अंकगणितीय प्रगतिसंख्याओं के अनुक्रम को नाम दें (प्रगति की शर्तें)

जिसमें प्रत्येक आगामी पद पिछले पद से एक नये पद द्वारा भिन्न होता है, जिसे भी कहा जाता है कदम या प्रगति का अंतर.

इस प्रकार, प्रगति चरण और उसके पहले पद को निर्दिष्ट करके, आप सूत्र का उपयोग करके इसके किसी भी तत्व को पा सकते हैं

अंकगणितीय प्रगति के गुण

1) अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे नंबर से शुरू होकर, प्रगति के पिछले और अगले सदस्यों का अंकगणितीय माध्य है

इसका उलटा भी सच है। यदि किसी प्रगति के आसन्न विषम (सम) पदों का अंकगणितीय माध्य उनके बीच के पद के बराबर है, तो संख्याओं का यह क्रम एक अंकगणितीय प्रगति है। इस स्टेटमेंट का उपयोग करके किसी भी क्रम को जांचना बहुत आसान है।

साथ ही, अंकगणितीय प्रगति के गुण के आधार पर, उपरोक्त सूत्र को निम्नलिखित में सामान्यीकृत किया जा सकता है

यदि आप शब्दों को समान चिह्न के दाईं ओर लिखते हैं तो इसे सत्यापित करना आसान है

इसका प्रयोग व्यवहार में अक्सर समस्याओं में गणनाओं को सरल बनाने के लिए किया जाता है।

2) अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों के योग की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है

अंकगणितीय प्रगति के योग के सूत्र को अच्छी तरह से याद रखें, यह गणना में अपरिहार्य है और अक्सर साधारण जीवन स्थितियों में पाया जाता है।

3) यदि आपको संपूर्ण योग नहीं, बल्कि उसके kवें पद से शुरू होने वाले अनुक्रम का कुछ भाग ज्ञात करना है, तो निम्नलिखित योग सूत्र आपके लिए उपयोगी होगा

4) kवें नंबर से शुरू होने वाली अंकगणितीय प्रगति के n पदों का योग ज्ञात करना व्यावहारिक रुचि का विषय है। ऐसा करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें

यह सैद्धांतिक सामग्री को समाप्त करता है और व्यवहार में सामान्य समस्याओं को हल करने के लिए आगे बढ़ता है।

उदाहरण 1. अंकगणितीय प्रगति 4;7;... का चालीसवाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधान:

हमारी जो स्थिति है उसके अनुसार

आइए प्रगति चरण निर्धारित करें

एक सुप्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करके, हम प्रगति का चालीसवां पद ज्ञात करते हैं

उदाहरण 2. इसके तीसरे और सातवें पद द्वारा एक अंकगणितीय प्रगति दी जाती है। प्रगति का पहला पद और दस का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान:

आइए सूत्रों का उपयोग करके प्रगति के दिए गए तत्वों को लिखें

हम पहले को दूसरे समीकरण से घटाते हैं, परिणामस्वरूप हमें प्रगति चरण मिलता है

अंकगणितीय प्रगति का पहला पद ज्ञात करने के लिए हम पाए गए मान को किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं

हम प्रगति के पहले दस पदों के योग की गणना करते हैं

जटिल गणनाओं का उपयोग किए बिना, हमने सभी आवश्यक मात्राएँ पाईं।

उदाहरण 3. एक अंकगणितीय प्रगति हर और उसके एक पद द्वारा दी जाती है। प्रगति का पहला पद, 50 से शुरू होने वाले इसके 50 पदों का योग और पहले 100 का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान:

आइए प्रगति के सौवें तत्व का सूत्र लिखें

और पहला खोजें

पहले के आधार पर, हम प्रगति का 50वाँ पद पाते हैं

प्रगति के भाग का योग ज्ञात करना

और पहले 100 का योग

प्रगति राशि 250 है.

उदाहरण 4.

एक अंकगणितीय प्रगति के पदों की संख्या ज्ञात कीजिए यदि:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

समाधान:

आइए पहले पद और प्रगति चरण के संदर्भ में समीकरण लिखें और उन्हें निर्धारित करें

हम योग में पदों की संख्या निर्धारित करने के लिए प्राप्त मानों को योग सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं

हम सरलीकरण करते हैं

और द्विघात समीकरण को हल करें

पाए गए दो मानों में से केवल संख्या 8 ही समस्या स्थितियों में फिट बैठती है। इस प्रकार, प्रगति के पहले आठ पदों का योग 111 है।

उदाहरण 5.

प्रश्न हल करें

1+3+5+...+x=307.

समाधान: यह समीकरण एक अंकगणितीय प्रगति का योग है। आइए इसका पहला पद लिखें और प्रगति में अंतर ज्ञात करें

ऑनलाइन कैलकुलेटर.
अंकगणितीय प्रगति को हल करना.
दिया गया: ए एन, डी, एन
खोजें: ए 1

यह गणित कार्यक्रमउपयोगकर्ता द्वारा निर्दिष्ट संख्याओं \(a_n, d\) और \(n\) के आधार पर अंकगणितीय प्रगति का \(a_1\) पाता है।
संख्याओं \(a_n\) और \(d\) को न केवल पूर्णांक के रूप में, बल्कि भिन्न के रूप में भी निर्दिष्ट किया जा सकता है। इसके अलावा, भिन्नात्मक संख्या को दशमलव भिन्न (\(2.5\)) के रूप में और साधारण भिन्न (\(-5\frac(2)(7)\)) के रूप में दर्ज किया जा सकता है।

कार्यक्रम न केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि समाधान खोजने की प्रक्रिया भी प्रदर्शित करता है।

यह ऑनलाइन कैलकुलेटर हाई स्कूल के छात्रों के लिए उपयोगी हो सकता है माध्यमिक स्कूलोंतैयारी के लिए परीक्षणऔर परीक्षा, जब माता-पिता के लिए गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए एकीकृत राज्य परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण किया जाता है। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर नियुक्त करना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप इसे यथाशीघ्र पूरा करना चाहते हैं? गृहकार्यगणित या बीजगणित में? इस मामले में, आप विस्तृत समाधानों के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस तरह आप अपना स्वयं का प्रशिक्षण और/या अपना प्रशिक्षण संचालित कर सकते हैं। छोटे भाईया बहनें, जबकि समस्याओं के समाधान के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ता है।

यदि आप संख्याएँ दर्ज करने के नियमों से परिचित नहीं हैं, तो हम अनुशंसा करते हैं कि आप स्वयं को उनसे परिचित कर लें।

संख्याएं दर्ज करने के नियम

संख्याओं \(a_n\) और \(d\) को न केवल पूर्णांक के रूप में, बल्कि भिन्न के रूप में भी निर्दिष्ट किया जा सकता है।
संख्या \(n\) केवल एक धनात्मक पूर्णांक हो सकती है।

दशमलव भिन्न दर्ज करने के नियम.
दशमलव भिन्नों में पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को अवधि या अल्पविराम द्वारा अलग किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, आप प्रवेश कर सकते हैं दशमलवतो 2.5 या तो 2.5

साधारण भिन्न दर्ज करने के नियम.
केवल एक पूर्ण संख्या ही भिन्न के अंश, हर और पूर्णांक भाग के रूप में कार्य कर सकती है।

हर ऋणात्मक नहीं हो सकता.

एक संख्यात्मक भिन्न दर्ज करते समय, अंश को हर से एक विभाजन चिह्न द्वारा अलग किया जाता है: /
इनपुट:
परिणाम: \(-\frac(2)(3)\)

संपूर्ण भागएम्परसेंड द्वारा भिन्न से अलग किया गया: &
इनपुट:
परिणाम: \(-1\frac(2)(3)\)

संख्याएँ a n , d, n दर्ज करें

1 खोजें

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हमारे गेम, पहेलियाँ, एमुलेटर:

थोड़ा सिद्धांत.

संख्या क्रम

रोजमर्रा के व्यवहार में, विभिन्न वस्तुओं की संख्या का उपयोग अक्सर उस क्रम को इंगित करने के लिए किया जाता है जिसमें वे व्यवस्थित हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक सड़क पर मकान क्रमांकित हैं। लाइब्रेरी में, पाठकों की सदस्यता को क्रमांकित किया जाता है और फिर विशेष कार्ड फ़ाइलों में निर्दिष्ट संख्याओं के क्रम में व्यवस्थित किया जाता है।

बचत बैंक में, जमाकर्ता के व्यक्तिगत खाता नंबर का उपयोग करके, आप आसानी से यह खाता ढूंढ सकते हैं और देख सकते हैं कि इस पर कितनी जमा राशि है। मान लें कि खाता संख्या 1 में a1 रूबल की जमा राशि है, खाता संख्या 2 में a2 रूबल की जमा राशि है, आदि। संख्या क्रम
ए 1, ए 2, ए 3, ..., ए एन
जहां N सभी खातों की संख्या है। यहां, 1 से N तक प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n एक संख्या a n से संबद्ध है।

गणित में भी पढ़ाई की अनंत संख्या क्रम:
ए 1 , ए 2 , ए 3 , ..., ए एन , ... .
संख्या a 1 कहलाती है अनुक्रम का पहला पद, संख्या ए 2 - अनुक्रम का दूसरा पद, संख्या ए 3 - अनुक्रम का तीसरा पदवगैरह।
संख्या a n को कहा जाता है अनुक्रम का nवाँ (nth) सदस्य, और प्राकृत संख्या n इसकी है संख्या.

उदाहरण के लिए, वर्गों के अनुक्रम में प्राकृतिक संख्या 1, 4, 9, 16, 25, ..., एन 2, (एन + 1) 2, ... और 1 = 1 अनुक्रम का पहला पद है; और n = n 2 है नौवाँ पदअनुक्रम; a n+1 = (n + 1) 2 अनुक्रम का (n + 1)वां (n प्लस पहला) पद है। अक्सर किसी अनुक्रम को उसके nवें पद के सूत्र द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सूत्र \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) अनुक्रम को परिभाषित करता है \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

अंकगणितीय प्रगति

वर्ष की अवधि लगभग 365 दिन होती है। अधिक सही मूल्य\(365\frac(1)(4)\) दिनों के बराबर है, इसलिए हर चार साल में एक दिन की त्रुटि जमा हो जाती है।

इस त्रुटि को ध्यान में रखते हुए, हर चौथे वर्ष में एक दिन जोड़ा जाता है, और विस्तारित वर्ष को लीप वर्ष कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, तीसरी सहस्राब्दी में अधिवर्षवर्ष 2004, 2008, 2012, 2016, ... हैं।

इस क्रम में, प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, उसी संख्या 4 में जोड़ा जाता है। ऐसे अनुक्रम कहलाते हैं अंकगणितीय प्रगति.

परिभाषा।
संख्या अनुक्रम a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... कहलाता है अंकगणितीय प्रगति, यदि सभी प्राकृतिक n समानता के लिए
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
जहाँ d कोई संख्या है।

इस सूत्र से यह निष्कर्ष निकलता है कि a n+1 - a n = d. संख्या d को अंतर कहा जाता है अंकगणितीय प्रगति.

अंकगणितीय प्रगति की परिभाषा के अनुसार हमारे पास:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
कहाँ
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), जहां \(n>1 \)

इस प्रकार, अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, इसके दो आसन्न पदों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है। यह "अंकगणितीय" प्रगति नाम की व्याख्या करता है।

ध्यान दें कि यदि a 1 और d दिया गया है, तो अंकगणितीय प्रगति के शेष पदों की गणना आवर्ती सूत्र a n+1 = a n + d का उपयोग करके की जा सकती है। इस तरह प्रगति के पहले कुछ पदों की गणना करना मुश्किल नहीं है, हालांकि, उदाहरण के लिए, 100 के लिए पहले से ही बहुत सारी गणनाओं की आवश्यकता होगी। आमतौर पर, इसके लिए nवें पद सूत्र का उपयोग किया जाता है। अंकगणितीय प्रगति की परिभाषा के अनुसार
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
वगैरह।
बिल्कुल भी,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
क्योंकि नौवाँ पदअंकगणितीय प्रगति पहले पद से संख्या d में (n-1) गुना जोड़कर प्राप्त की जाती है।
इस सूत्र को कहा जाता है अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के लिए सूत्र.

अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग

1 से 100 तक की सभी प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
आइए इस राशि को दो प्रकार से लिखें:
एस = एल + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
एस = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
आइए इन समानताओं को शब्द दर शब्द जोड़ें:
2एस = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101।
इस योग में 100 पद हैं
इसलिए, 2S = 101 * 100, इसलिए S = 101 * 50 = 5050।

आइए अब हम एक मनमानी अंकगणितीय प्रगति पर विचार करें
ए 1 , ए 2 , ए 3 , ..., ए एन , ...
मान लीजिए S n इस प्रगति के पहले n पदों का योग है:
एस एन = ए 1 , ए 2 , ए 3 , ..., ए एन
तब एक अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग बराबर होता है
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

चूँकि \(a_n=a_1+(n-1)d\), तो इस सूत्र में a n को प्रतिस्थापित करने पर हमें खोजने के लिए एक और सूत्र मिलता है अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

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बहुत से लोगों ने अंकगणितीय प्रगति के बारे में सुना है, लेकिन हर किसी को इसका अच्छा अंदाज़ा नहीं है कि यह क्या है। इस लेख में हम संबंधित परिभाषा देंगे, और अंकगणितीय प्रगति का अंतर कैसे ज्ञात करें, इस प्रश्न पर भी विचार करेंगे और कई उदाहरण देंगे।

गणितीय परिभाषा

तो यदि हम बात कर रहे हैंअंकगणित या बीजगणितीय प्रगति के बारे में (ये अवधारणाएँ एक ही चीज़ को परिभाषित करती हैं), इसका मतलब है कि एक निश्चित संख्या श्रृंखला है जो निम्नलिखित कानून को संतुष्ट करती है: श्रृंखला में प्रत्येक दो आसन्न संख्याएँ समान मान से भिन्न होती हैं। गणितीय रूप से इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

यहां n का अर्थ अनुक्रम में तत्व a n की संख्या है, और संख्या d प्रगति का अंतर है (इसका नाम प्रस्तुत सूत्र से आता है)।

अंतर जानने का क्या मतलब है? इस बारे में कि पड़ोसी संख्याएँ एक दूसरे से कितनी "दूर" हैं। हालाँकि, संपूर्ण प्रगति को निर्धारित (पुनर्स्थापित) करने के लिए डी का ज्ञान एक आवश्यक लेकिन पर्याप्त शर्त नहीं है। एक और संख्या जानना जरूरी है, जो विचाराधीन श्रृंखला का बिल्कुल कोई भी तत्व हो सकता है, उदाहरण के लिए, 4, ए10, लेकिन, एक नियम के रूप में, वे पहले नंबर का उपयोग करते हैं, यानी 1।

प्रगति तत्वों के निर्धारण के लिए सूत्र

सामान्य तौर पर, उपरोक्त जानकारी विशिष्ट समस्याओं को हल करने के लिए आगे बढ़ने के लिए पहले से ही पर्याप्त है। फिर भी, अंकगणितीय प्रगति दिए जाने से पहले, और इसका अंतर ज्ञात करना आवश्यक होगा, हम कुछ उपयोगी सूत्र प्रस्तुत करेंगे, जिससे समस्याओं को हल करने की बाद की प्रक्रिया आसान हो जाएगी।

यह दिखाना आसान है कि संख्या n वाले अनुक्रम का कोई भी तत्व निम्नानुसार पाया जा सकता है:

ए एन = ए 1 + (एन - 1) * डी

दरअसल, कोई भी इस सूत्र को सरल खोज द्वारा जांच सकता है: यदि आप n = 1 प्रतिस्थापित करते हैं, तो आपको पहला तत्व मिलता है, यदि आप n = 2 प्रतिस्थापित करते हैं, तो अभिव्यक्ति पहली संख्या और अंतर का योग देती है, और इसी तरह।

कई समस्याओं की स्थितियाँ इस तरह से बनाई गई हैं कि, संख्याओं की एक ज्ञात जोड़ी को देखते हुए, जिनकी संख्याएँ अनुक्रम में भी दी गई हैं, संपूर्ण संख्या श्रृंखला का पुनर्निर्माण करना आवश्यक है (अंतर और पहला तत्व खोजें)। अब हम इस समस्या का समाधान सामान्य रूप में करेंगे।

तो, मान लीजिए संख्या n और m वाले दो तत्व दिए गए हैं। ऊपर प्राप्त सूत्र का उपयोग करके, आप दो समीकरणों की एक प्रणाली बना सकते हैं:

ए एन = ए 1 + (एन - 1) * डी;

ए एम = ए 1 + (एम - 1) * डी

अज्ञात मात्राएँ ज्ञात करने के लिए हम ज्ञात का उपयोग करते हैं सरल तरकीबऐसी प्रणाली का समाधान: बाएँ और दाएँ पक्षों को जोड़े में घटाएँ, समानता मान्य रहेगी। हमारे पास है:

ए एन = ए 1 + (एन - 1) * डी;

ए एन - ए एम = (एन - 1) * डी - (एम - 1) * डी = डी * (एन - एम)

इस प्रकार, हमने एक अज्ञात (ए 1) को बाहर कर दिया है। अब हम d निर्धारित करने के लिए अंतिम अभिव्यक्ति लिख सकते हैं:

डी = (ए एन - ए एम) / (एन - एम), जहां एन > एम

हमें बहुत मिला सरल सूत्र: समस्या की स्थितियों के अनुसार अंतर डी की गणना करने के लिए, आपको केवल तत्वों और उनकी क्रम संख्या के बीच अंतर का अनुपात लेने की आवश्यकता है। एक पर ध्यान देना चाहिए महत्वपूर्ण बिंदुध्यान: अंतर "उच्चतम" और "निम्नतम" सदस्यों के बीच लिया जाता है, अर्थात, n > m ("उच्चतम" का अर्थ है अनुक्रम की शुरुआत से आगे स्थित, इसका पूर्ण मूल्य या तो इससे अधिक या कम हो सकता है "जूनियर" तत्व)।

पहले पद का मान प्राप्त करने के लिए समस्या को हल करने की शुरुआत में अंतर डी प्रगति के लिए अभिव्यक्ति को किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए।

हमारे विकास के युग में कंप्यूटर प्रौद्योगिकीकई स्कूली बच्चे इंटरनेट पर अपने असाइनमेंट का समाधान ढूंढने का प्रयास करते हैं, इसलिए अक्सर इस प्रकार के प्रश्न उठते हैं: ऑनलाइन अंकगणितीय प्रगति का अंतर ढूंढें। ऐसे अनुरोध के लिए, खोज इंजन कई वेब पेज लौटाएगा, जिस पर जाकर आपको स्थिति से ज्ञात डेटा दर्ज करना होगा (यह या तो प्रगति के दो पद हो सकते हैं या उनमें से एक निश्चित संख्या का योग हो सकता है) ) और तुरंत उत्तर प्राप्त करें। फिर भी, समस्या को हल करने का यह दृष्टिकोण छात्र के विकास और उसे सौंपे गए कार्य के सार की समझ के संदर्भ में अनुत्पादक है।

सूत्रों का उपयोग किए बिना समाधान

आइए दिए गए किसी भी सूत्र का उपयोग किए बिना पहली समस्या को हल करें। मान लीजिए श्रृंखला के तत्व दिए गए हैं: a6 = 3, a9 = 18. अंकगणितीय प्रगति का अंतर ज्ञात कीजिए।

ज्ञात तत्व एक पंक्ति में एक दूसरे के करीब खड़े हैं। सबसे बड़ा पाने के लिए अंतर d को सबसे छोटे में कितनी बार जोड़ना होगा? तीन बार (पहली बार d जोड़ने पर, हमें 7वां तत्व मिलता है, दूसरी बार - आठवां, अंत में, तीसरी बार - नौवां)। 18 प्राप्त करने के लिए कौन सी संख्या को तीन में तीन बार जोड़ना होगा? ये पांचवा नंबर है. वास्तव में:

इस प्रकार, अज्ञात अंतर d = 5.

बेशक, समाधान उचित फॉर्मूले का उपयोग करके किया जा सकता था, लेकिन ऐसा जानबूझकर नहीं किया गया। विस्तृत विवरणसमस्या का समाधान स्पष्ट होना चाहिए और एक ज्वलंत उदाहरणअंकगणितीय प्रगति क्या है?

पिछले वाले के समान ही एक कार्य

आइए अब इसी तरह की समस्या का समाधान करें, लेकिन इनपुट डेटा बदलें। तो, आपको पता लगाना चाहिए कि क्या a3 = 2, a9 = 19 है।

बेशक, आप फिर से "हेड-ऑन" समाधान पद्धति का सहारा ले सकते हैं। लेकिन चूंकि श्रृंखला के तत्व दिए गए हैं, जो एक दूसरे से अपेक्षाकृत दूर हैं, इसलिए यह विधि पूरी तरह से सुविधाजनक नहीं होगी। लेकिन परिणामी सूत्र का उपयोग करने से हमें तुरंत उत्तर मिल जाएगा:

डी = (ए 9 - ए 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17/6 ≈ 2.83

यहां हमने अंतिम संख्या को पूर्णांकित कर दिया है। इस पूर्णांकन के कारण किस हद तक त्रुटि हुई, इसका अंदाजा प्राप्त परिणाम की जाँच से लगाया जा सकता है:

ए 9 = ए 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 = 18.98

यह परिणाम शर्त में दिए गए मान से केवल 0.1% भिन्न है। इसलिए, निकटतम सौवें तक प्रयुक्त पूर्णांकन को एक सफल विकल्प माना जा सकता है।

किसी पद के लिए सूत्र लागू करने से संबंधित समस्याएँ

आइए अज्ञात d को निर्धारित करने के लिए एक समस्या के क्लासिक उदाहरण पर विचार करें: यदि a1 = 12, a5 = 40 है तो अंकगणितीय प्रगति का अंतर ज्ञात करें।

जब किसी अज्ञात के दो नंबर दिए गए बीजगणितीय क्रम, और उनमें से एक तत्व a 1 है, तो आपको लंबे समय तक सोचने की ज़रूरत नहीं है, लेकिन तुरंत a n सदस्य के लिए सूत्र लागू करना चाहिए। इस मामले में हमारे पास है:

ए 5 = ए 1 + डी * (5 - 1) => डी = (ए 5 - ए 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

हमें मिला वास्तविक संख्याविभाजित करते समय, इसलिए गणना किए गए परिणाम की सटीकता की जांच करने का कोई मतलब नहीं है, जैसा कि पिछले पैराग्राफ में किया गया था।

आइए इसी तरह की एक और समस्या हल करें: हमें एक अंकगणितीय प्रगति का अंतर ज्ञात करना होगा यदि a1 = 16, a8 = 37 है।

हम पिछले वाले के समान दृष्टिकोण का उपयोग करते हैं और प्राप्त करते हैं:

ए 8 = ए 1 + डी * (8 - 1) => डी = (ए 8 - ए 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

अंकगणितीय प्रगति के बारे में आपको और क्या जानना चाहिए?

किसी अज्ञात अंतर या व्यक्तिगत तत्वों को खोजने की समस्याओं के अलावा, किसी अनुक्रम के पहले पदों के योग की समस्याओं को हल करना अक्सर आवश्यक होता है। हालाँकि, इन कार्यों पर विचार करना लेख के दायरे से परे है, हालाँकि, हम जो जानकारी प्रस्तुत करते हैं उसकी संपूर्णता के लिए सामान्य सूत्रकिसी श्रृंखला में n संख्याओं के योग के लिए:

∑ एन आई = 1 (ए आई) = एन * (ए 1 + ए एन) / 2

इससे पहले कि हम निर्णय लेना शुरू करें अंकगणितीय प्रगति की समस्याएं, आइए विचार करें कि एक संख्या अनुक्रम क्या है, क्योंकि एक अंकगणितीय प्रगति है विशेष मामलासंख्या क्रम.

संख्या क्रम है संख्या सेट, जिसके प्रत्येक तत्व का अपना है क्रम संख्या . इस समुच्चय के तत्वों को अनुक्रम के सदस्य कहा जाता है। अनुक्रम तत्व की क्रम संख्या एक सूचकांक द्वारा इंगित की जाती है:

अनुक्रम का पहला तत्व;

अनुक्रम का पाँचवाँ तत्व;

- अनुक्रम का "एनवां" तत्व, यानी। संख्या n पर तत्व "कतार में खड़ा"।

किसी अनुक्रम तत्व के मान और उसकी अनुक्रम संख्या के बीच एक संबंध होता है। इसलिए, हम अनुक्रम को एक फ़ंक्शन के रूप में मान सकते हैं जिसका तर्क अनुक्रम के तत्व की क्रमिक संख्या है। दूसरे शब्दों में हम ऐसा कह सकते हैं अनुक्रम प्राकृतिक तर्क का एक कार्य है:

अनुक्रम को तीन तरीकों से सेट किया जा सकता है:

1 . अनुक्रम को एक तालिका का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है।इस मामले में, हम बस अनुक्रम के प्रत्येक सदस्य का मान निर्धारित करते हैं।

उदाहरण के लिए, किसी ने व्यक्तिगत समय प्रबंधन करने का फैसला किया, और सबसे पहले, गणना करें कि वह सप्ताह के दौरान VKontakte पर कितना समय बिताता है। तालिका में समय रिकॉर्ड करने पर, उसे सात तत्वों से युक्त एक अनुक्रम प्राप्त होगा:

तालिका की पहली पंक्ति सप्ताह के दिन की संख्या को इंगित करती है, दूसरी - मिनटों में समय को। हम देखते हैं कि, सोमवार को किसी ने VKontakte पर 125 मिनट बिताए, यानी गुरुवार को - 248 मिनट, और, यानी शुक्रवार को केवल 15 मिनट।

2 . अनुक्रम को nवें पद सूत्र का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है।

इस स्थिति में किसी अनुक्रम तत्व के मान की उसकी संख्या पर निर्भरता सीधे सूत्र के रूप में व्यक्त की जाती है।

उदाहरण के लिए, यदि, तो

किसी दिए गए नंबर के साथ अनुक्रम तत्व का मान ज्ञात करने के लिए, हम तत्व संख्या को nवें पद के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।

यदि तर्क का मान ज्ञात है तो हमें किसी फ़ंक्शन का मान ज्ञात करने की आवश्यकता होने पर हम वही कार्य करते हैं। हम तर्क के मान को फ़ंक्शन समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

यदि, उदाहरण के लिए, , वह

मुझे एक बार फिर से ध्यान देना चाहिए कि एक अनुक्रम में, एक मनमाना संख्यात्मक फ़ंक्शन के विपरीत, तर्क केवल एक प्राकृतिक संख्या हो सकता है।

3 . अनुक्रम को एक सूत्र का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है जो पिछले सदस्यों के मूल्यों पर अनुक्रम सदस्य संख्या n के मान की निर्भरता को व्यक्त करता है। इस मामले में, हमारे लिए अनुक्रम सदस्य का मूल्य ज्ञात करने के लिए केवल उसकी संख्या जानना पर्याप्त नहीं है। हमें अनुक्रम के पहले सदस्य या पहले कुछ सदस्यों को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, क्रम पर विचार करें ,

हम अनुक्रम सदस्यों के मान पा सकते हैं अनुक्रम में, तीसरे से शुरू:

अर्थात्, हर बार, अनुक्रम के nवें पद का मान ज्ञात करने के लिए, हम पिछले दो पर लौटते हैं। अनुक्रम निर्दिष्ट करने की इस विधि को कहा जाता है आवर्ती, से लैटिन शब्द पुनरावृत्ति- वापस आओ।

अब हम अंकगणितीय प्रगति को परिभाषित कर सकते हैं। अंकगणितीय प्रगति किसी संख्या अनुक्रम का एक सरल विशेष मामला है।

अंकगणितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, उसी संख्या में जोड़े गए पिछले सदस्य के बराबर होता है।

नंबर पर कॉल किया जाता है अंकगणितीय प्रगति का अंतर. अंकगणितीय प्रगति का अंतर सकारात्मक, नकारात्मक या शून्य के बराबर हो सकता है।

यदि शीर्षक='d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} की बढ़ती.

उदाहरण के लिए, 2; 5; 8; ग्यारह;...

यदि, तो अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक पद पिछले एक से कम है, और प्रगति है घटते.

उदाहरण के लिए, 2; -1; -4; -7;...

यदि, तो प्रगति के सभी पद एक ही संख्या के बराबर हैं, और प्रगति है अचल.

उदाहरण के लिए, 2;2;2;2;...

अंकगणितीय प्रगति की मुख्य संपत्ति:

आइए ड्राइंग को देखें.

हमने देखा कि

, और उस समय पर ही

इन दो समानताओं को जोड़ने पर, हमें यह मिलता है:

.

आइए समानता के दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें:

तो, अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, दो पड़ोसी के अंकगणितीय माध्य के बराबर है:

इसके अलावा, तब से

, और उस समय पर ही

, वह

, और इसलिए

अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक पद, title='k>l) से शुरू होता है">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

वें पद का सूत्र.

हम देखते हैं कि अंकगणितीय प्रगति की शर्तें निम्नलिखित संबंधों को संतुष्ट करती हैं:

और अंत में

हमें मिला nवें पद का सूत्र.

महत्वपूर्ण!अंकगणितीय प्रगति के किसी भी सदस्य को और के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है। किसी अंकगणितीय प्रगति के पहले पद और अंतर को जानकर आप उसका कोई भी पद ज्ञात कर सकते हैं।

अंकगणितीय प्रगति के n पदों का योग।

एक मनमानी अंकगणितीय प्रगति में, चरम से समान दूरी वाले पदों का योग एक दूसरे के बराबर होता है:

n पदों वाली एक अंकगणितीय प्रगति पर विचार करें। माना कि इस प्रगति के n पदों का योग बराबर है।

आइए प्रगति के पदों को पहले संख्याओं के आरोही क्रम में और फिर अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें:

आइए जोड़ियों में जोड़ें:

प्रत्येक कोष्ठक में योग है, जोड़ों की संख्या n है।

हम पाते हैं:

इसलिए, अंकगणितीय प्रगति के n पदों का योग सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है:

चलो गौर करते हैं अंकगणितीय प्रगति समस्याओं को हल करना.

1 . अनुक्रम nवें पद के सूत्र द्वारा दिया गया है: . सिद्ध कीजिए कि यह अनुक्रम एक अंकगणितीय प्रगति है।

आइए हम सिद्ध करें कि अनुक्रम के दो आसन्न पदों के बीच का अंतर एक ही संख्या के बराबर है।

हमने पाया कि अनुक्रम के दो आसन्न सदस्यों के बीच का अंतर उनकी संख्या पर निर्भर नहीं करता है और एक स्थिरांक है। इसलिए, परिभाषा के अनुसार, यह अनुक्रम एक अंकगणितीय प्रगति है।

2 . अंकगणितीय प्रगति -31 को देखते हुए; -27;...

ए) प्रगति के 31 पद खोजें।

बी) निर्धारित करें कि संख्या 41 इस प्रगति में शामिल है या नहीं।

ए)हमने देखा कि ;

आइए अपनी प्रगति के लिए nवें पद का सूत्र लिखें।

सामान्य रूप में

हमारे मामले में , इसीलिए