सरल रेखा। समानांतर रेखाएँ

जो एक ही तल में स्थित हैं और या तो संपाती हैं या प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। कुछ में स्कूल की परिभाषाएँसंपाती रेखाओं को समानांतर नहीं माना जाता है; ऐसी परिभाषा पर यहाँ विचार नहीं किया गया है।

गुण

1. समानांतरवाद एक द्विआधारी तुल्यता संबंध है, इसलिए यह रेखाओं के पूरे सेट को एक दूसरे के समानांतर रेखाओं के वर्गों में विभाजित करता है।
2. किसी भी बिंदु से होकर आप दिए गए बिंदु के समानांतर बिल्कुल एक सीधी रेखा खींच सकते हैं। यह यूक्लिडियन ज्यामिति का एक विशिष्ट गुण है; अन्य ज्यामितियों में संख्या 1 को अन्य द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है (लोबचेव्स्की ज्यामिति में कम से कम दो ऐसी रेखाएँ होती हैं)
3. अंतरिक्ष में 2 समानांतर रेखाएँ एक ही तल में स्थित हैं।
4. जब दो समानांतर रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, तो तीसरी रेखा कहलाती है काटनेवाला:
   1. छेदक आवश्यक रूप से दोनों रेखाओं को काटता है।
   2. प्रतिच्छेद करने पर 8 कोण बनते हैं, जिनमें से कुछ विशिष्ट युग्मों के विशेष नाम और गुण होते हैं:
      1. आड़े-तिरछे लेटे रहनाकोण बराबर हैं.
      2. उपयुक्तकोण बराबर हैं.
      3. एक तरफाकोणों का योग 180° होता है।

लोबचेव्स्की ज्यामिति में

लोबचेव्स्की ज्यामिति में एक बिंदु के माध्यम से विमान में अभिव्यक्ति को पार्स नहीं किया जा सकता ( शाब्दिक त्रुटि): सीइस लाइन के बाहर $अब$

ऐसी अनंत संख्या में सीधी रेखाएँ हैं जो प्रतिच्छेद नहीं करतीं एबी. इनमें से, के समानांतर एबीकेवल दो के नाम हैं।

सीधा सीईसमबाहु (समानांतर) रेखा कहलाती है एबीसे दिशा में एको बी, अगर:

1. अंक बीऔर ईएक सीधी रेखा के एक तरफ लेटें एसी ;
2. सीधा सीईएक रेखा प्रतिच्छेद नहीं करती एबी, लेकिन हर किरण एक कोण के अंदर से गुजरती है एसीई, किरण को पार करता है एबी .

एक सीधी रेखा को इसी तरह परिभाषित किया गया है एबीसे दिशा में बीको ए .

अन्य सभी रेखाएँ जो इसे नहीं काटती हैं, कहलाती हैं अतिसमानांतरया विभिन्न.

यह भी देखें

विकिमीडिया फाउंडेशन.

• 2010.
• पार लाइनों

नेस्टरीखिन, यूरी एफ़्रेमोविच

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वे एक-दूसरे को नहीं काटते, चाहे वे कितने भी लंबे समय तक जारी रहें। लिखित रूप में सीधी रेखाओं की समानता को इस प्रकार दर्शाया गया है:

साथ

ऐसी रेखाओं के अस्तित्व की संभावना प्रमेय से सिद्ध होती है।.

प्रमेय. अबकिसी दी गई रेखा के बाहर लिए गए किसी भी बिंदु से होकर, कोई इस रेखा के समानांतर एक बिंदु खींच सकता है होने देनायह सीधी रेखा और होने देनासाथ इसके बाहर कुछ बिंदु लिया गया। के माध्यम से इसे सिद्ध करना आवश्यक हैअबआप एक सीधी रेखा खींच सकते हैं अबसमानांतर होने देना . आइए इसे कम करेंहोने देनाबिंदु सेसीधा होने देनाई^ होने देनाबिंदु सेडी और फिर हम आचरण करेंगे, जो संभव है. सीधा अब.

सी.ई. और फिर हम आचरण करेंगेसमानांतर अबइसे सिद्ध करने के लिए, आइए हम इसके विपरीत मान लें, अर्थात् के साथ प्रतिच्छेद करता हैकिन्हीं बिंदुओं पर के साथ प्रतिच्छेद करता हैएम होने देनाबिंदु से. फिर बिंदु से के साथ प्रतिच्छेद करता हैबिंदु सेएक सीधी रेखा की ओर हमारे पास दो अलग-अलग लंब होंगेऔर और फिर हम आचरण करेंगेएमएस अब, जो असंभव है. मतलब, होने देनाई, जो संभव है. सीधा अब.

साथ पार नहीं कर सकते

, यानीईपरिणाम।दो लंब (सीऔरबिंदु सेडी.बी.

) एक सीधी रेखा तक (सी

एक ही बिंदु से होकर एक ही रेखा के समानांतर दो अलग-अलग रेखाएँ खींचना असंभव है।

तो, अगर सीधे होने देनाबिंदु से, बिंदु के माध्यम से खींचा गया होने देनारेखा के समानांतर अब, फिर हर दूसरी पंक्ति होने देनाई, उसी बिंदु से होकर खींचा गया होने देना, समानांतर नहीं हो सकता अब, यानी वह निरंतरता पर है प्रतिच्छेद करेगासाथ अब.

इस पूरी तरह से स्पष्ट सत्य को साबित करना असंभव साबित होता है। इसे बिना प्रमाण के, एक आवश्यक धारणा (पोस्टुलेटम) के रूप में स्वीकार किया जाता है।

नतीजे।

1. यदि सीधा(होने देनाई) किसी एक के साथ प्रतिच्छेद करता है समानांतर(पूर्वोत्तर), फिर यह दूसरे के साथ प्रतिच्छेद करता है ( अब), क्योंकि अन्यथा उसी बिंदु के माध्यम से होने देनावहाँ दो अलग-अलग रेखाएँ समानांतर होकर गुजर रही होंगी अब, जो असंभव है.

2. यदि दोनों में से प्रत्येक प्रत्यक्ष (एपरिणाम।बी) उसी तीसरी रेखा के समानांतर हैं ( होने देना) , तब वे समानांतरआपस में।

वास्तव में, यदि हम ऐसा मान लें एएक सीधी रेखा की ओर बीकिसी बिंदु पर प्रतिच्छेद करें के साथ प्रतिच्छेद करता है, तो दो अलग-अलग सीधी रेखाएँ समानांतर, इस बिंदु से होकर गुजरेंगी होने देना, जो असंभव है.

प्रमेय.

अगर रेखा लंबवत हैकिसी एक समानांतर रेखा पर, तो यह दूसरी रेखा पर लंबवत होती है समानांतर.

प्रमेय. अब || 12 शीटों का शैक्षिक एल्बम। विभाज्यता...बिंदु सेएक सीधी रेखा की ओर ई.एफ. ^ अब.यह साबित करना जरूरी है ई.एफ. ^ होने देनाबिंदु से.

सीधाईएफ, के साथ प्रतिच्छेद करना अब, अवश्य पार करेंगे और होने देनाबिंदु से. प्रतिच्छेदन बिंदु होने दो एच.

चलिए अब यह मान लेते हैं होने देनाबिंदु सेके लंबवत नहीं ई.एच.. उदाहरण के लिए, फिर कोई अन्य सीधी रेखा एच.के., के लंबवत होगा ई.एच.और इसलिए एक ही बिंदु के माध्यम से एचदो होंगे सीधा समानांतर अब: एक होने देनाबिंदु से, शर्त से, और अन्य एच.के.जैसा कि पहले सिद्ध हो चुका है। चूंकि यह असंभव है, इसलिए ऐसा नहीं माना जा सकता पूर्वोत्तरके लंबवत नहीं था ई.एच..

समांतर रेखाओं की अवधारणा

परिभाषा 1

बड़ा विश्वकोश शब्दकोश- एक ही तल में स्थित सीधी रेखाएँ संपाती नहीं होती हैं और उनमें उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होते हैं।

यदि सीधी रेखाओं में एक उभयनिष्ठ बिंदु हो, तो वे इंटरसेक्ट.

यदि सभी बिंदु सीधे हैं मिलान, तो हमारे पास अनिवार्य रूप से एक सीधी रेखा है।

यदि रेखाएँ विभिन्न तलों में स्थित हों, तो उनकी समानता की स्थितियाँ कुछ अधिक होती हैं।

एक ही तल पर सीधी रेखाओं पर विचार करते समय, निम्नलिखित परिभाषा दी जा सकती है:

परिभाषा 2

एक समतल में दो सीधी रेखाएँ कहलाती हैं समानांतर, यदि वे प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

गणित में, समानांतर रेखाओं को आमतौर पर समानता चिह्न "$\parallel$" का उपयोग करके दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, यह तथ्य कि रेखा $c$, रेखा $d$ के समानांतर है, इस प्रकार दर्शाया गया है:

$c\समानांतर d$.

समानांतर खंडों की अवधारणा पर अक्सर विचार किया जाता है।

परिभाषा 3

दो खंड कहलाते हैं समानांतर, यदि वे समानांतर रेखाओं पर स्थित हों।

उदाहरण के लिए, चित्र में खंड $AB$ और $CD$ समानांतर हैं, क्योंकि वे समानांतर रेखाओं से संबंधित हैं:

$एबी \समानांतर सीडी$।

साथ ही, खंड $MN$ और $AB$ या $MN$ और $CD$ समानांतर नहीं हैं। इस तथ्य को प्रतीकों का उपयोग करके इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$MN ∦ AB$ और $MN ∦ CD$।

एक सीधी रेखा और एक खंड, एक सीधी रेखा और एक किरण, एक खंड और एक किरण, या दो किरणों की समानता समान तरीके से निर्धारित की जाती है।

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि

ग्रीक से, "पैरेलेलोस" की अवधारणा का अनुवाद "बगल में आना" या "एक दूसरे के बगल में रखा जाना" के रूप में किया जाता है। इस शब्द का प्रयोग किया गया था प्राचीन विद्यालयसमानांतर रेखाओं को परिभाषित करने से पहले भी पाइथागोरस। के अनुसार ऐतिहासिक तथ्य$III$ सदी में यूक्लिड। ईसा पूर्व फिर भी उनके कार्यों से समानांतर रेखाओं की अवधारणा का अर्थ पता चला।

प्राचीन काल में, समानांतर रेखाओं को निर्दिष्ट करने के प्रतीक का स्वरूप आधुनिक गणित में हमारे द्वारा उपयोग किए जाने वाले प्रतीक से भिन्न होता था। उदाहरण के लिए, $III$ शताब्दी में प्राचीन यूनानी गणितज्ञ पप्पस। विज्ञापन समानता को समान चिह्न का उपयोग करके दर्शाया गया था। वे। तथ्य यह है कि रेखा $l$ रेखा $m$ के समानांतर है जिसे पहले "$l=m$" द्वारा दर्शाया गया था। बाद में, परिचित "$\समानांतर$" चिह्न का उपयोग रेखाओं की समानता को दर्शाने के लिए किया जाने लगा, और समान चिह्न का उपयोग संख्याओं और अभिव्यक्तियों की समानता को दर्शाने के लिए किया जाने लगा।

जीवन में समानान्तर रेखाएँ

रोजमर्रा की जिंदगी में हम अक्सर इस बात पर ध्यान नहीं देते कि हमारे आसपास क्या है। बहुत बड़ी संख्यासमानांतर रेखाएँ. उदाहरण के लिए, एक संगीत पुस्तक और नोट्स के साथ गीतों के संग्रह में, स्टाफ़ समानांतर रेखाओं का उपयोग करके बनाया गया है। समानान्तर रेखाएँ भी पाई जाती हैं संगीत वाद्ययंत्र(उदाहरण के लिए, वीणा के तार, गिटार के तार, पियानो की चाबियाँ, आदि)।

गलियों और सड़कों के किनारे स्थित बिजली के तार भी समानांतर चलते हैं। मेट्रो लाइन रेल और रेलवेसमानांतर में स्थित हैं.

रोजमर्रा की जिंदगी के अलावा, चित्रकला, वास्तुकला और इमारतों के निर्माण में समानांतर रेखाएं पाई जा सकती हैं।

वास्तुकला में समानांतर रेखाएँ

प्रस्तुत छवियों में, वास्तुशिल्प संरचनाओं में समानांतर रेखाएँ होती हैं। निर्माण में समानांतर रेखाओं का उपयोग ऐसी संरचनाओं की सेवा जीवन को बढ़ाने में मदद करता है और उन्हें असाधारण सुंदरता, आकर्षण और भव्यता प्रदान करता है। बिजली लाइनों को भी जानबूझकर समानांतर में चलाया जाता है ताकि उन्हें पार करने या छूने से बचा जा सके, जिससे शॉर्ट सर्किट, आउटेज और बिजली की हानि हो सकती है। रेलगाड़ी स्वतंत्र रूप से चल सके इसके लिए पटरियाँ भी समानांतर रेखाओं में बनाई जाती हैं।

पेंटिंग में, समानांतर रेखाओं को एक रेखा में या उसके करीब एकत्रित होते हुए दर्शाया जाता है। इस तकनीक को परिप्रेक्ष्य कहा जाता है, जो दृष्टि के भ्रम से उत्पन्न होती है। यदि आप काफी देर तक दूरी पर गौर करेंगे तो समानांतर रेखाएं दो मिलती हुई रेखाओं की तरह दिखेंगी।

यह लेख समांतर रेखाओं और समांतर रेखाओं के बारे में है। सबसे पहले, समतल और अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं की परिभाषा दी गई है, नोटेशन पेश किए गए हैं, समानांतर रेखाओं के उदाहरण और ग्राफिक चित्र दिए गए हैं। आगे, रेखाओं की समानता के संकेतों और स्थितियों पर चर्चा की गई है। निष्कर्ष में, रेखाओं की समानता साबित करने की विशिष्ट समस्याओं के समाधान दिखाए गए हैं, जो एक समतल पर और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक रेखा के कुछ समीकरणों द्वारा दिए गए हैं।

पेज नेविगेशन.

समानांतर रेखाएँ - बुनियादी जानकारी।

परिभाषा।

एक समतल में दो रेखाएं कहलाती हैं समानांतर, यदि उनके पास सामान्य बिंदु नहीं हैं।

परिभाषा।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाओं को कहा जाता है समानांतर, यदि वे एक ही तल में हों और उनमें उभयनिष्ठ बिंदु न हों।

कृपया ध्यान दें कि अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं की परिभाषा में "यदि वे एक ही तल में हों" खंड बहुत महत्वपूर्ण है। आइए इस बिंदु को स्पष्ट करें: त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाएं जिनमें सामान्य बिंदु नहीं हैं और एक ही विमान में नहीं हैं, समानांतर नहीं हैं, बल्कि प्रतिच्छेद करती हैं।

यहां समांतर रेखाओं के कुछ उदाहरण दिए गए हैं। विपरीत किनारे नोटबुक शीटसमानांतर रेखाओं पर लेटें. वे सीधी रेखाएँ जिनके साथ घर की दीवार का तल छत और फर्श के तलों को काटता है, समानांतर हैं। रेल की पटरियाँसमतल भूमि पर भी समानान्तर रेखाएँ मानी जा सकती हैं।

समानांतर रेखाओं को दर्शाने के लिए "" चिन्ह का प्रयोग करें। अर्थात्, यदि रेखाएँ a और b समानांतर हैं, तो हम संक्षेप में a b लिख सकते हैं।

कृपया ध्यान दें: यदि रेखाएं a और b समानांतर हैं, तो हम कह सकते हैं कि रेखा a, रेखा b के समानांतर है, और यह भी कि रेखा b, रेखा a के समानांतर है।

आइए हम एक ऐसा कथन प्रस्तुत करें जो समतल पर समानांतर रेखाओं के अध्ययन में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है: किसी दिए गए रेखा पर नहीं स्थित एक बिंदु के माध्यम से, दिए गए बिंदु के समानांतर एकमात्र सीधी रेखा गुजरती है। इस कथन को एक तथ्य के रूप में स्वीकार किया जाता है (इसे प्लैनिमेट्री के ज्ञात सिद्धांतों के आधार पर सिद्ध नहीं किया जा सकता है), और इसे समानांतर रेखाओं का सिद्धांत कहा जाता है।

अंतरिक्ष के मामले के लिए, प्रमेय मान्य है: अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु से होकर जो किसी दी गई रेखा पर नहीं है, वहां दी गई रेखा के समानांतर एक सीधी रेखा गुजरती है। यह प्रमेय समानांतर रेखाओं के उपरोक्त स्वयंसिद्ध सिद्धांत का उपयोग करके आसानी से सिद्ध किया गया है (आप इसका प्रमाण ग्रेड 10-11 के लिए ज्यामिति पाठ्यपुस्तक में पा सकते हैं, जो संदर्भों की सूची में लेख के अंत में सूचीबद्ध है)।

अंतरिक्ष के मामले के लिए, प्रमेय मान्य है: अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु से होकर जो किसी दी गई रेखा पर नहीं है, वहां दी गई रेखा के समानांतर एक सीधी रेखा गुजरती है। इस प्रमेय को उपरोक्त समानांतर रेखा अभिगृहीत का उपयोग करके आसानी से सिद्ध किया जा सकता है।

रेखाओं की समांतरता - समांतरता के लक्षण एवं स्थितियाँ।

रेखाओं की समानता का संकेतरेखाओं के समानांतर होने के लिए एक पर्याप्त शर्त है, अर्थात्, एक ऐसी शर्त जिसका पूरा होना रेखाओं के समानांतर होने की गारंटी देता है। दूसरे शब्दों में, इस शर्त की पूर्ति इस तथ्य को स्थापित करने के लिए पर्याप्त है कि रेखाएँ समानांतर हैं।

समतल और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखाओं की समानता के लिए भी आवश्यक और पर्याप्त स्थितियाँ हैं।

आइए हम "समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति" वाक्यांश का अर्थ समझाएं।

हम पहले ही समानांतर रेखाओं के लिए पर्याप्त शर्तों से निपट चुके हैं। और क्या है " आवश्यक शर्तरेखाओं की समानता"? “आवश्यक” नाम से स्पष्ट है कि इस शर्त की पूर्ति समानान्तर रेखाओं के लिए आवश्यक है। दूसरे शब्दों में, यदि रेखाओं के समानांतर होने के लिए आवश्यक शर्त पूरी नहीं होती है, तो रेखाएँ समानांतर नहीं हैं। इस प्रकार, समांतर रेखाओं के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त शर्तएक ऐसी शर्त है जिसका पूरा होना समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक भी है और पर्याप्त भी। यानी एक ओर तो यह रेखाओं की समानता का संकेत है और दूसरी ओर यह समानांतर रेखाओं का गुण है।

रेखाओं की समानता के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त तैयार करने से पहले, कई सहायक परिभाषाओं को याद करने की सलाह दी जाती है।

छेदक रेखावह रेखा है जो दी गई दो गैर-संपाती रेखाओं में से प्रत्येक को काटती है।

जब दो सीधी रेखाएँ एक तिर्यक रेखा से प्रतिच्छेद करती हैं, तो आठ अविकसित रेखाएँ बनती हैं। रेखाओं की समानता के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त के निर्माण में, तथाकथित आड़े-तिरछे लेटना, संगतएक सीधी रेखा की ओर एकतरफ़ा कोण. आइए उन्हें चित्र में दिखाएं।

साथ

यदि किसी समतल में दो रेखाएँ एक तिर्यक रेखा द्वारा प्रतिच्छेद करती हैं, तो उनके समानांतर होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि प्रतिच्छेद करने वाले कोण बराबर हों, या संगत कोण बराबर हों, या एक तरफा कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर हो .

आइए हम एक समतल पर रेखाओं की समानता के लिए इस आवश्यक और पर्याप्त स्थिति का एक ग्राफिक चित्रण दिखाएं।

आप ग्रेड 7-9 की ज्यामिति पाठ्यपुस्तकों में रेखाओं की समानता के लिए इन स्थितियों के प्रमाण पा सकते हैं।

ध्यान दें कि इन स्थितियों का उपयोग त्रि-आयामी अंतरिक्ष में भी किया जा सकता है - मुख्य बात यह है कि दो रेखाएं और छेदक एक ही विमान में स्थित हैं।

यहां कुछ और प्रमेय दिए गए हैं जिनका उपयोग अक्सर रेखाओं की समानता को सिद्ध करने के लिए किया जाता है।

साथ

यदि एक समतल में दो रेखाएँ तीसरी रेखा के समानांतर हों, तो वे समानांतर होती हैं। इस कसौटी का प्रमाण समांतर रेखाओं के अभिगृहीत से होता है।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं के लिए भी ऐसी ही स्थिति है।

साथ

यदि अंतरिक्ष में दो रेखाएं तीसरी रेखा के समानांतर हैं, तो वे समानांतर हैं। इस मानदंड के प्रमाण पर 10वीं कक्षा के ज्यामिति पाठों में चर्चा की गई है।

आइए बताए गए प्रमेयों को स्पष्ट करें।

आइए हम एक और प्रमेय प्रस्तुत करें जो हमें एक समतल पर रेखाओं की समानता सिद्ध करने की अनुमति देता है।

साथ

यदि एक समतल में दो रेखाएँ तीसरी रेखा पर लंबवत हों, तो वे समानांतर होती हैं।

अंतरिक्ष में रेखाओं के लिए एक समान प्रमेय है।

साथ

यदि त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाएँ एक ही तल पर लंबवत हैं, तो वे समानांतर हैं।

आइए हम इन प्रमेयों के अनुरूप चित्र बनाएं।

ऊपर दिए गए सभी प्रमेय, मानदंड और आवश्यक एवं पर्याप्त शर्तें ज्यामिति विधियों का उपयोग करके रेखाओं की समानता साबित करने के लिए उत्कृष्ट हैं। अर्थात्, दो दी गई रेखाओं की समानता सिद्ध करने के लिए, आपको यह दिखाना होगा कि वे तीसरी रेखा के समानांतर हैं, या क्रॉसवाइज झूठ बोलने वाले कोणों की समानता आदि दिखाना होगा। इसी तरह की कई समस्याओं का समाधान ज्यामिति पाठों में किया जाता है हाई स्कूल. हालाँकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कई मामलों में किसी समतल या त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखाओं की समानता को साबित करने के लिए समन्वय विधि का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। आइए हम एक आयताकार समन्वय प्रणाली में निर्दिष्ट रेखाओं की समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें तैयार करें।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में रेखाओं की समानता।

लेख के इस पैराग्राफ में हम तैयार करेंगे समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त शर्तेंएक आयताकार समन्वय प्रणाली में, इन सीधी रेखाओं को परिभाषित करने वाले समीकरणों के प्रकार के आधार पर, और हम भी प्रस्तुत करते हैं विस्तृत समाधानविशिष्ट कार्य.

आइए आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी में एक समतल पर दो सीधी रेखाओं की समानता की स्थिति से शुरुआत करें। उनका प्रमाण एक रेखा के दिशा सदिश की परिभाषा और एक समतल पर एक रेखा के सामान्य सदिश की परिभाषा पर आधारित है।

साथ

दो गैर-संपाती रेखाओं के एक समतल में समानांतर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इन रेखाओं के दिशा सदिश संरेख हों, या इन रेखाओं के सामान्य सदिश संरेख हों, या एक रेखा के दिशा सदिश अभिलंब के लंबवत हों। दूसरी पंक्ति का सदिश.

जाहिर है, एक समतल पर दो रेखाओं की समानता की स्थिति (रेखाओं के दिशा सदिश या रेखाओं के सामान्य सदिश) या (एक रेखा के दिशा सदिश और दूसरी रेखा के सामान्य सदिश) तक कम हो जाती है। इस प्रकार, यदि और रेखाओं a और b के दिशा सदिश हैं, और एक सीधी रेखा की ओर क्रमशः रेखाओं a और b के सामान्य सदिश हैं, तो रेखाओं a और b की समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त इस प्रकार लिखी जाएगी , या , या , जहां t कोई वास्तविक संख्या है। बदले में, गाइड के निर्देशांक और (या) सीधी रेखाओं ए और बी के सामान्य वैक्टर पाए जाते हैं ज्ञात समीकरणसीधा

विशेष रूप से, यदि समतल पर आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी में सीधी रेखा एक सामान्य सीधी रेखा समीकरण को परिभाषित करती है , और सीधी रेखा बी - , तो इन रेखाओं के सामान्य सदिशों में क्रमशः निर्देशांक और होते हैं, और रेखाओं a और b की समानता की स्थिति को इस प्रकार लिखा जाएगा।

यदि रेखा a फॉर्म के कोणीय गुणांक के साथ एक रेखा के समीकरण से मेल खाती है, और रेखा b - है, तो इन रेखाओं के सामान्य वैक्टर में निर्देशांक होते हैं और, और इन रेखाओं के समानांतरवाद की स्थिति रूप लेती है . नतीजतन, यदि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक विमान पर सीधी रेखाएं समानांतर होती हैं और कोणीय गुणांक वाली सीधी रेखाओं के समीकरणों द्वारा निर्दिष्ट की जा सकती हैं, तो ढलानोंसीधी रेखाएं बराबर होंगी. और इसके विपरीत: यदि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक विमान पर गैर-संपाती रेखाएं समान कोणीय गुणांक वाली रेखा के समीकरणों द्वारा निर्दिष्ट की जा सकती हैं, तो ऐसी रेखाएं समानांतर होती हैं।

यदि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक रेखा ए और एक रेखा बी फॉर्म के विमान पर एक रेखा के विहित समीकरणों द्वारा निर्धारित की जाती है एक सीधी रेखा की ओर , या प्रपत्र के समतल पर एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण एक सीधी रेखा की ओर तदनुसार, इन रेखाओं के दिशा सदिशों में निर्देशांक और होते हैं, और रेखाओं a और b की समानता की स्थिति को इस प्रकार लिखा जाता है।

आइए कई उदाहरणों के समाधान देखें।

उदाहरण।

क्या रेखाएँ समानांतर हैं? और ?

समाधान।

आइए हम एक सीधी रेखा के समीकरण को खंडों में फिर से लिखें सामान्य समीकरणप्रत्यक्ष: . अब हम देख सकते हैं कि यह रेखा का सामान्य वेक्टर है , a रेखा का सामान्य सदिश है। ये सदिश संरेख नहीं हैं, क्योंकि कोई वास्तविक संख्या t नहीं है जिसके लिए समानता ( ). परिणामस्वरूप, किसी समतल पर रेखाओं की समांतरता के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त पूरी नहीं होती है, अत: दी गई रेखाएँ समांतर नहीं होती हैं।

उत्तर:

नहीं, रेखाएँ समानांतर नहीं हैं।

उदाहरण।

क्या सीधी रेखाएँ और समानांतर रेखाएँ हैं?

समाधान।

आइए देते हैं विहित समीकरणएक कोणीय गुणांक के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण के लिए सीधी रेखा:। जाहिर है, रेखाओं के समीकरण समान नहीं हैं (इस मामले में, दी गई रेखाएं समान होंगी) और रेखाओं के कोणीय गुणांक बराबर हैं, इसलिए, मूल रेखाएं समानांतर हैं।

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