बीजगणित और समस्त गणित में मुख्य विशेषताओं में से एक डिग्री है। बेशक, 21वीं सदी में, सभी गणनाएँ ऑनलाइन कैलकुलेटर पर की जा सकती हैं, लेकिन मस्तिष्क के विकास के लिए यह सीखना बेहतर है कि इसे स्वयं कैसे किया जाए।

इस लेख में हम इस परिभाषा से संबंधित सबसे महत्वपूर्ण मुद्दों पर विचार करेंगे। अर्थात्, आइए समझें कि यह सामान्य रूप से क्या है और इसके मुख्य कार्य क्या हैं, गणित में क्या गुण हैं।

आइए उदाहरण देखें कि गणना कैसी दिखती है और मूल सूत्र क्या हैं। आइए मुख्य प्रकार की मात्राओं पर नजर डालें और वे अन्य कार्यों से कैसे भिन्न हैं।

आइए समझें कि इस मात्रा का उपयोग करके विभिन्न समस्याओं को कैसे हल किया जाए। हम उदाहरणों के साथ दिखाएंगे कि शून्य शक्ति, तर्कहीन, नकारात्मक आदि को कैसे बढ़ाया जाए।

ऑनलाइन घातांक कैलकुलेटर

किसी संख्या की शक्ति क्या है

"किसी संख्या को घात तक बढ़ाएँ" अभिव्यक्ति का क्या अर्थ है?

किसी संख्या की घात n एक पंक्ति में n बार परिमाण के कारकों का गुणनफल है।

गणितीय रूप से यह इस प्रकार दिखता है:

ए एन = ए * ए * ए * …ए एन।

उदाहरण के लिए:

• तीसरी डिग्री में 2 3 = 2. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 से कदम. दो = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 से कदम. चार = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 5 चरणों में। = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 = 10 4 चरणों में। = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

नीचे 1 से 10 तक वर्गों और घनों की एक तालिका है।

1 से 10 तक डिग्री की तालिका

प्राकृतिक संख्याओं को सकारात्मक घातों तक बढ़ाने के परिणाम नीचे दिए गए हैं - "1 से 100 तक"।

च-लो	दूसरा सेंट.	तीसरा चरण
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

डिग्री के गुण

ऐसे गणितीय फलन की विशेषता क्या है? आइए मूल गुणों पर नजर डालें।

वैज्ञानिकों ने निम्नलिखित स्थापित किया है सभी डिग्रियों की विशेषता वाले संकेत:

• ए एन * ए एम = (ए) (एन+एम) ;
• ए एन: ए एम = (ए) (एन-एम) ;
• (ए बी) एम =(ए) (बी*एम) .

आइए उदाहरणों से जांचें:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. दूसरी ओर, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

इसी प्रकार: 2 3: 2 2 = 8/4 =2. अन्यथा 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. यदि यह भिन्न है तो क्या होगा? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

जैसा कि आप देख सकते हैं, नियम काम करते हैं।

लेकिन क्या बारे में जोड़ और घटाव के साथ? यह आसान है। पहले घातांक लगाया जाता है, और फिर जोड़ और घटाव किया जाता है।

आइए उदाहरण देखें:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16। कृपया ध्यान दें: यदि आप पहले घटाते हैं तो नियम लागू नहीं होगा: (5 - 3) 2 = 2 2 = 4।

लेकिन इस मामले में, आपको पहले जोड़ की गणना करने की आवश्यकता है, क्योंकि कोष्ठक में क्रियाएं हैं: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512।

कैसे उत्पादन करें अधिक में गणना कठिन मामले ? क्रम वही है:

• यदि कोष्ठक हैं, तो आपको उनसे शुरुआत करने की आवश्यकता है;
• फिर घातांक;
• फिर गुणा और भाग की संक्रियाएँ निष्पादित करें;
• जोड़ने, घटाने के बाद.

खाओ विशिष्ट गुण, सभी डिग्रियों के लिए विशिष्ट नहीं:

1. किसी संख्या a से m डिग्री का nवाँ मूल इस प्रकार लिखा जाएगा: a m/n।
2. किसी भिन्न को घात तक बढ़ाते समय: अंश और उसका हर दोनों इस प्रक्रिया के अधीन होते हैं।
3. किसी कार्य का निर्माण करते समय अलग-अलग नंबरएक घात के लिए, अभिव्यक्ति इन संख्याओं के उत्पाद को दी गई घात के अनुरूप होगी। वह है: (ए * बी) एन = ए एन * बी एन।
4. किसी संख्या को ऋणात्मक घात तक बढ़ाते समय, आपको 1 को उसी सदी की एक संख्या से विभाजित करना होगा, लेकिन "+" चिह्न के साथ।
5. यदि भिन्न का हर अंदर है नकारात्मक डिग्री, तो यह अभिव्यक्ति अंश और हर के गुणनफल के बराबर एक सकारात्मक घात होगी।
6. किसी भी संख्या की घात 0 = 1, और घात। 1 = अपने आप को.

ये नियम कुछ मामलों में महत्वपूर्ण हैं; हम नीचे उन पर अधिक विस्तार से विचार करेंगे।

एक नकारात्मक घातांक के साथ डिग्री

माइनस डिग्री के साथ क्या करें, यानी जब संकेतक नकारात्मक हो?

गुण 4 और 5 के आधार पर(ऊपर बिंदु देखें), यह पता चला है:

ए (- एन) = 1 / ए एन, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25।

और इसके विपरीत:

1 / ए (- एन) = ए एन, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

यदि यह एक अंश है तो क्या होगा?

(ए/बी) (- एन) = (बी/ए) एन, (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9।

प्राकृतिक सूचक के साथ डिग्री

इसे पूर्णांकों के बराबर घातांक वाली डिग्री के रूप में समझा जाता है।

याद रखने वाली चीज़ें:

ए 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1...आदि।

ए 1 = ए, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3...आदि.

इसके अलावा, यदि (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...तो परिणाम "+" चिह्न के साथ होगा। यदि किसी ऋणात्मक संख्या को विषम घात तक बढ़ा दिया जाए, तो इसके विपरीत।

सामान्य गुण और ऊपर वर्णित सभी विशिष्ट विशेषताएं भी उनकी विशेषता हैं।

आंशिक डिग्री

इस प्रकार को एक योजना के रूप में लिखा जा सकता है: ए एम / एन। इस प्रकार पढ़ें: संख्या A से घात m तक nवाँ मूल।

आप भिन्नात्मक संकेतक के साथ जो चाहें कर सकते हैं: इसे कम करें, इसे भागों में विभाजित करें, इसे किसी अन्य शक्ति तक बढ़ाएं, आदि।

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री

मान लीजिए α एक अपरिमेय संख्या है और A ˃ 0 है।

ऐसे संकेतक के साथ डिग्री के सार को समझने के लिए, आइए विभिन्न संभावित मामलों पर नजर डालें:

• A = 1. परिणाम 1 के बराबर होगा। चूँकि एक स्वयंसिद्ध कथन है - सभी घातों में 1 एक के बराबर है;

ए आर 1 ˂ ए α ˂ ए आर 2 , आर 1 ˂ आर 2 - भिन्नात्मक संख्याएं;

• 0˂А˂1.

इस मामले में, यह दूसरा तरीका है: ए आर 2 ˂ ए α ˂ ए आर 1 दूसरे पैराग्राफ की समान शर्तों के तहत।

उदाहरण के लिए, घातांक संख्या π है।यह तर्कसंगत है.

आर 1 - इस मामले में 3 के बराबर है;

आर 2 – 4 के बराबर होगा.

फिर, A = 1 के लिए, 1 π = 1.

ए = 2, फिर 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

ए = 1/2, फिर (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8।

ऐसी डिग्रियों की विशेषता ऊपर वर्णित सभी गणितीय संक्रियाओं और विशिष्ट गुणों से होती है।

निष्कर्ष

आइए संक्षेप में बताएं - ये मात्राएँ किस लिए आवश्यक हैं, ऐसे कार्यों के क्या फायदे हैं? बेशक, सबसे पहले, वे उदाहरणों को हल करते समय गणितज्ञों और प्रोग्रामर के जीवन को सरल बनाते हैं, क्योंकि वे उन्हें गणनाओं को कम करने, एल्गोरिदम को छोटा करने, डेटा को व्यवस्थित करने और बहुत कुछ करने की अनुमति देते हैं।

यह ज्ञान और कहाँ उपयोगी हो सकता है? किसी भी कामकाजी विशेषता में: चिकित्सा, औषध विज्ञान, दंत चिकित्सा, निर्माण, प्रौद्योगिकी, इंजीनियरिंग, डिजाइन, आदि।

डिग्री सूत्रसमीकरणों और असमानताओं को हल करने में, जटिल अभिव्यक्तियों को कम करने और सरल बनाने की प्रक्रिया में उपयोग किया जाता है।

संख्या सीहै एन-किसी संख्या की घात एकब:

डिग्री के साथ संचालन.

1. अंशों को एक ही आधार से गुणा करने पर उनके संकेतक जोड़े जाते हैं:

पूर्वाह्न·ए एन = ए एम + एन .

2. अंशों को समान आधार से विभाजित करने पर उनके घातांक घटा दिए जाते हैं:

3. 2 या के गुणनफल की शक्ति अधिककारक इन कारकों की शक्तियों के उत्पाद के बराबर है:

(एबीसी…) एन = ए एन · बी एन · सी एन …

4. भिन्न की डिग्री लाभांश और भाजक की डिग्री के अनुपात के बराबर होती है:

(ए/बी) एन = ए एन /बी एन।

5. एक घात को एक घात तक बढ़ाने पर, घातांक को गुणा किया जाता है:

(ए एम) एन = ए एम एन।

उपरोक्त प्रत्येक सूत्र बाएँ से दाएँ और इसके विपरीत दिशाओं में सत्य है।

उदाहरण के लिए. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

जड़ों के साथ संचालन.

1. कई कारकों के उत्पाद का मूल इन कारकों की जड़ों के उत्पाद के बराबर है:

2. किसी अनुपात का मूल लाभांश और मूल के भाजक के अनुपात के बराबर होता है:

3. किसी जड़ को किसी घात तक बढ़ाते समय, मूल संख्या को इस घात तक बढ़ाना पर्याप्त है:

4. यदि आप जड़ की डिग्री बढ़ाते हैं एनएक बार और एक ही समय में निर्माण करें एनवें घात एक मूल संख्या है, तो मूल का मान नहीं बदलेगा:

5. यदि आप जड़ की डिग्री को कम करते हैं एनउसी समय जड़ निकालें एन-किसी मूलांक की घात, तो मूल का मान नहीं बदलेगा:

नकारात्मक घातांक वाली डिग्री.एक गैर-धनात्मक (पूर्णांक) घातांक के साथ एक निश्चित संख्या की घात को बराबर घातांक के साथ उसी संख्या की घात से विभाजित एक के रूप में परिभाषित किया गया है निरपेक्ष मूल्यगैर-सकारात्मक सूचक:

FORMULA पूर्वाह्न:ए एन =ए एम - एनन केवल के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है एम> एन, लेकिन साथ भी एम< एन.

उदाहरण के लिए. ए4:ए 7 = ए 4 - 7 = ए -3.

सूत्रीकरण के लिए पूर्वाह्न:ए एन =ए एम - एनकब निष्पक्ष हो गया म=एनशून्य डिग्री की उपस्थिति आवश्यक है.

शून्य सूचकांक वाली डिग्री.शून्य घातांक वाली किसी भी संख्या की घात शून्य के बराबर नहीं होती है।

उदाहरण के लिए. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री.वास्तविक संख्या बढ़ाने के लिए एडिग्री तक एम/एन, आपको जड़ निकालने की जरूरत है एनकी डिग्री एम-इस संख्या की घात ए.

पाठ का प्रकार:ज्ञान के सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण का पाठ

लक्ष्य:

• शिक्षात्मक- डिग्री की परिभाषा को दोहराएं, डिग्री को गुणा करने और विभाजित करने के नियम, डिग्री को घात तक बढ़ाना, डिग्री वाले उदाहरणों को हल करने के कौशल को मजबूत करना,
• विकसित होना- विकास तर्कसम्मत सोचछात्रों, अध्ययन की जा रही सामग्री में रुचि,
• ऊपर उठाने- सीखने के प्रति एक जिम्मेदार रवैया, संचार की संस्कृति और सामूहिकता की भावना को बढ़ावा देना।

उपकरण:कंप्यूटर, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, इंटरैक्टिव बोर्ड, मौखिक गणना, कार्य कार्ड, हैंडआउट्स के लिए "डिग्री" की प्रस्तुति।

शिक्षण योजना:

1. आयोजन का समय.
2. नियमों की पुनरावृत्ति
3. मौखिक गिनती.
4. ऐतिहासिक सन्दर्भ.
5. बोर्ड में काम करें.
6. शारीरिक शिक्षा मिनट.
7. एक इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड पर काम करना।
8. स्वतंत्र काम.
9. गृहकार्य।
10. पाठ का सारांश.

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण

पाठ के विषय और उद्देश्यों के बारे में बताएं।

पिछले पाठों में आपने खोजा था अद्भुत दुनियाडिग्री, डिग्री को गुणा करना और विभाजित करना और उन्हें एक घात तक बढ़ाना सीखा। आज हमें उदाहरणों को हल करके अर्जित ज्ञान को समेकित करना चाहिए।

द्वितीय. नियमों की पुनरावृत्ति(मौखिक रूप से)

1. प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा दीजिए? (संख्या की शक्ति ए 1 से अधिक प्राकृतिक घातांक वाले उत्पाद को उत्पाद कहा जाता है एनकारक, जिनमें से प्रत्येक बराबर है ए.)
2. दो शक्तियों को कैसे गुणा करें? (समान आधारों से घातों को गुणा करने के लिए, आपको आधार वही छोड़ना होगा और घातांक जोड़ना होगा।)
3. डिग्री को डिग्री से कैसे विभाजित करें? (समान आधारों से घातों को विभाजित करने के लिए, आपको आधार को वही छोड़ना होगा और घातांकों को घटाना होगा।)
4. किसी उत्पाद को शक्ति तक कैसे बढ़ाया जाए? (किसी उत्पाद को एक शक्ति तक बढ़ाने के लिए, आपको प्रत्येक कारक को उस शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है)
5. एक डिग्री को एक शक्ति तक कैसे बढ़ाया जाए? (किसी घात को घात तक बढ़ाने के लिए, आपको आधार को वही छोड़ना होगा और घातांक को गुणा करना होगा)

तृतीय. मौखिक गिनती(मल्टीमीडिया द्वारा)

चतुर्थ. ऐतिहासिक सन्दर्भ

सभी समस्याएँ अहम्स पपीरस से हैं, जो 1650 ईसा पूर्व के आसपास लिखी गई थी। इ। निर्माण अभ्यास, भूमि भूखंडों के सीमांकन आदि से संबंधित कार्यों को विषय के आधार पर समूहीकृत किया जाता है। ये मुख्य रूप से एक त्रिभुज, चतुर्भुज और एक वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करना, पूर्णांकों और भिन्नों के साथ विभिन्न संक्रियाएँ, आनुपातिक विभाजन, अनुपात ज्ञात करना और इसमें वृद्धि करना भी शामिल है। विभिन्न डिग्री, एक अज्ञात के साथ पहली और दूसरी डिग्री के समीकरणों को हल करना।

किसी भी स्पष्टीकरण या सबूत का पूर्ण अभाव है। वांछित परिणाम या तो सीधे दिया जाता है या इसकी गणना के लिए एक संक्षिप्त एल्गोरिदम दिया जाता है। प्रस्तुति की यह विधि देशों में विज्ञान के लिए विशिष्ट है प्राचीन पूर्व, सुझाव देता है कि वहां गणित सामान्यीकरणों और अनुमानों के माध्यम से विकसित हुआ जिसने कोई सामान्य सिद्धांत नहीं बनाया। हालाँकि, पेपिरस में कई सबूत हैं कि मिस्र के गणितज्ञ जड़ों को निकालना और घात तक बढ़ाना, समीकरणों को हल करना और यहां तक ​​कि बीजगणित की मूल बातों में भी महारत हासिल करना जानते थे।

वी. बोर्ड में काम करें

तर्कसंगत तरीके से अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें:

VI. शारीरिक शिक्षा मिनट

1. आँखों के लिए
2. गर्दन के लिए
3. हाथों के लिए
4. धड़ के लिए
5. पैरों के लिए

सातवीं. समस्या को सुलझाना(इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड पर प्रदर्शन के साथ)

क्या समीकरण का मूल एक धनात्मक संख्या है?

ए) 3x + (-0.1) 7 = (-0.496) 4 (x > 0)

बी) (10.381) 5 = (-0.012) 3 - 2x (x< 0)

आठवीं. स्वतंत्र काम

नौवीं. गृहकार्य

X. पाठ का सारांश

परिणामों का विश्लेषण, ग्रेड की घोषणा।

हम डिग्री के बारे में अर्जित ज्ञान का उपयोग हाई स्कूल में समीकरणों और समस्याओं को हल करते समय करेंगे; वे अक्सर एकीकृत राज्य परीक्षा में भी पाए जाते हैं।

सभी नए वीडियो पाठों से अपडेट रहने के लिए हमारी वेबसाइट के यूट्यूब चैनल पर जाएं।

सबसे पहले, आइए शक्तियों और उनके गुणों के मूल सूत्रों को याद रखें।

किसी संख्या का गुणनफल एस्वयं n बार घटित होता है, हम इस अभिव्यक्ति को a a … a=a n के रूप में लिख सकते हैं

1. ए 0 = 1 (ए ≠ 0)

3. ए एन ए एम = ए एन + एम

4. (ए ​​एन) एम = ए एनएम

5. ए एन बी एन = (एबी) एन

7. ए एन / ए एम = ए एन - एम

शक्ति या घातीय समीकरण- ये ऐसे समीकरण हैं जिनमें चर घातों (या घातांक) में हैं, और आधार एक संख्या है।

उदाहरण घातीय समीकरण:

में इस उदाहरण मेंसंख्या 6 आधार है, यह हमेशा सबसे नीचे है, और चर है एक्सडिग्री या सूचक.

आइए हम घातीय समीकरणों के और उदाहरण दें।
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

अब देखते हैं कि घातीय समीकरणों को कैसे हल किया जाता है?

आइए एक सरल समीकरण लें:

2 एक्स = 2 3

यह उदाहरण आपके दिमाग में भी हल हो सकता है। यह देखा जा सकता है कि x=3. आख़िरकार, बाएँ और दाएँ पक्ष बराबर होने के लिए, आपको x के स्थान पर संख्या 3 डालनी होगी।
अब आइए देखें कि इस निर्णय को औपचारिक रूप कैसे दिया जाए:

2 एक्स = 2 3
एक्स = 3

ऐसे समीकरण को हल करने के लिए, हमने हटा दिया समान आधार(अर्थात, दो) और जो बचा था उसे लिख लिया, ये डिग्रियाँ हैं। हमें वह उत्तर मिल गया जिसकी हम तलाश कर रहे थे।

आइए अब अपने निर्णय को संक्षेप में प्रस्तुत करें।

घातीय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिदम:
1. जाँच करने की आवश्यकता है जो उसीक्या समीकरण का आधार दाएँ और बाएँ है। यदि कारण समान नहीं हैं, तो हम इस उदाहरण को हल करने के लिए विकल्प तलाश रहे हैं।
2. आधार एक समान हो जाने पर, समान बनानाडिग्री और परिणामी नए समीकरण को हल करें।

आइए अब कुछ उदाहरण देखें:

आइए कुछ सरल से शुरुआत करें।

बायीं और दायीं ओर के आधार संख्या 2 के बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि हम आधार को त्याग सकते हैं और उनकी शक्तियों को बराबर कर सकते हैं।

x+2=4 सबसे सरल समीकरण प्राप्त होता है।
x=4 – 2
एक्स=2
उत्तर: x=2

निम्नलिखित उदाहरण में आप देख सकते हैं कि आधार भिन्न हैं: 3 और 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

सबसे पहले, नौ को दाहिनी ओर ले जाएँ, हमें मिलता है:

अब आपको वही आधार बनाने की जरूरत है। हम जानते हैं कि 9=3 2. आइए शक्ति सूत्र (a n) m = a nm का उपयोग करें।

3 3x = (3 2) x+8

हमें 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16 मिलता है

3 3x = 3 2x+16 अब यह स्पष्ट है कि बायीं और दायीं ओर आधार समान हैं और तीन के बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि हम उन्हें त्याग सकते हैं और डिग्री को बराबर कर सकते हैं।

3x=2x+16 हमें सबसे सरल समीकरण मिलता है
3x - 2x=16
एक्स=16
उत्तर: x=16.

आइए निम्नलिखित उदाहरण देखें:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

सबसे पहले, हम आधारों को देखते हैं, आधार दो और चार। और हमें चाहिए कि वे भी वैसे ही हों। हम सूत्र (a n) m = a nm का उपयोग करके चारों को रूपांतरित करते हैं।

4 एक्स = (2 2) एक्स = 2 2एक्स

और हम एक सूत्र a n a m = a n + m का भी उपयोग करते हैं:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

समीकरण में जोड़ें:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

हमने उन्हीं कारणों से एक उदाहरण दिया। लेकिन अन्य संख्याएँ 10 और 24 हमें परेशान करती हैं कि उनका क्या करें? यदि आप ध्यान से देखें तो आप देख सकते हैं कि बाईं ओर हमने 2 2x को दोहराया है, और यहां उत्तर है - हम 2 2x को कोष्ठक से बाहर रख सकते हैं:

2 2x (2 4 - 10) = 24

आइए कोष्ठक में अभिव्यक्ति की गणना करें:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

हम पूरे समीकरण को 6 से विभाजित करते हैं:

आइए कल्पना करें 4=2 2:

2 2x = 2 2 आधार समान हैं, हम उन्हें त्याग देते हैं और डिग्री को बराबर करते हैं।
2x = 2 सबसे सरल समीकरण है. इसे 2 से विभाजित करें और हमें प्राप्त होता है
एक्स = 1
उत्तर: एक्स = 1.

आइए समीकरण हल करें:

9 x – 12*3 x +27= 0

आइए परिवर्तन करें:
9 एक्स = (3 2) एक्स = 3 2एक्स

हमें समीकरण मिलता है:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

हमारे आधार समान हैं, तीन के बराबर। इस उदाहरण में, आप देख सकते हैं कि पहले तीन में दूसरे (केवल x) की तुलना में दोगुनी (2x) डिग्री है। इस मामले में, आप हल कर सकते हैं प्रतिस्थापन विधि. हम संख्या को सबसे छोटी डिग्री से बदलते हैं:

तब 3 2x = (3 x) 2 = t 2

हम समीकरण में सभी x शक्तियों को t से प्रतिस्थापित करते हैं:

टी 2 - 12टी+27 = 0
हम पाते हैं द्विघात समीकरण. विवेचक के माध्यम से हल करने पर, हमें मिलता है:
डी=144-108=36
टी 1 = 9
टी2 = 3

वेरिएबल पर लौटना एक्स.

टी 1 लें:
टी 1 = 9 = 3 एक्स

वह है,

3 एक्स = 9
3 एक्स = 3 2
एक्स 1 = 2

एक जड़ मिल गयी. हम टी 2 से दूसरे की तलाश कर रहे हैं:
टी 2 = 3 = 3 एक्स
3 एक्स = 3 1
एक्स 2 = 1
उत्तर: x 1 = 2; एक्स 2 = 1.

वेबसाइट पर आप हेल्प डिसाइड सेक्शन में अपना कोई भी प्रश्न पूछ सकते हैं, हम निश्चित रूप से आपको उत्तर देंगे।

समूह में शामिल हो

प्रथम स्तर

डिग्री और उसके गुण. व्यापक मार्गदर्शिका (2019)

डिग्री की आवश्यकता क्यों है? आपको उनकी आवश्यकता कहां होगी? आपको उनका अध्ययन करने के लिए समय क्यों निकालना चाहिए?

डिग्रियों के बारे में सब कुछ जानने के लिए, वे किस लिए हैं, अपने ज्ञान का उपयोग कैसे करें रोजमर्रा की जिंदगीइस लेख को पढ़ें.

और, निःसंदेह, डिग्रियों का ज्ञान आपको करीब लाएगा सफल समापन OGE या एकीकृत राज्य परीक्षा और आपके सपनों के विश्वविद्यालय में प्रवेश।

चलो चले चलो चले!)

महत्वपूर्ण लेख! यदि आपको फ़ार्मुलों के स्थान पर गॉब्लेडगूक दिखाई देता है, तो अपना कैश साफ़ करें। ऐसा करने के लिए, CTRL+F5 (विंडोज़ पर) या Cmd+R (मैक पर) दबाएँ।

प्रथम स्तर

घातांक जोड़, घटाव, गुणा या भाग की तरह ही एक गणितीय संक्रिया है।

अब मैं मनुष्य की भाषा में सब कुछ बहुत ही स्पष्ट रूप से समझाऊंगा सरल उदाहरण. ध्यान से। उदाहरण प्राथमिक हैं, लेकिन महत्वपूर्ण बातें समझाते हैं।

आइए जोड़ से शुरू करें।

यहां समझाने के लिए कुछ भी नहीं है. आप पहले से ही सब कुछ जानते हैं: हम आठ हैं। प्रत्येक व्यक्ति के पास कोला की दो बोतलें हैं। वहां कितना कोला है? यह सही है - 16 बोतलें।

अब गुणा.

कोला के साथ एक ही उदाहरण को अलग तरीके से लिखा जा सकता है:। गणितज्ञ चालाक और आलसी लोग होते हैं। वे पहले कुछ पैटर्न नोटिस करते हैं, और फिर उन्हें तेजी से "गिनने" का तरीका ढूंढते हैं। हमारे मामले में, उन्होंने देखा कि आठ लोगों में से प्रत्येक के पास समान संख्या में कोला की बोतलें थीं और वे गुणन नामक एक तकनीक लेकर आए। सहमत हूँ, इसे इससे भी आसान और तेज़ माना जाता है।

इसलिए, तेज़, आसान और त्रुटियों के बिना गिनती करने के लिए, आपको बस याद रखने की ज़रूरत है पहाड़ा. बेशक, आप हर काम धीमी गति से, अधिक कठिन और गलतियों के साथ कर सकते हैं! लेकिन…

यहाँ गुणन सारणी है. दोहराना।

और एक और, अधिक सुंदर:

आलसी गणितज्ञों ने गिनती की और कौन-सी चतुर चालें ईजाद की हैं? सही - किसी संख्या को घात तक बढ़ाना.

किसी संख्या को घात तक बढ़ाना

यदि आपको किसी संख्या को उसी से पाँच गुना गुणा करने की आवश्यकता है, तो गणितज्ञों का कहना है कि आपको उस संख्या को पाँचवीं घात तक बढ़ाने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, । गणितज्ञों को याद है कि दो से पाँचवीं घात है... और वे ऐसी समस्याओं को अपने दिमाग में हल करते हैं - तेज़, आसान और बिना गलतियों के।

आपको बस इतना करना है याद रखें कि संख्याओं की शक्तियों की तालिका में रंग में क्या हाइलाइट किया गया है. मेरा विश्वास करें, इससे आपका जीवन बहुत आसान हो जाएगा।

वैसे, इसे दूसरी डिग्री क्यों कहा जाता है? वर्गसंख्याएँ, और तीसरा - घनक्षेत्र? इसका मतलब क्या है? बहुत अच्छा प्रश्न. अब आपके पास वर्ग और घन दोनों होंगे।

वास्तविक जीवन का उदाहरण #1

आइए वर्ग या संख्या की दूसरी घात से प्रारंभ करें।

एक मीटर गुणा एक मीटर मापने वाले एक वर्गाकार पूल की कल्पना करें। पूल आपके दचा में है। गर्मी है और मैं सचमुच तैरना चाहता हूँ। लेकिन... पूल में कोई पेंदी नहीं है! आपको पूल के निचले हिस्से को टाइल्स से ढंकना होगा। आपको कितनी टाइल्स की आवश्यकता है? इसे निर्धारित करने के लिए, आपको पूल के निचले क्षेत्र को जानना होगा।

आप बस अपनी उंगली दिखाकर गणना कर सकते हैं कि पूल के तल में मीटर दर मीटर घन हैं। यदि आपके पास एक मीटर गुणा एक मीटर की टाइलें हैं, तो आपको टुकड़ों की आवश्यकता होगी। यह आसान है... लेकिन आपने ऐसी टाइलें कहाँ देखी हैं? टाइल संभवतः सेमी दर सेमी होगी और फिर आपको "अपनी उंगली से गिनकर" प्रताड़ित किया जाएगा। फिर आपको गुणा करना होगा. तो, पूल के तल के एक तरफ हम टाइलें (टुकड़े) फिट करेंगे और दूसरी तरफ भी, टाइलें। से गुणा करें और आपको टाइलें () मिलेंगी।

क्या आपने देखा कि पूल के तल का क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए हमने उसी संख्या को उसी से गुणा किया है? इसका मतलब क्या है? चूँकि हम एक ही संख्या को गुणा कर रहे हैं, हम "घातांक" तकनीक का उपयोग कर सकते हैं। (बेशक, जब आपके पास केवल दो संख्याएँ हों, तब भी आपको उन्हें गुणा करने या उन्हें एक घात तक बढ़ाने की आवश्यकता होती है। लेकिन यदि आपके पास उनमें से बहुत सारे हैं, तो उन्हें एक घात तक बढ़ाना बहुत आसान है और गणना में त्रुटियाँ भी कम होती हैं। एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए, यह बहुत महत्वपूर्ण है)।
तो, तीस से दूसरी घात () होगी। या हम कह सकते हैं कि तीस वर्ग होगा. दूसरे शब्दों में, किसी संख्या की दूसरी घात को हमेशा एक वर्ग के रूप में दर्शाया जा सकता है। और इसके विपरीत, यदि आप एक वर्ग देखते हैं, तो यह हमेशा किसी संख्या की दूसरी शक्ति है। वर्ग किसी संख्या की दूसरी घात का प्रतिबिम्ब है।

वास्तविक जीवन का उदाहरण #2

यहां आपके लिए एक कार्य है: संख्या के वर्ग का उपयोग करके गिनें कि शतरंज की बिसात पर कितने वर्ग हैं... कोशिकाओं के एक तरफ और दूसरी तरफ भी। उनकी संख्या की गणना करने के लिए, आपको आठ को आठ से गुणा करना होगा या... यदि आप देखते हैं कि शतरंज की बिसात एक भुजा वाला एक वर्ग है, तो आप आठ का वर्ग कर सकते हैं। आपको कोशिकाएं मिलेंगी. () इसलिए?

वास्तविक जीवन का उदाहरण #3

अब किसी संख्या का घन या तीसरी शक्ति। वही तालाब. लेकिन अब आपको यह पता लगाना होगा कि इस कुंड में कितना पानी डालना होगा। आपको वॉल्यूम की गणना करने की आवश्यकता है. (वैसे, आयतन और तरल पदार्थ घन मीटर में मापे जाते हैं। अप्रत्याशित, सही?) एक पूल बनाएं: तल का आकार एक मीटर और गहराई एक मीटर है, और गणना करने का प्रयास करें कि एक मीटर को एक मीटर से मापने पर कितने घन होंगे अपने पूल में फिट हो जाओ.

बस अपनी उंगली उठायें और गिनें! एक, दो, तीन, चार... बाईस, तेईस... आपको कितने मिले? खोया नहीं? क्या अपनी उंगली से गिनना मुश्किल है? ताकि! गणितज्ञों से एक उदाहरण लीजिए। वे आलसी हैं, इसलिए उन्होंने देखा कि पूल की मात्रा की गणना करने के लिए, आपको इसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई को एक दूसरे से गुणा करना होगा। हमारे मामले में, पूल का आयतन घनों के बराबर होगा... आसान है, है ना?

अब कल्पना कीजिए कि अगर गणितज्ञों ने इसे भी सरल बना दिया तो वे कितने आलसी और चालाक गणितज्ञ होंगे। हमने हर चीज़ को एक कार्रवाई तक सीमित कर दिया। उन्होंने देखा कि लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई बराबर हैं और वही संख्या अपने आप गुणा हो जाती है... इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि आप डिग्री का लाभ उठा सकते हैं। तो, जो आपने एक बार अपनी उंगली से गिना था, वे एक ही क्रिया में करते हैं: तीन घन बराबर हैं। इसे इस प्रकार लिखा गया है: .

बस इतना ही बाकी है डिग्रियों की तालिका याद रखें. बशर्ते, आप गणितज्ञों की तरह आलसी और चालाक न हों। यदि आपको कड़ी मेहनत करना और गलतियाँ करना पसंद है, तो आप अपनी उंगली से गिनना जारी रख सकते हैं।

खैर, अंततः आपको यह समझाने के लिए कि डिग्रियों का आविष्कार नौकरी छोड़ने वालों और चालाक लोगों ने अपने स्वयं के समाधान के लिए किया था जीवन की समस्याएँ, और आपके लिए समस्याएं पैदा न करने के लिए, यहां जीवन से कुछ और उदाहरण दिए गए हैं।

वास्तविक जीवन का उदाहरण #4

आपके पास दस लाख रूबल हैं। प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में, आपके द्वारा कमाए गए प्रत्येक मिलियन के लिए, आप एक और मिलियन कमाते हैं। अर्थात्, प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में आपका प्रत्येक मिलियन दोगुना हो जाता है। वर्षों में आपके पास कितना पैसा होगा? यदि आप अभी बैठे हैं और "अपनी उंगली से गिन रहे हैं", तो आप बहुत मेहनती व्यक्ति हैं और... बेवकूफ हैं। लेकिन सबसे अधिक संभावना है कि आप कुछ सेकंड में उत्तर दे देंगे, क्योंकि आप स्मार्ट हैं! तो, पहले वर्ष में - दो को दो से गुणा किया गया... दूसरे वर्ष में - क्या हुआ, दो और से, तीसरे वर्ष में... रुकें! आपने देखा कि संख्या अपने आप से गुणा हो जाती है। तो दो से पाँचवीं घात एक मिलियन है! अब कल्पना करें कि आपके पास एक प्रतियोगिता है और जो सबसे तेज़ गिनती कर सकता है उसे ये लाखों मिलेंगे... यह संख्याओं की शक्तियों को याद रखने लायक है, क्या आपको नहीं लगता?

वास्तविक जीवन का उदाहरण #5

आपके पास दस लाख हैं. प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में, आप प्रत्येक मिलियन पर दो अधिक कमाते हैं। बढ़िया है ना? प्रत्येक मिलियन तीन गुना है। एक साल में आपके पास कितना पैसा होगा? आइये गिनते हैं। पहला वर्ष - गुणा करें, फिर परिणाम दूसरे से... यह पहले से ही उबाऊ है, क्योंकि आप पहले ही सब कुछ समझ चुके हैं: तीन को अपने आप से गुणा किया जाता है। तो चौथी शक्ति के लिए यह एक मिलियन के बराबर है। आपको बस यह याद रखना है कि तीन से चौथी शक्ति या है।

अब आप जानते हैं कि किसी संख्या को घात तक बढ़ाकर आप अपना जीवन बहुत आसान बना लेंगे। आइए आगे देखें कि आप डिग्रियों के साथ क्या कर सकते हैं और आपको उनके बारे में क्या जानने की आवश्यकता है।

नियम और अवधारणाएँ...ताकि भ्रमित न हों

तो, पहले, आइए अवधारणाओं को परिभाषित करें। आप क्या सोचते हैं, प्रतिपादक क्या है? यह बहुत सरल है - यह वह संख्या है जो संख्या की शक्ति के "शीर्ष पर" है। वैज्ञानिक नहीं, लेकिन स्पष्ट और याद रखने में आसान...

खैर, साथ ही, क्या ऐसा डिग्री आधार? और भी सरल - यह वह संख्या है जो नीचे, आधार पर स्थित है।

यहाँ अच्छे उपाय के लिए एक चित्र है।

तब में सामान्य रूप से देखें, सामान्यीकरण करने और बेहतर ढंग से याद रखने के लिए... आधार " " और एक घातांक " " वाली डिग्री को "डिग्री तक" के रूप में पढ़ा जाता है और इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

प्राकृतिक घातांक के साथ किसी संख्या की शक्ति

आप शायद पहले ही अनुमान लगा चुके हैं: क्योंकि प्रतिपादक है प्राकृतिक संख्या. हाँ, लेकिन यह क्या है? प्राकृतिक संख्या? प्राथमिक! प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग वस्तुओं को सूचीबद्ध करते समय गिनती में किया जाता है: एक, दो, तीन... जब हम वस्तुओं को गिनते हैं, तो हम यह नहीं कहते हैं: "माइनस फाइव," "माइनस छह," "माइनस सात।" हम यह भी नहीं कहते: "एक तिहाई", या "शून्य दशमलव पाँच"। ये प्राकृतिक संख्याएँ नहीं हैं. आपके अनुसार ये कौन सी संख्याएँ हैं?

"माइनस फाइव", "माइनस सिक्स", "माइनस सात" जैसी संख्याएँ संदर्भित हैं पूर्ण संख्याएं।सामान्य तौर पर, पूर्णांकों में सभी प्राकृतिक संख्याएँ, प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संख्याएँ (अर्थात् ऋण चिह्न के साथ ली गई) और संख्याएँ शामिल होती हैं। शून्य को समझना आसान है - यह तब होता है जब कुछ भी नहीं होता है। ऋणात्मक ("ऋण") संख्याओं का क्या अर्थ है? लेकिन उनका आविष्कार मुख्य रूप से ऋणों को इंगित करने के लिए किया गया था: यदि आपके फोन पर रूबल में शेष राशि है, तो इसका मतलब है कि आप पर ऑपरेटर रूबल का बकाया है।

सभी भिन्न परिमेय संख्याएँ हैं। वे कैसे उत्पन्न हुए, क्या आप सोचते हैं? बहुत सरल। कई हजार साल पहले, हमारे पूर्वजों को पता चला कि उनके पास लंबाई, वजन, क्षेत्रफल आदि मापने के लिए प्राकृतिक संख्याओं का अभाव है। और वे लेकर आये भिन्नात्मक संख्याएं... दिलचस्प है, है ना?

अपरिमेय संख्याएँ भी हैं। ये संख्याएँ क्या हैं? संक्षेप में, अंतहीन दशमलव. उदाहरण के लिए, यदि आप किसी वृत्त की परिधि को उसके व्यास से विभाजित करते हैं, तो आपको एक अपरिमेय संख्या प्राप्त होती है।

सारांश:

आइए हम एक डिग्री की अवधारणा को परिभाषित करें जिसका घातांक एक प्राकृतिक संख्या है (यानी, पूर्णांक और सकारात्मक)।

1. पहली घात की कोई भी संख्या स्वयं के बराबर होती है:
2. किसी संख्या का वर्ग करने का अर्थ है उसे स्वयं से गुणा करना:
3. किसी संख्या को घन करने का अर्थ है उसे अपने आप से तीन बार गुणा करना:

परिभाषा।किसी संख्या को प्राकृतिक घात तक बढ़ाने का अर्थ है उस संख्या को उसी संख्या से गुणा करना:
.

डिग्री के गुण

ये संपत्तियां कहां से आईं? मैं तुम्हें अभी दिखाता हूँ.

आइए देखें: यह क्या है और ?

ए-प्राथमिकता:

कुल कितने गुणक हैं?

यह बहुत सरल है: हमने कारकों में गुणक जोड़े, और परिणाम गुणक है।

लेकिन परिभाषा के अनुसार, यह एक घातांक वाली संख्या की शक्ति है, जो है:, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

उदाहरण: अभिव्यक्ति को सरल बनाएं.

समाधान:

उदाहरण:अभिव्यक्ति को सरल कीजिये.

समाधान:हमारे नियम में यह ध्यान रखना जरूरी है अनिवार्य रूप सेवही कारण होंगे!
इसलिए, हम शक्तियों को आधार के साथ जोड़ते हैं, लेकिन यह एक अलग कारक बना रहता है:

केवल शक्तियों के उत्पाद के लिए!

आप किसी भी हालत में ऐसा नहीं लिख सकते.

2. बस इतना ही किसी संख्या की वां घात

पिछली संपत्ति की तरह, आइए डिग्री की परिभाषा की ओर मुड़ें:

इससे पता चलता है कि व्यंजक को स्वयं से कई गुना गुणा किया जाता है, अर्थात परिभाषा के अनुसार, यह संख्या की वीं घात है:

संक्षेप में, इसे "संकेतक को कोष्ठक से बाहर निकालना" कहा जा सकता है। लेकिन आप इसे समग्र रूप से कभी नहीं कर सकते:

आइए संक्षिप्त गुणन सूत्र याद रखें: हम कितनी बार लिखना चाहते थे?

लेकिन आख़िरकार यह सच नहीं है।

नकारात्मक आधार वाली शक्ति

इस बिंदु तक, हमने केवल इस बात पर चर्चा की है कि प्रतिपादक क्या होना चाहिए।

लेकिन आधार क्या होना चाहिए?

की शक्तियों में प्राकृतिक सूचकआधार हो सकता है कोई संख्या. दरअसल, हम किसी भी संख्या को एक-दूसरे से गुणा कर सकते हैं, चाहे वे सकारात्मक, नकारात्मक या सम हों।

आइए विचार करें कि किन चिह्नों ("" या "") में धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं की घातें होंगी?

उदाहरण के लिए, संख्या धनात्मक है या ऋणात्मक? ए? ? पहले वाले से, सब कुछ स्पष्ट है: चाहे हम कितनी भी सकारात्मक संख्याओं को एक-दूसरे से गुणा करें, परिणाम सकारात्मक ही होगा।

लेकिन नकारात्मक बातें थोड़ी अधिक दिलचस्प हैं। हमें छठी कक्षा का सरल नियम याद है: "माइनस के लिए माइनस एक प्लस देता है।" वह है, या. लेकिन अगर हम इसे गुणा करें, तो यह काम करता है।

स्वयं निर्धारित करें कि निम्नलिखित भावों में कौन सा चिन्ह होगा:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

क्या आप संभाल पाओगे?

यहाँ उत्तर हैं: पहले चार उदाहरणों में, मुझे आशा है कि सब कुछ स्पष्ट है? हम बस आधार और घातांक को देखते हैं और उचित नियम लागू करते हैं।

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

उदाहरण 5 में) सब कुछ उतना डरावना नहीं है जितना लगता है: आखिरकार, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आधार किसके बराबर है - डिग्री सम है, जिसका अर्थ है कि परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा।

खैर, सिवाय इसके कि जब आधार शून्य हो। आधार तो एक समान नहीं है? जाहिर तौर पर नहीं, चूँकि (क्योंकि)।

उदाहरण 6) अब इतना सरल नहीं रहा!

अभ्यास के लिए 6 उदाहरण

समाधान का विश्लेषण 6 उदाहरण

यदि हम आठवीं शक्ति की उपेक्षा करें तो हम यहाँ क्या देखते हैं? आइए 7वीं कक्षा के कार्यक्रम को याद करें। तो, क्या आपको याद है? यह संक्षिप्त गुणन अर्थात् वर्गों के अंतर का सूत्र है! हम पाते हैं:

आइए हर को ध्यान से देखें। यह काफी हद तक अंश कारकों में से एक जैसा दिखता है, लेकिन गलत क्या है? शर्तों का क्रम ग़लत है. यदि उन्हें उलट दिया जाता, तो नियम लागू हो सकता था।

लेकिन ऐसा कैसे करें? यह पता चला है कि यह बहुत आसान है: हर की सम डिग्री यहां हमारी मदद करती है।

जादुई ढंग से शर्तें बदल गईं। यह "घटना" किसी भी अभिव्यक्ति पर एक समान डिग्री तक लागू होती है: हम कोष्ठक में संकेतों को आसानी से बदल सकते हैं।

लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है: सभी संकेत एक ही समय में बदलते हैं!

आइए उदाहरण पर वापस जाएं:

और फिर सूत्र:

साबुतहम प्राकृतिक संख्याएँ, उनके विपरीत (अर्थात " " चिह्न के साथ ली गई) और संख्या कहते हैं।

सकारात्मक पूर्णांक, और यह प्राकृतिक से अलग नहीं है, तो सब कुछ बिल्कुल पिछले अनुभाग जैसा दिखता है।

अब नजर डालते हैं नए मामलों पर. आइए इसके बराबर एक संकेतक से शुरू करें।

शून्य घात की कोई भी संख्या एक के बराबर होती है:

हमेशा की तरह, आइए हम खुद से पूछें: ऐसा क्यों है?

आइए आधार के साथ कुछ डिग्री पर विचार करें। उदाहरण के लिए, लें और इससे गुणा करें:

तो, हमने संख्या को गुणा किया, और हमें वही चीज़ मिली जो वह थी -। आपको किस संख्या से गुणा करना चाहिए ताकि कुछ भी न बदले? यह सही है, चालू. मतलब।

हम एक मनमानी संख्या के साथ भी ऐसा ही कर सकते हैं:

आइए नियम दोहराएं:

शून्य घात की कोई भी संख्या एक के बराबर होती है।

लेकिन कई नियमों के अपवाद भी हैं. और यहाँ यह भी है - यह एक संख्या है (आधार के रूप में)।

एक ओर, यह किसी भी डिग्री के बराबर होना चाहिए - चाहे आप शून्य को स्वयं से कितना भी गुणा कर लें, फिर भी आपको शून्य ही मिलेगा, यह स्पष्ट है। लेकिन दूसरी ओर, शून्य घात की किसी भी संख्या की तरह, यह बराबर होना चाहिए। तो यह कितना सच है? गणितज्ञों ने इसमें शामिल न होने का निर्णय लिया और शून्य से शून्य घात बढ़ाने से इनकार कर दिया। अर्थात्, अब हम न केवल शून्य से विभाजित कर सकते हैं, बल्कि इसे शून्य घात तक बढ़ा भी सकते हैं।

पर चलते हैं। पूर्णांकों में प्राकृतिक संख्याओं और संख्याओं के अलावा ऋणात्मक संख्याएँ भी शामिल होती हैं। यह समझने के लिए कि ऋणात्मक घात क्या है, आइए पिछली बार की तरह करें: किसी सामान्य संख्या को उसी संख्या से ऋणात्मक घात से गुणा करें:

यहां से यह व्यक्त करना आसान है कि आप क्या खोज रहे हैं:

आइए अब परिणामी नियम को एक मनमानी डिग्री तक विस्तारित करें:

तो, आइए एक नियम बनाएं:

ऋणात्मक घात वाली संख्या उसी संख्या की धनात्मक घात वाली संख्या का व्युत्क्रम होती है। लेकिन साथ ही आधार शून्य नहीं हो सकता:(क्योंकि आप विभाजित नहीं कर सकते)।

आइए संक्षेप में बताएं:

I. मामले में अभिव्यक्ति परिभाषित नहीं है। तो अगर।

द्वितीय. शून्य घात की कोई भी संख्या एक के बराबर होती है:।

तृतीय. एक संख्या जो किसी ऋणात्मक घात के शून्य के बराबर नहीं है, उसी संख्या की एक धनात्मक घात के व्युत्क्रम है:।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

खैर, हमेशा की तरह, स्वतंत्र समाधानों के उदाहरण:

स्वतंत्र समाधान के लिए समस्याओं का विश्लेषण:

मुझे पता है, मुझे पता है, संख्याएँ डरावनी हैं, लेकिन एकीकृत राज्य परीक्षा में आपको किसी भी चीज़ के लिए तैयार रहना होगा! यदि आप इन्हें हल नहीं कर सके तो इन उदाहरणों को हल करें या उनके समाधानों का विश्लेषण करें और आप परीक्षा में आसानी से उनका सामना करना सीख जाएंगे!

आइए एक प्रतिपादक के रूप में "उपयुक्त" संख्याओं की सीमा का विस्तार करना जारी रखें।

अब आइये विचार करें भिन्नात्मक संख्याएं।कौन सी संख्याएँ परिमेय कहलाती हैं?

उत्तर: वह सब कुछ जिसे भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां और पूर्णांक हैं, और।

यह समझने के लिए कि यह क्या है "आंशिक डिग्री", भिन्न पर विचार करें:

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को एक घात तक बढ़ाएं:

आइए अब इसके बारे में नियम याद रखें "डिग्री से डिग्री":

प्राप्त करने के लिए किस संख्या को घात तक बढ़ाया जाना चाहिए?

यह सूत्रीकरण वें डिग्री की जड़ की परिभाषा है।

मैं आपको याद दिला दूं: किसी संख्या की वें घात का मूल () वह संख्या है, जिसे एक घात तक बढ़ाने पर, बराबर होता है।

अर्थात्, वें शक्ति का मूल एक शक्ति को ऊपर उठाने का व्युत्क्रम संक्रिया है:।

यह पता चला है कि। जाहिर है ये विशेष मामलाबढ़ाया जा सकता है: .

अब हम अंश जोड़ते हैं: यह क्या है? पावर-टू-पावर नियम का उपयोग करके उत्तर प्राप्त करना आसान है:

लेकिन क्या आधार कोई संख्या हो सकता है? आख़िरकार, सभी संख्याओं से मूल नहीं निकाला जा सकता।

कोई नहीं!

आइए नियम को याद रखें: किसी भी संख्या को सम घात तक बढ़ाने पर वह एक धनात्मक संख्या होती है। अर्थात् ऋणात्मक संख्याओं से सम मूल निकालना असंभव है!

इसका मतलब यह है कि ऐसी संख्याओं को सम हर के साथ भिन्नात्मक घात तक नहीं बढ़ाया जा सकता है, यानी अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है।

अभिव्यक्ति के बारे में क्या?

लेकिन यहां एक समस्या खड़ी हो जाती है.

संख्या को अन्य, कम करने योग्य भिन्नों के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, या।

और यह पता चला कि यह अस्तित्व में है, लेकिन अस्तित्व में नहीं है, लेकिन ये एक ही संख्या के दो अलग-अलग रिकॉर्ड हैं।

या दूसरा उदाहरण: एक बार, फिर आप इसे लिख सकते हैं। लेकिन अगर हम संकेतक को अलग तरीके से लिखते हैं, तो हम फिर से परेशानी में पड़ जाएंगे: (यानी, हमें पूरी तरह से अलग परिणाम मिला!)।

ऐसे विरोधाभासों से बचने के लिए हम विचार करते हैं भिन्नात्मक घातांक के साथ केवल सकारात्मक आधार घातांक.

तो यदि:

• - प्राकृतिक संख्या;
• - पूर्णांक;

उदाहरण:

उदाहरण के लिए, जड़ों के साथ अभिव्यक्ति को बदलने के लिए तर्कसंगत घातांक बहुत उपयोगी होते हैं:

अभ्यास के लिए 5 उदाहरण

प्रशिक्षण के लिए 5 उदाहरणों का विश्लेषण

खैर, अब सबसे कठिन हिस्सा आता है। अब हम इसका पता लगाएंगे अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री.

अपवाद के साथ, यहां डिग्री के सभी नियम और गुण तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ डिग्री के समान ही हैं

आख़िरकार, परिभाषा के अनुसार, अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिन्हें भिन्न के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, जहाँ और पूर्णांक हैं (अर्थात, परिमेय संख्याओं को छोड़कर सभी अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ हैं)।

प्राकृतिक, पूर्णांक और तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हर बार हमने एक निश्चित "छवि", "सादृश्य" या अधिक परिचित शब्दों में विवरण बनाया।

उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक घातांक वाली डिग्री एक संख्या है जिसे अपने आप से कई बार गुणा किया जाता है;

...शून्यवीं घात तक की संख्या- यह, मानो, एक संख्या है जिसे एक बार स्वयं से गुणा किया जाता है, अर्थात, उन्होंने अभी तक इसे गुणा करना शुरू नहीं किया है, जिसका अर्थ है कि संख्या स्वयं अभी तक प्रकट भी नहीं हुई है - इसलिए परिणाम केवल एक निश्चित "रिक्त संख्या" है , अर्थात् एक संख्या;

...ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री- ऐसा लगता है मानो कोई "उल्टी प्रक्रिया" घटित हुई हो, अर्थात संख्या को स्वयं से गुणा नहीं किया गया, बल्कि विभाजित किया गया।

वैसे, विज्ञान में अक्सर एक जटिल घातांक वाली डिग्री का उपयोग किया जाता है, अर्थात, घातांक एक वास्तविक संख्या भी नहीं है।

लेकिन स्कूल में हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं; आपको संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर मिलेगा।

जहां हमें यकीन है कि आप जाएंगे! (यदि आप ऐसे उदाहरणों को हल करना सीख जाते हैं :))

उदाहरण के लिए:

अपने लिए तय करें:

समाधान का विश्लेषण:

1. आइए एक शक्ति को एक शक्ति तक बढ़ाने के सामान्य नियम से शुरू करें:

अब सूचक को देखें. क्या वह तुम्हें कुछ याद नहीं दिलाता? आइए हम वर्गों के अंतर के संक्षिप्त गुणन के सूत्र को याद करें:

इस मामले में,

यह पता चला है कि:

उत्तर: .

2. हम घातांकों में भिन्नों को एक ही रूप में घटाते हैं: या तो दोनों दशमलव या दोनों साधारण। उदाहरण के लिए, हमें मिलता है:

उत्तर: 16

3. कुछ खास नहीं, हम डिग्रियों के सामान्य गुणों का उपयोग करते हैं:

अग्रवर्ती स्तर

डिग्री का निर्धारण

एक डिग्री इस रूप की अभिव्यक्ति है: , जहां:

• — डिग्री का आधार;
• - प्रतिपादक.

प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री (एन = 1, 2, 3,...)

किसी संख्या को प्राकृतिक घात n तक बढ़ाने का अर्थ है उस संख्या को उसी संख्या से गुणा करना:

पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री (0, ±1, ±2,...)

यदि प्रतिपादक है सकारात्मक पूर्णांकसंख्या:

निर्माण शून्य डिग्री तक:

अभिव्यक्ति अनिश्चित है, क्योंकि, एक ओर, किसी भी डिग्री तक यह है, और दूसरी ओर, वें डिग्री तक कोई भी संख्या यह है।

यदि प्रतिपादक है ऋणात्मक पूर्णांकसंख्या:

(क्योंकि आप विभाजित नहीं कर सकते)।

एक बार फिर शून्य के बारे में: मामले में अभिव्यक्ति परिभाषित नहीं है। तो अगर।

उदाहरण:

तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ शक्ति

• - प्राकृतिक संख्या;
• - पूर्णांक;

उदाहरण:

डिग्री के गुण

समस्याओं को हल करना आसान बनाने के लिए, आइए समझने की कोशिश करें: ये गुण कहाँ से आए? आइए उन्हें साबित करें.

आइए देखें: क्या है और?

ए-प्राथमिकता:

तो, इस अभिव्यक्ति के दाईं ओर हमें निम्नलिखित उत्पाद मिलता है:

लेकिन परिभाषा के अनुसार यह एक घातांक वाली संख्या की घात है, अर्थात:

क्यू.ई.डी.

उदाहरण : अभिव्यक्ति को सरल बनाएं.

समाधान : .

उदाहरण : अभिव्यक्ति को सरल बनाएं.

समाधान : हमारे नियम में यह ध्यान रखना जरूरी है अनिवार्य रूप सेवही कारण होंगे. इसलिए, हम शक्तियों को आधार के साथ जोड़ते हैं, लेकिन यह एक अलग कारक बना रहता है:

एक और महत्वपूर्ण नोट: यह नियम - केवल शक्तियों के उत्पाद के लिए!

आप किसी भी हालत में ऐसा नहीं लिख सकते.

पिछली संपत्ति की तरह, आइए डिग्री की परिभाषा की ओर मुड़ें:

आइए इस कार्य को इस प्रकार पुनः व्यवस्थित करें:

इससे पता चलता है कि व्यंजक को स्वयं से कई गुना गुणा किया जाता है, अर्थात परिभाषा के अनुसार, यह संख्या की वीं घात है:

संक्षेप में, इसे "संकेतक को कोष्ठक से बाहर निकालना" कहा जा सकता है। लेकिन आप इसे समग्र रूप से कभी नहीं कर सकते: !

आइए संक्षिप्त गुणन सूत्र याद रखें: हम कितनी बार लिखना चाहते थे? लेकिन आख़िरकार यह सच नहीं है।

नकारात्मक आधार वाली शक्ति.

इस बिंदु तक हमने केवल इस पर चर्चा की है कि यह कैसा होना चाहिए अनुक्रमणिकाडिग्री. लेकिन आधार क्या होना चाहिए? की शक्तियों में प्राकृतिक सूचक आधार हो सकता है कोई संख्या .

दरअसल, हम किसी भी संख्या को एक-दूसरे से गुणा कर सकते हैं, चाहे वे सकारात्मक, नकारात्मक या सम हों। आइए विचार करें कि किन चिह्नों ("" या "") में धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं की घातें होंगी?

उदाहरण के लिए, संख्या धनात्मक है या ऋणात्मक? ए? ?

पहले वाले से, सब कुछ स्पष्ट है: चाहे हम कितनी भी सकारात्मक संख्याओं को एक-दूसरे से गुणा करें, परिणाम सकारात्मक ही होगा।

लेकिन नकारात्मक बातें थोड़ी अधिक दिलचस्प हैं। हमें छठी कक्षा का सरल नियम याद है: "माइनस के लिए माइनस एक प्लस देता है।" वह है, या. लेकिन यदि हम () से गुणा करें तो हमें - मिलता है।

और इसी तरह अनंत काल तक: प्रत्येक बाद के गुणन के साथ चिह्न बदल जाएगा। हम निम्नलिखित तैयार कर सकते हैं सरल नियम:

1. यहां तक ​​कीडिग्री, - संख्या सकारात्मक.
2. एक ऋणात्मक संख्या, में निर्मित विषमडिग्री, - संख्या नकारात्मक.
3. सकारात्मक संख्याकिसी भी हद तक एक सकारात्मक संख्या है.
4. किसी भी शक्ति का शून्य शून्य के बराबर होता है।

स्वयं निर्धारित करें कि निम्नलिखित भावों में कौन सा चिन्ह होगा:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

क्या आप संभाल पाओगे? यहाँ उत्तर हैं:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

पहले चार उदाहरणों में, मुझे आशा है कि सब कुछ स्पष्ट है? हम बस आधार और घातांक को देखते हैं और उचित नियम लागू करते हैं।

उदाहरण 5 में) सब कुछ उतना डरावना नहीं है जितना लगता है: आखिरकार, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आधार किसके बराबर है - डिग्री सम है, जिसका अर्थ है कि परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा। खैर, सिवाय इसके कि जब आधार शून्य हो। आधार तो एक समान नहीं है? जाहिर तौर पर नहीं, चूँकि (क्योंकि)।

उदाहरण 6) अब इतना सरल नहीं है। यहां आपको यह पता लगाना होगा कि कौन सा कम है: या? अगर हम उसे याद रखें तो यह स्पष्ट हो जाता है कि, यानी आधार शून्य से भी कम है। अर्थात्, हम नियम 2 लागू करते हैं: परिणाम नकारात्मक होगा।

और फिर से हम डिग्री की परिभाषा का उपयोग करते हैं:

सब कुछ हमेशा की तरह है - हम डिग्री की परिभाषा लिखते हैं और उन्हें एक दूसरे से विभाजित करते हैं, उन्हें जोड़े में विभाजित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

इससे पहले कि हम आखिरी नियम देखें, आइए कुछ उदाहरण हल करें।

भावों की गणना करें:

समाधान :

यदि हम आठवीं शक्ति की उपेक्षा करें तो हम यहाँ क्या देखते हैं? आइए सातवीं कक्षा के कार्यक्रम को याद करें। तो, क्या आपको याद है? यह संक्षिप्त गुणन अर्थात् वर्गों के अंतर का सूत्र है!

हम पाते हैं:

आइए हर को ध्यान से देखें। यह काफी हद तक अंश कारकों में से एक जैसा दिखता है, लेकिन गलत क्या है? शर्तों का क्रम ग़लत है. यदि उन्हें उलट दिया जाए तो नियम 3 लागू हो सकता है लेकिन कैसे? यह पता चला है कि यह बहुत आसान है: हर की सम डिग्री यहां हमारी मदद करती है।

यदि आप इसे इससे गुणा करें, तो कुछ भी नहीं बदलेगा, है ना? लेकिन अब यह इस तरह हो गया है:

जादुई ढंग से शर्तें बदल गईं। यह "घटना" किसी भी अभिव्यक्ति पर समान स्तर तक लागू होती है: हम कोष्ठक में चिह्नों को आसानी से बदल सकते हैं। लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है: सभी संकेत एक ही समय में बदलते हैं!आप केवल उस एक नुकसान को बदलकर इसे प्रतिस्थापित नहीं कर सकते जो हमें पसंद नहीं है!

आइए उदाहरण पर वापस जाएं:

और फिर सूत्र:

तो अब आखिरी नियम:

हम इसे कैसे साबित करेंगे? बेशक, हमेशा की तरह: आइए डिग्री की अवधारणा पर विस्तार करें और इसे सरल बनाएं:

खैर, अब कोष्ठक खोलें। कुल कितने अक्षर हैं? गुणक द्वारा गुणा - यह आपको क्या याद दिलाता है? यह एक ऑपरेशन की परिभाषा से अधिक कुछ नहीं है गुणा:वहां सिर्फ मल्टीप्लायर थे. अर्थात्, परिभाषा के अनुसार, यह एक घातांक वाली संख्या की घात है:

उदाहरण:

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री

औसत स्तर के लिए डिग्री के बारे में जानकारी के अलावा, हम एक अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री का विश्लेषण करेंगे। यहां डिग्री के सभी नियम और गुण बिल्कुल उसी तरह हैं जैसे कि एक तर्कसंगत घातांक वाली डिग्री के लिए, अपवाद के साथ - आखिरकार, परिभाषा के अनुसार, अपरिमेय संख्याएं वे संख्याएं हैं जिन्हें एक अंश के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, जहां और पूर्णांक हैं (अर्थात्) , परिमेय संख्याओं को छोड़कर सभी अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ हैं)।

प्राकृतिक, पूर्णांक और तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हर बार हमने एक निश्चित "छवि", "सादृश्य" या अधिक परिचित शब्दों में विवरण बनाया। उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक घातांक वाली डिग्री एक संख्या है जिसे अपने आप से कई बार गुणा किया जाता है; शून्य घात की एक संख्या, मानो, एक संख्या है जिसे स्वयं से एक बार गुणा किया जाता है, अर्थात, उन्होंने अभी तक इसे गुणा करना शुरू नहीं किया है, जिसका अर्थ है कि संख्या स्वयं अभी तक प्रकट भी नहीं हुई है - इसलिए परिणाम केवल एक निश्चित है "रिक्त संख्या", अर्थात् एक संख्या; पूर्णांक ऋणात्मक घातांक वाली एक डिग्री - ऐसा लगता है मानो कोई "विपरीत प्रक्रिया" घटित हुई हो, अर्थात, संख्या को स्वयं से गुणा नहीं किया गया, बल्कि विभाजित किया गया।

एक अपरिमेय घातांक वाली डिग्री की कल्पना करना अत्यंत कठिन है (जैसे कि 4-आयामी स्थान की कल्पना करना कठिन है)। बल्कि यह एक विशुद्ध गणितीय वस्तु है जिसे गणितज्ञों ने डिग्री की अवधारणा को संख्याओं के संपूर्ण स्थान तक विस्तारित करने के लिए बनाया है।

वैसे, विज्ञान में अक्सर एक जटिल घातांक वाली डिग्री का उपयोग किया जाता है, अर्थात, घातांक एक वास्तविक संख्या भी नहीं है। लेकिन स्कूल में हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं; आपको संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर मिलेगा।

यदि हम एक अपरिमेय प्रतिपादक देखते हैं तो हम क्या करते हैं? हम इससे छुटकारा पाने की पूरी कोशिश कर रहे हैं :)

उदाहरण के लिए:

अपने लिए तय करें:

1)

2)

3)

उत्तर:

1. आइए वर्गों के अंतर के फार्मूले को याद करें। उत्तर: ।
2. हम भिन्नों को एक ही रूप में घटाते हैं: या तो दोनों दशमलव या दोनों साधारण। उदाहरण के लिए, हमें मिलता है: .
3. कुछ खास नहीं, हम डिग्रियों के सामान्य गुणों का उपयोग करते हैं:

अनुभाग और बुनियादी सूत्रों का सारांश

डिग्रीफॉर्म की अभिव्यक्ति कहा जाता है: , जहां:

पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री

एक डिग्री जिसका घातांक एक प्राकृतिक संख्या है (यानी, पूर्णांक और सकारात्मक)।

तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ शक्ति

डिग्री, जिसका घातांक ऋणात्मक और भिन्नात्मक संख्याएँ हैं।

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री

एक डिग्री जिसका घातांक एक अनंत दशमलव अंश या मूल है।

डिग्री के गुण

डिग्री की विशेषताएं.

• ऋणात्मक संख्या को बढ़ा दिया गया यहां तक ​​कीडिग्री, - संख्या सकारात्मक.
• ऋणात्मक संख्या को बढ़ा दिया गया विषमडिग्री, - संख्या नकारात्मक.
• किसी भी डिग्री तक एक धनात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या होती है।
• शून्य किसी भी शक्ति के बराबर है.
• शून्य घात की कोई भी संख्या बराबर होती है।

अब आपके पास शब्द है...

आपको लेख कैसा लगा? आपको यह पसंद आया या नहीं नीचे कमेंट में लिखें।

डिग्री गुणों का उपयोग करके अपने अनुभव के बारे में हमें बताएं।

शायद आपके पास प्रश्न हों. या सुझाव.

टिप्पणियों में लिखें.

और आपकी परीक्षाओं के लिए शुभकामनाएँ!