किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा। स्पर्शरेखा समीकरण

वीडियो पाठ "फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण" प्रदर्शित करता है शैक्षिक सामग्रीविषय में महारत हासिल करने के लिए. वीडियो पाठ के दौरान, किसी दिए गए बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के समीकरण की अवधारणा तैयार करने के लिए आवश्यक सैद्धांतिक सामग्री, ऐसी स्पर्शरेखा खोजने के लिए एक एल्गोरिदम, और अध्ययन की गई सैद्धांतिक सामग्री का उपयोग करके समस्याओं को हल करने के उदाहरणों का वर्णन किया गया है। .

वीडियो ट्यूटोरियल उन तरीकों का उपयोग करता है जो सामग्री की स्पष्टता में सुधार करते हैं। प्रस्तुतिकरण में चित्र, आरेख, महत्वपूर्ण ध्वनि टिप्पणियाँ, एनीमेशन, हाइलाइटिंग और अन्य उपकरण शामिल हैं।

वीडियो पाठ पाठ के विषय की प्रस्तुति और बिंदु M(a;f(a)) पर कुछ फ़ंक्शन y=f(x) के ग्राफ की स्पर्शरेखा की छवि के साथ शुरू होता है। ह ज्ञात है कि ढलानकिसी दिए गए बिंदु पर ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्श रेखा किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन f΄(a) के व्युत्पन्न के बराबर होती है। बीजगणित पाठ्यक्रम से भी हम सीधी रेखा y=kx+m का समीकरण जानते हैं। एक बिंदु पर स्पर्शरेखा समीकरण खोजने की समस्या का समाधान योजनाबद्ध रूप से प्रस्तुत किया गया है, जो गुणांक k, m को खोजने के लिए कम हो जाता है। फ़ंक्शन के ग्राफ़ से संबंधित एक बिंदु के निर्देशांक को जानने के बाद, हम स्पर्शरेखा समीकरण f(a)=ka+m में निर्देशांक मान को प्रतिस्थापित करके m पा सकते हैं। इससे हमें m=f(a)-ka मिलता है। इस प्रकार, किसी दिए गए बिंदु पर व्युत्पन्न का मान और बिंदु के निर्देशांक को जानकर, हम स्पर्शरेखा समीकरण को इस प्रकार निरूपित कर सकते हैं y=f(a)+f΄(a)(x-a)।

निम्नलिखित आरेख के बाद स्पर्शरेखा समीकरण बनाने का एक उदाहरण है। फलन y=x 2 , x=-2 दिया गया है। a=-2 लेते हुए, हम दिए गए बिंदु f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4 पर फ़ंक्शन का मान पाते हैं। हम फलन f΄(x)=2x का अवकलज निर्धारित करते हैं। इस बिंदु पर व्युत्पन्न f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4 के बराबर है। समीकरण बनाने के लिए, सभी गुणांक a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4 पाए गए, इसलिए स्पर्शरेखा समीकरण y=4+(-4)(x+2) है। समीकरण को सरल करने पर, हमें y = -4-4x मिलता है।

निम्नलिखित उदाहरण फ़ंक्शन y=tgx के ग्राफ़ के मूल बिंदु पर स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण बनाने का सुझाव देता है। किसी दिए गए बिंदु पर a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. तो स्पर्शरेखा समीकरण y=x जैसा दिखता है।

सामान्यीकरण के रूप में, एक निश्चित बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा समीकरण को बनाने की प्रक्रिया को 4 चरणों वाले एल्गोरिदम के रूप में औपचारिक रूप दिया जाता है:

• स्पर्शरेखा बिंदु के भुज के लिए पदनाम a दर्ज करें;
• f(a) की गणना की जाती है;
• f΄(x) निर्धारित किया जाता है और f΄(a) की गणना की जाती है। A, f(a), f΄(a) के पाए गए मानों को स्पर्शरेखा समीकरण सूत्र y=f(a)+f΄(a)(x-a) में प्रतिस्थापित किया जाता है।

उदाहरण 1 बिंदु x=1 पर फ़ंक्शन y=1/x के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा समीकरण की रचना करने पर विचार करता है। समस्या को हल करने के लिए हम एक एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं। बिंदु a=1 पर दिए गए फ़ंक्शन के लिए, फ़ंक्शन का मान f(a)=-1. फलन f΄(x)=1/x 2 का व्युत्पन्न। बिंदु a=1 पर व्युत्पन्न f΄(a)= f΄(1)=1. प्राप्त डेटा का उपयोग करके, स्पर्शरेखा समीकरण y=-1+(x-1), या y=x-2, तैयार किया जाता है।

उदाहरण 2 में, फ़ंक्शन y=x 3 +3x 2 -2x-2 के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण खोजना आवश्यक है। मुख्य शर्त स्पर्शरेखा और सीधी रेखा y=-2x+1 की समानता है। सबसे पहले, हम स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक ज्ञात करते हैं, जो सीधी रेखा y=-2x+1 के कोणीय गुणांक के बराबर है। चूँकि किसी दी गई रेखा के लिए f΄(a)=-2, वांछित स्पर्शरेखा के लिए k=-2 है। हम फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. यह जानते हुए कि f΄(a)=-2, हम बिंदु 3a 2 +6a-2=-2 के निर्देशांक पाते हैं। समीकरण को हल करने पर, हमें 1 =0, और 2 =-2 प्राप्त होता है। पाए गए निर्देशांक का उपयोग करके, आप एक प्रसिद्ध एल्गोरिदम का उपयोग करके स्पर्शरेखा समीकरण पा सकते हैं। हम बिंदुओं f(a 1)=-2, f(a 2)=-18 पर फ़ंक्शन का मान पाते हैं। बिंदु f΄(а 1)=f΄(а 2)=-2 पर अवकलज का मान। पाए गए मानों को स्पर्शरेखा समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, हम पहले बिंदु a 1 =0 y=-2x-2 के लिए प्राप्त करते हैं, और दूसरे बिंदु a 2 =-2 के लिए स्पर्शरेखा समीकरण y=-2x-22 प्राप्त करते हैं।

उदाहरण 3 फ़ंक्शन y=√x के ग्राफ़ के बिंदु (0;3) पर इसे खींचने के लिए स्पर्शरेखा समीकरण की संरचना का वर्णन करता है। समाधान एक सुविख्यात एल्गोरिथम का उपयोग करके बनाया गया है। स्पर्शरेखा बिंदु के निर्देशांक x=a हैं, जहां a>0। बिंदु f(a)=√x पर फ़ंक्शन का मान। फ़ंक्शन f΄(х)=1/2√х का व्युत्पन्न, इसलिए किसी दिए गए बिंदु पर f΄(а)=1/2√а। सभी प्राप्त मानों को स्पर्शरेखा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम y=√a+(x-a)/2√a प्राप्त करते हैं। समीकरण को बदलने पर, हमें y=x/2√а+√а/2 मिलता है। यह जानते हुए कि स्पर्शरेखा बिंदु (0;3) से होकर गुजरती है, हम a का मान ज्ञात करते हैं। हम 3=√a/2 से a पाते हैं। इसलिए √a=6, a=36. हम स्पर्शरेखा समीकरण y=x/12+3 पाते हैं। यह आंकड़ा विचाराधीन फ़ंक्शन का ग्राफ़ और निर्मित वांछित स्पर्शरेखा दिखाता है।

छात्रों को अनुमानित समानताएं Δy=≈f΄(x)Δxand f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx याद दिलाई जाती हैं। x=a, x+Δx=x, Δx=x-a लेते हुए, हमें f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a) मिलता है, इसलिए f(x)≈f(a)+ f΄( ए)(एक्स-ए)।

उदाहरण 4 में, व्यंजक 2.003 6 का अनुमानित मान ज्ञात करना आवश्यक है। चूँकि बिंदु x=2.003 पर फ़ंक्शन f(x)=x 6 का मान ज्ञात करना आवश्यक है, हम f(x)=x 6, a=2, f(a) लेते हुए प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग कर सकते हैं )= f(2)=64, f ΄(x)=6x 5. बिंदु f΄(2)=192 पर व्युत्पन्न। इसलिए, 2.003 6 ≈65-192·0.003. अभिव्यक्ति की गणना करने पर, हमें 2.003 6 ≈64.576 मिलता है।

स्कूल में पारंपरिक गणित पाठ में उपयोग के लिए वीडियो पाठ "किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण" की अनुशंसा की जाती है। दूर से पढ़ाने वाले शिक्षक के लिए, वीडियो सामग्री विषय को अधिक स्पष्ट रूप से समझाने में मदद करेगी। यदि आवश्यक हो तो विषय की समझ को गहरा करने के लिए छात्रों को स्वतंत्र रूप से समीक्षा करने के लिए वीडियो की अनुशंसा की जा सकती है।

पाठ डिकोडिंग:

हम जानते हैं कि यदि एक बिंदु M (a; f(a)) (ए से निर्देशांक a और ef के साथ em) फ़ंक्शन y = f (x) के ग्राफ़ से संबंधित है और यदि इस बिंदु पर एक स्पर्शरेखा खींचना संभव है फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर जो अक्ष भुज के लंबवत नहीं है, तो स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक f"(a) (a से eff अभाज्य) के बराबर है।

मान लीजिए कि एक फ़ंक्शन y = f(x) और एक बिंदु M (a; f(a)) दिया गया है, और यह भी ज्ञात है कि f´(a) मौजूद है। आइए ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण बनाएं दिया गया कार्यवी दिया गया बिंदु. यह समीकरण, किसी भी सीधी रेखा के समीकरण की तरह, जो कोटि अक्ष के समानांतर नहीं है, का रूप y = kx+m है (y, ka x प्लस em के बराबर है), इसलिए कार्य का मान ज्ञात करना है गुणांक k और m (ka और em)

कोण गुणांक k= f"(a)। m के मान की गणना करने के लिए, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि वांछित सीधी रेखा बिंदु M(a; f (a)) से होकर गुजरती है। इसका मतलब यह है कि यदि हम के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करते हैं सीधी रेखा के समीकरण में बिंदु M पर, हमें सही समानता प्राप्त होती है: f(a) = ka+m, जहां से हम पाते हैं कि m = f(a) - ka।

यह गुणांक Ki और m के पाए गए मानों को सीधी रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करना बाकी है:

y = kx+(f(a) -ka);

y = f(a)+k(x-a);

य= एफ(ए)+ एफ"(ए) (एक्स- ए). ( y, a से ef के बराबर है और a से ef prime, x घटा a से गुणा किया गया है)।

हमने बिंदु x=a पर फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा के लिए समीकरण प्राप्त कर लिया है।

यदि, मान लीजिए, y = x 2 और x = -2 (अर्थात a = -2), तो f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, जिसका अर्थ है f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (तब a का ef चार के बराबर है, अभाज्य का ef x दो x के बराबर है, जिसका अर्थ है कि a से ef अभाज्य शून्य से चार के बराबर है)

समीकरण में पाए गए मान a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: y = 4+(-4)(x+2), अर्थात। y = -4x -4.

(ई शून्य से चार x शून्य से चार के बराबर है)

आइए मूल बिंदु पर फ़ंक्शन y = tanx (y स्पर्शरेखा x के बराबर है) के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण बनाएं। हमारे पास: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= , जिसका अर्थ है f"(0) = l. समीकरण में पाए गए मान a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: y=x।

आइए हम एक एल्गोरिदम का उपयोग करके बिंदु x पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के समीकरण को खोजने में अपने चरणों को संक्षेप में प्रस्तुत करें।

फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण विकसित करने के लिए एल्गोरिदम:

1) स्पर्शरेखा बिंदु के भुज को अक्षर a से निर्दिष्ट करें।

2) f(a) की गणना करें।

3) f´(x) खोजें और f´(a) की गणना करें।

4) सूत्र में प्राप्त संख्याओं a, f(a), f´(a) को प्रतिस्थापित करें य= एफ(ए)+ एफ"(ए) (एक्स- ए).

उदाहरण 1. फ़ंक्शन y = - in के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण बनाएं

बिंदु x = 1.

समाधान। आइए इसे ध्यान में रखते हुए एल्गोरिदम का उपयोग करें इस उदाहरण में

2) f(a)=f(1)=- =-1

3)f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) प्राप्त तीन संख्याओं को प्रतिस्थापित करें: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 सूत्र में। हमें मिलता है: y = -1+(x-1), y = x-2 .

उत्तर: y = x-2.

उदाहरण 2. फलन y = दिया गया है एक्स 3 +3एक्स 2 -2एक्स-2. फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का समीकरण, सीधी रेखा y = -2x +1 के समानांतर लिखें।

स्पर्शरेखा समीकरण की रचना के लिए एल्गोरिदम का उपयोग करते हुए, हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि इस उदाहरण में f(x) = एक्स 3 +3एक्स 2 -2एक्स-2, लेकिन स्पर्शरेखा बिंदु का भुज यहां इंगित नहीं किया गया है।

आइए इस तरह सोचना शुरू करें। वांछित स्पर्शरेखा सीधी रेखा y = -2x+1 के समानांतर होनी चाहिए। और समानांतर रेखाओं में समान कोणीय गुणांक होते हैं। इसका मतलब यह है कि स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक दी गई सीधी रेखा के कोणीय गुणांक के बराबर है: k स्पर्शरेखा। = -2. होक कैस. = f"(a)। इस प्रकार, हम समीकरण f ´(a) = -2 से a का मान ज्ञात कर सकते हैं।

आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें आप=एफ(एक्स):

एफ"(एक्स)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;एफ"(ए)= 3ए 2 +6ए-2.

समीकरण f"(a) = -2 से, अर्थात। 3ए 2 +6ए-2=-2 हमें a 1 =0, a 2 =-2 मिलता है। इसका मतलब यह है कि दो स्पर्शरेखाएं हैं जो समस्या की शर्तों को पूरा करती हैं: एक एब्सिस्सा 0 वाले बिंदु पर, दूसरी एब्सिस्सा -2 वाले बिंदु पर।

अब आप एल्गोरिथम का पालन कर सकते हैं।

1) ए 1 =0, और 2 =-2।

2) एफ(ए 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; च(ए 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;

3) एफ"(ए 1) = एफ"(ए 2) = -2.

4) मान a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

मान a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

उत्तर: y=-2x-2, y=-2x+2.

उदाहरण 3. बिंदु (0; 3) से फ़ंक्शन y = के ग्राफ़ पर एक स्पर्श रेखा खींचें। समाधान। आइए इस उदाहरण में f(x) = को ध्यान में रखते हुए, स्पर्शरेखा समीकरण बनाने के लिए एल्गोरिदम का उपयोग करें। ध्यान दें कि यहां, उदाहरण 2 की तरह, स्पर्शरेखा बिंदु का भुज स्पष्ट रूप से इंगित नहीं किया गया है। फिर भी, हम एल्गोरिथम का पालन करते हैं।

1) मान लीजिए x = a स्पर्श बिंदु का भुज है; यह स्पष्ट है कि a >0.

3)f´(x)=()´=; f´(ए) =.

4) सूत्र में a, f(a) = , f"(a) = के मानों को प्रतिस्थापित करना

y=f (a) +f "(a) (x-a), हम पाते हैं:

शर्त के अनुसार, स्पर्शरेखा बिंदु (0; 3) से होकर गुजरती है। समीकरण में x = 0, y = 3 मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: 3 =, और फिर =6, a =36।

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस उदाहरण में, एल्गोरिदम के केवल चौथे चरण में हम स्पर्शरेखा बिंदु का भुज खोजने में कामयाब रहे। समीकरण में मान a =36 रखने पर, हमें मिलता है: y=+3

चित्र में. चित्र 1 विचारित उदाहरण का एक ज्यामितीय चित्रण दिखाता है: फ़ंक्शन y = का एक ग्राफ़ प्लॉट किया गया है, एक सीधी रेखा y = +3 खींची गई है।

उत्तर: y = +3.

हम जानते हैं कि एक फ़ंक्शन y = f(x) के लिए, जिसका बिंदु x पर व्युत्पन्न है, अनुमानित समानता मान्य है: Δyf´(x)Δx (डेल्टा y, डेल्टा x से गुणा किए गए x के ईएफ प्राइम के लगभग बराबर है)

या, अधिक विस्तार से, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (x से eff प्लस डेल्टा x घटा ef, x से डेल्टा x द्वारा लगभग ef prime के बराबर है)।

आगे की चर्चा की सुविधा के लिए, आइए संकेतन बदलें:

x की जगह हम लिखेंगे ए,

x+Δx के स्थान पर हम x लिखेंगे

Δx के स्थान पर हम x-a लिखेंगे।

तब ऊपर लिखी अनुमानित समानता का रूप ले लेगी:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (x से eff लगभग a से ef के बराबर है और a से ef prime, x और a के बीच के अंतर से गुणा किया गया है)।

उदाहरण 4: अनुमानित मान ज्ञात कीजिए संख्यात्मक अभिव्यक्ति 2,003 6 .

समाधान। इसके बारे मेंबिंदु x = 2.003 पर फ़ंक्शन y = x 6 का मान ज्ञात करने के बारे में। आइए सूत्र f(x)f(a)+f´(a)(x-a) का उपयोग करें, यह ध्यान में रखते हुए कि इस उदाहरण में f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2.003, f"(x) = 6x 5 और, इसलिए, f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192।

परिणामस्वरूप हमें मिलता है:

2.003 6 64+192· 0.003, यानी। 2.003 6 =64.576.

यदि हम कैलकुलेटर का उपयोग करते हैं, तो हमें मिलता है:

2,003 6 = 64,5781643...

जैसा कि आप देख सकते हैं, सन्निकटन सटीकता काफी स्वीकार्य है।

प्रमाणन परीक्षा में विषय "झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा के रूप में स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक" को कई कार्य दिए गए हैं। उनकी स्थिति के आधार पर, स्नातक को पूर्ण उत्तर या संक्षिप्त उत्तर देने की आवश्यकता हो सकती है। तैयारी के लिए एकीकृत राज्य परीक्षा उत्तीर्ण करनागणित में विद्यार्थी को निश्चित रूप से उन समस्याओं को दोहराना चाहिए जिनमें स्पर्श रेखा के कोणीय गुणांक की गणना करना आवश्यक हो।

इससे आपको ऐसा करने में मदद मिलेगी शैक्षिक पोर्टल"शकोल्कोवो"। हमारे विशेषज्ञों ने यथासंभव सुलभ तरीके से सैद्धांतिक और व्यावहारिक सामग्री तैयार और प्रस्तुत की। इससे परिचित होने के बाद, किसी भी स्तर के प्रशिक्षण वाले स्नातक डेरिवेटिव से संबंधित समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने में सक्षम होंगे जिनमें स्पर्शरेखा कोण के स्पर्शरेखा को ढूंढना आवश्यक है।

बुनियादी क्षण

एकीकृत राज्य परीक्षा में ऐसे कार्यों का सही और तर्कसंगत समाधान खोजने के लिए, मूल परिभाषा को याद रखना आवश्यक है: व्युत्पन्न किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर का प्रतिनिधित्व करता है; यह एक निश्चित बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींचे गए स्पर्शरेखा कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है। ड्राइंग को पूरा करना भी उतना ही महत्वपूर्ण है। यह आपको खोजने की अनुमति देगा सही समाधानव्युत्पन्न पर एकीकृत राज्य परीक्षा समस्याएं, जिसमें स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण की स्पर्शरेखा की गणना करना आवश्यक है। स्पष्टता के लिए, OXY तल पर ग्राफ़ बनाना सर्वोत्तम है।

यदि आप पहले से ही व्युत्पन्न के विषय पर बुनियादी सामग्री से परिचित हो चुके हैं और स्पर्शरेखा कोण की स्पर्शरेखा की गणना पर समस्याओं को हल करना शुरू करने के लिए तैयार हैं, जैसे कि एकीकृत राज्य परीक्षा असाइनमेंट, आप इसे ऑनलाइन कर सकते हैं। प्रत्येक कार्य के लिए, उदाहरण के लिए, "किसी पिंड की गति और त्वरण के साथ व्युत्पन्न का संबंध" विषय पर समस्याओं के लिए, हमने सही उत्तर और समाधान एल्गोरिदम लिखा है। साथ ही, छात्र जटिलता के विभिन्न स्तरों के कार्य करने का अभ्यास कर सकते हैं। यदि आवश्यक हो, तो अभ्यास को "पसंदीदा" अनुभाग में सहेजा जा सकता है ताकि आप बाद में शिक्षक के साथ समाधान पर चर्चा कर सकें।

मान लीजिए कि एक फलन f दिया गया है, जिसका किसी बिंदु x 0 पर एक परिमित अवकलज f (x 0) है। फिर कोणीय गुणांक f'(x 0) वाले बिंदु (x 0 ; f (x 0)) से गुजरने वाली सीधी रेखा स्पर्शरेखा कहलाती है।

यदि व्युत्पन्न बिंदु x 0 पर मौजूद नहीं है तो क्या होगा? दो विकल्प हैं:

1. ग्राफ़ में कोई स्पर्श रेखा भी नहीं है। एक उत्कृष्ट उदाहरण फ़ंक्शन y = |x | है बिंदु पर (0; 0).
2. स्पर्शरेखा ऊर्ध्वाधर हो जाती है. यह सच है, उदाहरण के लिए, बिंदु (1; π /2) पर फ़ंक्शन y = आर्क्सिन x के लिए।

स्पर्शरेखा समीकरण

कोई भी गैर-ऊर्ध्वाधर सीधी रेखा y = kx + b रूप के समीकरण द्वारा दी जाती है, जहां k ढलान है। स्पर्शरेखा कोई अपवाद नहीं है, और किसी बिंदु x 0 पर इसका समीकरण बनाने के लिए, इस बिंदु पर फ़ंक्शन और व्युत्पन्न का मान जानना पर्याप्त है।

तो, मान लीजिए कि एक फ़ंक्शन y = f (x) दिया गया है, जिसका खंड पर व्युत्पन्न y = f '(x) है। फिर किसी भी बिंदु x 0 ∈ (a ; b) पर इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है, जो समीकरण द्वारा दी गई है:

y = f '(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

यहां f '(x 0) बिंदु x 0 पर व्युत्पन्न का मान है, और f (x 0) स्वयं फ़ंक्शन का मान है।

काम। फ़ंक्शन y = x 3 दिया गया है। बिंदु x 0 = 2 पर इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण लिखें।

स्पर्शरेखा समीकरण: y = f '(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). बिंदु x 0 = 2 हमें दिया गया है, लेकिन मान f (x 0) और f '(x 0) की गणना करनी होगी।

सबसे पहले, आइए फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें। यहां सब कुछ आसान है: एफ (एक्स 0) = एफ (2) = 2 3 = 8;
आइए अब व्युत्पन्न खोजें: f '(x) = (x 3)' = 3x 2;
हम व्युत्पन्न में x 0 = 2 प्रतिस्थापित करते हैं: f '(x 0) = f'(2) = 3 2 2 = 12;
कुल मिलाकर हमें मिलता है: y = 12 · (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16।
यह स्पर्शरेखा समीकरण है.

काम। फ़ंक्शन f (x) = 2sin x + 5 के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के लिए बिंदु x 0 = π /2 पर एक समीकरण लिखें।

इस बार हम प्रत्येक क्रिया का विस्तार से वर्णन नहीं करेंगे - हम केवल मुख्य चरणों का संकेत देंगे। हमारे पास है:

एफ (एक्स 0) = एफ (π /2) = 2सिन (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x;
f '(x 0) = f '(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

स्पर्शरेखा समीकरण:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

बाद के मामले में, सीधी रेखा क्षैतिज हो गई, क्योंकि इसका कोणीय गुणांक k = 0 है। इसमें कुछ भी गलत नहीं है - हम बस एक चरम बिंदु पर पहुँच गए हैं।

Y = f(x) और यदि इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है जो भुज अक्ष के लंबवत नहीं है, तो स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक f"(a) के बराबर है। हम पहले ही कर चुके हैं उदाहरण के लिए, § 33 में यह स्थापित किया गया था कि मूल बिंदु पर फ़ंक्शन y = syn x (साइनसॉइड) का ग्राफ x-अक्ष के साथ 45° का कोण बनाता है (अधिक सटीक रूप से, स्पर्शरेखा)। मूल बिंदु पर ग्राफ x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ 45° का कोण बनाता है), और उदाहरण में दिए गए शेड्यूल पर 5 § 33 अंक पाए गए कार्य, जिसमें स्पर्शरेखा x-अक्ष के समानांतर है। § 33 के उदाहरण 2 में, बिंदु x = 1 पर फ़ंक्शन y = x 2 के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण तैयार किया गया था (अधिक सटीक रूप से, बिंदु (1; 1) पर), लेकिन अधिक बार केवल भुज मान होता है यह मानते हुए संकेत दिया गया है कि यदि भुज मान ज्ञात है, तो कोटि मान समीकरण y = f(x)) से पाया जा सकता है। इस अनुभाग में हम किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा समीकरण बनाने के लिए एक एल्गोरिदम विकसित करेंगे।

मान लीजिए कि फ़ंक्शन y = f(x) और बिंदु M (a; f(a)) दिया गया है, और यह भी ज्ञात है कि f"(a) मौजूद है। आइए हम a के ग्राफ की स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण बनाएं किसी दिए गए बिंदु पर दिया गया फ़ंक्शन। यह समीकरण किसी भी सीधी रेखा के समीकरण की तरह है जो कोटि अक्ष के समानांतर नहीं है, इसका रूप y = kx+m है, इसलिए कार्य गुणांक k और m के मान ज्ञात करना है।

कोणीय गुणांक k के साथ कोई समस्या नहीं है: हम जानते हैं कि k = f "(a)। m के मान की गणना करने के लिए, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि वांछित सीधी रेखा बिंदु M(a; f (a)) से होकर गुजरती है। इसका मतलब यह है कि यदि हम निर्देशांक बिंदु M को सीधी रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें सही समानता प्राप्त होती है: f(a) = ka+m, जिससे हम पाते हैं कि m = f(a) - ka।
इसमें किट गुणांक के पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करना बाकी है समीकरणसीधा:

हमने बिंदु x=a पर फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा के लिए समीकरण प्राप्त कर लिया है।
अगर, कहो,
पाए गए मान a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2 को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: y = 1+2(x-f), यानी y = 2x-1।
इस परिणाम की तुलना § 33 से उदाहरण 2 में प्राप्त परिणाम से करें। स्वाभाविक रूप से, वही हुआ।
आइए मूल बिंदु पर फ़ंक्शन y = tan x के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा के लिए एक समीकरण बनाएं। हमारे पास है: इसका मतलब है cos x f"(0) = 1. पाए गए मान a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1 को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: y = x।
यही कारण है कि हमने § 15 (चित्र 62 देखें) में स्पर्शरेखा को भुज अक्ष से 45° के कोण पर निर्देशांक की उत्पत्ति के माध्यम से खींचा।
इन्हें काफी सुलझाना है सरल उदाहरण, हमने वास्तव में एक निश्चित एल्गोरिदम का उपयोग किया है, जो सूत्र (1) में निहित है। आइए इस एल्गोरिदम को स्पष्ट करें।

फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण विकसित करने के लिए एल्गोरिदम

1) स्पर्शरेखा बिंदु के भुज को अक्षर a से निर्दिष्ट करें।
2) 1 (ए) की गणना करें।
3) f"(x) ढूंढें और f"(a) की गणना करें।
4) प्राप्त संख्याओं a, f(a), (a) को सूत्र (1) में प्रतिस्थापित करें।

उदाहरण 1।बिंदु x = 1 पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा के लिए एक समीकरण लिखें।
आइए इस उदाहरण में इसे ध्यान में रखते हुए एल्गोरिदम का उपयोग करें

चित्र में. 126 एक अतिपरवलय दर्शाया गया है, एक सीधी रेखा y = 2 का निर्माण किया गया है।
चित्र उपरोक्त गणनाओं की पुष्टि करता है: वास्तव में, रेखा y = 2 बिंदु (1; 1) पर हाइपरबोला को छूती है।

उत्तर: y = 2- x.
उदाहरण 2.फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा बनाएं ताकि वह रेखा y = 4x - 5 के समानांतर हो।
आइए हम समस्या का सूत्रीकरण स्पष्ट करें। "स्पर्शरेखा खींचने" की आवश्यकता का आमतौर पर मतलब "स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण बनाना" होता है। यह तर्कसंगत है, क्योंकि यदि कोई व्यक्ति स्पर्शरेखा के लिए समीकरण बनाने में सक्षम था, तो उसे इसे बनाने में कठिनाई होने की संभावना नहीं है विमान का समन्वयउसके समीकरण के अनुसार सीधी रेखा।
आइए स्पर्शरेखा समीकरण बनाने के लिए एल्गोरिदम का उपयोग करें, यह ध्यान में रखते हुए कि इस उदाहरण में, लेकिन, पिछले उदाहरण के विपरीत, अस्पष्टता है: स्पर्शरेखा बिंदु का भुज स्पष्ट रूप से इंगित नहीं किया गया है।
आइए इस तरह सोचना शुरू करें। वांछित स्पर्शरेखा सीधी रेखा y = 4x-5 के समानांतर होनी चाहिए। दो रेखाएँ समानांतर होती हैं यदि और केवल यदि उनकी ढलानें समान हों। इसका मतलब यह है कि स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक दी गई सीधी रेखा के कोणीय गुणांक के बराबर होना चाहिए: इस प्रकार, हम समीकरण f"(a) = 4 से a का मान ज्ञात कर सकते हैं।
हमारे पास है:
समीकरण से इसका मतलब यह है कि दो स्पर्शरेखाएँ हैं जो समस्या की शर्तों को पूरा करती हैं: एक भुज 2 वाले बिंदु पर, दूसरी भुज -2 वाले बिंदु पर।
अब आप एल्गोरिथम का पालन कर सकते हैं।

उदाहरण 3.बिंदु (0; 1) से फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्श रेखा खींचें
आइए स्पर्शरेखा समीकरण बनाने के लिए एल्गोरिदम का उपयोग करें, इस उदाहरण को ध्यान में रखते हुए, ध्यान दें कि यहां, उदाहरण 2 की तरह, स्पर्शरेखा बिंदु का भुज स्पष्ट रूप से इंगित नहीं किया गया है। फिर भी, हम एल्गोरिथम का पालन करते हैं।

शर्त के अनुसार, स्पर्शरेखा बिंदु (0; 1) से होकर गुजरती है। मान x = 0, y = 1 को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
जैसा कि आप देख सकते हैं, इस उदाहरण में, एल्गोरिदम के केवल चौथे चरण में हम स्पर्शरेखा बिंदु का भुज खोजने में कामयाब रहे। मान a =4 को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

चित्र में. 127 सुविचारित उदाहरण का एक ज्यामितीय चित्रण प्रस्तुत करता है: फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ प्लॉट किया गया है

§ 32 में हमने नोट किया कि एक फ़ंक्शन y = f(x) के लिए एक निश्चित बिंदु x पर व्युत्पन्न होने पर, अनुमानित समानता मान्य है:

आगे के तर्क की सुविधा के लिए, आइए नोटेशन को बदलें: x के बजाय हम a लिखेंगे, इसके बजाय हम x लिखेंगे और, तदनुसार, इसके बजाय हम x-a लिखेंगे। तब ऊपर लिखी अनुमानित समानता का रूप ले लेगी:

अब चित्र देखें। 128. फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ़ पर बिंदु M (a; f (a)) पर एक स्पर्श रेखा खींची जाती है। बिंदु x को x-अक्ष पर a के निकट अंकित किया गया है। यह स्पष्ट है कि f(x) फ़ंक्शन के ग्राफ़ की कोटि है निर्दिष्ट बिंदुएक्स। f(a) + f"(a) (x-a) क्या है? यह उसी बिंदु x के संगत स्पर्शरेखा की कोटि है - सूत्र (1) देखें। अनुमानित समानता (3) का क्या अर्थ है? तथ्य फ़ंक्शन के अनुमानित मान की गणना करने के लिए, स्पर्शरेखा का कोटि मान लें।

उदाहरण 4.संख्यात्मक अभिव्यक्ति 1.02 7 का अनुमानित मान ज्ञात कीजिए।
हम बिंदु x = 1.02 पर फ़ंक्शन y = x 7 का मान ज्ञात करने के बारे में बात कर रहे हैं। आइए इस उदाहरण में इसे ध्यान में रखते हुए सूत्र (3) का उपयोग करें
परिणामस्वरूप हमें मिलता है:

यदि हम कैलकुलेटर का उपयोग करते हैं, तो हमें मिलता है: 1.02 7 = 1.148685667...
जैसा कि आप देख सकते हैं, सन्निकटन सटीकता काफी स्वीकार्य है।
उत्तर: 1,02 7 =1,14.

ए.जी. मोर्दकोविच बीजगणित 10वीं कक्षा

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स्पर्शरेखावक्र पर एक बिंदु से होकर गुजरने वाली और पहले क्रम तक इस बिंदु पर इसके साथ संपाती होने वाली एक सीधी रेखा है (चित्र 1)।

एक और परिभाषा: यह Δ पर छेदक की सीमित स्थिति है एक्स→0.

स्पष्टीकरण: वक्र को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली एक सीधी रेखा लें: एऔर बी(तस्वीर देखने)। यह एक सेकेंट है. हम इसे दक्षिणावर्त घुमाएंगे जब तक कि यह वक्र के साथ केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु न पा ले। इससे हमें एक स्पर्शरेखा मिलेगी.

स्पर्शरेखा की सख्त परिभाषा:

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा एफ, बिंदु पर भिन्न एक्सहे, बिंदु से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा है ( एक्सहे; एफ(एक्सहे)) और ढलान होना एफ′( एक्सहे).

ढलान के रूप में एक सीधी रेखा होती है य =केएक्स +बी. गुणक कऔर है ढलानयह सीधी रेखा.

ढलान कारक स्पर्शरेखा के बराबर तीव्र कोण, भुज अक्ष के साथ इस सीधी रेखा द्वारा निर्मित:

क = तन α

यहाँ कोण α सीधी रेखा के बीच का कोण है य =केएक्स +बीऔर x-अक्ष की सकारात्मक (अर्थात, वामावर्त) दिशा। यह कहा जाता है एक सीधी रेखा के झुकाव का कोण(चित्र 1 और 2)।

यदि झुकाव का कोण सीधा है य =केएक्स +बीतीव्र, तो ढलान है सकारात्मक संख्या. ग्राफ़ बढ़ रहा है (चित्र 1)।

यदि झुकाव का कोण सीधा है य =केएक्स +बीकुंठित है, तो ढलान है ऋणात्मक संख्या. ग्राफ़ घट रहा है (चित्र 2)।

यदि सीधी रेखा x-अक्ष के समानांतर है, तो सीधी रेखा का झुकाव कोण शून्य है। इस स्थिति में, रेखा का ढलान भी शून्य है (चूंकि शून्य की स्पर्शरेखा शून्य है)। सीधी रेखा का समीकरण y = b जैसा दिखेगा (चित्र 3)।

यदि एक सीधी रेखा के झुकाव का कोण 90º (π/2) है, अर्थात यह भुज अक्ष के लंबवत है, तो सीधी रेखा समानता द्वारा दी जाती है एक्स =सी, कहाँ सी– कुछ वास्तविक संख्या (चित्र 4)।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरणय = एफ(एक्स) बिंदु पर एक्सहे:

उदाहरण: फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण ज्ञात करें एफ(एक्स) = एक्स 3 – 2एक्सभुज 2 के साथ बिंदु पर 2 + 1।

समाधान ।

हम एल्गोरिथम का पालन करते हैं।

1) स्पर्श बिंदु एक्सहे 2 के बराबर है। गणना करें एफ(एक्सहे):

एफ(एक्सहे) = एफ(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) खोजें एफ′( एक्स). ऐसा करने के लिए, हम पिछले अनुभाग में उल्लिखित विभेदन सूत्र लागू करते हैं। इन सूत्रों के अनुसार, एक्स 2 = 2एक्स, ए एक्स 3 = 3एक्स 2. मतलब:

एफ′( एक्स) = 3एक्स 2 – 2 ∙ 2एक्स = 3एक्स 2 – 4एक्स.

अब, परिणामी मान का उपयोग करें एफ′( एक्स), गणना करें एफ′( एक्सहे):

एफ′( एक्सहे) = एफ(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4।

3) तो, हमारे पास सभी आवश्यक डेटा हैं: एक्सहे = 2, एफ(एक्सहे) = 1, एफ ′( एक्सहे) = 4. इन संख्याओं को स्पर्शरेखा समीकरण में रखें और अंतिम समाधान खोजें:

य = एफ(एक्सहे) + एफ′( एक्सहे) (एक्स - एक्स ओ) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.

उत्तर: y = 4x – 7.