कुछ लोग "प्रगति" शब्द को उच्च गणित की शाखाओं से एक बहुत ही जटिल शब्द के रूप में सावधानी से लेते हैं। इस बीच, सबसे सरल अंकगणितीय प्रगति टैक्सी मीटर (जहां वे अभी भी मौजूद हैं) का काम है। और कुछ प्राथमिक अवधारणाओं का विश्लेषण करने के बाद, अंकगणित अनुक्रम के सार को समझना (और गणित में "सार को समझने" से अधिक महत्वपूर्ण कुछ भी नहीं है) इतना मुश्किल नहीं है।

गणितीय संख्या क्रम

संख्यात्मक अनुक्रम को आमतौर पर संख्याओं की एक श्रृंखला कहा जाता है, जिनमें से प्रत्येक की अपनी संख्या होती है।

a 1 अनुक्रम का पहला सदस्य है;

और 2 अनुक्रम का दूसरा पद है;

और 7 अनुक्रम का सातवाँ सदस्य है;

और n अनुक्रम का nवाँ सदस्य है;

हालाँकि, संख्याओं और संख्याओं का कोई भी मनमाना सेट हमें दिलचस्पी नहीं देता है। हम अपना ध्यान एक संख्यात्मक अनुक्रम पर केंद्रित करेंगे जिसमें nवें पद का मान उसके क्रमिक संख्या से एक रिश्ते से संबंधित है जिसे गणितीय रूप से स्पष्ट रूप से तैयार किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में: nवीं संख्या का संख्यात्मक मान n का कुछ फलन है।

a संख्यात्मक अनुक्रम के एक सदस्य का मान है;

एन - उसका क्रम संख्या;

f(n) एक फ़ंक्शन है, जहां संख्यात्मक अनुक्रम n में क्रमिक संख्या तर्क है।

परिभाषा

अंकगणितीय प्रगति को आम तौर पर एक संख्यात्मक अनुक्रम कहा जाता है जिसमें प्रत्येक बाद वाला पद उसी संख्या से पिछले एक से अधिक (कम) होता है। अंकगणितीय अनुक्रम के nवें पद का सूत्र इस प्रकार है:

ए एन - अंकगणितीय प्रगति के वर्तमान सदस्य का मूल्य;

a n+1 - अगली संख्या का सूत्र;

डी - अंतर (निश्चित संख्या)।

यह निर्धारित करना आसान है कि यदि अंतर सकारात्मक (d>0) है, तो विचाराधीन श्रृंखला का प्रत्येक अगला सदस्य पिछले वाले से बड़ा होगा और ऐसी अंकगणितीय प्रगति बढ़ती रहेगी।

नीचे दिए गए ग्राफ़ में यह देखना आसान है कि संख्या अनुक्रम को "बढ़ना" क्यों कहा जाता है।

ऐसे मामलों में जहां अंतर नकारात्मक है (डी<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

निर्दिष्ट सदस्य मान

कभी-कभी अंकगणितीय प्रगति के किसी मनमाने पद a n का मान निर्धारित करना आवश्यक होता है। यह अंकगणितीय प्रगति के सभी सदस्यों के मूल्यों की क्रमिक रूप से गणना करके किया जा सकता है, जो पहले से वांछित तक शुरू होता है। हालाँकि, यह पथ हमेशा स्वीकार्य नहीं होता है, उदाहरण के लिए, पाँच-हज़ारवें या आठ-मिलियनवें पद का मान ज्ञात करना आवश्यक है। पारंपरिक गणना में बहुत समय लगेगा. हालाँकि, कुछ सूत्रों का उपयोग करके एक विशिष्ट अंकगणितीय प्रगति का अध्ययन किया जा सकता है। nवें पद के लिए एक सूत्र भी है: अंकगणितीय प्रगति के किसी भी पद का मान प्रगति के पहले पद के योग के रूप में निर्धारित किया जा सकता है, जिसमें प्रगति के अंतर को वांछित पद की संख्या से गुणा करके घटाया जाता है। एक।

बढ़ती और घटती प्रगति के लिए सूत्र सार्वभौमिक है।

किसी दिए गए पद के मान की गणना का एक उदाहरण

आइए हम अंकगणितीय प्रगति के nवें पद का मान ज्ञात करने की निम्नलिखित समस्या को हल करें।

शर्त: मापदंडों के साथ एक अंकगणितीय प्रगति है:

अनुक्रम का पहला पद 3 है;

संख्या श्रृंखला में अंतर 1.2 है।

कार्य: आपको 214 पदों का मान ज्ञात करना होगा

समाधान: किसी दिए गए पद का मान निर्धारित करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

ए(एन) = ए1 + डी(एन-1)

समस्या कथन से डेटा को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है:

ए(214) = ए1 + डी(एन-1)

ए(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

उत्तर: अनुक्रम का 214वाँ पद 258.6 के बराबर है।

गणना की इस पद्धति के लाभ स्पष्ट हैं - संपूर्ण समाधान में 2 से अधिक पंक्तियाँ नहीं लगती हैं।

पदों की दी गई संख्या का योग

बहुत बार, किसी दी गई अंकगणितीय श्रृंखला में, उसके कुछ खंडों के मानों का योग निर्धारित करना आवश्यक होता है। ऐसा करने के लिए, प्रत्येक पद के मानों की गणना करने और फिर उन्हें जोड़ने की भी आवश्यकता नहीं है। यह विधि तब लागू होती है यदि उन पदों की संख्या जिनका योग ज्ञात करना आवश्यक है, कम है। अन्य मामलों में, निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है।

1 से n तक अंकगणितीय प्रगति के पदों का योग पहले और nवें पदों के योग के बराबर होता है, जिसे पद n की संख्या से गुणा किया जाता है और दो से विभाजित किया जाता है। यदि सूत्र में nवें पद का मान लेख के पिछले पैराग्राफ की अभिव्यक्ति से बदल दिया जाता है, तो हमें मिलता है:

गणना उदाहरण

उदाहरण के लिए, आइए निम्नलिखित शर्तों के साथ एक समस्या का समाधान करें:

अनुक्रम का पहला पद शून्य है;

अंतर 0.5 है.

समस्या के लिए श्रृंखला के पदों का योग 56 से 101 तक निर्धारित करने की आवश्यकता है।

समाधान। आइए प्रगति की मात्रा निर्धारित करने के लिए सूत्र का उपयोग करें:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

सबसे पहले, हम अपनी समस्या की दी गई शर्तों को सूत्र में प्रतिस्थापित करके प्रगति के 101 शब्दों के मानों का योग निर्धारित करते हैं:

एस 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

जाहिर है, 56वें ​​से 101वें तक की प्रगति के पदों का योग ज्ञात करने के लिए, एस 101 से एस 55 को घटाना आवश्यक है।

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

इस प्रकार, इस उदाहरण के लिए अंकगणितीय प्रगति का योग है:

एस 101 - एस 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5

अंकगणितीय प्रगति के व्यावहारिक अनुप्रयोग का उदाहरण

लेख के अंत में, आइए पहले पैराग्राफ में दिए गए अंकगणितीय अनुक्रम के उदाहरण पर लौटें - एक टैक्सीमीटर (टैक्सी कार मीटर)। आइए इस उदाहरण पर विचार करें.

टैक्सी में चढ़ने (जिसमें 3 किमी की यात्रा शामिल है) की लागत 50 रूबल है। प्रत्येक अगले किलोमीटर का भुगतान 22 रूबल/किमी की दर से किया जाता है। यात्रा की दूरी 30 किमी है. यात्रा की लागत की गणना करें.

1. आइए पहले 3 किमी को छोड़ दें, जिसकी कीमत लैंडिंग की लागत में शामिल है।

30 - 3 = 27 किमी.

2. आगे की गणना अंकगणितीय संख्या श्रृंखला को पार्स करने से ज्यादा कुछ नहीं है।

सदस्य संख्या - यात्रा किए गए किलोमीटर की संख्या (पहले तीन को घटाकर)।

सदस्य का मूल्य योग है.

इस समस्या में पहला पद 1 = 50 रूबल के बराबर होगा।

प्रगति अंतर d = 22 r.

जिस संख्या में हमारी रुचि है वह अंकगणितीय प्रगति के (27+1)वें पद का मान है - 27वें किलोमीटर के अंत में मीटर रीडिंग 27.999... = 28 किमी है।

ए 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

मनमाने ढंग से लंबी अवधि के लिए कैलेंडर डेटा गणना कुछ संख्यात्मक अनुक्रमों का वर्णन करने वाले सूत्रों पर आधारित होती है। खगोल विज्ञान में, कक्षा की लंबाई ज्यामितीय रूप से आकाशीय पिंड से तारे की दूरी पर निर्भर करती है। इसके अलावा, सांख्यिकी और गणित के अन्य व्यावहारिक क्षेत्रों में विभिन्न संख्या श्रृंखलाओं का सफलतापूर्वक उपयोग किया जाता है।

एक अन्य प्रकार का संख्या क्रम ज्यामितीय है

अंकगणितीय प्रगति की तुलना में ज्यामितीय प्रगति में परिवर्तन की अधिक दर होती है। यह कोई संयोग नहीं है कि राजनीति, समाजशास्त्र और चिकित्सा में, किसी विशेष घटना के प्रसार की उच्च गति को दिखाने के लिए, उदाहरण के लिए, एक महामारी के दौरान एक बीमारी, वे कहते हैं कि प्रक्रिया ज्यामितीय प्रगति में विकसित होती है।

ज्यामितीय संख्या श्रृंखला का Nवां पद पिछले एक से इस मायने में भिन्न है कि इसे कुछ स्थिर संख्या - हर से गुणा किया जाता है, उदाहरण के लिए, पहला पद 1 है, हर संगत रूप से 2 के बराबर है, फिर:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

बी एन - ज्यामितीय प्रगति की वर्तमान अवधि का मूल्य;

b n+1 - ज्यामितीय प्रगति के अगले पद का सूत्र;

q ज्यामितीय प्रगति (एक स्थिर संख्या) का हर है।

यदि अंकगणितीय प्रगति का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है, तो ज्यामितीय प्रगति थोड़ी अलग तस्वीर पेश करती है:

जैसा कि अंकगणित के मामले में होता है, ज्यामितीय प्रगति में एक मनमाने पद के मान का एक सूत्र होता है। ज्यामितीय प्रगति का कोई भी nवाँ पद पहले पद और प्रगति के हर के गुणनफल के बराबर होता है, जो कि n की घात से एक कम हो जाता है:

उदाहरण। हमारे पास एक ज्यामितीय प्रगति है जिसका पहला पद 3 के बराबर है और प्रगति का हर 1.5 के बराबर है। आइए प्रगति का 5वाँ पद ज्ञात करें

बी 5 = बी 1 ∙ क्यू (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

दी गई संख्या के पदों के योग की गणना भी एक विशेष सूत्र का उपयोग करके की जाती है। एक ज्यामितीय प्रगति के पहले n पदों का योग प्रगति के nवें पद और उसके हर के गुणनफल और प्रगति के पहले पद के बीच के अंतर के बराबर होता है, जिसे एक से कम किए गए हर से विभाजित किया जाता है:

यदि b n को ऊपर चर्चा किए गए सूत्र का उपयोग करके प्रतिस्थापित किया जाता है, तो विचाराधीन संख्या श्रृंखला के पहले n पदों के योग का मान इस प्रकार होगा:

उदाहरण। ज्यामितीय प्रगति 1 के बराबर पहले पद से शुरू होती है। हर 3 पर सेट है। आइए पहले आठ पदों का योग ज्ञात करें।

एस8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

निर्देश

एक अंकगणितीय प्रगति a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d के रूप का एक अनुक्रम है। नंबर डी चरण प्रगति.यह स्पष्ट है कि अंकगणित के एक मनमाना एन-वें पद का सामान्य प्रगतिइसका रूप है: An = A1+(n-1)d. फिर सदस्यों में से एक को जानना प्रगति, सदस्य प्रगतिऔर कदम प्रगति, आप कर सकते हैं, अर्थात, प्रगति सदस्य की संख्या। जाहिर है, यह सूत्र n = (An-A1+d)/d द्वारा निर्धारित किया जाएगा।

आइए अब mवाँ पद ज्ञात करें प्रगतिऔर एक अन्य सदस्य प्रगति- nवां, लेकिन n , जैसा कि पिछले मामले में था, लेकिन यह ज्ञात है कि n और m चरण मेल नहीं खाते हैं प्रगतिसूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है: d = (An-Am)/(n-m)। तब n = (An-Am+md)/d.

यदि किसी अंकगणितीय समीकरण के कई तत्वों का योग ज्ञात हो प्रगति, साथ ही इसके पहले और अंतिम, तो अंकगणित का योग भी निर्धारित किया जा सकता है प्रगतिइसके बराबर होगा: S = ((A1+An)/2)n. तब n = 2S/(A1+An) - chdenov प्रगति. इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि An = A1+(n-1)d, इस सूत्र को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: n = 2S/(2A1+(n-1)d)। इससे हम द्विघात समीकरण को हल करके n को व्यक्त कर सकते हैं।

अंकगणितीय अनुक्रम संख्याओं का एक क्रमबद्ध समूह है, जिसका प्रत्येक सदस्य, पहले को छोड़कर, पिछले वाले से समान मात्रा में भिन्न होता है। इस स्थिर मान को प्रगति या उसके चरण का अंतर कहा जाता है और इसकी गणना अंकगणितीय प्रगति के ज्ञात शब्दों से की जा सकती है।

निर्देश

यदि पहले और दूसरे या आसन्न पदों के किसी अन्य जोड़े का मान समस्या की स्थितियों से ज्ञात हो, तो अंतर की गणना करने के लिए (डी) बस अगले पद से पिछले एक को घटा दें। परिणामी मान या तो धनात्मक या ऋणात्मक संख्या हो सकता है - यह इस पर निर्भर करता है कि प्रगति बढ़ रही है या नहीं। सामान्य रूप में, प्रगति के पड़ोसी पदों की एक मनमानी जोड़ी (aᵢ और aᵢ₊₁) के लिए समाधान इस प्रकार लिखें: d = aᵢ₊₁ - aᵢ।

ऐसी प्रगति के पदों की एक जोड़ी के लिए, जिनमें से एक पहला (ए₁) है, और दूसरा कोई अन्य मनमाने ढंग से चुना गया है, अंतर (डी) खोजने के लिए एक सूत्र बनाना भी संभव है। हालाँकि, इस मामले में, अनुक्रम के एक मनमाने ढंग से चयनित सदस्य की क्रम संख्या (i) ज्ञात होनी चाहिए। अंतर की गणना करने के लिए, दोनों संख्याओं को जोड़ें और परिणामी परिणाम को एक से कम किए गए मनमाने पद की क्रमिक संख्या से विभाजित करें। सामान्य तौर पर, इस सूत्र को इस प्रकार लिखें: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1)।

यदि, क्रमसूचक संख्या i के साथ अंकगणितीय प्रगति के एक मनमाना सदस्य के अलावा, क्रमसूचक संख्या u वाला कोई अन्य सदस्य ज्ञात है, तो पिछले चरण से सूत्र को तदनुसार बदलें। इस मामले में, प्रगति का अंतर (डी) इन दो शब्दों के योग को उनके क्रमिक संख्याओं के अंतर से विभाजित किया जाएगा: डी = (एᵢ+एᵥ)/(आई-वी)।

अंतर (डी) की गणना करने का सूत्र कुछ अधिक जटिल हो जाता है यदि समस्या की स्थितियाँ इसके पहले पद (ए₁) का मान और अंकगणित अनुक्रम के पहले शब्दों के दिए गए संख्या (i) का योग (एसᵢ) देती हैं। वांछित मान प्राप्त करने के लिए, योग को इसे बनाने वाले पदों की संख्या से विभाजित करें, अनुक्रम में पहली संख्या का मान घटाएं और परिणाम को दोगुना करें। परिणामी मान को उन पदों की संख्या से विभाजित करें जो योग को एक से घटाकर बनाते हैं। सामान्य तौर पर, विवेचक की गणना के लिए सूत्र इस प्रकार लिखें: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1)।

आई. वी. याकोवलेव | गणित सामग्री | MathUs.ru

अंकगणितीय प्रगति

अंकगणितीय प्रगति एक विशेष प्रकार का क्रम है। इसलिए, अंकगणितीय (और फिर ज्यामितीय) प्रगति को परिभाषित करने से पहले, हमें संख्या अनुक्रम की महत्वपूर्ण अवधारणा पर संक्षेप में चर्चा करने की आवश्यकता है।

परिणाम को

एक ऐसे उपकरण की कल्पना करें जिसकी स्क्रीन पर कुछ संख्याएँ एक के बाद एक प्रदर्शित होती हैं। मान लीजिए 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : संख्याओं का यह सेट वास्तव में अनुक्रम का एक उदाहरण है।

परिभाषा। संख्या अनुक्रम संख्याओं का एक समूह है जिसमें प्रत्येक संख्या को एक अद्वितीय संख्या दी जा सकती है (अर्थात्, एक प्राकृतिक संख्या से संबद्ध)1। संख्या n को अनुक्रम का nवाँ पद कहा जाता है।

तो, उपरोक्त उदाहरण में, पहली संख्या 2 है, यह अनुक्रम का पहला सदस्य है, जिसे a1 द्वारा दर्शाया जा सकता है; संख्या पाँच में संख्या 6 है जो अनुक्रम का पाँचवाँ पद है, जिसे a5 द्वारा दर्शाया जा सकता है। बिल्कुल भी, नौवाँ पदअनुक्रमों को (या बीएन, सीएन, आदि) द्वारा दर्शाया जाता है।

एक बहुत ही सुविधाजनक स्थिति वह है जब अनुक्रम का nवाँ पद किसी सूत्र द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सूत्र a = 2n 3 अनुक्रम निर्दिष्ट करता है: 1; 1; 3; 5; 7; : : : सूत्र an = (1)n अनुक्रम निर्दिष्ट करता है: 1; 1; 1; 1; : : :

संख्याओं का प्रत्येक सेट एक क्रम नहीं है। इस प्रकार, एक खंड एक अनुक्रम नहीं है; इसमें पुनः क्रमांकित करने के लिए "बहुत अधिक" संख्याएँ हैं। सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R भी एक अनुक्रम नहीं है। ये तथ्य गणितीय विश्लेषण के दौरान सिद्ध होते हैं।

अंकगणितीय प्रगति: बुनियादी परिभाषाएँ

अब हम अंकगणितीय प्रगति को परिभाषित करने के लिए तैयार हैं।

परिभाषा। अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक पद (दूसरे से शुरू) पिछले पद और कुछ निश्चित संख्या के योग के बराबर होता है (जिसे अंकगणितीय प्रगति का अंतर कहा जाता है)।

उदाहरण के लिए, अनुक्रम 2; 5; 8; ग्यारह; : : : एक अंकगणितीय प्रगति है जिसका पहला पद 2 और अंतर 3 है। अनुक्रम 7; 2; 3; 8; : : : एक अंकगणितीय प्रगति है जिसका पहला पद 7 और अंतर 5 है। अनुक्रम 3; 3; 3; : : : एक अंकगणितीय प्रगति है जिसका अंतर शून्य के बराबर है।

समतुल्य परिभाषा: एक अनुक्रम a को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है यदि अंतर an+1 an एक स्थिर मान (n से स्वतंत्र) है।

एक अंकगणितीय प्रगति को बढ़ना कहा जाता है यदि इसका अंतर सकारात्मक है, और यदि इसका अंतर नकारात्मक है तो इसे घटना कहा जाता है।

1 यहां एक अधिक संक्षिप्त परिभाषा दी गई है: अनुक्रम एक सेट पर परिभाषित एक फ़ंक्शन है प्राकृतिक संख्या. उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं का अनुक्रम फ़ंक्शन f: N है! आर।

डिफ़ॉल्ट रूप से, अनुक्रमों को अनंत माना जाता है, अर्थात, इसमें अनंत संख्या में संख्याएँ होती हैं। लेकिन कोई भी हमें परिमित अनुक्रमों पर विचार करने के लिए परेशान नहीं करता है; वास्तव में, संख्याओं के किसी भी परिमित समुच्चय को परिमित अनुक्रम कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, अंतिम क्रम 1 है; 2; 3; 4; 5 में पाँच संख्याएँ शामिल हैं।

अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के लिए सूत्र

यह समझना आसान है कि एक अंकगणितीय प्रगति पूरी तरह से दो संख्याओं द्वारा निर्धारित होती है: पहला पद और अंतर। इसलिए, सवाल उठता है: पहले पद और अंतर को जानकर, अंकगणितीय प्रगति का एक मनमाना पद कैसे खोजा जाए?

अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के लिए आवश्यक सूत्र प्राप्त करना कठिन नहीं है। चलो एक

अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति डी। हमारे पास है:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
विशेष रूप से, हम लिखते हैं:
ए2 = ए1 + डी;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
और अब यह स्पष्ट हो गया है कि a का सूत्र है:
ए = ए1 + (एन 1)डी:

समस्या 1. अंकगणितीय प्रगति 2 में; 5; 8; ग्यारह; : : : nवें पद का सूत्र ज्ञात करें और सौवें पद की गणना करें।

समाधान। सूत्र (1) के अनुसार हमारे पास है:

एक = 2 ​​+ 3(एन 1) = 3एन 1:

ए100 = 3 100 1 = 299:

अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति और संकेत

अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति. अंकगणितीय प्रगति में किसी के लिए

दूसरे शब्दों में, अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य (दूसरे से शुरू) उसके पड़ोसी सदस्यों का अंकगणितीय माध्य है।

	सबूत। हमारे पास है:
	ए एन 1+ ए एन+1		(ए डी) + (ए + डी)

जो कि आवश्यक था।

अधिक सामान्यतः, अंकगणितीय प्रगति a समानता को संतुष्ट करती है

ए एन = ए एन के+ ए एन+के

किसी भी n > 2 और किसी भी प्राकृतिक k के लिए< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

यह पता चलता है कि सूत्र (2) न केवल एक आवश्यक के रूप में बल्कि अनुक्रम के अंकगणितीय प्रगति के लिए पर्याप्त शर्त के रूप में भी कार्य करता है।

अंकगणितीय प्रगति चिह्न. यदि समानता (2) सभी n > 2 के लिए है, तो अनुक्रम a एक अंकगणितीय प्रगति है।

सबूत। आइए सूत्र (2) को इस प्रकार पुनः लिखें:

ए ना एन 1= ए एन+1ए एन:

इससे हम देख सकते हैं कि अंतर a+1 an n पर निर्भर नहीं करता है, और इसका सटीक अर्थ यह है कि अनुक्रम a एक अंकगणितीय प्रगति है।

अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति और चिह्न को एक कथन के रूप में तैयार किया जा सकता है; सुविधा के लिए, हम इसे तीन संख्याओं के लिए करेंगे (यही स्थिति है जो अक्सर समस्याओं में होती है)।

अंकगणितीय प्रगति का लक्षण वर्णन. तीन संख्याएँ a, b, c बनती हैं अंकगणितीय प्रगतियदि और केवल यदि 2बी = ए + सी।

समस्या 2. (एमएसयू, अर्थशास्त्र संकाय, 2007) संकेतित क्रम में तीन संख्याएँ 8x, 3 x2 और 4 घटती अंकगणितीय प्रगति बनाती हैं। x ज्ञात कीजिए और इस प्रगति का अंतर बताइए।

समाधान। अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति से हमारे पास है:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; एक्स = 5:

यदि x = 1 है, तो हमें 6 के अंतर के साथ 8, 2, 4 की घटती हुई प्रगति मिलती है। यदि x = 5 है, तो हमें 40, 22, 4 की बढ़ती हुई प्रगति मिलती है; यह मामला उपयुक्त नहीं है.

उत्तर: x = 1, अंतर 6 है।

अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग

किंवदंती है कि एक दिन शिक्षक ने बच्चों को 1 से 100 तक की संख्याओं का योग निकालने को कहा और चुपचाप अखबार पढ़ने बैठ गये। हालाँकि, कुछ मिनट भी नहीं बीते थे कि एक लड़के ने कहा कि उसने समस्या हल कर दी है। यह 9 वर्षीय कार्ल फ्रेडरिक गॉस था, जो बाद में इतिहास के सबसे महान गणितज्ञों में से एक था।

लिटिल गॉस का विचार इस प्रकार था. होने देना

एस = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

आइए इस राशि को उल्टे क्रम में लिखें:

एस = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

और ये दो सूत्र जोड़ें:

2एस = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

कोष्ठक में प्रत्येक पद 101 के बराबर है, और इसलिए ऐसे कुल 100 पद हैं

2एस = 101 100 = 10100;

हम इस विचार का उपयोग योग सूत्र प्राप्त करने के लिए करते हैं

एस = ए1 + ए2 + : : : + एएन + एएनएन: (3)

यदि हम nवें पद a = a1 + (n 1)d के सूत्र को इसमें प्रतिस्थापित करते हैं तो सूत्र (3) का एक उपयोगी संशोधन प्राप्त होता है:

		2ए1 + (एन 1)डी

समस्या 3. 13 से विभाज्य सभी सकारात्मक तीन अंकों की संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान। तीन अंकों की संख्या, 13 के गुणज, पहले पद 104 और अंतर 13 के साथ एक अंकगणितीय प्रगति बनाते हैं; इस प्रगति के nवें पद का रूप इस प्रकार है:

ए = 104 + 13(एन 1) = 91 + 13एन:

आइए जानें कि हमारी प्रगति में कितने पद शामिल हैं। ऐसा करने के लिए, हम असमानता को हल करते हैं:

एक 6 999; 91 + 13एन 6 999;

एन 6 908 13 = 6911 13 ; एन 6 69:

तो, हमारी प्रगति में 69 सदस्य हैं। सूत्र (4) का उपयोग करके हम आवश्यक राशि ज्ञात करते हैं:

एस = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

अंकगणितीय प्रगतिसंख्याओं के अनुक्रम को नाम दें (प्रगति की शर्तें)

जिसमें प्रत्येक आगामी पद पिछले पद से एक नये पद द्वारा भिन्न होता है, जिसे भी कहा जाता है कदम या प्रगति का अंतर.

इस प्रकार, प्रगति चरण और उसके पहले पद को निर्दिष्ट करके, आप सूत्र का उपयोग करके इसके किसी भी तत्व को पा सकते हैं

अंकगणितीय प्रगति के गुण

1) अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे नंबर से शुरू होकर, प्रगति के पिछले और अगले सदस्यों का अंकगणितीय माध्य है

इसका उलटा भी सच है। यदि किसी प्रगति के आसन्न विषम (सम) पदों का अंकगणितीय माध्य उनके बीच के पद के बराबर है, तो संख्याओं का यह क्रम एक अंकगणितीय प्रगति है। इस स्टेटमेंट का उपयोग करके किसी भी क्रम को जांचना बहुत आसान है।

साथ ही, अंकगणितीय प्रगति के गुण के आधार पर, उपरोक्त सूत्र को निम्नलिखित में सामान्यीकृत किया जा सकता है

यदि आप शब्दों को समान चिह्न के दाईं ओर लिखते हैं तो इसे सत्यापित करना आसान है

इसका प्रयोग व्यवहार में अक्सर समस्याओं में गणनाओं को सरल बनाने के लिए किया जाता है।

2) अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों के योग की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है

अंकगणितीय प्रगति के योग के सूत्र को अच्छी तरह से याद रखें, यह गणना में अपरिहार्य है और अक्सर साधारण जीवन स्थितियों में पाया जाता है।

3) यदि आपको संपूर्ण योग नहीं, बल्कि उसके kवें पद से शुरू होने वाले अनुक्रम का कुछ भाग ज्ञात करना है, तो निम्नलिखित योग सूत्र आपके लिए उपयोगी होगा

4) kवें नंबर से शुरू होने वाली अंकगणितीय प्रगति के n पदों का योग ज्ञात करना व्यावहारिक रुचि का विषय है। ऐसा करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें

यह सैद्धांतिक सामग्री को समाप्त करता है और व्यवहार में सामान्य समस्याओं को हल करने के लिए आगे बढ़ता है।

उदाहरण 1. अंकगणितीय प्रगति 4;7;... का चालीसवाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधान:

हमारी जो स्थिति है उसके अनुसार

आइए प्रगति चरण निर्धारित करें

एक सुप्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करके, हम प्रगति का चालीसवां पद ज्ञात करते हैं

उदाहरण 2. इसके तीसरे और सातवें पद द्वारा एक अंकगणितीय प्रगति दी जाती है। प्रगति का पहला पद और दस का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान:

आइए सूत्रों का उपयोग करके प्रगति के दिए गए तत्वों को लिखें

हम पहले को दूसरे समीकरण से घटाते हैं, परिणामस्वरूप हमें प्रगति चरण मिलता है

अंकगणितीय प्रगति का पहला पद ज्ञात करने के लिए हम पाए गए मान को किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं

हम प्रगति के पहले दस पदों के योग की गणना करते हैं

जटिल गणनाओं का उपयोग किए बिना, हमने सभी आवश्यक मात्राएँ पाईं।

उदाहरण 3. एक अंकगणितीय प्रगति हर और उसके एक पद द्वारा दी जाती है। प्रगति का पहला पद, 50 से शुरू होने वाले इसके 50 पदों का योग और पहले 100 का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान:

आइए प्रगति के सौवें तत्व का सूत्र लिखें

और पहला खोजें

पहले के आधार पर, हम प्रगति का 50वाँ पद पाते हैं

प्रगति के भाग का योग ज्ञात करना

और पहले 100 का योग

प्रगति राशि 250 है.

उदाहरण 4.

एक अंकगणितीय प्रगति के पदों की संख्या ज्ञात कीजिए यदि:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

समाधान:

आइए पहले पद और प्रगति चरण के संदर्भ में समीकरण लिखें और उन्हें निर्धारित करें

हम योग में पदों की संख्या निर्धारित करने के लिए प्राप्त मानों को योग सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं

हम सरलीकरण करते हैं

और द्विघात समीकरण को हल करें

पाए गए दो मानों में से केवल संख्या 8 ही समस्या स्थितियों में फिट बैठती है। इस प्रकार, प्रगति के पहले आठ पदों का योग 111 है।

उदाहरण 5.

प्रश्न हल करें

1+3+5+...+x=307.

समाधान: यह समीकरण एक अंकगणितीय प्रगति का योग है। आइए इसका पहला पद लिखें और प्रगति में अंतर ज्ञात करें

प्रथम स्तर

अंकगणितीय प्रगति। विस्तृत सिद्धांतउदाहरण सहित (2019)

संख्या क्रम

तो, आइए बैठें और कुछ संख्याएँ लिखना शुरू करें। उदाहरण के लिए:
आप कोई भी संख्याएँ लिख सकते हैं, और उनमें से जितनी चाहें उतनी संख्याएँ हो सकती हैं (हमारे मामले में, वे हैं)। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम कितनी संख्याएँ लिखते हैं, हम हमेशा कह सकते हैं कि कौन सा पहला है, कौन सा दूसरा है, और इसी तरह आखिरी तक, यानी हम उन्हें नंबर दे सकते हैं। यह संख्या अनुक्रम का एक उदाहरण है:

संख्या क्रम
उदाहरण के लिए, हमारे अनुक्रम के लिए:

निर्दिष्ट संख्या अनुक्रम में केवल एक संख्या के लिए विशिष्ट है। दूसरे शब्दों में, अनुक्रम में तीन दूसरी संख्याएँ नहीं हैं। दूसरी संख्या (वें संख्या की तरह) हमेशा समान होती है।
संख्या वाले अंक को अनुक्रम का वां पद कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर (उदाहरण के लिए) से बुलाते हैं, और इस अनुक्रम का प्रत्येक सदस्य इस सदस्य की संख्या के बराबर सूचकांक के साथ एक ही अक्षर है:।

हमारे मामले में:

मान लीजिए कि हमारे पास एक संख्या अनुक्रम है जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और समान है।
उदाहरण के लिए:

वगैरह।
इस संख्या क्रम को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है।
"प्रगति" शब्द को रोमन लेखक बोथियस ने 6वीं शताब्दी में पेश किया था और इसे व्यापक अर्थ में एक अनंत संख्यात्मक अनुक्रम के रूप में समझा गया था। "अंकगणित" नाम निरंतर अनुपात के सिद्धांत से स्थानांतरित किया गया था, जिसका अध्ययन प्राचीन यूनानियों द्वारा किया गया था।

यह एक संख्या क्रम है, जिसका प्रत्येक सदस्य उसी संख्या में जोड़े गए पिछले सदस्य के बराबर है। इस संख्या को अंकगणितीय प्रगति का अंतर कहा जाता है और निर्दिष्ट किया जाता है।

यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन से संख्या क्रम अंकगणितीय प्रगति हैं और कौन से नहीं:

ए)
बी)
सी)
डी)

समझ गया? आइए हमारे उत्तरों की तुलना करें:
हैअंकगणितीय प्रगति - बी, सी।
क्या नहीं हैअंकगणितीय प्रगति - ए, डी।

आइए दी गई प्रगति () पर वापस लौटें और इसके वें पद का मान ज्ञात करने का प्रयास करें। मौजूद दोइसे खोजने का तरीका.

1. विधि

हम प्रगति संख्या को पिछले मान में तब तक जोड़ सकते हैं जब तक हम प्रगति के वें पद तक नहीं पहुंच जाते। यह अच्छा है कि हमारे पास संक्षेप में बताने के लिए बहुत कुछ नहीं है - केवल तीन मूल्य:

तो, वर्णित अंकगणितीय प्रगति का वां पद बराबर है।

2. विधि

यदि हमें प्रगति के वें पद का मान ज्ञात करना हो तो क्या होगा? योग करने में हमें एक घंटे से अधिक समय लगेगा, और यह सच नहीं है कि संख्याओं को जोड़ते समय हम गलतियाँ नहीं करेंगे।
बेशक, गणितज्ञों ने एक ऐसा तरीका खोज लिया है जिसमें अंकगणितीय प्रगति के अंतर को पिछले मान में जोड़ना आवश्यक नहीं है। खींची गई तस्वीर को करीब से देखें... निश्चित रूप से आपने पहले ही एक निश्चित पैटर्न पर ध्यान दिया है, अर्थात्:

उदाहरण के लिए, आइए देखें कि इस अंकगणितीय प्रगति के वें पद का मान क्या है:


दूसरे शब्दों में:

इस प्रकार किसी दी गई अंकगणितीय प्रगति के सदस्य का मान स्वयं ज्ञात करने का प्रयास करें।

क्या आपने गणना की? उत्तर के साथ अपने नोट्स की तुलना करें:

कृपया ध्यान दें कि आपको पिछली पद्धति के समान ही संख्या प्राप्त हुई थी, जब हमने क्रमिक रूप से अंकगणितीय प्रगति के पदों को पिछले मान में जोड़ा था।
आइए इस सूत्र को "प्रतिरूपण" करने का प्रयास करें - आइए इसे इसमें लाएं सामान्य फ़ॉर्मऔर हमें मिलता है:

अंकगणितीय प्रगति समीकरण.

अंकगणितीय प्रगति बढ़ या घट सकती है।

की बढ़ती- प्रगति जिसमें पदों का प्रत्येक आगामी मान पिछले मान से अधिक हो।
उदाहरण के लिए:

अवरोही- प्रगति जिसमें पदों का प्रत्येक अगला मान पिछले वाले से कम है।
उदाहरण के लिए:

व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग अंकगणितीय प्रगति के बढ़ते और घटते दोनों पदों की गणना में किया जाता है।
आइए इसे व्यवहार में जांचें।
हमें एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है जिसमें निम्नलिखित संख्याएँ शामिल हैं: आइए देखें कि यदि हम इसकी गणना करने के लिए अपने सूत्र का उपयोग करते हैं तो इस अंकगणितीय प्रगति की वीं संख्या क्या होगी:

के बाद से:

इस प्रकार, हम आश्वस्त हैं कि सूत्र घटती और बढ़ती अंकगणितीय प्रगति दोनों में काम करता है।
इस अंकगणितीय प्रगति का वां और वां पद स्वयं खोजने का प्रयास करें।

आइए परिणामों की तुलना करें:

अंकगणितीय प्रगति संपत्ति

आइए समस्या को जटिल बनाएं - हम अंकगणितीय प्रगति का गुण प्राप्त करेंगे।
मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित शर्त दी गई है:
- अंकगणितीय प्रगति, मान ज्ञात करें।
आसान है, आप कहते हैं और उस सूत्र के अनुसार गिनती शुरू करें जो आप पहले से जानते हैं:

चलो, आह, फिर:

एकदम सही। इससे पता चलता है कि हम पहले ढूंढते हैं, फिर उसे पहले नंबर में जोड़ते हैं और जो हम ढूंढ रहे हैं उसे प्राप्त करते हैं। यदि प्रगति को छोटे मानों द्वारा दर्शाया जाता है, तो इसमें कुछ भी जटिल नहीं है, लेकिन क्या होगा यदि हमें स्थिति में संख्याएं दी गई हैं? सहमत हूँ, गणना में गलती होने की संभावना है।
अब इस बारे में सोचें कि क्या किसी फॉर्मूले का उपयोग करके इस समस्या को एक चरण में हल करना संभव है? बिल्कुल हाँ, और यही वह है जिसे हम अभी सामने लाने का प्रयास करेंगे।

आइए हम अंकगणितीय प्रगति के आवश्यक पद को निरूपित करें, इसे खोजने का सूत्र हमें ज्ञात है - यह वही सूत्र है जिसे हमने शुरुआत में प्राप्त किया था:
, तब:

• प्रगति का पिछला पद है:
• प्रगति का अगला पद है:

आइए प्रगति की पिछली और बाद की शर्तों को संक्षेप में प्रस्तुत करें:

इससे पता चलता है कि प्रगति के पिछले और बाद के पदों का योग उनके बीच स्थित प्रगति पद के दोगुने मान के बराबर है। दूसरे शब्दों में, ज्ञात पिछले और क्रमिक मानों के साथ प्रगति पद का मान ज्ञात करने के लिए, आपको उन्हें जोड़ना होगा और विभाजित करना होगा।

यह सही है, हमें वही नंबर मिला है। आइए सामग्री को सुरक्षित करें। प्रगति के मूल्य की गणना स्वयं करें, यह बिल्कुल भी कठिन नहीं है।

बहुत अच्छा! आप प्रगति के बारे में लगभग सब कुछ जानते हैं! यह केवल एक सूत्र का पता लगाना बाकी है, जो कि किंवदंती के अनुसार, सभी समय के महानतम गणितज्ञों में से एक, "गणितज्ञों के राजा" - कार्ल गॉस द्वारा आसानी से निकाला गया था...

जब कार्ल गॉस 9 वर्ष के थे, तो एक शिक्षक, जो अन्य कक्षाओं में छात्रों के काम की जाँच करने में व्यस्त था, ने कक्षा में निम्नलिखित कार्य सौंपा: "से लेकर (अन्य स्रोतों के अनुसार) तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं के योग की गणना करें।" शिक्षक के आश्चर्य की कल्पना कीजिए जब उनके एक छात्र (यह कार्ल गॉस था) ने एक मिनट बाद कार्य का सही उत्तर दिया, जबकि साहसी के अधिकांश सहपाठियों को लंबी गणना के बाद गलत परिणाम मिला...

युवा कार्ल गॉस ने एक निश्चित पैटर्न देखा जिसे आप भी आसानी से नोटिस कर सकते हैं।
मान लीजिए कि हमारे पास एक अंकगणितीय प्रगति है जिसमें -वें पद शामिल हैं: हमें अंकगणितीय प्रगति के इन पदों का योग ज्ञात करने की आवश्यकता है। निःसंदेह, हम मैन्युअल रूप से सभी मानों का योग कर सकते हैं, लेकिन क्या होगा यदि कार्य को उसके पदों का योग खोजने की आवश्यकता हो, जैसा कि गॉस ढूंढ रहा था?

आइए हमें दी गई प्रगति को चित्रित करें। हाइलाइट की गई संख्याओं पर करीब से नज़र डालें और उनके साथ विभिन्न गणितीय संक्रियाएँ करने का प्रयास करें।


या तुमने कोशिश की? आपने क्या नोटिस किया? सही! उनका योग बराबर है

अब बताओ, हमें दी गई प्रगति में ऐसे कुल कितने जोड़े हैं? बेशक, सभी संख्याओं का बिल्कुल आधा, यानी।
इस तथ्य के आधार पर कि अंकगणितीय प्रगति के दो पदों का योग बराबर है, और समान जोड़े बराबर हैं, हम पाते हैं कि कुल योग बराबर है:
.
इस प्रकार, किसी भी अंकगणितीय प्रगति के पहले पदों के योग का सूत्र होगा:

कुछ समस्याओं में हम वें पद को नहीं जानते, लेकिन हम प्रगति के अंतर को जानते हैं। वें पद के सूत्र को योग सूत्र में प्रतिस्थापित करने का प्रयास करें।
तुम्हें क्या मिला?

बहुत अच्छा! अब आइए उस समस्या पर लौटते हैं जो कार्ल गॉस से पूछी गई थी: अपने लिए गणना करें कि वें से शुरू होने वाली संख्याओं का योग किसके बराबर है और वें से शुरू होने वाली संख्याओं का योग क्या है।

आपको कितना मिला?
गॉस ने पाया कि पदों का योग और पदों का योग बराबर है। क्या आपने यही निर्णय लिया है?

वास्तव में, अंकगणितीय प्रगति के पदों के योग का सूत्र तीसरी शताब्दी में प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक डायोफैंटस द्वारा सिद्ध किया गया था, और इस पूरे समय में, बुद्धिमान लोगों ने अंकगणितीय प्रगति के गुणों का पूरा उपयोग किया।
उदाहरण के लिए, कल्पना कीजिए प्राचीन मिस्रऔर उस समय की सबसे बड़ी निर्माण परियोजना - पिरामिड का निर्माण... चित्र इसका एक पक्ष दिखाता है।

आप कहते हैं, यहाँ प्रगति कहाँ है? ध्यान से देखें और पिरामिड की दीवार की प्रत्येक पंक्ति में रेत के ब्लॉकों की संख्या में एक पैटर्न ढूंढें।


अंकगणितीय प्रगति क्यों नहीं? गणना करें कि यदि आधार पर ब्लॉक ईंटें रखी गई हैं तो एक दीवार बनाने के लिए कितने ब्लॉकों की आवश्यकता होगी। मुझे आशा है कि मॉनिटर पर अपनी उंगली घुमाते समय आप गिनती नहीं करेंगे, क्या आपको अंतिम सूत्र और अंकगणितीय प्रगति के बारे में हमने जो कुछ भी कहा था वह सब याद है?

इस मामले में, प्रगति इस तरह दिखती है:।
अंकगणितीय प्रगति अंतर.
अंकगणितीय प्रगति के पदों की संख्या.
आइए अपने डेटा को अंतिम सूत्रों में प्रतिस्थापित करें (2 तरीकों से ब्लॉकों की संख्या की गणना करें)।

विधि 1.

विधि 2.

और अब आप मॉनिटर पर गणना कर सकते हैं: प्राप्त मूल्यों की तुलना हमारे पिरामिड में मौजूद ब्लॉकों की संख्या से करें। समझ गया? शाबाश, आपने अंकगणितीय प्रगति के nवें पदों के योग में महारत हासिल कर ली है।
बेशक, आप आधार पर मौजूद ब्लॉकों से पिरामिड नहीं बना सकते, लेकिन किससे? यह गणना करने का प्रयास करें कि इस स्थिति में दीवार बनाने के लिए कितनी रेत ईंटों की आवश्यकता होगी।
क्या आप संभाल पाओगे?
सही उत्तर ब्लॉक है:

प्रशिक्षण

कार्य:

1. माशा गर्मियों के लिए आकार में आ रही है। हर दिन वह स्क्वैट्स की संख्या बढ़ा देती है। यदि माशा ने पहले प्रशिक्षण सत्र में स्क्वाट किया तो वह सप्ताह में कितनी बार स्क्वाट करेगी?
2. इसमें निहित सभी विषम संख्याओं का योग क्या है?
3. लॉग संग्रहीत करते समय, लकड़हारे उन्हें इस तरह से ढेर करते हैं कि प्रत्येक ऊपरी परतपिछले वाले की तुलना में एक कम लॉग है। यदि चिनाई की नींव लकड़ियाँ हैं, तो एक चिनाई में कितने लकड़ियाँ होती हैं?

उत्तर:

1. आइए हम अंकगणितीय प्रगति के मापदंडों को परिभाषित करें। इस मामले में
   (सप्ताह = दिन).

   उत्तर:दो सप्ताह में माशा को दिन में एक बार स्क्वाट करना चाहिए।

2. पहला विषम संख्या, अंतिम संख्या।
   अंकगणितीय प्रगति अंतर.
   हालाँकि, विषम संख्याओं की संख्या आधी है, आइए अंकगणितीय प्रगति के वें पद को खोजने के लिए सूत्र का उपयोग करके इस तथ्य की जाँच करें:

   संख्याओं में विषम संख्याएँ होती हैं।
   आइए उपलब्ध डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

   उत्तर:इसमें निहित सभी विषम संख्याओं का योग बराबर है।

3. आइए पिरामिडों के बारे में समस्या को याद करें। हमारे मामले के लिए, ए, चूंकि प्रत्येक शीर्ष परत एक लॉग से कम हो जाती है, तो कुल मिलाकर परतों का एक गुच्छा होता है, अर्थात।
   आइए डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

   उत्तर:चिनाई में लकड़ियाँ हैं।

आइए इसे संक्षेप में बताएं

1. - एक संख्या क्रम जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और बराबर होता है। यह बढ़ या घट सकता है.
2. सूत्र ढूँढनाअंकगणितीय प्रगति का वां पद सूत्र द्वारा लिखा जाता है - , प्रगति में संख्याओं की संख्या कहां है।
3. अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संपत्ति- - संख्याओं की संख्या क्रम में कहां है।
4. अंकगणितीय प्रगति के पदों का योगदो तरीकों से पाया जा सकता है:
   
   , मानों की संख्या कहां है.

अंकगणितीय प्रगति। औसत स्तर

संख्या क्रम

आइए बैठें और कुछ संख्याएँ लिखना शुरू करें। उदाहरण के लिए:

आप कोई भी संख्याएँ लिख सकते हैं, और उनमें से जितनी चाहें उतनी संख्याएँ हो सकती हैं। लेकिन हम हमेशा कह सकते हैं कि कौन सा पहला है, कौन सा दूसरा है, इत्यादि, यानी, हम उन्हें क्रमांकित कर सकते हैं। यह संख्या क्रम का एक उदाहरण है.

संख्या क्रमसंख्याओं का एक समूह है, जिनमें से प्रत्येक को एक अद्वितीय संख्या दी जा सकती है।

दूसरे शब्दों में, प्रत्येक संख्या को एक निश्चित प्राकृतिक संख्या और एक अद्वितीय संख्या के साथ जोड़ा जा सकता है। और हम इस संख्या को इस सेट से किसी अन्य संख्या को निर्दिष्ट नहीं करेंगे।

संख्या वाले अंक को अनुक्रम का वां सदस्य कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर (उदाहरण के लिए) से बुलाते हैं, और इस अनुक्रम का प्रत्येक सदस्य इस सदस्य की संख्या के बराबर सूचकांक के साथ एक ही अक्षर है:।

यह बहुत सुविधाजनक है यदि अनुक्रम का वां पद किसी सूत्र द्वारा निर्दिष्ट किया जा सके। उदाहरण के लिए, सूत्र

क्रम निर्धारित करता है:

और सूत्र निम्नलिखित क्रम है:

उदाहरण के लिए, एक अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है (यहां पहला पद बराबर है, और अंतर है)। या (, अंतर)।

nवाँ पद सूत्र

हम एक सूत्र को आवर्ती कहते हैं जिसमें, वें पद का पता लगाने के लिए, आपको पिछले या कई पिछले को जानना होगा:

उदाहरण के लिए, इस सूत्र का उपयोग करके प्रगति का वां पद खोजने के लिए, हमें पिछले नौ की गणना करनी होगी। उदाहरण के लिए, रहने दो। तब:

खैर, क्या अब यह स्पष्ट है कि सूत्र क्या है?

प्रत्येक पंक्ति में हम जोड़ते हैं, किसी संख्या से गुणा करते हैं। कौन सा? बहुत सरल: यह वर्तमान सदस्य माइनस की संख्या है:

अब और अधिक सुविधाजनक, है ना? हम जाँच:

अपने लिए तय करें:

अंकगणितीय प्रगति में, nवें पद का सूत्र ज्ञात कीजिए और सौवाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधान:

पहला पद बराबर है. क्या अंतर है? यहाँ क्या है:

(इसीलिए इसे अंतर कहा जाता है क्योंकि यह प्रगति के क्रमिक पदों के अंतर के बराबर है)।

तो, सूत्र:

तब सौवाँ पद इसके बराबर है:

से लेकर सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग क्या है?

किंवदंती के अनुसार, महान गणितज्ञ कार्ल गॉस ने 9 साल के लड़के के रूप में कुछ ही मिनटों में इस राशि की गणना की थी। उसने देखा कि पहले और का योग अंतिम तिथीबराबर है, दूसरे और अंतिम का योग समान है, अंत से तीसरे और तीसरे का योग समान है, इत्यादि। ऐसे कुल कितने जोड़े हैं? यह सही है, सभी संख्याओं की बिल्कुल आधी संख्या, अर्थात। इसलिए,

किसी अंकगणितीय प्रगति के प्रथम पदों के योग का सामान्य सूत्र होगा:

उदाहरण:
सभी का योग ज्ञात कीजिये दोहरे अंकों की संख्या, गुणक।

समाधान:

ऐसा पहला नंबर ये है. प्रत्येक अगली संख्या को पिछली संख्या में जोड़कर प्राप्त किया जाता है। इस प्रकार, जिन संख्याओं में हम रुचि रखते हैं वे पहले पद और अंतर के साथ एक अंकगणितीय प्रगति बनाते हैं।

इस प्रगति के लिए वें पद का सूत्र:

प्रगति में कितने पद हैं यदि उन सभी को दो-अंकीय होना है?

बहुत आसान: ।

प्रगति का अंतिम पद बराबर होगा। फिर योग:

उत्तर: ।

अब आप स्वयं निर्णय करें:

1. हर दिन एथलीट पिछले दिन की तुलना में अधिक मीटर दौड़ता है। यदि वह पहले दिन किमी मीटर दौड़ता है तो वह एक सप्ताह में कुल कितने किलोमीटर दौड़ेगा?
2. एक साइकिल चालक प्रतिदिन पिछले दिन की तुलना में अधिक किलोमीटर की यात्रा करता है। पहले दिन उन्होंने किमी. की यात्रा की। उसे एक किलोमीटर की दूरी तय करने में कितने दिन लगेंगे? अपनी यात्रा के अंतिम दिन में वह कितने किलोमीटर की यात्रा करेगा?
3. एक स्टोर में रेफ्रिजरेटर की कीमत हर साल समान मात्रा से घट जाती है। निर्धारित करें कि प्रत्येक वर्ष रेफ्रिजरेटर की कीमत में कितनी कमी आई है, यदि इसे रूबल के लिए बिक्री के लिए रखा गया था, छह साल बाद इसे रूबल के लिए बेचा गया था।

उत्तर:

1. यहां सबसे महत्वपूर्ण बात अंकगणितीय प्रगति को पहचानना और उसके मापदंडों को निर्धारित करना है। इस मामले में, (सप्ताह = दिन)। आपको इस प्रगति के पहले पदों का योग निर्धारित करने की आवश्यकता है:
   .
   उत्तर:
2. यहाँ यह दिया गया है: , पाया जाना चाहिए।
   जाहिर है, आपको पिछली समस्या के समान योग सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:
   .
   मानों को प्रतिस्थापित करें:

   मूल स्पष्ट रूप से फिट नहीं बैठता है, इसलिए उत्तर है।
   आइए वें पद के सूत्र का उपयोग करके अंतिम दिन में तय किए गए पथ की गणना करें:
   (किमी).
   उत्तर:

3. दिया गया: । खोजो: ।
   यह इससे अधिक सरल नहीं हो सकता:
   (रगड़ना)।
   उत्तर:

अंकगणितीय प्रगति। संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में

यह एक संख्या क्रम है जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और बराबर होता है।

अंकगणितीय प्रगति बढ़ती () और घटती () हो सकती है।

उदाहरण के लिए:

अंकगणितीय प्रगति का nवाँ पद ज्ञात करने का सूत्र

सूत्र द्वारा लिखा जाता है, जहाँ संख्याओं की संख्या क्रमानुसार होती है।

अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संपत्ति

यह आपको किसी प्रगति का एक पद आसानी से ढूंढने की अनुमति देता है यदि उसके पड़ोसी पद ज्ञात हों - प्रगति में संख्याओं की संख्या कहां है।

अंकगणितीय प्रगति के पदों का योग

राशि ज्ञात करने के दो तरीके हैं:

मानों की संख्या कहां है.

मानों की संख्या कहां है.