स्थिरांक e क्या है? संख्या e का इतिहास

परवुश्किन बोरिस निकोलेविच

निजी शैक्षणिक संस्थान "सेंट पीटर्सबर्ग स्कूल "टेटे-ए-टेटे"

उच्चतम श्रेणी के गणित शिक्षक

संख्या ई

नंबर पहली बार सामने आयाअंक शास्त्रकिसी महत्वहीन चीज़ की तरह. यह 1618 में हुआ था। लघुगणक पर नेपियर के कार्य के परिशिष्ट में विभिन्न संख्याओं के प्राकृतिक लघुगणक की एक तालिका दी गई थी। हालाँकि, किसी को एहसास नहीं हुआ कि ये आधार के लघुगणक थे, क्योंकि उस समय लघुगणक की अवधारणा में आधार जैसी कोई चीज़ शामिल नहीं थी। इसे अब हम लघुगणक कहते हैं, वह शक्ति जिससे आवश्यक संख्या प्राप्त करने के लिए आधार को ऊपर उठाया जाना चाहिए। हम इस पर बाद में वापस आएंगे। परिशिष्ट में तालिका संभवतः ऑगथ्रेड द्वारा बनाई गई थी, हालांकि लेखक की पहचान नहीं की गई थी। कुछ साल बाद, 1624 में, यह गणितीय साहित्य में फिर से दिखाई देता है, लेकिन फिर से एक छिपे हुए तरीके से। इस वर्ष ब्रिग्स ने एक संख्यात्मक अनुमान दिया दशमलव लघुगणक, लेकिन उनके काम में संख्या का उल्लेख नहीं है।

नंबर का अगला आना फिर से संदिग्ध है। 1647 में, सेंट-विंसेंट ने हाइपरबोला सेक्टर के क्षेत्रफल की गणना की। वह लघुगणक के साथ संबंध को समझता था या नहीं, इसका केवल अनुमान ही लगाया जा सकता है, लेकिन अगर वह समझ भी गया, तो यह संभावना नहीं है कि वह संख्या तक आ सके। 1661 तक ह्यूजेंस ने समबाहु अतिपरवलय और लघुगणक के बीच संबंध को नहीं समझा था। उन्होंने सिद्ध किया कि 1 से लेकर के अंतराल में एक समबाहु अतिपरवलय के ग्राफ के अंतर्गत आने वाला क्षेत्रफल 1 के बराबर होता है। यह गुण प्राकृतिक लघुगणक का आधार बनता है, लेकिन यह उस समय के गणितज्ञों द्वारा नहीं समझा गया था, लेकिन वे थे धीरे-धीरे इस समझ के करीब पहुँच रहे हैं।

ह्यूजेन्स ने किया अगला कदम 1661 में उन्होंने एक वक्र परिभाषित किया जिसे उन्होंने लघुगणक कहा (हमारी शब्दावली में हम इसे घातांक कहेंगे)। यह एक प्रकार का वक्र है. और फिर से दशमलव लघुगणक प्रकट होता है, जिसे ह्यूजेन्स 17 दशमलव अंकों तक सटीक पाता है। हालाँकि, यह ह्यूजेन्स से एक प्रकार के स्थिरांक के रूप में उत्पन्न हुआ और किसी संख्या के लघुगणक से जुड़ा नहीं था (इसलिए, वे फिर से करीब आ गए, लेकिन संख्या स्वयं अपरिचित रह गई)।

में आगे का कामलघुगणक के लिए, फिर से संख्या स्पष्ट रूप से प्रकट नहीं होती है। हालाँकि, लघुगणक का अध्ययन जारी है। 1668 में निकोलस मर्केटर ने एक कृति प्रकाशित कीलॉगरिथमोटेक्निया, जिसमें एक श्रृंखला विस्तार शामिल है। इस कार्य में, मर्केटर सबसे पहले आधार लघुगणक के लिए "प्राकृतिक लघुगणक" नाम का उपयोग करता है। संख्या स्पष्ट रूप से दोबारा प्रकट नहीं होती है, लेकिन कहीं न कहीं मायावी बनी रहती है।

यह आश्चर्य की बात है कि संख्या पहली बार स्पष्ट रूप में लघुगणक के संबंध में नहीं, बल्कि अनंत उत्पादों के संबंध में प्रकट होती है। 1683 में, जैकब बर्नौली ने खोजने का प्रयास किया

वह यह साबित करने के लिए द्विपद प्रमेय का उपयोग करता है कि यह सीमा 2 और 3 के बीच है, जिसे हम पहले सन्निकटन के रूप में सोच सकते हैं। हालाँकि हम इसे की परिभाषा के रूप में लेते हैं, यह पहली बार है कि किसी संख्या को एक सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है। बेशक, बर्नौली को अपने काम और लघुगणक पर काम के बीच संबंध समझ में नहीं आया।

यह पहले उल्लेख किया गया था कि उनके अध्ययन की शुरुआत में लघुगणक किसी भी तरह से घातांक से जुड़े नहीं थे। बेशक, समीकरण से हमें यह पता चलता है, लेकिन यह समझने का बहुत बाद का तरीका है। यहां हमारा मतलब वास्तव में लघुगणक से एक फ़ंक्शन है, जबकि पहले लघुगणक को केवल एक संख्या के रूप में माना जाता था जो गणना में मदद करता था। जैकब बर्नौली शायद सबसे पहले यह महसूस करने वाले व्यक्ति थे कि लघुगणकीय फलन व्युत्क्रम घातांक है। दूसरी ओर, लघुगणक और घातों को जोड़ने वाला पहला व्यक्ति शायद जेम्स ग्रेगरी रहा होगा। 1684 में उन्होंने निश्चित रूप से लघुगणक और शक्तियों के बीच संबंध को पहचाना, लेकिन वह पहले व्यक्ति नहीं हो सकते थे।

हम जानते हैं कि यह संख्या अपने वर्तमान स्वरूप में 1690 में सामने आई थी। लीबनिज ने ह्यूजेन्स को लिखे एक पत्र में इसके लिए पदनाम का उपयोग किया था। अंत में, एक पदनाम सामने आया (हालाँकि यह आधुनिक से मेल नहीं खाता), और इस पदनाम को मान्यता दी गई।

1697 में, जोहान बर्नौली ने अध्ययन शुरू किया घातांक प्रकार्यऔर प्रकाशित करता हैप्रिंसिपिया कैलकुली एक्सपोनेंशियलम सेउ पेरकरंटियम. इस कार्य में, विभिन्न घातीय श्रृंखलाओं के योगों की गणना की जाती है, और उनके शब्द-दर-अवधि एकीकरण द्वारा कुछ परिणाम प्राप्त किए जाते हैं।

यूलर ने बहुत सारे गणितीय संकेतन प्रस्तुत किये
आश्चर्य की बात नहीं, पदनाम भी उन्हीं का है। यह कहना हास्यास्पद लगता है कि उन्होंने इस अक्षर का इस्तेमाल किया क्योंकि यह उनके नाम का पहला अक्षर है। यह शायद इसलिए भी नहीं है क्योंकि यह "घातांक" शब्द से लिया गया है, बल्कि सिर्फ इसलिए कि यह "ए" के बाद अगला स्वर है, और यूलर ने पहले ही अपने काम में "ए" संकेतन का उपयोग किया था। कारण चाहे जो भी हो, यह संकेतन पहली बार 1731 में यूलर द्वारा गोल्डबैक को लिखे एक पत्र में दिखाई देता है। उन्होंने आगे अध्ययन करते हुए कई खोजें कीं, लेकिन 1748 तक नहीं।एनालिसिन इन्फिनिटोरम में परिचयउन्होंने इससे संबंधित सभी विचारों को पूर्ण औचित्य दिया। उन्होंने ऐसा करके दिखाया

यूलर ने किसी संख्या के पहले 18 दशमलव स्थान भी खोजे:

हालाँकि, यह बताए बिना कि उसने उन्हें कैसे प्राप्त किया। ऐसा लगता है जैसे उसने इस मूल्य की गणना स्वयं की हो। वास्तव में, यदि हम श्रृंखला (1) के लगभग 20 पद लेते हैं, तो हमें वह सटीकता प्राप्त होती है जो यूलर ने प्राप्त की थी। दूसरों के बीच में दिलचस्प परिणामउनका काम साइन और कोसाइन फ़ंक्शन और जटिल घातीय फ़ंक्शन के बीच संबंध दिखाता है, जिसे यूलर ने मोइवर के सूत्र से प्राप्त किया था।

यह दिलचस्प है कि यूलर ने किसी संख्या के निरंतर भिन्नों में विघटित होने का पता भी लगाया और ऐसे अपघटन के उदाहरण भी दिए। विशेष रूप से, उन्होंने प्राप्त किया

यूलर ने इस बात का सबूत नहीं दिया कि ये अंश उसी तरह जारी रहते हैं, लेकिन वह जानता था कि अगर ऐसा कोई सबूत होगा, तो यह अतार्किक साबित होगा। वास्तव में, यदि के लिए निरंतर भिन्न, दिए गए उदाहरण की तरह ही जारी रहता है, 6,10,14,18,22,26, (हम हर बार 4 जोड़ते हैं), तो यह कभी भी बाधित नहीं होगा, और (और इसलिए) ) तर्कसंगत नहीं हो सका। जाहिर तौर पर यह अतार्किकता सिद्ध करने का पहला प्रयास है।

काफी गणना करने वाला पहला व्यक्ति बड़ी संख्यासंख्या का दशमलव स्थान, 1854 में शैंक्स था। ग्लैशर ने दिखाया कि शैंक्स द्वारा गणना की गई पहले 137 स्थान सही थे, लेकिन फिर एक त्रुटि पाई गई। शैंक्स ने इसे ठीक किया और 205 दशमलव स्थान प्राप्त हुए। वास्तव में, आपको इसके बारे में चाहिए
संख्या के 200 सही अंक प्राप्त करने के लिए विस्तार के 120 पद (1)।

1864 में, बेंजामिन पीयर्स एक बोर्ड पर खड़े थे जिस पर लिखा था

अपने व्याख्यानों में वह अपने विद्यार्थियों से कह सकते हैं: "सज्जनों, हमें ज़रा भी अंदाज़ा नहीं है कि इसका क्या मतलब है, लेकिन हम निश्चिंत हो सकते हैं कि इसका मतलब बहुत महत्वपूर्ण है।"

अधिकांश लोगों का मानना है कि यूलर ने संख्या की अतार्किकता को सिद्ध किया। हालाँकि, यह हरमाइट द्वारा 1873 में किया गया था। यह प्रश्न कि क्या संख्या बीजगणितीय है, अभी भी खुला है। नवीनतम परिणामइस दिशा में यह है कि कम से कम एक संख्या पारलौकिक है।

इसके बाद, संख्या के अगले दशमलव स्थानों की गणना की गई। 1884 में, बोर्मन ने 346 अंकों की गणना की, जिनमें से पहले 187 शैंक्स के अंकों से मेल खाते थे, लेकिन बाद के अंक अलग थे। 1887 में एडम्स ने दशमलव लघुगणक के 272 अंकों की गणना की।

| यूलर संख्या (ई)

ई - प्राकृतिक लघुगणक का आधार, एक गणितीय स्थिरांक, एक अपरिमेय और पारलौकिक संख्या। लगभग 2.71828 के बराबर. कभी-कभी नंबर पर कॉल किया जाता है यूलर संख्याया नेपियर संख्या. लोअरकेस द्वारा दर्शाया गया है लैटिन अक्षर « ई».

कहानी

संख्या ई पहली बार गणित में कुछ महत्वहीन के रूप में प्रकट हुआ। यह 1618 में हुआ था। लघुगणक पर जॉन नेपियर के काम के परिशिष्ट में, विभिन्न संख्याओं के प्राकृतिक लघुगणक की एक तालिका दी गई थी। हालाँकि, किसी को एहसास नहीं हुआ कि ये आधार के लघुगणक हैं ई , चूँकि उस समय के लघुगणक की अवधारणा में आधार जैसी कोई चीज़ शामिल नहीं थी। इसे अब हम लघुगणक कहते हैं, वह शक्ति जिससे आवश्यक संख्या प्राप्त करने के लिए आधार को ऊपर उठाया जाना चाहिए। हम इस पर बाद में वापस आएंगे। परिशिष्ट में तालिका संभवतः ऑगथ्रेड द्वारा बनाई गई थी, हालांकि लेखक की पहचान नहीं की गई थी। कुछ साल बाद, 1624 में, यह गणितीय साहित्य में फिर से दिखाई देता है। ई , लेकिन फिर से परोक्ष तरीके से। इस वर्ष ब्रिग्स ने दशमलव लघुगणक को एक संख्यात्मक सन्निकटन दिया ई , लेकिन संख्या ही ई उनके काम में उल्लेख नहीं किया गया है।

संख्या की अगली घटना ई फिर से संदिग्ध. 1647 में, सेंट-विंसेंट ने हाइपरबोला सेक्टर के क्षेत्रफल की गणना की। वह लघुगणक के साथ संबंध को समझता था या नहीं, इसका केवल अनुमान ही लगाया जा सकता है, लेकिन यदि उसने समझा भी हो, तो यह संभावना नहीं है कि वह संख्या तक ही पहुंच सका होगा ई . 1661 तक ह्यूजेंस ने समबाहु अतिपरवलय और लघुगणक के बीच संबंध को नहीं समझा था। उन्होंने सिद्ध किया कि ग्राफ़ के अंतर्गत क्षेत्रफल एक समबाहु अतिपरवलय के अंतर्गत आता है एक्सवाई = 1 1 से अंतराल पर समबाहु अतिपरवलय ई 1 के बराबर है। यह गुण बनाता है ई प्राकृतिक लघुगणक का आधार, लेकिन यह उस समय के गणितज्ञों द्वारा समझ में नहीं आया था, लेकिन वे धीरे-धीरे इस समझ के करीब पहुंच रहे थे।

ह्यूजेंस ने अगला कदम 1661 में उठाया। उन्होंने एक वक्र परिभाषित किया जिसे उन्होंने लघुगणक कहा (हमारी शब्दावली में हम इसे घातांक कहेंगे)। यह रूप का एक वक्र है वाई = का एक्स . और दशमलव लघुगणक फिर से प्रकट होता है ई , जिसे ह्यूजेंस 17 दशमलव अंकों तक सटीक पाते हैं। हालाँकि, यह ह्यूजेन्स से एक प्रकार के स्थिरांक के रूप में उत्पन्न हुआ और किसी संख्या के लघुगणक से जुड़ा नहीं था (इसलिए, हम फिर से इसके करीब आ गए) ई , लेकिन संख्या ही ई अपरिचित रहता है)।

लघुगणक पर आगे के काम में, फिर से संख्या ई स्पष्ट रूप से प्रकट नहीं होता. हालाँकि, लघुगणक का अध्ययन जारी है। 1668 में निकोलस मर्केटर ने एक रचना प्रकाशित की लॉगरिथमोटेक्निया, जिसमें एक श्रृंखला विस्तार शामिल है लॉग(1 + x) . इस कार्य में, मर्केटर सबसे पहले आधार लघुगणक के लिए "प्राकृतिक लघुगणक" नाम का उपयोग करता है ई . संख्या ई स्पष्ट रूप से दोबारा प्रकट नहीं होता है, लेकिन कहीं किनारे पर मायावी बना रहता है।

यह संख्या आश्चर्यजनक है ई पहली बार स्पष्ट रूप से लघुगणक के संबंध में नहीं, बल्कि अनंत उत्पादों के संबंध में प्रकट होता है। 1683 में, जैकब बर्नौली ने खोजने का प्रयास किया

वह यह साबित करने के लिए द्विपद प्रमेय का उपयोग करता है कि यह सीमा 2 और 3 के बीच है, जिसे हम संख्या के पहले सन्निकटन के रूप में सोच सकते हैं। ई . हालाँकि हम इसे एक परिभाषा के रूप में लेते हैं ई , यह पहली बार है कि किसी संख्या को सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है। बेशक, बर्नौली को अपने काम और लघुगणक पर काम के बीच संबंध समझ में नहीं आया।

यह पहले उल्लेख किया गया था कि उनके अध्ययन की शुरुआत में लघुगणक किसी भी तरह से घातांक से जुड़े नहीं थे। बेशक, समीकरण से एक्स = ए टी हम उसे ढूंढते हैं टी = लॉग ए एक्स , लेकिन यह समझने का बहुत बाद का तरीका है। यहां हमारा मतलब वास्तव में लघुगणक से एक फ़ंक्शन है, जबकि पहले लघुगणक को केवल एक संख्या के रूप में माना जाता था जो गणना में मदद करता था। जैकब बर्नौली शायद सबसे पहले यह महसूस करने वाले व्यक्ति थे कि लघुगणकीय फलन व्युत्क्रम घातांक है। दूसरी ओर, लघुगणक और घातों को जोड़ने वाला पहला व्यक्ति शायद जेम्स ग्रेगरी रहा होगा। 1684 में उन्होंने निश्चित रूप से लघुगणक और शक्तियों के बीच संबंध को पहचाना, लेकिन वह पहले व्यक्ति नहीं हो सकते थे।

हम जानते हैं कि संख्या ई 1690 में अपने वर्तमान स्वरूप में प्रकट हुआ। लीबनिज़ ने ह्यूजेन्स को लिखे एक पत्र में इसके लिए पदनाम का उपयोग किया बी . अंत में ई एक पदनाम सामने आया (हालाँकि यह आधुनिक पदनाम से मेल नहीं खाता था), और इस पदनाम को मान्यता दे दी गई।

1697 में, जोहान बर्नौली ने घातीय फलन का अध्ययन शुरू किया और प्रकाशित किया प्रिंसिपिया कैलकुली एक्सपोनेंशियलम सेउ पेरकरंटियम. इस कार्य में, विभिन्न घातीय श्रृंखलाओं के योगों की गणना की जाती है, और उनके शब्द-दर-अवधि एकीकरण द्वारा कुछ परिणाम प्राप्त किए जाते हैं।

लिओनहार्ड यूलर ने इतना अधिक गणितीय संकेतन प्रस्तुत किया कि यह कोई आश्चर्य की बात नहीं है ई भी उसी का है. यह कहना हास्यास्पद लगता है कि उन्होंने पत्र का इस्तेमाल किया ई इस तथ्य के कारण कि यह उनके नाम का पहला अक्षर है। शायद इसलिए भी नहीं ई "घातांक" शब्द से लिया गया, यह "ए" के बाद बस अगला स्वर है, और यूलर ने पहले ही अपने काम में "ए" संकेतन का उपयोग किया था। कारण चाहे जो भी हो, यह संकेतन पहली बार 1731 में यूलर द्वारा गोल्डबैक को लिखे एक पत्र में दिखाई देता है। अध्ययन के दौरान उन्होंने कई खोजें कीं ई बाद में, लेकिन केवल 1748 में एनालिसिन इन्फिनिटोरम में परिचयउन्होंने इससे संबंधित सभी विचारों को पूर्ण औचित्य दिया ई . उन्होंने ऐसा करके दिखाया

यूलर ने संख्या के पहले 18 दशमलव स्थान भी खोजे ई :

सच है, बिना यह बताए कि उसने उन्हें कैसे प्राप्त किया। ऐसा लगता है जैसे उसने इस मूल्य की गणना स्वयं की हो। वास्तव में, यदि हम श्रृंखला (1) के लगभग 20 पद लेते हैं, तो हमें वह सटीकता मिलती है जो यूलर ने प्राप्त की थी। उनके काम में अन्य दिलचस्प परिणामों में साइन और कोसाइन फ़ंक्शन और जटिल घातीय फ़ंक्शन के बीच संबंध है, जिसे यूलर ने डी मोइवर के सूत्र से प्राप्त किया था।

दिलचस्प बात यह है कि यूलर ने संख्या का अपघटन भी पाया ई निरंतर भिन्नों में और ऐसे अपघटन के उदाहरण दिए। विशेष रूप से, उन्होंने प्राप्त किया

यूलर ने इस बात का सबूत नहीं दिया कि ये अंश उसी तरह जारी रहते हैं, लेकिन वह जानता था कि अगर ऐसा कोई सबूत होता, तो यह अतार्किक साबित होता ई . वास्तव में, यदि निरंतर भिन्न के लिए (ई-1)/2 , उपरोक्त उदाहरण की तरह ही जारी रहेगा, 6,10,14,18,22,26, (हम हर बार 4 जोड़ते हैं), तो यह कभी बाधित नहीं होता, और (ई-1)/2 (और इसलिए ई ) तर्कसंगत नहीं हो सका। जाहिर है, यह अतार्किकता सिद्ध करने का पहला प्रयास है ई .

किसी संख्या के दशमलव स्थानों की काफी बड़ी संख्या की गणना करने वाले पहले व्यक्ति ई , 1854 में शैंक्स था। ग्लैशर ने दिखाया कि शैंक्स द्वारा गणना किए गए पहले 137 अक्षर सही थे, लेकिन फिर एक त्रुटि पाई गई। शैंक्स ने इसे ठीक किया और संख्या के 205 दशमलव स्थान प्राप्त हुए ई . वास्तव में, संख्या के 200 सही अंक प्राप्त करने के लिए विस्तार के लगभग 120 पदों (1) की आवश्यकता होती है ई .

1864 में, बेंजामिन पीयर्स एक बोर्ड पर खड़े थे जिस पर लिखा था

अधिकांश का मानना है कि यूलर ने संख्या की अतार्किकता को साबित किया ई . हालाँकि, यह 1873 में हरमाइट द्वारा किया गया था। यह प्रश्न अभी भी खुला है कि क्या संख्या है ई ई बीजगणितीय इस दिशा में अंतिम परिणाम यह है कि कम से कम एक संख्या ई ई और ई ई 2 पारलौकिक है.

इसके बाद, संख्या के निम्नलिखित दशमलव स्थानों की गणना की गई ई . 1884 में बोर्मन ने 346 अंकों की गणना की ई , जिनमें से पहले 187 शैंक्स के संकेतों से मेल खाते थे, लेकिन बाद वाले भिन्न थे। 1887 में एडम्स ने दशमलव लघुगणक के 272 अंकों की गणना की ई .

जे. जे. कॉनर, ई. एफ. रॉबर्टसन। जो नंबर ई.

किसी महत्वहीन चीज़ की तरह. यह 1618 में हुआ था। लघुगणक पर नेपियर के कार्य के परिशिष्ट में, विभिन्न संख्याओं के प्राकृतिक लघुगणक की एक तालिका दी गई थी। हालाँकि, किसी को एहसास नहीं हुआ कि ये आधार के लघुगणक थे, क्योंकि उस समय लघुगणक की अवधारणा में आधार जैसी कोई चीज़ शामिल नहीं थी। इसे अब हम लघुगणक कहते हैं, वह शक्ति जिससे आवश्यक संख्या प्राप्त करने के लिए आधार को ऊपर उठाया जाना चाहिए। हम इस पर बाद में वापस आएंगे। परिशिष्ट में तालिका संभवतः ऑगथ्रेड द्वारा बनाई गई थी, हालांकि लेखक की पहचान नहीं की गई थी। कुछ साल बाद, 1624 में, यह गणितीय साहित्य में फिर से दिखाई देता है, लेकिन फिर से एक छिपे हुए तरीके से। इस वर्ष ब्रिग्स ने दशमलव लघुगणक का एक संख्यात्मक अनुमान दिया, लेकिन उनके काम में संख्या का उल्लेख नहीं किया गया है।

नंबर का अगला आना फिर से संदिग्ध है। 1647 में, सेंट-विंसेंट ने हाइपरबोला सेक्टर के क्षेत्रफल की गणना की। वह लघुगणक के साथ संबंध को समझता था या नहीं, इसका केवल अनुमान ही लगाया जा सकता है, लेकिन अगर वह समझ भी गया, तो यह संभावना नहीं है कि वह संख्या तक आ सके। 1661 तक ह्यूजेंस ने समबाहु अतिपरवलय और लघुगणक के बीच संबंध को नहीं समझा था। उन्होंने सिद्ध किया कि से अंतराल पर एक समबाहु अतिपरवलय के ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल बराबर होता है। यह गुण प्राकृतिक लघुगणक का आधार बनता है, लेकिन यह बात उस समय के गणितज्ञों को समझ में नहीं आई थी, लेकिन वे धीरे-धीरे इस समझ के करीब पहुंच रहे थे।

ह्यूजेंस ने अगला कदम 1661 में उठाया। उन्होंने एक वक्र परिभाषित किया जिसे उन्होंने लघुगणक कहा (हमारी शब्दावली में हम इसे घातांक कहेंगे)। यह एक प्रकार का वक्र है. और फिर से दशमलव लघुगणक प्रकट होता है, जिसे ह्यूजेन्स 17 दशमलव अंकों तक सटीक पाता है। हालाँकि, यह ह्यूजेन्स से एक प्रकार के स्थिरांक के रूप में उत्पन्न हुआ और किसी संख्या के लघुगणक से जुड़ा नहीं था (इसलिए, वे फिर से करीब आ गए, लेकिन संख्या स्वयं अपरिचित रह गई)।

लघुगणक पर आगे के काम में, संख्या फिर से स्पष्ट रूप से प्रकट नहीं होती है। हालाँकि, लघुगणक का अध्ययन जारी है। 1668 में निकोलस मर्केटर ने एक कृति प्रकाशित की लॉगरिथमोटेक्निया, जिसमें एक श्रृंखला विस्तार शामिल है। इस कार्य में, मर्केटर सबसे पहले आधार लघुगणक के लिए "प्राकृतिक लघुगणक" नाम का उपयोग करता है। संख्या स्पष्ट रूप से दोबारा प्रकट नहीं होती है, लेकिन कहीं न कहीं मायावी बनी रहती है।

वह यह साबित करने के लिए द्विपद प्रमेय का उपयोग करता है कि यह सीमा और के बीच है, जिसे हम पहले सन्निकटन के रूप में सोच सकते हैं। हालाँकि हम इसे की परिभाषा के रूप में लेते हैं, यह पहली बार है कि किसी संख्या को एक सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है। बेशक, बर्नौली को अपने काम और लघुगणक पर काम के बीच संबंध समझ में नहीं आया।

यूलर ने बहुत सारे गणितीय संकेतन प्रस्तुत किये
आश्चर्य की बात नहीं, पदनाम भी उन्हीं का है। यह कहना हास्यास्पद लगता है कि उन्होंने इस अक्षर का इस्तेमाल किया क्योंकि यह उनके नाम का पहला अक्षर है। यह शायद इसलिए भी नहीं है क्योंकि यह "घातांक" शब्द से लिया गया है, बल्कि सिर्फ इसलिए कि यह "ए" के बाद अगला स्वर है, और यूलर ने पहले ही अपने काम में "ए" संकेतन का उपयोग किया था। कारण चाहे जो भी हो, यह संकेतन पहली बार 1731 में यूलर द्वारा गोल्डबैक को लिखे एक पत्र में दिखाई देता है। उन्होंने आगे अध्ययन करते हुए कई खोजें कीं, लेकिन 1748 तक नहीं। एनालिसिन इन्फिनिटोरम में परिचयउन्होंने इससे संबंधित सभी विचारों को पूर्ण औचित्य दिया। उन्होंने ऐसा करके दिखाया

यूलर ने किसी संख्या के पहले 18 दशमलव स्थान भी खोजे:

हालाँकि, यह बताए बिना कि उसने उन्हें कैसे प्राप्त किया। ऐसा लगता है जैसे उसने इस मूल्य की गणना स्वयं की हो। वास्तव में, यदि हम श्रृंखला (1) के लगभग 20 पद लेते हैं, तो हमें वह सटीकता मिलती है जो यूलर ने प्राप्त की थी। उनके काम में अन्य दिलचस्प परिणामों में साइन और कोसाइन फ़ंक्शन और जटिल घातीय फ़ंक्शन के बीच संबंध है, जिसे यूलर ने डी मोइवर के सूत्र से प्राप्त किया था।

यह दिलचस्प है कि यूलर ने किसी संख्या के निरंतर भिन्नों में विघटित होने का पता भी लगाया और ऐसे अपघटन के उदाहरण भी दिए। विशेष रूप से, उन्होंने प्राप्त किया
और
यूलर ने इस बात का सबूत नहीं दिया कि ये अंश उसी तरह जारी रहते हैं, लेकिन वह जानता था कि अगर ऐसा कोई सबूत होगा, तो यह अतार्किक साबित होगा। वास्तव में, यदि निरंतर भिन्न उपरोक्त उदाहरण की तरह ही जारी रहता है (हम हर बार जोड़ते हैं), तो यह कभी भी बाधित नहीं होगा, और (और इसलिए) तर्कसंगत नहीं हो सकता है। जाहिर तौर पर यह अतार्किकता सिद्ध करने का पहला प्रयास है।

1854 में शैंक्स काफी बड़ी संख्या में दशमलव स्थानों की गणना करने वाले पहले व्यक्ति थे। ग्लैशर ने दिखाया कि शैंक्स द्वारा गणना किए गए पहले 137 अंक सही थे, लेकिन फिर एक त्रुटि पाई गई। शैंक्स ने इसे ठीक किया और 205 दशमलव स्थान प्राप्त हुए। वास्तव में, आपको इसके बारे में चाहिए
संख्या के 200 सही अंक प्राप्त करने के लिए विस्तार के 120 पद (1)।

1864 में, बेंजामिन पीयर्स एक बोर्ड पर खड़े थे जिस पर लिखा था

अधिकांश लोगों का मानना है कि यूलर ने संख्या की अतार्किकता को सिद्ध किया। हालाँकि, यह 1873 में हर्माइट द्वारा किया गया था। यह प्रश्न अभी भी खुला है कि क्या संख्या बीजगणितीय है। इस दिशा में अंतिम परिणाम यह है कि कम से कम एक संख्या पारलौकिक है।

य (एक्स) = ई एक्स, जिसका व्युत्पन्न स्वयं फ़ंक्शन के बराबर है।

प्रतिपादक को , या के रूप में दर्शाया जाता है।

संख्या ई

घातांक डिग्री का आधार है संख्या ई. यह एक अपरिमेय संख्या है. यह लगभग बराबर है
ई ≈ 2,718281828459045...

संख्या ई अनुक्रम की सीमा के माध्यम से निर्धारित की जाती है। यह तथाकथित है दूसरी अद्भुत सीमा:
.

संख्या ई को एक श्रृंखला के रूप में भी दर्शाया जा सकता है:
.

घातीय ग्राफ

घातीय ग्राफ़, y = e x .

ग्राफ़ घातांक दिखाता है ईएक हद तक एक्स.
य (एक्स) = ई एक्स
ग्राफ से पता चलता है कि घातांक नीरस रूप से बढ़ता है।

सूत्रों

बुनियादी सूत्र डिग्री ई के आधार के साथ घातीय फ़ंक्शन के समान हैं।

;
;
;

एक घातांक के माध्यम से डिग्री के एक मनमाना आधार के साथ एक घातांकीय फलन की अभिव्यक्ति:
.

निजी मूल्य

चलो y (एक्स) = ई एक्स.
.

तब

प्रतिपादक गुण ई > 1 .

घातांक में घातीय आधार के साथ एक घातांकीय फलन के गुण होते हैं

डोमेन, मानों का सेट (एक्स) = ई एक्सप्रतिपादक वाई
सभी x के लिए परिभाषित।
- ∞ < x + ∞ .
इसकी परिभाषा का क्षेत्र:
0 < y < + ∞ .

इसके कई अर्थ हैं:

चरम, बढ़ रहा है, घट रहा है

घातांक एक नीरस रूप से बढ़ने वाला कार्य है, इसलिए इसका कोई चरम नहीं है। इसके मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किये गये हैं।

घातांक का व्युत्क्रम प्राकृतिक लघुगणक है।
;
.

प्रतिपादक की व्युत्पत्ति

यौगिक ईएक हद तक एक्सके बराबर ईएक हद तक एक्स :
.
nवें क्रम का व्युत्पन्न:
.
सूत्र व्युत्पन्न करना > > >

अभिन्न

जटिल संख्याएँ

जटिल संख्याओं के साथ संचालन का उपयोग करके किया जाता है यूलर के सूत्र:
,
काल्पनिक इकाई कहाँ है:
.

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के माध्यम से अभिव्यक्तियाँ

; ;
.

त्रिकोणमितीय फलनों का उपयोग करते हुए व्यंजक

; ;
;
.

शक्ति शृंखला विस्तार

प्रयुक्त साहित्य:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।

भूवैज्ञानिक और खनिज विज्ञान के डॉक्टर, भौतिक और गणितीय विज्ञान के उम्मीदवार बी. गोरोबेट्स।

फ़ंक्शन के ग्राफ़ y = आर्क्सिन x, व्युत्क्रम फ़ंक्शन y = पाप x

फ़ंक्शन y = arctan x का ग्राफ़, फ़ंक्शन y = tan x का व्युत्क्रम।

सामान्य वितरण फलन (गाऊसी वितरण)। इसके ग्राफ का अधिकतम एक यादृच्छिक चर के सबसे संभावित मूल्य से मेल खाता है (उदाहरण के लिए, एक शासक के साथ मापी गई वस्तु की लंबाई), और वक्र के "प्रसार" की डिग्री पैरामीटर ए और सिग्मा पर निर्भर करती है।

प्राचीन बेबीलोन के पुजारियों ने गणना की कि सौर डिस्क सुबह से सूर्यास्त तक 180 बार आकाश में फिट बैठती है और माप की एक नई इकाई पेश की - इसके कोणीय आकार के बराबर एक डिग्री।

DIMENSIONS प्राकृतिक संरचनाएँ- रेत के टीले, पहाड़ियाँ और पहाड़ - हर कदम पर औसतन 3.14 गुना बढ़ते हैं।

विज्ञान और जीवन // चित्रण

पेंडुलम, घर्षण या प्रतिरोध के बिना झूलता हुआ, दोलन का एक निरंतर आयाम बनाए रखता है। प्रतिरोध की उपस्थिति से दोलनों में तेजी से क्षीणन होता है।

एक बहुत चिपचिपे माध्यम में, एक विक्षेपित पेंडुलम तेजी से अपनी संतुलन स्थिति की ओर बढ़ता है।

तराजू देवदारू शंकुऔर कई मोलस्क के गोले के कर्ल लघुगणक सर्पिल में व्यवस्थित होते हैं।

विज्ञान और जीवन // चित्रण

एक लघुगणकीय सर्पिल बिंदु O से निकलने वाली सभी किरणों को समान कोण पर काटता है।

संभवतः, कोई भी आवेदक या छात्र, जब पूछा जाएगा कि संख्याएं और ई क्या हैं, तो उत्तर देगा: - यह परिधि के व्यास के अनुपात के बराबर एक संख्या है, और ई प्राकृतिक लघुगणक का आधार है। यदि इन संख्याओं को अधिक सख्ती से परिभाषित करने और उनकी गणना करने के लिए कहा जाए, तो छात्र सूत्र देंगे:

ई = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! +...2.7183...

(याद रखें कि भाज्य n! =1 एक्स 2एक्स 3एक्स… एक्सएन);

3(1+ 1/3एक्स 2 3 + 1एक्स 3/4एक्स 5एक्स 2 5 + .....) 3,14159…

(न्यूटन की श्रृंखला आखिरी है, अन्य श्रृंखलाएं भी हैं)।

यह सब सच है, लेकिन, जैसा कि आप जानते हैं, अंक और ई गणित, भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान और अर्थशास्त्र में भी कई सूत्रों में शामिल हैं। इसका मतलब है कि वे कुछ को प्रतिबिंबित करते हैं सामान्य कानूनप्रकृति। वास्तव में कौन से? श्रृंखला के माध्यम से इन संख्याओं की परिभाषाएँ, उनकी शुद्धता और कठोरता के बावजूद, अभी भी असंतोष की भावना छोड़ती हैं। वे अमूर्त हैं और रोजमर्रा के अनुभव के माध्यम से बाहरी दुनिया के साथ संख्याओं के संबंध को व्यक्त नहीं करते हैं। शैक्षिक साहित्य में पूछे गए प्रश्न का उत्तर पाना संभव नहीं है।

इस बीच, यह तर्क दिया जा सकता है कि स्थिरांक ई सीधे तौर पर अंतरिक्ष और समय की एकरूपता और अंतरिक्ष की आइसोट्रॉपी से संबंधित है। इस प्रकार, वे संरक्षण के नियमों को प्रतिबिंबित करते हैं: संख्या ई - ऊर्जा और गति (संवेग), और संख्या - टोक़ (संवेग)। आमतौर पर ऐसे अप्रत्याशित बयान आश्चर्य का कारण बनते हैं, हालांकि सैद्धांतिक भौतिकी के दृष्टिकोण से, उनमें कुछ भी नया नहीं है। इन विश्व स्थिरांकों का गहरा अर्थ स्कूली बच्चों, छात्रों और जाहिर तौर पर गणित और सामान्य भौतिकी के अधिकांश शिक्षकों के लिए भी अज्ञात बना हुआ है, प्राकृतिक विज्ञान और अर्थशास्त्र के अन्य क्षेत्रों का तो जिक्र ही नहीं।

विश्वविद्यालय के पहले वर्ष में, छात्र, उदाहरण के लिए, एक प्रश्न से चकित हो सकते हैं: प्रकार 1/(x 2 +1) के कार्यों और आर्कसाइन प्रकार के वृत्ताकार त्रिकोणमितीय कार्यों को एकीकृत करते समय, परिमाण को व्यक्त करते समय आर्कटेंजेंट क्यों दिखाई देता है एक वृत्त के चाप का? दूसरे शब्दों में, एकीकरण के दौरान वृत्त "कहाँ से आते हैं" और फिर व्युत्क्रम क्रिया के दौरान वे कहाँ गायब हो जाते हैं - आर्कटेंजेंट और आर्कसाइन को अलग करते हुए? यह संभावना नहीं है कि विभेदीकरण और एकीकरण के लिए संबंधित सूत्रों की व्युत्पत्ति स्वयं द्वारा उठाए गए प्रश्न का उत्तर देगी।

इसके अलावा, विश्वविद्यालय के दूसरे वर्ष में, संभाव्यता सिद्धांत का अध्ययन करते समय, संख्या सामान्य वितरण के नियम के सूत्र में दिखाई देती है यादृच्छिक चर(देखें "विज्ञान और जीवन" क्रमांक 2, 1995); उदाहरण के लिए, आप इस संभावना की गणना कर सकते हैं कि एक सिक्का कितनी भी बार, मान लीजिए, 100 उछाल के साथ, हथियारों के कोट पर गिरेगा। यहाँ वृत्त कहाँ हैं? क्या सिक्के का आकार वास्तव में मायने रखता है? नहीं, संभाव्यता का सूत्र एक वर्गाकार सिक्के के लिए समान है। दरअसल, ये आसान सवाल नहीं हैं।

लेकिन संख्या ई की प्रकृति रसायन विज्ञान और सामग्री विज्ञान के छात्रों, जीवविज्ञानियों और अर्थशास्त्रियों के लिए अधिक गहराई से जानने के लिए उपयोगी है। इससे उन्हें रेडियोधर्मी तत्वों के क्षय, समाधानों की संतृप्ति, सामग्रियों के टूट-फूट, रोगाणुओं के प्रसार, इंद्रियों पर संकेतों के प्रभाव, पूंजी संचय की प्रक्रियाओं आदि की गतिशीलता को समझने में मदद मिलेगी - अनंत संख्या में घटनाएं जीवित और निर्जीव प्रकृतिऔर मानवीय गतिविधियाँ।

अंतरिक्ष की संख्या और गोलाकार समरूपता

सबसे पहले, हम पहली मुख्य थीसिस तैयार करते हैं, और फिर इसके अर्थ और परिणामों की व्याख्या करते हैं।

1. संख्या हमारे ब्रह्मांड के खाली स्थान के गुणों की आइसोट्रॉपी, किसी भी दिशा में उनकी समानता को दर्शाती है। टॉर्क के संरक्षण का नियम अंतरिक्ष की आइसोट्रॉपी से जुड़ा है।

इससे जाने-माने परिणाम सामने आते हैं जिनका अध्ययन हाई स्कूल में किया जाता है।

परिणाम 1. किसी वृत्त के चाप की वह लंबाई जिसके अनुदिश उसकी त्रिज्या फिट होती है, प्राकृतिक चाप और कोणीय इकाई है कांति.

यह इकाई आयामहीन है. किसी वृत्त के चाप में रेडियन की संख्या ज्ञात करने के लिए, आपको इसकी लंबाई मापनी होगी और इस वृत्त की त्रिज्या की लंबाई से विभाजित करना होगा। जैसा कि हम जानते हैं, किसी के साथ पूर्ण वृत्तइसकी त्रिज्या लगभग 6.28 गुना है। अधिक सटीक रूप से, एक वृत्त के पूर्ण चाप की लंबाई 2 रेडियन है, और किसी भी संख्या प्रणाली और लंबाई की इकाइयों में। जब पहिये का आविष्कार हुआ, तो यह अमेरिका के भारतीयों, एशिया के खानाबदोशों और अफ्रीका के अश्वेतों के बीच एक समान निकला। केवल चाप माप की इकाइयाँ भिन्न और पारंपरिक थीं। इस प्रकार, हमारी कोणीय और चाप डिग्री बेबीलोन के पुजारियों द्वारा पेश की गई थी, जो मानते थे कि सूर्य की डिस्क, लगभग आंचल में स्थित, सुबह से सूर्यास्त तक आकाश में 180 बार फिट होती है। 1 डिग्री 0.0175 रेड है या 1 रेड 57.3° है। यह तर्क दिया जा सकता है कि काल्पनिक विदेशी सभ्यताएँ एक संदेश का आदान-प्रदान करके एक-दूसरे को आसानी से समझ लेंगी जिसमें वृत्त को "पूंछ के साथ" छह भागों में विभाजित किया गया है; इसका मतलब यह होगा कि "बातचीत करने वाला भागीदार" पहले से ही पहिए को फिर से बनाने के चरण को पार कर चुका है और जानता है कि संख्या क्या है।

परिणाम 2.उद्देश्य त्रिकोणमितीय कार्य- वस्तुओं के चाप और रैखिक आयामों के साथ-साथ गोलाकार सममित स्थान में होने वाली प्रक्रियाओं के स्थानिक मापदंडों के बीच संबंध व्यक्त करें।

उपरोक्त से यह स्पष्ट है कि त्रिकोणमितीय कार्यों के तर्क, सिद्धांत रूप में, अन्य प्रकार के कार्यों की तरह, आयामहीन हैं, अर्थात। ये वास्तविक संख्याएँ हैं - संख्या अक्ष पर बिंदु जिन्हें डिग्री अंकन की आवश्यकता नहीं है।

अनुभव से पता चलता है कि स्कूली बच्चों, कॉलेज और विश्वविद्यालय के छात्रों को साइन, स्पर्शरेखा आदि के लिए आयामहीन तर्कों का आदी होने में कठिनाई होती है। प्रत्येक आवेदक कैलकुलेटर के बिना प्रश्न का उत्तर देने में सक्षम नहीं होगा कि क्या cos1 (लगभग 0.5) या आर्कटीजी / 3। अंतिम उदाहरण विशेष रूप से भ्रमित करने वाला है। यह अक्सर कहा जाता है कि यह बकवास है: "एक चाप जिसकी स्पर्शरेखा 60° है।" यदि आप बिल्कुल वैसा ही कहते हैं, तो त्रुटि अनधिकृत उपयोग में होगी डिग्री मापफ़ंक्शन तर्क के लिए. और सही उत्तर है: arctg(3.14/3) arctg1 /4 3/4. दुर्भाग्य से, अक्सर आवेदक और छात्र कहते हैं कि = 180 0, जिसके बाद उन्हें उन्हें सही करना पड़ता है: दशमलव संख्या प्रणाली में = 3.14…। लेकिन, निश्चित रूप से, हम कह सकते हैं कि एक रेडियन 180 0 के बराबर है।

आइए संभाव्यता सिद्धांत में सामने आई एक और गैर-तुच्छ स्थिति की जांच करें। यह एक यादृच्छिक त्रुटि (या) की संभावना के लिए महत्वपूर्ण सूत्र से संबंधित है सामान्य कानूनसंभाव्यता वितरण), जिसमें संख्या शामिल है। उदाहरण के लिए, इस सूत्र का उपयोग करके, आप 100 बार उछालने पर 50 बार सिक्के के कोट पर गिरने की संभावना की गणना कर सकते हैं। तो इसमें नंबर कहां से आया? आख़िर वहां कोई वृत्त या वृत्त दिखाई नहीं देता। लेकिन मुद्दा यह है कि सिक्का एक गोलाकार सममित स्थान में यादृच्छिक रूप से गिरता है, जिसके सभी दिशाओं में यादृच्छिक उतार-चढ़ाव को समान रूप से ध्यान में रखा जाना चाहिए। गणितज्ञ इसे एक वृत्त पर एकीकृत करके और तथाकथित पॉइसन इंटीग्रल की गणना करके करते हैं, जो निर्दिष्ट संभाव्यता सूत्र के बराबर और उसमें शामिल है। इस तरह के उतार-चढ़ाव का एक स्पष्ट उदाहरण निरंतर परिस्थितियों में किसी लक्ष्य पर शूटिंग का उदाहरण है। लक्ष्य पर छेद लक्ष्य के केंद्र के पास उच्चतम घनत्व के साथ एक वृत्त (!) में बिखरे हुए हैं, और हिट की संभावना की गणना संख्या वाले उसी सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है।

क्या संख्या प्राकृतिक संरचनाओं में "शामिल" है?

आइए उन घटनाओं को समझने की कोशिश करें, जिनके कारण स्पष्ट नहीं हैं, लेकिन जो, शायद, संख्या से रहित भी नहीं थे।

घरेलू भूगोलवेत्ता वी.वी. पियोत्रोव्स्की ने औसत विशिष्ट आकारों की तुलना की प्राकृतिक राहतेंअगली पंक्ति में: उथले, टीलों, पहाड़ियों पर रेत की लहरें, पर्वतीय प्रणालियाँकाकेशस, हिमालय, आदि। यह पता चला कि आकार में औसत वृद्धि 3.14 है। ऐसा प्रतीत होता है कि हाल ही में चंद्रमा और मंगल की स्थलाकृति में एक समान पैटर्न खोजा गया है। पियोत्रोव्स्की लिखते हैं: “टेक्टोनिक संरचनात्मक रूपों का निर्माण हुआ भूपर्पटीऔर इसकी सतह पर राहत रूपों के रूप में व्यक्त होते हैं, जो पृथ्वी के शरीर में होने वाली कुछ सामान्य प्रक्रियाओं के परिणामस्वरूप विकसित होते हैं, वे पृथ्वी के आकार के समानुपाती होते हैं।" अधिक सटीक होने के लिए, वे अनुपात के समानुपाती होते हैं इसके रैखिक और चाप आयामों का।

इन परिघटनाओं का आधार यादृच्छिक श्रृंखला के मैक्सिमा के वितरण का तथाकथित कानून या "ट्रिप्लेट्स का कानून" हो सकता है, जिसे 1927 में ई. ई. स्लटस्की द्वारा तैयार किया गया था।

सांख्यिकीय रूप से, थ्रीज़ के नियम के अनुसार, समुद्री तटीय लहरें बनती हैं, जिसे प्राचीन यूनानी जानते थे। हर तीसरी लहर अपने पड़ोसियों की तुलना में औसतन थोड़ी अधिक होती है। और इन तीसरी मैक्सिमा की श्रृंखला में, प्रत्येक तीसरा, बदले में, अपने पड़ोसियों से ऊंचा है।इस प्रकार प्रसिद्ध नौवीं लहर बनती है। वह "दूसरी रैंक अवधि" का शिखर है। कुछ वैज्ञानिकों का सुझाव है कि त्रिक नियम के अनुसार सौर, धूमकेतु और उल्कापिंड गतिविधियों में भी उतार-चढ़ाव होता रहता है। उनकी अधिकतमता के बीच का अंतराल नौ से बारह वर्ष या लगभग 3 2 है। डॉक्टर क्या सोचता है? जैविक विज्ञानजी. रोसेनबर्ग, हम निम्नानुसार समय अनुक्रमों का निर्माण जारी रख सकते हैं। तीसरी रैंक 3 3 की अवधि गंभीर सूखे के बीच के अंतराल से मेल खाती है, जिसका औसत 27-36 वर्ष है; अवधि 3 4 - धर्मनिरपेक्ष चक्र सौर गतिविधि(81-108 वर्ष); अवधि 3 5 - हिमनदी चक्र (243-324 वर्ष)। यदि हम "शुद्ध" त्रिक के नियम से हटकर संख्या की घातों की ओर बढ़ें तो संयोग और भी बेहतर हो जाएंगे। वैसे, उनकी गणना करना बहुत आसान है, क्योंकि 2 लगभग 10 के बराबर है (एक बार भारत में संख्या को 10 के मूल के रूप में भी परिभाषित किया गया था)। आप भूवैज्ञानिक युगों, अवधियों और युगों के चक्रों को तीन की संपूर्ण घातों में समायोजित करना जारी रख सकते हैं (जो कि जी. रोसेनबर्ग करते हैं, विशेष रूप से, संग्रह "यूरेका-88", 1988 में) या संख्या 3.14 में। और आप हमेशा सटीकता की अलग-अलग डिग्री के साथ इच्छाधारी सोच ले सकते हैं। (समायोजन के संबंध में एक गणितीय चुटकुला याद आता है। आइये इसे सिद्ध करते हैं

विषम संख्याएँ

संख्याओं का सार सरल है. हम लेते हैं: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, आदि, और 9 यहाँ एक प्रायोगिक त्रुटि है।) और फिर भी कई भूवैज्ञानिक और जैविक में संख्या पी की स्पष्ट भूमिका का विचार ऐसा लगता है कि घटना पूरी तरह से खाली नहीं है, और शायद यह भविष्य में खुद को दिखाएगी। संख्या ई और समय और स्थान की एकरूपताअब आइए दूसरे महान विश्व स्थिरांक पर चलते हैं - संख्या ई। ऊपर दी गई श्रृंखला का उपयोग करके संख्या ई का गणितीय रूप से निर्दोष निर्धारण, किसी भी तरह से भौतिक या अन्य के साथ इसके संबंध को स्पष्ट नहीं करता है।

हर कोई जानता है कि समय में एक सतत तरंग को साइन तरंग या साइन और कोसाइन तरंगों के योग द्वारा वर्णित किया जा सकता है। गणित, भौतिकी और इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में, ऐसी तरंग (1 के बराबर आयाम के साथ) को घातीय फ़ंक्शन e iβt =cos βt + isin βt द्वारा वर्णित किया जाता है, जहां β हार्मोनिक दोलनों की आवृत्ति है। सबसे प्रसिद्ध गणितीय सूत्रों में से एक यहाँ लिखा गया है - यूलर का सूत्र। यह महान लिओनहार्ड यूलर (1707-1783) के सम्मान में था कि संख्या ई का नाम उनके अंतिम नाम के पहले अक्षर के आधार पर रखा गया था।

यह फार्मूला विद्यार्थियों को अच्छी तरह से पता है, लेकिन इसे गैर-गणितीय स्कूलों के विद्यार्थियों को समझाने की जरूरत है, क्योंकि हमारे समय में सामान्य से स्कूल कार्यक्रमजटिल संख्याओं को बाहर रखा गया है. सम्मिश्र संख्या z = x+iy में दो पद होते हैं - वास्तविक संख्या (x) और काल्पनिक संख्या, जो वास्तविक संख्या y को काल्पनिक इकाई से गुणा किया जाता है। वास्तविक संख्याओं को वास्तविक अक्ष O x के अनुदिश गिना जाता है, और काल्पनिक संख्याओं को काल्पनिक अक्ष O y के अनुदिश समान पैमाने पर गिना जाता है, जिसकी इकाई i है, और इस इकाई खंड की लंबाई मापांक है | मैं | =1. इसीलिए सम्मिश्र संख्यानिर्देशांक (x, y) वाले समतल पर एक बिंदु से मेल खाता है। इसलिए, असामान्य रूपएक संख्या ई जिसमें एक घातांक है जिसमें केवल काल्पनिक इकाइयाँ हैं I का अर्थ है कोसाइन और साइन तरंग द्वारा वर्णित केवल अविभाजित दोलनों की उपस्थिति।

यह स्पष्ट है कि एक अविच्छिन्न तरंग ऊर्जा के संरक्षण के नियम के अनुपालन को प्रदर्शित करती है विद्युत चुम्बकीय तरंगशून्य में. यह स्थिति किसी माध्यम के साथ उसकी ऊर्जा की हानि के बिना तरंग की "लोचदार" अंतःक्रिया के दौरान उत्पन्न होती है। औपचारिक रूप से, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: यदि आप संदर्भ बिंदु को समय अक्ष के साथ ले जाते हैं, तो तरंग की ऊर्जा संरक्षित रहेगी, क्योंकि हार्मोनिक तरंग समान आयाम और आवृत्ति बनाए रखेगी, यानी ऊर्जा इकाइयां, और केवल इसकी चरण बदल जाएगा, नए संदर्भ बिंदु से दूर अवधि का हिस्सा। लेकिन संदर्भ बिंदु स्थानांतरित होने पर समय की एकरूपता के कारण चरण ऊर्जा को सटीक रूप से प्रभावित नहीं करता है। अतः, समय t की एकरूपता के कारण समन्वय प्रणाली का समानांतर स्थानांतरण (इसे अनुवाद कहा जाता है) कानूनी है। अब, यह शायद सैद्धांतिक रूप से स्पष्ट है कि समय में एकरूपता ऊर्जा के संरक्षण के नियम की ओर क्यों ले जाती है।

आगे, आइए समय में नहीं, बल्कि अंतरिक्ष में एक लहर की कल्पना करें। एक स्पष्ट उदाहरणयह एक खड़ी लहर (कई बिंदुओं-नोड्स पर गतिहीन स्ट्रिंग के दोलन) या तटीय रेत की लहरें हो सकती हैं। गणितीय रूप से, O x अक्ष के अनुदिश इस तरंग को e ix = cos x + isin x के रूप में लिखा जाएगा। यह स्पष्ट है कि इस मामले में, x के अनुदिश अनुवाद से कोसाइन या साइनसॉइड नहीं बदलेगा यदि स्थान इस अक्ष के अनुदिश सजातीय है। फिर बदलेगा सिर्फ उनका दौर. सैद्धांतिक भौतिकी से यह ज्ञात होता है कि अंतरिक्ष की एकरूपता संवेग (मोमेंटम) के संरक्षण के नियम की ओर ले जाती है, अर्थात द्रव्यमान को गति से गुणा किया जाता है। मान लीजिए कि अब अंतरिक्ष समय में सजातीय है (और ऊर्जा के संरक्षण का नियम संतुष्ट है), लेकिन समन्वय में अमानवीय है। तब अमानवीय स्थान के विभिन्न बिंदुओं पर गति भी असमान होगी, क्योंकि सजातीय समय की प्रति इकाई होगी विभिन्न अर्थकिसी दिए गए द्रव्यमान (या किसी दिए गए संवेग वाली तरंग) वाले कण द्वारा प्रति सेकंड कवर किए गए खंडों की लंबाई।

तो, हम दूसरी मुख्य थीसिस तैयार कर सकते हैं:

2. एक जटिल चर के फ़ंक्शन के आधार के रूप में संख्या ई संरक्षण के दो बुनियादी नियमों को दर्शाती है: ऊर्जा - समय की एकरूपता के माध्यम से, गति - अंतरिक्ष की एकरूपता के माध्यम से।

और फिर भी, वास्तव में संख्या ई, और कुछ अन्य क्यों नहीं, यूलर के सूत्र में शामिल की गई और तरंग फ़ंक्शन के आधार पर निकली? मर्यादा में रहना स्कूल पाठ्यक्रमगणित और भौतिकी, इस प्रश्न का उत्तर देना आसान नहीं है। लेखक ने इस समस्या पर सिद्धांतकार, भौतिक और गणितीय विज्ञान के डॉक्टर वी.डी. एफ्रोस के साथ चर्चा की और हमने स्थिति को इस प्रकार समझाने की कोशिश की।

प्रक्रियाओं का सबसे महत्वपूर्ण वर्ग - रैखिक और रेखीयकृत प्रक्रियाएं - स्थान और समय की एकरूपता के कारण अपनी रैखिकता को बरकरार रखता है। गणितीय रूप से, एक रैखिक प्रक्रिया को एक फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया जाता है जो एक अंतर समीकरण के समाधान के रूप में कार्य करता है स्थिर गुणांक(इस प्रकार के समीकरणों का अध्ययन विश्वविद्यालयों और महाविद्यालयों के प्रथम और द्वितीय वर्ष में किया जाता है)। और इसका मूल उपरोक्त यूलर सूत्र है। तो समाधान में तरंग समीकरण की तरह, आधार ई के साथ एक जटिल फ़ंक्शन शामिल है। इसके अलावा, यह ई है, न कि डिग्री के आधार में कोई अन्य संख्या! क्योंकि केवल फ़ंक्शन ex किसी भी संख्या में विभेदीकरण और एकीकरण के लिए नहीं बदलता है। और इसलिए, मूल समीकरण में प्रतिस्थापन के बाद, केवल आधार ई वाला समाधान ही एक पहचान देगा, जैसा कि एक सही समाधान होना चाहिए।

आइए अब स्थिर गुणांक वाले विभेदक समीकरण का समाधान लिखें, जो एक माध्यम में एक हार्मोनिक तरंग के प्रसार का वर्णन करता है, इसके साथ बेलोचदार बातचीत को ध्यान में रखते हुए, जिससे ऊर्जा का अपव्यय होता है या बाहरी स्रोतों से ऊर्जा का अधिग्रहण होता है:

f(t) = e (α+ib)t = e αt (cos βt + isin βt)।

हम देखते हैं कि यूलर का सूत्र एक वास्तविक चर e αt से गुणा किया जाता है, जो समय के साथ बदलती तरंग का आयाम है। ऊपर, सरलता के लिए, हमने इसे स्थिर और 1 के बराबर माना है। यह अविभाजित हार्मोनिक दोलनों के मामले में α = 0 के साथ किया जा सकता है। किसी भी तरंग के सामान्य मामले में, आयाम का व्यवहार संकेत पर निर्भर करता है चर t (समय) के साथ गुणांक a का: यदि α > 0, तो दोलनों का आयाम बढ़ जाता है यदि α< 0, затухает по экспоненте.

शायद अंतिम पैराग्राफ कई सामान्य स्कूलों के स्नातकों के लिए कठिन है। हालाँकि, यह विश्वविद्यालयों और कॉलेजों के छात्रों के लिए समझने योग्य होना चाहिए जो निरंतर गुणांक वाले अंतर समीकरणों का गहन अध्ययन करते हैं।

अब β = 0 सेट करते हैं, यानी, हम यूलर के सूत्र वाले समाधान में संख्या i के साथ दोलन कारक को नष्ट कर देंगे। पूर्व दोलनों से, केवल "आयाम" जो तेजी से घटता है (या बढ़ता है) रहेगा।

दोनों मामलों को स्पष्ट करने के लिए, एक पेंडुलम की कल्पना करें। खाली स्थान में यह बिना अवमंदन के दोलन करता है। प्रतिरोधक माध्यम वाले अंतरिक्ष में, आयाम में घातीय क्षय के साथ दोलन होते हैं। यदि आप पर्याप्त रूप से चिपचिपे माध्यम में एक बहुत बड़े पेंडुलम को विक्षेपित नहीं करते हैं, तो यह आसानी से संतुलन की स्थिति की ओर बढ़ जाएगा, और अधिक से अधिक धीमा हो जाएगा।

तो, थीसिस 2 से हम निम्नलिखित परिणाम निकाल सकते हैं:

परिणाम 1.फ़ंक्शन f(t) के किसी काल्पनिक, विशुद्ध रूप से कंपन वाले भाग की अनुपस्थिति में, β = 0 पर (अर्थात, शून्य आवृत्ति पर), वास्तविक भाग घातांक प्रकार्यकई प्राकृतिक प्रक्रियाओं का वर्णन करता है जो मूलभूत सिद्धांत के अनुसार आगे बढ़ती हैं: मूल्य में वृद्धि स्वयं मूल्य के समानुपाती होती है .

सूत्रबद्ध सिद्धांत गणितीय रूप से इस तरह दिखता है: ∆I ~ I∆t, जहां, मान लीजिए, I एक संकेत है, और ∆t एक छोटा समय अंतराल है जिसके दौरान संकेत ∆I बढ़ता है। समानता के दोनों पक्षों को I से विभाजित करने और एकीकृत करने पर, हमें lnI ~ kt प्राप्त होता है। या: I ~ e kt - सिग्नल की घातीय वृद्धि या कमी का नियम (k के चिह्न के आधार पर)। इस प्रकार, मूल्य में मूल्य में वृद्धि की आनुपातिकता का नियम स्वयं की ओर ले जाता है प्राकृतिकऔर इस प्रकार संख्या ई तक (और यहां इसे हाई स्कूल के छात्रों के लिए सुलभ रूप में दिखाया गया है जो एकीकरण के तत्वों को जानते हैं।)

भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीवविज्ञान, पारिस्थितिकी, अर्थशास्त्र इत्यादि में कई प्रक्रियाएं, बिना किसी हिचकिचाहट के वास्तविक तर्क के साथ तेजी से आगे बढ़ती हैं, हम विशेष रूप से वेबर-फ़ेचनर के सार्वभौमिक मनोभौतिक नियम पर ध्यान देते हैं (किसी कारण से इसे अनदेखा कर दिया गया)। शैक्षणिक कार्यक्रमस्कूल और विश्वविद्यालय)। इसमें लिखा है: "संवेदना की शक्ति उत्तेजना की शक्ति के लघुगणक के समानुपाती होती है।"

दृष्टि, श्रवण, गंध, स्पर्श, स्वाद, भावनाएं और स्मृति इस नियम के अधीन हैं (स्वाभाविक रूप से, जब तक कि शारीरिक प्रक्रियाएं अचानक रोगविज्ञान में नहीं बदल जाती हैं, जब रिसेप्टर्स में संशोधन या विनाश हो जाता है)। कानून के अनुसार: 1) किसी भी अंतराल में जलन संकेत में एक छोटी वृद्धि संवेदना की ताकत में एक रैखिक वृद्धि (प्लस या माइनस के साथ) से मेल खाती है; 2) कमजोर जलन संकेतों के क्षेत्र में, संवेदना की शक्ति में वृद्धि मजबूत संकेतों के क्षेत्र की तुलना में बहुत अधिक होती है। आइए एक उदाहरण के रूप में चाय लें: चीनी के दो टुकड़े वाली चाय का एक गिलास चीनी के एक टुकड़े वाली चाय की तुलना में दोगुना मीठा माना जाता है; लेकिन चीनी के 20 टुकड़ों वाली चाय 10 टुकड़ों की तुलना में अधिक मीठी लगने की संभावना नहीं है। जैविक रिसेप्टर्स की गतिशील सीमा बहुत बड़ी है: आंख द्वारा प्राप्त संकेतों की ताकत ~ 10 10 से भिन्न हो सकती है, और कान द्वारा - ~ 10 12 गुना तक। वन्यजीवऐसी श्रेणियों के लिए अनुकूलित। यह आने वाली उत्तेजनाओं का लघुगणक (जैविक सीमा द्वारा) लेकर अपनी रक्षा करता है, अन्यथा रिसेप्टर्स मर जाएंगे। ध्वनि की तीव्रता का व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला लॉगरिदमिक (डेसीबल) पैमाना वेबर-फेचनर कानून पर आधारित है, जिसके अनुसार ऑडियो उपकरणों का वॉल्यूम नियंत्रण संचालित होता है: उनका विस्थापन कथित वॉल्यूम के समानुपाती होता है, लेकिन ध्वनि की तीव्रता के लिए नहीं! (संवेदना lg/ 0 के समानुपाती होती है। श्रव्यता की सीमा p 0 = 10 -12 J/m 2 s मानी जाती है। सीमा पर हमारे पास lg1 = 0 है। ध्वनि की शक्ति (दबाव) में वृद्धि 10 गुना लगभग फुसफुसाहट की अनुभूति से मेल खाता है, जो लघुगणक पैमाने पर दहलीज से 1 बेल ऊपर है। लघुगणक पैमाने पर फुसफुसाहट से चीख तक ध्वनि का प्रवर्धन एक लाख गुना (10 -5 J/m 2 s तक) होता है। परिमाण के 6 क्रम या 6 बेल की वृद्धि है।)

संभवतः, ऐसा सिद्धांत कई जीवों के विकास के लिए सर्वोत्तम रूप से किफायती है। इसे मोलस्क के गोले में लॉगरिदमिक सर्पिल, सूरजमुखी की टोकरी में बीजों की पंक्तियों और शंकु में तराजू के निर्माण में स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है। केंद्र से दूरी नियम r = ae kj के अनुसार बढ़ती है। प्रत्येक क्षण में, विकास दर इस दूरी के लिए रैखिक रूप से आनुपातिक होती है (यदि हम लिखित फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लेते हैं तो यह देखना आसान है)। घूमने वाले चाकू और कटर की प्रोफाइल एक लघुगणकीय सर्पिल में बनाई जाती है।

परिणाम 2.स्थिर गुणांक वाले विभेदक समीकरणों के समाधान में α = 0, β 0 पर फ़ंक्शन के केवल काल्पनिक भाग की उपस्थिति विभिन्न प्रकार की रैखिक और रैखिक प्रक्रियाओं का वर्णन करती है जिसमें अविभाजित हार्मोनिक दोलन होते हैं।

यह परिणाम हमें उस मॉडल पर वापस लाता है जिसकी ऊपर पहले ही चर्चा की जा चुकी है।

परिणाम 3.परिणाम 2 को लागू करते समय, यूलर के ऐतिहासिक सूत्र के माध्यम से संख्याओं और ई के एक एकल सूत्र में उसके मूल रूप ई आई = -1 में "समापन" होता है।

इस रूप में यूलर ने सबसे पहले अपने प्रतिपादक को एक काल्पनिक प्रतिपादक के साथ प्रकाशित किया। बायीं ओर कोज्या और ज्या के माध्यम से इसे व्यक्त करना कठिन नहीं है। फिर इस सूत्र का ज्यामितीय मॉडल निरपेक्ष मान में स्थिर गति के साथ एक वृत्त में गति करेगा, जो दो हार्मोनिक दोलनों का योग है। भौतिक सार के अनुसार, सूत्र और इसका मॉडल अंतरिक्ष-समय के सभी तीन मूलभूत गुणों को दर्शाता है - उनकी एकरूपता और आइसोट्रॉपी, और इस प्रकार सभी तीन संरक्षण कानून।

निष्कर्ष

समय और स्थान की एकरूपता के साथ संरक्षण कानूनों के संबंध के बारे में कथन निस्संदेह शास्त्रीय भौतिकी में यूक्लिडियन अंतरिक्ष के लिए और सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत (जीआर, जहां समय चौथा समन्वय है) में छद्म-यूक्लिडियन मिंकोव्स्की अंतरिक्ष के लिए सही है। लेकिन सामान्य सापेक्षता के ढांचे के भीतर, एक स्वाभाविक प्रश्न उठता है: विशाल गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों के क्षेत्रों में, विलक्षणताओं के पास, विशेष रूप से ब्लैक होल के पास स्थिति क्या है? यहां भौतिकविदों की राय भिन्न है: बहुमत का मानना है कि इनमें संकेतित मौलिक प्रावधान संरक्षित हैं चरम स्थितियाँ. हालाँकि, आधिकारिक शोधकर्ताओं के दृष्टिकोण अन्य भी हैं। दोनों क्वांटम गुरुत्व का एक नया सिद्धांत बनाने पर काम कर रहे हैं।

संक्षेप में कल्पना करने के लिए कि यहां क्या समस्याएं उत्पन्न होती हैं, आइए हम सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी शिक्षाविद ए.ए. लोगुनोव के शब्दों को उद्धृत करें: "यह (मिन्कोव्स्की स्पेस। - ऑटो.) पदार्थ के सभी रूपों में सामान्य गुणों को दर्शाता है। यह एकीकृत के अस्तित्व को सुनिश्चित करता है भौतिक विशेषताएं- ऊर्जा, संवेग, कोणीय संवेग, ऊर्जा संरक्षण के नियम, संवेग। लेकिन आइंस्टीन ने तर्क दिया कि यह केवल एक ही स्थिति में संभव है - गुरुत्वाकर्षण की अनुपस्थिति में<...>. आइंस्टीन के इस कथन से यह पता चला कि अंतरिक्ष-समय छद्म-यूक्लिडियन नहीं है, बल्कि इसकी ज्यामिति में बहुत अधिक जटिल है - रीमैनियन। उत्तरार्द्ध अब सजातीय नहीं है. यह बिंदु दर बिंदु बदलता रहता है। अंतरिक्ष वक्रता का गुण प्रकट होता है। संरक्षण कानूनों का सटीक सूत्रीकरण, जैसा कि उन्हें शास्त्रीय भौतिकी में स्वीकार किया गया था, भी इसमें गायब हो जाता है।<...>कड़ाई से कहें तो, सामान्य सापेक्षता में, सिद्धांत रूप में, ऊर्जा-गति के संरक्षण के नियमों को पेश करना असंभव है; उन्हें तैयार नहीं किया जा सकता है" (देखें "विज्ञान और जीवन" संख्या 2, 3, 1987)।

हमारी दुनिया के मूलभूत स्थिरांक, जिसकी प्रकृति के बारे में हमने बात की है, न केवल भौतिक विज्ञानी, बल्कि गीतकार भी जानते हैं। इस प्रकार, 3.14159265358979323846 के बराबर अपरिमेय संख्या... ने बीसवीं सदी के उत्कृष्ट पोलिश कवि, पुरस्कार विजेता को प्रेरित किया नोबेल पुरस्कार 1996 में "पाई" कविता की रचना के लिए विस्लॉ सिम्बोर्स्का को एक उद्धरण के साथ, जिसके साथ हम इन नोट्स को समाप्त करेंगे:

प्रशंसा के योग्य एक संख्या:
तीन अल्पविराम एक चार एक.
हर अंक एक एहसास देता है
प्रारंभ - पाँच नौ दो,
क्योंकि आप कभी भी अंत तक नहीं पहुंचेंगे।
आप सभी संख्याओं को एक नज़र में नहीं समझ सकते -
छह पांच तीन पांच.
अंकगणितीय संक्रियाएँ -
आठ नौ -
अब यह पर्याप्त नहीं है, और इस पर विश्वास करना कठिन है -
सात नौ -
कि आप इससे बच नहीं सकते - तीन दो तीन
आठ -
न ही कोई समीकरण जो अस्तित्व में नहीं है,
कोई मज़ाक वाली तुलना नहीं -
आप उन्हें गिन नहीं सकते.
चलिए आगे बढ़ते हैं: चार छह...
(पोलिश से अनुवाद - बी.जी.)