जटिल अभिन्न अंग

यह लेख अनिश्चितकालीन अभिन्नों के विषय को समाप्त करता है, और इसमें ऐसे अभिन्न अंग शामिल हैं जो मुझे काफी जटिल लगते हैं। यह पाठ आगंतुकों के बार-बार अनुरोध पर बनाया गया था जिन्होंने इच्छा व्यक्त की थी कि साइट पर अधिक कठिन उदाहरणों का विश्लेषण किया जाए।

यह माना जाता है कि इस पाठ का पाठक अच्छी तरह से तैयार है और जानता है कि बुनियादी एकीकरण तकनीकों को कैसे लागू किया जाए। नौसिखिया और जो लोग इंटीग्रल में बहुत आश्वस्त नहीं हैं, उन्हें पहले पाठ का संदर्भ लेना चाहिए - अनिश्चितकालीन अभिन्न। समाधान के उदाहरण, जहां आप लगभग शुरू से ही विषय पर महारत हासिल कर सकते हैं। अधिक अनुभवी छात्र एकीकरण की तकनीकों और तरीकों से परिचित हो सकते हैं जिनका अभी तक मेरे लेखों में सामना नहीं हुआ है।

किन अभिन्नों पर विचार किया जाएगा?

सबसे पहले हम जड़ों के साथ अभिन्नों पर विचार करेंगे, जिसके समाधान के लिए हम क्रमिक रूप से उपयोग करते हैं परिवर्तनशील प्रतिस्थापनऔर भागों द्वारा एकीकरण. अर्थात्, एक उदाहरण में दो तकनीकों को एक साथ संयोजित किया जाता है। और भी अधिक।

फिर हम दिलचस्प और मौलिक से परिचित होंगे अपने आप में अभिन्न को कम करने की विधि. बहुत से अभिन्न अंग इस प्रकार हल किये जाते हैं।

कार्यक्रम का तीसरा अंक जटिल अंशों से अभिन्न होगा, जो पिछले लेखों में कैश डेस्क से आगे निकल गया था।

चौथा, त्रिकोणमितीय फलनों से अतिरिक्त समाकलनों का विश्लेषण किया जाएगा। विशेष रूप से, ऐसी विधियाँ हैं जो समय लेने वाली सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन से बचती हैं।

(2) इंटीग्रैंड में, हम अंश को हर से विभाजित करते हैं।

(3) हम अनिश्चितकालीन अभिन्न की रैखिकता संपत्ति का उपयोग करते हैं। अंतिम अभिन्न में तुरंत फ़ंक्शन को विभेदक चिन्ह के नीचे रखें.

(4) हम शेष अभिन्न अंग लेते हैं। ध्यान दें कि लघुगणक में आप मापांक के बजाय कोष्ठक का उपयोग कर सकते हैं, क्योंकि।

(5) हम प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन से "ते" व्यक्त करते हुए, उलटा प्रतिस्थापन करते हैं:

मसोकिस्टिक छात्र उत्तर में अंतर कर सकते हैं और मूल इंटीग्रैंड प्राप्त कर सकते हैं, जैसा कि मैंने अभी किया। नहीं, नहीं, मैंने सही अर्थों में जाँच की है =)

जैसा कि आप देख सकते हैं, समाधान के दौरान हमें दो से अधिक समाधान विधियों का उपयोग करना पड़ा, इसलिए ऐसे अभिन्नताओं से निपटने के लिए आपको आत्मविश्वासपूर्ण एकीकरण कौशल और काफी अनुभव की आवश्यकता होती है।

व्यवहार में, निश्चित रूप से, वर्गमूल अधिक सामान्य है, इसे स्वयं हल करने के लिए यहां तीन उदाहरण दिए गए हैं:

उदाहरण 2

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

उदाहरण 3

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

उदाहरण 4

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

ये उदाहरण एक ही प्रकार के हैं, इसलिए लेख के अंत में पूरा समाधान केवल उदाहरण 2 के लिए होगा; उदाहरण 3-4 में समान उत्तर हैं। मेरे विचार से, निर्णयों की शुरुआत में किस प्रतिस्थापन का उपयोग किया जाए, यह स्पष्ट है। मैंने एक ही प्रकार के उदाहरण क्यों चुने? अक्सर अपनी भूमिका में पाए जाते हैं. अधिक बार, शायद, बस कुछ ऐसा ही .

लेकिन हमेशा नहीं, जब आर्कटेंजेंट, साइन, कोसाइन, एक्सपोनेंशियल और अन्य फ़ंक्शन के तहत एक रैखिक फ़ंक्शन की जड़ होती है, तो आपको एक साथ कई तरीकों का उपयोग करना होगा। कई मामलों में, "आसानी से निकलना" संभव है, अर्थात, प्रतिस्थापन के तुरंत बाद, एक सरल अभिन्न अंग प्राप्त होता है, जिसे प्राथमिक तरीके से लिया जा सकता है। ऊपर प्रस्तावित कार्यों में सबसे आसान उदाहरण 4 है, जिसमें प्रतिस्थापन के बाद अपेक्षाकृत सरल समाकलन प्राप्त होता है।

स्वयं में अभिन्न को कम करके

एक मजाकिया और सुंदर तरीका. आइए इस शैली के क्लासिक्स पर एक नज़र डालें:

उदाहरण 5

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

मूल के नीचे एक द्विघात द्विपद है, और इस उदाहरण को एकीकृत करने का प्रयास चायदानी को घंटों तक सिरदर्द दे सकता है। इस तरह के अभिन्न अंग को भागों में लिया जाता है और अपने आप में कम कर दिया जाता है। सिद्धांत रूप में, यह कठिन नहीं है। यदि आप जानते हैं कैसे.

आइए विचाराधीन अभिन्न को लैटिन अक्षर से निरूपित करें और समाधान शुरू करें:

आइए भागों द्वारा एकीकृत करें:

(1) टर्म-दर-टर्म विभाजन के लिए इंटीग्रैंड फ़ंक्शन तैयार करें।

(2) हम इंटीग्रैंड फ़ंक्शन को पद से विभाजित करते हैं। यह हर किसी के लिए स्पष्ट नहीं हो सकता है, लेकिन मैं इसका अधिक विस्तार से वर्णन करूंगा:

(3) हम अनिश्चितकालीन अभिन्न की रैखिकता संपत्ति का उपयोग करते हैं।

(4) अंतिम अभिन्न अंग ("लंबा" लघुगणक) लें।

आइए अब समाधान की शुरुआत पर नजर डालें:

और अंत तक:

क्या हुआ? हमारे जोड़-तोड़ के परिणामस्वरूप, अभिन्न अंग अपने आप में सिमट गया!

आइए शुरुआत और अंत को बराबर करें:

चिह्न परिवर्तन के साथ बाईं ओर जाएँ:

और हम दोनों को दाईं ओर ले जाते हैं। नतीजतन:

स्पष्ट रूप से कहें तो स्थिरांक को पहले ही जोड़ा जाना चाहिए था, लेकिन मैंने इसे अंत में जोड़ा। मैं दृढ़तापूर्वक यह पढ़ने की अनुशंसा करता हूं कि यहां कठोरता क्या है:

टिप्पणी: अधिक सख्ती से, समाधान का अंतिम चरण इस तरह दिखता है:

इस प्रकार:

स्थिरांक को पुनः नामित किया जा सकता है। इसे पुनः नामित क्यों किया जा सकता है? क्योंकि वह अब भी इसे स्वीकार करता है कोईमान, और इस अर्थ में स्थिरांक और के बीच कोई अंतर नहीं है।
नतीजतन:

निरंतर पुनर्मूल्यांकन के साथ एक समान चाल का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है विभेदक समीकरण. और वहां मैं सख्ती बरतूंगा. और यहां मैं ऐसी स्वतंत्रता की अनुमति केवल इसलिए देता हूं ताकि आप अनावश्यक चीजों में भ्रमित न हों और एकीकरण पद्धति पर ही ध्यान केंद्रित कर सकें।

उदाहरण 6

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

स्वतंत्र समाधान के लिए एक और विशिष्ट अभिन्न अंग। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर। पिछले उदाहरण के उत्तर से अंतर होगा!

यदि वर्गमूल के नीचे एक वर्ग त्रिपद है, तो किसी भी स्थिति में समाधान दो विश्लेषित उदाहरणों तक पहुँच जाता है।

उदाहरण के लिए, अभिन्न पर विचार करें . सबसे पहले आपको बस इतना करना है एक पूर्ण वर्ग चुनें:
.
इसके बाद, एक रैखिक प्रतिस्थापन किया जाता है, जो "बिना किसी परिणाम के" करता है:
, जिसके परिणामस्वरूप अभिन्न . कुछ परिचित, सही?

या यह उदाहरण, द्विघात द्विपद के साथ:
एक पूर्ण वर्ग चुनें:
और, रैखिक प्रतिस्थापन के बाद, हम अभिन्न प्राप्त करते हैं, जिसे पहले से चर्चा किए गए एल्गोरिदम का उपयोग करके भी हल किया जाता है।

आइए दो और विशिष्ट उदाहरण देखें कि किसी अभिन्न अंग को कैसे कम किया जाए:
- साइन द्वारा गुणा किए गए घातांक का अभिन्न अंग;
- कोसाइन द्वारा गुणा किए गए घातांक का अभिन्न अंग।

भागों द्वारा सूचीबद्ध अभिन्नों में आपको दो बार एकीकृत करना होगा:

उदाहरण 7

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

इंटीग्रैंड साइन द्वारा गुणा किया गया घातांक है।

हम भागों द्वारा दो बार एकीकृत करते हैं और अभिन्न को स्वयं में कम करते हैं:

भागों द्वारा दोहरे एकीकरण के परिणामस्वरूप, अभिन्न अंग अपने आप में सिमट गया। हम समाधान की शुरुआत और अंत को बराबर करते हैं:

हम इसे चिह्न परिवर्तन के साथ बाईं ओर ले जाते हैं और अपना अभिन्न अंग व्यक्त करते हैं:

तैयार। उसी समय, दाहिनी ओर कंघी करने की सलाह दी जाती है, अर्थात। घातांक को कोष्ठक से बाहर निकालें, और ज्या और कोज्या को कोष्ठक में "सुंदर" क्रम में रखें।

अब आइए उदाहरण की शुरुआत में, या अधिक सटीक रूप से, भागों द्वारा एकीकरण पर वापस जाएं:

हमने प्रतिपादक को इस प्रकार नामित किया है। सवाल उठता है: क्या यह वह प्रतिपादक है जिसे हमेशा द्वारा दर्शाया जाना चाहिए? आवश्यक नहीं। वास्तव में, अभिन्न माना जाता है मूलरूप में कोई फर्क नहीं पड़ता, हमारा मतलब क्या है , हम दूसरे रास्ते से जा सकते थे:

ऐसा क्यों संभव है? क्योंकि घातांक स्वयं में बदल जाता है (विभेदीकरण और एकीकरण दोनों के दौरान), साइन और कोसाइन परस्पर एक दूसरे में बदल जाते हैं (फिर, भेदभाव और एकीकरण के दौरान दोनों)।

अर्थात्, हम एक त्रिकोणमितीय फलन को भी निरूपित कर सकते हैं। लेकिन, विचार किए गए उदाहरण में, यह कम तर्कसंगत है, क्योंकि भिन्न दिखाई देंगे। यदि आप चाहें, तो आप दूसरी विधि का उपयोग करके इस उदाहरण को हल करने का प्रयास कर सकते हैं; उत्तर मेल खाने चाहिए।

उदाहरण 8

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। निर्णय लेने से पहले, इस बारे में सोचें कि इस मामले में घातांकीय या त्रिकोणमितीय फलन के रूप में क्या नामित करना अधिक लाभप्रद है? पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

और, निःसंदेह, यह मत भूलिए कि इस पाठ के अधिकांश उत्तरों को विभेदन द्वारा जांचना काफी आसान है!

जिन उदाहरणों पर विचार किया गया वे सबसे जटिल नहीं थे। व्यवहार में, अभिन्न अधिक सामान्य होते हैं जहां स्थिरांक घातांक और त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के तर्क दोनों में होता है, उदाहरण के लिए:। ऐसे समग्र में अनेक लोग भ्रमित हो जायेंगे और मैं स्वयं भी प्रायः भ्रमित हो जाता हूँ। तथ्य यह है कि समाधान में अंश दिखाई देने की उच्च संभावना है, और लापरवाही से कुछ खोना बहुत आसान है। इसके अलावा, संकेतों में त्रुटि की उच्च संभावना है; ध्यान दें कि घातांक में ऋण चिह्न है, और यह अतिरिक्त कठिनाई का परिचय देता है।

अंतिम चरण में, परिणाम अक्सर कुछ इस प्रकार होता है:

समाधान के अंत में भी, आपको बेहद सावधान रहना चाहिए और भिन्नों को सही ढंग से समझना चाहिए:

जटिल भिन्नों का एकीकरण

हम धीरे-धीरे पाठ के भूमध्य रेखा के पास पहुँच रहे हैं और भिन्नों के अभिन्नों पर विचार करना शुरू कर रहे हैं। फिर, उनमें से सभी अत्यधिक जटिल नहीं हैं, बात बस इतनी है कि किसी न किसी कारण से अन्य लेखों में उदाहरण थोड़े "विषय से हटकर" थे।

जड़ों के विषय को जारी रखना

उदाहरण 9

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

मूल के नीचे हर में एक वर्ग त्रिपद और मूल के बाहर "X" के रूप में एक "उपांग" होता है। इस प्रकार के अभिन्न अंग को मानक प्रतिस्थापन का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

हमने निर्णय किया:

यहाँ प्रतिस्थापन सरल है:

आइए प्रतिस्थापन के बाद के जीवन पर नजर डालें:

(1) प्रतिस्थापन के बाद, हम मूल के अंतर्गत पदों को एक सामान्य हर में घटा देते हैं।
(2) हम इसे जड़ के नीचे से निकालते हैं।
(3) अंश और हर को कम किया जाता है। साथ ही, मूल के अंतर्गत, मैंने शर्तों को सुविधाजनक क्रम में पुनर्व्यवस्थित किया। कुछ अनुभव के साथ, टिप्पणी की गई क्रियाओं को मौखिक रूप से निष्पादित करके चरण (1), (2) को छोड़ा जा सकता है।
(4) परिणामी अभिन्न, जैसा कि आपको पाठ से याद है कुछ भिन्नों को एकीकृत करना, निर्णय लिया जा रहा है पूर्ण वर्ग निष्कर्षण विधि. एक पूर्ण वर्ग चुनें.
(5) एकीकरण से हमें एक सामान्य "लंबा" लघुगणक प्राप्त होता है।
(6) हम रिवर्स रिप्लेसमेंट करते हैं। यदि प्रारंभ में , तो पीछे : .
(7) अंतिम क्रिया का उद्देश्य परिणाम को सीधा करना है: जड़ के नीचे हम फिर से शब्दों को एक सामान्य विभाजक में लाते हैं और उन्हें जड़ के नीचे से निकालते हैं।

उदाहरण 10

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। यहां अकेले "X" में एक स्थिरांक जोड़ा गया है, और प्रतिस्थापन लगभग समान है:

केवल एक चीज जो आपको अतिरिक्त रूप से करने की ज़रूरत है वह है किए जा रहे प्रतिस्थापन से "x" को व्यक्त करना:

पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

कभी-कभी ऐसे समाकलन में मूल के नीचे एक द्विघात द्विपद हो सकता है, इससे समाधान की विधि नहीं बदलती, यह और भी सरल हो जाएगी। फर्क महसूस करो:

उदाहरण 11

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

उदाहरण 12

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

पाठ के अंत में संक्षिप्त समाधान और उत्तर। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उदाहरण 11 बिल्कुल वैसा ही है द्विपद अभिन्नजिसके समाधान विधि पर कक्षा में चर्चा की गई अपरिमेय कार्यों का अभिन्न अंग.

घात की दूसरी डिग्री के एक अविभाज्य बहुपद का समाकलन

(हर में बहुपद)

एक अधिक दुर्लभ प्रकार का अभिन्न, लेकिन फिर भी व्यावहारिक उदाहरणों में इसका सामना किया जाता है।

उदाहरण 13

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

लेकिन चलिए भाग्यशाली संख्या 13 वाले उदाहरण पर लौटते हैं (ईमानदारी से कहूं तो, मैंने सही अनुमान नहीं लगाया)। यह अभिन्न अंग भी उनमें से एक है जिसे यदि आप हल करना नहीं जानते तो यह काफी निराशाजनक हो सकता है।

समाधान कृत्रिम परिवर्तन से शुरू होता है:

मुझे लगता है कि हर कोई पहले से ही समझता है कि अंश को हर से कैसे विभाजित किया जाए।

परिणामी अभिन्न अंग को भागों में लिया गया है:

एक अभिन्न अंग के रूप में हम (-प्राकृत संख्या) प्राप्त करते हैं आवर्तीकटौती सूत्र:
, कहाँ - एक डिग्री कम का अभिन्न अंग।

आइए हम हल किए गए अभिन्न अंग के लिए इस सूत्र की वैधता को सत्यापित करें।
इस मामले में: , , हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, उत्तर समान हैं।

उदाहरण 14

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। नमूना समाधान उपरोक्त सूत्र का लगातार दो बार उपयोग करता है।

यदि डिग्री के अंतर्गत है अभाज्यवर्ग त्रिपद, तो पूर्ण वर्ग को अलग करके समाधान को द्विपद में घटा दिया जाता है, उदाहरण के लिए:

यदि अंश में एक अतिरिक्त बहुपद हो तो क्या होगा? इस मामले में, अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग किया जाता है, और इंटीग्रैंड फ़ंक्शन को अंशों के योग में विस्तारित किया जाता है। लेकिन मेरे व्यवहार में ऐसा एक उदाहरण है कभी नहीं मिले, इसलिए मैं लेख में इस मामले को भूल गया भिन्नात्मक-तर्कसंगत कार्यों का समाकलन, मैं इसे अब छोड़ दूँगा। यदि आप अभी भी इस तरह के अभिन्न अंग का सामना करते हैं, तो पाठ्यपुस्तक को देखें - वहां सब कुछ सरल है। मुझे नहीं लगता कि सामग्री (यहां तक ​​कि साधारण सामग्री) को भी शामिल करना उचित है, जिसके मिलने की संभावना शून्य हो जाती है।

जटिल त्रिकोणमितीय कार्यों को एकीकृत करना

अधिकांश उदाहरणों के लिए विशेषण "जटिल" फिर से काफी हद तक सशर्त है। आइए उच्च घात वाली स्पर्शरेखाओं और कोटैंजेंटों से शुरुआत करें। प्रयुक्त समाधान विधियों के दृष्टिकोण से, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट लगभग एक ही चीज़ हैं, इसलिए मैं स्पर्शरेखा के बारे में अधिक बात करूंगा, जिसका अर्थ है कि अभिन्न को हल करने के लिए प्रदर्शित विधि कोटैंजेंट के लिए भी मान्य है।

उपरोक्त पाठ में हमने देखा सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापनत्रिकोणमितीय फलनों के एक निश्चित प्रकार के समाकलन को हल करने के लिए। सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का नुकसान यह है कि इसके उपयोग के परिणामस्वरूप अक्सर कठिन गणनाओं के साथ बोझिल अभिन्न अंग बनते हैं। और कुछ मामलों में, सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन से बचा जा सकता है!

आइए एक और विहित उदाहरण पर विचार करें, साइन द्वारा विभाजित एक का अभिन्न अंग:

उदाहरण 17

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

यहां आप सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग कर सकते हैं और उत्तर प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन एक अधिक तर्कसंगत तरीका भी है। मैं प्रत्येक चरण के लिए टिप्पणियों के साथ संपूर्ण समाधान प्रदान करूंगा:

(1) हम दोहरे कोण की ज्या के लिए त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करते हैं।
(2) हम एक कृत्रिम परिवर्तन करते हैं: हर में भाग दें और से गुणा करें।
(3) हर में प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करके, हम भिन्न को स्पर्शरेखा में बदल देते हैं।
(4) हम फ़ंक्शन को डिफरेंशियल साइन के अंतर्गत लाते हैं।
(5) अभिन्न ले लो ।

आपके लिए स्वयं हल करने के लिए कुछ सरल उदाहरण:

उदाहरण 18

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

नोट: सबसे पहला कदम कटौती सूत्र का उपयोग करना होना चाहिए और पिछले उदाहरण के समान कार्य सावधानीपूर्वक करें।

उदाहरण 19

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

खैर, यह एक बहुत ही सरल उदाहरण है.

पाठ के अंत में संपूर्ण समाधान और उत्तर।

मुझे लगता है कि अब किसी को इंटीग्रल से कोई समस्या नहीं होगी:
और इसी तरह।

विधि का विचार क्या है? विचार केवल स्पर्शरेखाओं और स्पर्शरेखा व्युत्पन्न को एकीकृत में व्यवस्थित करने के लिए परिवर्तनों और त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करना है। यानी हम बदलने की बात कर रहे हैं: . उदाहरण 17-19 में हमने वास्तव में इस प्रतिस्थापन का उपयोग किया था, लेकिन अभिन्न अंग इतने सरल थे कि हमें एक समतुल्य क्रिया के साथ काम मिला - अंतर चिह्न के तहत फ़ंक्शन को शामिल करना।

इसी तरह का तर्क, जैसा कि मैंने पहले ही उल्लेख किया है, कोटैंजेंट के लिए किया जा सकता है।

उपरोक्त प्रतिस्थापन को लागू करने के लिए एक औपचारिक शर्त भी है:

कोसाइन और साइन की घातों का योग एक ऋणात्मक पूर्णांक EVEN संख्या है, उदाहरण के लिए:

अभिन्न के लिए - एक ऋणात्मक पूर्णांक EVEN संख्या।

! टिप्पणी : यदि इंटीग्रैंड में केवल एक साइन या केवल एक कोसाइन होता है, तो इंटीग्रल को एक नकारात्मक विषम डिग्री के लिए भी लिया जाता है (सबसे सरल मामले उदाहरण संख्या 17, 18 में हैं)।

आइए इस नियम पर आधारित कुछ और सार्थक कार्यों पर नजर डालें:

उदाहरण 20

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

साइन और कोसाइन की शक्तियों का योग: 2 - 6 = -4 एक नकारात्मक पूर्णांक EVEN संख्या है, जिसका अर्थ है कि अभिन्न को स्पर्शरेखा और उसके व्युत्पन्न में घटाया जा सकता है:

(1) आइए हर को रूपांतरित करें।
(2) सुप्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं।
(3) आइए हर को रूपांतरित करें।
(4) हम सूत्र का उपयोग करते हैं .
(5) हम फ़ंक्शन को विभेदक चिन्ह के अंतर्गत लाते हैं।
(6) हम प्रतिस्थापन करते हैं। अधिक अनुभवी छात्र प्रतिस्थापन नहीं कर सकते हैं, लेकिन स्पर्शरेखा को एक अक्षर से बदलना अभी भी बेहतर है - भ्रमित होने का जोखिम कम है।

उदाहरण 21

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है।

वहीं रुको, चैंपियनशिप राउंड शुरू होने वाले हैं =)

अक्सर इंटीग्रैंड में एक "हॉजपॉज" होता है:

उदाहरण 22

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

इस अभिन्न में प्रारंभ में एक स्पर्शरेखा होती है, जो तुरंत पहले से ही परिचित विचार की ओर ले जाती है:

मैं कृत्रिम परिवर्तन को आरंभ में और शेष चरणों को बिना किसी टिप्पणी के छोड़ दूँगा, क्योंकि सब कुछ पहले ही ऊपर चर्चा की जा चुकी है।

आपके स्वयं के समाधान के लिए कुछ रचनात्मक उदाहरण:

उदाहरण 23

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

उदाहरण 24

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

हां, उनमें, निश्चित रूप से, आप साइन और कोसाइन की शक्तियों को कम कर सकते हैं, और एक सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन स्पर्शरेखा के माध्यम से किए जाने पर समाधान अधिक कुशल और छोटा होगा। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर

प्रिंसिपल इंटीग्रल जो हर छात्र को पता होना चाहिए

सूचीबद्ध अभिन्न अंग आधार हैं, मूल सिद्धांतों का आधार हैं। इन सूत्रों को जरूर याद रखना चाहिए. अधिक जटिल समाकलनों की गणना करते समय, आपको उनका लगातार उपयोग करना होगा।

सूत्र (5), (7), (9), (12), (13), (17) और (19) पर विशेष ध्यान दें। एकीकृत करते समय अपने उत्तर में एक मनमाना स्थिरांक C जोड़ना न भूलें!

एक स्थिरांक का अभिन्न अंग

∫ ए डी एक्स = ए एक्स + सी (1)

पावर फ़ंक्शन को एकीकृत करना

वास्तव में, स्वयं को केवल सूत्रों (5) और (7) तक सीमित रखना संभव था, लेकिन इस समूह के बाकी अभिन्न अंग इतनी बार आते हैं कि उन पर थोड़ा ध्यान देना उचित है।

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | एक्स | +सी(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1) (7)

घातांकीय फलनों और अतिपरवलयिक फलनों का समाकलन

बेशक, सूत्र (8) (शायद याद रखने के लिए सबसे सुविधाजनक) को सूत्र (9) का एक विशेष मामला माना जा सकता है। अतिपरवलयिक ज्या और अतिपरवलयिक कोज्या के समाकलों के लिए सूत्र (10) और (11) आसानी से सूत्र (8) से प्राप्त किए जा सकते हैं, लेकिन इन संबंधों को केवल याद रखना बेहतर है।

∫ ई एक्स डी एक्स = ई एक्स + सी (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ एस एच एक्स डी एक्स = सी एच एक्स + सी (10)
∫ सी एच एक्स डी एक्स = एस एच एक्स + सी (11)

त्रिकोणमितीय कार्यों के बुनियादी अभिन्न अंग

एक गलती जो छात्र अक्सर करते हैं वह यह है कि वे सूत्र (12) और (13) में संकेतों को भ्रमित कर देते हैं। यह याद रखते हुए कि साइन का व्युत्पन्न कोसाइन के बराबर है, किसी कारण से कई लोग मानते हैं कि फ़ंक्शन साइनएक्स का अभिन्न अंग कॉसएक्स के बराबर है। यह सच नहीं है! साइन का इंटीग्रल "माइनस कोसाइन" के बराबर है, लेकिन कॉसएक्स का इंटीग्रल "जस्ट साइन" के बराबर है:

∫ पाप x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = पाप x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 पाप 2 x d x = - c t g x + C (15)

समाकलन जो व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों को कम करते हैं

सूत्र (16), जो चापस्पर्शज्या की ओर ले जाता है, स्वाभाविक रूप से a=1 के लिए सूत्र (17) का एक विशेष मामला है। इसी प्रकार, (18) (19) का एक विशेष मामला है।

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 - x 2 d x = आर्क्सिन x + C = - आर्ककोस x + C (18)
∫ 1 ए 2 - एक्स 2 डी एक्स = आर्क्सिन एक्स ए + सी = - आर्ककोस एक्स ए + सी (ए > 0) (19)

अधिक जटिल अभिन्न अंग

इन सूत्रों को याद रखने की भी सलाह दी जाती है। इनका उपयोग भी अक्सर किया जाता है और इनका आउटपुट काफी थकाऊ होता है।

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | एक्स + एक्स 2 + ए 2 | +सी (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | एक्स + एक्स 2 − ए 2 | +सी (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 आर्क्सिन x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | एक्स + एक्स 2 + ए 2 | + सी (ए > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | एक्स + एक्स 2 − ए 2 | + सी (ए > 0) (24)

एकीकरण के सामान्य नियम

1) दो कार्यों के योग का समाकलन संगत समाकलनों के योग के बराबर होता है: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) दो कार्यों के अंतर का अभिन्न अंग संबंधित अभिन्नों के अंतर के बराबर है: ∫ (f (x) - g (x)) d x = ∫ f (x) d x - ∫ g (x) d x (26)

3) स्थिरांक को पूर्णांक चिन्ह से निकाला जा सकता है: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

यह देखना आसान है कि गुण (26) केवल गुण (25) और (27) का संयोजन है।

4) एक जटिल फ़ंक्शन का अभिन्न अंग यदि आंतरिक फ़ंक्शन रैखिक है: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

यहां F(x) फ़ंक्शन f(x) के लिए एक प्रतिअवकलन है। कृपया ध्यान दें: यह सूत्र केवल तभी काम करता है जब आंतरिक कार्य Ax + B हो।

महत्वपूर्ण: दो कार्यों के उत्पाद के अभिन्न अंग के साथ-साथ भिन्न के अभिन्न अंग के लिए कोई सार्वभौमिक सूत्र नहीं है:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (तीस)

बेशक, इसका मतलब यह नहीं है कि किसी अंश या उत्पाद को एकीकृत नहीं किया जा सकता है। बात बस इतनी है कि हर बार जब आप (30) जैसा कोई अभिन्न अंग देखते हैं, तो आपको उससे "लड़ने" का एक तरीका ईजाद करना होगा। कुछ मामलों में, भागों द्वारा एकीकरण आपकी मदद करेगा, अन्य में आपको चर में बदलाव करना होगा, और कभी-कभी "स्कूल" बीजगणित या त्रिकोणमिति सूत्र भी मदद कर सकते हैं।

अनिश्चितकालीन समाकलन की गणना का एक सरल उदाहरण

उदाहरण 1. अभिन्न खोजें: ∫ (3 x 2 + 2 पाप x - 7 e x + 12) d x

आइए हम सूत्र (25) और (26) का उपयोग करें (कार्यों के योग या अंतर का अभिन्न अंग संबंधित अभिन्नों के योग या अंतर के बराबर है। हम प्राप्त करते हैं: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 पाप x d x - ∫ 7 e x d x + ∫ 12 डी एक्स

आइए याद रखें कि स्थिरांक को अभिन्न चिह्न (सूत्र (27)) से बाहर निकाला जा सकता है। अभिव्यक्ति रूप में परिवर्तित हो जाती है

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ पाप x d x - 7 ∫ e ​​​​x d x + 12 ∫ 1 d x

आइए अब बुनियादी अभिन्नों की तालिका का उपयोग करें। हमें सूत्र (3), (12), (8) और (1) लागू करने की आवश्यकता होगी। आइए पावर फ़ंक्शन, साइन, एक्सपोनेंशियल और स्थिरांक 1 को एकीकृत करें। अंत में एक मनमाना स्थिरांक C जोड़ना न भूलें:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

प्रारंभिक परिवर्तनों के बाद हमें अंतिम उत्तर मिलता है:

एक्स 3 - 2 कॉस एक्स - 7 ई एक्स + 12 एक्स + सी

विभेदीकरण द्वारा स्वयं का परीक्षण करें: परिणामी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लें और सुनिश्चित करें कि यह मूल इंटीग्रैंड के बराबर है।

अभिन्नों की सारांश तालिका

∫ ए डी एक्स = ए एक्स + सी

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ln | एक्स | +सी

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1)

∫ ई एक्स डी एक्स = ई एक्स + सी

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ सी एच एक्स डी एक्स = एस एच एक्स + सी

∫ पाप x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = पाप x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 पाप 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 - x 2 d x = आर्क्सिन x + C = - आर्ककोस x + C

∫ 1 ए 2 - एक्स 2 डी एक्स = आर्क्सिन एक्स ए + सी = - आर्ककोस एक्स ए + सी (ए > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | एक्स + एक्स 2 + ए 2 | +सी

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | एक्स + एक्स 2 − ए 2 | +सी

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 आर्क्सिन x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | एक्स + एक्स 2 + ए 2 | + सी (ए > 0)

∫ x 2 - a 2 d x = x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | एक्स + एक्स 2 − ए 2 | + सी (ए > 0)

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यदि आप किसी विश्वविद्यालय में पढ़ रहे हैं, यदि आपको उच्च गणित (गणितीय विश्लेषण, रैखिक बीजगणित, संभाव्यता सिद्धांत, सांख्यिकी) में कठिनाई होती है, यदि आपको एक योग्य शिक्षक की सेवाओं की आवश्यकता है, तो एक उच्च गणित शिक्षक के पृष्ठ पर जाएँ। हम आपकी समस्याओं को मिलकर हल करेंगे!

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यह दिखाया गया है कि syn x और cos x के घात फलनों के गुणनफल के समाकलन को एक विभेदक द्विपद के समाकलन में घटाया जा सकता है। घातांक के पूर्णांक मानों के लिए, ऐसे अभिन्नों की गणना भागों द्वारा या कमी सूत्रों का उपयोग करके आसानी से की जाती है। कमी सूत्रों की व्युत्पत्ति दी गई है। ऐसे अभिन्न की गणना का एक उदाहरण दिया गया है।

सामग्री

यह सभी देखें:
अनिश्चितकालीन अभिन्नों की तालिका

एक विभेदक द्विपद के अभिन्न अंग में कमी

आइए फॉर्म के अभिन्न अंग पर विचार करें:

ऐसे समाकलनों को किसी एक प्रतिस्थापन t = के अवकल द्विपद के समाकलन में घटा दिया जाता है पाप एक्सया टी = क्योंकि x.

आइए प्रतिस्थापन करके इसे प्रदर्शित करें
टी = पाप एक्स.
तब
डीटी = (sin x)′ dx = cos x dx;
क्योंकि 2 x = 1 - पाप 2 x = 1 - t 2;

यदि m और n परिमेय संख्याएँ हैं, तो विभेदक द्विपद एकीकरण विधियों का उपयोग किया जाना चाहिए।

पूर्णांक एम और एन के साथ एकीकरण

इसके बाद, उस स्थिति पर विचार करें जब m और n पूर्णांक हैं (जरूरी नहीं कि सकारात्मक हो)। इस मामले में, इंटीग्रैंड एक तर्कसंगत कार्य है पाप एक्सऔर क्योंकि x. इसलिए, आप "त्रिकोणमितीय तर्कसंगत कार्यों को एकीकृत करना" अनुभाग में प्रस्तुत नियमों को लागू कर सकते हैं।

हालाँकि, विशिष्ट विशेषताओं को ध्यान में रखते हुए, कटौती सूत्रों का उपयोग करना आसान है, जो भागों द्वारा एकीकरण द्वारा आसानी से प्राप्त किए जाते हैं।

न्यूनीकरण सूत्र

अभिन्न के लिए कमी सूत्र

फॉर्म है:

;
;
;
.

इन्हें याद रखने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि इन्हें भागों द्वारा एकीकृत करके आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।

कमी सूत्रों का प्रमाण

आइए भागों द्वारा एकीकृत करें।


m + n से गुणा करने पर हमें पहला सूत्र प्राप्त होता है:

इसी प्रकार हमें दूसरा सूत्र प्राप्त होता है।

आइए भागों द्वारा एकीकृत करें।


m + n से गुणा करने पर हमें दूसरा सूत्र प्राप्त होता है:

तीसरा सूत्र.

आइए भागों द्वारा एकीकृत करें।


n से गुणा करना + 1 , हमें तीसरा सूत्र मिलता है:

इसी प्रकार, चौथे सूत्र के लिए.

आइए भागों द्वारा एकीकृत करें।


एम से गुणा करना + 1 , हमें चौथा सूत्र मिलता है:

उदाहरण

आइए अभिन्न की गणना करें:

आइए परिवर्तन करें:

यहाँ एम = 10, एन = - 4.

हम कटौती सूत्र लागू करते हैं:

एम पर = 10, एन = - 4:

एम पर = 8, एन = - 2:

हम कटौती सूत्र लागू करते हैं:

एम पर = 6, एन = - 0:

एम पर = 4, एन = - 0:

एम पर = 2, एन = - 0:

हम शेष अभिन्न की गणना करते हैं:

हम मध्यवर्ती परिणामों को एक सूत्र में एकत्रित करते हैं।

सन्दर्भ:
एन.एम. गुंथर, आर.ओ. कुज़मिन, उच्च गणित में समस्याओं का संग्रह, "लैन", 2003।

यह सभी देखें:

पुनः नमस्कार मित्रों!

जैसा कि मैंने वादा किया था, इस पाठ के साथ हम अभिन्न काव्य जगत के अनंत विस्तार का पता लगाना शुरू करेंगे और विभिन्न प्रकार के (कभी-कभी बहुत सुंदर) उदाहरणों को हल करना शुरू करेंगे। :)

समग्र विविधता में सक्षमता से नेविगेट करने और खो न जाने के लिए, हमें केवल चार चीजों की आवश्यकता है:

1) अभिन्नों की तालिका। उसके बारे में सारी जानकारी - . उसके साथ बिल्कुल इसी तरह काम करना है।

2) अनिश्चित समाकलन की रैखिकता के गुण (योग/अंतर का समाकलन और स्थिरांक का गुणनफल)।

3) व्युत्पन्न और विभेदीकरण नियमों की तालिका।

हाँ, हाँ, चौंकिए मत! डेरिवेटिव की गणना करने की क्षमता के बिना, एकीकरण से कुछ भी हासिल नहीं होगा। सहमत हूँ, इसका कोई मतलब नहीं है, उदाहरण के लिए, गुणा करना जाने बिना विभाजन सीखना। :) और बहुत जल्द आप देखेंगे कि विभेदीकरण कौशल को निखारे बिना आप एक भी अभिन्न अंग की गणना नहीं कर सकते हैं जो प्राथमिक सारणी से परे हो।

4) एकीकरण के तरीके.

उनमें से बहुत, बहुत सारे हैं। कार्यों के एक विशिष्ट वर्ग के लिए - आपका अपना। लेकिन उनकी सभी समृद्ध विविधता के बीच, तीन बुनियादी बातें सामने आती हैं:

– ,

– ,

– .

उनमें से प्रत्येक पर अलग-अलग पाठों में चर्चा की जाएगी।

और अब, अंततः, आइए लंबे समय से प्रतीक्षित उदाहरणों को हल करने के लिए आगे बढ़ें। एक सेक्शन से दूसरे सेक्शन में न जाने के लिए, मैं एक बार फिर पूरे सज्जन के सेट की नकल करूंगा, जो हमारे आगे के काम के लिए उपयोगी होगा। सभी उपकरण हाथ में रहने दें।)

सबसे पहले, यह अभिन्नों की तालिका:

इसके अलावा, हमें अनिश्चितकालीन अभिन्न (रैखिकता गुण) के मूल गुणों की आवश्यकता होगी:

खैर, आवश्यक उपकरण तैयार हैं। यह जाने का समय है! :)

तालिका का प्रत्यक्ष अनुप्रयोग

यह अनुच्छेद सबसे सरल और सबसे हानिरहित उदाहरणों पर विचार करेगा। यहाँ एल्गोरिथ्म बहुत सरल है:

1) तालिका को देखें और आवश्यक सूत्र खोजें;

2) रैखिकता गुण लागू करें (जहां आवश्यक हो);

3) हम सारणीबद्ध सूत्रों का उपयोग करके परिवर्तन करते हैं और अंत में एक स्थिरांक जोड़ते हैं साथ (मत भूलो!) ;

4) उत्तर लिखिए.

तो चलते हैं।)

उदाहरण 1

हमारी तालिका में ऐसा कोई फ़ंक्शन नहीं है। लेकिन सामान्य रूप में एक शक्ति फलन का अभिन्न अंग (दूसरा समूह) होता है। हमारे मामले में एन=5. इसलिए हम n के स्थान पर पाँच प्रतिस्थापित करते हैं और परिणाम की सावधानीपूर्वक गणना करते हैं:

तैयार। :)

बेशक, यह उदाहरण पूरी तरह से आदिम है। विशुद्ध रूप से परिचित के लिए।) लेकिन शक्तियों को एकीकृत करने की क्षमता किसी भी बहुपद और अन्य शक्ति निर्माणों के अभिन्नों की गणना करना आसान बनाती है।

उदाहरण 2

अभिन्न के नीचे योग है. अच्छी तरह से ठीक है। इस मामले के लिए हमारे पास रैखिकता गुण हैं। :) हम अपने अभिन्न को तीन अलग-अलग हिस्सों में विभाजित करते हैं, सभी स्थिरांक को अभिन्न के संकेतों से निकालते हैं और प्रत्येक को तालिका के अनुसार गिनते हैं (समूह 1-2):

कृपया ध्यान दें: स्थिर साथठीक उसी क्षण प्रकट होता है जब सभी अभिन्न लक्षण गायब हो जाते हैं! बेशक, उसके बाद आपको इसे लगातार अपने साथ रखना होगा। इसलिए क्या करना है…

बेशक, आमतौर पर इतने विस्तार से वर्णन करना आवश्यक नहीं है। यह पूरी तरह से समझने के लिए किया जाता है। बात समझने के लिए.)

उदाहरण के लिए, बहुत जल्द, बिना ज्यादा सोचे-समझे, आप मानसिक रूप से राक्षसों को उत्तर देंगे जैसे:

बहुपद अभिन्नों में सबसे मुक्त कार्य हैं।) और विसरित, भौतिकी, सामग्री की ताकत और अन्य गंभीर विषयों में, आपको बहुपदों को लगातार एकीकृत करना होगा। आदत डाल लो।)

अगला उदाहरण थोड़ा बढ़िया होगा.

उदाहरण 3

मुझे आशा है कि हर कोई समझता है कि हमारा इंटीग्रैंड इस तरह लिखा जा सकता है:

इंटीग्रैंड फ़ंक्शन अलग है, और कारक dx (विभेदक चिह्न)- अलग से।

टिप्पणी:इस पाठ में गुणक डीएक्स एकीकरण की प्रक्रिया में अलविदाकिसी भी तरह से भाग नहीं लेता है, और हम अभी मानसिक रूप से उसके बारे में "भूल" रहे हैं। :) हम केवल साथ काम करते हैं इंटीग्रैंड फ़ंक्शन. लेकिन आइए उसके बारे में न भूलें। बहुत जल्द, वस्तुतः समर्पित अगले पाठ में, हम इसके बारे में याद रखेंगे। और हम इस आइकन के महत्व और शक्ति को पूरी ताकत से महसूस करेंगे!)

इस बीच, हमारी नज़र इंटीग्रैंड फ़ंक्शन की ओर आकर्षित होती है

यह किसी पावर फ़ंक्शन जैसा नहीं दिखता, लेकिन यह यही है। :) यदि हम जड़ों और शक्तियों के स्कूल गुणों को याद रखें, तो हमारे कार्य को बदलना काफी संभव है:

और x से घात शून्य दो-तिहाई पहले से ही एक सारणीबद्ध कार्य है! दूसरा समूह n=-2/3. और स्थिरांक 1/2 हमारे लिए कोई बाधा नहीं है। हम इसे अभिन्न चिह्न से परे ले जाते हैं, और सूत्र का उपयोग करके सीधे गणना करते हैं:

इस उदाहरण में, हमें डिग्री के प्रारंभिक गुणों से मदद मिली। और ऐसा अधिकांश मामलों में किया जाना चाहिए जब समाकलन के अंतर्गत एकल मूल या भिन्न हों। इसलिए, बिजली निर्माणों को एकीकृत करते समय कुछ व्यावहारिक सुझाव:

हम भिन्नों को नकारात्मक घातांक वाली घातों से प्रतिस्थापित करते हैं;

हम मूलों को भिन्नात्मक घातांक वाली घातों से प्रतिस्थापित करते हैं।

लेकिन अंतिम उत्तर में, शक्तियों से अंशों और जड़ों तक संक्रमण स्वाद का विषय है। व्यक्तिगत रूप से, मैं वापस स्विच करता हूं - यह सौंदर्य की दृष्टि से अधिक सुखद है, या कुछ और।

और कृपया, सभी भिन्नों को ध्यान से गिनें! हम संकेतों की सावधानीपूर्वक निगरानी करते हैं और क्या कहां जाता है - अंश में क्या है और हर में क्या है।

क्या? क्या आप पहले से ही उबाऊ बिजली कार्यों से थक गए हैं? ठीक है! आइए बैल को सींगों से पकड़ें!

उदाहरण 4

यदि अब हम हर चीज़ को एक सामान्य विभाजक के अभिन्न अंग के अंतर्गत लाते हैं, तो हम इस उदाहरण पर गंभीरता से और लंबे समय तक अटके रह सकते हैं।) लेकिन, समाकलन पर करीब से नज़र डालने पर, हम देख सकते हैं कि हमारे अंतर में दो सारणीबद्ध कार्य शामिल हैं . तो आइए विकृत न हों, बल्कि अपने अभिन्न अंग को दो भागों में विघटित करें:

पहला इंटीग्रल एक साधारण पावर फ़ंक्शन है, (दूसरा समूह, एन = -1): 1/x = x -1 .

किसी शक्ति फलन के प्रतिअवकलन के लिए हमारा पारंपरिक सूत्र

यहाँ काम नहीं करता, लेकिन हमारे लिए एन = -1एक योग्य विकल्प है - प्राकृतिक लघुगणक वाला एक सूत्र। यह वाला:

फिर, इस सूत्र के अनुसार, पहला अंश इस प्रकार एकीकृत किया जाएगा:

और दूसरा अंश है एक टेबल फ़ंक्शन भी!सीखा? हाँ! यह सातवीं"उच्च" लघुगणक वाला सूत्र:

इस सूत्र में स्थिरांक "ए" दो के बराबर है: ए=2.

महत्वपूर्ण लेख: कृपया स्थिरांक नोट करेंसाथ मध्यवर्ती एकीकरण के साथ I कहीं भी नहींमैं इसका श्रेय नहीं देता!क्यों? क्योंकि वह अंतिम उत्तर तक जाएगी संपूर्ण उदाहरण.यह काफी पर्याप्त है।) कड़ाई से बोलते हुए, स्थिरांक को प्रत्येक व्यक्तिगत एकीकरण के बाद लिखा जाना चाहिए - चाहे वह मध्यवर्ती हो या अंतिम: अनिश्चितकालीन अभिन्न के लिए यही आवश्यक है...)

उदाहरण के लिए, पहले एकीकरण के बाद मुझे लिखना होगा:

दूसरे एकीकरण के बाद:

लेकिन चाल यह है कि मनमाने स्थिरांकों का योग/अंतर है कुछ स्थिरांक भी!हमारे मामले में, अंतिम उत्तर के लिए हमें पहले अभिन्न की आवश्यकता है घटानादूसरा। तब हम यह कर सकते हैं अंतरदो मध्यवर्ती स्थिरांक:

सी 1-सी 2

और हमें स्थिरांकों में इसी अंतर को बदलने का पूरा अधिकार है एक स्थिरांक!और बस इसे "सी" अक्षर से पुनः डिज़ाइन करें जो हमारे लिए परिचित है। इस कदर:

सी 1 -सी 2 = सी

इसलिए हम इसी स्थिरांक का श्रेय देते हैं साथअंतिम परिणाम तक और हमें उत्तर मिलता है:

हाँ, हाँ, वे भिन्न हैं! एकीकृत होने पर मल्टीस्टोरी लघुगणक सबसे आम बात है। हमें भी इसकी आदत हो रही है।)

याद करना:

कई पदों के मध्यवर्ती एकीकरण के दौरान, स्थिरांक साथउनमें से प्रत्येक के बाद आपको लिखना नहीं पड़ेगा। इसे पूरे उदाहरण के अंतिम उत्तर में शामिल करना पर्याप्त है। अंततः।

अगला उदाहरण भी भिन्न वाला है। वार्म अप के लिए.)

उदाहरण 5

बेशक, तालिका में ऐसा कोई कार्य नहीं है। लेकिन यहां समानसमारोह:

यह सबसे आखिरी है आठवाँसूत्र. आर्कटेंजेंट के साथ. :)

यह वाला:

और स्वयं भगवान ने हमें इस सूत्र में अपना अभिन्न अंग समायोजित करने का आदेश दिया! लेकिन एक समस्या है: पहले सारणीबद्ध सूत्र में एक्स 2कोई गुणांक नहीं है, लेकिन हमारे पास नौ है। हम अभी सीधे सूत्र का उपयोग नहीं कर सकते. लेकिन हमारे मामले में समस्या पूरी तरह हल करने योग्य है। आइए पहले इस नौ को कोष्ठक से बाहर निकालें, और फिर इसे हमारे भिन्न से पूरी तरह बाहर निकालें।)

और नया अंश वह तालिका फ़ंक्शन है जिसकी हमें पहले से ही आवश्यकता है, संख्या 8! यहाँ और 2 =4/9. या ए=2/3.

सभी। हम पूर्णांक चिह्न में से 1/9 निकालते हैं और आठवें सूत्र का उपयोग करते हैं:

यहाँ जवाब है. यह उदाहरण, सामने गुणांक के साथ एक्स 2, मैंने जानबूझकर इसे इस तरह चुना। यह स्पष्ट करने के लिए कि ऐसे मामलों में क्या करना चाहिए। :) यदि पहले एक्स 2कोई गुणांक नहीं है तो ऐसे अंश भी मन में समाहित हो जायेंगे।

उदाहरण के लिए:

यहाँ ए 2 = 5, इसलिए "ए" स्वयं "पांच का मूल" होगा। सामान्य तौर पर, आप समझते हैं।)

आइए अब अपने फ़ंक्शन को थोड़ा संशोधित करें: हम हर को मूल के नीचे लिखेंगे।) अब हम यह अभिन्न अंग लेंगे:

उदाहरण 6

हर के पास अब एक जड़ है। स्वाभाविक रूप से, एकीकरण के लिए संबंधित सूत्र भी बदल गया है, हाँ।) फिर से हम तालिका में जाते हैं और एक उपयुक्त सूत्र की तलाश करते हैं। हमारी जड़ें 5वें और 6वें समूह के सूत्रों में हैं। लेकिन छठे समूह में केवल जड़ों के नीचे का अंतर है। और हमारे पास राशि है. तो, हम इस पर काम कर रहे हैं पाँचवाँ सूत्र, एक "लंबे" लघुगणक के साथ:

संख्या ए हमारे पास पांच हैं. सूत्र में प्रतिस्थापित करें और प्राप्त करें:

और यह सबकुछ है। यह उत्तर है. हाँ, हाँ, यह इतना आसान है!)

यदि संदेह उत्पन्न होता है, तो आप हमेशा विपरीत विभेदन द्वारा परिणाम की जांच कर सकते हैं (और करना भी चाहिए)। क्या हम जाँच करें? यदि यह किसी प्रकार की गड़बड़ है तो क्या होगा?

आइए अंतर करें (हम मॉड्यूल पर ध्यान नहीं देते हैं और इसे सामान्य ब्रैकेट के रूप में मानते हैं):

सब कुछ उचित है. :)

वैसे, यदि जड़ के नीचे इंटीग्रैंड में आप चिह्न को प्लस से माइनस में बदलते हैं, तो एकीकरण का सूत्र वही रहेगा। यह कोई संयोग नहीं है कि तालिका में जड़ के नीचे है धन ऋण। :)

उदाहरण के लिए:

महत्वपूर्ण!माइनस के मामले में, चालू पहलाजड़ के नीचे का स्थान बिल्कुल ठीक होना चाहिए एक्स 2, और पर दूसरा – संख्या. यदि मूल के अंतर्गत विपरीत सत्य है, तो संबंधित सारणीबद्ध सूत्र संकीर्ण होगा एक और!

उदाहरण 7

जड़ के नीचे फिर से शून्य, लेकिन एक्स 2पाँचों के साथ हमने स्थानों की अदला-बदली की। यह समान है, लेकिन समान नहीं है... इस मामले के लिए, हमारी तालिका में भी एक सूत्र है।) सूत्र संख्या छह, हमने अभी तक इसके साथ काम नहीं किया है:

लेकिन अब - ध्यान से. पिछले उदाहरण में, हमने पाँच को एक संख्या के रूप में उपयोग किया था ए . यहां पांच एक संख्या के रूप में कार्य करेगा एक 2!

इसलिए, सूत्र को सही ढंग से लागू करने के लिए, पांच की जड़ निकालना न भूलें:

और अब उदाहरण एक क्रिया में हल हो गया है। :)

ऐसे ही! बस मूल के अंतर्गत शब्दों की अदला-बदली की गई, और एकीकरण का परिणाम महत्वपूर्ण रूप से बदल गया! लघुगणक और आर्कसाइन... तो कृपया इन दो सूत्रों को भ्रमित मत करो!हालाँकि इंटीग्रैंड फ़ंक्शंस बहुत समान हैं...

बक्शीश:

सारणीबद्ध सूत्र 7-8 में लघुगणक और चापस्पर्शज्या से पहले गुणांक होते हैं 1/(2ए)और 1/एक्रमश। और एक चिंताजनक युद्ध की स्थिति में, जब इन सूत्रों को लिखते हैं, तो उनके अध्ययन से अनुभवी बेवकूफ भी अक्सर भ्रमित हो जाते हैं, यह कहां आसान है 1/ए, और कहाँ 1/(2ए). यहां याद रखने की एक सरल युक्ति दी गई है।

सूत्र क्रमांक 7 में

इंटीग्रैंड के हर में शामिल है वर्गों का अंतर एक्स 2 - ए 2. जो भयावह स्कूल फॉर्मूले के अनुसार टूट जाता है (एक्स-ए)(एक्स+ए). पर दोगुणक कीवर्ड - दो. और ये दोएकीकृत करते समय, कोष्ठक लघुगणक पर जाते हैं: ऋण के साथ ऊपर, धन के साथ - नीचे।) और लघुगणक के सामने गुणांक भी 1/( 2 ए)।

लेकिन फॉर्मूला नंबर 8 में

भिन्न के हर में शामिल है वर्गों का योग।लेकिन वर्गों का योग एक्स 2 +ए 2सरल कारकों में विघटित नहीं किया जा सकता। अत: कोई कुछ भी कहे, भाजक वही रहेगा एककारक। तथा चापस्पर्शज्या के सामने गुणांक भी 1/a होगा।

आइए अब बदलाव के लिए कुछ त्रिकोणमिति को एकीकृत करें।)

उदाहरण 8

उदाहरण सरल है. इतना सरल कि लोग मेज की ओर देखे बिना ही तुरंत खुशी से उत्तर लिख देते हैं और... हम आ गए। :)

आइए संकेतों का पालन करें! साइन/कोसाइन को एकीकृत करते समय यह सबसे आम गलती है। डेरिवेटिव के साथ भ्रमित न हों!

हाँ, (पाप एक्स)" = ओल एक्सऔर (ओल एक्स)’ = - पाप एक्स.

लेकिन!

चूँकि लोग आमतौर पर व्युत्पन्नों को कम से कम याद रखते हैं, इसलिए संकेतों में भ्रमित न होने के लिए, अभिन्नों को याद रखने की तकनीक बहुत सरल है:

ज्या/कोज्या का समाकलन =ऋण समान ज्या/कोज्या का व्युत्पन्न।

उदाहरण के लिए, हम स्कूल से जानते हैं कि साइन का व्युत्पन्न कोसाइन के बराबर होता है:

(पाप एक्स)" = ओल एक्स.

फिर के लिए अभिन्न उसी ज्या से यह सत्य होगा:

बस इतना ही।) कोसाइन के साथ भी यही बात है।

आइए अब अपना उदाहरण ठीक करें:

इंटीग्रैंड के प्रारंभिक प्रारंभिक परिवर्तन

इस बिंदु तक सबसे सरल उदाहरण थे। यह महसूस करने के लिए कि तालिका कैसे काम करती है और सूत्र चुनने में गलतियाँ न करें।)

निःसंदेह, हमने कुछ सरल परिवर्तन किए - हमने कारकों को बाहर निकाला और उन्हें पदों में विभाजित किया। लेकिन उत्तर अभी भी किसी न किसी रूप में सतह पर है।) हालाँकि... यदि समाकलन की गणना केवल तालिका के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग तक ही सीमित होती, तो चारों ओर बहुत सारी मुफ्त चीज़ें होती और जीवन उबाऊ हो जाता।)

आइए अब उदाहरणों पर करीब से नज़र डालें। ऐसा जहां सीधे तौर पर कुछ भी तय होता नहीं दिखता. लेकिन यह प्राथमिक विद्यालय के कुछ सूत्रों या परिवर्तनों को याद रखने लायक है, और उत्तर का मार्ग सरल और स्पष्ट हो जाता है। :)

त्रिकोणमिति सूत्रों का अनुप्रयोग

आइए त्रिकोणमिति का आनंद लेना जारी रखें।

उदाहरण 9

तालिका में ऐसा कोई फ़ंक्शन बंद भी नहीं है। लेकिन में स्कूल त्रिकोणमिति ऐसी एक अल्पज्ञात पहचान है:

अब हम इसमें से उस वर्ग स्पर्शरेखा को व्यक्त करते हैं जिसकी हमें आवश्यकता है और इसे अभिन्न के अंतर्गत सम्मिलित करते हैं:

ऐसा क्यों किया गया? और फिर, इस तरह के परिवर्तन के बाद, हमारा अभिन्न अंग दो सारणीबद्ध हो जाएगा और ध्यान में रखा जाएगा!

देखना:

आइए अब अपने कार्यों का विश्लेषण करें। पहली नज़र में, सब कुछ पहले से कहीं अधिक सरल लगता है। लेकिन आइए इस बारे में सोचें. यदि हमारे सामने कोई कार्य आये अंतरवही कार्य, तो हम करेंगे बिल्कुलठीक-ठीक जानता था कि क्या करना है - आवेदन करो FORMULA एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न:

बस इतना ही। सरल और परेशानी मुक्त तकनीक. यह हमेशा काम करता है और सफलता की गारंटी देता है।

अभिन्न के बारे में क्या? लेकिन यहां हमें त्रिकोणमिति के माध्यम से टटोलना था, कुछ अस्पष्ट सूत्रों को इस उम्मीद में खोदना था कि यह किसी तरह हमें बाहर निकलने और सारणीबद्ध अभिन्न अंग को कम करने में मदद करेगा। और यह सच नहीं है कि इससे हमें मदद मिलेगी, यह बिल्कुल भी सच नहीं है... यही कारण है कि एकीकरण विभेदीकरण की तुलना में अधिक रचनात्मक प्रक्रिया है। कला, मैं तो यह भी कहूंगा। :) और यह सबसे कठिन उदाहरण नहीं है. यह तो केवल शुरुआत है!

उदाहरण 10

यह क्या प्रेरित करता है? हाँ, अभिन्नों की तालिका अभी भी शक्तिहीन है। लेकिन, यदि आप हमारे त्रिकोणमितीय सूत्रों के खजाने पर फिर से नज़र डालें, तो आप एक बहुत ही उपयोगी सूत्र खोज सकते हैं द्विकोण कोज्या सूत्र:

इसलिए हम इस सूत्र को अपने इंटीग्रैंड फ़ंक्शन पर लागू करते हैं। "अल्फा" भूमिका में हमारे पास x/2 है।

हम पाते हैं:

प्रभाव अद्भुत है, है ना?

ये दो उदाहरण स्पष्ट रूप से दर्शाते हैं कि किसी फ़ंक्शन को पूर्व-रूपांतरित करना एकीकरण से पहलेयह पूरी तरह से स्वीकार्य है और कभी-कभी जीवन को बहुत आसान बना देता है! और एकीकरण में यह प्रक्रिया (एकीकरण का परिवर्तन) विभेदीकरण की तुलना में अधिक उचित परिमाण का एक क्रम है। आप सब कुछ बाद में देखेंगे।)

आइए कुछ और विशिष्ट परिवर्तनों पर नजर डालें।

संक्षिप्त गुणन के सूत्र, कोष्ठक खोलना, समान कोष्ठक लाना और पद-दर-पद विभाजन की विधि।

सामान्य सामान्य स्कूल परिवर्तन। लेकिन कभी-कभी वे ही बचाते हैं, हाँ।)

उदाहरण 11

यदि हम व्युत्पन्न की गणना कर रहे थे, तो कोई समस्या नहीं होगी: उत्पाद के व्युत्पन्न के लिए सूत्र और - आगे बढ़ें। लेकिन इसके लिए मानक सूत्र अभिन्नकार्य से अस्तित्व में नहीं है. और यहां एकमात्र रास्ता यह है कि सभी कोष्ठकों को खोल दिया जाए ताकि अभिन्न के अंतर्गत हमें एक बहुपद प्राप्त हो। और हम किसी तरह बहुपद को एकीकृत करेंगे।) लेकिन हम कोष्ठक भी बुद्धिमानी से खोलेंगे: संक्षिप्त गुणन सूत्र शक्तिशाली चीजें हैं!

(x 2 - 1) 2 (x 2 + 1) 2 = ((x 2 - 1)(x 2 + 1)) 2 = ((x 2) 2 - 1 2) 2 = (x 4 - 1) 2 = x 8 - 2x 4 + 1

अब हम गिनते हैं:

और यह सबकुछ है।)

उदाहरण 12

पुनः, मानक सूत्र एक अंश का अभिन्न अंगमौजूद नहीं होना। हालाँकि, इंटीग्रैंड के हर में शामिल है अकेला एक्स.यह स्थिति को मौलिक रूप से बदल देता है।) आइए अंश को हर से विभाजित करें, जिससे हमारे भयानक अंश को सारणीबद्ध शक्ति कार्यों के हानिरहित योग में कम किया जा सके:

मैं डिग्रियों को एकीकृत करने की प्रक्रिया पर विशेष रूप से टिप्पणी नहीं करूंगा: वे अब छोटी नहीं हैं।)

आइए शक्ति कार्यों के योग को एकीकृत करें। संकेत के अनुसार.)

बस इतना ही।) वैसे, यदि हर एक्स नहीं था, लेकिन, कहें, एक्स+1, इस कदर:

टर्म-दर-टर्म विभाजन वाली यह युक्ति इतनी आसानी से काम नहीं करती। यह निश्चित रूप से अंश में एक जड़ और हर में एक इकाई की उपस्थिति के कारण है। मुझे जड़ से छुटकारा पाना होगा. लेकिन ऐसे अभिन्न अंग कहीं अधिक जटिल हैं। उनके बारे में - अन्य पाठों में।

देखना! किसी को केवल फ़ंक्शन को थोड़ा संशोधित करना होगा - इसके एकीकरण का दृष्टिकोण तुरंत बदल जाता है। कभी-कभी नाटकीय रूप से!) कोई स्पष्ट मानक योजना नहीं है। प्रत्येक फ़ंक्शन का अपना दृष्टिकोण होता है। कभी-कभी अनोखा भी।)

कुछ मामलों में, भिन्नों में रूपांतरण और भी मुश्किल होता है।

उदाहरण 13

और यहां, आप सारणीबद्ध सेट के अभिन्न अंग को कैसे कम कर सकते हैं? यहां आप अभिव्यक्ति को जोड़कर और घटाकर चतुराई से बच सकते हैं एक्स 2भिन्न के अंश में पद-दर-पद विभाजन के बाद। इंटीग्रल में एक बहुत ही चतुर युक्ति! मास्टर क्लास देखें! :)

और अब, यदि हम मूल भिन्न को दो भिन्नों के अंतर से प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमारा अभिन्न अंग दो सारणीबद्ध अंशों में विभाजित हो जाता है - पावर फ़ंक्शन जो पहले से ही हमारे लिए परिचित है और आर्कटेंजेंट (सूत्र 8):

खैर, हम क्या कह सकते हैं? बहुत खूब!

परिमेय भिन्नों को एकीकृत करने में अंश में पदों को जोड़ने/घटाने की यह युक्ति बहुत लोकप्रिय है। बहुत! मैं ध्यान देने की सलाह देता हूं.

उदाहरण 14

यहां भी वही तकनीक राज करती है. अंश से हर में व्यंजक निकालने के लिए आपको बस एक जोड़ने/घटाने की जरूरत है:

सामान्यतया, तर्कसंगत भिन्न (अंश और हर में बहुपद के साथ) एक अलग, बहुत व्यापक विषय है। मुद्दा यह है कि तर्कसंगत अंश कार्यों के बहुत कम वर्गों में से एक हैं जिनके लिए एकीकरण की एक सार्वभौमिक विधि है मौजूद. सरल भिन्नों में अपघटन की विधि, युग्मित . लेकिन यह विधि बहुत श्रमसाध्य है और आमतौर पर भारी तोपखाने के रूप में उपयोग की जाती है। एक से अधिक पाठ उन्हें समर्पित होंगे। इस बीच, हम साधारण कार्यों में प्रशिक्षण ले रहे हैं और बेहतर हो रहे हैं।

आइए आज के पाठ का सारांश प्रस्तुत करें।

आज हमने विस्तार से जांच की कि तालिका का उपयोग कैसे किया जाए, सभी बारीकियों के साथ, कई उदाहरणों का विश्लेषण किया (और सबसे तुच्छ नहीं) और अभिन्नों को सारणीबद्ध में कम करने की सबसे सरल तकनीकों से परिचित हुए। और अब हम इसे ऐसे ही करेंगे हमेशा. इंटीग्रल के अंतर्गत जो भी भयानक कार्य हो, विभिन्न प्रकार के परिवर्तनों की मदद से हम यह सुनिश्चित करेंगे कि, देर-सबेर, हमारा इंटीग्रल, किसी न किसी तरह, सारणीबद्ध लोगों के एक सेट में सिमट जाए।

कुछ व्यावहारिक सुझाव.

1) यदि अभिन्न के अंतर्गत एक भिन्न है, जिसका अंश घातों (मूलों) का योग है, और हर है अकेला एक्स पावर, तो हम हर द्वारा अंश के पद-दर-पद विभाजन का उपयोग करते हैं। जड़ों को c की शक्तियों से बदलें भिन्नात्मक संकेतक और सूत्र 1-2 के अनुसार कार्य करें।

2) त्रिकोणमितीय निर्माणों में सबसे पहले हम त्रिकोणमिति के मूल सूत्रों को आजमाते हैं - दोहरा/तिहरा कोण,

आप बहुत भाग्यशाली हो सकते हैं. या शायद नहीं…

3) जहां आवश्यक हो (विशेषकर बहुपदों और भिन्नों में), हम उपयोग करते हैंसंक्षिप्त गुणन सूत्र:

(ए+बी) 2 = ए 2 +2एबी+बी 2

(ए-बी) 2 = ए 2 -2एबी+बी 2

(ए-बी)(ए+बी) = ए 2 -बी 2

4) भिन्नों को बहुपदों के साथ एकीकृत करते समय, हम अंश में हर में अभिव्यक्ति को कृत्रिम रूप से अलग करने का प्रयास करते हैं। बहुत बार भिन्न को सरल बना दिया जाता है और अभिन्न को सारणीबद्ध संयोजन में बदल दिया जाता है।

अच्छा दोस्तों? मैं देख रहा हूं कि आप इंटीग्रल को पसंद करने लगे हैं। :) तब हम स्वयं उदाहरणों को हल करने में बेहतर हो जाते हैं।) आज की सामग्री उनका सफलतापूर्वक सामना करने के लिए काफी है।

क्या? नहीं जानतीं, ? हाँ! हम अभी तक इससे नहीं गुजरे हैं।) लेकिन उन्हें यहां सीधे एकीकृत करने की कोई आवश्यकता नहीं है। और स्कूल पाठ्यक्रम आपकी मदद कर सकता है!)

उत्तर (अव्यवस्था में):

बेहतर परिणामों के लिए, मैं दृढ़तापूर्वक जी.एन. मथन पर आधारित समस्याओं का संग्रह खरीदने की अनुशंसा करता हूँ। बर्मन. शांत सामान!

आज के लिए मेरे पास बस इतना ही है। आपको कामयाबी मिले!