त्रिकोणमिति में स्पर्शरेखा किसके बराबर होती है? त्रिकोणमितीय फलन खोजने के नियम: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का चिह्न पूरी तरह से निर्देशांक चतुर्थांश पर निर्भर करता है जिसमें संख्यात्मक तर्क स्थित है। पिछली बार हमने तर्कों को रेडियन माप से डिग्री माप में बदलना सीखा था (पाठ "कोण का रेडियन और डिग्री माप देखें"), और फिर इसी समन्वय तिमाही का निर्धारण करना सीखा। आइए अब वास्तव में साइन, कोसाइन और टेंगेंट का चिह्न निर्धारित करें।

कोण α की ज्या एक त्रिकोणमितीय वृत्त पर एक बिंदु की कोटि (y निर्देशांक) है जो तब होती है जब त्रिज्या को कोण α द्वारा घुमाया जाता है।

कोण α की कोज्या एक त्रिकोणमितीय वृत्त पर एक बिंदु का भुज (x निर्देशांक) है, जो तब होता है जब त्रिज्या को कोण α द्वारा घुमाया जाता है।

कोण α की स्पर्श रेखा ज्या और कोज्या का अनुपात है। या, जो एक ही बात है, y निर्देशांक का x निर्देशांक से अनुपात।

संकेतन: पाप α = y ; cos α = x ; टीजी α = y : x .

ये सभी परिभाषाएँ आपको हाई स्कूल बीजगणित से परिचित हैं। हालाँकि, हमें परिभाषाओं में नहीं, बल्कि त्रिकोणमितीय वृत्त पर उत्पन्न होने वाले परिणामों में रुचि है। नज़र रखना:

नीला रंग ओए अक्ष (ऑर्डिनेट अक्ष) की सकारात्मक दिशा को इंगित करता है, लाल रंग ओएक्स अक्ष (एब्सिस्सा अक्ष) की सकारात्मक दिशा को इंगित करता है। इस "रडार" पर संकेत हैं त्रिकोणमितीय कार्यस्पष्ट हो जाओ. विशेष रूप से:

पाप α > 0 यदि कोण α I या II निर्देशांक चतुर्थांश में स्थित है। ऐसा इसलिए है, क्योंकि परिभाषा के अनुसार, साइन एक कोटि (y निर्देशांक) है। और y निर्देशांक I और II समन्वय तिमाहियों में सटीक रूप से सकारात्मक होगा;
cos α > 0, यदि कोण α पहले या चौथे निर्देशांक चतुर्थांश में स्थित है। क्योंकि केवल वहां x निर्देशांक (उर्फ एब्सिस्सा) शून्य से अधिक होगा;
tan α > 0 यदि कोण α I या III निर्देशांक चतुर्थांश में स्थित है। यह परिभाषा से निम्नानुसार है: आखिरकार, tan α = y : x, इसलिए यह केवल वहीं सकारात्मक है जहां x और y के चिह्न मेल खाते हैं। यह पहली निर्देशांक तिमाही (यहां x > 0, y > 0) और तीसरी समन्वय तिमाही (x) में होता है< 0, y < 0).

स्पष्टता के लिए, आइए हम प्रत्येक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन - साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा - के संकेतों को अलग-अलग "रडार" पर नोट करें। हमें निम्नलिखित चित्र मिलता है:

कृपया ध्यान दें: अपनी चर्चाओं में मैंने चौथे त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन - कोटैंजेंट के बारे में कभी बात नहीं की। तथ्य यह है कि कोटैंजेंट चिह्न स्पर्शरेखा चिह्नों से मेल खाते हैं - वहां कोई विशेष नियम नहीं हैं।

अब मैं समस्या B11 से मिलते-जुलते उदाहरणों पर विचार करने का प्रस्ताव करता हूँ परीक्षण एकीकृत राज्य परीक्षागणित में, जो 27 सितंबर 2011 को हुआ। आख़िरकार, सबसे अच्छा तरीकासिद्धांत को समझना अभ्यास है। खूब अभ्यास करने की सलाह दी जाती है. बेशक, कार्यों की शर्तें थोड़ी बदल गईं।

काम। त्रिकोणमितीय कार्यों और अभिव्यक्तियों के संकेत निर्धारित करें (फ़ंक्शन के मानों की गणना करने की आवश्यकता नहीं है):

पाप(3π/4);

cos(7π/6);

टीजी(5π/3);

पाप (3π/4) क्योंकि (5π/6);

cos (2π/3) tg (π/4);

पाप (5π/6) क्योंकि (7π/4);

tan (3π/4) cos (5π/3);

सीटीजी (4π/3) टीजी (π/6)।

कार्य योजना यह है: पहले हम सभी कोणों को रेडियन माप से डिग्री (π → 180°) में परिवर्तित करते हैं, और फिर देखते हैं कि परिणामी संख्या किस समन्वय तिमाही में निहित है। तिमाहियों को जानने के बाद, हम आसानी से संकेत पा सकते हैं - वर्णित नियमों के अनुसार। हमारे पास है:

पाप (3π/4) = पाप (3 · 180°/4) = पाप 135°. चूँकि 135° ∈, यह II निर्देशांक चतुर्थांश से एक कोण है। लेकिन दूसरी तिमाही में ज्या धनात्मक है, इसलिए पाप (3π/4) > 0;
cos (7π/6) = cos (7·180°/6) = cos 210°. क्योंकि 210° ∈, यह तीसरे निर्देशांक चतुर्थांश से कोण है, जिसमें सभी कोसाइन ऋणात्मक हैं। इसलिए cos(7π/6)< 0;
tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. 300° ∈ के बाद से, हम चतुर्थ तिमाही में हैं, जहां स्पर्श रेखा लेती है नकारात्मक मान. इसलिए tan (5π/3)< 0;
पाप (3π/4) क्योंकि (5π/6) = पाप (3 180°/4) क्योंकि (5 180°/6) = पाप 135° क्योंकि 150°। आइए साइन से निपटें: क्योंकि 135° ∈, यह दूसरी तिमाही है जिसमें ज्याएँ धनात्मक हैं, अर्थात्। पाप (3π/4) > 0. अब हम कोसाइन के साथ काम करते हैं: 150° ∈ - फिर से दूसरी तिमाही, वहां कोसाइन नकारात्मक हैं। इसलिए cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°। हम कोसाइन को देखते हैं: 120° ∈ II समन्वय तिमाही है, इसलिए कॉस (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. फिर हमें एक उत्पाद मिला जिसमें कारकों के अलग-अलग चिह्न हैं। चूँकि "माइनस बाय प्लस माइनस देता है", हमारे पास है: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
पाप (5π/6) क्योंकि (7π/4) = पाप (5 180°/6) क्योंकि (7 180°/4) = पाप 150° क्योंकि 315°। हम साइन के साथ काम करते हैं: चूँकि 150° ∈ , हम बात कर रहे हैंद्वितीय समन्वय तिमाही के बारे में, जहाँ ज्याएँ धनात्मक हैं। इसलिए, पाप (5π/6) > 0. इसी तरह, 315° ∈ IV समन्वय तिमाही है, वहां कोसाइन सकारात्मक हैं। इसलिए cos (7π/4) > 0. हमने दो का गुणनफल प्राप्त किया सकारात्मक संख्या- ऐसी अभिव्यक्ति सदैव सकारात्मक होती है। हम निष्कर्ष निकालते हैं: पाप (5π/6) क्योंकि (7π/4) > 0;
tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°। लेकिन कोण 135° ∈ दूसरी तिमाही है, यानी। टीजी(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. चूँकि "माइनस बाय प्लस एक माइनस साइन देता है," हमारे पास है: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
सीटीजी (4π/3) टीजी (π/6) = सीटीजी (4 180°/3) टीजी (180°/6) = सीटीजी 240° टीजी 30°। हम कोटैंजेंट तर्क को देखते हैं: 240° ∈ III समन्वय तिमाही है, इसलिए ctg (4π/3) > 0. इसी तरह, स्पर्शरेखा के लिए हमारे पास है: 30° ∈ I समन्वय तिमाही है, यानी। सबसे सरल कोण. इसलिए tan (π/6) > 0. फिर से हमारे पास दो सकारात्मक अभिव्यक्तियाँ हैं - उनका उत्पाद भी सकारात्मक होगा। इसलिए cot (4π/3) tg (π/6) > 0.

अंत में, आइए कुछ और जटिल समस्याओं पर नजर डालें। त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के चिह्न का पता लगाने के अलावा, आपको यहां थोड़ा गणित करना होगा - ठीक उसी तरह जैसे यह वास्तविक समस्याओं B11 में किया जाता है। सिद्धांत रूप में, ये लगभग वास्तविक समस्याएं हैं जो वास्तव में गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा में दिखाई देती हैं।

काम। यदि पाप 2 α = 0.64 और α ∈ [π/2; π].

चूँकि पाप 2 α = 0.64, हमारे पास है: पाप α = ±0.8। जो कुछ बचा है वह तय करना है: प्लस या माइनस? शर्त के अनुसार, कोण α ∈ [π/2; π] द्वितीय समन्वय तिमाही है, जहां सभी ज्याएँ धनात्मक हैं। इसलिए, पाप α = 0.8 - संकेतों के साथ अनिश्चितता समाप्त हो जाती है।

काम। यदि cos 2 α = 0.04 और α ∈ [π; तो cos α ज्ञात करें; 3π/2]।

हम समान रूप से कार्य करते हैं, अर्थात्। निकालना वर्गमूल: cos 2 α = 0.04 ⇒ cos α = ±0.2. शर्त के अनुसार, कोण α ∈ [π; 3π/2], अर्थात हम तीसरी समन्वित तिमाही के बारे में बात कर रहे हैं। वहां सभी कोसाइन ऋणात्मक हैं, इसलिए cos α = −0.2.

काम। यदि पाप 2 α = 0.25 और α ∈ है तो पाप α ज्ञात करें।

हमारे पास है: पाप 2 α = 0.25 ⇒ पाप α = ±0.5। हम कोण को फिर से देखते हैं: α ∈ IV समन्वय तिमाही है, जिसमें, जैसा कि हम जानते हैं, साइन नकारात्मक होगा। इस प्रकार, हम निष्कर्ष निकालते हैं: पाप α = −0.5।

काम। tan α ज्ञात करें यदि tan 2 α = 9 और α ∈ है।

सब कुछ समान है, केवल स्पर्शरेखा के लिए। वर्गमूल निकालें: tan 2 α = 9 ⇒ tan α = ±3। लेकिन शर्त के अनुसार, कोण α ∈ I समन्वय तिमाही है। सभी त्रिकोणमितीय फलन, सहित। स्पर्शरेखा, धनात्मक हैं, इसलिए tan α = 3. बस!

इस लेख में शामिल है साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की तालिकाएँ. सबसे पहले, हम त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल मूल्यों की एक तालिका प्रदान करेंगे, यानी, 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 डिग्री के कोणों के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की एक तालिका ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πरेडियन)। इसके बाद, हम साइन और कोसाइन की एक तालिका, साथ ही वी. एम. ब्रैडिस द्वारा स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की एक तालिका देंगे, और दिखाएंगे कि त्रिकोणमितीय कार्यों के मान ज्ञात करते समय इन तालिकाओं का उपयोग कैसे करें।

पेज नेविगेशन.

0, 30, 45, 60, 90, ... डिग्री के कोणों के लिए ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की तालिका

ग्रंथ सूची.

बीजगणित:पाठयपुस्तक 9वीं कक्षा के लिए. औसत स्कूल/यु. एन. मकार्यचेव, एन. जी. माइंडयुक, के. आई. नेशकोव, एस. बी. सुवोरोवा; ईडी। एस. ए. तेल्याकोवस्की - एम.: शिक्षा, 1990. - 272 पीपी.: आईएसबीएन 5-09-002727-7
बश्माकोव एम.आई.बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: पाठ्यपुस्तक। 10-11 ग्रेड के लिए. औसत विद्यालय - तीसरा संस्करण। - एम.: शिक्षा, 1993. - 351 पी.: बीमार। - आईएसबीएन 5-09-004617-4.
बीजगणितऔर विश्लेषण की शुरुआत: प्रोक. 10-11 ग्रेड के लिए. सामान्य शिक्षा संस्थान / ए. एन. कोलमोगोरोव, ए. एम. अब्रामोव, यू. पी. डुडनित्सिन और अन्य; ईडी। ए. एन. कोलमोगोरोव - 14वां संस्करण - एम.: शिक्षा, 2004. - 384 पीपी. - आईएसबीएन 5-09-013651-3।
गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी.गणित (तकनीकी स्कूलों में प्रवेश करने वालों के लिए एक मैनुअल): प्रोक। भत्ता.- एम.; उच्च स्कूल, 1984.-351 पी., बीमार।
ब्रैडिस वी.एम.चार अंकों की गणित तालिकाएँ: सामान्य शिक्षा के लिए। पाठयपुस्तक प्रतिष्ठान. - दूसरा संस्करण। - एम.: बस्टर्ड, 1999.- 96 पी.: बीमार। आईएसबीएन 5-7107-2667-2

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की अवधारणाएं त्रिकोणमिति की मुख्य श्रेणियां हैं, जो गणित की एक शाखा है, और कोण की परिभाषा के साथ अटूट रूप से जुड़ी हुई हैं। इस गणितीय विज्ञान में महारत हासिल करने के लिए सूत्रों और प्रमेयों को याद रखने और समझने के साथ-साथ विकसित स्थानिक सोच की भी आवश्यकता होती है। यही कारण है कि त्रिकोणमितीय गणनाएँ अक्सर स्कूली बच्चों और छात्रों के लिए कठिनाइयों का कारण बनती हैं। उन पर काबू पाने के लिए, आपको त्रिकोणमितीय कार्यों और सूत्रों से अधिक परिचित होना चाहिए।

त्रिकोणमिति में अवधारणाएँ

त्रिकोणमिति की बुनियादी अवधारणाओं को समझने के लिए, आपको पहले यह समझना होगा कि एक समकोण त्रिभुज और एक वृत्त में एक कोण क्या हैं, और सभी बुनियादी त्रिकोणमितीय गणनाएँ उनके साथ क्यों जुड़ी हुई हैं। एक त्रिभुज जिसका एक कोण 90 डिग्री का हो, आयताकार होता है। ऐतिहासिक रूप से, इस आकृति का उपयोग अक्सर वास्तुकला, नेविगेशन, कला और खगोल विज्ञान में लोगों द्वारा किया जाता था। तदनुसार, इस आंकड़े के गुणों का अध्ययन और विश्लेषण करके, लोग इसके मापदंडों के संबंधित अनुपात की गणना करने लगे।

समकोण त्रिभुजों से जुड़ी मुख्य श्रेणियां कर्ण और पैर हैं। कर्ण समकोण के विपरीत त्रिभुज की भुजा है। पैर, क्रमशः, शेष दो भुजाएँ हैं। किसी भी त्रिभुज के कोणों का योग सदैव 180 डिग्री होता है।

गोलाकार त्रिकोणमिति त्रिकोणमिति का एक भाग है जिसका अध्ययन स्कूल में नहीं किया जाता है, लेकिन खगोल विज्ञान और भूगणित जैसे व्यावहारिक विज्ञान में वैज्ञानिक इसका उपयोग करते हैं। गोलाकार त्रिकोणमिति में त्रिभुज की विशेषता यह है कि इसके कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री से अधिक होता है।

त्रिभुज के कोण

एक समकोण त्रिभुज में, कोण की ज्या वांछित कोण के विपरीत पैर और त्रिभुज के कर्ण का अनुपात है। तदनुसार, कोसाइन आसन्न पैर और कर्ण का अनुपात है। इन दोनों मानों का परिमाण हमेशा एक से कम होता है, क्योंकि कर्ण हमेशा पैर से लंबा होता है।

किसी कोण की स्पर्शरेखा वांछित कोण के विपरीत पक्ष और आसन्न पक्ष के अनुपात या साइन से कोसाइन के अनुपात के बराबर होती है। कोटैंजेंट, बदले में, वांछित कोण के आसन्न पक्ष का विपरीत पक्ष से अनुपात है। किसी कोण की स्पर्शरेखा को स्पर्शरेखा मान से विभाजित करके भी प्राप्त किया जा सकता है।

इकाई वृत्त

ज्यामिति में एक इकाई वृत्त वह वृत्त है जिसकी त्रिज्या एक के बराबर होती है। इस तरह के एक वृत्त का निर्माण कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में किया जाता है, जिसमें वृत्त का केंद्र मूल बिंदु के साथ मेल खाता है, और त्रिज्या वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति एक्स अक्ष (एब्सिस्सा अक्ष) की सकारात्मक दिशा के साथ निर्धारित की जाती है। वृत्त के प्रत्येक बिंदु के दो निर्देशांक हैं: XX और YY, अर्थात, भुज और कोटि के निर्देशांक। XX तल में वृत्त पर किसी भी बिंदु का चयन करके और उसमें से भुज अक्ष पर एक लंब गिराकर, हम चयनित बिंदु (अक्षर C द्वारा निरूपित) की त्रिज्या द्वारा निर्मित एक समकोण त्रिभुज प्राप्त करते हैं, जो कि X अक्ष पर खींचा गया लंब है। (प्रतिच्छेदन बिंदु को अक्षर G द्वारा निरूपित किया जाता है), और भुज अक्ष का खंड निर्देशांक की उत्पत्ति (बिंदु को अक्षर A द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है) और प्रतिच्छेदन बिंदु G के बीच है। परिणामी त्रिभुज ACG एक समकोण त्रिभुज है जो खुदा हुआ है एक वृत्त, जहां AG कर्ण है, और AC और GC पैर हैं। वृत्त AC की त्रिज्या और पदनाम AG के साथ भुज अक्ष के खंड के बीच के कोण को α (अल्फा) के रूप में परिभाषित किया गया है। तो, cos α = AG/AC। यह मानते हुए कि AC इकाई वृत्त की त्रिज्या है, और यह एक के बराबर है, यह पता चलता है कि cos α=AG। इसी प्रकार, पाप α=CG.

इसके अलावा, इस डेटा को जानकर, आप वृत्त पर बिंदु C का निर्देशांक निर्धारित कर सकते हैं, क्योंकि cos α=AG, और syn α=CG, जिसका अर्थ है कि बिंदु C में दिए गए निर्देशांक (cos α;sin α) हैं। यह जानते हुए कि स्पर्श रेखा ज्या और कोज्या के अनुपात के बराबर है, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि tan α = y/x, और cot α = x/y। ऋणात्मक समन्वय प्रणाली में कोणों पर विचार करके, आप गणना कर सकते हैं कि कुछ कोणों की ज्या और कोज्या मान ऋणात्मक हो सकते हैं।

गणना और बुनियादी सूत्र

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन मान

इकाई वृत्त के माध्यम से त्रिकोणमितीय कार्यों के सार पर विचार करने के बाद, हम कुछ कोणों के लिए इन कार्यों के मान प्राप्त कर सकते हैं। मान नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं।

सबसे सरल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

वे समीकरण जिनमें त्रिकोणमितीय फलन का चिह्न शामिल होता है अज्ञात मूल्य, त्रिकोणमिति कहलाते हैं। मान के साथ पहचान पाप x = α, k - कोई भी पूर्णांक:

पाप x = 0, x = πk.
2. पाप x = 1, x = π/2 + 2πk।
पाप x = -1, x = -π/2 + 2πk.
पाप x = ए, |ए| > 1, कोई समाधान नहीं.
पाप x = ए, |ए| ≦ 1, x = (-1)^k * आर्क्सिन α + πk।

मान cos x = a के साथ पहचान, जहां k कोई पूर्णांक है:

क्योंकि x = 0, x = π/2 + πk.
क्योंकि x = 1, x = 2πk.
क्योंकि x = -1, x = π + 2πk.
क्योंकि x = ए, |ए| > 1, कोई समाधान नहीं.
क्योंकि x = ए, |ए| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.

मान tg x = a वाली पहचान, जहां k कोई पूर्णांक है:

tan x = 0, x = π/2 + πk.
tan x = a, x = arctan α + πk।

ctg x = a मान वाली पहचान, जहां k कोई पूर्णांक है:

खाट x = 0, x = π/2 + πk.
सीटीजी एक्स = ए, एक्स = आर्कसीटीजी α + πk।

न्यूनीकरण सूत्र

स्थिर सूत्रों की यह श्रेणी उन तरीकों को दर्शाती है जिनके साथ आप प्रपत्र के त्रिकोणमितीय कार्यों से तर्क के कार्यों तक जा सकते हैं, यानी, किसी भी मूल्य के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट को कोण के संबंधित संकेतकों तक कम कर सकते हैं। गणना में अधिक आसानी के लिए 0 से 90 डिग्री तक का अंतराल।

किसी कोण की ज्या के लिए फ़ंक्शन को कम करने के सूत्र इस तरह दिखते हैं:

पाप(900 - α) = α;
पाप(900 + α) = क्योंकि α;
पाप(1800 - α) = पाप α;
पाप(1800 + α) = -sin α;
पाप(2700 - α) = -cos α;
पाप(2700 + α) = -cos α;
पाप(3600 - α) = -sin α;
पाप(3600 + α) = पाप α.

कोण की कोज्या के लिए:

cos(900 - α) = पाप α;
cos(900 + α) = -sin α;
cos(1800 - α) = -cos α;
cos(1800 + α) = -cos α;
cos(2700 - α) = -sin α;
cos(2700 + α) = पाप α;
cos(3600 - α) = cos α;
cos(3600 + α) = cos α.

उपरोक्त सूत्रों का प्रयोग दो नियमों के अधीन संभव है। सबसे पहले, यदि कोण को मान (π/2 ± a) या (3π/2 ± a) के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो फ़ंक्शन का मान बदल जाता है:

पाप से पाप तक;
कॉस से पाप तक;
टीजी से सीटीजी तक;
सीटीजी से टीजी तक.

यदि कोण को (π ± a) या (2π ± a) के रूप में दर्शाया जा सकता है तो फ़ंक्शन का मान अपरिवर्तित रहता है।

दूसरे, घटे हुए फ़ंक्शन का चिह्न नहीं बदलता है: यदि यह प्रारंभ में सकारात्मक था, तो यह वैसा ही रहता है। नकारात्मक कार्यों के साथ भी ऐसा ही है।

अतिरिक्त सूत्र

ये सूत्र अपने त्रिकोणमितीय कार्यों के माध्यम से दो घूर्णन कोणों के योग और अंतर के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान को व्यक्त करते हैं। आमतौर पर कोणों को α और β के रूप में दर्शाया जाता है।

सूत्र इस प्रकार दिखते हैं:

पाप(α ± β) = पाप α * क्योंकि β ± क्योंकि α * पाप।
कॉस(α ± β) = कॉस α * कॉस β ∓ पाप α * पाप।
tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β)।
ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β)।

ये सूत्र किसी भी कोण α और β के लिए मान्य हैं।

डबल और ट्रिपल कोण सूत्र

दोहरे और तिहरे कोण त्रिकोणमितीय सूत्र ऐसे सूत्र हैं जो क्रमशः कोण 2α और 3α के कार्यों को कोण α के त्रिकोणमितीय कार्यों से जोड़ते हैं। अतिरिक्त सूत्रों से व्युत्पन्न:

पाप2α = 2sinα*cosα.
cos2α = 1 - 2sin^2 α.
tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
syn3α = 3sinα - 4sin^3 α.
cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

योग से उत्पाद में संक्रमण

यह मानते हुए कि 2sinx*cosy = पाप(x+y) + पाप(x-y), इस सूत्र को सरल बनाते हुए, हम पहचान पापα + पापβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2 प्राप्त करते हैं। इसी प्रकार पापα - पापβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * पाप(α − β)/2; tanα + tanβ = पाप(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = पाप(α - β) / cosα * cosβ; cosα + synα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

उत्पाद से योग तक संक्रमण

ये सूत्र किसी राशि के उत्पाद में परिवर्तन की पहचान से अनुसरण करते हैं:

पापα * पापβ = 1/2*;
cosα * cosβ = 1/2*;
पापα *cosβ = 1/2*.

डिग्री कम करने के सूत्र

इन पहचानों में, साइन और कोसाइन की वर्ग और घन शक्तियों को एकाधिक कोण की पहली शक्ति के साइन और कोसाइन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

पाप^2 α = (1 - cos2α)/2;
cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
पाप^3 α = (3 * पापα - पाप3α)/4;
cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
पाप^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

सार्वभौमिक प्रतिस्थापन

सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन के सूत्र त्रिकोणमितीय कार्यों को आधे कोण के स्पर्शरेखा के संदर्भ में व्यक्त करते हैं।

पाप x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), x = π + 2πn के साथ;
cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), जहां x = π + 2πn;
tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), जहां x = π + 2πn;
cot x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), x = π + 2πn के साथ।

विशेष स्थितियां

प्रोटोजोआ के विशेष मामले त्रिकोणमितीय समीकरणनीचे दिए गए हैं (k कोई पूर्णांक है)।

ज्या के लिए भागफल:

पाप x मान	x मान
0	πk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk या 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk या -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk या 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk या -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk या 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk या -2π/3 + 2πk

कोज्या के लिए भागफल:

क्योंकि x मान	x मान
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

स्पर्शरेखा के लिए भागफल:

टीजी एक्स मान	x मान
0	πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

कोटैंजेंट के लिए उद्धरण:

सीटीजी x मान	x मान
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

प्रमेयों

ज्या का प्रमेय

प्रमेय के दो संस्करण हैं - सरल और विस्तारित। सरल ज्या प्रमेय: a/sin α = b/sin β = c/sin γ। इस स्थिति में, a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और α, β, γ क्रमशः विपरीत कोण हैं।

एक मनमाना त्रिभुज के लिए विस्तारित साइन प्रमेय: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R। इस पहचान में, R उस वृत्त की त्रिज्या को दर्शाता है जिसमें दिया गया त्रिभुज अंकित है।

कोसाइन प्रमेय

पहचान इस प्रकार प्रदर्शित की जाती है: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α। सूत्र में, a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और α भुजा a के विपरीत कोण है।

स्पर्शरेखा प्रमेय

सूत्र दो कोणों की स्पर्शरेखाओं और उनके विपरीत भुजाओं की लंबाई के बीच संबंध को व्यक्त करता है। भुजाओं को a, b, c लेबल किया गया है, और संगत विपरीत कोण α, β, γ हैं। स्पर्शरेखा प्रमेय का सूत्र: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2)।

कोटैंजेंट प्रमेय

एक त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या को उसकी भुजाओं की लंबाई से जोड़ता है। यदि a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और A, B, C क्रमशः उनके विपरीत कोण हैं, r अंकित वृत्त की त्रिज्या है, और p त्रिभुज का अर्ध-परिधि है, तो निम्नलिखित पहचान मान्य हैं:

खाट ए/2 = (पी-ए)/आर;
खाट बी/2 = (पी-बी)/आर;
खाट सी/2 = (पी-सी)/आर।

आवेदन

त्रिकोणमिति केवल गणितीय सूत्रों से जुड़ा एक सैद्धांतिक विज्ञान नहीं है। इसके गुण, प्रमेय और नियम विभिन्न उद्योगों द्वारा व्यवहार में उपयोग किये जाते हैं। मानवीय गतिविधि- खगोल विज्ञान, हवाई और समुद्री नेविगेशन, संगीत सिद्धांत, भूगणित, रसायन विज्ञान, ध्वनिकी, प्रकाशिकी, इलेक्ट्रॉनिक्स, वास्तुकला, अर्थशास्त्र, मैकेनिकल इंजीनियरिंग, मापने का काम, कंप्यूटर ग्राफिक्स, कार्टोग्राफी, समुद्र विज्ञान, और कई अन्य।

साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट त्रिकोणमिति की मूल अवधारणाएं हैं, जिनकी सहायता से कोई त्रिभुज में कोणों और भुजाओं की लंबाई के बीच संबंधों को गणितीय रूप से व्यक्त कर सकता है, और सर्वसमिकाओं, प्रमेयों और नियमों के माध्यम से आवश्यक मात्राएँ ज्ञात कर सकता है।

समस्या 6.12. पिछली समस्या जैसा ही प्रश्न, लेकिन एक नियमित पंचकोण के लिए (संकेत: समस्या 3.5 देखें)।

समस्या 6.13. समस्या 4.8 में कहा गया था कि एक छोटे कोण α की कोज्या के अनुमानित मान के रूप में, हम संख्या 1 ले सकते हैं, अर्थात कोज्या फलन का मान शून्य पर है। क्या होगा यदि, बिना किसी देरी के, हम एक छोटे कोण α की ज्या के अनुमानित मान के रूप में 0 = पाप 0 लेते हैं? यह बुरा क्यों है?

चावल। 6.4. बिंदु M एक चक्रवात के अनुदिश गति करता है।

समस्या 6.14. त्रिज्या 1 के एक पहिये पर विचार करें जो मूल बिंदु पर x-अक्ष को छू रहा है (चित्र 6.4)। आइए मान लें कि पहिया x-अक्ष के अनुदिश सकारात्मक दिशा में 1 की गति से घूमता है (अर्थात्, समय t के दौरान इसका केंद्र t दाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है)।

ए) एक वक्र बनाएं (लगभग) जिसे बिंदु एम द्वारा वर्णित किया जाएगा, जो पहले क्षण में भुज अक्ष को छूएगा।

बी) पता लगाएं कि आंदोलन की शुरुआत के बाद समय टी के बाद बिंदु एम का भुज और कोटि क्या होगा।

6.1. स्पर्शरेखा अक्ष

इस अनुभाग में हमने साइन और कोसाइन को ज्यामितीय रूप से परिभाषित किया है, एक बिंदु के कोटि और भुज के रूप में, और स्पर्शरेखा - बीजगणितीय रूप से, पाप टी / कॉस टी के रूप में। हालाँकि, स्पर्शरेखा को एक ज्यामितीय अर्थ देना संभव है।

ऐसा करने के लिए, निर्देशांक (1; 0) (त्रिकोणमितीय वृत्त पर मूल) वाले बिंदु के माध्यम से त्रिकोणमितीय वृत्त की एक स्पर्श रेखा खींचें - अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा

चावल। 6.5. स्पर्शरेखा अक्ष.

तालमेल आइए इस सीधी रेखा को स्पर्शरेखा अक्ष कहते हैं (चित्र 6.5)। यह नाम इस प्रकार उचित है: मान लीजिए कि M संख्या t के संगत त्रिकोणमितीय वृत्त पर एक बिंदु है। आइए हम त्रिज्या SM को तब तक जारी रखें जब तक कि यह स्पर्शरेखा अक्ष के साथ प्रतिच्छेद न कर दे। तब यह पता चलता है कि प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि tg t के बराबर है।

वास्तव में, चित्र में त्रिभुज NOS और MP S हैं। 6.5, जाहिर है

	लेकिन समान. यहाँ से



	जो कहा गया था.									या (0; −1), फिर सीधे
	यदि बिंदु M के निर्देशांक (0; 1) हैं

मई एसएम स्पर्शरेखा अक्ष के समानांतर है, और स्पर्शरेखा को हमारी पद्धति का उपयोग करके निर्धारित नहीं किया जा सकता है। यह आश्चर्य की बात नहीं है: इन बिंदुओं का भुज 0 है, इसलिए t के संगत मानों के लिए cos t = 0, और tg t = syn t/ cos t परिभाषित नहीं है।

6.2. त्रिकोणमितीय फलनों के लक्षण

आइए जानें कि टी के किन मूल्यों पर साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा सकारात्मक हैं, और किन मूल्यों पर वे नकारात्मक हैं। परिभाषा के अनुसार, पाप टी संख्या टी के अनुरूप त्रिकोणमितीय वृत्त पर एक बिंदु की कोटि है। इसलिए यदि बिंदु t चालू है तो पाप t > 0

एक बिंदु पर केन्द्रित ए.
α - कोण रेडियन में व्यक्त किया गया।

परिभाषा
साइन (पाप α)यह एक त्रिकोणमितीय फलन है जो कर्ण और पैर के बीच के कोण α पर निर्भर करता है सही त्रिकोण, विपरीत भुजा की लंबाई के अनुपात के बराबर |BC| कर्ण की लंबाई तक |AC|

कोसाइन (cos α)एक त्रिकोणमितीय फलन है जो एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और पैर के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो आसन्न पैर की लंबाई के अनुपात के बराबर है |AB| कर्ण की लंबाई तक |AC|

स्वीकृत नोटेशन

;
;
.

साइन फ़ंक्शन का ग्राफ़, y = पाप x

कोज्या फलन का ग्राफ़, y = cos x

साइन और कोसाइन के गुण

दौरा

फ़ंक्शंस y = पाप एक्सऔर y = क्योंकि xअवधि के साथ आवधिक 2π.

समानता

साइन फलन विषम है. कोज्या फलन सम है।

परिभाषा और मूल्यों का क्षेत्र, चरम, वृद्धि, कमी

साइन और कोसाइन फलन अपनी परिभाषा के क्षेत्र में, यानी सभी x के लिए निरंतर हैं (निरंतरता का प्रमाण देखें)। उनके मुख्य गुण तालिका (एन - पूर्णांक) में प्रस्तुत किए गए हैं।

	आप= पाप एक्स	आप= क्योंकि x
दायरा और निरंतरता	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
मूल्यों की श्रृंखला	-1 ≤ य ≤ 1	-1 ≤ य ≤ 1
की बढ़ती
अवरोही
मैक्सिमा, y = 1
मिनिमा, y = - 1
शून्य, y = 0
कोटि अक्ष के साथ बिंदुओं को अवरोधित करें, x = 0	आप= 0	आप= 1

मूल सूत्र

ज्या और कोज्या के वर्गों का योग

योग और अंतर से ज्या और कोज्या के सूत्र

;
;

ज्या और कोज्या के गुणनफल के लिए सूत्र

योग और अंतर सूत्र

साइन को कोसाइन के माध्यम से व्यक्त करना

;
;
;
.

कोज्या को ज्या के माध्यम से व्यक्त करना