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परिधि एक बंद समतल वक्र है, जिसके सभी बिंदु किसी दिए गए बिंदु (वृत्त का केंद्र) से समान दूरी पर हैं। वृत्त के किसी भी बिंदु \(P\left((x,y) \right)\) से उसके केंद्र की दूरी कहलाती है RADIUS. वृत्त का केंद्र और वृत्त स्वयं एक ही तल में स्थित हैं। मूल बिंदु पर केंद्र के साथ त्रिज्या \(R\) के एक वृत्त का समीकरण ( एक वृत्त का विहित समीकरण ) का स्वरूप है
\((x^2) + (y^2) = (R^2)\).

एक वृत्त का समीकरण त्रिज्या \(R\) एक मनमाने बिंदु पर केंद्र के साथ \(A\left((a,b) \right)\) को इस प्रकार लिखा जाता है
\((\left((x - a) \right)^2) + (\left((y - b) \right)^2) = (R^2)\).



तीन बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण , इस रूप में लिखा गया है: \(\left| (\begin(array)(*(20)(c)) ((x^2) + (y^2)) & x & y & 1\\ (x_1^ 2 + y_1^2) और ((x_1)) और ((y_1)) और 1\\ (x_2^2 + y_2^2) और ((x_2)) और ((y_2)) और 1\\ (x_3^ 2 + y_3^2) और ((x_3)) और ((y_3)) और 1 \end(array)) \right|
यहां \(A\left(((x_1),(y_1)) \right)\), \(B\left(((x_2),(y_2)) \right)\), \(C\left(( (x_3),(y_3)) \right)\) वृत्त पर स्थित तीन बिंदु हैं।



पैरामीट्रिक रूप में एक वृत्त का समीकरण
\(\left\( \begin(align) x &= R \cos t \\ y &= R\sin t \end(aligned) \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\ ),
जहां \(x\), \(y\) वृत्त बिंदुओं के निर्देशांक हैं, \(R\) वृत्त की त्रिज्या है, \(t\) पैरामीटर है।

एक वृत्त का सामान्य समीकरण
\(A(x^2) + A(y^2) + Dx + Ey + F = 0\)
\(A \ne 0\), \(D^2 + E^2 > 4AF\) के अधीन।
वृत्त का केंद्र निर्देशांक \(\left((a,b) \right)\) वाले बिंदु पर स्थित है, जहां
\(a = - \large\frac(D)((2A))\सामान्यआकार,\;\;b = - \large\frac(E)((2A))\सामान्यआकार.\)
वृत्त की त्रिज्या है
\(R = \sqrt (\large\frac(((D^2) + (E^2) - 4AF))((2\left| A \right|))\सामान्य आकार) \)

अंडाकारप्रत्येक बिंदु के लिए एक समतल वक्र है जिसमें दो दिए गए बिंदुओं की दूरियों का योग होता है ( दीर्घवृत्त foci ) स्थिर है. नाभियों के बीच की दूरी कहलाती है फोकल लम्बाई और \(2c\) से दर्शाया जाता है। नाभियों को जोड़ने वाले खण्ड के मध्य भाग को कहा जाता है दीर्घवृत्त का केंद्र . एक दीर्घवृत्त में समरूपता के दो अक्ष होते हैं: पहला या फोकल अक्ष, नाभि से होकर गुजरता है, और दूसरा अक्ष इसके लंबवत होता है। दीर्घवृत्त के साथ इन अक्षों के प्रतिच्छेदन बिंदु कहलाते हैं चोटियों. दीर्घवृत्त के केंद्र को शीर्ष से जोड़ने वाले खंड को कहा जाता है दीर्घवृत्त का अर्ध-अक्ष . अर्ध-प्रमुख अक्ष को \(a\), अर्ध-लघु अक्ष को \(b\) द्वारा दर्शाया जाता है। एक दीर्घवृत्त जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है और जिसके अर्ध-अक्ष निर्देशांक रेखाओं पर स्थित हैं, का वर्णन निम्नलिखित द्वारा किया गया है विहित समीकरण :
\(\large\frac(((x^2)))(((a^2)))\सामान्य आकार + \large\frac(((y^2)))(((b^2)))\ सामान्य आकार = 1.\)



दीर्घवृत्त के किसी भी बिंदु से उसकी नाभि तक की दूरी का योग स्थिर:
\((r_1) + (r_2) = 2a\),
जहां \((r_1)\), \((r_2)\) एक मनमाना बिंदु \(P\left((x,y) \right)\) से नाभि \((F_1)\) की दूरी हैं और \(( F_2)\), \(a\) दीर्घवृत्त का अर्धप्रमुख अक्ष है।



दीर्घवृत्त के अर्ध-अक्षों और फोकल लंबाई के बीच संबंध
\((a^2) = (b^2) + (c^2)\),
जहां \(a\) दीर्घवृत्त का अर्ध-प्रमुख अक्ष है, \(b\) अर्ध-लघु अक्ष है, \(c\) फोकल लंबाई का आधा है।

दीर्घवृत्त विलक्षणता
\(e = \large\frac(c)(a)\सामान्य आकार

दीर्घवृत्त नियताओं के समीकरण
एक दीर्घवृत्त की नियता उसके फोकल अक्ष के लंबवत एक सीधी रेखा होती है और इसे केंद्र से \(\large\frac(a)(e)\normalsize\) दूरी पर काटती है। दीर्घवृत्त में केंद्र के विपरीत दिशा में दो नियताएँ स्थित हैं। डायरेक्ट्रिक्स समीकरण फॉर्म में लिखे गए हैं
\(x = \pm \large\frac(a)(e)\normalsize = \pm \large\frac(((a^2)))(c)\normalsize.\)

पैरामीट्रिक रूप में दीर्घवृत्त का समीकरण
\(\left\( \begin(align) x &= a\cos t \\ y &= b\sin t \end(aligned) \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\ ),
जहां \(a\), \(b\) दीर्घवृत्त के अर्ध-अक्ष हैं, \(t\) पैरामीटर है।

दीर्घवृत्त का सामान्य समीकरण
\(A(x^2) + Bxy + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0\),
जहां \((B^2) - 4AC

एक दीर्घवृत्त का सामान्य समीकरण जिसके अर्ध-अक्ष निर्देशांक अक्षों के समानांतर हैं
\(A(x^2) + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0\),
जहां \(AC > 0\).

दीर्घवृत्त परिधि
\(L = 4aE\left(e \right)\),
जहां \(a\) दीर्घवृत्त का अर्धप्रमुख अक्ष है, \(e\) विलक्षणता है, \(E\) है दूसरे प्रकार का पूर्ण अण्डाकार अभिन्न अंग।

दीर्घवृत्त की परिधि के लिए अनुमानित सूत्र
\(L \लगभग \pi \left[ (\large\frac(3)(2)\normalsize\left((a + b) \right) - \sqrt (ab) ) \right],\;\;L \लगभग \pi \sqrt (2\left(((a^2) + (b^2)) \right)),\)
जहां \(a\), \(b\) दीर्घवृत्त के अर्ध-अक्ष हैं।

दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल
\(S = \pi ab\)

खगोल विज्ञान में, कक्षाओं में ब्रह्मांडीय पिंडों की गति पर विचार करते समय, "दीर्घवृत्त" की अवधारणा का उपयोग अक्सर किया जाता है, क्योंकि उनके प्रक्षेपवक्र ठीक इसी वक्र की विशेषता रखते हैं। लेख में हम इस प्रश्न पर विचार करेंगे कि चिह्नित आकृति क्या दर्शाती है, और दीर्घवृत्त की लंबाई का सूत्र भी देंगे।

दीर्घवृत्त क्या है?

गणितीय परिभाषा के अनुसार, एक दीर्घवृत्त एक बंद वक्र है जिसके किसी भी बिंदु से मुख्य अक्ष पर स्थित दो अन्य विशिष्ट बिंदुओं की दूरी का योग, जिसे नाभि कहा जाता है, एक स्थिर मान होता है। नीचे एक चित्र है जो इस परिभाषा को समझाता है।

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चित्र में, दूरियों का योग PF" और PF 2 * a के बराबर है, अर्थात, PF" + PF = 2 * a, जहां F" और F दीर्घवृत्त की नाभियाँ हैं, "a" लंबाई है इसके अर्ध-प्रमुख अक्ष के खंड BB" को अर्ध-लघु अक्ष कहा जाता है, और दूरी CB = CB" = b - अर्ध-लघु अक्ष की लंबाई यहां बिंदु C आकृति का केंद्र निर्धारित करता है।

ऊपर दी गई तस्वीर एक साधारण रस्सी और दो कीलों की विधि भी दिखाती है जिसका व्यापक रूप से अण्डाकार वक्र बनाने के लिए उपयोग किया जाता है। इस आंकड़े को प्राप्त करने का दूसरा तरीका शंकु को उसकी धुरी पर किसी भी कोण पर काटना है, जो 90° के बराबर नहीं है।

यदि दीर्घवृत्त को उसके दो अक्षों में से किसी एक के अनुदिश घुमाया जाए तो यह एक त्रि-आयामी आकृति बनाता है, जिसे गोलाकार कहा जाता है।

दीर्घवृत्त की परिधि का सूत्र

यद्यपि विचाराधीन आंकड़ा काफी सरल है, इसकी परिधि की लंबाई दूसरे प्रकार के तथाकथित अण्डाकार अभिन्नों की गणना करके सटीक रूप से निर्धारित की जा सकती है। हालाँकि, 20वीं सदी की शुरुआत में स्व-सिखाया हिंदू गणितज्ञ रामानुजन ने दीर्घवृत्त की लंबाई के लिए एक काफी सरल सूत्र प्रस्तावित किया, जो नीचे से चिह्नित अभिन्नों के परिणाम तक पहुंचता है। यानी इससे गणना की गई प्रश्नगत कीमत का मान वास्तविक लंबाई से थोड़ा कम होगा। यह सूत्र इस प्रकार दिखता है: P ≈ pi *, जहां pi = 3.14 संख्या pi है।

उदाहरण के लिए, मान लें कि दीर्घवृत्त के दो अर्ध-अक्षों की लंबाई a = 10 सेमी और b = 8 सेमी के बराबर है, तो इसकी लंबाई P = 56.7 सेमी है।

हर कोई जांच सकता है कि यदि a = b = R, यानी एक साधारण वृत्त माना जाता है, तो रामानुजन का सूत्र P = 2 * pi * R के रूप में घट जाता है।

ध्यान दें कि स्कूल की पाठ्यपुस्तकें अक्सर एक और सूत्र देती हैं: पी = पीआई * (ए + बी)। यह सरल है, लेकिन कम सटीक भी है। इसलिए, यदि हम इसे विचारित मामले पर लागू करते हैं, तो हमें मान P = 56.5 सेमी प्राप्त होता है।

अंडाकारएक बंद बॉक्स वक्र है जिसमें समरूपता के दो अक्ष होते हैं और इसमें एक ही व्यास के दो समर्थन वृत्त होते हैं, जो आंतरिक रूप से चाप द्वारा संयुग्मित होते हैं (चित्र 13.45)। एक अंडाकार की पहचान तीन मापदंडों से होती है: अंडाकार की लंबाई, चौड़ाई और त्रिज्या। कभी-कभी केवल अंडाकार की लंबाई और चौड़ाई निर्दिष्ट की जाती है, उसकी त्रिज्या को परिभाषित किए बिना, तो अंडाकार के निर्माण की समस्या के समाधान की एक बड़ी विविधता होती है (चित्र 13.45, ए...डी देखें)।

दो समान संदर्भ वृत्तों के आधार पर अंडाकार बनाने की विधियाँ जो स्पर्श करती हैं (चित्र 13.46, ए), प्रतिच्छेद करती हैं (चित्र 13.46, बी) या प्रतिच्छेद नहीं करती हैं (चित्र 13.46, सी) का भी उपयोग किया जाता है। इस मामले में, वास्तव में दो पैरामीटर निर्दिष्ट हैं: अंडाकार की लंबाई और उसकी त्रिज्या में से एक। इस समस्या के कई समाधान हैं. यह तो स्पष्ट है आर > ओएकोई ऊपरी सीमा नहीं है. विशेष रूप से आर = ओ 1 ओ 2(चित्र 13.46.ए और चित्र 13.46.सी देखें), और केंद्र ओ 3और ओ 4आधार वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के रूप में निर्धारित किए जाते हैं (चित्र 13.46, बी देखें)। सामान्य बिंदु सिद्धांत के अनुसार, युग्मों का निर्धारण दोलन वृत्तों के चापों के केंद्रों को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा पर किया जाता है।

स्पर्श समर्थन वृत्तों के साथ एक अंडाकार का निर्माण(समस्या के कई समाधान हैं) (चावल। 3.44). सन्दर्भ मण्डलों के केन्द्रों से के बारे मेंऔर 0 1 उदाहरण के लिए, उनके केंद्रों के बीच की दूरी के बराबर त्रिज्या के साथ, वृत्तों के चाप तब तक खींचे जाते हैं जब तक वे बिंदुओं पर प्रतिच्छेद नहीं करते के बारे में 2 और ओ 3.

चित्र 3.44

यदि बिंदुओं से के बारे में 2 और ओ 3केन्द्रों से होकर सीधी रेखाएँ खींचें के बारे मेंऔर ओ 1, फिर समर्थन सर्कल के साथ चौराहे पर हम कनेक्टिंग पॉइंट प्राप्त करते हैं साथ, सी 1, डीऔर डी 1. बिंदुओं से के बारे में 2 और ओ 3जैसे त्रिज्या के केन्द्रों से आर 2संयुग्मन के चाप बनाएं।

प्रतिच्छेदी संदर्भ वृत्तों के साथ एक अंडाकार का निर्माण(समस्या के कई समाधान भी हैं) (चित्र 3.45)। संदर्भ वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से सी 2और ओ 3उदाहरण के लिए, केंद्रों के माध्यम से सीधी रेखाएँ खींचें के बारे मेंऔर ओ 1जब तक वे जंक्शन बिंदुओं पर संदर्भ वृत्तों के साथ प्रतिच्छेद नहीं करते सी, सी 1 डीऔर डी 1, और त्रिज्या आर2,संदर्भ वृत्त के व्यास के बराबर - संयुग्मन चाप।

चित्र 3.45 चित्र 3.46

दो निर्दिष्ट अक्षों AB और CD के अनुदिश एक अंडाकार का निर्माण करना(चित्र 3.46)। नीचे कई संभावित समाधानों में से एक है। ऊर्ध्वाधर अक्ष पर एक खंड अंकित है ओई,प्रमुख अक्ष के आधे के बराबर एबी.बिन्दु से साथकेंद्र से त्रिज्या वाला चाप कैसे बनाएं सेरेखाखंड के साथ प्रतिच्छेदन तक ए.सीबिंदु पर ई 1. खंड के मध्य की ओर एई 1लंब को पुनर्स्थापित करें और अंडाकार के अक्षों के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदुओं को चिह्नित करें ओ 1और 0 2 . अंक बनाएं ओ 3और 0 4 , बिंदुओं के सममित ओ 1और 0 2 अक्षों के सापेक्ष सीडीऔर एबी.अंक ओ 1और 0 3 त्रिज्या के संदर्भ वृत्तों के केंद्र होंगे आर1,खंड के बराबर लगभग 1 ए,और अंक O2और 0 4 - त्रिज्या के संयुग्मन चाप के केंद्र आर2,खंड के बराबर ओ 2 सी.केन्द्रों को जोड़ने वाली सीधी रेखाएँ ओ 1और 0 3 साथ O2और 0 4 अंडाकार के साथ चौराहे पर, कनेक्टिंग पॉइंट निर्धारित किए जाएंगे।

ऑटोकैड में, एक अंडाकार का निर्माण एक ही त्रिज्या के दो संदर्भ वृत्तों का उपयोग करके किया जाता है, जो:

1. संपर्क का एक बिंदु हो;

2. प्रतिच्छेद;

3. प्रतिच्छेद न करें.

आइए पहले मामले पर विचार करें। एक खंड OO 1 =2R का निर्माण किया गया है, इसके सिरों पर (बिंदु O और O 1) त्रिज्या R के दो सहायक वृत्तों के केंद्र और त्रिज्या R 1 =2R के दो सहायक वृत्तों के केंद्र रखे गए हैं। सहायक वृत्त O 2 और O 3 के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से क्रमशः चाप CD और C 1 D 1 बनाए जाते हैं। सहायक सर्कल हटा दिए जाते हैं, फिर आर्क्स सीडी और सी 1 डी 1 के सापेक्ष समर्थन सर्कल के आंतरिक हिस्सों को काट दिया जाता है। चित्र ъъ में परिणामी अंडाकार को एक मोटी रेखा से हाइलाइट किया गया है।

समान त्रिज्या के स्पर्श समर्थन वृत्तों के साथ एक अंडाकार का निर्माण करते हुए चित्र