व्युत्क्रम अभाज्य संख्याएँ. सहअभाज्य संख्याएँ

परिभाषा1. पूर्णांक a 1,a 2,…,a k सह-अभाज्य कहलाते हैं यदि (a 1 ,a 2 ,…,a k) =1

परिभाषा 2.पूर्णांक a 1,a 2,…,ak को जोड़ीवार सहअभाज्य कहा जाता है यदि i,s (i, s = 1, 2, .. , k, is, (a i, a s) =1) .

यदि संख्याएँ परिभाषा 2 को संतुष्ट करती हैं, तब वे परिभाषा 1 को संतुष्ट करते हैं। विपरीत कथन आम तौर पर गलत होता है, उदाहरण के लिए: (15, 21, 19) = 1, लेकिन (15, 21) = 3

प्रमेय (पारस्परिक सरलता की कसौटी)

(ए, बी) = 1<=> x, y Z: ax + by = 1

सबूत:

आइए आवश्यकता सिद्ध करें। मान लीजिए (a, b) = 1. ऊपर हमने दिखाया कि यदि d = (a, b), तो  x, y Z: d = ax + by।

क्योंकि इस मामले में d =1, तो  x, y Z होगा (यूक्लिडियन एल्गोरिथम से निर्धारित): 1 = ax + bу।

पर्याप्तता. मान लीजिए (*) ax + by = 1, आइए हम सिद्ध करें कि (a, b)=1। मान लीजिए कि (ए, बी) = डी, तो समानता के बाईं ओर (*)

(ए / डी ) & (बी/डी ) => (आह + द्वारा) /डी => (1/डी) => (डी=एल) => (ए, बी) = 1.

§4. पूर्णांकों की संख्या और उसके गुण।

परिभाषा 1.पूर्णांकों a 1,a 2,…,ak, के एक परिमित समुच्चय का सामान्य गुणक, शून्य से भिन्न, एक पूर्णांक m है जो सभी संख्याओं a i (i=l, 2,…, k) से विभाज्य है।

परिभाषा 2.एक पूर्णांक (m) को शून्य से भिन्न संख्याओं a 1, a 2,...,ak, का लघुत्तम समापवर्त्य कहा जाता है, यदि:

1 मी - उनका सामान्य गुणज है;

2 (m) इन संख्याओं में से किसी अन्य सामान्य गुणज को विभाजित करता है।

पदनाम: एम = एलसीएम (ए 1,ए 2,…,एके) या एम = [ए 1,ए 2,…,एके]

उदाहरण।संख्याएँ दी गई हैं: 2, 3, 4, 6, 12.

संख्याएँ 12, 24. 48.96, संख्याओं 2, 3, 4, 6, 12 के सामान्य गुणज हैं। सबसे छोटा सामान्य गुणज संख्या 12 है।

एलसीएम कारकों के क्रम तक विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है। दरअसल, अगर हम मान लें कि एम 1 = [ए, बी] और एम 2 =  (एम 1 / एम 2) और (एम 2) / एम 1) => [(एम 1 = एम 2) वी (एम 1 = - एम 2)]। दो पूर्णांकों के लघुत्तम समापवर्त्य और महत्तम समापवर्तक के बीच एक संबंध होता है, जिसे सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है: [a, b] = ab/(a, b) (इसे स्वयं व्युत्पन्न करें)

यह कनेक्शन हमें यह बताने की अनुमति देता है कि शून्य के अलावा पूर्णांकों के किसी भी जोड़े के लिए, उनका लघुत्तम समापवर्त्य होता है। दरअसल, (ए, बी) को हमेशा यूक्लिडियन एल्गोरिदम से स्पष्ट रूप से निकाला जा सकता है और परिभाषा (ए, बी)  0 के अनुसार, फिर अंश एबी/(ए, बी)  0 विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाएगा।

दो पूर्णांकों के एलसीएम की गणना उस स्थिति में सबसे आसानी से की जाती है जब (ए, बी) = 1, तब [ए, बी] = एबी/1 = ए बी

उदाहरण के लिए, = 215/1 = 105, क्योंकि (21, 5) = 1.

§5. अभाज्य संख्याएँ और उनके गुण।

परिभाषा 1.एक प्राकृतिक संख्या (p) को अभाज्य संख्या कहा जाता है यदि p > 1 है और इसमें कोई धनात्मक संख्या नहीं है। 1 और पी के अलावा अन्य भाजक।

परिभाषा 2.एक प्राकृत संख्या a > 1 जिसमें 1 और स्वयं के अलावा अन्य धनात्मक भाजक होते हैं, भाज्य कहलाती है।

इन परिभाषाओं से यह निष्कर्ष निकलता है कि प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को तीन वर्गों में विभाजित किया जा सकता है:

क) भाज्य संख्याएँ;

बी) प्रमुख संख्या;

ग) इकाई।

यदि a समग्र है, तो a = nq, जहां 1

कार्य 1.सिद्ध करें कि यदि aZ और p एक अभाज्य संख्या हैं, तो (a, p) = 1 v (a/p)

सबूत।

मान लीजिए d = (ए, पी) => (ए /डी) और (पी /डी), क्योंकि p एक अभाज्य संख्या है, तो इसके दो भाजक 1 और p हैं। यदि (ए, पी) = 1, तो ए और पी अपेक्षाकृत अभाज्य हैं, यदि (ए, पी) = पी, तो (ए/पी)।

कार्य 2.यदि कई कारकों का गुणनफल p से विभाज्य है, तो कम से कम एक कारक p से विभाज्य है।

समाधान।

मान लीजिए गुणनफल (a 1,a 2, ..., और k)/r, यदि सभी a i, p से विभाज्य नहीं हैं, तो उत्पाद p के साथ सहअभाज्य होगा, इसलिए, कुछ कारक p से विभाज्य है।

कार्य 3.सिद्ध करें कि पूर्णांक a>1 का सबसे छोटा गैर-1 भाजक एक अभाज्य संख्या है।

सबूत।

मान लीजिए aZ और a एक भाज्य संख्या है (यदि a = p, तो कथन सिद्ध होता है), तो a = a 1 q.

मान लीजिए कि q सबसे छोटा भाजक है, आइए हम दिखाते हैं कि यह एक अभाज्य संख्या होगी। यदि हम मान लें कि q एक भाज्य संख्या है, तो q = q 1 k और a = a 1 q 1 k, क्योंकि प्रश्न 1

कार्य 4.सिद्ध करें कि प्राकृतिक संख्या (n) का सबसे छोटा अभाज्य भाजक (p) n से अधिक नहीं है।

सबूत।

मान लीजिए n = pn 1, और p< n 1 и р - простое. Тогда n  р 2 =>आर<n .

इस कथन से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि कोई प्राकृतिक संख्या (n) किसी अभाज्य संख्या pn से विभाज्य नहीं है, तो n अभाज्य है, अन्यथा वह भाज्य होगी।

उदाहरण 1. पता लगाएँ कि क्या 137 एक अभाज्य संख्या है?<137 <12.

हम अभाज्य गुणनखंड 137 से अधिक नहीं लिखते हैं: 2, 3, 5, 7, 11। हम जांचते हैं कि 137, 2, 3, 5, 7, 11 से विभाज्य नहीं है। इसलिए, संख्या 137 अभाज्य है।यूक्लिड का प्रमेय

सबूत।

. अभाज्य संख्याओं का समुच्चय अनंत है। ..., आइए हम इसके विपरीत मान लें, मान लीजिए p 1 ,p 2 ,

p k सभी अभाज्य संख्याएँ हैं, जहाँ p 1 = 2 और p k सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है। ... आइए एक प्राकृतिक संख्या  = p 1 p 2  लिखें

p से +1, क्योंकि  p i , तो यह समग्र होना चाहिए, फिर इसका सबसे छोटा भाजक अभाज्य होगा (समस्या 3 देखें)। हालाँकि,  या तो p 1, या p 2,..., या p k से विभाज्य नहीं है, क्योंकि 1 किसी भी p I से विभाज्य नहीं है।

इसलिए, हमारी यह धारणा कि अभाज्य संख्याओं का समुच्चय परिमित है, गलत थी।

हालाँकि, एक प्रमेय है जो बताता है कि अभाज्य संख्याएँ प्राकृतिक संख्याओं का केवल एक छोटा सा हिस्सा बनाती हैं।प्राकृतिक श्रृंखला में मनमाने ढंग से लंबे अंतराल होते हैं जिनमें एक भी अभाज्य संख्या नहीं होती है।

सबूत।

आइए एक मनमाना प्राकृतिक संख्या (n) लें और प्राकृतिक संख्याओं का एक क्रम बनाएं (n+1)!+2, n+1)!+3,…,(n+1)!+(n+1)।

इस क्रम में, प्रत्येक अगली संख्या पिछली संख्या से 1 बड़ी है, क्योंकि ये सभी संख्याएँ संयुक्त हैं; प्रत्येक में दो से अधिक भाजक होते हैं (उदाहरण के लिए, पहली संख्या 1, 2 और स्वयं से विभाज्य होती है)। n→∞ के रूप में हमें एक मनमाना लंबा अंतराल मिलता है जिसमें केवल भाज्य संख्याएँ होती हैं।

यूक्लिड का प्रमेय और अंतराल प्रमेय प्राकृतिक श्रृंखला में अभाज्य संख्याओं के वितरण की जटिल प्रकृति को दर्शाते हैं।

अंकगणित का मौलिक प्रमेय

किसी भी प्राकृतिक संख्या n>1 को गुणनखंडों के क्रम तक, अभाज्य संख्याओं के उत्पाद के रूप में एक अनूठे तरीके से दर्शाया जा सकता है।

सबूत।

आइए हम प्रतिनिधित्व की संभावना सिद्ध करें:

मान लीजिए nN और n>1, यदि n एक अभाज्य संख्या है, तो n = p और प्रमेय सिद्ध हो जाता है। यदि n भाज्य है, तो इसका सबसे छोटा भाजक एक अभाज्य संख्या होगा और n = p 1 n 1, जहां n 1

आगे हम इसी प्रकार बहस करते हैं। यदि n 1 एक अभाज्य संख्या है, तो प्रमेय सिद्ध होता है, यदि n 1 एक भाज्य संख्या है, तो n 1 = p 2 n 2, जहाँ n 2< n 1 и тогда n = p 1 p 2 n 2 . На каком-то шаге получим n = p 1 p 2 …p n , где все p i - простые числа.

आइए हम अपघटन की विशिष्टता साबित करें:

आइए मान लें कि संख्या (n) के लिए दो अलग-अलग निरूपण हैं: n = p 1 p 2 …p k , n = q 1 q 2 …q n और n>k।

तब हम पाते हैं कि p 1 p 2 …p k = q 1 q 2 …q n (1)। समानता का बायां पक्ष (1) पी 1 से विभाज्य है, फिर, अभाज्य संख्याओं के गुण से (समस्या 2 देखें), दाईं ओर के कारकों में से कम से कम एक कारक पी 1 से विभाज्य होना चाहिए।

मान लीजिए (q 1 /p 1) => (q 1 =p 1)। समानता (1) के दोनों पक्षों को p 1 से विभाजित करने पर, हमें समानता p 2 p 3 …p k = q 2 q 3 …q n प्राप्त होती है। पिछले तर्क को एक और (k-1) बार दोहराने पर, हमें समानता मिलती है 1 = q k +1 q k +2 …q n, क्योंकि सभी q i >1, तो यह समानता असंभव है। परिणामस्वरूप, दोनों विस्तारों में कारकों की संख्या समान है (k=n) और कारक स्वयं भी समान हैं।

टिप्पणी।किसी संख्या (n) को सरल गुणनखंडों में विघटित करते समय, उनमें से कुछ को दोहराया जा सकता है। अक्षरों  1 , 2 ,…, k द्वारा (n) में उनकी घटना की बहुलता को निरूपित करते हुए, हम संख्या (n) का तथाकथित विहित विस्तार प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 2.

संख्या 588000 का विहित विस्तार = 2 5 35 3 7 2

परिणाम 1.अगर
तो संख्या (n) के सभी भाजक का रूप होगा:
जहां 0 i  i (i = 1, 2,…,k)।

उदाहरण 3.संख्या 720 = 2 4 3 2 5 के सभी भाजक प्राप्त होते हैं यदि व्यंजक में
 1,  2,  3 के स्थान पर, एक दूसरे से स्वतंत्र, हम निम्नलिखित मानों को प्रतिस्थापित करेंगे:  1 =0, 1, 2, 3, 4,  2 =0, 1, 2,  3 = 0, 1.

आवश्यक भाजक इसके बराबर होंगे: 1; 2; 4; 8; 16; 3; 6; 12; 24; 48; 9; 18; 36; 72; 144; 5; 10; 20; 40; 80; 15; 30; 60; 120; 240; 45; 90; 180; 360; 720.

परिणाम 2.अगर
और
तब (ए, बी) = पी 1  1 पी 2  2 …पी के  के , जहां i = मिनट( I ,  i)

पी 1  1 पी 2  2 …पी के  के, जहां i = अधिकतम( I ,  i).

उदाहरण 4.विहित विस्तार का उपयोग करके जीसीडी(ए, बी) और एलसीएम(ए, बी) खोजें

(24, 42) = 23 = 6

इस आलेख में दी गई जानकारी इस विषय को कवर करती है " सहअभाज्य संख्याएँ" सबसे पहले, दो सहअभाज्य संख्याओं की परिभाषा दी गई है, साथ ही तीन या अधिक सहअभाज्य संख्याओं की परिभाषा दी गई है। इसके बाद, सहअभाज्य संख्याओं के उदाहरण दिए गए हैं, और यह दिखाया गया है कि कैसे सिद्ध किया जाए कि दी गई संख्याएँ सहअभाज्य हैं। निम्नलिखित सहअभाज्य संख्याओं के मूल गुणों को सूचीबद्ध करता है और सिद्ध करता है। अंत में, जोड़ीवार अभाज्य संख्याओं का उल्लेख किया गया है क्योंकि वे सहअभाज्य संख्याओं से निकटता से संबंधित हैं।

पेज नेविगेशन.

अक्सर ऐसे कार्य होते हैं जिनमें आपको यह साबित करना होता है कि दिए गए पूर्णांक अपेक्षाकृत अभाज्य हैं। प्रमाण दिए गए संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य भाजक की गणना करने और यह देखने के लिए जीसीडी की जांच करने के लिए उबलता है कि क्या यह एक के बराबर है। जीसीडी की गणना करने से पहले अभाज्य संख्याओं की तालिका को देखना भी उपयोगी है: क्या होगा यदि मूल पूर्णांक अभाज्य हैं, और हम जानते हैं कि सबसे बड़ा सामान्य भाजकअभाज्य संख्याएँ एक के बराबर होती हैं. आइए उदाहरण समाधान देखें.

उदाहरण।

सिद्ध कीजिए कि संख्याएँ 84 और 275 अपेक्षाकृत अभाज्य हैं।

समाधान।

जाहिर है, ये संख्याएँ अभाज्य नहीं हैं, इसलिए हम तुरंत संख्या 84 और 275 की सापेक्ष प्रधानता के बारे में बात नहीं कर सकते हैं, और हमें जीसीडी की गणना करनी होगी। हम जीसीडी खोजने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं: 275=84·3+23, 84=23·3+15, 23=15·1+8, 15=8·1+7, 8=7·1+1, 7 =7 ·1, इसलिए, gcd(84, 275)=1. इससे सिद्ध होता है कि संख्या 84 और 275 अपेक्षाकृत अभाज्य हैं।

सहअभाज्य संख्याओं की परिभाषा को तीन और तक बढ़ाया जा सकता है अधिकनंबर.

परिभाषा।

पूर्णांक a 1 , a 2 , …, a k , k>2 कहलाते हैं परस्पर प्रधान, यदि इन संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक एक के बराबर है।

बताई गई परिभाषा से यह पता चलता है कि यदि पूर्णांकों के एक निश्चित सेट में एक के अलावा कोई सकारात्मक सामान्य भाजक है, तो ये पूर्णांक सहअभाज्य नहीं हैं।

चलिए उदाहरण देते हैं. तीन पूर्णांक -99, 17 और -27 अपेक्षाकृत अभाज्य हैं। अभाज्य संख्याओं का कोई भी संग्रह सहअभाज्य संख्याओं का एक समूह बनाता है, उदाहरण के लिए, 2, 3, 11, 19, 151, 293 और 677 सहअभाज्य संख्याएँ हैं। और चार संख्याएँ 12, −9, 900 और −72 सहअभाज्य नहीं हैं क्योंकि उनमें 1 के अलावा कोई धनात्मक उभयनिष्ठ भाजक 3 है। संख्याएँ 17, 85 और 187 भी अपेक्षाकृत अभाज्य नहीं हैं, क्योंकि उनमें से प्रत्येक 17 से विभाज्य है।

यह आमतौर पर स्पष्ट नहीं है कि कुछ संख्याएँ अपेक्षाकृत अभाज्य हैं, और इस तथ्य को सिद्ध करना होगा। यह पता लगाने के लिए कि क्या दी गई संख्याएँ सहअभाज्य हैं, आपको इन संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ढूंढना होगा और सहअभाज्य संख्याओं की परिभाषा के आधार पर निष्कर्ष निकालना होगा।

उदाहरण।

क्या संख्याएँ 331, 463 और 733 अपेक्षाकृत अभाज्य हैं?

समाधान।

अभाज्य संख्याओं की तालिका को देखने पर, हम पाएंगे कि 331, 463 और 733 में से प्रत्येक संख्या अभाज्य है। इसलिए, उनके पास एक सकारात्मक सामान्य भाजक है - एक। इस प्रकार, तीन संख्याएँ 331, 463 और 733 अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ हैं।

उत्तर:

हाँ।

उदाहरण।

सिद्ध कीजिए कि संख्याएँ −14 , 105 , −2 107 और −91 सहअभाज्य नहीं हैं।

समाधान।

यह सिद्ध करने के लिए कि ये संख्याएँ अपेक्षाकृत अभाज्य नहीं हैं, आप उनकी gcd पा सकते हैं और सुनिश्चित कर सकते हैं कि यह एक के बराबर नहीं है। हम यही करेंगे.

पूर्णांक विभाजक के बाद से नकारात्मक संख्याएँफिर, संगत के भाजक के साथ मेल खाता है जीसीडी(−14, 105, 2 107, −91)=जीसीडी(14, 105, 2 107, 91) . तीन या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने वाले लेख में सामग्री की ओर मुड़ते हुए, हमें पता चलता है कि जीसीडी (14, 105, 2 107, 91) = 7। इसलिए, मूल संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक सात है, इसलिए ये संख्याएँ सहअभाज्य नहीं हैं।

सहअभाज्य संख्याओं के गुण

सहअभाज्य संख्याओं में कई गुण होते हैं। आइए मुख्य पर नजर डालें सहअभाज्य संख्याओं के गुण.

पूर्णांक a और b को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक से विभाजित करने पर प्राप्त संख्याएँ सहअभाज्य होती हैं, अर्थात a:GCD(a, b) और b:GCD(a, b) सहअभाज्य होती हैं।

जब हमने जीसीडी की संपत्तियों की जांच की तो हमने इस संपत्ति को साबित कर दिया।

सहअभाज्य संख्याओं की मानी गई संपत्ति हमें सहअभाज्य संख्याओं के जोड़े खोजने की अनुमति देती है। ऐसा करने के लिए, किन्हीं दो पूर्णांकों को लेना और उन्हें सबसे बड़े सामान्य भाजक से विभाजित करना पर्याप्त है, परिणामी संख्याएँ अपेक्षाकृत अभाज्य होंगी।

पूर्णांक a और b के अपेक्षाकृत अभाज्य होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि पूर्णांक u 0 और v 0 ऐसे मौजूद हों कि a·u 0 +b·v 0 =1।

आइए पहले आवश्यकता सिद्ध करें।

माना कि संख्याएँ a और b अपेक्षाकृत अभाज्य हैं। फिर, सहअभाज्य संख्याओं की परिभाषा के अनुसार, gcd(a, b)=1. और जीसीडी के गुणों से हम जानते हैं कि पूर्णांक ए और बी के लिए बेज़आउट संबंध ए·यू 0 +बी·वी 0 =जीसीडी(ए, बी) सत्य है। अत: अ·उ 0 +ब·व 0 =1.

यह पर्याप्तता साबित करने के लिए बनी हुई है।

मान लीजिए कि समानता a·u 0 +b·v 0 =1 सत्य है। चूँकि GCD(a, b) a और b दोनों को विभाजित करता है, तो GCD(a, b), विभाज्यता के गुणों के कारण, योग a·u 0 +b·v 0 को विभाजित करना चाहिए, और इसलिए एकता। और यह तभी संभव है जब GCD(a, b)=1. इसलिए, a और b अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ हैं।

सहअभाज्य संख्याओं का अगला गुण यह है: यदि संख्याएँ a और b सहअभाज्य हैं, और गुणनफल a·c, b से विभाज्य है, तो c, b से विभाज्य है।

वास्तव में, चूँकि a और b अपेक्षाकृत अभाज्य हैं, तो पिछली संपत्ति से हमें समानता a·u 0 +b·v 0 =1 प्राप्त होती है। इस समानता के दोनों पक्षों को c से गुणा करने पर, हमें a·c·u 0 +b·c·v 0 =c प्राप्त होता है। योग a·c·u 0 +b·c·v 0 के पहले पद को b से विभाजित किया जाता है, चूँकि शर्त के अनुसार a·c को b से विभाजित किया जाता है, इस योग के दूसरे पद को भी b से विभाजित किया जाता है, चूँकि कारकों में से एक b के बराबर है, इसलिए, संपूर्ण योग b से विभाजित होता है। और चूँकि a·c·u 0 +b·c·v 0 का योग c के बराबर है, तो c, b से विभाज्य है।

यदि संख्या a और b अपेक्षाकृत अभाज्य हैं, तो gcd(a c, b) = gcd(c, b) ।

आइए हम दिखाते हैं, सबसे पहले, कि gcd(a c, b) gcd(c, b) को विभाजित करता है, और दूसरी बात, कि gcd(c, b) gcd(a c, b) को विभाजित करता है, इससे समानता GCD(ac, b) सिद्ध होगी =जीसीडी(सी, बी) .

GCD(a c, b) a c और b दोनों को विभाजित करता है, और चूँकि gcd(a c, b) b को विभाजित करता है, यह b c को भी विभाजित करता है। अर्थात्, gcd(a c, b) a c और b c दोनों को विभाजित करता है, इसलिए, सबसे बड़े सामान्य भाजक के गुणों के कारण, यह gcd(a c, b c) को भी विभाजित करता है, जो कि gcd के गुणों के अनुसार, c के बराबर है जीसीडी(ए, बी)=सी। इस प्रकार, gcd(a c, b) b और c दोनों को विभाजित करता है, इसलिए, gcd(c, b) को भी विभाजित करता है।

दूसरी ओर, जीसीडी(सी, बी) सी और बी दोनों को विभाजित करता है, और चूंकि यह सी को विभाजित करता है, इसलिए यह ए·सी को भी विभाजित करता है। इस प्रकार, gcd(c, b) a c और b दोनों को विभाजित करता है, इसलिए, यह gcd(a c, b) को भी विभाजित करता है।

तो हमने दिखाया कि gcd(a c, b) और gcd(c, b) एक दूसरे को परस्पर विभाजित करते हैं, जिसका अर्थ है कि वे बराबर हैं।

यदि प्रत्येक संख्या a 1 , a 2 , …, a k प्रत्येक संख्या b 1 , b 2 , …, b m के साथ सहअभाज्य है (जहाँ k और m कुछ प्राकृतिक संख्याएँ हैं), तो गुणनफल a 1 · a 2 · … · a k और b 1 · b 2 ·…·b m सहअभाज्य संख्याएँ हैं, विशेष रूप से, यदि a 1 =a 2 =…=a k =a और b 1 =b 2 =…=b m =b, तो a k और b m हैं सहअभाज्य संख्याएँ।

सहअभाज्य संख्याओं की पिछली संपत्ति हमें प्रपत्र की समानताओं की एक श्रृंखला लिखने की अनुमति देती है जीसीडी(ए 1 · ए 2 ·…·ए के , बी एम)= GCD(a 2 ·…·a k , b m)=…=GCD(a k , b m)=1, जहां अंतिम संक्रमण संभव है, क्योंकि शर्त के अनुसार ए के और बी एम परस्पर अभाज्य संख्याएं हैं। इसलिए, जीसीडी(ए 1 · ए 2 ·…·ए के , बी एम)=1.

अब, 1 ·a 2 ·…·a k =A को दर्शाते हुए, हमारे पास है
जीसीडी(बी 1 ·बी 2 ·…·बी एम , ए 1 ·ए 2 ·…·ए के)= जीसीडी(बी 1 · बी 2 ·…·बी एम , ए)=
=जीसीडी(बी 2 ·…·बी एम , ए)=… =जीसीडी(बी एम , ए)=1
(पिछले पैराग्राफ से अंतिम समानता के कारण अंतिम संक्रमण वैध है)। इस तरह हमें समानता मिली जीसीडी(बी 1 ·बी 2 ·…·बी एम , ए 1 ·ए 2 ·…·ए के)=1, जो सिद्ध करता है कि गुणनफल a 1 ·a 2 ·…·a k और b 1 ·b 2 ·…·b m सहअभाज्य संख्याएँ हैं।

इससे सहअभाज्य संख्याओं के मूल गुणों की हमारी समीक्षा समाप्त होती है।

जोड़ीवार अभाज्य संख्याएँ - परिभाषाएँ और उदाहरण

इसे सहअभाज्य संख्याओं के माध्यम से दिया जाता है अभाज्य संख्याओं के युग्मों की पहचान करना.

परिभाषा।

पूर्णांक a 1, a 2, …, a k, जिनमें से प्रत्येक अन्य सभी से अपेक्षाकृत अभाज्य है, कहलाते हैं जोड़ीवार अभाज्य संख्याएँ.

आइए जोड़ीवार अभाज्य संख्याओं का एक उदाहरण दें। संख्याएँ 14, 9, 17, और −25 जोड़ीवार अभाज्य संख्याएँ हैं, क्योंकि संख्या 14 और 9, 14 और 17, 14 और −25, 9 और 17, 9 और −25, 17 और −25 की जोड़ी सहअभाज्य संख्याएँ हैं। यहां हम ध्यान दें कि जोड़ीवार अभाज्य संख्याएं हमेशा सहअभाज्य होती हैं।

दूसरी ओर, अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ हमेशा जोड़ीवार अभाज्य नहीं होती हैं, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण से पुष्टि होती है। संख्याएँ 8, 16, 5 और 15 जोड़ीवार अभाज्य नहीं हैं, क्योंकि संख्याएँ 8 और 16 सहअभाज्य नहीं हैं। हालाँकि, संख्याएँ 8, 16, 5 और 15 अपेक्षाकृत अभाज्य हैं। इस प्रकार, 8, 16, 5 और 15 अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ हैं, लेकिन जोड़ीवार अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं।

हमें विशेष रूप से एक निश्चित संख्या में अभाज्य संख्याओं के संग्रह पर प्रकाश डालना चाहिए। ये संख्याएँ हमेशा अपेक्षाकृत अभाज्य और जोड़ीवार अभाज्य दोनों होती हैं। उदाहरण के लिए, 71, 443, 857, 991 दोनों जोड़ीवार अभाज्य और सहअभाज्य संख्याएँ हैं।

यह भी स्पष्ट है कि कब हम बात कर रहे हैंदो पूर्णांकों के बारे में, तो उनके लिए "जोड़ीवार अभाज्य" और "परस्पर अभाज्य" की अवधारणाएँ मेल खाती हैं।

सन्दर्भ.

विलेनकिन एन.वाई.ए. और अन्य। छठी कक्षा: सामान्य शिक्षा संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक।
विनोग्रादोव आई.एम. संख्या सिद्धांत के मूल सिद्धांत.
मिखेलोविच श.एच. संख्या सिद्धांत.
कुलिकोव एल.वाई.ए. और अन्य। बीजगणित और संख्या सिद्धांत में समस्याओं का संग्रह: ट्यूटोरियलभौतिकी और गणित के छात्रों के लिए। शैक्षणिक संस्थानों की विशिष्टताएँ।

सहअभाज्य संख्याएँ क्या हैं?

सहअभाज्य संख्याओं की परिभाषा

सहअभाज्य संख्याओं की परिभाषा:

सहअभाज्य संख्याएँ पूर्णांक होती हैं जिनमें एक के अलावा कोई सामान्य गुणनखंड नहीं होता है।

सहअभाज्य संख्याओं के उदाहरण

सहअभाज्य संख्याओं का उदाहरण:

2 और 3 में एक के अलावा कोई अन्य सामान्य भाजक नहीं है।

सहअभाज्य संख्याओं का एक और उदाहरण:

3 और 7 में एक के अलावा कोई अन्य सामान्य गुणनखंड नहीं है।

सहअभाज्य संख्याओं का एक और उदाहरण:

11 और 13 में एक के अलावा कोई अन्य सामान्य गुणनखंड नहीं है।

अब हम इस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं कि सहअभाज्य संख्याओं का क्या अर्थ है।

सहअभाज्य संख्याओं का क्या अर्थ है?

ये पूर्णांक हैं जिनमें एक के अलावा कोई सामान्य भाजक नहीं है।

दो सहअभाज्य संख्याएँ

इनमें से प्रत्येक जोड़ा दो अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ हैं।

11 और 15
15 और 16
16 और 23

सहअभाज्य संख्याओं के सामान्य विभाजक

सहअभाज्य संख्याओं के सामान्य विभाजक केवल एक ही होते हैं, जैसा कि सहअभाज्य संख्याओं की परिभाषा से पता चलता है।

सहअभाज्य संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक

सहअभाज्य संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक एक है, जैसा कि सहअभाज्य संख्याओं की परिभाषा से पता चलता है।

क्या संख्याएँ सहअभाज्य हैं?

क्या संख्याएँ 3 और 13 सहअभाज्य हैं? हाँ, क्योंकि उनमें एक को छोड़कर कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है।

क्या संख्याएँ 3 और 12 सहअभाज्य हैं? नहीं, क्योंकि उनके उभयनिष्ठ भाजक 1 और 3 हैं। और सहअभाज्य संख्याओं की परिभाषा के अनुसार, उभयनिष्ठ भाजक केवल एक होना चाहिए।

क्या संख्याएँ 3 और 108 सहअभाज्य हैं? नहीं, क्योंकि उनके उभयनिष्ठ भाजक 1 और 3 हैं। और सहअभाज्य संख्याओं की परिभाषा के अनुसार, उभयनिष्ठ भाजक केवल एक होना चाहिए।

क्या संख्याएँ 108 और 5 सहअभाज्य हैं? हाँ, क्योंकि उनमें एक को छोड़कर कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है।

$p$ को एक अभाज्य संख्या कहा जाता है यदि इसमें केवल $2$ विभाजक हों: $1$ और स्वयं।

डिवाइडर प्राकृतिक संख्या$a$ वह प्राकृतिक संख्या है जिससे मूल संख्या $a$ बिना कोई शेष बचे विभाज्य होती है।

उदाहरण 1

संख्या $6$ के विभाजक ज्ञात कीजिए।

समाधान: हमें वे सभी संख्याएँ ज्ञात करनी होंगी जिनसे दी गई संख्या $6$ बिना किसी शेषफल के विभाज्य है। ये संख्याएँ होंगी: $1,2,3, 6$। तो संख्या $6$ का भाजक संख्या $1,2,3,6.$ होगी

उत्तर: $1,2,3,6$.

इसका मतलब यह है कि किसी संख्या के विभाजक को खोजने के लिए, आपको उन सभी प्राकृतिक संख्याओं को ढूंढना होगा जिनमें दी गई संख्या बिना किसी शेषफल के विभाज्य है। यह देखना आसान है कि संख्या $1$ किसी भी प्राकृत संख्या का भाजक होगी।

परिभाषा 2

कम्पोजिटवे उस संख्या पर कॉल करते हैं जिसमें एक और स्वयं के अलावा अन्य भाजक होते हैं।

अभाज्य संख्या का एक उदाहरण संख्या $13$ होगी, मिश्रित संख्या का एक उदाहरण $14 होगा।$

नोट 1

संख्या $1$ में केवल एक भाजक है - संख्या ही, इसलिए यह न तो अभाज्य है और न ही भाज्य है।

सहअभाज्य संख्याएँ

परिभाषा 3

परस्पर अभाज्य संख्याएँवे वे हैं जिनकी जीसीडी $1$ के बराबर है। इसका मतलब यह है कि यह पता लगाने के लिए कि क्या संख्याएँ अपेक्षाकृत अभाज्य हैं, आपको उनकी जीसीडी ढूंढनी होगी और इसकी तुलना $1$ से करनी होगी।

जोड़ीवार सहप्रधान

परिभाषा 4

यदि संख्याओं के समूह में कोई दो सहअभाज्य हों तो ऐसी संख्याएँ कहलाती हैं जोड़ीवार सहअभाज्य. दो संख्याओं के लिए, अवधारणाएँ "सहअभाज्य" और "जोड़ीवार सहअभाज्य" मेल खाती हैं।

उदाहरण 2

$8, $15 - सरल नहीं, लेकिन अपेक्षाकृत सरल।

$6, 8, 9$ सहअभाज्य संख्याएँ हैं, लेकिन जोड़ीवार सहअभाज्य संख्याएँ नहीं हैं।

$8, 15, 49$ जोड़ीवार अपेक्षाकृत अभाज्य हैं।

जैसा कि हम देखते हैं, यह निर्धारित करने के लिए कि संख्याएँ अपेक्षाकृत अभाज्य हैं या नहीं, हमें पहले उन्हें अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना होगा। आइए इस पर ध्यान दें कि इसे सही तरीके से कैसे किया जाए।

मुख्य गुणनखंड प्रक्रिया

उदाहरण के लिए, आइए संख्या $180$ को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें:

$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$

आइए हम शक्तियों की संपत्ति का उपयोग करें, फिर हमें मिलता है,

$180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

अभाज्य कारकों में अपघटन के इस अंकन को विहित कहा जाता है, अर्थात। किसी संख्या को विहित रूप में गुणनखंड करने के लिए, शक्तियों की संपत्ति का उपयोग करना और शक्तियों के उत्पाद के रूप में संख्या का प्रतिनिधित्व करना आवश्यक है भिन्न कारणों से

किसी प्राकृतिक संख्या का सामान्य रूप में विहित विस्तार

किसी प्राकृतिक संख्या का विहित विस्तार सामान्य रूप से देखेंइसका रूप है:

$m=p^(n1)_1\cdot p^(n2)_2\cdot \dots \dots ..\cdot p^(nk)_k$

जहां $p_1,p_2\dots \dots .p_k$ अभाज्य संख्याएं हैं, और घातांक प्राकृतिक संख्याएं हैं।

किसी संख्या को अभाज्य सेटों में विहित अपघटन के रूप में प्रस्तुत करने से संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक ढूंढना आसान हो जाता है, और यह सहअभाज्य संख्याओं के प्रमाण या परिभाषा के परिणाम के रूप में कार्य करता है।

उदाहरण 3

$180$ और $240$ संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए।

समाधान: आइए विहित अपघटन का उपयोग करके संख्याओं को सरल सेटों में विघटित करें

$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$, फिर $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

$240=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$, फिर $240=2^4\cdot 3\cdot 5$

आइए अब इन संख्याओं की gcd ज्ञात करें, इसके लिए हम समान आधार और सबसे छोटे घातांक वाली घातें चुनते हैं, फिर

$GCD\(180;240)= 2^2\cdot 3\cdot 5=60$

आइए रचना करें अभाज्य कारकों में विहित गुणनखंडन को ध्यान में रखते हुए जीसीडी खोजने के लिए एल्गोरिदम.

विहित विस्तार का उपयोग करके दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने के लिए, आपको यह करना होगा:

विहित रूप में गुणनखंड संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में बदलें
इन संख्याओं के विस्तार में शामिल समान आधार वाली और सबसे छोटे घातांक वाली घातें चुनें
चरण 2 में प्राप्त संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करें। परिणामी संख्या वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगी।

उदाहरण 4

निर्धारित करें कि क्या संख्याएँ $195$ और $336$ अभाज्य, सहअभाज्य संख्याएँ हैं।

$195=3\cdot 5\cdot 13$

$336=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7=2^4\cdot 3\cdot 5$

$GCD\(195;336) =3\cdot 5=15$

हम देखते हैं कि इन संख्याओं की gcd $1$ से भिन्न है, जिसका अर्थ है कि संख्याएँ अपेक्षाकृत अभाज्य नहीं हैं। हम यह भी देखते हैं कि प्रत्येक संख्या में $1$ और स्वयं संख्या के अलावा कारक भी शामिल होते हैं, जिसका अर्थ है कि संख्याएँ अभाज्य नहीं होंगी, बल्कि समग्र होंगी।

उदाहरण 5

निर्धारित करें कि क्या संख्याएँ $39$ और $112$ अभाज्य, सहअभाज्य संख्याएँ हैं।

समाधान: आइए विहित गुणनखंड का उपयोग करें:

$112=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 7=2^4\cdot 7$

$जीसीडी\(39;112)=1$

हम देखते हैं कि इन संख्याओं की gcd $1$ के बराबर है, जिसका अर्थ है कि संख्याएँ अपेक्षाकृत अभाज्य हैं। हम यह भी देखते हैं कि प्रत्येक संख्या में $1$ और स्वयं संख्या के अलावा कारक भी शामिल होते हैं, जिसका अर्थ है कि संख्याएँ अभाज्य नहीं होंगी, बल्कि समग्र होंगी।

उदाहरण 6

निर्धारित करें कि क्या संख्याएँ $883$ और $997$ अभाज्य, सहअभाज्य संख्याएँ हैं।

समाधान: आइए विहित गुणनखंड का उपयोग करें:

$883=1\cdot 883$

$997=1\cdot 997$

$जीसीडी\(883;997)=1$

हम देखते हैं कि इन संख्याओं की gcd $1$ के बराबर है, जिसका अर्थ है कि संख्याएँ अपेक्षाकृत अभाज्य हैं। हम यह भी देखते हैं कि प्रत्येक संख्या में केवल $1$ के बराबर गुणनखंड और स्वयं संख्या शामिल होती है, जिसका अर्थ है कि संख्याएँ अभाज्य होंगी।