बेलनाकार मानचित्र प्रक्षेपण. मानचित्र प्रक्षेपण और विकृतियाँ

स्थलाकृतिक और भूगणितीय कार्य के परिणामों का उपयोग काफी सरल हो जाता है यदि ये परिणाम सबसे सरल - एक विमान पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली से संबंधित हों। ऐसी समन्वय प्रणाली में, एक समतल पर विश्लेषणात्मक ज्यामिति के सरल सूत्रों को लागू करके भूभाग के छोटे क्षेत्रों और मानचित्रों पर कई भूगणितीय समस्याओं को हल किया जाता है। एक सतह की छवि दूसरी सतह पर बनने के नियम को प्रक्षेपण कहा जाता है। कार्टोग्राफिक अनुमान कुछ समतल या खुली सतह पर दीर्घवृत्त के अक्षांश और देशांतर के मेरिडियन के समानांतर के एक विशिष्ट मानचित्रण के गठन पर आधारित होते हैं। ज्यामिति में, जैसा कि ज्ञात है, सबसे सरल विकास योग्य सतहें एक समतल, एक सिलेंडर और एक शंकु हैं। इसने मानचित्र प्रक्षेपण के तीन परिवारों को निर्धारित किया: अज़ीमुथल, बेलनाकार और शंक्वाकार . परिवर्तन के चुने हुए प्रकार के बावजूद, किसी समतल पर घुमावदार सतह के किसी भी मानचित्रण में त्रुटियाँ और विकृतियाँ शामिल होती हैं। जियोडेटिक अनुमानों के लिए, वे ऐसे अनुमानों को प्राथमिकता देते हैं जो अनुमानित क्षेत्र के क्षेत्र में क्रमिक वृद्धि के साथ जियोडेटिक निर्माण के तत्वों की विकृतियों में धीमी वृद्धि सुनिश्चित करते हैं। विशेष रूप से महत्वपूर्ण यह आवश्यकता है कि प्रक्षेपण सबसे सरल सूत्रों का उपयोग करके इन विकृतियों के लिए उच्च सटीकता और लेखांकन में आसानी सुनिश्चित करे। प्रक्षेपण परिवर्तनों में त्रुटियाँ चार विशेषताओं की सटीकता के आधार पर उत्पन्न होती हैं:

समकोणिकता - किसी भी वस्तु के आकार का सत्य;

समान क्षेत्र - क्षेत्रों की समानता;

समान दूरी - दूरी माप का सत्य;

दिशाओं का सत्य.

कोई भी मानचित्र प्रक्षेपण सभी सूचीबद्ध विशेषताओं के लिए समतल पर सटीक प्रदर्शन प्रदान नहीं कर सकता है।

विकृति की प्रकृति सेकार्टोग्राफिक अनुमानों को समकोणीय, समान-क्षेत्रफल और मनमाना (विशेष मामलों में समदूरस्थ) में विभाजित किया गया है।

समकोणीय (अनुरूप) ) प्रक्षेपण वे हैं जिनमें रैखिक तत्वों के कोणों और दिगंशों में कोई विकृति नहीं होती है। ये प्रक्षेपण बिना विरूपण के कोणों को संरक्षित करते हैं (उदाहरण के लिए, उत्तर और पूर्व के बीच का कोण हमेशा सीधा होना चाहिए) और छोटी वस्तुओं के आकार, लेकिन उनकी लंबाई और क्षेत्र तेजी से विकृत होते हैं। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि बड़े क्षेत्रों के लिए कोनों को बनाए रखना मुश्किल है और इसे केवल छोटे क्षेत्रों में ही हासिल किया जा सकता है।

आकार में समान (समान क्षेत्रफल)प्रक्षेपण ऐसे प्रक्षेपण होते हैं जिनमें दीर्घवृत्ताभ की सतह और समतल पर संगत क्षेत्रों के क्षेत्रफल समान रूप से समान (आनुपातिक) होते हैं। इन प्रक्षेपणों में वस्तुओं के कोण और आकार विकृत हो जाते हैं।

मुक्त अनुमानइनमें कोणों, क्षेत्रफलों और लंबाई की विकृतियाँ होती हैं, लेकिन ये विकृतियाँ पूरे मानचित्र में इस प्रकार वितरित होती हैं कि वे केंद्रीय भाग में न्यूनतम होती हैं और परिधि पर बढ़ती हैं। मनमाना प्रक्षेपण का एक विशेष मामला है समदूरस्थ (समदूरस्थ), जिसमें किसी एक दिशा में लंबाई की कोई विकृति नहीं होती है: मेरिडियन के साथ या समानांतर के साथ।

समान दूरी प्रक्षेपण कहलाते हैं जो मुख्य दिशाओं में से एक के साथ लंबाई बनाए रखते हैं। एक नियम के रूप में, ये एक ऑर्थोगोनल मानचित्र ग्रिड के साथ प्रक्षेपण हैं। इन मामलों में, मुख्य दिशाएँ मध्याह्न रेखा और समानताएं के साथ होती हैं। तदनुसार, दिशाओं में से एक के साथ समदूरस्थ प्रक्षेपण निर्धारित किए जाते हैं। ऐसे अनुमानों के निर्माण का दूसरा तरीका एक या दो बिंदुओं से सभी दिशाओं में एक इकाई पैमाने का कारक बनाए रखना है। ऐसे बिंदुओं से मापी गई दूरियां बिल्कुल वास्तविक बिंदुओं के अनुरूप होंगी, लेकिन किसी अन्य बिंदु के लिए यह नियम लागू नहीं होगा। इस प्रकार के प्रक्षेपण को चुनते समय बिंदुओं का चुनाव बहुत महत्वपूर्ण है। आमतौर पर, उन बिंदुओं को प्राथमिकता दी जाती है जहां से सबसे अधिक संख्या में माप लिए जाते हैं।

ए) शंक्वाकार
बी) बेलनाकार
ग) अज़ीमुथल

चित्र 11. निर्माण विधि द्वारा प्रक्षेपणों की श्रेणियाँ

अज़ीमुथ के बराबर अनुमाननेविगेशन में सबसे अधिक उपयोग किया जाता है, अर्थात। जब सबसे अधिक रुचि दिशा-निर्देश बनाए रखने में होती है। समान क्षेत्र प्रक्षेपण के समान, सही दिशाएँ केवल एक या दो विशिष्ट बिंदुओं के लिए संरक्षित की जा सकती हैं। केवल इन बिंदुओं से खींची गई सीधी रेखाएँ सही दिशाओं के अनुरूप होंगी।

निर्माण विधि से(किसी सतह को समतल पर खोलना) प्रक्षेपणों के तीन बड़े वर्ग हैं: शंक्वाकार (ए), बेलनाकार (बी) और अज़ीमुथल (सी)।

शंक्वाकार प्रक्षेपणदीर्घवृत्त के सापेक्ष एक निश्चित तरीके से उन्मुख, एक शंकु की पार्श्व सतह पर पृथ्वी की सतह के प्रक्षेपण के आधार पर बनते हैं। प्रत्यक्ष शंकु प्रक्षेपण में, ग्लोब और शंकु की अक्षें मेल खाती हैं, और एक छेदक या स्पर्शरेखा शंकु का चयन किया जाता है। डिज़ाइन के बाद, शंकु की पार्श्व सतह को किसी एक जेनरेटर के साथ काटा जाता है और एक समतल में खोल दिया जाता है। शंक्वाकार प्रक्षेपणों में चित्रित क्षेत्र के आकार के आधार पर, एक या दो समानताएं अपनाई जाती हैं, जिनके साथ लंबाई विरूपण के बिना बनाए रखी जाती है। एक छोटे अक्षांश के लिए एक समानांतर (स्पर्शरेखा) को अपनाया जाता है; एकता से तराजू के विचलन को कम करने के लिए बड़े पैमाने पर दो समानांतर (सेकेंट) को अपनाया जाता है। ऐसी समानताएँ मानक कहलाती हैं। शंक्वाकार प्रक्षेपणों की एक विशेष विशेषता यह है कि उनकी केंद्रीय रेखाएँ मध्य समानताओं से मेल खाती हैं। नतीजतन, शंकुधारी प्रक्षेपण मध्य अक्षांशों में स्थित और देशांतर में काफी लंबे क्षेत्रों को चित्रित करने के लिए सुविधाजनक हैं। इसीलिए इन प्रक्षेपणों में पूर्व सोवियत संघ के कई मानचित्र तैयार किये गये हैं।

बेलनाकार प्रक्षेपणपृथ्वी के दीर्घवृत्त के सापेक्ष एक निश्चित तरीके से उन्मुख, एक सिलेंडर की पार्श्व सतह पर पृथ्वी की सतह को प्रक्षेपित करने के आधार पर बनते हैं। सीधे बेलनाकार प्रक्षेपणों में, समानताएं और मेरिडियन को एक दूसरे के लंबवत सीधी समानांतर रेखाओं के दो परिवारों द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रकार, बेलनाकार प्रक्षेपणों का एक आयताकार ग्रिड निर्दिष्ट किया गया है। बेलनाकार प्रक्षेपणों को शंक्वाकार प्रक्षेपणों का एक विशेष मामला माना जा सकता है, जब शंकु का शीर्ष अनंत ( = 0) पर होता है। बेलनाकार प्रक्षेपण बनाने के विभिन्न तरीके हैं। सिलेंडर दीर्घवृत्त के स्पर्शरेखा या छेदक हो सकता है। स्पर्शरेखा सिलेंडर का उपयोग करने के मामले में, भूमध्य रेखा के साथ लंबाई माप की सटीकता बनाए रखी जाती है। यदि एक छेदक सिलेंडर का उपयोग किया जाता है - दो मानक समानांतरों के साथ, भूमध्य रेखा के सापेक्ष सममित। छवि क्षेत्र के स्थान के आधार पर, सीधे, तिरछे और अनुप्रस्थ बेलनाकार प्रक्षेपण का उपयोग किया जाता है। छोटे और बड़े पैमाने के मानचित्रों को संकलित करते समय बेलनाकार प्रक्षेपणों का उपयोग किया जाता है।

अज़ीमुथल प्रक्षेपणपृथ्वी की सतह को दीर्घवृत्त के सापेक्ष एक निश्चित तरीके से उन्मुख एक निश्चित विमान पर प्रक्षेपित करके गठित किया जाता है। उनमें, समानताओं को संकेंद्रित वृत्तों के रूप में दर्शाया गया है, और मेरिडियन को वृत्त के केंद्र से निकलने वाली सीधी रेखाओं के समूह के रूप में दर्शाया गया है। प्रक्षेपणों के याम्योत्तर के बीच के कोण देशांतर में संबंधित अंतर के बराबर होते हैं। समानताओं के बीच का स्थान छवि की स्वीकृत प्रकृति (समबाहु या अन्य) द्वारा निर्धारित किया जाता है। सामान्य प्रक्षेपण ग्रिड ऑर्थोगोनल है। अज़ीमुथल प्रक्षेपण को शंकु प्रक्षेपण का एक विशेष मामला माना जा सकता है, जिसमें =1.

प्रत्यक्ष, तिरछा और अनुप्रस्थ अज़ीमुथल प्रक्षेपण का उपयोग किया जाता है, जो प्रक्षेपण के केंद्रीय बिंदु के अक्षांश से निर्धारित होता है, जिसकी पसंद, बदले में, क्षेत्र के स्थान पर निर्भर करती है। विकृति के आधार पर, अज़ीमुथल प्रक्षेपणों को समबाहु, समान-क्षेत्र और मध्यवर्ती गुणों में विभाजित किया जाता है।

अनुमानों की एक विस्तृत विविधता है: छद्म बेलनाकार, बहुकोणीय, छद्म अज़िमुथल और अन्य। कार्यों के सर्वोत्कृष्ट समाधान की संभावना मानचित्र प्रक्षेपण के सही चयन पर निर्भर करती है। अनुमानों का चुनाव कई कारकों द्वारा निर्धारित होता है, जिन्हें मोटे तौर पर तीन समूहों में बांटा जा सकता है।

कारकों का पहला समूह अध्ययन के तहत क्षेत्र की भौगोलिक स्थिति, उसके आकार, विन्यास और उसके व्यक्तिगत भागों के महत्व के संदर्भ में मानचित्रण की वस्तु की विशेषता बताता है।

दूसरे समूह में बनाए जा रहे मानचित्र की विशेषता वाले कारक शामिल हैं। इस समूह में समग्र रूप से मानचित्र की सामग्री और उद्देश्य, जीआईएस समस्याओं को हल करने में इसके उपयोग के तरीके और शर्तें, और उनके समाधान की सटीकता के लिए आवश्यकताएं शामिल हैं।

तीसरे समूह में वे कारक शामिल हैं जो परिणामी मानचित्र प्रक्षेपण की विशेषता बताते हैं। यह न्यूनतम विकृतियों, विकृतियों के अनुमेय अधिकतम मूल्यों, उनके वितरण की प्रकृति, मेरिडियन और समानताएं की छवि की वक्रता सुनिश्चित करने के लिए एक शर्त है।

मानचित्र प्रक्षेपणों का चयन दो चरणों में किया जाना प्रस्तावित है।

पहले चरण में, पहले और दूसरे समूहों के कारकों को ध्यान में रखते हुए अनुमानों का एक सेट स्थापित किया जाता है। इस मामले में, यह आवश्यक है कि केंद्रीय रेखाएं या प्रक्षेपण बिंदु, जिनके पास तराजू थोड़ा बदलता है, अध्ययन के तहत क्षेत्र के केंद्र में स्थित हों, और केंद्रीय रेखाएं, यदि संभव हो तो, सबसे बड़े वितरण की दिशा के साथ मेल खाती हों ये क्षेत्र. दूसरे चरण में, वांछित प्रक्षेपण निर्धारित किया जाता है।

आइए अध्ययन क्षेत्र के स्थान के आधार पर विभिन्न अनुमानों की पसंद पर विचार करें। अज़ीमुथल प्रक्षेपण, एक नियम के रूप में, ध्रुवीय क्षेत्रों के क्षेत्रों को चित्रित करने के लिए चुने जाते हैं। भूमध्य रेखा के निकट और सममित और देशांतर में लम्बे क्षेत्रों के लिए बेलनाकार प्रक्षेपण बेहतर होते हैं। शंकु प्रक्षेपण का उपयोग समान क्षेत्रों के लिए किया जाना चाहिए, लेकिन भूमध्य रेखा के सापेक्ष सममित या मध्य अक्षांशों में स्थित नहीं।

चयनित जनसंख्या के सभी अनुमानों के लिए, आंशिक पैमाने और विकृतियों की गणना गणितीय कार्टोग्राफी सूत्रों का उपयोग करके की जाती है। स्वाभाविक रूप से, उस प्रक्षेपण को प्राथमिकता दी जानी चाहिए जिसमें कम से कम विरूपण हो, कार्टोग्राफिक ग्रिड का एक सरल रूप हो, और, समान परिस्थितियों में, प्रक्षेपण का एक सरल गणितीय उपकरण हो। समान क्षेत्र प्रक्षेपणों का उपयोग करने पर विचार करते समय, आपको रुचि के क्षेत्र के आकार और कोणीय विरूपण की मात्रा और वितरण पर विचार करना चाहिए। समान क्षेत्र प्रक्षेपणों का उपयोग करते समय छोटे क्षेत्र बहुत कम कोणीय विरूपण के साथ दिखाई देते हैं, जो तब उपयोगी हो सकते हैं जब क्षेत्र और वस्तुओं का आकार महत्वपूर्ण है. ऐसे मामले में जब न्यूनतम दूरी निर्धारित करने की समस्या हल हो जाती है, ऐसे अनुमानों का उपयोग करना बेहतर होता है जो दिशाओं को विकृत नहीं करते हैं। जीआईएस बनाने में प्रक्षेपण का चयन करना मुख्य प्रक्रियाओं में से एक है।

रूस में उपमृदा उपयोग में मानचित्रण समस्याओं को हल करते समय, नीचे वर्णित दो अनुमानों का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

संशोधित सरल पॉलीकोनिक प्रक्षेपणबहुआयामी के रूप में उपयोग किया जाता है, अर्थात। प्रत्येक शीट को प्रक्षेपण के अपने संस्करण में परिभाषित किया गया है।

चित्र 12. पॉलीकोनिक प्रक्षेपण में स्केल 1:200000 की शीटों का नामकरण ट्रेपेज़ॉइड

संशोधित सरल पॉलीकोनिक प्रक्षेपण की विशेषताएं और व्यक्तिगत मिलियन-स्केल शीट के भीतर विकृतियों का वितरण इस प्रकार है:

सभी याम्योत्तरों को सीधी रेखाओं के रूप में दर्शाया गया है, चरम समानांतरों पर और औसत से ±2º स्थित याम्योत्तरों पर लंबाई की कोई विकृति नहीं है,

प्रत्येक शीट की चरम समानताएं (उत्तर और दक्षिण) वृत्तों के चाप हैं, इन समानताओं के केंद्र मध्य मध्याह्न रेखा पर हैं, उनकी लंबाई विकृत नहीं है, मध्य समानताएं सीधे मध्याह्न रेखा के साथ अक्षांश में आनुपातिक विभाजन द्वारा निर्धारित की जाती हैं,

पृथ्वी की सतह, जिसे एक दीर्घवृत्ताभ की सतह के रूप में लिया जाता है, को मेरिडियन और समांतर रेखाओं द्वारा ट्रेपेज़ॉइड में विभाजित किया गया है। ट्रैपेज़ को एक ही प्रक्षेपण में अलग-अलग शीटों पर दर्शाया गया है (एक संशोधित सरल पॉलीकोनिक में 1: 1,000,000 के पैमाने पर मानचित्र के लिए)। अंतर्राष्ट्रीय विश्व मानचित्र की शीट, स्केल 1: 1,000,000, में ट्रेपेज़ॉइड के कुछ आयाम हैं - मेरिडियन के साथ 4 डिग्री, समानांतर के साथ 6 डिग्री; 60 से 76 डिग्री के अक्षांश पर, चादरें दोगुनी हो जाती हैं, उनके समानांतर आयाम 12 होते हैं; 76 डिग्री से ऊपर चार शीटें संयुक्त होती हैं और उनका समानांतर आकार 24 डिग्री होता है।

बहुआयामी के रूप में प्रक्षेपण का उपयोग अनिवार्य रूप से नामकरण की शुरूआत के साथ जुड़ा हुआ है, अर्थात। व्यक्तिगत शीटों को नामित करने की प्रणालियाँ। एक मिलियन-स्केल मानचित्र के लिए, अक्षांश क्षेत्रों के साथ ट्रेपेज़ॉइड का पदनाम स्वीकार किया जाता है, जहां भूमध्य रेखा से ध्रुवों की दिशा में पदनाम लैटिन वर्णमाला (ए, बी, सी, आदि) के अक्षरों में और साथ में किया जाता है। स्तंभ अरबी अंकों में हैं, जिन्हें देशांतर 180 (ग्रीनविच के अनुसार) वामावर्त के साथ मध्याह्न रेखा से गिना जाता है। उदाहरण के लिए, जिस शीट पर येकातेरिनबर्ग शहर स्थित है, उसका नामकरण O-41 है।

चित्र 13. रूस के क्षेत्र का नामकरण विभाजन

एक संशोधित सरल पॉलीकोनिक प्रक्षेपण का लाभ, जिसे पॉलीहेड्रल के रूप में लागू किया जाता है, विरूपण की छोटी मात्रा है। मानचित्र शीट के भीतर विश्लेषण से पता चला कि लंबाई में विकृतियाँ 0.10%, क्षेत्रफल 0.15%, कोण 5´ से अधिक नहीं हैं और व्यावहारिक रूप से अदृश्य हैं। इस प्रक्षेपण का नुकसान मेरिडियन और समानताएं के साथ चादरों को जोड़ते समय अंतराल की उपस्थिति है।

अनुरूप (अनुरूप) छद्म बेलनाकार गॉस-क्रूगर प्रक्षेपण।इस तरह के प्रक्षेपण का उपयोग करने के लिए, पृथ्वी के दीर्घवृत्त की सतह को 6 या 3 डिग्री के देशांतर अंतर के साथ दो मेरिडियन के बीच घिरे क्षेत्रों में विभाजित किया गया है। मेरिडियन और समानांतर को वक्र के रूप में दर्शाया गया है, जो क्षेत्र और भूमध्य रेखा के अक्षीय मेरिडियन के सापेक्ष सममित है। छह-डिग्री क्षेत्रों के अक्षीय मेरिडियन 1: 1,000,000 के पैमाने पर मानचित्र शीट के केंद्रीय मेरिडियन के साथ मेल खाते हैं। क्रम संख्या सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है

जहां N 1:1,000,000 के पैमाने पर मानचित्र शीट की कॉलम संख्या है।

डी छह-डिग्री क्षेत्रों के अक्षीय मेरिडियन का मान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

एल 0 = 6एन - 3, जहां एन ज़ोन संख्या है।

क्षेत्र के भीतर आयताकार x और y निर्देशांक की गणना भूमध्य रेखा और केंद्रीय मेरिडियन के सापेक्ष की जाती है, जिन्हें सीधी रेखाओं के रूप में दर्शाया गया है

चित्र 14. अनुरूप छद्म बेलनाकार गॉस-क्रूगर प्रक्षेपण

पूर्व यूएसएसआर के क्षेत्र के भीतर, गॉस-क्रुगर निर्देशांक के भुज सकारात्मक हैं; अक्षीय मेरिडियन के पूर्व में निर्देशांक सकारात्मक हैं, पश्चिम में नकारात्मक हैं। नकारात्मक कोटि मानों से बचने के लिए, अक्षीय मेरिडियन के बिंदुओं को पारंपरिक रूप से सामने संबंधित क्षेत्र संख्या के अनिवार्य संकेत के साथ y = 500,000 मीटर का मान दिया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि कोई बिंदु क्षेत्र संख्या 11 में अक्षीय मध्याह्न रेखा से 25,075 मीटर पूर्व में स्थित है, तो उसकी कोटि का मान इस प्रकार लिखा जाता है: y = 11,525,075 मीटर: यदि बिंदु इस क्षेत्र के अक्षीय मध्याह्न रेखा के पश्चिम में स्थित है समान दूरी पर, तो y = 11,474,925 मीटर।

अनुरूप प्रक्षेपण में, त्रिभुजाकार त्रिभुजों के कोण विकृत नहीं होते हैं, अर्थात। पृथ्वी के दीर्घवृत्त की सतह पर वैसे ही रहें। समतल पर रैखिक तत्वों की छवि का पैमाना किसी दिए गए बिंदु पर स्थिर होता है और इन तत्वों के दिगंश पर निर्भर नहीं करता है: अक्षीय मेरिडियन पर रैखिक विकृतियाँ शून्य होती हैं और इससे दूरी के साथ धीरे-धीरे बढ़ती हैं: छह के किनारे पर -डिग्री क्षेत्र में वे अपने अधिकतम मूल्य तक पहुँच जाते हैं।

पश्चिमी गोलार्ध के देशों में, यूनिवर्सल ट्रांसवर्स मर्केटर (UTM) प्रक्षेपण का उपयोग छह-डिग्री क्षेत्रों में स्थलाकृतिक मानचित्रों को संकलित करने के लिए किया जाता है। यह प्रक्षेपण अपने गुणों और विकृतियों के वितरण में गॉस-क्रुगर प्रक्षेपण के करीब है, लेकिन प्रत्येक क्षेत्र के अक्षीय मेरिडियन पर पैमाना m=0.9996 है, एकता नहीं। यूटीएम प्रक्षेपण दोहरे प्रक्षेपण द्वारा प्राप्त किया जाता है - एक गेंद पर एक दीर्घवृत्ताकार, और फिर मर्केटर प्रक्षेपण में एक विमान पर एक गेंद।

चित्र 15. भौगोलिक सूचना प्रणालियों में समन्वय रूपांतरण

जीआईएस में सॉफ्टवेयर की उपस्थिति जो प्रक्षेपण परिवर्तन करती है, डेटा को एक प्रक्षेपण से दूसरे प्रक्षेपण में स्थानांतरित करना आसान बनाती है। यह आवश्यक हो सकता है यदि प्राप्त स्रोत डेटा एक प्रक्षेपण में मौजूद है जो आपके प्रोजेक्ट में चयनित एक के साथ मेल नहीं खाता है, या यदि आपको किसी विशिष्ट समस्या को हल करने के लिए प्रोजेक्ट डेटा के प्रक्षेपण को बदलने की आवश्यकता है। एक प्रक्षेपण से दूसरे प्रक्षेपण में संक्रमण को प्रक्षेपण परिवर्तन कहा जाता है। समतल परिवर्तनों का उपयोग करके डिजिटाइज़र या रैस्टर सब्सट्रेट के पारंपरिक निर्देशांक में मूल रूप से दर्ज किए गए डिजिटल डेटा के निर्देशांक का अनुवाद करना संभव है।

प्रत्येक स्थानिक वस्तु में, स्थानिक संदर्भ के अलावा, कुछ सार्थक सार होता है, और अगले अध्याय में हम इसका वर्णन करने की संभावनाओं पर विचार करेंगे।

की तारीख: 24.10.2015

मानचित्र प्रक्षेपण- एक समतल पर ग्लोब (दीर्घवृत्त) को चित्रित करने की एक गणितीय विधि।

के लिए एक गोलाकार सतह को एक समतल पर प्रक्षेपित करनाउपयोग सहायक सतहें.

शक्ल सेसहायक कार्टोग्राफिक सतह अनुमानों को इसमें विभाजित किया गया है:

बेलनाकार 1(सहायक सतह सिलेंडर की पार्श्व सतह है), शंक्वाकार 2(शंकु की पार्श्व सतह), अज़ीमुथ 3(विमान को चित्र विमान कहा जाता है)।

प्रतिष्ठित भी कियाबहुकोणीय

छद्म बेलनाकार सशर्त

और अन्य अनुमान.

अभिविन्यास द्वारासहायक आकृति अनुमानों को इसमें विभाजित किया गया है:

• सामान्य(जिसमें सिलेंडर या शंकु की धुरी पृथ्वी मॉडल की धुरी के साथ मेल खाती है, और चित्र तल इसके लंबवत है);
• आड़ा(जिसमें सिलेंडर या शंकु की धुरी पृथ्वी मॉडल की धुरी के लंबवत है, और चित्र तल उसके समानांतर है);
• परोक्ष, जहां सहायक आकृति की धुरी ध्रुव और भूमध्य रेखा के बीच एक मध्यवर्ती स्थिति में है।

कार्टोग्राफिक विकृतियाँ- यह पृथ्वी की सतह पर वस्तुओं के ज्यामितीय गुणों (रेखाओं, कोणों, आकृतियों और क्षेत्रों की लंबाई) का उल्लंघन है जब उन्हें मानचित्र पर दर्शाया जाता है।

मानचित्र का पैमाना जितना छोटा होगा, विकृति उतनी ही अधिक महत्वपूर्ण होगी। बड़े पैमाने के मानचित्रों पर विकृति नगण्य होती है।

मानचित्रों पर चार प्रकार की विकृतियाँ होती हैं: लंबाई, क्षेत्रों, कोनेऔर फार्मवस्तुएं. प्रत्येक प्रक्षेपण की अपनी विकृतियाँ होती हैं।

विरूपण की प्रकृति के आधार पर, कार्टोग्राफिक अनुमानों को विभाजित किया गया है:

• समकोणेवाला, जो वस्तुओं के कोणों और आकृतियों को संग्रहीत करते हैं, लेकिन लंबाई और क्षेत्रों को विकृत करते हैं;

• आकार में बराबर, जिसमें क्षेत्र संग्रहीत हैं, लेकिन वस्तुओं के कोण और आकार महत्वपूर्ण रूप से बदल गए हैं;

• मनमाना, जिसमें लंबाई, क्षेत्रफल और कोण विकृत होते हैं, लेकिन वे मानचित्र पर समान रूप से वितरित होते हैं। उनमें से, संरेखण प्रक्षेपण विशेष रूप से प्रतिष्ठित हैं, जिसमें समानांतर या मेरिडियन के साथ लंबाई की कोई विकृति नहीं होती है।

शून्य विरूपण रेखाएँ और बिंदु- वे रेखाएँ जिनके साथ और वे बिंदु जिन पर कोई विकृति नहीं है, क्योंकि यहाँ, एक गोलाकार सतह को एक समतल पर प्रक्षेपित करते समय, सहायक सतह (सिलेंडर, शंकु या चित्र तल) थी स्पर्शरेखागेंद को.

पैमानामानचित्रों पर दर्शाया गया है, केवल रेखाओं और शून्य विरूपण के बिंदुओं पर संरक्षित. इसे मुख्य कहा जाता है.

मानचित्र के अन्य सभी भागों में, पैमाना मुख्य से भिन्न होता है और इसे आंशिक कहा जाता है। इसे निर्धारित करने के लिए विशेष गणना की आवश्यकता होती है।

मानचित्र पर विकृतियों की प्रकृति और परिमाण निर्धारित करने के लिए, आपको मानचित्र और ग्लोब की डिग्री ग्रिड की तुलना करने की आवश्यकता है।

ग्लोब परसभी समानताएं एक दूसरे से समान दूरी पर हैं, सभी मेरिडियन एक दूसरे के बराबर हैंऔर समांतर रेखाओं के साथ समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। इसलिए, आसन्न समानताओं के बीच डिग्री ग्रिड की सभी कोशिकाओं का आकार और आकार समान होता है, और मेरिडियन के बीच की कोशिकाएं ध्रुवों से भूमध्य रेखा तक फैलती और बढ़ती हैं।

विरूपण की भयावहता को निर्धारित करने के लिए, विरूपण दीर्घवृत्त का भी विश्लेषण किया जाता है - मानचित्र के समान पैमाने के ग्लोब पर खींचे गए वृत्तों के एक निश्चित प्रक्षेपण में विकृति के परिणामस्वरूप गठित दीर्घवृत्ताभ आकृतियाँ।

अनुरूप प्रक्षेपण मेंविरूपण दीर्घवृत्त में एक वृत्त का आकार होता है, जिसका आकार शून्य विरूपण के बिंदुओं और रेखाओं से दूरी के आधार पर बढ़ता है।

समान क्षेत्र प्रक्षेपण मेंविरूपण दीर्घवृत्त का आकार दीर्घवृत्त का होता है जिसका क्षेत्रफल समान होता है (एक अक्ष की लंबाई बढ़ती है और दूसरे की घटती है)।

समदूरस्थ प्रक्षेपण मेंविरूपण दीर्घवृत्त में किसी एक अक्ष की समान लंबाई वाले दीर्घवृत्त का आकार होता है।

मानचित्र पर विकृति के मुख्य लक्षण

1. यदि समानताओं के बीच की दूरियाँ समान हैं, तो यह इंगित करता है कि मेरिडियन के साथ दूरियाँ (मेरिडियन के साथ समदूरस्थ) विकृत नहीं हैं।
2. यदि मानचित्र पर समानताओं की त्रिज्या ग्लोब पर समानताओं की त्रिज्या के अनुरूप हो तो दूरियां समानताओं से विकृत नहीं होती हैं।
3. यदि भूमध्य रेखा पर याम्योत्तर और समांतर रेखाओं द्वारा निर्मित कोशिकाएं वर्ग हों और उनके विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करें तो क्षेत्र विकृत नहीं होते हैं।
4. यदि मेरिडियन के साथ लंबाई विकृत नहीं होती है, तो समांतर रेखाओं के साथ लंबाई विकृत नहीं होती है।
   
5. यदि समांतर रेखाओं के साथ लंबाई विकृत नहीं होती है तो मेरिडियन के साथ लंबाई विकृत नहीं होती है।

मानचित्र प्रक्षेपणों के मुख्य समूहों में विकृतियों की प्रकृति

मानचित्र अनुमान	विकृतियों
समकोणेवाला	वे कोणों को संरक्षित करते हैं और रेखाओं के क्षेत्रों और लंबाई को विकृत करते हैं।
समान आकार	वे क्षेत्रों को संरक्षित करते हैं और कोणों और आकृतियों को विकृत करते हैं।
समान दूरी	एक दिशा में उनके पास एक स्थिर लंबाई का पैमाना होता है, कोणों और क्षेत्रों की विकृतियाँ संतुलन में होती हैं।
मुक्त	वे कोणों और क्षेत्रों को विकृत करते हैं।
बेलनाकार	भूमध्य रेखा पर कोई विकृतियाँ नहीं हैं, लेकिन जैसे-जैसे आप ध्रुवों के पास पहुँचते हैं, वे बढ़ती जाती हैं।
चोटीदार	शंकु और ग्लोब के बीच संपर्क के समानांतर कोई विकृति नहीं है।
अज़ीमुथल	मानचित्र के मध्य भाग में कोई विकृति नहीं है।

मानचित्र अनुमान

पृथ्वी के दीर्घवृत्ताकार (पृथ्वी के दीर्घवृत्ताकार देखें) या उसके किसी भाग की संपूर्ण सतह का एक समतल पर मानचित्रण करना, मुख्य रूप से मानचित्र के निर्माण के उद्देश्य से प्राप्त किया जाता है।

पैमाना।नियंत्रण स्टेशन एक निश्चित पैमाने पर बनाये जाते हैं। मानसिक रूप से पृथ्वी के दीर्घवृत्त को कम करना एमकई बार, उदाहरण के लिए 10,000,000 बार, हमें इसका ज्यामितीय मॉडल मिलता है - ग्लोब, जिसकी एक समतल पर आदमकद छवि इस दीर्घवृत्त की सतह का एक नक्शा देती है। मान 1: एम(उदाहरण 1:10,000,000 में) मानचित्र का मुख्य, या सामान्य, पैमाना निर्धारित करता है। चूंकि एक दीर्घवृत्त और एक गेंद की सतहों को बिना टूटे और मुड़े एक समतल पर विकसित नहीं किया जा सकता है (वे विकास योग्य सतहों के वर्ग से संबंधित नहीं हैं (विकास योग्य सतह देखें)), किसी भी कंपोजिटिंग सतह में रेखाओं की लंबाई में विकृतियां अंतर्निहित होती हैं, कोण, आदि, किसी भी मानचित्र की विशेषता। किसी भी बिंदु पर अंतरिक्ष प्रणाली की मुख्य विशेषता आंशिक पैमाना μ है। यह अतिसूक्ष्म खंड के अनुपात का व्युत्क्रम है डी एसपृथ्वी के दीर्घवृत्ताभ पर उसकी छवि के लिए dσसमतल पर: μ ​​मिनट ≤ μ ≤ μ अधिकतम, और यहां समानता केवल व्यक्तिगत बिंदुओं पर या मानचित्र पर कुछ रेखाओं के साथ संभव है। इस प्रकार, मानचित्र का मुख्य पैमाना इसे केवल सामान्य शब्दों में, कुछ औसत रूप में चित्रित करता है। नज़रिया μ/एमसापेक्ष पैमाना कहा जाता है, या लंबाई में वृद्धि, अंतर एम = 1।

सामान्य जानकारी।के.पी. का सिद्धांत - गणितीय मानचित्रण - इसका लक्ष्य एक समतल पर पृथ्वी के दीर्घवृत्त की सतह के मानचित्रण में सभी प्रकार की विकृतियों का अध्ययन करना और अनुमानों के निर्माण के लिए तरीकों का विकास करना है जिसमें विकृतियों का या तो सबसे छोटा (किसी भी अर्थ में) मान या पूर्व निर्धारित वितरण होगा।

मानचित्रकला की आवश्यकताओं के आधार पर (मानचित्रकला देखें), मानचित्रकला के सिद्धांत में, एक समतल पर पृथ्वी के दीर्घवृत्त की सतह के मानचित्रण पर विचार किया जाता है। क्योंकि पृथ्वी के दीर्घवृत्ताभ में कम संपीड़न होता है, और इसकी सतह गोले से थोड़ी विचलित हो जाती है, और इस तथ्य के कारण भी कि मध्यम और छोटे पैमाने पर मानचित्र बनाने के लिए अण्डाकार तत्व आवश्यक होते हैं ( एम> 1,000,000), तो वे अक्सर कुछ त्रिज्या के गोले के तल पर मैपिंग पर विचार करने तक ही सीमित होते हैं आर, दीर्घवृत्ताभ से विचलन को उपेक्षित किया जा सकता है या किसी तरह से ध्यान में रखा जा सकता है। इसलिए, नीचे हमारा तात्पर्य समतल पर मानचित्रण से है xOyक्षेत्र, भौगोलिक निर्देशांक φ (अक्षांश) और λ (देशांतर) को संदर्भित करता है।

किसी भी QP के समीकरण का रूप होता है

एक्स = एफ 1 (φ, λ), वाई = एफ 2 (φ, λ), (1)

कहाँ एफ 1 और एफ 2 - ऐसे कार्य जो कुछ सामान्य शर्तों को पूरा करते हैं। मेरिडियन छवियां λ = स्थिरांकऔर समानताएं φ = स्थिरांककिसी दिए गए मानचित्र में वे एक कार्टोग्राफ़िक ग्रिड बनाते हैं। के.पी. को दो समीकरणों द्वारा भी निर्धारित किया जा सकता है जिसमें गैर-आयताकार निर्देशांक दिखाई देते हैं एक्स,परविमान, लेकिन कोई अन्य। कुछ अनुमान [उदाहरण के लिए, परिप्रेक्ष्य अनुमान (विशेष रूप से, वर्तनी संबंधी, चावल। 2 ) परिप्रेक्ष्य-बेलनाकार ( चावल। 7 ) आदि] ज्यामितीय निर्माणों द्वारा निर्धारित किया जा सकता है। एक नक्शा संबंधित कार्टोग्राफिक ग्रिड के निर्माण के नियम या उसके विशिष्ट गुणों द्वारा भी निर्धारित किया जाता है, जिससे प्रक्षेपण को पूरी तरह से निर्धारित करने वाले फॉर्म (1) के समीकरण प्राप्त किए जा सकते हैं।

संक्षिप्त ऐतिहासिक जानकारी.मानचित्रकला के सिद्धांत का विकास, साथ ही सभी मानचित्रकला का, भूगणित, खगोल विज्ञान, भूगोल और गणित के विकास से निकटता से संबंधित है। मानचित्रकला की वैज्ञानिक नींव प्राचीन ग्रीस (छठी-पहली शताब्दी ईसा पूर्व) में रखी गई थी। तारों से भरे आकाश के मानचित्र बनाने के लिए थेल्स ऑफ मिलिटस द्वारा उपयोग किया जाने वाला ग्नोमोनिक प्रक्षेपण, सबसे पुराना सीजी माना जाता है। तीसरी शताब्दी में इसकी स्थापना के बाद। ईसा पूर्व इ। पृथ्वी के गोलाकार आकार का आविष्कार और भौगोलिक मानचित्रों के संकलन में उपयोग किया जाने लगा (हिप्पार्कस, टॉलेमी, आदि)। 16वीं शताब्दी में महान भौगोलिक खोजों के कारण मानचित्रकला में उल्लेखनीय वृद्धि के कारण कई नए अनुमानों का निर्माण हुआ; उनमें से एक, जी. मर्केटर द्वारा प्रस्तावित, इसका उपयोग आज भी किया जाता है (मर्केटर प्रोजेक्शन देखें)। 17वीं और 18वीं शताब्दी में, जब स्थलाकृतिक सर्वेक्षणों के व्यापक संगठन ने एक बड़े क्षेत्र पर मानचित्र संकलित करने के लिए विश्वसनीय सामग्री की आपूर्ति शुरू की, तो मानचित्रों को स्थलाकृतिक मानचित्रों के आधार के रूप में विकसित किया गया (फ्रांसीसी मानचित्रकार आर. बॉन, जे.डी. कैसिनी), और क्वांटम क्षेत्रों के व्यक्तिगत सबसे महत्वपूर्ण समूहों (आई. लैम्बर्ट, एल. यूलर, जे. लैग्रेंज) पर भी अध्ययन किया गया। और आदि।)। सैन्य मानचित्रकला का विकास और 19वीं शताब्दी में स्थलाकृतिक कार्य की मात्रा में और वृद्धि हुई। बड़े पैमाने के मानचित्रों के लिए गणितीय आधार के प्रावधान और ज्यामितीय गणनाओं के लिए अधिक उपयुक्त आधार पर आयताकार निर्देशांक की एक प्रणाली की शुरूआत की मांग की, इसने के. गॉस को एक मौलिक भूगणितीय प्रक्षेपण (जियोडेटिक अनुमान देखें) के विकास के लिए प्रेरित किया। अंततः, 19वीं शताब्दी के मध्य में। ए. टिसोट (फ्रांस) ने सीपी की विकृतियों का एक सामान्य सिद्धांत दिया। रूस में सीपी के सिद्धांत का विकास अभ्यास की जरूरतों से निकटता से जुड़ा था और कई मूल परिणाम दिए (एल. यूलर, एफ.आई. शुबर्ट, पी. एल. चेबीशेव, डी. ए. ग्रेव, आदि)। सोवियत मानचित्रकारों वी. वी. कवराइस्की (देखें कवराइस्की), एन. ए. उर्मेव और अन्य के कार्यों में, मानचित्रों के नए समूह, उनके व्यक्तिगत संस्करण (व्यावहारिक उपयोग के चरण तक), और मानचित्रों के सामान्य सिद्धांत के महत्वपूर्ण प्रश्न विकसित किए गए। उनका वर्गीकरण, आदि

विरूपण सिद्धांत.किसी भी प्रक्षेपण बिंदु के आसपास एक अत्यंत छोटे क्षेत्र में विकृतियाँ कुछ सामान्य नियमों का पालन करती हैं। प्रक्षेपण में मानचित्र पर किसी भी बिंदु पर जो अनुरूप नहीं है (नीचे देखें), दो ऐसी परस्पर लंबवत दिशाएं हैं, जो प्रदर्शित सतह पर परस्पर लंबवत दिशाओं के अनुरूप भी हैं, ये तथाकथित मुख्य प्रदर्शन दिशाएं हैं। इन दिशाओं (मुख्य तराजू) में तराजू के अत्यधिक मूल्य हैं: μ अधिकतम = एऔर μ मिनट = बी. यदि किसी प्रक्षेपण में मानचित्र पर याम्योत्तर और समांतर समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो उनकी दिशाएँ इस प्रक्षेपण के लिए मुख्य होती हैं। किसी दिए गए प्रक्षेपण बिंदु पर लंबाई विरूपण दृश्यमान रूप से विरूपण के एक दीर्घवृत्त का प्रतिनिधित्व करता है, जो प्रदर्शित सतह के संबंधित बिंदु के चारों ओर परिचालित एक अनंत वृत्त की छवि के समान और समान रूप से स्थित होता है। इस दीर्घवृत्त के अर्ध-व्यास संख्यात्मक रूप से संबंधित दिशाओं में दिए गए बिंदु पर आंशिक तराजू के बराबर होते हैं, दीर्घवृत्त के अर्ध-अक्ष चरम तराजू के बराबर होते हैं, और उनकी दिशाएँ प्रमुख होती हैं।

विरूपण दीर्घवृत्त के तत्वों, क्यूपी की विकृतियों और कार्यों के आंशिक व्युत्पन्न (1) के बीच संबंध विकृतियों के सिद्धांत के मूल सूत्रों द्वारा स्थापित किया गया है।

प्रयुक्त गोलाकार निर्देशांकों के ध्रुव की स्थिति के अनुसार मानचित्र प्रक्षेपणों का वर्गीकरण।गोले के ध्रुव भौगोलिक समन्वय के विशेष बिंदु हैं, हालाँकि इन बिंदुओं पर गोले की कोई विशेषता नहीं है। इसका मतलब यह है कि भौगोलिक ध्रुवों वाले क्षेत्रों का मानचित्रण करते समय, कभी-कभी भौगोलिक निर्देशांक का नहीं, बल्कि अन्य का उपयोग करना वांछनीय होता है, जिसमें ध्रुव सामान्य समन्वय बिंदु बन जाते हैं। इसलिए, गोले पर गोलाकार निर्देशांक का उपयोग किया जाता है, जिसकी समन्वय रेखाएं, तथाकथित लंबवत (उन पर सशर्त देशांतर) ए = स्थिरांक) और अलमुकेन्ट्रेट्स (जहाँ ध्रुवीय दूरियाँ हैं z = स्थिरांक), भौगोलिक मेरिडियन और समानताएं के समान, लेकिन उनका ध्रुव जेड 0भौगोलिक ध्रुव से मेल नहीं खाता प0 (चावल। 1 ). भौगोलिक निर्देशांक से संक्रमण φ , λ गोले पर किसी भी बिंदु को उसके गोलाकार निर्देशांक तक जेड, एकिसी दिए गए ध्रुव स्थान पर जेड 0 (φ 0 , λ 0)गोलाकार त्रिकोणमिति के सूत्रों का उपयोग करके किया गया। समीकरण (1) द्वारा दिए गए किसी भी QP को सामान्य या प्रत्यक्ष कहा जाता है ( φ 0 = π/2). यदि किसी गोले के समान प्रक्षेपण की गणना समान सूत्रों (1) का उपयोग करके की जाती है, जिसमें के बजाय φ , λ के जैसा लगना जेड, ए, तो इस प्रक्षेपण को अनुप्रस्थ कहा जाता है जब φ 0 = 0, λ 0 और तिरछा अगर 0 . तिरछे और अनुप्रस्थ प्रक्षेपणों के उपयोग से विकृति में कमी आती है। पर चावल। 2 एक गोले (गेंद की सतह) के सामान्य (ए), अनुप्रस्थ (बी) और तिरछा (सी) ऑर्थोग्राफ़िक प्रक्षेपण (ऑर्थोग्राफ़िक प्रक्षेपण देखें) दिखाता है।

विकृतियों की प्रकृति के आधार पर मानचित्र प्रक्षेपणों का वर्गीकरण।समकोणीय (अनुरूप) बिंदुओं में, पैमाना केवल बिंदु की स्थिति पर निर्भर करता है और दिशा पर निर्भर नहीं करता है। विरूपण दीर्घवृत्त वृत्तों में परिवर्तित हो जाते हैं। उदाहरण - मर्केटर प्रोजेक्शन, स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन।

समान आकार (समकक्ष) स्थानों में, क्षेत्रों को संरक्षित किया जाता है; अधिक सटीक रूप से, ऐसे अनुमानों में संकलित मानचित्रों पर आकृतियों के क्षेत्र प्रकृति में संबंधित आकृतियों के क्षेत्रों के समानुपाती होते हैं, और आनुपातिकता का गुणांक मानचित्र के मुख्य पैमाने के वर्ग का व्युत्क्रम होता है। विरूपण दीर्घवृत्त का क्षेत्र हमेशा एक ही होता है, जो आकार और अभिविन्यास में भिन्न होता है।

मनमाना संघनित स्थान न तो समबाहु है और न ही क्षेत्रफल में समान है। इनमें से समदूरस्थ लोगों को प्रतिष्ठित किया जाता है, जिनमें से एक मुख्य पैमाना एकता के बराबर होता है, और ऑर्थोड्रोमिक, जिसमें गेंद के बड़े वृत्त (ऑर्थोड्रोम) को सीधे दर्शाया जाता है।

एक समतल पर एक गोले का चित्रण करते समय, समबाहुता, समबाहुता, समदूरी और रूढ़िवादिता के गुण असंगत होते हैं। छवि क्षेत्र के विभिन्न स्थानों में विकृतियाँ दिखाने के लिए, उपयोग करें: ए) ग्रिड या मानचित्र स्केच के विभिन्न स्थानों में निर्मित विरूपण दीर्घवृत्त ( चावल। 3 ); बी) आइसोकोलस, यानी समान विरूपण मूल्य की रेखाएं (पर चावल। 8वी कोण सी के सबसे बड़े विरूपण के आइसोकॉल और क्षेत्र पैमाने के आइसोकॉल देखें आर); ग) मानचित्र के कुछ स्थानों पर कुछ गोलाकार रेखाओं के चित्र, आमतौर पर ऑर्थोड्रोम (O) और लॉक्सोड्रोम (L), देखें। चावल। 3 ए ,3 बी और आदि।

मेरिडियन और समानताएं की छवियों के प्रकार के आधार पर सामान्य मानचित्र प्रक्षेपणों का वर्गीकरण,जो क्वांटम सिद्धांत के सिद्धांत के ऐतिहासिक विकास का परिणाम है, अधिकांश ज्ञात अनुमानों को शामिल करता है। यह अनुमान प्राप्त करने की ज्यामितीय विधि से जुड़े नामों को बरकरार रखता है, लेकिन विचाराधीन समूहों को अब विश्लेषणात्मक रूप से परिभाषित किया गया है।

बेलनाकार प्रक्षेपण ( चावल। 3 ) - प्रक्षेपण जिसमें मेरिडियन को समदूरस्थ समानांतर रेखाओं के रूप में दर्शाया गया है, और समानांतरों को मेरिडियन की छवियों के लंबवत सीधी रेखाओं के रूप में दर्शाया गया है। भूमध्य रेखा या किसी समांतर रेखा पर फैले प्रदेशों को चित्रित करने के लिए फायदेमंद। नेविगेशन मर्केटर प्रक्षेपण का उपयोग करता है - एक अनुरूप बेलनाकार प्रक्षेपण। गॉस-क्रुगर प्रक्षेपण एक अनुरूप अनुप्रस्थ बेलनाकार प्रक्षेपण है - जिसका उपयोग स्थलाकृतिक मानचित्रों के संकलन और त्रिकोणों के प्रसंस्करण में किया जाता है।

अज़ीमुथल प्रक्षेपण ( चावल। 5 ) - ऐसे प्रक्षेपण जिनमें समानताएं संकेंद्रित वृत्त हैं, याम्योत्तर उनकी त्रिज्याएं हैं, और उत्तरार्द्ध के बीच के कोण देशांतर में संबंधित अंतर के बराबर हैं। अज़ीमुथल प्रक्षेपण का एक विशेष मामला परिप्रेक्ष्य प्रक्षेपण है।

स्यूडोकोनिक अनुमान ( चावल। 6 ) - प्रक्षेपण जिसमें समानताएं संकेंद्रित वृत्तों के रूप में, मध्य मेरिडियन को एक सीधी रेखा के रूप में और शेष मेरिडियन को वक्र के रूप में दर्शाया गया है। बॉन का समान क्षेत्र स्यूडोकोनिक प्रक्षेपण अक्सर उपयोग किया जाता है; 1847 के बाद से, इसने रूस के यूरोपीय भाग का तीन-वेरस्ट (1: 126,000) मानचित्र संकलित किया।

छद्म बेलनाकार प्रक्षेपण ( चावल। 8 ) - ऐसे प्रक्षेपण जिनमें समांतर रेखाओं को समानांतर सीधी रेखाओं के रूप में दर्शाया जाता है, मध्य मेरिडियन को इन सीधी रेखाओं के लंबवत सीधी रेखा के रूप में दर्शाया जाता है और प्रक्षेपणों की समरूपता की धुरी होती है, शेष मेरिडियन को वक्र के रूप में दर्शाया जाता है।

पॉलीकोनिक प्रक्षेपण ( चावल। 9 ) - प्रक्षेपण जिसमें समानताएं मध्य मेरिडियन का प्रतिनिधित्व करने वाली एक ही सीधी रेखा पर स्थित केंद्रों के साथ सर्कल के रूप में दर्शायी जाती हैं। विशिष्ट पॉलीकोनिक अनुमानों का निर्माण करते समय, अतिरिक्त शर्तें लगाई जाती हैं। अंतर्राष्ट्रीय (1:1,000,000) मानचित्र के लिए पॉलीकोनिक प्रक्षेपणों में से एक की अनुशंसा की जाती है।

ऐसे कई प्रक्षेपण हैं जो इस प्रकार के नहीं हैं। बेलनाकार, शंक्वाकार और अज़ीमुथल प्रक्षेपण, जिन्हें सबसे सरल कहा जाता है, को अक्सर व्यापक अर्थ में गोलाकार प्रक्षेपण के रूप में वर्गीकृत किया जाता है, जो संकीर्ण अर्थ में गोलाकार प्रक्षेपण से अलग होते हैं - ऐसे प्रक्षेपण जिनमें सभी मेरिडियन और समानताएं सर्कल के रूप में दर्शायी जाती हैं, उदाहरण के लिए लैग्रेंज अनुरूप प्रक्षेपण, ग्रिंटन प्रक्षेपण, आदि।

मानचित्र प्रक्षेपणों का उपयोग करना और चयन करनामुख्य रूप से मानचित्र के उद्देश्य और उसके पैमाने पर निर्भर करते हैं, जो अक्सर चयनित मीट्रिक में अनुमेय विकृतियों की प्रकृति निर्धारित करते हैं। मीट्रिक समस्याओं को हल करने के लिए बड़े और मध्यम पैमाने के मानचित्र आमतौर पर अनुरूप अनुमानों और छोटे पैमाने पर तैयार किए जाते हैं। सामान्य सर्वेक्षणों और किसी भी क्षेत्र के क्षेत्रों का अनुपात निर्धारित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले मानचित्र - समान क्षेत्रों में। इस मामले में, इन अनुमानों की परिभाषित शर्तों का कुछ उल्लंघन संभव है ( ω ≡ 0 या पी ≡ 1), जिससे ध्यान देने योग्य त्रुटियां नहीं होती हैं, यानी, हम मनमाने अनुमानों की पसंद की अनुमति देते हैं, जिनमें से मेरिडियन के साथ समान दूरी वाले अनुमानों का अधिक बार उपयोग किया जाता है। उत्तरार्द्ध का उपयोग तब भी किया जाता है जब मानचित्र का उद्देश्य कोणों या क्षेत्रों के संरक्षण के लिए बिल्कुल भी प्रदान नहीं करता है। अनुमान चुनते समय, वे सबसे सरल अनुमानों से शुरू करते हैं, फिर अधिक जटिल अनुमानों की ओर बढ़ते हैं, यहां तक ​​कि संभवतः उन्हें संशोधित भी करते हैं। यदि ज्ञात सीपी में से कोई भी अपने उद्देश्य के संदर्भ में संकलित किए जा रहे मानचित्र की आवश्यकताओं को पूरा नहीं करता है, तो एक नया, सबसे उपयुक्त सीपी मांगा जाता है, जिसमें (जहाँ तक संभव हो) इसमें विकृतियों को कम करने का प्रयास किया जाता है। सबसे लाभप्रद सीपी के निर्माण की समस्या, जिसमें विकृतियां किसी भी मायने में न्यूनतम हो गई हैं, अभी तक पूरी तरह से हल नहीं हुई है।

सी. पॉइंट का उपयोग नेविगेशन, खगोल विज्ञान, क्रिस्टलोग्राफी आदि में भी किया जाता है; इन्हें चंद्रमा, ग्रहों और अन्य खगोलीय पिंडों के मानचित्रण के प्रयोजनों के लिए खोजा जाता है।

अनुमानों का परिवर्तन.समीकरणों की संगत प्रणालियों द्वारा परिभाषित दो क्यूपी पर विचार करते हुए: एक्स = एफ 1 (φ, λ), y = f 2 (φ, λ)और एक्स = जी 1 (φ, λ), वाई = जी 2 (φ, λ), इन समीकरणों से φ और λ को छोड़कर, उनमें से एक से दूसरे में संक्रमण स्थापित करना संभव है:

एक्स = एफ 1 (एक्स, वाई), वाई = एफ 2 (एक्स, वाई).

फ़ंक्शंस के प्रकार को निर्दिष्ट करते समय ये सूत्र एफ 1 ,एफ 2, सबसे पहले, तथाकथित व्युत्पन्न अनुमान प्राप्त करने के लिए एक सामान्य विधि दें; दूसरे, वे मानचित्र बनाने की तकनीकी विधियों के सभी संभावित तरीकों के लिए सैद्धांतिक आधार बनाते हैं (भौगोलिक मानचित्र देखें)। उदाहरण के लिए, कार्टोग्राफिक ट्रांसफार्मर (कार्टोग्राफिक ट्रांसफार्मर देखें) का उपयोग करके एफ़िन और फ्रैक्शनल रैखिक परिवर्तन किए जाते हैं। हालाँकि, अधिक सामान्य परिवर्तनों के लिए नई, विशेष रूप से इलेक्ट्रॉनिक, प्रौद्योगिकी के उपयोग की आवश्यकता होती है। सही सीपी ट्रांसफार्मर बनाने का कार्य आधुनिक कार्टोग्राफी की एक जरूरी समस्या है।

लिट.:विटकोवस्की वी., कार्टोग्राफी। (मानचित्र प्रक्षेपण का सिद्धांत), सेंट पीटर्सबर्ग। 1907; कावरिस्की वी.वी., गणितीय कार्टोग्राफी, एम. - एल., 1934; उसका, इज़ब्र। कार्य, खंड 2, सदी। 1-3, [एम.], 1958-60; उर्मेव एन.ए., गणितीय मानचित्रकला, एम., 1941; उसे, नए कार्टोग्राफिक अनुमान खोजने के तरीके, एम., 1947; ग्राउर ए.वी., गणितीय मानचित्रकला, दूसरा संस्करण, लेनिनग्राद, 1956; गिन्ज़बर्ग जी.ए., कार्टोग्राफ़िक अनुमान, एम., 1951; मेशचेरीकोव जी.ए., गणितीय कार्टोग्राफी की सैद्धांतिक नींव, एम., 1968।

जी. ए. मेशचेरीकोव।

2. गेंद और उसके वर्तनी प्रक्षेपण।

3ए. बेलनाकार प्रक्षेपण. मर्केटर समकोणीय.

3बी. बेलनाकार प्रक्षेपण. समदूरस्थ (आयताकार)।

3सी. बेलनाकार प्रक्षेपण. समान क्षेत्रफल (समद्विबाहु)

4ए. शंक्वाकार प्रक्षेपण. समकोणीय.

4बी. शंक्वाकार प्रक्षेपण. समदूरस्थ।

4सी. शंक्वाकार प्रक्षेपण. समान आकार.

चावल। 5ए. अज़ीमुथल प्रक्षेपण। बाईं ओर अनुरूप (स्टीरियोग्राफ़िक) - अनुप्रस्थ, दाईं ओर - तिरछा।

चावल। 5 बी. अज़ीमुथल प्रक्षेपण। समान रूप से मध्यवर्ती (बाईं ओर - अनुप्रस्थ, दाईं ओर - तिरछा)।

चावल। 5वीं सदी अज़ीमुथल प्रक्षेपण। समान आकार (बाईं ओर - अनुप्रस्थ, दाईं ओर - तिरछा)।

चावल। 8ए. छद्म बेलनाकार प्रक्षेपण. मोलवेइड समान क्षेत्र प्रक्षेपण।

चावल। 8बी. छद्म बेलनाकार प्रक्षेपण. वी. वी. कावरिस्की का समान-क्षेत्रीय साइनसॉइडल प्रक्षेपण।

चावल। आठवीं सदी छद्म बेलनाकार प्रक्षेपण. TsNIIGAiK का मनमाना प्रक्षेपण।

चावल। 8 ग्रा. छद्म बेलनाकार प्रक्षेपण. बीएसएएम प्रक्षेपण.

चावल। 9ए. बहुकोणीय प्रक्षेपण. सरल।

चावल। 9बी. बहुकोणीय प्रक्षेपण. जी. ए. गिन्ज़बर्ग का मनमाना प्रक्षेपण।

महान सोवियत विश्वकोश। - एम.: सोवियत विश्वकोश. 1969-1978 .

देखें अन्य शब्दकोशों में "मानचित्र प्रक्षेपण" क्या हैं:

पृथ्वी के दीर्घवृत्ताभ या गोले की सतह को समतल पर चित्रित करने की गणितीय विधियाँ। मानचित्र प्रक्षेपण पृथ्वी के दीर्घवृत्त की सतह और समतल पर बिंदुओं के निर्देशांक के बीच संबंध निर्धारित करते हैं। विस्तार न कर पाने के कारण... ... बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

मानचित्र अनुमान, समतल सतह पर पृथ्वी की याम्योत्तर रेखाएँ और समांतर रेखाएँ खींचने की व्यवस्थित विधियाँ। केवल ग्लोब पर ही क्षेत्रों और रूपों का विश्वसनीय रूप से प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। बड़े क्षेत्रों के समतल मानचित्रों पर विकृति अपरिहार्य है। अनुमान हैं... वैज्ञानिक और तकनीकी विश्वकोश शब्दकोश

विश्व और स्क्रीन निर्देशांक

अनुमान

किसी भी ग्राफ़िक डिवाइस का उपयोग करते समय, आमतौर पर अनुमानों का उपयोग किया जाता है। प्रोजेक्शन ग्राफिक्स डिवाइस पर ऑब्जेक्ट प्रदर्शित होने के तरीके को निर्दिष्ट करता है। हम केवल समतल पर प्रक्षेपणों पर विचार करेंगे।

प्रक्षेपण आयाम एन के साथ एक समन्वय प्रणाली में निर्दिष्ट बिंदुओं का निचले आयाम की प्रणाली में बिंदुओं का मानचित्रण है।

प्रोजेक्टर (प्रक्षेपित किरणें) प्रक्षेपण के केंद्र से वस्तु के प्रत्येक बिंदु तक चलने वाले सीधे खंड होते हैं जब तक कि वे प्रक्षेपण विमान (चित्र तल) के साथ प्रतिच्छेद न कर दें।

प्रिंटर का उपयोग करके स्थानिक वस्तुओं को स्क्रीन पर या कागज की शीट पर प्रदर्शित करते समय, आपको वस्तुओं के निर्देशांक जानने की आवश्यकता होती है। हम दो समन्वय प्रणालियों पर विचार करेंगे। पहला - विश्व निर्देशांक,जो एक निश्चित सटीकता के साथ अंतरिक्ष में वस्तुओं की वास्तविक स्थिति का वर्णन करता है। दूसरा डिस्प्ले डिवाइस की समन्वय प्रणाली है, जिसमें किसी दिए गए प्रक्षेपण में वस्तुओं की छवियां प्रदर्शित की जाती हैं। आइए ग्राफ़िक्स डिवाइस की समन्वय प्रणाली को कॉल करें स्क्रीन निर्देशांक(हालाँकि इस डिवाइस का कंप्यूटर मॉनीटर जैसा होना ज़रूरी नहीं है)।

मान लीजिए विश्व निर्देशांक 3डी आयताकार निर्देशांक हैं। निर्देशांक का केंद्र कहाँ स्थित होना चाहिए, और प्रत्येक अक्ष के साथ माप की इकाइयाँ क्या होंगी, यह अब हमारे लिए बहुत महत्वपूर्ण नहीं है। महत्वपूर्ण बात यह है कि प्रदर्शन के लिए हम प्रदर्शित वस्तुओं के निर्देशांक के किसी भी संख्यात्मक मान को जान सकेंगे।

किसी विशिष्ट प्रक्षेपण में एक छवि प्राप्त करने के लिए, प्रक्षेपण निर्देशांक की गणना करना आवश्यक है। स्क्रीन समतल या कागज पर एक छवि को संश्लेषित करने के लिए, हम एक द्वि-आयामी समन्वय प्रणाली का उपयोग करते हैं। मुख्य कार्य विश्व निर्देशांक से स्क्रीन निर्देशांक तक निर्देशांक के परिवर्तनों को निर्दिष्ट करना है।

किसी समतल (डिस्प्ले स्क्रीन) पर वस्तुओं की छवि डिज़ाइन के ज्यामितीय संचालन से जुड़ी होती है। कंप्यूटर ग्राफ़िक्स में कई प्रकार के डिज़ाइन का उपयोग किया जाता है, लेकिन दो मुख्य प्रकार हैं: समानांतर और केंद्रीय.

किरणों की प्रक्षेपित किरण को वस्तु के माध्यम से चित्र तल की ओर निर्देशित किया जाता है, जिस पर बाद में इस तल के साथ किरणों (या सीधी रेखाओं) के प्रतिच्छेदन के निर्देशांक पाए जाते हैं।

चावल। 2.14. प्रक्षेपण के मुख्य प्रकार

केंद्रीय डिजाइन के साथसभी पंक्तियाँ एक बिंदु से शुरू होती हैं।

समानांतर के साथ- ऐसा माना जाता है कि किरणों का केंद्र (सीधी रेखाएं) असीम रूप से दूर होता है, और सीधी रेखाएं समानांतर होती हैं।

इनमें से प्रत्येक मुख्य वर्ग को चित्र तल और समन्वय अक्षों की सापेक्ष स्थिति के आधार पर कई उपवर्गों में विभाजित किया गया है।

एकल बिंदु प्रक्षेपण

चावल। 2.15. समतल प्रक्षेपणों का वर्गीकरण

समानांतर प्रक्षेपण के लिए, प्रक्षेपण का केंद्र प्रक्षेपण तल से अनंत पर स्थित होता है:

• ऑर्थोग्राफ़िक (ऑर्थोगोनल),
• एक्सोनोमेट्रिक (आयताकार एक्सोनोमेट्रिक) - प्रोजेक्टर मुख्य अक्ष के कोण पर स्थित प्रक्षेपण विमान के लंबवत होते हैं,
• तिरछा (तिरछा एक्सोनोमेट्रिक) - प्रक्षेपण विमान मुख्य अक्ष के लंबवत है, प्रोजेक्टर प्रक्षेपण विमान के कोण पर स्थित हैं।

केंद्रीय प्रक्षेपण के लिए, प्रक्षेपण का केंद्र प्रक्षेपण तल से एक सीमित दूरी पर होता है। तथाकथित परिप्रेक्ष्य विकृतियाँ हैं।

ऑर्थोगोनल अनुमान (मुख्य दृश्य)

चावल। 2.16. ऑर्थोगोनल अनुमान

1. सामने का दृश्य, मुख्य दृश्य, ललाट प्रक्षेपण, (वी के पिछले चेहरे पर),
2. शीर्ष दृश्य, योजना, क्षैतिज प्रक्षेपण, (एच के निचले किनारे पर),
3. बायां दृश्य, प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण, (डब्ल्यू के दाईं ओर),
4. दाईं ओर से देखें (बाईं ओर),
5. निचला दृश्य (ऊपरी किनारा),
6. पीछे का दृश्य (सामने की ओर)।

एक्स अक्ष के साथ YZ विमान पर ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण मैट्रिक्स का रूप है:

यदि विमान समानांतर है, तो इस मैट्रिक्स को शिफ्ट मैट्रिक्स से गुणा किया जाना चाहिए, फिर:

जहां पी एक्स अक्ष के साथ बदलाव है;

Y अक्ष के अनुदिश ZX तल के लिए

जहां q Y अक्ष के अनुदिश बदलाव है;

Z अक्ष के अनुदिश XY तल के लिए:

जहां R, Z अक्ष के अनुदिश बदलाव है।

एक्सोनोमेट्रिक प्रक्षेपण में, प्रक्षेपित रेखाएँ चित्र तल के लंबवत होती हैं।

सममितीय- चित्र सामान्य और निर्देशांक अक्षों के बीच के सभी तीन कोण बराबर हैं।

दिमेत्रिया -चित्र के अभिलंब और निर्देशांक अक्षों के बीच के दो कोण बराबर होते हैं।

त्रिमिति -चित्र तल का सामान्य वेक्टर निर्देशांक अक्षों के साथ विभिन्न कोण बनाता है।

इन तीनों प्रकार के प्रक्षेपणों में से प्रत्येक को समानांतर प्रक्षेपण के बाद घूर्णन के संयोजन द्वारा प्राप्त किया जाता है।

Y अक्ष (निर्देशांक) के सापेक्ष एक कोण β द्वारा घूमते समय,

सममितीय प्रक्षेपण

चावल। 2.17. आइसोमेट्रिक अनुमान

डिमेट्रिक प्रक्षेपण

चावल। 2.18. डिमेट्रिक अनुमान

तिरछा प्रक्षेपण

समानांतर तिरछा प्रक्षेपण का एक उत्कृष्ट उदाहरण है कैबिनेट प्रक्षेपण(चित्र 2.26)। इस प्रक्षेपण का उपयोग अक्सर गणितीय साहित्य में ठोस आकृतियाँ बनाने के लिए किया जाता है। एक्सिस पर 45 डिग्री के कोण पर झुका हुआ दर्शाया गया है। अक्ष के अनुदिश परस्केल 0.5, अन्य अक्षों के साथ - स्केल 1। आइए प्रक्षेपण विमान के निर्देशांक की गणना के लिए सूत्र लिखें

यहां, पहले की तरह, धुरी Υ प्रनीचे की ओर निर्देशित.

तिरछे समानांतर प्रक्षेपणों के लिए, प्रक्षेपण किरणें प्रक्षेपण तल के लंबवत नहीं होती हैं।

चावल। 2.19. तिरछा प्रक्षेपण

अब केंद्रीय प्रक्षेपण के संबंध में। चूँकि इसके लिए प्रक्षेपण किरणें समानांतर नहीं हैं, हम मान लेंगे सामान्यऐसा केंद्रीय प्रक्षेपण,जिसका मुख्य अक्ष समतल के लंबवत है प्रक्षेपण. के लिए केंद्रीय तिरछा प्रक्षेपणमुख्य अक्ष प्रक्षेपण तल के लंबवत नहीं है।

आइए एक केंद्रीय तिरछे प्रक्षेपण के उदाहरण पर विचार करें, जो चित्रित वस्तुओं की सभी ऊर्ध्वाधर रेखाओं को समानांतर रेखाओं के रूप में दिखाता है। आइए प्रक्षेपण तल को लंबवत रखें, प्रदर्शन कोण को कोण a, β और लुप्त बिंदु की स्थिति के साथ सेट करें (चित्र 2.21)।

चित्र.2.20. कैबिनेट प्रक्षेपण

चावल। 2.21. ऊर्ध्वाधर केंद्रीय तिरछा प्रक्षेपण: ए - प्रक्षेपण विमान का स्थान, बी - प्रक्षेपण विमान के बाएं छोर से दृश्य

हम मान लेंगे कि अक्ष Ζ दृश्य निर्देशांक प्रक्षेपण तल के लंबवत स्थित है। दृश्य निर्देशांक का केंद्र बिंदु पर है ( xs, हमें, zc)।आइए संबंधित पहलू परिवर्तन लिखें:

सामान्य केंद्रीय प्रक्षेपण के लिए, प्रक्षेपण किरणों का लुप्त बिंदु Z अक्ष पर कुछ दूरी पर स्थित होता है ठीक हैदृश्य के केंद्र से निर्देशांक. तिरछे प्रक्षेपण के मुख्य अक्ष के झुकाव को ध्यान में रखना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, इसमें से घटाना पर्याप्त है Υ प्रखंड की लंबाई 0-0" है (चित्र 2.21)। यह लंबाई बराबर है ( Ζ k - Ζ pl) सीटीजीβ.आइए अब परिणाम लिखें - तिरछे ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपण के निर्देशांक की गणना के लिए सूत्र

कहाँ ओहऔर पीयूसामान्य प्रक्षेपण के लिए प्रक्षेपण कार्य हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इस तरह के प्रक्षेपण के लिए यहां से शीर्ष दृश्य (β = 0) बनाना असंभव है एसटीजीपी = ∞.

माना गया ऊर्ध्वाधर तिरछा प्रक्षेपण की संपत्ति, जिसमें ऊर्ध्वाधर रेखाओं की समानता को बनाए रखना शामिल है, कभी-कभी उपयोगी होता है, उदाहरण के लिए, जब वास्तुशिल्प कंप्यूटर सिस्टम में घरों का चित्रण किया जाता है। अंजीर की तुलना करें। 2. 22 (ऊपर) और अंजीर। 2.22 (नीचे)। निचली तस्वीर में, ऊर्ध्वाधर को ऊर्ध्वाधर के रूप में दर्शाया गया है - घर "अलग नहीं होते"।

चावल। 2.21. अनुमानों की तुलना

कैबिनेट प्रोजेक्शन (एक्सोनोमेट्रिक ऑब्लिक फ्रंटल डिमेट्रिक प्रोजेक्शन)

चावल। 2.23.कैबिनेट प्रक्षेपण

नि:शुल्क प्रक्षेपण (एक्सोनोमेट्रिक तिरछा क्षैतिज सममितीय प्रक्षेपण)

चावल। 2.24.मुक्त प्रक्षेपण

केंद्रीय प्रक्षेपण

समानांतर रेखाओं के केंद्रीय प्रक्षेपण प्रक्षेपण विमान के समानांतर नहीं होते हैं लोपी बिन्दु.

समन्वय अक्षों की संख्या के आधार पर जो प्रक्षेपण विमान प्रतिच्छेद करता है, एक, दो और तीन-बिंदु केंद्रीय प्रक्षेपण प्रतिष्ठित होते हैं।

चावल। 2.25. केंद्रीय प्रक्षेपण

आइए कैमरे की ऊर्ध्वाधर स्थिति के लिए परिप्रेक्ष्य (केंद्रीय) प्रक्षेपण के एक उदाहरण पर विचार करें, जब α = β = 0. इस तरह के प्रक्षेपण की कल्पना कांच पर एक छवि के रूप में की जा सकती है जिसके माध्यम से ऊपर बिंदु पर स्थित एक पर्यवेक्षक ( एक्स, वाई, जेड) = (0, 0, z k). यहां प्रक्षेपण तल समतल के समानांतर है (x 0 y),जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 2.26.

अंतरिक्ष में एक मनमाना बिंदु (पी) के लिए, त्रिकोणों की समानता के आधार पर, हम निम्नलिखित अनुपात लिखते हैं:

एक्स पीआर /(जेड के – जेड पीएल) = एक्स/(जेड के – जेड)

Y pr /(z k – z pl) = y/(z k – z)

आइए समन्वय को भी ध्यान में रखते हुए प्रक्षेपण के निर्देशांक खोजें Ζpr:

आइए हम ऐसे समन्वय परिवर्तनों को कार्यात्मक रूप में लिखें

कहाँ Π - निर्देशांक के परिप्रेक्ष्य परिवर्तन का कार्य।

चावल। 2.26 परिप्रेक्ष्य प्रक्षेपण

मैट्रिक्स रूप में, समन्वय परिवर्तन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

कृपया ध्यान दें कि यहां मैट्रिक्स गुणांक z निर्देशांक (अंश के हर में) पर निर्भर करते हैं। इसका मतलब यह है कि समन्वय परिवर्तन अरैखिक है (अधिक सटीक रूप से, भिन्नात्मक-रैखिक),यह वर्ग का है प्रक्षेपीयपरिवर्तन.

हमने उस स्थिति के लिए प्रक्षेपण निर्देशांक की गणना के लिए सूत्र प्राप्त किए हैं जब किरणों का लुप्त बिंदु अक्ष पर होता है जेड. अब आइए सामान्य मामले पर विचार करें। आइए एक दृश्य समन्वय प्रणाली का परिचय दें (एक्स, Υ,Ζ), मनमाने ढंग से त्रि-आयामी अंतरिक्ष में स्थित है (एक्स, वाई, जेड). लुप्त बिंदु को अक्ष पर रहने दें Ζ समन्वय प्रणाली देखें, और देखने की दिशा अक्ष के अनुदिश है Ζ उसकी दिशा के विपरीत. हम मान लेंगे कि निर्देशांक देखने में परिवर्तन त्रि-आयामी एफ़िन परिवर्तन द्वारा वर्णित है

निर्देशांक की गणना करने के बाद ( एक्स, वाई, जेड)आप प्रक्षेपण तल में निर्देशांक की गणना उन सूत्रों के अनुसार कर सकते हैं जिन पर हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं। चूँकि लुप्त बिंदु दृश्य निर्देशांक के Z-अक्ष पर है

समन्वय परिवर्तन के क्रम को इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है:

यह समन्वय परिवर्तन आपको अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर कैमरा स्थानों का अनुकरण करने और प्रक्षेपण विमान के केंद्र में किसी भी देखने वाली वस्तु को प्रदर्शित करने की अनुमति देता है।

चावल। 2.27. समतल Z = d में बिंदु P 0 का केंद्रीय प्रक्षेपण

अध्याय 3. रेखापुंज ग्राफिक्स। बुनियादी रेखापुंज एल्गोरिदम

विकृति की प्रकृति से प्रक्षेपणों को अनुरूप, समान-क्षेत्रफल और मनमाना में विभाजित किया गया है।

समकोणेवाला(या अनुरूप)अनुमान अतिसूक्ष्म आकृतियों के कोणों और आकृतियों के परिमाण को सुरक्षित रखें. प्रत्येक बिंदु पर लंबाई का पैमाना सभी दिशाओं में स्थिर होता है (जो कि मेरिडियन के साथ आसन्न समानांतरों के बीच की दूरी में प्राकृतिक वृद्धि से सुनिश्चित होता है) और केवल बिंदु की स्थिति पर निर्भर करता है। विरूपण दीर्घवृत्त को विभिन्न त्रिज्याओं के वृत्तों के रूप में व्यक्त किया जाता है।

अनुरूप अनुमानों में प्रत्येक बिंदु के लिए निम्नलिखित निर्भरताएँ मान्य हैं:

/ एल मैं= ए = बी = एम = एन; ए>= 0°; 0 = 90°; के = 1और ए 0 =0°(या ±90°).

ऐसे अनुमान दिशाएँ निर्धारित करने के लिए विशेष रूप से उपयोगीऔर किसी दिए गए अज़ीमुथ के साथ मार्ग बनाना (उदाहरण के लिए, नेविगेशन समस्याओं को हल करते समय)।

समान आकार(या समकक्ष)अनुमान क्षेत्र को विकृत न करें. इन अनुमानों में विरूपण दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल बराबर है. विरूपण दीर्घवृत्त के एक अक्ष के साथ लंबाई के पैमाने में वृद्धि की भरपाई दूसरे अक्ष के साथ लंबाई के पैमाने में कमी से की जाती है, जिससे मेरिडियन के साथ आसन्न समानांतरों के बीच की दूरी में प्राकृतिक कमी होती है और, परिणामस्वरूप, एक मजबूत विरूपण होता है। आकृतियों का.

ऐसा क्षेत्रों को मापने के लिए प्रक्षेपण सुविधाजनक होते हैंवस्तुएं (जो, उदाहरण के लिए, कुछ आर्थिक या रूपमिति मानचित्रों के लिए आवश्यक हैं)।

गणितीय मानचित्रकला के सिद्धांत में यह सिद्ध है नहीं, और ऐसा कोई प्रक्षेपण नहीं हो सकता जो क्षेत्रफल में समबाहु और बराबर दोनों हो. सामान्य तौर पर, कोनों की विकृति जितनी अधिक होगी, क्षेत्रों की विकृति उतनी ही कम होगी और इसके विपरीत

मुक्तअनुमान दोनों कोणों और क्षेत्रों को विकृत करें. उनका निर्माण करते समय, वे प्रत्येक विशिष्ट मामले के लिए विकृतियों का सबसे लाभप्रद वितरण खोजने का प्रयास करते हैं, जैसे कि कुछ समझौता करते हैं। अनुमानों का यह समूह ऐसे मामलों में उपयोग किया जाता है जहां कोनों और क्षेत्रों की अत्यधिक विकृति समान रूप से अवांछनीय होती है. उनके गुणों के अनुसार मनमाना प्रक्षेपण समबाहु और समान क्षेत्रफल के बीच स्थित है. उनमें से हम हाइलाइट कर सकते हैं समान दूरी(या समदूरस्थ)प्रक्षेपण, जिनमें से सभी बिंदुओं पर मुख्य दिशाओं में से एक के साथ पैमाना स्थिर और मुख्य के बराबर है।

सहायक ज्यामितीय सतह के प्रकार के आधार पर मानचित्र प्रक्षेपणों का वर्गीकरण .

सहायक ज्यामितीय सतह के प्रकार के आधार पर, अनुमानों को प्रतिष्ठित किया जाता है: बेलनाकार, अज़ीमुथल और शंक्वाकार।

बेलनाकारप्रक्षेपण कहलाते हैं जिसमें दीर्घवृत्त की सतह से मेरिडियन और समानताओं का एक नेटवर्क स्पर्शरेखा (या छेदक) सिलेंडर की पार्श्व सतह पर स्थानांतरित किया जाता है, और फिर सिलेंडर को जेनरेटर के साथ काटा जाता है और एक विमान में खोल दिया जाता है (चित्र 6)। ).

चित्र 6. सामान्य बेलनाकार प्रक्षेपण

स्पर्शरेखा रेखा पर विकृति अनुपस्थित होती है और इसके निकट न्यूनतम होती है। यदि सिलेंडर छेदक है, तो स्पर्शरेखा की दो रेखाएँ होती हैं, जिसका अर्थ है 2 एलएनआई। एलएनआई के बीच विरूपण न्यूनतम है।

पृथ्वी के दीर्घवृत्त के अक्ष के सापेक्ष सिलेंडर के अभिविन्यास के आधार पर, अनुमानों को प्रतिष्ठित किया जाता है:

- सामान्य, जब सिलेंडर की धुरी पृथ्वी के दीर्घवृत्त के लघु अक्ष के साथ मेल खाती है; इस मामले में मेरिडियन समदूरस्थ समानांतर रेखाएं हैं, और समानांतर रेखाएं उनके लंबवत सीधी रेखाएं हैं;

- अनुप्रस्थ, जब सिलेंडर अक्ष भूमध्यरेखीय तल में स्थित होता है; ग्रिड प्रकार: मध्य मेरिडियन और भूमध्य रेखा परस्पर लंबवत सीधी रेखाएं हैं, शेष मेरिडियन और समानांतर रेखाएं घुमावदार रेखाएं हैं (चित्र सी)।

- तिरछा, जब सिलेंडर की धुरी दीर्घवृत्त की धुरी के साथ एक न्यून कोण बनाती है; तिरछे बेलनाकार प्रक्षेपणों में, मेरिडियन और समानांतर रेखाएं घुमावदार रेखाएं होती हैं।

अज़ीमुथलप्रक्षेपण कहलाते हैं जिनमें मेरिडियन और समानांतरों का नेटवर्क दीर्घवृत्त की सतह से स्पर्शरेखा (या छेदक) तल पर स्थानांतरित होता है (चित्र 7)।

चावल। 7. सामान्य अज़ीमुथल प्रक्षेपण

पृथ्वी के दीर्घवृत्त के तल के स्पर्शरेखा बिंदु (या अनुभाग रेखा) के पास की छवि लगभग बिल्कुल भी विकृत नहीं होती है। स्पर्शरेखा बिंदु शून्य विरूपण का बिंदु है।

पृथ्वी के दीर्घवृत्त की सतह पर समतल के स्पर्शरेखा बिंदु की स्थिति के आधार पर, अज़ीमुथल प्रक्षेपणों को प्रतिष्ठित किया जाता है:

- सामान्य, या ध्रुवीय, जब विमान किसी एक ध्रुव पर पृथ्वी को छूता है; ग्रिड का प्रकार: मेरिडियन - ध्रुव से रेडियल रूप से निकलने वाली सीधी रेखाएं, समानांतर - ध्रुव पर केंद्रों के साथ संकेंद्रित वृत्त (चित्र 7);

- अनुप्रस्थ, या भूमध्यरेखीय, जब विमान भूमध्य रेखा के किसी एक बिंदु पर दीर्घवृत्त को छूता है; ग्रिड प्रकार: मध्य मेरिडियन और भूमध्य रेखा परस्पर लंबवत सीधी रेखाएं हैं, शेष मेरिडियन और समानांतर रेखाएं घुमावदार रेखाएं हैं (कुछ मामलों में, समानताएं सीधी रेखाओं के रूप में दर्शायी जाती हैं;

– तिरछा, या क्षैतिज, जब विमान ध्रुव और भूमध्य रेखा के बीच स्थित किसी बिंदु पर दीर्घवृत्त को छूता है। तिरछे प्रक्षेपणों में, केवल मध्य मध्याह्न रेखा जिस पर स्पर्शरेखा बिंदु स्थित है, एक सीधी रेखा है, शेष मध्याह्न रेखाएँ और समानांतर रेखाएँ घुमावदार रेखाएँ हैं।

चोटीदारप्रक्षेपण कहलाते हैं जिसमें दीर्घवृत्त की सतह से मेरिडियन और समानांतरों का नेटवर्क स्पर्शरेखा (या छेदक) शंकु की पार्श्व सतह पर स्थानांतरित हो जाता है (चित्र 8)।

चावल। 8. सामान्य शंकु प्रक्षेपण

पृथ्वी के दीर्घवृत्त के शंकु की स्पर्शरेखा या दो क्रॉस-सेक्शन रेखाओं के साथ विकृतियाँ बहुत कम ध्यान देने योग्य होती हैं, जो एलएनआई की शून्य विरूपण की रेखाएं हैं। बेलनाकार शंक्वाकार प्रक्षेपणों की तरह, उन्हें इसमें विभाजित किया गया है:

- सामान्य, जब शंकु की धुरी पृथ्वी के दीर्घवृत्त के लघु अक्ष के साथ मेल खाती है; इन प्रक्षेपणों में मेरिडियन को शंकु के शीर्ष से निकलने वाली सीधी रेखाओं द्वारा दर्शाया जाता है, और समांतर संकेंद्रित वृत्तों के चापों द्वारा दर्शाया जाता है।

– अनुप्रस्थ, जब शंकु की धुरी भूमध्य रेखा के तल में स्थित होती है; ग्रिड प्रकार: मध्य मेरिडियन और स्पर्शरेखा के समानांतर परस्पर लंबवत सीधी रेखाएं हैं, शेष मेरिडियन और समानांतर घुमावदार रेखाएं हैं;

- तिरछा, जब शंकु की धुरी दीर्घवृत्ताभ की धुरी के साथ एक न्यून कोण बनाती है; तिरछे शंक्वाकार प्रक्षेपणों में, मेरिडियन और समानताएं घुमावदार रेखाएं हैं।

सामान्य बेलनाकार, अज़ीमुथल और शंक्वाकार अनुमानों में, मानचित्र ग्रिड ऑर्थोगोनल होता है - मेरिडियन और समानांतर समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, जो इन अनुमानों की महत्वपूर्ण नैदानिक ​​विशेषताओं में से एक है।

यदि, बेलनाकार, अज़ीमुथल और शंक्वाकार प्रक्षेपण प्राप्त करते समय, एक ज्यामितीय विधि का उपयोग किया जाता है (एक विमान पर सहायक सतह का रैखिक प्रक्षेपण), तो ऐसे अनुमानों को क्रमशः परिप्रेक्ष्य-बेलनाकार, परिप्रेक्ष्य-अज़ीमुथल (साधारण परिप्रेक्ष्य) और परिप्रेक्ष्य-शंक्वाकार कहा जाता है। .

बहुकोणीयप्रक्षेपण कहलाते हैं जिसमें एक दीर्घवृत्त की सतह से मेरिडियन और समानांतरों का एक नेटवर्क कई शंकुओं की पार्श्व सतहों पर स्थानांतरित किया जाता है, जिनमें से प्रत्येक को जेनरेट्रिक्स के साथ काटा जाता है और एक विमान में प्रकट किया जाता है। पॉलीकोनिक प्रक्षेपणों में, समानताएं विलक्षण वृत्तों के चाप के रूप में दर्शायी जाती हैं, केंद्रीय मेरिडियन एक सीधी रेखा है, अन्य सभी मेरिडियन केंद्रीय के संबंध में सममित घुमावदार रेखाएं हैं।

सशर्तप्रक्षेपण कहलाते हैं, जिनके निर्माण में सहायक ज्यामितीय सतहों के उपयोग का सहारा नहीं लिया जाता है। मेरिडियन और समानांतरों का एक नेटवर्क कुछ पूर्व निर्धारित स्थिति के अनुसार बनाया जाता है। सशर्त अनुमानों के बीच हम भेद कर सकते हैं छद्म बेलनाकार, छद्म अज़ीमुथऔर छद्म शंक्वाकार ऐसे प्रक्षेपण जो मूल बेलनाकार, अज़ीमुथल और शंक्वाकार प्रक्षेपणों से समानताएं बनाए रखते हैं। इन अनुमानों में मध्य याम्योत्तर एक सीधी रेखा है, शेष याम्योत्तर घुमावदार रेखाएँ हैं.

सशर्त करने के लिएअनुमान भी शामिल हैं बहुफलकीय प्रक्षेपण , जो पृथ्वी के दीर्घवृत्त को छूने या काटने वाले एक बहुफलक को सतह पर प्रक्षेपित करके प्राप्त किए जाते हैं। प्रत्येक फलक एक समबाहु समलम्ब चतुर्भुज है (कम सामान्यतः, षट्भुज, वर्ग, समचतुर्भुज)। बहुफलकीय प्रक्षेपण विभिन्न प्रकार के होते हैं बहु-लेन प्रक्षेपण , और पट्टियों को मेरिडियन और समानांतर दोनों के साथ काटा जा सकता है। इस तरह के प्रक्षेपण फायदेमंद होते हैं क्योंकि प्रत्येक चेहरे या धारी के भीतर विकृति बहुत छोटी होती है, इसलिए इन्हें हमेशा मल्टी-शीट मानचित्रों के लिए उपयोग किया जाता है। बहुफलकीय प्रक्षेपणों का मुख्य नुकसान है मानचित्र शीटों के एक ब्लॉक को बिना किसी रुकावट के सामान्य फ्रेम में संयोजित करने की असंभवता।

व्यवहार में, क्षेत्रीय कवरेज द्वारा विभाजन मूल्यवान है। द्वारा प्रादेशिक कवरेजमानचित्र अनुमानों के लिए आवंटित किया गया है विश्व के मानचित्र, गोलार्ध, महाद्वीप और महासागर, अलग-अलग राज्यों और उनके भागों के मानचित्र।इस सिद्धांत के अनुसार कार्टोग्राफिक अनुमानों के सारणी-निर्धारकों का निर्माण किया गया।अलावा, पिछली बारमानचित्र प्रक्षेपणों का वर्णन करने वाले अंतर समीकरणों के रूप के आधार पर आनुवंशिक वर्गीकरण विकसित करने का प्रयास किया जा रहा है। ये वर्गीकरण अनुमानों के संपूर्ण संभावित सेट को कवर करते हैं, लेकिन बेहद अस्पष्ट हैं, क्योंकि मेरिडियन और समानांतर के ग्रिड के प्रकार से संबंधित नहीं हैं।