वर्ग घुमावदार समलम्बाकारसंख्यात्मक रूप से एक निश्चित अभिन्न के बराबर

किसी भी निश्चित अभिन्न अंग (जो अस्तित्व में है) का एक बहुत अच्छा ज्यामितीय अर्थ होता है। कक्षा में मैंने कहा था कि एक निश्चित समाकलन एक संख्या है। और अब एक और बात बताने का समय आ गया है उपयोगी तथ्य. ज्यामिति की दृष्टि से निश्चित समाकलन क्षेत्रफल है.

वह है, निश्चित अभिन्न (यदि यह मौजूद है) ज्यामितीय रूप से एक निश्चित आकृति के क्षेत्र से मेल खाता है. उदाहरण के लिए, निश्चित अभिन्न पर विचार करें। इंटीग्रैंड विमान पर एक निश्चित वक्र को परिभाषित करता है (यदि वांछित हो तो इसे हमेशा खींचा जा सकता है), और निश्चित इंटीग्रल स्वयं संख्यात्मक रूप से होता है क्षेत्रफल के बराबरसंगत घुमावदार समलम्बाकार।

उदाहरण 1

यह एक विशिष्ट असाइनमेंट स्टेटमेंट है. प्रथम और सबसे महत्वपूर्ण क्षणसमाधान - चित्रकारी. इसके अलावा, ड्राइंग का निर्माण किया जाना चाहिए सही.

चित्र बनाते समय, मैं निम्नलिखित क्रम की अनुशंसा करता हूँ: सर्वप्रथमसभी सीधी रेखाओं (यदि वे मौजूद हैं) का निर्माण करना बेहतर है और केवल तब– परवलय, अतिपरवलय, अन्य फलनों के ग्राफ़। फ़ंक्शंस के ग्राफ़ बनाना अधिक लाभदायक है बिंदु दर बिंदु, बिंदु-दर-बिंदु निर्माण तकनीक पाई जा सकती है संदर्भ सामग्री.

वहां आप हमारे पाठ के लिए बहुत उपयोगी सामग्री भी पा सकते हैं - कैसे जल्दी से एक परवलय का निर्माण करें।

इस समस्या में, समाधान इस तरह दिख सकता है.
आइए चित्र बनाएं (ध्यान दें कि समीकरण अक्ष को परिभाषित करता है):

मैं एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड नहीं बनाऊंगा, यहां यह स्पष्ट है कि क्षेत्र क्या है हम बात कर रहे हैं. समाधान इस प्रकार जारी है:

खंड पर, फ़ंक्शन का ग्राफ़ स्थित है अक्ष के ऊपर, इसीलिए:

उत्तर:

जिन्हें निश्चित समाकलन की गणना करने तथा न्यूटन-लीबनिज सूत्र को लागू करने में कठिनाई होती है , व्याख्यान देखें निश्चित अभिन्न. समाधान के उदाहरण.

कार्य पूरा होने के बाद, ड्राइंग को देखना और यह पता लगाना हमेशा उपयोगी होता है कि उत्तर वास्तविक है या नहीं। इस मामले में, हम चित्र में कोशिकाओं की संख्या "आंख से" गिनते हैं - ठीक है, लगभग 9 होंगे, यह सच प्रतीत होता है। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि यदि हमें, मान लीजिए, उत्तर मिला है: 20 वर्ग इकाइयाँ, तो यह स्पष्ट है कि कहीं न कहीं गलती हुई है - 20 कोशिकाएँ स्पष्ट रूप से प्रश्न में दिए गए आंकड़े में फिट नहीं होती हैं, अधिकतम एक दर्जन। यदि उत्तर नकारात्मक है, तो कार्य भी गलत तरीके से हल किया गया था।

उदाहरण 2

रेखाओं, और अक्ष से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

यदि घुमावदार समलम्बाकार स्थित हो तो क्या करें धुरी के नीचे?

उदाहरण 3

रेखाओं और समन्वय अक्षों से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें।

समाधान: आइए एक चित्र बनाएं:

यदि एक घुमावदार समलम्बाकार पूरी तरह से धुरी के नीचे स्थित है, तो इसका क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:
इस मामले में:

ध्यान! दो प्रकार के कार्यों को भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए:

1) यदि आपसे बिना किसी ज्यामितीय अर्थ के केवल एक निश्चित समाकलन को हल करने के लिए कहा जाए, तो यह नकारात्मक हो सकता है।

2) यदि आपसे एक निश्चित समाकलन का उपयोग करके किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कहा जाए, तो क्षेत्रफल हमेशा सकारात्मक होता है! यही कारण है कि जिस सूत्र पर अभी चर्चा की गई है उसमें माइनस दिखाई देता है।

व्यवहार में, अक्सर यह आंकड़ा ऊपरी और निचले दोनों आधे-तल में स्थित होता है, और इसलिए, सबसे सरल से स्कूल की समस्याएँआइए अधिक सार्थक उदाहरणों की ओर बढ़ते हैं।

उदाहरण 4

रेखाओं से घिरी एक समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान: सबसे पहले आपको एक चित्र बनाना होगा। आम तौर पर, क्षेत्र की समस्याओं में एक चित्र बनाते समय, हम रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं में सबसे अधिक रुचि रखते हैं। आइए परवलय और सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें। इसे दो तरीकों से किया जा सकता है। पहली विधि विश्लेषणात्मक है. हम समीकरण हल करते हैं:

इसका मतलब यह है कि एकीकरण की निचली सीमा है, एकीकरण की ऊपरी सीमा है।
यदि संभव हो तो इस पद्धति का उपयोग न करना ही बेहतर है।

बिंदु दर बिंदु रेखाएँ बनाना कहीं अधिक लाभदायक और तेज़ है, और एकीकरण की सीमाएँ "स्वयं ही" स्पष्ट हो जाती हैं। सहायता में विभिन्न ग्राफ़ के लिए बिंदु-दर-बिंदु निर्माण तकनीक पर विस्तार से चर्चा की गई है प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण. फिर भी, सीमाएं खोजने की विश्लेषणात्मक विधि का उपयोग अभी भी कभी-कभी करना पड़ता है, उदाहरण के लिए, ग्राफ काफी बड़ा है, या विस्तृत निर्माण एकीकरण की सीमाओं को प्रकट नहीं करता है (वे भिन्नात्मक या तर्कहीन हो सकते हैं)। और हम ऐसे एक उदाहरण पर भी विचार करेंगे।

आइए अपने कार्य पर वापस लौटें: पहले एक सीधी रेखा बनाना और उसके बाद ही एक परवलय बनाना अधिक तर्कसंगत है। आइए चित्र बनाएं:

मैं दोहराता हूं कि बिंदुवार निर्माण करते समय, एकीकरण की सीमाएं अक्सर "स्वचालित रूप से" पाई जाती हैं।

और अब कार्य सूत्र:यदि किसी खंड पर कोई निरंतर कार्य है से अधिक या उसके बराबरकुछ सतत फलन, तो संबंधित आकृति का क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

यहां अब आपको यह सोचने की ज़रूरत नहीं है कि आकृति कहाँ स्थित है - अक्ष के ऊपर या अक्ष के नीचे, और, मोटे तौर पर कहें तो, यह मायने रखता है कि कौन सा ग्राफ़ अधिक है(दूसरे ग्राफ़ के सापेक्ष), और नीचे कौन सा है.

विचाराधीन उदाहरण में, यह स्पष्ट है कि खंड पर परवलय सीधी रेखा के ऊपर स्थित है, और इसलिए इसे घटाना आवश्यक है

पूरा समाधान इस तरह दिख सकता है:

वांछित आकृति ऊपर एक परवलय और नीचे एक सीधी रेखा द्वारा सीमित है।
खंड पर, संबंधित सूत्र के अनुसार:

उत्तर:

वास्तव में, निचले आधे तल में एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र के लिए स्कूल सूत्र (सरल उदाहरण संख्या 3 देखें) है विशेष मामलासूत्रों . चूँकि अक्ष समीकरण द्वारा निर्दिष्ट है और फ़ंक्शन का ग्राफ़ अक्ष के नीचे स्थित है

और अब आपके अपने समाधान के लिए कुछ उदाहरण

उदाहरण 5

उदाहरण 6

रेखाओं से घिरी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

एक निश्चित समाकलन का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना करने से जुड़ी समस्याओं को हल करते समय, कभी-कभी एक अजीब घटना घटती है। ड्राइंग तो सही बनी थी, हिसाब भी सही था, लेकिन लापरवाही के कारण... ग़लत आकृति का क्षेत्रफल पाया गया, ठीक इसी तरह से आपके विनम्र सेवक ने कई बार गड़बड़ की है। यहाँ असली मामलाजीवन से:

उदाहरण 7

रेखाओं , , , से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें।

सबसे पहले आइए एक चित्र बनाएं:

वह आकृति जिसका क्षेत्रफल हमें ज्ञात करना है वह नीले रंग से छायांकित है(स्थिति को ध्यान से देखें - यह आंकड़ा कितना सीमित है!)। लेकिन व्यवहार में, असावधानी के कारण, यह अक्सर उत्पन्न होता है कि आपको छायांकित आकृति का क्षेत्र खोजने की आवश्यकता होती है हरा!

यह उदाहरण इस दृष्टि से भी उपयोगी है कि यह दो निश्चित समाकलनों का उपयोग करके किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करता है। वास्तव में:

1) अक्ष के ऊपर के खंड पर एक सीधी रेखा का ग्राफ होता है;

2) अक्ष के ऊपर वाले खंड पर एक अतिपरवलय का ग्राफ है।

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि क्षेत्रों को जोड़ा जा सकता है (और जोड़ा जाना चाहिए), इसलिए:

उत्तर:

उदाहरण 8

रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें,
आइए समीकरणों को "स्कूल" रूप में प्रस्तुत करें और एक बिंदु-दर-बिंदु रेखाचित्र बनाएं:

चित्र से यह स्पष्ट है कि हमारी ऊपरी सीमा "अच्छी" है:।
लेकिन निचली सीमा क्या है?! यह स्पष्ट है कि यह पूर्णांक नहीं है, लेकिन यह क्या है? शायद ? लेकिन इस बात की क्या गारंटी है कि चित्र पूर्ण सटीकता के साथ बनाया गया है, यह अच्छी तरह से पता चल सकता है कि... या जड़. यदि हमने ग्राफ़ गलत तरीके से बनाया तो क्या होगा?

ऐसे मामलों में, आपको अतिरिक्त समय बिताना होगा और विश्लेषणात्मक रूप से एकीकरण की सीमाओं को स्पष्ट करना होगा।

आइए एक सीधी रेखा और एक परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें।
ऐसा करने के लिए, हम समीकरण हल करते हैं:

इस तरह, ।

आगे का समाधान तुच्छ है, मुख्य बात यह है कि प्रतिस्थापन और संकेतों में भ्रमित न हों, यहां गणना सबसे सरल नहीं है;

खंड पर , संबंधित सूत्र के अनुसार:

उत्तर:

खैर, पाठ को समाप्त करने के लिए, आइए दो और कठिन कार्यों पर नजर डालें।

उदाहरण 9

रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें,

समाधान: आइए इस आकृति को चित्र में चित्रित करें।

बिंदु-दर-बिंदु रेखाचित्र बनाने के लिए आपको जानना आवश्यक है उपस्थितिसाइनसोइड्स (और आम तौर पर जानना उपयोगी है सभी प्राथमिक कार्यों के ग्राफ़), साथ ही कुछ साइन मान, उन्हें इसमें पाया जा सकता है त्रिकोणमितीय तालिका. कुछ मामलों में (जैसा कि इस मामले में), एक योजनाबद्ध चित्र बनाना संभव है, जिस पर एकीकरण के ग्राफ़ और सीमाएं मौलिक रूप से सही ढंग से प्रदर्शित की जानी चाहिए।

यहां एकीकरण की सीमाओं के साथ कोई समस्या नहीं है; वे सीधे इस शर्त का पालन करते हैं: "x" शून्य से "pi" में बदल जाता है। आइए आगे का निर्णय लें:

खंड पर, फ़ंक्शन का ग्राफ़ अक्ष के ऊपर स्थित है, इसलिए:

(1) साइन और कोसाइन को विषम घातों में कैसे एकीकृत किया जाता है, यह पाठ में देखा जा सकता है से इंटीग्रल त्रिकोणमितीय कार्य . यह एक विशिष्ट तकनीक है, हम एक साइनस को बंद कर देते हैं।

(2) हम फॉर्म में मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करते हैं

(3) आइए वेरिएबल बदलें, फिर:

एकीकरण के नए क्षेत्र:

जो कोई भी वास्तव में प्रतिस्थापन के मामले में बुरा है, कृपया सबक लें। में प्रतिस्थापन विधि अनिश्चितकालीन अभिन्न . उन लोगों के लिए जो एक निश्चित अभिन्न अंग में प्रतिस्थापन एल्गोरिथ्म को ठीक से नहीं समझते हैं, पृष्ठ पर जाएँ निश्चित अभिन्न. समाधान के उदाहरण.

सीधी रेखाओं से घिरे घुमावदार समलंब के क्षेत्रफल की गणना करना आवश्यक है,
,
और वक्र
.

आइए खंड को विभाजित करें
dotmina प्राथमिक खंड, लंबाई
वां खंड
. आइए खंड के विभाजन बिंदुओं से वक्र के साथ प्रतिच्छेदन तक लंबों को पुनर्स्थापित करें
, होने देना
. परिणाम हमें मिलता है प्राथमिक समलम्ब चतुर्भुज, उनके क्षेत्रफलों का योग स्पष्ट रूप से दिए गए वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज के योग के बराबर होता है।

आइए हम पहले अंतराल पर प्रत्येक प्रारंभिक अंतराल पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान निर्धारित करें;
, दूसरे पर
और इसी तरह। आइए राशियों की गणना करें

पहला योग वर्णित सभी के क्षेत्रफल का प्रतिनिधित्व करता है, दूसरा एक घुमावदार समलम्ब चतुर्भुज में अंकित सभी आयतों के क्षेत्रफल का प्रतिनिधित्व करता है।

यह स्पष्ट है कि पहला योग "अतिरिक्त के साथ" ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र का अनुमानित मूल्य देता है, दूसरा - "कमी के साथ"। पहले योग को ऊपरी डार्बौक्स योग कहा जाता है, दूसरे को - तदनुसार, निचला डार्बौक्स योग कहा जाता है। इस प्रकार, एक घुमावदार समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल है असमानता को संतुष्ट करता है
. आइए जानें कि खंड के विभाजन के बिंदुओं की संख्या बढ़ने पर डार्बौक्स योग कैसे व्यवहार करते हैं
. विभाजन बिंदुओं की संख्या एक से बढ़ने दें, और इसे अंतराल के मध्य में रहने दें
.

अब संख्या इस प्रकार है
उत्कीर्ण और परिचालित आयतों में एक की वृद्धि हुई। आइए विचार करें कि निचली डारबौक्स राशि कैसे बदल गई। एक वर्ग के बजाय
वें अंकित आयत, के बराबर
हमें दो आयतों के क्षेत्रफलों का योग प्राप्त होता है
, लंबाई के बाद से
कम नहीं हो सकता
फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान
. दूसरी ओर,
इससे अधिक कुछ नहीं हो सकता
अंतराल पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान
. इसलिए, एक खंड को विभाजित करने के लिए नए बिंदु जोड़ने से निचले डार्बौक्स योग का मूल्य बढ़ जाता है और ऊपरी डार्बौक्स योग घट जाता है। इस मामले में, निचला डार्बौक्स योग, विभाजन बिंदुओं की संख्या में किसी भी वृद्धि के साथ, किसी भी ऊपरी योग के मूल्य से अधिक नहीं हो सकता है, क्योंकि वर्णित आयतों के क्षेत्रों का योग हमेशा होता है राशि से अधिकएक घुमावदार समलम्ब चतुर्भुज में अंकित आयतों के क्षेत्र।

इस प्रकार, निचले डार्बौक्स योगों का क्रम खंड के विभाजन के बिंदुओं की संख्या के साथ बढ़ता है और प्रसिद्ध प्रमेय के अनुसार ऊपर से घिरा होता है, इसकी एक सीमा होती है; यह सीमा किसी दिए गए घुमावदार समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल है।

इसी प्रकार, ऊपरी डार्बौक्स योगों का क्रम अंतराल के विभाजन के बिंदुओं की बढ़ती संख्या के साथ घटता जाता है और नीचे से किसी भी निचले डार्बौक्स योग तक सीमित होता है, जिसका अर्थ है कि इसकी भी एक सीमा है, और यह भी क्षेत्र के बराबर है वक्ररेखीय समलम्बाकार.

इसलिए, एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना करने के लिए, यह पर्याप्त है अंतराल के विभाजन, या तो निचले या ऊपरी डार्बौक्स योग का निर्धारण करें, और फिर गणना करें
, या
.

हालाँकि, समस्या का ऐसा समाधान मनमाने ढंग से किसी के लिए भी आवश्यक है बड़ी संख्याविभाजन
, प्रत्येक प्रारंभिक अंतराल पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान ढूंढना, जो एक बहुत ही श्रम-गहन कार्य है।

रीमैन अभिन्न योग का उपयोग करके एक सरल समाधान प्राप्त किया जाता है, जो है

कहाँ
प्रत्येक प्रारंभिक अंतराल का कुछ बिंदु, अर्थात्
. नतीजतन, रीमैन अभिन्न योग सभी संभावित आयतों के क्षेत्रों का योग है, और
. जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, ऊपरी और निचले डारबौक्स योग की सीमाएं समान हैं और घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र के बराबर हैं। किसी फ़ंक्शन की सीमा (दो-पुलिस नियम) के गुणों में से एक का उपयोग करके, हम खंड के किसी भी विभाजन के लिए इसे प्राप्त करते हैं
और बिंदुओं का चयन करना एक घुमावदार समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है
.

उदाहरण 1 . रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3, और x = 2

आइए एक आकृति बनाएं (चित्र देखें) हम दो बिंदुओं A(4;0) और B(0;2) का उपयोग करके एक सीधी रेखा x + 2y – 4 = 0 बनाते हैं। y को x के माध्यम से व्यक्त करने पर, हमें y = -0.5x + 2 मिलता है। सूत्र (1) का उपयोग करते हुए, जहां f(x) = -0.5x + 2, a = -3, b = 2, हम पाते हैं

एस = = [-0.25=11.25 वर्ग। इकाइयां

उदाहरण 2. रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 और y = 0.

समाधान। आइए आकृति का निर्माण करें।

आइए एक सीधी रेखा x – 2y + 4 = 0 बनाएं: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); एक्स = 0, वाई = 2, बी(0; 2)।

आइए एक सीधी रेखा x + y - 5 = 0 बनाएं: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5)।

आइए समीकरणों की प्रणाली को हल करके रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:

एक्स = 2, वाई = 3; एम(2; 3).

आवश्यक क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम त्रिभुज AMC को दो त्रिभुजों AMN और NMC में विभाजित करते हैं, क्योंकि जब x A से N में बदलता है, तो क्षेत्रफल एक सीधी रेखा द्वारा सीमित होता है, और जब x N से C में बदलता है - एक सीधी रेखा द्वारा।

त्रिभुज AMN के लिए हमारे पास है: ; y = 0.5x + 2, यानी f(x) = 0.5x + 2, a = - 4, b = 2.

त्रिभुज NMC के लिए हमारे पास है: y = - x + 5, यानी f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5।

प्रत्येक त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करके और परिणाम जोड़कर, हम पाते हैं:

वर्ग. इकाइयां

वर्ग. इकाइयां

9 + 4, 5 = 13.5 वर्ग। इकाइयां जांचें: = 0.5एसी = 0.5 वर्ग। इकाइयां

उदाहरण 3. रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

इस मामले में, आपको परवलय y = x से घिरे घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता है 2 , सीधी रेखाएं x = 2 और x = 3 और ऑक्स अक्ष (चित्र देखें) सूत्र (1) का उपयोग करके हम वक्ररेखीय समलंब का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं

= = 6 वर्ग. इकाइयां

उदाहरण 4. रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें: y = - x 2 + 4 और y = 0

आइए आकृति का निर्माण करें। आवश्यक क्षेत्रफल परवलय y = - x के बीच घिरा हुआ है 2 + 4 और ऑक्स अक्ष।

आइए ऑक्स अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें। y = 0 मानते हुए, हम x = पाते हैं क्योंकि यह आंकड़ा ओए अक्ष के बारे में सममित है, हम ओए अक्ष के दाईं ओर स्थित आंकड़े के क्षेत्र की गणना करते हैं, और प्राप्त परिणाम को दोगुना करते हैं: = +4x]वर्ग। इकाइयां 2 = 2 वर्ग. इकाइयां

उदाहरण 5. रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें: y 2 = एक्स, वाईएक्स = 1, एक्स = 4

यहां आपको परवलय की ऊपरी शाखा से घिरे एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता है 2 = x, अक्ष बैल और सीधी रेखाएँ x = 1 и x = 4 (चित्र देखें)

सूत्र (1) के अनुसार, जहां f(x) = a = 1 और b = 4, हमारे पास = (= वर्ग इकाई) है।

उदाहरण 6 . रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें: y = synx, y = 0, x = 0, x= .

आवश्यक क्षेत्र साइनसॉइड और ऑक्स अक्ष की अर्ध-तरंग द्वारा सीमित है (आंकड़ा देखें)।

हमारे पास - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 वर्ग है। इकाइयां

उदाहरण 7. रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें: y = - 6x, y = 0 और x = 4.

यह आकृति ऑक्स अक्ष के नीचे स्थित है (चित्र देखें)।

इसलिए, हम सूत्र (3) का उपयोग करके इसका क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं

= =

उदाहरण 8. रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें: y = और x = 2. बिंदुओं से y = वक्र का निर्माण करें (चित्र देखें)। इस प्रकार, हम सूत्र (4) का उपयोग करके आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं

उदाहरण 9 .

एक्स 2 + वाई 2 = आर 2 .

यहां आपको वृत्त x से घिरे क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता है 2 + वाई 2 = आर 2 , अर्थात मूल बिंदु पर केंद्र के साथ त्रिज्या r के एक वृत्त का क्षेत्रफल। आइए 0 से एकीकरण की सीमा लेकर इस क्षेत्र का चौथा भाग ज्ञात करें

पहले; हमारे पास है: 1 = = [

इस तरह, 1 =

उदाहरण 10. रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें: y= x 2 और y = 2x

यह आंकड़ापरवलय y=x द्वारा सीमित 2 और सीधी रेखा y = 2x (चित्र देखें) दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए, हम समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं: x 2 – 2x = 0 x = 0 और x = 2

क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र (5) का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है

= }