कुछ का समाधान गणितीय समस्याएँइसमें प्रतिच्छेदन और मिलन खोजना शामिल है संख्या सेट. नीचे दिए गए लेख में हम विशिष्ट उदाहरणों सहित इन कार्रवाइयों पर विस्तार से विचार करेंगे। अर्जित कौशल एक चर और असमानताओं की प्रणालियों के साथ असमानताओं को हल करने के लिए लागू होगा।

सबसे सरल मामले

जब हम विचाराधीन विषय में सबसे सरल मामलों के बारे में बात करते हैं, तो हमारा मतलब संख्यात्मक सेटों के प्रतिच्छेदन और संघ को ढूंढना है, जो व्यक्तिगत संख्याओं का एक सेट है। ऐसे मामलों में, प्रतिच्छेदन और समुच्चयों के मिलन की परिभाषा का उपयोग करना पर्याप्त होगा।

परिभाषा 1

दो सेटों का मिलनएक सेट है जिसमें प्रत्येक तत्व मूल सेट में से एक का एक तत्व है।

सेटों का प्रतिच्छेदनएक ऐसा समुच्चय है जिसमें सभी शामिल हैं सामान्य तत्वमूल सेट.

इन परिभाषाओं से निम्नलिखित नियम तार्किक रूप से अनुसरण करते हैं:

तत्वों की एक सीमित संख्या के साथ दो संख्यात्मक सेटों का एक संघ बनाने के लिए, एक सेट के सभी तत्वों को लिखना और दूसरे सेट से गायब तत्वों को जोड़ना आवश्यक है;

दो संख्यात्मक सेटों का प्रतिच्छेदन बनाने के लिए, पहले सेट के तत्वों को एक-एक करके जांचना आवश्यक है कि क्या वे दूसरे सेट से संबंधित हैं। उनमें से जो दोनों सेटों से संबंधित होंगे, वे प्रतिच्छेदन का गठन करेंगे।

पहले नियम के अनुसार प्राप्त सेट में कम से कम एक मूल सेट से संबंधित सभी तत्व शामिल होंगे, अर्थात। परिभाषा के अनुसार इन समुच्चयों का मिलन बन जाएगा।

दूसरे नियम के अनुसार प्राप्त सेट में मूल सेट के सभी सामान्य तत्व शामिल होंगे, अर्थात। मूल सेटों का प्रतिच्छेदन बन जाएगा।

आइए व्यावहारिक उदाहरणों का उपयोग करके परिणामी नियमों के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण 1

प्रारंभिक डेटा: संख्यात्मक सेट ए = (3, 5, 7, 12) और बी = (2, 5, 8, 11, 12, 13)। मूल समुच्चयों का मिलन एवं प्रतिच्छेदन ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान

1. आइए हम मूल समुच्चयों के संघ को परिभाषित करें। आइए, उदाहरण के लिए, सेट ए के सभी तत्वों को लिखें: 3, 5, 7, 12। आइए उनमें सेट बी के लुप्त तत्वों को जोड़ें: 2, 8, 11 और 13। अंततः, हमारे पास एक संख्यात्मक सेट है: (3, 5, 7, 12, 2, 8, 11, 13)। आइए परिणामी सेट के तत्वों को क्रमबद्ध करें और वांछित संघ प्राप्त करें: ए ∪ बी = (2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13)।
2. आइए हम मूल सेटों के प्रतिच्छेदन को परिभाषित करें। नियम के अनुसार, हम पहले सेट ए के सभी तत्वों को एक-एक करके देखेंगे और जांचेंगे कि वे सेट बी में शामिल हैं या नहीं। आइए पहले तत्व पर विचार करें - संख्या 3: यह सेट बी से संबंधित नहीं है, जिसका अर्थ है कि यह वांछित चौराहे का तत्व नहीं होगा। आइए सेट ए के दूसरे तत्व की जाँच करें, अर्थात। संख्या 5: यह सेट बी से संबंधित है, जिसका अर्थ है कि यह वांछित चौराहे का पहला तत्व बन जाएगा। समुच्चय A का तीसरा तत्व संख्या 7 है। यह समुच्चय B का एक तत्व नहीं है, और इसलिए, प्रतिच्छेदन का एक तत्व नहीं है। सेट ए के अंतिम तत्व पर विचार करें: संख्या 1। यह भी सेट बी से संबंधित है, और तदनुसार प्रतिच्छेदन तत्वों में से एक बन जाएगा। इस प्रकार, मूल सेट का प्रतिच्छेदन एक सेट है जिसमें दो तत्व शामिल हैं: 5 और 12, यानी। ए ∩ बी = (5, 12).

उत्तर: मूल समुच्चयों का मिलन - A ∪ B = (2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13); मूल सेटों का प्रतिच्छेदन - ए ∩ बी = (5, 12)।

उपरोक्त सभी बातें दो सेटों के साथ काम करने पर लागू होती हैं। जहाँ तक तीन या अधिक समुच्चयों के प्रतिच्छेदन और मिलन को खोजने की बात है, इस समस्या का समाधान क्रमिक रूप से दो समुच्चयों के प्रतिच्छेदन और मिलन को खोजने तक कम किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, तीन सेट ए, बी और सी के प्रतिच्छेदन को निर्धारित करने के लिए, पहले ए और बी के प्रतिच्छेदन को निर्धारित करना संभव है, और फिर सेट सी के साथ परिणामी परिणाम के प्रतिच्छेदन का पता लगाना संभव है। एक उदाहरण का उपयोग करते हुए, यह इस तरह दिखता है: मान लें कि संख्यात्मक सेट दिए गए हैं: ए = (3, 9, 4, 3, 5, 21), बी = (2, 7, 9, 21) और सी = (7, 9) , 1, 3 ) . पहले दो सेटों का प्रतिच्छेदन होगा: ए ∩ बी = (9, 21), और सेट ए ∩ बी = (9, 21) के साथ परिणामी सेट का प्रतिच्छेदन होगा। परिणामस्वरूप: ए ∩ बी ∩ सी = ( 9 ) .

हालाँकि, व्यवहार में, तीन या अधिक सरल संख्यात्मक सेटों के मिलन और प्रतिच्छेदन को खोजने के लिए, जिसमें व्यक्तिगत संख्याओं की एक सीमित संख्या शामिल होती है, ऊपर बताए गए नियमों को लागू करना अधिक सुविधाजनक होता है।

अर्थात्, निर्दिष्ट प्रकार के तीन या अधिक सेटों का एक संघ खोजने के लिए, दूसरे सेट के लुप्त तत्वों को पहले सेट के तत्वों, फिर तीसरे, आदि को जोड़ना आवश्यक है। स्पष्टीकरण के लिए, आइए संख्यात्मक सेट लें: ए = (1, 2), बी = (2, 3), सी = (1, 3, 4, 5)। सेट बी से संख्या 3 को पहले सेट ए के तत्वों में जोड़ा जाएगा, और फिर सेट सी से गायब संख्या 4 और 5 को जोड़ा जाएगा। इस प्रकार, मूल सेटों का मिलन: A ∪ B ∪ C = (1, 2, 3, 4, 5)।

जहाँ तक तीन या अधिक संख्यात्मक सेटों के प्रतिच्छेदन को खोजने की समस्या को हल करने की बात है, जिसमें अलग-अलग संख्याओं की एक सीमित संख्या शामिल है, तो पहले सेट की संख्याओं को एक-एक करके देखना और चरण-दर-चरण जांचना आवश्यक है कि क्या प्रश्न में संख्या है शेष प्रत्येक सेट से संबंधित है। स्पष्टीकरण के लिए, संख्या सेट पर विचार करें:

ए = (3, 1, 7, 12, 5, 2) बी = (1, 0, 2, 12) सी = (7, 11, 2, 1, 6) डी = (1, 7, 15, 8, 2, 6).

आइए मूल सेटों का प्रतिच्छेदन खोजें। जाहिर है, सेट बी में सबसे कम तत्व हैं, इसलिए हम यह निर्धारित करने के लिए जांच करेंगे कि क्या वे शेष सेट में शामिल हैं। सेट बी का नंबर 1 अन्य सेटों का एक तत्व है, और इसलिए वांछित चौराहे का पहला तत्व है। सेट बी का दूसरा नंबर - नंबर 0 - सेट ए का तत्व नहीं है, और इसलिए, प्रतिच्छेदन का तत्व नहीं बनेगा। हम जांच जारी रखते हैं: सेट बी का नंबर 2 अन्य सेटों का एक तत्व है और चौराहे का दूसरा हिस्सा बन जाता है। अंत में, सेट बी का अंतिम तत्व - संख्या 12 - सेट डी का तत्व नहीं है और प्रतिच्छेदन का तत्व नहीं है। इस प्रकार, हमें मिलता है: A ∩ B ∩ C ∩ D = ( 1 , 2 ) .

उनके भागों के संघ के रूप में समन्वय रेखा और संख्या अंतराल

आइए निर्देशांक रेखा पर एक मनमाना बिंदु चिह्नित करें, उदाहरण के लिए, निर्देशांक - 5, 4 के साथ। निर्दिष्ट बिंदुसमन्वय रेखा को दो संख्यात्मक अंतरालों में विभाजित करेगा - दो खुली किरणें (-∞, -5,4) और (-5,4, +∞) और बिंदु स्वयं। यह देखना आसान है कि, सेटों के संघ की परिभाषा के अनुसार, कोई भी वास्तविक संख्या संघ (- ∞, - 5, 4) ∪ (- 5, 4) ∪ (- 5, 4, +) से संबंधित होगी ∞). वे। सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R = (- ∞ ; + ∞) को ऊपर प्राप्त संघ के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसके विपरीत, परिणामी संघ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होगा।

ध्यान दें कि किसी दिए गए बिंदु को किसी भी खुली किरण से जोड़ना संभव है, तो यह सरल हो जाएगा संख्यात्मक किरण(- ∞ , - 5 , 4 ] या [ - 5 , 4 , + ∞) . इस मामले में, सेट आर को निम्नलिखित यूनियनों द्वारा वर्णित किया जाएगा: (- ∞ , - 5 , 4 ] ∪ (- 5 , 4 , + ∞) या (- ∞ , - 5 , 4) ∪ [ - 5 , 4 , + ∞). .

समान तर्क न केवल समन्वय रेखा पर एक बिंदु के संबंध में मान्य है, बल्कि किसी भी संख्यात्मक अंतराल पर एक बिंदु के संबंध में भी मान्य है। अर्थात्, यदि हम किसी मनमाने अंतराल का कोई आंतरिक बिंदु लें, तो उसे विभाजन के बाद प्राप्त उसके भागों के संघ के रूप में दर्शाया जा सकता है दिया गया बिंदु, और बात ही. उदाहरण के लिए, एक अर्ध-अंतराल (7, 32] और इस संख्यात्मक अंतराल से संबंधित एक बिंदु 13 दिया गया है। फिर दिए गए आधे-अंतराल को एक संघ (7, 13) ∪ (13) ∪ (13, 32) के रूप में दर्शाया जा सकता है ] और इसके विपरीत। हम किसी भी अंतराल में संख्या 13 को शामिल कर सकते हैं और फिर दिए गए सेट (7, 32 ] को (7, 13 ] ∪ (13, 32 ] या (7, 13 ] ∪ (13) के रूप में दर्शाया जा सकता है। , 32 ]। हम किसी दिए गए अर्ध-अंतराल का आंतरिक बिंदु नहीं, बल्कि उसका अंत (निर्देशांक 32 वाला बिंदु) भी ले सकते हैं, तो दिए गए अर्ध-अंतराल को अंतराल (7, 32) के संघ के रूप में दर्शाया जा सकता है। और एक तत्व का एक सेट (32) इस प्रकार: (7, 32] = (7, . 32) ∪ ( 32 ) .

एक अन्य विकल्प: जब एक नहीं, बल्कि कई बिंदुओं को एक समन्वय रेखा या संख्यात्मक अंतराल पर लिया जाता है। ये बिंदु समन्वय रेखा या संख्यात्मक अंतराल को कई संख्यात्मक अंतरालों में विभाजित करेंगे, और इन अंतरालों के मिलन से मूल सेट बनेंगे। उदाहरण के लिए, निर्देशांक रेखा पर बिंदु निर्देशांक - 6, 0, 8 के साथ दिए गए हैं, जो इसे अंतरालों में विभाजित करेगा: (- ∞, - 6), (- 6, 0), (0, 8), (8, + ∞) . इस मामले में, सभी वास्तविक संख्याओं का सेट, जो समन्वय रेखा द्वारा व्यक्त किया जाता है, परिणामी अंतराल और संकेतित संख्याओं के संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है:

(- ∞ , - 6) ∪ { - 6 } ∪ (- 6 , 0) ∪ { 0 } ∪ (0 , 8) ∪ { 8 } ∪ (8 , + ∞) .

यदि आप एक समन्वय रेखा पर दिए गए सेटों की छवियों का उपयोग करते हैं (जब तक कि हम लेख की शुरुआत में चर्चा किए गए सबसे सरल मामलों के बारे में बात नहीं कर रहे हैं) तो सेटों के प्रतिच्छेदन और संघ को खोजने का विषय स्पष्ट रूप से समझा जा सकता है।

हम एक सामान्य दृष्टिकोण देखेंगे जो हमें दो संख्या सेटों के प्रतिच्छेदन और मिलन का परिणाम निर्धारित करने की अनुमति देता है। आइए हम एक एल्गोरिदम के रूप में दृष्टिकोण का वर्णन करें। हम हर बार एक विशिष्ट उदाहरण को हल करने के अगले चरण का हवाला देते हुए इसके चरणों पर धीरे-धीरे विचार करेंगे।

उदाहरण 2

प्रारंभिक डेटा: दिए गए संख्यात्मक सेट A = (7, + ∞) और B = [- 3, + ∞)। इन समुच्चयों का प्रतिच्छेदन और मिलन खोजना आवश्यक है।

समाधान

1. आइए दिए गए संख्यात्मक सेटों को निर्देशांक रेखाओं पर चित्रित करें। उन्हें एक के ऊपर एक रखने की जरूरत है। सुविधा के लिए, यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि दिए गए सेटों के मूल बिंदु मेल खाते हैं, और एक दूसरे के सापेक्ष बिंदुओं का स्थान संरक्षित रहता है: बड़े समन्वय वाला कोई भी बिंदु निहित होता है बिंदु के दाईं ओरएक छोटे समन्वय के साथ. इसके अलावा, यदि हम समुच्चयों के मिलन में रुचि रखते हैं, तो निर्देशांक रेखाओं को समुच्चय के वर्गाकार कोष्ठक द्वारा बाईं ओर संयोजित किया जाता है; यदि आप प्रतिच्छेदन में रुचि रखते हैं, तो सिस्टम के घुंघराले ब्रेस का उपयोग करें।

हमारे उदाहरण में, संख्यात्मक सेटों के प्रतिच्छेदन और संघ को लिखने के लिए हमारे पास है: और

आइए इसे मौजूदा समन्वय रेखा के नीचे रखकर एक और समन्वय रेखा खींचें। वांछित चौराहे या संघ को प्रदर्शित करने के लिए इसकी आवश्यकता होगी। इस समन्वय रेखा पर, मूल संख्यात्मक सेटों के सभी सीमा बिंदुओं को चिह्नित किया जाता है: पहले डैश के साथ, और बाद में, इन निर्देशांक के साथ बिंदुओं की प्रकृति को स्पष्ट करने के बाद, डैश को छिद्रित या गैर-छिद्रित बिंदुओं से बदल दिया जाएगा। हमारे उदाहरण में, ये निर्देशांक वाले बिंदु हैं - 3 और 7।

और

एल्गोरिदम के पिछले चरण में निचली समन्वय रेखा पर दर्शाए गए बिंदु समन्वय रेखा को संख्यात्मक अंतराल और बिंदुओं के एक सेट के रूप में मानना ​​​​संभव बनाते हैं (हमने इसके बारे में ऊपर बात की थी)। हमारे उदाहरण में, हम निर्देशांक रेखा को पांच संख्यात्मक सेटों के सेट के रूप में दर्शाते हैं: (- ∞, - 3), (- 3), (- 3, 7), (7), (7, + ∞)।

अब आपको एक-एक करके यह जांचना होगा कि रिकॉर्ड किया गया प्रत्येक सेट वांछित चौराहे या संघ से संबंधित है या नहीं। परिणामी निष्कर्षों को निचली समन्वय रेखा पर चरणों में चिह्नित किया जाता है: जब अंतराल एक चौराहे या संघ का हिस्सा होता है, तो इसके ऊपर एक हैच खींचा जाता है। जब कोई बिंदु किसी चौराहे या संघ में प्रवेश करता है, तो स्ट्रोक को एक ठोस बिंदु से बदल दिया जाता है; यदि बिंदु चौराहे या मिलन का हिस्सा नहीं है, तो यह छिद्रित है। इन कार्यों में आपको निम्नलिखित नियमों का पालन करना होगा:

एक अंतर प्रतिच्छेदन का हिस्सा बन जाता है यदि यह एक साथ सेट ए और सेट बी का हिस्सा है (या दूसरे शब्दों में, यदि सेट ए और बी का प्रतिनिधित्व करने वाली दोनों समन्वय रेखाओं पर इस अंतर के ऊपर छायांकन है);

एक बिंदु प्रतिच्छेदन का हिस्सा बन जाता है यदि यह एक साथ सेट ए और बी में से प्रत्येक का हिस्सा है (दूसरे शब्दों में, यदि बिंदु दोनों संख्यात्मक सेट ए और बी के किसी भी अंतराल का एक गैर-छिद्रित या आंतरिक बिंदु है);

एक अंतराल एक संघ का हिस्सा बन जाता है यदि यह सेट ए या बी में से कम से कम एक का हिस्सा है (दूसरे शब्दों में, यदि सेट ए और बी का प्रतिनिधित्व करने वाली समन्वय रेखाओं में से कम से कम एक पर इस अंतर पर छायांकन है।

एक बिंदु एक संघ का हिस्सा बन जाता है यदि वह सेट ए और बी में से कम से कम एक का हिस्सा है (दूसरे शब्दों में, बिंदु सेट ए और बी में से कम से कम एक के किसी भी अंतराल का एक गैर-छिद्रित या आंतरिक बिंदु है) .

संक्षेप में संक्षेप में: संख्यात्मक सेट ए और बी का प्रतिच्छेदन सेट ए और बी के सभी संख्यात्मक अंतराल का प्रतिच्छेदन है, जिस पर छायांकन एक साथ मौजूद है, और सेट ए और सेट बी दोनों से संबंधित सभी व्यक्तिगत बिंदु। संख्यात्मक सेट ए का मिलन और बी सभी संख्यात्मक अंतरालों का मिलन है, जिस पर सेट ए या बी में से कम से कम एक में छायांकन होता है, साथ ही सभी असंबद्ध व्यक्तिगत बिंदु भी होते हैं।

1. आइए उदाहरण पर वापस जाएं और दिए गए सेटों के प्रतिच्छेदन को परिभाषित करें। ऐसा करने के लिए, आइए सेटों को एक-एक करके जांचें: (- ∞ , - 3) , ( - 3 ) , (- 3 , 7) , ( 7 ) , (7 , + ∞) . आइए सेट (- ∞, - 3) से शुरू करें, इसे चित्र में स्पष्ट रूप से हाइलाइट करें:

इस अंतर को प्रतिच्छेदन में शामिल नहीं किया जाएगा क्योंकि यह सेट ए या सेट बी (कोई छायांकन नहीं) का हिस्सा नहीं है। और इसलिए हमारी ड्राइंग अपना मूल स्वरूप बरकरार रखती है:

निम्नलिखित सेट (-3) पर विचार करें। संख्या - 3 सेट बी का हिस्सा है (पंचर बिंदु नहीं), लेकिन सेट ए का हिस्सा नहीं है, और इसलिए वांछित चौराहे का हिस्सा नहीं बनेगा। तदनुसार, निचली निर्देशांक रेखा पर हम निर्देशांक -3 के साथ एक बिंदु बनाते हैं:

हम निम्नलिखित सेट (- 3, 7) का मूल्यांकन करते हैं।

यह सेट बी का हिस्सा है (अंतराल के ऊपर छायांकन है), लेकिन सेट ए में शामिल नहीं है (अंतराल के ऊपर कोई छायांकन नहीं है): इसे वांछित चौराहे में शामिल नहीं किया जाएगा, जिसका अर्थ है कि कोई नया निशान दिखाई नहीं देता है निचली समन्वय रेखा:

जाँच के लिए अगला सेट (7) है। यह सेट बी का हिस्सा है (निर्देशांक 7 वाला बिंदु अंतराल [-3, + ∞) का एक आंतरिक बिंदु है), लेकिन सेट ए (छिद्रित बिंदु) का हिस्सा नहीं है, इस प्रकार, प्रश्न में अंतराल नहीं होगा वांछित चौराहे का हिस्सा बनें। आइए निर्देशांक 7 के साथ बिंदु को चिह्नित करें:

और अंत में, हम शेष अंतर (7, + ∞) की जांच करते हैं।

गैप ए और बी दोनों सेटों में शामिल है (हैचिंग गैप के ऊपर मौजूद है), इसलिए, यह चौराहे का हिस्सा बन जाता है। हम विचारित अंतराल के ऊपर की जगह को छायांकित करते हैं:

अंततः, निचली समन्वय रेखा पर दिए गए सेटों के वांछित प्रतिच्छेदन की एक छवि बनाई गई। जाहिर है यह सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है अधिक संख्या 7, यानी: ए ∩ बी = (7, + ∞).

1. अगला कदमआइए दिए गए समुच्चय A और B के मिलन को परिभाषित करें। हम क्रमिक रूप से सेट (- ∞ , - 3), ( - 3), (- 3, 7), ( 7), (7, + ∞) की जांच करेंगे, वांछित में उनके शामिल होने या गैर-शामिल होने के तथ्य को स्थापित करेंगे। संघ.

पहला सेट (- ∞, - 3) किसी भी मूल सेट ए और बी का हिस्सा नहीं है (अंतराल के ऊपर कोई छायांकन नहीं है), इसलिए, सेट (- ∞, - 3) वांछित में शामिल नहीं किया जाएगा संघ:

सेट (-3) सेट बी में शामिल है, जिसका अर्थ है कि इसे सेट ए और बी के वांछित संघ में शामिल किया जाएगा:

समुच्चय (- 3 , 7) है अभिन्न अंगसेट बी (हैचिंग अंतराल के ऊपर मौजूद है) और सेट ए और बी के मिलन का एक तत्व बन जाता है:

सेट 7 संख्यात्मक सेट बी में शामिल है, इसलिए इसे वांछित संघ में भी शामिल किया जाएगा:

सेट (7, + ∞), एक ही समय में दोनों सेट ए और बी का एक तत्व होने के कारण, वांछित संघ का एक और हिस्सा बन जाता है:

मूल सेट ए और बी के मिलन की अंतिम छवि के आधार पर, हम प्राप्त करते हैं: ए ∩ बी = [ - 3 , + ∞) .

सेटों के प्रतिच्छेदन और संघों को खोजने के नियमों को लागू करने में कुछ व्यावहारिक अनुभव होने के कारण, वर्णित जांच आसानी से मौखिक रूप से की जाती है, जो आपको अंतिम परिणाम को जल्दी से लिखने की अनुमति देती है। आइए एक व्यावहारिक उदाहरण के साथ प्रदर्शित करें कि विस्तृत स्पष्टीकरण के बिना इसका समाधान कैसा दिखता है।

उदाहरण 3

प्रारंभिक डेटा: सेट ए = (- ∞ , - 15) ∪ ( - 5 ) ∪ [ 0 , 7) ∪ ( 12 ) और बी = (- 20 , - 10) ∪ ( - 5 ) ∪ (2 , 3) ​​​​∪(17). दिए गए सेटों के प्रतिच्छेदन और संघ को निर्धारित करना आवश्यक है।

समाधान

आइए आवश्यक प्रतिच्छेदन और मिलन का एक उदाहरण प्राप्त करने में सक्षम होने के लिए निर्देशांक रेखाओं पर दिए गए संख्यात्मक सेटों को चिह्नित करें:

उत्तर: ए ∩ बी = (- 20, - 15) ∪ (- 5) ∪ (2, 3); ए ∪ बी = (- ∞ , - 10) ∪ ( - 5 ) ∪ [ 0 , 7 ] ∪ ( 12 , 17 ) .

यह भी स्पष्ट है कि प्रक्रिया की पर्याप्त समझ के साथ, निर्दिष्ट एल्गोरिदम को अनुकूलित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, प्रतिच्छेदन खोजने की प्रक्रिया में, आपको उन सभी अंतरालों और सेटों की जांच करने में समय बर्बाद नहीं करना पड़ेगा जो व्यक्तिगत संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, अपने आप को केवल उन अंतरालों और संख्याओं पर विचार करने तक सीमित रखें जो सेट ए या बी बनाते हैं। अन्य अंतराल किसी भी स्थिति में चौराहे में शामिल नहीं किया जाएगा, अर्थात। मूल सेट का हिस्सा नहीं हैं. आइए एक व्यावहारिक उदाहरण का उपयोग करके स्पष्ट करें कि क्या कहा गया है।

उदाहरण 4

प्रारंभिक डेटा: सेट ए = (- 2) ∪ [1, 5] और बी = [- 4, 3]।

मूल सेटों का प्रतिच्छेदन निर्धारित करना आवश्यक है।

समाधान

आइए हम संख्यात्मक सेट ए और बी को ज्यामितीय रूप से निरूपित करें:

मूल सेटों के सीमा बिंदु संख्या रेखा को कई सेटों में विभाजित करेंगे:

(- ∞ , - 4) , { - 4 } , (- 4 , - 2) , { - 2 } , (- 2 , - 1) , { 1 } , (1 , 3) , { 3 } , (3 , 5) , { 5 } , (5 , + ∞) .

यह देखना आसान है कि संख्यात्मक सेट ए को कुछ सूचीबद्ध सेटों को मिलाकर लिखा जा सकता है, अर्थात्: (- 2), (1, 3), (3) और (3, 5)। वांछित प्रतिच्छेदन खोजने के लिए इन सेटों को सेट बी में भी शामिल करने के लिए जांच करना पर्याप्त होगा। जिन्हें सेट बी में शामिल किया जाएगा और प्रतिच्छेदन के तत्व बन जाएंगे। की जाँच करें।

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि (-2) समुच्चय बी का हिस्सा है, क्योंकि निर्देशांक-2 वाला बिंदु खंड [-4,3) का एक आंतरिक बिंदु है। अंतराल (1, 3) और सेट (3) भी सेट बी में शामिल हैं (अंतराल के ऊपर छायांकन है, और निर्देशांक 3 वाला बिंदु सीमा है और सेट बी के लिए छिद्रित नहीं है)। समुच्चय (3,5) एक प्रतिच्छेदन तत्व नहीं होगा, क्योंकि सेट बी में शामिल नहीं है (इसके ऊपर कोई छायांकन नहीं है)। आइए उपरोक्त सभी को चित्र में नोट करें:

परिणामस्वरूप, दो दिए गए सेटों का वांछित प्रतिच्छेदन सेटों का मिलन होगा, जिसे हम इस प्रकार लिखेंगे: ( - 2 ) ∪ (1 , 3 ] .

उत्तर: ए ∩ बी = ( - 2 ) ∪ (1 , 3 ] .

लेख के अंत में, हम यह भी चर्चा करेंगे कि कई सेटों (2 से अधिक) के प्रतिच्छेदन और संघ को खोजने की समस्या को कैसे हल किया जाए। आइए, जैसा कि पहले सिफारिश की गई थी, इसे पहले दो सेटों के प्रतिच्छेदन और मिलन को निर्धारित करने की आवश्यकता तक कम करें, फिर तीसरे सेट के साथ परिणामी परिणाम, और इसी तरह। या आप ऊपर वर्णित एल्गोरिदम का उपयोग केवल अंतर के साथ कर सकते हैं कि व्यक्तिगत संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने वाले अंतराल और सेटों की घटना की जांच दो द्वारा नहीं, बल्कि सभी दिए गए सेटों द्वारा की जानी चाहिए। आइए एक उदाहरण देखें.

उदाहरण 5

प्रारंभिक डेटा: सेट ए = (- ∞, 12], बी = (- 3, 25], डी = (- ∞, 25) ꓴ (40)। दिए गए सेटों के प्रतिच्छेदन और संघ को निर्धारित करना आवश्यक है।

समाधान

हम निर्देशांक रेखाओं पर दिए गए संख्यात्मक सेट प्रदर्शित करते हैं और उनके बाईं ओर एक घुंघराले ब्रैकेट रखते हैं, जो चौराहे को दर्शाता है, साथ ही एक वर्ग ब्रैकेट, जो संघ को दर्शाता है। नीचे हम स्ट्रोक से चिह्नित संख्यात्मक सेटों के सीमा बिंदुओं के साथ समन्वय रेखाएं प्रदर्शित करते हैं:

इस प्रकार, निर्देशांक रेखा को निम्नलिखित सेटों द्वारा दर्शाया जाता है: (- ∞, - 3), (- 3), (- 3, 12), (12), (12, 25), (25), (25, 40 ), (40 ) , (40 , + ∞) .

हम चौराहों की तलाश शुरू करते हैं, बारी-बारी से लिखित सेटों की जाँच करते हैं कि क्या वे प्रत्येक मूल सेट से संबंधित हैं। दिए गए सभी तीन सेटों में अंतराल (- 3, 12) और सेट (- 12) शामिल हैं: वे वांछित चौराहे के तत्व बन जाएंगे। इस प्रकार, हमें मिलता है: ए ∩ बी ∩ डी = (- 3 , 12 ] .

दिए गए सेटों के मिलन से निम्नलिखित सेट बनेंगे: (- ∞ , - 3) - सेट ए का तत्व; (-3) - सेट ए का तत्व; (- 3, 12) - सेट ए का तत्व; (12) - सेट ए का तत्व; (12, 25) - सेट बी का तत्व; (25) सेट बी का एक तत्व है और (40) सेट डी का एक तत्व है। इस प्रकार, हमें मिलता है: A ∪ B ∪ D = (- ∞ , 25 ] ∪ ( 40 ) .

उत्तर: ए ∩ बी ∩ डी = (- 3, 12 ]; ए ∪ बी ∪ डी = (- ∞, 25 ] ∪ ( 40 ) .

यह भी ध्यान दें कि संख्यात्मक सेटों का वांछित प्रतिच्छेदन अक्सर खाली सेट होता है। यह उन मामलों में होता है जहां दिए गए सेट में वे तत्व शामिल नहीं होते हैं जो एक साथ उन सभी से संबंधित होते हैं।

उदाहरण 6

प्रारंभिक डेटा: ए = [- 7, 7 ]; बी = (- 15 ) ∪ [- 12 , 0) ∪ ( 5 ) ; डी = [ - 15 , - 10 ] ∪ [ 10 , + ∞) ; ई = (0, 27) . दिए गए सेटों का प्रतिच्छेदन निर्धारित करें।

समाधान

आइए हम समन्वय रेखाओं पर मूल सेट और स्ट्रोक के साथ अतिरिक्त लाइन पर इन सेटों के सीमा बिंदुओं को प्रदर्शित करें।

चिह्नित बिंदु संख्या रेखा को सेटों में विभाजित करेंगे: (- ∞, - 15), (- 15), (- 15, - 12), (- 12), (- 12, - 10), (- 10), (- 10 , - 7) , ( - 7 ) , ( - 7 , 0) , ( 0 ) , (0 , 5) , ( 5 ) , (5 , 7) , ( 7 ) , (7 , 10) , (10 ) , (10, 27) , (27) , (27, + ∞) .

उनमें से कोई भी एक साथ सभी मूल सेटों का एक तत्व नहीं है, इसलिए, दिए गए सेटों का प्रतिच्छेदन खाली सेट है;

उत्तर: ए ∩ बी ∩ डी ∩ ई = Ø.

समुच्चयों को वृत्तों के रूप में प्रस्तुत करना सुविधाजनक होता है, जिन्हें यूलर वृत्त कहा जाता है।

चित्र में, समुच्चय X और Y का प्रतिच्छेदन समुच्चय नारंगी रंग का है।

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सेट पर एक ऑपरेशन एक नियम है, जिसके परिणामस्वरूप दिए गए सेट से एक नया सेट विशिष्ट रूप से प्राप्त होता है।

आइए हम एक मनमाने संक्रिया को * से निरूपित करें। दिए गए सेट से प्राप्त सेट ए और बी,फॉर्म में लिखा है ए*बी.परिणामी सेट और ऑपरेशन को आमतौर पर एक शब्द कहा जाता है।

टिप्पणी।बुनियादी संख्यात्मक संक्रियाओं के लिए, दो शब्दों का उपयोग किया जाता है: एक संक्रिया को एक क्रिया के रूप में दर्शाता है, दूसरा क्रिया करने के बाद प्राप्त संख्या को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, + द्वारा निरूपित संक्रिया को जोड़ कहा जाता है, और जोड़ से उत्पन्न संख्या को संख्याओं का योग कहा जाता है। इसी प्रकार गुणन संक्रिया का चिन्ह और परिणाम ए बी -संख्याओं का गुणनफल ए और बी.हालाँकि, अक्सर इस अंतर को ध्यान में नहीं रखा जाता है और वे कहते हैं "संख्याओं के योग पर विचार करें", जिसका अर्थ कोई विशिष्ट परिणाम नहीं, बल्कि ऑपरेशन ही है।

इंटरसेक्शन ऑपरेशन.सेट ए और बी का प्रतिच्छेदन एजीएलवी, जिसमें सभी वस्तुएं शामिल हैं, जिनमें से प्रत्येक दोनों सेटों से संबंधित है एऔर मेंइसके साथ ही।

दूसरे शब्दों में, एएसवी - all.g का समुच्चय इस प्रकार है हेएऔर हेवी:

मर्ज ऑपरेशन.समुच्चय A और B का मिलनद्वारा निरूपित समुच्चय कहलाता है ए" और बी,सभी वस्तुओं से मिलकर, जिनमें से प्रत्येक कम से कम एक सेट से संबंधित है एया में।

संघ संचालन को कभी-कभी + चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है और इसे सेट जोड़ कहा जाता है।

अंतर संचालन.सेट ए और बी के बीच अंतरद्वारा निरूपित समुच्चय कहलाता है अब, जिसमें सभी वस्तुएं शामिल हैं, जिनमें से प्रत्येक में निहित है ए,लेकिन झूठ नहीं बोलता में।

अभिव्यक्ति एपीवीपढ़ना "एके साथ प्रतिच्छेदन में में», ए.के.जे.बी.- “और साथ में बी", एबी - "एबिना में"।

उदाहरण 7.1.1.होने देना ए = {1, 3,4, 5, 8,9}, में = {2,4, 6, 8}.

तब एकेजेबी= (1,2, 3,4, 5, 6, 8, 9), एसीबी=( 4,8}, अब= (1.3, 5, 9), YAL = (2.6)।"

इन ऑपरेशनों के आधार पर दो और महत्वपूर्ण ऑपरेशनों की पहचान की जा सकती है।

अतिरिक्त कार्रवाई.होने देना AqS. फिर फर्क एस.ए.बुलाया सेट A से S जोड़नाऔर नामित किया गया है जैसा।

माना कि विचाराधीन कोई भी समुच्चय किसी समुच्चय का उपसमुच्चय है यूऐसे निश्चित (किसी विशेष समस्या को हल करने के संदर्भ में) सेट के अतिरिक्त यूबस मतलब ए. संकेतन का भी प्रयोग किया जाता है एसए,साथ ए, ए।”

उदाहरण 7.1.2.सभी दशमलव अंकों के समुच्चय (1, 3,4, 5, 8, 9) का पूरक (0, 2, 6, 7) है।

समुच्चय Q को समुच्चय में संपूरित करना आर 1 का एक सेट है.

वर्गों के समुच्चय का आयतों के समुच्चय से पूरक असमान आसन्न भुजाओं वाले सभी आयतों का समुच्चय है।

हम देखते हैं कि समुच्चयों के मिलन, प्रतिच्छेदन और पूरक की संक्रियाएँ विच्छेद, संयोजन और निषेध की तार्किक संक्रियाओं के अनुरूप होती हैं।

सममित अंतर संचालन.समुच्चय A और B का सममित अंतरद्वारा निरूपित समुच्चय कहलाता है ए®बी, जिसमें सभी वस्तुएं शामिल हैं, जिनमें से प्रत्येक सेट में से बिल्कुल एक से संबंधित है ए और बी:

यह देखना आसान है कि सममित अंतर दो सेटों का मिलन है अबऔर वी.ए.यदि हम पहले सेटों को मिला दें तो वही सेट प्राप्त किया जा सकता है एऔर में,और फिर सेट से सामान्य तत्वों को हटा दें।

उदाहरण 7.1.3. वास्तविक संख्याएँ दी जाएँ a फिर संगत संख्यात्मक अंतराल के लिए हमारे पास है:

ध्यान दें कि खंड के बाद से [ए; बी]एक संख्या शामिल है सी>और अंतराल (सी;डी)बिंदु साथइसमें वां नंबर शामिल नहीं है साथअंतर में निहित है [ए; बी]बिना [के साथ; सी एफलेकिन अंतर, उदाहरण के लिए, (2;5), में संख्या 3 शामिल नहीं है, क्योंकि यह खंड में स्थित है। हमारे पास (2;5)=(2;3) है।

असंयुक्त समुच्चय दिये जायें एऔर में।चूँकि n प्रतिच्छेदन संक्रिया का चिन्ह है, तो प्रविष्टि ए(बी.बी.)गलत. यह कहना भी ग़लत है कि सेटों का कोई प्रतिच्छेदन नहीं होता। हमेशा एक प्रतिच्छेदन होता है; इसे किसी भी सेट के लिए परिभाषित किया जाता है। तथ्य यह है कि सेट प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, इसका मतलब है कि उनका प्रतिच्छेदन खाली है (अर्थात, संकेतित ऑपरेशन करने से, हमें एक खाली सेट प्राप्त होता है)। यदि समुच्चय प्रतिच्छेद करते हैं, तो उनका प्रतिच्छेद रिक्त नहीं होता है। हम निष्कर्ष निकालते हैं:

आइए हम उस मामले में प्रतिच्छेदन संघ के संचालन को सामान्यीकृत करें जब दो से अधिक सेट हों।

व्यवस्था दी जाए कोसेट. किसी दिए गए सिस्टम के सेटों का प्रतिच्छेदन सभी तत्वों का सेट है, जिनमें से प्रत्येक उनके सभी सेटों में निहित है को।

किसी दिए गए सिस्टम के सेटों का संघ सभी तत्वों का सेट होता है, जिनमें से प्रत्येक कम से कम एक सेट में निहित होता है को।

चलो सिस्टम के सेट कोकुछ सूचकांक परिवार के तत्वों द्वारा क्रमांकित /। फिर कोई भी सेट कोनामित किया जा सकता है ए,-,कहाँ आईईएल.यदि समुच्चय परिमित है, तो प्रथम प्राकृत संख्याओं का समुच्चय (1,2,...,u) का उपयोग / के रूप में किया जाता है। सामान्य तौर पर, / अनंत हो सकता है।

फिर सामान्य स्थिति में समुच्चयों का मिलन एसभी के लिए आईईएलनिरूपित करें (जे ए( , और चौराहा - च]ए मैं .

चलो समग्रता कोफिर अंतिम क=इस मामले में

लिखना अयजा 2 वी...केजेए„और AG4 2 (^---G4p-

उदाहरण 7.1.4. आइए संख्या रेखा А| के अंतरालों पर विचार करें = [-ऊ;2], एल 2 =एच°; 3], एल 3 = यू

दोनों स्थान वर्गाकार कोष्ठकों से घिरे हुए हैं, जिसका अर्थ है कि उनकी सीमाएँ उनकी हैं।

स्पष्टता के लिए, हम अंतरालों [−2; 3] और :

−2, −1, 0, 1, 2, 3 ∈ [−2; 3]

4, 5, 6, 7 ∈

यह देखा जा सकता है कि संख्यात्मक अंतराल [−2; 3] और नहीं है कुल संख्या. इसलिए, उनका प्रतिच्छेदन खाली सेट होगा:

[−2; 3] ∩ = Ø

यदि हम संख्यात्मक अंतरालों को दर्शाते हैं [−2; 3] और निर्देशांक रेखा पर, आप देख सकते हैं कि वे कहीं भी प्रतिच्छेद नहीं करते हैं:

उदाहरण 7. एक तत्व (2) का एक सेट दिया गया है। अंतराल (−3; 4) के साथ इसका प्रतिच्छेदन ज्ञात कीजिए

एक तत्व (2) से युक्त एक सेट को समन्वय रेखा पर एक भरे हुए सर्कल के रूप में दर्शाया गया है, और संख्यात्मक अंतराल (−3; 4) एक अंतराल है जिसकी सीमाएं इससे संबंधित नहीं हैं। इसका मतलब है कि सीमाएँ -3 और 4 को खाली वृत्तों के रूप में दर्शाया जाएगा:

सेट (2) और संख्यात्मक अंतराल (−3; 4) का प्रतिच्छेदन एक तत्व (2) से युक्त एक सेट होगा, क्योंकि तत्व 2 सेट (2) और संख्यात्मक अंतराल (−3; 4) दोनों से संबंधित है। )

{ 2 } ∩ (−3; 4) = { 2 }

वास्तव में, हम सिस्टम को हल करते समय संख्यात्मक अंतरालों के प्रतिच्छेदन से पहले ही निपट चुके हैं रैखिक असमानताएँ. याद रखें कि हमने उन्हें कैसे हल किया। सबसे पहले, हमें पहली असमानता के कई समाधान मिले, फिर दूसरे के कई समाधान मिले। फिर हमें ऐसे कई समाधान मिले जो दोनों असमानताओं को संतुष्ट करते हैं।

अनिवार्य रूप से, दोनों असमानताओं को संतुष्ट करने वाले समाधानों का सेट पहली और दूसरी असमानताओं के समाधानों के सेट का प्रतिच्छेदन है। इन सेटों की भूमिका संख्यात्मक अंतरालों द्वारा ली जाती है।

उदाहरण के लिए, असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने के लिए, हमें पहले प्रत्येक असमानता के समाधान के सेट को ढूंढना होगा, फिर इन सेटों का प्रतिच्छेदन खोजना होगा।

में इस उदाहरण मेंपहली असमानता को हल करना एक्स≥ 3 उन सभी संख्याओं का समुच्चय है जो 3 से बड़ी हैं (संख्या 3 सहित)। दूसरे शब्दों में, असमानता का समाधान संख्यात्मक अंतराल है

ए सामान्य निर्णयसिस्टम पहली और दूसरी असमानताओं के समाधान के सेट का प्रतिच्छेदन होगा, यानी, संख्यात्मक अंतराल का प्रतिच्छेदन

यदि हम समन्वय रेखा पर सिस्टम के समाधानों के सेट को चित्रित करते हैं, तो हम देखेंगे कि ये समाधान अंतराल से संबंधित हैं, जो बदले में अंतराल का प्रतिच्छेदन है

इसलिए, उत्तर के रूप में हमने संकेत दिया कि चर के मान एक्ससंख्यात्मक अंतराल से संबंधित हैं, अर्थात्, पहली और दूसरी असमानताओं के समाधान के सेट का प्रतिच्छेदन

एक्स ∈

उदाहरण 2. असमानता का समाधान करें

सिस्टम में शामिल सभी असमानताओं का समाधान पहले ही किया जा चुका है। केवल उन समाधानों को इंगित करना आवश्यक है जो सभी असमानताओं के लिए सामान्य हैं।

पहली असमानता का समाधान संख्यात्मक अंतराल (−∞; −1) है।

दूसरी असमानता का समाधान संख्यात्मक अंतराल (−∞; −5) है।

तीसरी असमानता का समाधान संख्यात्मक अंतराल (−∞; 4) है।

सिस्टम का समाधान संख्यात्मक अंतरालों का प्रतिच्छेदन होगा (−∞; −1), (−∞; −5) और (−∞; 4). इस मामले में, यह प्रतिच्छेदन अंतराल (−∞; −5) है।

(−∞; −1) ∩ (−∞; −5) ∩ (−∞; 4) = (−∞; −5)

यह आंकड़ा संख्यात्मक अंतराल और असमानताओं को दर्शाता है जिसके द्वारा इन संख्यात्मक अंतरालों को परिभाषित किया जाता है। यह देखा जा सकता है कि अंतराल (−∞; −5) से संबंधित संख्याएँ एक साथ सभी मूल अंतरालों से संबंधित हैं।

आइए संख्यात्मक अंतराल का उपयोग करके सिस्टम का उत्तर लिखें:

एक्स ∈ (−∞; −5)

उदाहरण 3. असमानता का समाधान करें

पहली असमानता का समाधान य> 7 संख्यात्मक अंतराल (7; +∞) है।

दूसरी असमानता का समाधान य< 4 является числовой промежуток (−∞; 4) .

सिस्टम का समाधान संख्यात्मक अंतराल (7; +∞) और (−∞; 4) का प्रतिच्छेदन होगा।

इस मामले में, संख्यात्मक अंतराल (7; +∞) और (−∞; 4) का प्रतिच्छेदन एक खाली सेट है, क्योंकि इन संख्यात्मक अंतरालों में सामान्य तत्व नहीं हैं:

(7; +∞) ∩ (−∞; 4) = ∅

यदि आप निर्देशांक रेखा पर संख्यात्मक अंतराल (7; +∞) और (−∞; 4) दर्शाते हैं, तो आप देख सकते हैं कि वे कहीं भी प्रतिच्छेद नहीं करते हैं:

समुच्चयों का संघ

दो (या कई) मूल सेटों का मिलन एक ऐसा सेट होता है जिसमें मूल सेटों में से कम से कम एक से संबंधित तत्व शामिल होते हैं।

व्यवहार में, समुच्चयों के संघ में मूल समुच्चयों से संबंधित सभी तत्व शामिल होते हैं। इसीलिए वे कहते हैं कि ऐसे सेट के तत्व कम से कम एक मूल सेट से संबंधित होते हैं।

सेट पर विचार करें एतत्व 1, 2, 3 और सेट के साथ बीतत्व 4, 5, 6 के साथ।

ए = { 1, 2, 3 }

बी = { 4, 5, 6 }

आइए एक नए सेट को परिभाषित करें सी एऔर सेट के सभी तत्व बी

सी = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

इस मामले में एकीकरणसेट एऔर बीएक सेट है सीऔर इसे इस प्रकार दर्शाया गया है:

ए∪बी=सी

प्रतीक ∪ का अर्थ मिलन है और यह संयोजन को प्रतिस्थापित करता है या. फिर अभिव्यक्ति ए∪बी=सीइस प्रकार पढ़ा जा सकता है:

सेट ए से संबंधित तत्व या सेट बी, सेट सी से संबंधित तत्व हैं।

संघ की परिभाषा बताती है कि ऐसे समुच्चय के तत्व कम से कम एक मूल समुच्चय से संबंधित होते हैं। यह वाक्यांशशब्दशः लिया जा सकता है.

आइए अपने द्वारा बनाए गए सेट पर वापस लौटें सी, जिसमें सेट के सभी तत्व शामिल हैं एऔर बी. आइए इस सेट से तत्व 5 को एक उदाहरण के रूप में लें। आप इसके बारे में क्या कह सकते हैं?

यदि 5 समुच्चय का एक तत्व है सी, और सेट साथसमुच्चयों का एक संघ है एऔर बी, तो हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि तत्व 5 कम से कम एक सेट से संबंधित है एऔर बी. इस तरह से यह है:

ए = { 1, 2, 3 }

बी = { 4, 5 , 6 }

सी = { 1, 2, 3, 4, 5 , 6 }

आइए सेट से एक और तत्व लें साथ, उदाहरण के लिए, तत्व 2। आप इसके बारे में क्या कह सकते हैं?

यदि 2 समुच्चय का एक तत्व है सी, और सेट साथसमुच्चयों का एक संघ है एऔर बी, तो हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि तत्व 2 कम से कम एक सेट से संबंधित है एऔर बी. इस तरह से यह है:

ए = {1, 2 , 3}

बी = {4, 5, 6}

सी = { 1, 2 , 3, 4, 5, 6 }

यदि हम दो या दो से अधिक समुच्चयों को संयोजित करना चाहते हैं और अचानक पता चलता है कि इनमें से प्रत्येक समुच्चय में एक या अधिक तत्व हैं, तो दोहराए गए तत्वों को संघ में केवल एक बार शामिल किया जाएगा।

उदाहरण के लिए, सेट पर विचार करें एतत्व 1, 2, 3, 4 और सेट के साथ बीतत्व 2, 4, 5, 6 के साथ।

ए = {1, 2 , 3, 4 }

बी = {2 , 4 , 5, 6}

हम देखते हैं कि तत्व 2 और 4 एक साथ समुच्चय से संबंधित हैं ए, और कई बी. यदि हम सेटों को संयोजित करना चाहते हैं एऔर बी, फिर नया सेट सीइसमें तत्व 2 और 4 केवल एक बार होंगे। यह इस तरह दिखेगा:

सी = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

विलय करते समय गलतियों से बचने के लिए, वे आमतौर पर ऐसा करते हैं: पहले, पहले सेट के सभी तत्वों को नए सेट में जोड़ें, फिर दूसरे सेट के उन तत्वों को जोड़ें जो पहले सेट से संबंधित नहीं हैं। आइए सेटों के साथ ऐसा मिलन बनाने का प्रयास करें एऔर बी .

तो, हमारे पास निम्नलिखित प्रारंभिक सेट हैं:

ए = { 1, 2, 3, 4 }

बी = { 2, 4, 5, 6 }

आइए एक नए सेट को परिभाषित करें साथऔर सेट के सभी तत्वों को इसमें जोड़ें ए

सी = { 1, 2, 3, 4,

अब सेट से तत्व जोड़ते हैं बी, जो सेट से संबंधित नहीं हैं ए. बहुतों को एतत्व 5 और 6 संबंधित नहीं हैं। आइए उन्हें सूची में जोड़ें सी

सी = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

उदाहरण 2. जॉन के दोस्त टॉम, फ्रेड, मैक्स और जॉर्ज हैं। और माइकल के दोस्त लियो, टॉम, फ्रेड और इवान हैं। जॉन और माइकल के दोस्तों के समूह का मिलन खोजें।

सबसे पहले, आइए दो सेटों को परिभाषित करें: जॉन के दोस्तों का सेट और माइकल के दोस्तों का सेट।

आइए नाम के साथ एक नए सेट को परिभाषित करें "जॉन और माइकल के सभी दोस्त" और इसमें जॉन और माइकल के सभी दोस्तों को जोड़ें।

ध्यान दें कि टॉम और फ्रेड दोनों जॉन और माइकल के दोस्त हैं, इसलिए हम उन्हें केवल एक बार नए सेट में जोड़ेंगे, क्योंकि एक साथ दो टॉम और दो फ्रेड नहीं हो सकते।

इस मामले में, जॉन और माइकल के सभी दोस्तों का सेट जॉन और माइकल के दोस्तों के सेट का मिलन है।

जॉन के दोस्त ∪ माइकल के दोस्त = जॉन और माइकल के सभी दोस्त

उदाहरण 3. दो संख्यात्मक अंतराल दिए गए: [−7; 0] और [−3; 5]. उनका मिलन खोजें.

दोनों स्थान वर्गाकार कोष्ठकों से घिरे हुए हैं, जिसका अर्थ है कि उनकी सीमाएँ उनकी हैं।

स्पष्टता के लिए, हम इन अंतरालों से संबंधित सभी पूर्णांकों को सूचीबद्ध करते हैं:

−7, −6, −5, −4, −3,−2, −1 , 0 ∈ [−7; 0]

−3,−2, −1 , 0, 1, 2, 3, 4, 5 ∈ [−3; 5]

संख्यात्मक अंतरालों को मिलाकर [−7; 0] और [−3; 5] एक संख्यात्मक अंतराल होगा [−7; 5], जिसमें अंतराल [−7;] की सभी संख्याएँ शामिल हैं; 0] और [−3; 5] कुछ संख्याओं को दोहराए बिना

−7, −6, −5, −4, −3,−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ∈ [−7; 5]

कृपया ध्यान दें कि संख्याएँ −3, −2, −1 पहले और दूसरे दोनों अंतरालों से संबंधित थीं। लेकिन चूँकि ऐसे तत्वों को किसी संघ में केवल एक बार ही शामिल किया जा सकता है, इसलिए हमने उन्हें एक बार ही शामिल किया।

इसका मतलब यह है कि संख्यात्मक अंतरालों को मिलाकर [−7; 0] और [−3; 5] एक संख्यात्मक अंतराल होगा [−7; 5]

[−7; 0] ∪ [−3; 5] = [−7; 5]

आइए हम अंतरालों का प्रतिनिधित्व करें [−7; 0] और [−3; 5]. ऊपरी क्षेत्र पर हम संख्यात्मक अंतराल [−7; 0], तल पर - अंतराल [−3; 5]

पहले, हमें पता चला था कि अंतराल [−7; 5] अंतरालों का मिलन है [−7; 0] और [−3; 5]. यहां समुच्चयों के संघ की परिभाषा को याद करना उपयोगी है, जो शुरुआत में ही दी गई थी। एक संघ की व्याख्या एक ऐसे सेट के रूप में की जाती है जिसमें कम से कम एक मूल सेट से संबंधित सभी तत्व शामिल होते हैं।

वास्तव में, यदि हम अंतराल [−7; 5], तो यह पता चलता है कि यह कम से कम एक अंतराल से संबंधित है: या तो अंतराल [−7; 0] या अंतराल [−3; 5].

आइए अंतराल से लें [−7; 5] कोई भी संख्या, उदाहरण के लिए संख्या 2। अंतराल के बाद से [−7; 5] अंतरालों का मिलन है [−7; 0] और [−3; 5], तो संख्या 2 इनमें से कम से कम एक अंतराल से संबंधित होगी। इस मामले में, संख्या 2 अंतराल [−3; 5]

चलिए दूसरा नंबर लेते हैं. उदाहरण के लिए, संख्या −4. यह संख्या कम से कम एक अंतराल से संबंधित होगी: [−7; 0] या [−3; 5]. इस मामले में यह अंतराल [−7; 0]

चलिए दूसरा नंबर लेते हैं. उदाहरण के लिए, संख्या −2. यह दोनों अंतरालों से संबंधित है [−7; 0] और अंतराल [−3; 5]. लेकिन निर्देशांक रेखा पर इसे केवल एक बार दर्शाया जाता है, क्योंकि एक ही बिंदु पर दो संख्याएँ -2 नहीं होती हैं।

संख्या अंतरालों का प्रत्येक संघ एक संख्या अंतराल नहीं है। उदाहरण के लिए, आइए संख्यात्मक अंतरालों का संघ खोजने का प्रयास करें [−2; −1] और .

विचार वही रहता है - संख्यात्मक अंतरालों का संघ [−2;−1] और एक सेट होगा जिसमें कम से कम एक अंतराल से संबंधित तत्व शामिल होंगे: [−2; −1] या . लेकिन यह सेट संख्यात्मक अंतराल नहीं होगा. स्पष्टता के लिए, हम इस संघ से संबंधित सभी पूर्णांकों को सूचीबद्ध करते हैं:

[−2; −1] ∪ = { −2, −1, 4, 5, 6, 7 }

हमें सेट ( −2, −1, 4, 5, 6, 7 ) मिला। यह सेट इस तथ्य के कारण संख्यात्मक अंतराल नहीं है कि -1 और 4 के बीच स्थित संख्याएं परिणामी सेट में शामिल नहीं हैं

संख्यात्मक विस्तार में बाईं सीमा से दाईं ओर की सभी संख्याएँ शामिल होनी चाहिए। यदि संख्याओं में से एक लुप्त हो तो संख्यात्मक अंतराल अर्थहीन हो जाता है। मान लीजिए कि 15 सेमी लंबा एक रूलर है

यह रेखा एक संख्या श्रेणी है क्योंकि इसमें 0 और 15 के बीच की सभी संख्याएँ सम्मिलित हैं। अब कल्पना करें कि रूलर पर, संख्या 9 के बाद, संख्या 12 तुरंत आती है।

यह रूलर 15 सेमी का रूलर नहीं है और इसे मापने के लिए उपयोग करने की सलाह नहीं दी जाती है। साथ ही, इसे संख्या अंतराल नहीं कहा जा सकता, क्योंकि इसमें वे सभी संख्याएँ शामिल नहीं हैं जो इसमें होनी चाहिए।

चिह्न युक्त असमानताओं को हल करना

कुछ असमानताओं में चिह्न होता है ≠ (सम नही)। उदाहरण के लिए, 2 एक्स≠8. इस असमानता को हल करने के लिए, आपको चर के मानों का सेट ढूंढना होगा एक्स, जिसके लिए बाईं ओर सम नहीदाहिनी ओर।

आइए असमानता को हल करें 2 एक्स≠8. इस असमानता के दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें, तो हमें प्राप्त होता है:

हमें एक समान असमानता मिली एक्स≠4. इस असमानता का समाधान सभी संख्याओं का समुच्चय है, असमान 4. अर्थात यदि हम असमानता में स्थानापन्न करें एक्स≠ 4 कोई भी संख्या है जो 4 के बराबर नहीं है, तो हमें सही असमानता मिलती है।

आइए, उदाहरण के लिए, संख्या 5 को प्रतिस्थापित करें

5 ≠ 4 एक सच्ची असमानता है क्योंकि 5, 4 के बराबर नहीं है

चलो 7 प्रतिस्थापित करें

7 ≠ 4 एक सच्ची असमानता है क्योंकि 7, 4 के बराबर नहीं है

और असमानता के बाद से एक्स≠ 4 मूल असमानता 2 के बराबर है एक्स≠ 8, फिर असमानता का समाधान एक्स≠ 4 असमानता 2 पर भी लागू होगा एक्स≠8. आइए समान परीक्षण मान 5 और 7 को असमानता 2 में प्रतिस्थापित करें एक्स≠ 8 .

2 × 5 ≠ 8

2 × 7 ≠ 8

एक्सनिर्देशांक रेखा पर ≠ 4. ऐसा करने के लिए, हम समन्वय रेखा पर बिंदु 4 को काट देंगे, और स्ट्रोक के साथ दोनों तरफ के पूरे शेष क्षेत्र को उजागर करेंगे:

आइए अब उत्तर को संख्यात्मक अंतराल के रूप में लिखें। ऐसा करने के लिए, हम सेटों के संघ का उपयोग करेंगे। कोई भी संख्या जो असमानता 2 का समाधान हो एक्स≠ 8 या तो अंतराल (−∞; 4) या अंतराल (4; +∞) से संबंधित होगा। एक्सतो हम लिखते हैं कि वेरिएबल के मान (−∞; 4) या (4; +∞) से संबंधित हैं। आइए हम उस शब्द को याद करें"या"

एक्स ∈ (−∞; 4) ∪ (4; +∞)

एक्सप्रतीक ∪ का प्रयोग किया जाता है , अंतराल से संबंधित हैं (−∞; 4)या

अंतराल (4; +∞). ≠ एक चिन्ह युक्त असमानताएँ ≠ , सामान्य समीकरणों की तरह भी हल किया जा सकता है। इस संकेत के लिए = एक चिन्ह द्वारा प्रतिस्थापित

. तब आपको सामान्य समीकरण मिलता है। समाधान के अंत में, चर x के पाए गए मान को समाधान के सेट से बाहर रखा जाना चाहिए। एक्सआइए पिछली असमानता 2 को हल करें ≠ 8 हमेशा की तरह समीकरण। ≠ चिह्न को समान चिह्न = से बदलें, हमें समीकरण 2 मिलता हैएक्स = एक्स= 4 .

8. इस समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है एक्सहम उसे तब देखते हैं

उदाहरण 2. असमानता का समाधान करें 3एक्स− 5 ≠ 1 − 2एक्स

, 4 के बराबर, समीकरण वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल जाता है। अन्य मूल्यों के लिए, समानता नहीं देखी जाएगी। ये अन्य अर्थ वे हैं जिनमें हमारी रुचि है। और ऐसा करने के लिए, समाधानों के सेट से पाए गए चार को बाहर करना पर्याप्त है। एक्सचलिए −2 चलते हैं

दायीं ओर से बायीं ओर, चिह्न बदलते हुए, और −5 को बायीं ओर से दायीं ओर ले जाएं, फिर से चिह्न बदलें:

आइए हम दोनों भागों में समान शब्द प्रस्तुत करें:

परिणामी असमानता के दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करें एक्सअसमानता का समाधान असमान 1,2 .

≠ 1.2 सभी संख्याओं का समुच्चय है, एक्सआइए हम असमानता के समाधान के सेट को चित्रित करें

एक्स ∈ (−∞; 1,2) ∪ (1,2; +∞)

≠ 1.2 निर्देशांक रेखा पर और उत्तर को संख्यात्मक अंतराल के रूप में लिखें: एक्सयह अभिव्यक्ति बताती है कि चर द्वारा ग्रहण किए गए मान , अंतराल से संबंधित हैं (−∞; 4)अंतराल से संबंधित (−∞; 1,2)

अंतराल (1,2; +∞)

असमानताओं के सेट को हल करना आइए एक अन्य प्रकार की असमानताओं पर विचार करें जिसे कहा जाता हैअसमानताओं का समूह

. आप इस प्रकार की असमानताओं को शायद ही कभी हल कर सकें, लेकिन समग्र विकास के लिए उनका अध्ययन करना उपयोगी है।

असमानताओं का एक सेट असमानताओं की प्रणाली के समान ही है। अंतर यह है कि असमानताओं की एक प्रणाली में ऐसे कई समाधान ढूंढना आवश्यक है जो इस प्रणाली को बनाने वाली प्रत्येक असमानता को संतुष्ट करते हों। और असमानताओं के एक समूह के मामले में, आपको संतुष्ट करने वाले कई समाधान खोजने होंगेकम से कम एक

वे असमानताएँ जो इस समुच्चय को बनाती हैं।

असमानताओं का एक समूह एक वर्ग कोष्ठक द्वारा दर्शाया गया है। उदाहरण के लिए, दो असमानताओं का निम्नलिखित अंकन एक संग्रह है:

पहली असमानता का समाधान एक्सआइए इस सेट को हल करें. सबसे पहले आपको प्रत्येक असमानता को अलग से हल करना होगा।

≥ 3 एक संख्यात्मक अंतराल है. एक्सअनेक अर्थ , जिसके लिए यह सत्य हैकम से कम एक

एक्स ∈

यह अभिव्यक्ति कहती है कि चर एक्स, सम्मिलित
संग्रह अंतराल से संबंधित सभी मान लेता है। और यही हमें चाहिए. आख़िरकार, किसी सेट को हल करने का मतलब ऐसे समाधानों का सेट ढूंढना है जो संतुष्ट करें और असमानताओं के एक समूह के मामले में, आपको संतुष्ट करने वाले कई समाधान खोजने होंगेवे असमानताएँ जो इस समुच्चय को बनाती हैं। और अंतराल में कोई भी संख्या कम से कम एक असमानता को संतुष्ट करेगी।

उदाहरण के लिए, अंतराल से संख्या 9 दूसरी असमानता को संतुष्ट करती है एक्स≤ 6.

अभिव्यक्ति को ध्यान से देखो एक्स∈ , अर्थात् इसके दाहिनी ओर। आख़िरकार, अभिव्यक्ति संख्यात्मक अंतरालों का एक संघ है। अधिक सटीक रूप से, पहली और दूसरी असमानताओं के समाधान के सेट का मिलन।

इसलिए, असमानताओं के समुच्चय का समाधान समुच्चयों का मिलन हैपहली और दूसरी असमानताओं का समाधान।

दूसरे शब्दों में, जनसंख्या का समाधान संख्यात्मक अंतरालों का मिलन होगा

संख्यात्मक अंतरालों का मिलन अंतराल (−∞; +∞) है। अधिक सटीक रूप से, संख्यात्मक अंतरालों का संघ संपूर्ण समन्वय रेखा है। और संपूर्ण निर्देशांक रेखा वे सभी संख्याएँ हैं जो केवल हो सकती हैं

= (−∞; +∞)

एक्स∈

एक्स∈ (−∞; +∞)

आइए परिणामी संघ से कोई भी संख्या लें और जांचें कि क्या यह कम से कम एक असमानता को संतुष्ट करता है।

आइए उदाहरण के तौर पर संख्या 8 को लें, यह पहली असमानता को संतुष्ट करती है एक्स≥ 3.

8 ≥ 3

आइए एक और संख्या लें, उदाहरण के लिए, संख्या 1। यह दूसरी असमानता को संतुष्ट करती है एक्स≤ 6

आइए एक और संख्या लें, उदाहरण के लिए, संख्या 5। यह पहली असमानता को भी संतुष्ट करता है एक्स≥ 3 और दूसरा एक्स≤ 6

उदाहरण 2

इस सेट को हल करने के लिए, आपको समाधानों का एक सेट ढूंढना होगा जो इस सेट को बनाने वाली कम से कम एक असमानता को संतुष्ट करता हो।

सबसे पहले, आइए पहली असमानता के कई समाधान खोजें एक्स< −0,25 . Этим множеством является числовой промежуток (−∞; −0,25) .

एक्स≥ −7 संख्यात्मक अंतराल है [−7; +∞).

एक्स∈ (−∞; −0,25) ∪ [−7; +∞)

दूसरे शब्दों में, जनसंख्या का समाधान संख्यात्मक अंतरालों का मिलन होगा (−∞; −0.25) और [−7; +∞)

संख्यात्मक अंतरालों (−∞; −0.25) और [−7; +∞) संपूर्ण निर्देशांक रेखा है। और संपूर्ण निर्देशांक रेखा वे सभी संख्याएँ हैं जो हो सकती हैं

(−∞; −0,25) ∪ [−7; +∞) = (−∞; +∞)

उत्तर वैसा ही छोड़ा जा सकता है जैसा हमने पहले लिखा था:

एक्स∈ (−∞; −0,25) ∪ [−7; +∞)

या इसे किसी छोटे से बदलें:

एक्स∈ (−∞; +∞)

उदाहरण 3. असमानताओं के एक समूह को हल करें

आइए प्रत्येक असमानता को अलग से हल करें:

पहली असमानता के समाधान का सेट एक्स < −3 является числовой промежуток (−∞; −3) .

दूसरी असमानता के समाधान का सेट एक्स≤ 0 संख्यात्मक अंतराल (−∞; 0] है।

असमानताओं के समुच्चय का समाधान पहली और दूसरी असमानताओं के समाधानों के समुच्चय का मिलन होगा।

एक्स∈ (−∞; −3) ∪ (−∞; 0]

दूसरे शब्दों में, जनसंख्या का समाधान संख्यात्मक अंतरालों (−∞; −3) और (−∞; 0) का मिलन होगा।

संख्यात्मक अंतराल (−∞; −3) और (−∞; 0] का मिलन संख्यात्मक अंतराल (−∞; 0) है

(−∞; −3) ∪ (−∞; 0] = (−∞; 0]

उत्तर वैसा ही छोड़ा जा सकता है जैसा हमने पहले लिखा था:

एक्स∈ (−∞; −3) ∪ (−∞; 0]

या इसे किसी छोटे से बदलें:

एक्स∈ (−∞; 0]

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

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1 प्रश्न:अनेककुछ सामान्य विशेषताओं द्वारा एकजुट कुछ तत्वों का एक संग्रह है। किसी समुच्चय के तत्व संख्याएँ, आकृतियाँ, वस्तुएँ, अवधारणाएँ आदि हो सकते हैं।

सेट को बड़े अक्षरों से दर्शाया जाता है, और सेट के तत्वों को छोटे अक्षरों से दर्शाया जाता है। सेट के तत्व घुंघराले ब्रेसिज़ में संलग्न हैं।

यदि तत्व एक्ससेट का है एक्स, फिर लिखना एक्स ∈ एक्स (∈ - संबंधित है)। यदि समुच्चय A समुच्चय B का भाग है, तो लिखिए ए⊂ में (⊂ - निहित)।

परिभाषा 1 (समुच्चयों की समानता की परिभाषा)।सेट एऔर B बराबर हैं यदि उनमें समान तत्व शामिल हैं, अर्थात, यदि x  A का अर्थ x  B है और इसके विपरीत, x  B का अर्थ x  A है।

औपचारिक रूप से, दो सेटों की समानता इस प्रकार लिखी गई है:

(ए=बी):= एक्स((एक्सए)  (एक्सबी)),

इसका मतलब यह है कि किसी भी वस्तु x के लिए संबंध x A और x B समतुल्य हैं।

यहाँ  सार्वभौमिक परिमाणक () है एक्स"हर किसी के लिए" पढ़ता है एक्स").

उपसमुच्चय

परिभाषा: समुच्चय X है उपसमुच्चय Y, यदि समुच्चय X का कोई तत्व समुच्चय Y से संबंधित है। इसे भी कहा जाता है गैर-सख्त समावेशन.उपसमुच्चय के कुछ गुण:

1. ХХ - परावर्तनशीलता

2. X  Y & YZ  X  Z - परिवर्तनशीलता

3.   X यानि रिक्त समुच्चय किसी भी सार्वत्रिक समुच्चय का उपसमुच्चय है परिभाषा: सार्वसमुच्चय- यह एक ऐसा सेट है जिसमें सभी तत्व शामिल हैं, साथ ही अध्ययन के तहत क्षेत्र में वस्तुओं के सेट के सबसेट भी शामिल हैं, यानी।

1. यदि एम  मैं , वह एम  मैं

2. यदि एम  मैं , वह Ώ(एम)  मैं, कहाँ नीचे Ώ(एम) -एम, या बूलियन एम के सभी संभावित उपसमुच्चय समझे जाते हैं।

सार्वभौम समुच्चय को आमतौर पर दर्शाया जाता है मैं .

विचाराधीन सेट और हल किए जा रहे कार्यों के आधार पर सार्वभौमिक सेट को स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है।

सेट निर्दिष्ट करने की विधियाँ:

1. इसके तत्वों को सूचीबद्ध करके। आमतौर पर परिमित सेटों को गणना द्वारा परिभाषित किया जाता है।

2. इस सेट के सभी तत्वों और केवल इस सेट के लिए सामान्य गुणों का वर्णन करके। इस संपत्ति को कहा जाता है विशेषता संपत्ति, और सेट को निर्दिष्ट करने का यह तरीका विवरण. इस प्रकार, आप परिमित और अनंत दोनों सेट निर्दिष्ट कर सकते हैं। यदि हम किसी समुच्चय को किसी गुण के साथ परिभाषित करते हैं, तो यह पता चल सकता है कि केवल एक वस्तु में यह गुण है या ऐसी कोई वस्तु ही नहीं है। यह तथ्य बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं हो सकता है।

विषय 2.3 सेट पर संचालन।

अब आइए सेट पर संचालन को परिभाषित करें।

1. समुच्चयों का प्रतिच्छेदन।

परिभाषा: समुच्चय X और Y का प्रतिच्छेदन एक समुच्चय है जिसमें वे सभी और केवल वे तत्व शामिल होते हैं जो समुच्चय

उदाहरण के लिए: X=(1,2,3,4) Y=(2,4,6) चौराहा (2,4)

परिभाषा: समुच्चयों को असंयुक्त कहा जाता है यदि उनमें सामान्य तत्व न हों, अर्थात्। उनका प्रतिच्छेदन रिक्त समुच्चय के बराबर है।

उदाहरण के लिए : असंयुक्त समुच्चय उत्कृष्ट विद्यार्थियों और असफल विद्यार्थियों के समुच्चय हैं।

इस ऑपरेशन को दो से अधिक सेटों तक बढ़ाया जा सकता है। इस मामले में, यह तत्वों का एक सेट होगा जो एक साथ सभी सेटों से संबंधित होगा।

प्रतिच्छेदन गुण:

1. X∩Y = Y∩X - क्रमविनिमेयता

2. (X∩Y) ∩Z =X∩ (Y∩Z)=X∩Y∩Z - साहचर्य

3. X∩ = 

4. एक्स∩ मैं = एक्स

2. समुच्चय का संघ

परिभाषा: दो समुच्चयों का मिलन एक समुच्चय है जिसमें सभी और केवल वे तत्व शामिल होते हैं जो समुच्चय X या Y में से कम से कम एक से संबंधित होते हैं।

उदाहरण के लिए: X=(1,2,3,4) Y=(2,4,6) (1,2,3,4,6) को मिलाकर

इस ऑपरेशन को दो से अधिक सेटों तक बढ़ाया जा सकता है। इस मामले में, यह इनमें से कम से कम एक सेट से संबंधित तत्वों का सेट होगा।

संपत्तियों से जुड़ें:

1. XUY= YUY - क्रमविनिमेयता

2. (X UY)UZ =XU (YUZ)=XUYUZ - साहचर्य

4.एक्सयू मैं = मैं

प्रतिच्छेदन और संघ की संक्रियाओं के गुणों से यह स्पष्ट है कि संख्याओं के बीजगणित में रिक्त समुच्चय शून्य के समान है।

3. अंतर सेट करें

परिभाषा: यह ऑपरेशन, इंटरसेक्शन और यूनियन के संचालन के विपरीत, केवल दो सेटों के लिए परिभाषित किया गया है। सेट X और Y के बीच का अंतर एक सेट है जिसमें वे सभी और केवल वे तत्व शामिल हैं जो X से संबंधित हैं और Y से संबंधित नहीं हैं।

उदाहरण के लिए: X=(1,2,3,4) Y=(2,4,6) अंतर (1,3)

जैसा कि हम पहले ही देख चुके हैं, सेट बीजगणित में शून्य की भूमिका खाली सेट द्वारा निभाई जाती है। आइए हम एक ऐसे समुच्चय को परिभाषित करें जो समुच्चयों के बीजगणित में इकाई की भूमिका निभाएगा

4. पूर्णता निर्धारित करें

समुच्चय X का पूरक I और X के बीच का अंतर है।

ऐड-ऑन गुण:

1. समुच्चय X और उसके पूरक में कोई उभयनिष्ठ तत्व नहीं है

2. कोई भी तत्व I या तो समुच्चय X या उसके पूरक से संबंधित है।

प्रश्न 2 संख्याओं का समूह

प्राकृतिक संख्या- आइटमों की गिनती (सूचीकरण) करते समय उपयोग की जाने वाली संख्याएँ: N=(1,2,3,…)

शून्य सहित प्राकृतिक संख्याएँ- वस्तुओं की संख्या को इंगित करने के लिए उपयोग की जाने वाली संख्याएँ: N0=(0,1,2,3,…)

पूर्णांकों- शामिल करें प्राकृतिक संख्या, प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संख्याएँ (अर्थात ऋणात्मक चिह्न के साथ) और शून्य। सकारात्मक पूर्णांक: Z+=N=(1,2,3,…) ऋणात्मक पूर्णांक: Z−=(…,−3,−2,−1) Z=Z−∪(0)∪Z+=(…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…)

भिन्नात्मक संख्याएं− संख्याओं को एक सामान्य भिन्न a/b के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ a और b पूर्णांक हैं और b≠0 हैं। Q=(x∣x=a/b,a∈Z,b∈Z,b≠0) में परिवर्तित होने पर दशमलवएक परिमेय संख्या को एक परिमित या अनंत आवर्त भिन्न द्वारा दर्शाया जाता है।

तर्कहीन संख्या− संख्याएँ जिन्हें अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश के रूप में दर्शाया जाता है।

वास्तविक संख्या− परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का मिलन: R

जटिल संख्याएँ C=(x+iy∣x∈R иy∈R), जहां i काल्पनिक इकाई है।

वास्तविक संख्या मापांक और गुण

वास्तविक संख्या का मापांक- यह निरपेक्ष मूल्ययह नंबर।

सीधे शब्दों में कहें तो मापांक लेते समय आपको संख्या से उसका चिह्न हटाना होगा।

संख्या मापांक एद्वारा निरूपित |ए|. कृपया ध्यान दें: किसी संख्या का मापांक हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है: |ए|≥ 0.

|6| = 6, |-3| = 3, |-10,45| = 10,45