चाहे मजबूर कंपन. दोलन गति के दौरान ऊर्जा का रूपांतरण

1. आइए जानें कि स्प्रिंग पेंडुलम के दोलन के दौरान क्या ऊर्जा परिवर्तन होते हैं (चित्र 80 देखें)। जब वसंत बढ़ाया जाता है, तो यह संभावित ऊर्जाबढ़ता है और अधिकतम खिंचाव पर इसका एक मूल्य होता है इएन = .

जैसे-जैसे भार संतुलन स्थिति की ओर बढ़ता है, स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा कम हो जाती है, और भार की गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है। संतुलन स्थिति में भार की गतिज ऊर्जा अधिकतम होती है इ k =, और स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा शून्य है।

जब स्प्रिंग को संपीड़ित किया जाता है, तो इसकी स्थितिज ऊर्जा बढ़ जाती है और भार की गतिज ऊर्जा कम हो जाती है। अधिकतम संपीड़न पर, स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा अधिकतम होती है, और भार की गतिज ऊर्जा शून्य होती है।

यदि हम घर्षण बल की उपेक्षा करते हैं, तो किसी भी समय क्षमता का योग और गतिज ऊर्जाअपरिवर्तित

इ = इएन + इके = स्थिरांक.

घर्षण बल की उपस्थिति में, इस बल के विरुद्ध कार्य करने में ऊर्जा खर्च होती है, दोलनों का आयाम कम हो जाता है और दोलन समाप्त हो जाते हैं।

इस प्रकार, ऊर्जा की प्रारंभिक आपूर्ति के कारण होने वाले पेंडुलम के मुक्त दोलन हमेशा होते हैं लुप्त होती.

2. सवाल उठता है कि यह सुनिश्चित करने के लिए क्या किया जाना चाहिए कि समय के साथ उतार-चढ़ाव न रुके। जाहिर है, अविभाजित दोलन प्राप्त करने के लिए ऊर्जा हानि की भरपाई करना आवश्यक है। यह किया जा सकता है विभिन्न तरीके. आइए उनमें से एक पर विचार करें।

आप अच्छी तरह से जानते हैं कि यदि आप झूले को लगातार धक्का देते हैं, यानी उस पर कुछ बल लगाते हैं तो उसका कंपन खत्म नहीं होगा। इस मामले में, झूले के कंपन अब स्वतंत्र नहीं हैं, वे किसी बाहरी बल के प्रभाव में घटित होंगे। इस बाहरी बल का कार्य घर्षण के कारण होने वाली ऊर्जा हानि की सटीक भरपाई करता है।

आइए जानें कि बाहरी बल क्या होना चाहिए? आइए मान लें कि बल का परिमाण और दिशा स्थिर है। जाहिर है, इस मामले में दोलन बंद हो जाएंगे, क्योंकि शरीर, संतुलन की स्थिति को पार करने के बाद, इसमें वापस नहीं आएगा। इसलिए, बाहरी बल का परिमाण और दिशा समय-समय पर बदलती रहनी चाहिए।

इस प्रकार,

मजबूर दोलन वे दोलन हैं जो किसी बाहरी, समय-समय पर बदलते बल के प्रभाव में होते हैं।

मजबूर कंपन, मुक्त कंपन के विपरीत, किसी भी आवृत्ति पर हो सकते हैं। मजबूर दोलनों की आवृत्ति शरीर पर कार्य करने वाले बल के परिवर्तन की आवृत्ति के बराबर होती है,इस मामले में इसे कहा जाता है जबरदस्ती।

3. चलिए एक प्रयोग करते हैं. आइए रैक में लगी रस्सी से कई पेंडुलम लटकाएं अलग-अलग लंबाई(चित्र 82)। आइए पेंडुलम को विचलित करें एसंतुलन की स्थिति से हटें और इसे अपने ऊपर छोड़ दें। यह रस्सी पर कुछ आवधिक बल के साथ कार्य करते हुए, स्वतंत्र रूप से दोलन करेगा। रस्सी, बदले में, शेष पेंडुलम पर कार्य करेगी। परिणामस्वरूप, सभी पेंडुलम पेंडुलम के दोलन की आवृत्ति के साथ मजबूर दोलन करना शुरू कर देंगे ए.

हम देखेंगे कि सभी पेंडुलम पेंडुलम के दोलन की आवृत्ति के बराबर आवृत्ति के साथ दोलन करना शुरू कर देंगे। ए. हालाँकि, पेंडुलम को छोड़कर, उनके दोलनों का आयाम सी, लोलक दोलनों के आयाम से कम होगा ए. पेंडुलम सी, जिसकी लंबाई पेंडुलम की लंबाई के बराबर है ए, बहुत जोर से झूलेगा. नतीजतन, पेंडुलम में सबसे बड़ा दोलन आयाम होता है, दोलन की प्राकृतिक आवृत्ति ड्राइविंग बल की आवृत्ति के साथ मेल खाती है। इस मामले में उनका कहना है कि देखा गया है गूंज.

अनुनाद मजबूर दोलनों के आयाम में तेज वृद्धि की घटना है जब ड्राइविंग बल की आवृत्ति दोलन प्रणाली (पेंडुलम) की प्राकृतिक आवृत्ति के साथ मेल खाती है।

जब झूला दोलन करता है तो अनुनाद देखा जा सकता है। अब आप यह समझा सकते हैं कि यदि झूले को अपने कंपन के साथ समय पर धकेला जाए तो यह अधिक मजबूती से झूलेगा। इस मामले में, बाहरी बल की आवृत्ति स्विंग की दोलन आवृत्ति के बराबर होती है। झूले की गति के विरुद्ध कोई भी धक्का इसके आयाम में कमी का कारण बनेगा।

4 * . आइए जानें कि अनुनाद के दौरान कौन से ऊर्जा परिवर्तन होते हैं।

यदि प्रेरक बल की आवृत्ति शरीर के कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति से भिन्न होती है, तो प्रेरक बल को या तो पिंड की गति की दिशा में या उसके विरुद्ध निर्देशित किया जाएगा। तदनुसार, इस बल का कार्य या तो नकारात्मक होगा या सकारात्मक। सामान्य तौर पर, इस मामले में ड्राइविंग बल का कार्य सिस्टम की ऊर्जा को थोड़ा बदल देता है।

मान लीजिए कि अब बाहरी बल की आवृत्ति पिंड के दोलनों की प्राकृतिक आवृत्ति के बराबर है। इस मामले में, ड्राइविंग बल की दिशा शरीर के वेग की दिशा से मेल खाती है, और प्रतिरोध बल की भरपाई बाहरी बल द्वारा की जाती है। शरीर आंतरिक शक्तियों के प्रभाव में ही कंपन करता है। दूसरे शब्दों में, प्रतिरोध बल के विरुद्ध नकारात्मक कार्य बाहरी बल के सकारात्मक कार्य के बराबर होता है। इसलिए, दोलन अधिकतम आयाम के साथ होते हैं।

5. अनुनाद की घटना को व्यवहार में ध्यान में रखा जाना चाहिए। विशेष रूप से, मशीन टूल्स और मशीनें ऑपरेशन के दौरान हल्के कंपन से गुजरती हैं। यदि इन कंपनों की आवृत्ति मशीनों के अलग-अलग हिस्सों की प्राकृतिक आवृत्ति से मेल खाती है, तो कंपन का आयाम बहुत बड़ा हो सकता है। वह मशीन या जिस सहारे पर वह खड़ा है वह ढह जायेगा।

ऐसे ज्ञात मामले हैं, जब अनुनाद के कारण, एक हवाई जहाज हवा में गिर गया, जहाजों के प्रोपेलर टूट गए, और रेलवे रेल ढह गई।

सिस्टम की प्राकृतिक आवृत्ति या दोलन पैदा करने वाले बल की आवृत्ति को बदलकर अनुनाद को रोका जा सकता है। इस प्रयोजन के लिए, उदाहरण के लिए, पुल पार करने वाले सैनिक कदम मिलाकर नहीं, बल्कि स्वतंत्र गति से चलते हैं। अन्यथा, उनके कदमों की आवृत्ति पुल की प्राकृतिक आवृत्ति से मेल खा सकती है और यह ढह जाएगा। ऐसा 1750 में फ्रांस में हुआ था, जब सैनिकों की एक टुकड़ी जंजीरों पर लटके हुए 102 मीटर लंबे पुल को पार कर गई थी। इसी तरह की एक घटना 1906 में सेंट पीटर्सबर्ग में घटी थी। जब घुड़सवार सेना का एक दस्ता फॉन्टंका नदी पर बने मिस्र के पुल को पार कर गया, तो घोड़ों के स्पष्ट कदम की आवृत्ति पुल की कंपन आवृत्ति के साथ मेल खाती थी।

अनुनाद को रोकने के लिए, रेलगाड़ियाँ धीमी या बहुत तेज़ गति से पुलों को पार करती हैं ताकि रेल जोड़ों पर पहियों के प्रभाव की आवृत्ति पुल की प्राकृतिक आवृत्ति से काफी कम या काफी अधिक हो।

अनुनाद की घटना सदैव हानिकारक नहीं होती। कभी-कभी यह उपयोगी हो सकता है क्योंकि यह आपको सम होने की अनुमति देता है छोटा बलदोलनों के आयाम में बड़ी वृद्धि।

एक उपकरण की क्रिया जो आपको दोलनों की आवृत्ति को मापने की अनुमति देती है, अनुनाद की घटना पर आधारित है। इस डिवाइस को कहा जाता है आवृत्ति मीटर. उनके कार्य को निम्नलिखित प्रयोग द्वारा दर्शाया जा सकता है। एक आवृत्ति मीटर मॉडल केन्द्रापसारक मशीन से जुड़ा होता है, जिसमें विभिन्न लंबाई की प्लेटों (जीभ) का एक सेट होता है (चित्र 83)। प्लेटों के सिरों पर सफेद रंग से लेपित टिन के झंडे हैं। आप देख सकते हैं कि जब आप मशीन के हैंडल के घूमने की गति बदलते हैं, तो विभिन्न प्लेटें कंपन करने लगती हैं। वे प्लेटें जिनकी प्राकृतिक आवृत्ति घूर्णन आवृत्ति के बराबर होती है, कंपन करने लगती हैं।

स्व-परीक्षण प्रश्न

1. स्प्रिंग पेंडुलम के मुक्त दोलनों का आयाम क्या निर्धारित करता है?

2. क्या घर्षण बलों की उपस्थिति में लोलक के दोलनों का आयाम स्थिर रहता है?

3. जब स्प्रिंग पेंडुलम दोलन करता है तो कौन से ऊर्जा परिवर्तन होते हैं?

4. मुक्त दोलन क्यों मंद हो जाते हैं?

5. किस कंपन को मजबूर कहा जाता है? बलपूर्वक दोलनों के उदाहरण दीजिए।

6. अनुनाद क्या है?

7. अनुनाद की हानिकारक अभिव्यक्तियों के उदाहरण दीजिए। अनुनाद को रोकने के लिए क्या करने की आवश्यकता है?

8. अनुनाद परिघटना के उपयोग के उदाहरण दीजिए।

कार्य 26

1. तालिका 14 भरें, जिसमें लिखें कि दोलन प्रणाली पर कौन सा बल कार्य करता है यदि यह मुक्त या मजबूर दोलन करता है; इन दोलनों की आवृत्ति और आयाम क्या हैं; चाहे वे नम हों या नहीं।

तालिका 14

दोलन विशेषताएँ	कंपन का प्रकार
	उपलब्ध	मजबूर
अभिनय बल
आवृत्ति
आयाम
क्षीणन

2 ई.बलपूर्वक दोलनों को देखने के लिए एक प्रयोग का सुझाव दें।

3 ई.आपके द्वारा बनाए गए गणितीय पेंडुलम का उपयोग करके अनुनाद की घटना का प्रयोगात्मक रूप से अध्ययन करें।

4. सिलाई मशीन के पहिये के घूमने की एक निश्चित गति पर, जिस मेज पर वह खड़ी होती है वह कभी-कभी जोर से हिलती है। क्यों?

मुक्त दोलनों के विपरीत, जब सिस्टम केवल एक बार (जब सिस्टम को हटा दिया जाता है) प्राप्त करता है, मजबूर दोलनों के मामले में, सिस्टम इस ऊर्जा को बाहरी आवधिक बल के स्रोत से लगातार अवशोषित करता है। यह ऊर्जा काबू पाने में खर्च हुए नुकसान की भरपाई करती है, और इसलिए कुल संख्या अभी भी अपरिवर्तित रहती है।

मजबूर कंपन, मुक्त कंपन के विपरीत, किसी भी आवृत्ति पर हो सकते हैं। दोलन प्रणाली पर कार्य करने वाले बाहरी बल की आवृत्ति के साथ मेल खाता है। इस प्रकार, मजबूर दोलनों की आवृत्ति प्रणाली के गुणों से नहीं, बल्कि आवृत्ति से निर्धारित होती है बाहरी प्रभाव.

मजबूर कंपन के उदाहरण हैं बच्चों के झूले का कंपन, सुई का कंपन सिलाई मशीन, कार के इंजन के सिलेंडर में पिस्टन, उबड़-खाबड़ सड़क पर चलती कार की स्प्रिंग आदि।

गूंज

परिभाषा

गूंज- यह मजबूर दोलनों में तेज वृद्धि की घटना है क्योंकि ड्राइविंग बल की आवृत्ति दोलन प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति के करीब पहुंचती है।

प्रतिध्वनि इस तथ्य के कारण उत्पन्न होती है कि जब कोई बाहरी बल, मुक्त कंपन के साथ समय पर कार्य करता है, तो हमेशा दोलनशील शरीर से एक ही दिशा में होता है और सकारात्मक कार्य करता है: दोलनशील शरीर की ऊर्जा बढ़ जाती है और बड़ी हो जाती है। यदि कोई बाहरी बल "आउट ऑफ स्टेप" कार्य करता है, तो यह बल बारी-बारी से नकारात्मक और सकारात्मक कार्य करता है और परिणामस्वरूप, सिस्टम की ऊर्जा थोड़ी बदल जाती है।

चित्र 1 ड्राइविंग बल की आवृत्ति पर मजबूर दोलनों के आयाम की निर्भरता को दर्शाता है। यह देखा जा सकता है कि यह आयाम एक निश्चित आवृत्ति मान पर अधिकतम तक पहुँच जाता है, अर्थात। पर, दोलन प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति कहाँ है। वक्र 1 और 2 घर्षण बल के परिमाण में भिन्न हैं। कम घर्षण (वक्र 1) पर, अनुनाद वक्र का तीव्र अधिकतम होता है अधिक ताकतघर्षण (वक्र 2) ऐसा कोई तीव्र अधिकतम नहीं है।

हम अक्सर अनुनाद की घटना का सामना करते हैं रोजमर्रा की जिंदगी. यदि किसी भारी ट्रक के सड़क से गुजरने पर कमरे की खिड़कियाँ हिलने लगती हैं, तो इसका मतलब है कि कांच के कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति कार के कंपन की आवृत्ति के बराबर है। अगर समुद्र की लहरेंजहाज की अवधि के साथ प्रतिध्वनि होने पर गति विशेष रूप से मजबूत हो जाती है।

भार के तहत कंपन का अनुभव करने वाले पुलों, इमारतों और अन्य संरचनाओं को डिजाइन करते समय अनुनाद की घटना को ध्यान में रखा जाना चाहिए, अन्यथा कुछ शर्तों के तहत ये संरचनाएं नष्ट हो सकती हैं। हालाँकि, अनुनाद फायदेमंद भी हो सकता है। अनुनाद की घटना का उपयोग रेडियो रिसीवर को एक विशिष्ट प्रसारण आवृत्ति के साथ-साथ कई अन्य मामलों में ट्यून करते समय किया जाता है।

समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1

व्यायाम	एक क्षैतिज पेंडुलम के स्प्रिंग के सिरे पर, जिसके भार का द्रव्यमान 1 किलोग्राम है, एक चर बल द्वारा कार्य किया जाता है जिसकी दोलन आवृत्ति 16 हर्ट्ज है। यदि स्प्रिंग की कठोरता 400 N/m है तो क्या अनुनाद देखा जाएगा?
समाधान	आइए हम सूत्र का उपयोग करके दोलन प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति निर्धारित करें: हर्ट्ज चूंकि बाहरी बल की आवृत्ति प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति के बराबर नहीं है, इसलिए अनुनाद की घटना नहीं देखी जाएगी।
उत्तर	अनुनाद की घटना नहीं देखी जाएगी।

उदाहरण 2

व्यायाम	एक गाड़ी की छत से 1 मीटर लंबे धागे पर एक छोटी सी गेंद लटकाई गई है। रेल जोड़ों से टकराने वाले पहियों के प्रभाव में कार की किस गति पर गेंद विशेष रूप से दृढ़ता से कंपन करेगी? रेल की लंबाई 12.5 मी.
समाधान	गेंद रेल जोड़ों पर पहियों के प्रभाव की आवृत्ति के बराबर आवृत्ति के साथ मजबूर दोलन करती है: यदि गेंद के आयाम धागे की लंबाई की तुलना में छोटे हैं, तो सिस्टम को दोलनों की प्राकृतिक आवृत्ति माना जा सकता है: अनुनाद के मामले में मजबूर अविमंदित दोलनों का आयाम अधिकतम होता है, अर्थात। कब । इस प्रकार हम लिख सकते हैं:

जबरदस्ती कंपन

परिवर्तनशील बाहरी बल के प्रभाव में किसी भी प्रणाली में होने वाले कंपन (उदाहरण के लिए, एक वैकल्पिक बल के प्रभाव में टेलीफोन झिल्ली का कंपन) चुंबकीय क्षेत्र, एक परिवर्तनीय भार के प्रभाव में एक यांत्रिक संरचना का कंपन, आदि)। एक सैन्य प्रणाली की प्रकृति बाहरी बल की प्रकृति और प्रणाली के गुणों दोनों से निर्धारित होती है। आवधिक बाह्य बल की कार्रवाई की शुरुआत में, वी. सी. की प्रकृति समय के साथ बदलती है (विशेष रूप से, वी. सी. आवधिक नहीं हैं), और केवल कुछ समय के बाद आवधिक वी. सी. में स्थापित होते हैं बाहरी बल की अवधि (स्थिर-अवस्था वीसी) के बराबर अवधि वाली प्रणाली। एक दोलन प्रणाली में वोल्टेज की स्थापना जितनी तेजी से होती है, इस प्रणाली में दोलनों का अवमंदन उतना ही अधिक होता है।

विशेष रूप से, रैखिक दोलन प्रणाली (ऑसिलेटरी सिस्टम देखें) में, जब कोई बाहरी बल चालू होता है, तो सिस्टम में मुक्त (या प्राकृतिक) दोलन और दोलन एक साथ उत्पन्न होते हैं, और प्रारंभिक क्षण में इन दोलनों के आयाम बराबर होते हैं, और चरण विपरीत हैं ( चावल। ). मुक्त दोलनों के क्रमिक क्षीणन के बाद, सिस्टम में केवल स्थिर-अवस्था दोलन ही रह जाते हैं।

वीके का आयाम आयाम द्वारा निर्धारित किया जाता है अभिनय बलऔर सिस्टम में क्षीणन। यदि क्षीणन छोटा है, तो वोल्टेज तरंग का आयाम अभिनय बल की आवृत्ति और सिस्टम के प्राकृतिक दोलनों की आवृत्ति के बीच संबंध पर काफी निर्भर करता है। जैसे-जैसे बाहरी बल की आवृत्ति प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति के करीब पहुंचती है, वीके का आयाम तेजी से बढ़ता है - प्रतिध्वनि उत्पन्न होती है। नॉनलाइनियर सिस्टम (नॉनलाइनियर सिस्टम देखें) में, फ्री और वीके में विभाजन हमेशा संभव नहीं होता है।

लिट.:खैकिन एस.ई., भौतिक मूल बातेंयांत्रिकी, एम., 1963।

महान सोवियत विश्वकोश। - एम.: सोवियत विश्वकोश. 1969-1978 .

देखें अन्य शब्दकोशों में "मजबूर दोलन" क्या हैं:

जबरदस्ती कंपन- जबरदस्ती कंपन. विभिन्न क्षीणन पर बाहरी प्रभाव की आवृत्ति पर उनके आयाम की निर्भरता: 1 कमजोर क्षीणन; 2 मजबूत क्षीणन; 3 महत्वपूर्ण क्षीणन. जबरन कंपन, दोलन जो किसी भी प्रणाली में होते हैं... ... सचित्र विश्वकोश शब्दकोश

मजबूर दोलन- बाहरी सामान्यीकृत बल के आवधिक प्रभाव के तहत होने वाले दोलन। [गैर-विनाशकारी परीक्षण प्रणाली। गैर-विनाशकारी परीक्षण के प्रकार (तरीके) और तकनीक। नियम और परिभाषाएँ (संदर्भ पुस्तक)। मॉस्को 2003] मजबूर... ... तकनीकी अनुवादक मार्गदर्शिका

जबरन दोलन वे दोलन हैं जो समय के साथ बदलती बाहरी ताकतों के प्रभाव में होते हैं। स्व-दोलन मजबूर दोलनों से इस मायने में भिन्न होते हैं कि उत्तरार्द्ध आवधिक बाहरी प्रभावों के कारण होते हैं और इसकी आवृत्ति के साथ होते हैं ... विकिपीडिया

जबरन कंपन, समय-समय पर बदलते बाहरी प्रभावों के परिणामस्वरूप किसी भी प्रणाली में होने वाले कंपन: बलों में यांत्रिक प्रणाली, ऑसिलेटरी सर्किट में वोल्टेज या करंट। बलपूर्वक दोलन सदैव घटित होते हैं... ... आधुनिक विश्वकोश

ब्रह्मांडीय एल में उत्पन्न होने वाले दोलन। आवधिक के प्रभाव में प्रणाली विस्तार. बल (उदाहरण के लिए, एक वैकल्पिक चुंबकीय क्षेत्र के प्रभाव में टेलीफोन झिल्ली का कंपन, एक वैकल्पिक भार के प्रभाव में एक यांत्रिक संरचना का कंपन)। हर आर वी. के. को बाहरी के रूप में परिभाषित किया गया है। बल द्वारा... भौतिक विश्वकोश

ब्रह्मांडीय एल में उत्पन्न होने वाले दोलन। प्रत्यावर्तन के प्रभाव में प्रणाली विस्तार. प्रभाव (उदाहरण के लिए, वैकल्पिक ईएमएफ के कारण विद्युत सर्किट में वोल्टेज और वर्तमान में उतार-चढ़ाव; वैकल्पिक भार के कारण यांत्रिक प्रणाली का कंपन)। वी. के. का चरित्र निर्धारित होता है... ... बिग इनसाइक्लोपीडिक पॉलिटेक्निक डिक्शनरी

वे आवधिक बाहरी प्रभावों के प्रभाव में एक प्रणाली में उत्पन्न होते हैं (उदाहरण के लिए, एक आवधिक बल के प्रभाव में एक पेंडुलम के मजबूर दोलन, एक आवधिक इलेक्ट्रोमोटिव बल के प्रभाव के तहत एक दोलन सर्किट में मजबूर दोलन)। अगर… … बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

जबरदस्ती कंपन- (कंपन) - बल और (या) गतिज उत्तेजना के कारण और समर्थित प्रणाली के दोलन (कंपन)। [गोस्ट 24346 80] जबरन कंपन समय-भिन्न भार की कार्रवाई के कारण होने वाले सिस्टम के कंपन हैं। [उद्योग... ... शब्दों, परिभाषाओं और स्पष्टीकरणों का विश्वकोश निर्माण सामग्री

- (निरुद्ध कंपन, मजबूर कंपन) समय-समय पर कार्य करने वाले बाहरी बल के कारण शरीर का कंपन। यदि मजबूर दोलनों की अवधि शरीर के प्राकृतिक दोलनों की अवधि के साथ मेल खाती है, तो अनुनाद की घटना घटित होती है। समोइलोव के.आई.... ...समुद्री शब्दकोश

जबरन कंपन- (देखें), बाहरी परिवर्तनशील प्रभाव के प्रभाव में किसी भी प्रणाली में उत्पन्न होना; उनका चरित्र बाहरी प्रभाव के गुणों और सिस्टम के गुणों दोनों से निर्धारित होता है। जैसे-जैसे बाहरी प्रभाव की आवृत्ति प्राकृतिक की आवृत्ति के करीब पहुंचती है... बिग पॉलिटेक्निक इनसाइक्लोपीडिया

वे आवधिक बाहरी प्रभावों के प्रभाव में एक प्रणाली में उत्पन्न होते हैं (उदाहरण के लिए, एक आवधिक बल के प्रभाव में एक पेंडुलम के मजबूर दोलन, एक आवधिक ईएमएफ के प्रभाव के तहत एक दोलन सर्किट में मजबूर दोलन)। यदि आवृत्ति... ... विश्वकोश शब्दकोश

पुस्तकें

• डंपिंग को ध्यान में रखते हुए शाफ्ट मरोड़ के मजबूर कंपन, ए.पी. फिलिप्पोव, 1934 संस्करण (यूएसएसआर एकेडमी ऑफ साइंसेज के प्रकाशन गृह इज़वेस्टिया) की मूल लेखक की वर्तनी में पुनरुत्पादित। में… श्रेणी: गणित प्रकाशक: योयो मीडिया, निर्माता: योयो मीडिया,
• डम्पिंग को ध्यान में रखते हुए छड़ों के जबरन अनुप्रस्थ कंपन, ए.पी. फ़िलिपोव, 1935 संस्करण की मूल लेखक की वर्तनी में पुनरुत्पादित (प्रकाशन गृह "यूएसएसआर एकेडमी ऑफ साइंसेज का इज़्वेस्टिया")... श्रेणी:

घर्षण बलों की उपस्थिति के कारण किसी भी दोलन प्रणाली में यांत्रिक ऊर्जा का नुकसान अपरिहार्य है, इसलिए, बाहर से ऊर्जा को "पंप" किए बिना, दोलन कम हो जाएंगे। निरंतर दोलनों की दोलन प्रणाली बनाने के कई मौलिक रूप से भिन्न तरीके हैं। आइए करीब से देखें किसी बाहरी आवधिक बल के प्रभाव में अवमंदित दोलन. ऐसे दोलनों को मजबूर कहा जाता है। आइए एक हार्मोनिक पेंडुलम की गति का अध्ययन करना जारी रखें (चित्र 6.9)। 

पहले चर्चा की गई लोच और चिपचिपे घर्षण की ताकतों के अलावा, गेंद पर एक बाहरी प्रभाव पड़ता है  सम्मोहकआवर्ती बल एक हार्मोनिक नियम के अनुसार बदलता रहता है

आवृत्ति, जो पेंडुलम के दोलन की प्राकृतिक आवृत्ति से भिन्न हो सकती है ω हे. इस मामले में इस बल की प्रकृति हमारे लिए महत्वपूर्ण नहीं है। ऐसा बल विभिन्न तरीकों से बनाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, गेंद पर विद्युत आवेश लगाकर और उसे बाहरी वैकल्पिक विद्युत क्षेत्र में रखकर। विचाराधीन मामले में गेंद की गति के समीकरण का रूप है

आइए इसे गेंद के द्रव्यमान से विभाजित करें और सिस्टम मापदंडों के लिए पिछले नोटेशन का उपयोग करें। परिणाम हमें मिलता है  मजबूर दोलन समीकरण:

कहाँ एफ हे = एफ हे /एम- बाहरी प्रेरक बल के आयाम मान और गेंद के द्रव्यमान का अनुपात। समीकरण (3) का सामान्य समाधान काफी बोझिल है और निस्संदेह, प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर करता है। समीकरण (3) द्वारा वर्णित गेंद की गति की प्रकृति स्पष्ट है: ड्राइविंग बल के प्रभाव में, दोलन उत्पन्न होंगे, जिसका आयाम बढ़ जाएगा। यह संक्रमण व्यवस्था काफी जटिल है और प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर करती है। एक निश्चित अवधि के बाद, दोलन मोड स्थापित हो जाएगा और उनका आयाम बदलना बंद हो जाएगा। बिल्कुल दोलन की स्थिर अवस्था, कई मामलों में प्राथमिक हित का है। हम सिस्टम के स्थिर अवस्था में परिवर्तन पर विचार नहीं करेंगे, बल्कि इस मोड की विशेषताओं का वर्णन और अध्ययन करने पर ध्यान केंद्रित करेंगे। समस्या के इस सूत्रीकरण के साथ, प्रारंभिक स्थितियों को निर्दिष्ट करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि जिस स्थिर स्थिति में हम रुचि रखते हैं वह प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर नहीं करती है, इसकी विशेषताएं पूरी तरह से समीकरण द्वारा ही निर्धारित होती हैं। स्थिर बाह्य बल और श्यान घर्षण बल के प्रभाव में किसी पिंड की गति का अध्ययन करते समय हमें ऐसी ही स्थिति का सामना करना पड़ा। 

कुछ समय बाद शरीर एक स्थिर स्थिर गति से चलने लगता है  वी = एफ हे /β , जो प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर नहीं करता है और पूरी तरह से गति के समीकरण द्वारा निर्धारित होता है। आरंभिक स्थितियांस्थिर गति के संक्रमणकालीन मोड का निर्धारण करें। सामान्य ज्ञान के आधार पर, यह मान लेना उचित है कि दोलन की एक स्थिर मोड में गेंद बाहरी ड्राइविंग बल की आवृत्ति पर दोलन करेगी। इसलिए, समीकरण (3) का समाधान ड्राइविंग बल की आवृत्ति के साथ एक हार्मोनिक फ़ंक्शन में खोजा जाना चाहिए। सबसे पहले, आइए प्रतिरोध बल की उपेक्षा करते हुए समीकरण (3) को हल करें

आइए एक हार्मोनिक फ़ंक्शन के रूप में इसका समाधान खोजने का प्रयास करें

ऐसा करने के लिए, हम गति के नियम के व्युत्पन्न के रूप में, समय पर शरीर की गति और त्वरण की निर्भरता की गणना करते हैं 

और उनके मानों को समीकरण (4) में प्रतिस्थापित करें

अब आप इसे कम कर सकते हैं  लागत. नतीजतन, शर्त पूरी होने पर यह अभिव्यक्ति किसी भी समय सही पहचान में बदल जाती है

इस प्रकार, (5) के रूप में समीकरण (4) के समाधान के बारे में हमारी धारणा उचित थी: दोलनों की स्थिर स्थिति को फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया गया है

ध्यान दें कि गुणांक एपरिणामी अभिव्यक्ति के अनुसार (6) या तो सकारात्मक (साथ) हो सकता है ω < ω हे), और नकारात्मक (साथ ω > ω हे). संकेत में परिवर्तन दोलनों के चरण में परिवर्तन से मेल खाता है π (इस परिवर्तन का कारण थोड़ी देर बाद स्पष्ट किया जाएगा), इसलिए दोलनों का आयाम इस गुणांक का मापांक है |ए|. स्थिर-अवस्था दोलनों का आयाम, जैसा कि कोई उम्मीद कर सकता है, ड्राइविंग बल के परिमाण के समानुपाती होता है। इसके अलावा, यह आयाम जटिल तरीके से प्रेरक बल की आवृत्ति पर निर्भर करता है। इस रिश्ते का एक योजनाबद्ध ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। 6.10

चावल। 6.10 अनुनाद वक्र

जैसा कि सूत्र (6) से होता है और ग्राफ़ पर स्पष्ट रूप से दिखाई देता है, जैसे-जैसे ड्राइविंग बल की आवृत्ति प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति के करीब पहुंचती है, आयाम तेजी से बढ़ता है। आयाम में इस वृद्धि का कारण स्पष्ट है: ड्राइविंग बल "दौरान" गेंद को धक्का देता है, जब आवृत्तियां पूरी तरह से मेल खाती हैं, तो स्थापित मोड अनुपस्थित होता है - आयाम अनंत तक बढ़ जाता है। बेशक, व्यवहार में इतनी अनंत वृद्धि देखना असंभव है: पहले तो, इससे ऑसिलेटरी प्रणाली का विनाश हो सकता है, दूसरेदोलनों के बड़े आयामों पर, माध्यम के प्रतिरोध बलों की उपेक्षा नहीं की जा सकती।  

स्वाभाविक रूप से, इस मामले में भी, ड्राइविंग बल की आवृत्ति के साथ एक हार्मोनिक फ़ंक्शन के रूप में समाधान मांगा जाना चाहिए। यह देखना आसान है कि इस मामले में फॉर्म (5) में समाधान खोजने से सफलता नहीं मिलेगी। दरअसल, समीकरण (8), समीकरण (4) के विपरीत, कण वेग शामिल है, जिसे साइन फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया गया है। अतः समीकरण (8) में समय भाग कम नहीं होगा। इसलिए, समीकरण (8) का समाधान एक हार्मोनिक फ़ंक्शन के सामान्य रूप में दर्शाया जाना चाहिए

जिसमें दो पैरामीटर हैं ए हेऔर φ समीकरण (8) का उपयोग करके पाया जाना चाहिए। पैरामीटर ए हेमजबूर दोलनों का आयाम है, φ - बदलते समन्वय और चर ड्राइविंग बल के बीच चरण बदलाव। योग की कोज्या के लिए त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करके, फ़ंक्शन (9) को समतुल्य रूप में दर्शाया जा सकता है

जिसमें दो पैरामीटर भी शामिल हैं बी=ए हे cosφऔर सी = −ए हे पापφनिर्धारित किए जाने हेतु। फ़ंक्शन (10) का उपयोग करके, हम समय पर एक कण की गति और त्वरण की निर्भरता के लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति लिखते हैं

और समीकरण (8) में प्रतिस्थापित करें:

आइए इस अभिव्यक्ति को इस रूप में फिर से लिखें 

समानता (13) को किसी भी समय संतुष्ट करने के लिए, यह आवश्यक है कि कोसाइन और साइन के गुणांक शून्य के बराबर हों। इस स्थिति के आधार पर, हमें फ़ंक्शन (10) के पैरामीटर निर्धारित करने के लिए दो रैखिक समीकरण प्राप्त होते हैं:

समीकरणों की इस प्रणाली के समाधान का रूप है 

सूत्र (10) के आधार पर, हम मजबूर दोलनों की विशेषताओं को निर्धारित करते हैं: आयाम 

चरण में बदलाव

कम क्षीणन पर, जैसे-जैसे ड्राइविंग बल आवृत्ति करीब आती है, यह निर्भरता तीव्र अधिकतम हो जाती है ω सिस्टम की प्राकृतिक आवृत्ति के लिए ω हे. इस प्रकार, इस मामले में, प्रतिध्वनि भी हो सकती है, यही कारण है कि आलेखित निर्भरता को अक्सर अनुनाद वक्र कहा जाता है। कमजोर क्षीणन को ध्यान में रखने से पता चलता है कि आयाम अनंत तक नहीं बढ़ता है, इसका अधिकतम मूल्य क्षीणन गुणांक पर निर्भर करता है - जैसे-जैसे उत्तरार्द्ध बढ़ता है, अधिकतम आयाम तेजी से कम हो जाता है। ड्राइविंग बल (16) की आवृत्ति पर दोलन आयाम की प्राप्त निर्भरता में बहुत सारे स्वतंत्र पैरामीटर शामिल हैं (  एफ हे , ω हे , γ ) अनुनाद वक्रों का एक पूरा परिवार बनाने के लिए। जैसा कि कई मामलों में होता है, "आयामहीन" चर पर जाकर इस रिश्ते को काफी सरल बनाया जा सकता है। आइए सूत्र (16) को निम्नलिखित रूप में बदलें

और निरूपित करें

− सापेक्ष आवृत्ति (प्रणाली के दोलनों की प्राकृतिक आवृत्ति के लिए ड्राइविंग बल की आवृत्ति का अनुपात);

− सापेक्ष आयाम (दोलन आयाम का विचलन मान से अनुपात)। ए हे = एफ/ω हे 2 शून्य आवृत्ति पर);

- आयामहीन पैरामीटर जो क्षीणन की मात्रा निर्धारित करता है। इन नोटेशन का उपयोग करके, फ़ंक्शन (16) को काफी सरल बनाया गया है

चूँकि इसमें केवल एक पैरामीटर है - δ . फ़ंक्शन (16 बी) द्वारा वर्णित अनुनाद वक्रों का एक-पैरामीटर परिवार का निर्माण किया जा सकता है, विशेष रूप से आसानी से कंप्यूटर का उपयोग करके। इस निर्माण का परिणाम चित्र में दिखाया गया है। 629.

चावल। 6.11

ध्यान दें कि माप की "पारंपरिक" इकाइयों में परिवर्तन केवल समन्वय अक्षों के पैमाने को बदलकर किया जा सकता है। 

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ड्राइविंग बल की आवृत्ति, जिस पर मजबूर दोलनों का आयाम अधिकतम होता है, भिगोना गुणांक पर भी निर्भर करता है, जो बाद में बढ़ने पर थोड़ा कम हो जाता है। अंत में, हम इस बात पर जोर देते हैं कि अवमंदन गुणांक में वृद्धि से अनुनाद वक्र की चौड़ाई में उल्लेखनीय वृद्धि होती है। बिंदु के दोलनों और प्रेरक बल के बीच परिणामी चरण बदलाव भी दोलनों की आवृत्ति और उनके अवमंदन गुणांक पर निर्भर करता है। मजबूर दोलनों की प्रक्रिया में ऊर्जा रूपांतरण पर विचार करते समय हम इस चरण बदलाव की भूमिका से अधिक परिचित हो जाएंगे।

मुक्त अवमंदित दोलनों की आवृत्ति प्राकृतिक आवृत्ति के साथ मेल खाती है, अवमंदित दोलनों की आवृत्ति प्राकृतिक आवृत्ति से थोड़ी कम होती है, और मजबूर दोलनों की आवृत्ति ड्राइविंग बल की आवृत्ति के साथ मेल खाती है, न कि प्राकृतिक आवृत्ति के साथ।

जबरन विद्युत चुम्बकीय दोलनमजबूर

ये वे दोलन हैं जो बाहरी आवधिक प्रभाव के प्रभाव में एक दोलन प्रणाली में होते हैं।

चित्र.6.12. मजबूर विद्युत दोलनों वाला सर्किट आइए विद्युत दोलन परिपथ में होने वाली प्रक्रियाओं पर विचार करें (चित्र.6.12

,

), एक बाहरी स्रोत से जुड़ा है, जिसका ईएमएफ हार्मोनिक कानून के अनुसार बदलता रहता है  कहाँएम

- बाहरी ईएमएफ का आयाम,

 – ईएमएफ की चक्रीय आवृत्ति। आइए हम इसे निरूपित करें सीयू संधारित्र के पार और उसके माध्यम से वोल्टेज - मैं  (सर्किट में वर्तमान ताकत. इस सर्किट में, वैरिएबल ईएमएफ के अलावाटी  ) स्व-प्रेरित ईएमएफ भी सक्रिय हैएल

प्रारंभ करनेवाला में.

.

स्व-प्रेरण ईएमएफ सर्किट में धारा के परिवर्तन की दर के सीधे आनुपातिक है निकासी के लिएमजबूर दोलनों का विभेदक समीकरण

.

ऐसे सर्किट में उत्पन्न होने पर, हम किरचॉफ के दूसरे नियम का उपयोग करते हैं सक्रिय प्रतिरोध पर वोल्टेजआर

.

ओम के नियम से खोजें

.

विद्युत धारा की ताकत कंडक्टर के क्रॉस सेक्शन के माध्यम से प्रति यूनिट समय प्रवाहित होने वाले चार्ज के बराबर होती है

.

इस तरह आइए हम इसे निरूपित करें सीवोल्टेज

.

संधारित्र पर आवेश सीधे संधारित्र प्लेटों पर आवेश के समानुपाती होता है

.

किरचॉफ के दूसरे नियम में वोल्टेज और ईएमएफ को प्रतिस्थापित करना

.

इस अभिव्यक्ति के दोनों पक्षों को विभाजित करना ) स्व-प्रेरित ईएमएफ भी सक्रिय हैऔर अवकलज के घटते क्रम की डिग्री के अनुसार पदों को वितरित करने पर, हमें एक दूसरे क्रम का अंतर समीकरण प्राप्त होता है

.

आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें और प्राप्त करें

– क्षीणन गुणांक,

- सर्किट के प्राकृतिक दोलनों की चक्रीय आवृत्ति।

. (1)

समीकरण (1) है विजातीयदूसरे क्रम का रैखिक अंतर समीकरण। इस प्रकार का समीकरण बाहरी आवधिक प्रभाव (बाहरी ईएमएफ या बाहरी बल) के प्रभाव के तहत दोलन प्रणालियों (विद्युत, यांत्रिक) की एक विस्तृत श्रेणी के व्यवहार का वर्णन करता है।

समीकरण (1) के सामान्य समाधान में सामान्य समाधान शामिल होता है क्यू 1 सजातीयविभेदक समीकरण (2)

(2)

और कोई निजी समाधान क्यू 2 विजातीयसमीकरण (1)

.

सामान्य समाधान का प्रकार सजातीयसमीकरण (2) क्षीणन गुणांक के मान पर निर्भर करता है  . हमें कमजोर क्षीणन के मामले में दिलचस्पी होगी  <<  0 . При этом общее решение уравнения (2) имеет вид

कहाँ बीऔर  0 - प्रारंभिक स्थितियों द्वारा निर्दिष्ट स्थिरांक।

समाधान (3) सर्किट में नम दोलनों का वर्णन करता है। (3) में शामिल मान:

- नम दोलनों की चक्रीय आवृत्ति;

- नम दोलनों का आयाम;

- नम दोलनों का चरण।

हम आवृत्ति के बराबर आवृत्ति के साथ होने वाले हार्मोनिक दोलन के रूप में समीकरण (1) के एक विशेष समाधान की तलाश करते हैं  बाहरी आवधिक प्रभाव - ईएमएफ, और चरण दर चरण अंतराल  उसके पास से

कहाँ
-आवृत्ति के आधार पर मजबूर दोलनों का आयाम।

आइए हम (4) को (1) में प्रतिस्थापित करें और पहचान प्राप्त करें

दोलनों के चरणों की तुलना करने के लिए, हम त्रिकोणमितीय कमी सूत्रों का उपयोग करते हैं

.

तब हमारा समीकरण इस प्रकार पुनः लिखा जाएगा

आइए हम परिणामी पहचान के बाईं ओर के दोलनों को प्रपत्र में निरूपित करें वेक्टर आरेख (चावल.6.13)..

धारिता पर दोलनों के अनुरूप तीसरा पद साथ, चरण होना (  सर्किट में वर्तमान ताकत. इस सर्किट में, वैरिएबल ईएमएफ के अलावा –  ) और आयाम
, हम इसे दाईं ओर निर्देशित एक क्षैतिज वेक्टर के रूप में दर्शाते हैं।

चित्र.6.13. वेक्टर आरेख

बायीं ओर पहला पद, प्रेरकत्व में दोलनों के अनुरूप ) स्व-प्रेरित ईएमएफ भी सक्रिय है, को वेक्टर आरेख पर बाईं ओर क्षैतिज रूप से निर्देशित एक वेक्टर के रूप में दर्शाया जाएगा (इसका आयाम
).

प्रतिरोध में दोलनों के अनुरूप दूसरा पद सक्रिय प्रतिरोध पर वोल्टेज, हम इसे लंबवत रूप से ऊपर की ओर निर्देशित एक वेक्टर के रूप में दर्शाते हैं (इसका आयाम
), क्योंकि इसका चरण पहले पद के चरण से /2 पीछे है।

चूँकि समान चिह्न के बायीं ओर तीन कंपनों का योग एक हार्मोनिक कंपन देता है
, तो आरेख पर वेक्टर योग (आयत का विकर्ण) एक आयाम के साथ एक दोलन को दर्शाता है और चरण  सर्किट में वर्तमान ताकत. इस सर्किट में, वैरिएबल ईएमएफ के अलावा, जो चालू है  तीसरे पद के दोलन चरण को आगे बढ़ाता है।

एक समकोण त्रिभुज से, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, आप आयाम पा सकते हैं ए( )

(5)

और टीजी विपरीत भुजा और आसन्न भुजा के अनुपात के रूप में।

. (6)

परिणामस्वरूप, समाधान (4) (5) और (6) को ध्यान में रखते हुए रूप लेगा

. (7)

विभेदक समीकरण का सामान्य समाधान(1) योग है क्यू 1 और क्यू 2

. (8)

फॉर्मूला (8) से पता चलता है कि जब एक सर्किट आवधिक बाहरी ईएमएफ के संपर्क में आता है, तो इसमें दो आवृत्तियों के दोलन उत्पन्न होते हैं, अर्थात। बाह्य ईएमएफ की आवृत्ति के साथ अवमंदित दोलन  और आवृत्ति के साथ नम दोलन
. नम दोलनों का आयाम
समय के साथ, यह नगण्य रूप से छोटा हो जाता है, और सर्किट में केवल मजबूर दोलन ही रह जाते हैं, जिनका आयाम समय पर निर्भर नहीं करता है। नतीजतन, स्थिर-अवस्था मजबूर दोलनों को फ़ंक्शन (4) द्वारा वर्णित किया गया है। यही है, सर्किट में मजबूर हार्मोनिक दोलन होते हैं, जिसकी आवृत्ति बाहरी प्रभाव और आयाम की आवृत्ति के बराबर होती है
, इस आवृत्ति के आधार पर ( चावल। 3ए) कानून के अनुसार (5). इस मामले में, मजबूर दोलन का चरण पीछे रह जाता है  जबरदस्ती के प्रभाव से.

समय के संबंध में विभेदित अभिव्यक्ति (4) होने पर, हम सर्किट में वर्तमान ताकत पाते हैं

कहाँ
– वर्तमान आयाम.

आइए इस अभिव्यक्ति को वर्तमान ताकत के लिए फॉर्म में लिखें

, (9)

कहाँ
–वर्तमान और बाहरी ईएमएफ के बीच चरण बदलाव.

(6) और के अनुसार चावल। 2

. (10)

इस सूत्र से यह निष्कर्ष निकलता है कि धारा और बाहरी ईएमएफ के बीच चरण बदलाव निरंतर प्रतिरोध पर निर्भर करता है सक्रिय प्रतिरोध पर वोल्टेज, ड्राइविंग ईएमएफ की आवृत्ति के बीच संबंध से  और सर्किट की प्राकृतिक आवृत्ति  0 .

अगर  <  0, फिर करंट और बाहरी ईएमएफ के बीच चरण बदलाव  < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол  .

अगर  >  0 तो  > 0. वर्तमान उतार-चढ़ाव एक कोण से चरण में ईएमएफ उतार-चढ़ाव से पीछे रहता है  .

अगर  =  0 (गुंजयमान आवृत्ति), वह  = 0, अर्थात धारा और ईएमएफ एक ही चरण में दोलन करते हैं।

गूंज- यह दोलनों के आयाम में तेज वृद्धि की घटना है जब बाहरी, प्रेरक बल की आवृत्ति दोलन प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति के साथ मेल खाती है।

प्रतिध्वनि पर  =  0 और दोलन अवधि

.

क्षीणन गुणांक को ध्यान में रखते हुए

,

हम अनुनाद पर गुणवत्ता कारक के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं टी = टी 0

,

दूसरी ओर

.

अनुनाद पर अधिष्ठापन और समाई में वोल्टेज आयाम सर्किट के गुणवत्ता कारक के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है

, (15)

. (16)

(15) एवं (16) से स्पष्ट है कि कब  =  0, संधारित्र में वोल्टेज आयाम और प्रेरण क्यूबाहरी ईएमएफ के आयाम से कई गुना अधिक। यह अनुक्रमिक का गुण है आरएलसीसर्किट का उपयोग एक निश्चित आवृत्ति के रेडियो सिग्नल को अलग करने के लिए किया जाता है
रेडियो रिसीवर का पुनर्निर्माण करते समय रेडियो फ्रीक्वेंसी स्पेक्ट्रम से।

अभ्यास पर आरएलसीसर्किट अन्य सर्किट, मापने वाले उपकरणों या प्रवर्धक उपकरणों से जुड़े होते हैं जो अतिरिक्त क्षीणन का परिचय देते हैं आरएलसीसर्किट. इसलिए, लोड किए गए गुणवत्ता कारक का वास्तविक मूल्य आरएलसीसर्किट सूत्र द्वारा अनुमानित गुणवत्ता कारक के मूल्य से कम हो जाता है

.

गुणवत्ता कारक के वास्तविक मूल्य का अनुमान इस प्रकार लगाया जा सकता है

चित्र.6.14. अनुनाद वक्र से गुणवत्ता कारक का निर्धारण

,

कहाँ  एफ- आवृत्तियों की बैंडविड्थ जिसमें आयाम अधिकतम मान का 0.7 है ( चावल। 4).

संधारित्र वोल्टेज आइए हम इसे निरूपित करें सी, सक्रिय प्रतिरोध पर आइए हम इसे निरूपित करें सक्रिय प्रतिरोध पर वोल्टेजऔर प्रारंभ करनेवाला पर आइए हम इसे निरूपित करें ) स्व-प्रेरित ईएमएफ भी सक्रिय हैक्रमशः विभिन्न आवृत्तियों पर अधिकतम तक पहुँचें

,
,
.

यदि क्षीणन कम है  0 >>  , तो ये सभी आवृत्तियाँ व्यावहारिक रूप से मेल खाती हैं और हम ऐसा मान सकते हैं

.

मजबूर दोलन वे दोलन हैं जो किसी प्रणाली में तब होते हैं जब कोई बाहरी बल, जिसे ड्राइविंग बल कहा जाता है, समय-समय पर बदलता रहता है, उस पर कार्य करता है।

प्रेरक शक्ति की प्रकृति (समय निर्भरता) भिन्न हो सकती है। यह एक हार्मोनिक नियम के अनुसार बदलने वाली शक्ति हो सकती है। उदाहरण के लिए, एक ध्वनि तरंग, जिसका स्रोत एक ट्यूनिंग कांटा है, ईयरड्रम या माइक्रोफ़ोन झिल्ली से टकराती है। हवा के दबाव का एक सामंजस्यपूर्ण रूप से बदलता बल झिल्ली पर कार्य करना शुरू कर देता है।

प्रेरक शक्ति झटके या छोटे आवेग की प्रकृति में हो सकती है। उदाहरण के लिए, एक वयस्क एक बच्चे को झूले पर झुलाता है, समय-समय पर उन्हें उस समय धक्का देता है जब झूला अपनी चरम स्थिति में पहुंच जाता है।

हमारा कार्य यह पता लगाना है कि समय-समय पर बदलती प्रेरक शक्ति के प्रभाव पर दोलन प्रणाली कैसे प्रतिक्रिया करती है।

§ 1 प्रेरक शक्ति हार्मोनिक नियम के अनुसार बदलती है

एफ प्रतिरोध = - आरवी एक्सऔर सम्मोहक बल एफ आउट = एफ 0 पाप wt.

न्यूटन का दूसरा नियम इस प्रकार लिखा जाएगा:

समीकरण (1) का समाधान इस रूप में खोजा जाता है, यदि समीकरण (1) का दाहिना पक्ष न हो तो उसका समाधान कहाँ है। यह देखा जा सकता है कि दाएं पक्ष के बिना, समीकरण नम दोलनों के प्रसिद्ध समीकरण में बदल जाता है, जिसका समाधान हम पहले से ही जानते हैं। पर्याप्त रूप से लंबे समय में, संतुलन स्थिति से हटाए जाने पर सिस्टम में उत्पन्न होने वाले मुक्त दोलन व्यावहारिक रूप से समाप्त हो जाएंगे, और समीकरण के समाधान में केवल दूसरा पद ही रहेगा। हम इस समाधान को प्रपत्र में देखेंगे
आइए शब्दों को अलग-अलग समूहित करें:

यह समानता किसी भी समय t पर संतुष्ट होनी चाहिए, जो केवल तभी संभव है जब साइन और कोसाइन के गुणांक शून्य के बराबर हों।

तो, एक शरीर जिस पर एक ड्राइविंग बल द्वारा कार्य किया जाता है, एक हार्मोनिक कानून के अनुसार बदलता हुआ, ड्राइविंग बल की आवृत्ति के साथ दोलन गति करता है।

आइए हम मजबूर दोलनों के आयाम के प्रश्न की अधिक विस्तार से जाँच करें:

1 स्थिर-अवस्था मजबूर दोलनों का आयाम समय के साथ नहीं बदलता है। (मुक्त अवमंदित दोलनों के आयाम से तुलना करें)।

2 मजबूर दोलनों का आयाम प्रेरक बल के आयाम के सीधे आनुपातिक है।

3 आयाम प्रणाली में घर्षण पर निर्भर करता है (ए डी पर निर्भर करता है, और भिगोना गुणांक डी, बदले में, ड्रैग गुणांक आर पर निर्भर करता है)। सिस्टम में घर्षण जितना अधिक होगा, मजबूर दोलनों का आयाम उतना ही छोटा होगा।

4 मजबूर दोलनों का आयाम ड्राइविंग बल w की आवृत्ति पर निर्भर करता है। कैसे? आइए फ़ंक्शन A(w) का अध्ययन करें।

w = 0 पर (एक निरंतर बल दोलन प्रणाली पर कार्य करता है), शरीर का विस्थापन समय के साथ स्थिर रहता है (यह ध्यान में रखना चाहिए कि यह एक स्थिर स्थिति को संदर्भित करता है, जब प्राकृतिक दोलन लगभग समाप्त हो जाते हैं)।

· जब w ® ¥, तो, जैसा कि देखना आसान है, आयाम A शून्य हो जाता है।

· जाहिर है, ड्राइविंग बल की कुछ आवृत्ति पर, मजबूर दोलनों का आयाम लगेगा उच्चतम मूल्य(किसी दिए गए डी के लिए)। ड्राइविंग बल की आवृत्ति के एक निश्चित मूल्य पर मजबूर दोलनों के आयाम में तेज वृद्धि की घटना को यांत्रिक अनुनाद कहा जाता है।

यह दिलचस्प है कि इस मामले में दोलन प्रणाली का गुणवत्ता कारक दिखाता है कि निरंतर बल एफ 0 की कार्रवाई के तहत गुंजयमान आयाम कितनी बार संतुलन स्थिति से शरीर के विस्थापन से अधिक है।

हम देखते हैं कि गुंजयमान आवृत्ति और गुंजयमान आयाम दोनों अवमंदन गुणांक d पर निर्भर करते हैं। जैसे-जैसे d घटकर शून्य हो जाता है, गुंजयमान आवृत्ति बढ़ जाती है और सिस्टम की प्राकृतिक दोलन आवृत्ति w 0 की ओर झुक जाती है। इस स्थिति में, गुंजयमान आयाम बढ़ता है और d = 0 पर यह अनंत तक चला जाता है। बेशक, व्यवहार में दोलनों का आयाम अनंत नहीं हो सकता, क्योंकि वास्तविक दोलन प्रणालियों में प्रतिरोध बल हमेशा कार्य करते हैं। यदि सिस्टम में कम क्षीणन है, तो हम मोटे तौर पर मान सकते हैं कि प्रतिध्वनि अपने स्वयं के दोलनों की आवृत्ति पर होती है:

जहां विचाराधीन मामले में ड्राइविंग बल और संतुलन स्थिति से शरीर के विस्थापन के बीच चरण बदलाव है।

यह देखना आसान है कि बल और विस्थापन के बीच चरण बदलाव सिस्टम में घर्षण और बाहरी ड्राइविंग बल की आवृत्ति पर निर्भर करता है। यह निर्भरता चित्र में दिखाई गई है। यह स्पष्ट है कि जब< тангенс принимает नकारात्मक मान, और > के लिए - सकारात्मक.

कोण पर निर्भरता को जानकर, ड्राइविंग बल की आवृत्ति पर निर्भरता प्राप्त की जा सकती है।

बाहरी बल की आवृत्तियों पर जो प्राकृतिक बल से काफी कम होती है, विस्थापन चरण में प्रेरक बल से थोड़ा पीछे रह जाता है। जैसे-जैसे बाहरी बल की आवृत्ति बढ़ती है, यह चरण विलंब बढ़ता जाता है। अनुनाद पर (यदि छोटा हो), चरण बदलाव बराबर हो जाता है। जब >>विस्थापन और बल दोलन एंटीफ़ेज़ में होते हैं। यह निर्भरता पहली नज़र में अजीब लग सकती है। इस तथ्य को समझने के लिए, आइए हम मजबूर दोलनों की प्रक्रिया में ऊर्जा परिवर्तनों की ओर मुड़ें।

§ 2 ऊर्जा परिवर्तन

जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, दोलनों का आयाम दोलन प्रणाली की कुल ऊर्जा से निर्धारित होता है। यह पहले दिखाया गया था कि मजबूर दोलनों का आयाम समय के साथ अपरिवर्तित रहता है। इसका मतलब यह है कि दोलन प्रणाली की कुल यांत्रिक ऊर्जा समय के साथ नहीं बदलती है। क्यों? आख़िरकार, सिस्टम बंद नहीं है! दो बल - एक बाहरी समय-समय पर बदलने वाला बल और एक प्रतिरोध बल - वह कार्य करते हैं जिससे सिस्टम की कुल ऊर्जा में परिवर्तन होना चाहिए।

आइए जानने की कोशिश करें कि क्या हो रहा है। बाह्य प्रेरक शक्ति की शक्ति इस प्रकार पाई जा सकती है:

हम देखते हैं कि दोलन प्रणाली को ऊर्जा प्रदान करने वाले बाहरी बल की शक्ति दोलन आयाम के समानुपाती होती है।

प्रतिरोध बल के कार्य के कारण, दोलन प्रणाली की ऊर्जा कम होनी चाहिए, आंतरिक में बदल जाएगी। प्रतिरोध बल शक्ति:

जाहिर है, प्रतिरोध बल की शक्ति आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है। आइए दोनों निर्भरताओं को एक ग्राफ़ पर प्लॉट करें।

दोलनों को स्थिर रखने के लिए (समय के साथ आयाम नहीं बदलता है), अवधि के दौरान बाहरी बल के कार्य को प्रतिरोध बल के कार्य के कारण सिस्टम की ऊर्जा हानि की भरपाई करनी चाहिए। पावर ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु बिल्कुल इस शासन से मेल खाता है। आइए कल्पना करें कि किसी कारण से मजबूर दोलनों का आयाम कम हो गया है। इससे यह तथ्य सामने आएगा कि बाहरी बल की तात्कालिक शक्ति हानि की शक्ति से अधिक होगी। इससे दोलन प्रणाली की ऊर्जा में वृद्धि होगी, और दोलनों का आयाम अपने पिछले मूल्य को बहाल कर देगा।

इसी प्रकार, कोई यह आश्वस्त हो सकता है कि दोलनों के आयाम में यादृच्छिक वृद्धि के साथ, बिजली की हानि बाहरी बल की शक्ति से अधिक हो जाएगी, जिससे सिस्टम की ऊर्जा में कमी आएगी, और परिणामस्वरूप, आयाम में कमी.

आइए प्रतिध्वनि पर विस्थापन और प्रेरक बल के बीच चरण बदलाव के प्रश्न पर वापस लौटें। हम पहले ही दिखा चुके हैं कि विस्थापन पीछे रहता है, और इसलिए बल विस्थापन को आगे बढ़ाता है। दूसरी ओर, हार्मोनिक दोलनों की प्रक्रिया में वेग प्रक्षेपण हमेशा समन्वय से आगे होता है। इसका मतलब यह है कि अनुनाद के दौरान, बाहरी ड्राइविंग बल और गति एक ही चरण में दोलन करते हैं। इसका मतलब है कि वे किसी भी समय सह-निर्देशित होते हैं! इस स्थिति में बाहरी बल का कार्य सदैव सकारात्मक होता है सभी ऊर्जा के साथ दोलन प्रणाली को फिर से भरने के लिए जाता है।

§ 3 गैर-साइनसॉइडल आवधिक प्रभाव

थरथरानवाला के मजबूर दोलन किसी भी आवधिक बाहरी प्रभाव के तहत संभव हैं, न कि केवल साइनसॉइडल। इस मामले में, स्थापित दोलन, आम तौर पर बोलते हुए, साइनसॉइडल नहीं होंगे, लेकिन वे बाहरी प्रभाव की अवधि के बराबर अवधि के साथ एक आवधिक आंदोलन का प्रतिनिधित्व करेंगे।

उदाहरण के लिए, एक बाहरी प्रभाव लगातार झटके हो सकते हैं (याद रखें कि एक वयस्क झूले पर बैठे बच्चे को कैसे "चट्टान" करता है)। यदि बाहरी झटकों की अवधि प्राकृतिक दोलनों की अवधि के साथ मेल खाती है, तो सिस्टम में प्रतिध्वनि उत्पन्न हो सकती है। दोलन लगभग साइनसॉइडल होंगे। प्रत्येक धक्का पर सिस्टम को प्रदान की गई ऊर्जा घर्षण के कारण खोई हुई सिस्टम की कुल ऊर्जा की भरपाई करती है। यह स्पष्ट है कि इस मामले में, विकल्प संभव हैं: यदि एक धक्का के दौरान प्रदान की गई ऊर्जा प्रति अवधि घर्षण हानि के बराबर या उससे अधिक है, तो दोलन या तो स्थिर होंगे या उनका दायरा बढ़ जाएगा। यह चरण आरेख में स्पष्ट रूप से दिखाई देता है।

यह स्पष्ट है कि प्रतिध्वनि उस स्थिति में भी संभव है जब झटके की पुनरावृत्ति की अवधि प्राकृतिक दोलनों की अवधि का एक गुणक हो। बाहरी प्रभाव की साइनसोइडल प्रकृति के साथ यह असंभव है।

दूसरी ओर, भले ही झटके की आवृत्ति प्राकृतिक आवृत्ति के साथ मेल खाती हो, प्रतिध्वनि नहीं देखी जा सकती है। यदि अवधि के दौरान केवल घर्षण हानि, धक्का के दौरान सिस्टम द्वारा प्राप्त ऊर्जा से अधिक हो जाती है, तो सिस्टम की कुल ऊर्जा कम हो जाएगी और दोलन कम हो जाएंगे।

§ 4 पैरामीट्रिक अनुनाद

ऑसिलेटरी सिस्टम पर बाहरी प्रभाव को ऑसिलेटरी सिस्टम के मापदंडों में समय-समय पर होने वाले बदलावों से कम किया जा सकता है। इस तरह से उत्तेजित दोलनों को पैरामीट्रिक कहा जाता है, और तंत्र को ही कहा जाता है पैरामीट्रिक अनुनाद .

सबसे पहले, आइए इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करें: क्या समय-समय पर परिवर्तन करके सिस्टम में पहले से मौजूद छोटे दोलनों को हिलाना संभव है? एक निश्चित तरीके सेइसका कोई भी पैरामीटर।

उदाहरण के तौर पर झूले पर झूल रहे एक व्यक्ति पर विचार करें। "सही" क्षणों में अपने पैरों को मोड़ने और सीधा करने से, वह वास्तव में पेंडुलम की लंबाई बदल देता है। चरम स्थितियों में, एक व्यक्ति बैठ जाता है, जिससे मध्य स्थिति में दोलन प्रणाली के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र थोड़ा कम हो जाता है, एक व्यक्ति सीधा हो जाता है, जिससे प्रणाली का गुरुत्वाकर्षण केंद्र बढ़ जाता है;

यह समझने के लिए कि एक व्यक्ति एक ही समय में क्यों झूलता है, झूले पर बैठे व्यक्ति के अत्यंत सरलीकृत मॉडल पर विचार करें - एक साधारण छोटा पेंडुलम, यानी एक हल्के और लंबे धागे पर एक छोटा वजन। गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को ऊपर उठाने और कम करने का अनुकरण करने के लिए, हम धागे के ऊपरी सिरे को एक छोटे छेद से गुजारेंगे और उन क्षणों में धागे को खींचेंगे जब पेंडुलम संतुलन स्थिति से गुजरता है, और धागे को उसी मात्रा में नीचे कर देंगे जब पेंडुलम संतुलन की स्थिति से गुजरता है। पेंडुलम चरम स्थिति से गुजरता है।

प्रति अवधि में थ्रेड तनाव बल का कार्य (इस बात को ध्यान में रखते हुए कि भार प्रति अवधि में दो बार उठाया और उतारा जाता है और डी एल << एल):

कृपया ध्यान दें कि कोष्ठक में दोलन प्रणाली की तिगुनी ऊर्जा से अधिक कुछ नहीं है। वैसे, यह मात्रा सकारात्मक है, इसलिए, तनाव बल (हमारा कार्य) का कार्य सकारात्मक है, इससे सिस्टम की कुल ऊर्जा में वृद्धि होती है, और इसलिए पेंडुलम का स्विंग होता है।

दिलचस्प बात यह है कि किसी अवधि में ऊर्जा में सापेक्ष परिवर्तन इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि पेंडुलम कमजोर रूप से स्विंग करता है या दृढ़ता से। यह बहुत महत्वपूर्ण है, और इसका कारण यहां बताया गया है। यदि पेंडुलम को ऊर्जा से "पंप" नहीं किया जाता है, तो प्रत्येक अवधि के लिए यह घर्षण बल के कारण अपनी ऊर्जा का एक निश्चित हिस्सा खो देगा, और दोलन समाप्त हो जाएंगे। और दोलनों की सीमा को बढ़ाने के लिए, यह आवश्यक है कि प्राप्त ऊर्जा घर्षण पर काबू पाने के लिए खोई गई ऊर्जा से अधिक हो। और यह स्थिति, यह पता चला है, समान है - छोटे आयाम और बड़े आयाम दोनों के लिए।

उदाहरण के लिए, यदि एक अवधि में मुक्त दोलनों की ऊर्जा 6% कम हो जाती है, तो 1 मीटर लंबे पेंडुलम के दोलनों को गीला न करने के लिए, मध्य स्थिति में इसकी लंबाई 1 सेमी कम करने और बढ़ाने के लिए पर्याप्त है चरम स्थिति में यह समान मात्रा में होता है।

झूले पर लौटना: यदि आप झूलना शुरू करते हैं, तो अधिक गहराई तक बैठने की कोई आवश्यकता नहीं है - हर समय उसी तरह से बैठें, और आप ऊंचे और ऊंचे उड़ेंगे!

*** गुणवत्ता फिर से!

जैसा कि हमने पहले ही कहा है, दोलनों के पैरामीट्रिक निर्माण के लिए, प्रति अवधि घर्षण की शर्त DE > A को पूरा करना होगा।

आइए इस अवधि में घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य ज्ञात करें

यह देखा जा सकता है कि पेंडुलम को घुमाने के लिए उसे उठाने की सापेक्ष मात्रा प्रणाली के गुणवत्ता कारक द्वारा निर्धारित की जाती है।

§5 अनुनाद का अर्थ

जबरन दोलन और अनुनाद का प्रौद्योगिकी में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से ध्वनिकी, इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग और रेडियो इंजीनियरिंग में। अनुनाद का उपयोग मुख्य रूप से तब किया जाता है, जब विभिन्न आवृत्तियों के दोलनों के एक बड़े सेट से, कोई एक निश्चित आवृत्ति के दोलनों को अलग करना चाहता है। अनुनाद का उपयोग बहुत कमजोर समय-समय पर दोहराई जाने वाली मात्राओं के अध्ययन में भी किया जाता है।

हालाँकि, कुछ मामलों में प्रतिध्वनि एक अवांछनीय घटना है, क्योंकि इससे बड़ी विकृतियाँ और संरचनाओं का विनाश हो सकता है।

§ समस्या समाधान के 6 उदाहरण

समस्या 1 बाहरी साइनसोइडल बल की कार्रवाई के तहत स्प्रिंग पेंडुलम का जबरन दोलन।

m = 10 g के द्रव्यमान वाले एक भार को k = 10 N/m की कठोरता के साथ एक स्प्रिंग से निलंबित किया गया था और सिस्टम को r = 0.1 kg/s के प्रतिरोध गुणांक के साथ एक चिपचिपे माध्यम में रखा गया था। सिस्टम की प्राकृतिक और गुंजयमान आवृत्तियों की तुलना करें। आयाम F 0 = 20 mN के साथ एक साइनसॉइडल बल की कार्रवाई के तहत अनुनाद पर पेंडुलम के दोलनों का आयाम निर्धारित करें।

समाधान:

1 एक दोलन प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति घर्षण की अनुपस्थिति में मुक्त कंपन की आवृत्ति है। प्राकृतिक चक्रीय आवृत्ति दोलन आवृत्ति के बराबर होती है।

2 गुंजयमान आवृत्ति एक बाहरी ड्राइविंग बल की आवृत्ति है जिस पर मजबूर दोलनों का आयाम तेजी से बढ़ता है। गुंजयमान चक्रीय आवृत्ति के बराबर है, जहां भिगोना गुणांक, के बराबर है।

इस प्रकार, गुंजयमान आवृत्ति है। यह देखना आसान है कि गुंजयमान आवृत्ति प्राकृतिक आवृत्ति से कम है! यह भी स्पष्ट है कि सिस्टम (आर) में घर्षण जितना कम होगा, गुंजयमान आवृत्ति प्राकृतिक आवृत्ति के उतनी ही करीब होगी।

3 गुंजयमान आयाम है

कार्य 2 दोलन प्रणाली का अनुनाद आयाम और गुणवत्ता कारक

m = 100 g द्रव्यमान का एक भार k = 10 N/m कठोरता वाले एक स्प्रिंग से लटकाया गया था और सिस्टम को प्रतिरोध गुणांक के साथ एक चिपचिपे माध्यम में रखा गया था

आर = 0.02 किग्रा/सेकेंड। एक आयाम F 0 = 10 mN के साथ एक साइनसोइडल बल की कार्रवाई के तहत दोलन प्रणाली के गुणवत्ता कारक और प्रतिध्वनि पर पेंडुलम के दोलनों के आयाम का निर्धारण करें। एक स्थिर बल F 0 = 20 mN के प्रभाव में गुंजयमान आयाम और स्थैतिक विस्थापन का अनुपात ज्ञात करें और इस अनुपात की गुणवत्ता कारक से तुलना करें।

समाधान:

1 ऑसिलेटरी सिस्टम का गुणवत्ता कारक बराबर है, लॉगरिदमिक डंपिंग डिक्रीमेंट कहां है।

लॉगरिदमिक अवमंदन कमी के बराबर है।

दोलन प्रणाली के गुणवत्ता कारक का पता लगाना।

2 गुंजायमान आयाम है

3 एक स्थिर बल F 0 = 10 mN की क्रिया के तहत स्थैतिक विस्थापन बराबर है।

4 एक स्थिर बल F 0 की क्रिया के तहत गुंजयमान आयाम और स्थैतिक विस्थापन का अनुपात बराबर है

यह देखना आसान है कि यह अनुपात दोलन प्रणाली के गुणवत्ता कारक से मेल खाता है

समस्या 3 एक किरण का गुंजयमान कंपन

विद्युत मोटर के भार के प्रभाव में, कैंटिलीवर टैंक जिस पर इसे स्थापित किया गया है, झुक जाता है। मोटर आर्मेचर की किस गति पर प्रतिध्वनि का खतरा हो सकता है?

समाधान:

1 मोटर आवास और बीम जिस पर इसे स्थापित किया गया है, मोटर के घूर्णन आर्मेचर से आवधिक झटके का अनुभव करता है और इसलिए, झटके की आवृत्ति पर मजबूर दोलन करता है।

अनुनाद तब देखा जाएगा जब झटके की आवृत्ति मोटर के साथ बीम के कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति के साथ मेल खाती है। बीम-मोटर प्रणाली के दोलनों की प्राकृतिक आवृत्ति का पता लगाना आवश्यक है।

2 बीम-मोटर ऑसिलेटरी सिस्टम का एक एनालॉग एक ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग पेंडुलम हो सकता है, जिसका द्रव्यमान मोटर के द्रव्यमान के बराबर होता है। एक स्प्रिंग पेंडुलम के दोलन की प्राकृतिक आवृत्ति बराबर होती है। लेकिन स्प्रिंग की कठोरता और मोटर का द्रव्यमान ज्ञात नहीं है! मुझे क्या करना चाहिए?

3 स्प्रिंग पेंडुलम की संतुलन स्थिति में, भार का गुरुत्वाकर्षण बल स्प्रिंग के लोचदार बल द्वारा संतुलित होता है

4 मोटर आर्मेचर का घूर्णन ज्ञात करें, अर्थात्। झटके की आवृत्ति

समस्या 4 आवधिक झटकों के प्रभाव में स्प्रिंग पेंडुलम का जबरन दोलन।

m = 0.5 kg द्रव्यमान का एक भार k = 20 N/m कठोरता के साथ एक सर्पिल स्प्रिंग से लटकाया जाता है। दोलन प्रणाली की लघुगणकीय अवमंदन कमी के बराबर है। वे τ = 0.01 सेकंड के समय के लिए F = 100 mN के बल के साथ वजन पर कार्य करते हुए, छोटे-छोटे धक्का देकर वजन को हिलाना चाहते हैं। भार का आयाम अधिकतम होने के लिए स्ट्रोक की आवृत्ति क्या होनी चाहिए? आपको केटलबेल को किस बिंदु पर और किस दिशा में दबाना चाहिए? इस प्रकार वजन को किस आयाम तक घुमाना संभव होगा?

समाधान:

1 जबरन कंपन किसी भी आवधिक प्रभाव के तहत हो सकता है। इस मामले में, बाहरी प्रभाव की आवृत्ति के साथ स्थिर-अवस्था दोलन होगा। यदि बाहरी झटकों की अवधि प्राकृतिक दोलनों की आवृत्ति के साथ मेल खाती है, तो प्रणाली में प्रतिध्वनि उत्पन्न होती है - दोलनों का आयाम सबसे बड़ा हो जाता है। हमारे मामले में, अनुनाद उत्पन्न होने के लिए, झटके की अवधि स्प्रिंग पेंडुलम के दोलन की अवधि के साथ मेल खाना चाहिए।

लॉगरिदमिक अवमंदन कमी छोटी है, इसलिए, सिस्टम में थोड़ा घर्षण होता है, और एक चिपचिपे माध्यम में एक पेंडुलम के दोलन की अवधि व्यावहारिक रूप से एक निर्वात में एक पेंडुलम के दोलन की अवधि के साथ मेल खाती है:

2 जाहिर है, धक्का की दिशा वजन की गति से मेल खाना चाहिए। इस स्थिति में, सिस्टम को ऊर्जा से पुनः भरने वाले बाहरी बल का कार्य सकारात्मक होगा। और कंपन तरंगित हो जायेंगे। प्रभाव प्रक्रिया के दौरान सिस्टम द्वारा प्राप्त ऊर्जा

तब अधिकतम होगा जब भार संतुलन स्थिति से गुजरेगा, क्योंकि इस स्थिति में पेंडुलम की गति अधिकतम होती है।

इसलिए, सिस्टम संतुलन स्थिति से गुजरते समय भार की गति की दिशा में झटके की कार्रवाई के तहत सबसे तेज़ी से स्विंग करेगा।

3 दोलनों का आयाम तब बढ़ना बंद हो जाता है जब प्रभाव प्रक्रिया के दौरान सिस्टम को प्रदान की गई ऊर्जा अवधि के दौरान घर्षण के कारण होने वाली ऊर्जा हानि के बराबर होती है:।

हम दोलन प्रणाली के गुणवत्ता कारक के माध्यम से एक अवधि में ऊर्जा हानि का पता लगाएंगे

जहां ई दोलन प्रणाली की कुल ऊर्जा है, जिसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है।

हानि ऊर्जा के बजाय, हम प्रभाव के दौरान सिस्टम द्वारा प्राप्त ऊर्जा को प्रतिस्थापित करते हैं:

अधिकतम गतिदोलन के दौरान बराबर होता है। इसे ध्यान में रखते हुए, हमें मिलता है।

§7 स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

परीक्षण "जबरन कंपन"

1 किन दोलनों को मजबूर कहा जाता है?

ए) बाहरी समय-समय पर बदलती ताकतों के प्रभाव में होने वाले दोलन;

बी) बाहरी झटके के बाद सिस्टम में होने वाले दोलन;

2 निम्नलिखित में से कौन सा दोलन मजबूर है?

ए) संतुलन स्थिति से एकल विचलन के बाद स्प्रिंग से निलंबित भार का दोलन;

बी) रिसीवर के संचालन के दौरान लाउडस्पीकर शंकु का दोलन;

बी) संतुलन स्थिति में भार पर एक प्रभाव के बाद स्प्रिंग से निलंबित भार का दोलन;

डी) शरीर का कंपन विद्युत मोटरउसके कार्य की प्रक्रिया में;

डी) संगीत सुनने वाले व्यक्ति के कान के पर्दे का कंपन।

3 अपनी स्वयं की आवृत्ति के साथ एक दोलन प्रणाली पर एक बाहरी प्रेरक बल द्वारा कार्य किया जाता है जो कानून के अनुसार बदलता रहता है। दोलन प्रणाली में अवमंदन गुणांक बराबर है। किसी पिंड का निर्देशांक समय के साथ किस नियम के अनुसार बदलता है?

सी) मजबूर दोलनों का आयाम अपरिवर्तित रहेगा, क्योंकि घर्षण के कारण सिस्टम द्वारा खोई गई ऊर्जा की भरपाई बाहरी ड्राइविंग बल के काम के कारण ऊर्जा लाभ से की जाएगी।

5 सिस्टम एक साइनसॉइडल बल की कार्रवाई के तहत मजबूर दोलन करता है। उल्लिखित करना सभीवे कारक जिन पर इन दोलनों का आयाम निर्भर करता है।

ए) बाहरी प्रेरक बल के आयाम से;

बी) जिस समय बाहरी बल कार्य करना शुरू करता है उस समय दोलन प्रणाली में ऊर्जा की उपस्थिति;

सी) दोलन प्रणाली के पैरामीटर ही;

डी) दोलन प्रणाली में घर्षण;

डी) जिस समय बाहरी बल कार्य करना शुरू करता है उस समय सिस्टम में प्राकृतिक दोलनों का अस्तित्व;

ई) दोलनों की स्थापना का समय;

जी) बाह्य प्रेरक बल की आवृत्तियाँ।

6 द्रव्यमान m का एक ब्लॉक, अवधि T और आयाम A के साथ एक क्षैतिज विमान के साथ मजबूर हार्मोनिक दोलन करता है। घर्षण गुणांक μ। बाह्य प्रेरक बल द्वारा अवधि T के बराबर समय में कौन सा कार्य किया जाता है?

ए) 4μmgA; बी) 2μmgA; बी) μmgA; डी) 0;

डी) इसका उत्तर देना असंभव है, क्योंकि बाहरी प्रेरक शक्ति का परिमाण ज्ञात नहीं है।

7 सही कथन बनाओ

अनुनाद एक घटना है...

ए) दोलन प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति के साथ बाहरी बल की आवृत्ति का संयोग;

बी) मजबूर दोलनों के आयाम में तेज वृद्धि।

स्थिति के अंतर्गत प्रतिध्वनि देखी जाती है

ए) दोलन प्रणाली में घर्षण को कम करना;

बी) बाहरी प्रेरक बल का आयाम बढ़ाना;

सी) दोलन प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति के साथ बाहरी बल की आवृत्ति का संयोग;

डी) जब बाहरी बल की आवृत्ति गुंजयमान आवृत्ति के साथ मेल खाती है।

8 अनुनाद की घटना देखी जा सकती है...

ए) किसी भी दोलन प्रणाली में;

बी) एक ऐसी प्रणाली में जो मुक्त दोलन करती है;

बी) एक स्व-दोलन प्रणाली में;

डी) मजबूर दोलनों से गुजरने वाली प्रणाली में।

9 यह आंकड़ा ड्राइविंग बल की आवृत्ति पर मजबूर दोलनों के आयाम की निर्भरता का एक ग्राफ दिखाता है। अनुनाद एक आवृत्ति पर होता है...

10 अलग-अलग चिपचिपे मीडिया में स्थित तीन समान पेंडुलम मजबूर दोलन करते हैं। चित्र इन पेंडुलमों के लिए अनुनाद वक्र दिखाता है। दोलन के दौरान कौन सा लोलक श्यान माध्यम से सबसे अधिक प्रतिरोध का अनुभव करता है?

ए) 1; बी) 2; तीन बजे;

डी) उत्तर देना असंभव है, क्योंकि मजबूर दोलनों का आयाम, बाहरी बल की आवृत्ति के अलावा, उसके आयाम पर भी निर्भर करता है। शर्त बाहरी प्रेरक शक्ति के आयाम के बारे में कुछ नहीं कहती है।

11 दोलन प्रणाली के प्राकृतिक दोलनों की अवधि T 0 के बराबर है। झटके की अवधि क्या हो सकती है ताकि दोलनों का आयाम तेजी से बढ़े, यानी सिस्टम में प्रतिध्वनि उत्पन्न हो?

ए) टी 0; बी) टी 0, 2 टी 0, 3 टी 0,…;

सी) झूले को किसी भी आवृत्ति के धक्के से हिलाया जा सकता है।

12 तुम्हारा छोटा भाईझूले पर बैठता है, आप उसे छोटे-छोटे धक्के देकर झुलाते हैं। प्रक्रिया को सर्वाधिक कुशलता से घटित करने के लिए झटकों के क्रम की अवधि क्या होनी चाहिए? झूले के प्राकृतिक दोलनों की अवधि T 0.

डी) झूले को किसी भी आवृत्ति के धक्के से हिलाया जा सकता है।

13 तेरा छोटा भाई झूले पर बैठा है, तू उसे छोटे-छोटे धक्के देकर झुलाता है। स्विंग की किस स्थिति में धक्का लगाया जाना चाहिए और किस दिशा में धक्का दिया जाना चाहिए ताकि प्रक्रिया सबसे कुशलता से हो सके?

ए) संतुलन की स्थिति की ओर स्विंग की सबसे ऊपरी स्थिति में पुश करें;

बी) संतुलन की स्थिति से दिशा में स्विंग की ऊपरी स्थिति में धक्का दें;

बी) झूले की गति की दिशा में संतुलित स्थिति में धक्का दें;

डी) आप किसी भी स्थिति में धक्का दे सकते हैं, लेकिन हमेशा झूले की गति की दिशा में।

14 ऐसा प्रतीत होता है कि पुल पर अपने स्वयं के कंपन के साथ गुलेल से शूटिंग करके और बहुत सारे शॉट लगाकर, आप इसे दृढ़ता से घुमा सकते हैं, लेकिन यह सफल होने की संभावना नहीं है। क्यों?

ए) पुल का द्रव्यमान (इसकी जड़ता) गुलेल से "गोली" के द्रव्यमान की तुलना में बड़ा है, पुल ऐसे प्रभावों के प्रभाव में चलने में सक्षम नहीं होगा;

बी) गुलेल से "गोली" का प्रभाव बल इतना छोटा है कि पुल ऐसे प्रभावों के प्रभाव में नहीं चल पाएगा;

सी) एक झटके में पुल को प्रदान की गई ऊर्जा, अवधि के दौरान घर्षण के कारण होने वाली ऊर्जा हानि से बहुत कम है।

15 तुम पानी की बाल्टी ले जा रहे हो। बाल्टी में पानी उछलता है और बाहर उछलता है। ऐसा होने से रोकने के लिए क्या किया जा सकता है?

ए) चलने के साथ लय में उस हाथ को घुमाएं जिसमें बाल्टी स्थित है;

बी) कदमों की लंबाई अपरिवर्तित छोड़कर, गति की गति बदलें;

ग) समय-समय पर रुकें और पानी के कंपन के शांत होने की प्रतीक्षा करें;

डी) सुनिश्चित करें कि आंदोलन के दौरान बाल्टी के साथ हाथ सख्ती से लंबवत स्थित हो।

कार्य

1 सिस्टम 1000 हर्ट्ज की आवृत्ति के साथ नम दोलन करता है। आवृत्ति को परिभाषित करें वि0प्राकृतिक कंपन, यदि गुंजयमान आवृत्ति

2 किस मान से निर्धारित करें डी वीगुंजयमान आवृत्ति प्राकृतिक आवृत्ति से भिन्न होती है वि0= 1000 हर्ट्ज दोलन प्रणाली, एक अवमंदन गुणांक d = 400s -1 द्वारा विशेषता।

3 100 ग्राम द्रव्यमान का एक भार, 10 N/m कठोरता वाले स्प्रिंग पर लटका हुआ, प्रतिरोध गुणांक r = 0.02 kg/s के साथ एक चिपचिपे माध्यम में मजबूर दोलन करता है। अवमंदन गुणांक, गुंजयमान आवृत्ति और आयाम निर्धारित करें। प्रेरक बल का आयाम मान 10 mN है।

4 आवृत्तियों w 1 = 400 s -1 और w 2 = 600 s -1 पर मजबूर हार्मोनिक दोलनों के आयाम बराबर हैं। गुंजयमान आवृत्ति निर्धारित करें.

5 ट्रक एक तरफ गंदगी वाली सड़क के साथ अनाज के गोदाम में प्रवेश करते हैं, सामान उतारते हैं और उसी गति से गोदाम से बाहर निकलते हैं, लेकिन दूसरी तरफ। गोदाम के किस तरफ की सड़क में दूसरे की तुलना में अधिक गड्ढे हैं? आप सड़क की स्थिति के आधार पर यह कैसे निर्धारित कर सकते हैं कि गोदाम के किस तरफ प्रवेश द्वार है और किस तरफ से निकास है? उत्तर का औचित्य सिद्ध करें