>> पाठ 13. दो अंकों से विभाजन और तीन अंकों की संख्या

876 को 24 से विभाजित करें। 800: 20 = 40 की गणना करने से पता चलता है कि उत्तर 40 के करीब की संख्या होनी चाहिए।

एकल-अंकीय संख्या से विभाजन की तरह, हम क्रमिक रूप से बड़ी गिनती इकाइयों को विभाजित करने से छोटी इकाइयों को विभाजित करने की ओर बढ़ेंगे।

सैकड़ों की संख्या 8 एक अंकीय है, इसलिए हम 87 दहाई को 24 से विभाजित करते हैं। आपको 3 दहाई मिलती हैं और अन्य 15 दहाई बचती हैं (87 - 3 24 = 15)। 15 दहाई और 6 इकाई 156 है। और यदि 156 को 24 से विभाजित किया जाए, तो आपको शेषफल के रूप में 6 और 12 प्राप्त होता है (156 - 24 6 = 12)। कुल मिलाकर आपको 3 दहाई और 6 इकाइयाँ मिलती हैं, यानी 36, और शेष 12 होता है। इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

10*. उन सभी संभावित दो अंकों वाली संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जिनके सभी अंक विषम हैं।

पीटरसन ल्यूडमिला जॉर्जीवना। अंक शास्त्र। 4 था ग्रेड। भाग 1. - एम.: युवेंटा पब्लिशिंग हाउस, 2005, - 64 पी.: बीमार।

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दुर्भाग्य से, आजकल के बच्चे व्यावहारिक रूप से मानसिक गणना करना नहीं जानते हैं। ऐसा इसलिए हुआ क्योंकि आधुनिक प्रौद्योगिकियाँवे प्रत्येक बच्चे को कुछ ही क्लिक में समस्या हल करने की पेशकश करते हैं। कई बच्चों के लिए, इंटरनेट ने न केवल पाठ्यपुस्तकों, बल्कि कुछ कौशलों की भी जगह ले ली है। आप युवा पीढ़ी से तेजी से सुन सकते हैं कि गणित जानना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है, क्योंकि आपके पास हमेशा कैलकुलेटर या फोन होता है। लेकिन इस विज्ञान का असली महत्व सोच के विकास में है, न कि बाजार में किसी व्यापारी द्वारा धोखा दिए जाने के डर पर काबू पाने में।

लंबा विभाजन छात्रों को मदद करता है कनिष्ठ वर्गसंख्या संक्रियाओं से परिचित हों। इसके लिए धन्यवाद, गुणन तालिका मेमोरी में तय हो जाती है, और जोड़ और घटाव संचालन करने के कौशल को निखारा जाता है।

यह प्राप्त करने के अंकगणितीय क्रियाआपको इसके घटकों से परिचित होना होगा:

1. लाभांश - एक संख्या जो विभाजित होती है।

2. भाजक - वह संख्या जिससे विभाजित किया जाता है।

3. भागफल - भाग देने से प्राप्त परिणाम।

4. शेष लाभांश का वह भाग है जिसे विभाजित नहीं किया जा सकता।

अमेरिकी और यूरोपीय डिवीजन मॉडल

दीर्घ विभाजन के नियम सभी देशों में समान हैं। फर्क सिर्फ ग्राफ़िक पार्ट यानी उसकी रिकॉर्डिंग में है. में यूरोपीय प्रणालीविभाजन रेखा, या तथाकथित कोना, विभाजित होने वाली संख्या के दाईं ओर रखा जाता है। भाजक को कोने की रेखा के ऊपर लिखा जाता है, और भागफल को कोने की क्षैतिज रेखा के नीचे लिखा जाता है।

द्वारा स्तम्भ विभाजन अमेरिकी मॉडलबायीं ओर कोने को स्थापित करने का प्रावधान है। भागफल को कोण की क्षैतिज रेखा के ऊपर, विभाजित की जाने वाली संख्या के ठीक ऊपर लिखा जाता है। भाजक क्षैतिज रेखा के नीचे, ऊर्ध्वाधर रेखा के बाईं ओर लिखा होता है। कार्रवाई करने की प्रक्रिया स्वयं यूरोपीय मॉडल से भिन्न नहीं है।

द्वारा स्तम्भ विभाजन दो अंकों की संख्या

दो-अंकीय मान का उपयोग करने के लिए, आपको इसे आरेख के अनुसार लिखना होगा, और फिर कार्रवाई को अंजाम देना होगा। कॉलम विभाजन संख्या के उच्चतम अंकों को विभाजित करने से शुरू होता है। पहले दो अंक तब लिए जाते हैं जब उनसे बनी संख्या का मान भाजक से अधिक हो। अन्यथा, पहले तीन अंक अलग हो जाते हैं। वे जो संख्या बनाते हैं उसे भाजक द्वारा विभाजित किया जाता है, शेष नीचे चला जाता है, और परिणाम विभाजन कोने में लिखा जाता है। इसके बाद विभाजित होने वाली संख्या के अगले अंक से अंक स्थानांतरित कर दिया जाता है और प्रक्रिया दोहराई जाती है। यह तब तक जारी रहता है जब तक संख्या पूरी तरह से विभाजित न हो जाए।

यदि किसी संख्या को शेषफल से विभाजित करना आवश्यक हो तो उसे अलग से लिखा जाता है। यदि आपको किसी संख्या को पूर्ण रूप से विभाजित करने की आवश्यकता है, तो संख्या के अंकों की समाप्ति के बाद उत्तर में एक अल्पविराम लगाया जाता है, जो भिन्नात्मक भाग की शुरुआत को दर्शाता है, और अंकों के बजाय, एक शून्य को हर बार नीचे ले जाया जाता है।

स्कूली बच्चे तीसरी कक्षा में ही कॉलम डिवीजन, या, अधिक सही ढंग से, कोने डिवीजन की लिखित तकनीक सीखते हैं। प्राथमिक स्कूल, लेकिन अक्सर इस विषय पर इतना कम ध्यान दिया जाता है कि कक्षा 9-11 तक सभी छात्र इसका धाराप्रवाह उपयोग नहीं कर पाते हैं। किसी कॉलम को दो अंकों की संख्या से विभाजित करना चौथी कक्षा में सिखाया जाता है, जैसे तीन अंकों की संख्या से विभाजन सिखाया जाता है, और फिर किसी भी समीकरण को हल करते समय या किसी अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करते समय इस तकनीक का उपयोग केवल सहायक तकनीक के रूप में किया जाता है।

यह स्पष्ट है कि किसी कॉलम द्वारा विभाजित करने पर अधिक ध्यान देने से इसमें शामिल किया जाता है स्कूल के पाठ्यक्रम, आपके बच्चे के लिए कक्षा 11 तक के गणित असाइनमेंट को पूरा करना आसान हो जाएगा। और इसके लिए आपको थोड़ी सी आवश्यकता है - विषय को समझने और अध्ययन करने, हल करने, एल्गोरिदम को अपने दिमाग में रखने, गणना कौशल को स्वचालितता में लाने की।

दो अंकों की संख्या से विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम

एकल-अंकीय संख्या से विभाजन की तरह, हम क्रमिक रूप से बड़ी गिनती इकाइयों को विभाजित करने से छोटी इकाइयों को विभाजित करने की ओर बढ़ेंगे।

1. पहला अपूर्ण लाभांश ज्ञात कीजिए. यह एक संख्या है जिसे भाजक द्वारा विभाजित करने पर 1 से बड़ी या उसके बराबर संख्या प्राप्त होती है। इसका मतलब है कि पहला आंशिक लाभांश हमेशा भाजक से बड़ा होता है। दो अंकों की संख्या से विभाजित करते समय, पहले आंशिक लाभांश में कम से कम 2 अंक होने चाहिए।

उदाहरण 76 8:24. प्रथम अपूर्ण लाभांश 76
265 :53 26, 53 से कम है, जिसका अर्थ है कि यह उपयुक्त नहीं है। आपको अगला नंबर (5) जोड़ना होगा। पहला अपूर्ण लाभांश 265 है।

2. भागफल में अंकों की संख्या ज्ञात करें. भागफल में अंकों की संख्या निर्धारित करने के लिए, आपको याद रखना चाहिए कि अधूरा लाभांश भागफल के एक अंक से मेल खाता है, और लाभांश के अन्य सभी अंक भागफल के एक और अंक से मेल खाते हैं।

उदाहरण 768:24. पहला अपूर्ण लाभांश 76 है। यह भागफल के 1 अंक से मेल खाता है। पहले आंशिक भाजक के बाद एक और अंक होता है। इसका मतलब यह है कि भागफल में केवल 2 अंक होंगे।
265:53. पहला अपूर्ण लाभांश 265 है। यह भागफल का 1 अंक देगा। लाभांश में कोई और अंक नहीं हैं. इसका मतलब यह है कि भागफल में केवल 1 अंक होगा।
15344:56. पहला अधूरा लाभांश 153 है, और इसके बाद 2 और अंक हैं। इसका मतलब यह है कि भागफल में केवल 3 अंक होंगे।

3. भागफल के प्रत्येक अंक में संख्याएँ ज्ञात कीजिए. सबसे पहले, आइए भागफल का पहला अंक ज्ञात करें। हम एक पूर्णांक का चयन इस प्रकार करते हैं कि जब इसे हमारे भाजक से गुणा किया जाता है तो हमें एक ऐसी संख्या मिलती है जो पहले अपूर्ण लाभांश के जितना संभव हो उतना करीब हो। हम कोने के नीचे भागफल संख्या लिखते हैं, और आंशिक भाजक से एक कॉलम में उत्पाद का मान घटाते हैं। हम शेष को लिखते हैं। चलो जाँच करें कि वह भाजक से कम.

फिर हम भागफल का दूसरा अंक ज्ञात करते हैं। हम लाभांश में पहले आंशिक भाजक के बाद की संख्या को शेषफल वाली पंक्ति में फिर से लिखते हैं। परिणामी अपूर्ण लाभांश को फिर से भाजक द्वारा विभाजित किया जाता है और इस प्रकार हम भागफल की प्रत्येक बाद की संख्या को तब तक पाते हैं जब तक कि भाजक के अंक समाप्त न हो जाएं।

4. शेषफल ज्ञात कीजिए(अगर वहाँ होता)।

यदि भागफल के अंक समाप्त हो जाएं और शेषफल 0 हो, तो विभाजन शेषफल के बिना किया जाता है। अन्यथा, भागफल मान शेषफल के साथ लिखा जाता है।

किसी भी बहु-अंकीय संख्या (तीन-अंकीय, चार-अंकीय, आदि) द्वारा विभाजन भी किया जाता है।

किसी स्तंभ द्वारा दो अंकों की संख्या को विभाजित करने के उदाहरणों का विश्लेषण

सबसे पहले, आइए विभाजन के सरल मामलों को देखें, जब भागफल का परिणाम एकल-अंकीय संख्या में होता है।

आइए भागफल संख्या 265 और 53 का मान ज्ञात करें।

पहला अपूर्ण लाभांश 265 है। लाभांश में कोई और अंक नहीं हैं। इसका मतलब यह है कि भागफल एक अंकीय संख्या होगी।

भागफल संख्या चुनना आसान बनाने के लिए, आइए 265 को 53 से नहीं, बल्कि निकटतम पूर्ण संख्या 50 से विभाजित करें। ऐसा करने के लिए, 265 को 10 से विभाजित करें, परिणाम 26 होगा (शेषफल 5 है)। और 26 को 5 से भाग देने पर 5 (शेष 1) आएगा। संख्या 5 को तुरंत भागफल में नहीं लिखा जा सकता, क्योंकि यह एक परीक्षण संख्या है। सबसे पहले आपको यह जांचना होगा कि यह फिट बैठता है या नहीं। आइए 53*5=265 को गुणा करें। हम देखते हैं कि अंक 5 आ गया है। और अब हम इसे एक निजी कोने में लिख सकते हैं। 265-265=0. विभाजन शेष के बिना पूरा हो गया है।

265 और 53 का भागफल 5 है।

कभी-कभी भाग देते समय भागफल का परीक्षण अंक फिट नहीं बैठता और तब उसे बदलने की आवश्यकता पड़ती है।

आइए भागफल संख्या 184 और 23 का मान ज्ञात करें।

भागफल एक अंकीय संख्या होगी.

भागफल संख्या चुनना आसान बनाने के लिए, आइए 184 को 23 से नहीं, बल्कि 20 से विभाजित करें। ऐसा करने के लिए, 184 को 10 से विभाजित करें, परिणाम 18 (शेष 4) होगा। और हम 18 को 2 से विभाजित करते हैं, परिणाम 9 है। 9 एक परीक्षण संख्या है, हम इसे तुरंत भागफल में नहीं लिखेंगे, लेकिन हम जांच करेंगे कि क्या यह उपयुक्त है। आइए 23*9=207 को गुणा करें। 207, 184 से बड़ा है। हम देखते हैं कि संख्या 9 उपयुक्त नहीं है। भागफल 9 से कम होगा। आइए यह देखने का प्रयास करें कि संख्या 8 उपयुक्त है या नहीं। आइए 23*8=184 को गुणा करें। हम देखते हैं कि अंक 8 उपयुक्त है। हम इसे निजी तौर पर लिख सकते हैं. 184-184=0. विभाजन शेष के बिना पूरा हो गया है।

184 और 23 का भागफल 8 है।

आइए और अधिक विचार करें जटिल मामलेविभाजन।

आइए 768 और 24 के भागफल का मान ज्ञात करें।

पहला अपूर्ण लाभांश 76 दहाई है। इसका मतलब है कि भागफल में 2 अंक होंगे।

आइए भागफल का पहला अंक ज्ञात करें। आइए 76 को 24 से विभाजित करें। भागफल संख्या चुनना आसान बनाने के लिए, आइए 76 को 24 से नहीं, बल्कि 20 से विभाजित करें। यानी, आपको 76 को 10 से विभाजित करना होगा, 7 आएगा (शेष 6 है)। और 7 को 2 से विभाजित करने पर 3 (शेष 1) प्राप्त होता है। 3 भागफल का परीक्षण अंक है. पहले आइए देखें कि यह फिट बैठता है या नहीं। आइए 24*3=72 को गुणा करें। 76-72=4. शेषफल भाजक से कम है। इसका मतलब है कि संख्या 3 उपयुक्त है और अब हम इसे भागफल के दहाई के स्थान पर लिख सकते हैं। हम पहले अपूर्ण लाभांश के नीचे 72 लिखते हैं, उनके बीच ऋण चिह्न लगाते हैं, और शेष को रेखा के नीचे लिखते हैं।

चलो विभाजन जारी रखें. आइए पहले अपूर्ण लाभांश के बाद शेषफल वाली पंक्ति में संख्या 8 को फिर से लिखें। हमें निम्नलिखित अपूर्ण लाभांश प्राप्त होता है - 48 इकाइयाँ। आइए 48 को 24 से विभाजित करें। भागफल ज्ञात करना आसान बनाने के लिए, आइए 48 को 24 से नहीं, बल्कि 20 से विभाजित करें। यानी, यदि हम 48 को 10 से विभाजित करते हैं, तो 4 आएगा (शेषफल 8 है)। और हम 4 को 2 से विभाजित करते हैं तो वह 2 हो जाता है। यह भागफल का परीक्षण अंक है। हमें पहले यह जांचना होगा कि यह फिट होगा या नहीं। आइए 24*2=48 को गुणा करें। हम देखते हैं कि संख्या 2 फिट बैठती है और इसलिए, हम इसे भागफल की इकाइयों के स्थान पर लिख सकते हैं। 48-48=0, विभाजन शेषफल के बिना किया जाता है।

768 और 24 का भागफल 32 है।

आइए भागफल संख्या 15344 और 56 का मान ज्ञात करें।

पहला अपूर्ण लाभांश 153 सैकड़ा है, जिसका अर्थ है कि भागफल तीन अंकों का होगा।

आइए भागफल का पहला अंक ज्ञात करें। आइए 153 को 56 से विभाजित करें। भागफल ज्ञात करना आसान बनाने के लिए, आइए 153 को 56 से नहीं, बल्कि 50 से विभाजित करें। ऐसा करने के लिए, 153 को 10 से विभाजित करें, परिणाम 15 (शेष 3) होगा। और हम 15 को 5 से विभाजित करते हैं, यह 3 हो जाता है। 3 भागफल का परीक्षण अंक है। याद रखें: आप इसे तुरंत अकेले में नहीं लिख सकते हैं, लेकिन आपको पहले यह जांचना होगा कि यह उपयुक्त है या नहीं। आइए 56*3=168 को गुणा करें। 168, 153 से बड़ा है। इसका मतलब है कि भागफल 3 से कम होगा। आइए देखें कि संख्या 2 उपयुक्त है या नहीं। 56*2=112 को गुणा करें। 153-112=41. शेषफल भाजक से कम है, जिसका अर्थ है कि संख्या 2 उपयुक्त है, इसे भागफल में सैकड़ा के स्थान पर लिखा जा सकता है।

आइये निम्नलिखित अपूर्ण लाभांश बनाते हैं। 153-112=41. हम पहले अपूर्ण लाभांश के बाद संख्या 4 को उसी पंक्ति में फिर से लिखते हैं। हमें 414 दहाई का दूसरा अपूर्ण लाभांश प्राप्त होता है। आइए 414 को 56 से विभाजित करें। भागफल संख्या चुनना अधिक सुविधाजनक बनाने के लिए, आइए 414 को 56 से नहीं, बल्कि 50 से विभाजित करें। 414:10=41(बाकी.4)। 41:5=8(बाकी.1). याद रखें: 8 एक परीक्षण संख्या है. चलो पता करते हैं। 56*8=448. 448, 414 से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि भागफल 8 से कम होगा। आइए जाँच करें कि संख्या 7 उपयुक्त है या नहीं, 56 को 7 से गुणा करें, हमें 392 मिलता है। 414-392=22। शेषफल भाजक से कम है। इसका मतलब है कि संख्या फिट बैठती है और भागफल में हम दहाई के स्थान पर 7 लिख सकते हैं।

हम नए शेषफल की पंक्ति में 4 इकाइयाँ लिखते हैं। इसका मतलब है कि अगला अधूरा लाभांश 224 इकाई है। चलो विभाजन जारी रखें. भागफल संख्या ज्ञात करना आसान बनाने के लिए 224 को 50 से विभाजित करें। यानी पहले 10 से 22 होगा (शेषफल 4 है)। और 22 को 5 से भाग देने पर 4 (शेष 2) आएगा। 4 एक परीक्षण संख्या है, आइए इसकी जांच करें कि क्या यह उपयुक्त है। 56*4=224. और हम देखते हैं कि संख्या बढ़ गई है. आइए भागफल में इकाई के स्थान पर 4 लिखें। 224-224=0, विभाजन शेषफल के बिना किया जाता है।

15344 और 56 का भागफल 274 है।

शेषफल के साथ विभाजन का उदाहरण

सादृश्य बनाने के लिए, आइए उपरोक्त उदाहरण के समान एक उदाहरण लें, केवल अंतिम अंक में अंतर है

आइए भागफल 15345:56 का मान ज्ञात करें

हम पहले उदाहरण 15344:56 की तरह ही विभाजित करते हैं, जब तक कि हम अंतिम अपूर्ण लाभांश 225 तक नहीं पहुंच जाते। 225 को 56 से विभाजित करें। भागफल संख्या चुनना आसान बनाने के लिए, 225 को 50 से विभाजित करें। यानी पहले 10 से , वहां 22 होगा (शेषफल 5 है )। और 22 को 5 से भाग देने पर 4 (शेष 2) आएगा। 4 एक परीक्षण संख्या है, आइए इसकी जांच करें कि यह फिट बैठता है या नहीं। 56*4=224. और हम देखते हैं कि संख्या बढ़ गई है. आइए भागफल में इकाई के स्थान पर 4 लिखें। 225-224=1, शेषफल से विभाजन हुआ।

15345 और 56 का भागफल 274 (शेष 1) है।

भागफल में शून्य से विभाजन

कभी-कभी किसी भागफल में कोई एक संख्या 0 हो जाती है, और बच्चे अक्सर इसे भूल जाते हैं, इसलिए गलत समाधान होता है। आइए देखें कि 0 कहाँ से आ सकता है और इसे कैसे न भूलें।

आइए भागफल 2870:14 का मान ज्ञात करें

पहला अधूरा लाभांश 28 सैकड़ा है। इसका मतलब है कि भागफल में 3 अंक होंगे। कोने के नीचे तीन बिंदु रखें। यह महत्वपूर्ण बिंदु. यदि कोई बच्चा शून्य खो देता है, तो एक अतिरिक्त बिंदु रह जाएगा, जिससे उन्हें लगेगा कि कहीं कोई संख्या छूट गई है।

आइए भागफल का पहला अंक ज्ञात करें। आइए 28 को 14 से विभाजित करें। चयन से हमें 2 मिलता है। आइए देखें कि संख्या 2 14*2=28 से गुणा करती है या नहीं। संख्या 2 उपयुक्त है; इसे भागफल में सैकड़े के स्थान पर लिखा जा सकता है। 28-28=0.

नतीजा शून्य शेष रहा. हमने स्पष्टता के लिए इसे गुलाबी रंग से चिह्नित किया है, लेकिन आपको इसे लिखने की आवश्यकता नहीं है। हम लाभांश से संख्या 7 को शेषफल वाली पंक्ति में फिर से लिखते हैं। लेकिन पूर्णांक प्राप्त करने के लिए 7, 14 से विभाज्य नहीं है, इसलिए हम भागफल में दहाई के स्थान पर 0 लिखते हैं।

अब हम लाभांश के अंतिम अंक (इकाइयों की संख्या) को उसी पंक्ति में फिर से लिखते हैं।

70:14=5 हम भागफल में अंतिम बिंदु के स्थान पर संख्या 5 लिखते हैं। कोई शेष नहीं है.

2870 और 14 का भागफल 205 है।

भाग को गुणन द्वारा जांचा जाना चाहिए।

स्व-परीक्षण के लिए प्रभाग उदाहरण

पहला अपूर्ण लाभांश ज्ञात करें और भागफल में अंकों की संख्या निर्धारित करें।

3432:66 2450:98 15145:65 18354:42 17323:17

आपने विषय में महारत हासिल कर ली है, अब एक कॉलम में कई उदाहरणों को स्वयं हल करने का अभ्यास करें।

1428: 42 30296: 56 254415: 35 16514: 718

विभाजनबहु-अंकीय या बहु-अंकीय संख्याएँ लिखित रूप में प्रस्तुत करना सुविधाजनक होता है एक कॉलम में. आइए जानें कि यह कैसे करना है। आइए एक बहु-अंकीय संख्या को एक-अंकीय संख्या से विभाजित करके प्रारंभ करें, और धीरे-धीरे लाभांश के अंक को बढ़ाएँ।

तो चलिए बंटवारा करते हैं 354 पर 2 . सबसे पहले, आइए इन संख्याओं को चित्र में दिखाए अनुसार रखें:

हम लाभांश को बाईं ओर रखते हैं, भाजक को दाईं ओर, और भागफल को भाजक के नीचे लिखा जाएगा।

अब हम लाभांश को बाएँ से दाएँ बिटवाइज़ विभाजक द्वारा विभाजित करना शुरू करते हैं। हम देखतें है पहला अधूरा लाभांश, इसके लिए हम बाईं ओर का पहला अंक लेते हैं, हमारे मामले 3 में, और इसकी तुलना भाजक से करते हैं।

3 अधिक 2 , मतलब 3 और अधूरा लाभांश है. हम भागफल में एक बिंदु लगाते हैं और निर्धारित करते हैं कि भागफल में और कितने अंक होंगे - वही संख्या जो अपूर्ण लाभांश का चयन करने के बाद लाभांश में बची थी। हमारे मामले में, भागफल में लाभांश के समान अंकों की संख्या होती है, अर्थात, सबसे महत्वपूर्ण अंक सैकड़ों होगा:

के लिए 3 से भाग 2 गुणन सारणी को 2 से याद करें और संख्या ज्ञात करें, 2 से गुणा करने पर हमें सबसे बड़ा गुणनफल मिलता है, जो 3 से कम है।

2 × 1 = 2 (2< 3)

2 × 2 = 4 (4 > 3)

2 कम 3 , ए 4 अधिक, जिसका अर्थ है कि हम पहला उदाहरण और गुणक लेते हैं 1 .

चलो इसे लिख लें 1 पहले बिंदु के स्थान पर भागफल को (सैकड़े के स्थान पर), और प्राप्त उत्पाद को लाभांश के अंतर्गत लिखें:

अब हम पहले अपूर्ण लाभांश और प्राप्त भागफल और भाजक के उत्पाद के बीच अंतर पाते हैं:

परिणामी मान की तुलना भाजक से की जाती है। 15 अधिक 2 , जिसका अर्थ है कि हमें दूसरा अधूरा लाभांश मिला है। विभाजन का परिणाम ज्ञात करने के लिए 15 पर 2 गुणन सारणी को फिर से याद करें 2 और सबसे अच्छा उत्पाद खोजें जो कम हो 15 :

2 × 7 = 14 (14< 15)

2 × 8 = 16 (16 > 15)

आवश्यक गुणक 7 , हम इसे दूसरे बिंदु (दहाई में) के स्थान पर भागफल के रूप में लिखते हैं। हम दूसरे अपूर्ण लाभांश और पाए गए भागफल और भाजक के उत्पाद के बीच अंतर पाते हैं:

हम विभाजन जारी रखते हैं, हम क्यों पाते हैं तीसरा अधूरा लाभांश. हम लाभांश का अगला अंक कम करते हैं:

हम अपूर्ण लाभांश को 2 से विभाजित करते हैं, परिणामी मूल्य को भागफल की इकाइयों की श्रेणी में डालते हैं। आइए विभाजन की शुद्धता की जाँच करें:

2 × 7 = 14

हम तीसरे अपूर्ण लाभांश को भाजक द्वारा भागफल में विभाजित करने के परिणाम को लिखते हैं और अंतर ज्ञात करते हैं:

हमें अंतर शून्य के बराबर मिला, यानी बंटवारा हो गया सही.

आइए समस्या को जटिल बनाएं और एक और उदाहरण दें:

1020 ÷ 5

आइए अपना उदाहरण एक कॉलम में लिखें और पहले अपूर्ण भागफल को परिभाषित करें:

लाभांश का सहस्र स्थान है 1 , भाजक के साथ तुलना करें:

1 < 5

हम अपूर्ण लाभांश में सैकड़ा स्थान जोड़ते हैं और तुलना करते हैं:

10 > 5 - हमें अधूरा लाभांश मिला है।

हम बांटते हैं 10 पर 5 , हम पाते हैं 2 , परिणाम को भागफल में लिखें। अपूर्ण लाभांश और भाजक तथा प्राप्त भागफल को गुणा करने के परिणाम के बीच का अंतर।

10 – 10 = 0

0 हम लिखते नहीं हैं, हम लाभांश का अगला अंक - दहाई का अंक छोड़ देते हैं:

हम दूसरे अपूर्ण लाभांश की तुलना भाजक से करते हैं।

2 < 5

हमें अपूर्ण लाभांश में एक और अंक जोड़ना चाहिए; इसके लिए हम भागफल को दहाई के अंक में डालते हैं 0 :

20 ÷ 5 = 4

हम उत्तर को भागफल की इकाइयों की श्रेणी में लिखते हैं और जांचते हैं: हम उत्पाद को दूसरे अपूर्ण लाभांश के तहत लिखते हैं और अंतर की गणना करते हैं। हम पाते हैं 0 , मतलब उदाहरण सही ढंग से हल किया गया.

और एक कॉलम में विभाजित करने के 2 और नियम:

1. यदि लाभांश और भाजक के निम्न-क्रम अंकों में शून्य हैं, तो विभाजित करने से पहले उन्हें कम किया जा सकता है, उदाहरण के लिए:

हम लाभांश के निम्न-क्रम अंक में जितने शून्य हटाते हैं, हम भाजक के निम्न-क्रम अंक में भी उतनी ही संख्या में शून्य हटाते हैं।

2. यदि भाग के बाद लाभांश में शून्य शेष रह जाए तो उन्हें भागफल में स्थानांतरित कर देना चाहिए:

तो, आइए एक कॉलम में विभाजित करते समय क्रियाओं का क्रम तैयार करें।

1. लाभांश को बाईं ओर और भाजक को दाईं ओर रखें। हमें याद है कि हम अधूरे लाभांश को थोड़ा-थोड़ा करके अलग करके और उन्हें विभाजक द्वारा क्रमिक रूप से विभाजित करके विभाजित करते हैं। अपूर्ण लाभांश में अंक बाएँ से दाएँ उच्च से निम्न की ओर आवंटित किए जाते हैं।
2. यदि लाभांश और भाजक के निचले अंकों में शून्य है, तो विभाजित करने से पहले उन्हें कम किया जा सकता है।
3. हम पहला अपूर्ण भाजक निर्धारित करते हैं:

ए)अपूर्ण भाजक में लाभांश का उच्चतम अंक आवंटित करें;

बी)अपूर्ण लाभांश की तुलना भाजक से करें, यदि भाजक बड़ा है, तो बिंदु पर जाएँ (वी), यदि कम है, तो हमें अधूरा लाभांश मिला है और हम बिंदु पर आगे बढ़ सकते हैं 4 ;

वी)अपूर्ण लाभांश में अगला अंक जोड़ें और बिंदु पर जाएँ (बी).

1. हम यह निर्धारित करते हैं कि भागफल में कितने अंक होंगे, और भागफल के स्थान पर (भाजक के नीचे) उतने ही बिंदु लगा देते हैं जितने उसमें अंक होंगे। संपूर्ण प्रथम अपूर्ण लाभांश के लिए एक अंक (एक अंक) और शेष अंक (अंक) अपूर्ण लाभांश का चयन करने के बाद लाभांश में बचे अंकों की संख्या के समान होते हैं।
2. ऐसा करने के लिए हम अपूर्ण लाभांश को भाजक से विभाजित करते हैं, हमें एक संख्या मिलती है, जिसे भाजक से गुणा करने पर, अपूर्ण लाभांश के बराबर या उससे कम संख्या प्राप्त होगी।
3. हम प्राप्त संख्या को अगले भागफल अंक (बिंदु) के स्थान पर लिखते हैं और इसे भाजक से गुणा करने के परिणाम को अपूर्ण लाभांश के अंतर्गत लिखते हैं और उनका अंतर ज्ञात करते हैं।
4. यदि पाया गया अंतर अपूर्ण लाभांश से कम या उसके बराबर है, तो हमने विभाजक द्वारा अपूर्ण लाभांश को सही ढंग से विभाजित किया है।
5. यदि लाभांश में अभी भी अंक बचे हैं, तो हम विभाजन जारी रखते हैं, अन्यथा हम बिंदु पर जाते हैं 10 .
6. हम लाभांश के अगले अंक को अंतर से कम करते हैं और अगला अधूरा लाभांश प्राप्त करते हैं:

ए) अपूर्ण लाभांश की तुलना भाजक से करें, यदि भाजक बड़ा है, तो बिंदु (बी) पर जाएं, यदि कम है, तो हमें अपूर्ण लाभांश मिल गया है और हम बिंदु 4 पर आगे बढ़ सकते हैं;

ख) अपूर्ण लाभांश में लाभांश का अगला अंक जोड़ें, और भागफल में अगले अंक (बिंदु) के स्थान पर 0 लिखें;

ग) बिंदु (ए) पर जाएं।

10. यदि हमने बिना किसी शेषफल के विभाजन किया और पाया गया अंतिम अंतर बराबर है 0 , फिर हम विभाजन सही ढंग से किया.

हमने एक बहु-अंकीय संख्या को एक-अंकीय संख्या से विभाजित करने के बारे में बात की। ऐसे मामले में जहां विभाजक बड़ा है, विभाजन उसी तरह किया जाता है:

स्तम्भ प्रभाग(आप नाम भी पा सकते हैं विभाजनकोने) में एक मानक प्रक्रिया हैअंकगणित, सरल या जटिल बहु-अंकीय संख्याओं को तोड़कर विभाजित करने के लिए डिज़ाइन किया गयाअधिक की श्रृंखला से विभाजित करना सरल कदम. विभाजन की सभी समस्याओं की तरह, एक नंबर पर कॉल किया जाता हैभाज्य, दूसरे में विभाजित है, कहा जाता हैडिवाइडर, एक परिणाम उत्पन्न करना कहा जाता हैनिजी.

कॉलम का उपयोग प्राकृतिक संख्याओं को बिना किसी शेषफल के विभाजित करने के साथ-साथ प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करने के लिए भी किया जा सकता हैशेष के साथ.

कॉलम से विभाजित करते समय लिखने के नियम।

आइए लाभांश, भाजक, सभी मध्यवर्ती गणनाओं और परिणामों को लिखने के नियमों का अध्ययन करके शुरुआत करेंप्राकृतिक संख्याओं को एक कॉलम से विभाजित करना। आइए तुरंत कहें कि लंबा विभाजन लिखना हैचेकर्ड लाइन वाले कागज पर यह सबसे सुविधाजनक है - इस तरह वांछित पंक्ति और कॉलम से भटकने की संभावना कम होती है।

सबसे पहले, लाभांश और विभाजक को बाएं से दाएं एक पंक्ति में लिखा जाता है, उसके बाद लिखा जाता हैसंख्याएँ प्रपत्र के प्रतीक का प्रतिनिधित्व करती हैं.

उदाहरण के लिए, यदि लाभांश 6105 है और भाजक 55 है, तो विभाजित करते समय उनका सही अंकनकॉलम इस प्रकार होगा:

लाभांश, भाजक, भागफल लिखने के स्थानों को दर्शाने वाले निम्नलिखित आरेख को देखें।किसी कॉलम से विभाजित करते समय शेष और मध्यवर्ती गणना:

उपरोक्त चित्र से यह स्पष्ट है कि अभीष्ट भागफल (या अपूर्ण भागफलशेषफल से विभाजित करने पर) होगाक्षैतिज पट्टी के नीचे भाजक के नीचे लिखा है। और मध्यवर्ती गणना नीचे की जाएगीविभाज्य, और आपको पृष्ठ पर स्थान की उपलब्धता के बारे में पहले से ही ध्यान रखना होगा। ऐसे में मार्गदर्शन करना चाहिएनियम: से अधिक अंतरलाभांश और भाजक की प्रविष्टियों में वर्णों की संख्या जितनी अधिक होगीजगह की आवश्यकता होगी.

किसी प्राकृत संख्या का एकल अंकीय प्राकृत संख्या से विभाजन, स्तंभ विभाजन एल्गोरिथ्म.

दीर्घ विभाजन कैसे करें, इसे एक उदाहरण से सबसे अच्छी तरह समझाया गया है।गणना:

512:8=?

सबसे पहले, आइए लाभांश और भाजक को एक कॉलम में लिखें। यह इस तरह दिखेगा:

इनका भागफल (परिणाम) हम भाजक के नीचे लिखेंगे। हमारे लिए यह नंबर 8 है.

1. अपूर्ण भागफल को परिभाषित करें। सबसे पहले हम लाभांश अंकन में बाईं ओर के पहले अंक को देखते हैं।यदि इस आंकड़े द्वारा परिभाषित संख्या भाजक से अधिक है, तो अगला बिंदुहमे काम करना चाहिएइस नंबर के साथ. यदि यह संख्या भाजक से कम है, तो हमें निम्नलिखित को विचार में जोड़ना होगाबायीं ओर लाभांश के अंकन में अंक, और दोनों द्वारा निर्धारित संख्या के साथ आगे काम करेंसंख्या में. सुविधा के लिए, हम अपने अंकन में उस संख्या को उजागर करते हैं जिसके साथ हम काम करेंगे।

2. 5 लें। संख्या 5, 8 से कम है, जिसका अर्थ है कि आपको लाभांश से एक और संख्या लेने की आवश्यकता है। 51, 8 से बड़ा है।यह अपूर्ण भागफल है. हम भागफल में (भाजक के कोने के नीचे) एक बिंदु लगाते हैं।

51 के बाद केवल एक संख्या 2 है। इसका मतलब है कि हम परिणाम में एक और अंक जोड़ते हैं।

3. अब याद आ रहा हैपहाड़ा 8 तक, 51 → 6 x 8 = 48 के निकटतम गुणनफल ज्ञात कीजिए→ संख्या 6 को भागफल में लिखें:

हम 51 के नीचे 48 लिखते हैं (यदि हम भागफल से 6 को भाजक से 8 से गुणा करते हैं, तो हमें 48 मिलता है)।

ध्यान!अपूर्ण भागफल के अंतर्गत लिखते समय अपूर्ण भागफल का सबसे दाहिना अंक ऊपर होना चाहिएसबसे दाहिना अंककाम करता है.

4. बाईं ओर 51 और 48 के बीच हम "-" (माइनस) लगाते हैं।घटाव के नियम के अनुसार घटाएँ कॉलम 48 में और पंक्ति के नीचेआइए परिणाम लिखें।

हालाँकि, यदि घटाव का परिणाम शून्य है, तो इसे लिखने की आवश्यकता नहीं है (जब तक कि घटाव में न हो)यह बिंदु अंतिम क्रिया नहीं है जो विभाजन प्रक्रिया को पूरी तरह से पूरा करती हैस्तंभ)।

शेषफल 3 है। आइए शेषफल की तुलना भाजक से करें। 3, 8 से कम है.

ध्यान!यदि शेषफल भाजक से अधिक है, तो हमने गणना में गलती की है और गुणनफल हैजो हमने लिया था उससे भी अधिक निकट।

5. अब, क्षैतिज रेखा के नीचे वहां स्थित संख्याओं के दाईं ओर (या उस स्थान के दाईं ओर जहां हम नहीं हैं)शून्य लिखना शुरू किया) हम लाभांश के रिकॉर्ड में उसी कॉलम में स्थित संख्या लिखते हैं। मैं फ़िनइस कॉलम में लाभांश प्रविष्टि में कोई संख्या नहीं है, तो कॉलम द्वारा विभाजन यहीं समाप्त होता है।

संख्या 32, 8 से बड़ी है। और फिर, 8 से गुणन तालिका का उपयोग करके, हम निकटतम उत्पाद पाते हैं → 8 x 4 = 32:

शेषफल शून्य था. इसका मतलब है कि संख्याएँ पूरी तरह से विभाजित हैं (शेषफल के बिना)। अगर आखिरी के बादघटाने पर परिणाम शून्य हो जाता है, और कोई अंक नहीं बचता, तो यह शेषफल होता है। हम इसे भागफल में जोड़ते हैंकोष्ठक (जैसे 64(2)).

बहुअंकीय प्राकृत संख्याओं का स्तंभ विभाजन।

एक प्राकृतिक बहु-अंकीय संख्या से विभाजन इसी प्रकार किया जाता है। उसी समय, पहले में"मध्यवर्ती" लाभांश में इतने अधिक उच्च-क्रम वाले अंक शामिल होते हैं कि यह भाजक से बड़ा हो जाता है।

उदाहरण के लिए, 1976 को 26 से विभाजित किया गया।

• सबसे महत्वपूर्ण अंक में संख्या 1 26 से कम है, इसलिए दो अंकों से बनी संख्या पर विचार करें वरिष्ठ रैंक - 19.
• संख्या 19 भी 26 से छोटी है, इसलिए तीन उच्चतम अंकों के अंकों से बनी एक संख्या पर विचार करें - 197।
• संख्या 197, 26 से बड़ी है, 197 दहाई को 26 से विभाजित करें: 197: 26 = 7 (15 दहाई शेष)।
• 15 दहाई को इकाई में बदलें, इकाई अंक में 6 इकाई जोड़ें, हमें 156 प्राप्त होता है।
• 6 प्राप्त करने के लिए 156 को 26 से विभाजित करें।

तो 1976: 26 = 76.

यदि किसी विभाजन चरण पर "मध्यवर्ती" लाभांश भाजक से कम हो जाता है, तो भागफल में0 लिखा जाता है, और इस अंक से संख्या अगले, निचले अंक में स्थानांतरित हो जाती है।

भागफल में दशमलव अंश के साथ विभाजन.

दशमलव ऑनलाइन। अनुवाद दशमलवसामान्य रूप से और साधारण अंशदशमलव तक.

यदि प्राकृत संख्या एक अंकीय प्राकृत संख्या से विभाज्य नहीं है, तो आप जारी रख सकते हैंबिटवाइज़ विभाजन और भागफल में दशमलव अंश प्राप्त करें।

उदाहरण के लिए, 64 को 5 से विभाजित करें.

• 6 दहाई को 5 से विभाजित करने पर हमें 1 दहाई और 1 दहाई शेषफल के रूप में प्राप्त होता है।
• हम शेष दस को इकाइयों में परिवर्तित करते हैं, इकाई श्रेणी से 4 जोड़ते हैं, और 14 प्राप्त करते हैं।
• हम 14 इकाइयों को 5 से विभाजित करते हैं, हमें 2 इकाइयाँ मिलती हैं और शेष 4 इकाइयाँ आती हैं।
• हम 4 इकाइयों को दसवें में बदलते हैं, हमें 40 दसवां हिस्सा मिलता है।
• 8 दसवां भाग प्राप्त करने के लिए 40 दहाई को 5 से विभाजित करें।

तो 64:5 = 12.8

इस प्रकार, यदि विभाजन पर प्राकृतिक संख्याएक प्राकृतिक एकल-अंकीय या बहु-अंकीय संख्या के लिएशेष प्राप्त हो जाता है, तो आप भागफल में अल्पविराम लगा सकते हैं, शेष को निम्नलिखित की इकाइयों में बदल सकते हैं,छोटा अंक और विभाजित करना जारी रखें।