1 6 निर्देशांक रेखा पर। निर्देशांक रेखा (संख्या रेखा), निर्देशांक किरण

पर यह सबकहम एक समन्वय रेखा की अवधारणा से परिचित होंगे, इसकी मुख्य विशेषताओं और गुणों का पता लगाएंगे। आइए मुख्य समस्याओं को तैयार करें और हल करना सीखें। आइए इन समस्याओं के संयोजन के कई उदाहरण हल करें।

ज्यामिति पाठ्यक्रम से हम जानते हैं कि एक सीधी रेखा क्या है, लेकिन एक समन्वय रेखा बनने के लिए एक साधारण सीधी रेखा के साथ क्या करने की आवश्यकता है?

1) प्रारंभिक बिंदु का चयन करें;

2) एक दिशा चुनें;

3) पैमाने का चयन करें;

चित्र 1 एक नियमित रेखा दिखाता है, और चित्र 2 एक समन्वय रेखा दिखाता है।

एक समन्वय रेखा एक सीधी रेखा एल है जिस पर शुरुआती बिंदु ओ चुना जाता है - संदर्भ की उत्पत्ति, स्केल एक इकाई खंड है, यानी, एक खंड जिसकी लंबाई एक के बराबर मानी जाती है, और एक सकारात्मक दिशा होती है।

निर्देशांक रेखा को निर्देशांक अक्ष या X-अक्ष भी कहा जाता है।

आइए जानें कि समन्वय रेखा की आवश्यकता क्यों है; ऐसा करने के लिए, हम इसकी मुख्य संपत्ति को परिभाषित करेंगे। समन्वय रेखा इस रेखा पर सभी संख्याओं के सेट और सभी बिंदुओं के सेट के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित करती है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

दो संख्याएँ दी गई हैं: ("+" चिन्ह, मापांक तीन है) और ("-" चिन्ह, मापांक तीन है) आइए इन संख्याओं को समन्वय रेखा पर चित्रित करें:

यहां संख्या को निर्देशांक A कहा जाता है, संख्या को निर्देशांक B कहा जाता है।

वे यह भी कहते हैं कि किसी संख्या की छवि निर्देशांक के साथ बिंदु C है, और किसी संख्या की छवि निर्देशांक के साथ बिंदु D है:

इसलिए, चूंकि समन्वय रेखा की मुख्य संपत्ति बिंदुओं और संख्याओं के बीच एक-से-एक पत्राचार की स्थापना है, दो मुख्य कार्य उत्पन्न होते हैं: किसी बिंदु को किसी दिए गए नंबर से इंगित करना, हम पहले ही यह ऊपर कर चुके हैं, और इंगित करना द्वारा एक संख्या दिया गया बिंदु. आइए दूसरे कार्य का एक उदाहरण देखें:

मान लीजिए बिंदु M दिया गया है:

किसी दिए गए बिंदु से कोई संख्या निर्धारित करने के लिए, आपको पहले मूल बिंदु से बिंदु तक की दूरी निर्धारित करनी होगी। इस स्थिति में, दूरी दो है. अब आपको संख्या का चिह्न निर्धारित करने की आवश्यकता है, अर्थात, बिंदु M सीधी रेखा की किस किरण में स्थित है, इस मामले में, बिंदु मूल बिंदु के दाईं ओर, सकारात्मक किरण में स्थित है, जिसका अर्थ है कि संख्या होगी एक "+" चिन्ह हो.

आइए एक और बिंदु लें और संख्या निर्धारित करने के लिए इसका उपयोग करें:

मूल बिंदु से बिंदु तक की दूरी पिछले उदाहरण के समान है, दो के बराबर है, लेकिन इस मामले में बिंदु मूल के बाईं ओर, नकारात्मक किरण पर स्थित है, जिसका अर्थ है कि बिंदु N संख्या को दर्शाता है

समन्वय रेखा से जुड़ी सभी विशिष्ट समस्याएं किसी न किसी तरह से इसकी मुख्य संपत्ति और दो मुख्य समस्याओं से जुड़ी हैं जिन्हें हमने तैयार किया और हल किया।

को विशिष्ट कार्यशामिल करना:

-अंक और उनके निर्देशांक रखने में सक्षम हो;

-संख्याओं की तुलना समझें:

अभिव्यक्ति का अर्थ है कि बिंदु C निर्देशांक 4 के साथ स्थित है बिंदु के दाईं ओरनिर्देशांक 2 के साथ एम:

और इसके विपरीत, यदि हमें एक समन्वय रेखा पर बिंदुओं का स्थान दिया गया है, तो हमें यह समझना चाहिए कि उनके निर्देशांक एक निश्चित संबंध से संबंधित हैं:

मान लीजिए कि बिंदु M(x M) और N(x N) दिए गए हैं:

हम देखते हैं कि बिंदु M, बिंदु n के दाईं ओर स्थित है, जिसका अर्थ है कि उनके निर्देशांक इस प्रकार संबंधित हैं

-बिंदुओं के बीच की दूरी का निर्धारण.

हम जानते हैं कि बिंदु X और A के बीच की दूरी संख्या के मापांक के बराबर है। दो अंक दिए जाएं:

तब उनके बीच की दूरी बराबर होगी:

एक और बहुत ही महत्वपूर्ण कार्य है संख्या सेटों का ज्यामितीय विवरण.

एक किरण पर विचार करें जो निर्देशांक अक्ष पर स्थित है, इसमें इसका मूल शामिल नहीं है, लेकिन अन्य सभी बिंदु शामिल हैं:

तो, हमें निर्देशांक अक्ष पर स्थित बिंदुओं का एक सेट दिया गया है। आइए हम संख्याओं के उस सेट का वर्णन करें जो बिंदुओं के इस सेट की विशेषता है। ऐसी अनगिनत संख्याएँ और बिंदु हैं, इसलिए यह प्रविष्टि इस तरह दिखती है:

आइए एक स्पष्टीकरण दें: दूसरे रिकॉर्डिंग विकल्प में, यदि आप कोष्ठक "(" लगाते हैं, तो चरम संख्या - इस मामले में, संख्या 3, सेट में शामिल नहीं है, लेकिन यदि आप एक वर्गाकार कोष्ठक लगाते हैं "[ ”, फिर चरम संख्या को सेट में शामिल किया गया है।

इसलिए, हमने विश्लेषणात्मक रूप से लिखा संख्या सेट, जो दिए गए बिंदुओं के समूह की विशेषता बताता है। विश्लेषणात्मक अंकन, जैसा कि हमने कहा, या तो असमानता के रूप में या अंतराल के रूप में किया जाता है।

अंकों का एक सेट दिया गया है:

इस मामले में, बिंदु a=3 सेट में शामिल है। आइए संख्याओं के समुच्चय का विश्लेषणात्मक रूप से वर्णन करें:

कृपया ध्यान दें कि एक कोष्ठक हमेशा अनंत चिह्न के बाद या उससे पहले रखा जाता है, क्योंकि हम कभी भी अनंत तक नहीं पहुंचेंगे, और कार्य की स्थितियों के आधार पर संख्या के आगे एक कोष्ठक या एक वर्ग कोष्ठक हो सकता है।

आइए व्युत्क्रम समस्या के एक उदाहरण पर विचार करें।

एक निर्देशांक रेखा दी गई है. उस पर संख्यात्मक सेट के अनुरूप बिंदुओं का एक सेट बनाएं और:

समन्वय रेखा किसी भी बिंदु और संख्या के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित करती है, और इसलिए संख्यात्मक सेट और बिंदुओं के सेट के बीच। हमने सकारात्मक और नकारात्मक दोनों दिशाओं में निर्देशित किरणों को देखा, जिसमें उनका शीर्ष भी शामिल था और उसे शामिल नहीं किया गया था। अब आइए खंडों पर नजर डालें।

उदाहरण 10:

संख्याओं का एक सेट दिया गया है. बिंदुओं का संगत सेट बनाएं

उदाहरण 11:

संख्याओं का एक सेट दिया गया है. बिंदुओं का एक सेट बनाएं:

कभी-कभी, यह दिखाने के लिए कि किसी खंड के सिरे सेट में शामिल नहीं हैं, तीर खींचे जाते हैं:

उदाहरण 12:

एक संख्या सेट दिया गया है. इसका ज्यामितीय मॉडल बनाएं:

खोजो सबसे छोटी संख्याबीच से:

खोजो सबसे बड़ी संख्यायदि यह मौजूद है तो अंतराल से:

हम आठ में से एक मनमाने ढंग से छोटी संख्या घटा सकते हैं और कह सकते हैं कि परिणाम सबसे बड़ा होगा एक लंबी संख्या, लेकिन हम तुरंत एक और भी छोटी संख्या ढूंढ लेंगे, और घटाव का परिणाम बढ़ जाएगा, जिससे इस अंतराल में सबसे बड़ी संख्या ढूंढना असंभव हो जाएगा।

आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि निर्देशांक रेखा पर किसी भी संख्या के निकटतम संख्या का चयन करना असंभव है, क्योंकि हमेशा कोई संख्या इससे भी करीब होती है।

कितने प्राकृतिक संख्याकिसी दिए गए अंतराल के भीतर समाहित है?

अंतराल से हम निम्नलिखित प्राकृतिक संख्याएँ चुनते हैं: 4, 5, 6, 7 - चार प्राकृतिक संख्याएँ।

याद रखें कि प्राकृतिक संख्याएँ गिनती के लिए उपयोग की जाने वाली संख्याएँ हैं।

चलो एक और सेट लेते हैं.

उदाहरण 13:

संख्याओं का एक सेट दिया गया

इसका ज्यामितीय मॉडल बनाएं:

यह लेख निर्देशांक किरण और निर्देशांक रेखा जैसी अवधारणाओं के विश्लेषण के लिए समर्पित है। हम प्रत्येक अवधारणा पर ध्यान देंगे और उदाहरणों पर विस्तार से विचार करेंगे। इस लेख के लिए धन्यवाद, आप शिक्षक की सहायता के बिना अपने ज्ञान को ताज़ा कर सकते हैं या विषय से परिचित हो सकते हैं।

Yandex.RTB R-A-339285-1

निर्देशांक किरण की अवधारणा को परिभाषित करने के लिए, आपको यह पता होना चाहिए कि किरण क्या है।

परिभाषा 1

खुशी से उछलना- यह ज्यामितीय आकृति, जिसमें निर्देशांक किरण की उत्पत्ति और गति की दिशा है। सीधी रेखा को आमतौर पर क्षैतिज रूप से दर्शाया जाता है, जो दाईं ओर की दिशा का संकेत देती है।

उदाहरण में हम देखते हैं कि O किरण की शुरुआत है।

उदाहरण 1

निर्देशांक किरण को उसी योजना के अनुसार दर्शाया गया है, लेकिन यह काफी भिन्न है। हम एक प्रारंभिक बिंदु निर्धारित करते हैं और एक खंड को मापते हैं।

उदाहरण 2

परिभाषा 2

इकाई खंडमाप के लिए चुने गए बिंदु से 0 तक की दूरी है।

उदाहरण 3

एक खंड के अंत से आपको कुछ स्ट्रोक लगाने और निशान बनाने की आवश्यकता है।

बीम के साथ हमने जो जोड़-तोड़ किए, उसके लिए धन्यवाद, यह समन्वय बन गया। स्ट्रोक को 1 से क्रम में प्राकृतिक संख्याओं के साथ लेबल करें - उदाहरण के लिए, 2, 3, 4, 5...

उदाहरण 4

परिभाषा 3

एक ऐसा पैमाना है जो अनिश्चित काल तक चल सकता है।

इसे अक्सर बिंदु O से शुरू होने वाली किरण के रूप में दर्शाया जाता है, और एक एकल इकाई खंड को प्लॉट किया जाता है। एक उदाहरण चित्र में दिखाया गया है.

उदाहरण 5

किसी भी स्थिति में, हम उस पैमाने को उस संख्या तक जारी रखने में सक्षम होंगे जिसकी हमें आवश्यकता है। आप संख्याओं को यथासंभव सुविधाजनक तरीके से लिख सकते हैं - बीम के नीचे या उसके ऊपर।

उदाहरण 6

किरण निर्देशांक प्रदर्शित करने के लिए अपरकेस और लोअरकेस दोनों अक्षरों का उपयोग किया जा सकता है।

एक समन्वय रेखा को चित्रित करने का सिद्धांत व्यावहारिक रूप से एक किरण को चित्रित करने से अलग नहीं है। यह सरल है - एक किरण खींचें और उसे एक सीधी रेखा में जोड़ें, जिससे उसे एक सकारात्मक दिशा मिले, जिसे एक तीर द्वारा दर्शाया गया है।

उदाहरण 7

बीम को विपरीत दिशा में खींचें, इसे एक सीधी रेखा तक फैलाएं

उदाहरण 8

उपरोक्त उदाहरण के अनुसार एकल खंडों को अलग रखें

बायीं ओर प्राकृत संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 5...s लिखें विपरीत संकेत. उदाहरण पर ध्यान दें.

उदाहरण 9

आप केवल मूल और एकल खंडों को चिह्नित कर सकते हैं। यह कैसा दिखेगा इसका उदाहरण देखें.

उदाहरण 10

परिभाषा 4

- यह एक सीधी रेखा है, जिसे एक निश्चित संदर्भ बिंदु के साथ दर्शाया गया है, जिसे 0, एक इकाई खंड और गति की एक निश्चित दिशा के रूप में लिया जाता है।

समन्वय रेखा पर बिंदुओं और वास्तविक संख्याओं के बीच पत्राचार

एक निर्देशांक रेखा में कई बिंदु हो सकते हैं। इनका वास्तविक संख्याओं से सीधा संबंध है। इसे एक-से-एक पत्राचार के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

परिभाषा 5

निर्देशांक रेखा पर प्रत्येक बिंदु एक वास्तविक संख्या से मेल खाता है, और प्रत्येक वास्तविक संख्या समन्वय रेखा पर एक एकल बिंदु से मेल खाती है।

नियम को बेहतर ढंग से समझने के लिए, आपको निर्देशांक रेखा पर एक बिंदु अंकित करना चाहिए और देखना चाहिए कि कौन सी प्राकृतिक संख्या उस चिह्न से मेल खाती है। यदि यह बिंदु मूल बिंदु से मेल खाता है, तो इसे शून्य चिह्नित किया जाएगा। यदि बिंदु प्रारंभिक बिंदु से मेल नहीं खाता है, तो हम निर्दिष्ट चिह्न तक पहुंचने तक इकाई खंडों की आवश्यक संख्या को स्थगित कर देते हैं। इसके नीचे लिखा नंबर इसी बिंदु के अनुरूप होगा. नीचे दिए गए उदाहरण का उपयोग करके हम आपको यह नियम स्पष्ट रूप से दिखाएंगे।

उदाहरण 11

यदि हम इकाई खंडों को आलेखित करके कोई बिंदु नहीं पा सकते हैं, तो हमें उन बिंदुओं को भी चिह्नित करना चाहिए जो इकाई खंड का दसवां, सौवां या हजारवां हिस्सा बनाते हैं। इस नियम की विस्तार से जांच करने के लिए एक उदाहरण का उपयोग किया जा सकता है।

कई समान खंडों को अलग करके, हम न केवल एक पूर्णांक प्राप्त कर सकते हैं, बल्कि एक भिन्नात्मक संख्या भी प्राप्त कर सकते हैं - सकारात्मक और नकारात्मक दोनों।

चिह्नित खंड हमें समन्वय रेखा पर आवश्यक बिंदु खोजने में मदद करेंगे। ये पूर्ण या आंशिक संख्याएँ हो सकती हैं। हालाँकि, एक सीधी रेखा पर ऐसे बिंदु होते हैं जिन्हें एकल खंडों का उपयोग करके खोजना बहुत मुश्किल होता है। ये बिंदु मेल खाते हैं दशमलव. ऐसे बिंदु को खोजने के लिए, आपको एक इकाई खंड, दसवां, सौवां, एक हजारवां, दस-हजारवां और इसके अन्य भागों को अलग रखना होगा। निर्देशांक रेखा पर एक बिंदु अपरिमेय संख्या π (= 3, 141592...) से मेल खाता है।

वास्तविक संख्याओं के सेट में वे सभी संख्याएँ शामिल होती हैं जिन्हें भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। इससे आप नियम की पहचान कर सकते हैं.

परिभाषा 6

निर्देशांक रेखा पर प्रत्येक बिंदु एक विशिष्ट वास्तविक संख्या से मेल खाता है। अलग-अलग बिंदु अलग-अलग वास्तविक संख्याएँ परिभाषित करते हैं।

यह पत्राचार अद्वितीय है - प्रत्येक बिंदु एक निश्चित वास्तविक संख्या से मेल खाता है। लेकिन यह विपरीत दिशा में भी काम करता है। हम समन्वय रेखा पर एक विशिष्ट बिंदु भी निर्दिष्ट कर सकते हैं जो एक विशिष्ट वास्तविक संख्या से संबंधित होगा। यदि संख्या पूर्णांक नहीं है, तो हमें कई इकाई खंडों के साथ-साथ एक निश्चित दिशा में दसवें और सौवें हिस्से को चिह्नित करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, संख्या 400350 समन्वय रेखा पर एक बिंदु से मेल खाती है, जिसे सकारात्मक दिशा में 400 इकाई खंडों, एक इकाई के दसवें हिस्से का गठन करने वाले 3 खंडों और एक हजारवें हिस्से का गठन करने वाले 5 खंडों को प्लॉट करके मूल से पहुंचा जा सकता है।

इस पाठ में हम निर्देशांक रेखा की अवधारणा से परिचित होंगे, हम इसकी मुख्य विशेषताओं और गुणों को प्राप्त करेंगे। आइए मुख्य समस्याओं को तैयार करें और हल करना सीखें। आइए इन समस्याओं के संयोजन के कई उदाहरण हल करें।

1) प्रारंभिक बिंदु का चयन करें;

2) एक दिशा चुनें;

3) पैमाने का चयन करें;

चित्र 1 एक नियमित रेखा दिखाता है, और चित्र 2 एक समन्वय रेखा दिखाता है।

निर्देशांक रेखा को निर्देशांक अक्ष या X-अक्ष भी कहा जाता है।

यहां संख्या को निर्देशांक A कहा जाता है, संख्या को निर्देशांक B कहा जाता है।

इसलिए, चूंकि समन्वय रेखा की मुख्य संपत्ति बिंदुओं और संख्याओं के बीच एक-से-एक पत्राचार की स्थापना है, दो मुख्य कार्य उत्पन्न होते हैं: किसी बिंदु को किसी दिए गए नंबर से इंगित करना, हम पहले ही यह ऊपर कर चुके हैं, और इंगित करना किसी दिए गए बिंदु से एक संख्या. आइए दूसरे कार्य का एक उदाहरण देखें:

मान लीजिए बिंदु M दिया गया है:

आइए एक और बिंदु लें और संख्या निर्धारित करने के लिए इसका उपयोग करें:

विशिष्ट कार्यों में शामिल हैं:

-अंक और उनके निर्देशांक रखने में सक्षम हो;

-संख्याओं की तुलना समझें:

अभिव्यक्ति का अर्थ है कि निर्देशांक 4 के साथ बिंदु C, निर्देशांक 2 के साथ बिंदु M के दाईं ओर स्थित है:

मान लीजिए कि बिंदु M(x M) और N(x N) दिए गए हैं:

-बिंदुओं के बीच की दूरी का निर्धारण.

तब उनके बीच की दूरी बराबर होगी:

एक और बहुत ही महत्वपूर्ण कार्य है संख्या सेटों का ज्यामितीय विवरण.

इसलिए, हमने विश्लेषणात्मक रूप से एक संख्यात्मक सेट लिखा है जो दिए गए बिंदुओं के सेट को दर्शाता है। जैसा कि हमने कहा, विश्लेषणात्मक अंकन या तो असमानता के रूप में या अंतराल के रूप में किया जाता है।

अंकों का एक सेट दिया गया है:

आइए व्युत्क्रम समस्या के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 10:

संख्याओं का एक सेट दिया गया है. बिंदुओं का संगत सेट बनाएं

उदाहरण 11:

संख्याओं का एक सेट दिया गया है. बिंदुओं का एक सेट बनाएं:

उदाहरण 12:

एक संख्या सेट दिया गया है. इसका ज्यामितीय मॉडल बनाएं:

अंतराल से सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए:

अंतराल में सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें यदि वह मौजूद है:

हम आठ में से एक मनमाने ढंग से छोटी संख्या घटा सकते हैं और कह सकते हैं कि परिणाम सबसे बड़ी संख्या होगी, लेकिन हम तुरंत उससे भी छोटी संख्या निकाल लेंगे, और घटाने का परिणाम बढ़ जाएगा, जिससे कि सबसे बड़ी संख्या खोजना असंभव हो जाएगा। यह अंतराल.

किसी दिए गए अंतराल में कितनी प्राकृतिक संख्याएँ हैं?

चलो एक और सेट लेते हैं.

उदाहरण 13:

संख्याओं का एक सेट दिया गया

इसका ज्यामितीय मॉडल बनाएं:

ईसा पूर्व पाँचवीं शताब्दी में, प्राचीन यूनानी दार्शनिक ज़ेनो ऑफ़ एलिया ने अपना प्रसिद्ध एपोरिया तैयार किया, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध "अकिलीज़ एंड द टोर्टोइज़" एपोरिया है। यहाँ यह कैसा लगता है:

मान लीजिए कि अकिलिस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। अकिलिस को इस दूरी तक दौड़ने में जितना समय लगेगा, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगेगा। जब अकिलिस सौ कदम दौड़ता है, तो कछुआ दस कदम और रेंगता है, इत्यादि। यह प्रक्रिया अनंत काल तक जारी रहेगी, अकिलिस कछुए को कभी नहीं पकड़ पाएगा।

यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक झटका बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, हिल्बर्ट... वे सभी किसी न किसी रूप में ज़ेनो के एपोरिया पर विचार करते थे। झटका इतना जोरदार था कि " ...चर्चाएं आज भी जारी हैं; वैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार पर एक आम राय नहीं बना सका है...इस मुद्दे के अध्ययन में शामिल थे गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण; उनमें से कोई भी समस्या का आम तौर पर स्वीकृत समाधान नहीं बन सका..."[विकिपीडिया, "ज़ेनो'स अपोरिया"। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखे में क्या शामिल है।

गणितीय दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में स्पष्ट रूप से मात्रा से संक्रमण का प्रदर्शन किया। इस परिवर्तन का तात्पर्य स्थायी के बजाय अनुप्रयोग से है। जहां तक मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों का उपयोग करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। अपने सामान्य तर्क को लागू करने से हम एक जाल में फंस जाते हैं। हम, सोच की जड़ता के कारण, समय की निरंतर इकाइयों को पारस्परिक मूल्य पर लागू करते हैं। साथ भौतिक बिंदुएक दृष्टिकोण से, ऐसा लगता है कि समय धीमा हो रहा है जब तक कि यह उस समय पूरी तरह से बंद न हो जाए जब अकिलिस कछुए को पकड़ लेता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलिस कछुए से आगे नहीं निकल सकता।

यदि हम अपने सामान्य तर्क को पलट दें, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अकिलिस स्थिर गति से दौड़ता है। उसके पथ का प्रत्येक अगला खंड पिछले वाले से दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलीज़ कछुए को असीम रूप से जल्दी पकड़ लेगा।"

इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की निरंतर इकाइयों में रहें और आगे न बढ़ें पारस्परिक. ज़ेनो की भाषा में यह इस तरह दिखता है:

अकिलिस को एक हजार कदम चलने में जितना समय लगता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। पहले के बराबर अगले समय अंतराल के दौरान, अकिलिस एक और हजार कदम दौड़ेगा, और कछुआ सौ कदम रेंगेगा। अब अकिलिस कछुए से आठ सौ कदम आगे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह समस्या का पूर्ण समाधान नहीं है. प्रकाश की गति की अप्रतिरोध्यता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द टोर्टोइज़" के समान है। हमें अभी भी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना होगा। और समाधान असीमित बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।

ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया एक उड़ने वाले तीर के बारे में बताता है:

एक उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि समय के प्रत्येक क्षण में वह विश्राम में होता है, और चूँकि वह समय के प्रत्येक क्षण में विश्राम में होता है, इसलिए वह सदैव विश्राम में ही रहता है।

इस एपोरिया में तार्किक विरोधाभासइसे बहुत सरलता से दूर किया जा सकता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि समय के प्रत्येक क्षण में एक उड़ता हुआ तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर आराम कर रहा है, जो वास्तव में गति है। यहां एक और बात पर ध्यान देने की जरूरत है. सड़क पर एक कार की एक तस्वीर से उसकी गति के तथ्य या उससे दूरी का पता लगाना असंभव है। यह निर्धारित करने के लिए कि कोई कार चल रही है, आपको अलग-अलग समय पर एक ही बिंदु से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होगी, लेकिन आप उनसे दूरी निर्धारित नहीं कर सकते। किसी कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होगी, लेकिन आप उनसे गति के तथ्य का निर्धारण नहीं कर सकते (बेशक, आपको अभी भी गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी) ). मैं क्या कहना चाहता हूं विशेष ध्यान, यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, क्योंकि वे अनुसंधान के लिए अलग-अलग अवसर प्रदान करते हैं।

बुधवार, 4 जुलाई 2018

विकिपीडिया पर सेट और मल्टीसेट के बीच अंतर को बहुत अच्छी तरह से वर्णित किया गया है। चलो देखते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, "एक सेट में दो समान तत्व नहीं हो सकते," लेकिन यदि किसी सेट में समान तत्व हैं, तो ऐसे सेट को "मल्टीसेट" कहा जाता है। समझदार प्राणी ऐसे बेतुके तर्क को कभी नहीं समझ पाएंगे। यह बोलने वाले तोतों और प्रशिक्षित बंदरों का स्तर है, जिनके पास "पूरी तरह से" शब्द से कोई बुद्धि नहीं है। गणितज्ञ सामान्य प्रशिक्षकों के रूप में कार्य करते हैं, और हमें अपने बेतुके विचारों का उपदेश देते हैं।

एक बार की बात है, पुल बनाने वाले इंजीनियर पुल का परीक्षण करते समय पुल के नीचे एक नाव में थे। यदि पुल ढह गया, तो औसत दर्जे का इंजीनियर अपनी रचना के मलबे के नीचे दबकर मर गया। यदि पुल भार सहन कर सका, तो प्रतिभाशाली इंजीनियर ने अन्य पुल बनाए।

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि गणितज्ञ "मेरा ध्यान रखें, मैं घर में हूं" वाक्यांश के पीछे कैसे छिपते हैं, या बल्कि, "गणित अमूर्त अवधारणाओं का अध्ययन करता है," एक गर्भनाल है जो उन्हें वास्तविकता से जोड़ती है। यह नाल ही धन है। उपयुक्त गणितीय सिद्धांतगणितज्ञों को स्वयं सेट करता है।

हमने गणित का बहुत अच्छा अध्ययन किया और अब हम कैश रजिस्टर पर बैठकर वेतन दे रहे हैं। तो एक गणितज्ञ अपने पैसे के लिए हमारे पास आता है। हम उसे पूरी राशि गिनते हैं और उसे अलग-अलग ढेरों में अपनी मेज पर रखते हैं, जिसमें हम एक ही मूल्यवर्ग के बिल डालते हैं। फिर हम प्रत्येक ढेर से एक बिल लेते हैं और गणितज्ञ को उसका "वेतन का गणितीय सेट" देते हैं। आइए गणितज्ञ को समझाएं कि उसे शेष बिल तभी प्राप्त होंगे जब वह यह साबित कर देगा कि समान तत्वों के बिना एक सेट समान तत्वों वाले सेट के बराबर नहीं है। मज़ा यहां शुरू होता है।

सबसे पहले, प्रतिनिधियों का तर्क काम करेगा: "यह दूसरों पर लागू किया जा सकता है, लेकिन मुझ पर नहीं!" फिर वे हमें आश्वस्त करना शुरू कर देंगे कि एक ही मूल्यवर्ग के बिलों में अलग-अलग बिल संख्याएँ होती हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें एक ही तत्व नहीं माना जा सकता है। ठीक है, आइए वेतन को सिक्कों में गिनें - सिक्कों पर कोई संख्या नहीं है। यहां गणितज्ञ भौतिकी को पागलपन से याद करना शुरू कर देगा: विभिन्न सिक्कों पर है अलग-अलग मात्राप्रत्येक सिक्के की गंदगी, क्रिस्टल संरचना और परमाणु व्यवस्था अद्वितीय है...

और अब मेरे पास सबसे ज्यादा है दिलचस्प सवाल: वह रेखा कहां है जिसके आगे एक मल्टीसेट के तत्व एक सेट के तत्वों में बदल जाते हैं और इसके विपरीत? ऐसी कोई रेखा मौजूद नहीं है - सब कुछ जादूगरों द्वारा तय किया जाता है, विज्ञान यहां झूठ बोलने के करीब भी नहीं है।

यहाँ देखो। हम समान फ़ील्ड क्षेत्र वाले फ़ुटबॉल स्टेडियमों का चयन करते हैं। फ़ील्ड का क्षेत्रफल समान है - जिसका अर्थ है कि हमारे पास एक मल्टीसेट है। लेकिन अगर हम इन्हीं स्टेडियमों के नाम देखें तो हमें कई मिलते हैं, क्योंकि नाम अलग-अलग हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, तत्वों का एक ही सेट एक सेट और मल्टीसेट दोनों है। कौन सा सही है? और यहां गणितज्ञ-शमन-शार्पिस्ट अपनी आस्तीन से तुरुप का इक्का निकालता है और हमें सेट या मल्टीसेट के बारे में बताना शुरू करता है। किसी भी स्थिति में, वह हमें विश्वास दिलाएगा कि वह सही है।

यह समझने के लिए कि आधुनिक जादूगर सेट सिद्धांत के साथ कैसे काम करते हैं, इसे वास्तविकता से जोड़ते हुए, यह एक प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है: एक सेट के तत्व दूसरे सेट के तत्वों से कैसे भिन्न होते हैं? मैं आपको दिखाऊंगा, बिना किसी "एक पूरे के रूप में कल्पनीय" या "एक पूरे के रूप में कल्पनीय नहीं।"

रविवार, 18 मार्च 2018

किसी संख्या के अंकों का योग डफ के साथ जादूगरों का नृत्य है, जिसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है। हां, गणित के पाठों में हमें किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात करना और उसका उपयोग करना सिखाया जाता है, लेकिन यही कारण है कि वे जादूगर हैं, अपने वंशजों को अपने कौशल और ज्ञान सिखाएं, अन्यथा जादूगर बस खत्म हो जाएंगे।

क्या आपको सबूत चाहिए? विकिपीडिया खोलें और "किसी संख्या के अंकों का योग" पृष्ठ ढूंढने का प्रयास करें। वह अस्तित्व में नहीं है. गणित में ऐसा कोई सूत्र नहीं है जिसका उपयोग किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए किया जा सके। आख़िरकार, संख्याएँ ग्राफिक प्रतीक हैं जिनके साथ हम संख्याएँ लिखते हैं, और गणित की भाषा में कार्य इस तरह लगता है: "किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले ग्राफिक प्रतीकों का योग ज्ञात करें।" गणितज्ञ इस समस्या को हल नहीं कर सकते, लेकिन जादूगर इसे आसानी से कर सकते हैं।

आइए जानें कि किसी दी गई संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए हम क्या और कैसे करते हैं। और इसलिए, आइए हमारे पास संख्या 12345 है। इस संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए क्या करने की आवश्यकता है? आइए क्रम से सभी चरणों पर विचार करें।

1. कागज के एक टुकड़े पर संख्या लिख लें। हमने क्या किया है? हमने संख्या को ग्राफिकल संख्या प्रतीक में बदल दिया है। यह कोई गणितीय संक्रिया नहीं है.

2. एक परिणामी चित्र को अलग-अलग संख्याओं वाले कई चित्रों में काटें। किसी चित्र को काटना कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

3. व्यक्तिगत ग्राफ़िक प्रतीकों को संख्याओं में बदलें। यह कोई गणितीय संक्रिया नहीं है.

4. परिणामी संख्याएँ जोड़ें। अब ये गणित है.

संख्या 12345 के अंकों का योग 15 है। ये ओझाओं के "काटने और सिलाई के पाठ्यक्रम" हैं जिनका उपयोग गणितज्ञ करते हैं। लेकिन इतना ही नहीं.

गणितीय दृष्टिकोण से, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किस संख्या प्रणाली में कोई संख्या लिखते हैं। इसलिए, अलग-अलग संख्या प्रणालियों में एक ही संख्या के अंकों का योग अलग-अलग होगा। गणित में, संख्या प्रणाली को संख्या के दाईं ओर एक सबस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया जाता है। बड़ी संख्या 12345 के साथ, मैं अपना सिर मूर्ख नहीं बनाना चाहता, आइए लेख से संख्या 26 पर विचार करें। आइए इस संख्या को बाइनरी, ऑक्टल, दशमलव और हेक्साडेसिमल संख्या प्रणालियों में लिखें। हम हर कदम को माइक्रोस्कोप के नीचे नहीं देखेंगे; हम पहले ही ऐसा कर चुके हैं। आइये परिणाम पर नजर डालते हैं.

जैसा कि आप देख सकते हैं, विभिन्न संख्या प्रणालियों में एक ही संख्या के अंकों का योग अलग-अलग होता है। इस परिणाम का गणित से कोई लेना-देना नहीं है। यह वैसा ही है जैसे यदि आपने किसी आयत का क्षेत्रफल मीटर और सेंटीमीटर में निर्धारित किया है, तो आपको पूरी तरह से अलग परिणाम मिलेंगे।

शून्य सभी संख्या प्रणालियों में एक जैसा दिखता है और इसमें अंकों का कोई योग नहीं होता है। यह इस तथ्य के पक्ष में एक और तर्क है। गणितज्ञों के लिए प्रश्न: वह चीज़ कैसी है जो गणित में निर्दिष्ट संख्या नहीं है? क्या, गणितज्ञों के लिए संख्याओं के अलावा कुछ भी मौजूद नहीं है? मैं ओझाओं के लिए इसकी अनुमति दे सकता हूं, लेकिन वैज्ञानिकों के लिए नहीं। वास्तविकता सिर्फ संख्याओं के बारे में नहीं है।

प्राप्त परिणाम को इस बात का प्रमाण माना जाना चाहिए कि संख्या प्रणालियाँ संख्याओं के माप की इकाइयाँ हैं। आख़िरकार, हम संख्याओं की तुलना माप की विभिन्न इकाइयों से नहीं कर सकते। यदि समान मात्रा की माप की विभिन्न इकाइयों के साथ समान क्रियाएं होती हैं अलग परिणामइनकी तुलना करने पर इसका मतलब है कि इसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है।

वास्तविक गणित क्या है? ऐसा तब होता है जब गणितीय ऑपरेशन का परिणाम संख्या के आकार, उपयोग की गई माप की इकाई और इस क्रिया को करने वाले पर निर्भर नहीं करता है।

दरवाजे पर हस्ताक्षर करें वह दरवाज़ा खोलता है और कहता है:

ओह! क्या यह महिला शौचालय नहीं है?
- युवती! यह स्वर्ग में आरोहण के दौरान आत्माओं की अनिश्चित पवित्रता के अध्ययन के लिए एक प्रयोगशाला है! शीर्ष पर हेलो और ऊपर तीर. और कौन सा शौचालय?

महिला... शीर्ष पर प्रभामंडल और नीचे तीर पुरुष हैं।

यदि डिजाइन कला का ऐसा कोई काम आपकी आंखों के सामने दिन में कई बार चमकता है,

फिर यह आश्चर्य की बात नहीं है कि आपको अचानक अपनी कार में एक अजीब आइकन मिले:

व्यक्तिगत रूप से, मैं शौच कर रहे व्यक्ति (एक चित्र) में माइनस चार डिग्री देखने का प्रयास करता हूं (कई चित्रों की एक रचना: माइनस साइन, नंबर चार, डिग्री पदनाम)। और मुझे नहीं लगता कि यह लड़की मूर्ख है जो भौतिकी नहीं जानती। उसके पास ग्राफिक छवियों को समझने की एक मजबूत रूढ़ि है। और गणितज्ञ हमें हर समय यही सिखाते हैं। यहाँ एक उदाहरण है.

1ए "शून्य से चार डिग्री" या "एक ए" नहीं है। यह हेक्साडेसिमल नोटेशन में "पूपिंग मैन" या संख्या "छब्बीस" है। जो लोग लगातार इस संख्या प्रणाली में काम करते हैं वे स्वचालित रूप से एक संख्या और एक अक्षर को एक ग्राफिक प्रतीक के रूप में समझते हैं।

पाठ विषय:

« प्रत्यक्ष निर्देशांक»

पाठ का उद्देश्य:

विद्यार्थियों को निर्देशांक रेखा और ऋणात्मक संख्याओं से परिचित कराएं।

पाठ मकसद:

शैक्षिक: छात्रों को निर्देशांक रेखा और ऋणात्मक संख्याओं से परिचित कराएं।

शैक्षिक: विकास तर्कसम्मत सोच, अपने क्षितिज को व्यापक बनाना।

शैक्षिक: विकास संज्ञानात्मक रुचि, सूचना संस्कृति की शिक्षा।

शिक्षण योजना:

संगठन क्षण.विद्यार्थियों और पाठ के लिए उनकी तैयारी की जाँच करना।

अद्यतन पृष्ठभूमि ज्ञान. मौखिक सर्वेक्षणकवर किए गए विषय पर छात्र।

नई सामग्री की व्याख्या.

4. सीखी गई सामग्री को सुदृढ़ करना.

5. उपसंहार।पाठ में जो सीखा गया उसका सारांश। छात्रों से प्रश्न.

6. निष्कर्ष.पाठ के मुख्य बिंदुओं का सारांश। ज्ञान मूल्यांकन. निशान बनाना.

7. गृहकार्य . स्वतंत्र कार्यअध्ययन की गई सामग्री वाले छात्र।

उपकरण: चाक,बोर्ड, स्लाइड.

विस्तृत रूपरेखा योजना

मंच का नाम और सामग्री

गतिविधि

छात्र

स्टेज I

संगठन क्षण. अभिवादन।

लॉग भरना.

कक्षा का स्वागत करता है, कक्षा नेता अनुपस्थित लोगों की सूची देता है।

उन्हें हैलो कहो

अध्यापक

चरण II

बुनियादी ज्ञान को अद्यतन करना।

प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक पाइथागोरस ने कहा था: "संख्याएँ दुनिया पर राज करती हैं।" आप और मैं संख्याओं की इस दुनिया में रहते हैं, और इसमें स्कूल वर्षसाथ काम करना सीखना अलग-अलग नंबर.

1 आज के पाठ के लिए हम कौन सी संख्याएँ पहले से जानते हैं?

2 ये संख्याएँ हमें किन समस्याओं को हल करने में मदद करती हैं?

आज हम अपनी पाठ्यपुस्तक के दूसरे अध्याय का अध्ययन करने के लिए आगे बढ़ रहे हैं " भिन्नात्मक संख्याएं“, जहां हम संख्याओं के बारे में अपने ज्ञान का विस्तार करेंगे, और पूरे अध्याय “तर्कसंगत संख्या” का अध्ययन करने के बाद हम उनके साथ वे सभी क्रियाएं करना सीखेंगे जो आप जानते हैं और निर्देशांक रेखा के विषय से शुरू करेंगे।

1.प्राकृतिक, साधारण भिन्न, दशमलव

2.जोड़, घटाव, गुणा, भाग, किसी संख्या से भिन्न और उसके भिन्न से एक संख्या निकालना, विभिन्न समीकरणों और समस्याओं को हल करना

चरण III

नई सामग्री की व्याख्या.

आइए सीधी रेखा AB लें और इसे बिंदु O से दो अतिरिक्त किरणों - OA और OB में विभाजित करें। आइए हम एक सीधी रेखा पर एक इकाई खंड का चयन करें और बिंदु O को मूल बिंदु और दिशा के रूप में लें।

परिभाषाएँ:

एक संदर्भ बिंदु, एक इकाई खंड और उस पर चुनी गई दिशा वाली एक सीधी रेखा को समन्वय रेखा कहा जाता है।

किसी रेखा पर किसी बिंदु की स्थिति दर्शाने वाली संख्या को इस बिंदु का निर्देशांक कहा जाता है।

निर्देशांक रेखा का निर्माण कैसे करें?

प्रत्यक्ष करें

एक इकाई खंड सेट करें

दिशा बताएं

समन्वय रेखा को अलग-अलग तरीकों से चित्रित किया जा सकता है: क्षैतिज, लंबवत और क्षितिज के किसी अन्य कोण पर, और इसकी शुरुआत होती है, लेकिन कोई अंत नहीं होता है।

कार्य 1. सूचीबद्ध रेखाओं में से कौन-सी निर्देशांक रेखाएँ नहीं हैं (स्लाइड)

आइए एक समन्वय रेखा खींचें, मूल बिंदु, एक इकाई खंड को चिह्नित करें और बिंदु 1,2,3,4 इत्यादि को बाईं और दाईं ओर प्लॉट करें।

आइए परिणामी समन्वय रेखा को देखें। ऐसी सीधी रेखा असुविधाजनक क्यों है?

मूल बिंदु से दाईं ओर की दिशा को सकारात्मक कहा जाता है, और सीधी रेखा पर दिशा को एक तीर द्वारा दर्शाया जाता है। बिंदु O के दाईं ओर स्थित संख्याएँ धनात्मक कहलाती हैं। बिंदु के बायीं ओर O स्थित है नकारात्मक संख्याएँ, और बिंदु O के बाईं ओर की दिशा को नकारात्मक कहा जाता है (नकारात्मक दिशा इंगित नहीं की गई है)। यदि निर्देशांक रेखा लंबवत स्थित है, तो मूल बिंदु के ऊपर की संख्याएँ सकारात्मक हैं, और मूल के नीचे की संख्याएँ ऋणात्मक हैं। ऋणात्मक संख्याएँ "-" चिह्न के साथ लिखी जाती हैं। वे पढ़ते हैं: "माइनस वन", "माइनस टू", "माइनस थ्री", आदि। संख्या 0 - मूल न तो धनात्मक और न ही ऋणात्मक संख्या है। यह धनात्मक संख्याओं को ऋणात्मक संख्याओं से अलग करता है।

समीकरणों को हल करने और व्यापार गणना में "ऋण" की अवधारणा के कारण नकारात्मक संख्याएँ सामने आईं।

ऋणात्मक संख्याएँ प्राकृतिक संख्याओं और साधारण भिन्नों की तुलना में बहुत बाद में प्रकट हुईं। ऋणात्मक संख्याओं के बारे में पहली जानकारी दूसरी शताब्दी में चीनी गणितज्ञों के बीच पाई गई थी। ईसा पूर्व ई. सकारात्मक संख्याएँतब उनकी व्याख्या संपत्ति के रूप में की गई, और नकारात्मक - ऋण, कमी के रूप में। यूरोप में, मान्यता एक हजार साल बाद मिली, और तब भी कब काऋणात्मक संख्याओं को "झूठा," "काल्पनिक," या "बेतुका" कहा जाता था। 17वीं शताब्दी में, नकारात्मक संख्याओं को संख्या अक्ष पर एक दृश्य ज्यामितीय प्रतिनिधित्व प्राप्त हुआ

आप एक समन्वय रेखा के उदाहरण भी दे सकते हैं: एक थर्मामीटर, पर्वत चोटियों और अवसादों की तुलना (समुद्र का स्तर शून्य के रूप में लिया जाता है), मानचित्र पर दूरी, एक लिफ्ट शाफ्ट, घर, क्रेन।

सोचनाक्या आप निर्देशांक रेखा का कोई अन्य उदाहरण जानते हैं?

असाइनमेंट।

कार्य2. बिंदुओं के निर्देशांक बताइए।

कार्य 3. एक समन्वय रेखा पर बिंदुओं को आलेखित करें

कार्य4 . एक क्षैतिज रेखा खींचें और उस पर बिंदु O अंकित करें यदि आप जानते हैं कि इस रेखा पर बिंदु A, B, C, K अंकित करें:

A, O के दाईं ओर 9 सेल है;

B, O के बाईं ओर 6.5 सेल है;

C, O के दाईं ओर 3½ वर्ग है;

K, O के बाईं ओर 3 वर्ग है .

में रिकॉर्ड किया गया सहायक नोट्स.

वे सुनते हैं और पूरक होते हैं।

वे कार्य को अपनी नोटबुक में पूरा करते हैं और फिर अपने उत्तरों को ज़ोर से समझाते हैं।