संख्यात्मक व्यंजक का मान ज्ञात करने के नियम। संख्यात्मक और बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ

एक नियम के रूप में, बच्चे प्राथमिक विद्यालय में बीजगणित का अध्ययन शुरू करते हैं। संख्याओं के साथ काम करने के बुनियादी सिद्धांतों में महारत हासिल करने के बाद, वे एक या अधिक अज्ञात चर वाले उदाहरणों को हल करते हैं। इस तरह की अभिव्यक्ति का अर्थ ढूंढना काफी कठिन हो सकता है, लेकिन यदि आप प्राथमिक विद्यालय के ज्ञान का उपयोग करके इसे सरल बनाते हैं, तो सब कुछ जल्दी और आसानी से पूरा हो जाएगा।

अभिव्यक्ति का क्या अर्थ है

एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति एक बीजगणितीय संकेतन है जिसमें संख्याएं, कोष्ठक और संकेत शामिल होते हैं यदि यह समझ में आता है।

दूसरे शब्दों में, यदि किसी अभिव्यक्ति का अर्थ खोजना संभव है, तो प्रविष्टि अर्थ के बिना नहीं है, और इसके विपरीत।

उदाहरण निम्नलिखित प्रविष्टियाँसही संख्यात्मक निर्माण हैं:

• 3*8-2;
• 15/3+6;
• 0,3*8-4/2;
• 3/1+15/5;

एक एकल संख्या भी एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति का प्रतिनिधित्व करेगी, जैसे उपरोक्त उदाहरण से संख्या 18।
गलत संख्या निर्माण के उदाहरण जिनका कोई मतलब नहीं है:

• *7-25);
• 16/0-;
• (*-5;

गलत संख्यात्मक उदाहरण गणितीय प्रतीकों का एक समूह मात्र हैं और इनका कोई अर्थ नहीं है।

किसी अभिव्यक्ति का मान कैसे ज्ञात करें

चूँकि ऐसे उदाहरणों में अंकगणितीय चिह्न होते हैं, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि वे अंकगणितीय गणना की अनुमति देते हैं। संकेतों की गणना करने के लिए या, दूसरे शब्दों में, किसी अभिव्यक्ति का अर्थ खोजने के लिए, उचित अंकगणितीय जोड़-तोड़ करना आवश्यक है।

उदाहरण के तौर पर, निम्नलिखित निर्माण पर विचार करें: (120-30)/3=30। संख्या 30 का मान होगा संख्यात्मक अभिव्यक्ति (120-30)/3.

निर्देश:

संख्यात्मक समानता की अवधारणा

संख्यात्मक समानता एक ऐसी स्थिति है जहां किसी उदाहरण के दो भागों को "=" चिह्न द्वारा अलग किया जाता है। अर्थात्, एक भाग दूसरे के बिल्कुल बराबर (समान) है, भले ही प्रतीकों और संख्याओं के अन्य संयोजनों के रूप में प्रदर्शित किया गया हो।
उदाहरण के लिए, 2+2=4 जैसी किसी भी रचना को संख्यात्मक समानता कहा जा सकता है, क्योंकि भले ही भागों की अदला-बदली कर दी जाए, लेकिन अर्थ नहीं बदलेगा: 4=2+2। यही बात अधिक जटिल निर्माणों पर भी लागू होती है जिनमें कोष्ठक, भाग, गुणन, भिन्नों के साथ संक्रियाएँ इत्यादि शामिल हैं।

किसी व्यंजक का मान सही ढंग से कैसे ज्ञात करें

व्यंजक का मान सही ढंग से ज्ञात करने के लिए, आपको इसके अनुसार गणना करनी होगी एक निश्चित क्रमकार्रवाई. यह क्रम गणित के पाठों में और बाद में बीजगणित कक्षाओं में पढ़ाया जाता है प्राथमिक स्कूल. इसे स्टेप्स के नाम से भी जाना जाता है अंकगणितीय परिचालन.

अंकगणित चरण:

1. पहला चरण संख्याओं का जोड़ और घटाव है।
2. दूसरा चरण वह है जहां भाग और गुणा किया जाता है।
3. तीसरा चरण - संख्याओं का वर्ग या घन किया जाता है।

निम्नलिखित नियमों का पालन करके, आप किसी अभिव्यक्ति का अर्थ हमेशा सही ढंग से निर्धारित कर सकते हैं:

1. यदि उदाहरण में कोई कोष्ठक नहीं है, तो तीसरे चरण से शुरू करके पहले चरण पर समाप्त होने वाली क्रियाएँ करें। यानी पहले वर्ग या घन, फिर भाग या गुणा और उसके बाद ही जोड़ना और घटाना।
2. कोष्ठक वाले निर्माणों में, पहले कोष्ठक में क्रियाएँ करें, और फिर ऊपर वर्णित क्रम का पालन करें। यदि कई कोष्ठक हैं, तो पहले पैराग्राफ की प्रक्रिया का भी उपयोग करें।
3. भिन्न के रूप में उदाहरणों में, पहले अंश में परिणाम ज्ञात करें, फिर हर में, फिर पहले को दूसरे से विभाजित करें।

यदि आप बीजगणित और गणित के प्रारंभिक पाठ्यक्रमों का बुनियादी ज्ञान प्राप्त कर लेते हैं तो किसी अभिव्यक्ति का अर्थ ढूँढना कठिन नहीं होगा। ऊपर वर्णित जानकारी से प्रेरित होकर, आप किसी भी समस्या का समाधान कर सकते हैं, यहाँ तक कि बढ़ी हुई जटिलता की भी।

लॉगिन जानकर वीके से पासवर्ड पता करें

एक प्रविष्टि जिसमें संख्याएँ, चिह्न और कोष्ठक होते हैं और जिसका अर्थ भी होता है, संख्यात्मक अभिव्यक्ति कहलाती है।

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित प्रविष्टियाँ:

• (100-32)/17,
• 2*4+7,
• 4*0.7 -3/5,
• 1/3 +5/7

संख्यात्मक अभिव्यक्ति होगी.यह समझ लेना चाहिए कि एक संख्या भी एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति होगी। हमारे उदाहरण में, यह संख्या 13 है।

और, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित प्रविष्टियाँ

• 100 - *9,
• /32)343

संख्यात्मक अभिव्यक्ति नहीं होगी,चूँकि वे अर्थहीन हैं और केवल संख्याओं और संकेतों का एक समूह हैं।

संख्यात्मक अभिव्यक्ति मूल्य

चूँकि संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में चिह्नों में अंकगणितीय संक्रियाओं के चिह्न शामिल होते हैं, हम संख्यात्मक अभिव्यक्ति के मान की गणना कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको इन चरणों का पालन करना होगा।

उदाहरण के लिए,

(100-32)/17 = 4, अर्थात् अभिव्यक्ति (100-32)/17 के लिए इस संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मान संख्या 4 होगा।

2*4+7=15, संख्या 15 संख्यात्मक अभिव्यक्ति 2*4+7 का मान होगी।

अक्सर, संक्षिप्तता के लिए, प्रविष्टियाँ संख्यात्मक अभिव्यक्ति का पूरा मान नहीं लिखती हैं, बल्कि "संख्यात्मक" शब्द को हटाते हुए केवल "अभिव्यक्ति का मान" लिखती हैं।

संख्यात्मक समानता

यदि दो संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ समान चिह्न का उपयोग करके लिखी जाती हैं, तो ये अभिव्यक्तियाँ एक संख्यात्मक समानता बनाती हैं। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 2*4+7=15 एक संख्यात्मक समानता है।

जैसा कि ऊपर बताया गया है, संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ कोष्ठक का उपयोग कर सकती हैं। जैसा कि आप पहले से ही जानते हैं, कोष्ठक क्रियाओं के क्रम को प्रभावित करते हैं।

सामान्य तौर पर, सभी क्रियाओं को कई चरणों में विभाजित किया जाता है।

• प्रथम चरण की क्रियाएँ: जोड़ और घटाव।
• द्वितीय चरण संचालन: गुणा और भाग।
• तीसरे चरण की क्रियाएँ वर्ग और घन हैं।

संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के मानों की गणना के नियम

संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के मानों की गणना करते समय निम्नलिखित नियमों का पालन किया जाना चाहिए।

• 1. यदि अभिव्यक्ति में कोष्ठक नहीं हैं, तो आपको उच्चतम स्तरों से शुरू करके क्रियाएं करने की आवश्यकता है: तीसरा चरण, दूसरा चरण और पहला चरण। यदि एक ही चरण की अनेक क्रियाएँ हों तो वे जिस क्रम में लिखी गई हैं उसी क्रम में अर्थात् बाएँ से दाएँ की ओर की जाती हैं।
• 2. यदि अभिव्यक्ति में कोष्ठक हैं, तो कोष्ठक में क्रियाएं पहले की जाती हैं, और उसके बाद ही अन्य सभी क्रियाएं सामान्य क्रम में की जाती हैं। कोष्ठक में क्रियाएँ करते समय, यदि उनमें से कई हैं, तो आपको पैराग्राफ 1 में वर्णित क्रम का उपयोग करना चाहिए।
• 3. यदि अभिव्यक्ति एक भिन्न है, तो पहले अंश और हर में मानों की गणना की जाती है, और फिर अंश को हर से विभाजित किया जाता है।
• 4. यदि किसी अभिव्यक्ति में नेस्टेड कोष्ठक हैं, तो क्रियाएं आंतरिक कोष्ठक से की जानी चाहिए।

यह आलेख चर्चा करता है कि गणितीय अभिव्यक्तियों के मान कैसे ज्ञात करें। आइए सरल संख्यात्मक अभिव्यक्तियों से शुरू करें और फिर जैसे-जैसे मामलों की जटिलता बढ़ती है, उन पर विचार करें। अंत में हम एक अभिव्यक्ति प्रस्तुत करते हैं जिसमें अक्षर चिह्न, कोष्ठक, मूल, विशेष गणितीय चिह्न, डिग्री, फलन आदि शामिल हैं। परंपरा के अनुसार, हम संपूर्ण सिद्धांत प्रचुर और विस्तृत उदाहरणों के साथ प्रदान करेंगे।

Yandex.RTB R-A-339285-1

किसी संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मान कैसे ज्ञात करें?

संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ, अन्य बातों के अलावा, समस्या की स्थिति का वर्णन करने में मदद करती हैं गणितीय भाषा. सामान्य तौर पर, गणितीय अभिव्यक्तियाँ या तो बहुत सरल हो सकती हैं, जिसमें संख्याओं और अंकगणितीय प्रतीकों की एक जोड़ी शामिल होती है, या बहुत जटिल, जिसमें फ़ंक्शन, शक्तियाँ, मूल, कोष्ठक आदि शामिल होते हैं। किसी कार्य के भाग के रूप में, किसी विशेष अभिव्यक्ति का अर्थ खोजना अक्सर आवश्यक होता है। यह कैसे करें इस पर नीचे चर्चा की जाएगी।

सबसे सरल मामले

ये ऐसे मामले हैं जहां अभिव्यक्ति में संख्याओं और अंकगणितीय परिचालनों के अलावा कुछ भी नहीं है। ऐसे अभिव्यक्तियों के मूल्यों को सफलतापूर्वक खोजने के लिए, आपको कोष्ठक के बिना अंकगणितीय संचालन करने के क्रम के ज्ञान के साथ-साथ विभिन्न संख्याओं के साथ संचालन करने की क्षमता की आवश्यकता होगी।

यदि अभिव्यक्ति में केवल संख्याएं और अंकगणितीय चिह्न हैं " + " , " · " , " - " , " ÷ " , तो क्रियाएं बाएं से दाएं निम्नलिखित क्रम में की जाती हैं: पहले गुणा और भाग, फिर जोड़ और घटाव। चलिए उदाहरण देते हैं.

उदाहरण 1: एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मान

मान लीजिए आपको व्यंजक 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 का मान ज्ञात करना है।

आइए पहले गुणा और भाग करें। हम पाते हैं:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

अब हम घटाव करते हैं और अंतिम परिणाम प्राप्त करते हैं:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

उदाहरण 2: एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मान

आइए गणना करें: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12।

सबसे पहले हम भिन्न रूपांतरण, भाग और गुणा करते हैं:

0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9।

अब थोड़ा जोड़-घटाव करते हैं. आइए भिन्नों को समूहित करें और उन्हें एक सामान्य हर में लाएँ:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

आवश्यक मान मिल गया है.

कोष्ठक के साथ अभिव्यक्तियाँ

यदि किसी अभिव्यक्ति में कोष्ठक हैं, तो वे उस अभिव्यक्ति में संचालन के क्रम को परिभाषित करते हैं। कोष्ठक में क्रियाएँ पहले की जाती हैं, और फिर अन्य सभी क्रियाएँ। आइए इसे एक उदाहरण से दिखाते हैं.

उदाहरण 3: एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मान

आइए व्यंजक 0.5 · (0.76 - 0.06) का मान ज्ञात करें।

अभिव्यक्ति में कोष्ठक हैं, इसलिए हम पहले कोष्ठक में घटाव संक्रिया करते हैं, और उसके बाद ही गुणा करते हैं।

0.5 · (0.76 - 0.06) = 0.5 · 0.7 = 0.35.

कोष्ठक के भीतर कोष्ठक वाले भावों का अर्थ इसी सिद्धांत के अनुसार पाया जाता है।

उदाहरण 4: एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मान

आइए मान 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 की गणना करें।

हम आंतरिक कोष्ठक से शुरू करके बाहरी कोष्ठक की ओर बढ़ते हुए कार्य करेंगे।

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

कोष्ठक वाले भावों के अर्थ ढूँढ़ते समय मुख्य बात क्रियाओं के क्रम का पालन करना है।

जड़ों के साथ अभिव्यक्ति

गणितीय अभिव्यक्तियाँ जिनके मूल्यों को हमें खोजने की आवश्यकता है उनमें मूल चिह्न शामिल हो सकते हैं। इसके अलावा, अभिव्यक्ति स्वयं मूल चिह्न के अंतर्गत हो सकती है। ऐसे में क्या करें? सबसे पहले आपको मूल के नीचे अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करना होगा, और फिर परिणामस्वरूप प्राप्त संख्या से मूल निकालना होगा। यदि संभव हो, तो संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में से के स्थान पर जड़ों से छुटकारा पाना बेहतर है संख्यात्मक मान.

उदाहरण 5: एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मान

आइए जड़ों के साथ अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5।

सबसे पहले, हम मूल भावों की गणना करते हैं।

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

अब आप संपूर्ण अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना कर सकते हैं।

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

अक्सर, जड़ों के साथ किसी अभिव्यक्ति का अर्थ खोजने के लिए पहले मूल अभिव्यक्ति को बदलने की आवश्यकता होती है। चलिए इसे एक और उदाहरण से समझाते हैं.

उदाहरण 6: एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मान

3 + 1 3 - 1 - 1 क्या है?

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारे पास रूट को सटीक मान से बदलने का अवसर नहीं है, जो गिनती प्रक्रिया को जटिल बनाता है। हालाँकि, इस मामले में, आप संक्षिप्त गुणन सूत्र लागू कर सकते हैं।

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

इस प्रकार:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति

यदि किसी अभिव्यक्ति में शक्तियाँ हैं, तो अन्य सभी क्रियाओं के साथ आगे बढ़ने से पहले उनके मूल्यों की गणना की जानी चाहिए। होता यह है कि घातांक या अंश का आधार ही भाव होते हैं। इस मामले में, पहले इन अभिव्यक्तियों के मूल्य की गणना की जाती है, और फिर डिग्री के मूल्य की।

उदाहरण 7: एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मान

आइए अभिव्यक्ति 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 का मान ज्ञात करें।

आइए क्रम से गणना करना शुरू करें।

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.

जो कुछ बचा है वह अतिरिक्त ऑपरेशन करना और अभिव्यक्ति का अर्थ पता लगाना है:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6।

किसी डिग्री के गुणों का उपयोग करके किसी अभिव्यक्ति को सरल बनाने की भी अक्सर सलाह दी जाती है।

उदाहरण 8: एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मान

आइए निम्नलिखित अभिव्यक्ति के मान की गणना करें: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6।

घातांक फिर से ऐसे हैं कि उनका सटीक संख्यात्मक मान प्राप्त नहीं किया जा सकता है। आइए इसका मान ज्ञात करने के लिए मूल अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

भिन्नों के साथ अभिव्यक्तियाँ

यदि किसी व्यंजक में भिन्न हैं, तो ऐसे व्यंजक की गणना करते समय, उसमें सभी भिन्नों को प्रपत्र में दर्शाया जाना चाहिए साधारण अंशऔर उनके मूल्यों की गणना करें।

यदि किसी भिन्न के अंश और हर में भाव हों, तो पहले इन भावों के मानों की गणना की जाती है, और भिन्न का अंतिम मान स्वयं ही लिख लिया जाता है। अंकगणितीय संक्रियाएँ मानक क्रम में की जाती हैं। आइए उदाहरण समाधान देखें.

उदाहरण 9: एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मान

आइए भिन्न वाले व्यंजक का मान ज्ञात करें: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल अभिव्यक्ति में तीन भिन्न हैं। आइए पहले उनके मूल्यों की गणना करें।

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

आइए अपनी अभिव्यक्ति को फिर से लिखें और उसके मूल्य की गणना करें:

1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1

प्रायः भावों का अर्थ ज्ञात करते समय भिन्नों को कम करना सुविधाजनक होता है। एक अनकहा नियम है: इसका मूल्य खोजने से पहले, किसी भी अभिव्यक्ति को अधिकतम तक सरल बनाना सबसे अच्छा है, सभी गणनाओं को सरलतम मामलों में कम करना।

उदाहरण 10: एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मान

आइए व्यंजक 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 की गणना करें।

हम पाँच की जड़ को पूरी तरह से नहीं निकाल सकते हैं, लेकिन हम परिवर्तनों के माध्यम से मूल अभिव्यक्ति को सरल बना सकते हैं।

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

मूल अभिव्यक्ति इस प्रकार है:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

आइए इस अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

लघुगणक के साथ अभिव्यक्ति

जब किसी अभिव्यक्ति में लघुगणक मौजूद होते हैं, तो यदि संभव हो तो उनके मान की गणना शुरुआत से की जाती है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति लॉग 2 4 + 2 · 4 में, आप तुरंत लॉग 2 4 के बजाय इस लघुगणक का मान लिख सकते हैं, और फिर सभी क्रियाएं कर सकते हैं। हम पाते हैं: लघुगणक 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10।

संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ लघुगणक चिन्ह के नीचे और उसके आधार पर भी पाई जा सकती हैं। इस मामले में, सबसे पहली चीज़ जो करने की ज़रूरत है वह है उनके अर्थ ढूंढना। आइए व्यंजक लॉग 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 लें। हमारे पास है:

लॉग 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = लॉग 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10।

यदि लघुगणक के सटीक मान की गणना करना असंभव है, तो अभिव्यक्ति को सरल बनाने से इसका मान ज्ञात करने में मदद मिलती है।

उदाहरण 11: एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मान

आइए व्यंजक लॉग 2 लॉग 2 256 + लॉग 6 2 + लॉग 6 3 + लॉग 5 729 लॉग 0, 2 27 का मान ज्ञात करें।

लॉग 2 लॉग 2 256 = लॉग 2 8 = 3।

लघुगणक की संपत्ति द्वारा:

लॉग 6 2 + लॉग 6 3 = लॉग 6 (2 3) = लॉग 6 6 = 1।

व्यंजक में अंतिम भिन्न के लिए लघुगणक के गुणों का दोबारा उपयोग करने पर हमें यह मिलता है:

लॉग 5 729 लॉग 0, 2 27 = लॉग 5 729 लॉग 1 5 27 = लॉग 5 729 - लॉग 5 27 = - लॉग 27 729 = - लॉग 27 27 2 = - 2।

अब आप मूल अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

लॉग 2 लॉग 2 256 + लॉग 6 2 + लॉग 6 3 + लॉग 5 729 लॉग 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2।

त्रिकोणमितीय फलनों के साथ व्यंजक

ऐसा होता है कि अभिव्यक्ति में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ-साथ उनके व्युत्क्रम कार्य भी शामिल होते हैं। मान की गणना अन्य सभी अंकगणितीय ऑपरेशन करने से पहले की जाती है। अन्यथा, अभिव्यक्ति सरल हो जाती है.

उदाहरण 12: एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मान

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: t g 2 4 π 3 - पाप - 5 π 2 + cosπ।

सबसे पहले, हम अभिव्यक्ति में शामिल त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की गणना करते हैं।

पाप - 5 π 2 = - 1

हम मानों को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं और उसके मान की गणना करते हैं:

टी जी 2 4 π 3 - पाप - 5 π 2 + कोसπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3।

अभिव्यक्ति मान पाया गया है.

अक्सर किसी अभिव्यक्ति का अर्थ खोजने के लिए त्रिकोणमितीय कार्य, इसे पहले परिवर्तित किया जाना चाहिए। चलिए एक उदाहरण से समझाते हैं.

उदाहरण 13: एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मान

हमें व्यंजक cos 2 π 8 - syn 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - syn 5 π 36 syn π 9 - 1 का मान ज्ञात करना होगा।

रूपांतरण के लिए हम उपयोग करेंगे त्रिकोणमितीय सूत्रदोहरे कोण की कोज्या और योग की कोज्या।

कॉस 2 π 8 - पाप 2 π 8 कॉस 5 π 36 कॉस π 9 - पाप 5 π 36 पाप π 9 - 1 = कॉस 2 π 8 कॉस 5 π 36 + π 9 - 1 = कॉस π 4 कॉस π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .

संख्यात्मक अभिव्यक्ति का सामान्य मामला

सामान्य तौर पर, एक त्रिकोणमितीय अभिव्यक्ति में ऊपर वर्णित सभी तत्व शामिल हो सकते हैं: कोष्ठक, घात, मूल, लघुगणक, फ़ंक्शन। आइए सूत्रबद्ध करें सामान्य नियमऐसे भावों का अर्थ ढूँढ़ना।

किसी अभिव्यक्ति का मान कैसे ज्ञात करें

1. मूल, घात, लघुगणक, आदि। उनके मूल्यों द्वारा प्रतिस्थापित कर दिया जाता है।
2. कोष्ठक में क्रियाएँ निष्पादित की जाती हैं।
3. शेष क्रियाएँ बाएँ से दाएँ क्रम में की जाती हैं। पहले - गुणा और भाग, फिर - जोड़ और घटाव।

आइए एक उदाहरण देखें.

उदाहरण 14: एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मान

आइए अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें - 2 · पाप π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 एलएन ई 2 + 1 + 3 9।

अभिव्यक्ति काफी जटिल और बोझिल है. यह कोई संयोग नहीं है कि हमने ऊपर वर्णित सभी मामलों को इसमें फिट करने की कोशिश करते हुए ऐसा ही एक उदाहरण चुना। ऐसी अभिव्यक्ति का अर्थ कैसे पता करें?

ज्ञातव्य है कि जटिल भिन्नात्मक रूप के मान की गणना करते समय सबसे पहले भिन्न के अंश और हर के मान क्रमशः अलग-अलग पाए जाते हैं। हम इस अभिव्यक्ति को क्रमिक रूप से रूपांतरित और सरल करेंगे।

सबसे पहले, आइए मूल अभिव्यक्ति 2 · पाप π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 के मान की गणना करें। ऐसा करने के लिए, आपको साइन और अभिव्यक्ति का मान ढूंढना होगा जो त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का तर्क है।

π 6 + 2 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

अब आप साइन का मान पता कर सकते हैं:

पाप π 6 + 2 2 2 π 5 + 3 π 5 = पाप π 6 + 2 π = पाप π 6 = 1 2.

हम मूल अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करते हैं:

2 पाप π 6 + 2 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 · पाप π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

भिन्न के हर के साथ सब कुछ सरल है:

अब हम संपूर्ण भिन्न का मान लिख सकते हैं:

2 · पाप π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 एलएन ई 2 = 2 2 = 1।

इसे ध्यान में रखते हुए, हम पूरी अभिव्यक्ति लिखते हैं:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

अंतिम परिणाम:

2 · पाप π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 एलएन ई 2 + 1 + 3 9 = 27.

इस मामले में हम गणना करने में सक्षम थे सटीक मानमूल, लघुगणक, ज्या आदि। यदि यह संभव नहीं है, तो आप गणितीय परिवर्तनों के माध्यम से उनसे छुटकारा पाने का प्रयास कर सकते हैं।

तर्कसंगत तरीकों का उपयोग करके अभिव्यक्ति मूल्यों की गणना करना

संख्यात्मक मानों की गणना लगातार और सटीक रूप से की जानी चाहिए। संख्याओं के साथ संचालन के विभिन्न गुणों का उपयोग करके इस प्रक्रिया को तर्कसंगत और त्वरित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यह ज्ञात है कि एक उत्पाद शून्य के बराबर है यदि कम से कम एक कारक शून्य के बराबर है। इस गुण को ध्यान में रखते हुए, हम तुरंत कह सकते हैं कि अभिव्यक्ति 2 386 + 5 + 589 4 1 - पाप 3 π 4 0 शून्य के बराबर है। साथ ही, उपरोक्त लेख में वर्णित क्रम में कार्रवाई करना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है।

घटाव गुण का उपयोग करना भी सुविधाजनक है समान संख्या. बिना कोई क्रिया किए आप यह आदेश दे सकते हैं कि व्यंजक 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 का मान भी शून्य है।

प्रक्रिया को तेज़ करने की एक अन्य तकनीक पहचान परिवर्तनों का उपयोग है जैसे कि शब्दों और कारकों को समूहीकृत करना और सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर रखना। उचित समझभिन्नों के साथ व्यंजकों की गणना करने के लिए - शॉर्टकट समान भावअंश और हर में.

उदाहरण के लिए, व्यंजक 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 लें। कोष्ठकों में संक्रियाएँ निष्पादित किए बिना, लेकिन भिन्न को कम करके, हम कह सकते हैं कि अभिव्यक्ति का मान 1 3 है।

चर वाले भावों का मान ज्ञात करना

अर्थ शाब्दिक अभिव्यक्तिऔर चर वाले भाव अक्षरों और चरों के विशिष्ट दिए गए मानों के लिए पाए जाते हैं।

चर वाले भावों का मान ज्ञात करना

एक शाब्दिक अभिव्यक्ति और चर के साथ एक अभिव्यक्ति का मूल्य खोजने के लिए, आपको अक्षरों और चर के दिए गए मानों को मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करना होगा, और फिर परिणामी संख्यात्मक अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करना होगा।

उदाहरण 15: चर वाले व्यंजक का मान

x = 2, 4 और y = 5 दिए गए व्यंजक 0, 5 x - y का मान परिकलित करें।

हम चर के मानों को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं और गणना करते हैं:

0.5 x - y = 0.5 2.4 - 5 = 1.2 - 5 = - 3.8.

कभी-कभी आप किसी अभिव्यक्ति को इस तरह से रूपांतरित कर सकते हैं कि आपको उसमें शामिल अक्षरों और चरों के मूल्यों की परवाह किए बिना उसका मूल्य मिल जाए। ऐसा करने के लिए, आपको समान परिवर्तनों, अंकगणितीय परिचालनों के गुणों और सभी संभावित अन्य तरीकों का उपयोग करके, यदि संभव हो तो, अभिव्यक्ति में अक्षरों और चर से छुटकारा पाने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति x + 3 - x का स्पष्ट मान 3 है, और इस मान की गणना करने के लिए चर x का मान जानना आवश्यक नहीं है। इस अभिव्यक्ति का मान इसके अनुमेय मानों की सीमा से चर x के सभी मानों के लिए तीन के बराबर है।

एक और उदाहरण. अभिव्यक्ति x x का मान सभी सकारात्मक x के लिए एक के बराबर है।

यदि आपको पाठ में कोई त्रुटि दिखाई देती है, तो कृपया उसे हाइलाइट करें और Ctrl+Enter दबाएँ

माता-पिता के रूप में, आपको अपने बच्चे को शिक्षित करने की प्रक्रिया में, गणित, बीजगणित और ज्यामिति में होमवर्क की समस्याओं को हल करने में मदद की आवश्यकता का एक से अधिक बार सामना करना पड़ेगा। और एक बुनियादी कौशल जो आपको सीखने की ज़रूरत है वह यह है कि किसी अभिव्यक्ति का अर्थ कैसे खोजा जाए। बहुत से लोग असमंजस में हैं, क्योंकि हमें ग्रेड 3-5 में पढ़े हुए कितने साल बीत चुके हैं? बहुत कुछ पहले ही भुला दिया गया है, और कुछ सीखा नहीं गया है। गणितीय संक्रियाओं के नियम स्वयं सरल हैं और आप उन्हें आसानी से याद रख सकते हैं। आइए गणितीय अभिव्यक्ति क्या है इसकी बुनियादी बातों से शुरुआत करें।

अभिव्यक्ति परिभाषा

गणितीय अभिव्यक्ति संख्याओं, क्रिया चिह्नों (=, +, -, *, /), कोष्ठक और चर का एक समूह है। संक्षेप में, यह एक सूत्र है जिसका मूल्य ज्ञात करना होगा। ऐसे सूत्र स्कूल के समय से ही गणित के पाठ्यक्रमों में पाए जाते हैं, और फिर उन छात्रों को परेशान करते हैं जिन्होंने इससे संबंधित विशिष्टताओं को चुना है सटीक विज्ञान. गणितीय अभिव्यक्तियों को त्रिकोणमितीय, बीजगणितीय, इत्यादि में विभाजित किया गया है; आइए अधिक जानकारी में न जाएँ।

1. कोई भी गणना पहले ड्राफ्ट पर करें और फिर उन्हें दोबारा लिखें कार्यपुस्तिका. इस तरह आप अनावश्यक क्रॉसिंग और गंदगी से बचेंगे;
2. पुनर्गणना कुल मात्रागणितीय संक्रियाएँ जिन्हें व्यंजक में निष्पादित करने की आवश्यकता होगी। कृपया ध्यान दें कि नियमों के अनुसार, कोष्ठक में संक्रियाएँ पहले की जाती हैं, फिर भाग और गुणा, और सबसे अंत में घटाव और जोड़। हम अनुशंसा करते हैं कि सभी कार्रवाइयों को पेंसिल से हाइलाइट करें और कार्रवाइयों के ऊपर उसी क्रम में नंबर डालें जिस क्रम में वे निष्पादित की गई थीं। इस मामले में, आपके और आपके बच्चे दोनों के लिए नेविगेट करना आसान होगा;
3. क्रियाओं के क्रम का सख्ती से पालन करते हुए गणना करना शुरू करें। यदि गणना सरल है, तो बच्चे को इसे अपने दिमाग में करने का प्रयास करने दें, लेकिन यदि यह कठिन है, तो संबंधित संख्या को पेंसिल से लिखने दें क्रम संख्यासूत्र के अंतर्गत अभिव्यक्तियाँ और लिखित रूप में गणनाएँ करना;
4. एक नियम के रूप में, यदि सभी गणना नियमों के अनुसार की जाती है तो एक साधारण अभिव्यक्ति का मूल्य ढूंढना मुश्किल नहीं है सही क्रम में. अधिकांश लोगों को किसी अभिव्यक्ति का अर्थ खोजने के इसी चरण में समस्या का सामना करना पड़ता है, इसलिए सावधान रहें और गलतियाँ न करें;
5. कैलकुलेटर पर प्रतिबंध लगाएं. गणितीय सूत्र और समस्याएँ स्वयं आपके बच्चे के जीवन में उपयोगी नहीं हो सकती हैं, लेकिन यह विषय का अध्ययन करने का उद्देश्य नहीं है। मुख्य बात विकास है तर्कसम्मत सोच. यदि आप कैलकुलेटर का उपयोग करते हैं, तो हर चीज़ का अर्थ खो जाएगा;
6. माता-पिता के रूप में आपका काम अपने बच्चे की समस्याओं को हल करना नहीं है, बल्कि इसमें उसकी मदद करना, उसका मार्गदर्शन करना है। उसे सभी गणनाएँ स्वयं करने दें, और आप सुनिश्चित करें कि वह गलतियाँ न करे, समझाएँ कि उसे इसे इस तरह से करने की आवश्यकता क्यों है और अन्यथा नहीं।
7. एक बार जब अभिव्यक्ति का उत्तर मिल जाए, तो इसे "=" चिह्न के बाद लिखें;
8. अपनी गणित पाठ्यपुस्तक का अंतिम पृष्ठ खोलें। आमतौर पर, किताब में हर अभ्यास के उत्तर होते हैं। यह जांचने में कोई हर्ज नहीं है कि हर चीज़ की गणना सही ढंग से की गई है या नहीं।

किसी अभिव्यक्ति का अर्थ ढूँढना, एक ओर, एक सरल प्रक्रिया है; मुख्य बात उन बुनियादी नियमों को याद रखना है जिनसे हम गुज़रे हैं स्कूल पाठ्यक्रमअंक शास्त्र। हालाँकि, दूसरी ओर, जब आपको अपने बच्चे को सूत्रों से निपटने और समस्याओं को हल करने में मदद करने की आवश्यकता होती है, तो समस्या अधिक जटिल हो जाती है। आख़िरकार, अब आप एक छात्र नहीं, बल्कि एक शिक्षक हैं और भविष्य के आइंस्टीन की शिक्षा आपके कंधों पर है।

हमें उम्मीद है कि हमारे लेख ने आपको किसी अभिव्यक्ति का अर्थ कैसे पता करें, इस प्रश्न का उत्तर खोजने में मदद की है, और आप आसानी से किसी भी सूत्र का पता लगा सकते हैं!

मैं। जिन व्यंजकों में अक्षरों के साथ संख्याओं, अंकगणितीय चिह्नों तथा कोष्ठकों का प्रयोग किया जा सकता है, उन्हें बीजगणितीय व्यंजक कहते हैं।

बीजीय व्यंजकों के उदाहरण:

2एम-एन; 3 · (2ए + बी); 0.24x; 0.3ए-बी · (4ए + 2बी); ए 2 - 2एबी;

चूँकि बीजगणितीय अभिव्यक्ति में एक अक्षर को कुछ अलग-अलग संख्याओं द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, इसलिए अक्षर को एक चर कहा जाता है, और बीजीय अभिव्यक्ति को स्वयं एक चर के साथ एक अभिव्यक्ति कहा जाता है।

द्वितीय. यदि किसी बीजगणितीय व्यंजक में अक्षरों (चर) को उनके मानों से प्रतिस्थापित कर दिया जाए तथा निर्दिष्ट क्रियाएँ की जाएँ तो परिणामी संख्या को बीजगणितीय व्यंजक का मान कहा जाता है।

उदाहरण.

अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

1) ए + 2बी -सी ए = -2 के साथ; बी = 10; सी = -3.5.

2) |x| + |य| -|जेड| x = -8 पर; y = -5; जेड = 6..

समाधान

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

1) ए + 2बी -सी ए = -2 के साथ; बी = 10; सी = -3.5. आइए चरों के स्थान पर उनके मानों को प्रतिस्थापित करें। हम पाते हैं: 2) |x| + |य| -|जेड| x = -8 पर; y = -5; z = 6. संकेतित मानों को प्रतिस्थापित करें। याद रखें कि मॉड्यूलऋणात्मक संख्या इसकी विपरीत संख्या और मॉड्यूल के बराबर हैसकारात्मक संख्या

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

इस संख्या के ही बराबर. हम पाते हैं:तृतीय.

अक्षर (चर) के वे मान जिनके लिए बीजगणितीय अभिव्यक्ति का अर्थ निकलता है, अक्षर (चर) के अनुमेय मान कहलाते हैं।

उदाहरण.चर के किन मानों के लिए अभिव्यक्ति का कोई अर्थ नहीं है?

उदाहरण 1 में) यह मान a = 0 है। वास्तव में, यदि आप a के स्थान पर 0 प्रतिस्थापित करते हैं, तो आपको संख्या 6 को 0 से विभाजित करने की आवश्यकता होगी, लेकिन ऐसा नहीं किया जा सकता है। उत्तर: अभिव्यक्ति 1) का कोई मतलब नहीं है जब a = 0 हो।

उदाहरण 2 में) x का हर x = 4 पर 4 = 0 है, इसलिए, यह मान x = 4 नहीं लिया जा सकता है। उत्तर: अभिव्यक्ति 2) का कोई मतलब नहीं है जब x = 4 हो।

उदाहरण 3 में) हर x + 2 = 0 है जब x = -2 है। उत्तर: अभिव्यक्ति 3) का कोई मतलब नहीं है जब x = -2 हो।

उदाहरण 4) में हर 5 -|x| है |x| के लिए = 0 = 5. और चूँकि |5| = 5 और |-5| = 5, तो आप x = 5 और x = -5 नहीं ले सकते। उत्तर: अभिव्यक्ति 4) का x = -5 और x = 5 पर कोई मतलब नहीं है।
चतुर्थ. कहा जाता है कि दो भाव समान रूप से समान हैं यदि कोई हो स्वीकार्य मूल्यचर, इन अभिव्यक्तियों के संगत मान बराबर हैं।

उदाहरण: 5 (ए - बी) और 5ए - 5बी भी बराबर हैं, क्योंकि समानता 5 (ए - बी) = 5ए - 5बी ए और बी के किसी भी मान के लिए सत्य होगी। समानता 5 (ए - बी) = 5 ए - 5 बी एक पहचान है।

पहचान एक समानता है जो इसमें शामिल चर के सभी अनुमेय मूल्यों के लिए मान्य है। आपको पहले से ही ज्ञात पहचान के उदाहरण हैं, उदाहरण के लिए, जोड़ और गुणा के गुण, और वितरण गुण।

एक अभिव्यक्ति को दूसरे समान रूप से समान अभिव्यक्ति के साथ प्रतिस्थापित करना एक पहचान परिवर्तन या बस एक अभिव्यक्ति का परिवर्तन कहा जाता है। चर के साथ अभिव्यक्तियों के समान परिवर्तन संख्याओं पर संचालन के गुणों के आधार पर किए जाते हैं।

उदाहरण.

ए)गुणन के वितरण गुण का उपयोग करके अभिव्यक्ति को समान रूप से बराबर में बदलें:

1)10·(1.2x + 2.3y); 2) 1.5·(ए -2बी + 4सी); 3) a·(6m -2n + k).

2) |x| + |य| -|जेड| x = -8 पर; y = -5; जेड = 6.. आइए गुणन के वितरण गुण (कानून) को याद करें:

(ए+बी)सी=एसी+बीसी(जोड़ के सापेक्ष गुणन का वितरणात्मक नियम: दो संख्याओं के योग को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आप प्रत्येक पद को इस संख्या से गुणा कर सकते हैं और परिणामी परिणाम जोड़ सकते हैं)।
(ए-बी) सी=ए सी-बी सी(घटाव के सापेक्ष गुणन का वितरणात्मक नियम: दो संख्याओं के अंतर को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आप न्यूनतम को गुणा कर सकते हैं और इस संख्या से अलग-अलग घटा सकते हैं और पहले परिणाम से दूसरे को घटा सकते हैं)।

1) 10·(1.2x + 2.3y) = 10 · 1.2x + 10 · 2.3y = 12x + 23y.

2) 1.5·(ए -2बी + 4सी) = 1.5ए -3बी + 6सी।

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

बी)जोड़ के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुणों (कानूनों) का उपयोग करके अभिव्यक्ति को समान रूप से बराबर में बदलें:

4) एक्स + 4.5 +2एक्स + 6.5; 5) (3ए + 2.1) + 7.8; 6) 5.4 सेकंड -3 -2.5 -2.3 सेकंड।

उदाहरण.आइए जोड़ के नियम (गुण) लागू करें:

ए+बी=बी+ए(क्रमविनिमेय: पदों को पुनर्व्यवस्थित करने से योग नहीं बदलता)।
(ए+बी)+सी=ए+(बी+सी)(संयोजनात्मक: दो पदों के योग में तीसरी संख्या जोड़ने के लिए, आप दूसरी और तीसरी संख्या का योग पहली संख्या में जोड़ सकते हैं)।

4) x + 4.5 +2x + 6.5 = (x + 2x) + (4.5 + 6.5) = 3x + 11.

5) (3ए + 2.1) + 7.8 = 3ए + (2.1 + 7.8) = 3ए + 9.9।

6) 6) 5.4 सेकेंड -3 -2.5 -2.3 सेकेंड = (5.4 सेकेंड -2.3 सेकेंड) + (-3 -2.5) = 3.1 सेकेंड -5.5।

वी)गुणन के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुणों (नियमों) का उपयोग करके अभिव्यक्ति को समान रूप से बराबर में बदलें:

7) 4 · एक्स · (-2,5); 8) -3,5 · 2यू · (-1); 9)3ए · (-3) · 2s.

उदाहरण.आइए गुणन के नियम (गुण) लागू करें:

ए·बी=बी·ए(विनिमेय: कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने से उत्पाद नहीं बदलता है)।
(ए बी) सी=ए (बी सी)(संयोजनात्मक: दो संख्याओं के गुणनफल को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आप पहली संख्या को दूसरे और तीसरे के गुणनफल से गुणा कर सकते हैं)।