स्पर्शरेखावक्र पर एक बिंदु से गुजरने वाली और पहले क्रम तक इस बिंदु पर इसके साथ संपाती होने वाली एक सीधी रेखा है (चित्र 1)।

एक और परिभाषा: यह Δ पर छेदक की सीमित स्थिति है एक्स→0.

स्पष्टीकरण: वक्र को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली एक सीधी रेखा लें: एऔर बी(तस्वीर देखने)। यह एक सेकेंट है. हम इसे दक्षिणावर्त घुमाएंगे जब तक कि यह वक्र के साथ केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु न पा ले। इससे हमें एक स्पर्शरेखा मिलेगी.

स्पर्शरेखा की सख्त परिभाषा:

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा एफ, बिंदु पर भिन्न एक्सहे, बिंदु से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा है ( एक्सहे; एफ(एक्सहे)) और ढलान होना एफ′( एक्सहे).

ढलान के रूप में एक सीधी रेखा होती है आप=केएक्स +बी. गुणक केऔर है ढलानयह सीधी रेखा.

ढलान कारक स्पर्शरेखा के बराबर तीव्र कोण, भुज अक्ष के साथ इस सीधी रेखा द्वारा निर्मित:

के = तन α

यहाँ कोण α सीधी रेखा के बीच का कोण है आप=केएक्स +बीऔर x-अक्ष की सकारात्मक (अर्थात, वामावर्त) दिशा। यह कहा जाता है एक सीधी रेखा के झुकाव का कोण(चित्र 1 और 2)।

यदि झुकाव का कोण सीधा है आप=केएक्स +बीतीव्र, तो ढलान है सकारात्मक संख्या. ग्राफ़ बढ़ रहा है (चित्र 1)।

यदि झुकाव का कोण सीधा है आप=केएक्स +बीकुंठित है, तो ढलान एक ऋणात्मक संख्या है। ग्राफ़ घट रहा है (चित्र 2)।

यदि सीधी रेखा x-अक्ष के समानांतर है, तो सीधी रेखा का झुकाव कोण शून्य है। इस स्थिति में, रेखा का ढलान भी शून्य है (चूंकि शून्य की स्पर्शरेखा शून्य है)। सीधी रेखा का समीकरण y = b जैसा दिखेगा (चित्र 3)।

यदि एक सीधी रेखा के झुकाव का कोण 90º (π/2) है, अर्थात यह भुज अक्ष के लंबवत है, तो सीधी रेखा समानता द्वारा दी जाती है एक्स =सी, कहाँ सी– कुछ वास्तविक संख्या (चित्र 4)।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरणय = एफ(एक्स) बिंदु पर एक्सहे:

उदाहरण: फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण ज्ञात करें एफ(एक्स) = एक्स 3 – 2एक्सभुज 2 के साथ बिंदु पर 2 + 1।

समाधान ।

हम एल्गोरिथम का पालन करते हैं।

1) स्पर्श बिंदु एक्सहे 2 के बराबर है। गणना करें एफ(एक्सहे):

एफ(एक्सहे) = एफ(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) खोजें एफ′( एक्स). ऐसा करने के लिए, हम पिछले अनुभाग में उल्लिखित विभेदीकरण सूत्र लागू करते हैं। इन सूत्रों के अनुसार, एक्स 2 = 2एक्स, ए एक्स 3 = 3एक्स 2. मतलब:

एफ′( एक्स) = 3एक्स 2 – 2 ∙ 2एक्स = 3एक्स 2 – 4एक्स.

अब, परिणामी मान का उपयोग करें एफ′( एक्स), गणना करें एफ′( एक्सहे):

एफ′( एक्सहे) = एफ(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4।

3) तो, हमारे पास सभी आवश्यक डेटा हैं: एक्सहे = 2, एफ(एक्सहे) = 1, एफ ′( एक्सहे) = 4. इन संख्याओं को स्पर्शरेखा समीकरण में रखें और अंतिम समाधान खोजें:

य = एफ(एक्सहे) + एफ′( एक्सहे) (एक्स - एक्स ओ) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.

उत्तर: y = 4x – 7.

निर्देश

हम बिंदु M पर वक्र की स्पर्श रेखा का कोणीय गुणांक निर्धारित करते हैं।
फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ़ का प्रतिनिधित्व करने वाला वक्र बिंदु M के एक निश्चित पड़ोस में निरंतर है (बिंदु M सहित)।

यदि मान f'(x0) मौजूद नहीं है, तो या तो कोई स्पर्शरेखा नहीं है, या यह लंबवत चलता है। इसे देखते हुए, बिंदु x0 पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की उपस्थिति बिंदु (x0, f(x0)) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के गैर-ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा के अस्तित्व के कारण है। इस मामले में, स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक f "(x0) के बराबर होगा। इस प्रकार, यह स्पष्ट हो जाता है ज्यामितीय अर्थव्युत्पन्न - स्पर्शरेखा के ढलान की गणना।

स्पर्शरेखा बिंदु का भुज मान ज्ञात करें, जिसे अक्षर "ए" द्वारा दर्शाया गया है। यदि यह किसी दिए गए स्पर्शरेखा बिंदु के साथ मेल खाता है, तो "ए" इसका एक्स-निर्देशांक होगा। मूल्य निर्धारित करें कार्य f(a) को समीकरण में प्रतिस्थापित करके कार्यभुज मान.

समीकरण का प्रथम अवकलज ज्ञात कीजिए कार्य f'(x) और इसमें बिंदु "a" का मान रखें।

लेना सामान्य समीकरणस्पर्शरेखा, जिसे y = f(a) = f (a)(x – a) के रूप में परिभाषित किया गया है, और इसमें a, f(a), f "(a) के पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करें। परिणामस्वरूप, ग्राफ और स्पर्शरेखा का हल मिल जाएगा।

यदि दिया गया स्पर्शरेखा बिंदु स्पर्शरेखा बिंदु से मेल नहीं खाता है तो समस्या को अलग तरीके से हल करें। इस स्थिति में, स्पर्श रेखा समीकरण में संख्याओं के स्थान पर "a" रखना आवश्यक है। इसके बाद, अक्षर "x" और "y" के स्थान पर दिए गए बिंदु के निर्देशांक का मान रखें। परिणामी समीकरण को हल करें जिसमें "ए" अज्ञात है। परिणामी मान को स्पर्शरेखा समीकरण में प्लग करें।

यदि समस्या कथन समीकरण को निर्दिष्ट करता है तो "ए" अक्षर के साथ स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण लिखें कार्यऔर समीकरण समानांतर पंक्तिवांछित स्पर्शरेखा के सापेक्ष. इसके बाद हमें व्युत्पन्न की आवश्यकता है कार्य, बिंदु "ए" पर समन्वय के लिए। स्पर्शरेखा समीकरण में उचित मान रखें और फ़ंक्शन को हल करें।

इस लेख में हम सभी प्रकार की समस्याओं का पता लगाने के लिए उनका विश्लेषण करेंगे

आइए याद करें व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ: यदि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा खींची जाती है, तो स्पर्शरेखा का ढलान गुणांक (स्पर्शरेखा और अक्ष की सकारात्मक दिशा के बीच के कोण की स्पर्शरेखा के बराबर) फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बराबर होता है बिंदु पर.

आइए निर्देशांक के साथ स्पर्शरेखा पर एक मनमाना बिंदु लें:

और विचार करें सही त्रिकोण :

इस त्रिकोण में

यहाँ से

यह बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा का समीकरण है।

स्पर्शरेखा समीकरण लिखने के लिए, हमें केवल फ़ंक्शन के समीकरण और उस बिंदु को जानना होगा जिस पर स्पर्शरेखा खींची गई है। तब हम और पा सकते हैं।

स्पर्शरेखा समीकरण समस्याओं के तीन मुख्य प्रकार हैं।

1. संपर्क का एक बिंदु दिया गया

2. स्पर्शरेखा ढलान गुणांक दिया गया है, अर्थात, बिंदु पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान।

3. उस बिंदु के निर्देशांक दिए गए हैं जिससे स्पर्शरेखा खींची गई है, लेकिन जो स्पर्शरेखा का बिंदु नहीं है।

आइए प्रत्येक प्रकार के कार्य पर नजर डालें।

1. फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण लिखें बिंदु पर .

.

बी) बिंदु पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें। सबसे पहले आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

आइए पाए गए मानों को स्पर्शरेखा समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

आइए समीकरण के दाईं ओर कोष्ठक खोलें। हम पाते हैं:

उत्तर: .

2. उन बिंदुओं का भुज खोजें जिन पर फ़ंक्शन ग्राफ़ के स्पर्शरेखा हैं x-अक्ष के समानांतर.

यदि स्पर्शरेखा x-अक्ष के समानांतर है, तो स्पर्शरेखा और अक्ष की सकारात्मक दिशा के बीच का कोण शून्य है, इसलिए स्पर्शरेखा कोण की स्पर्शरेखा शून्य है। इसका मतलब यह है कि स्पर्शरेखा बिंदुओं पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान शून्य है।

ए) फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।

बी) आइए व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें और उन मानों को ढूंढें जिनमें स्पर्शरेखा अक्ष के समानांतर है:

प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर करने पर, हमें प्राप्त होता है:

उत्तर: 0;3;5

3. किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखाओं के लिए समीकरण लिखें , समानांतर प्रत्यक्ष .

एक स्पर्शरेखा एक रेखा के समानांतर होती है। इस रेखा का ढलान -1 है. चूँकि स्पर्शरेखा इस रेखा के समानांतर है, इसलिए स्पर्शरेखा का ढलान भी -1 है। वह है हम स्पर्श रेखा का ढलान जानते हैं, और फिर, स्पर्शरेखा के बिंदु पर व्युत्पन्न मान.

स्पर्श रेखा समीकरण ज्ञात करने के लिए यह दूसरे प्रकार की समस्या है।

तो, हमें स्पर्शरेखा के बिंदु पर व्युत्पन्न का फ़ंक्शन और मान दिया गया है।

ए) वे बिंदु खोजें जिन पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न -1 के बराबर है।

सबसे पहले, आइए व्युत्पन्न समीकरण खोजें।

आइए व्युत्पन्न को संख्या -1 के बराबर करें।

आइए बिंदु पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें।

(शर्त के अनुसार)

.

बी) बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण खोजें।

आइए बिंदु पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें।

(शर्त के अनुसार).

आइए इन मानों को स्पर्शरेखा समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

.

उत्तर:

4. वक्र की स्पर्शरेखा का समीकरण लिखिए , एक बिंदु से गुजरना

सबसे पहले, आइए जाँच करें कि क्या बिंदु एक स्पर्शरेखा बिंदु है। यदि कोई बिंदु एक स्पर्शरेखा बिंदु है, तो यह फ़ंक्शन के ग्राफ़ से संबंधित है, और इसके निर्देशांक को फ़ंक्शन के समीकरण को संतुष्ट करना होगा। आइए फ़ंक्शन के समीकरण में बिंदु के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करें।

शीर्षक='1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} ऋणात्मक संख्या, समानता सत्य नहीं है, और बिंदु फ़ंक्शन के ग्राफ़ से संबंधित नहीं है संपर्क का बिंदु नहीं है.

स्पर्शरेखा समीकरण ज्ञात करने के लिए यह अंतिम प्रकार की समस्या है। सबसे पहले हमें स्पर्शरेखा बिंदु का भुज (abscissa) ज्ञात करने की आवश्यकता है.

आइए मूल्य ज्ञात करें।

संपर्क का बिंदु बनें. बिंदु फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा से संबंधित है। यदि हम इस बिंदु के निर्देशांक को स्पर्शरेखा समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें सही समानता मिलती है:

.

किसी बिंदु पर फ़ंक्शन का मान है .

आइए बिंदु पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें।

सबसे पहले, आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें। यह ।

एक बिंदु पर व्युत्पन्न बराबर है .

आइए स्पर्शरेखा समीकरण के लिए और में व्यंजकों को प्रतिस्थापित करें। हमें इसके लिए समीकरण मिलता है:

आइए इस समीकरण को हल करें.

भिन्न के अंश और हर को 2 से कम करें:

आइए समीकरण के दाएँ पक्ष को एक उभयनिष्ठ हर पर लाएँ। हम पाते हैं:

आइए भिन्न के अंश को सरल बनाएं और दोनों पक्षों को इससे गुणा करें - यह अभिव्यक्ति पूर्णतः शून्य से बड़ी है।

हमें समीकरण मिलता है

आइए इसे सुलझाएं. ऐसा करने के लिए, आइए दोनों भागों को वर्गाकार करें और सिस्टम पर आगे बढ़ें।

शीर्षक='delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

आइए पहला समीकरण हल करें।

आइये निर्णय करें द्विघात समीकरण, हम पाते हैं

दूसरा रूट शीर्षक='8-3x_0>=0' शर्त को पूरा नहीं करता है">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

आइए बिंदु पर वक्र की स्पर्श रेखा का समीकरण लिखें। ऐसा करने के लिए, मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करें - हमने इसे पहले ही रिकॉर्ड कर लिया है।

उत्तर:
.

पर आधुनिक मंचशिक्षा का विकास, इसका एक मुख्य कार्य रचनात्मक सोच वाले व्यक्तित्व का निर्माण है। छात्रों में रचनात्मकता की क्षमता तभी विकसित हो सकती है जब वे अनुसंधान गतिविधियों की मूल बातों में व्यवस्थित रूप से शामिल हों। छात्रों के लिए अपनी रचनात्मक शक्तियों, क्षमताओं और प्रतिभाओं का उपयोग करने की नींव पूर्ण ज्ञान और कौशल से बनती है। इस संबंध में, एक प्रणाली बनाने की समस्या बुनियादी ज्ञानऔर प्रत्येक विषय के लिए कौशल स्कूल पाठ्यक्रमगणित का कोई छोटा महत्व नहीं है। साथ ही, पूर्ण कौशल व्यक्तिगत कार्यों का नहीं, बल्कि उनकी सावधानीपूर्वक सोची-समझी प्रणाली का उपदेशात्मक लक्ष्य होना चाहिए। व्यापक अर्थ में, एक सिस्टम को परस्पर जुड़े हुए अंतःक्रियात्मक तत्वों के एक समूह के रूप में समझा जाता है जिनमें अखंडता और एक स्थिर संरचना होती है।

आइए छात्रों को किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा के लिए समीकरण लिखने का तरीका सिखाने की एक तकनीक पर विचार करें। अनिवार्य रूप से, स्पर्शरेखा समीकरण खोजने की सभी समस्याएं रेखाओं के एक सेट (बंडल, परिवार) से चयन करने की आवश्यकता पर आती हैं जो एक निश्चित आवश्यकता को पूरा करती हैं - वे एक निश्चित फ़ंक्शन के ग्राफ के स्पर्शरेखा हैं। इस मामले में, लाइनों का सेट जिससे चयन किया जाता है, दो तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है:

a) xOy समतल पर स्थित एक बिंदु (रेखाओं की केंद्रीय पेंसिल);
बी) कोणीय गुणांक (सीधी रेखाओं की समानांतर किरण)।

इस संबंध में, सिस्टम के तत्वों को अलग करने के लिए "फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा" विषय का अध्ययन करते समय, हमने दो प्रकार की समस्याओं की पहचान की:

1) स्पर्शरेखा समस्याएँ, बिंदु द्वारा दिया गया, जिससे वह गुजरता है;
2) इसकी ढलान द्वारा दी गई स्पर्शरेखा पर समस्याएं।

ए.जी. द्वारा प्रस्तावित एल्गोरिदम का उपयोग करके स्पर्शरेखा समस्याओं को हल करने का प्रशिक्षण दिया गया। मोर्दकोविच. उसका मूलभूत अंतरजो पहले से ही ज्ञात हैं, उनमें से यह है कि स्पर्शरेखा बिंदु का भुज (abscissa) अक्षर a (x0 के बजाय) द्वारा दर्शाया जाता है, और इसलिए स्पर्शरेखा का समीकरण रूप लेता है

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0) से तुलना करें)। व्यवस्थित तकनीकहमारी राय में, छात्रों को जल्दी और आसानी से यह समझने की अनुमति मिलती है कि सामान्य स्पर्शरेखा समीकरण में वर्तमान बिंदु के निर्देशांक कहाँ लिखे गए हैं, और स्पर्शरेखा बिंदु कहाँ हैं।

फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा समीकरण की रचना के लिए एल्गोरिदम

1. स्पर्शरेखा बिंदु के भुज को अक्षर a से निर्दिष्ट करें।
2. f(a) खोजें।
3. f "(x) और f "(a) खोजें।
4. प्राप्त संख्याओं a, f(a), f "(a) को सामान्य स्पर्शरेखा समीकरण y = f(a) = f "(a)(x – a) में प्रतिस्थापित करें।

इस एल्गोरिदम को छात्रों की संचालन की स्वतंत्र पहचान और उनके कार्यान्वयन के अनुक्रम के आधार पर संकलित किया जा सकता है।

अभ्यास से पता चला है कि एल्गोरिदम का उपयोग करके प्रत्येक प्रमुख समस्या का अनुक्रमिक समाधान आपको चरणों में किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के समीकरण को लिखने के कौशल को विकसित करने की अनुमति देता है, और एल्गोरिदम के चरण कार्यों के लिए संदर्भ बिंदु के रूप में कार्य करते हैं . यह दृष्टिकोण सिद्धांत के अनुरूप है क्रमिक गठनमानसिक क्रियाएँ, पी.वाई.ए. द्वारा विकसित। गैल्परिन और एन.एफ. तालिज़िना।

पहले प्रकार के कार्यों में, दो प्रमुख कार्यों की पहचान की गई:

• स्पर्शरेखा वक्र पर स्थित एक बिंदु से होकर गुजरती है (समस्या 1);
• स्पर्शरेखा एक ऐसे बिंदु से होकर गुजरती है जो वक्र पर नहीं है (समस्या 2)।

कार्य 1. फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण लिखें बिंदु M(3; – 2) पर।

समाधान। चूँकि बिंदु M(3; – 2) एक स्पर्शरेखा बिंदु है

1. ए = 3 - स्पर्शरेखा बिंदु का भुज।
2. एफ(3) = – 2.
3. एफ "(एक्स) = एक्स 2 – 4, एफ "(3) = 5.
y = - 2 + 5(x - 3), y = 5x - 17 - स्पर्शरेखा समीकरण।

समस्या 2. फ़ंक्शन y = - x 2 - 4x + 2 के ग्राफ़ पर बिंदु M(- 3; 6) से गुजरने वाली सभी स्पर्शरेखाओं के समीकरण लिखें।

समाधान। बिंदु M(-3; 6) एक स्पर्शरेखा बिंदु नहीं है, क्योंकि f(-3) 6 (चित्र 2)।

2. एफ(ए) = - ए 2 - 4ए + 2.
3. एफ "(एक्स) = - 2एक्स - 4, एफ "(ए) = - 2ए - 4.
4. y = - a 2 - 4a + 2 - 2(a + 2)(x - a) - स्पर्शरेखा समीकरण।

स्पर्शरेखा बिंदु M(-3; 6) से होकर गुजरती है, इसलिए, इसके निर्देशांक स्पर्शरेखा समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

6 = - ए 2 - 4ए + 2 - 2(ए + 2)(- 3 - ए),
ए 2 + 6 ए + 8 = 0 ^ ए 1 = - 4, ए 2 = - 2।

यदि a = – 4, तो स्पर्शरेखा समीकरण y = 4x + 18 है।

यदि a = – 2 है, तो स्पर्श रेखा समीकरण का रूप y = 6 है।

दूसरे प्रकार में, प्रमुख कार्य निम्नलिखित होंगे:

• स्पर्शरेखा किसी रेखा के समानांतर है (समस्या 3);
• स्पर्शरेखा दी गई रेखा से एक निश्चित कोण पर गुजरती है (समस्या 4)।

समस्या 3. फलन y = x 3 – 3x 2 + 3 के ग्राफ की सभी स्पर्शरेखाओं के समीकरण, रेखा y = 9x + 1 के समानांतर लिखें।

1. ए - स्पर्शरेखा बिंदु का भुज.
2. एफ(ए) = ए 3 - 3ए 2 + 3.
3. एफ "(एक्स) = 3एक्स 2 - 6एक्स, एफ "(ए) = 3ए 2 - 6ए।

लेकिन, दूसरी ओर, f'(a) = 9 (समानांतर स्थिति)। इसका मतलब है कि हमें समीकरण 3a 2 - 6a = 9 को हल करने की आवश्यकता है। इसके मूल a = - 1, a = 3 हैं (चित्र 3) ).

4.1) ए = – 1;
2) एफ(-1) =-1;
3) एफ "(- 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – स्पर्शरेखा समीकरण;

1) ए = 3;
2) एफ(3) = 3;
3) एफ "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – स्पर्शरेखा समीकरण.

समस्या 4. फ़ंक्शन y = 0.5x 2 - 3x + 1 के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का समीकरण लिखें, जो सीधी रेखा y = 0 से 45° के कोण पर गुजरती है (चित्र 4)।

समाधान। शर्त f'(a) = tan 45° से हम पाते हैं a: a - 3 = 1 ^ a = 4.

1. ए = 4 - स्पर्शरेखा बिंदु का भुज।
2. एफ(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. एफ "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – स्पर्श रेखा समीकरण.

यह दिखाना आसान है कि किसी भी अन्य समस्या का समाधान एक या अधिक प्रमुख समस्याओं के समाधान से ही संभव होता है। उदाहरण के तौर पर निम्नलिखित दो समस्याओं पर विचार करें।

1. परवलय y = 2x 2 - 5x - 2 की स्पर्शरेखाओं के समीकरण लिखें, यदि स्पर्शरेखाएँ समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं और उनमें से एक भुज 3 वाले बिंदु पर परवलय को छूती है (चित्र 5)।

समाधान। चूँकि स्पर्शरेखा बिंदु का भुज दिया गया है, समाधान का पहला भाग मुख्य समस्या 1 तक कम हो गया है।

1. ए = 3 - किसी एक पक्ष के स्पर्श बिंदु का भुज समकोण.
2. एफ(3) = 1.
3. एफ "(एक्स) = 4एक्स - 5, एफ "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – प्रथम स्पर्श रेखा का समीकरण।

मान लीजिए कि प्रथम स्पर्श रेखा का झुकाव कोण a है। चूँकि स्पर्शरेखाएँ लंबवत हैं, तो दूसरी स्पर्शरेखा का झुकाव कोण है। समीकरण y = 7x – 20 की पहली स्पर्शरेखा से हमें tg a = 7 मिलता है। आइए खोजें

इसका मतलब है कि दूसरी स्पर्श रेखा का ढलान बराबर है।

आगे का समाधान मुख्य कार्य 3 पर आता है।

मान लीजिए कि B(c; f(c)) दूसरी रेखा का स्पर्श बिंदु है

1.- स्पर्शरेखा के दूसरे बिंदु का भुज.
2.
3.
4.
– दूसरे स्पर्शरेखा का समीकरण.

टिप्पणी। यदि छात्रों को लंबवत रेखाओं k 1 k 2 = - 1 के गुणांकों का अनुपात पता हो तो स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक अधिक आसानी से पाया जा सकता है।

2. फलन के ग्राफ़ में सभी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाओं के समीकरण लिखें

समाधान। समस्या उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाओं के स्पर्शरेखा बिंदुओं का भुज खोजने तक आती है, अर्थात मुख्य समस्या 1 को हल करने तक। सामान्य रूप से देखें, समीकरणों की एक प्रणाली और उसके बाद के समाधान को तैयार करना (चित्र 6)।

1. मान लीजिए a फ़ंक्शन y = x 2 + x + 1 के ग्राफ पर स्थित स्पर्शरेखा बिंदु का भुज है।
2. एफ(ए) = ए 2 + ए + 1.
3. एफ "(ए) = 2ए + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2।

1. मान लीजिए c फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्थित स्पर्शरेखा बिंदु का भुज है
2.
3. एफ "(सी) = सी।
4.

चूँकि स्पर्शरेखाएँ सामान्य हैं, तो

तो y = x + 1 और y = - 3x - 3 उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ हैं।

विचार किए गए कार्यों का मुख्य लक्ष्य छात्रों को अधिक जटिल समस्याओं को हल करते समय मुख्य समस्या के प्रकार को स्वतंत्र रूप से पहचानने के लिए तैयार करना है, जिसके लिए कुछ शोध कौशल (विश्लेषण, तुलना, सामान्यीकरण, एक परिकल्पना को आगे बढ़ाने की क्षमता, आदि) की आवश्यकता होती है। ऐसे कार्यों में कोई भी कार्य शामिल होता है जिसमें मुख्य कार्य एक घटक के रूप में शामिल होता है। आइए एक उदाहरण के रूप में स्पर्शरेखाओं के परिवार से एक फ़ंक्शन खोजने की समस्या (समस्या 1 के विपरीत) पर विचार करें।

3. किसके लिए b और c रेखाएँ y = x और y = - 2x हैं जो फ़ंक्शन y = x 2 + bx + c के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा हैं?

मान लीजिए t परवलय y = x 2 + bx + c के साथ सीधी रेखा y = x के स्पर्श बिंदु का भुज है; p, परवलय y = x 2 + bx + c के साथ सीधी रेखा y = - 2x के स्पर्श बिंदु का भुज है। तब स्पर्शरेखा समीकरण y = x, y = (2t + b)x + c – t 2 का रूप लेगा, और स्पर्शरेखा समीकरण y = – 2x, y = (2p + b)x + c – p 2 का रूप लेगा। .

आइए समीकरणों की एक प्रणाली बनाएं और हल करें

उत्तर:

प्रवेश के स्तर पर

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण। व्यापक मार्गदर्शिका (2019)

क्या आप पहले से ही जानते हैं कि व्युत्पन्न क्या है? यदि नहीं, तो पहले विषय पढ़ें। तो आप कहते हैं कि आप व्युत्पन्न जानते हैं। आइए अब इसकी जाँच करें। जब तर्क की वृद्धि बराबर हो तो फ़ंक्शन की वृद्धि ज्ञात करें। क्या आप संभाल पाओगे? यह काम करना चाहिए. अब एक बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें। उत्तर: । काम किया? यदि आपको इनमें से किसी भी उदाहरण से कोई कठिनाई है, तो मैं दृढ़ता से अनुशंसा करता हूं कि आप विषय पर वापस आएं और इसका दोबारा अध्ययन करें। मैं जानता हूं कि विषय बहुत बड़ा है, लेकिन अन्यथा आगे बढ़ने का कोई मतलब नहीं है। कुछ फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर विचार करें:

आइए ग्राफ़ रेखा पर एक निश्चित बिंदु का चयन करें। मान लीजिए कि यह भुज है, तो कोटि बराबर है। फिर हम बिंदु के निकट भुज के साथ बिंदु का चयन करते हैं; इसका क्रम है:

आइए इन बिंदुओं से होकर एक सीधी रेखा खींचें। इसे सेकेंट कहा जाता है (बिल्कुल ज्यामिति की तरह)। आइए हम अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव के कोण को इस प्रकार निरूपित करें। त्रिकोणमिति की तरह, इस कोण को x-अक्ष की सकारात्मक दिशा से वामावर्त मापा जाता है। कोण क्या मान ले सकता है? इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप इस सीधी रेखा को कितना झुकाते हैं, आधा हिस्सा अभी भी चिपक जाएगा। इसलिए, अधिकतम संभव कोण है, और न्यूनतम संभव कोण है। मतलब, । कोण शामिल नहीं है, क्योंकि इस मामले में सीधी रेखा की स्थिति बिल्कुल मेल खाती है, और एक छोटा कोण चुनना अधिक तर्कसंगत है। आइए चित्र में एक बिंदु इस प्रकार लें कि सीधी रेखा भुज अक्ष के समानांतर हो और a कोटि अक्ष हो:

चित्र से यह देखा जा सकता है कि, ए. तो वृद्धि अनुपात है:

(चूँकि यह आयताकार है)।

चलिए अब इसे कम करते हैं. फिर बात मुद्दे पर आ जायेगी. जब यह अनंत हो जाता है, तो अनुपात बिंदु पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बराबर हो जाता है। सेकेंट का क्या होगा? बिंदु बिंदु के असीम रूप से करीब होगा, ताकि उन्हें एक ही बिंदु माना जा सके। लेकिन एक सीधी रेखा जिसमें वक्र के साथ केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है, इससे अधिक कुछ नहीं है स्पर्शरेखा(इस मामले में, यह शर्त केवल एक छोटे से क्षेत्र में पूरी होती है - बिंदु के पास, लेकिन यह पर्याप्त है)। उनका कहना है कि इस मामले में सेकेंट लेता है सीमा स्थिति.

आइए अक्ष पर छेदक के झुकाव का कोण कहते हैं। तब यह पता चलता है कि व्युत्पन्न

वह है व्युत्पन्न किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है।

चूँकि स्पर्शरेखा एक रेखा है, आइए अब रेखा के समीकरण को याद करें:

गुणांक किसके लिए उत्तरदायी है? सीधी रेखा के ढलान के लिए. इसे ही कहते हैं: ढलान. इसका मतलब क्या है? और तथ्य यह है कि यह सीधी रेखा और अक्ष के बीच के कोण की स्पर्शरेखा के बराबर है! तो यही होता है:

लेकिन हमें यह नियम एक बढ़ते हुए फलन पर विचार करके प्राप्त हुआ। यदि फ़ंक्शन कम हो रहा है तो क्या परिवर्तन होगा? चलो देखते हैं:
अब कोण कुंठित हैं। और फ़ंक्शन की वृद्धि ऋणात्मक है. आइए फिर से विचार करें: . दूसरी ओर, । हमें मिलता है: यानी, सब कुछ पिछली बार जैसा ही है। आइए हम फिर से बिंदु को बिंदु पर निर्देशित करें, और छेदक एक सीमित स्थिति लेगा, यानी, यह बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ के स्पर्शरेखा में बदल जाएगा। तो, आइए अंतिम नियम बनाएं:
किसी दिए गए बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है, या (जो समान है) इस स्पर्शरेखा का ढलान:

यह बात है व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ.ठीक है, यह सब दिलचस्प है, लेकिन हमें इसकी आवश्यकता क्यों है? यहाँ उदाहरण:
यह चित्र एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ और भुज बिंदु पर उसकी स्पर्शरेखा दिखाता है। किसी बिंदु पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें।
समाधान।
जैसा कि हमें हाल ही में पता चला है, स्पर्शरेखा के बिंदु पर व्युत्पन्न का मान स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर है, जो बदले में भुज अक्ष पर इस स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है:। इसका मतलब यह है कि अवकलज का मान ज्ञात करने के लिए हमें स्पर्शरेखा कोण की स्पर्शज्या ज्ञात करनी होगी। चित्र में हमने स्पर्शरेखा पर स्थित दो बिंदुओं को चिह्नित किया है, जिनके निर्देशांक हमें ज्ञात हैं। तो आइए इन बिंदुओं से होकर गुजरने वाले एक समकोण त्रिभुज का निर्माण पूरा करें और स्पर्शरेखा कोण की स्पर्शज्या ज्ञात करें!

अक्ष पर स्पर्श रेखा के झुकाव का कोण है। आइए इस कोण की स्पर्श रेखा ज्ञात करें: . इस प्रकार, एक बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न बराबर होता है।
उत्तर:. अब इसे स्वयं आज़माएँ:

उत्तर:

जानने व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ, हम बहुत सरलता से इस नियम को समझा सकते हैं कि स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम के बिंदु पर व्युत्पन्न शून्य के बराबर है। वास्तव में, इन बिंदुओं पर ग्राफ़ की स्पर्शरेखा "क्षैतिज" है, अर्थात, x-अक्ष के समानांतर:

समांतर रेखाओं के बीच का कोण कितना होता है? बेशक, शून्य! और शून्य की स्पर्शरेखा भी शून्य है. तो व्युत्पन्न शून्य के बराबर है:

इसके बारे में "कार्यों की एकरसता" विषय में और पढ़ें। चरम बिंदु।"

आइए अब मनमानी स्पर्शरेखाओं पर ध्यान दें। मान लीजिए कि हमारे पास कुछ फ़ंक्शन है, उदाहरण के लिए,। हमने इसका ग्राफ़ खींच लिया है और किसी बिंदु पर इसकी स्पर्श रेखा खींचना चाहते हैं। उदाहरण के लिए, एक बिंदु पर. हम एक रूलर लेते हैं, उसे ग्राफ़ से जोड़ते हैं और बनाते हैं:

हम इस पंक्ति के बारे में क्या जानते हैं? डायरेक्ट टू के बारे में जानने वाली सबसे महत्वपूर्ण बात क्या है? विमान का समन्वय? चूँकि एक सीधी रेखा एक रैखिक फलन की एक छवि है, इसलिए इसका समीकरण जानना बहुत सुविधाजनक होगा। यानी समीकरण में गुणांक

लेकिन हम पहले से ही जानते हैं! यह स्पर्शरेखा का ढलान है, जो उस बिंदु पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बराबर है:

हमारे उदाहरण में यह इस प्रकार होगा:

अब तो बस उसे ढूंढना ही बाकी रह गया है. यह नाशपाती के छिलके जितना सरल है: आख़िरकार - का मूल्य। आलेखीय रूप से, यह कोटि अक्ष के साथ सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन का निर्देशांक है (आखिरकार, अक्ष के सभी बिंदुओं पर):

आइए इसे बनाएं (ताकि यह आयताकार हो)। फिर (स्पर्श रेखा और x-अक्ष के बीच समान कोण पर)। क्या हैं और किसके बराबर हैं? यह आंकड़ा स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि, ए. तब हमें मिलता है:

हम सभी प्राप्त सूत्रों को एक सीधी रेखा के समीकरण में जोड़ते हैं:

अब आप स्वयं निर्णय करें:

1. खोजो स्पर्शरेखा समीकरणकिसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के लिए.
2. परवलय की स्पर्शरेखा अक्ष को एक कोण पर काटती है। इस स्पर्शरेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
3. रेखा फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के समानांतर है। स्पर्शरेखा बिंदु का भुज खोजें।
4. रेखा फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के समानांतर है। स्पर्शरेखा बिंदु का भुज खोजें।

समाधान और उत्तर:

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण। संक्षिप्त विवरण और बुनियादी सूत्र

किसी विशिष्ट बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के स्पर्शरेखा या इस स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर होता है:

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का समीकरण:

स्पर्श रेखा समीकरण ज्ञात करने के लिए एल्गोरिदम:

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