दशमलव लघुगणक 1 2. लघुगणक

निर्देश

दिए गए को लिखिए लघुगणकीय अभिव्यक्ति. यदि अभिव्यक्ति 10 के लघुगणक का उपयोग करती है, तो इसका अंकन छोटा हो जाता है और इस तरह दिखता है: एलजी बी दशमलव लघुगणक है। यदि लघुगणक का आधार संख्या e है, तो अभिव्यक्ति लिखें: ln b - प्राकृतिक लघुगणक। यह समझा जाता है कि किसी का परिणाम वह शक्ति है जिस तक संख्या बी प्राप्त करने के लिए आधार संख्या को बढ़ाया जाना चाहिए।

दो कार्यों का योग ज्ञात करते समय, आपको बस उन्हें एक-एक करके अलग करना होगा और परिणाम जोड़ना होगा: (u+v)" = u"+v";

दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न ज्ञात करते समय, पहले फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को दूसरे से गुणा करना और दूसरे फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को पहले फ़ंक्शन से गुणा करके जोड़ना आवश्यक है: (u*v)" = u"*v +v"*u;

दो कार्यों के भागफल के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, भाजक फ़ंक्शन द्वारा गुणा किए गए लाभांश के व्युत्पन्न के उत्पाद से लाभांश के फ़ंक्शन द्वारा गुणा किए गए भाजक के व्युत्पन्न के उत्पाद को घटाना और विभाजित करना आवश्यक है यह सब विभाजक फलन द्वारा वर्गित किया जाता है। (यू/वी)" = (यू"*वी-वी"*यू)/वी^2;

अगर दिया जाए जटिल कार्य, तो इसके अवकलज को गुणा करना आवश्यक है आंतरिक कार्यऔर बाहरी का व्युत्पन्न। मान लीजिए y=u(v(x)), तो y"(x)=y"(u)*v"(x).

ऊपर प्राप्त परिणामों का उपयोग करके, आप लगभग किसी भी फ़ंक्शन को अलग कर सकते हैं। तो आइए कुछ उदाहरण देखें:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *एक्स));
एक बिंदु पर व्युत्पन्न की गणना करने में भी समस्याएं हैं। मान लीजिए कि फ़ंक्शन y=e^(x^2+6x+5) दिया गया है, आपको बिंदु x=1 पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करना होगा।
1) फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) फ़ंक्शन के मान की गणना करें दिया गया बिंदु y"(1)=8*e^0=8

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उपयोगी सलाह

प्राथमिक व्युत्पन्नों की तालिका जानें. इससे समय की काफी बचत होगी.

स्रोत:

• एक स्थिरांक का व्युत्पन्न

तो, एक अपरिमेय समीकरण और एक तर्कसंगत समीकरण के बीच क्या अंतर है? यदि अज्ञात चर चिह्न के नीचे है वर्गमूल, तो समीकरण अपरिमेय माना जाता है।

निर्देश

ऐसे समीकरणों को हल करने की मुख्य विधि दोनों पक्षों के निर्माण की विधि है समीकरणएक वर्ग में. तथापि। यह स्वाभाविक है, सबसे पहली चीज़ जो आपको करने की ज़रूरत है वह है संकेत से छुटकारा पाना। यह तरीका तकनीकी रूप से कठिन नहीं है, लेकिन कभी-कभी परेशानी का कारण बन सकता है। उदाहरण के लिए, समीकरण v(2x-5)=v(4x-7) है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर आपको 2x-5=4x-7 प्राप्त होता है। ऐसे समीकरण को हल करना कठिन नहीं है; एक्स=1. लेकिन नंबर 1 नहीं दिया जाएगा समीकरण. क्यों? समीकरण में x के मान के स्थान पर एक रखें और दाएँ और बाएँ पक्षों में ऐसे भाव होंगे जिनका कोई मतलब नहीं है। यह मान वर्गमूल के लिए मान्य नहीं है. इसलिए, 1 एक बाह्य मूल है, और इसलिए इस समीकरण का कोई मूल नहीं है।

तो, एक अपरिमेय समीकरण को उसके दोनों पक्षों का वर्ग करने की विधि का उपयोग करके हल किया जाता है। और समीकरण को हल करने के बाद, बाहरी जड़ों को काटना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, पाए गए मूलों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें।

दूसरे पर विचार करें.
2х+vх-3=0
निःसंदेह, इस समीकरण को पिछले समीकरण के समान समीकरण का उपयोग करके हल किया जा सकता है। यौगिकों को स्थानांतरित करें समीकरण, जिसका वर्गमूल नहीं है, दाईं ओर रखें और फिर वर्ग विधि का उपयोग करें। परिणामी तर्कसंगत समीकरण और जड़ों को हल करें। लेकिन एक और, अधिक सुंदर भी। एक नया चर दर्ज करें; vх=y. तदनुसार, आपको 2y2+y-3=0 के रूप का एक समीकरण प्राप्त होगा। यानी सामान्य द्विघात समीकरण. इसकी जड़ें खोजें; y1=1 और y2=-3/2. अगला, दो को हल करें समीकरण vх=1; vх=-3/2. दूसरे समीकरण का कोई मूल नहीं है; पहले से हमें पता चलता है कि x=1. जड़ों की जांच करना न भूलें.

पहचान को हल करना काफी सरल है। ऐसा करने के लिए, निर्धारित लक्ष्य प्राप्त होने तक समान परिवर्तन करना आवश्यक है। इस प्रकार, सबसे सरल की मदद से अंकगणितीय परिचालनहाथ में आया कार्य हल हो जाएगा.

आपको चाहिये होगा

• - कागज़;
• - कलम।

निर्देश

ऐसे परिवर्तनों में सबसे सरल बीजगणितीय संक्षिप्त गुणन हैं (जैसे कि योग का वर्ग (अंतर), वर्गों का अंतर, योग (अंतर), योग का घन (अंतर))। इसके अलावा, कई और भी हैं त्रिकोणमितीय सूत्र, जो मूलतः एक ही पहचान हैं।

दरअसल, दो पदों के योग का वर्ग पहले के वर्ग के बराबर होता है जिसमें पहले और दूसरे के गुणनफल का दोगुना और दूसरे के वर्ग का योग होता है, यानी (a+b)^2= (a+ बी)(ए+बी)=ए^2+एबी +बीए+बी ^2=ए^2+2एबी+बी^2।

दोनों को सरल कीजिये

समाधान के सामान्य सिद्धांत

पाठ्यपुस्तक के अनुसार दोहराएँ गणितीय विश्लेषणया उच्च गणित, एक निश्चित अभिन्न अंग क्या है। जैसा कि ज्ञात है, समाधान निश्चित अभिन्नएक फ़ंक्शन है जिसका व्युत्पन्न एक इंटीग्रैंड देता है। इस फ़ंक्शन को एंटीडेरिवेटिव कहा जाता है। इस सिद्धांत के आधार पर, मुख्य अभिन्न अंग का निर्माण किया जाता है।
इंटीग्रैंड के प्रकार से निर्धारित करें कि इस मामले में कौन सा टेबल इंटीग्रल उपयुक्त है। इसे तुरंत निर्धारित करना हमेशा संभव नहीं होता है। अक्सर, इंटीग्रैंड को सरल बनाने के लिए कई परिवर्तनों के बाद ही सारणीबद्ध रूप ध्यान देने योग्य हो जाता है।

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि

यदि इंटीग्रैंड फ़ंक्शन है त्रिकोणमितीय फलन, जिसके तर्क में कुछ बहुपद शामिल हैं, तो चर प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, इंटीग्रैंड के तर्क में बहुपद को कुछ नए चर से बदलें। नए और पुराने चरों के बीच संबंधों के आधार पर एकीकरण की नई सीमाएँ निर्धारित करें। इस अभिव्यक्ति को अलग करके, नया अंतर खोजें। तो तुम्हें मिलेगा नया रूपपिछले अभिन्न का, किसी सारणीबद्ध के करीब या उसके अनुरूप भी।

दूसरे प्रकार के अभिन्नों को हल करना

यदि इंटीग्रल दूसरे प्रकार का इंटीग्रल है, इंटीग्रैंड का एक वेक्टर रूप है, तो आपको इन इंटीग्रल्स से स्केलर में संक्रमण के लिए नियमों का उपयोग करने की आवश्यकता होगी। ऐसा ही एक नियम है ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस संबंध। यह कानून हमें एक निश्चित वेक्टर फ़ंक्शन के रोटर फ्लक्स से किसी दिए गए वेक्टर फ़ील्ड के विचलन पर ट्रिपल इंटीग्रल तक जाने की अनुमति देता है।

एकीकरण सीमाओं का प्रतिस्थापन

प्रतिअवकलज ज्ञात करने के बाद समाकलन की सीमाएँ प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। सबसे पहले, ऊपरी सीमा के मान को प्रतिअवकलन के व्यंजक में प्रतिस्थापित करें। आपको कुछ नंबर मिलेंगे. इसके बाद, परिणामी संख्या से निचली सीमा से प्राप्त अन्य संख्या को प्रतिअवकलन में घटाएं। यदि एकीकरण की सीमाओं में से एक अनंत है, तो इसे प्रतिस्थापित करते समय प्रतिव्युत्पन्न कार्यसीमा तक जाना और यह पता लगाना आवश्यक है कि अभिव्यक्ति किस लिए प्रयास करती है।
यदि अभिन्न द्वि-आयामी या त्रि-आयामी है, तो आपको अभिन्न का मूल्यांकन करने के तरीके को समझने के लिए ज्यामितीय रूप से एकीकरण की सीमाओं का प्रतिनिधित्व करना होगा। दरअसल, त्रि-आयामी अभिन्न के मामले में, एकीकरण की सीमाएं संपूर्ण विमान हो सकती हैं जो एकीकृत होने की मात्रा को सीमित करती हैं।

किसी दी गई संख्या की घात सदियों पहले गढ़ा गया एक गणितीय शब्द है। ज्यामिति और बीजगणित में दो विकल्प होते हैं - दशमलव और प्राकृतिक लघुगणक. उनकी गणना विभिन्न सूत्रों द्वारा की जाती है, जबकि वर्तनी में भिन्न समीकरण हमेशा एक दूसरे के बराबर होते हैं। यह पहचान उन गुणों की विशेषता बताती है जो फ़ंक्शन की उपयोगी क्षमता से संबंधित हैं।

विशेषताएं और महत्वपूर्ण संकेत

पर इस समयदस ज्ञात गणितीय गुणों को अलग करें। उनमें से सबसे आम और लोकप्रिय हैं:

• मूल के परिमाण से विभाजित रेडिकल लॉग हमेशा दशमलव लघुगणक √ के समान होता है।
• उत्पाद लॉग हमेशा निर्माता के योग के बराबर होता है।
• Lg = शक्ति का परिमाण उस संख्या से गुणा किया गया जो इसे बढ़ाती है।
• यदि आप लाभांश के लघुगणक से भाजक को घटाते हैं, तो आपको भागफल का लघुगणक प्राप्त होता है।

इसके अलावा, मुख्य पहचान (कुंजी मानी जाती है), अद्यतन आधार पर संक्रमण और कई छोटे सूत्रों पर आधारित एक समीकरण है।

दशमलव लघुगणक की गणना करना एक काफी विशिष्ट कार्य है, इसलिए किसी समाधान में गुणों को एकीकृत करने के लिए सावधानी से काम करना चाहिए और नियमित रूप से अपने कार्यों और निरंतरता की जांच करनी चाहिए। हमें उन तालिकाओं के बारे में नहीं भूलना चाहिए, जिनका लगातार अवलोकन किया जाना चाहिए, और केवल वहां पाए गए डेटा द्वारा निर्देशित होना चाहिए।

गणितीय शब्दों की विविधताएँ

गणितीय संख्या के मुख्य अंतर आधार (ए) में "छिपे हुए" हैं। यदि इसका घातांक 10 है, तो यह लघुगणक दशमलव है। विपरीत स्थिति में, "ए" "वाई" में बदल जाता है और इसमें पारलौकिक और तर्कहीन विशेषताएं होती हैं। यह भी ध्यान देने योग्य है कि प्राकृतिक मूल्य की गणना एक विशेष समीकरण द्वारा की जाती है, जहां प्रमाण बाहर अध्ययन किया गया सिद्धांत है स्कूल के पाठ्यक्रमवरिष्ठ वर्ग.

दशमलव लघुगणक प्राप्त होते हैं व्यापक अनुप्रयोगजटिल सूत्रों की गणना करते समय. गणना को सुविधाजनक बनाने और समस्या को हल करने की प्रक्रिया को स्पष्ट रूप से दिखाने के लिए संपूर्ण तालिकाएँ संकलित की गई हैं। इस मामले में, सीधे मुद्दे पर जाने से पहले, आपको प्रत्येक स्टोर में इसके अलावा लॉग इन करना होगा स्कूल का सामानआप मुद्रित पैमाने के साथ एक विशेष रूलर पा सकते हैं जो किसी भी जटिलता के समीकरण को हल करने में आपकी सहायता करता है।

दशमलव लघुगणकउस शोधकर्ता के सम्मान में संख्या को ब्रिग्स संख्या या यूलर संख्या कहा जाता है, जिसने सबसे पहले मूल्य प्रकाशित किया और दो परिभाषाओं के बीच अंतर की खोज की।

दो प्रकार के सूत्र

उत्तर की गणना के लिए सभी प्रकार और किस्मों की समस्याओं, शर्त में टर्म लॉग होने पर, एक अलग नाम और एक सख्त गणितीय संरचना होती है। घातीय समीकरणव्यावहारिक रूप से है एक सटीक प्रतियदि समाधान की शुद्धता के परिप्रेक्ष्य से देखा जाए तो लघुगणकीय गणनाएँ। यह सिर्फ इतना है कि पहले विकल्प में एक विशेष संख्या शामिल है जो आपको स्थिति को तुरंत समझने में मदद करती है, और दूसरा लॉग को सामान्य शक्ति से बदल देता है। इस मामले में, अंतिम सूत्र का उपयोग करके गणना में एक चर मान शामिल होना चाहिए।

अंतर एवं शब्दावली

दोनों मुख्य संकेतकों की अपनी-अपनी विशेषताएं हैं जो संख्याओं को एक दूसरे से अलग करती हैं:

• दशमलव लघुगणक. संख्या का एक महत्वपूर्ण विवरण आधार की अनिवार्य उपस्थिति है। मान का मानक संस्करण 10 है। इसे अनुक्रम से चिह्नित किया गया है - लॉग x या लॉग x।
• प्राकृतिक। यदि इसका आधार चिह्न "ई" है, जो कड़ाई से गणना किए गए समीकरण के समान एक स्थिरांक है, जहां एन तेजी से अनंत की ओर बढ़ रहा है, तो डिजिटल समकक्ष में संख्या का अनुमानित आकार 2.72 है। आधिकारिक अंकन, जिसे स्कूल और अधिक जटिल व्यावसायिक फ़ार्मुलों दोनों में अपनाया जाता है, एलएन एक्स है।
• अलग। बुनियादी लघुगणक के अलावा, हेक्साडेसिमल और बाइनरी प्रकार (क्रमशः आधार 16 और 2) हैं। 64 के आधार संकेतक के साथ एक और भी अधिक जटिल विकल्प है, जो एक व्यवस्थित अनुकूली प्रकार के नियंत्रण के अंतर्गत आता है जो ज्यामितीय सटीकता के साथ अंतिम परिणाम की गणना करता है।

शब्दावली में बीजगणितीय समस्या में शामिल निम्नलिखित मात्राएँ शामिल हैं:

• अर्थ;
• तर्क;
• आधार।

लॉग संख्या की गणना

समाधान के अनिवार्य सही परिणाम के साथ, रुचि के परिणाम को खोजने के लिए सभी आवश्यक गणनाओं को त्वरित और मौखिक रूप से करने के तीन तरीके हैं। प्रारंभ में, हम दशमलव लघुगणक को उसके क्रम (किसी संख्या का घात के लिए वैज्ञानिक संकेतन) के करीब लाते हैं। प्रत्येक सकारात्मक मान को एक समीकरण द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है, जहां यह मंटिसा (1 से 9 तक की संख्या) को दस से गुणा करने के बराबर है नौवीं डिग्री. यह गणना विकल्प दो गणितीय तथ्यों पर आधारित है:

• उत्पाद और योग लॉग में हमेशा एक ही घातांक होता है;
• एक से दस तक की संख्या से लिया गया लघुगणक 1 अंक के मान से अधिक नहीं हो सकता।

1. यदि गणना में कोई त्रुटि हो भी जाए तो घटाने की दिशा में वह एक से कम नहीं होती।
2. सटीकता बढ़ जाती है यदि आप मानते हैं कि आधार तीन के साथ एलजी का अंतिम परिणाम एक के पांच दसवें हिस्से का होता है। इसलिए, 3 से अधिक कोई भी गणितीय मान स्वचालित रूप से उत्तर में एक अंक जोड़ देता है।
3. यदि आपके पास एक विशेष तालिका है जिसका उपयोग आपकी मूल्यांकन गतिविधियों में आसानी से किया जा सकता है, तो लगभग पूर्ण सटीकता प्राप्त हो जाती है। इसकी मदद से आप पता लगा सकते हैं कि दशमलव लघुगणक मूल संख्या के एक प्रतिशत के दसवें हिस्से के बराबर क्या है।

वास्तविक लॉग का इतिहास

सोलहवीं सदी में उस समय के विज्ञान की तुलना में अधिक जटिल कलन की सख्त जरूरत थी। यह विशेष रूप से भिन्न सहित बहु-अंकीय संख्याओं को बड़ी स्थिरता के साथ विभाजित करने और गुणा करने के लिए सच था।

युग के उत्तरार्ध के अंत में, कई लोग तुरंत एक तालिका का उपयोग करके संख्याओं को जोड़ने के निष्कर्ष पर पहुंचे, जिसमें दो और एक ज्यामितीय की तुलना की गई थी। इस मामले में, सभी बुनियादी गणनाओं को अंतिम मान पर निर्भर रहना पड़ा। वैज्ञानिकों ने इसी प्रकार घटाव को भी एकीकृत कर लिया है।

एलजी का पहला उल्लेख 1614 में हुआ था। यह कार्य नेपियर नामक एक शौकिया गणितज्ञ ने किया था। यह ध्यान देने योग्य है कि, प्राप्त परिणामों के अत्यधिक लोकप्रिय होने के बावजूद, बाद में सामने आई कुछ परिभाषाओं की अज्ञानता के कारण सूत्र में एक त्रुटि हुई थी। इसकी शुरुआत सूचक के छठे अंक से हुई. बर्नौली बंधु लघुगणक को समझने के सबसे करीब थे, और पहली बार वैधीकरण अठारहवीं शताब्दी में यूलर द्वारा हुआ था। उन्होंने इस कार्य को शिक्षा के क्षेत्र में भी बढ़ाया।

जटिल लॉग का इतिहास

एलजी को आम जनता में एकीकृत करने का पहला प्रयास 18वीं शताब्दी की शुरुआत में बर्नौली और लीबनिज द्वारा किया गया था। लेकिन वे कभी भी व्यापक सैद्धांतिक गणनाएँ तैयार करने में सक्षम नहीं थे। इसको लेकर पूरी चर्चा हुई, लेकिन सटीक परिभाषानंबर असाइन नहीं किया गया था. बाद में बातचीत फिर से शुरू हुई, लेकिन यूलर और डी'अलेम्बर्ट के बीच।

उत्तरार्द्ध सैद्धांतिक रूप से मूल्य के संस्थापक द्वारा प्रस्तावित कई तथ्यों से सहमत था, लेकिन उसका मानना ​​था कि सकारात्मक और नकारात्मक संकेतक बराबर होने चाहिए। सदी के मध्य में सूत्र को अंतिम संस्करण के रूप में प्रदर्शित किया गया था। इसके अलावा, यूलर ने दशमलव लघुगणक का व्युत्पन्न प्रकाशित किया और पहला ग्राफ़ संकलित किया।

टेबल

संख्याओं के गुणों से संकेत मिलता है कि बहु-अंकीय संख्याओं को गुणा नहीं किया जा सकता है, लेकिन विशेष तालिकाओं का उपयोग करके उनका लॉग पाया और जोड़ा जा सकता है।

यह सूचक खगोलविदों के लिए विशेष रूप से मूल्यवान हो गया है जो अनुक्रमों के बड़े सेट के साथ काम करने के लिए मजबूर हैं। में सोवियत काल 1921 में प्रकाशित ब्रैडिस के संग्रह में दशमलव लघुगणक की खोज की गई थी। बाद में, 1971 में, वेगा संस्करण सामने आया।

धारा XIII.

लघुगणक और उनके अनुप्रयोग।

§ 2. दशमलव लघुगणक.

संख्या 1 का दशमलव लघुगणक 0 है। 10 की सकारात्मक शक्तियों का दशमलव लघुगणक, अर्थात। संख्याएँ 10, 100, 1000,.... अनिवार्य रूप से, सकारात्मक संख्याएँ 1, 2, 3,...., इसलिए सामान्य तौर पर शून्य के साथ एक संख्या द्वारा निरूपित संख्या का लघुगणक, संख्या के बराबरशून्य. 10 की नकारात्मक शक्तियों के दशमलव लघुगणक, अर्थात्। भिन्न 0.1, 0.01, 0.001,... ऋणात्मक संख्याएँ हैं -1, -2, -3..., इसलिए सामान्यतः एक लघुगणक दशमलवएक के अंश के साथ हर के शून्य की ऋणात्मक संख्या के बराबर है।

अन्य सभी तुलनीय संख्याओं के लघुगणक असंगत हैं। ऐसे लघुगणक की गणना लगभग, आमतौर पर एक लाखवें हिस्से की सटीकता के साथ की जाती है, और इसलिए इन्हें पांच अंकों के दशमलव अंशों में व्यक्त किया जाता है; उदाहरण के लिए, लॉग 3 = 0.47712।

दशमलव लघुगणक के सिद्धांत को प्रस्तुत करते समय, सभी संख्याओं को उनकी इकाइयों और अंशों की दशमलव प्रणाली के अनुसार संकलित माना जाता है, और सभी लघुगणक को पूर्णांक वृद्धि या कमी के साथ 0 पूर्णांक वाले दशमलव अंश के माध्यम से व्यक्त किया जाता है। लघुगणक के भिन्नात्मक भाग को इसका मंटिसा कहा जाता है, और संपूर्ण वृद्धि या कमी को इसका कहा जाता है विशेषता.एक से बड़ी संख्याओं के लघुगणक हमेशा सकारात्मक होते हैं और इसलिए उनकी एक सकारात्मक विशेषता होती है; एक से कम संख्याओं के लघुगणक हमेशा नकारात्मक होते हैं, लेकिन उन्हें इस तरह से दर्शाया जाता है कि उनका मंटिसा सकारात्मक हो जाता है, और एक विशेषता नकारात्मक होती है: उदाहरण के लिए, लॉग 500 = 0.69897 + 2 या छोटा 2.69897, और लॉग 0.05 = 0, 69897-2, जिसे संक्षिप्तता के लिए 2.69897 के रूप में दर्शाया गया है, विशेषता को पूर्णांक के स्थान पर रखा गया है, लेकिन इसके ऊपर एक चिह्न के साथ। इस प्रकार, एक से बड़ी संख्या का लघुगणक एक सकारात्मक पूर्णांक और एक सकारात्मक अंश के अंकगणितीय योग का प्रतिनिधित्व करता है, और एक से कम संख्या का लघुगणक एक सकारात्मक अंश के साथ एक नकारात्मक पूर्णांक के बीजगणितीय योग का प्रतिनिधित्व करता है।

किसी भी नकारात्मक लघुगणक को संकेतित कृत्रिम रूप में घटाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, हमारे पास लॉग 3/5 = लॉग 3 - लॉग 5 = 0.47712-0.69897 = -0.22185 है। इस वास्तविक लघुगणक को कृत्रिम रूप में बदलने के लिए हम इसमें 1 जोड़ते हैं और बीजीय जोड़ के बाद सुधार के लिए एक का घटाव दर्शाते हैं।

हमें लॉग 3/5 = लॉग 0.6 = (1-0.22185)-1 = 0.77815-1 मिलता है। यह पता चला है कि मंटिसा 0.77815 वही है जो इस संख्या के अंश 6 से मेल खाता है, जिसे अंश 0.6 के रूप में दशमलव प्रणाली में दर्शाया गया है।

दशमलव लघुगणक के संकेतित प्रतिनिधित्व में, उनके मंटिसा और विशेषताओं में दशमलव प्रणाली में उनके अनुरूप संख्याओं के पदनाम के संबंध में महत्वपूर्ण गुण होते हैं। इन गुणों को समझाने के लिए, हम निम्नलिखित पर ध्यान देते हैं। आइए हम संख्या के मुख्य प्रकार के रूप में 1 और 10 के बीच मौजूद कुछ मनमानी संख्या लें और इसे दशमलव प्रणाली में व्यक्त करके इस रूप में प्रस्तुत करें ए, बी, सी, डी, ई, एफ ...., कहाँ ए वहाँ में से एक है महत्वपूर्ण लोग 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, और दशमलव स्थान, बी, सी, डी, ई, एफ ....... कोई भी संख्या है, जिसके बीच शून्य हो सकता है। इस तथ्य के कारण कि ली गई संख्या 1 और 10 के बीच समाहित है, इसका लघुगणक 0 और 1 के बीच समाहित है और इसलिए इस लघुगणक में बिना किसी विशेषता के या विशेषता 0 के साथ एक मंटिसा होता है। आइए इस लघुगणक को इस रूप में निरूपित करें 0 ,α β γ δ ε ...., कहाँ α, β ,γ ,δ, ε कुछ संख्याओं का सार. आइए अब इस संख्या को एक ओर संख्या 10, 100, 1000,... से गुणा करें और दूसरी ओर संख्या 0.1, 0.01, 0.001,... से गुणा करें और उत्पाद के लघुगणक पर प्रमेय लागू करें। और भागफल. फिर हमें एक से बड़ी संख्याओं की एक श्रृंखला और एक से छोटी संख्याओं की एक श्रृंखला उनके लघुगणक के साथ मिलती है:

एलजी ए ,बीसीडीई एफ ....= 0 ,α β γ δ ε ....

एलजी एबी,सीडीई एफ ....= 1 ,α β γ δ ε ....एल.जी 0,एबीसीडीई एफ ....= 1 ,α β γ δ ε ....

एलजी एबीसी,डी एफ ....= 2 ,α β γ δ ε ....एल.जी 0.0एबीसीडीई एफ ....= 2 ,α β γ δ ε ....

एलजी एबीसीडी,ई एफ ....= 3 ,α β γ δ ε ....एल.जी 0.00abcde एफ ....= 3 ,α β γ δ ε ....

इन समानताओं पर विचार करते समय, मंटिसा के निम्नलिखित गुण और विशेषताएं सामने आती हैं:

मंटिसा संपत्ति.मंटिसा संख्या के गैपिंग अंकों के स्थान और प्रकार पर निर्भर करता है, लेकिन इस संख्या के पदनाम में अल्पविराम के स्थान पर बिल्कुल भी निर्भर नहीं करता है। दशमलव अनुपात वाले संख्याओं के लघुगणक के मंटिसा, यानी। जिनका गुणक अनुपात किसी धनात्मक या के बराबर है नकारात्मक डिग्रीदस समान हैं.

विशेषता संपत्ति.विशेषता किसी संख्या की उच्चतम इकाइयों या दशमलव अंशों की रैंक पर निर्भर करती है, लेकिन इस संख्या के पदनाम में अंकों के प्रकार पर बिल्कुल भी निर्भर नहीं होती है।

यदि हम संख्याओं को नाम दें ए ,बीसीडीई एफ ...., एबी,सीडीई एफ ...., एबीसी,डी एफ .... सकारात्मक अंकों की संख्या - पहला, दूसरा, तीसरा, आदि, संख्या का अंक 0,एबीसीडीई एफ .... हम शून्य और संख्याओं के अंकों पर विचार करेंगे 0.0एबीसीडीई एफ ...., 0.00abcde एफ ...., 0.000abcde एफ .... यदि हम ऋणात्मक संख्याओं में ऋण एक, ऋण दो, ऋण तीन आदि को व्यक्त करें तो हम सामान्यतः कह सकते हैं कि किसी के लघुगणक की विशेषता दशमलव संख्याप्रति यूनिट कम संख्या, रैंक का संकेत

101. यह जानते हुए कि लघुगणक 2 =0.30103, संख्याओं 20.2000, 0.2 और 0.00002 के लघुगणक ज्ञात कीजिए।

101. यह जानते हुए कि लघुगणक 3=0.47712, संख्याओं 300, 3000, 0.03 और 0.0003 के लघुगणक ज्ञात कीजिए।

102. यह जानते हुए कि लघुगणक 5 = 0.69897, संख्याओं 2.5, 500, 0.25 और 0.005 के लघुगणक ज्ञात कीजिए।

102. यह जानते हुए कि लघुगणक 7 = 0.84510, संख्याओं 0.7, 4.9, 0.049 और 0.0007 के लघुगणक ज्ञात कीजिए।

103. लघुगणक 3=0.47712 और लघुगणक 7=0.84510 को जानकर, संख्याओं 210, 0.021, 3/7, 7/9 और 3/49 के लघुगणक ज्ञात कीजिए।

103. लघुगणक 2=0.30103 और लघुगणक 7=0.84510 जानकर, संख्याओं 140, 0.14, 2/7, 7/8 और 2/49 के लघुगणक ज्ञात कीजिए।

104. लॉग 3 = 0.47712 और लॉग 5 = ओ.69897 जानकर, संख्याओं 1.5, 3/5, 0.12, 5/9 और 0.36 के लघुगणक ज्ञात कीजिए।

104. लॉग 5 = 0.69897 और लॉग 7 = 0.84510 जानकर, संख्याओं 3.5, 5/7, 0.28, 5/49 और 1.96 के लघुगणक ज्ञात कीजिए।

चार से अधिक अंकों में व्यक्त संख्याओं के दशमलव लघुगणक सीधे तालिकाओं से पाए जाते हैं, और तालिकाओं से वांछित लघुगणक का मंटिसा पाया जाता है, और विशेषता दी गई संख्या के रैंक के अनुसार निर्धारित की जाती है।

यदि संख्या में चार से अधिक अंक हैं, तो लघुगणक खोजने के साथ एक अतिरिक्त गणना भी शामिल है। नियम यह है: चार से अधिक अंकों वाली संख्या का लघुगणक खोजने के लिए, आपको तालिकाओं में पहले चार अंकों द्वारा इंगित संख्या ढूंढनी होगी और इन चार अंकों के अनुरूप मंटिसा लिखना होगा; फिर मैन्टिसा के सारणीबद्ध अंतर को छोड़े गए अंकों से बनी संख्या से गुणा करें, उत्पाद में दाईं ओर से उतने अंक हटा दें जितने दिए गए नंबर में छोड़े गए थे, और परिणाम को पाए गए मेंटिसा के अंतिम अंकों में जोड़ें; विशेषता को दिए गए नंबर के रैंक के अनुसार रखें।

जब किसी संख्या को किसी दिए गए लघुगणक का उपयोग करके खोजा जाता है और यह लघुगणक तालिकाओं में समाहित होता है, तो मांगी गई संख्या के अंक सीधे तालिकाओं से पाए जाते हैं, और संख्या की रैंक दिए गए लघुगणक की विशेषताओं के अनुसार निर्धारित की जाती है।

यदि यह लघुगणक तालिकाओं में शामिल नहीं है, तो संख्या की खोज एक अतिरिक्त गणना के साथ होती है। नियम यह है: किसी दिए गए लघुगणक के अनुरूप संख्या खोजने के लिए, जिसका मंटिसा तालिकाओं में शामिल नहीं है, आपको निकटतम छोटे मंटिसा को ढूंढना होगा और उसके अनुरूप संख्या के अंकों को लिखना होगा; फिर दिए गए मंटिसा और पाए गए एक के बीच के अंतर को 10 से गुणा करें और उत्पाद को सारणीबद्ध अंतर से विभाजित करें; भागफल के परिणामी अंक को संख्या के लिखित अंकों के दाईं ओर जोड़ें, जिससे आपको अंकों का वांछित सेट मिलता है; संख्या की रैंक दिए गए लघुगणक की विशेषताओं के अनुसार निर्धारित की जानी चाहिए।

105. संख्याओं 8, 141, 954, 420, 640, 1235, 3907, 3010, 18.43, 2.05, 900.1, 0.73, 0.0028, 0.1008, 0.00005 के लघुगणक ज्ञात कीजिए।

105. संख्याओं 15.154, 837, 510, 5002,1309-, 8900, 8.315, 790.7, 0.09, 0.6745, 0.000745, 0.04257, 0.00071 का लघुगणक ज्ञात कीजिए।

106. संख्याओं 2174.6, 1445.7, 2169.5, 8437.2, 46.472, 6.2853, 0.7893B, 0.054294, 631.074, 2.79556, 0.747428, 0.00237158 के लघुगणक ज्ञात कीजिए।

106. संख्याओं 2578.4, 1323.6, 8170.5, 6245.3, 437.65, 87.268, 0.059372, 0.84938, 62.5475, 131.037, 0.593946, 0.00234261 के लघुगणक ज्ञात कीजिए।

107. लघुगणक 3.16227, 3.59207, 2.93318, 0.41078, 1.60065, 2.756.86, 3.23528, 1.79692 के अनुरूप संख्याएँ ज्ञात कीजिए। 4.87800 5.14613.

107. लघुगणक 3.07372, 3.69205, 1.64904, 2.16107, 0.70364, 1.31952, 4.30814, 3.00087, 2.69949, 6.57978 के अनुरूप संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

108. लघुगणक 3.57686, 3.16340, 2.40359, 1.09817, 4.49823, 2.83882, 1.50060, 3.30056, 1.17112, 4.25100 के अनुरूप संख्या ज्ञात कीजिए।

108. लघुगणक 3.33720, 3.09875, 0.70093, 4.04640, 2.94004, 1.41509, 2.32649, 4.14631, 3.01290, 5.39003 के अनुरूप संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

एक से बड़ी संख्याओं के धनात्मक लघुगणक होते हैं अंकगणितीय योगउनकी विशेषताएं और मंटिसा। इसलिए, उनके साथ संचालन सामान्य अंकगणितीय नियमों के अनुसार किया जाता है।

एक से कम संख्याओं के ऋणात्मक लघुगणक होते हैं बीजगणितीय योगनकारात्मक विशेषता और सकारात्मक मंटिसा। इसलिए, उनके साथ संचालन बीजगणितीय नियमों के अनुसार किया जाता है, जो नकारात्मक लघुगणक को उनके सामान्य रूप में कम करने से संबंधित विशेष निर्देशों द्वारा पूरक होते हैं। सामान्य रूपऋणात्मक लघुगणक वह है जिसमें विशेषता एक ऋणात्मक पूर्णांक है और मंटिसा एक धनात्मक उचित भिन्न है।

वास्तविक परावर्तक लघुगणक को उसके सामान्य कृत्रिम रूप में परिवर्तित करने के लिए, आपको बढ़ाने की आवश्यकता है निरपेक्ष मूल्यइसका पूरा कार्यकाल एक करके और परिणाम को एक नकारात्मक विशेषता बना देता है; फिर भिन्नात्मक पद के सभी अंकों को 9 में जोड़ें, और अंतिम को 10 में जोड़ें और परिणाम को एक सकारात्मक मंटिसा बनाएं। उदाहरण के लिए, -2.57928 = 3.42072.

लघुगणक के कृत्रिम सामान्य रूप को उसके वास्तविक रूप में परिवर्तित करना नकारात्मक मूल्य, आपको ऋणात्मक विशेषता को एक से कम करने और परिणाम को ऋणात्मक योग का पूर्णांक पद बनाने की आवश्यकता है; फिर मैन्टिसा के सभी अंकों को 9 में जोड़ें, और अंतिम को 10 में जोड़ें और परिणाम को उसी नकारात्मक योग का एक भिन्नात्मक पद बनाएं। उदाहरण के लिए: 4.57406= -3.42594.

109. लघुगणक को कृत्रिम रूप में बदलें -2.69537, -4, 21283, -0.54225, -1.68307, -3.53820, -5.89990।

109. लघुगणक को कृत्रिम रूप में बदलें -3.21729, -1.73273, -5.42936, -0.51395, -2.43780, -4.22990।

110. लघुगणक 1.33278, 3.52793, 2.95426, 4.32725, 1.39420, 5.67990 का सही मान ज्ञात कीजिए।

110. लघुगणक 2.45438, 1.73977, 3.91243, 5.12912, 2.83770, 4.28990 का सही मान ज्ञात कीजिए।

ऋणात्मक लघुगणक के साथ बीजगणितीय संक्रियाओं के नियम इस प्रकार व्यक्त किए गए हैं:

एक ऋणात्मक लघुगणक को उसके कृत्रिम रूप में लागू करने के लिए, आपको मंटिसा लागू करने और विशेषता के निरपेक्ष मान को घटाने की आवश्यकता है। यदि मंटिसास का योग एक पूर्णांक उत्पन्न करता है सकारात्मक संख्या, तो आपको इसमें उचित संशोधन करते हुए, इसे परिणाम की विशेषता के रूप में वर्गीकृत करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए,

3,89573 + 2 ,78452 = 1 1 ,68025 = 2,68025

1 ,54978 + 2 ,94963=3 1 ,49941=2 ,49941.

किसी ऋणात्मक लघुगणक को उसके कृत्रिम रूप में घटाने के लिए, आपको मंटिसा को घटाना होगा और विशेषता का पूर्ण मान जोड़ना होगा। यदि घटाया गया मंटिसा बड़ा है, तो आपको मीनुएंड की विशेषता में समायोजन करने की आवश्यकता है ताकि एक सकारात्मक इकाई को मीनूएंड से अलग किया जा सके। उदाहरण के लिए,

2,53798-3 ,84582=1 1 ,53798-3 ,84582 = 4,69216,

2 ,22689-1 ,64853=3 1 ,22689-1 ,64853=2 ,57836.

एक ऋणात्मक लघुगणक को एक धनात्मक पूर्णांक से गुणा करने के लिए, आपको इसकी विशेषता और मंटिसा को अलग-अलग गुणा करना होगा। यदि, मंटिसा को गुणा करते समय, एक पूर्ण सकारात्मक संख्या की पहचान की जाती है, तो आपको परिणाम की विशेषता के लिए इसमें उचित संशोधन करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए,

2 ,53729 5=10 2 ,68645=8 ,68645.

ऋणात्मक लघुगणक को ऋणात्मक मात्रा से गुणा करते समय, आपको गुणक को उसके वास्तविक मान से बदलना होगा।

एक ऋणात्मक लघुगणक को एक धनात्मक पूर्णांक से विभाजित करने के लिए, आपको इसकी विशेषता और मंटिसा को अलग से अलग करना होगा। यदि लाभांश की विशेषता विभाजक द्वारा बिल्कुल विभाज्य नहीं है, तो आपको इसमें संशोधन करने की आवश्यकता है ताकि मंटिसा में कई सकारात्मक इकाइयों को शामिल किया जा सके, और विशेषता को विभाजक का गुणज बनाया जा सके। उदाहरण के लिए,

3 ,79432: 5=5 2 ,79432: 5=1 ,55886.

ऋणात्मक लघुगणक को ऋणात्मक मात्रा से विभाजित करते समय, आपको लाभांश को उसके वास्तविक मान से बदलना होगा।

लघुगणक तालिकाओं का उपयोग करके निम्नलिखित गणनाएँ करें और सामान्य तरीकों का उपयोग करके सरलतम मामलों में परिणामों की जाँच करें:

174. उस शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका जनरेटर 0.9134 फीट है और जिसका आधार त्रिज्या 0.04278 फीट है।

175. एकाधिक प्रगति के 15वें पद की गणना करें, जिसका पहला पद 2 3/5 है और हर 1.75 है।

175. एकाधिक प्रगति के पहले पद की गणना करें, जिसका 11वाँ पद 649.5 के बराबर है और हर 1.58 है।

176. कारकों की संख्या निर्धारित करें ए , ए 3 , ए 5 आर . कुछ इस तरह खोजें ए जिसमें 10 कारकों का गुणनफल 100 के बराबर होता है।

176. कारकों की संख्या निर्धारित करें। ए 2 , ए 6 , ए 10 ,....ताकि उनका गुणनफल दी गई संख्या के बराबर हो आर . कुछ इस तरह खोजें ए , जिसमें 5 कारकों का गुणनफल 10 के बराबर है।

177. एकाधिक प्रगति का हर 1.075 है, इसके 10 पदों का योग 2017.8 है। पहला पद ज्ञात कीजिये.

177. एकाधिक प्रगति का हर 1.029 है, इसके 20 पदों का योग 8743.7 है। बीसवाँ पद ज्ञात कीजिए।

178 . पहले पद को देखते हुए एकाधिक प्रगति के पदों की संख्या व्यक्त करें ए , अंतिम और हर क्यू , और फिर, बेतरतीब ढंग से संख्यात्मक मान चुनना ए और यू , उठाना क्यू ताकि एन

178. पहला पद दिए जाने पर एकाधिक प्रगति के पदों की संख्या व्यक्त करें ए , अंतिम और और हर क्यू और और क्यू , उठाना ए ताकि एन कुछ पूर्णांक था.

179. कारकों की संख्या निर्धारित करें ताकि उनका उत्पाद बराबर हो आर . यह कैसा होना चाहिए आर के लिए ए =0.5 और बी =0.9 कारकों की संख्या 10 थी।

179. कारकों की संख्या निर्धारित करें ताकि उनका उत्पाद बराबर हो आर . यह कैसा होना चाहिए आर के लिए ए =0.2 और बी =2 गुणनखंडों की संख्या 10 थी।

180. पहले पद को देखते हुए एकाधिक प्रगति के पदों की संख्या व्यक्त करें ए , मैं अनुसरण करूंगा और और सभी सदस्यों का उत्पाद आर , और फिर, मनमाने ढंग से चयन करना संख्यात्मक मान ए और आर , उठाना और और फिर हर क्यू ताकि और कुछ पूर्णांक था.

160. पहला पद दिए जाने पर एकाधिक प्रगति के पदों की संख्या व्यक्त करें ए , अंतिम तथा और सभी पदों का गुणनफल आर , और फिर, बेतरतीब ढंग से संख्यात्मक मानों का चयन करना और और आर , उठाना ए और फिर हर क्यू ताकि एन कुछ पूर्णांक था.

निम्नलिखित समीकरणों को हल करें, जहां संभव हो - तालिकाओं की सहायता के बिना, और जहां नहीं, तालिकाओं की मदद से:

वे अक्सर दस नंबर लेते हैं. आधार दस पर आधारित संख्याओं के लघुगणक कहलाते हैं दशमलव. दशमलव लघुगणक के साथ गणना करते समय, चिह्न के साथ काम करना आम बात है एलजी, नहीं लकड़ी का लट्ठा; इस मामले में, संख्या दस, जो आधार को परिभाषित करती है, इंगित नहीं की गई है। हाँ, आइए प्रतिस्थापित करें लॉग 10 105सरलीकृत करने के लिए एलजी105; ए लॉग 10 2पर एलजी2.

के लिए दशमलव लघुगणकवही विशेषताएं जो एक से अधिक आधार वाले लघुगणक में होती हैं, विशिष्ट होती हैं। अर्थात्, दशमलव लघुगणक को विशेष रूप से सकारात्मक संख्याओं के लिए चित्रित किया जाता है। एक से बड़ी संख्याओं के दशमलव लघुगणक सकारात्मक होते हैं, और एक से कम संख्याओं के दशमलव लघुगणक ऋणात्मक होते हैं; दो गैर-नकारात्मक संख्याओं में से, बड़ी संख्या बड़े दशमलव लघुगणक के बराबर होती है, आदि। इसके अतिरिक्त, दशमलव लघुगणक में भी होता है विशिष्ट विशेषताएंऔर विशिष्ट विशेषताएं जो बताती हैं कि लघुगणक के आधार के रूप में संख्या दस को प्राथमिकता देना क्यों आरामदायक है।

इन गुणों की जांच करने से पहले, आइए हम निम्नलिखित फॉर्मूलेशन से परिचित हों।

किसी संख्या के दशमलव लघुगणक का पूर्णांक भाग एकहा जाता है विशेषता, और भिन्नात्मक एक है अपूर्णांशयह लघुगणक.

किसी संख्या के दशमलव लघुगणक के लक्षण एके रूप में दर्शाया गया है, और मंटिसा को (एलजी) के रूप में दर्शाया गया है ए}.

आइए, मान लें, लॉग 2 ≈ 0.3010 तदनुसार = 0, (लॉग 2) ≈ 0.3010।

इसी तरह लॉग 543.1 ≈2.7349 के लिए। तदनुसार, = 2, (लॉग 543.1)≈ 0.7349।

तालिकाओं से धनात्मक संख्याओं के दशमलव लघुगणक की गणना व्यापक रूप से उपयोग की जाती है।

दशमलव लघुगणक की विशेषताएँ।

दशमलव लघुगणक का पहला चिह्न.संपूर्ण नहीं ऋणात्मक संख्या, एक के बाद शून्य द्वारा दर्शाया गया, चयनित संख्या की प्रविष्टि में शून्य की संख्या के बराबर एक सकारात्मक पूर्णांक है .

आइए लघुगणक 100 = 2, लघुगणक 1 00000 = 5 लें।

सामान्यतया, यदि

वह ए= 10एन , जिससे हमें प्राप्त होता है

एलजी ए = एलजी 10 एन = एन एलजी 10 =एन.

दूसरा संकेत.एक धनात्मक दशमलव का दस लघुगणक, जिसे अग्रणी शून्य के साथ दर्शाया गया है, है - एन, कहाँ एन- शून्य पूर्णांकों को ध्यान में रखते हुए, इस संख्या के प्रतिनिधित्व में शून्य की संख्या।

आइए विचार करें , लॉग 0.001 = - 3, लॉग 0.000001 = -6।

सामान्यतया, यदि

,

वह ए= 10-एन और यह पता चला

एलजीए = एलजी 10एन =-एन लॉग 10 =-एन

तीसरा लक्षण.एक से बड़ी गैर-ऋणात्मक संख्या के दशमलव लघुगणक की विशेषता एक को छोड़कर इस संख्या के पूर्णांक भाग में अंकों की संख्या के बराबर होती है।

आइए इस सुविधा का विश्लेषण करें: 1) लघुगणक एलजी 75.631 की विशेषता 1 के बराबर है।

वास्तव में, 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

एलजी 10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

इससे यह निष्कर्ष निकलता है,

लॉग 75.631 = 1 +बी,

दशमलव अंश में दशमलव बिंदु को दाएं या बाएं स्थानांतरित करना इस अंश को पूर्णांक घातांक के साथ दस की घात से गुणा करने की प्रक्रिया के बराबर है एन(सकारात्मक या नकारात्मक). और इसलिए, जब एक सकारात्मक दशमलव अंश में दशमलव बिंदु को बाईं या दाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है, तो इस अंश के दशमलव लघुगणक का मंटिसा नहीं बदलता है।

तो, (लॉग 0.0053) = (लॉग 0.53) = (लॉग 0.0000053)।