>> पाठ 13. दो अंकों और तीन अंकों की संख्याओं से विभाजन

876 को 24 से विभाजित करें। 800: 20 = 40 की गणना करने से पता चलता है कि उत्तर 40 के करीब की संख्या होनी चाहिए।

एकल-अंकीय संख्या से विभाजन की तरह, हम क्रमिक रूप से बड़ी गिनती इकाइयों को विभाजित करने से छोटी इकाइयों को विभाजित करने की ओर बढ़ेंगे।

सैकड़ों की संख्या 8 एक अंकीय है, इसलिए हम 87 दहाई को 24 से विभाजित करते हैं। आपको 3 दहाई मिलती हैं और अन्य 15 दहाई बचती हैं (87 - 3 24 = 15)। 15 दहाई और 6 इकाई 156 है। और यदि 156 को 24 से विभाजित किया जाए, तो आपको शेषफल के रूप में 6 और 12 प्राप्त होता है (156 - 24 6 = 12)। कुल मिलाकर आपको 3 दहाई और 6 इकाइयाँ मिलती हैं, यानी 36, और शेष 12 होता है। इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

10*. सभी संभव का योग ज्ञात कीजिये दोहरे अंकों की संख्या, जिसके सभी अंक विषम हैं।

पीटरसन ल्यूडमिला जॉर्जीवना। अंक शास्त्र। 4 था ग्रेड। भाग 1. - एम.: युवेंटा पब्लिशिंग हाउस, 2005, - 64 पी.: बीमार।

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स्तम्भ प्रभाग(आप नाम भी पा सकते हैं विभाजनकोने) में एक मानक प्रक्रिया हैअंकगणित, सरल या जटिल बहु-अंकीय संख्याओं को तोड़कर विभाजित करने के लिए डिज़ाइन किया गयाअधिक की श्रृंखला से विभाजित करना सरल कदम. विभाजन की सभी समस्याओं की तरह, एक नंबर पर कॉल किया जाता हैभाज्य, दूसरे में विभाजित है, कहा जाता हैडिवाइडर, एक परिणाम उत्पन्न करना कहा जाता हैनिजी.

कॉलम का उपयोग प्राकृतिक संख्याओं को बिना किसी शेषफल के विभाजित करने के साथ-साथ विभाजन के लिए भी किया जा सकता है प्राकृतिक संख्या शेष के साथ.

कॉलम से विभाजित करते समय लिखने के नियम।

आइए लाभांश, भाजक, सभी मध्यवर्ती गणनाओं और परिणामों को लिखने के नियमों का अध्ययन करके शुरुआत करेंप्राकृतिक संख्याओं को एक कॉलम में विभाजित करना। आइए तुरंत कहें कि लंबा विभाजन लिखना हैचेकर्ड लाइन वाले कागज पर यह सबसे सुविधाजनक है - इस तरह वांछित पंक्ति और कॉलम से भटकने की संभावना कम होती है।

सबसे पहले, लाभांश और विभाजक को बाएं से दाएं एक पंक्ति में लिखा जाता है, उसके बाद लिखा जाता हैसंख्याएँ प्रपत्र के प्रतीक का प्रतिनिधित्व करती हैं.

उदाहरण के लिए, यदि लाभांश 6105 है और भाजक 55 है, तो विभाजित करते समय उनका सही अंकनकॉलम इस प्रकार होगा:

लाभांश, भाजक, भागफल लिखने के स्थानों को दर्शाने वाले निम्नलिखित आरेख को देखें।किसी कॉलम से विभाजित करते समय शेष और मध्यवर्ती गणना:

उपरोक्त चित्र से यह स्पष्ट है कि अभीष्ट भागफल (या अपूर्ण भागफलशेषफल से विभाजित करने पर) होगाक्षैतिज पट्टी के नीचे भाजक के नीचे लिखा है। और मध्यवर्ती गणना नीचे की जाएगीविभाज्य, और आपको पृष्ठ पर स्थान की उपलब्धता के बारे में पहले से ही ध्यान रखना होगा। ऐसे में मार्गदर्शन करना चाहिएनियम: से अधिक अंतरलाभांश और भाजक की प्रविष्टियों में वर्णों की संख्या जितनी अधिक होगीजगह की आवश्यकता होगी.

किसी प्राकृत संख्या का एकल अंकीय प्राकृत संख्या से विभाजन, स्तंभ विभाजन एल्गोरिथ्म.

दीर्घ विभाजन कैसे करें, इसे एक उदाहरण से सबसे अच्छी तरह समझाया गया है।गणना:

512:8=?

सबसे पहले, आइए लाभांश और भाजक को एक कॉलम में लिखें। यह इस तरह दिखेगा:

इनका भागफल (परिणाम) हम भाजक के नीचे लिखेंगे। हमारे लिए यह नंबर 8 है.

1. अपूर्ण भागफल को परिभाषित करें। सबसे पहले हम लाभांश अंकन में बाईं ओर के पहले अंक को देखते हैं।यदि इस आंकड़े द्वारा परिभाषित संख्या भाजक से अधिक है, तो अगला बिंदुहमे काम करना चाहिएइस नंबर के साथ. यदि यह संख्या भाजक से कम है, तो हमें निम्नलिखित को विचार में जोड़ना होगाबायीं ओर लाभांश के अंकन में अंक, और दोनों द्वारा निर्धारित संख्या के साथ आगे काम करेंसंख्या में. सुविधा के लिए, हम अपने अंकन में उस संख्या को उजागर करते हैं जिसके साथ हम काम करेंगे।

2. 5 लीजिए। संख्या 5, 8 से कम है, जिसका अर्थ है कि आपको लाभांश से एक और संख्या लेने की आवश्यकता है। 51, 8 से बड़ा है।यह अपूर्ण भागफल है. हम भागफल में (भाजक के कोने के नीचे) एक बिंदु लगाते हैं।

51 के बाद केवल एक संख्या 2 है। इसका मतलब है कि हम परिणाम में एक और अंक जोड़ते हैं।

3. अब याद आ रहा हैपहाड़ा 8 तक, 51 → 6 x 8 = 48 के निकटतम गुणनफल ज्ञात कीजिए→ संख्या 6 को भागफल में लिखें:

हम 51 के नीचे 48 लिखते हैं (यदि हम भागफल से 6 को भाजक से 8 से गुणा करते हैं, तो हमें 48 मिलता है)।

ध्यान!अपूर्ण भागफल के अंतर्गत लिखते समय अपूर्ण भागफल का सबसे दाहिना अंक ऊपर होना चाहिएसबसे दाहिना अंककाम करता है.

4. बाईं ओर 51 और 48 के बीच हम "-" (माइनस) लगाते हैं।घटाव के नियम के अनुसार घटाएँ कॉलम 48 में और पंक्ति के नीचेआइए परिणाम लिखें।

हालाँकि, यदि घटाव का परिणाम शून्य है, तो इसे लिखने की आवश्यकता नहीं है (जब तक कि घटाव में न हो)यह बिंदु अंतिम क्रिया नहीं है जो विभाजन प्रक्रिया को पूरी तरह से पूरा करती हैस्तंभ)।

शेषफल 3 है। आइए शेषफल की तुलना भाजक से करें। 3, 8 से कम है.

ध्यान!यदि शेषफल भाजक से अधिक है, तो हमने गणना में गलती की है और गुणनफल हैजो हमने लिया था उससे भी अधिक निकट।

5. अब, क्षैतिज रेखा के नीचे वहां स्थित संख्याओं के दाईं ओर (या उस स्थान के दाईं ओर जहां हम नहीं हैं)शून्य लिखना शुरू किया) हम लाभांश के रिकॉर्ड में उसी कॉलम में स्थित संख्या लिखते हैं। मैं फ़िनइस कॉलम में लाभांश प्रविष्टि में कोई संख्या नहीं है, तो कॉलम द्वारा विभाजन यहीं समाप्त होता है।

संख्या 32, 8 से बड़ी है। और फिर, 8 से गुणन तालिका का उपयोग करके, हम निकटतम उत्पाद पाते हैं → 8 x 4 = 32:

शेषफल शून्य था. इसका मतलब है कि संख्याएँ पूरी तरह से विभाजित हैं (शेषफल के बिना)। अगर आखिरी के बादघटाने पर परिणाम शून्य हो जाता है, और कोई अंक नहीं बचता, तो यह शेषफल होता है। हम इसे भागफल में जोड़ते हैंकोष्ठक (जैसे 64(2)).

बहुअंकीय प्राकृत संख्याओं का स्तंभ विभाजन।

बहुअंकीय प्राकृत संख्या से विभाजन इसी प्रकार किया जाता है। उसी समय, पहले में"मध्यवर्ती" लाभांश में इतने उच्च-क्रम वाले अंक शामिल होते हैं कि यह भाजक से बड़ा हो जाता है।

उदाहरण के लिए, 1976 को 26 से विभाजित किया गया।

• सबसे महत्वपूर्ण अंक में संख्या 1 26 से कम है, इसलिए दो अंकों से बनी संख्या पर विचार करें वरिष्ठ रैंक - 19.
• संख्या 19 भी 26 से छोटी है, इसलिए तीन उच्चतम अंकों के अंकों से बनी एक संख्या पर विचार करें - 197।
• संख्या 197, 26 से बड़ी है, 197 दहाई को 26 से विभाजित करें: 197: 26 = 7 (15 दहाई शेष)।
• 15 दहाई को इकाई में बदलें, इकाई अंक से 6 इकाई जोड़ें, हमें 156 प्राप्त होता है।
• 6 प्राप्त करने के लिए 156 को 26 से विभाजित करें।

तो 1976: 26 = 76.

यदि किसी विभाजन चरण पर "मध्यवर्ती" लाभांश प्राप्त होता है भाजक से कम, फिर अकेले में0 लिखा जाता है, और इस अंक से संख्या अगले, निचले अंक में स्थानांतरित हो जाती है।

भागफल में दशमलव अंश के साथ विभाजन.

दशमलव ऑनलाइन। अनुवाद दशमलवनियमित रूप से और साधारण अंशदशमलव तक.

यदि प्राकृत संख्या एक अंकीय प्राकृत संख्या से विभाज्य नहीं है, तो आप जारी रख सकते हैंबिटवाइज़ विभाजन और भागफल में दशमलव अंश प्राप्त करें।

उदाहरण के लिए, 64 को 5 से विभाजित करें.

• हम 6 दहाई को 5 से विभाजित करते हैं, हमें शेषफल के रूप में 1 दहाई और 1 दहाई प्राप्त होता है।
• हम शेष दस को इकाइयों में परिवर्तित करते हैं, इकाई श्रेणी से 4 जोड़ते हैं, और 14 प्राप्त करते हैं।
• हम 14 इकाइयों को 5 से विभाजित करते हैं, हमें 2 इकाइयाँ मिलती हैं और शेष 4 इकाइयाँ आती हैं।
• हम 4 इकाइयों को दसवें में बदलते हैं, हमें 40 दसवां हिस्सा मिलता है।
• 8 दसवां भाग प्राप्त करने के लिए 40 दहाई को 5 से विभाजित करें।

तो 64:5 = 12.8

इस प्रकार, यदि, किसी प्राकृतिक संख्या को प्राकृतिक एकल-अंकीय या बहु-अंकीय संख्या से विभाजित करते समयशेष प्राप्त हो जाता है, तो आप भागफल में अल्पविराम लगा सकते हैं, शेष को निम्नलिखित की इकाइयों में बदल सकते हैं,छोटा अंक और विभाजित करना जारी रखें।

स्तम्भ विभाजन एक अभिन्न अंग है शैक्षणिक सामग्रीजूनियर स्कूल का छात्र. गणित में आगे की सफलता इस बात पर निर्भर करेगी कि वह इस क्रिया को कितनी सही ढंग से करना सीखता है।

नई सामग्री को समझने के लिए बच्चे को ठीक से कैसे तैयार करें?

कॉलम विभाजन एक जटिल प्रक्रिया है जिसके लिए बच्चे से कुछ ज्ञान की आवश्यकता होती है। विभाजन करने के लिए, आपको जल्दी से घटाना, जोड़ना और गुणा करना आना चाहिए और सक्षम होना चाहिए। संख्या अंकों का ज्ञान भी जरूरी है.

इनमें से प्रत्येक क्रिया को स्वचालितता में लाया जाना चाहिए। बच्चे को लंबे समय तक सोचने की ज़रूरत नहीं है, और न केवल पहले दस से, बल्कि कुछ ही सेकंड में सौ के भीतर संख्याओं को घटाने और जोड़ने में भी सक्षम होना चाहिए।

गणितीय संक्रिया के रूप में विभाजन की सही अवधारणा बनाना महत्वपूर्ण है। गुणा और भाग सारणी का अध्ययन करते समय भी, बच्चे को स्पष्ट रूप से समझना चाहिए कि लाभांश एक संख्या है जिसे बराबर भागों में विभाजित किया जाएगा, भाजक इंगित करता है कि संख्या को कितने भागों में विभाजित किया जाना चाहिए, और भागफल ही उत्तर है।

किसी गणितीय ऑपरेशन के एल्गोरिदम को चरण दर चरण कैसे समझाएं?

प्रत्येक गणितीय ऑपरेशन के लिए एक विशिष्ट एल्गोरिदम का कड़ाई से पालन करने की आवश्यकता होती है। दीर्घ विभाजन के उदाहरण इस क्रम में निष्पादित किए जाने चाहिए:

1. उदाहरण को एक कोने में लिखें और लाभांश तथा भाजक के स्थानों का कड़ाई से निरीक्षण करें। पहले चरण में बच्चे को भ्रमित न होने में मदद करने के लिए, हम कह सकते हैं कि हम बाईं ओर लिखते हैं बड़ी संख्या, और दाईं ओर छोटा वाला है।
2. प्रथम श्रेणी के लिए एक भाग का चयन करें. इसे शेषफल के साथ लाभांश से विभाज्य होना चाहिए।
3. गुणन तालिका का उपयोग करके, हम यह निर्धारित करते हैं कि भाजक चयनित भाग में कितनी बार फिट हो सकता है। बच्चे को यह बताना ज़रूरी है कि उत्तर 9 से अधिक नहीं होना चाहिए।
4. परिणामी संख्या को भाजक से गुणा करें और इसे कोने के बाईं ओर लिखें।
5. इसके बाद, आपको लाभांश के हिस्से और परिणामी उत्पाद के बीच अंतर ढूंढना होगा।
6. परिणामी संख्या को पंक्ति के नीचे लिखा जाता है और अगले अंक की संख्या को हटा दिया जाता है। ऐसी क्रियाएं तब तक की जाती हैं जब तक शेषफल 0 न हो जाए।

छात्रों और अभिभावकों के लिए एक स्पष्ट उदाहरण

इस उदाहरण का उपयोग करके कॉलम विभाजन को स्पष्ट रूप से समझाया जा सकता है।

1. एक कॉलम में 2 संख्याएँ लिखें: लाभांश 536 है और भाजक 4 है।
2. विभाजन के लिए पहला भाग 4 से विभाज्य होना चाहिए और भागफल 9 से कम होना चाहिए। इसके लिए संख्या 5 उपयुक्त है।
3. 4 केवल एक बार 5 में फिट बैठता है, इसलिए हम उत्तर में 1 लिखते हैं, और 5 के नीचे 4 लिखते हैं।
4. इसके बाद, घटाव किया जाता है: 5 में से 4 घटाया जाता है और पंक्ति के नीचे 1 लिखा जाता है।
5. अगले अंक की संख्या को एक - 3 में जोड़ा जाता है। तेरह (13) में - 4 को 3 बार फिट किया जाता है। 4x3 = 12. 13वें के नीचे बारह लिखा है, और भागफल के रूप में, अगले अंक की संख्या के रूप में 3 लिखा है।
6. 13 में से 12 घटाया जाता है, उत्तर मिलता है 1. अगले अंक की संख्या फिर से हटा दी जाती है - 6.
7. 16 को फिर से 4 से विभाजित किया गया है। उत्तर को 4 के रूप में लिखा गया है, और विभाजन कॉलम में - 16, और अंतर को 0 के रूप में निकाला गया है।

अपने बच्चे के साथ लंबे विभाजन के उदाहरणों को कई बार हल करके, आप मिडिल स्कूल में समस्याओं को शीघ्रता से पूरा करने में सफलता प्राप्त कर सकते हैं।

विभाजनबहु-अंकीय या बहु-अंकीय संख्याएँ लिखित रूप में प्रस्तुत करना सुविधाजनक होता है एक कॉलम में. आइए जानें कि यह कैसे करना है। आइए एक बहु-अंकीय संख्या को एक-अंकीय संख्या से विभाजित करके प्रारंभ करें, और धीरे-धीरे लाभांश के अंक को बढ़ाएँ।

तो चलिए बंटवारा करते हैं 354 पर 2 . सबसे पहले, आइए इन संख्याओं को चित्र में दिखाए अनुसार रखें:

हम लाभांश को बाईं ओर रखते हैं, भाजक को दाईं ओर, और भागफल को भाजक के नीचे लिखा जाएगा।

अब हम लाभांश को बाएँ से दाएँ बिटवाइज़ विभाजक द्वारा विभाजित करना शुरू करते हैं। हम देखतें है पहला अधूरा लाभांश, इसके लिए हम बाईं ओर का पहला अंक लेते हैं, हमारे मामले 3 में, और इसकी तुलना भाजक से करते हैं।

3 अधिक 2 , मतलब 3 और अधूरा लाभांश है. हम भागफल में एक बिंदु लगाते हैं और निर्धारित करते हैं कि भागफल में और कितने अंक होंगे - वही संख्या जो अपूर्ण लाभांश का चयन करने के बाद लाभांश में बची थी। हमारे मामले में, भागफल में लाभांश के समान अंकों की संख्या होती है, अर्थात, सबसे महत्वपूर्ण अंक सैकड़ों होगा:

के लिए 3 से भाग 2 गुणन सारणी को 2 से याद करें और संख्या ज्ञात करें, 2 से गुणा करने पर हमें सबसे बड़ा गुणनफल मिलता है, जो 3 से कम है।

2 × 1 = 2 (2< 3)

2 × 2 = 4 (4 > 3)

2 कम 3 , ए 4 अधिक, जिसका अर्थ है कि हम पहला उदाहरण और गुणक लेते हैं 1 .

चलो इसे लिख लें 1 पहले बिंदु के स्थान पर भागफल को (सैकड़े के स्थान पर), और प्राप्त उत्पाद को लाभांश के अंतर्गत लिखें:

अब हम पहले अपूर्ण लाभांश और प्राप्त भागफल और भाजक के उत्पाद के बीच अंतर पाते हैं:

परिणामी मान की तुलना भाजक से की जाती है। 15 अधिक 2 , जिसका अर्थ है कि हमें दूसरा अधूरा लाभांश मिला है। विभाजन का परिणाम ज्ञात करने के लिए 15 पर 2 गुणन सारणी को फिर से याद करें 2 और सबसे अच्छा उत्पाद खोजें जो कम हो 15 :

2 × 7 = 14 (14< 15)

2 × 8 = 16 (16 > 15)

आवश्यक गुणक 7 , हम इसे दूसरे बिंदु (दहाई में) के स्थान पर भागफल के रूप में लिखते हैं। हम दूसरे अपूर्ण लाभांश और पाए गए भागफल और भाजक के उत्पाद के बीच अंतर पाते हैं:

हम विभाजन जारी रखते हैं, हम क्यों पाते हैं तीसरा अधूरा लाभांश. हम लाभांश का अगला अंक कम करते हैं:

हम अपूर्ण लाभांश को 2 से विभाजित करते हैं, परिणामी मूल्य को भागफल की इकाइयों की श्रेणी में डालते हैं। आइए विभाजन की शुद्धता की जाँच करें:

2 × 7 = 14

हम तीसरे अपूर्ण लाभांश को भाजक द्वारा भागफल में विभाजित करने के परिणाम को लिखते हैं और अंतर ज्ञात करते हैं:

हमें अंतर शून्य के बराबर मिला, यानी बंटवारा हो गया सही.

आइए कार्य को जटिल बनाएं और एक और उदाहरण दें:

1020 ÷ 5

आइए अपना उदाहरण एक कॉलम में लिखें और पहले अपूर्ण भागफल को परिभाषित करें:

लाभांश का सहस्र स्थान है 1 , भाजक के साथ तुलना करें:

1 < 5

हम अपूर्ण लाभांश में सैकड़ा स्थान जोड़ते हैं और तुलना करते हैं:

10 > 5 - हमें अधूरा लाभांश मिला है।

हम बांटते हैं 10 पर 5 , हम पाते हैं 2 , परिणाम को भागफल में लिखें। अपूर्ण लाभांश और भाजक तथा प्राप्त भागफल को गुणा करने के परिणाम के बीच का अंतर।

10 – 10 = 0

0 हम लिखते नहीं हैं, हम लाभांश का अगला अंक - दहाई का अंक छोड़ देते हैं:

हम दूसरे अपूर्ण लाभांश की तुलना भाजक से करते हैं।

2 < 5

हमें अपूर्ण लाभांश में एक और अंक जोड़ना चाहिए; इसके लिए हम भागफल को दहाई के अंक में डालते हैं 0 :

20 ÷ 5 = 4

हम उत्तर को भागफल की इकाइयों की श्रेणी में लिखते हैं और जांचते हैं: हम उत्पाद को दूसरे अपूर्ण लाभांश के तहत लिखते हैं और अंतर की गणना करते हैं। हम पाते हैं 0 , मतलब उदाहरण सही ढंग से हल किया गया.

और एक कॉलम में विभाजित करने के 2 और नियम:

1. यदि लाभांश और भाजक के निम्न-क्रम अंकों में शून्य हैं, तो विभाजित करने से पहले उन्हें कम किया जा सकता है, उदाहरण के लिए:

हम लाभांश के निम्न-क्रम अंक में जितने शून्य हटाते हैं, हम भाजक के निम्न-क्रम अंक में भी उतनी ही संख्या में शून्य हटाते हैं।

2. यदि भाग के बाद लाभांश में शून्य शेष रह जाए तो उन्हें भागफल में स्थानांतरित कर देना चाहिए:

तो, आइए एक कॉलम में विभाजित करते समय क्रियाओं का क्रम तैयार करें।

1. लाभांश को बाईं ओर और भाजक को दाईं ओर रखें। हमें याद है कि हम अधूरे लाभांश को थोड़ा-थोड़ा करके अलग करके और उन्हें विभाजक द्वारा क्रमिक रूप से विभाजित करके विभाजित करते हैं। अपूर्ण लाभांश में अंक बाएँ से दाएँ उच्च से निम्न की ओर आवंटित किए जाते हैं।
2. यदि लाभांश और भाजक के निचले अंकों में शून्य है, तो विभाजित करने से पहले उन्हें कम किया जा सकता है।
3. हम पहला अपूर्ण भाजक निर्धारित करते हैं:

ए)अपूर्ण भाजक में लाभांश का उच्चतम अंक चुनें;

बी)अपूर्ण लाभांश की तुलना भाजक से करें, यदि भाजक बड़ा है, तो बिंदु पर जाएँ (वी), यदि कम है, तो हमें अधूरा लाभांश मिला है और हम बिंदु पर आगे बढ़ सकते हैं 4 ;

वी)अपूर्ण लाभांश में अगला अंक जोड़ें और बिंदु पर जाएँ (बी).

1. हम यह निर्धारित करते हैं कि भागफल में कितने अंक होंगे, और भागफल के स्थान पर (भाजक के नीचे) उतने ही बिंदु लगा देते हैं जितने उसमें अंक होंगे। संपूर्ण प्रथम अपूर्ण लाभांश के लिए एक अंक (एक अंक) और शेष अंक (अंक) अपूर्ण लाभांश का चयन करने के बाद लाभांश में बचे अंकों की संख्या के समान होते हैं।
2. ऐसा करने के लिए हम अपूर्ण लाभांश को भाजक से विभाजित करते हैं, हमें एक संख्या मिलती है, जिसे भाजक से गुणा करने पर, अपूर्ण लाभांश के बराबर या उससे कम संख्या प्राप्त होगी।
3. हम प्राप्त संख्या को अगले भागफल अंक (बिंदु) के स्थान पर लिखते हैं और इसे भाजक से गुणा करने के परिणाम को अपूर्ण लाभांश के अंतर्गत लिखते हैं और उनका अंतर ज्ञात करते हैं।
4. यदि पाया गया अंतर अपूर्ण लाभांश से कम या उसके बराबर है, तो हमने विभाजक द्वारा अपूर्ण लाभांश को सही ढंग से विभाजित किया है।
5. यदि लाभांश में अभी भी अंक बचे हैं, तो हम विभाजन जारी रखते हैं, अन्यथा हम बिंदु पर जाते हैं 10 .
6. हम लाभांश के अगले अंक को अंतर से कम करते हैं और अगला अधूरा लाभांश प्राप्त करते हैं:

ए) अपूर्ण लाभांश की तुलना भाजक से करें, यदि भाजक बड़ा है, तो बिंदु (बी) पर जाएं, यदि कम है, तो हमें अपूर्ण लाभांश मिल गया है और हम बिंदु 4 पर आगे बढ़ सकते हैं;

ख) अपूर्ण लाभांश में लाभांश का अगला अंक जोड़ें, और भागफल में अगले अंक (बिंदु) के स्थान पर 0 लिखें;

ग) बिंदु (ए) पर जाएं।

10. यदि हमने बिना किसी शेषफल के विभाजन किया और पाया गया अंतिम अंतर बराबर है 0 , फिर हम विभाजन सही ढंग से किया.

हमने एक बहु-अंकीय संख्या को एक-अंकीय संख्या से विभाजित करने के बारे में बात की। ऐसे मामले में जहां विभाजक बड़ा है, विभाजन उसी तरह किया जाता है:

प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन, विशेषकर बहु-अंकीय संख्याओं का, एक विशेष विधि द्वारा आसानी से किया जाता है, जिसे कहा जाता है एक कॉलम द्वारा विभाजन (एक कॉलम में). आप नाम भी पा सकते हैं कोने का विभाजन. आइए तुरंत ध्यान दें कि कॉलम का उपयोग प्राकृतिक संख्याओं को बिना किसी शेषफल के विभाजित करने और प्राकृतिक संख्याओं को शेषफल से विभाजित करने दोनों के लिए किया जा सकता है।

इस लेख में हम देखेंगे कि विभाजन कितने समय तक किया जाता है। यहां हम रिकॉर्डिंग नियमों और सभी मध्यवर्ती गणनाओं के बारे में बात करेंगे। सबसे पहले, आइए एक बहु-अंकीय प्राकृतिक संख्या को एक कॉलम वाली एकल-अंकीय संख्या से विभाजित करने पर ध्यान केंद्रित करें। इसके बाद, हम उन मामलों पर ध्यान केंद्रित करेंगे जहां लाभांश और भाजक दोनों बहु-मूल्यवान प्राकृतिक संख्याएं हैं। इस लेख का संपूर्ण सिद्धांत समाधान और चित्रों की विस्तृत व्याख्या के साथ प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा विभाजन के विशिष्ट उदाहरण प्रदान किया गया है।

पेज नेविगेशन.

किसी कॉलम से विभाजित करते समय रिकॉर्डिंग के नियम

आइए प्राकृतिक संख्याओं को एक कॉलम से विभाजित करते समय लाभांश, भाजक, सभी मध्यवर्ती गणनाओं और परिणामों को लिखने के नियमों का अध्ययन करके शुरुआत करें। आइए तुरंत कहें कि एक चेकर लाइन के साथ कागज पर लिखित रूप में कॉलम विभाजन करना सबसे सुविधाजनक है - इस तरह वांछित पंक्ति और कॉलम से भटकने की संभावना कम है।

सबसे पहले, लाभांश और भाजक को बाएं से दाएं एक पंक्ति में लिखा जाता है, जिसके बाद लिखित संख्याओं के बीच फॉर्म का एक प्रतीक खींचा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि लाभांश संख्या 6 105 है और भाजक 5 5 है, तो एक कॉलम में विभाजित करते समय उनकी सही रिकॉर्डिंग इस प्रकार होगी:

दीर्घ विभाजन में लाभांश, भाजक, भागफल, शेषफल और मध्यवर्ती गणनाएँ कहाँ लिखनी हैं, यह स्पष्ट करने के लिए निम्नलिखित चित्र देखें।

उपरोक्त चित्र से यह स्पष्ट है कि आवश्यक भागफल (या शेषफल से विभाजित करने पर अपूर्ण भागफल) क्षैतिज रेखा के नीचे भाजक के नीचे लिखा जाएगा। और मध्यवर्ती गणना लाभांश के नीचे की जाएगी, और आपको पृष्ठ पर स्थान की उपलब्धता के बारे में पहले से ध्यान रखना होगा। इस मामले में, आपको नियम द्वारा निर्देशित किया जाना चाहिए: लाभांश और विभाजक की प्रविष्टियों में वर्णों की संख्या में जितना अधिक अंतर होगा, उतनी ही अधिक जगह की आवश्यकता होगी। उदाहरण के लिए, किसी कॉलम द्वारा प्राकृतिक संख्या 614,808 को 51,234 से विभाजित करते समय (614,808 छह अंकों की संख्या है, 51,234 पांच अंकों की संख्या है, रिकॉर्ड में वर्णों की संख्या में अंतर 6−5 = 1 है), मध्यवर्ती गणनाओं के लिए संख्या 8 058 और 4 को विभाजित करने की तुलना में कम स्थान की आवश्यकता होगी (यहां वर्णों की संख्या में अंतर 4−1=3 है)। अपने शब्दों की पुष्टि के लिए, हम इन प्राकृतिक संख्याओं के एक कॉलम द्वारा विभाजन का पूरा रिकॉर्ड प्रस्तुत करते हैं:

अब आप प्राकृतिक संख्याओं को एक कॉलम से विभाजित करने की प्रक्रिया पर सीधे आगे बढ़ सकते हैं।

एकल-अंकीय प्राकृतिक संख्या द्वारा किसी प्राकृतिक संख्या का स्तंभ विभाजन, स्तंभ विभाजन एल्गोरिथ्म

यह स्पष्ट है कि एक एकल-अंकीय प्राकृतिक संख्या को दूसरे से विभाजित करना काफी सरल है, और इन संख्याओं को एक कॉलम में विभाजित करने का कोई कारण नहीं है। हालाँकि, इन सरल उदाहरणों के साथ अपने प्रारंभिक दीर्घ विभाजन कौशल का अभ्यास करना सहायक होगा।

उदाहरण।

आइए हमें 8 बटा 2 के कॉलम से भाग देना होगा।

समाधान।

बेशक, हम गुणन सारणी का उपयोग करके भाग कर सकते हैं, और तुरंत उत्तर 8:2=4 लिख सकते हैं।

लेकिन हम इस बात में रुचि रखते हैं कि इन संख्याओं को एक कॉलम से कैसे विभाजित किया जाए।

सबसे पहले, हम विधि के अनुसार लाभांश 8 और भाजक 2 लिखते हैं:

अब हम यह पता लगाना शुरू करते हैं कि लाभांश में भाजक कितनी बार समाहित होता है। ऐसा करने के लिए, हम विभाजक को क्रमिक रूप से संख्याओं 0, 1, 2, 3, ... से गुणा करते हैं जब तक कि परिणाम लाभांश के बराबर संख्या न हो (या लाभांश से बड़ी संख्या, यदि शेषफल के साथ विभाजन हो ). यदि हमें लाभांश के बराबर कोई संख्या मिलती है तो हम तुरंत उसे लाभांश के नीचे लिख देते हैं और भागफल के स्थान पर वह संख्या लिख ​​देते हैं जिससे हमने भाजक को गुणा किया था। यदि हमें लाभांश से अधिक संख्या प्राप्त होती है, तो भाजक के नीचे हम अंतिम चरण पर गणना की गई संख्या लिखते हैं, और अपूर्ण भागफल के स्थान पर हम वह संख्या लिखते हैं जिससे अंतिम चरण में भाजक को गुणा किया गया था।

चलो चलें: 2·0=0 ; 2·1=2 ; 2·2=4 ; 2·3=6 ; 2·4=8. हमें लाभांश के बराबर एक संख्या प्राप्त हुई है, इसलिए हम इसे लाभांश के नीचे लिखते हैं, और भागफल के स्थान पर हम संख्या 4 लिखते हैं। इस स्थिति में, प्रविष्टि स्वीकार की जाएगी अगला दृश्य:

एकल-अंकीय प्राकृत संख्याओं को एक कॉलम से विभाजित करने का अंतिम चरण बाकी है। लाभांश के नीचे लिखी संख्या के नीचे आपको एक क्षैतिज रेखा खींचनी है और इस रेखा के ऊपर की संख्याओं को उसी तरह घटाना है जैसे किसी कॉलम में प्राकृतिक संख्याओं को घटाते समय किया जाता है। घटाने के बाद परिणामी संख्या भाग का शेषफल होगी। यदि यह शून्य के बराबर है, तो मूल संख्याएँ बिना किसी शेषफल के विभाजित हो जाती हैं।

हमारे उदाहरण में हमें मिलता है

अब हमारे सामने संख्या 8 के स्तम्भ विभाजन की पूरी रिकॉर्डिंग है। हम देखते हैं कि 8:2 का भागफल 4 है (और शेषफल 0 है)।

उत्तर:

8:2=4 .

अब आइए देखें कि एक कॉलम एकल-अंकीय प्राकृतिक संख्याओं को शेषफल के साथ कैसे विभाजित करता है।

उदाहरण।

एक कॉलम का उपयोग करके 7 को 3 से विभाजित करें।

समाधान।

प्रारंभिक चरण में, प्रविष्टि इस प्रकार दिखती है:

हम यह पता लगाना शुरू करते हैं कि लाभांश में भाजक कितनी बार शामिल है। हम 3 को 0, 1, 2, 3 आदि से गुणा करेंगे। जब तक हमें लाभांश 7 के बराबर या उससे अधिक संख्या न मिल जाए। हमें 3·0=0 मिलता है<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (यदि आवश्यक हो, तो प्राकृतिक संख्याओं की तुलना करने वाला लेख देखें)। लाभांश के अंतर्गत हम संख्या 6 लिखते हैं (यह अंतिम चरण पर प्राप्त किया गया था), और अपूर्ण भागफल के स्थान पर हम संख्या 2 लिखते हैं (अंतिम चरण पर इसके द्वारा गुणन किया गया था)।

यह घटाव करना बाकी है, और एकल-अंकीय प्राकृतिक संख्या 7 और 3 के एक कॉलम द्वारा विभाजन पूरा हो जाएगा।

इस प्रकार, आंशिक भागफल 2 है और शेषफल 1 है।

उत्तर:

7:3=2 (बाकी 1) .

अब आप बहु-अंकीय प्राकृतिक संख्याओं को स्तंभों द्वारा एकल-अंकीय प्राकृतिक संख्याओं में विभाजित करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

अब हम इसका पता लगाएंगे दीर्घ विभाजन एल्गोरिथ्म. प्रत्येक चरण में, हम बहु-अंकीय प्राकृत संख्या 140,288 को एकल-अंकीय प्राकृत संख्या 4 से विभाजित करके प्राप्त परिणाम प्रस्तुत करेंगे। यह उदाहरण संयोग से नहीं चुना गया था, क्योंकि इसे हल करते समय हम सभी संभावित बारीकियों का सामना करेंगे और उनका विस्तार से विश्लेषण करने में सक्षम होंगे।

सबसे पहले हम लाभांश अंकन में बाईं ओर के पहले अंक को देखते हैं। यदि इस आंकड़े द्वारा परिभाषित संख्या भाजक से बड़ी है, तो अगले पैराग्राफ में हमें इस संख्या के साथ काम करना होगा। यदि यह संख्या भाजक से कम है, तो हमें लाभांश के अंकन में बाईं ओर अगले अंक को विचार में जोड़ना होगा, और विचाराधीन दो अंकों द्वारा निर्धारित संख्या के साथ काम करना जारी रखना होगा। सुविधा के लिए, हम अपने अंकन में उस संख्या को उजागर करते हैं जिसके साथ हम काम करेंगे।

लाभांश 140288 के अंकन में बायीं ओर से पहला अंक अंक 1 है। संख्या 1 भाजक 4 से कम है, इसलिए हम लाभांश के अंकन में बाईं ओर अगले अंक को भी देखते हैं। वहीं, हमें 14 नंबर नजर आता है, जिसके साथ हमें आगे काम करना है। हम लाभांश के अंकन में इस संख्या को उजागर करते हैं।

दूसरे से चौथे तक निम्नलिखित चरणों को चक्रीय रूप से दोहराया जाता है जब तक कि एक कॉलम द्वारा प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन पूरा नहीं हो जाता।

अब हमें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि जिस संख्या के साथ हम काम कर रहे हैं उसमें भाजक कितनी बार समाहित है (सुविधा के लिए, आइए इस संख्या को x के रूप में निरूपित करें)। ऐसा करने के लिए, हम विभाजक को क्रमिक रूप से 0, 1, 2, 3, ... से गुणा करते हैं जब तक कि हमें संख्या x या x से बड़ी संख्या नहीं मिल जाती। जब संख्या x प्राप्त होती है, तो हम इसे किसी कॉलम में प्राकृतिक संख्याओं को घटाते समय उपयोग किए जाने वाले रिकॉर्डिंग नियमों के अनुसार हाइलाइट की गई संख्या के नीचे लिखते हैं। जिस संख्या से गुणा किया गया था वह संख्या एल्गोरिथम के पहले पास के दौरान भागफल के स्थान पर लिखी जाती है (एल्गोरिदम के 2-4 बिंदुओं के बाद के पास में, यह संख्या पहले से मौजूद संख्याओं के दाईं ओर लिखी जाती है)। जब हमें कोई संख्या मिलती है जो संख्या x से बड़ी है, तो हाइलाइट की गई संख्या के नीचे हम अंतिम चरण में प्राप्त संख्या लिखते हैं, और भागफल के स्थान पर (या पहले से मौजूद संख्याओं के दाईं ओर) हम संख्या लिखते हैं जिसका गुणन अंतिम चरण में किया गया था। (हमने ऊपर चर्चा किए गए दो उदाहरणों में समान कार्य किए)।

भाजक 4 को संख्याओं 0, 1, 2, ... से गुणा करें जब तक हमें एक ऐसी संख्या न मिल जाए जो 14 के बराबर या 14 से अधिक हो। हमारे पास 4·0=0 है<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>14 . चूँकि अंतिम चरण में हमें संख्या 16 प्राप्त हुई, जो 14 से बड़ी है, तो हाइलाइट की गई संख्या के नीचे हम संख्या 12 लिखते हैं, जो अंतिम चरण में प्राप्त हुई थी, और भागफल के स्थान पर हम संख्या 3 लिखते हैं, क्योंकि में अंतिम बिंदु से गुणन सटीक रूप से इसके द्वारा किया गया था।


इस स्तर पर, चयनित संख्या में से, एक कॉलम का उपयोग करके उसके नीचे स्थित संख्या को घटा दें। घटाव का परिणाम क्षैतिज रेखा के नीचे लिखा जाता है। हालाँकि, यदि घटाव का परिणाम शून्य है, तो इसे लिखने की आवश्यकता नहीं है (जब तक कि उस बिंदु पर घटाव अंतिम क्रिया नहीं है जो लंबे विभाजन की प्रक्रिया को पूरी तरह से पूरा करती है)। यहां, अपने नियंत्रण के लिए, घटाव के परिणाम की तुलना भाजक से करना और यह सुनिश्चित करना अतिश्योक्ति नहीं होगी कि यह भाजक से कम है। नहीं तो कहीं न कहीं गलती हो गयी.

हमें एक कॉलम के साथ संख्या 14 में से संख्या 12 को घटाना होगा (रिकॉर्डिंग की शुद्धता के लिए, हमें घटाई जाने वाली संख्याओं के बाईं ओर ऋण चिह्न लगाना याद रखना चाहिए)। इस क्रिया को पूरा करने के बाद, संख्या 2 क्षैतिज रेखा के नीचे दिखाई दी। अब हम विभाजक के साथ परिणामी संख्या की तुलना करके अपनी गणना की जाँच करते हैं। चूँकि संख्या 2 भाजक 4 से कम है, आप सुरक्षित रूप से अगले बिंदु पर जा सकते हैं।


अब, वहां स्थित संख्याओं के दाईं ओर क्षैतिज रेखा के नीचे (या उस स्थान के दाईं ओर जहां हमने शून्य नहीं लिखा था), हम लाभांश के अंकन में उसी कॉलम में स्थित संख्या लिखते हैं। यदि इस कॉलम में लाभांश के रिकॉर्ड में कोई संख्या नहीं है, तो कॉलम द्वारा विभाजन वहीं समाप्त हो जाता है। इसके बाद हम क्षैतिज रेखा के नीचे बनी संख्या को चुनते हैं, उसे कार्यशील संख्या के रूप में स्वीकार करते हैं और उसके साथ एल्गोरिदम के बिंदु 2 से 4 को दोहराते हैं।

पहले से मौजूद संख्या 2 के दाईं ओर क्षैतिज रेखा के नीचे, हम संख्या 0 लिखते हैं, क्योंकि यह संख्या 0 है जो इस कॉलम में लाभांश 140,288 के रिकॉर्ड में है। इस प्रकार क्षैतिज रेखा के नीचे संख्या 20 बनती है।


हम इस संख्या 20 का चयन करते हैं, इसे एक कार्यशील संख्या के रूप में लेते हैं, और इसके साथ एल्गोरिथ्म के दूसरे, तीसरे और चौथे बिंदुओं की क्रियाओं को दोहराते हैं।

भाजक 4 को 0, 1, 2, ... से गुणा करें जब तक कि हमें संख्या 20 या 20 से बड़ी संख्या न मिल जाए। हमारे पास 4·0=0 है<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


हम एक कॉलम में घटाव करते हैं। चूँकि हम समान प्राकृत संख्याओं को घटा रहे हैं, तो समान प्राकृत संख्याओं को घटाने के गुण के कारण परिणाम शून्य है। हम शून्य को नहीं लिखते हैं (क्योंकि यह किसी कॉलम से विभाजन का अंतिम चरण नहीं है), लेकिन हम उस स्थान को याद रखते हैं जहां हम इसे लिख सकते हैं (सुविधा के लिए, हम इस स्थान को एक काले आयत से चिह्नित करेंगे)।


याद किए गए स्थान के दाईं ओर क्षैतिज रेखा के नीचे हम संख्या 2 लिखते हैं, क्योंकि यह वही है जो इस कॉलम में लाभांश 140,288 के रिकॉर्ड में है। इस प्रकार, क्षैतिज रेखा के नीचे हमारे पास संख्या 2 है।


हम संख्या 2 को कार्यशील संख्या के रूप में लेते हैं, इसे चिह्नित करते हैं, और हमें एक बार फिर एल्गोरिदम के 2-4 बिंदुओं की क्रियाएं करनी होंगी।

हम भाजक को 0, 1, 2 इत्यादि से गुणा करते हैं, और परिणामी संख्याओं की तुलना अंकित संख्या 2 से करते हैं। हमारे पास 4·0=0 है<2 , 4·1=4>2. इसलिए, चिह्नित संख्या के नीचे हम संख्या 0 लिखते हैं (यह अंतिम चरण में प्राप्त किया गया था), और पहले से मौजूद संख्या के दाईं ओर भागफल के स्थान पर हम संख्या 0 लिखते हैं (हमने अंतिम चरण में 0 से गुणा किया है) ).


हम एक कॉलम में घटाव करते हैं, हमें क्षैतिज रेखा के नीचे संख्या 2 मिलती है। हम विभाजक 4 के साथ परिणामी संख्या की तुलना करके स्वयं की जाँच करते हैं। 2 से<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


संख्या 2 के दाईं ओर क्षैतिज रेखा के नीचे, संख्या 8 जोड़ें (क्योंकि यह लाभांश 140 288 की प्रविष्टि में इस कॉलम में है)। इस प्रकार, संख्या 28 क्षैतिज रेखा के नीचे दिखाई देती है।


हम इस संख्या को एक कार्यशील संख्या के रूप में लेते हैं, इसे चिह्नित करते हैं, और चरण 2-4 दोहराते हैं।

यदि आप अब तक सावधान रहे हैं तो यहां कोई समस्या नहीं होनी चाहिए। सभी आवश्यक चरणों को पूरा करने के बाद, निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होता है।

जो कुछ बचा है वह आखिरी बार बिंदु 2, 3, 4 से चरणों को पूरा करना है (हम इसे आप पर छोड़ते हैं), जिसके बाद आपको प्राकृतिक संख्याओं 140,288 और 4 को एक कॉलम में विभाजित करने की पूरी तस्वीर मिल जाएगी:

कृपया ध्यान दें कि अंक 0 सबसे नीचे वाली पंक्ति में लिखा है। यदि यह किसी कॉलम द्वारा विभाजन का अंतिम चरण नहीं होता (अर्थात, यदि लाभांश के रिकॉर्ड में दाईं ओर के कॉलम में संख्याएँ शेष होतीं), तो हम यह शून्य नहीं लिखते।

इस प्रकार, बहु-अंकीय प्राकृत संख्या 140,288 को एकल-अंकीय प्राकृत संख्या 4 से विभाजित करने के पूर्ण रिकॉर्ड को देखने पर, हम देखते हैं कि भागफल संख्या 35,072 है (और विभाजन का शेष शून्य है, यह सबसे नीचे है) रेखा)।

बेशक, प्राकृतिक संख्याओं को एक कॉलम से विभाजित करते समय, आप अपने सभी कार्यों का इतने विस्तार से वर्णन नहीं करेंगे। आपके समाधान कुछ-कुछ निम्नलिखित उदाहरणों की तरह दिखेंगे।

उदाहरण।

यदि लाभांश 7136 है और भाजक एक अंक वाली प्राकृत संख्या 9 है तो दीर्घ विभाजन करें।

समाधान।

प्राकृतिक संख्याओं को स्तंभों से विभाजित करने के एल्गोरिदम के पहले चरण में, हमें प्रपत्र का एक रिकॉर्ड मिलता है

एल्गोरिथम के दूसरे, तीसरे और चौथे बिंदु से क्रियाएं करने के बाद, कॉलम डिवीजन रिकॉर्ड फॉर्म ले लेगा

चक्र को दोहराते हुए, हमारे पास होगा

एक और पास हमें प्राकृत संख्याओं 7,136 और 9 के स्तंभ विभाजन की पूरी तस्वीर देगा

इस प्रकार, आंशिक भागफल 792 है, और शेषफल 8 है।

उत्तर:

7 136:9=792 (शेष 8) .

और यह उदाहरण दर्शाता है कि लंबा विभाजन कैसा दिखना चाहिए।

उदाहरण।

प्राकृत संख्या 7,042,035 को एकल अंकीय प्राकृत संख्या 7 से विभाजित करें।

समाधान।

विभाजन करने का सबसे सुविधाजनक तरीका कॉलम द्वारा है।

उत्तर:

7 042 035:7=1 006 005 .

बहुअंकीय प्राकृत संख्याओं का स्तंभ विभाजन

हम आपको खुश करने की जल्दी में हैं: यदि आपने इस लेख के पिछले पैराग्राफ से कॉलम डिवीजन एल्गोरिदम में पूरी तरह से महारत हासिल कर ली है, तो आप लगभग पहले से ही जानते हैं कि कैसे प्रदर्शन करना है बहु-अंकीय प्राकृतिक संख्याओं का स्तंभ विभाजन. यह सत्य है, क्योंकि एल्गोरिथम के चरण 2 से 4 अपरिवर्तित रहते हैं, और पहले बिंदु में केवल मामूली परिवर्तन दिखाई देते हैं।

बहु-अंकीय प्राकृतिक संख्याओं को एक कॉलम में विभाजित करने के पहले चरण में, आपको लाभांश के अंकन में बाईं ओर के पहले अंक को नहीं, बल्कि अंकन में निहित अंकों की संख्या के बराबर उनकी संख्या को देखना होगा। भाजक का. यदि इन संख्याओं द्वारा परिभाषित संख्या भाजक से बड़ी है, तो अगले पैराग्राफ में हमें इस संख्या के साथ काम करना होगा। यदि यह संख्या भाजक से कम है, तो हमें लाभांश के अंकन में बाईं ओर के अगले अंक को विचार में जोड़ना होगा। इसके बाद, अंतिम परिणाम प्राप्त होने तक एल्गोरिदम के पैराग्राफ 2, 3 और 4 में निर्दिष्ट क्रियाएं की जाती हैं।

उदाहरणों को हल करते समय व्यवहार में बहु-मूल्यवान प्राकृतिक संख्याओं के लिए कॉलम डिवीजन एल्गोरिदम के अनुप्रयोग को देखना बाकी है।

उदाहरण।

आइए बहु-अंकीय प्राकृत संख्याओं 5,562 और 206 का स्तंभ विभाजन करें।

समाधान।

चूँकि भाजक 206 में 3 अंक होते हैं, हम लाभांश 5,562 में बाईं ओर पहले 3 अंक देखते हैं। ये संख्याएँ संख्या 556 से मेल खाती हैं। चूँकि 556 भाजक 206 से बड़ा है, हम संख्या 556 को एक कार्यशील संख्या के रूप में लेते हैं, इसे चुनते हैं, और एल्गोरिथम के अगले चरण पर आगे बढ़ते हैं।

अब हम भाजक 206 को संख्याओं 0, 1, 2, 3, ... से गुणा करते हैं जब तक कि हमें एक ऐसी संख्या नहीं मिल जाती जो या तो 556 के बराबर हो या 556 से बड़ी हो। हमारे पास है (यदि गुणा करना कठिन है, तो एक कॉलम में प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करना बेहतर है): 206 0 = 0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556. चूँकि हमें एक संख्या प्राप्त हुई जो संख्या 556 से बड़ी है, तो हाइलाइट की गई संख्या के तहत हम संख्या 412 लिखते हैं (यह अंतिम चरण में प्राप्त हुई थी), और भागफल के स्थान पर हम संख्या 2 लिखते हैं (क्योंकि हमने इसे गुणा किया है) अंतिम चरण पर)। स्तंभ विभाजन प्रविष्टि निम्नलिखित रूप लेती है:

हम स्तंभ घटाव करते हैं. हमें अंतर 144 मिलता है, यह संख्या भाजक से कम है, इसलिए आप सुरक्षित रूप से आवश्यक क्रियाएं करना जारी रख सकते हैं।

संख्या के दाईं ओर क्षैतिज रेखा के नीचे हम संख्या 2 लिखते हैं, क्योंकि यह इस कॉलम में लाभांश 5562 के रिकॉर्ड में है:

अब हम संख्या 1,442 के साथ काम करते हैं, इसे चुनते हैं, और चरण दो से चार तक फिर से चलते हैं।

भाजक 206 को 0, 1, 2, 3, ... से गुणा करें जब तक कि आपको संख्या 1442 या ऐसी संख्या न मिल जाए जो 1442 से बड़ी हो। चलिए: 206·0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

हम एक कॉलम में घटाव करते हैं, हमें शून्य मिलता है, लेकिन हम इसे तुरंत नहीं लिखते हैं, हम बस इसकी स्थिति को याद रखते हैं, क्योंकि हम नहीं जानते कि विभाजन यहीं समाप्त होता है या नहीं, या हमें दोहराना होगा या नहीं एल्गोरिथ्म के चरण फिर से:

अब हम देखते हैं कि हम याद किए गए स्थान के दाईं ओर क्षैतिज रेखा के नीचे कोई संख्या नहीं लिख सकते, क्योंकि इस कॉलम में लाभांश के रिकॉर्ड में कोई अंक नहीं हैं। इसलिए, यह कॉलम द्वारा विभाजन को पूरा करता है, और हम प्रविष्टि को पूरा करते हैं:

• अंक शास्त्र। सामान्य शिक्षा संस्थानों की पहली, दूसरी, तीसरी, चौथी कक्षा के लिए कोई भी पाठ्यपुस्तकें।
• अंक शास्त्र। सामान्य शिक्षा संस्थानों की 5वीं कक्षा के लिए कोई पाठ्यपुस्तक।