डमी के लिए इंटीग्रल्स: कैसे हल करें, गणना नियम, स्पष्टीकरण। अनिश्चितकालीन अभिन्नों की गणना के लिए तरीके
क्या विभेदक चिन्ह के अंतर्गत एक अरेखीय फलन को सम्मिलित करना संभव है? हां, यदि इंटीग्रैंड दो कारकों का उत्पाद है: एक कारक कुछ गैर-रेखीय फ़ंक्शन का एक जटिल कार्य है, और दूसरा कारक इस गैर-रेखीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है। आइए उदाहरणों के साथ देखें कि क्या कहा गया है।
नहीं मिल सका निश्चित अभिन्न.
उदाहरण 1. ∫(2x + 1)(x 2 + x + 2) 5 dx = ∫(x 2 + x + 2) 5 d (x 2 + x + 2) =(x²+x+2) 6 : 6 + सी.
यह इंटीग्रैंड क्या दर्शाता है? काम शक्ति समारोह(x 2 + x + 2) और गुणनखंड (2x + 1) से, जो घात के आधार के व्युत्पन्न के बराबर है: (x 2 + x + 2)" = 2x + 1.
इससे हमें अंतर चिह्न के नीचे (2x + 1) लगाने की अनुमति मिली:
∫यू 5 डु=यू 6 : 6+ सी. (फॉर्मूला 1). )
परीक्षा. (F (x)+ C)" =((x²+x+2) 6 : 6 + C)'=1/6 6 (x 2 + x + 2) 5 (x 2 + x + 2)" =
=(x 2 + x + 2) 5 · (2x + 1) = (2x + 1)(x 2 + x + 2) 5 = f (x).
उदाहरण 2.∫(3x 2 – 2x + 3)(x 3 - x 2 + 3x + 1) 5 dx = ∫(x 3 – x 2 + 3x + 1) 5 d (x 3 – x 2 + 3x + 1) =
=(x³- x²+3x+1) 6 : 6+सी
और यह उदाहरण उदाहरण 1 से किस प्रकार भिन्न है? कुछ नहीं! आधार (x 3 – x 2 + 3x + 1) के साथ वही पाँचवीं घात त्रिपद (3x 2 – 2x + 3) से गुणा की जाती है, जो घात के आधार का व्युत्पन्न है: (x 3 – x 2 + 3x + 1)" = 3x 2 – 2x + 3. हमने डिग्री के इस आधार को अंतर चिह्न के अंतर्गत लाया, जिससे समाकलन का मान नहीं बदला, और फिर उसी सूत्र 1 () को लागू किया। अभिन्न)
उदाहरण 3.
यहां (2x 3 – 3x) का अवकलज (6x 2 – 3) देगा, और हमारे साथ
वहाँ (12x 2 – 6) है, अर्थात् अभिव्यक्ति 2 गुना अधिक, जिसका अर्थ है कि हम अंतर चिह्न के नीचे (2x 3 - 3x) रखते हैं, और अभिन्न के सामने एक कारक डालते हैं 2 . आइए सूत्र लागू करें 2) (चादर ).
यहाँ क्या होता है:
आइए इसे ध्यान में रखते हुए जाँच करें:
उदाहरण. अनिश्चित समाकलन ज्ञात कीजिए।
1. ∫(6x+5) 3 dx. हम कैसे निर्णय लेंगे? चादर को देखते हुए और हम कुछ इस तरह तर्क करते हैं: इंटीग्रैंड एक डिग्री का प्रतिनिधित्व करता है, और हमारे पास डिग्री के इंटीग्रल के लिए एक सूत्र है (सूत्र 1) ), लेकिन इसमें डिग्री का आधार है यूऔर एकीकरण चर भी यू
और हमारे पास एक एकीकरण चर है एक्स, और डिग्री का आधार (6x+5). आइए एकीकरण चर में बदलाव करें: dx के बजाय हम d (6x+5) लिखते हैं। क्या बदल गया है? चूँकि विभेदक चिह्न d के बाद जो आता है, वह डिफ़ॉल्ट रूप से विभेदित होता है,
फिर d (6x+5)=6dx, यानी वेरिएबल x को वेरिएबल (6x+5) से बदलने पर इंटीग्रैंड फ़ंक्शन 6 गुना बढ़ जाता है, इसलिए हम इंटीग्रल चिह्न के सामने कारक 1/6 डालते हैं। ये तर्क इस प्रकार लिखे जा सकते हैं:
इसलिए, हमने एक नया वेरिएबल पेश करके इस उदाहरण को हल किया (वेरिएबल x को वेरिएबल 6x+5 से बदल दिया गया था)। आपने नया वेरिएबल (6x+5) कहां लिखा? विभेदक चिह्न के अंतर्गत. इसलिए, एक नए वेरिएबल को पेश करने की इस विधि को अक्सर कहा जाता है तरीका (या रास्ता ) उपसंहार(नया चर ) विभेदक चिह्न के अंतर्गत.
दूसरे उदाहरण में, हमने पहले एक नकारात्मक घातांक के साथ एक डिग्री प्राप्त की, और फिर इसे अंतर चिह्न (7x-2) के तहत शामिल किया और डिग्री के अभिन्न अंग के लिए सूत्र का उपयोग किया। 1) (अभिन्न ).
आइए उदाहरण समाधान देखें 3.
इंटीग्रल के पहले 1/5 का गुणांक होता है। क्यों? चूँकि d (5x-2) = 5dx, तो, फ़ंक्शन u = 5x-2 को अंतर चिह्न के तहत प्रतिस्थापित करके, हमने इंटीग्रैंड को 5 गुना बढ़ा दिया, इसलिए, इस अभिव्यक्ति के मूल्य में परिवर्तन न हो, इसके लिए यह था 5 से विभाजित करना आवश्यक है, अर्थात। 1/5 से गुणा करें. इसके बाद सूत्र का प्रयोग किया गया 2) (इंटीग्रल) .
सभी सरलतम अभिन्न सूत्र इस प्रकार दिखेंगे:
∫f (x) dx=F (x)+C, और समानता संतुष्ट होनी चाहिए:
(एफ (एक्स)+सी)"=एफ (एक्स).
एकीकरण सूत्र संगत विभेदन सूत्रों को उल्टा करके प्राप्त किया जा सकता है।
वास्तव में,
प्रतिपादक एनआंशिक हो सकता है. अक्सर आपको फ़ंक्शन y=√x का अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग ढूंढना पड़ता है। आइए सूत्र का उपयोग करके फ़ंक्शन f (x)=√x के अभिन्न अंग की गणना करें 1) .
आइए इस उदाहरण को एक सूत्र के रूप में लिखें 2) .
चूँकि (x+C)"=1, तो ∫dx=x+C.
3) ∫dx=x+C.
1/x² को x -2 से प्रतिस्थापित करके, हम 1/x² के समाकलन की गणना करते हैं।
और सुप्रसिद्ध विभेदन सूत्र को उल्टा करके यह उत्तर प्राप्त करना संभव था:
आइए हम अपने तर्क को एक सूत्र के रूप में लिखें 4).
परिणामी समानता के दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर, हमें सूत्र प्राप्त होता है 5).
आइए मुख्य के अभिन्न अंग खोजें त्रिकोणमितीय कार्य, उनके व्युत्पन्न को जानना: (sinx)"=cosx; (cosx)"=-sinx; (tgx)"=1/cos²x; (ctgx)"=-1/sin²x. हम एकीकरण सूत्र प्राप्त करते हैं 6) — 9).
6) ∫cosxdx=sinx+C;
7) ∫sinxdx=-cosx+C;
घातांकीय और लघुगणकीय फलनों का अध्ययन करने के बाद, आइए कुछ और सूत्र जोड़ें।
अनिश्चितकालीन अभिन्न के मूल गुण।
मैं।अनिश्चितकालीन समाकलन का व्युत्पन्न समाकलन के बराबर होता है .
(∫f (x) dx)"=f (x).
द्वितीय.अनिश्चितकालीन अभिन्न का अंतर समाकलन के बराबर होता है।
d∫f (x) dx=f (x) dx.
तृतीय.किसी फ़ंक्शन के अंतर (व्युत्पन्न) का अनिश्चित अभिन्न अंग योग के बराबरयह फ़ंक्शन और एक मनमाना स्थिरांक C.
∫dF (x)=F (x)+Cया ∫F"(x) dx=F (x)+C.
कृपया ध्यान दें: गुणों I, II और III में, अंतर और अभिन्न (अभिन्न और अंतर) के संकेत एक दूसरे को "खाते हैं"!
चतुर्थ.इंटीग्रैंड के स्थिर कारक को इंटीग्रल चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है।
∫kf (x) dx=k ∫f (x) dx,कहाँ के- एक स्थिर मान जो शून्य के बराबर नहीं है।
वीफलनों के बीजगणितीय योग का समाकलन बराबर होता है बीजगणितीय योगइन कार्यों का अभिन्न अंग.
∫(f (x)±g (x)) dx=∫f (x) dx±∫g (x) dx.
VI.यदि F (x) f (x) का प्रतिअवकलन है, और केऔर बीस्थिर मान हैं, और के≠0, तो (1/k)·F (kx+b) f (kx+b) के लिए एक प्रतिअवकलन है। दरअसल, एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना के नियम के अनुसार, हमारे पास है:
आप लिख सकते हो:
प्रत्येक गणितीय क्रिया के लिए एक व्युत्क्रम क्रिया होती है। विभेदन की क्रिया (कार्यों के व्युत्पन्न ढूँढना) के लिए एक व्युत्क्रम क्रिया भी है - एकीकरण। एकीकरण के माध्यम से, एक फ़ंक्शन को उसके दिए गए व्युत्पन्न या अंतर से पाया (पुनर्निर्मित) किया जाता है। पाया गया फ़ंक्शन कहा जाता है antiderivative.
परिभाषा।विभेदक कार्य एफ(एक्स)फ़ंक्शन का प्रतिअवकलन कहा जाता है एफ(एक्स)एक निश्चित अंतराल पर, यदि सभी के लिए एक्सइस अंतराल से निम्नलिखित समानता कायम है: F′(x)=f (x).
उदाहरण. फ़ंक्शंस के लिए प्रतिअवकलज खोजें: 1) f (x)=2x; 2) f (x)=3cos3x.
1) चूँकि (x²)′=2x, तो, परिभाषा के अनुसार, फलन F (x)=x² फलन f (x)=2x का प्रतिअवकलज होगा।
2) (sin3x)′=3cos3x. यदि हम f (x)=3cos3x और F (x)=sin3x को दर्शाते हैं, तो, एक प्रतिअवकलन की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है: F'(x)=f (x), और, इसलिए, F (x)=sin3x है f ( x)=3cos3x के लिए एक प्रतिअवकलन।
ध्यान दें कि (sin3x +5 )′= 3cos3x, और (sin3x -8,2 )′= 3cos3x, ... वी सामान्य रूप से देखेंलिखा जा सकता है: (sin3x +सी)′= 3cos3x, कहाँ साथ- कुछ स्थिर मान. ये उदाहरण विभेदन की क्रिया के विपरीत, एकीकरण की क्रिया की अस्पष्टता को दर्शाते हैं, जब किसी भिन्न फ़ंक्शन का एक ही व्युत्पन्न होता है।
परिभाषा।यदि फ़ंक्शन एफ(एक्स)फ़ंक्शन का एक प्रतिव्युत्पन्न है एफ(एक्स)एक निश्चित अंतराल पर, तो इस फ़ंक्शन के सभी एंटीडेरिवेटिव्स के सेट का रूप होता है:
एफ(एक्स)+सी, जहां C कोई वास्तविक संख्या है।
विचाराधीन अंतराल पर फलन f (x) के सभी प्रतिअवकलन F (x) + C के समुच्चय को अनिश्चितकालीन समाकलन कहा जाता है और इसे प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है ∫ (अभिन्न चिह्न). लिखो: ∫f (x) dx=F (x)+C.
अभिव्यक्ति ∫f(x)dxपढ़ें: "x से de x तक अभिन्न ef।"
एफ(एक्स)डीएक्स- एकीकृत अभिव्यक्ति,
एफ(एक्स)- इंटीग्रैंड फ़ंक्शन,
एक्सएकीकरण चर है.
एफ(एक्स)- किसी फ़ंक्शन का प्रतिव्युत्पन्न एफ(एक्स),
साथ- कुछ स्थिर मूल्य.
अब सुविचारित उदाहरण इस प्रकार लिखे जा सकते हैं:
1) ∫ 2xdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.
साइन डी का क्या मतलब है?
डी-विभेदक चिन्ह - इसका दोहरा उद्देश्य है: सबसे पहले, यह चिन्ह एकीकरण चर से इंटीग्रैंड को अलग करता है; दूसरे, इस चिन्ह के बाद जो कुछ भी आता है वह डिफ़ॉल्ट रूप से विभेदित होता है और इंटीग्रैंड द्वारा गुणा किया जाता है।
उदाहरण. अभिन्न खोजें: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.
3) विभेदक चिह्न के बाद डीलागत एक्सएक्स, ए आर
∫ 2хрdx=рх²+С. उदाहरण सहित तुलना करें 1).
चलो एक जाँच करते हैं. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).
4) विभेदक चिह्न के बाद डीलागत आर. इसका मतलब है कि एकीकरण चर आर, और गुणक एक्सकुछ स्थिर मान माना जाना चाहिए।
∫ 2хрдр=р²х+С. उदाहरणों से तुलना करें 1) और 3).
चलो एक जाँच करते हैं. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).
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इंटीग्रल्स को हल करना एक आसान काम है, लेकिन केवल कुछ चुनिंदा लोगों के लिए। यह लेख उन लोगों के लिए है जो अभिन्नों को समझना सीखना चाहते हैं, लेकिन उनके बारे में कुछ भी नहीं या लगभग कुछ भी नहीं जानते हैं। अभिन्न... इसकी आवश्यकता क्यों है? इसकी गणना कैसे करें? निश्चित और अनिश्चित अभिन्न अंग क्या हैं? यदि इंटीग्रल के लिए आप जो एकमात्र उपयोग जानते हैं, वह दुर्गम स्थानों से कुछ उपयोगी प्राप्त करने के लिए इंटीग्रल आइकन के आकार के क्रोकेट हुक का उपयोग करना है, तो स्वागत है! जानें कि इंटीग्रल को कैसे हल करें और आप इसके बिना क्यों नहीं कर सकते।
हम "अभिन्न" की अवधारणा का अध्ययन करते हैं
एकीकरण को वापस जाना जाता था प्राचीन मिस्र. बिल्कुल नहीं आधुनिक रूप, लेकिन अभी भी। तब से, गणितज्ञों ने इस विषय पर कई किताबें लिखी हैं। उन्होंने स्वयं को विशेष रूप से प्रतिष्ठित किया न्यूटन और लाइबनिट्स , लेकिन चीजों का सार नहीं बदला है। शुरू से इंटीग्रल को कैसे समझें? बिलकुल नहीं! इस विषय को समझने के लिए आपको अभी भी आवश्यकता होगी बुनियादी ज्ञानमूल बातें गणितीय विश्लेषण. यह मूलभूत जानकारी है जो आपको हमारे ब्लॉग पर मिलेगी।
अनिश्चितकालीन अभिन्न
आइये कुछ कार्य करें एफ(एक्स) .
अनिश्चितकालीन अभिन्न कार्य एफ(एक्स) इस फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है एफ(एक्स) , जिसका व्युत्पन्न फ़ंक्शन के बराबर है एफ(एक्स) .
दूसरे शब्दों में, अभिन्न एक विपरीत व्युत्पन्न या एक प्रतिअवकलन है। वैसे, हमारे लेख में कैसे पढ़ें।
सभी सतत कार्यों के लिए एक प्रतिअवकलन मौजूद है। इसके अलावा, एक स्थिर चिन्ह को अक्सर प्रतिअवकलन में जोड़ा जाता है, क्योंकि कार्यों के व्युत्पन्न जो एक स्थिरांक से भिन्न होते हैं, मेल खाते हैं। अभिन्न को खोजने की प्रक्रिया को एकीकरण कहा जाता है।
सरल उदाहरण:
प्राथमिक कार्यों के प्रतिअवकलन की लगातार गणना न करने के लिए, उन्हें एक तालिका में रखना और तैयार मूल्यों का उपयोग करना सुविधाजनक है:
निश्चित अभिन्न
अभिन्न की अवधारणा से निपटते समय, हम अनंत मात्राओं से निपट रहे हैं। अभिन्न अंग आकृति के क्षेत्र, अमानवीय शरीर के द्रव्यमान, तय की गई दूरी की गणना करने में मदद करेगा असमान गतिपथ और भी बहुत कुछ। यह याद रखना चाहिए कि अभिन्न एक अनंत योग है बड़ी मात्राअतिसूक्ष्म शब्द.
उदाहरण के तौर पर, किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की कल्पना करें। किसी आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें, शेड्यूल द्वारा सीमितकार्य?
एक अभिन्न का उपयोग करना! आइए हम निर्देशांक अक्षों और फ़ंक्शन के ग्राफ़ द्वारा सीमित घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड को अनंत छोटे खंडों में विभाजित करें। इस प्रकार आकृति पतले-पतले स्तम्भों में विभाजित हो जायेगी। स्तंभों के क्षेत्रफलों का योग समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल होगा। लेकिन याद रखें कि ऐसी गणना अनुमानित परिणाम देगी। हालाँकि, खंड जितने छोटे और संकीर्ण होंगे, गणना उतनी ही सटीक होगी। यदि हम उन्हें इस हद तक कम कर दें कि लंबाई शून्य हो जाए, तो खंडों के क्षेत्रफलों का योग आकृति के क्षेत्रफल के बराबर हो जाएगा। यह एक निश्चित समाकलन है, जिसे इस प्रकार लिखा जाता है:
बिंदु a और b को एकीकरण की सीमाएँ कहा जाता है।
बारी अलीबासोव और समूह "इंटीग्रल"
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डमी के लिए इंटीग्रल की गणना के नियम
अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण
अनिश्चितकालीन समाकलन को कैसे हल करें? यहां हम अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुणों को देखेंगे, जो उदाहरणों को हल करते समय उपयोगी होंगे।
- इंटीग्रल का व्युत्पन्न इंटीग्रैंड के बराबर है:
- स्थिरांक को अभिन्न चिह्न के अंतर्गत से निकाला जा सकता है:
- योग का समाकलन समाकलन के योग के बराबर होता है। यह अंतर के लिए भी सत्य है:
एक निश्चित अभिन्न के गुण
- रैखिकता:
- यदि एकीकरण की सीमाओं की अदला-बदली की जाती है तो अभिन्न का चिह्न बदल जाता है:
- पर कोईअंक ए, बीऔर साथ:
हम पहले ही पता लगा चुके हैं कि एक निश्चित अभिन्न एक योग की सीमा है। लेकिन किसी उदाहरण को हल करते समय विशिष्ट मान कैसे प्राप्त करें? इसके लिए न्यूटन-लीबनिज सूत्र है:
अभिन्नों को हल करने के उदाहरण
नीचे हम अनिश्चित समाकलन खोजने के कई उदाहरणों पर विचार करेंगे। हम आपको समाधान की पेचीदगियों को स्वयं समझने के लिए आमंत्रित करते हैं, और यदि कुछ अस्पष्ट है, तो टिप्पणियों में प्रश्न पूछें।
सामग्री को सुदृढ़ करने के लिए, अभ्यास में इंटीग्रल को कैसे हल किया जाता है, इसके बारे में एक वीडियो देखें। यदि अभिन्न तुरंत नहीं दिया जाता है तो निराश न हों। पूछें और वे आपको अभिन्नों की गणना के बारे में वह सब कुछ बताएंगे जो वे जानते हैं। हमारी मदद से, किसी बंद सतह पर कोई भी त्रिगुणात्मक या वक्ररेखीय समाकलन आपकी शक्ति में होगा।
पहले हम दिया गया कार्य, विभिन्न सूत्रों और नियमों द्वारा निर्देशित, इसका व्युत्पन्न पाया गया। व्युत्पन्न के कई उपयोग हैं: यह गति की गति है (या, अधिक सामान्यतः, किसी भी प्रक्रिया की गति); ढलानकिसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा; व्युत्पन्न का उपयोग करके, आप एकरसता और एक्स्ट्रेमा के लिए एक फ़ंक्शन की जांच कर सकते हैं; यह अनुकूलन समस्याओं को हल करने में मदद करता है।
लेकिन गति के ज्ञात नियम के अनुसार गति ज्ञात करने की समस्या के साथ-साथ एक विपरीत समस्या भी है - ज्ञात गति के अनुसार गति के नियम को बहाल करने की समस्या। आइए इनमें से एक समस्या पर विचार करें।
उदाहरण 1.एक भौतिक बिंदु एक सीधी रेखा में चलता है, समय t पर इसकी गति की गति सूत्र v=gt द्वारा दी जाती है। गति का नियम खोजें.
समाधान। मान लीजिए s = s(t) गति का वांछित नियम है। यह ज्ञात है कि s"(t) = v(t)। इसका मतलब है कि समस्या को हल करने के लिए आपको एक फ़ंक्शन s = s(t) का चयन करना होगा, जिसका व्युत्पन्न gt के बराबर है। इसका अनुमान लगाना मुश्किल नहीं है वह \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
उत्तर: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
आइए तुरंत ध्यान दें कि उदाहरण सही ढंग से हल किया गया है, लेकिन अधूरा। हमें \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \) मिला। वास्तव में, समस्या के असीमित रूप से कई समाधान हैं: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\) के रूप का कोई भी फ़ंक्शन, जहां C एक मनमाना स्थिरांक है, एक नियम के रूप में कार्य कर सकता है गति, चूँकि \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)
समस्या को और अधिक विशिष्ट बनाने के लिए, हमें प्रारंभिक स्थिति को ठीक करने की आवश्यकता है: किसी समय बिंदु पर एक गतिशील बिंदु के निर्देशांक को इंगित करें, उदाहरण के लिए t = 0 पर। यदि, कहें, s(0) = s 0, तो से समानता s(t) = (gt 2)/2 + C हमें मिलता है: s(0) = 0 + C, अर्थात C = s 0। अब गति का नियम विशिष्ट रूप से परिभाषित है: s(t) = (gt 2)/2 + s 0।
गणित में, पारस्परिक संक्रियाएँ निर्दिष्ट की जाती हैं अलग-अलग नाम, विशेष संकेतन के साथ आएं, उदाहरण के लिए: वर्ग करना (x 2) और निकालना वर्गमूल(\(\sqrt(x) \)), sine (sin x) और arcsine (arcsin x), आदि। किसी दिए गए फलन का अवकलज ज्ञात करने की प्रक्रिया कहलाती है भेदभाव, और व्युत्क्रम ऑपरेशन, यानी किसी दिए गए व्युत्पन्न से एक फ़ंक्शन खोजने की प्रक्रिया है एकीकरण.
शब्द "व्युत्पन्न" को "दैनिक जीवन में" उचित ठहराया जा सकता है: फ़ंक्शन y = f(x) "उत्पादन" करता है नई सुविधा y" = f"(x). फ़ंक्शन y = f(x) ऐसे कार्य करता है जैसे कि यह एक "जनक" हो, लेकिन गणितज्ञ, स्वाभाविक रूप से, इसे "जनक" या "निर्माता" नहीं कहते हैं, वे कहते हैं कि यह फ़ंक्शन y" = के संबंध में है; f"(x) , प्राथमिक छवि, या आदिम।
परिभाषा।फ़ंक्शन y = F(x) को अंतराल X पर फ़ंक्शन y = f(x) के लिए प्रतिअवकलन कहा जाता है यदि समानता F"(x) = f(x) \(x \in
व्यवहार में, अंतराल X आमतौर पर निर्दिष्ट नहीं किया जाता है, लेकिन निहित होता है (फ़ंक्शन की परिभाषा के प्राकृतिक डोमेन के रूप में)।
चलिए उदाहरण देते हैं.
1) फ़ंक्शन y = x 2, फ़ंक्शन y = 2x के लिए प्रतिअवकलन है, क्योंकि किसी भी x के लिए समानता (x 2)" = 2x सत्य है
2) फ़ंक्शन y = x 3, फ़ंक्शन y = 3x 2 के लिए प्रतिअवकलन है, क्योंकि किसी भी x के लिए समानता (x 3)" = 3x 2 सत्य है
3) फ़ंक्शन y = syn(x) फ़ंक्शन y = cos(x) के लिए प्रतिअवकलन है, क्योंकि किसी भी x के लिए समानता (sin(x))" = cos(x) सत्य है
प्रतिअवकलज, साथ ही व्युत्पन्न ढूँढते समय, न केवल सूत्रों का उपयोग किया जाता है, बल्कि कुछ नियमों का भी उपयोग किया जाता है। वे डेरिवेटिव की गणना के लिए संबंधित नियमों से सीधे संबंधित हैं।
हम जानते हैं कि किसी राशि का अवकलज उसके अवकलजों के योग के बराबर होता है। यह नियम प्रतिअवकलज खोजने के लिए संगत नियम उत्पन्न करता है।
नियम 1।किसी योग का प्रतिअवकलन, प्रतिअवकलन के योग के बराबर होता है।
हम जानते हैं कि अचर गुणनखंड को अवकलज के चिह्न से निकाला जा सकता है। यह नियम प्रतिअवकलज खोजने के लिए संगत नियम उत्पन्न करता है।
नियम 2.यदि F(x) f(x) के लिए एक प्रतिअवकलन है, तो kF(x) kf(x) के लिए एक प्रतिअवकलन है।
प्रमेय 1.यदि y = F(x) फ़ंक्शन y = f(x) के लिए एक प्रतिअवकलज है, तो फ़ंक्शन y = f(kx + m) के लिए प्रतिअवकलन फ़ंक्शन \(y=\frac(1)(k)F है (kx+m) \)
प्रमेय 2.यदि y = F(x) अंतराल + सी.
एकीकरण के तरीके
परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि (प्रतिस्थापन विधि)
प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण की विधि में एक नया एकीकरण चर (अर्थात् प्रतिस्थापन) शामिल करना शामिल है। इस मामले में, दिए गए इंटीग्रल को एक नए इंटीग्रल में घटा दिया जाता है, जो सारणीबद्ध या इसके लिए कम करने योग्य होता है। प्रतिस्थापनों के चयन के लिए कोई सामान्य विधियाँ नहीं हैं। प्रतिस्थापन को सही ढंग से निर्धारित करने की क्षमता अभ्यास के माध्यम से प्राप्त की जाती है।
मान लीजिए कि अभिन्न \(\textstyle \int F(x)dx \) की गणना करना आवश्यक है। आइए प्रतिस्थापन करें \(x= \varphi(t) \) जहां \(\varphi(t) \) एक फ़ंक्शन है जिसमें निरंतर व्युत्पन्न है।
फिर \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) और अनिश्चितकालीन अभिन्न के लिए एकीकरण सूत्र की अपरिवर्तनीय संपत्ति के आधार पर, हम प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण सूत्र प्राप्त करते हैं:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
\(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \) फॉर्म के भावों का एकीकरण
यदि m विषम है, m > 0, तो प्रतिस्थापन पाप x = t करना अधिक सुविधाजनक है।
यदि n विषम है, n > 0, तो प्रतिस्थापन cos x = t करना अधिक सुविधाजनक है।
यदि n और m सम हैं, तो प्रतिस्थापन tg x = t करना अधिक सुविधाजनक है।
भागों द्वारा एकीकरण
भागों द्वारा एकीकरण - एकीकरण के लिए निम्नलिखित सूत्र लागू करना:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
या:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
कुछ फलनों के अनिश्चित समाकलन (प्रतिअवकलन) की तालिका
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +सी \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) एक्स +सी $$गणित नामक विज्ञान में समाकलन को हल करने की प्रक्रिया को एकीकरण कहा जाता है। एकीकरण का उपयोग करके हम कुछ पा सकते हैं भौतिक मात्राएँ: क्षेत्रफल, आयतन, पिंडों का द्रव्यमान और भी बहुत कुछ।
इंटीग्रल अनिश्चित या निश्चित हो सकते हैं। आइए निश्चित अभिन्न के स्वरूप पर विचार करें और उसके भौतिक अर्थ को समझने का प्रयास करें। इसे इस रूप में दर्शाया गया है: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. विशिष्ट विशेषताअनिश्चितकालीन समाकलन का निश्चित समाकलन लिखने का तात्पर्य यह है कि a और b के एकीकरण की सीमाएँ हैं। अब हम यह पता लगाएंगे कि उनकी आवश्यकता क्यों है, और एक निश्चित अभिन्न का वास्तव में क्या मतलब है। ज्यामितीय अर्थ में, ऐसा अभिन्न क्षेत्रफल के बराबरवक्र f(x), रेखाओं a और b और ऑक्स अक्ष से घिरी एक आकृति।
चित्र 1 से यह स्पष्ट है कि निश्चित समाकलन वही क्षेत्र है जो छायांकित है स्लेटी. आइए इसे एक सरल उदाहरण से जांचें। आइए एकीकरण का उपयोग करके नीचे दी गई छवि में आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करें, और फिर लंबाई को चौड़ाई से गुणा करने के सामान्य तरीके से इसकी गणना करें।
चित्र 2 से यह स्पष्ट है कि $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $। अब हम उन्हें अभिन्न की परिभाषा में प्रतिस्थापित करते हैं, हमें मिलता है कि $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(इकाइयां)^2 $$ आइए सामान्य तरीके से जांच करें। हमारे मामले में, लंबाई = 3, आकृति की चौड़ाई = 1. $$ S = \text(लंबाई) \cdot \text(चौड़ाई) = 3 \cdot 1 = 3 \text(इकाइयाँ)^2 $$ जैसा आप कर सकते हैं देखो, सब कुछ बिल्कुल फिट बैठता है।
सवाल उठता है: अनिश्चितकालीन अभिन्नों को कैसे हल करें और उनका अर्थ क्या है? ऐसे अभिन्नों को हल करना प्रतिअवकलन फलनों को खोजना है। यह प्रक्रिया व्युत्पन्न खोजने के विपरीत है। प्रतिअवकलन खोजने के लिए, आप गणित में समस्याओं को हल करने में हमारी सहायता का उपयोग कर सकते हैं, या आपको अभिन्नों के गुणों और सरलतम प्राथमिक कार्यों के एकीकरण की तालिका को स्वतंत्र रूप से याद करने की आवश्यकता है। इसे खोजने पर ऐसा लगता है कि $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(जहां) F(x) $, $ f(x), C = const $ का प्रतिअवकलन है।
इंटीग्रल को हल करने के लिए, आपको फ़ंक्शन $ f(x) $ को एक वेरिएबल पर एकीकृत करना होगा। यदि फ़ंक्शन सारणीबद्ध है, तो उत्तर उचित रूप में लिखा जाता है। यदि नहीं, तो प्रक्रिया जटिल गणितीय परिवर्तनों के माध्यम से फ़ंक्शन $ f(x) $ से एक सारणीबद्ध फ़ंक्शन प्राप्त करने तक सीमित हो जाती है। इसके लिए वहाँ है विभिन्न तरीकेऔर गुण जिन पर हम आगे विचार करेंगे।
तो, अब डमी के लिए इंटीग्रल को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम बनाएं?
अभिन्नों की गणना के लिए एल्गोरिदम
- आइये जानें कि निश्चित समाकलन है या नहीं।
- यदि अपरिभाषित है, तो आपको गणितीय परिवर्तनों का उपयोग करके इंटीग्रैंड $ f(x) $ का एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन $ F(x) $ ढूंढना होगा, जिससे फ़ंक्शन $ f(x) $ का सारणीबद्ध रूप प्राप्त होगा।
- यदि परिभाषित किया गया है, तो आपको चरण 2 निष्पादित करने की आवश्यकता है और फिर सीमाओं $ a $ और $ b $ को एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन $ F(x) $ में प्रतिस्थापित करना होगा। ऐसा करने के लिए किस सूत्र का उपयोग करना है, आप लेख "न्यूटन-लीबनिज़ फॉर्मूला" में जानेंगे।
समाधान के उदाहरण
तो, आपने सीख लिया है कि डमी के लिए इंटीग्रल को कैसे हल किया जाए, इंटीग्रल को हल करने के उदाहरणों को सुलझा लिया गया है। हमने उनके भौतिक और ज्यामितीय अर्थ सीखे। समाधान विधियों का वर्णन अन्य लेखों में किया जाएगा।
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