अनिश्चितकालीन अभिन्न. विस्तृत नमूना समाधान

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छात्रों और स्कूली बच्चों के लिए वेबसाइट पर ऑनलाइन इंटीग्रल्स उनके द्वारा कवर की गई सामग्री को समेकित करने के लिए है। और अपने व्यावहारिक कौशल का प्रशिक्षण लें। कुछ ही क्षणों में आपके लिए इंटीग्रल्स का ऑनलाइन संपूर्ण समाधान आपको प्रक्रिया के सभी चरणों को निर्धारित करने में मदद करेगा। हर बार जब आप किसी इंटीग्रल्स को ऑनलाइन हल करना शुरू करते हैं, तो आपको इसके प्रकार की पहचान करने की आवश्यकता होती है, जब तक कि आप किसी भी विधि का उपयोग नहीं कर सकते अभिन्न को सारणीबद्ध मानें। प्रत्येक तालिका अभिन्न किसी दिए गए उदाहरण से स्पष्ट रूप से दिखाई नहीं देती है; कभी-कभी आपको एंटीडेरिवेटिव खोजने के लिए मूल फ़ंक्शन को बदलने की आवश्यकता होती है। व्यवहार में, इंटीग्रल को हल करना मूल को खोजने की समस्या की व्याख्या करने के लिए नीचे आता है, अर्थात, कार्यों के अनंत परिवार से एंटीडेरिवेटिव, लेकिन यदि एकीकरण की सीमाएं दी गई हैं, तो न्यूटन-लीबनिज सूत्र के अनुसार केवल एक ही फ़ंक्शन है गणना लागू करने के लिए छोड़ दिया गया है। ऑनलाइन इंटीग्रल - ऑनलाइन अनिश्चित इंटीग्रल और ऑनलाइन निश्चित इंटीग्रल। किसी फ़ंक्शन का अभिन्न अंग उनके एकीकरण के लिए इच्छित किसी भी संख्या का योग है। इसलिए, अनौपचारिक रूप से, ऑनलाइन निश्चित इंटीग्रल एकीकरण की सीमा के भीतर फ़ंक्शन के ग्राफ़ और एक्स-अक्ष के बीच का क्षेत्र है। अभिन्नों के साथ समस्याओं को हल करने के उदाहरण. आइए हम एक चर पर एक जटिल समाकलन का मूल्यांकन करें और उसके उत्तर को समस्या के आगे के समाधान से जोड़ें। यह संभव है, जैसा कि वे कहते हैं, इंटीग्रैंड के अभिन्न अंग को सीधे खोजना संभव है। कोई भी अभिन्न अंग रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्र को उच्च सटीकता के साथ निर्धारित करता है। ये उन्हीं में से एक है ज्यामितीय अर्थ. यह विधि छात्रों के लिए चीजों को आसान बनाती है। वास्तव में, कई चरणों का वेक्टर विश्लेषण पर अधिक प्रभाव नहीं पड़ेगा। किसी फ़ंक्शन का इंटीग्रल, इंटीग्रल कैलकुलस की मूल अवधारणा है। विश्लेषण के मुख्य प्रमेय के अनुसार, एकीकरण विभेदन का व्युत्क्रम संक्रिया है, जो विभेदक समीकरणों को हल करने में मदद करता है। एकीकरण के संचालन की कई अलग-अलग परिभाषाएँ हैं, जो तकनीकी विवरण में भिन्न हैं। हालाँकि, वे सभी संगत हैं, अर्थात, एकीकरण के कोई भी दो तरीके, यदि उन्हें किसी दिए गए फ़ंक्शन पर लागू किया जा सकता है, तो वही परिणाम देंगे। सबसे सरल रीमैन इंटीग्रल है - एक निश्चित इंटीग्रल या अनिश्चित इंटीग्रल। अनौपचारिक रूप से, एक चर के फ़ंक्शन के अभिन्न अंग को ग्राफ़ के तहत क्षेत्र के रूप में पेश किया जा सकता है (फ़ंक्शन के ग्राफ़ और एक्स-अक्ष के बीच संलग्न आंकड़ा)। ऐसी कोई भी उप-समस्या यह उचित ठहरा सकती है कि एक महत्वपूर्ण दृष्टिकोण की शुरुआत में अभिन्न की गणना करना बेहद आवश्यक होगा। इसे न भूलो! इस क्षेत्र को खोजने का प्रयास करते हुए, हम एक निश्चित संख्या में ऊर्ध्वाधर आयतों से युक्त आकृतियों पर विचार कर सकते हैं, जिनके आधार मिलकर एकीकरण का एक खंड बनाते हैं और खंड को उचित संख्या में छोटे खंडों में विभाजित करके प्राप्त किया जाता है। इंटीग्रल को ऑनलाइन हल करना.. इंटीग्रल ऑनलाइन - अनिश्चित इंटीग्रल ऑनलाइन और निश्चित इंटीग्रल ऑनलाइन। इंटीग्रल को ऑनलाइन हल करना: अनिश्चित इंटीग्रल ऑनलाइन और निश्चित इंटीग्रल ऑनलाइन। कैलकुलेटर कार्यों के विस्तृत विवरण के साथ इंटीग्रल को निःशुल्क हल करता है! किसी फ़ंक्शन के लिए एक ऑनलाइन अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग किसी दिए गए फ़ंक्शन के सभी एंटीडेरिवेटिव का सेट होता है। यदि कोई फ़ंक्शन किसी अंतराल पर परिभाषित और निरंतर है, तो उसके लिए वहाँ है प्रतिव्युत्पन्न कार्य(या आदिमों का परिवार)। इंटीग्रल केवल एक अभिव्यक्ति को परिभाषित करता है, जिसके लिए शर्तें ऐसी आवश्यकता उत्पन्न होने पर आपके द्वारा निर्धारित की जाती हैं। बेहतर होगा कि इस मामले को ध्यान से देखा जाए और किए गए कार्य से आंतरिक संतुष्टि का अनुभव किया जाए। लेकिन शास्त्रीय विधि से भिन्न विधि का उपयोग करके अभिन्न की गणना करने से कभी-कभी अप्रत्याशित परिणाम मिलते हैं और किसी को इस पर आश्चर्य नहीं होना चाहिए। मुझे खुशी है कि जो कुछ हो रहा है उस पर इस तथ्य की सकारात्मक प्रतिक्रिया होगी। संपूर्ण विस्तृत चरण दर चरण समाधान के साथ निश्चित समाकलन और समाकलन के अनिश्चित समाकलन की सूची। विस्तृत समाधानों के साथ सभी इंटीग्रल ऑनलाइन। अनिश्चितकालीन अभिन्न. नं ढूँढना निश्चित अभिन्नउच्च गणित और विज्ञान के अन्य तकनीकी क्षेत्रों में ऑनलाइन एक बहुत ही आम समस्या है। एकीकरण के बुनियादी तरीके. समाकलन, निश्चित एवं अनिश्चित समाकलन की परिभाषा, समाकलन की तालिका, न्यूटन-लीबनिज सूत्र। फिर से, आप अभिन्न अभिव्यक्तियों की तालिका का उपयोग करके अपना अभिन्न पा सकते हैं, लेकिन इसे अभी भी हासिल करने की आवश्यकता है, क्योंकि सब कुछ उतना सरल नहीं है जितना पहली नज़र में लग सकता है। गलतियाँ पाए जाने से पहले पूरी हो चुकी इमारतों के बारे में सोचें। निश्चित समाकलन और इसकी गणना की विधियाँ। परिवर्तनीय ऊपरी सीमा के साथ ऑनलाइन निश्चित अभिन्न अंग। इंटीग्रल को ऑनलाइन हल करना। कोई भी उदाहरण जो सारणीबद्ध सूत्रों का उपयोग करके अभिन्न की गणना करने में मदद करेगा उपयोगी मार्गदर्शिकातैयारी के किसी भी स्तर के छात्रों के लिए कार्रवाई करने के लिए। सही उत्तर की ओर सबसे महत्वपूर्ण कदम.. इंटीग्रल्स ऑनलाइन। घातीय और लघुगणकीय कार्यों वाले अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग। इंटीग्रल्स को ऑनलाइन हल करना - आपको प्राप्त होगा विस्तृत समाधानके लिए अलग - अलग प्रकारअभिन्न: अनिश्चित, निश्चित, अनुचित। डेफिनिट इंटीग्रल कैलकुलेटर संख्यात्मक एकीकरण का उपयोग करके एक अंतराल पर किसी फ़ंक्शन के निश्चित इंटीग्रल की ऑनलाइन गणना करता है। किसी फ़ंक्शन का अभिन्न अंग अनुक्रम के योग का एक एनालॉग है। अनौपचारिक रूप से कहें तो, एक निश्चित अभिन्न अंग किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के भाग का क्षेत्र होता है। इंटीग्रल को ऑनलाइन हल करना.. इंटीग्रल ऑनलाइन - अनिश्चित इंटीग्रल ऑनलाइन और निश्चित इंटीग्रल ऑनलाइन। अक्सर, ऐसा अभिन्न अंग यह निर्धारित करता है कि कोई पिंड उसकी तुलना में समान घनत्व वाली वस्तु से कितना भारी है, और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह किस आकार का है, क्योंकि सतह पानी को अवशोषित नहीं करती है। इंटीग्रल को ऑनलाइन हल करना.. इंटीग्रल ऑनलाइन - अनिश्चित इंटीग्रल ऑनलाइन और निश्चित इंटीग्रल ऑनलाइन। प्रत्येक जूनियर छात्र जानता है कि इंटीग्रल को ऑनलाइन कैसे खोजना है। आधार पर स्कूल के पाठ्यक्रमगणित के इस खंड का भी अध्ययन किया जाता है, लेकिन विस्तार से नहीं, बल्कि केवल इतने जटिल और महत्वपूर्ण विषय की मूल बातें। ज्यादातर मामलों में, छात्र व्यापक सिद्धांत के साथ इंटीग्रल का अध्ययन शुरू करते हैं, जो पहले भी होता है महत्वपूर्ण विषय, जैसे व्युत्पन्न और सीमा तक मार्ग - वे भी सीमाएँ हैं। इंटीग्रल्स को हल करना धीरे-धीरे सरल कार्यों के सबसे प्राथमिक उदाहरणों से शुरू होता है, और पिछली शताब्दी और उससे भी पहले प्रस्तावित कई दृष्टिकोणों और नियमों के उपयोग के साथ समाप्त होता है। इंटीग्रल कैलकुलस लिसेयुम और स्कूलों में, यानी माध्यमिक में एक परिचयात्मक प्रकृति का है शिक्षण संस्थानों. हमारी वेबसाइट हमेशा आपकी मदद करेगी और इंटीग्रल्स को ऑनलाइन हल करना आपके लिए आम बात हो जाएगी, और सबसे महत्वपूर्ण बात, एक समझने योग्य कार्य। इस संसाधन के आधार पर, आप इस गणितीय अनुभाग में आसानी से पूर्णता प्राप्त कर सकते हैं। जिन नियमों को आप चरण दर चरण सीख रहे हैं, उन्हें समझकर, जैसे भागों द्वारा एकीकरण या चेबीशेव की विधि का अनुप्रयोग, आप आसानी से निर्णय ले सकते हैं अधिकतम मात्राकिसी भी परीक्षण के लिए अंक. तो हम अभी भी इंटीग्रल की प्रसिद्ध तालिका का उपयोग करके इंटीग्रल की गणना कैसे कर सकते हैं, लेकिन इस तरह से कि समाधान सही, सटीक और यथासंभव सटीक उत्तर के साथ हो? इसे कैसे सीखें और क्या एक सामान्य नवसिखुआ व्यक्ति के लिए ऐसा करना संभव है? जितनी जल्दी हो सके? आइए इस प्रश्न का उत्तर सकारात्मक दें - आप दे सकते हैं! साथ ही, आप न केवल किसी भी उदाहरण को हल करने में सक्षम होंगे, बल्कि एक उच्च योग्य इंजीनियर के स्तर तक भी पहुंचेंगे। रहस्य पहले से कहीं अधिक सरल है - आपको अधिकतम प्रयास करने और स्वयं-तैयारी के लिए आवश्यक समय समर्पित करने की आवश्यकता है। दुर्भाग्य से, अभी तक कोई भी दूसरा रास्ता नहीं खोज पाया है! लेकिन सब कुछ उतना धुंधला नहीं है जितना पहली नज़र में लगता है। यदि आप इस प्रश्न के साथ हमारी सेवा वेबसाइट से संपर्क करते हैं, तो हम आपके जीवन को आसान बना देंगे, क्योंकि हमारी वेबसाइट ऑनलाइन इंटीग्रल की गणना बहुत विस्तार से कर सकती है। उच्च गतिऔर एक बिल्कुल सटीक उत्तर। इसके मूल में, इंटीग्रल यह निर्धारित नहीं करता है कि तर्कों का अनुपात समग्र रूप से सिस्टम की स्थिरता को कैसे प्रभावित करता है। काश सब कुछ संतुलित होता. साथ ही आप इसकी मूल बातें कैसे सीखेंगे गणितीय विषययदि इस इंटीग्रल को प्राथमिक कार्यों में हल किया जा सकता है, तो सेवा किसी भी इंटीग्रैंड का इंटीग्रल ढूंढ सकती है। अन्यथा, उन अभिन्नों के लिए जिन्हें प्राथमिक कार्यों में नहीं लिया जाता है, व्यवहार में विश्लेषणात्मक या, दूसरे शब्दों में, स्पष्ट रूप में उत्तर ढूंढना आवश्यक नहीं है। इंटीग्रल्स की सभी गणनाएं किसी दिए गए इंटीग्रैंड के एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन को निर्धारित करने के लिए नीचे आती हैं। ऐसा करने के लिए, पहले गणित के सभी नियमों के अनुसार अनिश्चितकालीन समाकलन की ऑनलाइन गणना करें। फिर, यदि आवश्यक हो, तो अभिन्न के ऊपरी और निचले मूल्यों को प्रतिस्थापित करें। यदि आपको निर्धारण या गणना करने की आवश्यकता नहीं है संख्यात्मक मानअनिश्चितकालीन अभिन्न, फिर परिणामी प्रतिअवकलन फलन में एक स्थिरांक जोड़ा जाता है, जिससे प्रतिअवकलन फलन के एक परिवार को परिभाषित किया जाता है। एक विशेष स्थानविज्ञान में और सामान्य तौर पर किसी भी इंजीनियरिंग क्षेत्र में, सातत्य यांत्रिकी सहित, एकीकरण संपूर्ण यांत्रिक प्रणालियों, उनकी गतिविधियों और बहुत कुछ का वर्णन करता है। कई मामलों में, संकलित समाकलन गति के नियम को निर्धारित करता है भौतिक बिंदु. अनुप्रयुक्त विज्ञान के अध्ययन में यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण उपकरण है। इसके आधार पर, कोई भी अस्तित्व और व्यवहार के नियमों को निर्धारित करने के लिए बड़े पैमाने पर गणनाओं का उल्लेख करने से बच नहीं सकता है यांत्रिक प्रणाली. वेबसाइट पर इंटीग्रल्स को ऑनलाइन हल करने के लिए कैलकुलेटर एक शक्तिशाली उपकरण है पेशेवर इंजीनियर. हम निश्चित रूप से आपको इसकी गारंटी देते हैं, लेकिन हम आपके इंटीग्रल की गणना तभी कर पाएंगे जब आप इंटीग्रैंड के डोमेन में सही अभिव्यक्ति दर्ज करेंगे। गलतियाँ करने से न डरें, इस मामले में सब कुछ ठीक किया जा सकता है! आमतौर पर, इंटीग्रल को हल करने के लिए प्रसिद्ध पाठ्यपुस्तकों या विश्वकोषों से सारणीबद्ध कार्यों का उपयोग करना पड़ता है। किसी भी अन्य अनिश्चित अभिन्न अंग की तरह, इसकी गणना बिना किसी बड़ी आलोचना के मानक सूत्र का उपयोग करके की जाएगी। प्रथम वर्ष के छात्र आसानी से और स्वाभाविक रूप से उस सामग्री को समझ लेते हैं जिसका उन्होंने अध्ययन किया है, और उनके लिए एक अभिन्न अंग खोजने में कभी-कभी दो मिनट से अधिक समय नहीं लगता है। और यदि किसी छात्र ने अभिन्नों की तालिका सीख ली है, तो वह आम तौर पर अपने दिमाग में उत्तर निर्धारित कर सकता है। सतहों के सापेक्ष चर द्वारा कार्यों का विस्तार शुरू में कुछ भुज बिंदु पर सही वेक्टर दिशा का मतलब है। सतह रेखाओं का अप्रत्याशित व्यवहार गणितीय कार्यों के प्रतिक्रिया स्रोत में आधार के रूप में निश्चित अभिन्न अंग लेता है। यदि आप समतल में कट को देखें तो गेंद का बायां किनारा उस सिलेंडर को नहीं छूता है जिसमें वृत्त अंकित है। सैकड़ों टुकड़ों में विभाजित छोटे-छोटे क्षेत्रों का योग निरंतर कार्यों का ऑनलाइन अभिन्न अंग है दिया गया कार्य. इंटीग्रल का यांत्रिक अर्थ कई व्यावहारिक समस्याओं में निहित है, जैसे पिंडों का आयतन निर्धारित करना और किसी पिंड के द्रव्यमान की गणना करना। इन गणनाओं में ट्रिपल और डबल इंटीग्रल शामिल हैं। हम इस बात पर जोर देते हैं कि ऑनलाइन इंटीग्रल्स का समाधान केवल अनुभवी शिक्षकों की देखरेख में और कई जांचों के माध्यम से किया जाता है। हमसे अक्सर उन छात्रों के प्रदर्शन के बारे में पूछा जाता है जो व्याख्यान में भाग नहीं लेते हैं, बिना किसी कारण के उन्हें छोड़ देते हैं, और वे इसे कैसे ढूंढ पाते हैं अभिन्न स्वयं. हम उत्तर देते हैं कि छात्र स्वतंत्र लोग हैं और अपने घर के आराम में बाहरी अध्ययन करने, परीक्षा या परीक्षा की तैयारी करने में काफी सक्षम हैं। कुछ ही सेकंड में, हमारी सेवा किसी भी व्यक्ति को किसी चर पर किसी दिए गए फ़ंक्शन के अभिन्न अंग की गणना करने में मदद करेगी। प्राप्त परिणाम की जाँच प्रतिअवकलन फलन का व्युत्पन्न लेकर की जानी चाहिए। इस स्थिति में, अभिन्न के समाधान से स्थिरांक शून्य हो जाता है। यह नियम जाहिर तौर पर सभी पर लागू होता है. जैसा कि बहुदिशात्मक संचालन उचित है, अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग को अक्सर डोमेन को छोटे भागों में विभाजित करने के लिए कम किया जाता है। हालाँकि, कुछ छात्र और स्कूली बच्चे इस आवश्यकता की उपेक्षा करते हैं। हमेशा की तरह, ऑनलाइन इंटीग्रल्स को हमारी सेवा वेबसाइट द्वारा विस्तार से हल किया जा सकता है और अनुरोधों की संख्या पर कोई प्रतिबंध नहीं है, सब कुछ मुफ़्त है और सभी के लिए उपलब्ध है। ऐसी बहुत सी साइटें नहीं हैं जो कुछ ही सेकंड में चरण-दर-चरण उत्तर प्रदान करती हैं, और सबसे महत्वपूर्ण रूप से उच्च सटीकता और सुविधाजनक रूप में। पृष्ठ पाँच पर अंतिम उदाहरण में गृहकार्यमुझे एक ऐसा मिला जो चरण दर चरण अभिन्न की गणना करने की आवश्यकता को इंगित करता है। लेकिन हमें यह नहीं भूलना चाहिए कि ऑनलाइन हजारों हल किए गए उदाहरणों पर समय-परीक्षित और परीक्षण की गई तैयार सेवा का उपयोग करके अभिन्न को ढूंढना कैसे संभव है। इस तरह का अभिन्न अंग सिस्टम की गति को कैसे निर्धारित करता है, यह हमें चिपचिपे तरल पदार्थ की गति की प्रकृति से स्पष्ट रूप से पता चलता है, जिसे समीकरणों की इस प्रणाली द्वारा वर्णित किया गया है।

इंटीग्रल्स को हल करना एक आसान काम है, लेकिन केवल कुछ चुनिंदा लोगों के लिए। यह लेख उन लोगों के लिए है जो अभिन्नों को समझना सीखना चाहते हैं, लेकिन उनके बारे में कुछ भी नहीं या लगभग कुछ भी नहीं जानते हैं। अभिन्न... इसकी आवश्यकता क्यों है? इसकी गणना कैसे करें? निश्चित और अनिश्चित अभिन्न अंग क्या हैं? यदि इंटीग्रल के लिए आप जो एकमात्र उपयोग जानते हैं, वह दुर्गम स्थानों से कुछ उपयोगी प्राप्त करने के लिए इंटीग्रल आइकन के आकार के क्रोकेट हुक का उपयोग करना है, तो स्वागत है! जानें कि इंटीग्रल को कैसे हल करें और आप इसके बिना क्यों नहीं कर सकते।

हम "अभिन्न" की अवधारणा का अध्ययन करते हैं

एकीकरण को वापस जाना जाता था प्राचीन मिस्र. बिल्कुल नहीं आधुनिक रूप, लेकिन अभी भी। तब से, गणितज्ञों ने इस विषय पर कई किताबें लिखी हैं। उन्होंने स्वयं को विशेष रूप से प्रतिष्ठित किया न्यूटन और लाइबनिट्स , लेकिन चीजों का सार नहीं बदला है। शुरू से इंटीग्रल को कैसे समझें? बिलकुल नहीं! इस विषय को समझने के लिए आपको अभी भी आवश्यकता होगी बुनियादी ज्ञानमूल बातें गणितीय विश्लेषण. यह मूलभूत जानकारी है जो आपको हमारे ब्लॉग पर मिलेगी।

अनिश्चितकालीन अभिन्न

आइये कुछ कार्य करें एफ(एक्स) .

अनिश्चितकालीन अभिन्न कार्य एफ(एक्स) इस फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है एफ(एक्स) , जिसका व्युत्पन्न फ़ंक्शन के बराबर है एफ(एक्स) .

दूसरे शब्दों में, अभिन्न एक विपरीत व्युत्पन्न या एक प्रतिअवकलन है। वैसे, हमारे लेख में कैसे पढ़ें।

सभी सतत कार्यों के लिए एक प्रतिअवकलन मौजूद है। इसके अलावा, एक स्थिर चिन्ह को अक्सर प्रतिअवकलन में जोड़ा जाता है, क्योंकि कार्यों के व्युत्पन्न जो एक स्थिरांक से भिन्न होते हैं, मेल खाते हैं। अभिन्न को खोजने की प्रक्रिया को एकीकरण कहा जाता है।

सरल उदाहरण:

प्राथमिक कार्यों के प्रतिअवकलन की लगातार गणना न करने के लिए, उन्हें एक तालिका में सारांशित करना और तैयार मूल्यों का उपयोग करना सुविधाजनक है:

निश्चित अभिन्न

अभिन्न की अवधारणा से निपटते समय, हम अनंत मात्राओं से निपट रहे हैं। अभिन्न अंग आकृति के क्षेत्र, अमानवीय शरीर के द्रव्यमान, तय की गई दूरी की गणना करने में मदद करेगा असमान गतिपथ और भी बहुत कुछ। यह याद रखना चाहिए कि एक पूर्णांक एक अपरिमित रूप से बड़ी संख्या में अतिसूक्ष्म पदों का योग है।

उदाहरण के तौर पर, किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की कल्पना करें। किसी आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें, शेड्यूल द्वारा सीमितकार्य?

एक अभिन्न का उपयोग करना! आइए हम निर्देशांक अक्षों और फ़ंक्शन के ग्राफ़ द्वारा सीमित घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड को अनंत छोटे खंडों में विभाजित करें। इस प्रकार आकृति पतले-पतले स्तम्भों में विभाजित हो जायेगी। स्तंभों के क्षेत्रफलों का योग समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल होगा। लेकिन याद रखें कि ऐसी गणना अनुमानित परिणाम देगी। हालाँकि, खंड जितने छोटे और संकीर्ण होंगे, गणना उतनी ही सटीक होगी। यदि हम उन्हें इस हद तक कम कर दें कि लंबाई शून्य हो जाए, तो खंडों के क्षेत्रफलों का योग आकृति के क्षेत्रफल के बराबर हो जाएगा। यह एक निश्चित समाकलन है, जिसे इस प्रकार लिखा जाता है:

बिंदु a और b को एकीकरण की सीमाएँ कहा जाता है।

बारी अलीबासोव और समूह "इंटीग्रल"

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डमी के लिए इंटीग्रल की गणना के नियम

अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण

अनिश्चितकालीन समाकलन को कैसे हल करें? यहां हम अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुणों को देखेंगे, जो उदाहरणों को हल करते समय उपयोगी होंगे।

इंटीग्रल का व्युत्पन्न इंटीग्रैंड के बराबर है:

स्थिरांक को अभिन्न चिह्न के अंतर्गत से निकाला जा सकता है:

योग का अभिन्न अंग योग के बराबरअभिन्न। यह अंतर के लिए भी सत्य है:

एक निश्चित अभिन्न के गुण

रैखिकता:

यदि एकीकरण की सीमाओं की अदला-बदली की जाती है तो अभिन्न का चिह्न बदल जाता है:

पर कोईअंक ए, बीऔर साथ:

हम पहले ही पता लगा चुके हैं कि एक निश्चित अभिन्न एक योग की सीमा है। लेकिन किसी उदाहरण को हल करते समय विशिष्ट मान कैसे प्राप्त करें? इसके लिए न्यूटन-लीबनिज सूत्र है:

अभिन्नों को हल करने के उदाहरण

नीचे हम अनिश्चित समाकलन खोजने के कई उदाहरणों पर विचार करेंगे। हम आपको स्वयं समाधान की पेचीदगियों का पता लगाने के लिए आमंत्रित करते हैं, और यदि कुछ अस्पष्ट है, तो टिप्पणियों में प्रश्न पूछें।

सामग्री को सुदृढ़ करने के लिए, अभ्यास में इंटीग्रल को कैसे हल किया जाता है, इसके बारे में एक वीडियो देखें। यदि अभिन्न तुरंत नहीं दिया जाता है तो निराश न हों। पूछें और वे आपको अभिन्नों की गणना के बारे में वह सब कुछ बताएंगे जो वे जानते हैं। हमारी मदद से, किसी बंद सतह पर कोई भी ट्रिपल या घुमावदार इंटीग्रल आपकी शक्ति में होगा।

खोजो अनिश्चितकालीन अभिन्न(एंटीडेरिवेटिव्स या "एंटीडेरिवेटिव्स का सेट") का अर्थ है इस फ़ंक्शन के ज्ञात व्युत्पन्न से किसी फ़ंक्शन का पुनर्निर्माण करना। एंटीडेरिवेटिव्स का पुनर्स्थापित सेट एफ(एक्स) + साथ समारोह के लिए एफ(एक्स) एकीकरण स्थिरांक को ध्यान में रखता है सी. किसी भौतिक बिंदु (व्युत्पन्न) की गति की गति के आधार पर, इस बिंदु (प्रति-व्युत्पन्न) की गति के नियम को बहाल किया जा सकता है; किसी बिंदु की गति के त्वरण के अनुसार - उसकी गति और गति का नियम। जैसा कि आप देख सकते हैं, भौतिकी के शर्लक होम्स की गतिविधियों के लिए एकीकरण एक विस्तृत क्षेत्र है। और अर्थशास्त्र में, कई अवधारणाओं को कार्यों और उनके डेरिवेटिव के माध्यम से दर्शाया जाता है, और इसलिए, उदाहरण के लिए, एक निश्चित समय (व्युत्पन्न) पर श्रम उत्पादकता का उपयोग करके संबंधित समय पर उत्पादित उत्पादों की मात्रा को बहाल करना संभव है।

अनिश्चितकालीन अभिन्न को खोजने में काफी समय लगता है बड़ी संख्याबुनियादी एकीकरण सूत्र. लेकिन इसे खोजने की प्रक्रिया इन फ़ार्मुलों को लागू करने से कहीं अधिक कठिन है। सारी जटिलता एकीकरण से संबंधित नहीं है, बल्कि पूर्णांकीय अभिव्यक्ति को एक ऐसे रूप में लाने से संबंधित है जो ऊपर वर्णित मूल सूत्रों का उपयोग करके अनिश्चितकालीन अभिन्न को ढूंढना संभव बनाता है। इसका मतलब यह है कि एकीकरण का अभ्यास शुरू करने के लिए, आपने जो सीखा है उसे सक्रिय करना होगा हाई स्कूलअभिव्यक्ति परिवर्तन कौशल.

हम इसका उपयोग करके समाकलन ज्ञात करना सीखेंगे अनिश्चितकालीन अभिन्नों के गुण और तालिकाइस विषय की बुनियादी अवधारणाओं के बारे में एक पाठ से (एक नई विंडो में खुलता है)।

इनमें से अभिन्न को खोजने के लिए कई विधियाँ हैं परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधिऔर भागों विधि द्वारा एकीकरण- उच्च गणित में सफलतापूर्वक उत्तीर्ण होने वाले प्रत्येक व्यक्ति के लिए एक अनिवार्य सज्जन सेट। हालाँकि, अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुणों पर निम्नलिखित दो प्रमेयों के आधार पर, विस्तार विधि का उपयोग करके एकीकरण में महारत हासिल करना शुरू करना अधिक उपयोगी और आनंददायक है, जिसे हम सुविधा के लिए यहां दोहराते हैं।

प्रमेय 3.समाकलन में स्थिर कारक को अनिश्चितकालीन समाकलन के चिन्ह से निकाला जा सकता है, अर्थात।

प्रमेय 4.कार्यों की एक सीमित संख्या के बीजगणितीय योग का अनिश्चित अभिन्न अंग बराबर होता है बीजगणितीय योगइन कार्यों के अनिश्चित अभिन्न अंग, यानी

(2)

इसके अतिरिक्त, निम्नलिखित नियम एकीकरण में उपयोगी हो सकता है: यदि समाकलन की अभिव्यक्ति में एक स्थिर कारक होता है, तो प्रतिअवकलन की अभिव्यक्ति को स्थिर कारक के व्युत्क्रम से गुणा किया जाता है, अर्थात

(3)

चूँकि यह एकीकरण समस्याओं को हल करने के लिए एक परिचयात्मक पाठ है, इसलिए दो बातों पर ध्यान देना ज़रूरी है जो या तो शुरुआत में या थोड़ी देर बाद आपको आश्चर्यचकित कर सकती हैं। आश्चर्य इस तथ्य के कारण है कि एकीकरण विभेदीकरण की विपरीत क्रिया है और अनिश्चितकालीन अभिन्न को उचित रूप से "प्रतिअवकलन" कहा जा सकता है।

पहली बात यह है कि एकीकृत करते समय आपको आश्चर्यचकित नहीं होना चाहिए।अभिन्नों की तालिका में ऐसे सूत्र हैं जिनका व्युत्पन्न तालिका सूत्रों में कोई एनालॉग नहीं है . ये निम्नलिखित सूत्र हैं:

हालाँकि, आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि इन सूत्रों के दाईं ओर के भावों के व्युत्पन्न संबंधित इंटीग्रैंड्स के साथ मेल खाते हैं।

दूसरी बात जो एकीकृत करते समय आश्चर्यचकित नहीं होनी चाहिए. यद्यपि किसी भी प्रारंभिक फलन का व्युत्पन्न भी एक प्राथमिक फलन है, कुछ प्राथमिक कार्यों के अनिश्चित अभिन्न अंग अब प्राथमिक कार्य नहीं हैं . ऐसे अभिन्नों के उदाहरण निम्नलिखित हो सकते हैं:

एकीकरण तकनीकों को विकसित करने के लिए, निम्नलिखित कौशल उपयोगी होंगे: भिन्नों को कम करना, भिन्न के अंश में एक बहुपद को हर में एक एकपदी से विभाजित करना (अनिश्चित अभिन्नों का योग प्राप्त करने के लिए), मूलों को घातों में परिवर्तित करना, एक एकपदी को एक से गुणा करना बहुपद, एक घात तक बढ़ाना। इंटीग्रैंड के परिवर्तनों के लिए इन कौशलों की आवश्यकता होती है, जिसके परिणामस्वरूप इंटीग्रल्स की तालिका में मौजूद इंटीग्रल्स का योग होना चाहिए।

अनिश्चितकालीन अभिन्नों को एक साथ खोजना

उदाहरण 1.अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

समाधान। हम समाकलन के हर में एक बहुपद देखते हैं जिसमें x का वर्ग होता है। यह लगभग निश्चित संकेत है कि आप तालिका इंटीग्रल 21 (परिणामस्वरूप आर्कटेंजेंट के साथ) लागू कर सकते हैं। हम हर में से गुणनखंड-दो निकालते हैं (अभिन्न का एक ऐसा गुण होता है - अचर गुणनखंड को समाकलन के चिह्न से परे निकाला जा सकता है; इसका उल्लेख ऊपर प्रमेय 3 के रूप में किया गया था)। इस सबका परिणाम:

अब हर वर्गों का योग है, जिसका अर्थ है कि हम उल्लिखित तालिका अभिन्न को लागू कर सकते हैं। अंततः हमें उत्तर मिलता है:

उदाहरण 2.अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

समाधान। हम फिर से प्रमेय 3 लागू करते हैं - अभिन्न की संपत्ति, जिसके आधार पर निरंतर कारक को अभिन्न के संकेत से बाहर निकाला जा सकता है:

हम इंटीग्रैंड फ़ंक्शन के लिए इंटीग्रल्स (एक शक्ति के लिए चर) की तालिका से सूत्र 7 लागू करते हैं:

हम परिणामी भिन्नों को कम करते हैं और हमारे पास अंतिम उत्तर होता है:

उदाहरण 3.अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

समाधान। गुणों पर पहले प्रमेय 4 और फिर प्रमेय 3 को लागू करने पर, हम इस समाकलन को तीन समाकलनों के योग के रूप में पाते हैं:

प्राप्त तीनों समाकलन सारणीबद्ध हैं। हम इंटीग्रल की तालिका से सूत्र (7) का उपयोग करते हैं एन = 1/2, एन= 2 और एन= 1/5, और फिर

उन सभी तीन मनमाने स्थिरांकों को जोड़ता है जिन्हें तीन अभिन्नों को खोजने के दौरान पेश किया गया था। इसलिए, समान स्थितियों में, केवल एक मनमाना एकीकरण स्थिरांक पेश किया जाना चाहिए।

उदाहरण 4.अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

समाधान। जब समाकलन के हर में एकपदी होती है, तो हम अंश को हर से पद दर पद विभाजित कर सकते हैं। मूल समाकलन दो समाकलनों के योग में बदल गया:

तालिका अभिन्न को लागू करने के लिए, हम जड़ों को घातों में बदलते हैं और यहां अंतिम उत्तर है:

हम अनिश्चितकालीन अभिन्नताओं को एक साथ खोजना जारी रखते हैं

उदाहरण 7.अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

समाधान। यदि हम द्विपद का वर्ग करके और अंश को हर से विभाजित करके समाकलन को रूपांतरित करते हैं, तो मूल समाकलन तीन समाकलनों का योग बन जाता है।

अनिश्चितकालीन अभिन्न.
विस्तृत उदाहरणसमाधान

इस पाठ में हम विषय का अध्ययन शुरू करेंगे अनिश्चितकालीन अभिन्न, और हम सबसे सरल (और इतना सरल नहीं) अभिन्नों के समाधान के उदाहरणों का भी विस्तार से विश्लेषण करेंगे। इस लेख में मैं खुद को न्यूनतम सिद्धांत तक सीमित रखूंगा, और अब हमारा काम यह सीखना है कि इंटीग्रल को कैसे हल किया जाए।

सामग्री में सफलतापूर्वक महारत हासिल करने के लिए आपको क्या जानने की आवश्यकता है? इंटीग्रल कैलकुलस से निपटने के लिए, आपको कम से कम मध्यवर्ती स्तर पर डेरिवेटिव ढूंढने में सक्षम होना चाहिए। इसलिए, यदि सामग्री लॉन्च की गई है, तो मेरा सुझाव है कि आप पहले पाठों को ध्यान से पढ़ें व्युत्पन्न कैसे खोजें?और एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न. यदि आपके पास कई दर्जन (अधिमानतः सौ) स्वतंत्र रूप से पाए गए डेरिवेटिव हैं तो यह अनुभव की बर्बादी नहीं होगी। कम से कम, आपको सबसे सरल और सबसे सामान्य कार्यों को अलग करने के कार्यों से भ्रमित नहीं होना चाहिए। ऐसा प्रतीत होता है, यदि लेख इंटीग्रल के बारे में है तो डेरिवेटिव का इससे क्या लेना-देना है?! बात ये है. तथ्य यह है कि व्युत्पन्न खोजना और अनिश्चित अभिन्न (विभेदन और एकीकरण) खोजना दो परस्पर विपरीत क्रियाएं हैं, जैसे जोड़/घटाव या गुणा/भाग। इस प्रकार, डेरिवेटिव खोजने के कौशल (+कुछ अनुभव) के बिना, दुर्भाग्य से, आप आगे नहीं बढ़ सकते।

इस संबंध में हमें निम्नलिखित की आवश्यकता होगी शिक्षण सामग्री: व्युत्पन्न तालिकाऔर अभिन्नों की तालिका. संदर्भ मैनुअल पृष्ठ पर खोले, डाउनलोड या मुद्रित किए जा सकते हैं गणितीय सूत्र और तालिकाएँ.

अनिश्चितकालीन समाकलन सीखने में क्या कठिनाई है? यदि डेरिवेटिव में भेदभाव के कड़ाई से 5 नियम हैं, डेरिवेटिव की एक तालिका और क्रियाओं का एक काफी स्पष्ट एल्गोरिदम है, तो इंटीग्रल में सब कुछ अलग है। दर्जनों एकीकरण विधियाँ और तकनीकें हैं। और, यदि एकीकरण विधि शुरू में गलत तरीके से चुनी गई है (यानी आप नहीं जानते कि कैसे हल करना है), तो आप विभिन्न तकनीकों और युक्तियों को पहचानने की कोशिश करते हुए, एक वास्तविक पहेली की तरह, कई दिनों तक इंटीग्रल को शाब्दिक रूप से "चुभ" सकते हैं। कुछ लोगों को यह पसंद भी आता है. वैसे, यह कोई मज़ाक नहीं है, मैंने अक्सर छात्रों से यह राय सुनी है कि "मुझे किसी सीमा या व्युत्पन्न को हल करने में कभी कोई दिलचस्पी नहीं रही है, लेकिन इंटीग्रल एक पूरी तरह से अलग मामला है, यह आकर्षक है, हमेशा एक इच्छा होती है" एक जटिल अभिन्न अंग को "हैक" करें। रुकना। बहुत हो गया काला हास्य, आइए इन्हीं अनिश्चितकालीन अभिन्नों की ओर बढ़ते हैं।

चूँकि इसे हल करने के बहुत सारे तरीके हैं, तो एक चायदानी के लिए अनिश्चितकालीन अभिन्नों का अध्ययन कहाँ से शुरू करें? अभिन्न कलन में, मेरी राय में, तीन स्तंभ या एक प्रकार की "धुरी" होती है जिसके चारों ओर बाकी सब कुछ घूमता है। सबसे पहले, आपको सरलतम इंटीग्रल्स (इस लेख) की अच्छी समझ होनी चाहिए। फिर आपको पाठ पर विस्तार से काम करने की आवश्यकता है। यह सबसे महत्वपूर्ण तकनीक! शायद इंटीग्रल पर मेरे सभी लेखों में से सबसे महत्वपूर्ण लेख भी। और तीसरा, आपको निश्चित रूप से भागों द्वारा एकीकरण की विधि से परिचित होना चाहिए, क्योंकि इसका उपयोग कार्यों की एक विस्तृत श्रेणी को एकीकृत करने के लिए किया जा सकता है। यदि आप कम से कम इन तीन पाठों में महारत हासिल कर लेते हैं, तो आपके पास अब दो नहीं रहेंगे। त्रिकोणमितीय फलनों से समाकलन, भिन्नों से समाकलन, भिन्नात्मक-तर्कसंगत फलनों से समाकलन, अपरिमेय फलनों (मूलों) से समाकलन न जानने के लिए आपको क्षमा किया जा सकता है, लेकिन यदि आप प्रतिस्थापन विधि या भागों द्वारा समाकलन की विधि पर अटक जाते हैं, तो यह बहुत, बहुत बुरा होगा.

रूनेट पर डिमोटिवेटर अब बहुत आम हैं। इसके विपरीत, अभिन्नों के अध्ययन के संदर्भ में, यह अत्यंत आवश्यक है प्रेरक. जैसे वसीली इवानोविच के बारे में वह चुटकुला, जिसने पेटका और अंका दोनों को प्रेरित किया। प्रिय आलसी लोगों, मुफ्तखोरों और अन्य सामान्य छात्रों, निम्नलिखित को अवश्य पढ़ें। आगे के अध्ययन में अनिश्चित अभिन्न अंग पर ज्ञान और कौशल की आवश्यकता होगी, विशेष रूप से, दूसरे वर्ष में निश्चित अभिन्न, अनुचित अभिन्न और अंतर समीकरणों का अध्ययन करते समय। संभाव्यता सिद्धांत में भी समाकलन लेने की आवश्यकता उत्पन्न होती है! इस प्रकार, इंटीग्रल के बिना, ग्रीष्मकालीन सत्र और दूसरे वर्ष का रास्ता वास्तव में बंद हो जाएगा. मैं गंभीर हूं। निष्कर्ष यह है. जितने अधिक अभिन्न विभिन्न प्रकारआप निर्णय लें, यह उतना ही आसान होगा बाद का जीवन . हां, इसमें काफी समय लगेगा, हां, कभी-कभी आप ऐसा नहीं करना चाहते हैं, हां, कभी-कभी "भाड़ में जाएं, इस समग्रता के साथ, शायद आप पकड़े नहीं जाएंगे।" लेकिन अगला विचार आपकी आत्मा को प्रेरित और गर्म करना चाहिए, आपके प्रयास पूरी तरह सफल होंगे! आप नट्स की तरह अंतर समीकरणों को हल करने में सक्षम होंगे और आसानी से इंटीग्रल से निपटने में सक्षम होंगे जो आपको उच्च गणित के अन्य अनुभागों में मिलेंगे। अनिश्चितकालीन अभिन्न को पूरी तरह से समझने के बाद, आप वास्तव में टावर के कई और हिस्सों में महारत हासिल कर लेंगे।

और इसलिए मैं इसे बनाने से खुद को नहीं रोक सका गहन पाठ्यक्रमएकीकरण की तकनीक पर, जो आश्चर्यजनक रूप से संक्षिप्त निकली - जो लोग चाहें वे पीडीएफ पुस्तक का उपयोग कर सकते हैं और बहुत जल्दी तैयारी कर सकते हैं। लेकिन साइट पर सामग्री किसी भी तरह से बदतर नहीं है!

तो, चलिए सरल शुरुआत करते हैं। आइए अभिन्नों की तालिका देखें। डेरिवेटिव की तरह, हम कई एकीकरण नियमों और कुछ प्राथमिक कार्यों के अभिन्नों की एक तालिका देखते हैं। यह देखना आसान है कि किसी भी तालिका अभिन्न (और वास्तव में किसी भी अनिश्चित अभिन्न) का रूप है:

आइए नोटेशन और शर्तों को तुरंत समझें:

– अभिन्न चिह्न.

- इंटीग्रैंड फ़ंक्शन ("एस" अक्षर से लिखा गया)।

– विभेदक चिह्न. अभिन्न लिखते समय और समाधान के दौरान, यह महत्वपूर्ण है कि इस आइकन को न खोएं। ध्यान देने योग्य खामी होगी.

- अभिन्न अभिव्यक्ति या अभिन्न का "भरना"।

– प्रतिव्युत्पन्न कार्य.

- कई मूल कार्य। पदों पर बहुत अधिक बोझ डालने की आवश्यकता नहीं है; सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि किसी भी अनिश्चित समाकलन में उत्तर में एक स्थिरांक जोड़ा जाता है।

इंटीग्रल को हल करने का अर्थ है कुछ नियमों, तकनीकों और एक तालिका का उपयोग करके एक निश्चित फ़ंक्शन ढूंढना।

आइए प्रविष्टि को फिर से देखें:

आइए अभिन्नों की तालिका देखें।

क्या हो रहा है? हमारे पास बचे हुए भाग हैं में बदलनाअन्य कार्यों के लिए: .

आइए अपनी परिभाषा को सरल बनाएं।

किसी अनिश्चित समाकलन को हल करने का अर्थ है कुछ नियमों, तकनीकों और एक तालिका का उपयोग करके इसे एक निश्चित कार्य में बदलना।

उदाहरण के लिए, तालिका अभिन्न को लें . क्या हुआ? एक समारोह में बदल गया.

जैसा कि डेरिवेटिव के मामले में होता है, इंटीग्रल को खोजने का तरीका जानने के लिए आपको इसके बारे में जागरूक होने की आवश्यकता नहीं है अभिन्न क्या है, सैद्धांतिक दृष्टिकोण से एक प्रतिअवकलन फलन। कुछ औपचारिक नियमों के अनुसार परिवर्तन करना ही पर्याप्त है। तो, मामले में यह समझना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है कि अभिन्न क्यों बनता है। अभी के लिए, हम इसे और अन्य फ़ॉर्मूलों को हल्के में ले सकते हैं। हर कोई बिजली का उपयोग करता है, लेकिन कम ही लोग सोचते हैं कि तारों के माध्यम से इलेक्ट्रॉन कैसे यात्रा करते हैं।

चूँकि विभेदीकरण और एकीकरण विपरीत संक्रियाएँ हैं, इसलिए जो भी प्रतिअवकलन पाया जाता है सही, निम्नलिखित सत्य है:

दूसरे शब्दों में, यदि आप सही उत्तर में अंतर करते हैं, तो आपको मूल इंटीग्रैंड फ़ंक्शन प्राप्त करना होगा।

आइए उसी समग्र तालिका पर वापस लौटें .

आइए इस सूत्र की वैधता को सत्यापित करें। हम दाईं ओर का व्युत्पन्न लेते हैं:

मूल इंटीग्रैंड फ़ंक्शन है।

वैसे, यह स्पष्ट हो गया है कि किसी फ़ंक्शन को हमेशा एक स्थिरांक क्यों निर्दिष्ट किया जाता है। जब विभेदित किया जाता है, तो स्थिरांक हमेशा शून्य हो जाता है।

अनिश्चितकालीन समाकलन को हल करें- इसका मतलब है खोजना अनेक सब लोगप्रतिअवकलज, और केवल एक कार्य नहीं। विचाराधीन तालिका उदाहरण में, , , , आदि - ये सभी फ़ंक्शन अभिन्न के समाधान हैं। इसके अपरिमित रूप से अनेक समाधान हैं, इसलिए हम इसे संक्षेप में लिखते हैं:

इस प्रकार, किसी भी अनिश्चित इंटीग्रल को जांचना काफी आसान है (डेरिवेटिव के विपरीत, जहां एक अच्छी जांच केवल इसका उपयोग करके ही की जा सकती है गणितीय कार्यक्रम). यह विभिन्न प्रकार के बड़ी संख्या में अभिन्नों के लिए कुछ मुआवजा है।

आइए विशिष्ट उदाहरणों पर विचार करने के लिए आगे बढ़ें। आइए शुरू करें, जैसे कि व्युत्पन्न का अध्ययन करते समय,
एकीकरण के दो नियमों के साथ, यह भी कहा जाता है रैखिकता गुण अनिश्चितकालीन अभिन्न:

- स्थिरांक कारक को अभिन्न चिन्ह से हटाया जा सकता है (और चाहिए)।

- दो कार्यों के बीजगणितीय योग का अभिन्न अंग प्रत्येक फ़ंक्शन के अलग-अलग दो अभिन्नों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है। यह संपत्तिकिसी भी संख्या के लिए मान्य।

जैसा कि आप देख सकते हैं, नियम मूलतः डेरिवेटिव के समान ही हैं।

उदाहरण 1

समाधान: इसे कागज पर दोबारा लिखना अधिक सुविधाजनक है।

(1) नियम लागू करें . प्रत्येक अभिन्न के अंतर्गत विभेदक चिह्न लिखना न भूलें। प्रत्येक के अंतर्गत क्यों? - यह पूर्ण गुणक है, यदि हम समाधान का विस्तार से वर्णन करें तो पहला चरण इस प्रकार लिखा जाना चाहिए:

(2)नियमानुसार , हम सभी अचरों को पूर्णांक चिन्हों से बाहर ले जाते हैं। कृपया ध्यान दें कि अंतिम पद एक स्थिरांक है, हम इसे भी हटा देते हैं।
इसके अलावा, इस चरण में हम एकीकरण के लिए जड़ें और शक्तियां तैयार करते हैं। विभेदन की तरह ही, जड़ों को भी रूप में प्रस्तुत किया जाना चाहिए। हर में स्थित जड़ों और शक्तियों को ऊपर की ओर ले जाएँ।

! ध्यान दें: डेरिवेटिव के विपरीत, इंटीग्रल में जड़ों को हमेशा फॉर्म में कम नहीं किया जाना चाहिए, लेकिन डिग्री को ऊपर की ओर स्थानांतरित किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, यह एक रेडी-मेड टेबल इंटीग्रल है, और सभी प्रकार की चीनी तरकीबें पसंद हैं पूर्णतः अनावश्यक. इसी प्रकार:- भी सारणीबद्ध समाकलन है, भिन्न को रूप में निरूपित करने का कोई अर्थ नहीं है। तालिका का ध्यानपूर्वक अध्ययन करें!

(3) हमारे सभी अभिन्न अंग सारणीबद्ध हैं। हम सूत्रों का उपयोग करके एक तालिका का उपयोग करके परिवर्तन करते हैं: , और ।
विशेष ध्यानमैं एकीकरण सूत्र का उल्लेख करता हूं शक्ति समारोह , यह बहुत बार होता है, इसे याद रखना बेहतर है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि तालिका अभिन्न है विशेष मामलावही सूत्र: .
अभिव्यक्ति के अंत में एक बार स्थिरांक जोड़ना पर्याप्त है (और उन्हें प्रत्येक अभिन्न के बाद नहीं रखना है).
(4) हम प्राप्त परिणाम को अधिक संक्षिप्त रूप में लिखते हैं, फॉर्म की सभी शक्तियों को फिर से जड़ों के रूप में दर्शाया जाता है, नकारात्मक घातांक वाली शक्तियों को हर में वापस रीसेट कर दिया जाता है।

परीक्षा. जाँच करने के लिए, आपको प्राप्त उत्तर में अंतर करना होगा:

प्रारंभिक प्राप्त हुआ इंटीग्रैंड, जिसका अर्थ है कि अभिन्न सही पाया गया था। वे जहां से नाचते थे, वहीं लौट आते थे। आप जानते हैं, यह बहुत अच्छा होता है जब समग्रता वाली कहानी इस तरह समाप्त होती है।

समय-समय पर अनिश्चितकालीन अभिन्न की जांच करने के लिए थोड़ा अलग दृष्टिकोण होता है, व्युत्पन्न नहीं, बल्कि उत्तर से अंतर लिया जाता है:

पहले सेमेस्टर से समझने वाले समझ गए, लेकिन अब हमारे लिए जो महत्वपूर्ण है वह सैद्धांतिक सूक्ष्मताएं नहीं हैं, बल्कि जो महत्वपूर्ण है वह यह है कि इस अंतर के साथ आगे क्या करना है। इसे प्रकट करने की आवश्यकता है, और औपचारिक तकनीकी दृष्टिकोण से, यह लगभग व्युत्पन्न खोजने जैसा ही है। अंतर इस प्रकार प्रकट होता है: हम आइकन हटाते हैं, ब्रैकेट के ऊपर दाईं ओर एक स्ट्रोक लगाते हैं, और अभिव्यक्ति के अंत में एक कारक जोड़ते हैं:

मूल प्राप्त हुआ एकीकृत, जिसका अर्थ है कि अभिन्न सही पाया गया था।

मुझे जाँच करने की दूसरी विधि कम पसंद है, क्योंकि मुझे अतिरिक्त रूप से बड़े कोष्ठक बनाने हैं और अंतर चिह्न को जाँच के अंत तक खींचना है। हालाँकि यह अधिक सही या "अधिक सम्मानजनक" या कुछ और है।

वास्तव में, मैं दूसरी सत्यापन विधि के बारे में पूरी तरह से चुप रह सकता था। मुद्दा विधि में नहीं है, बल्कि इस तथ्य में है कि हमने अंतर को खोलना सीख लिया है। दोबारा।

अंतर इस प्रकार प्रकट होता है:

1) आइकन हटाएं;
2) ब्रैकेट के ऊपर दाईं ओर हम एक स्ट्रोक (व्युत्पन्न का संकेत) लगाते हैं;
3) अभिव्यक्ति के अंत में हम एक कारक निर्दिष्ट करते हैं।

उदाहरण के लिए:

यह याद रखना। हमें जल्द ही इस तकनीक की जरूरत पड़ेगी.'

उदाहरण 2

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें. जाँच करें.

जब हमें अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग मिलता है, तो हम हमेशा जाँच करने का प्रयास करते हैंइसके अलावा, इसके लिए एक बेहतरीन अवसर भी है। उच्च गणित में सभी प्रकार की समस्याएँ इस दृष्टिकोण से एक उपहार नहीं हैं। इससे अक्सर कोई फर्क नहीं पड़ता परीक्षण कार्यकिसी सत्यापन की आवश्यकता नहीं है, कोई इसकी जाँच नहीं कर रहा है, और कोई भी चीज़ इसे ड्राफ्ट पर लागू होने से नहीं रोकती है। अपवाद तभी किया जा सकता है जब पर्याप्त समय न हो (उदाहरण के लिए, किसी परीक्षण या परीक्षा के दौरान)। व्यक्तिगत रूप से, मैं हमेशा इंटीग्रल्स की जांच करता हूं, और मैं जांच की कमी को एक हैक कार्य और खराब तरीके से पूरा किया गया कार्य मानता हूं।

उदाहरण 3

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें. जाँच करें.

समाधान: अभिन्न का विश्लेषण करते हुए, हम देखते हैं कि हमारे पास दो कार्यों का उत्पाद है, और यहां तक कि संपूर्ण अभिव्यक्ति का घातांक भी है। दुर्भाग्य से, अभिन्न युद्ध के क्षेत्र में उत्पाद और विशेष को एकीकृत करने के लिए कोई अच्छे और सुविधाजनक सूत्र नहीं हैं , .

और इसलिए, जब कोई गुणनफल या भागफल दिया जाता है, तो यह देखना हमेशा सार्थक होता है कि क्या समाकलन को योग में बदलना संभव है?

विचाराधीन उदाहरण वह मामला है जब यह संभव है। पहले मैं पूरा समाधान दूंगा, टिप्पणियाँ नीचे होंगी।

(1) हम डिग्री से छुटकारा पाने के लिए योग के वर्ग के अच्छे पुराने सूत्र का उपयोग करते हैं।

(2) हम उत्पाद से छुटकारा पाते हुए इसे कोष्ठक में रखते हैं।

उदाहरण 4

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें. जाँच करें.

यह आपके लिए स्वयं को हल करने का एक उदाहरण है। उत्तर और संपूर्ण समाधान पाठ के अंत में हैं।

उदाहरण 5

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें. जाँच करें.

में इस उदाहरण मेंइंटीग्रैंड एक अंश है. जब हम समाकलन में एक भिन्न देखते हैं, तो सबसे पहले विचार यह प्रश्न होना चाहिए: क्या किसी तरह इस भिन्न से छुटकारा पाना संभव है, या कम से कम इसे सरल बनाना संभव है?

हमने देखा कि हर में "X" का एक ही मूल है। क्षेत्र में कोई योद्धा नहीं है, जिसका अर्थ है कि हम अंश को हर से विभाजित कर सकते हैं:

के साथ क्रियाएँ आंशिक शक्तियांमैं कोई टिप्पणी नहीं करता, क्योंकि किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न पर लेखों में उनकी कई बार चर्चा की गई है। यदि आप अभी भी किसी उदाहरण से भ्रमित हैं, और आपको अभी भी सही उत्तर नहीं मिल पाया है, तो मैं स्कूल की पाठ्यपुस्तकों की ओर रुख करने की सलाह देता हूं। उच्च गणित में, हर कदम पर भिन्नों और उनके साथ संक्रियाओं का सामना करना पड़ता है।

यह भी ध्यान दें कि समाधान में एक चरण गायब है, अर्थात् नियमों को लागू करना , . आमतौर पर, इंटीग्रल्स को हल करने के शुरुआती अनुभव के दौरान भी, इन गुणों को हल्के में लिया जाता है और इनका विस्तार से वर्णन नहीं किया जाता है।

उदाहरण 6

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें. जाँच करें.

सामान्य तौर पर, अभिन्नों में भिन्नों के साथ चीजें इतनी सरल नहीं होती हैं, अतिरिक्त सामग्रीकुछ प्रकार के भिन्नों के एकीकरण पर लेख में पाया जा सकता है कुछ भिन्नों को एकीकृत करना.

! लेकिन, उपरोक्त लेख पर आगे बढ़ने से पहले, आपको पाठ से खुद को परिचित करना होगा अनिश्चितकालीन अभिन्न में प्रतिस्थापन विधि. मुद्दा यह है कि किसी फ़ंक्शन को अंतर या परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि के अंतर्गत सम्मिलित करना है मुख्य बिंदु विषय के अध्ययन में, चूंकि यह न केवल "प्रतिस्थापन विधि पर शुद्ध कार्यों में" पाया जाता है, बल्कि कई अन्य प्रकार के अभिन्नों में भी पाया जाता है।

मैं वास्तव में इसमें कुछ और उदाहरण शामिल करना चाहता था यह सबक, लेकिन मैं अभी यहां बैठा हूं, इस पाठ को वर्डे में टाइप कर रहा हूं और देख रहा हूं कि लेख पहले से ही एक सभ्य आकार में बड़ा हो गया है।
और इसलिए परिचयात्मक पाठ्यक्रमडमी के लिए इंटीग्रल समाप्त हो गया है।

मैं तुम्हारी सफलता की कामना करता हूं!

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 2: समाधान: