कौन सी संख्याएँ अभाज्य कहलाती हैं? अभाज्य संख्याएँ: एक अनसुलझी पहेली की सांसारिकता

प्रधान संख्या

एक प्राकृतिक संख्या जो एक से बड़ी हो और जिसमें स्वयं और एक के अलावा कोई भाजक न हो: 2, 3, 5, 7, 11, 13... अभाज्य संख्याओं की संख्या अनंत है।

प्रधान संख्या

साबुत सकारात्मक संख्या, एक से बड़ा, स्वयं और एक के अलावा कोई अन्य भाजक नहीं है: 2, 3, 5, 7, 11, 13,... प्राकृतिक (सकारात्मक पूर्णांक) संख्याओं की विभाज्यता के अध्ययन में एक संख्या की अवधारणा मौलिक है; अर्थात्, विभाज्यता के सिद्धांत का मुख्य प्रमेय स्थापित करता है कि 1 को छोड़कर प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक, कई संख्याओं के उत्पाद में विशिष्ट रूप से विघटित होता है (कारकों के क्रम को ध्यान में नहीं रखा जाता है)। अनंत रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं (यह प्रस्ताव प्राचीन यूनानी गणितज्ञों को ज्ञात था; इसका प्रमाण यूक्लिड के तत्वों की 9वीं पुस्तक में उपलब्ध है)। प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता के प्रश्न, और इसलिए अभाज्य संख्याओं से संबंधित प्रश्न, समूहों के अध्ययन में महत्वपूर्ण हैं; विशेष रूप से, तत्वों की एक सीमित संख्या वाले समूह की संरचना उस तरीके से निकटता से संबंधित होती है जिसमें तत्वों की यह संख्या (समूह का क्रम) अभाज्य कारकों में विघटित होती है। बीजगणितीय संख्याओं का सिद्धांत बीजगणितीय पूर्णांकों की विभाज्यता के मुद्दों से संबंधित है; आंशिक संख्या की अवधारणा विभाज्यता के सिद्धांत के निर्माण के लिए अपर्याप्त साबित हुई; इससे एक आदर्श की अवधारणा का निर्माण हुआ। पी. जी. एल. डिरिचलेट ने 1837 में स्थापित किया कि x = 1, 2,... के लिए अंकगणितीय प्रगति a + bx में सहअभाज्य पूर्णांक a और b के साथ अनंत रूप से कई अभाज्य संख्याएँ होती हैं। संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला में अभाज्य संख्याओं का वितरण निर्धारित करना बहुत कठिन है संख्या सिद्धांत में समस्या. इसे फ़ंक्शन p(x) के स्पर्शोन्मुख व्यवहार के अध्ययन के रूप में तैयार किया गया है, जो एक सकारात्मक संख्या x से अधिक नहीं होने वाली आंशिक संख्याओं की संख्या को दर्शाता है। इस दिशा में पहला परिणाम पी.एल. चेबीशेव का है, जिन्होंने 1850 में साबित किया कि दो स्थिरांक ए और ए ऐसे हैं कि ═< p(x) < ═при любых x ³ 2 [т. е., что p(х) растет, как функция ]. Хронологически следующим значительным результатом, уточняющим теорему Чебышева, является т. н. асимптотический закон распределения П. ч. (Ж. Адамар, 1896, Ш. Ла Валле Пуссен, 1896), заключающийся в том, что предел отношения p(х) к ═равен

इसके बाद, गणितज्ञों के महत्वपूर्ण प्रयासों को पी. संख्या के वितरण के स्पर्शोन्मुख नियम को स्पष्ट करने की दिशा में निर्देशित किया गया और पी. संख्या के वितरण के प्रश्नों का अध्ययन किया गया प्राथमिक तरीके, और तरीके गणितीय विश्लेषण. पहचान के प्रयोग पर आधारित विधि विशेष फलदायी है

(उत्पाद सभी पी. एच. पी = 2, 3,... तक फैला हुआ है), सबसे पहले एल. यूलर द्वारा इंगित किया गया; यह पहचान एकता से अधिक वास्तविक भाग वाले सभी कॉम्प्लेक्स के लिए मान्य है। इस पहचान के आधार पर, पी. संख्याओं के वितरण के प्रश्नों को एक विशेष फ़ंक्शन ≈ ज़ेटा फ़ंक्शन x(s) के अध्ययन के लिए प्रेरित किया जाता है, जो श्रृंखला द्वारा Res > 1 के लिए निर्धारित किया जाता है।

इस फ़ंक्शन का उपयोग चेबीशेव द्वारा वास्तविक एस के लिए अभाज्य संख्याओं के वितरण के प्रश्नों में किया गया था; बी. रीमैन ने s के जटिल मानों के लिए x(s) का अध्ययन करने के महत्व को बताया। रीमैन ने अनुमान लगाया कि समीकरण x(s) = 0 की सभी जड़ें, जो दाहिने आधे तल में हैं, का वास्तविक भाग 1/ के बराबर है।

यह परिकल्पना आज तक सिद्ध नहीं हुई है (1975); इसका प्रमाण अभाज्य संख्याओं के वितरण की समस्या को हल करने में बहुत मदद करेगा। अभाज्य संख्याओं के वितरण के प्रश्न गोल्डबैक की समस्या, "जुड़वाँ" की अभी भी अनसुलझी समस्या और विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत की अन्य समस्याओं से निकटता से संबंधित हैं। "जुड़वाँ" की समस्या यह पता लगाना है कि क्या 2 से भिन्न पी. संख्याओं (जैसे, उदाहरण के लिए, 11 और 13) की संख्या सीमित है या अनंत है। पहले 11 मिलियन प्राकृतिक संख्याओं के भीतर स्थित पी. ​​संख्याओं की तालिकाएँ बहुत बड़े "जुड़वाँ" (उदाहरण के लिए, 10006427 और 10006429) की उपस्थिति दर्शाती हैं, लेकिन यह उनकी संख्या की अनंतता का प्रमाण नहीं है। संकलित तालिकाओं के बाहर, व्यक्तिगत आंशिक संख्याएँ ज्ञात हैं जो एक साधारण अंकगणितीय अभिव्यक्ति की अनुमति देती हैं [उदाहरण के लिए, यह स्थापित किया गया था (1965) कि 211213 ≈1 एक नियमित संख्या है; इसमें 3376 अंक हैं]।

लिट.: विनोग्रादोव आई.एम., संख्या सिद्धांत के मूल तत्व, 8वां संस्करण, एम., 1972; हस्से जी., संख्या सिद्धांत पर व्याख्यान, ट्रांस। जर्मन से, एम., 1953; इंघम ए.ई., अभाज्य संख्याओं का वितरण, ट्रांस। अंग्रेजी से, एम. ≈ एल., 1936; प्रहार के., अभाज्य संख्याओं का वितरण, ट्रांस। जर्मन से, एम., 1967; ट्रॉस्ट ई., प्रमुख संख्या, अनुवाद, जर्मन से, एम., 1959।

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प्रधान संख्या

प्रधान संख्या- एक प्राकृतिक संख्या जिसमें बिल्कुल दो अलग-अलग प्राकृतिक विभाजक होते हैं - और स्वयं। दूसरे शब्दों में, संख्या एक्सयदि यह 1 से बड़ा है तो अभाज्य है और बिना किसी शेषफल के केवल 1 और से विभाज्य है एक्स. उदाहरण के लिए, 5 एक अभाज्य संख्या है, और 6 एक भाज्य संख्या है, क्योंकि 1 और 6 के अलावा, यह 2 और 3 से भी विभाज्य है।

प्राकृतिक संख्याएँ जो एक से बड़ी होती हैं और अभाज्य संख्याएँ नहीं होतीं, भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं। तो सब कुछ प्राकृतिक संख्यातीन वर्गों में विभाजित हैं: इकाई। संख्या सिद्धांत अभाज्य संख्याओं के गुणों का अध्ययन करता है। वलय सिद्धांत में, अभाज्य संख्याएँ अपरिवर्तनीय तत्वों से मेल खाती हैं।

अभाज्य संख्याओं का क्रम इस प्रकार प्रारंभ होता है:

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 , 109 , 113 , 127 , 131 , 137 , 139 , 149 , 151 , 157 , 163 , 167 , 173 , 179 , 181 , 191 , 193 , 197 , 199 …

संख्याएँ अलग-अलग हैं: प्राकृतिक, तर्कसंगत, तर्कसंगत, पूर्णांक और भिन्नात्मक, सकारात्मक और नकारात्मक, जटिल और अभाज्य, विषम और सम, वास्तविक, आदि। इस लेख से आप पता लगा सकते हैं कि अभाज्य संख्याएँ क्या हैं।

अंग्रेजी में किन संख्याओं को "सरल" कहा जाता है?

बहुत बार, स्कूली बच्चे पहली नज़र में गणित के सबसे सरल प्रश्नों में से एक, अभाज्य संख्या क्या है, का उत्तर देना नहीं जानते हैं। वे अक्सर अभाज्य संख्याओं को प्राकृतिक संख्याओं के साथ भ्रमित करते हैं (अर्थात, वे संख्याएँ जिनका उपयोग लोग वस्तुओं की गिनती करते समय करते हैं, जबकि कुछ स्रोतों में वे शून्य से शुरू होते हैं, और अन्य में एक के साथ)। लेकिन ये पूरी तरह से दो अलग अवधारणाएँ हैं। अभाज्य संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ होती हैं, अर्थात् पूर्णांक और धनात्मक संख्याएँ जो एक से बड़ी होती हैं और जिनमें केवल 2 प्राकृतिक भाजक होते हैं। इसके अलावा, इन विभाजकों में से एक दी गई संख्या है, और दूसरा एक है। उदाहरण के लिए, तीन एक अभाज्य संख्या है क्योंकि इसे स्वयं और एक के अलावा किसी अन्य संख्या से शेषफल के बिना विभाजित नहीं किया जा सकता है।

समग्र संख्या

अभाज्य संख्याओं का विपरीत भाज्य संख्याएँ होती हैं। वे प्राकृतिक भी हैं, एक से बड़े भी, लेकिन दो नहीं, बल्कि हैं अधिकडिवाइडर. इसलिए, उदाहरण के लिए, संख्याएँ 4, 6, 8, 9, आदि प्राकृतिक, भाज्य हैं, लेकिन अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, ये अधिकतर सम संख्याएँ हैं, लेकिन सभी नहीं। लेकिन "दो" एक सम संख्या है और अभाज्य संख्याओं की श्रृंखला में "पहली संख्या" है।

परिणाम को

अभाज्य संख्याओं की एक श्रृंखला बनाने के लिए, उनकी परिभाषा को ध्यान में रखते हुए, सभी प्राकृतिक संख्याओं में से चयन करना आवश्यक है, अर्थात आपको विरोधाभास से कार्य करने की आवश्यकता है। यह देखने के लिए प्रत्येक सकारात्मक प्राकृतिक संख्या की जांच करना आवश्यक है कि क्या इसमें दो से अधिक भाजक हैं। आइए एक श्रृंखला (अनुक्रम) बनाने का प्रयास करें जिसमें अभाज्य संख्याएँ हों। सूची दो से शुरू होती है, उसके बाद तीन से, क्योंकि यह केवल स्वयं और एक से विभाज्य है। संख्या चार पर विचार करें. क्या इसमें चार और एक के अलावा अन्य भाजक हैं? हाँ, वह संख्या 2 है। अतः चार एक अभाज्य संख्या नहीं है। पाँच भी अभाज्य है (यह 1 और 5 को छोड़कर किसी अन्य संख्या से विभाज्य नहीं है), लेकिन छह विभाज्य है। और सामान्य तौर पर, यदि आप सभी सम संख्याओं का अनुसरण करते हैं, तो आप देखेंगे कि "दो" को छोड़कर, उनमें से कोई भी अभाज्य नहीं है। इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि दो को छोड़कर सम संख्याएँ अभाज्य नहीं हैं। एक और खोज: तीन को छोड़कर, तीन से विभाज्य सभी संख्याएँ, चाहे सम हों या विषम, भी अभाज्य नहीं हैं (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, आदि)। यही बात उन संख्याओं पर भी लागू होती है जो पाँच और सात से विभाज्य हैं। उनकी सारी भीड़ भी साधारण नहीं है. आइए संक्षेप करें. तो, सरल एकल-अंकीय संख्याओं में एक और नौ को छोड़कर सभी विषम संख्याएँ शामिल होती हैं, और यहाँ तक कि "दो" भी सम संख्याएँ होती हैं। दहाई स्वयं (10, 20,...40, आदि) सरल नहीं हैं। दो-अंकीय, तीन-अंकीय, आदि अभाज्य संख्याएँ उपरोक्त सिद्धांतों के आधार पर निर्धारित की जा सकती हैं: यदि उनके पास स्वयं और एक के अलावा कोई अन्य भाजक नहीं है।

अभाज्य संख्याओं के गुणों के बारे में सिद्धांत

एक विज्ञान है जो अभाज्य संख्याओं सहित पूर्णांकों के गुणों का अध्ययन करता है। यह गणित की एक शाखा है जिसे उच्चतर कहा जाता है। पूर्णांकों के गुणों के अलावा, वह बीजीय और पारलौकिक संख्याओं के साथ-साथ इन संख्याओं के अंकगणित से संबंधित विभिन्न मूलों के कार्यों से भी निपटती है। इन अध्ययनों में प्राथमिक और बीजगणितीय विधियों के अलावा, विश्लेषणात्मक और ज्यामितीय तरीकों का भी उपयोग किया जाता है। विशेष रूप से, "संख्या सिद्धांत" अभाज्य संख्याओं के अध्ययन से संबंधित है।

अभाज्य संख्याएँ प्राकृतिक संख्याओं के "निर्माण खंड" हैं

अंकगणित में एक प्रमेय होता है जिसे मौलिक प्रमेय कहा जाता है। इसके अनुसार, एक को छोड़कर, किसी भी प्राकृतिक संख्या को एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसके गुणनखंड अभाज्य संख्याएँ हैं, और गुणनखंडों का क्रम अद्वितीय है, जिसका अर्थ है कि प्रतिनिधित्व की विधि भी अद्वितीय है। इसे किसी प्राकृत संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना कहा जाता है। इस प्रक्रिया का दूसरा नाम है - संख्याओं का गुणनखंडन। इसके आधार पर अभाज्य संख्याओं को “ निर्माण सामग्री”, प्राकृतिक संख्याओं के निर्माण के लिए “ब्लॉक”।

अभाज्य संख्याएँ खोजें. सरलता परीक्षण

अलग-अलग समय के कई वैज्ञानिकों ने अभाज्य संख्याओं की सूची खोजने के लिए कुछ सिद्धांतों (प्रणालियों) को खोजने का प्रयास किया। विज्ञान ऐसी प्रणालियों को जानता है जिन्हें एटकिन छलनी, सुंदरथम छलनी और एराटोस्थनीज़ छलनी कहा जाता है। हालाँकि, वे कोई महत्वपूर्ण परिणाम नहीं देते हैं, और अभाज्य संख्याओं को खोजने के लिए एक सरल परीक्षण का उपयोग किया जाता है। गणितज्ञों ने एल्गोरिदम भी बनाया। इन्हें आम तौर पर प्रारंभिक परीक्षण कहा जाता है। उदाहरण के लिए, राबिन और मिलर द्वारा विकसित एक परीक्षण है। इसका उपयोग क्रिप्टोग्राफर्स द्वारा किया जाता है। कयाल-अग्रवाल-सास्क्वेना परीक्षण भी है। हालाँकि, पर्याप्त सटीकता के बावजूद, इसकी गणना करना बहुत कठिन है, जिससे इसका व्यावहारिक महत्व कम हो जाता है।

क्या अभाज्य संख्याओं के समुच्चय की कोई सीमा होती है?

प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक यूक्लिड ने अपनी पुस्तक "एलिमेंट्स" में लिखा है कि अभाज्य संख्याओं का समुच्चय अनंत है। उन्होंने यह कहा: “आइए एक पल के लिए कल्पना करें कि अभाज्य संख्याओं की एक सीमा होती है। तो फिर आइए उन्हें एक-दूसरे से गुणा करें, और उत्पाद में एक जोड़ें। इन सरल क्रियाओं के परिणामस्वरूप प्राप्त संख्या को अभाज्य संख्याओं की किसी भी श्रृंखला से विभाजित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि शेष हमेशा एक ही रहेगा। इसका मतलब यह है कि कोई अन्य संख्या भी है जो अभी तक अभाज्य संख्याओं की सूची में शामिल नहीं है। इसलिए, हमारी धारणा सत्य नहीं है, और इस सेट की कोई सीमा नहीं हो सकती। यूक्लिड के प्रमाण के अलावा, अठारहवीं शताब्दी के स्विस गणितज्ञ लियोनहार्ड यूलर द्वारा दिया गया एक और आधुनिक सूत्र है। इसके अनुसार, संख्या n बढ़ने पर पहली n संख्याओं के योग का व्युत्क्रम असीमित रूप से बढ़ता है। और यहां अभाज्य संख्याओं के वितरण के संबंध में प्रमेय का सूत्र है: (n) n/ln (n) के रूप में बढ़ता है।

सबसे बड़ी अभाज्य संख्या कौन सी है?

वही लियोनार्ड यूलर अपने समय की सबसे बड़ी अभाज्य संख्या खोजने में सक्षम थे। यह 2 31 - 1 = 2147483647 है। हालाँकि, 2013 तक, अभाज्य संख्याओं की सूची में एक और सबसे सटीक सबसे बड़ी गणना की गई - 2 57885161 - 1. इसे मेर्सन संख्या कहा जाता है। इसमें लगभग 17 मिलियन दशमलव अंक हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, अठारहवीं शताब्दी के वैज्ञानिक द्वारा पाई गई संख्या इससे कई गुना छोटी है। यह वैसा ही था जैसा होना चाहिए था, क्योंकि यूलर ने यह गणना मैन्युअल रूप से की थी, जबकि हमारे समकालीन को संभवतः कंप्यूटर से मदद मिली थी। इसके अलावा, यह संख्या अमेरिकी विभागों में से एक में गणित संकाय में प्राप्त की गई थी। इस वैज्ञानिक के नाम पर रखे गए नंबर ल्यूक-लेमेयर प्राइमैलिटी टेस्ट पास करते हैं। हालाँकि, विज्ञान यहीं रुकना नहीं चाहता। इलेक्ट्रॉनिक फ्रंटियर फाउंडेशन, जिसकी स्थापना 1990 में संयुक्त राज्य अमेरिका (ईएफएफ) में हुई थी, ने बड़ी अभाज्य संख्याएँ खोजने के लिए एक मौद्रिक इनाम की पेशकश की है। और यदि 2013 तक पुरस्कार उन वैज्ञानिकों को दिया जाता था जो उन्हें 1 से 10 मिलियन के बीच से ढूंढते थे दशमलव संख्याएं, तो आज यह आंकड़ा 100 मिलियन से 1 बिलियन तक पहुंच गया है। पुरस्कार 150 से 250 हजार अमेरिकी डॉलर तक हैं।

विशेष अभाज्य संख्याओं के नाम

वे संख्याएँ जो कुछ वैज्ञानिकों द्वारा बनाए गए एल्गोरिदम की बदौलत पाई गईं और सरलता परीक्षण में उत्तीर्ण हुईं, विशेष कहलाती हैं। उनमें से कुछ यहां हैं:

1. मेर्सन।

4. कुलेन.

6. मिल्स एट अल.

उपरोक्त वैज्ञानिकों के नाम पर इन संख्याओं की सरलता निम्नलिखित परीक्षणों का उपयोग करके स्थापित की गई है:

1. ल्यूक-लेमेयर।

2. पेपिना.

3. रिज़ल।

4. बिलहार्ट - लेमेयर - सेल्फ्रिज और अन्य।

आधुनिक विज्ञान यहीं नहीं रुकता, और संभवतः निकट भविष्य में दुनिया उन लोगों के नाम जान लेगी जो सबसे बड़ी अभाज्य संख्या खोजकर $250,000 का पुरस्कार प्राप्त करने में सक्षम थे।

विभाजकों की गणना.परिभाषा के अनुसार, संख्या एनअभाज्य तभी है जब यह 1 और स्वयं को छोड़कर 2 और अन्य पूर्णांकों से समान रूप से विभाज्य न हो। उपरोक्त सूत्र अनावश्यक चरणों को हटा देता है और समय बचाता है: उदाहरण के लिए, यह जांचने के बाद कि कोई संख्या 3 से विभाज्य है या नहीं, यह जांचने की कोई आवश्यकता नहीं है कि यह 9 से विभाज्य है या नहीं।

• फ़्लोर(x) फ़ंक्शन x को निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करता है जो x से कम या उसके बराबर है।

मॉड्यूलर अंकगणित के बारे में जानें.ऑपरेशन "x mod y" है (mod इसका संक्षिप्त रूप है)। लैटिन शब्द"मॉड्यूलो" का अर्थ है "x को y से विभाजित करें और शेषफल ज्ञात करें।" दूसरे शब्दों में, मॉड्यूलर अंकगणित में, एक निश्चित मूल्य तक पहुंचने पर, जिसे कहा जाता है मॉड्यूल, संख्याएँ फिर से शून्य में बदल जाती हैं। उदाहरण के लिए, एक घड़ी 12 के मापांक के साथ समय रखती है: यह 10, 11 और 12 बजे दिखाती है और फिर 1 पर लौट आती है।

• कई कैलकुलेटर में एक मॉड कुंजी होती है। इस अनुभाग का अंत दिखाता है कि इस फ़ंक्शन की मैन्युअल रूप से गणना कैसे करें बड़ी संख्या.

फ़र्मेट के लिटिल प्रमेय के नुकसान के बारे में जानें।वे सभी संख्याएँ जिनके लिए परीक्षण की शर्तें पूरी नहीं होती हैं, समग्र हैं, लेकिन शेष संख्याएँ केवल हैं संभावितसरल के रूप में वर्गीकृत किया गया है। यदि आप गलत परिणामों से बचना चाहते हैं, तो देखें एन"कारमाइकल नंबर" की सूची में (मिश्रित संख्याएं जो संतुष्ट करती हैं यह परीक्षण) और "छद्म-प्रधान फ़र्मेट संख्याएँ" (ये संख्याएँ केवल कुछ मानों के लिए परीक्षण स्थितियों के अनुरूप हैं ए).

यदि सुविधाजनक हो, तो मिलर-राबिन परीक्षण का उपयोग करें।हालाँकि यह विधि मैन्युअल रूप से गणना करने में काफी बोझिल है, लेकिन इसका उपयोग अक्सर किया जाता है कंप्यूटर प्रोग्राम. यह स्वीकार्य गति प्रदान करता है और फ़र्मेट की विधि की तुलना में कम त्रुटियाँ उत्पन्न करता है। यदि गणना ¼ से अधिक मानों के लिए की जाती है तो एक मिश्रित संख्या को अभाज्य संख्या के रूप में स्वीकार नहीं किया जाएगा ए. यदि आप यादृच्छिक रूप से चयन करते हैं विभिन्न अर्थ एऔर उन सभी के लिए परीक्षण सकारात्मक परिणाम देगा, यह हम काफी उच्च स्तर के विश्वास के साथ मान सकते हैं एनएक अभाज्य संख्या है.

बड़ी संख्याओं के लिए, मॉड्यूलर अंकगणित का उपयोग करें।यदि आपके पास मॉड वाला कैलकुलेटर नहीं है, या आपका कैलकुलेटर इतनी बड़ी संख्याओं को संभालने के लिए डिज़ाइन नहीं किया गया है, तो गणना को आसान बनाने के लिए शक्तियों और मॉड्यूलर अंकगणित के गुणों का उपयोग करें। नीचे इसके लिए एक उदाहरण दिया गया है 3 50 (\प्रदर्शन शैली 3^(50))मॉड 50:

• अभिव्यक्ति को अधिक सुविधाजनक रूप में फिर से लिखें: मॉड 50। मैन्युअल गणना करते समय, और सरलीकरण आवश्यक हो सकता है।
• (3 25 * 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25)))मॉड 50 = मॉड 50 मॉड 50) मॉड 50। यहां हमने मॉड्यूलर गुणन की संपत्ति को ध्यान में रखा।
• 3 25 (\प्रदर्शन शैली 3^(25))मॉड 50 = 43.
• (3 25 (\प्रदर्शन शैली (3^(25))मॉड 50 ∗ 3 25 (\प्रदर्शन शैली *3^(25))मॉड 50) मॉड 50 = (43 ∗ 43) (\प्रदर्शन शैली (43*43))मॉड 50.
• = 1849 (\प्रदर्शन शैली =1849)मॉड 50.
• = 49 (\प्रदर्शन शैली =49).

• अनुवाद

अभाज्य संख्याओं के गुणों का अध्ययन सबसे पहले गणितज्ञों द्वारा किया गया था प्राचीन ग्रीस. पाइथागोरस स्कूल (500 - 300 ईसा पूर्व) के गणितज्ञ मुख्य रूप से अभाज्य संख्याओं के रहस्यमय और संख्यात्मक गुणों में रुचि रखते थे। वे सबसे पहले सही और मैत्रीपूर्ण संख्याओं के बारे में विचार लेकर आए थे।

एक पूर्ण संख्या के अपने भाजकों का योग स्वयं के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, संख्या 6 के उचित भाजक 1, 2 और 3 हैं। 1 + 2 + 3 = 6. संख्या 28 के भाजक 1, 2, 4, 7 और 14 हैं। इसके अलावा, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

संख्याएँ मित्रवत कहलाती हैं यदि एक संख्या के उचित भाजक का योग दूसरे के बराबर हो, और इसके विपरीत - उदाहरण के लिए, 220 और 284। हम कह सकते हैं कि एक पूर्ण संख्या स्वयं के लिए मित्रवत होती है।

यूक्लिड के तत्वों के समय तक 300 ई.पू. कई पहले ही सिद्ध हो चुके हैं महत्वपूर्ण तथ्यअभाज्य संख्याओं के संबंध में. एलिमेंट्स की पुस्तक IX में, यूक्लिड ने साबित किया कि अभाज्य संख्याओं की संख्या अनंत है। वैसे, यह विरोधाभास द्वारा प्रमाण का उपयोग करने के पहले उदाहरणों में से एक है। वह अंकगणित के मौलिक प्रमेय को भी सिद्ध करते हैं - प्रत्येक पूर्णांक को अभाज्य संख्याओं के उत्पाद के रूप में विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है।

उन्होंने यह भी दिखाया कि यदि संख्या 2n-1 अभाज्य है, तो संख्या 2n-1 * (2n-1) पूर्ण होगी। एक अन्य गणितज्ञ, यूलर, 1747 में यह दिखाने में सक्षम थे कि सभी पूर्ण संख्याओं को इस रूप में लिखा जा सकता है। आज तक यह अज्ञात है कि विषम पूर्ण संख्याएँ मौजूद हैं या नहीं।

वर्ष 200 ईसा पूर्व में. ग्रीक एराटोस्थनीज ने अभाज्य संख्याओं को खोजने के लिए एक एल्गोरिदम बनाया जिसे एराटोस्थनीज की छलनी कहा जाता है।

और फिर ऐसा हुआ बड़ा ब्रेकमध्य युग से जुड़े अभाज्य संख्याओं के अध्ययन के इतिहास में।

निम्नलिखित खोजें 17वीं शताब्दी की शुरुआत में ही गणितज्ञ फ़र्मेट द्वारा की गई थीं। उन्होंने अल्बर्ट गिरार्ड के अनुमान को सिद्ध किया कि 4n+1 के रूप की किसी भी अभाज्य संख्या को दो वर्गों के योग के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है, और यह प्रमेय भी तैयार किया कि किसी भी संख्या को चार वर्गों के योग के रूप में लिखा जा सकता है।

उन्होंने विकास किया नई विधिबड़ी संख्याओं का गुणनखंडन, और इसे संख्या 2027651281 = 44021 × 46061 पर प्रदर्शित किया। उन्होंने फ़र्मेट के छोटे प्रमेय को भी सिद्ध किया: यदि पी एक अभाज्य संख्या है, तो किसी भी पूर्णांक ए के लिए यह सच होगा कि एपी = एक मोडुलो पी।

यह कथन "चीनी अनुमान" के रूप में जाना जाने वाला आधा साबित होता है और 2000 साल पुराना है: एक पूर्णांक n अभाज्य है यदि और केवल यदि 2 n -2 n से विभाज्य है। परिकल्पना का दूसरा भाग गलत निकला - उदाहरण के लिए, 2,341 - 2, 341 से विभाज्य है, हालाँकि संख्या 341 संयुक्त है: 341 = 31 × 11।

फ़र्मेट के लिटिल प्रमेय ने संख्या सिद्धांत में कई अन्य परिणामों और संख्याओं के अभाज्य होने के परीक्षण के तरीकों के आधार के रूप में कार्य किया - जिनमें से कई आज भी उपयोग किए जाते हैं।

फ़र्मेट ने अपने समकालीनों के साथ बहुत पत्र-व्यवहार किया, विशेषकर मारेन मेरसेन नाम के एक भिक्षु के साथ। अपने एक पत्र में, उन्होंने परिकल्पना की कि यदि n दो की घात है तो 2 n +1 के रूप की संख्याएँ हमेशा अभाज्य होंगी। उन्होंने n = 1, 2, 4, 8 और 16 के लिए इसका परीक्षण किया, और आश्वस्त थे कि ऐसे मामले में जहां n दो की घात नहीं थी, संख्या आवश्यक रूप से अभाज्य नहीं थी। इन संख्याओं को फ़र्मेट संख्याएँ कहा जाता है, और केवल 100 साल बाद यूलर ने दिखाया कि अगली संख्या, 2 32 + 1 = 4294967297, 641 से विभाज्य है, और इसलिए अभाज्य नहीं है।

2 n - 1 रूप की संख्याएँ भी शोध का विषय रही हैं, क्योंकि यह दिखाना आसान है कि यदि n भाज्य है, तो संख्या स्वयं भी भाज्य है। इन संख्याओं को मेरसेन संख्याएँ कहा जाता है क्योंकि उन्होंने इनका बड़े पैमाने पर अध्ययन किया था।

लेकिन 2 n - 1 के रूप की सभी संख्याएँ, जहाँ n अभाज्य है, अभाज्य नहीं हैं। उदाहरण के लिए, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89। यह पहली बार 1536 में खोजा गया था।

कई वर्षों तक, इस प्रकार की संख्याओं ने गणितज्ञों को सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्याएँ प्रदान कीं। 1588 में कैटाल्डी द्वारा एम 19 को सिद्ध किया गया था, और 200 वर्षों तक यह सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्या थी, जब तक कि यूलर ने साबित नहीं कर दिया कि एम 31 भी अभाज्य था। यह रिकॉर्ड अगले सौ वर्षों तक कायम रहा, और फिर लुकास ने दिखाया कि एम 127 अभाज्य है (और यह पहले से ही 39 अंकों की संख्या है), और उसके बाद कंप्यूटर के आगमन के साथ अनुसंधान जारी रहा।

1952 में, संख्याओं एम 521, एम 607, एम 1279, एम 2203 और एम 2281 की प्रधानता साबित हुई थी।

2005 तक, 42 मेरसेन प्राइम पाए जा चुके थे। उनमें से सबसे बड़ा, एम 25964951, 7816230 अंकों का है।

यूलर के काम का अभाज्य संख्याओं सहित संख्याओं के सिद्धांत पर बहुत बड़ा प्रभाव पड़ा। उन्होंने फ़र्मेट के लिटिल प्रमेय का विस्तार किया और φ-फ़ंक्शन की शुरुआत की। 5वीं फ़र्मेट संख्या 2 32 +1 का गुणनखंडन करने पर 60 जोड़े मिले मैत्रीपूर्ण संख्याएँ, और द्विघात पारस्परिकता कानून तैयार किया (लेकिन साबित नहीं किया जा सका)।

वह गणितीय विश्लेषण के तरीकों को पेश करने और विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत विकसित करने वाले पहले व्यक्ति थे। उन्होंने साबित किया कि न केवल हार्मोनिक श्रृंखला ∑ (1/n), बल्कि फॉर्म की एक श्रृंखला भी है

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

अभाज्य संख्याओं के व्युत्क्रमों के योग से प्राप्त परिणाम भी भिन्न होता है। हार्मोनिक श्रृंखला के n पदों का योग लगभग लॉग (n) के रूप में बढ़ता है, और दूसरी श्रृंखला लॉग [लॉग (n)] के रूप में अधिक धीरे-धीरे विचलन करती है। इसका मतलब है, उदाहरण के लिए, राशि पारस्परिकआज तक पाए गए सभी अभाज्य संख्याओं में से केवल 4 ही मिलेंगे, हालाँकि श्रृंखला अभी भी भिन्न है।

पहली नज़र में, ऐसा लगता है कि अभाज्य संख्याएँ पूर्णांकों के बीच काफी बेतरतीब ढंग से वितरित की जाती हैं। उदाहरण के लिए, 10000000 से ठीक पहले की 100 संख्याओं में से 9 अभाज्य संख्याएँ हैं, और इस मान के तुरंत बाद की 100 संख्याओं में से केवल 2 हैं। लेकिन बड़े खंडों में अभाज्य संख्याएँ काफी समान रूप से वितरित की जाती हैं। लीजेंड्रे और गॉस ने उनके वितरण के मुद्दों को निपटाया। गॉस ने एक बार एक मित्र से कहा था कि किसी भी खाली 15 मिनट में वह हमेशा अगले 1000 संख्याओं में अभाज्य संख्याओं की संख्या गिनता है। अपने जीवन के अंत तक उन्होंने 30 लाख तक की सभी अभाज्य संख्याएँ गिन ली थीं। लीजेंड्रे और गॉस ने समान रूप से गणना की कि बड़े n के लिए अभाज्य घनत्व 1/लॉग(n) है। लीजेंड्रे ने 1 से n तक की सीमा में अभाज्य संख्याओं की संख्या का अनुमान लगाया

π(एन) = एन/(लॉग(एन) - 1.08366)

और गॉस एक लघुगणकीय अभिन्न अंग की तरह है

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

2 से n तक एकीकरण अंतराल के साथ।

अभाज्य घनत्व 1/लॉग(एन) के बारे में कथन को अभाज्य वितरण प्रमेय के रूप में जाना जाता है। उन्होंने 19वीं सदी में इसे साबित करने की कोशिश की और चेबीशेव और रीमैन ने प्रगति हासिल की। उन्होंने इसे रीमैन परिकल्पना से जोड़ा, जो रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के शून्य के वितरण के बारे में अभी भी अप्रमाणित परिकल्पना है। अभाज्य संख्याओं का घनत्व 1896 में हैडामर्ड और वैली-पॉसिन द्वारा एक साथ सिद्ध किया गया था।

अभाज्य संख्या सिद्धांत में अभी भी कई अनसुलझे प्रश्न हैं, जिनमें से कुछ सैकड़ों वर्ष पुराने हैं:

• जुड़वां अभाज्य परिकल्पना अभाज्य संख्याओं के युग्मों की अनंत संख्या के बारे में है जो एक दूसरे से 2 से भिन्न होते हैं
• गोल्डबैक की परिकल्पना: कोई भी सम संख्या 4 से शुरू करके, इसे दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है
• क्या n 2 + 1 के रूप की अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है?
• क्या n 2 और (n + 1) 2 के बीच एक अभाज्य संख्या ज्ञात करना हमेशा संभव है? (यह तथ्य कि n और 2n के बीच हमेशा एक अभाज्य संख्या होती है, चेबीशेव द्वारा सिद्ध किया गया था)
• क्या फ़र्मेट अभाज्य संख्याओं की संख्या अनंत है? क्या 4 के बाद कोई फ़र्मेट अभाज्य हैं?
• क्या इसका अस्तित्व है? अंकगणितीय प्रगतिकिसी भी लंबाई के लिए लगातार अभाज्य संख्याओं का? उदाहरण के लिए, लंबाई 4 के लिए: 251, 257, 263, 269। पाई गई अधिकतम लंबाई 26 है।
• क्या अंकगणितीय प्रगति में तीन लगातार अभाज्य संख्याओं के सेट की अनंत संख्या होती है?
• n 2 - n + 41, 0 ≤ n ≤ 40 के लिए एक अभाज्य संख्या है। क्या ऐसी अभाज्य संख्याओं की कोई अनंत संख्या है? सूत्र n 2 - 79 n + 1601 के लिए भी यही प्रश्न है। ये संख्याएँ 0 ≤ n ≤ 79 के लिए अभाज्य हैं।
• क्या n# + 1 के रूप की अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है? (n#, n से कम सभी अभाज्य संख्याओं को गुणा करने का परिणाम है)
• क्या n# -1 रूप की अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है?
• क्या n रूप की अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है? + 1?
• क्या n रूप की अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है? – 1?
• यदि p अभाज्य है, तो क्या 2 p -1 में हमेशा इसके गुणनखंडों के बीच अभाज्य वर्ग नहीं होते हैं?
• क्या फाइबोनैचि अनुक्रम में अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या होती है?

सबसे बड़ी जुड़वां अभाज्य संख्याएँ 2003663613 × 2 195000 ± 1 हैं। इनमें 58711 अंक होते हैं और इन्हें 2007 में खोजा गया था।

सबसे बड़ी भाज्य अभाज्य संख्या (प्रकार n! ± 1) 147855 है! - 1. इसमें 142891 अंक हैं और यह 2002 में पाया गया था।

सबसे बड़ी मूल अभाज्य संख्या (n# ± 1 के रूप की एक संख्या) 1098133# + 1 है।

प्रधान संख्याएक प्राकृतिक (धनात्मक पूर्णांक) संख्या है जो बिना किसी शेषफल के केवल दो प्राकृतिक संख्याओं से विभाज्य है: स्वयं और द्वारा। दूसरे शब्दों में, एक अभाज्य संख्या में ठीक दो प्राकृतिक भाजक होते हैं: और स्वयं संख्या।

परिभाषा के अनुसार, किसी अभाज्य संख्या के सभी भाजक का समुच्चय दो-तत्व वाला होता है, अर्थात। एक सेट का प्रतिनिधित्व करता है.

सभी अभाज्य संख्याओं के समुच्चय को प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रकार, अभाज्य संख्याओं के समुच्चय की परिभाषा के कारण, हम लिख सकते हैं:।

अभाज्य संख्याओं का क्रम इस प्रकार दिखता है:

अंकगणित का मौलिक प्रमेय

अंकगणित का मौलिक प्रमेयबताता है कि एक से बड़ी प्रत्येक प्राकृतिक संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में और गुणनखंडों के क्रम तक एक अनूठे तरीके से दर्शाया जा सकता है। इस प्रकार, अभाज्य संख्याएँ प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के प्राथमिक "निर्माण खंड" हैं।

प्राकृतिक संख्या विस्तार शीर्षक='QuickLaTeX.com द्वारा प्रस्तुत" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} कैनन का:

अभाज्य संख्या कहां है, और. उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक संख्या का विहित विस्तार इस तरह दिखता है:।

किसी प्राकृत संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में प्रस्तुत करना भी कहलाता है किसी संख्या का गुणनखंडन.

अभाज्य संख्याओं के गुण

एराटोस्थनीज की छलनी

अभाज्य संख्याओं को खोजने और पहचानने के लिए सबसे प्रसिद्ध एल्गोरिदम में से एक है एराटोस्थनीज की छलनी. इसलिए इस एल्गोरिथम का नाम ग्रीक गणितज्ञ एराटोस्थनीज ऑफ साइरेन के नाम पर रखा गया, जिन्हें एल्गोरिथम का लेखक माना जाता है।

किसी दी गई संख्या से छोटी सभी अभाज्य संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, एराटोस्थनीज़ की विधि का अनुसरण करते हुए, इन चरणों का पालन करें:

स्टेप 1।दो से लेकर तक सभी प्राकृतिक संख्याएँ लिखिए, अर्थात्। .
चरण दो।वेरिएबल को मान निर्दिष्ट करें, अर्थात, सबसे छोटी अभाज्य संख्या के बराबर मान।
चरण 3.सूची में से सभी संख्याओं को काट दें जो कि के गुणज हैं, अर्थात संख्याएँ:।
चरण 4।सूची में से बड़ी पहली बिना काटी गई संख्या ढूंढें, और इस संख्या का मान एक चर के लिए निर्दिष्ट करें।
चरण 5.संख्या तक पहुंचने तक चरण 3 और 4 को दोहराएँ।

एल्गोरिथम लागू करने की प्रक्रिया इस तरह दिखेगी:

एल्गोरिदम को लागू करने की प्रक्रिया के अंत में सूची में शेष सभी अभाज्य संख्याएँ अभाज्य संख्याओं का समूह होंगी।

गोल्डबैक अनुमान

पुस्तक "अंकल पेट्रोस एंड द गोल्डबैक हाइपोथिसिस" का कवर

इस तथ्य के बावजूद कि गणितज्ञों द्वारा अभाज्य संख्याओं का अध्ययन काफी लंबे समय से किया जा रहा है, कई संबंधित समस्याएं आज भी अनसुलझी हैं। सबसे प्रसिद्ध अनसुलझी समस्याओं में से एक है गोल्डबैक की परिकल्पना, जिसे इस प्रकार तैयार किया गया है:

• क्या यह सच है कि दो से बड़ी प्रत्येक सम संख्या को दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है (गोल्डबैक की द्विआधारी परिकल्पना)?
• क्या यह सच है कि हर विषम संख्या, 5 से अधिक, को योग के रूप में दर्शाया जा सकता है तीन सरलसंख्याएँ (टर्नरी गोल्डबैक परिकल्पना)?

यह कहा जाना चाहिए कि टर्नरी गोल्डबैक परिकल्पना बाइनरी गोल्डबैक परिकल्पना का एक विशेष मामला है, या जैसा कि गणितज्ञ कहते हैं, टर्नरी गोल्डबैक परिकल्पना बाइनरी गोल्डबैक परिकल्पना से कमजोर है।

गोल्डबैक का अनुमान 2000 में प्रकाशन कंपनियों ब्लूम्सबरी यूएसए (यूएसए) और फेबर एंड फेबर (यूके) के प्रचार विपणन स्टंट के कारण गणितीय समुदाय के बाहर व्यापक रूप से जाना जाने लगा। इन प्रकाशकों ने, "अंकल पेट्रोस एंड गोल्डबैक कॉन्जेक्चर" पुस्तक का विमोचन करते हुए, पुस्तक के प्रकाशन की तारीख से 2 साल के भीतर गोल्डबैक की परिकल्पना को साबित करने वाले को 1 मिलियन अमेरिकी डॉलर का पुरस्कार देने का वादा किया। कभी-कभी प्रकाशकों के उल्लिखित पुरस्कार को मिलेनियम पुरस्कार समस्याओं को हल करने के लिए पुरस्कार के साथ भ्रमित किया जाता है। कोई गलती न करें, गोल्डबैक की परिकल्पना को क्ले इंस्टीट्यूट द्वारा "सहस्राब्दी चुनौती" के रूप में वर्गीकृत नहीं किया गया है, हालांकि यह निकटता से संबंधित है रीमैन परिकल्पना- "सहस्राब्दी चुनौतियों" में से एक।

पुस्तक “अभाज्य संख्याएँ। अनंत तक लंबी सड़क"

पुस्तक "गणित की दुनिया" का कवर। प्रमुख संख्या। अनंत तक लंबी सड़क"

इसके अतिरिक्त, मैं एक आकर्षक लोकप्रिय विज्ञान पुस्तक पढ़ने की सलाह देता हूं, जिसकी व्याख्या कहती है: “अभाज्य संख्याओं की खोज गणित में सबसे विरोधाभासी समस्याओं में से एक है। वैज्ञानिक कई सहस्राब्दियों से इसे सुलझाने की कोशिश कर रहे हैं, लेकिन नए संस्करणों और परिकल्पनाओं के साथ बढ़ते हुए, यह रहस्य अभी भी अनसुलझा है। अभाज्य संख्याओं की उपस्थिति किसी भी प्रणाली के अधीन नहीं है: वे गणितज्ञों द्वारा उनके अनुक्रम में पैटर्न की पहचान करने के सभी प्रयासों को नजरअंदाज करते हुए, प्राकृतिक संख्याओं की श्रृंखला में अनायास दिखाई देते हैं। यह पुस्तक पाठक को विकास का पता लगाने की अनुमति देगी वैज्ञानिक विचारप्राचीन काल से लेकर आज तक और आपको अभाज्य संख्याओं की खोज के सबसे दिलचस्प सिद्धांतों से परिचित कराएगा।

इसके अतिरिक्त, मैं इस पुस्तक के दूसरे अध्याय की शुरुआत उद्धृत करूंगा: "अभाज्य संख्याएं उन महत्वपूर्ण विषयों में से एक हैं जो हमें गणित की उत्पत्ति की ओर ले जाती हैं, और फिर, बढ़ती जटिलता के पथ पर ले जाती हैं अग्रणी धार आधुनिक विज्ञान. इस प्रकार, अभाज्य संख्या सिद्धांत के आकर्षक और जटिल इतिहास का पता लगाना बहुत उपयोगी होगा: वास्तव में यह कैसे विकसित हुआ, वास्तव में अब आम तौर पर स्वीकार किए जाने वाले तथ्य और सत्य कैसे एकत्र किए गए थे। इस अध्याय में हम देखेंगे कि कैसे गणितज्ञों की पीढ़ियों ने एक नियम की खोज में प्राकृतिक संख्याओं का सावधानीपूर्वक अध्ययन किया, जो अभाज्य संख्याओं की उपस्थिति की भविष्यवाणी करता था - एक नियम जो खोज के आगे बढ़ने के साथ-साथ मायावी होता गया। हम ऐतिहासिक संदर्भ पर भी विस्तार से गौर करेंगे: गणितज्ञों ने किन परिस्थितियों में काम किया और किस हद तक उनके काम में रहस्यमय और अर्ध-धार्मिक प्रथाएं शामिल थीं, जो बिल्कुल भी समान नहीं हैं वैज्ञानिक तरीके, आजकल उपयोग किया जाता है। फिर भी, धीरे-धीरे और कठिनाई से, नए विचारों के लिए ज़मीन तैयार की गई जिसने 17वीं और 18वीं शताब्दी में फ़र्मेट और यूलर को प्रेरित किया।