x का प्राकृतिक लघुगणक बराबर है. प्राकृतिक लघुगणक, फलन ln x

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ प्राकृतिक. जैसे-जैसे यह बढ़ता है, फ़ंक्शन धीरे-धीरे सकारात्मक अनंत तक पहुंचता है एक्सऔर जब तेजी से नकारात्मक अनंत तक पहुंचता है एक्सकिसी भी पावर फ़ंक्शन की तुलना में 0 ("धीमा" और "तेज़") हो जाता है एक्स).

प्राकृतिकआधार का लघुगणक है , कहाँ ई (\डिस्प्लेस्टाइल ई)- लगभग 2.72 के बराबर एक अपरिमेय स्थिरांक। इसे इस प्रकार दर्शाया गया है ln ⁡ x (\displaystyle \ln x), लॉग ई ⁡ एक्स (\displaystyle \लॉग _(ई)x)या कभी-कभी बस लॉग ⁡ x (\displaystyle \लॉग x), यदि आधार ई (\डिस्प्लेस्टाइल ई)निहित. दूसरे शब्दों में, किसी संख्या का प्राकृतिक लघुगणक एक्स- यह एक प्रतिपादक है जिसके लिए एक संख्या बढ़ाई जानी चाहिए इ, प्राप्त करने के लिए एक्स. इस परिभाषा को जटिल संख्याओं तक बढ़ाया जा सकता है।

ln ⁡ e = 1 (\displaystyle \ln e=1), क्योंकि e 1 = e (\displaystyle e^(1)=e); ln ⁡ 1 = 0 (\displaystyle \ln 1=0), क्योंकि e 0 = 1 (\displaystyle e^(0)=1).

किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए प्राकृतिक लघुगणक को ज्यामितीय रूप से भी परिभाषित किया जा सकता है एवक्र के नीचे के क्षेत्र के रूप में y = 1 x (\displaystyle y=(\frac (1)(x)))बीच में [1 ; ए ] (\डिस्प्लेस्टाइल). इस परिभाषा की सरलता, जो इस लघुगणक का उपयोग करने वाले कई अन्य सूत्रों के अनुरूप है, "प्राकृतिक" नाम की उत्पत्ति की व्याख्या करती है।

यदि हम प्राकृतिक लघुगणक को वास्तविक चर का वास्तविक फलन मानते हैं, तो यह घातीय फलन का व्युत्क्रम फलन है, जो सर्वसमिकाओं की ओर ले जाता है:

ई एलएन ⁡ ए = ए (ए > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) एलएन ⁡ ई ए = ए (ए > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)

सभी लघुगणक की तरह, प्राकृतिक लघुगणक गुणन को जोड़ से जोड़ता है:

एलएन ⁡ एक्स वाई = एलएन ⁡ एक्स + एलएन ⁡ वाई . (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)

विषयों पर पाठ और प्रस्तुति: "प्राकृतिक लघुगणक। प्राकृतिक लघुगणक का आधार। एक प्राकृतिक संख्या का लघुगणक"

अतिरिक्त सामग्री
प्रिय उपयोगकर्ताओं, अपनी टिप्पणियाँ, समीक्षाएँ, शुभकामनाएँ छोड़ना न भूलें! सभी सामग्रियों की जांच एंटी-वायरस प्रोग्राम द्वारा की गई है।

ग्रेड 11 के लिए इंटीग्रल ऑनलाइन स्टोर में शिक्षण सहायक सामग्री और सिमुलेटर
ग्रेड 9-11 के लिए इंटरैक्टिव मैनुअल "त्रिकोणमिति"
ग्रेड 10-11 के लिए इंटरैक्टिव मैनुअल "लघुगणक"

प्राकृतिक लघुगणक क्या है

दोस्तों, पिछले पाठ में हमने एक नया, विशेष नंबर सीखा - ई. आज हम इस नंबर के साथ काम करना जारी रखेंगे।
हमने लघुगणक का अध्ययन किया है और हम जानते हैं कि एक लघुगणक का आधार कई संख्याएँ हो सकती हैं जो 0 से बड़ी हों। आज हम एक ऐसे लघुगणक को भी देखेंगे जिसका आधार संख्या e है। ऐसे लघुगणक को आमतौर पर प्राकृतिक लघुगणक कहा जाता है। इसका अपना अंकन है: $\ln(n)$ प्राकृतिक लघुगणक है। यह प्रविष्टि प्रविष्टि के समतुल्य है: $\log_e(n)=\ln(n)$.
घातांकीय और लघुगणकीय फलन व्युत्क्रम हैं, तो प्राकृतिक लघुगणक फलन का व्युत्क्रम है: $y=e^x$।
व्युत्क्रम फलन सीधी रेखा $y=x$ के संबंध में सममित होते हैं।
आइए सीधी रेखा $y=x$ के संबंध में घातीय फ़ंक्शन को प्लॉट करके प्राकृतिक लघुगणक प्लॉट करें।

यह ध्यान देने योग्य है कि बिंदु (0;1) पर फ़ंक्शन $y=e^x$ के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के झुकाव का कोण 45° है। फिर बिंदु (1;0) पर प्राकृतिक लघुगणक के ग्राफ के स्पर्शरेखा के झुकाव का कोण भी 45° के बराबर होगा। ये दोनों स्पर्शरेखाएँ रेखा $y=x$ के समानांतर होंगी। आइए स्पर्शरेखाओं का आरेख बनाएं:

फ़ंक्शन के गुण $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. न तो सम है और न ही विषम।
3. परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में वृद्धि होती है।
4. न ऊपर से सीमित, न नीचे से सीमित।
5. सबसे बड़ा मूल्यनहीं, सबसे कम मूल्यनहीं।
6. सतत.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. ऊपर की ओर उत्तल।
9. हर जगह अलग-अलग होना।

उच्च गणित के पाठ्यक्रम में यह सिद्ध हो चुका है किसी व्युत्क्रम फलन का व्युत्पन्न किसी दिए गए फलन के व्युत्पन्न का व्युत्क्रम होता है.
प्रमाण में उलझने की जरूरत नहीं है इसमें काफी सार्थकता है, आइए बस सूत्र लिखें: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

उदाहरण।
फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करें: $y=\ln(2x-7)$ बिंदु $x=4$ पर।
समाधान।
सामान्य तौर पर, हमारे फ़ंक्शन को फ़ंक्शन $y=f(kx+m)$ द्वारा दर्शाया जाता है, हम ऐसे फ़ंक्शन के डेरिवेटिव की गणना कर सकते हैं।
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
आइए आवश्यक बिंदु पर व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करें: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
उत्तर: 2.

उदाहरण।
फ़ंक्शन $y=ln(x)$ के ग्राफ़ पर बिंदु $х=е$ पर एक स्पर्शरेखा बनाएं।
समाधान।
हमें बिंदु $x=a$ पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण अच्छी तरह से याद है।
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
हम क्रमिक रूप से आवश्यक मानों की गणना करते हैं।
$ए=ई$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
बिंदु $x=e$ पर स्पर्शरेखा समीकरण फ़ंक्शन $y=\frac(x)(e)$ है।
आइए प्राकृतिक लघुगणक और स्पर्शरेखा रेखा आलेखित करें।

उदाहरण।
एकरसता और एक्स्ट्रेमा के लिए फ़ंक्शन की जांच करें: $y=x^6-6*ln(x)$।
समाधान।
फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र $D(y)=(0;+∞)$.
आइए दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
परिभाषा के क्षेत्र से सभी x के लिए व्युत्पन्न मौजूद है, फिर कोई महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं। आइए स्थिर बिंदु खोजें:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
बिंदु $х=-1$ परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित नहीं है। तब हमारे पास एक स्थिर बिंदु $x=1$ होता है। आइए बढ़ते और घटते अंतराल का पता लगाएं:

बिंदु $x=1$ न्यूनतम बिंदु है, तो $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
उत्तर: खंड (0;1] पर फलन घटता है, किरण $ पर फलन बढ़ता है)