पूर्णांक: सामान्य प्रतिनिधित्व. पूर्णांकों को समझना

मुहावरा " संख्या सेट"गणित की पाठ्यपुस्तकों में यह काफी सामान्य है। वहां आपको अक्सर इस तरह के वाक्यांश मिल सकते हैं:

"ब्ला ब्ला ब्ला, प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय से संबंधित है।"

अक्सर, किसी वाक्यांश के अंत के बजाय, आप कुछ इस तरह देख सकते हैं। इसका मतलब थोड़ा ऊपर वाले पाठ जैसा ही है - एक संख्या प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय से संबंधित है। बहुत से लोग अक्सर इस बात पर ध्यान नहीं देते हैं कि यह या वह चर किस सेट में परिभाषित किया गया है। परिणामस्वरूप, किसी समस्या को हल करते समय या किसी प्रमेय को सिद्ध करते समय पूरी तरह से गलत तरीकों का उपयोग किया जाता है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि अलग-अलग सेटों से संबंधित संख्याओं के गुण भिन्न-भिन्न हो सकते हैं।

संख्यात्मक समुच्चय इतने अधिक नहीं हैं। नीचे आप विभिन्न संख्या सेटों की परिभाषाएँ देख सकते हैं।

प्राकृतिक संख्याओं के सेट में शून्य से बड़े सभी पूर्णांक-धनात्मक पूर्णांक शामिल होते हैं।

उदाहरण के लिए: 1, 3, 20, 3057. सेट में संख्या 0 शामिल नहीं है।

इस में संख्या सेटइसमें शून्य से बड़े और छोटे सभी पूर्णांक शामिल हैं, और शून्य भी.

उदाहरण के लिए:-15, 0, 139.

परिमेय संख्याएँ, आम तौर पर कहें तो, भिन्नों का एक समूह होती हैं जिन्हें रद्द नहीं किया जा सकता है (यदि एक अंश रद्द कर दिया जाता है, तो यह पहले से ही एक पूर्णांक होगा, और इस मामले के लिए किसी अन्य संख्या सेट को पेश करने की कोई आवश्यकता नहीं है)।

तर्कसंगत सेट में शामिल संख्याओं का एक उदाहरण: 3/5, 9/7, 1/2।

,

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय से संबंधित किसी संख्या के पूर्णांक भाग के अंकों का एक सीमित अनुक्रम कहां है। यह क्रम परिमित होता है, अर्थात् किसी वास्तविक संख्या के पूर्णांक भाग में अंकों की संख्या परिमित होती है।

- संख्याओं का एक अनंत अनुक्रम जो वास्तविक संख्या के भिन्नात्मक भाग में होता है। इससे पता चलता है कि भिन्नात्मक भाग में अनंत संख्या में संख्याएँ होती हैं।

ऐसी संख्याओं को भिन्न के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता. अन्यथा, ऐसी संख्या को तर्कसंगत संख्याओं के समूह के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है।

वास्तविक संख्याओं के उदाहरण:

आइए दो के मूल के अर्थ पर करीब से नज़र डालें। पूर्णांक भाग में केवल एक अंक - 1 है, इसलिए हम लिख सकते हैं:

भिन्नात्मक भाग में (बिंदु के बाद), संख्याएँ 4, 1, 4, 2 इत्यादि क्रमिक रूप से प्रकट होती हैं। इसलिए, पहले चार अंकों के लिए हम लिख सकते हैं:

मैं यह आशा करने का साहस करता हूं कि अब वास्तविक संख्याओं के समुच्चय की परिभाषा स्पष्ट हो गई है।

निष्कर्ष

यह याद रखना चाहिए कि एक ही फ़ंक्शन पूरी तरह से प्रदर्शित हो सकता है विभिन्न गुणयह इस पर निर्भर करता है कि चर किस सेट से संबंधित है। इसलिए बुनियादी बातें याद रखें - वे काम आएंगी।

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पूर्ण संख्या का क्या मतलब है?

तो, आइए देखें कि किन संख्याओं को पूर्णांक कहा जाता है।

इस प्रकार, निम्नलिखित संख्याओं को पूर्णांकों द्वारा दर्शाया जाएगा: $0$, $±1$, $±2$, $±3$, $±4$, आदि।

प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय पूर्णांकों के समुच्चय का एक उपसमुच्चय है, अर्थात्। कोई भी प्राकृत संख्या एक पूर्णांक होगी, लेकिन प्रत्येक पूर्णांक एक प्राकृत संख्या नहीं होती।

धनात्मक पूर्णांक और ऋणात्मक पूर्णांक

परिभाषा 2

प्लस.

संख्याएँ $3, 78, 569, 10450$ धनात्मक पूर्णांक हैं।

परिभाषा 3

हस्ताक्षरित पूर्णांक हैं ऋण.

संख्याएँ $−3, −78, −569, -10450$ ऋणात्मक पूर्णांक हैं।

नोट 1

संख्या शून्य न तो धनात्मक और न ही ऋणात्मक पूर्णांक है।

सकारात्मक पूर्णांकशून्य से बड़े पूर्णांक हैं.

ऋणात्मक पूर्णांकशून्य से छोटे पूर्णांक हैं.

प्राकृत पूर्णांकों का समुच्चय सभी धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय है, और सभी विपरीत प्राकृत संख्याओं का समुच्चय सभी पूर्णांकों का समुच्चय है। नकारात्मक संख्याएँ.

गैर-धनात्मक और गैर-नकारात्मक पूर्णांक

सभी धनात्मक पूर्णांक और शून्य कहलाते हैं गैर-ऋणात्मक पूर्णांक.

गैर-धनात्मक पूर्णांकसभी ऋणात्मक पूर्णांक और संख्या $0$ हैं।

नोट 2

इस प्रकार, गैर-नकारात्मक पूर्णांकशून्य से बड़े या शून्य के बराबर पूर्णांक हैं, और गैर-धनात्मक पूर्णांक- शून्य से कम या शून्य के बराबर पूर्णांक।

उदाहरण के लिए, गैर-धनात्मक पूर्णांक: $−32, −123, 0, −5$, और गैर-ऋणात्मक पूर्णांक: $54, 123, 0, 856,342.$

पूर्णांकों का उपयोग करके मात्राओं में परिवर्तन का वर्णन करना

पूर्णांकों का उपयोग वस्तुओं की संख्या में परिवर्तन का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

आइए उदाहरण देखें.

उदाहरण 1

किसी स्टोर को एक निश्चित संख्या में उत्पाद नाम बेचने दें। जब स्टोर को वस्तुओं की $520$ प्राप्त होती है, तो स्टोर में वस्तुओं की संख्या बढ़ जाएगी, और संख्या $520$ संख्या में परिवर्तन को दर्शाती है सकारात्मक पक्ष. जब स्टोर $50$ के उत्पाद आइटम बेचता है, तो स्टोर में उत्पाद आइटमों की संख्या कम हो जाएगी, और $50$ की संख्या संख्या में परिवर्तन को व्यक्त करेगी नकारात्मक पक्ष. यदि स्टोर न तो सामान वितरित करता है और न ही बेचता है, तो सामान की संख्या अपरिवर्तित रहेगी (यानी, हम संख्या में शून्य परिवर्तन के बारे में बात कर सकते हैं)।

उपरोक्त उदाहरण में, वस्तुओं की संख्या में परिवर्तन को क्रमशः पूर्णांक $520$, $−50$ और $0$ का उपयोग करके वर्णित किया गया है। सकारात्मक मूल्यपूर्णांक $520$ संख्या में सकारात्मक दिशा में परिवर्तन को इंगित करता है। पूर्णांक $−50$ का ऋणात्मक मान संख्या में ऋणात्मक दिशा में परिवर्तन को दर्शाता है। पूर्णांक $0$ इंगित करता है कि संख्या अपरिवर्तनीय है।

पूर्णांकों का उपयोग करना सुविधाजनक है क्योंकि... संख्या में वृद्धि या कमी के स्पष्ट संकेत की कोई आवश्यकता नहीं है - पूर्णांक का चिह्न परिवर्तन की दिशा को इंगित करता है, और मान मात्रात्मक परिवर्तन को इंगित करता है।

पूर्णांकों का उपयोग करके आप न केवल मात्रा में परिवर्तन, बल्कि किसी भी मात्रा में परिवर्तन भी व्यक्त कर सकते हैं।

आइए किसी उत्पाद की लागत में बदलाव के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 2

मूल्य में वृद्धि, उदाहरण के लिए, $20$ रूबल द्वारा, एक सकारात्मक पूर्णांक $20$ का उपयोग करके व्यक्त की जाती है। उदाहरण के लिए, कीमत में $5$ रूबल की कमी को ऋणात्मक पूर्णांक $−5$ का उपयोग करके वर्णित किया गया है। यदि मूल्य में कोई परिवर्तन नहीं होता है, तो ऐसा परिवर्तन पूर्णांक $0$ का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है।

आइए ऋण की राशि के रूप में ऋणात्मक पूर्णांकों के अर्थ पर अलग से विचार करें।

उदाहरण 3

उदाहरण के लिए, एक व्यक्ति के पास $5,000$ रूबल हैं। फिर, सकारात्मक पूर्णांक $5,000$ का उपयोग करके, आप उसके पास मौजूद रूबल की संख्या दिखा सकते हैं। एक व्यक्ति को $7,000$ रूबल की राशि में किराया देना होगा, लेकिन उसके पास उस तरह का पैसा नहीं है, ऐसी स्थिति में ऐसी स्थिति को नकारात्मक पूर्णांक $-7,000$ द्वारा वर्णित किया जाता है। इस मामले में, व्यक्ति के पास $−7,000$ रूबल हैं, जहां "-" ऋण को इंगित करता है, और संख्या $7,000$ ऋण की राशि को इंगित करती है।

बीजगणितीय गुण

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विकिमीडिया फाउंडेशन. 2010.

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देखें अन्य शब्दकोशों में "पूर्णांक" क्या हैं:

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ज़करमैन नंबर- ज़करमैन के नंबर इस प्रकार हैं पूर्णांकों, जो उनके अंकों के गुणनफल से विभाज्य हैं। उदाहरण 212 ज़करमैन की संख्या है, चूँकि और। अनुक्रम 1 से 9 तक के सभी पूर्णांक ज़करमैन संख्याएँ हैं। शून्य सहित सभी संख्याएँ... विकिपीडिया नहीं हैं

बीजगणितीय पूर्णांक- बीजगणितीय पूर्णांक पूर्णांक गुणांक वाले और एक के बराबर अग्रणी गुणांक वाले बहुपदों की जटिल (और विशेष रूप से वास्तविक) जड़ें हैं। सम्मिश्र संख्याओं, बीजगणितीय पूर्णांकों के योग और गुणन के संबंध में... विकिपीडिया

जटिल पूर्णांक- गॉसियन संख्याएँ, a + bi के रूप की संख्याएँ, जहाँ a और b पूर्णांक हैं (उदाहरण के लिए, 4 7i)। पूर्णांक निर्देशांक वाले जटिल विमान के बिंदुओं द्वारा ज्यामितीय रूप से दर्शाया गया। सी.सी.एच. सिद्धांत पर शोध के संबंध में के. गॉस द्वारा 1831 में पेश किया गया था...

कुलेन संख्या- गणित में, कुलेन संख्याएँ n 2n + 1 (लिखित Cn) रूप की प्राकृतिक संख्याएँ हैं। कलन संख्या का अध्ययन सबसे पहले 1905 में जेम्स कलन ने किया था। कलन संख्या हैं विशेष प्रकारप्रोटा नंबर. गुण 1976 में, क्रिस्टोफर हूले (क्रिस्टोफर... ...विकिपीडिया

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लीलैंड संख्या- लीलैंड संख्या एक प्राकृतिक संख्या है, जिसे xy + yx के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां x और y 1 से बड़े पूर्णांक हैं। पहली 15 लीलैंड संख्याएं हैं: 8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, OEIS में 368, 512, 593, 945, 1124, 1649 अनुक्रम A076980... ...विकिपीडिया

बीजगणितीय पूर्णांक- संख्याएँ जो xn + a1xn ​​​1 +... + an = 0 के रूप के समीकरणों की जड़ें हैं, जहां a1,..., an पूर्णांक हैं भिन्नात्मक संख्याएं. उदाहरण के लिए, x1 = 2 + C. a. एच., चूंकि x12 4x1 + 1 = 0. सी. ए का सिद्धांत. ज. 30 40 x वर्षों में उत्पन्न हुआ। 19 वीं सदी के. के शोध के संबंध में... महान सोवियत विश्वकोश

पुस्तकें

• अंकगणित: पूर्णांक. संख्याओं की विभाज्यता पर. मात्राओं का मापन. उपायों की मीट्रिक प्रणाली. साधारण, किसेलेव, एंड्री पेत्रोविच। हम पाठकों के ध्यान में उत्कृष्ट रूसी शिक्षक और गणितज्ञ ए.पी. किसेलेव (1852-1940) की एक पुस्तक प्रस्तुत करते हैं, जिसमें अंकगणित में एक व्यवस्थित पाठ्यक्रम शामिल है। पुस्तक में छह खंड शामिल हैं...

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यहां आप क्या सीखेंगे:

• तेजी से, आसानी से और अधिक सटीकता से गिनती कैसे करेंसंख्या समूहनजोड़ते और घटाते समय,
• बिना त्रुटियों के तेजी से गुणा और भाग कैसे करें गुणन के नियम और विभाज्यता के लक्षण,
• का उपयोग करके गणनाओं को कैसे तेज़ करें न्यूनतम समापवर्तक(एनओके) और महत्तम सामान्य भाजक(सिर हिलाकर सहमति देना)।

इस खंड में तकनीकों की महारत तराजू को एक दिशा या किसी अन्य दिशा में झुका सकती है...चाहे आप अपने सपनों के विश्वविद्यालय में प्रवेश लें या नहीं, आपको या आपके माता-पिता को शिक्षा के लिए बहुत सारा पैसा देना होगा या आप एक बजट पर दाखिला लेंगे .

आइए सीधे गोता लगाएँ... (आएँ चलें!)

पी.एस. अंतिम मूल्यवान सलाह...

गुच्छा पूर्णांकोंइसमें 3 भाग होते हैं:

1. पूर्णांकों(हम उन्हें नीचे अधिक विस्तार से देखेंगे);
2. प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संख्याएँ(जैसे ही आपको पता चलेगा कि प्राकृतिक संख्याएँ क्या हैं, सब कुछ ठीक हो जाएगा);
3. शून्य - " " (हम उसके बिना कहाँ होंगे?)

अक्षर Z.

पूर्णांकों

"भगवान ने प्राकृतिक संख्याएँ बनाईं, बाकी सब कुछ मानव हाथों का काम है" (सी) जर्मन गणितज्ञ क्रोनकर।

प्राकृतिक संख्याएँ हैंवे संख्याएँ जिनका उपयोग हम वस्तुओं को गिनने के लिए करते हैं और इसी पर उनकी उत्पत्ति का इतिहास आधारित है - तीर, खाल आदि को गिनने की आवश्यकता।

1, 2, 3, 4...एन

पत्र एन.

तदनुसार, इस परिभाषा में वह शामिल नहीं है (आप उस चीज़ को गिन नहीं सकते जो वहां नहीं है?), और इससे भी अधिक इसमें शामिल नहीं है नकारात्मक मान(क्या सेब जैसी कोई चीज़ होती है?)

इसके अलावा, सभी भिन्नात्मक संख्याएँ शामिल नहीं हैं (हम यह भी नहीं कह सकते कि "मेरे पास लैपटॉप है" या "मैंने कारें बेचीं")

कोई प्राकृतिक संख्या 10 अंकों का उपयोग करके लिखा जा सकता है:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

अतः 14 कोई संख्या नहीं है। यह संख्या है. इसमें कौन सी संख्याएँ शामिल हैं? यह सही है, संख्याओं से और...

जोड़ना। तेजी से गिनती करने और कम गलतियाँ करने के लिए जोड़ते समय समूह बनाना

आप इस प्रक्रिया के बारे में क्या दिलचस्प बातें कह सकते हैं? निःसंदेह, अब आप उत्तर देंगे "शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करने से योग का मूल्य नहीं बदलता है।" ऐसा प्रतीत होता है कि यह एक आदिम नियम है, जो पहली कक्षा से परिचित है, हालाँकि, बड़े उदाहरणों को हल करते समय यह लागू होता है तुरंत भूल गए!

उसके बारे में मत भूलना -समूहीकरण का प्रयोग करें, अपने लिए गिनती प्रक्रिया को आसान बनाने और गलतियों की संभावना को कम करने के लिए, क्योंकि एकीकृत राज्य परीक्षा में आपके पास कैलकुलेटर नहीं होगा।

स्वयं देखें, किस अभिव्यक्ति को एक साथ रखना आसान है?

• 4 + 5 + 3 + 6
• 4 + 6 + 5 + 3

​बेशक दूसरा वाला! हालाँकि परिणाम वही है. लेकिन! दूसरी विधि को ध्यान में रखते हुए आपको गलतियाँ करने की संभावना कम होगी और आप हर काम तेजी से करेंगे!

तो, आप अपने दिमाग में इस तरह सोचते हैं:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

घटाव. तेजी से गिनती करने और कम गलतियाँ करने के लिए घटाते समय समूह बनाना

घटाते समय, हम उन संख्याओं को भी समूहित कर सकते हैं जिन्हें हम घटा रहे हैं, उदाहरण के लिए:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

यदि उदाहरण में जोड़ के साथ घटाव का विकल्प हो तो क्या होगा? आप समूह भी बना सकते हैं, आप उत्तर दे सकते हैं और यह सही है। कृपया संख्याओं से पहले चिह्नों के बारे में न भूलें, उदाहरण के लिए: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

याद रखें: गलत तरीके से लगाए गए संकेत गलत परिणाम देंगे।

गुणन. अपने दिमाग में कैसे गुणा करें

जाहिर है, कारकों के स्थान बदलने से भी उत्पाद का मूल्य नहीं बदलेगा:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

मैं आपको यह नहीं बताऊंगा कि "उदाहरणों को हल करते समय इसका उपयोग करें" (आपको संकेत स्वयं मिल गया है, है ना?), बल्कि मैं आपको यह बताऊंगा कि आप अपने दिमाग में कुछ संख्याओं को जल्दी से कैसे गुणा करें। तो, तालिका को ध्यान से देखें:

और गुणन के बारे में थोड़ा और। निःसंदेह आपको दो याद हैं विशेष अवसरों...क्या आप अनुमान लगा सकते हैं कि मेरा क्या मतलब है? यहाँ इसके बारे में है:

अरे हाँ, चलो इसे फिर से देखें विभाज्यता के लक्षण. विभाज्यता मानदंड के आधार पर कुल मिलाकर 7 नियम हैं, जिनमें से पहले 3 के बारे में आप पहले से ही जानते हैं!

लेकिन बाकी को याद रखना बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है।

संख्याओं की विभाज्यता के 7 संकेत जो आपको जल्दी से अपने दिमाग में गिनने में मदद करेंगे!

• बेशक, आप पहले तीन नियम जानते हैं।
• चौथे और पांचवें को याद रखना आसान है - विभाजित करते समय हम यह देखते हैं कि संख्या बनाने वाले अंकों का योग इससे विभाज्य है या नहीं।
• विभाजित करते समय, हम किसी संख्या के अंतिम दो अंकों को देखते हैं - क्या वे जिस संख्या से संख्या बनाते हैं वह विभाज्य है?
• से विभाजित करते समय, एक संख्या एक ही समय में और से विभाजित होनी चाहिए। बस इतनी ही बुद्धिमत्ता है.

क्या अब आप सोच रहे हैं, "मुझे यह सब क्यों चाहिए"?

सबसे पहले, एकीकृत राज्य परीक्षा हो रही है बिना कैलकुलेटर केऔर ये नियम आपको उदाहरणों को नेविगेट करने में मदद करेंगे।

और दूसरी बात, आपने इसके बारे में समस्याएं सुनी हैं जीसीडीऔर अनापत्ति प्रमाण पत्र? क्या यह संक्षिप्त नाम परिचित है? आइए याद करना और समझना शुरू करें।

महानतम सामान्य भाजक (जीसीडी) - भिन्नों को कम करने और त्वरित गणना करने के लिए आवश्यक

मान लीजिए कि आपके पास दो संख्याएँ हैं: और। किस लिए सबसे बड़ी संख्याक्या दोनों संख्याएँ विभाज्य हैं? आप बिना किसी हिचकिचाहट के उत्तर देंगे, क्योंकि आप जानते हैं कि:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

विस्तार में सामान्य संख्याएँ क्या हैं? यह सही है, 2 * 2 = 4. यही आपका उत्तर था। इस सरल उदाहरण को ध्यान में रखते हुए, आप खोजने के तरीके के एल्गोरिदम को नहीं भूलेंगे जीसीडी. इसे अपने दिमाग में "बनाने" का प्रयास करें। घटित?

जीसीडी ढूंढने के लिए आपको यह करना होगा:

1. संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें (वे संख्याएँ जिन्हें स्वयं के अलावा किसी अन्य चीज़ से विभाजित नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, 3, 7, 11, 13, आदि)।
2. उन्हें गुणा करें.

क्या आप समझते हैं कि हमें विभाज्यता के चिन्हों की आवश्यकता क्यों पड़ी? ताकि आप संख्या को देख सकें और बिना किसी शेषफल के भाग देना शुरू कर सकें।

उदाहरण के लिए, आइए संख्या 290 और 485 की जीसीडी ज्ञात करें

पहला नंबर - .

इसे देखकर, आप तुरंत बता सकते हैं कि यह विभाज्य है, आइए इसे लिखें:

इसे किसी और चीज़ में विभाजित करना असंभव है, लेकिन आप कर सकते हैं - और हमें मिलता है:

290 = 29 * 5 * 2

चलिए एक और नंबर लेते हैं - 485.

विभाज्यता के मानदंड के अनुसार, इसे बिना किसी शेषफल के विभाज्य होना चाहिए, क्योंकि यह समाप्त होता है। विभाजित करना:

आइए मूल संख्या का विश्लेषण करें।

• इसे विभाजित नहीं किया जा सकता (अंतिम अंक विषम है),
• - से विभाज्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि संख्या भी से विभाज्य नहीं है,
• द्वारा और द्वारा भी विभाज्य नहीं है (किसी संख्या में शामिल अंकों का योग और द्वारा विभाज्य नहीं है)
• से भी विभाज्य नहीं है, क्योंकि यह और से विभाज्य नहीं है,
• से भी विभाज्य नहीं है, क्योंकि यह और से विभाज्य नहीं है।
• पूर्णतः विभाजित नहीं किया जा सकता

इसका मतलब यह है कि संख्या को केवल और में विघटित किया जा सकता है।

अब आइए खोजें जीसीडीये नंबर. यह कौन सा नंबर है? सही, ।

क्या हम अभ्यास करें?

कार्य क्रमांक 1. संख्या 6240 और 6800 की जीसीडी ज्ञात कीजिए

1) मैं तुरंत विभाजित करता हूं, क्योंकि दोनों संख्याएं 100% विभाज्य हैं:

कार्य क्रमांक 2. संख्या 345 और 324 की जीसीडी ज्ञात कीजिए

मुझे यहां जल्दी से कोई नहीं मिल रहा है सामान्य विभाजक, इसलिए मैं इसे केवल अभाज्य कारकों में विभाजित करता हूं (जितना संभव हो उतना छोटा):

न्यूनतम सामान्य गुणक (एलसीएम) - समय बचाता है, समस्याओं को गैर-मानक तरीके से हल करने में मदद करता है

मान लीजिए कि आपके पास दो संख्याएँ हैं - और। वह सबसे छोटी संख्या कौन सी है जिसे विभाजित किया जा सकता है? एक का पता लगाए बिना(अर्थात् पूर्णतः)? कल्पना करना मुश्किल है? यहां आपके लिए एक दृश्य संकेत है:

क्या आपको याद है कि पत्र का मतलब क्या है? यह सही है, बस पूर्ण संख्याएं।तो क्या हुआ सबसे छोटी संख्या x स्थान पर फिट बैठता है? :

इस मामले में।

इस से सरल उदाहरणकई नियमों का पालन होता है.

एनओसी शीघ्रता से ढूंढने के नियम

नियम 1: यदि दो प्राकृतिक संख्याओं में से एक किसी अन्य संख्या से विभाज्य है, तो दोनों संख्याओं में से बड़ी संख्या उनका सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

निम्नलिखित संख्याएँ ज्ञात कीजिए:

• एनओसी (7;21)
• एनओसी (6;12)
• एनओसी (5;15)
• एनओसी (3;33)

निःसंदेह, आपने इस कार्य को बिना किसी कठिनाई के पूरा कर लिया और आपको उत्तर मिल गए - , और।

ध्यान दें कि जिस नियम में हम दो संख्याओं के बारे में बात कर रहे हैं, यदि संख्याएँ अधिक हैं, तो नियम काम नहीं करता है।

उदाहरण के लिए, एलसीएम (7;14;21) 21 के बराबर नहीं है, क्योंकि यह इससे विभाज्य नहीं है।

नियम 2. यदि दो (या दो से अधिक) संख्याएँ सहअभाज्य हैं, तो लघुत्तम समापवर्तक उनके गुणनफल के बराबर होता है।

खोजो अनापत्ति प्रमाण पत्रनिम्नलिखित संख्याएँ:

• एनओसी (1;3;7)
• एनओसी (3;7;11)
• एनओसी (2;3;7)
• एनओसी (3;5;2)

क्या आपने गिनती की? यहाँ उत्तर हैं - , ; .

जैसा कि आप समझते हैं, समान x को इतनी आसानी से चुनना हमेशा संभव नहीं होता है, इसलिए थोड़ी अधिक जटिल संख्याओं के लिए निम्नलिखित एल्गोरिदम है:

क्या हम अभ्यास करें?

आइए लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करें - LCM (345; 234)

लघुत्तम समापवर्तक (LCM) स्वयं ज्ञात कीजिए

आपको क्या उत्तर मिले?

यहाँ मुझे क्या मिला:

आपने ढूंढने में कितना समय बिताया अनापत्ति प्रमाण पत्र? मेरा समय 2 मिनट है, मैं सचमुच जानता हूँ एक तरकीब, जिसे मैं आपको अभी खोलने का सुझाव देता हूं!

यदि आप बहुत चौकस हैं, तो आपने शायद देखा होगा कि हमने पहले ही दिए गए नंबरों की खोज कर ली है जीसीडीऔर आप उस उदाहरण से इन संख्याओं का गुणनखंडन ले सकते हैं, जिससे आपका कार्य सरल हो जाएगा, लेकिन इतना ही नहीं।

तस्वीर देखिए, शायद आपके मन में कुछ और विचार आएं:

कुंआ? मैं तुम्हें एक संकेत दूँगा: गुणा करने का प्रयास करें अनापत्ति प्रमाण पत्रऔर जीसीडीआपस में और उन सभी कारकों को लिखिए जो गुणा करते समय दिखाई देंगे। क्या आप संभाल पाओगे? आपको इस तरह की एक श्रृंखला समाप्त करनी चाहिए:

इस पर करीब से नज़र डालें: मल्टीप्लायरों की तुलना इस बात से करें कि कैसे और कैसे रखे गए हैं।

आप इससे क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं? सही! यदि हम मूल्यों को गुणा करते हैं अनापत्ति प्रमाण पत्रऔर जीसीडीआपस में, तो हमें इन संख्याओं का गुणनफल मिलता है।

तदनुसार, संख्याएँ और अर्थ होना जीसीडी(या अनापत्ति प्रमाण पत्र), हम ढूंढ सकते हैं अनापत्ति प्रमाण पत्र(या जीसीडी) इस योजना के अनुसार:

1. संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए:

2. परिणामी उत्पाद को हमारे द्वारा विभाजित करें जीसीडी (6240; 6800) = 80:

बस इतना ही।

आइए नियम को सामान्य रूप में लिखें:

ढूंढने की कोशिश करो जीसीडी, यदि यह ज्ञात हो कि:

क्या आप संभाल पाओगे? .

नकारात्मक संख्याएँ "गलत संख्याएँ" हैं और मानवता द्वारा उनकी मान्यता है।

जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, ये प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संख्याएँ हैं, अर्थात्:

ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ा, घटाया, गुणा और विभाजित किया जा सकता है - बिल्कुल प्राकृतिक संख्याओं की तरह। ऐसा लगता है, उनमें ऐसा क्या खास है? लेकिन तथ्य यह है कि नकारात्मक संख्याओं ने 19वीं शताब्दी तक गणित में अपना उचित स्थान "जीत" लिया था (उस क्षण तक इस बात पर भारी विवाद था कि वे मौजूद हैं या नहीं)।

प्राकृतिक संख्याओं के साथ "घटाव" जैसी संक्रिया के कारण ही ऋणात्मक संख्या उत्पन्न हुई। दरअसल, इसमें से घटाने पर आपको एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है। इसीलिए ऋणात्मक संख्याओं के समुच्चय को अक्सर "समुच्चय का विस्तार" कहा जाता है प्राकृतिक संख्या».

नकारात्मक संख्याओं को लंबे समय तक लोगों द्वारा पहचाना नहीं गया था। इसलिए, प्राचीन मिस्र, बेबीलोन और प्राचीन ग्रीस- अपने समय के दिग्गज, नकारात्मक संख्याओं को नहीं पहचानते थे, और एक समीकरण में नकारात्मक जड़ें प्राप्त करने के मामले में (उदाहरण के लिए, हमारी तरह), जड़ों को असंभव के रूप में खारिज कर दिया गया था।

नकारात्मक संख्याओं ने सबसे पहले चीन में और फिर 7वीं शताब्दी में भारत में अस्तित्व का अधिकार प्राप्त किया। आपके अनुसार इस मान्यता का कारण क्या है? यह सही है, ऋणात्मक संख्याएँ ऋण (अन्यथा, कमी) को दर्शाने लगीं। यह माना जाता था कि नकारात्मक संख्याएँ एक अस्थायी मूल्य हैं, जो परिणामस्वरूप सकारात्मक में बदल जाएंगी (अर्थात, पैसा अभी भी ऋणदाता को वापस कर दिया जाएगा)। हालाँकि, भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त ने पहले से ही नकारात्मक संख्याओं को सकारात्मक संख्याओं के बराबर आधार पर माना था।

यूरोप में, ऋणात्मक संख्याओं की उपयोगिता, साथ ही यह तथ्य कि वे ऋणों को इंगित कर सकते हैं, बहुत बाद में, शायद एक सहस्राब्दी बाद खोजी गई। पहला उल्लेख 1202 में पीसा के लियोनार्ड द्वारा "अबेकस की पुस्तक" में देखा गया था (मैं तुरंत कहूंगा कि पुस्तक के लेखक का पीसा की झुकी मीनार से कोई लेना-देना नहीं है, लेकिन फाइबोनैचि संख्याएं उनका काम हैं) (पीसा के लियोनार्डो का उपनाम फाइबोनैचि है))। इसके अलावा, यूरोपीय इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि नकारात्मक संख्याओं का मतलब न केवल कर्ज हो सकता है, बल्कि किसी चीज की कमी भी हो सकती है, हालांकि सभी ने इसे नहीं पहचाना।

तो, 17वीं शताब्दी में, पास्कल ने ऐसा माना। आपको क्या लगता है उन्होंने इसे कैसे उचित ठहराया? यह सच है, "कुछ भी नहीं से कम नहीं हो सकता।" उस समय की एक प्रतिध्वनि यह तथ्य है कि एक ऋणात्मक संख्या और घटाव संक्रिया को एक ही प्रतीक - ऋण "-" द्वारा दर्शाया जाता है। और सच्चाई: . क्या संख्या "" धनात्मक है, जिसे घटाया गया है, या ऋणात्मक है, जिसका योग किया गया है?...श्रृंखला से कुछ "पहले क्या आता है: मुर्गी या अंडा?" यह एक अनोखा गणितीय दर्शन है।

नकारात्मक संख्याओं ने विश्लेषणात्मक ज्यामिति के आगमन के साथ अस्तित्व में रहने का अपना अधिकार सुरक्षित कर लिया, दूसरे शब्दों में, जब गणितज्ञों ने संख्या अक्ष के रूप में ऐसी अवधारणा पेश की।

इसी क्षण से समानता आई। हालाँकि, अभी भी उत्तर से अधिक प्रश्न थे, उदाहरण के लिए:

अनुपात

इस अनुपात को "अरनॉड का विरोधाभास" कहा जाता है। इसके बारे में सोचो, इसमें संदेहास्पद क्या है?

आइए एक साथ बहस करें "" "" से अधिक है, है ना? इस प्रकार, तर्क के अनुसार, अनुपात का बायाँ हिस्सा दाएँ से अधिक होना चाहिए, लेकिन वे बराबर हैं... यह विरोधाभास है।

परिणामस्वरूप, गणितज्ञ इस बात पर सहमत हुए कि कार्ल गॉस (हाँ, हाँ, यह वही व्यक्ति है जिसने योग (या) संख्याओं की गणना की) ने 1831 में इसे समाप्त कर दिया - उन्होंने कहा कि नकारात्मक संख्याओं के पास सकारात्मक के समान अधिकार हैं एक, और तथ्य यह है कि वे सभी चीजों पर लागू नहीं होते हैं, इसका कोई मतलब नहीं है, क्योंकि अंश भी कई चीजों पर लागू नहीं होते हैं (ऐसा नहीं होता है कि एक खुदाई करने वाला एक छेद खोदता है, आप मूवी टिकट नहीं खरीद सकते हैं, आदि) .).

गणितज्ञ केवल 19वीं शताब्दी में शांत हुए, जब विलियम हैमिल्टन और हरमन ग्रासमैन द्वारा ऋणात्मक संख्याओं का सिद्धांत बनाया गया।

वे बहुत विवादास्पद हैं, ये नकारात्मक संख्याएँ।

"शून्यता" का उद्भव, या शून्य की जीवनी।

गणित में यह एक विशेष संख्या है. पहली नज़र में, यह कुछ भी नहीं है: जोड़ें या घटाएं - कुछ भी नहीं बदलेगा, लेकिन आपको बस इसे " " के दाईं ओर जोड़ना होगा, और परिणामी संख्या मूल संख्या से कई गुना बड़ी होगी। शून्य से गुणा करके हम हर चीज़ को शून्य में बदल देते हैं, लेकिन "कुछ नहीं" से भाग देने पर हम ऐसा नहीं कर सकते। एक शब्द में, जादुई संख्या)

शून्य का इतिहास बहुत लम्बा और जटिल है। दूसरी सहस्राब्दी ईस्वी में चीनियों के लेखन में शून्य का निशान पाया गया था। और मायाओं के बीच भी पहले। शून्य प्रतीक का पहला प्रयोग, जैसा कि आज होता है, ग्रीक खगोलविदों के बीच देखा गया था।

इस पदनाम "कुछ नहीं" को क्यों चुना गया, इसके कई संस्करण हैं। कुछ इतिहासकारों का मानना ​​है कि यह एक ओमीक्रॉन है, यानी। ग्रीक शब्द फॉर नथिंग का पहला अक्षर ओडेन है। एक अन्य संस्करण के अनुसार, शब्द "ओबोल" (एक सिक्का जिसका लगभग कोई मूल्य नहीं है) ने शून्य के प्रतीक को जीवन दिया।

गणितीय प्रतीक के रूप में शून्य (या शून्य) सबसे पहले भारतीयों के बीच दिखाई देता है (ध्यान दें कि नकारात्मक संख्याएँ वहीं "विकसित" होने लगीं)। शून्य की रिकॉर्डिंग का पहला विश्वसनीय प्रमाण 876 का है, और उनमें " " संख्या का एक घटक है।

ज़ीरो भी यूरोप में देर से आया - केवल 1600 में, और नकारात्मक संख्याओं की तरह, इसे प्रतिरोध का सामना करना पड़ा (आप क्या कर सकते हैं, वे ऐसे ही हैं, यूरोपीय)।

अमेरिकी गणितज्ञ चार्ल्स सेफ लिखते हैं, "शून्य से अक्सर नफरत की जाती रही है, लंबे समय तक डराया जाता रहा है, या यहां तक ​​कि उस पर प्रतिबंध भी लगाया गया है।" इसलिए, तुर्की सुल्तान 19वीं सदी के अंत में अब्दुल हमीद द्वितीय। अपने सेंसर को आदेश दिया कि सभी रसायन विज्ञान की पाठ्यपुस्तकों से पानी के H2O के फार्मूले को मिटा दिया जाए, अक्षर "O" को शून्य के रूप में लिया जाए और वह नहीं चाहता था कि उसके प्रारंभिक अक्षरों को तुच्छ शून्य के निकटता के कारण बदनाम किया जाए।

इंटरनेट पर आप यह वाक्यांश पा सकते हैं: "शून्य ब्रह्मांड में सबसे शक्तिशाली शक्ति है, वह कुछ भी कर सकता है!" शून्य गणित में व्यवस्था बनाता है, और यह इसमें अराजकता भी लाता है। बिल्कुल सही बात :)

अनुभाग और बुनियादी सूत्रों का सारांश

पूर्णांकों के समुच्चय में 3 भाग होते हैं:

• प्राकृतिक संख्याएँ (हम उन पर नीचे अधिक विस्तार से विचार करेंगे);
• प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संख्याएँ;
• शून्य - " "

पूर्णांकों का समुच्चय दर्शाया गया है अक्षर Z.

1. प्राकृतिक संख्याएँ

प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग हम वस्तुओं को गिनने के लिए करते हैं।

प्राकृत संख्याओं का समुच्चय निरूपित किया जाता है पत्र एन.

पूर्णांकों के साथ संचालन में, आपको जीसीडी और एलसीएम खोजने की क्षमता की आवश्यकता होगी।

महानतम सामान्य भाजक (जीसीडी)

जीसीडी ढूंढने के लिए आपको यह करना होगा:

1. संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें (वे संख्याएँ जिन्हें स्वयं के अलावा किसी और चीज़ से विभाजित नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, आदि)।
2. उन कारकों को लिखिए जो दोनों संख्याओं का हिस्सा हैं।
3. उन्हें गुणा करें.

लघुत्तम समापवर्त्य (एलसीएम)

आपको आवश्यक एनओसी खोजने के लिए:

1. संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें (आप पहले से ही जानते हैं कि यह कैसे करना है)।
2. किसी एक संख्या के विस्तार में शामिल कारकों को लिखिए (सबसे लंबी श्रृंखला लेना बेहतर है)।
3. उनमें शेष संख्याओं के विस्तार से लुप्त गुणनखंड जोड़ें।
4. परिणामी कारकों का उत्पाद ज्ञात कीजिए।

2. ऋणात्मक संख्याएँ

ये प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संख्याएँ हैं, अर्थात्:

अब मैं तुम्हें सुनना चाहता हूँ...

मुझे आशा है कि आपने इस अनुभाग में अति-उपयोगी "ट्रिक्स" की सराहना की है और समझ गए हैं कि वे परीक्षा में आपकी कैसे मदद करेंगे।

और इससे भी महत्वपूर्ण बात - जीवन में। मैं इसके बारे में बात नहीं करता, लेकिन मेरा विश्वास करो, यह सच है। तेजी से और त्रुटियों के बिना गिनने की क्षमता आपको कई जीवन स्थितियों में बचाती है।

अब आपकी बारी है!

लिखें, क्या आप गणना में समूहीकरण विधियों, विभाज्यता परीक्षण, जीसीडी और एलसीएम का उपयोग करेंगे?

हो सकता है कि आपने पहले उनका उपयोग किया हो? कहां और कैसे?

शायद आपके पास प्रश्न हों. या सुझाव.

आपको आर्टिकल कैसा लगा कमेंट में लिखें।

और आपकी परीक्षाओं के लिए शुभकामनाएँ!

खैर, बात ख़त्म हो गई. अगर आप ये पंक्तियाँ पढ़ रहे हैं तो इसका मतलब है कि आप बहुत अच्छे हैं।

क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज़ में महारत हासिल कर पाते हैं। और यदि आप अंत तक पढ़ते हैं, तो आप इस 5% में हैं!

अब सबसे महत्वपूर्ण बात.

आप इस विषय पर सिद्धांत को समझ चुके हैं। और, मैं दोहराता हूं, यह... यह बिल्कुल सुपर है! आप पहले से ही अपने अधिकांश साथियों से बेहतर हैं।

समस्या यह है कि यह पर्याप्त नहीं हो सकता...

किस लिए?

सफल के लिए एकीकृत राज्य परीक्षा उत्तीर्ण करना, बजट पर कॉलेज में प्रवेश के लिए और, सबसे महत्वपूर्ण रूप से, जीवन भर के लिए।

मैं तुम्हें किसी भी बात के लिए राजी नहीं करूंगा, मैं बस एक बात कहूंगा...

जिन लोगों को प्राप्त हुआ एक अच्छी शिक्षा, उन लोगों की तुलना में बहुत अधिक कमाएं जिन्होंने इसे प्राप्त नहीं किया। ये आँकड़े हैं.

लेकिन ये मुख्य बात नहीं है.

मुख्य बात यह है कि वे अधिक खुश हैं (ऐसे अध्ययन हैं)। शायद इसलिए कि उनके सामने कई और अवसर खुलते हैं और जीवन उज्जवल हो जाता है? पता नहीं...

लेकिन आप खुद सोचिये...

एकीकृत राज्य परीक्षा में दूसरों से बेहतर होने और अंततः अधिक खुश रहने के लिए क्या करना होगा?

इस विषय पर समस्याओं को हल करके अपना हाथ बढ़ाएं।

परीक्षा के दौरान आपसे थ्योरी के बारे में नहीं पूछा जाएगा।

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निष्कर्ष के तौर पर...

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"समझ गया" और "मैं हल कर सकता हूँ" पूरी तरह से अलग कौशल हैं। आपको दोनों की जरूरत है.

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यदि हम प्राकृतिक संख्याओं की श्रृंखला के बाईं ओर संख्या 0 जोड़ते हैं, तो हमें प्राप्त होता है सकारात्मक पूर्णांकों की श्रृंखला:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

ऋणात्मक पूर्णांक

आइए एक छोटा सा उदाहरण देखें. बाईं ओर का चित्र एक थर्मामीटर दिखाता है जो 7°C का तापमान दिखाता है। यदि तापमान 4° गिर जाता है, तो थर्मामीटर 3° ताप दिखाएगा। तापमान में कमी घटाव की क्रिया से मेल खाती है:

यदि तापमान 7° तक गिर जाता है, तो थर्मामीटर 0° दिखाएगा। तापमान में कमी घटाव की क्रिया से मेल खाती है:

यदि तापमान 8° तक गिर जाता है, तो थर्मामीटर -1° (शून्य से 1° नीचे) दिखाएगा। लेकिन 7 - 8 घटाने का परिणाम प्राकृतिक संख्याओं और शून्य का उपयोग करके नहीं लिखा जा सकता है।

आइए सकारात्मक पूर्णांकों की एक श्रृंखला का उपयोग करके घटाव का वर्णन करें:

1) संख्या 7 से बायीं ओर की 4 संख्याएँ गिनें और 3 प्राप्त करें:

2) संख्या 7 से बायीं ओर की 7 संख्याएँ गिनें और 0 प्राप्त करें:

धनात्मक पूर्णांकों की श्रृंखला में संख्या 7 से बायीं ओर की 8 संख्याओं को गिनना असंभव है। क्रियाएँ 7-8 को व्यवहार्य बनाने के लिए, हम धनात्मक पूर्णांकों की सीमा का विस्तार करते हैं। ऐसा करने के लिए, शून्य के बाईं ओर, हम सभी प्राकृतिक संख्याओं को क्रम में (दाएं से बाएं) लिखते हैं, उनमें से प्रत्येक में - चिह्न जोड़ते हैं, जो दर्शाता है कि यह संख्या शून्य के बाईं ओर है।

प्रविष्टियाँ -1, -2, -3, ... माइनस 1, माइनस 2, माइनस 3, आदि पढ़ें:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

संख्याओं की परिणामी श्रृंखला कहलाती है पूर्णांकों की श्रृंखला. इस प्रविष्टि में बाएँ और दाएँ बिंदुओं का अर्थ है कि श्रृंखला को दाएँ और बाएँ अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है।

इस पंक्ति में संख्या 0 के दाईं ओर संख्याएँ कहलाती हैं प्राकृतिकया सकारात्मक पूर्णांक(संक्षेप में - सकारात्मक).

इस पंक्ति में संख्या 0 के बाईं ओर संख्याएँ कहलाती हैं पूर्णांक नकारात्मक(संक्षेप में - नकारात्मक).

संख्या 0 एक पूर्णांक है, लेकिन न तो धनात्मक और न ही ऋणात्मक संख्या है। यह धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को अलग करता है।

इस तरह, पूर्णांकों की श्रृंखला में ऋणात्मक पूर्णांक, शून्य और धनात्मक पूर्णांक होते हैं.

पूर्णांक तुलना

दो पूर्णांकों की तुलना करें- इसका अर्थ है यह पता लगाना कि कौन बड़ा है, कौन छोटा है, या यह निर्धारित करना कि संख्याएँ समान हैं।

आप पूर्णांकों की एक पंक्ति का उपयोग करके पूर्णांकों की तुलना कर सकते हैं, क्योंकि यदि आप पंक्ति में बाएँ से दाएँ चलते हैं तो इसमें संख्याएँ सबसे छोटी से सबसे बड़ी की ओर व्यवस्थित होती हैं। इसलिए, पूर्णांकों की श्रृंखला में, आप अल्पविराम को इससे कम चिह्न से बदल सकते हैं:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

इस तरह, दो पूर्णांकों में, श्रृंखला में दाईं ओर वाली संख्या जितनी बड़ी होगी, और बाईं ओर वाली संख्या उतनी ही छोटी होगी, मतलब:

1) कोई भी सकारात्मक संख्याशून्य से बड़ा और किसी भी ऋणात्मक संख्या से बड़ा:

1 > 0; 15 > -16

2) शून्य से कम कोई भी ऋणात्मक संख्या:

7 < 0; -357 < 0

3) दो ऋणात्मक संख्याओं में से, जो पूर्णांकों की श्रृंखला में दाईं ओर है वह बड़ी है।