किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का समीकरण ऑनलाइन बनाना। ऑनलाइन कैलकुलेटर

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पर आधुनिक मंचशिक्षा का विकास, इसका एक मुख्य कार्य रचनात्मक सोच वाले व्यक्तित्व का निर्माण है। छात्रों में रचनात्मकता की क्षमता तभी विकसित हो सकती है जब वे अनुसंधान गतिविधियों की मूल बातों में व्यवस्थित रूप से शामिल हों। छात्रों के लिए अपनी रचनात्मक शक्तियों, क्षमताओं और प्रतिभाओं का उपयोग करने की नींव पूर्ण ज्ञान और कौशल से बनती है। इस संबंध में, एक प्रणाली बनाने की समस्या बुनियादी ज्ञानऔर प्रत्येक विषय के लिए कौशल स्कूल पाठ्यक्रमगणित का कोई छोटा महत्व नहीं है। साथ ही, पूर्ण कौशल व्यक्तिगत कार्यों का नहीं, बल्कि उनकी सावधानीपूर्वक सोची-समझी प्रणाली का उपदेशात्मक लक्ष्य होना चाहिए। व्यापक अर्थ में, एक सिस्टम को परस्पर जुड़े हुए अंतःक्रियात्मक तत्वों के एक समूह के रूप में समझा जाता है जिनमें अखंडता और एक स्थिर संरचना होती है।

आइए छात्रों को किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा के लिए समीकरण लिखने का तरीका सिखाने की एक तकनीक पर विचार करें। अनिवार्य रूप से, स्पर्शरेखा समीकरण खोजने की सभी समस्याएं रेखाओं के एक सेट (बंडल, परिवार) से चयन करने की आवश्यकता पर आती हैं जो एक निश्चित आवश्यकता को पूरा करती हैं - वे एक निश्चित फ़ंक्शन के ग्राफ के स्पर्शरेखा हैं। इस मामले में, लाइनों का सेट जिससे चयन किया जाता है, दो तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है:

a) xOy समतल पर स्थित एक बिंदु (रेखाओं की केंद्रीय पेंसिल);
बी) कोणीय गुणांक (सीधी रेखाओं की समानांतर किरण)।

इस संबंध में, सिस्टम के तत्वों को अलग करने के लिए "फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा" विषय का अध्ययन करते समय, हमने दो प्रकार की समस्याओं की पहचान की:

1) स्पर्शरेखा पर समस्याएँ उस बिंदु द्वारा दी जाती हैं जिससे वह गुजरती है;
2) इसकी ढलान द्वारा दी गई स्पर्शरेखा पर समस्याएं।

ए.जी. द्वारा प्रस्तावित एल्गोरिदम का उपयोग करके स्पर्शरेखा समस्याओं को हल करने का प्रशिक्षण दिया गया। मोर्दकोविच. उसका मूलभूत अंतरजो पहले से ही ज्ञात हैं, उनमें से यह है कि स्पर्शरेखा बिंदु का भुज (abscissa) अक्षर a (x0 के बजाय) द्वारा दर्शाया जाता है, और इसलिए स्पर्शरेखा का समीकरण रूप लेता है

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0) से तुलना करें)। व्यवस्थित तकनीकहमारी राय में, छात्रों को जल्दी और आसानी से यह समझने की अनुमति मिलती है कि सामान्य स्पर्शरेखा समीकरण में वर्तमान बिंदु के निर्देशांक कहाँ लिखे गए हैं, और स्पर्शरेखा बिंदु कहाँ हैं।

फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा समीकरण की रचना के लिए एल्गोरिदम

1. स्पर्शरेखा बिंदु के भुज को अक्षर a से निर्दिष्ट करें।
2. f(a) खोजें।
3. f "(x) और f "(a) खोजें।
4. पाई गई संख्याओं a, f(a), f "(a) को इसमें प्रतिस्थापित करें सामान्य समीकरणस्पर्श रेखा y = f(a) = f "(a)(x – a).

इस एल्गोरिदम को छात्रों की संचालन की स्वतंत्र पहचान और उनके कार्यान्वयन के अनुक्रम के आधार पर संकलित किया जा सकता है।

अभ्यास से पता चला है कि एल्गोरिदम का उपयोग करके प्रत्येक प्रमुख समस्या का अनुक्रमिक समाधान आपको चरणों में किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के समीकरण को लिखने के कौशल को विकसित करने की अनुमति देता है, और एल्गोरिदम के चरण कार्यों के लिए संदर्भ बिंदु के रूप में कार्य करते हैं . यह दृष्टिकोण सिद्धांत के अनुरूप है क्रमिक गठनमानसिक क्रियाएँ, पी.वाई.ए. द्वारा विकसित। गैल्परिन और एन.एफ. तालिज़िना।

पहले प्रकार के कार्यों में, दो प्रमुख कार्यों की पहचान की गई:

स्पर्शरेखा वक्र पर स्थित एक बिंदु से होकर गुजरती है (समस्या 1);
स्पर्शरेखा एक ऐसे बिंदु से होकर गुजरती है जो वक्र पर नहीं है (समस्या 2)।

कार्य 1. फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण लिखें बिंदु M(3; – 2) पर।

समाधान। चूँकि बिंदु M(3; – 2) एक स्पर्शरेखा बिंदु है

1. ए = 3 - स्पर्शरेखा बिंदु का भुज।
2. एफ(3) = – 2.
3. एफ "(एक्स) = एक्स 2 – 4, एफ "(3) = 5.
y = - 2 + 5(x - 3), y = 5x - 17 - स्पर्शरेखा समीकरण।

समस्या 2. फ़ंक्शन y = - x 2 - 4x + 2 के ग्राफ़ पर बिंदु M(- 3; 6) से गुजरने वाली सभी स्पर्शरेखाओं के समीकरण लिखें।

समाधान। बिंदु M(-3; 6) स्पर्शरेखा का बिंदु नहीं है, क्योंकि f(-3) 6 (चित्र 2)।

2. एफ(ए) = - ए 2 - 4ए + 2.
3. एफ "(एक्स) = - 2एक्स - 4, एफ "(ए) = - 2ए - 4.
4. y = - a 2 - 4a + 2 - 2(a + 2)(x - a) - स्पर्शरेखा समीकरण।

स्पर्शरेखा बिंदु M(-3; 6) से होकर गुजरती है, इसलिए, इसके निर्देशांक स्पर्शरेखा समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

6 = - ए 2 - 4ए + 2 - 2(ए + 2)(- 3 - ए),
ए 2 + 6ए + 8 = 0 ^ ए 1 = - 4, ए 2 = - 2।

यदि a = – 4, तो स्पर्शरेखा समीकरण y = 4x + 18 है।

यदि a = – 2 है, तो स्पर्श रेखा समीकरण का रूप y = 6 है।

दूसरे प्रकार में, प्रमुख कार्य निम्नलिखित होंगे:

स्पर्शरेखा किसी रेखा के समानांतर है (समस्या 3);
स्पर्शरेखा दी गई रेखा पर एक निश्चित कोण से गुजरती है (समस्या 4)।

समस्या 3. फलन y = x 3 – 3x 2 + 3 के ग्राफ की सभी स्पर्शरेखाओं के समीकरण, रेखा y = 9x + 1 के समानांतर लिखें।

1. ए - स्पर्शरेखा बिंदु का भुज.
2. एफ(ए) = ए 3 - 3ए 2 + 3.
3. एफ "(एक्स) = 3एक्स 2 - 6एक्स, एफ "(ए) = 3ए 2 - 6ए।

लेकिन, दूसरी ओर, f'(a) = 9 (समानांतर स्थिति)। इसका मतलब है कि हमें समीकरण 3a 2 - 6a = 9 को हल करने की आवश्यकता है। इसके मूल a = - 1, a = 3 हैं (चित्र 3) ).

4.1) ए = – 1;
2) एफ(-1) =-1;
3) एफ "(- 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 - स्पर्शरेखा समीकरण;

1) ए = 3;
2) एफ(3) = 3;
3) एफ "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – स्पर्शरेखा समीकरण.

समस्या 4. फ़ंक्शन y = 0.5x 2 - 3x + 1 के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का समीकरण लिखें, जो सीधी रेखा y = 0 से 45° के कोण पर गुजरती है (चित्र 4)।

समाधान। शर्त f'(a) = tan 45° से हम पाते हैं a: a - 3 = 1 ^ a = 4.

1. ए = 4 - स्पर्शरेखा बिंदु का भुज।
2. एफ(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. एफ "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – स्पर्श रेखा समीकरण.

यह दिखाना आसान है कि किसी अन्य समस्या को हल करने से एक या अधिक प्रमुख समस्याओं का समाधान हो जाता है। उदाहरण के तौर पर निम्नलिखित दो समस्याओं पर विचार करें।

1. परवलय y = 2x 2 - 5x - 2 की स्पर्शरेखाओं के समीकरण लिखें, यदि स्पर्शरेखाएँ समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं और उनमें से एक भुज 3 वाले बिंदु पर परवलय को छूती है (चित्र 5)।

समाधान। चूँकि स्पर्शरेखा बिंदु का भुज दिया गया है, समाधान का पहला भाग मुख्य समस्या 1 तक कम हो गया है।

1. ए = 3 - किसी एक पक्ष के स्पर्श बिंदु का भुज समकोण.
2. एफ(3) = 1.
3. एफ "(एक्स) = 4एक्स - 5, एफ "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – प्रथम स्पर्श रेखा का समीकरण।

मान लीजिए कि प्रथम स्पर्श रेखा का झुकाव कोण a है। चूँकि स्पर्शरेखाएँ लंबवत हैं, तो दूसरी स्पर्शरेखा का झुकाव कोण है। समीकरण y = 7x – 20 की पहली स्पर्शरेखा से हमें tg a = 7 मिलता है। आइए खोजें

इसका मतलब है कि दूसरी स्पर्श रेखा का ढलान बराबर है।

आगे का समाधान मुख्य कार्य 3 पर आता है।

मान लीजिए कि B(c; f(c)) दूसरी रेखा का स्पर्श बिंदु है

1.- स्पर्शरेखा के दूसरे बिंदु का भुज.
2.
3.
4.
– दूसरे स्पर्शरेखा का समीकरण.

टिप्पणी। यदि छात्रों को लंबवत रेखाओं k 1 k 2 = - 1 के गुणांकों का अनुपात पता हो तो स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक अधिक आसानी से पाया जा सकता है।

2. फलन के ग्राफ़ में सभी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाओं के समीकरण लिखें

समाधान। समस्या उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाओं के स्पर्शरेखा बिंदुओं का भुज खोजने तक आती है, अर्थात मुख्य समस्या 1 को हल करने तक। सामान्य रूप से देखें, समीकरणों की एक प्रणाली और उसके बाद के समाधान को तैयार करना (चित्र 6)।

1. मान लीजिए a फ़ंक्शन y = x 2 + x + 1 के ग्राफ पर स्थित स्पर्शरेखा बिंदु का भुज है।
2. एफ(ए) = ए 2 + ए + 1.
3. एफ "(ए) = 2ए + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2।

1. मान लीजिए c फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्थित स्पर्शरेखा बिंदु का भुज है
2.
3. एफ "(सी) = सी।
4.

चूँकि स्पर्शरेखाएँ सामान्य हैं, तो

तो y = x + 1 और y = - 3x - 3 उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं।

विचार किए गए कार्यों का मुख्य लक्ष्य छात्रों को अधिक जटिल समस्याओं को हल करते समय मुख्य समस्या के प्रकार को स्वतंत्र रूप से पहचानने के लिए तैयार करना है, जिसके लिए कुछ शोध कौशल (विश्लेषण, तुलना, सामान्यीकरण, एक परिकल्पना को आगे बढ़ाने की क्षमता, आदि) की आवश्यकता होती है। ऐसे कार्यों में कोई भी कार्य शामिल होता है जिसमें मुख्य कार्य एक घटक के रूप में शामिल होता है। आइए एक उदाहरण के रूप में स्पर्शरेखाओं के परिवार से एक फ़ंक्शन खोजने की समस्या (समस्या 1 के विपरीत) पर विचार करें।

3. किसके लिए b और c रेखाएँ y = x और y = - 2x हैं जो फ़ंक्शन y = x 2 + bx + c के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा हैं?

मान लीजिए t परवलय y = x 2 + bx + c के साथ सीधी रेखा y = x के स्पर्श बिंदु का भुज है; p, परवलय y = x 2 + bx + c के साथ सीधी रेखा y = - 2x के स्पर्श बिंदु का भुज है। तब स्पर्शरेखा समीकरण y = x, y = (2t + b)x + c – t 2 का रूप लेगा, और स्पर्शरेखा समीकरण y = – 2x, y = (2p + b)x + c – p 2 का रूप लेगा। .

आइए समीकरणों की एक प्रणाली बनाएं और हल करें

उत्तर:

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण

पी. रोमानोव, टी. रोमानोवा,
मैग्नीटोगोर्स्क,
चेल्याबिंस्क क्षेत्र

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण

लेख ITAKA+ होटल कॉम्प्लेक्स के सहयोग से प्रकाशित किया गया था। जहाज निर्माणकर्ताओं के शहर सेवेरोडविंस्क में रहने पर आपको अस्थायी आवास खोजने की समस्या का सामना नहीं करना पड़ेगा। , वेबसाइट पर होटल परिसर"इथाका+" http://itakaplus.ru, आप दैनिक भुगतान के साथ, किसी भी समय के लिए शहर में आसानी से और जल्दी से एक अपार्टमेंट किराए पर ले सकते हैं।

शिक्षा के विकास के वर्तमान चरण में, इसका एक मुख्य कार्य रचनात्मक सोच वाले व्यक्तित्व का निर्माण है। छात्रों में रचनात्मकता की क्षमता तभी विकसित हो सकती है जब वे अनुसंधान गतिविधियों की मूल बातों में व्यवस्थित रूप से शामिल हों। छात्रों के लिए अपनी रचनात्मक शक्तियों, क्षमताओं और प्रतिभाओं का उपयोग करने की नींव पूर्ण ज्ञान और कौशल से बनती है। इस संबंध में, स्कूली गणित पाठ्यक्रम के प्रत्येक विषय के लिए बुनियादी ज्ञान और कौशल की एक प्रणाली बनाने की समस्या का कोई छोटा महत्व नहीं है। साथ ही, पूर्ण कौशल व्यक्तिगत कार्यों का नहीं, बल्कि उनकी सावधानीपूर्वक सोची-समझी प्रणाली का उपदेशात्मक लक्ष्य होना चाहिए। व्यापक अर्थ में, एक सिस्टम को परस्पर जुड़े हुए अंतःक्रियात्मक तत्वों के एक समूह के रूप में समझा जाता है जिनमें अखंडता और एक स्थिर संरचना होती है।

a) xOy समतल पर स्थित एक बिंदु (रेखाओं की केंद्रीय पेंसिल);
बी) कोणीय गुणांक (सीधी रेखाओं की समानांतर किरण)।

1) स्पर्शरेखा पर समस्याएँ उस बिंदु द्वारा दी जाती हैं जिससे वह गुजरती है;
2) इसकी ढलान द्वारा दी गई स्पर्शरेखा पर समस्याएं।

ए.जी. द्वारा प्रस्तावित एल्गोरिदम का उपयोग करके स्पर्शरेखा समस्याओं को हल करने का प्रशिक्षण दिया गया। मोर्दकोविच. पहले से ज्ञात लोगों से इसका मूलभूत अंतर यह है कि स्पर्शरेखा बिंदु के भुज को अक्षर a (x0 के बजाय) द्वारा दर्शाया जाता है, और इसलिए स्पर्शरेखा समीकरण का रूप लेता है

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0) के साथ तुलना करें)। यह कार्यप्रणाली तकनीक, हमारी राय में, छात्रों को जल्दी और आसानी से समझने की अनुमति देती है कि वर्तमान बिंदु के निर्देशांक कहाँ लिखे गए हैं सामान्य स्पर्शरेखा समीकरण, और संपर्क के बिंदु कहाँ हैं।

फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा समीकरण की रचना के लिए एल्गोरिदम

1. स्पर्शरेखा बिंदु के भुज को अक्षर a से निर्दिष्ट करें।
2. f(a) खोजें।
3. f "(x) और f "(a) खोजें।
4. प्राप्त संख्याओं a, f(a), f "(a) को सामान्य स्पर्शरेखा समीकरण y = f(a) = f "(a)(x – a) में प्रतिस्थापित करें।

अभ्यास से पता चला है कि एल्गोरिदम का उपयोग करके प्रत्येक प्रमुख समस्या का अनुक्रमिक समाधान आपको चरणों में किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के समीकरण को लिखने के कौशल को विकसित करने की अनुमति देता है, और एल्गोरिदम के चरण कार्यों के लिए संदर्भ बिंदु के रूप में कार्य करते हैं . यह दृष्टिकोण पी.वाई.ए. द्वारा विकसित मानसिक क्रियाओं के क्रमिक गठन के सिद्धांत से मेल खाता है। गैल्परिन और एन.एफ. तालिज़िना।

पहले प्रकार के कार्यों में, दो प्रमुख कार्यों की पहचान की गई:

स्पर्शरेखा वक्र पर स्थित एक बिंदु से होकर गुजरती है (समस्या 1);
स्पर्शरेखा एक ऐसे बिंदु से होकर गुजरती है जो वक्र पर नहीं है (समस्या 2)।

समाधान। चूँकि बिंदु M(3; – 2) एक स्पर्शरेखा बिंदु है

1. ए = 3 - स्पर्शरेखा बिंदु का भुज।
2. एफ(3) = – 2.
3. एफ "(एक्स) = एक्स 2 – 4, एफ "(3) = 5.
y = - 2 + 5(x - 3), y = 5x - 17 - स्पर्शरेखा समीकरण।

समाधान। बिंदु M(-3; 6) एक स्पर्शरेखा बिंदु नहीं है, क्योंकि f(-3) 6 (चित्र 2)।

2. एफ(ए) = - ए 2 - 4ए + 2.
3. एफ "(एक्स) = - 2एक्स - 4, एफ "(ए) = - 2ए - 4.
4. y = - a 2 - 4a + 2 - 2(a + 2)(x - a) - स्पर्शरेखा समीकरण।

6 = - ए 2 - 4ए + 2 - 2(ए + 2)(- 3 - ए),
ए 2 + 6ए + 8 = 0^ ए 1 = - 4, ए 2 = - 2।

यदि a = – 4, तो स्पर्श रेखा समीकरण y = 4x + 18 है।

यदि a = – 2 है, तो स्पर्श रेखा समीकरण का रूप y = 6 है।

दूसरे प्रकार में, प्रमुख कार्य निम्नलिखित होंगे:

स्पर्शरेखा किसी रेखा के समानांतर है (समस्या 3);
स्पर्शरेखा दी गई रेखा से एक निश्चित कोण पर गुजरती है (समस्या 4)।

समाधान।

1. ए - स्पर्शरेखा बिंदु का भुज.
2. एफ(ए) = ए 3 - 3ए 2 + 3.
3. एफ "(एक्स) = 3एक्स 2 - 6एक्स, एफ "(ए) = 3ए 2 - 6ए।

4.1) ए = – 1;
2) एफ(-1) =-1;
3) एफ "(- 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – स्पर्शरेखा समीकरण;

1) ए = 3;
2) एफ(3) = 3;
3) एफ "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – स्पर्श रेखा समीकरण.

समाधान। शर्त f'(a) = tan 45° से हम पाते हैं a: a - 3 = 1^ए = 4.

1. ए = 4 - स्पर्शरेखा बिंदु का भुज।
2. एफ(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. एफ "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – स्पर्शरेखा समीकरण.

1. परवलय y = 2x 2 - 5x - 2 की स्पर्शरेखाओं के समीकरण लिखें, यदि स्पर्शरेखाएँ समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं और उनमें से एक परवलय को भुज 3 वाले बिंदु पर स्पर्श करती है (चित्र 5)।

1. ए = 3 - समकोण की किसी एक भुजा के स्पर्श बिंदु का भुज।
2. एफ(3) = 1.
3. एफ "(एक्स) = 4एक्स - 5, एफ "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – प्रथम स्पर्श रेखा का समीकरण।

चलो ए – प्रथम स्पर्श रेखा के झुकाव का कोण. चूँकि स्पर्शरेखाएँ लंबवत हैं, तो दूसरी स्पर्शरेखा का झुकाव कोण है। समीकरण y = 7x – 20 से पहली स्पर्श रेखा से हमें tg प्राप्त होता हैए = 7. आइए खोजें

इसका मतलब है कि दूसरी स्पर्श रेखा का ढलान बराबर है।

आगे का समाधान मुख्य कार्य 3 पर आता है।

मान लीजिए कि B(c; f(c)) दूसरी रेखा का स्पर्श बिंदु है

1.- स्पर्शरेखा के दूसरे बिंदु का भुज.
2.
3.
4.
– दूसरे स्पर्शरेखा का समीकरण.

2. फलन के ग्राफ़ में सभी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाओं के समीकरण लिखें

समाधान। कार्य सामान्य स्पर्शरेखा के स्पर्शरेखा बिंदुओं के भुज को खोजने के लिए नीचे आता है, अर्थात, मुख्य समस्या 1 को सामान्य रूप में हल करना, समीकरणों की एक प्रणाली तैयार करना और फिर इसे हल करना (चित्र 6)।

1. मान लीजिए a फ़ंक्शन y = x 2 + x + 1 के ग्राफ पर स्थित स्पर्शरेखा बिंदु का भुज है।
2. एफ(ए) = ए 2 + ए + 1.
3. एफ "(ए) = 2ए + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2।

1. मान लीजिए c फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्थित स्पर्शरेखा बिंदु का भुज है
2.
3. एफ "(सी) = सी।
4.

चूँकि स्पर्शरेखाएँ सामान्य हैं, तो

तो y = x + 1 और y = - 3x - 3 उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं।

समाधान।

आइए समीकरणों की एक प्रणाली बनाएं और हल करें

उत्तर:

स्वतंत्र रूप से हल करने योग्य समस्याएं

1. फ़ंक्शन y = 2x 2 - 4x + 3 के ग्राफ पर खींची गई स्पर्शरेखाओं के समीकरण को रेखा y = x + 3 के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर लिखें।

उत्तर: y = – 4x + 3, y = 6x – 9.5.

2. a के किन मानों के लिए फ़ंक्शन y = x 2 – ax के ग्राफ़ के भुज x 0 = 1 वाले बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा बिंदु M(2; 3) से होकर गुजरती है?

उत्तर: ए = 0.5.

3. p के किन मानों के लिए सीधी रेखा y = px – 5 वक्र y = 3x 2 – 4x – 2 को स्पर्श करती है?

उत्तर: पी 1 = – 10, पी 2 = 2.

4. फ़ंक्शन y = 3x - x 3 के ग्राफ़ के सभी सामान्य बिंदु और बिंदु P(0; 16) के माध्यम से इस ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा ज्ञात करें।

उत्तर: ए(2;-2), बी(-4;52).

5. परवलय y = x 2 + 6x + 10 और सीधी रेखा के बीच न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए

उत्तर:

6. वक्र y = x 2 – x + 1 पर, वह बिंदु ज्ञात कीजिए जिस पर ग्राफ़ की स्पर्श रेखा सीधी रेखा y – 3x + 1 = 0 के समानांतर है।

उत्तर: एम(2; 3).

7. फलन y = x 2 + 2x – | के ग्राफ की स्पर्शरेखा का समीकरण लिखिए। 4x |, जो इसे दो बिंदुओं पर छूता है। एक चित्र बनाओ.

उत्तर: y = 2x – 4.

8. सिद्ध कीजिए कि रेखा y = 2x – 1 वक्र y = x 4 + 3x 2 + 2x को नहीं काटती है। उनके निकटतम बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

9. परवलय y = x 2 पर, भुज x 1 = 1, x 2 = 3 के साथ दो बिंदु लिए गए हैं। इन बिंदुओं के माध्यम से एक छेदक खींचा गया है। परवलय के किस बिंदु पर उसकी स्पर्शरेखा छेदक रेखा के समानांतर होगी? छेदक और स्पर्शरेखा समीकरण लिखिए।

उत्तर: y = 4x – 3 – छेदक समीकरण; y = 4x – 4 – स्पर्शरेखा समीकरण.

10. कोण q ज्ञात कीजिए फ़ंक्शन y = x 3 - 4x 2 + 3x + 1 के ग्राफ़ की स्पर्शरेखाओं के बीच, भुज 0 और 1 वाले बिंदुओं पर खींची गई।

उत्तर: q = 45°.

11. फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा किन बिंदुओं पर ऑक्स अक्ष के साथ 135° का कोण बनाती है?

उत्तर: ए(0; – 1), बी(4; 3).

12. वक्र के बिंदु A(1; 8) पर एक स्पर्श रेखा खींची जाती है. निर्देशांक अक्षों के बीच स्पर्शरेखा खंड की लंबाई ज्ञात करें।

उत्तर:

13. फलन y = x 2 – x + 1 और y = 2x 2 – x + 0.5 के ग्राफ़ पर सभी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं का समीकरण लिखें।

उत्तर: y = – 3x और y = x.

14. फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें x-अक्ष के समानांतर.

उत्तर:

15. निर्धारित करें कि परवलय y = x 2 + 2x – 8, x-अक्ष को किस कोण पर काटता है।

उत्तर: क्यू 1 = आर्कटान 6, क्यू 2 = आर्कटान (-6)।

16. फ़ंक्शन ग्राफ़ सभी बिंदु खोजें, जिनमें से प्रत्येक पर इस ग्राफ़ की स्पर्शरेखा निर्देशांक के सकारात्मक अर्ध-अक्षों को काटती है, उनसे समान खंड काटती है।

उत्तर: ए(- 3; 11).

17. रेखा y = 2x + 7 और परवलय y = x 2 - 1 बिंदु M और N पर प्रतिच्छेद करते हैं। बिंदु M और N पर परवलय की स्पर्शरेखा रेखाओं के प्रतिच्छेद का बिंदु K ज्ञात कीजिए।

उत्तर: K(1; – 9).

18. b के किन मानों के लिए रेखा y = 9x + b फ़ंक्शन y = x 3 – 3x + 15 के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा है?

उत्तर:-1; 31.

19. k के किन मानों के लिए सीधी रेखा y = kx – 10 में फलन y = 2x 2 + 3x – 2 के ग्राफ के साथ केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु है? K के पाए गए मानों के लिए, बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करें।

उत्तर: k 1 = – 5, ए(– 2; 0); के 2 = 11, बी(2; 12).

20. b के किन मानों के लिए फ़ंक्शन y = bx 3 – 2x 2 – 4 के ग्राफ पर भुज x 0 = 2 वाले बिंदु पर खींची गई स्पर्शरेखा बिंदु M(1; 8) से होकर गुजरती है?

उत्तर: बी = – 3.

21. ऑक्स अक्ष पर शीर्ष वाला एक परवलय बिंदु A(1; 2) और B(2; 4) से होकर गुजरने वाली रेखा को बिंदु B पर स्पर्श करता है। परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

22. गुणांक k के किस मान पर परवलय y = x 2 + kx + 1 ऑक्स अक्ष को स्पर्श करता है?

उत्तर: के = डी 2.

23. सीधी रेखा y = x + 2 और वक्र y = 2x 2 + 4x – 3 के बीच के कोण ज्ञात कीजिए।

29. 45° के कोण पर ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा और जेनरेटर के बीच की दूरी ज्ञात करें।

उत्तर:

30. रेखा y = 4x – 1 की स्पर्श रेखा y = x 2 + ax + b के रूप के सभी परवलयों के शीर्षों का स्थान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: सीधी रेखा y = 4x + 3.

साहित्य

1. ज़वाविच एल.आई., श्ल्यापोचनिक एल.वाई.ए., चिंकिना एम.वी. बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: स्कूली बच्चों और विश्वविद्यालयों में प्रवेश करने वालों के लिए 3600 समस्याएं। - एम., बस्टर्ड, 1999।
2. मोर्दकोविच ए. युवा शिक्षकों के लिए सेमिनार चार। विषय: व्युत्पन्न अनुप्रयोग। - एम., "गणित", संख्या 21/94।
3. मानसिक क्रियाओं के क्रमिक आत्मसात के सिद्धांत के आधार पर ज्ञान और कौशल का निर्माण।

/ एड. पी.या. गैल्पेरीना, एन.एफ. तालिज़िना। - एम., मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी, 1968।यह

गणित कार्यक्रम

उपयोगकर्ता द्वारा निर्दिष्ट बिंदु $a$ पर फ़ंक्शन $f(x)$ के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण ढूंढता है। कार्यक्रम न केवल स्पर्शरेखा समीकरण प्रदर्शित करता है, बल्कि समस्या को हल करने की प्रक्रिया भी प्रदर्शित करता है।यह ऑनलाइन कैलकुलेटर हाई स्कूल के छात्रों के लिए उपयोगी हो सकता है माध्यमिक स्कूलोंतैयारी के लिए परीक्षणऔर परीक्षा, जब माता-पिता के लिए गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए एकीकृत राज्य परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण किया जाता है।

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एफ(एक्स)=
ए=
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थोड़ा सिद्धांत.

सीधी ढलान

याद रखें कि रैखिक फलन $y=kx+b$ का ग्राफ एक सीधी रेखा है। संख्या $k=tg \alpha $ कहलाती है एक सीधी रेखा का ढलान, और कोण $\alpha $ इस रेखा और ऑक्स अक्ष के बीच का कोण है

यदि $k>0$, तो \(0 यदि \(k फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का समीकरण

यदि बिंदु M(a; f(a)) फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ़ से संबंधित है और यदि इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए एक स्पर्शरेखा खींचना संभव है जो एब्सिस्सा अक्ष के लंबवत नहीं है , फिर से ज्यामितीय अर्थव्युत्पन्न यह इस प्रकार है कि स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक f "(a) के बराबर है। इसके बाद, हम किसी भी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के समीकरण की रचना के लिए एक एल्गोरिथ्म विकसित करेंगे।

मान लीजिए कि इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक फ़ंक्शन y = f(x) और एक बिंदु M(a; f(a)) दिया गया है; बता दें कि f"(a) मौजूद है। आइए ग्राफ़ की स्पर्श रेखा के लिए एक समीकरण बनाएं दिया गया कार्यवी दिया गया बिंदु. यह समीकरण, किसी भी सीधी रेखा के समीकरण की तरह, जो कोटि अक्ष के समानांतर नहीं है, का रूप y = kx + b है, इसलिए कार्य गुणांक k और b के मान ज्ञात करना है।

कोणीय गुणांक k से सब कुछ स्पष्ट है: यह ज्ञात है कि k = f"(a)। b के मान की गणना करने के लिए, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि वांछित सीधी रेखा बिंदु M(a; f(a)) से होकर गुजरती है। इसका मतलब यह है कि यदि हम बिंदु M के निर्देशांक को एक सीधी रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें सही समानता प्राप्त होती है: $f(a)=ka+b$, यानी, $b = f(a) - का$.

यह गुणांक k और b के पाए गए मानों को सीधी रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करना बाकी है:

$$ y=kx+b $$ $$ y=kx+ f(a) - ka $$ $$ y=f(a)+ k(x-a) $$ $$ y=f(a)+ f"(a) )(एक्स-ए) $$

हमें मिला किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण$y = f(x) $ बिंदु पर $x=a $.

फ़ंक्शन $y=f(x)$ के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण खोजने के लिए एल्गोरिदम
1. स्पर्शरेखा बिंदु के भुज को अक्षर $a$ से निर्दिष्ट करें
2. $f(a)$ की गणना करें
3. $f"(x)$ ढूंढें और $f"(a)$ की गणना करें
4. प्राप्त संख्याओं $a, f(a), f"(a) $ को सूत्र $y=f(a)+ f"(a)(x-a) $ में प्रतिस्थापित करें

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Y = f(x) और यदि इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है जो भुज अक्ष के लंबवत नहीं है, तो स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक f"(a) के बराबर है। हम पहले ही कर चुके हैं उदाहरण के लिए, § 33 में यह स्थापित किया गया था कि मूल बिंदु पर फ़ंक्शन y = syn x (साइनसॉइड) का ग्राफ x-अक्ष के साथ 45° का कोण बनाता है (अधिक सटीक रूप से, स्पर्शरेखा)। मूल बिंदु पर ग्राफ x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ 45° का कोण बनाता है), और उदाहरण में दिए गए शेड्यूल पर 5 § 33 अंक पाए गए कार्य, जिसमें स्पर्शरेखा x-अक्ष के समानांतर है। § 33 के उदाहरण 2 में, बिंदु x = 1 पर फ़ंक्शन y = x 2 के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण तैयार किया गया था (अधिक सटीक रूप से, बिंदु (1; 1) पर), लेकिन अधिक बार केवल भुज मान होता है यह मानते हुए संकेत दिया गया है कि यदि भुज मान ज्ञात है, तो कोटि मान समीकरण y = f(x)) से पाया जा सकता है। इस अनुभाग में हम किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा समीकरण बनाने के लिए एक एल्गोरिदम विकसित करेंगे।

मान लीजिए कि फ़ंक्शन y = f(x) और बिंदु M (a; f(a)) दिया गया है, और यह भी ज्ञात है कि f"(a) मौजूद है। आइए हम a के ग्राफ की स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण बनाएं किसी दिए गए बिंदु पर दिया गया फ़ंक्शन। यह समीकरण किसी भी सीधी रेखा के समीकरण की तरह है जो कोटि अक्ष के समानांतर नहीं है, इसका रूप y = kx+m है, इसलिए कार्य गुणांक k और m के मान ज्ञात करना है।

कोणीय गुणांक k के साथ कोई समस्या नहीं है: हम जानते हैं कि k = f "(a)। m के मान की गणना करने के लिए, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि वांछित सीधी रेखा बिंदु M(a; f (a)) से होकर गुजरती है। इसका मतलब यह है कि यदि हम निर्देशांक बिंदु M को सीधी रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें सही समानता प्राप्त होती है: f(a) = ka+m, जिससे हम पाते हैं कि m = f(a) - ka।
इसमें किट गुणांक के पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करना बाकी है समीकरणप्रत्यक्ष:

हमने बिंदु x=a पर फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा के लिए समीकरण प्राप्त कर लिया है।
अगर, कहो,
पाए गए मान a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2 को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: y = 1+2(x-f), यानी y = 2x-1।
इस परिणाम की तुलना § 33 से उदाहरण 2 में प्राप्त परिणाम से करें। स्वाभाविक रूप से, वही हुआ।
आइए मूल बिंदु पर फ़ंक्शन y = tan x के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा के लिए एक समीकरण बनाएं। हमारे पास है: इसका मतलब है cos x f"(0) = 1. पाए गए मान a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1 को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: y = x।
यही कारण है कि हमने § 15 (चित्र 62 देखें) में स्पर्शरेखा को भुज अक्ष से 45° के कोण पर निर्देशांक की उत्पत्ति के माध्यम से खींचा।
इन्हें काफी सुलझाना है सरल उदाहरण, हमने वास्तव में एक निश्चित एल्गोरिदम का उपयोग किया है, जो सूत्र (1) में निहित है। आइए इस एल्गोरिदम को स्पष्ट करें।

फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण विकसित करने के लिए एल्गोरिदम

1) स्पर्शरेखा बिंदु के भुज को अक्षर a से निर्दिष्ट करें।
2) 1 (ए) की गणना करें।
3) f"(x) ढूंढें और f"(a) की गणना करें।
4) प्राप्त संख्याओं a, f(a), (a) को सूत्र (1) में प्रतिस्थापित करें।

उदाहरण 1.बिंदु x = 1 पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण लिखें।
आइए इसे ध्यान में रखते हुए एल्गोरिदम का उपयोग करें इस उदाहरण में

चित्र में. 126 एक अतिपरवलय दर्शाया गया है, एक सीधी रेखा y = 2 का निर्माण किया गया है।
चित्र उपरोक्त गणनाओं की पुष्टि करता है: वास्तव में, रेखा y = 2 बिंदु (1; 1) पर हाइपरबोला को छूती है।

उत्तर: y = 2- x.
उदाहरण 2.फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा बनाएं ताकि वह रेखा y = 4x - 5 के समानांतर हो।
आइए हम समस्या का सूत्रीकरण स्पष्ट करें। "स्पर्शरेखा खींचने" की आवश्यकता का आमतौर पर अर्थ "स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण बनाना" होता है। यह तर्कसंगत है, क्योंकि यदि कोई व्यक्ति स्पर्शरेखा के लिए समीकरण बनाने में सक्षम था, तो उसे इसे बनाने में कठिनाई होने की संभावना नहीं है विमान का समन्वयउसके समीकरण के अनुसार सीधी रेखा।
आइए स्पर्शरेखा समीकरण बनाने के लिए एल्गोरिदम का उपयोग करें, इस उदाहरण को ध्यान में रखते हुए, लेकिन पिछले उदाहरण के विपरीत, यहां अस्पष्टता है: स्पर्शरेखा बिंदु का भुज स्पष्ट रूप से इंगित नहीं किया गया है।
आइए इस तरह सोचना शुरू करें। वांछित स्पर्शरेखा सीधी रेखा y = 4x-5 के समानांतर होनी चाहिए। दो रेखाएँ समानांतर होती हैं यदि और केवल यदि उनकी ढलानें समान हों। इसका मतलब है कि स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक बराबर होना चाहिए ढलानदी गई सीधी रेखा: इस प्रकार, हम समीकरण f"(a) = 4 से a का मान ज्ञात कर सकते हैं।
हमारे पास है:
समीकरण से इसका मतलब यह है कि दो स्पर्शरेखाएँ हैं जो समस्या की शर्तों को पूरा करती हैं: एक भुज 2 वाले बिंदु पर, दूसरी भुज -2 वाले बिंदु पर।
अब आप एल्गोरिथम का पालन कर सकते हैं।

उदाहरण 3.बिंदु (0; 1) से फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्श रेखा खींचें
आइए स्पर्शरेखा समीकरण बनाने के लिए एल्गोरिदम का उपयोग करें, इस उदाहरण को ध्यान में रखते हुए, ध्यान दें कि यहां, उदाहरण 2 की तरह, स्पर्शरेखा बिंदु का भुज स्पष्ट रूप से इंगित नहीं किया गया है। फिर भी, हम एल्गोरिथम का पालन करते हैं।

शर्त के अनुसार, स्पर्शरेखा बिंदु (0; 1) से होकर गुजरती है। मान x = 0, y = 1 को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
जैसा कि आप देख सकते हैं, इस उदाहरण में, एल्गोरिदम के केवल चौथे चरण में हम स्पर्शरेखा बिंदु का भुज खोजने में कामयाब रहे। मान a =4 को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

चित्र में. 127 सुविचारित उदाहरण का एक ज्यामितीय चित्रण प्रस्तुत करता है: फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ प्लॉट किया गया है

§ 32 में हमने नोट किया कि एक फ़ंक्शन y = f(x) के लिए, जिसका एक निश्चित बिंदु x पर व्युत्पन्न है, अनुमानित समानता मान्य है:

आगे के तर्क की सुविधा के लिए, आइए संकेतन को बदलें: x के स्थान पर हम a लिखेंगे, उसके स्थान पर हम x लिखेंगे और, तदनुसार, उसके स्थान पर हम x-a लिखेंगे। तब ऊपर लिखी अनुमानित समानता का रूप ले लेगी:

अब चित्र देखें। 128. फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ़ पर बिंदु M (a; f (a)) पर एक स्पर्श रेखा खींची जाती है। बिंदु x को x-अक्ष पर a के निकट अंकित किया गया है। यह स्पष्ट है कि f(x) फ़ंक्शन के ग्राफ़ की कोटि है निर्दिष्ट बिंदुएक्स। f(a) + f"(a) (x-a) क्या है? यह उसी बिंदु x के संगत स्पर्शरेखा की कोटि है - सूत्र (1) देखें। अनुमानित समानता (3) का क्या अर्थ है? तथ्य फ़ंक्शन के अनुमानित मान की गणना करने के लिए, स्पर्शरेखा का कोटि मान लें।

उदाहरण 4.अनुमानित मूल्य ज्ञात कीजिए संख्यात्मक अभिव्यक्ति 1,02 7 .
इसके बारे मेंबिंदु x = 1.02 पर फलन y = x 7 का मान ज्ञात करने के बारे में। आइए इस उदाहरण में इसे ध्यान में रखते हुए सूत्र (3) का उपयोग करें
परिणामस्वरूप हमें मिलता है:

यदि हम कैलकुलेटर का उपयोग करते हैं, तो हमें मिलता है: 1.02 7 = 1.148685667...
जैसा कि आप देख सकते हैं, सन्निकटन सटीकता काफी स्वीकार्य है।
उत्तर: 1,02 7 =1,14.

ए.जी. मोर्दकोविच बीजगणित 10वीं कक्षा

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