प्रतिव्युत्पन्न उदाहरण ढूँढना। कार्य और सामान्य उपस्थिति का प्रतिव्युत्पन्न

कार्य का प्रकार: 7
विषय: कार्य का प्रतिव्युत्पन्न

स्थिति

यह चित्र फ़ंक्शन y=f(x) का एक ग्राफ़ दिखाता है (जो तीन सीधे खंडों से बनी एक टूटी हुई रेखा है)। चित्र का उपयोग करके, F(9)-F(5) की गणना करें, जहां F(x) फ़ंक्शन f(x) के प्रतिअवकलजों में से एक है।

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समाधान

न्यूटन-लीबनिज सूत्र के अनुसार, अंतर F(9)-F(5), जहां F(x) फ़ंक्शन f(x) के एंटीडेरिवेटिव में से एक है, घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड सीमित के क्षेत्र के बराबर है फ़ंक्शन y=f(x) के ग्राफ़ द्वारा, सीधी रेखाएं y=0 , x=9 और x=5।

ग्राफ़ से हम यह निर्धारित करते हैं कि संकेतित घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड एक ट्रेपेज़ॉइड है जिसका आधार 4 और 3 के बराबर है और ऊंचाई 3 है। इसका क्षेत्रफल बराबर है

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

कार्य का प्रकार: 7
उत्तर

स्थिति

विषय: प्रकार्य का प्रतिव्युत्पन्न

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समाधान

यह आंकड़ा फ़ंक्शन y=F(x) का एक ग्राफ दिखाता है - अंतराल (-5; 5) पर परिभाषित कुछ फ़ंक्शन f(x) के एंटीडेरिवेटिव में से एक।

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

चित्र का उपयोग करके, खंड [-3; पर समीकरण f(x)=0 के समाधानों की संख्या निर्धारित करें; 4].

कार्य का प्रकार: 7
उत्तर

स्थिति

एक प्रतिअवकलन की परिभाषा के अनुसार, समानता रखती है: F"(x)=f(x)। इसलिए, समीकरण f(x)=0 को F"(x)=0 के रूप में लिखा जा सकता है।

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समाधान

चूँकि चित्र फ़ंक्शन y=F(x) का ग्राफ़ दिखाता है, हमें अंतराल [-3; 4], जिसमें फलन F(x) का अवकलज शून्य के बराबर है। चित्र से स्पष्ट है कि ये F(x) ग्राफ के चरम बिंदुओं (अधिकतम या न्यूनतम) के भुज होंगे।

ग्राफ़ से हम यह निर्धारित करते हैं कि संकेतित घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड एक ट्रेपेज़ॉइड है जिसका आधार 4 और 3 के बराबर है और ऊंचाई 3 है। संकेतित अंतराल में उनमें से ठीक 7 हैं (चार न्यूनतम अंक और तीन अधिकतम अंक)।

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

कार्य का प्रकार: 7
उत्तर

स्थिति

स्रोत: “गणित. एकीकृत राज्य परीक्षा 2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर।" एड. एफ. एफ. लिसेंको, एस. यू.

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समाधान

चूँकि चित्र फ़ंक्शन y=F(x) का ग्राफ़ दिखाता है, हमें अंतराल [-3; 3], जिसमें फलन F(x) का अवकलज शून्य के बराबर है।

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

कार्य का प्रकार: 7
उत्तर

स्थिति

चित्र से स्पष्ट है कि ये F(x) ग्राफ के चरम बिंदुओं (अधिकतम या न्यूनतम) के भुज होंगे।

संकेतित अंतराल में उनमें से बिल्कुल 5 हैं (दो न्यूनतम अंक और तीन अधिकतम अंक)।

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समाधान

यह चित्र कुछ फ़ंक्शन y=f(x) का ग्राफ़ दिखाता है। फ़ंक्शन F(x)=-x^3+4.5x^2-7 फ़ंक्शन f(x) के प्रतिअवकलन में से एक है।छायांकित आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। छायांकित आकृति है घुमावदार समलम्बाकार , ऊपर से फ़ंक्शन y=f(x) के ग्राफ़ द्वारा, सीधी रेखाओं y=0, x=1 और x=3 से घिरा हुआ है। 6,5-(-3,5)= 10.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

कार्य का प्रकार: 7
उत्तर

स्थिति

न्यूटन-लीबनिज सूत्र के अनुसार, इसका क्षेत्रफल S अंतर F(3)-F(1) के बराबर है, जहां F(x) शर्त में निर्दिष्ट फ़ंक्शन f(x) का प्रतिअवकलन है।

इसीलिए

एस=
एफ(3)-एफ(1)=
-3^3 +(4.5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4.5)\cdot 1^2 -7)=
यह चित्र कुछ फ़ंक्शन y=f(x) का ग्राफ़ दिखाता है।

फ़ंक्शन F(x)=x^3+6x^2+13x-5 फ़ंक्शन f(x) के प्रतिअवकलन में से एक है।

छायांकित आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

लक्ष्य:

प्रतिअवकलन की अवधारणा का निर्माण।

अभिन्नता के बोध की तैयारी. कंप्यूटिंग कौशल का गठन.सौंदर्य की भावना विकसित करना (असामान्य में सौंदर्य देखने की क्षमता)।

गणितीय विश्लेषण गणित की शाखाओं का एक समूह है जो अंतर और अभिन्न कैलकुलस के तरीकों का उपयोग करके कार्यों और उनके सामान्यीकरण के अध्ययन के लिए समर्पित है।.

अब तक हमने गणितीय विश्लेषण की एक शाखा का अध्ययन किया है जिसे डिफरेंशियल कैलकुलस कहा जाता है, जिसका सार "छोटे" में एक फ़ंक्शन का अध्ययन है।
वे। प्रत्येक परिभाषा बिंदु के पर्याप्त छोटे पड़ोस में एक फ़ंक्शन का अध्ययन। विभेदीकरण के संचालन में से एक व्युत्पन्न (अंतर) को ढूंढना और इसे कार्यों के अध्ययन में लागू करना है।

उलटी समस्या भी कम महत्वपूर्ण नहीं है. यदि किसी फ़ंक्शन का उसकी परिभाषा के प्रत्येक बिंदु के आसपास का व्यवहार ज्ञात है, तो कोई फ़ंक्शन को समग्र रूप से कैसे पुनर्निर्मित कर सकता है, अर्थात इसकी परिभाषा के संपूर्ण दायरे में। यह समस्या तथाकथित अभिन्न कलन के अध्ययन का विषय है।

एकीकरण विभेदीकरण की विपरीत क्रिया है। या किसी दिए गए व्युत्पन्न f`(x) से फ़ंक्शन f(x) को पुनर्स्थापित करना।
लैटिन शब्द
"इंटीग्रो" का अर्थ है पुनर्स्थापना।
एफ(एक्स)= एक्स 3 +1
एफ(एक्स)= एक्स 3 +2
f(x)= x 3 -3, आदि।

क्योंकि उनमें से प्रत्येक का अवकलज 3x 2 के बराबर है। (एक स्थिरांक का व्युत्पन्न 0 है)। ये सभी कार्य एक दूसरे से एक स्थिर पद से भिन्न होते हैं। इसीलिए सामान्य समाधानसमस्या को f(x)= x 3 +C के रूप में लिखा जा सकता है, जहां C कोई स्थिर वास्तविक संख्या है।

पाए गए किसी भी फ़ंक्शन को f(x) कहा जाता है प्राइमोडियमफलन F`(x)= 3x 2 के लिए

परिभाषा। किसी फ़ंक्शन F(x) को दिए गए अंतराल J पर किसी फ़ंक्शन f(x) के लिए प्रतिअवकलन कहा जाता है यदि इस अंतराल से सभी x के लिए F`(x)= f(x)। अतः फलन F(x)=x 3 (- ∞ ; ∞) पर f(x)=3x 2 के लिए प्रतिअवकलन है।
चूँकि, सभी x ~R के लिए समानता सत्य है: F`(x)=(x 3)`=3x 2

जैसा कि हमने पहले ही देखा है, इस फ़ंक्शन में अनंत संख्या में एंटीडेरिवेटिव हैं (उदाहरण संख्या 1 देखें)।

उदाहरण क्रमांक 2. फ़ंक्शन F(x)=x अंतराल (0; +) पर सभी f(x)= 1/x के लिए प्रतिअवकलन है, क्योंकि इस अंतराल से सभी x के लिए, समानता कायम है।
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

उदाहरण संख्या 3. फ़ंक्शन F(x)=tg3x अंतराल (-n/) पर f(x)=3/cos3x के लिए एक प्रतिअवकलन है 2; पी/ 2),
क्योंकि F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

उदाहरण संख्या 4. फ़ंक्शन F(x)=3sin4x+1/x-2 अंतराल पर f(x)=12cos4x-1/x 2 के लिए प्रतिअवकलन है (0;∞)
क्योंकि F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

व्याख्यान 2.

विषय: प्रतिअवकलन। एक प्रतिअवकलन फलन का मुख्य गुण।

प्रतिअवकलन का अध्ययन करते समय, हम निम्नलिखित कथन पर भरोसा करेंगे। किसी फ़ंक्शन की स्थिरता का संकेत: यदि अंतराल J पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न Ψ(x) 0 के बराबर है, तो इस अंतराल पर फ़ंक्शन Ψ(x) स्थिर है।

इस कथन को ज्यामितीय रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है।

यह ज्ञात है कि Ψ`(x)=tgα, γde α भुज x 0 वाले बिंदु पर फ़ंक्शन Ψ(x) के ग्राफ के स्पर्शरेखा के झुकाव का कोण है। यदि अंतराल J के किसी भी बिंदु पर Ψ`(υ)=0, तो फ़ंक्शन Ψ(x) के ग्राफ के किसी भी स्पर्शरेखा के लिए tanα=0 δ। इसका मतलब यह है कि किसी भी बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा भुज अक्ष के समानांतर है। इसलिए, संकेतित अंतराल पर, फ़ंक्शन Ψ(x) का ग्राफ़ सीधी रेखा खंड y=C के साथ मेल खाता है।

तो, फ़ंक्शन f(x)=c अंतराल J पर स्थिर है यदि f`(x)=0 इस अंतराल पर है।

वास्तव में, अंतराल J से एक मनमाना x 1 और x 2 के लिए, किसी फ़ंक्शन के माध्य मान पर प्रमेय का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं:
एफ(एक्स 2) - एफ(एक्स 1) = एफ`(सी) (एक्स 2 - एक्स 1), क्योंकि f`(c)=0, फिर f(x 2)= f(x 1)

प्रमेय: (प्रतिअवकलन फलन का मुख्य गुण)

यदि F(x) अंतराल J पर फ़ंक्शन f(x) के लिए एंटीडेरिवेटिव्स में से एक है, तो इस फ़ंक्शन के सभी एंटीडेरिवेटिव्स के सेट का रूप है: F(x) + C, जहां C कोई वास्तविक संख्या है।

सबूत:

मान लीजिए F`(x) = f (x), तो (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), x Є J के लिए।
मान लीजिए कि अंतराल J पर Φ(x) मौजूद है - f (x) के लिए एक और प्रतिअवकलन, यानी। Φ`(x) = f (x),
तब (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, x Є J के लिए।
इसका मतलब है कि Φ(x) - F(x) अंतराल J पर स्थिर है।
इसलिए, Φ(x) - F(x) = C.
जहां से Φ(x)= F(x)+C.
इसका मतलब यह है कि यदि F(x) अंतराल J पर किसी फ़ंक्शन f (x) के लिए एक प्रतिअवकलन है, तो इस फ़ंक्शन के सभी प्रतिअवकलन के सेट का रूप होगा: F(x)+C, जहां C कोई वास्तविक संख्या है।
परिणामस्वरूप, किसी दिए गए फलन के कोई भी दो प्रतिअवकलज एक दूसरे से एक स्थिर पद से भिन्न होते हैं।

उदाहरण: फलन f (x) = cos x के प्रतिअवकलजों का समुच्चय ज्ञात कीजिए। पहले तीन के ग्राफ़ बनाएं।

एफ 1 (एक्स) = पाप एक्स-1
एफ 2 (एक्स) = पाप एक्स
एफ 3 (एक्स) = पाप एक्स+1

ज्यामितीय चित्रण:किसी भी प्रतिअवकलन F(x)+C का ग्राफ r (0;c) के समानांतर स्थानांतरण का उपयोग करके प्रतिअवकलन F(x) के ग्राफ से प्राप्त किया जा सकता है।

उदाहरण: फ़ंक्शन f (x) = 2x के लिए, एक प्रतिअवकलन खोजें जिसका ग्राफ t.M (1;4) से होकर गुजरता है

प्रतिव्युत्पन्न।

प्रतिअवकलन को एक उदाहरण से समझना आसान है।

चलो समारोह लेते हैं वाई = एक्स 3. जैसा कि हम पिछले अनुभागों से जानते हैं, का व्युत्पन्न एक्स 3 3 है एक्स 2:

(एक्स 3)" = 3एक्स 2 .

इसलिए, फ़ंक्शन से वाई = एक्स 3 हमें मिलता है नई सुविधा: पर = 3एक्स 2 .
लाक्षणिक रूप से कहें तो, कार्य पर = एक्स 3 उत्पादित समारोह पर = 3एक्स 2 और इसका "जनक" है। गणित में कोई शब्द "जनक" नहीं है, लेकिन एक संबंधित अवधारणा है: प्रतिअवकलन।

वह है: कार्य वाई = एक्स 3 फलन का प्रतिअवकलन है पर = 3एक्स 2 .

प्रतिअवकलन की परिभाषा:

हमारे उदाहरण में ( एक्स 3)" = 3एक्स 2 इसलिए वाई = एक्स 3 - के लिए प्रतिअवकलन पर = 3एक्स 2 .

एकीकरण।

जैसा कि आप जानते हैं, के संबंध में व्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया दिया गया कार्यविभेदन कहा जाता है. और व्युत्क्रम संक्रिया को एकीकरण कहा जाता है।

उदाहरण-स्पष्टीकरण:

पर = 3एक्स 2 + पाप एक्स.

समाधान :

हम जानते हैं कि 3 का प्रतिअवकलज एक्स 2 है एक्स 3 .

पाप का प्रतिकारक एक्सहै -cos एक्स.

हम दो प्रतिअवकलन जोड़ते हैं और दिए गए फ़ंक्शन के लिए प्रतिअवकलन प्राप्त करते हैं:

वाई = एक्स 3 + (-cos एक्स),

वाई = एक्स 3 - क्योंकि एक्स.

उत्तर :
समारोह के लिए पर = 3एक्स 2 + पाप एक्स वाई = एक्स 3 - क्योंकि एक्स.

उदाहरण-स्पष्टीकरण:

आइए फ़ंक्शन के लिए एक प्रतिअवकलन खोजें पर= 2 पाप एक्स.

समाधान :

हम ध्यान दें कि k = 2. पाप का प्रतिअवकलज एक्सहै -cos एक्स.

इसलिए, समारोह के लिए पर= 2 पाप एक्सप्रतिअवकलन फलन है पर= -2cos एक्स.
फ़ंक्शन y = 2 पाप में गुणांक 2 एक्सउस प्रतिअवकलन के गुणांक से मेल खाता है जिससे यह फ़ंक्शन बना था।

उदाहरण-स्पष्टीकरण:

आइए फ़ंक्शन के लिए एक प्रतिअवकलन खोजें य= पाप 2 एक्स.

समाधान :

हम उस पर ध्यान देते हैं के= 2. पाप का प्रतिकारक एक्सहै -cos एक्स.

हम फ़ंक्शन का प्रतिअवकलज ज्ञात करने के लिए अपना सूत्र लागू करते हैं य= क्योंकि 2 एक्स:

1
य= - · (–cos 2 एक्स),
2

क्योंकि 2 एक्स
य = – ----
2

क्योंकि 2 एक्स
उत्तर: एक समारोह के लिए य= पाप 2 एक्सप्रतिअवकलन फलन है य = – ----
2

(4)

उदाहरण-स्पष्टीकरण.

आइए पिछले उदाहरण से फ़ंक्शन लें: य= पाप 2 एक्स.

इस फ़ंक्शन के लिए, सभी एंटीडेरिवेटिव्स का रूप है:

क्योंकि 2 एक्स
य = – ---- + सी.
2

स्पष्टीकरण।

चलिए पहली पंक्ति लेते हैं. इसे इस प्रकार पढ़ा जाता है: यदि फ़ंक्शन y = f( एक्स) 0 है, तो इसका प्रतिअवकलन 1 है। क्यों? क्योंकि एकता का व्युत्पन्न शून्य है: 1" = 0.

शेष पंक्तियाँ इसी क्रम में पढ़ी जाती हैं।

टेबल से डेटा कैसे लिखें? आइए पंक्ति आठ लें:

(-कोस एक्स)" = पाप एक्स

हम दूसरे भाग को व्युत्पन्न चिह्न के साथ लिखते हैं, फिर समान चिह्न और व्युत्पन्न के साथ।

हम पढ़ते हैं: के लिए प्रतिअवकलन कार्य पाप एक्स-cos फ़ंक्शन है एक्स.

या: फ़ंक्शन-कोस एक्सफ़ंक्शन पाप के लिए प्रतिअवकलन है एक्स.

पहले, किसी दिए गए फ़ंक्शन को देखते हुए, विभिन्न सूत्रों और नियमों द्वारा निर्देशित होकर, हमने उसका व्युत्पन्न पाया था। व्युत्पन्न के कई उपयोग हैं: यह गति की गति है (या, अधिक सामान्यतः, किसी भी प्रक्रिया की गति); ढलानकिसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा; व्युत्पन्न का उपयोग करके, आप एकरसता और एक्स्ट्रेमा के लिए फ़ंक्शन की जांच कर सकते हैं; यह अनुकूलन समस्याओं को हल करने में मदद करता है।

लेकिन गति के ज्ञात नियम के अनुसार गति ज्ञात करने की समस्या के साथ-साथ एक विपरीत समस्या भी है - ज्ञात गति के अनुसार गति के नियम को बहाल करने की समस्या। आइए इनमें से एक समस्या पर विचार करें।

उदाहरण 1.एक सीधी रेखा में चलता है भौतिक बिंदु, समय t पर इसकी गति की गति सूत्र v=gt द्वारा दी गई है। गति का नियम खोजें.
समाधान। मान लीजिए s = s(t) गति का वांछित नियम है। यह ज्ञात है कि s"(t) = v(t)। इसका मतलब है कि समस्या को हल करने के लिए आपको एक फ़ंक्शन s = s(t) का चयन करना होगा, जिसका व्युत्पन्न gt के बराबर है। इसका अनुमान लगाना मुश्किल नहीं है वह $s(t) = \frac(gt^ 2)(2)$.
$s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt$
उत्तर: $s(t) = \frac(gt^2)(2) $

आइए तुरंत ध्यान दें कि उदाहरण सही ढंग से हल किया गया है, लेकिन अधूरा। हमें $s(t) = \frac(gt^2)(2) $ मिला। वास्तव में, समस्या के असीमित रूप से कई समाधान हैं: $s(t) = \frac(gt^2)(2) + C$ के रूप का कोई भी फ़ंक्शन, जहां C एक मनमाना स्थिरांक है, एक नियम के रूप में कार्य कर सकता है गति, चूँकि $\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt $

समस्या को और अधिक विशिष्ट बनाने के लिए, हमें प्रारंभिक स्थिति को ठीक करने की आवश्यकता है: किसी समय बिंदु पर एक गतिशील बिंदु के निर्देशांक को इंगित करें, उदाहरण के लिए t = 0 पर। यदि, कहें, s(0) = s 0, तो से समानता s(t) = (gt 2)/2 + C हमें मिलता है: s(0) = 0 + C, अर्थात C = s 0। अब गति का नियम विशिष्ट रूप से परिभाषित है: s(t) = (gt 2)/2 + s 0।

गणित में परस्पर विपरीत संक्रियाएँ नियत की जाती हैं अलग-अलग नाम, विशेष संकेतन के साथ आएं, उदाहरण के लिए: वर्ग करना (x 2) और निकालना वर्गमूल($\sqrt(x) $), sine (sin x) और arcsine (arcsin x), आदि। किसी दिए गए फलन का अवकलज ज्ञात करने की प्रक्रिया कहलाती है भेदभाव, और व्युत्क्रम ऑपरेशन, यानी किसी दिए गए व्युत्पन्न से एक फ़ंक्शन खोजने की प्रक्रिया है एकीकरण.

शब्द "व्युत्पन्न" को स्वयं "रोज़मर्रा के संदर्भ में" उचित ठहराया जा सकता है: फ़ंक्शन y = f(x) एक नए फ़ंक्शन y" = f"(x) को "जन्म देता है"। फ़ंक्शन y = f(x) एक "जनक" के रूप में कार्य करता है, लेकिन गणितज्ञ, स्वाभाविक रूप से, इसे "जनक" या "निर्माता" नहीं कहते हैं, वे कहते हैं कि यह फ़ंक्शन y" = f"( के संबंध में है; x) , प्राथमिक छवि, या आदिम।

परिभाषा।फ़ंक्शन y = F(x) को अंतराल X पर फ़ंक्शन y = f(x) के लिए प्रतिअवकलन कहा जाता है यदि समानता F"(x) = f(x) \(x \in

व्यवहार में, अंतराल X आमतौर पर निर्दिष्ट नहीं किया जाता है, लेकिन निहित होता है (फ़ंक्शन की परिभाषा के प्राकृतिक डोमेन के रूप में)।

चलिए उदाहरण देते हैं.
1) फ़ंक्शन y = x 2, फ़ंक्शन y = 2x के लिए प्रतिअवकलन है, क्योंकि किसी भी x के लिए समानता (x 2)" = 2x सत्य है
2) फ़ंक्शन y = x 3, फ़ंक्शन y = 3x 2 के लिए प्रतिअवकलन है, क्योंकि किसी भी x के लिए समानता (x 3)" = 3x 2 सत्य है
3) फ़ंक्शन y = syn(x) फ़ंक्शन y = cos(x) के लिए प्रतिअवकलन है, क्योंकि किसी भी x के लिए समानता (sin(x))" = cos(x) सत्य है

प्रतिअवकलज, साथ ही व्युत्पन्न ढूँढते समय, न केवल सूत्रों का उपयोग किया जाता है, बल्कि कुछ नियमों का भी उपयोग किया जाता है। वे डेरिवेटिव की गणना के लिए संबंधित नियमों से सीधे संबंधित हैं।

हम जानते हैं कि किसी राशि का अवकलज उसके अवकलजों के योग के बराबर होता है। यह नियम प्रतिअवकलज खोजने के लिए संबंधित नियम उत्पन्न करता है।

नियम 1।किसी योग का प्रतिअवकलन, प्रतिअवकलन के योग के बराबर होता है।

हम जानते हैं कि अचर गुणनखंड को अवकलज के चिह्न से निकाला जा सकता है। यह नियम प्रतिअवकलज खोजने के लिए संबंधित नियम उत्पन्न करता है।

नियम 2.यदि F(x) f(x) के लिए एक प्रतिअवकलन है, तो kF(x) kf(x) के लिए एक प्रतिअवकलन है।

प्रमेय 1.यदि y = F(x) फ़ंक्शन y = f(x) के लिए एक प्रतिअवकलज है, तो फ़ंक्शन y = f(kx + m) के लिए प्रतिअवकलज फ़ंक्शन $y=\frac(1)(k)F है (kx+m) $

प्रमेय 2.यदि y = F(x) अंतराल + सी.

एकीकरण के तरीके

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि (प्रतिस्थापन विधि)

प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण की विधि में एक नया एकीकरण चर (अर्थात् प्रतिस्थापन) शामिल करना शामिल है। इस मामले में, दिए गए इंटीग्रल को एक नए इंटीग्रल में घटा दिया जाता है, जो सारणीबद्ध या इसके लिए कम करने योग्य होता है। प्रतिस्थापनों के चयन के लिए कोई सामान्य विधियाँ नहीं हैं। प्रतिस्थापन को सही ढंग से निर्धारित करने की क्षमता अभ्यास के माध्यम से प्राप्त की जाती है।
मान लीजिए कि अभिन्न $\textstyle \int F(x)dx $ की गणना करना आवश्यक है। आइए प्रतिस्थापन करें $x= \varphi(t) $ जहां $\varphi(t) $ एक फ़ंक्शन है जिसमें निरंतर व्युत्पन्न है।
फिर $dx = \varphi " (t) \cdot dt $ और अनिश्चितकालीन अभिन्न के लिए एकीकरण सूत्र की अपरिवर्तनीय संपत्ति के आधार पर, हम प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण सूत्र प्राप्त करते हैं:
$\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt $

$\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx $ फॉर्म के भावों का एकीकरण

यदि m विषम है, m > 0, तो प्रतिस्थापन पाप x = t करना अधिक सुविधाजनक है।
यदि n विषम है, n > 0, तो प्रतिस्थापन cos x = t करना अधिक सुविधाजनक है।
यदि n और m सम हैं, तो प्रतिस्थापन tg x = t करना अधिक सुविधाजनक है।

भागों द्वारा एकीकरण

भागों द्वारा एकीकरण - एकीकरण के लिए निम्नलिखित सूत्र लागू करना:
$\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du $
या:
$\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx $

कुछ फलनों के अनिश्चित समाकलन (प्रतिअवकलन) की तालिका

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +सी \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) एक्स +सी $$ दस्तावेज़

कुछ अंतराल एक्स. यदि के लिएकोई xХ F"(x) = f(x), तो समारोहएफ बुलायाantiderivativeके लिएकार्यअंतराल X पर f. antiderivativeके लिएकार्यआप ढूंढने का प्रयास कर सकते हैं...

कार्य के लिए प्रतिव्युत्पन्न

दस्तावेज़

... . समारोहएफ(एक्स) बुलायाantiderivativeके लिएकार्य f(x) अंतराल (a;b) पर, यदि के लिएसभी x(a;b) समानता F(x) = f(x) रखती है। उदाहरण के लिए, के लिएकार्य x2 antiderivativeइच्छा समारोह x3...

इंटीग्रल कैलकुलस अध्ययन गाइड के मूल सिद्धांत

ट्यूटोरियल

... ; 5. अभिन्न का पता लगाएं. ; बी) ; सी) ; डी) ; 6. समारोहबुलायाantiderivativeको कार्यएक सेट पर यदि: के लिएसब लोग; किन्हीं बिंदुओं पर; के लिएसब लोग; कुछ समय के अंतराल पर. परिभाषा 1. समारोहबुलायाantiderivativeके लिएकार्यकई पर...

प्रतिअवकलन अनिश्चितकालीन अभिन्न

दस्तावेज़

एकीकरण। antiderivative. निरंतर समारोहएफ(एक्स) बुलायाantiderivativeके लिएकार्य f (x) अंतराल X पर यदि के लिएप्रत्येक F' (x) = f (x). उदाहरण समारोह F(x) = x 3 है antiderivativeके लिएकार्यएफ(एक्स) = 3x...