एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उत्पाद के बराबर होता है। समचतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

इस तथ्य के बावजूद कि गणित विज्ञान की रानी है, और अंकगणित गणित की रानी है, स्कूली बच्चों के लिए ज्यामिति सीखना सबसे कठिन चीज़ है। प्लैनिमेट्री ज्यामिति की एक शाखा है जो समतल आकृतियों का अध्ययन करती है। इनमें से एक आकृति समचतुर्भुज है। चतुर्भुजों को हल करने में अधिकांश समस्याएँ उनके क्षेत्रफल ज्ञात करने में आती हैं। आइए हम ज्ञात सूत्रों को व्यवस्थित करें और विभिन्न तरीकेएक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना।

समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है जिसकी चारों भुजाएँ बराबर होती हैं। याद रखें कि एक समांतर चतुर्भुज में चार कोण और समांतर समान भुजाओं के चार जोड़े होते हैं। किसी भी चतुर्भुज की तरह, एक समचतुर्भुज में कई गुण होते हैं, जो इस प्रकार हैं: जब विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं, तो वे 90 डिग्री (AC ⊥ BD) के बराबर कोण बनाते हैं, प्रतिच्छेदन बिंदु प्रत्येक को दो समान खंडों में विभाजित करता है। एक समचतुर्भुज के विकर्ण उसके कोणों के समद्विभाजक भी होते हैं (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD, आदि)। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि वे समचतुर्भुज को चार बराबर भागों में विभाजित करते हैं सही त्रिकोण. दूसरी शक्ति तक बढ़ाए गए विकर्णों की लंबाई का योग दूसरी शक्ति तक भुजा की लंबाई को 4 से गुणा करने के बराबर होता है, अर्थात। बीडी 2 + एसी 2 = 4एबी 2। प्लैनिमेट्री में एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए कई विधियों का उपयोग किया जाता है, जिनका अनुप्रयोग स्रोत डेटा पर निर्भर करता है। यदि भुजा की लंबाई और कोई कोण ज्ञात है, तो आप निम्न सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल भुजा के वर्ग को कोण की ज्या से गुणा करने के बराबर होता है। त्रिकोणमिति पाठ्यक्रम से हम जानते हैं कि पाप (π - α) = पाप α, जिसका अर्थ है कि गणना में आप किसी भी कोण की ज्या का उपयोग कर सकते हैं - न्यून और अधिक दोनों। एक विशेष मामला एक समचतुर्भुज है, जिसमें सभी कोण समकोण होते हैं। यह एक वर्ग है. यह ज्ञात है कि साइनसमकोण

एक के बराबर है, इसलिए एक वर्ग का क्षेत्रफल उसकी दूसरी घात तक उठाई गई भुजा की लंबाई के बराबर है।

यदि भुजाओं का आकार अज्ञात है, तो हम विकर्णों की लंबाई का उपयोग करते हैं। इस मामले में, समचतुर्भुज का क्षेत्रफल बड़े और छोटे विकर्णों के आधे उत्पाद के बराबर है। विकर्णों की ज्ञात लंबाई और किसी कोण के आकार को देखते हुए, एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल दो तरह से निर्धारित किया जाता है। पहला: क्षेत्रफल बड़े विकर्ण के आधे वर्ग को आधे की स्पर्शरेखा से गुणा करने पर प्राप्त होता है डिग्री माप, यानी S = 1/2*D 2 *tg(α/2), जहां D बड़ा विकर्ण है, α न्यून कोण है। यदि आप छोटे विकर्ण का आकार जानते हैं, तो हम सूत्र 1/2*d 2 *tg(β/2) का उपयोग करेंगे, जहां d छोटा विकर्ण है, β एक अधिक कोण है। आइए याद रखें कि एक न्यून कोण का माप 90 डिग्री (समकोण का माप) से कम होता है, और एक अधिक कोण, तदनुसार, 90 0 से अधिक होता है।

एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल भुजा की लंबाई (याद रखें, समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं) और ऊँचाई का उपयोग करके पाया जा सकता है। ऊँचाई कोण के विपरीत दिशा में या उसके विस्तार पर डाला गया एक लम्ब है। ऊंचाई के आधार को समचतुर्भुज के अंदर स्थित करने के लिए, इसे एक अधिक कोण से नीचे किया जाना चाहिए।

कभी-कभी किसी समस्या के लिए अंकित वृत्त से संबंधित डेटा के आधार पर समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने की आवश्यकता होती है। ऐसे में आपको इसकी त्रिज्या जानने की जरूरत है। ऐसे दो सूत्र हैं जिनका उपयोग गणना के लिए किया जा सकता है। तो, प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आप समचतुर्भुज की भुजा और अंकित वृत्त की त्रिज्या के गुणनफल को दोगुना कर सकते हैं। दूसरे शब्दों में, आपको अंकित वृत्त के व्यास को समचतुर्भुज की भुजा से गुणा करना होगा। यदि समस्या कथन में कोण का परिमाण प्रस्तुत किया गया है, तो क्षेत्रफल चार से गुणा की गई त्रिज्या के वर्ग और कोण की ज्या के बीच के भागफल के माध्यम से पाया जाता है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के कई तरीके हैं। बेशक, उनमें से प्रत्येक को याद रखने के लिए धैर्य, सावधानी और निश्चित रूप से समय की आवश्यकता होगी। लेकिन भविष्य में, आप आसानी से अपने कार्य के लिए उपयुक्त विधि चुन सकते हैं, और आप पाएंगे कि ज्यामिति कठिन नहीं है।

वर्ग ज्यामितीय आकृति - एक ज्यामितीय आकृति की एक संख्यात्मक विशेषता जो इस आकृति का आकार दिखाती है (इस आकृति के बंद समोच्च द्वारा सीमित सतह का हिस्सा)। क्षेत्रफल का आकार उसमें निहित वर्ग इकाइयों की संख्या से व्यक्त किया जाता है।

त्रिभुज क्षेत्र सूत्र

1. भुजा और ऊँचाई द्वारा त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र
   एक त्रिभुज का क्षेत्रफलत्रिभुज की एक भुजा की लंबाई और इस भुजा पर खींची गई ऊंचाई की लंबाई के आधे उत्पाद के बराबर
   
2. तीन भुजाओं और परिवृत्त की त्रिज्या के आधार पर त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र
   
3. तीन भुजाओं और अंकित वृत्त की त्रिज्या के आधार पर त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र
   एक त्रिभुज का क्षेत्रफलत्रिभुज की अर्ध-परिधि और अंकित वृत्त की त्रिज्या के गुणनफल के बराबर है।
   
जहाँ S त्रिभुज का क्षेत्रफल है,
- त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई,
-त्रिभुज की ऊंचाई,
- भुजाओं के बीच का कोण और,
- अंकित वृत्त की त्रिज्या,
आर - परिचालित वृत्त की त्रिज्या,

वर्ग क्षेत्रफल सूत्र

1. भुजा की लंबाई के आधार पर एक वर्ग के क्षेत्रफल का सूत्र
   चौकोर क्षेत्रइसकी भुजा की लंबाई के वर्ग के बराबर.
2. विकर्ण लंबाई के अनुदिश एक वर्ग के क्षेत्रफल का सूत्र
   चौकोर क्षेत्रइसके विकर्ण की लंबाई के आधे वर्ग के बराबर।
   

   एस=	1	2
   	2

जहाँ S वर्ग का क्षेत्रफल है,
- वर्ग की भुजा की लंबाई,
- वर्ग के विकर्ण की लंबाई.

आयत क्षेत्रफल सूत्र

एक आयत का क्षेत्रफलइसकी दो आसन्न भुजाओं की लंबाई के गुणनफल के बराबर

जहाँ S आयत का क्षेत्रफल है,
- आयत की भुजाओं की लंबाई.

समांतर चतुर्भुज क्षेत्र सूत्र

1. भुजा की लंबाई और ऊंचाई के आधार पर समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र
   समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
2. दो भुजाओं और उनके बीच के कोण के आधार पर समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र
   समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफलयह इसकी भुजाओं की लंबाई को उनके बीच के कोण की ज्या से गुणा करने के गुणनफल के बराबर है।
   

   ए बी पाप α

जहाँ S समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है,
- समांतर चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई,
- समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई की लंबाई,
- समांतर चतुर्भुज की भुजाओं के बीच का कोण।

एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र

1. भुजा की लंबाई और ऊंचाई के आधार पर समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र
   एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफलइसकी भुजा की लंबाई और इस भुजा से नीचे की ऊंचाई की लंबाई के गुणनफल के बराबर।
2. भुजा की लंबाई और कोण के आधार पर समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र
   एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफलयह समचतुर्भुज की भुजा की लंबाई के वर्ग और समचतुर्भुज की भुजाओं के बीच के कोण की ज्या के गुणनफल के बराबर है।
3. एक समचतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई के आधार पर उसके क्षेत्रफल का सूत्र
   एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफलइसके विकर्णों की लंबाई के आधे उत्पाद के बराबर।
जहाँ S समचतुर्भुज का क्षेत्रफल है,
- समचतुर्भुज के किनारे की लंबाई,
- समचतुर्भुज की ऊंचाई की लंबाई,
- समचतुर्भुज की भुजाओं के बीच का कोण,
1, 2 - विकर्णों की लंबाई।

समलम्ब चतुर्भुज क्षेत्र सूत्र

1. समलम्ब चतुर्भुज के लिए हेरॉन का सूत्र

   जहाँ S समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल है,
   - समलम्बाकार के आधारों की लंबाई,
   - समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई,
   

में स्कूल पाठ्यक्रमज्यामिति में मुख्य कार्यों में उदाहरणों पर काफी ध्यान दिया जाता है एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल और परिधि की गणना करना।आइए याद रखें कि समचतुर्भुज चतुर्भुजों के एक अलग वर्ग से संबंधित है और उनमें से अलग दिखता है बराबर भुजाएँ. एक समचतुर्भुज भी एक समांतर चतुर्भुज का एक विशेष मामला है यदि समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ AB=BC=CD=AD के बराबर हों। नीचे एक चित्र है जिसमें एक समचतुर्भुज दिखाया गया है।

एक समचतुर्भुज के गुण

चूँकि एक समचतुर्भुज समांतर चतुर्भुज के कुछ भाग पर कब्जा करता है, उनमें गुण समान होंगे।

• समांतर चतुर्भुज की तरह समचतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
• एक समचतुर्भुज के एक भुजा से सटे कोणों का योग 180° होता है।
• एक समचतुर्भुज के विकर्ण 90 डिग्री के कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं।
• एक समचतुर्भुज के विकर्ण उसके कोणों के समद्विभाजक भी होते हैं।
• एक समचतुर्भुज के विकर्ण प्रतिच्छेदन बिंदु पर आधे में विभाजित होते हैं।

हीरे के लक्षण

एक समचतुर्भुज की सभी विशेषताएँ उसके गुणों से उत्पन्न होती हैं और इसे चतुर्भुज, आयत और समांतर चतुर्भुज के बीच अलग करने में मदद करती हैं।

• एक समांतर चतुर्भुज जिसके विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, एक समचतुर्भुज है।
• एक समांतर चतुर्भुज जिसके विकर्ण समद्विभाजक हों, एक समचतुर्भुज है।
• समान भुजाओं वाला समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज होता है।
• एक चतुर्भुज जिसकी सभी भुजाएँ बराबर हों, एक समचतुर्भुज है।
• एक चतुर्भुज जिसके विकर्ण कोण समद्विभाजक होते हैं और समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, एक समचतुर्भुज है।
• समान ऊँचाई वाला एक समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है।

समचतुर्भुज की परिधि के लिए सूत्र

परिभाषा के अनुसार परिधि योग के बराबरसभी दिशाएं। चूँकि एक समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ समान होती हैं, हम सूत्र का उपयोग करके इसकी परिधि की गणना करते हैं

परिधि की गणना लंबाई की इकाइयों में की जाती है।

एक समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या

समचतुर्भुज का अध्ययन करते समय आम समस्याओं में से एक अंकित वृत्त की त्रिज्या या व्यास का पता लगाना है। नीचे दिया गया चित्र एक समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या के लिए कुछ सबसे सामान्य सूत्र दिखाता है।

पहला सूत्र दर्शाता है कि एक समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या सभी भुजाओं के योग (4a) से विभाजित विकर्णों के गुणनफल के बराबर होती है।

एक अन्य सूत्र से पता चलता है कि एक समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या समचतुर्भुज की आधी ऊंचाई के बराबर होती है

चित्र में दूसरा सूत्र पहले का एक संशोधन है और इसका उपयोग समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या की गणना करते समय किया जाता है जब समचतुर्भुज के विकर्ण ज्ञात होते हैं, अर्थात अज्ञात भुजाएँ।

एक खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या के लिए तीसरा सूत्र वास्तव में विकर्णों के प्रतिच्छेदन से बने छोटे त्रिभुज की आधी ऊंचाई का पता लगाता है।

समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या की गणना के लिए कम लोकप्रिय सूत्रों में से, आप निम्नलिखित भी दे सकते हैं:

यहाँ D समचतुर्भुज का विकर्ण है, अल्फा वह कोण है जो विकर्ण को काटता है।

यदि एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल (एस) और न्यून कोण (अल्फा) का परिमाण ज्ञात है, तो अंकित वृत्त की त्रिज्या की गणना करने के लिए आपको यह पता लगाना होगा वर्गमूलक्षेत्रफल के गुणनफल के एक चौथाई और न्यून कोण की ज्या से:

यदि उदाहरण की शर्तों में डेटा का आवश्यक सेट शामिल है, तो उपरोक्त सूत्रों से आप एक समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या आसानी से पा सकते हैं।

एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र

क्षेत्रफल की गणना के सूत्र चित्र में दिखाए गए हैं।

सबसे सरल दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के रूप में प्राप्त होता है जिसमें एक समचतुर्भुज को उसके विकर्ण द्वारा विभाजित किया जाता है।

दूसरा क्षेत्र सूत्र उन समस्याओं पर लागू होता है जिनमें समचतुर्भुज के विकर्ण ज्ञात होते हैं। तब एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल विकर्णों के आधे गुणनफल के बराबर होता है

इसे याद रखना काफी आसान है और गणना करना भी आसान है।

तीसरा क्षेत्र सूत्र तब समझ में आता है जब भुजाओं के बीच का कोण ज्ञात हो। इसके अनुसार एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल भुजा के वर्ग और कोण की ज्या के गुणनफल के बराबर होता है। यह न्यून है या नहीं, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता क्योंकि दोनों कोणों की ज्या का मान समान होता है।

रोम्बस क्या है? समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।

समचतुर्भुज, समतल पर एक आकृति, समान भुजाओं वाला एक चतुर्भुज। हीरा - विशेष मामलाएक समांतर चतुर्भुज जिसमें या तो दो आसन्न भुजाएँ बराबर होती हैं, या विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, या विकर्ण कोण को समद्विभाजित करता है। समकोण वाला समचतुर्भुज वर्ग कहलाता है।

एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए क्लासिक सूत्र ऊंचाई के माध्यम से मूल्य की गणना करना है। एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल एक भुजा और उस ओर खींची गई ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है।

1. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल एक भुजा और इस ओर खींची गई ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है:

\[एस = ए \सीडॉट एच \]

2. यदि एक समचतुर्भुज की भुजा ज्ञात हो (एक समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं) और भुजाओं के बीच का कोण ज्ञात हो, तो क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:

\[ S = a^(2) \cdot syn(\alpha) \]

3. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल भी विकर्णों के आधे गुणनफल के बराबर होता है, अर्थात:

\[ S = \dfrac(d_(1) \cdot d_(2) )(2) \]

4. यदि किसी समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या r और समचतुर्भुज a की भुजा ज्ञात हो, तो इसके क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

\[ एस = 2 \cdot a \cdot R \]

एक समचतुर्भुज के गुण

उपरोक्त चित्र में, \(ABCD\) एक समचतुर्भुज है, \(AC = DB = CD = AD\) । चूँकि एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है, इसमें समांतर चतुर्भुज के सभी गुण होते हैं, लेकिन केवल एक समचतुर्भुज में निहित गुण भी होते हैं।

आप किसी भी समचतुर्भुज में एक वृत्त फिट कर सकते हैं। एक समचतुर्भुज में अंकित वृत्त का केंद्र उसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है। वृत्त त्रिज्यासमचतुर्भुज की आधी ऊंचाई के बराबर:

\[r = \frac( AH )(2) \]

एक समचतुर्भुज के गुण

एक समचतुर्भुज के विकर्ण लंबवत होते हैं;

एक समचतुर्भुज के विकर्ण उसके कोणों के समद्विभाजक होते हैं।

हीरे के लक्षण

एक समांतर चतुर्भुज जिसके विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, एक समचतुर्भुज है;

एक समांतर चतुर्भुज जिसके विकर्ण उसके कोणों के समद्विभाजक हों, एक समचतुर्भुज है।

आपके ब्राउजर में जावास्क्रिप्ट अक्षम है।
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समचतुर्भुज समांतर चतुर्भुज का एक विशेष मामला है। यह एक समतल चतुष्कोणीय आकृति है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर हैं। यह संपत्तियह निर्धारित करता है कि समचतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान्तर और सम्मुख कोण बराबर होते हैं। एक समचतुर्भुज के विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु प्रत्येक विकर्ण के मध्य में होता है, और जिन कोणों से वे निकलते हैं वे आधे में विभाजित होते हैं। अर्थात्, समचतुर्भुज के विकर्ण कोणों के समद्विभाजक होते हैं। उपरोक्त परिभाषाओं और समचतुर्भुजों के सूचीबद्ध गुणों के आधार पर, उनका क्षेत्रफल विभिन्न तरीकों से निर्धारित किया जा सकता है।

1. यदि समचतुर्भुज के दोनों विकर्ण AC और BD ज्ञात हों, तो समचतुर्भुज का क्षेत्रफल विकर्णों के आधे गुणनफल के रूप में निर्धारित किया जा सकता है।

एस = ½ ∙ ए.सी. ∙ बी.डी

जहाँ AC, BD समचतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई हैं।

यह समझने के लिए कि ऐसा क्यों है, आप मानसिक रूप से एक आयत को एक समचतुर्भुज में फिट कर सकते हैं ताकि बाद वाले की भुजाएँ समचतुर्भुज के विकर्णों के लंबवत हों। यह स्पष्ट हो जाता है कि समचतुर्भुज का क्षेत्रफल समचतुर्भुज में इस प्रकार अंकित आयत के आधे क्षेत्रफल के बराबर होगा, जिसकी लंबाई और चौड़ाई समचतुर्भुज के विकर्णों के आकार के अनुरूप होगी।

2. एक समांतर चतुर्भुज के अनुरूप, एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी भुजा के गुणनफल के रूप में पाया जा सकता है और विपरीत भुजा से किसी दिए गए भुजा पर खींचे गए लंब की ऊंचाई के गुणनफल के रूप में पाया जा सकता है।

एस = ए ∙ एच

जहां a समचतुर्भुज का किनारा है;
h किसी दी गई भुजा पर डाले गए लम्ब की ऊँचाई है।

3. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल भी उसकी भुजा के वर्ग को कोण α की ज्या से गुणा करने के बराबर होता है।

एस = ए 2 ∙ पाप α

जहां a समचतुर्भुज का किनारा है;
α भुजाओं के बीच का कोण है।

4. साथ ही, एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी भुजा और उसमें अंकित वृत्त की त्रिज्या के माध्यम से ज्ञात किया जा सकता है।

एस=2 ∙ ए ∙ आर

जहां a समचतुर्भुज का किनारा है;
r समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या है।

रोचक तथ्य
रोम्बस शब्द प्राचीन ग्रीक रोम्बस से आया है, जिसका अर्थ है "टैम्बोरिन"। उन दिनों, तंबूरा वास्तव में हीरे के आकार का होता था, गोल नहीं, जैसा कि हम अब उन्हें देखने के आदी हैं। उसी समय से यह नाम आया कार्ड सूट"हीरे"। बहुत विस्तृत हीरे विभिन्न प्रकारहेरलड्री में उपयोग किया जाता है।