी और प्रौद्योगिकी के विभिन्न क्षेत्रों में बहुत व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं: इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग, हाइड्रो- और वायुगतिकी, लोच सिद्धांत, आदि।

जटिल संख्याएँ इस रूप में लिखे गए हैं: z= ए+ द्वि. यहाँ एऔर बी – वास्तविक संख्या, ए साधारण अंश – काल्पनिक इकाई, यानीई. साधारण अंश 2 = -1. संख्या एबुलाया सूच्याकार आकृति का भुज, ए बी -तालमेलसम्मिश्र संख्या ए+ द्वि. दो सम्मिश्र संख्याएँ ए+ द्विऔर ए-द्विकहा जाता है संयुग्मितसम्मिश्र संख्याएँ.

गुण:

1. वास्तविक संख्या एसम्मिश्र संख्या रूप में भी लिखा जा सकता है: ए+ 0साधारण अंशया ए - 0साधारण अंश. उदाहरण के लिए 5 + 0 साधारण अंशऔर 5 - 0 साधारण अंशमतलब वही संख्या 5.

2. सम्मिश्र संख्या 0 + द्विबुलाया पूर्णतः काल्पनिक संख्या. अभिलेख द्विमतलब 0 के समान है + द्वि.

3. दो सम्मिश्र संख्याएँ ए+ द्विऔर योग नियम+ डियदि समान माना जाता है ए= सीऔर बी= डी. अन्यथा सम्मिश्र संख्याएँसम नही।

क्रियाएँ:

जोड़ना। सम्मिश्र संख्याओं का योग ए+ द्विऔर योग नियम+ डिसम्मिश्र संख्या कहलाती है ( ए+ योग नियम) + (बी+ डी)साधारण अंश. इस प्रकार, सम्मिश्र संख्याओं को जोड़ते समय उनके भुज और निर्देशांक अलग-अलग जोड़े जाते हैं।

घटाव. दो सम्मिश्र संख्याओं का अंतर ए+ द्वि(कम) और योग नियम+ डि(subtrahend) को सम्मिश्र संख्या कहा जाता है ( ए-सी) + (बी डी)साधारण अंश. इस प्रकार, दो जटिल संख्याओं को घटाते समय, उनके भुज और निर्देशांक अलग-अलग घटाए जाते हैं।

गुणन. सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल ए+ द्विऔर योग नियम+ डिसम्मिश्र संख्या कहलाती है:

(एसी-बीडी) + (विज्ञापन+ ईसा पूर्व)साधारण अंश. यह परिभाषा दो आवश्यकताओं का अनुसरण करती है:

1) संख्याएँ ए+ द्विऔर योग नियम+ डिबीजगणितीय द्विपदों की तरह गुणा किया जाना चाहिए,

2) संख्या साधारण अंशमुख्य संपत्ति है: साधारण अंश 2 = –1.

उदाहरण ( ए+ द्वि)(ए-द्वि)=ए 2 +बी 2 . इस तरह, कामदो संयुग्मी सम्मिश्र संख्याएँ एक धनात्मक वास्तविक संख्या के बराबर होती हैं।

विभाजन। किसी सम्मिश्र संख्या को विभाजित करें ए+ द्वि(विभाज्य) दूसरे द्वारा योग नियम+ डि (विभाजक) - मतलब तीसरा नंबर ढूंढना ई+ च मैं(चैट), जिसे जब एक भाजक से गुणा किया जाता है योग नियम+ डि, परिणाम लाभांश में होता है ए+ द्वि. यदि भाजक शून्य नहीं है, तो विभाजन सदैव संभव है।

उदाहरण खोजें (8+ साधारण अंश) : (2 – 3साधारण अंश) .

समाधान आइए इस अनुपात को भिन्न के रूप में पुनः लिखें:

इसके अंश और हर को 2 + 3 से गुणा करना साधारण अंशऔर सभी परिवर्तन करने के बाद, हमें मिलता है:

कार्य 1: z जोड़ें, घटाएँ, गुणा करें और भाग करें 1 ज़ेड पर 2

वर्गमूल निकालना: प्रश्न हल करें एक्स 2 = -एक। इस समीकरण को हल करने के लिएहम एक नए प्रकार के नंबरों का उपयोग करने के लिए बाध्य हैं - काल्पनिक संख्याएँ . इस प्रकार, काल्पनिक नंबर पर कॉल किया जाता है जिसकी दूसरी घात एक ऋणात्मक संख्या है. काल्पनिक संख्याओं की इस परिभाषा के अनुसार हम तथा को परिभाषित कर सकते हैं काल्पनिक इकाई:

फिर समीकरण के लिए एक्स 2 = – 25 हमें दो प्राप्त होते हैं काल्पनिकजड़:

कार्य 2: प्रश्न हल करें:

1) एक्स 2 = – 36; 2) एक्स 2 = – 49; 3) एक्स 2 = – 121

सम्मिश्र संख्याओं का ज्यामितीय निरूपण। वास्तविक संख्याओं को संख्या रेखा पर बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है:

बात यहीं है एमतलब संख्या -3, बिंदु बी-संख्या 2, और हे-शून्य। इसके विपरीत, जटिल संख्याओं को निर्देशांक तल पर बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रयोजन के लिए, हम दोनों अक्षों पर समान पैमाने के साथ आयताकार (कार्टेशियन) निर्देशांक चुनते हैं। फिर सम्मिश्र संख्या ए+ द्विएक बिंदु द्वारा दर्शाया जाएगा एब्सिस्सा के साथ पीए और समन्वयबी. इस समन्वय प्रणाली को कहा जाता है जटिल विमान .

मॉड्यूल सम्मिश्र संख्या वेक्टर की लंबाई है सेशन, निर्देशांक पर एक सम्मिश्र संख्या का प्रतिनिधित्व करता है ( विस्तृत) विमान। एक सम्मिश्र संख्या का मापांक ए+ द्विनिरूपित | ए+ द्वि| या) पत्र आरऔर इसके बराबर है:

संयुग्मित सम्मिश्र संख्याओं का मापांक समान होता है।

चित्र बनाने के नियम लगभग कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में चित्र बनाने के समान ही हैं, आपको जिन अक्षों के साथ आयाम निर्धारित करने की आवश्यकता है, ध्यान दें:

ई
वास्तविक अक्ष के अनुदिश इकाई; रेज

काल्पनिक अक्ष के अनुदिश काल्पनिक इकाई। मैं ज़ेड

कार्य 3. सम्मिश्र तल पर निम्नलिखित सम्मिश्र संख्याओं की रचना कीजिए: , , , , , , ,

1. संख्याएँ सटीक और अनुमानित हैं।व्यवहार में हम जिन संख्याओं का सामना करते हैं वे दो प्रकार की होती हैं। कुछ मात्रा का सही मूल्य बताते हैं, अन्य केवल अनुमानित। पहले को सटीक कहा जाता है, दूसरे को अनुमानित कहा जाता है। प्रायः सटीक संख्या के बजाय अनुमानित संख्या का उपयोग करना सुविधाजनक होता है, खासकर कई मामलों में वास्तविक संख्याबिल्कुल भी खोजना असंभव है।

इसलिए, यदि वे कहते हैं कि एक कक्षा में 29 छात्र हैं, तो 29 की संख्या सटीक है। यदि वे कहते हैं कि मॉस्को से कीव की दूरी 960 किमी है, तो यहां संख्या 960 अनुमानित है, क्योंकि, एक तरफ, हमारे माप उपकरण बिल्कुल सटीक नहीं हैं, दूसरी तरफ, शहरों में स्वयं एक निश्चित सीमा है।

अनुमानित संख्या वाले कार्यों का परिणाम भी अनुमानित संख्या ही होता है। सटीक संख्याओं (विभाजन, मूल निष्कर्षण) पर कुछ ऑपरेशन करके, आप अनुमानित संख्याएँ भी प्राप्त कर सकते हैं।

अनुमानित गणना का सिद्धांत अनुमति देता है:

1) डेटा की सटीकता की डिग्री जानने के बाद, परिणामों की सटीकता की डिग्री का मूल्यांकन करें;

2) परिणाम की आवश्यक सटीकता सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त सटीकता के साथ डेटा लें;

3) गणना प्रक्रिया को युक्तिसंगत बनाएं, इसे उन गणनाओं से मुक्त करें जो परिणाम की सटीकता को प्रभावित नहीं करेंगी।

2. गोलाई.अनुमानित संख्याएँ प्राप्त करने का एक स्रोत पूर्णांकन है। अनुमानित और सटीक दोनों संख्याएँ पूर्णांकित हैं।

किसी दी गई संख्या को एक निश्चित अंक तक पूर्णांकित करने को एक नई संख्या से प्रतिस्थापित करना कहा जाता है, जो दी गई संख्या से इस अंक के दाईं ओर लिखे उसके सभी अंकों को हटाकर, या उनके स्थान पर शून्य लगाकर प्राप्त की जाती है। ये शून्य आमतौर पर रेखांकित या छोटे लिखे जाते हैं। यह सुनिश्चित करने के लिए कि पूर्णांकित संख्या पूर्णांकित संख्या के यथासंभव करीब है, आपको निम्नलिखित नियमों का उपयोग करना चाहिए: किसी संख्या को एक निश्चित अंक में पूर्णांकित करने के लिए, आपको इस अंक के अंक के बाद के सभी अंकों को हटाना होगा, और प्रतिस्थापित करना होगा उन्हें पूर्ण संख्या में शून्य के साथ. निम्नलिखित को ध्यान में रखा जाता है:

1) यदि छोड़े गए अंकों में से पहला (बाईं ओर) 5 से कम है, तो अंतिम शेष अंक नहीं बदला जाएगा (नीचे की ओर पूर्णांकित करना);

2) यदि छोड़ा जाने वाला पहला अंक 5 से अधिक या 5 के बराबर है, तो बचे हुए अंतिम अंक को एक से बढ़ा दिया जाता है (अतिरिक्त के साथ पूर्णांकित करते हुए)।

आइए इसे उदाहरणों के साथ दिखाते हैं। गोल:

क) दसवें भाग तक 12.34;

बी) सौवें हिस्से तक 3.2465; 1038.785;

ग) हजारवें भाग तक 3.4335।

घ) हजार 12375 तक; 320729.

ए) 12.34 ≈ 12.3;

बी) 3.2465 ≈ 3.25; 1038.785 ≈ 1038.79;

ग) 3.4335 ≈ 3.434।

घ) 12375 ≈ 12,000; 320729 ≈ 321000.

3. निरपेक्ष एवं सापेक्ष त्रुटियाँ।सटीक संख्या और उसके अनुमानित मान के बीच के अंतर को अनुमानित संख्या की निरपेक्ष त्रुटि कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि सटीक संख्या 1.214 को निकटतम दसवें तक पूर्णांकित किया जाए, तो हमें 1.2 की अनुमानित संख्या प्राप्त होती है। इस मामले में पूर्ण त्रुटिअनुमानित संख्या 1.2 1.214 - 1.2 के बराबर है, अर्थात। 0.014.

लेकिन ज्यादातर मामलों में सही मूल्यविचाराधीन मात्रा अज्ञात है, लेकिन केवल अनुमानित है। तब पूर्ण त्रुटि अज्ञात है. इन मामलों में, उस सीमा को इंगित करें जिससे यह अधिक न हो। इस संख्या को सीमित निरपेक्ष त्रुटि कहा जाता है। वे कहते हैं कि किसी संख्या का सटीक मान उसके अनुमानित मान के बराबर होता है जिसमें सीमांत त्रुटि से कम त्रुटि होती है। उदाहरण के लिए, संख्या 23.71 0.01 की सटीकता के साथ संख्या 23.7125 का अनुमानित मान है, क्योंकि सन्निकटन की पूर्ण त्रुटि 0.0025 है और 0.01 से कम है। यहां सीमित निरपेक्ष त्रुटि 0.01* है।

अनुमानित संख्या की सीमा निरपेक्ष त्रुटि एप्रतीक Δ द्वारा निरूपित ए. अभिलेख

एक्स≈ए(±Δ ए)

इसे इस प्रकार समझा जाना चाहिए: मात्रा का सटीक मूल्य एक्ससंख्याओं के बीच है ए– Δ एऔर ए+ Δ ए, जिन्हें क्रमशः निचली और ऊपरी सीमाएँ कहा जाता है एक्सऔर एनजी को निरूपित करें एक्सवीजी एक्स.

उदाहरण के लिए, यदि एक्स≈ 2.3 (±0.1), फिर 2.2<एक्स< 2,4.

इसके विपरीत, यदि 7.3< एक्स< 7,4, тоएक्स≈ 7.35 (±0.05). निरपेक्ष या सीमांत निरपेक्ष त्रुटि किए गए माप की गुणवत्ता को चित्रित नहीं करती है। उसी पूर्ण त्रुटि को उस संख्या के आधार पर महत्वपूर्ण और महत्वहीन माना जा सकता है जिसके साथ मापा गया मान व्यक्त किया गया है। उदाहरण के लिए, यदि हम दो शहरों के बीच की दूरी को एक किलोमीटर की सटीकता के साथ मापते हैं, तो ऐसी सटीकता इस परिवर्तन के लिए काफी पर्याप्त है, लेकिन साथ ही, जब एक ही सड़क पर दो घरों के बीच की दूरी को मापते हैं, तो ऐसी सटीकता होगी गवारा नहीं। नतीजतन, किसी मात्रा के अनुमानित मूल्य की सटीकता न केवल पूर्ण त्रुटि के परिमाण पर निर्भर करती है, बल्कि मापी गई मात्रा के मूल्य पर भी निर्भर करती है। इसलिए, सापेक्ष त्रुटि सटीकता का एक माप है।

सापेक्ष त्रुटि पूर्ण त्रुटि का अनुमानित संख्या के मान से अनुपात है। सीमित निरपेक्ष त्रुटि और अनुमानित संख्या के अनुपात को सीमित सापेक्ष त्रुटि कहा जाता है; वे इसे इस प्रकार नामित करते हैं: . सापेक्ष और सीमांत सापेक्ष त्रुटियाँ आमतौर पर प्रतिशत के रूप में व्यक्त की जाती हैं। उदाहरण के लिए, यदि माप से पता चलता है कि दूरी एक्सदो बिंदुओं के बीच 12.3 किमी से अधिक, लेकिन 12.7 किमी से कम है, तो इन दोनों संख्याओं का अंकगणितीय माध्य इसके अनुमानित मूल्य के रूप में लिया जाता है, अर्थात। उनका आधा योग, तो सीमांत निरपेक्ष त्रुटि इन संख्याओं के आधे अंतर के बराबर है। इस मामले में एक्स≈ 12.5 (±0.2). यहां सीमित निरपेक्ष त्रुटि 0.2 किमी है, और सीमित सापेक्ष त्रुटि है

) धनात्मक या ऋणात्मक चिह्न (पूर्णांक और भिन्न) और शून्य वाली संख्याएँ हैं। परिमेय संख्याओं की अधिक सटीक अवधारणा इस प्रकार है:

तर्कसंगत संख्या- एक संख्या जिसे सामान्य भिन्न के रूप में दर्शाया जाता है एम/एन, जहां अंश एमपूर्णांक हैं, और हर एन- प्राकृतिक संख्या, उदाहरण के लिए 2/3.

परिमेय संख्याओं के समुच्चय में अनंत गैर-आवधिक भिन्न शामिल नहीं हैं।

ए/बी, कहाँ ए∈ जेड (एपूर्णांकों से संबंधित है), बी∈ एन (बीप्राकृतिक संख्याओं से संबंधित है)।

वास्तविक जीवन में तर्कसंगत संख्याओं का उपयोग करना।

वास्तविक जीवन में, परिमेय संख्याओं के समुच्चय का उपयोग कुछ पूर्णांक विभाज्य वस्तुओं के भागों को गिनने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए, केक या अन्य खाद्य पदार्थ जिन्हें उपभोग से पहले टुकड़ों में काटा जाता है, या विस्तारित वस्तुओं के स्थानिक संबंधों का मोटे तौर पर अनुमान लगाने के लिए।

परिमेय संख्याओं के गुण.

परिमेय संख्याओं के मूल गुण।

1. सुव्यवस्था एऔर बीएक नियम है जो आपको उनके बीच 3 संबंधों में से 1 और केवल एक को स्पष्ट रूप से पहचानने की अनुमति देता है: "<», «>"या "="। ये है नियम- आदेश देने का नियमऔर इसे इस प्रकार तैयार करें:

• 2 सकारात्मक संख्याएँ ए=एम ए /एन एऔर बी=एम बी /एन बीदो पूर्णांकों के समान संबंध से संबंधित हैं एम ए⋅ एन बीऔर एम बी⋅ एन ए;
• 2 नकारात्मक संख्याएँ एऔर बी 2 धनात्मक संख्याओं के समान अनुपात से संबंधित हैं |बी|और |ए|;
• कब एसकारात्मक और बी- फिर नकारात्मक ए>बी.

∀ ए,बी∈ क्यू(ए ∨ ए>बी∨ ए=बी)

2. अतिरिक्त कार्रवाई. सभी परिमेय संख्याओं के लिए एऔर बीवहाँ है वहाँ एक तथाकथित है, जो उन्हें एक निश्चित परिमेय संख्या प्रदान करता है योग नियम. उसी समय, संख्या स्वयं योग नियम- यह जोड़मात्रा एऔर बीऔर इसे इस रूप में दर्शाया गया है (ए+बी) योग.

योग नियमइस तरह दिखता है:

एम ए/एन ए + एम बी/एन बी =(एम ए⋅ एन बी + एम बी⋅ एन ए)/(एन ए⋅ एन बी).

∀ ए,बी∈ क्यू∃ !(ए+बी)∈ क्यू

3. गुणन संक्रिया. सभी परिमेय संख्याओं के लिए एऔर बीवहाँ है गुणन संक्रिया., यह उन्हें एक निश्चित तर्कसंगत संख्या के साथ जोड़ता है योग नियम. संख्या c को कहा जाता है , जो उन्हें कुछ तर्कसंगत संख्या प्रदान करता हैमात्रा एऔर बीऔर निरूपित करें (a⋅b), और इस संख्या को खोजने की प्रक्रिया को कहा जाता है गुणा.

गुणन नियमइस तरह दिखता है: एम ए एन ए⋅ एम बी एन बी =एम ए⋅ एम बी एन ए⋅ एन बी.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. . गुणन नियम इस प्रकार दिखता है:किन्हीं तीन परिमेय संख्याओं के लिए ए, बीऔर योग नियमअगर एकम बीऔर बीकम योग नियम, वह एकम सी, और यदि एके बराबर होती है बीऔर बीके बराबर होती है योग नियम, वह एके बराबर होती है सी.

∀ ए, बी, सी∈ क्यू(ए ∧ बी ⇒ ए ∧ (ए = बी∧ बी = सी⇒ ए = सी)

5. जोड़ की क्रमविनिमेयता. तर्कसंगत पदों के स्थान बदलने से योग नहीं बदलता है।

∀ ए,बी∈ क्यू ए+बी=बी+ए

6. अतिरिक्त साहचर्यता. 3 परिमेय संख्याओं को जोड़ने का क्रम परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।

∀ ए, बी, सी∈ क्यू (ए+बी)+सी=ए+(बी+सी)

7. शून्य की उपस्थिति. एक परिमेय संख्या 0 है, इसे जोड़ने पर यह अन्य सभी परिमेय संख्याओं को सुरक्षित रखती है।

∃ 0 ∈ क्यू∀ ए∈ क्यू ए+0=ए

8. विपरीत संख्याओं की उपस्थिति. किसी भी परिमेय संख्या में एक विपरीत परिमेय संख्या होती है, और जब उन्हें जोड़ा जाता है, तो परिणाम 0 होता है।

∀ ए∈ क्यू∃ (-ए)∈ Q a+(−a)=0

9. गुणन की क्रमविनिमेयता. तर्कसंगत कारकों के स्थान बदलने से उत्पाद नहीं बदलता है।

∀ ए,बी∈ प्रश्न ए⋅ बी=बी⋅ ए

10. गुणन की साहचर्यता. जिस क्रम में 3 परिमेय संख्याओं को गुणा किया जाता है उसका परिणाम पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।

∀ ए, बी, सी∈ क्यू(ए⋅ बी)⋅ सी=ए⋅ (बी⋅ सी)

11. यूनिट उपलब्धता. एक परिमेय संख्या 1 है, यह गुणन की प्रक्रिया में हर दूसरी परिमेय संख्या को सुरक्षित रखती है।

∃ 1 ∈ क्यू∀ ए∈ प्रश्न ए⋅ 1=ए

12. उपलब्धता पारस्परिक संख्याएँ . शून्य के अलावा प्रत्येक परिमेय संख्या में एक व्युत्क्रम परिमेय संख्या होती है, जिसे गुणा करने पर हमें 1 प्राप्त होता है .

∀ ए∈ क्यू∃ ए−1∈ प्रश्न ए⋅ a−1=1

13. जोड़ के सापेक्ष गुणन की वितरणशीलता. गुणन संक्रिया वितरण नियम का उपयोग करके जोड़ से संबंधित है:

∀ ए, बी, सी∈ क्यू(ए+बी)⋅ सी=ए⋅ सी+बी⋅ योग नियम

14. ऑर्डर संबंध और अतिरिक्त ऑपरेशन के बीच संबंध. एक तर्कसंगत असमानता के बाएँ और दाएँ पक्ष में एक ही तर्कसंगत संख्या जोड़ी जाती है।

∀ ए, बी, सी∈ प्रश्न ए ⇒ ए+सी

15. क्रम संबंध और गुणन संक्रिया के बीच संबंध. तर्कसंगत असमानता के बाएँ और दाएँ पक्षों को एक ही गैर-नकारात्मक तर्कसंगत संख्या से गुणा किया जा सकता है।

∀ ए, बी, सी∈ क्यू सी>0∧ ए ⇒ ए⋅ सी ⋅ योग नियम

16. आर्किमिडीज़ का अभिगृहीत. परिमेय संख्या जो भी हो ए, इतनी सारी इकाइयाँ लेना आसान है कि उनका योग अधिक होगा ए.

भिन्नात्मक संख्याएं

क्वार्टरों

1. सुव्यवस्था. एऔर बीएक नियम है जो किसी को उनके बीच के तीनों में से एक और केवल एक को विशिष्ट रूप से पहचानने की अनुमति देता है रिश्ते : « < », « >" या " = ". इस नियम को कहा जाता है आदेश देने का नियमऔर इस प्रकार तैयार किया गया है: दो गैर-नकारात्मक संख्याएं और दो पूर्णांक और के समान संबंध से संबंधित हैं; दो गैर-सकारात्मक संख्याएँ एऔर बीदो गैर-नकारात्मक संख्याओं के समान संबंध से संबंधित हैं और; अगर अचानक एगैर-नकारात्मक, लेकिन बी- फिर नकारात्मक ए > बी.

   

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2. अतिरिक्त कार्रवाई. अतिरिक्त कार्रवाई. एऔर बीकिसी भी तर्कसंगत संख्या के लिए वहाँ एक तथाकथित है योग नियमसी योग नियम. उसी समय, संख्या स्वयं मात्रा मात्रा एऔर बीनंबर तथा द्वारा निरूपित किया जाता है, तथा ऐसी संख्या ज्ञात करने की प्रक्रिया कहलाती है. योग नियम का निम्नलिखित रूप है: .
3. गुणन संक्रिया. अतिरिक्त कार्रवाई. एऔर बीकिसी भी तर्कसंगत संख्या के लिए गुणन संक्रिया.गुणन नियम योग नियमसी योग नियम. उसी समय, संख्या स्वयं काम मात्रा एऔर बीकाम तथा द्वारा निरूपित किया जाता है तथा ऐसी संख्या ज्ञात करने की प्रक्रिया भी कहलाती हैगुणा .
4. संक्रामिताआदेश संबंध.आदेश संबंध की परिवर्तनशीलता. ए , बीऔर योग नियमपरिमेय संख्याओं के किसी त्रिक के लिए एअगर बीऔर बीअगर योग नियमकम एअगर योग नियम, वह ए, और यदि बीऔर बी, और यदि योग नियमकम ए, और यदि योग नियमके बराबर होती है
5. संबद्धताजोड़ना। 6435">जोड़ की क्रमविनिमेयता। तर्कसंगत पदों के स्थान बदलने से योग नहीं बदलता है।
6. उपलब्धता शून्य. तीन परिमेय संख्याओं को जोड़ने का क्रम परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
7. शून्य की उपस्थिति.एक परिमेय संख्या 0 है जो जोड़ने पर हर दूसरी परिमेय संख्या को सुरक्षित रखती है।
8. विपरीत संख्याओं की उपस्थिति.किसी भी परिमेय संख्या की एक विपरीत परिमेय संख्या होती है, जिसे जोड़ने पर 0 आता है।
9. गुणन की क्रमविनिमेयता.तर्कसंगत कारकों के स्थान बदलने से उत्पाद नहीं बदलता है।
10. उपलब्धता इकाइयां. जिस क्रम में तीन परिमेय संख्याओं को गुणा किया जाता है वह परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
11. उपलब्धता पारस्परिक संख्याएँ. एक परिमेय संख्या 1 है जो गुणा करने पर हर दूसरी परिमेय संख्या को सुरक्षित रखती है।
12. वितरणशीलताजोड़ के सापेक्ष गुणन।किसी भी परिमेय संख्या में एक व्युत्क्रम परिमेय संख्या होती है, जिसे गुणा करने पर 1 प्राप्त होता है।
13. जोड़ के सापेक्ष गुणन की वितरणशीलता।एक ही तर्कसंगत संख्या को तर्कसंगत असमानता के बाएँ और दाएँ पक्ष में जोड़ा जा सकता है।
14. आर्किमिडीज़ का अभिगृहीत. आर्किमिडीज़ का अभिगृहीत. एपरिमेय संख्या जो भी हो ए, आप इतनी अधिक इकाइयाँ ले सकते हैं कि उनका योग अधिक हो जाए

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अतिरिक्त गुण

परिमेय संख्याओं में निहित अन्य सभी गुणों को मूल गुणों के रूप में प्रतिष्ठित नहीं किया जाता है, क्योंकि, आम तौर पर बोलते हुए, वे अब सीधे पूर्णांकों के गुणों पर आधारित नहीं होते हैं, बल्कि दिए गए मूल गुणों के आधार पर या सीधे कुछ गणितीय वस्तु की परिभाषा के आधार पर सिद्ध किए जा सकते हैं। . ऐसी बहुत सारी अतिरिक्त संपत्तियां हैं. उनमें से केवल कुछ को ही यहां सूचीबद्ध करना उचित है।

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परिमेय संख्याओं की संख्या का अनुमान लगाने के लिए, आपको खोजने की आवश्यकता है शक्तिउनमें से कई हैं। यह सिद्ध करना आसान है कि परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय. ऐसा करने के लिए, एक एल्गोरिदम देना पर्याप्त है जो तर्कसंगत संख्याओं को संख्याबद्ध करता है, अर्थात स्थापित करता है द्विभाजनपरिमेय और प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के बीच।

इनमें से सबसे सरल एल्गोरिदम इस तरह दिखता है। प्रत्येक पर साधारण भिन्नों की एक अंतहीन तालिका संकलित की गई है साधारण अंश, सभी के ऊपर मैं-प्रत्येक में पंक्ति साधारण अंशजे मैंवह स्तम्भ जिसमें भिन्न स्थित है। निश्चितता के लिए, यह माना जाता है कि इस तालिका की पंक्तियों और स्तंभों को एक से शुरू करके क्रमांकित किया गया है। तालिका कक्षों को , द्वारा दर्शाया जाता है

- तालिका पंक्ति की संख्या जिसमें सेल स्थित है, और

- कॉलम नंबर.

ऐसे ट्रैवर्सल की प्रक्रिया में, प्रत्येक नई परिमेय संख्या किसी अन्य प्राकृतिक संख्या से जुड़ी होती है। अर्थात्, भिन्न 1/1 को संख्या 1, भिन्न 2/1 को संख्या 2, आदि को सौंपा गया है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि केवल अप्रासंगिक भिन्नों को क्रमांकित किया जाता है। अघुलनशीलता का एक औपचारिक संकेत एक के प्रति समानता है महत्तम सामान्य भाजकभिन्न का अंश और हर।

इस एल्गोरिथम का अनुसरण करके, हम सभी सकारात्मक परिमेय संख्याओं की गणना कर सकते हैं। इसका अर्थ यह है कि धनात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है। प्रत्येक परिमेय संख्या को इसके विपरीत निर्दिष्ट करके सकारात्मक और नकारात्मक परिमेय संख्याओं के सेट के बीच एक आक्षेप स्थापित करना आसान है। वह। ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय भी गणनीय है। उनका संघ भी गणनीय समुच्चय के गुण से गणनीय है। परिमेय संख्याओं का समुच्चय एक परिमित समुच्चय के साथ गणनीय समुच्चय के मिलन के रूप में भी गणनीय होता है।

परिमेय संख्याओं के समुच्चय की गणनीयता के बारे में कथन कुछ भ्रम पैदा कर सकता है, क्योंकि पहली नज़र में ऐसा लगता है कि यह प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय से कहीं अधिक व्यापक है। वास्तव में, ऐसा नहीं है और सभी परिमेय संख्याओं की गणना करने के लिए पर्याप्त प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

तर्कसंगत संख्याओं का अभाव

ऐसे त्रिभुज के कर्ण को किसी परिमेय संख्या द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता

प्रपत्र 1 की तर्कसंगत संख्या / एनअत्याधिक एनमापा जा सकता है मनमाने ढंग से छोटी मात्रा. यह तथ्य यह भ्रामक धारणा पैदा करता है कि तर्कसंगत संख्याएँ किसी को भी माप सकती हैं ज्यामितिक दूरी. यह दिखाना आसान है कि यह सच नहीं है।

टिप्पणियाँ

साहित्य

• I. कुशनीर। स्कूली बच्चों के लिए गणित की पुस्तिका. - कीव: एस्टार्टा, 1998. - 520 पी।
• पी. एस. अलेक्जेंड्रोव। सेट सिद्धांत और सामान्य टोपोलॉजी का परिचय। - एम.: अध्याय. एड. भौतिकी और गणित जलाया एड. "विज्ञान", 1977
• आई. एल. खमेलनित्सकी। बीजगणितीय प्रणालियों के सिद्धांत का परिचय

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