कौन सा पिंड पूर्णतः ठोस माना जाता है? भौतिकी विषय

एकदम ठोस शरीर

एकदम ठोस शरीर- भौतिक बिंदु के साथ-साथ यांत्रिकी की दूसरी सहायक वस्तु। एक बिल्कुल कठोर शरीर की यांत्रिकी भौतिक बिंदुओं (लगाए गए अवरोधों के साथ) की यांत्रिकी के लिए पूरी तरह से कम करने योग्य है, लेकिन इसकी अपनी सामग्री है ( उपयोगी अवधारणाएँऔर संबंध जो एक बिल्कुल कठोर बॉडी मॉडल के ढांचे के भीतर तैयार किए जा सकते हैं), जो महान सैद्धांतिक और व्यावहारिक रुचि का है।

इसकी कई परिभाषाएँ हैं:

1. एक बिल्कुल कठोर शरीर शास्त्रीय यांत्रिकी की एक मॉडल अवधारणा है, जो भौतिक बिंदुओं के एक सेट को दर्शाता है, जिनके बीच की दूरी इस शरीर द्वारा किए गए किसी भी आंदोलन के दौरान बनाए रखी जाती है। दूसरे शब्दों में, बिल्कुल ठोसन केवल अपना आकार बदलता है, बल्कि अंदर द्रव्यमान के वितरण को भी अपरिवर्तित बनाए रखता है।
2. एक बिल्कुल कठोर शरीर एक यांत्रिक प्रणाली है जिसमें स्वतंत्रता की केवल अनुवादात्मक और घूर्णी डिग्री होती है। "कठोरता" का अर्थ है कि शरीर को विकृत नहीं किया जा सकता है, अर्थात, स्थानान्तरण या घूर्णी गति की गतिज ऊर्जा के अलावा कोई अन्य ऊर्जा शरीर में स्थानांतरित नहीं की जा सकती है।
3. एक बिल्कुल कठोर शरीर एक शरीर (प्रणाली) है, जिसके किसी भी बिंदु की सापेक्ष स्थिति नहीं बदलती है, चाहे वह किसी भी प्रक्रिया में भाग ले।

• इस प्रकार, एक बिल्कुल कठोर शरीर की स्थिति पूरी तरह से निर्धारित होती है, उदाहरण के लिए, कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की स्थिति से जो कठोरता से जुड़ी होती है (आमतौर पर इसकी उत्पत्ति कठोर शरीर के द्रव्यमान के केंद्र के साथ मेल खाती है)।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में और (अन्य) कनेक्शनों की अनुपस्थिति में, एक बिल्कुल कठोर शरीर में स्वतंत्रता की 6 डिग्री होती है: तीन अनुवादात्मक और तीन घूर्णी। अपवाद एक द्विपरमाणुक अणु या, शास्त्रीय यांत्रिकी की भाषा में, शून्य मोटाई की एक ठोस छड़ है। ऐसी प्रणाली में स्वतंत्रता की केवल दो घूर्णी डिग्री होती हैं।

प्रकृति में बिल्कुल कठोर शरीर मौजूद नहीं होते हैं, हालांकि, बहुत से मामलों में, जब शरीर की विकृति छोटी होती है और उसे नजरअंदाज किया जा सकता है, तो एक वास्तविक शरीर को (लगभग) समस्या पर प्रतिकूल प्रभाव डाले बिना एक बिल्कुल कठोर शरीर माना जा सकता है।

सापेक्षतावादी यांत्रिकी के ढांचे के भीतर, एक बिल्कुल कठोर शरीर की अवधारणा आंतरिक रूप से विरोधाभासी है, जैसा कि, विशेष रूप से, एरेनफेस्ट विरोधाभास द्वारा दिखाया गया है। दूसरे शब्दों में, एक बिल्कुल कठोर पिंड का मॉडल आम तौर पर तेज गति (प्रकाश की गति की तुलना में गति) के मामले में, साथ ही बहुत मजबूत गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों के मामले में पूरी तरह से अनुपयुक्त है।

एक कठोर शरीर की गतिशीलता

एक बिल्कुल कठोर पिंड की गतिशीलता पूरी तरह से उसके कुल द्रव्यमान, द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति और जड़त्व टेंसर द्वारा निर्धारित होती है (जैसे किसी भौतिक बिंदु की गतिशीलता उसके द्रव्यमान से निर्धारित होती है)। (बेशक, इसका मतलब यह है कि सभी बाहरी ताकतें और बाहरी कनेक्शन दिए गए हैं, जो निश्चित रूप से शरीर या उसके हिस्सों के आकार आदि पर निर्भर हो सकते हैं)।

दूसरे शब्दों में, स्थिर बाह्य बलों के साथ एक बिल्कुल कठोर शरीर की गतिशीलता केवल कुल द्रव्यमान, द्रव्यमान के केंद्र और जड़त्व टेंसर के माध्यम से उसके द्रव्यमान के वितरण पर निर्भर करती है; अन्यथा, एक बिल्कुल कठोर शरीर के द्रव्यमान वितरण का विवरण इसकी गति पर किसी भी प्रकार का प्रभाव नहीं पड़ेगा; यदि आप किसी पूर्णतः कठोर पिंड के अंदर द्रव्यमान को इस प्रकार पुनर्वितरित करते हैं कि द्रव्यमान का केंद्र और जड़त्व टेंसर नहीं बदलता है, तो दिए गए बाहरी बलों में कठोर पिंड की गति नहीं बदलेगी (हालांकि एक ही समय में कर सकनापरिवर्तन और, एक नियम के रूप में, ठोस शरीर में आंतरिक तनाव स्वयं बदल जाएगा!)।

विशेष परिभाषाएँ

समतल पर बिल्कुल कठोर पिंड कहलाता है फ्लैट रोटेटर. इसमें स्वतंत्रता की 3 डिग्री हैं: दो अनुवादात्मक और एक घूर्णी।

एक निश्चित बिंदु वाला बिल्कुल कठोर पिंड, जो घूमने में असमर्थ है और गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में रखा गया है, कहलाता है भौतिक पेंडुलम.

एक निश्चित बिंदु वाला, लेकिन घूमने में सक्षम, बिल्कुल कठोर पिंड कहलाता है एक शीर्ष की तरह.

टिप्पणियाँ

साहित्य

• सुसलोव जी.के. "सैद्धांतिक यांत्रिकी"। एम., "गोस्टेखिज़दत" 1946
• एपेल पी. "सैद्धांतिक यांत्रिकी" खंड। 1.2. एम. "फ़िज़मैटगिज़" 1960
• चेतेव एन.जी. "सैद्धांतिक यांत्रिकी।" एम. "विज्ञान" 1987
• मार्कीव ए.पी. "सैद्धांतिक यांत्रिकी।" एम. "विज्ञान" 1999
• गोलूबेव यू.एफ. "सैद्धांतिक यांत्रिकी के मूल सिद्धांत।" एम., पब्लिशिंग हाउस मॉस्क। विश्वविद्यालय, 2000
• ज़ुरावलेव वी.एफ. "सैद्धांतिक यांत्रिकी के मूल सिद्धांत।" एम., "विज्ञान" 2001

जोड़ना

विकिमीडिया फाउंडेशन. 2010.

देखें अन्य शब्दकोशों में "बिल्कुल कठोर शरीर" क्या है:

बिल्कुल कठोर शरीर

बिल्कुल कठोर शरीर- एब्सोल्यूसी स्टैंडस कुनास स्टेटसस टी स्रिटिस फ़िज़िका एटिटिकमेनिस: अंग्रेजी। पूरी तरह से कठोर शरीर वोक। एब्सोल्यूट स्टारर कोर्पर, एम रस। बिल्कुल कठोर शरीर, एन प्रैंक। कोर पैराफिटमेंट रिगाइड, एम; सॉलिड पैराफेट, मी… फ़िज़िकोस टर्मिनस ज़ोडनास

एक ठोस शरीर का एक मॉडल जिसे किसी भी प्रभाव में गैर-विकृत माना जाता है (बल्गेरियाई भाषा; Български) बिल्कुल ठोस है ( चेक; सेस्टिना) डोकोनाले तुहे टेल्सो ( जर्मन; Deutsch) निक्ट वर्फॉर्मबेरर कोर्पर; पूर्ण स्टार... ... निर्माण शब्दकोश

ठोस- बिल्कुल कठोर शरीर; ठोस पिंड एक भौतिक पिंड है जिसमें किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी सदैव समान रहती है... पॉलिटेक्निक शब्दावली व्याख्यात्मक शब्दकोश

एक ठोस क्रिस्टल में परमाणुओं की व्यवस्था का मॉडल एक ठोस चार में से एक है एकत्रीकरण की अवस्थाएँपदार्थ जो एकत्रीकरण की अन्य अवस्थाओं (तरल पदार्थ, गैस) से भिन्न होते हैं... विकिपीडिया

यांत्रिकी में बिल्कुल कठोर शरीर यांत्रिक प्रणाली, जिसमें स्वतंत्रता की केवल अनुवादात्मक और घूर्णी डिग्री होती है। "कठोरता" का अर्थ है कि शरीर को विकृत नहीं किया जा सकता है, अर्थात, इसके अलावा कोई अन्य ऊर्जा शरीर में स्थानांतरित नहीं की जा सकती ... विकिपीडिया

निरपेक्ष (अव्य. एब्सोल्यूटस पूर्ण, असीमित, बिना शर्त, पूर्ण) निरपेक्ष का अर्थ है जो अपने आप में माना जाता है, बिना किसी अन्य चीज के संबंध के, सापेक्ष के विपरीत। दर्शनशास्त्र में अर्थ: पूर्ण... ...विकिपीडिया

शरीर, या शारीरिक कायाभौतिकी में, एक भौतिक वस्तु जिसमें द्रव्यमान होता है और एक इंटरफ़ेस द्वारा अन्य निकायों से अलग किया जाता है। शरीर पदार्थ के अस्तित्व का स्वरूप है। यह भी देखें बिल्कुल कठोर शरीर बिल्कुल काला शरीर विकृत शरीर सामग्री ... विकिपीडिया

- (ग्रीक स्टेटिक से, वजन, संतुलन का सिद्धांत), बलों के प्रभाव में भौतिक निकायों के संतुलन की स्थितियों के अध्ययन के लिए समर्पित यांत्रिकी का एक खंड। एस. को ज्यामितीय और विश्लेषणात्मक में विभाजित किया गया है। विश्लेषणात्मक पर आधारित सी. संभावित आंदोलनों का सिद्धांत निहित है... भौतिक विश्वकोश

- (ग्रीक स्टेटिक से, वजन, संतुलन का सिद्धांत) बलों के प्रभाव में भौतिक निकायों के संतुलन की स्थितियों के अध्ययन के लिए समर्पित यांत्रिकी का एक खंड। एस. को ज्यामितीय और विश्लेषणात्मक में विभाजित किया गया है। विश्लेषणात्मक एस. संभव पर आधारित है... ... महान सोवियत विश्वकोश

सांख्यिकी की बुनियादी अवधारणाएँसदियों पुराने परिणाम के रूप में विज्ञान में प्रवेश किया व्यावहारिक गतिविधियाँव्यक्ति। वे की पुष्टिप्रकृति के अनेक प्रयोग और अवलोकन।

इन मूल अवधारणाओं में से एक अवधारणा है भौतिक बिंदु.

शरीरके रूप में देखा जा सकता है भौतिक बिंदु, यानी इसका प्रतिनिधित्व किया जा सकता है ज्यामितिकवह बिंदु जहां सब कुछ केंद्रित है वज़नशरीर, उस स्थिति में जब शरीर का माप विचाराधीन समस्या में कोई फर्क नहीं पड़ता.

उदाहरण के लिए, आंदोलन का अध्ययन करते समय ग्रह और उपग्रहउन पर विचार किया जाता है भौतिक बिंदु, क्योंकि DIMENSIONSग्रह और उपग्रह नगण्यके साथ तुलना कक्षीय आकार. दूसरी ओर पढ़ाई कर रहे हैं आंदोलनग्रह (उदाहरण के लिए, पृथ्वी) एक धुरी के चारों ओर, यह पहले से ही है यह वर्जित हैएक भौतिक बिंदु माना जाए।

शरीर कर सकनासभी मामलों में एक भौतिक बिंदु माना जाएगा जब इसके सभी बिंदु कार्यान्वित होंगे वहीआंदोलन। उदाहरण के लिए, किसी इंजन में पिस्टन आंतरिक जलनइसे एक भौतिक बिंदु के रूप में माना जा सकता है जिसमें इस पिस्टन का संपूर्ण द्रव्यमान केंद्रित होता है।

प्रणालीबुलाया भौतिक बिंदुओं का सेट, जिनकी चाल और स्थिति अन्योन्याश्रित. उपरोक्त परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है किसी भी भौतिक शरीर को भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली के रूप में माना जा सकता है.

शरीर के संतुलन का अध्ययन करते समय उन पर विचार किया जाता है बिल्कुल ठोस(या बिल्कुल कठोर), यानी वे मानते हैं कि नहीं बाहरी प्रभाव उनके आकार और स्वरूप में परिवर्तन न करेंतो क्या हुआ शरीर पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरीहमेशा रहता है अपरिवर्तित.

यथार्थ मेंसभी निकाय अन्य निकायों की शक्तियों से प्रभावित होते हैं परिवर्तनइसका आकार और स्वरूप. इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि छड़ स्टील या लकड़ी से बनी है, संकुचित करें, इसकी लंबाई घटाएंगे, और जब मोचवह तदनुसार वृद्धि होगी(चावल। ए ).

बदलाव भी रूपअपनी धुरी पर लंबवत भार की कार्रवाई के तहत दो समर्थनों पर पड़ी एक छड़ (चित्र)। बी ). छड़ी झुकता.

घनेमामलों विकृतिनिकाय (भाग) जो मशीनें, उपकरण और संरचना बनाते हैं, बहुत छोटे से, और गति और संतुलन के अध्ययन मेंये वस्तुएं विकृतियों की उपेक्षा की जा सकती है.

इस प्रकार, एक बिल्कुल कठोर शरीर की अवधारणा है सशर्त(अमूर्त). इस अवधारणा को इसी उद्देश्य से प्रस्तुत किया गया है संतुलन और पिंडों की गति के नियमों के अध्ययन को सरल बनाना.

पढ़ाई के बाद ही कठोर शरीर यांत्रिकी, आप संतुलन और गति का अध्ययन शुरू कर सकते हैं विकृतशरीर, तरल पदार्थ, आदि ताकत की गणना करते समय, निकायों की विकृतियों को ध्यान में रखना आवश्यक है. इन गणनाओं में, विकृतियाँ एक भूमिका निभाती हैं महत्वपूर्णभूमिका और उनकी उपेक्षा नहीं की जा सकती.

किसी पिंड की गति का वर्णन करने का सबसे आसान तरीका यह है कि उसके हिस्सों की सापेक्ष स्थिति नहीं बदलती है। ऐसा पिंड पूर्णतः ठोस कहलाता है।
गतिकी का अध्ययन करते समय, हमने कहा कि किसी पिंड की गति का वर्णन करने का अर्थ उसके सभी बिंदुओं की गति का वर्णन करना है। दूसरे शब्दों में, आपको शरीर के सभी बिंदुओं के निर्देशांक, गति, त्वरण, प्रक्षेपवक्र खोजने में सक्षम होना चाहिए। सामान्य तौर पर, यह एक कठिन समस्या है और हम इसे हल करने का प्रयास नहीं करेंगे। यह विशेष रूप से कठिन होता है जब गति के दौरान शरीर स्पष्ट रूप से विकृत हो जाते हैं।
किसी पिंड को पूर्णतया ठोस माना जा सकता है यदि पिंड के किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी स्थिर हो। दूसरे शब्दों में,
किसी बिल्कुल कठोर पिंड पर कोई भी बल कार्य करने पर उसका आकार और आयाम नहीं बदलता है।
वास्तव में, ऐसे कोई निकाय नहीं हैं। यह एक भौतिक मॉडल है. ऐसे मामलों में जहां विकृतियां छोटी हैं, वास्तविक निकायों को बिल्कुल ठोस माना जा सकता है। हालाँकि, एक कठोर पिंड की गति आम तौर पर जटिल होती है। हम किसी कठोर पिंड की गति के दो सबसे सरल प्रकारों पर ध्यान केंद्रित करेंगे: अनुवादात्मक और घूर्णी।
आगे बढ़ना
एक कठोर पिंड अनुवादात्मक रूप से चलता है यदि शरीर से कठोरता से जुड़ा हुआ एक सीधी रेखा का कोई भी खंड लगातार स्वयं के समानांतर चलता है।
अनुवादात्मक गति के दौरान, शरीर के सभी बिंदु समान गति करते हैं, समान प्रक्षेप पथ का वर्णन करते हैं, समान पथ से गुजरते हैं, समान गतिऔर त्वरण. चलिए दिखाते हैं.
शरीर को आगे बढ़ने दें. आइए शरीर के दो मनमाने बिंदुओं A और B को एक सीधी रेखा खंड से जोड़ें (चित्र 7.1)। रेखाखंड AB को स्वयं के समानांतर रहना चाहिए। दूरी AB नहीं बदलती, क्योंकि पिंड बिल्कुल कठोर है।
स्थानांतरीय गति की प्रक्रिया में, वेक्टर AB नहीं बदलता है, अर्थात इसका मापांक और दिशा स्थिर रहती है। परिणामस्वरूप, बिंदु A और B के प्रक्षेप पथ समान ^ हैं क्योंकि उन्हें AB के समानांतर स्थानांतरण द्वारा पूरी तरह से जोड़ा जा सकता है।
यह देखना आसान है कि बिंदु A और B की गतियाँ समान हैं और एक ही समय में घटित होती हैं। इसलिए, बिंदु A और B की गति समान है। उनकी गति भी समान है।
यह बिल्कुल स्पष्ट है कि किसी पिंड की अनुवादात्मक गति का वर्णन करने के लिए उसके किसी एक बिंदु की गति का वर्णन करना पर्याप्त है, क्योंकि सभी बिंदु एक ही तरह से चलते हैं। केवल इस गति में ही हम शरीर की गति और शरीर के त्वरण के बारे में बात कर सकते हैं। किसी पिंड की किसी भी अन्य गति के साथ, इसके बिंदुओं की गति और त्वरण अलग-अलग होते हैं, और "शरीर की गति" या "शरीर त्वरण" शब्द अपना अर्थ खो देते हैं।

एक डेस्क दराज लगभग अनुवादात्मक रूप से चलती है, सिलेंडर के सापेक्ष कार इंजन के पिस्टन, सीधे खंड पर कारें रेलवे, बिस्तर के सापेक्ष एक खराद का कटर (चित्र 7.2), आदि आंदोलन जो काफी हैं जटिल रूपउदाहरण के लिए, पार्कों में साइकिल पैडल या फ़ेरिस व्हील केबिन की गति (चित्र 7.3)।
घूर्णी गति
एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णी गति एक कठोर पिंड की गति का एक अन्य प्रकार है।

श्श्श" चित्र। 7.3
किसी कठोर पिंड का एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमना एक ऐसी गति है जिसमें शरीर के सभी बिंदु वृत्तों का वर्णन करते हैं, जिनके केंद्र इन वृत्तों के तलों के लंबवत एक ही सीधी रेखा पर होते हैं। यह सीधी रेखा ही घूर्णन की धुरी है (चित्र 7.4 में एम.एन.)।

प्रौद्योगिकी में, इस प्रकार की गति बहुत बार होती है: इंजन और जनरेटर के शाफ्ट का घूमना, आधुनिक हाई-स्पीड इलेक्ट्रिक ट्रेनों और गाँव की गाड़ियों के पहिये, टर्बाइन और हवाई जहाज के प्रोपेलर, आदि। पृथ्वी अपनी धुरी पर घूमती है।
लंबे समय तक यह माना जाता था कि जीवित जीवों में घूमने वाले पहिये के समान कोई उपकरण नहीं है: "प्रकृति ने पहिया नहीं बनाया है।" लेकिन शोध हाल के वर्षदिखाया कि ऐसा नहीं है. कई बैक्टीरिया, जैसे ई. कोली, में एक "मोटर" होता है जो फ्लैगेल्ला को घुमाता है। इन फ्लैगेल्ला की सहायता से जीवाणु पर्यावरण में विचरण करता है (चित्र 7.5, ए)। फ्लैगेलम का आधार एक अंगूठी के आकार के पहिये (रोटर) से जुड़ा होता है (चित्र 7.5, बी)। रोटर का तल कोशिका झिल्ली में लगी एक अन्य रिंग के समानांतर होता है। रोटर घूमता है, प्रति सेकंड आठ चक्कर लगाता है। वह तंत्र जिसके कारण रोटर घूमता है वह काफी हद तक अस्पष्ट है।
गतिज वर्णन
किसी कठोर पिंड की घूर्णी गति
जब कोई पिंड घूमता है, तो इस पिंड के बिंदु A द्वारा वर्णित वृत्त की त्रिज्या rA एक निश्चित कोण cf के माध्यम से समय अंतराल के दौरान घूमेगी (चित्र 7.4 देखें)। अपरिवर्तनीयता के कारण यह देखना आसान है तुलनात्मक स्थितिसमान कोण φ के माध्यम से पिंड के बिंदुओं पर, पिंड के किसी भी अन्य बिंदु द्वारा वर्णित वृत्तों की त्रिज्या एक ही समय में घूमेगी (चित्र 7.4 देखें)। नतीजतन, इस कोण φ को एक मात्रा माना जा सकता है जो न केवल शरीर के एक व्यक्तिगत बिंदु की गति को दर्शाता है, बल्कि पूरे शरीर की घूर्णी गति को भी दर्शाता है। इसलिए, एक निश्चित अक्ष के चारों ओर एक कठोर शरीर के घूर्णन का वर्णन करने के लिए, केवल एक मात्रा पर्याप्त है - चर φ(0)।
यह एकल मात्रा (निर्देशांक) वह कोण φ हो सकता है जिसके माध्यम से पिंड अपनी कुछ स्थिति के सापेक्ष एक अक्ष के चारों ओर घूमता है, जिसे शून्य के रूप में लिया जाता है। यह स्थिति चित्र 7.4 में 0,X अक्ष द्वारा निर्दिष्ट है (खंड 02B, OaC, OgX के समानांतर हैं)।
§ 1.28 में, एक वृत्त के अनुदिश एक बिंदु की गति पर विचार किया गया। कोणीय वेग CO और कोणीय त्वरण p की अवधारणाएँ पेश की गईं। चूँकि जब कोई कठोर पिंड घूमता है, तो उसके सभी बिंदु समान समय अंतराल पर समान कोणों से घूमते हैं, एक वृत्त के अनुदिश एक बिंदु की गति का वर्णन करने वाले सभी सूत्र एक कठोर पिंड के घूर्णन का वर्णन करने के लिए लागू होते हैं। कोणीय वेग (1.28.2) और कोणीय त्वरण (1.28.6) की परिभाषाएँ एक कठोर पिंड के घूर्णन से संबंधित हो सकती हैं। उसी प्रकार, स्थिर कोणीय त्वरण के साथ किसी कठोर पिंड की गति का वर्णन करने के लिए सूत्र (1.28.7) और (1.28.8) मान्य हैं।
कठोर पिंड के प्रत्येक बिंदु के लिए रैखिक और कोणीय वेग (§ 1.28 देखें) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है
और = (7.1.1)
जहाँ R घूर्णन अक्ष से बिंदु की दूरी है, अर्थात, घूमते हुए पिंड के बिंदु द्वारा वर्णित वृत्त की त्रिज्या। रैखिक वेग इस वृत्त की ओर स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होता है। एक कठोर पिंड के विभिन्न बिंदुओं पर समान कोणीय वेग पर अलग-अलग रैखिक वेग होते हैं।
एक कठोर पिंड के विभिन्न बिंदुओं में सामान्य और स्पर्शरेखीय त्वरण होते हैं, जो सूत्र (1.28.10) और (1.28.11) द्वारा निर्धारित होते हैं:
एएन = सीओ2डी, एटी = आरडी। (7.1.2)
समतल-समानांतर गति
किसी कठोर पिंड की समतल-समानांतर (या बस समतल) गति एक ऐसी गति है जिसमें पिंड का प्रत्येक बिंदु हर समय एक ही तल में चलता है। इसके अलावा, वे सभी तल जिनमें बिंदु चलते हैं, एक दूसरे के समानांतर हैं। समतल-समानांतर गति का एक विशिष्ट उदाहरण एक समतल पर सिलेंडर का घूमना है। सीधी रेल पर पहिये की गति भी समतल-समानांतर होती है।

आइए याद करें (एक बार फिर!) कि किसी विशेष पिंड की गति की प्रकृति के बारे में केवल एक निश्चित संदर्भ प्रणाली के संबंध में बात करना संभव है। इस प्रकार, उपरोक्त उदाहरणों में, रेल (जमीन) से जुड़ी संदर्भ प्रणाली में, सिलेंडर या पहिये की गति समतल-समानांतर है, और पहिया (या सिलेंडर) की धुरी से जुड़ी संदर्भ प्रणाली में, यह है घूर्णी. नतीजतन, गति के योग के नियम के अनुसार, जमीन (पूर्ण गति) से जुड़े संदर्भ प्रणाली में पहिया के प्रत्येक बिंदु की गति, घूर्णी गति की रैखिक गति के वेक्टर योग के बराबर है ( सापेक्ष गति) और अक्ष की स्थानांतरीय गति की गति (स्थानांतरण गति) (चित्र 7.6):
घूर्णन का तात्क्षणिक केंद्र
एक पतली डिस्क को समतल के अनुदिश लुढ़कने दीजिए (चित्र 7.7)। एक वृत्त को मनमाने ढंग से एक नियमित बहुभुज माना जा सकता है एक लंबी संख्यादोनों पक्ष इसलिए, चित्र 7.7 में दिखाए गए वृत्त को मानसिक रूप से बहुभुज द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है (चित्र 7.8)। लेकिन उत्तरार्द्ध की गति में छोटे घुमावों की एक श्रृंखला शामिल होती है: पहले बिंदु C के आसपास, फिर बिंदु Cj, C2, आदि के आसपास। इसलिए, डिस्क की गति को चारों ओर बहुत छोटे (असीमित) घुमावों के अनुक्रम के रूप में भी माना जा सकता है बिंदु C, Cx, C2, आदि। इस प्रकार, समय के प्रत्येक क्षण में डिस्क अपने चारों ओर घूमती है न्यूनतम बिंदु C. इस बिंदु को डिस्क के घूर्णन का तात्कालिक केंद्र कहा जाता है। एक विमान के साथ घूमने वाली डिस्क के मामले में, हम घूर्णन की तात्कालिक धुरी के बारे में बात कर सकते हैं। यह अक्ष समतल के साथ डिस्क की संपर्क रेखा है इस पलसमय। चावल। 7.7
चावल। 7.8
घूर्णन के तात्कालिक केंद्र (तात्कालिक अक्ष) की अवधारणा का परिचय कई समस्याओं के समाधान को सरल बनाता है। उदाहरण के लिए, यह जानते हुए कि डिस्क के केंद्र में गति है और, आप बिंदु A की गति पा सकते हैं (चित्र 7.7 देखें)। दरअसल, चूंकि डिस्क तात्कालिक केंद्र C के चारों ओर घूमती है, बिंदु A के घूर्णन की त्रिज्या AC के बराबर है, और बिंदु O के घूर्णन की त्रिज्या OC के बराबर है। लेकिन चूँकि AC = 2OS है, तो? "ओ
वीए = 2v0 = 2v. इसी प्रकार आप इस डिस्क पर किसी भी बिंदु की गति ज्ञात कर सकते हैं।
हम सबसे मिले सरल प्रकारएक कठोर पिंड की गति: अनुवादात्मक, घूर्णी, समतल-समानांतर। भविष्य में हमें एक कठोर पिंड की गतिशीलता से निपटना होगा।

विषय पर अधिक जानकारी § 7.1. बिल्कुल कठोर शरीर और उसकी गति के प्रकार:

1. 56. तरल पिंडों के कणों की गति सभी दिशाओं में निर्देशित होती है; थोड़ा सा बल भी उनके चारों ओर घिरे ठोस पिंडों को गति देने के लिए पर्याप्त है

एकदम ठोस शरीर- दूसरी संदर्भ वस्तु यांत्रिकीसाथ में भौतिक बिंदु. एक बिल्कुल कठोर शरीर की यांत्रिकी पूरी तरह से भौतिक बिंदुओं के यांत्रिकी (अतिरंजित के साथ) के लिए कम करने योग्य है सम्बन्ध), लेकिन इसकी अपनी सामग्री है (उपयोगी अवधारणाएं और रिश्ते जिन्हें बिल्कुल कठोर बॉडी मॉडल के ढांचे के भीतर तैयार किया जा सकता है), जो महान सैद्धांतिक और व्यावहारिक रुचि का है।

बुनियादी परिभाषाएँ

एकदम ठोस शरीर- मॉडल अवधारणा शास्त्रीय यांत्रिकी, बिंदुओं के एक समूह को दर्शाता है, जिनकी वर्तमान स्थिति के बीच की दूरी नहीं बदलती है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आंदोलन के दौरान यह शरीर किस प्रभाव के अधीन है (इसलिए, एक बिल्कुल कठोर पिंड अपना आकार नहीं बदलता है और द्रव्यमान के वितरण को अपरिवर्तित बनाए रखता है)।

एकदम ठोस शरीर - यांत्रिक प्रणाली, केवल होना प्रगतिशीलऔर घुमानेवाला स्वतंत्रता की कोटियां. "कठोरता" का अर्थ है कि कोई शरीर नहीं हो सकता विकृतयानी इसके अलावा कोई अन्य ऊर्जा शरीर में स्थानांतरित नहीं की जा सकती गतिज ऊर्जाअनुवादात्मक या घूर्णी गति।

एकदम ठोस शरीर- शरीर ( प्रणाली), जिसके किसी भी बिंदु की सापेक्ष स्थिति नहीं बदलती, चाहे वह किसी भी प्रक्रिया में भाग ले।

इस प्रकार, एक बिल्कुल कठोर शरीर का वर्तमान विन्यास पूरी तरह से निर्धारित होता है, उदाहरण के लिए, इसके साथ कठोरता से जुड़े कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की स्थिति से (अक्सर इसकी उत्पत्ति के साथ मेल खाता है) सेंटर ऑफ मासशरीर)।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में मुक्तएक बिल्कुल कठोर पिंड (अर्थात् एक ठोस पिंड जिस पर कोई बाहरी वस्तु नहीं है)। संचार) सामान्य तौर पर स्वतंत्रता की 6 डिग्री होती है: तीन अनुवादात्मक और तीन घूर्णी . अपवाद है द्विपरमाणुक अणुया - शास्त्रीय यांत्रिकी की भाषा में - ठोस कर्नेलशून्य मोटाई; ऐसी प्रणाली में स्वतंत्रता की केवल दो घूर्णी डिग्री होती हैं।

कड़ाई से कहें तो, बिल्कुल कठोर शरीर प्रकृति में मौजूद नहीं होते हैं, हालांकि, कई मामलों में, जब शरीर की विकृति छोटी होती है और उसे उपेक्षित किया जा सकता है, तो एक वास्तविक शरीर को (लगभग) समाधान के प्रति पूर्वाग्रह के बिना एक बिल्कुल कठोर शरीर माना जा सकता है। समस्या का।

अंदर सापेक्ष यांत्रिकीबिल्कुल कठोर शरीर की अवधारणा आंतरिक रूप से विरोधाभासी है, जो विशेष रूप से दर्शाती है, एरेनफेस्ट विरोधाभास. दूसरे शब्दों में, बिल्कुल कठोर बॉडी मॉडल तेज गति (प्रकाश की गति की तुलना में गति) के मामले में, साथ ही बहुत मजबूत गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के मामले में लागू नहीं होता है। .

बिल्कुल कठोर शरीर की गतिकी

एक गतिमान पूर्णतः कठोर पिंड के बिंदुओं के वेगों का वितरण किसके द्वारा वर्णित है? यूलर का सूत्र . वेग वितरण की समस्याओं को हल करते समय यह बहुत उपयोगी भी हो सकता है वेग प्रक्षेपण पर ग्राशोफ़ का प्रमेय, आमतौर पर इस तरह तैयार किया जाता है: "इन बिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा पर एक कठोर शरीर के दो मनमाने बिंदुओं के वेग के अनुमान एक दूसरे के बराबर होते हैं" .

एक कठोर शरीर की गतिशीलता

एक बिल्कुल कठोर शरीर की गतिशीलता पूरी तरह से उसके कुल से निर्धारित होती है द्रव्यमान, पद सेंटर ऑफ मासऔर जड़ता टेंसर(जबकि किसी भौतिक बिंदु की गतिशीलता पूरी तरह से उसे निर्दिष्ट करके निर्धारित की जाती है जनता); बेशक, इसका मतलब यह है कि सभी बाहरी ताकतें और बाहरी कनेक्शन दिए गए हैं (और वे, बदले में, शरीर या उसके हिस्सों के आकार आदि पर निर्भर हो सकते हैं)। बिल्कुल कठोर पिंड के द्रव्यमान वितरण का विवरण किसी भी तरह से इसकी गति को प्रभावित नहीं करता है। ; यदि आप किसी पूर्ण रूप से कठोर पिंड के अंदर द्रव्यमान को इस तरह से पुनर्वितरित करते हैं कि द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति और शरीर की जड़ता के टेंसर में परिवर्तन नहीं होता है, तो दिए गए बाहरी बलों के तहत कठोर शरीर की गति नहीं बदलेगी ( हालाँकि, सामान्यतया, कठोर शरीर में आंतरिक तनाव स्वयं बदल जाएगा)।

विशेष परिभाषाएँ

समतल पर बिल्कुल कठोर पिंड कहलाता है फ्लैट रोटेटर . इसमें स्वतंत्रता की 3 डिग्री हैं: दो अनुवादात्मक और एक घूर्णी।

बिल्कुल कठोर शरीर रखा गया गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रतथा एक निश्चित क्षैतिज अक्ष के चारों ओर घूमने में सक्षम कहलाता है भौतिक पेंडुलम .

एक निश्चित बिंदु वाला, लेकिन घूमने में सक्षम, बिल्कुल कठोर पिंड कहलाता है एक शीर्ष की तरह .

कोणीय वेग - भौतिक मात्रा, जो है स्यूडोवेक्टर (अक्षीय वेक्टर)और गति की विशेषता ROTATION भौतिक बिंदुघूर्णन के केंद्र के चारों ओर. कोणीय वेग वेक्टर परिमाण में बराबर है कोनाप्रति इकाई समय में घूर्णन के केंद्र के चारों ओर एक बिंदु का घूमना:

और साथ निर्देशित किया घूर्णन अक्षके अनुसार गिलेट नियम, अर्थात्, जिस दिशा में इसे पेंच किया जाएगा बरमानादाहिने हाथ के धागे से, यदि वह एक ही दिशा में घूमता हो।

इकाईकोणीय वेग को अपनाया गया इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली (एसआई)और प्रणाली जीएचएस - रेडियंसवी मुझे एक सेकंड दे. (टिप्पणी: कांतिकोण माप की किसी भी इकाई की तरह, भौतिक रूप से आयामहीन है, इसलिए कोणीय वेग का भौतिक आयाम बस है)। प्रौद्योगिकी में भी उपयोग किया जाता है आरपीएमप्रति सेकंड, बहुत कम बार - डिग्रीप्रति सेकंड, ओलोंप्रति सेकंड। शायद, प्रौद्योगिकी में प्रति मिनट क्रांतियों का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है - यह उस समय से आता है जब घूर्णन गति कम गति की होती है भाप इंजिनसमय की प्रति इकाई क्रांतियों की संख्या की गणना करके, इसे केवल "मैन्युअल रूप से" निर्धारित किया जाता है।

कोणीय वेग के साथ घूमने वाले (बिल्कुल) कठोर शरीर के किसी भी बिंदु के (तात्कालिक) वेग का वेक्टर सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

पिंड के घूर्णन अक्ष पर स्थित मूल बिंदु से किसी दिए गए बिंदु तक त्रिज्या वेक्टर कहां है, और वर्ग कोष्ठक इंगित करते हैं वेक्टर उत्पाद. एक निश्चित दूरी पर एक बिंदु का रैखिक वेग (वेग वेक्टर के परिमाण के साथ मेल खाता है) RADIUS) घूर्णन अक्ष से गणना इस प्रकार की जा सकती है: यदि रेडियन के स्थान पर कोणों की अन्य इकाइयों का उपयोग किया जाता है, तो अंतिम दो सूत्रों में एक गुणक दिखाई देगा जो एक के बराबर नहीं है।

समतल घूर्णन के मामले में, अर्थात्, जब शरीर के बिंदुओं के सभी वेग सदिश (हमेशा) एक ही विमान ("घूर्णन के विमान") में स्थित होते हैं, तो शरीर का कोणीय वेग हमेशा इस विमान के लंबवत होता है, और में तथ्य - यदि घूर्णन का तल ज्ञात है - को एक अदिश द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है - घूर्णन के तल के ऑर्थोगोनल अक्ष पर प्रक्षेपण। इस मामले में, घूर्णन की गतिकी बहुत सरल हो जाती है, लेकिन सामान्य स्थिति में, कोणीय वेग समय के साथ त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दिशा बदल सकता है, और ऐसी सरलीकृत तस्वीर काम नहीं करती है।

यौगिककोणीय वेग द्वारा समयवहाँ है कोणीय त्वरण.

स्थिर कोणीय वेग सदिश के साथ गति कहलाती है वर्दीघूर्णी गति (इस मामले में, कोणीय त्वरण शून्य है)।

कोणीय वेग (एक मुक्त सदिश माना जाता है) सभी में समान है जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली, संदर्भ की उत्पत्ति की स्थिति और उसके आंदोलन की गति में भिन्नता है, लेकिन एक दूसरे के सापेक्ष समान रूप से सीधा और अनुवादात्मक रूप से चलती है, हालांकि, ये जड़त्वीय संदर्भ प्रणालियां एक ही विशिष्ट के अक्ष या घूर्णन के केंद्र की स्थिति में भिन्न हो सकती हैं समय में एक ही क्षण में शरीर (अर्थात्, यह कोणीय वेग का "अनुप्रयोग बिंदु" भिन्न होगा)।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक एकल बिंदु की गति के मामले में, आप चयनित के सापेक्ष इस बिंदु के कोणीय वेग के लिए एक अभिव्यक्ति लिख सकते हैं मूल:

कहाँ - त्रिज्या सदिशअंक (मूल से), - रफ़्तारइस बिंदु। - वेक्टर उत्पाद, -अदिश उत्पादवेक्टर हालाँकि, यह सूत्र विशिष्ट रूप से कोणीय वेग को निर्धारित नहीं करता है (एकल बिंदु के मामले में, आप अन्य वैक्टर का चयन कर सकते हैं जो परिभाषा के अनुसार उपयुक्त हैं, अन्यथा - मनमाने ढंग से - रोटेशन की धुरी की दिशा चुनना), और सामान्य मामले के लिए (जब शरीर में एक से अधिक भौतिक बिंदु शामिल होते हैं) - यह सूत्र पूरे शरीर के कोणीय वेग के लिए सत्य नहीं है (क्योंकि यह प्रत्येक बिंदु के लिए अलग-अलग देता है, और जब एक बिल्कुल कठोर शरीर घूमता है, तो कोणीय वेग के वैक्टर इसके सभी बिंदुओं का घूर्णन मेल खाता है)। इन सबके साथ, द्वि-आयामी मामले (समतल घूर्णन के मामले) में यह सूत्र काफी पर्याप्त, स्पष्ट और सही है, क्योंकि इस विशेष मामले में घूर्णन अक्ष की दिशा स्पष्ट रूप से विशिष्ट रूप से निर्धारित होती है।

बिल्कुल कठोर पिंड वह पिंड है जिसकी विकृति को इस समस्या में नजरअंदाज किया जा सकता है और सभी परिस्थितियों में इस पिंड के दो बिंदुओं के बीच की दूरी स्थिर रहती है।

घूर्णी गति के दौरान पिंडों की जड़ता को एक मात्रा द्वारा दर्शाया जाता है जिसे जड़त्व क्षण कहा जाता है। किसी दिए गए अक्ष के सापेक्ष एक प्रणाली (शरीर) की जड़ता का क्षण एक भौतिक मात्रा है, योग के बराबरविचाराधीन अक्ष से उनकी दूरी के वर्ग द्वारा प्रणाली के द्रव्यमान और भौतिक बिंदुओं के उत्पाद:

मैं=एम मैं आर मैं 2 (3.1)

सतत जन वितरण के मामले में, यह योग अभिन्न में कम हो जाता है:

I=∫r 2 dm (3.2), जहां संपूर्ण आयतन पर एकीकरण किया जाता है।

एक सजातीय ठोस डिस्क (सिलेंडर) के लिए:

I=0.5 mR 2 (3.3), यदि घूर्णन की धुरी गुरुत्वाकर्षण के केंद्र (द्रव्यमान) से होकर गुजरती है।

एक मनमाना अक्ष के बारे में जड़ता का क्षण स्टीनर के प्रमेय द्वारा निर्धारित किया जाता है:

I=I c +ma 2 (3.4), जहां a अक्षों के बीच की दूरी है।

किसी पिंड को घुमाने के लिए बल की क्षमता को एक भौतिक मात्रा द्वारा दर्शाया जाता है जिसे बल का क्षण कहा जाता है:

O - घूर्णन की धुरी
एल - बल भुजा
α - वेक्टर F और त्रिज्या वेक्टर r के बीच का कोण

क्षण मापांक: M=F r synα=F l (3.6)

r पापα - बल की क्रिया की रेखा और बिंदु O - बल की भुजा के बीच की सबसे छोटी दूरी।

बल का क्षण एक भौतिक मात्रा है जो बल और उसकी भुजा के गुणनफल द्वारा निर्धारित होती है।

स्थानांतरीय गति के अनुरूप, हम घूर्णी गति की गतिशीलता के लिए समीकरण लिख सकते हैं:

घूर्णी गति के दौरान किसी पिंड की गति का एक एनालॉग अक्ष के सापेक्ष कोणीय गति है। वेक्टर क्वांटिटी।

संवेग मॉड्यूल:

एल=आर पी पापα=एम υ आर पापα=पीएल (3.9)
एल जेड =आई ω (3.10)

(3.12)

डीएल जेड /डीटी=एम जेड (3.13)

यह अभिव्यक्ति एक निश्चित अक्ष के सापेक्ष एक कठोर शरीर की घूर्णी गति की गतिशीलता के लिए समीकरण का दूसरा रूप है: अक्ष के सापेक्ष कोणीय गति का व्युत्पन्न उसी अक्ष के सापेक्ष बल के क्षण के बराबर है। यह दिखाया जा सकता है कि एक वेक्टर समानता है:

एक बंद प्रणाली में, बाहरी बलों का क्षण M=0 है; dL/dt=0, जहां से L=const (3.15) कोणीय गति के संरक्षण के नियम का प्रतिनिधित्व करता है: एक बंद-लूप प्रणाली का कोणीय गति संरक्षित है, यानी। समय के साथ नहीं बदलता. संवेग संरक्षण का नियम प्रकृति का मूलभूत नियम है। यह अंतरिक्ष की समरूपता की संपत्ति से जुड़ा हुआ है - इसकी आइसोट्रॉपी, यानी। संदर्भ प्रणाली के समन्वय अक्षों की दिशा की पसंद के संबंध में भौतिक कानूनों की अपरिवर्तनीयता (किसी भी कोण पर अंतरिक्ष में एक बंद प्रणाली के घूर्णन के सापेक्ष)।

रोटरी ऑपरेशन:

dA=M z dφ (3.16)

गतिज ऊर्जा:

टी=आईω 2 /2 (3.17)

अनुवादात्मक रूप से घूमने और घूमने वाली प्रणाली की कुल ऊर्जा बराबर होती है:

ई=+ (3.18)

आप अनुवादात्मक और घूर्णी गति की गतिशीलता के समान एक तालिका बना सकते हैं।

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