सिलेंडर आधार ऊंचाई पार्श्व सतह जनरेटर। एक ज्यामितीय आकृति के रूप में सिलेंडर

एक बेलनाकार सतह और इसे प्रतिच्छेद करने वाले दो समानांतर विमानों से घिरा हुआ।

प्रकार

ज्यादातर मामलों में, एक सिलेंडर का मतलब एक सीधा गोलाकार सिलेंडर होता है, जिसका मार्गदर्शक वृत्त होता है और आधार जेनरेटर के लंबवत होते हैं। ऐसे बेलन में सममिति का अक्ष होता है।

अन्य प्रकार के सिलेंडर - (जेनरेट्रिक्स के झुकाव के अनुसार) तिरछा या झुका हुआ (यदि जेनरेट्रिक्स समकोण पर आधार को नहीं छूता है); (आधार के आकार के अनुसार) अण्डाकार, अतिपरवलयिक, परवलयिक।

प्रिज्म भी एक प्रकार का बेलन है - जिसका आधार बहुभुज के आकार का होता है।

सिलेंडर सतह क्षेत्र

पार्श्व सतह क्षेत्र

सिलेंडर की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल जेनरेट्रिक्स की लंबाई के बराबर होता है, जो जेनरेट्रिक्स के लंबवत विमान द्वारा सिलेंडर के अनुभाग की परिधि से गुणा किया जाता है।

एक सीधे सिलेंडर के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना उसके विकास से की जाती है। एक बेलन का विकास ऊँचाई वाला एक आयत है $एच$ और लंबाई $पी$ , आधार की परिधि के बराबर। इसलिए, सिलेंडर की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल उसके विकास के क्षेत्र के बराबर है और सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

$एस_बी = पी एच$

विशेष रूप से, एक लंब वृत्ताकार सिलेंडर के लिए:

$पी = 2\pi आर$ , और $S_b = 2 \pi R h$

एक झुके हुए सिलेंडर के लिए, पार्श्व सतह का क्षेत्रफल जेनरेट्रिक्स की लंबाई को जेनरेट्रिक्स के लंबवत अनुभाग की परिधि से गुणा करने के बराबर है:

$S_b = P_(\perp) h$

आयतन के विपरीत, आधार और ऊंचाई के मापदंडों के माध्यम से तिरछे सिलेंडर की पार्श्व सतह के क्षेत्र को व्यक्त करने का कोई सरल सूत्र नहीं है। एक झुके हुए गोलाकार सिलेंडर के लिए, आप दीर्घवृत्त की परिधि के लिए अनुमानित सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं, और फिर परिणामी मान को जेनरेटरिक्स की लंबाई से गुणा कर सकते हैं।

कुल सतह क्षेत्र

एक बेलन का कुल सतह क्षेत्रफल उसकी पार्श्व सतह और उसके आधारों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।

एक सीधे गोलाकार सिलेंडर के लिए: $S_(p) = 2 \pi R h +2 \pi R^2 = 2\pi R (h+R)$

सिलेंडर की मात्रा

एक झुके हुए सिलेंडर के लिए दो सूत्र हैं:

वॉल्यूम जेनरेटरिक्स के लंबवत विमान द्वारा सिलेंडर के क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र से गुणा जेनरेटरिक्स की लंबाई के बराबर है। $V=S_(\perp)l$ ,
आयतन क्षेत्रफल के बराबरआधार को ऊँचाई से गुणा किया जाता है (उन तलों के बीच की दूरी जिनमें आधार स्थित हैं): $V=Sh=Sl\sin(\varphi)$ ,

कहाँ

एल

जेनरेटरिक्स की लंबाई है, और

\varphi

- जेनरेट्रिक्स और आधार के तल के बीच का कोण। सीधे सिलेंडर के लिए

एच=एल

सीधे सिलेंडर के लिए $\sin(\varphi)=1$ , $एल=एच$ और $S_(\perp)=S$ , और आयतन इसके बराबर है:

$व=स्ल=श$

एक गोलाकार सिलेंडर के लिए:

$V=\pi R^(2)h=\pi \frac(d^(2))(4)h$

कहाँ डी- आधार व्यास.

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सिलेंडर की विशेषता बताने वाला अंश

"पेरिस ला कैपिटल डू मोंडे... [पेरिस दुनिया की राजधानी है...]," पियरे ने अपना भाषण समाप्त करते हुए कहा।
कप्तान ने पियरे की ओर देखा। उन्हें बातचीत के बीच में रुककर हँसती हुई, स्नेह भरी आँखों से गौर से देखने की आदत थी।
- एह बिएन, सी वौस ने एम"एविज़ पस दित कुए वौस एट्स रुसे, जे"औराई पैरी क्यू वौस एट्स पेरिसियन। वौस अवेज़ सी जे नी सैस, क्वोई, सी... [ठीक है, अगर आपने मुझे नहीं बताया होता कि आप रूसी थे, तो मैं शर्त लगा सकता हूं कि आप पेरिस के थे। कुछ तो बात है तुममें, ये...] - और ये तारीफ कहकर वो फिर चुपचाप देखने लगा।
पियरे ने कहा, "जे"एटे ए पेरिस, जे"एई पासे देस एनीस, [मैं पेरिस में था, मैंने पूरे साल वहां बिताए।"
– ओह सीए से वोइट बिएन. पेरिस!.. उन होम क्वी ने पेरिस से संपर्क किया, यह एक सौवेज है। अन पेरिसियन, सीए से ने एक ड्यूक्स लिक्स भेजा। पेरिस, एस"एस्ट तल्मा, ला दुशेनोइस, पोटियर, ला सोरबोन, लेस बुलेवार्ड्स," और यह देखते हुए कि निष्कर्ष पिछले वाले की तुलना में कमजोर था, उन्होंने जल्दी से जोड़ा: "इल एन"वाई ए क्व"अन पेरिस अउ मोंडे ए पेरिस एट वूस एट्स रेस्ट बुसे। एह बिएन, जे ने वोस एन एस्टीम पस मोइन्स [ओह, यह स्पष्ट है। पेरिस!.. जो व्यक्ति पेरिस को नहीं जानता वह दो मील दूर से पेरिस को पहचान सकता है। बुलेवार्ड... पूरी दुनिया में केवल पेरिस ही है। आप पेरिस में थे और रूसी बने रहे। इसके लिए मैं आपका कम सम्मान नहीं करता।)
शराब पीने के नशे में और उनके साथ एकांत में कई दिन बिताने के बाद अंधेरे विचारपियरे को इस हंसमुख और अच्छे स्वभाव वाले व्यक्ति के साथ बातचीत में अनैच्छिक आनंद का अनुभव हुआ।
- पोर एन रेवेनियर ए वोस डेम्स, ऑन लेस डिट बिएन बेल्स। क्वेले फिचु आइडी डी'एलर एस' एंटररर डान्स लेस स्टेप्स, क्वैंड एल'आर्मी फ़्रैन्काइज़ इस्ट ए मॉस्को। क्वेले चांस एल्स ओन्ट मैनक सेलेस ला। वोस मौजिक्स सी'एस्ट ऑट्रे चॉइस, मैस वौआ ऑट्रेस जेन्स सिविलाइज़ेस वौस डेव्रिज़ नूस कनैट्रे मिउक्स क्यू सीए . नूस एवन्स प्रिस विएने, बर्लिन, मैड्रिड, नेपल्स, रोम, वार्सोवी, टाउट्स लेस कैपिटल्स डू मोंडे... ऑन नूस क्रेंट, माईस ऑन नूस एइमे। नोस सोम्स बंस ए कनॉट्रे. Et puis l "Empereur! [लेकिन चलिए आपकी महिलाओं के पास लौटते हैं: वे कहते हैं कि वे बहुत सुंदर हैं। जब फ्रांसीसी सेना मास्को में है तो स्टेपी में जाकर खुद को दफनाने का कितना मूर्खतापूर्ण विचार है! उन्होंने एक अद्भुत अवसर गंवा दिया। आपके लोग , मैं समझता हूं, लेकिन आप पढ़े-लिखे लोग हैं - उन्हें हमें इससे बेहतर जानना चाहिए था। हमने वियना, बर्लिन, मैड्रिड, नेपल्स, रोम, वारसॉ को ले लिया, दुनिया की सभी राजधानियां हमसे डरती हैं, लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। हमें बेहतर तरीके से जानने के लिए...] - उसने शुरुआत की लेकिन पियरे ने उसे रोक दिया।
"एल"एम्पेरेउर," पियरे ने दोहराया, और उसके चेहरे पर अचानक एक उदास और शर्मिंदा अभिव्यक्ति आ गई। "एस्ट सी क्यू एल"एम्पेरेउर?.. [सम्राट... सम्राट क्या है?..]
- एल'एम्पेरेउर? सी'एस्ट ला जेनेरोसाइट, ला क्लेमेंस, ला जस्टिस, एल'ऑर्ड्रे, ले जिन्न, वोइला एल'एम्पेरेउर! सी "एस्ट मोई, राम बॉल, क्वि वौस ले डिट। टेल क्यू वौस मी वॉयेज, जे" एटैस सन एनेमी इल वाई ए एनकोर ह्यूट एंस। मोन पेरे एटे कॉम्टे एमिग्रे... मैस इल एम'ए वेनकू, सेट होमे। इल एम'ए एम्पोइग्ने। जे एन "एआई पास पु रिसिस्टर औ तमाशा डे ग्रैंड्योर एट डे ग्लोयर डोंट इल कूव्रेट ला फ्रांस। क्वैंड जे"एआई कंप्रिस सीई क्व"इल वोउलेट, क्वैंड जे"एआई वु क्व"इल नूस फैसिट उने लिटिएरे डी लॉरियर्स, वॉयेज वौस, जे मुझे सुइस डिट: वोइला अन सोवेरेन, एट जे मी सूइस डोन ए लुई! [सम्राट? यह उदारता, दया, न्याय, व्यवस्था, प्रतिभा है - यही एक सम्राट है! यह मैं, रामबल, तुम्हें बता रहा हूं। जिस तरह से आप मुझे देखते हैं, आठ साल पहले मैं उसका दुश्मन था। मेरे पिता गिनती के और प्रवासी थे। लेकिन उसने मुझे, इस आदमी को हरा दिया। उसने मुझ पर कब्ज़ा कर लिया. मैं उस भव्यता और महिमा के दृश्य का विरोध नहीं कर सका जिसके साथ उसने फ्रांस को कवर किया था। जब मैं समझ गया कि वह क्या चाहता है, जब मैंने देखा कि वह हमारे लिए शान का बिस्तर तैयार कर रहा है, तो मैंने खुद से कहा: यहाँ संप्रभु है, और मैंने खुद को उसके हवाले कर दिया। इसलिए! अरे हाँ, मेरे प्रिय, यह सबसे अधिक है महान व्यक्तिपिछली और भविष्य की शताब्दियाँ।] kýlindros, रोलर, रोलर) - ज्यामितीय शरीर, एक बेलनाकार सतह (सिलेंडर की पार्श्व सतह कहा जाता है) और अधिकतम दो सतहों (सिलेंडर के आधार) से घिरा हुआ; इसके अलावा, यदि दो आधार हैं, तो एक को सिलेंडर की पार्श्व सतह के जनरेटर के साथ समानांतर स्थानांतरण द्वारा दूसरे से प्राप्त किया जाता है; और आधार पार्श्व सतह के प्रत्येक जनरेटर को बिल्कुल एक बार काटता है।

एक बंद अनंत बेलनाकार सतह से घिरा अनंत पिंड कहलाता है अंतहीन सिलेंडर, जो एक बंद बेलनाकार बीम और उसके आधार से घिरा होता है, कहलाता है खुला सिलेंडर. बेलनाकार बीम के आधार और जनरेटर को क्रमशः खुले सिलेंडर का आधार और जनरेटर कहा जाता है।

एक बंद परिमित बेलनाकार सतह और इसे अलग करने वाले दो खंडों से घिरा एक परिमित पिंड कहलाता है अंत सिलेंडर, या वास्तव में सिलेंडर. अनुभागों को सिलेंडर का आधार कहा जाता है। एक परिमित बेलनाकार सतह की परिभाषा के अनुसार, सिलेंडर के आधार बराबर होते हैं।

जाहिर है, सिलेंडर की पार्श्व सतह के जनरेटर लंबाई में बराबर होते हैं (कहा जाता है)। ऊंचाईसिलेंडर) खंड समानांतर रेखाओं पर स्थित हैं, और उनके सिरे सिलेंडर के आधार पर स्थित हैं। गणितीय जिज्ञासाओं में शून्य ऊंचाई के सिलेंडर के रूप में स्व-प्रतिच्छेदन के बिना किसी भी परिमित त्रि-आयामी सतह की परिभाषा शामिल है ( दी गई सतहअंतिम सिलेंडर के दोनों आधारों द्वारा एक साथ विचार किया गया)। सिलेंडर के आधार सिलेंडर को गुणात्मक रूप से प्रभावित करते हैं।

यदि सिलेंडर के आधार समतल हैं (और इसलिए उनमें स्थित तल समानांतर हैं), तो सिलेंडर कहा जाता है एक विमान पर खड़ा है. यदि किसी समतल पर खड़े सिलेंडर का आधार जेनरेट्रिक्स के लंबवत हो तो सिलेंडर को सीधा कहा जाता है।

विशेष रूप से, यदि किसी समतल पर खड़े सिलेंडर का आधार एक वृत्त है, तो हम एक वृत्ताकार (गोलाकार) सिलेंडर की बात करते हैं; यदि यह एक दीर्घवृत्त है, तो यह अण्डाकार है।

अंतिम सिलेंडर का आयतन जेनरेटर के साथ आधार के क्षेत्र के अभिन्न अंग के बराबर है। विशेषकर, एक लंब वृत्तीय बेलन का आयतन किसके बराबर होता है?

(आधार की त्रिज्या कहां है, ऊंचाई है)।

सिलेंडर के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

एक सिलेंडर का कुल सतह क्षेत्र पार्श्व सतह क्षेत्र और आधारों के क्षेत्र का योग है। एक सीधे गोलाकार सिलेंडर के लिए:

विकिमीडिया फाउंडेशन.

2010.

देखें अन्य शब्दकोशों में "सिलेंडर (ज्यामिति)" क्या है: गणित की एक शाखा जो विभिन्न आकृतियों (बिंदु, रेखाएं, कोण, द्वि-आयामी और त्रि-आयामी वस्तुओं) के गुणों, उनके आकार और का अध्ययन करती है।सापेक्ष स्थिति . शिक्षण में आसानी के लिए ज्यामिति को प्लैनिमेट्री और स्टीरियोमेट्री में विभाजित किया गया है। में… …

- (γήμετρώ पृथ्वी, μετρώ माप)। स्थान, स्थिति और रूप की अवधारणाएँ उन मूल अवधारणाओं में से हैं जिनसे मनुष्य प्राचीन काल में पहले से ही परिचित था। ग्रीस में पहला कदम मिस्रवासियों और कसदियों द्वारा उठाया गया था। ग्रीस में, जी को पेश किया गया था... ... विश्वकोश शब्दकोशएफ। ब्रॉकहॉस और आई.ए. एप्रोन

मुफ़्त सतह ज्यामिति- घूर्णन के दौरान गुरुत्वाकर्षण और केन्द्रापसारक बल के प्रभाव में बनी मुक्त सतह का आकार तरल धातुघूर्णन की धुरी के चारों ओर। घूर्णन की क्षैतिज धुरी के साथ, मुक्त सतह एक गोलाकार सिलेंडर है, ऊर्ध्वाधर के साथ ... धातुकर्म शब्दकोश

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एक सिद्धांत जो बाहरी ज्यामिति और बाहरी और आंतरिक के बीच संबंध का अध्ययन करता है। यूक्लिडियन या रीमैनियन अंतरिक्ष के सबमैनिफोल्ड्स की ज्यामिति। पी. एम. जी. शास्त्रीय का एक सामान्यीकरण है. यूक्लिडियन अंतरिक्ष में सतहों की विभेदक ज्यामिति.... ... गणितीय विश्वकोश

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ज्यामिति का भाग प्राथमिक गणित में शामिल है (प्रारंभिक गणित देखें)। प्रारंभिक गणित की सीमाओं के साथ-साथ सामान्य रूप से प्रारंभिक गणित की सीमाओं को कड़ाई से परिभाषित नहीं किया गया है। उनका कहना है कि ई.जी. ज्यामिति का वह भाग है जिसका अध्ययन किया जाता है... महान सोवियत विश्वकोश

किताबें

ज्यामिति। 10-11 ग्रेड. तकनीकी पाठ कार्ड (सीडी)। संघीय राज्य शैक्षिक मानक, मरीना गेनाडीवना गिलारोवा। इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्डहाई स्कूल पाठों में - एक आधुनिक इलेक्ट्रॉनिक उपकरण जो पहुंच को काफी तेज कर देता है आवश्यक जानकारी, इसकी धारणा को सुविधाजनक बनाना और बढ़ावा देना...

विज्ञान का नाम "ज्यामिति" का अनुवाद "पृथ्वी माप" के रूप में किया जाता है। इसकी उत्पत्ति सबसे पहले प्राचीन भूमि प्रबंधकों के प्रयासों से हुई। और यह इस तरह हुआ: पवित्र नील नदी की बाढ़ के दौरान, पानी की धाराएँ कभी-कभी किसानों के भूखंडों की सीमाओं को बहा ले जाती थीं, और नई सीमाएँ पुरानी सीमाओं से मेल नहीं खाती थीं। भूमि आवंटन के आकार के अनुपात में किसानों द्वारा फिरौन के खजाने में कर का भुगतान किया जाता था। फैलाव के बाद नई सीमाओं के भीतर कृषि योग्य भूमि के क्षेत्रों को मापने में विशेष लोग शामिल थे। यह उनकी गतिविधियों का परिणाम था कि नया विज्ञान, जिसे विकसित किया गया था प्राचीन ग्रीस. वहां इसे अपना नाम मिला और व्यावहारिक रूप से अधिग्रहण किया गया आधुनिक रूप. इसके बाद, यह शब्द सपाट और त्रि-आयामी आकृतियों के विज्ञान के लिए एक अंतरराष्ट्रीय नाम बन गया।

प्लैनिमेट्री ज्यामिति की एक शाखा है जो समतल आकृतियों के अध्ययन से संबंधित है। विज्ञान की एक अन्य शाखा स्टीरियोमेट्री है, जो स्थानिक (वॉल्यूमेट्रिक) आकृतियों के गुणों की जांच करती है। ऐसे आंकड़ों में इस लेख में वर्णित एक सिलेंडर भी शामिल है - एक सिलेंडर।

बेलनाकार वस्तुओं की उपस्थिति के उदाहरण रोजमर्रा की जिंदगीबहुत। लगभग सभी घूमने वाले हिस्से - शाफ्ट, बुशिंग, जर्नल, एक्सल, आदि - एक बेलनाकार (बहुत कम अक्सर - शंक्वाकार) आकार के होते हैं। सिलेंडर का निर्माण में भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है: टावर, समर्थन कॉलम, सजावटी कॉलम। और व्यंजन, कुछ प्रकार की पैकेजिंग, विभिन्न व्यास के पाइप भी। और अंत में - प्रसिद्ध टोपियाँ, जो लंबे समय से पुरुष लालित्य का प्रतीक बन गई हैं। यह सूची लम्बी होते चली जाती है।

एक ज्यामितीय आकृति के रूप में सिलेंडर की परिभाषा

एक सिलेंडर (गोलाकार सिलेंडर) को आमतौर पर दो वृत्तों से बनी एक आकृति कहा जाता है, जिसे यदि वांछित हो, तो समानांतर अनुवाद का उपयोग करके जोड़ा जाता है। ये वृत्त बेलन के आधार हैं। लेकिन संगत बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखाएं (सीधे खंड) "जनरेटर" कहलाती हैं।

यह महत्वपूर्ण है कि सिलेंडर के आधार हमेशा बराबर हों (यदि यह शर्त पूरी नहीं होती है, तो हमारे पास एक छोटा शंकु है, कुछ और, लेकिन सिलेंडर नहीं) और समानांतर विमानों में हैं। वृत्तों पर संगत बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड समानांतर और बराबर होते हैं।

घटकों की अनंत संख्या के समुच्चय से अधिक कुछ नहीं है पार्श्व सतहसिलेंडर - इस ज्यामितीय आकृति के तत्वों में से एक। इसका अन्य महत्वपूर्ण घटक ऊपर चर्चा किये गये वृत्त हैं। इन्हें आधार कहा जाता है।

सिलेंडर के प्रकार

सबसे सरल और सबसे सामान्य प्रकार का सिलेंडर गोलाकार होता है। यह आधार के रूप में कार्य करने वाले दो नियमित वृत्तों द्वारा बनता है। लेकिन उनके स्थान पर अन्य आकृतियाँ भी हो सकती हैं।

सिलेंडरों के आधार (वृत्तों के अलावा) दीर्घवृत्त और अन्य बंद आकृतियाँ बना सकते हैं। लेकिन जरूरी नहीं कि सिलेंडर का आकार बंद हो। उदाहरण के लिए, एक सिलेंडर का आधार एक परवलय, एक अतिपरवलय या कोई अन्य खुला फलन हो सकता है। ऐसा सिलेंडर खुला या तैनात किया जाएगा.

आधार बनाने वाले सिलेंडरों के झुकाव के कोण के अनुसार, वे सीधे या झुके हुए हो सकते हैं। एक सीधे सिलेंडर के लिए, जेनरेटर आधार के तल पर सख्ती से लंबवत होते हैं। यदि यह कोण 90° से भिन्न है, तो सिलेंडर झुका हुआ है।

क्रांति की सतह क्या है?

इसमें कोई संदेह नहीं है कि सीधा गोलाकार सिलेंडर इंजीनियरिंग में उपयोग की जाने वाली रोटेशन की सबसे आम सतह है। कभी-कभी, तकनीकी कारणों से, शंक्वाकार, गोलाकार और कुछ अन्य प्रकार की सतहों का उपयोग किया जाता है, लेकिन सभी घूमने वाले शाफ्ट, कुल्हाड़ियों आदि में से 99% का उपयोग किया जाता है। सिलेंडर के रूप में बनाये जाते हैं। यह बेहतर ढंग से समझने के लिए कि क्रांति की सतह क्या है, हम इस बात पर विचार कर सकते हैं कि सिलेंडर स्वयं कैसे बनता है।

मान लीजिए कि एक निश्चित सीधी रेखा है ए, लंबवत स्थित है। ABCD एक आयत है, जिसकी एक भुजा (खंड AB) एक रेखा पर स्थित है ए. यदि हम एक आयत को एक सीधी रेखा के चारों ओर घुमाते हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, तो घूमते समय यह जो आयतन घेरेगा वह हमारे घूर्णन का पिंड होगा - ऊंचाई H = AB = DC और त्रिज्या R = AD = BC के साथ एक लंब गोलाकार सिलेंडर।

इस मामले में, आकृति को घुमाने के परिणामस्वरूप - एक आयत - एक सिलेंडर प्राप्त होता है। एक त्रिभुज को घुमाकर, आप एक शंकु प्राप्त कर सकते हैं, एक अर्धवृत्त को घुमाकर - एक गेंद, आदि।

सिलेंडर सतह क्षेत्र

एक साधारण लंब वृत्ताकार सिलेंडर के सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए, आधारों और पार्श्व सतहों के क्षेत्रों की गणना करना आवश्यक है।

सबसे पहले, आइए देखें कि पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना कैसे की जाती है। यह बेलन की परिधि और बेलन की ऊंचाई का गुणनफल है। बदले में, एक वृत्त की परिधि सार्वभौमिक संख्या के गुणनफल के दोगुने के बराबर होती है पीवृत्त की त्रिज्या से.

एक वृत्त का क्षेत्रफल उत्पाद के बराबर माना जाता है पीप्रति वर्ग त्रिज्या. तो, आधार के क्षेत्र के लिए दोहरी अभिव्यक्ति के साथ पार्श्व सतह के निर्धारण के क्षेत्र के लिए सूत्र जोड़े गए (उनमें से दो हैं) और सरल कार्यान्वित किया गया बीजगणितीय परिवर्तन, हम सिलेंडर के सतह क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए अंतिम अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं।

किसी आकृति का आयतन निर्धारित करना

सिलेंडर का आयतन मानक योजना के अनुसार निर्धारित किया जाता है: आधार का सतह क्षेत्र ऊंचाई से गुणा किया जाता है।

इस प्रकार, अंतिम सूत्र इस तरह दिखता है: वांछित मान को सार्वभौमिक संख्या द्वारा शरीर की ऊंचाई के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है पीऔर आधार की त्रिज्या के वर्ग से.

यह कहा जाना चाहिए कि परिणामी सूत्र सबसे अप्रत्याशित समस्याओं को हल करने के लिए लागू होता है। उदाहरण के लिए, सिलेंडर के आयतन की तरह ही, विद्युत तारों का आयतन भी निर्धारित किया जाता है। तारों के द्रव्यमान की गणना करने के लिए यह आवश्यक हो सकता है।

सूत्र में एकमात्र अंतर यह है कि एक सिलेंडर की त्रिज्या के बजाय वायरिंग स्ट्रैंड का व्यास आधे में विभाजित होता है और तार में स्ट्रैंड्स की संख्या अभिव्यक्ति में दिखाई देती है एन. साथ ही ऊंचाई की जगह तार की लंबाई का प्रयोग किया जाता है। इस प्रकार, "सिलेंडर" की मात्रा की गणना केवल एक से नहीं, बल्कि ब्रैड में तारों की संख्या से की जाती है।

व्यवहार में अक्सर ऐसी गणनाओं की आवश्यकता होती है। आख़िरकार, पानी के कंटेनरों का एक महत्वपूर्ण हिस्सा पाइप के रूप में बनाया जाता है। और घर में भी सिलेंडर की मात्रा की गणना करना अक्सर आवश्यक होता है।

हालाँकि, जैसा कि पहले ही बताया गया है, सिलेंडर का आकार भिन्न हो सकता है। और कुछ मामलों में यह गणना करना आवश्यक है कि झुके हुए सिलेंडर का आयतन क्या है।

अंतर यह है कि आधार का सतह क्षेत्र जेनरेट्रिक्स की लंबाई से गुणा नहीं किया जाता है, जैसा कि एक सीधे सिलेंडर के मामले में होता है, लेकिन विमानों के बीच की दूरी से - उनके बीच निर्मित एक लंबवत खंड से।

जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, ऐसा खंड जेनरेट्रिक्स की लंबाई और विमान पर जेनरेट्रिक्स के झुकाव के कोण की ज्या के गुणनफल के बराबर है।

सिलेंडर विकास का निर्माण कैसे करें

कुछ मामलों में, सिलेंडर रीम को काटना आवश्यक होता है। नीचे दिया गया चित्र उन नियमों को दर्शाता है जिनके द्वारा एक दी गई ऊंचाई और व्यास वाले सिलेंडर के निर्माण के लिए रिक्त स्थान का निर्माण किया जाता है।

कृपया ध्यान दें कि चित्र बिना सीम के दिखाया गया है।

बेवेल्ड सिलेंडर के बीच अंतर

आइए हम एक निश्चित सीधे सिलेंडर की कल्पना करें, जो जनरेटर के लंबवत एक तरफ से घिरा हुआ है। लेकिन दूसरी तरफ सिलेंडर को बांधने वाला विमान जनरेटर के लंबवत नहीं है और पहले विमान के समानांतर नहीं है।

चित्र एक बेवेल्ड सिलेंडर दिखाता है। विमान एएक निश्चित कोण पर, जनरेटर से 90° से भिन्न, आकृति को काटता है।

यह ज्यामितीय आकृति व्यवहार में पाइपलाइन कनेक्शन (कोहनी) के रूप में अधिक पाई जाती है। लेकिन ऐसी इमारतें भी हैं जो बेवेल्ड सिलेंडर के रूप में बनाई गई हैं।

बेवेल्ड सिलेंडर की ज्यामितीय विशेषताएँ

बेवेल्ड सिलेंडर के विमानों में से एक का झुकाव ऐसी आकृति के सतह क्षेत्र और उसके आयतन दोनों की गणना करने की प्रक्रिया को थोड़ा बदल देता है।

सिलेंडर

हार। सिलेंडर एक ऐसा पिंड है जिसमें दो वृत्त संयुक्त होते हैं

समानांतर अनुवाद और संबंधित बिंदुओं को जोड़ने वाले सभी खंड

ये वृत्त.

वृत्तों को बेलन का आधार कहा जाता है, और इन वृत्तों के संगत बिंदुओं को जोड़ने वाले खंडों को बेलन का जनक कहा जाता है (चित्र 1)

चावल। 1 तस्वीर. 2 अंजीर. 3 अंजीर. 4

सिलेंडर गुण:

1) सिलेंडर के आधार बराबर हैं और समानांतर तल में स्थित हैं।

2) सिलेंडर के जनरेटर बराबर और समानांतर होते हैं।

हार। एक बेलन की त्रिज्या उसके आधार की त्रिज्या होती है।

हार। एक बेलन की ऊंचाई उसके आधारों के तलों के बीच की दूरी है।

हार। सिलेंडर अक्ष से गुजरने वाले समतल वाले सिलेंडर के क्रॉस सेक्शन को अक्षीय अनुभाग कहा जाता है।

सिलेंडर का अक्षीय खंड 2R और भुजाओं वाला एक आयत है एल(एक सीधे सिलेंडर में एल= एन) अंजीर। 2

सिलेंडर का क्रॉस-सेक्शन, उसकी धुरी के समानांतर, आयताकार हैं (चित्र 3)।

आधारों के समानांतर एक समतल द्वारा सिलेंडर का खंड - आधारों के बराबर एक वृत्त (चित्र 4)

एक सिलेंडर का सतह क्षेत्र.

सिलेंडर की पार्श्व सतह जेनरेट्रिस से बनी होती है।

सिलेंडर की पूरी सतह में आधार और पार्श्व सतह शामिल होती है।

एस भरा हुआ = 2 एस बुनियादी + एस ओर ; एस बुनियादी = पी ∙ आर 2 ; एस ओर = 2 पी ∙ आर ∙एचएस भरा हुआ = 2पीआर ∙(आर + एन)

व्यावहारिक भाग:

№1. बेलन की त्रिज्या 3 सेमी है, और इसकी ऊंचाई 5 सेमी है। अक्षीय खंड का क्षेत्रफल और आधे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करें-

सिलेंडर की सतह पर.

№2. सिलेंडर के अक्षीय खंड का विकर्ण एक कोण पर आधार के तल पर झुका हुआ है
और 20 सेमी के बराबर है तो बेलन की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

№3. बेलन की त्रिज्या 2 सेमी है, और इसकी ऊंचाई 3 सेमी है। सिलेंडर के अक्षीय खंड का विकर्ण ज्ञात करें।

№4. सिलेंडर के अक्षीय खंड का विकर्ण बराबर होता है
, आधार के तल के साथ एक कोण बनाता है
. बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

№5. बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 15 है . अक्षीय अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

№6. यदि बेलन के आधार का क्षेत्रफल 1 और S भुजा = है तो बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए
.

№7. सिलेंडर के अक्षीय खंड के विकर्ण की लंबाई 8 सेमी है और यह आधार के तल पर एक कोण पर झुका हुआ है
. बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।

65 सेमी व्यास वाली एक बेलनाकार चिमनी की ऊंचाई 18 मीटर है। यदि सामग्री का 10% कीलक पर खर्च किया जाता है तो इसे बनाने के लिए कितनी शीट धातु की आवश्यकता होगी?

विज्ञान का नाम "ज्यामिति" का अनुवाद "पृथ्वी माप" के रूप में किया जाता है। इसकी उत्पत्ति सबसे पहले प्राचीन भूमि प्रबंधकों के प्रयासों से हुई। और यह इस तरह हुआ: पवित्र नील नदी की बाढ़ के दौरान, पानी की धाराएँ कभी-कभी किसानों के भूखंडों की सीमाओं को बहा ले जाती थीं, और नई सीमाएँ पुरानी सीमाओं से मेल नहीं खाती थीं। भूमि आवंटन के आकार के अनुपात में किसानों द्वारा फिरौन के खजाने में कर का भुगतान किया जाता था। फैलाव के बाद नई सीमाओं के भीतर कृषि योग्य भूमि के क्षेत्रों को मापने में विशेष लोग शामिल थे। उनकी गतिविधियों के परिणामस्वरूप ही एक नए विज्ञान का उदय हुआ, जिसका विकास प्राचीन ग्रीस में हुआ। वहां इसे अपना नाम मिला और इसने लगभग आधुनिक स्वरूप प्राप्त कर लिया। इसके बाद, यह शब्द सपाट और त्रि-आयामी आकृतियों के विज्ञान के लिए एक अंतरराष्ट्रीय नाम बन गया।

रोजमर्रा की जिंदगी में बेलनाकार वस्तुओं की उपस्थिति के बहुत सारे उदाहरण हैं। लगभग सभी घूमने वाले हिस्से - शाफ्ट, बुशिंग, जर्नल, एक्सल, आदि - एक बेलनाकार (बहुत कम अक्सर - शंक्वाकार) आकार के होते हैं। सिलेंडर का निर्माण में भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है: टावर, समर्थन कॉलम, सजावटी कॉलम। और व्यंजन, कुछ प्रकार की पैकेजिंग, विभिन्न व्यास के पाइप भी। और अंत में - प्रसिद्ध टोपियाँ, जो लंबे समय से पुरुष लालित्य का प्रतीक बन गई हैं। यह सूची लम्बी होते चली जाती है।

एक ज्यामितीय आकृति के रूप में सिलेंडर की परिभाषा

अनंत संख्या में बनाने वाले तत्वों का सेट सिलेंडर की पार्श्व सतह से ज्यादा कुछ नहीं है - किसी दिए गए ज्यामितीय आकृति के तत्वों में से एक। इसका अन्य महत्वपूर्ण घटक ऊपर चर्चा किये गये वृत्त हैं। इन्हें आधार कहा जाता है।

सिलेंडर के प्रकार

क्रांति की सतह क्या है?

सिलेंडर सतह क्षेत्र

एक वृत्त का क्षेत्रफल उत्पाद के बराबर माना जाता है पीप्रति वर्ग त्रिज्या. तो, आधार के क्षेत्र के लिए दोहरी अभिव्यक्ति के साथ पार्श्व सतह के क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए सूत्रों को जोड़कर (उनमें से दो हैं) और सरल बीजगणितीय परिवर्तन करके, हम सतह को निर्धारित करने के लिए अंतिम अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं सिलेंडर का क्षेत्रफल.