किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण

पी. रोमानोव, टी. रोमानोवा,
मैग्नीटोगोर्स्क,
चेल्याबिंस्क क्षेत्र

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का समीकरण

लेख ITAKA+ होटल कॉम्प्लेक्स के सहयोग से प्रकाशित किया गया था। जहाज निर्माणकर्ताओं के शहर सेवेरोडविंस्क में रहने पर आपको अस्थायी आवास खोजने की समस्या का सामना नहीं करना पड़ेगा। , वेबसाइट पर होटल परिसर"इथाका+" http://itakaplus.ru, आप दैनिक भुगतान के साथ, किसी भी अवधि के लिए शहर में आसानी से और जल्दी से एक अपार्टमेंट किराए पर ले सकते हैं।

पर आधुनिक मंचशिक्षा का विकास, इसका एक मुख्य कार्य रचनात्मक सोच वाले व्यक्तित्व का निर्माण है। छात्रों में रचनात्मकता की क्षमता तभी विकसित हो सकती है जब वे अनुसंधान गतिविधियों की मूल बातों में व्यवस्थित रूप से शामिल हों। छात्रों के लिए अपनी रचनात्मक शक्तियों, क्षमताओं और प्रतिभाओं का उपयोग करने की नींव पूर्ण ज्ञान और कौशल से बनती है। इस संबंध में, स्कूली गणित पाठ्यक्रम के प्रत्येक विषय के लिए बुनियादी ज्ञान और कौशल की एक प्रणाली बनाने की समस्या का कोई छोटा महत्व नहीं है। साथ ही, पूर्ण कौशल व्यक्तिगत कार्यों का नहीं, बल्कि उनकी सावधानीपूर्वक सोची-समझी प्रणाली का उपदेशात्मक लक्ष्य होना चाहिए। व्यापक अर्थ में, एक प्रणाली को अखंडता और एक स्थिर संरचना के साथ परस्पर जुड़े हुए तत्वों के एक समूह के रूप में समझा जाता है।

आइए छात्रों को किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा के लिए समीकरण लिखने का तरीका सिखाने की एक तकनीक पर विचार करें। अनिवार्य रूप से, स्पर्शरेखा समीकरण खोजने की सभी समस्याएं रेखाओं के एक सेट (बंडल, परिवार) से चयन करने की आवश्यकता पर आती हैं जो एक निश्चित आवश्यकता को पूरा करती हैं - वे एक निश्चित फ़ंक्शन के ग्राफ के स्पर्शरेखा हैं। इस मामले में, लाइनों का सेट जिससे चयन किया जाता है, दो तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है:

a) xOy समतल पर स्थित एक बिंदु (रेखाओं की केंद्रीय पेंसिल);
बी) कोणीय गुणांक (सीधी रेखाओं की समानांतर किरण)।

इस संबंध में, सिस्टम के तत्वों को अलग करने के लिए "फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा" विषय का अध्ययन करते समय, हमने दो प्रकार की समस्याओं की पहचान की:

1) स्पर्शरेखा पर समस्याएँ उस बिंदु द्वारा दी जाती हैं जिससे वह गुजरती है;
2) इसकी ढलान द्वारा दी गई स्पर्शरेखा पर समस्याएं।

ए.जी. द्वारा प्रस्तावित एल्गोरिदम का उपयोग करके स्पर्शरेखा समस्याओं को हल करने का प्रशिक्षण दिया गया। मोर्दकोविच. उसका मूलभूत अंतरजो पहले से ही ज्ञात हैं, उनमें से यह है कि स्पर्शरेखा बिंदु का भुज (abscissa) अक्षर a (x0 के बजाय) द्वारा दर्शाया जाता है, और इसलिए स्पर्शरेखा का समीकरण रूप लेता है

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0) से तुलना करें)। व्यवस्थित तकनीकहमारी राय में, छात्रों को जल्दी और आसानी से यह समझने की अनुमति मिलती है कि सामान्य स्पर्शरेखा समीकरण में वर्तमान बिंदु के निर्देशांक कहाँ लिखे गए हैं, और स्पर्शरेखा बिंदु कहाँ हैं।

फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा समीकरण की रचना के लिए एल्गोरिदम

1. स्पर्शरेखा बिंदु के भुज को अक्षर a से निर्दिष्ट करें।
2. f(a) खोजें।
3. f "(x) और f "(a) खोजें।
4. पाई गई संख्याओं a, f(a), f "(a) को इसमें प्रतिस्थापित करें सामान्य समीकरणस्पर्श रेखा y = f(a) = f "(a)(x – a).

इस एल्गोरिदम को छात्रों की संचालन की स्वतंत्र पहचान और उनके कार्यान्वयन के अनुक्रम के आधार पर संकलित किया जा सकता है।

अभ्यास से पता चला है कि एल्गोरिदम का उपयोग करके प्रत्येक प्रमुख समस्या का अनुक्रमिक समाधान आपको चरणों में किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के समीकरण को लिखने के कौशल को विकसित करने की अनुमति देता है, और एल्गोरिदम के चरण कार्यों के लिए संदर्भ बिंदु के रूप में कार्य करते हैं . यह दृष्टिकोण पी.वाई.ए. द्वारा विकसित मानसिक क्रियाओं के क्रमिक गठन के सिद्धांत से मेल खाता है। गैल्परिन और एन.एफ. तालिज़िना।

पहले प्रकार के कार्यों में, दो प्रमुख कार्यों की पहचान की गई:

• स्पर्शरेखा वक्र पर स्थित एक बिंदु से होकर गुजरती है (समस्या 1);
• स्पर्शरेखा एक ऐसे बिंदु से होकर गुजरती है जो वक्र पर नहीं है (समस्या 2)।

कार्य 1. फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण लिखें बिंदु M(3; – 2) पर।

समाधान। चूँकि बिंदु M(3; – 2) एक स्पर्शरेखा बिंदु है

1. ए = 3 - स्पर्शरेखा बिंदु का भुज।
2. एफ(3) = – 2.
3. एफ "(एक्स) = एक्स 2 – 4, एफ "(3) = 5.
y = - 2 + 5(x - 3), y = 5x - 17 - स्पर्शरेखा समीकरण।

समस्या 2. फ़ंक्शन y = - x 2 - 4x + 2 के ग्राफ़ पर बिंदु M(- 3; 6) से गुजरने वाली सभी स्पर्शरेखाओं के समीकरण लिखें।

समाधान। बिंदु M(- 3; 6) एक स्पर्शरेखा बिंदु नहीं है, क्योंकि f(- 3) 6 (चित्र 2)।

2. एफ(ए) = - ए 2 - 4ए + 2.
3. एफ "(एक्स) = - 2एक्स - 4, एफ "(ए) = - 2ए - 4.
4. y = - a 2 - 4a + 2 - 2(a + 2)(x - a) - स्पर्शरेखा समीकरण।

स्पर्शरेखा बिंदु M(-3; 6) से होकर गुजरती है, इसलिए, इसके निर्देशांक स्पर्शरेखा समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

6 = - ए 2 - 4ए + 2 - 2(ए + 2)(- 3 - ए),
ए 2 + 6ए + 8 = 0^ ए 1 = - 4, ए 2 = - 2।

यदि a = – 4, तो स्पर्श रेखा समीकरण y = 4x + 18 है।

यदि a = – 2 है, तो स्पर्श रेखा समीकरण का रूप y = 6 है।

दूसरे प्रकार में, प्रमुख कार्य निम्नलिखित होंगे:

• स्पर्शरेखा किसी रेखा के समानांतर है (समस्या 3);
• स्पर्शरेखा दी गई रेखा से एक निश्चित कोण पर गुजरती है (समस्या 4)।

समस्या 3. फलन y = x 3 – 3x 2 + 3 के ग्राफ की सभी स्पर्शरेखाओं के समीकरण, रेखा y = 9x + 1 के समानांतर लिखें।

समाधान।

1. ए - स्पर्शरेखा बिंदु का भुज.
2. एफ(ए) = ए 3 - 3ए 2 + 3.
3. एफ "(एक्स) = 3एक्स 2 - 6एक्स, एफ "(ए) = 3ए 2 - 6ए।

लेकिन, दूसरी ओर, f'(a) = 9 (समानांतर स्थिति)। इसका मतलब है कि हमें समीकरण 3a 2 - 6a = 9 को हल करने की आवश्यकता है। इसके मूल a = - 1, a = 3 हैं (चित्र 3) ).

4.1) ए = – 1;
2) एफ(-1) =-1;
3) एफ "(-1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – स्पर्शरेखा समीकरण;

1) ए = 3;
2) एफ(3) = 3;
3) एफ "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – स्पर्शरेखा समीकरण.

समस्या 4. फ़ंक्शन y = 0.5x 2 - 3x + 1 के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का समीकरण लिखें, जो सीधी रेखा y = 0 से 45° के कोण पर गुजरती है (चित्र 4)।

समाधान। शर्त f'(a) = tan 45° से हम पाते हैं a: a - 3 = 1^ए = 4.

1. ए = 4 - स्पर्शरेखा बिंदु का भुज।
2. एफ(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. एफ "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – स्पर्श रेखा समीकरण.

यह दिखाना आसान है कि किसी अन्य समस्या को हल करने से एक या अधिक प्रमुख समस्याओं का समाधान हो जाता है। उदाहरण के तौर पर निम्नलिखित दो समस्याओं पर विचार करें।

1. परवलय y = 2x 2 - 5x - 2 की स्पर्शरेखाओं के समीकरण लिखें, यदि स्पर्शरेखाएँ समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं और उनमें से एक परवलय को भुज 3 वाले बिंदु पर स्पर्श करती है (चित्र 5)।

समाधान। चूँकि स्पर्शरेखा बिंदु का भुज दिया गया है, समाधान का पहला भाग मुख्य समस्या 1 तक कम हो गया है।

1. ए = 3 - समकोण की किसी एक भुजा के स्पर्श बिंदु का भुज।
2. एफ(3) = 1.
3. एफ "(एक्स) = 4एक्स - 5, एफ "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – प्रथम स्पर्शरेखा का समीकरण।

चलो ए – प्रथम स्पर्श रेखा के झुकाव का कोण. चूँकि स्पर्शरेखाएँ लंबवत हैं, तो दूसरी स्पर्शरेखा का झुकाव कोण है। समीकरण y = 7x – 20 से पहली स्पर्श रेखा से हमें tg प्राप्त होता हैए = 7. आइए खोजें

इसका मतलब है कि दूसरी स्पर्श रेखा का ढलान बराबर है।

आगे का समाधान मुख्य कार्य 3 पर आता है।

मान लीजिए कि B(c; f(c)) दूसरी रेखा का स्पर्श बिंदु है

1.- स्पर्शरेखा के दूसरे बिंदु का भुज.
2.
3.
4.
– दूसरे स्पर्शरेखा का समीकरण.

टिप्पणी। यदि छात्रों को लंबवत रेखाओं k 1 k 2 = - 1 के गुणांकों का अनुपात पता हो तो स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक अधिक आसानी से पाया जा सकता है।

2. फलन के ग्राफ़ में सभी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाओं के समीकरण लिखें

समाधान। कार्य सामान्य स्पर्शरेखा के स्पर्शरेखा बिंदुओं के भुज को खोजने के लिए नीचे आता है, अर्थात, मुख्य समस्या 1 को सामान्य रूप में हल करना, समीकरणों की एक प्रणाली तैयार करना और फिर इसे हल करना (चित्र 6)।

1. मान लीजिए a फ़ंक्शन y = x 2 + x + 1 के ग्राफ पर स्थित स्पर्शरेखा बिंदु का भुज है।
2. एफ(ए) = ए 2 + ए + 1.
3. एफ "(ए) = 2ए + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2।

1. मान लीजिए c फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्थित स्पर्शरेखा बिंदु का भुज है
2.
3. एफ "(सी) = सी।
4.

चूँकि स्पर्शरेखाएँ सामान्य हैं, तो

तो y = x + 1 और y = - 3x - 3 उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ हैं।

विचार किए गए कार्यों का मुख्य लक्ष्य छात्रों को अधिक जटिल समस्याओं को हल करते समय मुख्य समस्या के प्रकार को स्वतंत्र रूप से पहचानने के लिए तैयार करना है, जिसके लिए कुछ शोध कौशल (विश्लेषण, तुलना, सामान्यीकरण, एक परिकल्पना को आगे बढ़ाने की क्षमता, आदि) की आवश्यकता होती है। ऐसे कार्यों में कोई भी कार्य शामिल होता है जिसमें मुख्य कार्य एक घटक के रूप में शामिल होता है। आइए एक उदाहरण के रूप में स्पर्शरेखाओं के परिवार से एक फ़ंक्शन खोजने की समस्या (समस्या 1 के विपरीत) पर विचार करें।

3. किसके लिए b और c रेखाएँ y = x और y = - 2x हैं जो फ़ंक्शन y = x 2 + bx + c के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा हैं?

समाधान।

मान लीजिए t परवलय y = x 2 + bx + c के साथ सीधी रेखा y = x के स्पर्श बिंदु का भुज है; p, परवलय y = x 2 + bx + c के साथ सीधी रेखा y = - 2x के स्पर्श बिंदु का भुज है। तब स्पर्शरेखा समीकरण y = x, y = (2t + b)x + c – t 2 का रूप लेगा, और स्पर्शरेखा समीकरण y = – 2x, y = (2p + b)x + c – p 2 का रूप लेगा। .

आइए समीकरणों की एक प्रणाली बनाएं और हल करें

उत्तर:

स्वतंत्र रूप से हल करने योग्य समस्याएं

1. फ़ंक्शन y = 2x 2 - 4x + 3 के ग्राफ पर खींची गई स्पर्शरेखाओं के समीकरण को रेखा y = x + 3 के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर लिखें।

उत्तर: y = – 4x + 3, y = 6x – 9.5.

2. a के किन मानों के लिए फ़ंक्शन y = x 2 – ax के ग्राफ़ के भुज x 0 = 1 वाले बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा बिंदु M(2; 3) से होकर गुजरती है?

उत्तर: ए = 0.5.

3. p के किन मानों के लिए सीधी रेखा y = px – 5 वक्र y = 3x 2 – 4x – 2 को स्पर्श करती है?

उत्तर: पी 1 = – 10, पी 2 = 2.

4. फ़ंक्शन y = 3x – x 3 के ग्राफ़ के सभी सामान्य बिंदु और बिंदु P(0; 16) के माध्यम से इस ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा ज्ञात करें।

उत्तर: ए(2;-2), बी(-4;52).

5. परवलय y = x 2 + 6x + 10 और सीधी रेखा के बीच न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए

उत्तर:

6. वक्र y = x 2 – x + 1 पर, वह बिंदु ज्ञात कीजिए जिस पर ग्राफ़ की स्पर्श रेखा सीधी रेखा y – 3x + 1 = 0 के समानांतर है।

उत्तर: एम(2; 3).

7. फलन y = x 2 + 2x – | के ग्राफ की स्पर्शरेखा का समीकरण लिखिए। 4x |, जो इसे दो बिंदुओं पर छूता है। एक चित्र बनाओ.

उत्तर: y = 2x – 4.

8. सिद्ध कीजिए कि रेखा y = 2x – 1 वक्र y = x 4 + 3x 2 + 2x को नहीं काटती है। उनके निकटतम बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

9. परवलय y = x 2 पर, भुज x 1 = 1, x 2 = 3 के साथ दो बिंदु लिए गए हैं। इन बिंदुओं के माध्यम से एक छेदक खींचा गया है। परवलय के किस बिंदु पर उसकी स्पर्शरेखा छेदक रेखा के समानांतर होगी? छेदक और स्पर्शरेखा समीकरण लिखिए।

उत्तर: y = 4x – 3 – छेदक समीकरण; y = 4x – 4 – स्पर्शरेखा समीकरण.

10. कोण q ज्ञात कीजिए फ़ंक्शन y = x 3 - 4x 2 + 3x + 1 के ग्राफ़ की स्पर्शरेखाओं के बीच, भुज 0 और 1 वाले बिंदुओं पर खींची गई।

उत्तर: q = 45°.

11. फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा किस बिंदु पर ऑक्स अक्ष के साथ 135° का कोण बनाती है?

उत्तर: ए(0; – 1), बी(4; 3).

12. वक्र के बिंदु A(1; 8) पर एक स्पर्श रेखा खींची जाती है. निर्देशांक अक्षों के बीच स्पर्शरेखा खंड की लंबाई ज्ञात करें।

उत्तर:

13. फलन y = x 2 – x + 1 और y = 2x 2 – x + 0.5 के ग्राफ़ पर सभी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं का समीकरण लिखें।

उत्तर: y = – 3x और y = x.

14. फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें x-अक्ष के समानांतर.

उत्तर:

15. निर्धारित करें कि परवलय y = x 2 + 2x – 8, x-अक्ष को किस कोण पर काटता है।

उत्तर: क्यू 1 = आर्कटान 6, क्यू 2 = आर्कटान (-6)।

16. फ़ंक्शन ग्राफ़ सभी बिंदु खोजें, जिनमें से प्रत्येक पर इस ग्राफ़ की स्पर्शरेखा निर्देशांक के सकारात्मक अर्ध-अक्षों को काटती है, उनसे समान खंड काटती है।

उत्तर: ए(- 3; 11).

17. रेखा y = 2x + 7 और परवलय y = x 2 - 1 बिंदु M और N पर प्रतिच्छेद करते हैं। बिंदु M और N पर परवलय की स्पर्शरेखा रेखाओं के प्रतिच्छेद का बिंदु K ज्ञात कीजिए।

उत्तर: K(1; – 9).

18. b के किन मानों के लिए रेखा y = 9x + b फ़ंक्शन y = x 3 – 3x + 15 के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा है?

उत्तर:-1; 31.

19. k के किन मानों के लिए सीधी रेखा y = kx – 10 में फलन y = 2x 2 + 3x – 2 के ग्राफ के साथ केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु है? K के पाए गए मानों के लिए, बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करें।

उत्तर: k 1 = – 5, ए(– 2; 0); के 2 = 11, बी(2; 12).

20. b के किन मानों के लिए फ़ंक्शन y = bx 3 – 2x 2 – 4 के ग्राफ पर भुज x 0 = 2 वाले बिंदु पर खींची गई स्पर्शरेखा बिंदु M(1; 8) से होकर गुजरती है?

उत्तर: बी = – 3.

21. ऑक्स अक्ष पर शीर्ष वाला एक परवलय बिंदु A(1; 2) और B(2; 4) से होकर गुजरने वाली रेखा को बिंदु B पर स्पर्श करता है। परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

22. गुणांक k के किस मान पर परवलय y = x 2 + kx + 1 ऑक्स अक्ष को स्पर्श करता है?

उत्तर: के = डी 2.

23. सीधी रेखा y = x + 2 और वक्र y = 2x 2 + 4x – 3 के बीच के कोण ज्ञात कीजिए।

29. 45° के कोण पर ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा और जेनरेटर के बीच की दूरी ज्ञात करें।

उत्तर:

30. रेखा y = 4x – 1 की स्पर्श रेखा y = x 2 + ax + b के रूप के सभी परवलयों के शीर्षों का स्थान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: सीधी रेखा y = 4x + 3.

साहित्य

1. ज़वाविच एल.आई., श्ल्यापोचनिक एल.वाई.ए., चिंकिना एम.वी. बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: स्कूली बच्चों और विश्वविद्यालयों में प्रवेश करने वालों के लिए 3600 समस्याएं। - एम., बस्टर्ड, 1999।
2. मोर्दकोविच ए. युवा शिक्षकों के लिए सेमिनार चार। विषय: व्युत्पन्न अनुप्रयोग। - एम., "गणित", संख्या 21/94।
3. मानसिक क्रियाओं के क्रमिक आत्मसात के सिद्धांत के आधार पर ज्ञान और कौशल का निर्माण।

/ एड. पी.या. गैल्पेरीना, एन.एफ. तालिज़िना।- एम., मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी, 1968। उदाहरण 1.(एक फ़ंक्शन दिया गया) = 3एक फ़ंक्शन दिया गया 2 + 4एक फ़ंक्शन दिया गयाएफ उदाहरण 1.(एक फ़ंक्शन दिया गयाएक्स एक फ़ंक्शन दिया गया 0 = 1.

समाधान।– 5. आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण लिखें उदाहरण 1.(एक फ़ंक्शन दिया गया) भुज के साथ ग्राफ़ बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ) किसी भी x के लिए मौजूद है

= (3एक फ़ंक्शन दिया गया 2 + 4एक फ़ंक्शन दिया गयाआर एक फ़ंक्शन दिया गया + 4.

. आइए उसे खोजें: उदाहरण 1.(एक फ़ंक्शन दिया गया 0) = उदाहरण 1.(1) = 2; (एक फ़ंक्शन दिया गया– 5)′ = 6

तब = (एक फ़ंक्शन दिया गया 0) (एक फ़ंक्शन दिया गया – एक फ़ंक्शन दिया गया 0) + उदाहरण 1.(एक फ़ंक्शन दिया गया 0),

तब = 10(एक फ़ंक्शन दिया गया – 1) + 2,

तब = 10एक फ़ंक्शन दिया गया – 8.

0) = = 10. स्पर्शरेखा समीकरण का रूप है: तब = 10एक फ़ंक्शन दिया गया – 8.

य- एम., मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी, 1968। उदाहरण 1.(एक फ़ंक्शन दिया गया) = एक फ़ंक्शन दिया गया 3 – 3एक फ़ंक्शन दिया गया 2 + 2एक फ़ंक्शन दिया गयाउत्तर। उदाहरण 1.(एक फ़ंक्शन दिया गयाउदाहरण 2. +5. आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण लिखें = 2एक फ़ंक्शन दिया गया – 11.

समाधान।– 5. आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण लिखें उदाहरण 1.(एक फ़ंक्शन दिया गया) भुज के साथ ग्राफ़ बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ) किसी भी x के लिए मौजूद है

= (एक फ़ंक्शन दिया गया 3 – 3एक फ़ंक्शन दिया गया 2 + 2एक फ़ंक्शन दिया गया), रेखा के समानांतर एक फ़ंक्शन दिया गया 2 – 6एक फ़ंक्शन दिया गया + 2.

य उदाहरण 1.(एक फ़ंक्शन दिया गया+5)′ = 3 एक फ़ंक्शन दिया गयाचूँकि फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा है +5. आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण लिखें = 2एक फ़ंक्शन दिया गया) भुज बिंदु पर एक फ़ंक्शन दिया गया 0 रेखा के समानांतर है एक फ़ंक्शन दिया गया– 6एक फ़ंक्शन दिया गया– 11, तो इसका ढलान 2 के बराबर है, अर्थात ( एक फ़ंक्शन दिया गया 0) = 2. आइए इस भुज को इस स्थिति से ज्ञात करें कि 3 एक फ़ंक्शन दिया गया 0 + 2 = 2. यह समानता तभी मान्य है जब उदाहरण 1.(एक फ़ंक्शन दिया गया 0 = 0 और पर तब = 2एक फ़ंक्शन दिया गया + 0 = 2. चूँकि दोनों ही स्थितियों में 0) = 5, फिर सीधा

बी 0 = 2. चूँकि दोनों ही स्थितियों मेंफ़ंक्शन के ग्राफ़ को या तो बिंदु (0; 5) पर या बिंदु (2; 5) पर स्पर्श करता है। 0 = 2. चूँकि दोनों ही स्थितियों मेंपहले मामले में, संख्यात्मक समानता 5 = 2×0 + सत्य है 0 = 2. चूँकि दोनों ही स्थितियों मेंफ़ंक्शन के ग्राफ़ को या तो बिंदु (0; 5) पर या बिंदु (2; 5) पर स्पर्श करता है। 0 = 2. चूँकि दोनों ही स्थितियों में = 1.

, कहाँ तब = 2एक फ़ंक्शन दिया गया= 5, और दूसरे मामले में संख्यात्मक समानता 5 = 2×2 + सत्य है तब = 2एक फ़ंक्शन दिया गयाअतः दो स्पर्श रेखाएँ हैं उदाहरण 1.(एक फ़ंक्शन दिया गया+ 5 और +5. आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण लिखें = 2एक फ़ंक्शन दिया गया – 11.

0) = = 10. स्पर्शरेखा समीकरण का रूप है: तब = 2एक फ़ंक्शन दिया गया + 5, तब = 2एक फ़ंक्शन दिया गया + 1.

फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर + 1- एम., मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी, 1968। उदाहरण 1.(एक फ़ंक्शन दिया गया) = एक फ़ंक्शन दिया गया 2 – 6एक फ़ंक्शन दिया गया), रेखा के समानांतर उदाहरण 1.(एक फ़ंक्शन दिया गयाउदाहरण 3. + 7. आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण लिखें (2; –5).

समाधान।), बिंदु से गुजर रहा है उदाहरण 1.ए + 7. आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण लिखेंक्योंकि उदाहरण 1.(एक फ़ंक्शन दिया गया(2)-5, फिर बिंदु एक फ़ंक्शन दिया गयाफ़ंक्शन के ग्राफ़ से संबंधित नहीं है

). होने देना उदाहरण 1.(एक फ़ंक्शन दिया गया) भुज के साथ ग्राफ़ बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ) किसी भी x के लिए मौजूद है

= (एक फ़ंक्शन दिया गया 2 – 6एक फ़ंक्शन दिया गया 0 - स्पर्शरेखा बिंदु का भुज। एक फ़ंक्शन दिया गया – 6.

. आइए उसे खोजें: उदाहरण 1.(एक फ़ंक्शन दिया गया 0) = एक फ़ंक्शन दिया गया– 6एक फ़ंक्शन दिया गया 0 + 7; (एक फ़ंक्शन दिया गया 0) = 2एक फ़ंक्शन दिया गयाकिसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

तब = (2एक फ़ंक्शन दिया गया 0 – 6)(एक फ़ंक्शन दिया गया – एक फ़ंक्शन दिया गया 0) + एक फ़ंक्शन दिया गया– 6एक फ़ंक्शन दिया गया+ 7,

तब = (2एक फ़ंक्शन दिया गया 0 – 6)एक फ़ंक्शन दिया गया– एक फ़ंक्शन दिया गया+ 7.

+ 1)′ = 2 + 7. आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण लिखें 0 – 6. स्पर्शरेखा समीकरण का रूप है:

–5 = (2एक फ़ंक्शन दिया गयाबिंदु के बाद से एक फ़ंक्शन दिया गया+ 7,

स्पर्शरेखा से संबंधित है, तो संख्यात्मक समानता सत्य है एक फ़ंक्शन दिया गया 0 – 6)×2– एक फ़ंक्शन दिया गयाकहाँ + 7. आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण लिखें 0 = 0 या उदाहरण 1.(एक फ़ंक्शन दिया गया).

0 = 4. इसका मतलब है कि बिंदु के माध्यम से एक फ़ंक्शन दिया गयाआप फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर दो स्पर्शरेखाएँ खींच सकते हैं तब = –6एक फ़ंक्शन दिया गयाअगर एक फ़ंक्शन दिया गया 0 = 0, तो स्पर्शरेखा समीकरण का रूप होता है तब = 2एक फ़ंक्शन दिया गया – 9.

0) = = 10. स्पर्शरेखा समीकरण का रूप है: तब = –6एक फ़ंक्शन दिया गया + 7, तब = 2एक फ़ंक्शन दिया गया – 9.

+ 7. यदि 0 = 4, तो स्पर्शरेखा समीकरण का रूप होता है उदाहरण 1.(एक फ़ंक्शन दिया गया) = एक फ़ंक्शन दिया गया 2 – 2एक फ़ंक्शन दिया गयाउदाहरण 4. कार्य दिए गए(एक फ़ंक्शन दिया गया) = –एक फ़ंक्शन दिया गया+ 2 और

समाधान।जी एक फ़ंक्शन दिया गया 2 - 3. आइए इन फलनों के ग्राफ़ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का समीकरण लिखें। उदाहरण 1.(एक फ़ंक्शन दिया गयाहोने देना एक फ़ंक्शन दिया गया 1 - फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ वांछित रेखा के स्पर्श बिंदु का भुज कार्य दिए गए(एक फ़ंक्शन दिया गया).

). होने देना उदाहरण 1.(एक फ़ंक्शन दिया गया) भुज के साथ ग्राफ़ बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ) किसी भी x के लिए मौजूद है

= (एक फ़ंक्शन दिया गया 2 – 2एक फ़ंक्शन दिया गया), ए एक फ़ंक्शन दिया गया – 2.

. आइए उसे खोजें: उदाहरण 1.(एक फ़ंक्शन दिया गया 1) = एक फ़ंक्शन दिया गया– 2एक फ़ंक्शन दिया गया 1 + 2; (एक फ़ंक्शन दिया गया 1) = 22 - फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ एक ही रेखा के स्पर्श बिंदु का भुज+2)′ = 2

तब = (2एक फ़ंक्शन दिया गया 1 – 2)(एक फ़ंक्शन दिया गया – एक फ़ंक्शन दिया गया 1) + एक फ़ंक्शन दिया गया– 2एक फ़ंक्शन दिया गया 1 + 2,

+5. आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण लिखें = (2एक फ़ंक्शन दिया गया 1 – 2)एक फ़ंक्शन दिया गया – एक फ़ंक्शन दिया गया+ 2. (1)

एक्स कार्य दिए गए(एक फ़ंक्शन दिया गया):

= (–एक फ़ंक्शन दिया गया 1 – 2. स्पर्शरेखा समीकरण का रूप है: एक फ़ंक्शन दिया गया.

आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

2 – 3)′ = –2

1. मान लीजिए कि एक फलन f दिया गया है, जिसका किसी बिंदु x 0 पर एक परिमित अवकलज f (x 0) है। फिर कोणीय गुणांक f'(x 0) वाले बिंदु (x 0 ; f (x 0)) से गुजरने वाली सीधी रेखा स्पर्शरेखा कहलाती है।
2. यदि व्युत्पन्न बिंदु x 0 पर मौजूद नहीं है तो क्या होगा? दो विकल्प हैं:

ग्राफ़ में कोई स्पर्शरेखा भी नहीं है। एक क्लासिक उदाहरण फ़ंक्शन y = |x | है बिंदु पर (0; 0).

कोई भी गैर-ऊर्ध्वाधर सीधी रेखा y = kx + b के रूप के समीकरण द्वारा दी जाती है, जहां k ढलान है। स्पर्शरेखा कोई अपवाद नहीं है, और किसी बिंदु x 0 पर इसका समीकरण बनाने के लिए, इस बिंदु पर फ़ंक्शन और व्युत्पन्न का मान जानना पर्याप्त है।

तो, मान लीजिए कि एक फ़ंक्शन y = f (x) दिया गया है, जिसका खंड पर व्युत्पन्न y = f '(x) है। फिर किसी भी बिंदु x 0 ∈ (a ; b) पर इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है, जो समीकरण द्वारा दी गई है:

y = f '(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

यहां f '(x 0) बिंदु x 0 पर व्युत्पन्न का मान है, और f (x 0) स्वयं फ़ंक्शन का मान है।

काम। फ़ंक्शन y = x 3 दिया गया है। बिंदु x 0 = 2 पर इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण लिखें।

स्पर्शरेखा समीकरण: y = f '(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). बिंदु x 0 = 2 हमें दिया गया है, लेकिन मान f (x 0) और f '(x 0) की गणना करनी होगी।

सबसे पहले, आइए फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें। यहां सब कुछ आसान है: एफ (एक्स 0) = एफ (2) = 2 3 = 8;
आइए अब व्युत्पन्न खोजें: f '(x) = (x 3)' = 3x 2;
हम व्युत्पन्न में x 0 = 2 प्रतिस्थापित करते हैं: f '(x 0) = f'(2) = 3 2 2 = 12;
कुल मिलाकर हमें मिलता है: y = 12 · (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16।
यह स्पर्शरेखा समीकरण है.

काम। फ़ंक्शन f (x) = 2sin x + 5 के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा के लिए बिंदु x 0 = π /2 पर एक समीकरण लिखें।

इस बार हम प्रत्येक क्रिया का विस्तार से वर्णन नहीं करेंगे - हम केवल मुख्य चरणों का संकेत देंगे। हमारे पास है:

एफ (एक्स 0) = एफ (π /2) = 2सिन (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x;
f '(x 0) = f '(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

स्पर्शरेखा समीकरण:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

बाद के मामले में, सीधी रेखा क्षैतिज हो गई, क्योंकि इसका कोणीय गुणांक k = 0 है। इसमें कुछ भी गलत नहीं है - हम बस एक चरम बिंदु पर पहुँच गए हैं।

स्पर्शरेखा एक सीधी रेखा है , जो फ़ंक्शन के ग्राफ़ को एक बिंदु पर छूता है और जिसके सभी बिंदु फ़ंक्शन के ग्राफ़ से सबसे कम दूरी पर हैं। इसलिए, स्पर्शरेखा एक निश्चित कोण पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा से गुजरती है और विभिन्न कोणों पर कई स्पर्शरेखाएं स्पर्शरेखा के बिंदु से नहीं गुजर सकती हैं। किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा समीकरण और सामान्य समीकरण व्युत्पन्न का उपयोग करके बनाए जाते हैं।

स्पर्शरेखा समीकरण रेखा समीकरण से प्राप्त होता है .

आइए स्पर्शरेखा का समीकरण और फिर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अभिलंब का समीकरण प्राप्त करें।

तब = केएक्स + 0 = 2. चूँकि दोनों ही स्थितियों में .

इस में के- कोणीय गुणांक.

यहाँ से हमें निम्नलिखित प्रविष्टि मिलती है:

तब - तब 0 = के(एक फ़ंक्शन दिया गया - एक फ़ंक्शन दिया गया 0 ) .

व्युत्पन्न मूल्य उदाहरण 1. "(एक फ़ंक्शन दिया गया 0 ) कार्य तब = उदाहरण 1.(एक फ़ंक्शन दिया गया) बिंदु पर एक फ़ंक्शन दिया गया0 के बराबर होती है ढलान के= टीजी φ एक बिंदु के माध्यम से खींचे गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा एम0 (एक फ़ंक्शन दिया गया 0 , तब 0 ) , कहाँ तब0 = उदाहरण 1.(एक फ़ंक्शन दिया गया 0 ) . यह है ज्यामितीय अर्थयौगिक .

इस प्रकार, हम प्रतिस्थापित कर सकते हैं केपर उदाहरण 1. "(एक फ़ंक्शन दिया गया 0 ) और निम्नलिखित प्राप्त करें किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण :

तब - तब 0 = उदाहरण 1. "(एक फ़ंक्शन दिया गया 0 )(एक फ़ंक्शन दिया गया - एक फ़ंक्शन दिया गया 0 ) .

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के समीकरण को बनाने से जुड़ी समस्याओं में (और हम जल्द ही उन पर आगे बढ़ेंगे), उपरोक्त सूत्र से प्राप्त समीकरण को कम करना आवश्यक है सामान्य रूप में एक सीधी रेखा का समीकरण. ऐसा करने के लिए, आपको सभी अक्षरों और संख्याओं को समीकरण के बाईं ओर ले जाना होगा, और दाईं ओर शून्य छोड़ना होगा।

अब सामान्य समीकरण के बारे में। सामान्य - यह स्पर्शरेखा के लंबवत फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। सामान्य समीकरण :

(एक फ़ंक्शन दिया गया - एक फ़ंक्शन दिया गया 0 ) + उदाहरण 1. "(एक फ़ंक्शन दिया गया 0 )(तब - तब 0 ) = 0

गर्मजोशी के लिए, आपको पहले उदाहरण को स्वयं हल करने के लिए कहा जाता है, और फिर समाधान को देखने के लिए कहा जाता है। यह आशा करने का हर कारण है कि यह कार्य हमारे पाठकों के लिए "ठंडा स्नान" नहीं होगा।

उदाहरण 0.किसी बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए एक स्पर्शरेखा समीकरण और एक सामान्य समीकरण बनाएं एम (1, 1) .

/ एड. पी.या. गैल्पेरीना, एन.एफ. तालिज़िना।किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए एक स्पर्शरेखा समीकरण और एक सामान्य समीकरण लिखें , यदि भुज स्पर्शरेखा है .

आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

अब हमारे पास वह सब कुछ है जिसे स्पर्शरेखा समीकरण प्राप्त करने के लिए सैद्धांतिक सहायता में दी गई प्रविष्टि में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है। हम पाते हैं

इस उदाहरण में, हम भाग्यशाली थे: ढलान शून्य निकला, इसलिए हम अलग से समीकरण को कम करते हैं सामान्य उपस्थितिजरूरत नहीं थी. अब हम सामान्य समीकरण बना सकते हैं:

नीचे दिए गए चित्र में: बरगंडी रंग में एक फ़ंक्शन का ग्राफ़, स्पर्शरेखा हरा, नारंगी सामान्य।

अगला उदाहरण भी जटिल नहीं है: फ़ंक्शन, पिछले की तरह, भी एक बहुपद है, लेकिन ढलान शून्य के बराबर नहीं होगा, इसलिए एक और कदम जोड़ा जाएगा - समीकरण को सामान्य रूप में लाना।

य

समाधान। आइए स्पर्शरेखा बिंदु की कोटि ज्ञात करें:

आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

.

आइए स्पर्शरेखा के बिंदु पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें, अर्थात स्पर्शरेखा का ढलान:

हम सभी प्राप्त डेटा को "रिक्त सूत्र" में प्रतिस्थापित करते हैं और स्पर्शरेखा समीकरण प्राप्त करते हैं:

हम समीकरण को उसके सामान्य रूप में लाते हैं (हम बाईं ओर शून्य के अलावा सभी अक्षरों और संख्याओं को एकत्र करते हैं, और दाईं ओर शून्य छोड़ते हैं):

हम सामान्य समीकरण बनाते हैं:

फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर + 1यदि भुज स्पर्शरेखा बिंदु है तो फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा समीकरण और एक सामान्य समीकरण लिखें।

समाधान। आइए स्पर्शरेखा बिंदु की कोटि ज्ञात करें:

आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

.

आइए स्पर्शरेखा के बिंदु पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें, अर्थात स्पर्शरेखा का ढलान:

.

हम स्पर्शरेखा समीकरण पाते हैं:

समीकरण को उसके सामान्य रूप में लाने से पहले, आपको इसे थोड़ा "कंघलने" की आवश्यकता है: प्रत्येक पद को 4 से गुणा करें। हम ऐसा करते हैं और समीकरण को उसके सामान्य रूप में लाते हैं:

हम सामान्य समीकरण बनाते हैं:

+ 7. यदियदि भुज स्पर्शरेखा बिंदु है तो फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा समीकरण और एक सामान्य समीकरण लिखें।

समाधान। आइए स्पर्शरेखा बिंदु की कोटि ज्ञात करें:

.

आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

आइए स्पर्शरेखा के बिंदु पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें, अर्थात स्पर्शरेखा का ढलान:

.

हमें स्पर्शरेखा समीकरण मिलता है:

हम समीकरण को उसके सामान्य रूप में लाते हैं:

हम सामान्य समीकरण बनाते हैं:

स्पर्शरेखा और सामान्य समीकरण लिखते समय एक सामान्य गलती यह ध्यान नहीं देना है कि उदाहरण में दिया गया फ़ंक्शन जटिल है और इसके व्युत्पन्न की गणना एक साधारण फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में करना है। निम्नलिखित उदाहरण पहले से ही हैं जटिल कार्य(संबंधित पाठ एक नई विंडो में खुलेगा)।

उदाहरण 5.यदि भुज स्पर्शरेखा बिंदु है तो फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा समीकरण और एक सामान्य समीकरण लिखें।

समाधान। आइए स्पर्शरेखा बिंदु की कोटि ज्ञात करें:

ध्यान! यह फ़ंक्शन जटिल है, क्योंकि स्पर्शरेखा तर्क (2 एक फ़ंक्शन दिया गया) स्वयं एक फ़ंक्शन है। इसलिए, हम किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में पाते हैं।

Y = f(x) और यदि इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है जो भुज अक्ष के लंबवत नहीं है, तो स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक f"(a) के बराबर है। हम पहले ही कर चुके हैं उदाहरण के लिए, § 33 में यह स्थापित किया गया था कि मूल बिंदु पर फ़ंक्शन y = syn x (साइनसॉइड) का ग्राफ x-अक्ष के साथ 45° का कोण बनाता है (अधिक सटीक रूप से, स्पर्शरेखा)। मूल बिंदु पर ग्राफ x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ 45° का कोण बनाता है), और उदाहरण में दिए गए शेड्यूल पर 5 § 33 अंक पाए गए कार्य, जिसमें स्पर्शरेखा x-अक्ष के समानांतर है। § 33 के उदाहरण 2 में, बिंदु x = 1 पर फ़ंक्शन y = x 2 के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण तैयार किया गया था (अधिक सटीक रूप से, बिंदु (1; 1) पर), लेकिन अधिक बार केवल भुज मान होता है यह मानते हुए संकेत दिया गया है कि यदि भुज मान ज्ञात है, तो कोटि मान समीकरण y = f(x)) से पाया जा सकता है। इस अनुभाग में हम किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा समीकरण बनाने के लिए एक एल्गोरिदम विकसित करेंगे।

मान लीजिए कि फ़ंक्शन y = f(x) और बिंदु M (a; f(a)) दिया गया है, और यह भी ज्ञात है कि f"(a) मौजूद है। आइए हम ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण बनाएं दिया गया कार्यकिसी दिए गए बिंदु पर. यह समीकरण, किसी भी सीधी रेखा के समीकरण की तरह, जो कोटि अक्ष के समानांतर नहीं है, का रूप y = kx+m है, इसलिए कार्य गुणांक k और m के मान ज्ञात करना है।

कोणीय गुणांक k के साथ कोई समस्या नहीं है: हम जानते हैं कि k = f "(a)। m के मान की गणना करने के लिए, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि वांछित सीधी रेखा बिंदु M(a; f (a)) से होकर गुजरती है। इसका मतलब यह है कि यदि हम निर्देशांक बिंदु M को सीधी रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें सही समानता प्राप्त होती है: f(a) = ka+m, जिससे हम पाते हैं कि m = f(a) - ka।
इसमें किट गुणांक के पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करना बाकी है समीकरणप्रत्यक्ष:

हमने बिंदु x=a पर फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा के लिए समीकरण प्राप्त कर लिया है।
अगर, कहो,
पाए गए मान a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2 को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: y = 1+2(x-f), यानी y = 2x-1।
इस परिणाम की तुलना § 33 से उदाहरण 2 में प्राप्त परिणाम से करें। स्वाभाविक रूप से, वही हुआ।
आइए मूल बिंदु पर फ़ंक्शन y = tan x के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा के लिए एक समीकरण बनाएं। हमारे पास है: इसका मतलब है cos x f"(0) = 1. पाए गए मान a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1 को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: y = x।
यही कारण है कि हमने § 15 (चित्र 62 देखें) में स्पर्शरेखा को भुज अक्ष से 45° के कोण पर निर्देशांक की उत्पत्ति के माध्यम से खींचा।
इन्हें काफी सुलझाना है सरल उदाहरण, हमने वास्तव में एक निश्चित एल्गोरिदम का उपयोग किया है, जो सूत्र (1) में निहित है। आइए इस एल्गोरिदम को स्पष्ट करें।

फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण विकसित करने के लिए एल्गोरिदम

1) स्पर्शरेखा बिंदु के भुज को अक्षर a से निर्दिष्ट करें।
2) 1 (ए) की गणना करें।
3) f"(x) ढूंढें और f"(a) की गणना करें।
4) प्राप्त संख्याओं a, f(a), (a) को सूत्र (1) में प्रतिस्थापित करें।

/ एड. पी.या. गैल्पेरीना, एन.एफ. तालिज़िना।बिंदु x = 1 पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा के लिए एक समीकरण लिखें।
आइए इसे ध्यान में रखते हुए एल्गोरिदम का उपयोग करें इस उदाहरण में

चित्र में. 126 एक अतिपरवलय दर्शाया गया है, एक सीधी रेखा y = 2 का निर्माण किया गया है।
चित्र उपरोक्त गणनाओं की पुष्टि करता है: वास्तव में, सीधी रेखा y = 2 बिंदु (1; 1) पर हाइपरबोला को छूती है।

उत्तर: y = 2- x.
यफ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा बनाएं ताकि वह रेखा y = 4x - 5 के समानांतर हो।
आइए हम समस्या का सूत्रीकरण स्पष्ट करें। "स्पर्शरेखा खींचने" की आवश्यकता का आमतौर पर अर्थ "स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण बनाना" होता है। यह तर्कसंगत है, क्योंकि यदि कोई व्यक्ति स्पर्शरेखा के लिए समीकरण बनाने में सक्षम था, तो उसे इसके समीकरण का उपयोग करके निर्देशांक तल पर एक सीधी रेखा बनाने में कठिनाई होने की संभावना नहीं है।
आइए स्पर्शरेखा समीकरण बनाने के लिए एल्गोरिदम का उपयोग करें, यह ध्यान में रखते हुए कि इस उदाहरण में, लेकिन, पिछले उदाहरण के विपरीत, अस्पष्टता है: स्पर्शरेखा बिंदु का भुज स्पष्ट रूप से इंगित नहीं किया गया है।
आइए इस तरह सोचना शुरू करें। वांछित स्पर्शरेखा सीधी रेखा y = 4x-5 के समानांतर होनी चाहिए। दो रेखाएँ समानांतर होती हैं यदि और केवल यदि उनकी ढलानें समान हों। इसका मतलब यह है कि स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक दी गई सीधी रेखा के कोणीय गुणांक के बराबर होना चाहिए: इस प्रकार, हम समीकरण f"(a) = 4 से a का मान ज्ञात कर सकते हैं।
हमारे पास है:
समीकरण से इसका मतलब यह है कि दो स्पर्शरेखाएँ हैं जो समस्या की शर्तों को पूरा करती हैं: एक भुज 2 वाले बिंदु पर, दूसरी भुज -2 वाले बिंदु पर।
अब आप एल्गोरिथम का पालन कर सकते हैं।

फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर + 1बिंदु (0; 1) से फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्श रेखा खींचें
आइए स्पर्शरेखा समीकरण बनाने के लिए एल्गोरिदम का उपयोग करें, इस उदाहरण को ध्यान में रखते हुए, ध्यान दें कि यहां, उदाहरण 2 की तरह, स्पर्शरेखा बिंदु का भुज स्पष्ट रूप से इंगित नहीं किया गया है। फिर भी, हम एल्गोरिथम का पालन करते हैं।

शर्त के अनुसार, स्पर्शरेखा बिंदु (0; 1) से होकर गुजरती है। मान x = 0, y = 1 को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
जैसा कि आप देख सकते हैं, इस उदाहरण में, एल्गोरिदम के केवल चौथे चरण में हम स्पर्शरेखा बिंदु का भुज खोजने में कामयाब रहे। मान a =4 को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

चित्र में. 127 सुविचारित उदाहरण का एक ज्यामितीय चित्रण प्रस्तुत करता है: फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ प्लॉट किया गया है

§ 32 में हमने नोट किया कि एक फ़ंक्शन y = f(x) के लिए, जिसका एक निश्चित बिंदु x पर व्युत्पन्न है, अनुमानित समानता मान्य है:

आगे के तर्क की सुविधा के लिए, आइए संकेतन को बदलें: x के स्थान पर हम a लिखेंगे, उसके स्थान पर हम x लिखेंगे और, तदनुसार, उसके स्थान पर हम x-a लिखेंगे। तब ऊपर लिखी अनुमानित समानता का रूप ले लेगी:

अब चित्र देखें। 128. फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ़ पर बिंदु M (a; f (a)) पर एक स्पर्श रेखा खींची जाती है। बिंदु x को x-अक्ष पर a के निकट अंकित किया गया है। यह स्पष्ट है कि f(x) फ़ंक्शन के ग्राफ़ की कोटि है निर्दिष्ट बिंदुएक्स। f(a) + f"(a) (x-a) क्या है? यह उसी बिंदु x के संगत स्पर्शरेखा की कोटि है - सूत्र (1) देखें। अनुमानित समानता (3) का क्या अर्थ है? तथ्य फ़ंक्शन के अनुमानित मान की गणना करने के लिए, स्पर्शरेखा का कोटि मान लें।

+ 7. यदिअनुमानित मूल्य ज्ञात कीजिए संख्यात्मक अभिव्यक्ति 1,02 7 .
इसके बारे मेंबिंदु x = 1.02 पर फलन y = x 7 का मान ज्ञात करने के बारे में। आइए इस उदाहरण में इसे ध्यान में रखते हुए सूत्र (3) का उपयोग करें
परिणामस्वरूप हमें मिलता है:

यदि हम कैलकुलेटर का उपयोग करते हैं, तो हमें मिलता है: 1.02 7 = 1.148685667...
जैसा कि आप देख सकते हैं, सन्निकटन सटीकता काफी स्वीकार्य है।
उत्तर: 1,02 7 =1,14.

ए.जी. मोर्दकोविच बीजगणित 10वीं कक्षा

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