दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य सीधे तौर पर उन संख्याओं के सबसे बड़े समापवर्तक से संबंधित होता है। यह जीसीडी और एनओसी के बीच संबंधनिम्नलिखित प्रमेय द्वारा निर्धारित किया जाता है।

प्रमेय.

दो धनात्मक पूर्णांकों a और b का लघुत्तम समापवर्तक a और b के सबसे बड़े उभयनिष्ठ विभाजक द्वारा विभाजित a और b के गुणनफल के बराबर है, अर्थात, एलसीएम(ए, बी)=ए बी:जीसीडी(ए, बी).

सबूत।

होने देना M, संख्याओं a और b का कुछ गुणज है। अर्थात्, M, a से विभाज्य है, और विभाज्यता की परिभाषा के अनुसार, कुछ पूर्णांक k है जैसे कि समानता M=a·k सत्य है। लेकिन M, b से भी विभाज्य है, तो a·k, b से विभाज्य है।

आइए gcd(a, b) को d के रूप में निरूपित करें। तब हम समानताएँ a=a 1 ·d और b=b 1·d लिख सकते हैं, और a 1 =a:d और b 1 =b:d अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ होंगी। नतीजतन, पिछले पैराग्राफ में प्राप्त शर्त कि a · k, b से विभाज्य है, को निम्नानुसार पुनर्निर्मित किया जा सकता है: a 1 · d · k को b 1 · d से विभाजित किया गया है, और यह, विभाज्यता गुणों के कारण, स्थिति के बराबर है कि a 1 · k, b 1 से विभाज्य है।

आपको विचारित प्रमेय से दो महत्वपूर्ण परिणाम भी लिखने होंगे।

दो संख्याओं के सामान्य गुणज उनके लघुत्तम समापवर्त्य के गुणजों के समान होते हैं।

यह वास्तव में मामला है, क्योंकि संख्याओं ए और बी के एम के किसी भी सामान्य गुणक को कुछ पूर्णांक मान टी के लिए समानता एम = एलएमके (ए, बी)·टी द्वारा निर्धारित किया जाता है।

सहअभाज्य का लघुत्तम समापवर्त्य सकारात्मक संख्याए और बी उनके उत्पाद के बराबर हैं।

इस तथ्य का तर्क बिल्कुल स्पष्ट है। चूँकि a और b अपेक्षाकृत अभाज्य हैं, तो gcd(a, b)=1, इसलिए, GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने को क्रमिक रूप से दो संख्याओं का LCM ज्ञात करने तक कम किया जा सकता है। यह कैसे किया जाता है यह निम्नलिखित प्रमेय में दर्शाया गया है। और चूँकि संख्या m k का सबसे छोटा धनात्मक गुणज संख्या m k ही है, तो संख्याओं a 1, a 2, ..., a k का सबसे छोटा सामान्य गुणज m k है।

ग्रंथ सूची.

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एलसीएम (न्यूनतम समापवर्त्य) कैसे ज्ञात करें

दो पूर्णांकों का एक सामान्य गुणज एक पूर्णांक होता है जो बिना कोई शेष छोड़े दोनों दी गई संख्याओं से विभाज्य होता है।

दो पूर्णांकों का लघुत्तम समापवर्त्य सभी पूर्णांकों में सबसे छोटा होता है जो बिना कोई शेष छोड़े दोनों दी गई संख्याओं से विभाज्य होता है।

विधि 1. आप दी गई प्रत्येक संख्या के लिए एलसीएम पा सकते हैं, उन सभी संख्याओं को आरोही क्रम में लिखकर, जो उन्हें 1, 2, 3, 4, इत्यादि से गुणा करके प्राप्त की जाती हैं।

उदाहरणसंख्या 6 और 9 के लिए.
हम संख्या 6 को क्रमिक रूप से 1, 2, 3, 4, 5 से गुणा करते हैं।
हमें मिलता है: 6, 12, 18 , 24, 30
हम संख्या 9 को क्रमिक रूप से 1, 2, 3, 4, 5 से गुणा करते हैं।
हमें मिलता है: 9, 18 , 27, 36, 45
जैसा कि आप देख सकते हैं, संख्या 6 और 9 का एलसीएम 18 के बराबर होगा।

यह विधि तब सुविधाजनक होती है जब दोनों संख्याएँ छोटी हों और उन्हें पूर्णांकों के अनुक्रम से गुणा करना आसान हो। हालाँकि, ऐसे समय होते हैं जब आपको दो अंकों या के लिए एलसीएम खोजने की आवश्यकता होती है तीन अंकों की संख्या, और तब भी जब तीन या उससे भी अधिक प्रारंभिक संख्याएँ हों।

विधि 2. आप मूल संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके एलसीएम पा सकते हैं।
अपघटन के बाद, अभाज्य कारकों की परिणामी श्रृंखला से समान संख्याओं को काटना आवश्यक है। पहली संख्या की शेष संख्याएँ दूसरी के लिए गुणक होंगी, और दूसरी की शेष संख्याएँ पहली के लिए गुणक होंगी।

उदाहरणसंख्या 75 और 60 के लिए.
संख्याओं 75 और 60 का लघुत्तम समापवर्त्य इन संख्याओं के गुणजों को एक पंक्ति में लिखे बिना पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आइए 75 और 60 को सरल कारकों में विभाजित करें:
75 = 3 * 5 *5, ए
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
जैसा कि आप देख सकते हैं, कारक 3 और 5 दोनों पंक्तियों में दिखाई देते हैं। हम मानसिक रूप से उन्हें "क्रॉस आउट" करते हैं।
आइए इनमें से प्रत्येक संख्या के विस्तार में शामिल शेष कारकों को लिखें। संख्या 75 को विघटित करने पर हमारे पास संख्या 5 बचती है और संख्या 60 को विघटित करने पर हमारे पास 2*2 बचता है
इसका मतलब यह है कि संख्या 75 और 60 के लिए एलसीएम निर्धारित करने के लिए, हमें 75 (यह 5 है) के विस्तार से शेष संख्याओं को 60 से गुणा करना होगा, और 60 के विस्तार से शेष संख्याओं को गुणा करना होगा (यह 2 है) *2) 75 से। यानी समझने में आसानी के लिए हम कहते हैं कि हम "क्रॉसवाइज" गुणा कर रहे हैं।
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
इस प्रकार हमने संख्या 60 और 75 के लिए एलसीएम पाया। यह संख्या 300 है।

उदाहरण. संख्या 12, 16, 24 के लिए एलसीएम निर्धारित करें
इस मामले में, हमारे कार्य कुछ अधिक जटिल होंगे। लेकिन पहले, हमेशा की तरह, आइए सभी संख्याओं का गुणनखंड करें
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
एलसीएम को सही ढंग से निर्धारित करने के लिए, हम सभी संख्याओं में से सबसे छोटी संख्या का चयन करते हैं (यह संख्या 12 है) और क्रमिक रूप से इसके कारकों से गुजरते हैं, यदि संख्याओं की अन्य पंक्तियों में से कम से कम एक में हमें वही कारक मिलता है जो अभी तक नहीं आया है काट दिया गया.

स्टेप 1 । हम देखते हैं कि 2 * 2 संख्याओं की सभी श्रृंखलाओं में होता है। आइए उन्हें पार करें।
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

चरण 2. संख्या 12 के अभाज्य गुणनखंडों में केवल संख्या 3 ही रहती है, लेकिन यह संख्या 24 के अभाज्य गुणनखंडों में मौजूद होती है। हम संख्या 3 को दोनों पंक्तियों से काट देते हैं, जबकि संख्या 16 के लिए कोई कार्रवाई अपेक्षित नहीं है। .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

जैसा कि आप देख सकते हैं, संख्या 12 को विघटित करते समय, हमने सभी संख्याओं को "काट दिया"। इसका मतलब है कि एलओसी की खोज पूरी हो गई है। जो कुछ बचा है वह इसके मूल्य की गणना करना है।
संख्या 12 के लिए, संख्या 16 के शेष गुणनखंड लें (आरोही क्रम में अगला)
12 * 2 * 2 = 48
यह एनओसी है

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस मामले में, एलसीएम ढूंढना कुछ अधिक कठिन था, लेकिन जब आपको इसे तीन या अधिक संख्याओं के लिए खोजने की आवश्यकता होती है, यह विधिआपको इसे तेजी से करने की अनुमति देता है। हालाँकि, LCM ज्ञात करने की दोनों विधियाँ सही हैं।

आइए लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के तीन तरीकों पर गौर करें।

गुणनखंडन द्वारा ज्ञात करना

पहली विधि दी गई संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना है।

मान लीजिए कि हमें संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करना है: 99, 30 और 28। ऐसा करने के लिए, आइए इनमें से प्रत्येक संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें:

वांछित संख्या को 99, 30 और 28 से विभाजित करने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसमें इन भाजक के सभी अभाज्य गुणनखंड शामिल हों। ऐसा करने के लिए, हमें इन संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों को अधिकतम संभव घात तक ले जाना होगा और उन्हें एक साथ गुणा करना होगा:

2 2 3 2 5 7 11 = 13,860

इस प्रकार, एलसीएम (99, 30, 28) = 13,860। 13,860 से कम कोई अन्य संख्या 99, 30, या 28 से विभाज्य नहीं है।

दी गई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, आप उन्हें उनके अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें, फिर प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड को उसके सबसे बड़े घातांक के साथ लें, और उन गुणनखंडों को एक साथ गुणा करें।

चूँकि अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याओं में उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं होते हैं, इसलिए उनका लघुत्तम समापवर्त्य इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, तीन संख्याएँ: 20, 49 और 33 अपेक्षाकृत अभाज्य हैं। इसीलिए

एलसीएम (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340।

भिन्न का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करते समय भी ऐसा ही किया जाना चाहिए प्रमुख संख्या. उदाहरण के लिए, एलसीएम (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231।

चयन द्वारा ढूँढना

दूसरी विधि चयन द्वारा लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना है।

उदाहरण 1. जब दी गई संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या को किसी अन्य संख्या से विभाजित किया जाता है, तो इन संख्याओं का एलसीएम उनमें से सबसे बड़ी संख्या के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, चार संख्याएँ दी गई हैं: 60, 30, 10 और 6। उनमें से प्रत्येक 60 से विभाज्य है, इसलिए:

एलसीएम(60, 30, 10, 6) = 60

अन्य मामलों में, लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है:

1. दी गई संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
2. इसके बाद, हम उन संख्याओं को ज्ञात करते हैं जो सबसे बड़ी संख्या से गुणा करके उसके गुणज हैं पूर्णांकोंआरोही क्रम में और जाँच करें कि क्या शेष संख्याएँ परिणामी उत्पाद से विभाज्य हैं।

उदाहरण 2. तीन संख्याएँ 24, 3 और 18 दी गई हैं। हम उनमें से सबसे बड़ी संख्या निर्धारित करते हैं - यह संख्या 24 है। इसके बाद, हम वे संख्याएँ पाते हैं जो 24 के गुणज हैं, यह जाँचते हुए कि क्या उनमें से प्रत्येक 18 और 3 से विभाज्य है:

24 · 1 = 24 - 3 से विभाज्य, लेकिन 18 से विभाज्य नहीं।

24 · 2 = 48 - 3 से विभाज्य, लेकिन 18 से विभाज्य नहीं।

24 · 3 = 72 - 3 और 18 से विभाज्य।

इस प्रकार, एलसीएम (24, 3, 18) = 72.

क्रमिक रूप से एलसीएम ज्ञात करके ज्ञात करना

तीसरी विधि क्रमिक रूप से एलसीएम ज्ञात करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना है।

दो दी गई संख्याओं का एलसीएम इन संख्याओं के गुणनफल को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक से विभाजित करने के बराबर होता है।

उदाहरण 1. दो दी गई संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करें: 12 और 8। उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक निर्धारित करें: जीसीडी (12, 8) = 4। इन संख्याओं को गुणा करें:

हम उत्पाद को उनकी जीसीडी द्वारा विभाजित करते हैं:

इस प्रकार, एलसीएम (12, 8) = 24।

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित प्रक्रिया का उपयोग करें:

1. सबसे पहले, इनमें से किन्हीं दो संख्याओं का LCM ज्ञात करें।
2. फिर, पाए गए लघुत्तम समापवर्त्य का LCM और तीसरी दी गई संख्या।
3. फिर, परिणामी लघुत्तम समापवर्त्य और चौथी संख्या का एलसीएम, आदि।
4. इस प्रकार, LCM की खोज तब तक जारी रहती है जब तक संख्याएँ मौजूद हैं।

उदाहरण 2. आइए दी गई तीन संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करें: 12, 8 और 9. हमने पिछले उदाहरण में संख्या 12 और 8 का एलसीएम पहले ही पा लिया है (यह संख्या 24 है)। संख्या 24 और दी गई तीसरी संख्या - 9 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना बाकी है। उनका सबसे बड़ा समापवर्तक ज्ञात कीजिए: जीसीडी (24, 9) = 3। एलसीएम को संख्या 9 से गुणा करें:

हम उत्पाद को उनकी जीसीडी द्वारा विभाजित करते हैं:

इस प्रकार, एलसीएम (12, 8, 9) = 72.

"एकाधिक" विषय का अध्ययन कक्षा 5 में किया जाता है माध्यमिक विद्यालय. इसका लक्ष्य लिखित और मौखिक गणितीय गणना कौशल में सुधार करना है। इस पाठ में, नई अवधारणाएँ पेश की जाती हैं - "एकाधिक संख्याएँ" और "भाजक", एक प्राकृतिक संख्या के भाजक और गुणज खोजने की तकनीक, और विभिन्न तरीकों से एलसीएम खोजने की क्षमता का अभ्यास किया जाता है।

यह विषय बहुत महत्वपूर्ण है. इसका ज्ञान भिन्नों वाले उदाहरणों को हल करते समय लागू किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको लघुत्तम समापवर्तक (LCM) की गणना करके उभयनिष्ठ हर को खोजना होगा।

A का गुणज एक पूर्णांक है जो बिना किसी शेषफल के A से विभाज्य है।

प्रत्येक प्राकृतिक संख्या में उसके गुणजों की अनंत संख्या होती है। यह स्वयं सबसे छोटा माना जाता है। गुणज स्वयं संख्या से कम नहीं हो सकता.

आपको यह सिद्ध करना होगा कि संख्या 125, 5 का गुणज है। ऐसा करने के लिए, आपको पहली संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित करना होगा। यदि 125 बिना किसी शेषफल के 5 से विभाज्य है, तो उत्तर हाँ है।

यह विधि छोटी संख्याओं के लिए लागू होती है।

एलओसी की गणना करते समय विशेष मामले होते हैं।

1. यदि आपको 2 संख्याओं (उदाहरण के लिए, 80 और 20) का एक सामान्य गुणज खोजना है, जहां उनमें से एक (80) दूसरे (20) से विभाज्य है, तो यह संख्या (80) इनमें से सबसे छोटी गुणज है दो नंबर.

एलसीएम(80,20) = 80.

2. यदि दो में एक उभयनिष्ठ भाजक नहीं है, तो हम कह सकते हैं कि उनका एलसीएम इन दो संख्याओं का गुणनफल है।

एलसीएम(6, 7) = 42.

आइए आखिरी उदाहरण देखें. 42 के संबंध में 6 और 7 विभाजक हैं। वे किसी संख्या के गुणज को बिना किसी शेषफल के विभाजित करते हैं।

इस उदाहरण में, 6 और 7 युग्मित गुणनखंड हैं। उनका गुणनफल सबसे बड़ी संख्या (42) के बराबर है।

कोई संख्या अभाज्य कहलाती है यदि वह केवल स्वयं से या 1 (3:1=3; 3:3=1) से विभाज्य हो। शेष को मिश्रित कहा जाता है।

एक अन्य उदाहरण में यह निर्धारित करना शामिल है कि क्या 9, 42 का भाजक है।

42:9=4 (शेष 6)

उत्तर: 9, 42 का भाजक नहीं है क्योंकि उत्तर में शेषफल है।

एक भाजक एक गुणज से इस मायने में भिन्न होता है कि भाजक वह संख्या है जिससे प्राकृतिक संख्याएँ विभाजित होती हैं, और गुणज स्वयं इस संख्या से विभाज्य होता है।

संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक एऔर बी, उनके लघुत्तम गुणज से गुणा करने पर संख्याओं का गुणनफल स्वयं प्राप्त हो जाएगा एऔर बी.

अर्थात्: जीसीडी (ए, बी) एक्स जीसीडी (ए, बी) = ए एक्स बी।

अधिक जटिल संख्याओं के लिए सामान्य गुणज निम्नलिखित तरीके से पाए जाते हैं।

उदाहरण के लिए, 168, 180, 3024 का एलसीएम ज्ञात कीजिए।

हम इन संख्याओं को सरल कारकों में विभाजित करते हैं और उन्हें शक्तियों के उत्पाद के रूप में लिखते हैं:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

एलसीएम(168, 180, 3024) = 15120।

गणितीय अभिव्यक्तियों और समस्याओं के लिए बहुत अधिक अतिरिक्त ज्ञान की आवश्यकता होती है। एनओसी मुख्य में से एक है, विशेष रूप से अक्सर इस विषय का अध्ययन हाई स्कूल में किया जाता है, और शक्तियों और गुणन तालिका से परिचित व्यक्ति को सामग्री को समझना विशेष रूप से कठिन नहीं होता है, उसे आवश्यक संख्याओं की पहचान करने और खोजने में कठिनाई नहीं होगी; परिणाम।

परिभाषा

एक सामान्य गुणक एक संख्या है जिसे एक ही समय में दो संख्याओं (ए और बी) में पूरी तरह से विभाजित किया जा सकता है। प्रायः यह संख्या मूल संख्याओं a और b को गुणा करके प्राप्त की जाती है। संख्या बिना किसी विचलन के, एक ही बार में दोनों संख्याओं से विभाज्य होनी चाहिए।

एनओसी स्वीकृत पदनाम है संक्षिप्त नाम, पहले अक्षरों से एकत्र किया गया।

नंबर पाने के तरीके

संख्याओं को गुणा करने की विधि हमेशा एलसीएम खोजने के लिए उपयुक्त नहीं होती है; यह सरल एकल-अंकीय या दो-अंकीय संख्याओं के लिए अधिक उपयुक्त होती है। गुणनखंडों में विभाजित करने की प्रथा है; जितनी बड़ी संख्या होगी, उतने ही अधिक गुणनखंड होंगे।

उदाहरण 1

सबसे सरल उदाहरण के लिए, स्कूल आमतौर पर अभाज्य, एकल या दोहरे अंक वाली संख्याओं का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, आपको निम्नलिखित कार्य को हल करने की आवश्यकता है, संख्याओं 7 और 3 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करें, समाधान काफी सरल है, बस उन्हें गुणा करें। परिणामस्वरूप, एक संख्या 21 है, इससे छोटी कोई संख्या नहीं है।

उदाहरण क्रमांक 2

कार्य का दूसरा संस्करण अधिक कठिन है. संख्याएँ 300 और 1260 दी गई हैं, एलओसी ढूँढना अनिवार्य है। समस्या को हल करने के लिए, निम्नलिखित क्रियाएं मानी जाती हैं:

पहली और दूसरी संख्याओं का सरल गुणनखंडों में अपघटन। 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. पहला चरण पूरा हो गया है.

दूसरे चरण में पहले से प्राप्त डेटा के साथ काम करना शामिल है। प्राप्त संख्याओं में से प्रत्येक को अंतिम परिणाम की गणना में भाग लेना चाहिए। प्रत्येक गुणक के लिए, सबसे अधिक बड़ी संख्याघटनाएँ एनओसी है कुल गणना, इसलिए, संख्याओं के कारकों को इसमें दोहराया जाना चाहिए, हर एक, यहां तक ​​कि वे भी जो एक प्रति में मौजूद हैं। दोनों प्रारंभिक संख्याओं में संख्याएँ 2, 3 और 5 शामिल हैं विभिन्न डिग्री, 7 केवल एक मामले में मौजूद है।

अंतिम परिणाम की गणना करने के लिए, आपको प्रत्येक संख्या को समीकरण में दर्शाई गई सबसे बड़ी शक्तियों में लेना होगा। जो कुछ बचा है उसे गुणा करना और उत्तर प्राप्त करना है यदि सही ढंग से भरा गया है, तो कार्य बिना स्पष्टीकरण के दो चरणों में फिट बैठता है:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) एनओसी = 6300.

यह पूरी समस्या है, यदि आप गुणा द्वारा आवश्यक संख्या की गणना करने का प्रयास करते हैं, तो उत्तर निश्चित रूप से सही नहीं होगा, क्योंकि 300 * 1260 = 378,000।

इंतिहान:

6300/300 = 21 - सही;

6300/1260 = 5 - सही।

प्राप्त परिणाम की शुद्धता जांच करके निर्धारित की जाती है - एलसीएम को दोनों प्रारंभिक संख्याओं से विभाजित करना; यदि संख्या दोनों मामलों में पूर्णांक है, तो उत्तर सही है।

गणित में NOC का क्या अर्थ है?

जैसा कि आप जानते हैं, गणित में एक भी बेकार फ़ंक्शन नहीं है, यह कोई अपवाद नहीं है। इस संख्या का सबसे सामान्य उद्देश्य भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना है। आमतौर पर कक्षा 5-6 में क्या अध्ययन किया जाता है हाई स्कूल. यदि समस्या में ऐसी स्थितियाँ मौजूद हैं, तो यह अतिरिक्त रूप से सभी गुणकों के लिए एक सामान्य भाजक भी है। इस तरह के व्यंजक से न केवल दो संख्याओं का, बल्कि कई संख्याओं का भी गुणज खोजा जा सकता है अधिक- तीन, पाँच इत्यादि। कैसे अधिक संख्या- कार्य में जितनी अधिक क्रियाएँ होती हैं, परन्तु जटिलता नहीं बढ़ती।

उदाहरण के लिए, संख्याएँ 250, 600 और 1500 दी गई हैं, आपको उनका सामान्य एलसीएम ज्ञात करना होगा:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - यह उदाहरण बिना कटौती के विस्तार से गुणनखंड का वर्णन करता है।

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

एक अभिव्यक्ति बनाने के लिए, सभी कारकों का उल्लेख करना आवश्यक है, इस मामले में 2, 5, 3 दिए गए हैं - इन सभी संख्याओं के लिए अधिकतम डिग्री निर्धारित करना आवश्यक है।

ध्यान दें: यदि संभव हो तो सभी कारकों को पूर्ण सरलीकरण में लाया जाना चाहिए, एकल-अंकीय स्तर पर विघटित किया जाना चाहिए।

इंतिहान:

1) 3000 / 250 = 12 - सही;

2) 3000 / 600 = 5 - सत्य;

3) 3000/1500 = 2 - सही।

इस विधि के लिए किसी तरकीब या प्रतिभा स्तर की क्षमताओं की आवश्यकता नहीं है, सब कुछ सरल और स्पष्ट है।

एक और तरीका

गणित में, कई चीजें जुड़ी हुई हैं, कई चीजों को दो या दो से अधिक तरीकों से हल किया जा सकता है, यही बात लघुत्तम समापवर्तक, एलसीएम को खोजने के लिए भी लागू होती है। सरल दो-अंकीय और एकल-अंकीय संख्याओं के मामले में निम्नलिखित विधि का उपयोग किया जा सकता है। एक तालिका संकलित की जाती है जिसमें गुणक को लंबवत रूप से, गुणक को क्षैतिज रूप से दर्ज किया जाता है, और उत्पाद को कॉलम की प्रतिच्छेदी कोशिकाओं में दर्शाया जाता है। आप एक पंक्ति का उपयोग करके तालिका को प्रतिबिंबित कर सकते हैं, एक संख्या ले सकते हैं और इस संख्या को 1 से अनंत तक पूर्णांकों से गुणा करने के परिणाम लिख सकते हैं, कभी-कभी 3-5 अंक पर्याप्त होते हैं, दूसरी और बाद की संख्याएं समान कम्प्यूटेशनल प्रक्रिया से गुजरती हैं। सब कुछ तब तक होता है जब तक कि एक उभयनिष्ठ गुणज न मिल जाए।

संख्याओं 30, 35, 42 को देखते हुए, आपको सभी संख्याओं को जोड़ने वाला एलसीएम ढूंढना होगा:

1) 30 के गुणज: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, आदि।

2) 35 के गुणज: 70, 105, 140, 175, 210, 245, आदि।

3) 42 के गुणज: 84, 126, 168, 210, 252, आदि।

यह ध्यान देने योग्य है कि सभी संख्याएँ काफी भिन्न हैं, उनमें से एकमात्र सामान्य संख्या 210 है, इसलिए यह एनओसी होगी। इस गणना में शामिल प्रक्रियाओं में सबसे बड़ा सामान्य भाजक भी है, जिसकी गणना समान सिद्धांतों के अनुसार की जाती है और अक्सर पड़ोसी समस्याओं में इसका सामना किया जाता है। अंतर छोटा है, लेकिन काफी महत्वपूर्ण है, एलसीएम में एक संख्या की गणना करना शामिल है जो सभी दिए गए प्रारंभिक मूल्यों से विभाजित है, और जीसीडी में गणना शामिल है उच्चतम मूल्यजिससे मूल संख्याओं को विभाजित किया जाता है।