प्राकृतिक लघुगणक का आधार क्या है? प्राकृतिक लघुगणक को समझना

मुख्य गुण दिये गये हैं प्राकृतिक, ग्राफ, परिभाषा का क्षेत्र, मूल्यों का सेट, मूल सूत्र, व्युत्पन्न, अभिन्न, शक्ति श्रृंखला विस्तार और जटिल संख्याओं का उपयोग करके फ़ंक्शन एलएन एक्स का प्रतिनिधित्व।

परिभाषा

प्राकृतिकफलन y = है एलएन एक्स, घातांक का व्युत्क्रम, x = e y, और संख्या e के आधार का लघुगणक है: एलएन एक्स = लॉग ई एक्स.

गणित में प्राकृतिक लघुगणक का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है क्योंकि इसके व्युत्पन्न का रूप सबसे सरल है: (एलएन एक्स)′ = 1/ एक्स.

पर आधारित परिभाषाएं, प्राकृतिक लघुगणक का आधार संख्या है ई:
ई ≅ 2.718281828459045...;
.

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = एलएन एक्स.

प्राकृतिक लघुगणक का ग्राफ़ (फ़ंक्शन y = एलएन एक्स) सीधी रेखा y = x के सापेक्ष दर्पण प्रतिबिंब द्वारा घातीय ग्राफ से प्राप्त किया जाता है।

प्राकृतिक लघुगणक को परिभाषित किया गया है सकारात्मक मूल्यचर एक्स.

यह अपनी परिभाषा के क्षेत्र में नीरस रूप से बढ़ता है। 0 x → पर

प्राकृतिक लघुगणक की सीमा शून्य से अनंत (-∞) है। जैसे x → + ∞, प्राकृतिक लघुगणक की सीमा प्लस इनफिनिटी (+ ∞) है। बड़े x के लिए, लघुगणक काफी धीरे-धीरे बढ़ता है। कोईशक्ति समारोह

x a एक सकारात्मक घातांक के साथ लघुगणक की तुलना में तेजी से बढ़ता है।

प्राकृतिक लघुगणक के गुण

परिभाषा का क्षेत्र, मूल्यों का समुच्चय, चरम सीमा, वृद्धि, कमी

प्राकृतिक लघुगणक एक नीरस रूप से बढ़ने वाला कार्य है, इसलिए इसका कोई चरम नहीं है। प्राकृतिक लघुगणक के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं।

एलएन एक्स मान

एलएन 1 = 0

प्राकृतिक लघुगणक के लिए मूल सूत्र

व्युत्क्रम फलन की परिभाषा से निम्नलिखित सूत्र:

लघुगणक का मुख्य गुण और उसके परिणाम

आधार प्रतिस्थापन सूत्र

किसी भी लघुगणक को आधार प्रतिस्थापन सूत्र का उपयोग करके प्राकृतिक लघुगणक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

इन सूत्रों के प्रमाण "लघुगणक" खंड में प्रस्तुत किए गए हैं।

उलटा कार्य

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्क्रम घातांक है।

यदि , तो

यदि, तो.

व्युत्पन्न एलएन एक्स
.
प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न:
.
मापांक x के प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न:
.
nवें क्रम का व्युत्पन्न:

सूत्र व्युत्पन्न करना > > >

अभिन्न
.
अभिन्न की गणना भागों द्वारा एकीकरण द्वारा की जाती है:

इसलिए,

सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करते हुए व्यंजक
.
जटिल चर z के फ़ंक्शन पर विचार करें: आइए जटिल चर को व्यक्त करेंजेड मॉड्यूल के माध्यम सेआर φ :
.
और तर्क
.
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:
.
तर्क φ विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है। यदि आप डालते हैं
, जहां n एक पूर्णांक है,
यह अलग-अलग n के लिए समान संख्या होगी।

इसलिए, प्राकृतिक लघुगणक, एक जटिल चर के एक फ़ंक्शन के रूप में, एक एकल-मूल्य वाला फ़ंक्शन नहीं है।

शक्ति शृंखला विस्तार

जब विस्तार होता है:

प्रयुक्त साहित्य:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।

प्राकृतिक

प्राकृतिक लघुगणक फ़ंक्शन का ग्राफ़. जैसे-जैसे यह बढ़ता है, फ़ंक्शन धीरे-धीरे सकारात्मक अनंत तक पहुंचता है एक्सऔर जब तेजी से नकारात्मक अनंत तक पहुंचता है एक्सकिसी भी पावर फ़ंक्शन की तुलना में 0 ("धीमा" और "तेज़") हो जाता है एक्स).

प्राकृतिकआधार का लघुगणक है , कहाँ ई- लगभग 2.718281 828 के बराबर एक अपरिमेय स्थिरांक। प्राकृतिक लघुगणक आमतौर पर ln( के रूप में लिखा जाता है एक्स), लकड़ी का लट्ठा ई (एक्स) या कभी-कभी बस लॉग करें( एक्स), यदि आधार ईनिहित.

किसी संख्या का प्राकृतिक लघुगणक एक्स(के रूप में लिखा गया है एलएन(एक्स)) वह प्रतिपादक है जिसकी संख्या बढ़ाई जानी चाहिए ईपाने के एक्स. उदाहरण के लिए, एलएन(7,389...) 2 के बराबर है क्योंकि ई 2 =7,389... . संख्या का प्राकृतिक लघुगणक ही ई (एलएन(ई)) 1 के बराबर है क्योंकि ई 1 = ई, और प्राकृतिक लघुगणक 1 है ( एलएन(1)) 0 के बराबर है क्योंकि ई 0 = 1.

प्राकृतिक लघुगणक को किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित किया जा सकता है एवक्र के नीचे के क्षेत्र के रूप में य = 1/एक्स 1 से ए. इस परिभाषा की सरलता, जो प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग करने वाले कई अन्य सूत्रों के अनुरूप है, के कारण इसका नाम "प्राकृतिक" पड़ा। इस परिभाषा को जटिल संख्याओं तक बढ़ाया जा सकता है, जैसा कि नीचे चर्चा की गई है।

यदि हम प्राकृतिक लघुगणक को वास्तविक चर का वास्तविक फलन मानते हैं, तो यह घातीय फलन का व्युत्क्रम फलन है, जो सर्वसमिकाओं की ओर ले जाता है:

सभी लघुगणक की तरह, प्राकृतिक लघुगणक गुणन को जोड़ से जोड़ता है:

इस प्रकार, लॉगरिदमिक फ़ंक्शन जोड़ के संबंध में वास्तविक संख्याओं के समूह द्वारा गुणन के संबंध में सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के समूह का एक समरूपता है, जिसे एक फ़ंक्शन के रूप में दर्शाया जा सकता है:

लघुगणक को केवल 1 के अलावा किसी भी सकारात्मक आधार के लिए परिभाषित किया जा सकता है ई, लेकिन अन्य आधारों के लिए लघुगणक प्राकृतिक लघुगणक से केवल एक स्थिर कारक द्वारा भिन्न होते हैं, और आमतौर पर प्राकृतिक लघुगणक के संदर्भ में परिभाषित होते हैं। लघुगणक उन समीकरणों को हल करने के लिए उपयोगी होते हैं जिनमें घातांक के रूप में अज्ञात शामिल होते हैं। उदाहरण के लिए, लघुगणक का उपयोग ज्ञात आधे जीवन के लिए क्षय स्थिरांक को खोजने के लिए, या रेडियोधर्मिता समस्याओं को हल करने में क्षय समय को खोजने के लिए किया जाता है। वे गणित और व्यावहारिक विज्ञान के कई क्षेत्रों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, और चक्रवृद्धि ब्याज खोजने सहित कई समस्याओं को हल करने के लिए वित्त में उपयोग किया जाता है।

कहानी

प्राकृतिक लघुगणक का पहला उल्लेख निकोलस मर्केटर ने अपने काम में किया था लॉगरिथमोटेक्निया, 1668 में प्रकाशित हुआ, हालाँकि गणित के शिक्षक जॉन स्पिडेल ने 1619 में प्राकृतिक लघुगणक की एक तालिका संकलित की थी। इसे पहले अतिपरवलयिक लघुगणक कहा जाता था क्योंकि यह अतिपरवलय के अंतर्गत क्षेत्र से मेल खाता है। इसे कभी-कभी नेपियर लघुगणक भी कहा जाता है, हालाँकि इस शब्द का मूल अर्थ कुछ अलग था।

पदनाम परंपराएँ

प्राकृतिक लघुगणक को आमतौर पर "ln( एक्स)", आधार 10 का लघुगणक - "एलजी() के माध्यम से एक्स)", और अन्य कारणों को आमतौर पर "लॉग" प्रतीक के साथ स्पष्ट रूप से दर्शाया जाता है।

असतत गणित, साइबरनेटिक्स और कंप्यूटर विज्ञान पर कई कार्यों में, लेखक "लॉग( एक्स)" आधार 2 के लघुगणक के लिए, लेकिन यह सम्मेलन आम तौर पर स्वीकार नहीं किया जाता है और पहली बार उपयोग किए जाने पर फ़ुटनोट या टिप्पणी द्वारा उपयोग किए गए नोटेशन की सूची में या (ऐसी सूची के अभाव में) स्पष्टीकरण की आवश्यकता होती है।

लघुगणक के तर्क के चारों ओर कोष्ठक (यदि इससे सूत्र की गलत रीडिंग नहीं होती है) आमतौर पर छोड़ दिए जाते हैं, और जब लघुगणक को एक शक्ति तक बढ़ाया जाता है, तो घातांक को सीधे लघुगणक के चिह्न पर निर्दिष्ट किया जाता है: ln 2 ln 3 4 एक्स 5 = [ एल.एन ( 3 )] 2 .

एंग्लो-अमेरिकन प्रणाली

गणितज्ञ, सांख्यिकीविद् और कुछ इंजीनियर आमतौर पर प्राकृतिक लघुगणक या "लॉग" का उपयोग करते हैं एक्स)" या "एलएन( एक्स)", और आधार 10 लघुगणक को दर्शाने के लिए - "लॉग 10 ( एक्स)».

कुछ इंजीनियर, जीवविज्ञानी और अन्य विशेषज्ञ हमेशा "एलएन( एक्स)" (या कभी-कभी "लॉग ई ( एक्स)") जब उनका मतलब प्राकृतिक लघुगणक, और अंकन "लॉग( एक्स)" उनका मतलब है लॉग 10 ( एक्स).

लकड़ी का लट्ठा ईएक "प्राकृतिक" लघुगणक है क्योंकि यह स्वचालित रूप से घटित होता है और गणित में बहुत बार दिखाई देता है। उदाहरण के लिए, एक लघुगणकीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की समस्या पर विचार करें:

यदि आधार बीके बराबर होती है ई, तो व्युत्पन्न केवल 1/ है एक्स, और जब एक्स= 1 यह व्युत्पन्न 1 के बराबर है। दूसरा कारण यह है कि आधार ईलघुगणक के बारे में सबसे स्वाभाविक बात यह है कि इसे एक साधारण अभिन्न या टेलर श्रृंखला के संदर्भ में काफी सरलता से परिभाषित किया जा सकता है, जो अन्य लघुगणक के बारे में नहीं कहा जा सकता है।

स्वाभाविकता के लिए आगे के औचित्य संकेतन से संबंधित नहीं हैं। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक लघुगणक वाली कई सरल श्रृंखलाएँ हैं। पिएत्रो मेंगोली और निकोलस मर्केटर ने उन्हें बुलाया लघुगणक प्राकृतिककई दशकों तक जब तक न्यूटन और लीबनिज़ ने डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस विकसित नहीं किया।

परिभाषा

औपचारिक रूप से ln( ए) को ग्राफ 1/ के वक्र के नीचे के क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया जा सकता है एक्स 1 से ए, यानी एक अभिन्न के रूप में:

यह वास्तव में एक लघुगणक है क्योंकि यह लघुगणक की मूलभूत संपत्ति को संतुष्ट करता है:

इसे इस प्रकार मानकर प्रदर्शित किया जा सकता है:

संख्यात्मक मान

किसी संख्या के प्राकृतिक लघुगणक के संख्यात्मक मान की गणना करने के लिए, आप इसके टेलर श्रृंखला विस्तार का उपयोग इस प्रकार कर सकते हैं:

पाने के बेहतर गतिअभिसरण, हम निम्नलिखित पहचान का उपयोग कर सकते हैं:

उसे उपलब्ध कराया य = (एक्स−1)/(एक्स+1) और एक्स > 0.

एलएन के लिए( एक्स), कहाँ एक्स> 1, मान जितना करीब होगा एक्स 1 से, फिर तेज गतिअभिसरण. लक्ष्य प्राप्त करने के लिए लघुगणक से जुड़ी पहचानों का उपयोग किया जा सकता है:

इन विधियों का उपयोग कैलकुलेटर के आगमन से पहले भी किया जाता था, जिसके लिए संख्यात्मक तालिकाओं का उपयोग किया जाता था और ऊपर वर्णित के समान जोड़-तोड़ किए जाते थे।

उच्च सटीकता

प्राकृतिक लघुगणक की गणना करने के लिए एक लंबी संख्यासटीकता संख्या, टेलर श्रृंखला कुशल नहीं है क्योंकि इसका अभिसरण धीमा है। एक विकल्प यह है कि न्यूटन की विधि का उपयोग एक घातांकीय फलन में उलटने के लिए किया जाए जिसकी श्रृंखला अधिक तेजी से परिवर्तित होती है।

अत्यधिक उच्च गणना सटीकता के लिए एक विकल्प सूत्र है:

कहाँ एम 1 और 4/s के अंकगणित-ज्यामितीय औसत को दर्शाता है, और

एमइसलिए चुना गया पीसटीकता के अंक प्राप्त होते हैं। (ज्यादातर मामलों में, m के लिए 8 का मान पर्याप्त है।) वास्तव में, यदि इस पद्धति का उपयोग किया जाता है, तो घातीय फ़ंक्शन की कुशलतापूर्वक गणना करने के लिए न्यूटन के प्राकृतिक लघुगणक के व्युत्क्रम को लागू किया जा सकता है। (स्थिरांक एलएन 2 और पीआई को किसी भी ज्ञात तेजी से अभिसरण श्रृंखला का उपयोग करके वांछित सटीकता के लिए पूर्व-गणना की जा सकती है।)

कम्प्यूटेशनल जटिलता

प्राकृतिक लघुगणक की कम्प्यूटेशनल जटिलता (अंकगणित-ज्यामितीय माध्य का उपयोग करके) O( है एम(एन)एल.एन एन). यहाँ एनपरिशुद्धता के अंकों की संख्या है जिसके लिए प्राकृतिक लघुगणक का मूल्यांकन किया जाना चाहिए, और एम(एन) दो को गुणा करने की कम्प्यूटेशनल जटिलता है एन-अंक संख्या.

निरंतर भिन्न

हालाँकि लघुगणक को दर्शाने के लिए कोई सरल निरंतर भिन्न नहीं हैं, कई सामान्यीकृत निरंतर भिन्नों का उपयोग किया जा सकता है, जिनमें शामिल हैं:

जटिल लघुगणक

घातीय फ़ंक्शन को ऐसे फ़ंक्शन तक बढ़ाया जा सकता है जो फॉर्म की एक जटिल संख्या देता है ई एक्सकिसी भी मनमाने सम्मिश्र संख्या के लिए एक्स, इस मामले में कॉम्प्लेक्स के साथ एक अनंत श्रृंखला एक्स. इस घातीय फ़ंक्शन को एक जटिल लघुगणक बनाने के लिए उलटा किया जा सकता है, जिसमें सामान्य लघुगणक के अधिकांश गुण होंगे। हालाँकि, दो कठिनाइयाँ हैं: कोई नहीं है एक्स, जिसके लिए ई एक्स= 0, और यह पता चला कि ई 2πi = 1 = ई 0 . चूँकि गुणन गुण एक जटिल घातीय फलन के लिए मान्य है ई आइए जटिल चर को व्यक्त करें = ई आइए जटिल चर को व्यक्त करें+2nπiसभी जटिल के लिए आइए जटिल चर को व्यक्त करेंऔर संपूर्ण एन.

लघुगणक को संपूर्ण जटिल तल पर परिभाषित नहीं किया जा सकता है, और फिर भी यह बहुमूल्यांकित है - किसी भी जटिल लघुगणक को 2 के किसी भी पूर्णांक गुणज को जोड़कर "समकक्ष" लघुगणक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है πi. जटिल लघुगणक को जटिल तल के एक टुकड़े पर केवल एकल-मूल्यांकित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एल.एन मैं = 1/2 πiया 5/2 πiया −3/2 πi, आदि, और यद्यपि मैं 4 = 1.4 लॉग मैं 2 के रूप में परिभाषित किया जा सकता है πi, या 10 πiया −6 πi, और इसी तरह।

यह भी देखें

• जॉन नेपियर - लघुगणक के आविष्कारक

टिप्पणियाँ

1. भौतिक रसायन विज्ञान के लिए गणित. - तीसरा. - एकेडमिक प्रेस, 2005. - पी. 9. - आईएसबीएन 0-125-08347-5, पृष्ठ 9 का उद्धरण
2. जे जे ओ"कॉनर और ई एफ रॉबर्टसनसंख्या ई. गणित संग्रह का मैकट्यूटर इतिहास (सितंबर 2001)। संग्रहीत
3. काजोरी फ्लोरियनगणित का इतिहास, 5वां संस्करण। - एएमएस बुकस्टोर, 1991. - पी. 152. - आईएसबीएन 0821821024
4. फ्लैशमैन, मार्टिनबहुपद का उपयोग करके समाकलन का अनुमान लगाना। 12 फ़रवरी 2012 को मूल से संग्रहीत।

अक्सर एक नंबर लेते हैं ई = 2,718281828 . इस आधार पर आधारित लघुगणक कहलाते हैं प्राकृतिक. प्राकृतिक लघुगणक के साथ गणना करते समय, चिह्न के साथ काम करना आम बात है एलएन, नहीं लकड़ी का लट्ठा; जबकि संख्या 2,718281828 , आधार को परिभाषित करते हुए संकेत नहीं दिया गया है।

दूसरे शब्दों में, सूत्रीकरण इस प्रकार दिखेगा: प्राकृतिकनंबर एक्स- यह एक प्रतिपादक है जिसके लिए एक संख्या बढ़ाई जानी चाहिए ईपाने के एक्स.

इसलिए, एलएन(7,389...)= 2, चूँकि ई 2 =7,389... . संख्या का प्राकृतिक लघुगणक ही ई= 1 क्योंकि ई 1 =ई, और एकता का प्राकृतिक लघुगणक शून्य है, चूँकि ई 0 = 1.

नंबर ही ईएक मोनोटोन बंधे अनुक्रम की सीमा को परिभाषित करता है

उसका हिसाब लगाया ई = 2,7182818284... .

अक्सर, किसी संख्या को मेमोरी में ठीक करने के लिए, आवश्यक संख्या के अंक किसी बकाया तारीख से जुड़े होते हैं। किसी संख्या के पहले नौ अंक याद रखने की गति ईदशमलव के बाद दशमलव बिंदु बढ़ जाएगा यदि आप ध्यान दें कि 1828 लियो टॉल्स्टॉय का जन्म वर्ष है!

आज तो बहुत हैं पूर्ण तालिकाएँप्राकृतिक लघुगणक.

प्राकृतिक लघुगणक ग्राफ(कार्य आप=एलएन एक्स) सीधी रेखा की दर्पण छवि के रूप में घातीय ग्राफ का परिणाम है वाई = एक्सऔर इसका रूप है:

प्रत्येक सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए प्राकृतिक लघुगणक पाया जा सकता है एवक्र के नीचे के क्षेत्र के रूप में य = 1/एक्ससे 1 को ए.

इस सूत्रीकरण की प्राथमिक प्रकृति, जो कई अन्य सूत्रों के अनुरूप है जिसमें प्राकृतिक लघुगणक शामिल है, "प्राकृतिक" नाम के गठन का कारण था।

यदि आप विश्लेषण करें प्राकृतिक, एक वास्तविक चर के वास्तविक कार्य के रूप में, यह कार्य करता है उलटा कार्यएक घातीय फ़ंक्शन के लिए, जो पहचान को कम करता है:

ई एलएन(ए) =ए (ए>0)

एलएन(ई ए) =ए

सभी लघुगणक के अनुरूप, प्राकृतिक लघुगणक गुणन को जोड़ में, विभाजन को घटाव में परिवर्तित करता है:

एल.एन(xy) = एल.एन(एक्स) + एल.एन(य)

एल.एन(x/y)= एलएनएक्स - lny

लघुगणक हर उस सकारात्मक आधार के लिए पाया जा सकता है जो एक के बराबर नहीं है, केवल इसके लिए नहीं ई, लेकिन अन्य आधारों के लिए लघुगणक प्राकृतिक लघुगणक से केवल एक स्थिर कारक द्वारा भिन्न होते हैं, और आमतौर पर प्राकृतिक लघुगणक के संदर्भ में परिभाषित होते हैं।

विश्लेषण करके प्राकृतिक लघुगणक ग्राफ,हम पाते हैं कि यह चर के सकारात्मक मानों के लिए मौजूद है एक्स. यह अपनी परिभाषा के क्षेत्र में नीरस रूप से बढ़ता है।

पर एक्स → 0 प्राकृतिक लघुगणक की सीमा शून्य से अनंत है ( -∞ )।पर एक्स → +∞ प्राकृतिक लघुगणक की सीमा प्लस अनंत है ( + ∞ ). अत्याधिक एक्सलघुगणक काफी धीरे-धीरे बढ़ता है। कोई भी शक्ति कार्य एक्सएएक सकारात्मक प्रतिपादक के साथ एलघुगणक की तुलना में तेजी से बढ़ता है। प्राकृतिक लघुगणक एक नीरस रूप से बढ़ने वाला कार्य है, इसलिए इसका कोई चरम नहीं है।

प्रयोग प्राकृतिक लघुगणकउच्च गणित उत्तीर्ण करते समय बहुत तर्कसंगत। इस प्रकार, लघुगणक का उपयोग उन समीकरणों का उत्तर खोजने के लिए सुविधाजनक है जिनमें अज्ञात घातांक के रूप में दिखाई देते हैं। गणनाओं में प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग इसे काफी सरल बनाना संभव बनाता है बड़ी संख्यागणितीय सूत्र. आधार के लिए लघुगणक ई महत्वपूर्ण संख्या में शारीरिक समस्याओं को हल करने में मौजूद हैं और सहज रूप मेंव्यक्तिगत रासायनिक, जैविक और अन्य प्रक्रियाओं के गणितीय विवरण में शामिल हैं। इस प्रकार, लघुगणक का उपयोग ज्ञात आधे जीवन के लिए क्षय स्थिरांक की गणना करने या रेडियोधर्मिता की समस्याओं को हल करने में क्षय समय की गणना करने के लिए किया जाता है। वे इसमें प्रदर्शन करते हैं अग्रणी भूमिकागणित की कई शाखाओं में और व्यावहारिक विज्ञानजिन्हें हल करने के लिए वित्त के क्षेत्र में इनका सहारा लिया जाता है बड़ी संख्याचक्रवृद्धि ब्याज की गणना सहित कार्य।

लोगारित्मकिसी दी गई संख्या का वह घातांक कहलाता है जिससे दूसरी संख्या बढ़ाई जानी चाहिए, कहा जाता है आधारइस संख्या को प्राप्त करने के लिए लघुगणक. उदाहरण के लिए, 100 का आधार 10 लघुगणक 2 है। दूसरे शब्दों में, 100 प्राप्त करने के लिए 10 का वर्ग करना होगा (10 2 = 100)। अगर एन- एक दी गई संख्या, बी– आधार और एल- फिर लघुगणक बी एल = एन. संख्या एनइसे बेस एंटीलोगारिथ्म भी कहा जाता है बीनंबर एल. उदाहरण के लिए, 2 से आधार 10 का प्रतिलघुगणक 100 के बराबर है। इसे संबंध लॉग के रूप में लिखा जा सकता है बी एन = एलऔर एंटीलॉग बी एल = एन.

लघुगणक के मूल गुण:

एक के अलावा कोई भी सकारात्मक संख्या लघुगणक के लिए आधार के रूप में काम कर सकती है, लेकिन दुर्भाग्य से यह पता चला है कि यदि बीऔर एनपरिमेय संख्याएँ हैं, तो दुर्लभ मामलों में ऐसी कोई परिमेय संख्या होती है एल, क्या बी एल = एन. हालाँकि, एक अपरिमेय संख्या को परिभाषित करना संभव है एल, उदाहरण के लिए, जैसे कि 10 एल= 2; यह एक अपरिमेय संख्या है एलकिसी भी आवश्यक सटीकता के साथ अनुमान लगाया जा सकता है भिन्नात्मक संख्याएं. यह दिए गए उदाहरण से पता चलता है एललगभग 0.3010 के बराबर है, और 2 के आधार 10 लघुगणक का यह अनुमान दशमलव लघुगणक की चार-अंकीय तालिकाओं में पाया जा सकता है। आधार 10 लघुगणक (या आधार 10 लघुगणक) का उपयोग गणनाओं में इतना सामान्यतः किया जाता है कि उन्हें कहा जाता है साधारणलघुगणक और लघुगणक आधार के स्पष्ट संकेत को छोड़कर, log2 = 0.3010 या log2 = 0.3010 के रूप में लिखा जाता है। आधार के लिए लघुगणक ई, लगभग 2.71828 के बराबर एक पारलौकिक संख्या कहलाती है प्राकृतिकलघुगणक. वे मुख्य रूप से कार्यों में पाए जाते हैं गणितीय विश्लेषणऔर विभिन्न विज्ञानों में इसके अनुप्रयोग। प्राकृतिक लघुगणक भी आधार को स्पष्ट रूप से इंगित किए बिना लिखे जाते हैं, लेकिन विशेष संकेतन एलएन का उपयोग करते हुए: उदाहरण के लिए, एलएन2 = 0.6931, क्योंकि ई 0,6931 = 2.

साधारण लघुगणक की तालिकाओं का उपयोग करना।

किसी संख्या का नियमित लघुगणक एक घातांक होता है जिसमें दी गई संख्या प्राप्त करने के लिए 10 को बढ़ाया जाना चाहिए। चूँकि 10 0 = 1, 10 1 = 10 और 10 2 = 100, हमें तुरंत पता चलता है कि लॉग1 = 0, लॉग10 = 1, लॉग100 = 2, आदि। पूर्णांक घातों को बढ़ाने के लिए 10. इसी प्रकार, 10 -1 = 0.1, 10 -2 = 0.01 और इसलिए log0.1 = -1, log0.01 = -2, आदि। सभी पूर्णांकों के लिए नकारात्मक शक्तियां 10. शेष संख्याओं के सामान्य लघुगणक संख्या 10 की निकटतम पूर्णांक घातों के लघुगणक के बीच समाहित होते हैं; log2 0 और 1 के बीच होना चाहिए, log20 1 और 2 के बीच होना चाहिए, और log0.2 -1 और 0 के बीच होना चाहिए। इस प्रकार, लघुगणक में दो भाग होते हैं, एक पूर्णांक और दशमलव, 0 और 1 के बीच संलग्न पूर्णांक भाग कहलाता है विशेषतालघुगणक और संख्या से ही निर्धारित होता है, भिन्नात्मक भाग कहलाता है अपूर्णांशऔर तालिकाओं से पाया जा सकता है। साथ ही, log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. 2 का लघुगणक 0.3010 है, इसलिए log20 = 0.3010 + 1 = 1.3010। इसी प्रकार, log0.2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0.3010 – 1. घटाने के बाद, हमें log0.2 = – 0.6990 मिलता है। हालाँकि, log0.2 को 0.3010 - 1 या 9.3010 - 10 के रूप में प्रस्तुत करना अधिक सुविधाजनक है; तैयार किया जा सकता है और सामान्य नियम: किसी दी गई संख्या को 10 की घात से गुणा करने पर प्राप्त सभी संख्याओं का एक ही मंटिसा होता है, जो दी गई संख्या के मंटिसा के बराबर होता है। अधिकांश तालिकाएँ 1 से 10 तक की संख्याओं के मंटिसा को दर्शाती हैं, क्योंकि अन्य सभी संख्याओं के मंटिसा को तालिका में दिए गए संख्याओं से प्राप्त किया जा सकता है।

अधिकांश तालिकाएँ चार या पाँच दशमलव स्थानों के साथ लघुगणक देती हैं, हालाँकि सात अंकों की तालिकाएँ और इससे भी अधिक दशमलव स्थानों वाली तालिकाएँ हैं। ऐसी तालिकाओं का उपयोग करना सीखने का सबसे आसान तरीका उदाहरणों से है। लॉग3.59 को खोजने के लिए, सबसे पहले, हम ध्यान दें कि संख्या 3.59 10 0 और 10 1 के बीच समाहित है, इसलिए इसकी विशेषता 0 है। हम तालिका में संख्या 35 (बाईं ओर) पाते हैं और पंक्ति के साथ चलते हैं वह स्तंभ जिसके शीर्ष पर संख्या 9 है; इस स्तंभ और पंक्ति 35 का प्रतिच्छेदन 5551 है, इसलिए लॉग3.59 = 0.5551। चार वाली संख्या का मंटिसा ज्ञात करना महत्वपूर्ण लोग, प्रक्षेप का सहारा लेना आवश्यक है। कुछ तालिकाओं में, तालिकाओं के प्रत्येक पृष्ठ के दाईं ओर अंतिम नौ स्तंभों में दिए गए अनुपात से प्रक्षेप की सुविधा होती है। आइए अब log736.4 खोजें; संख्या 736.4 10 2 और 10 3 के बीच स्थित है, इसलिए इसके लघुगणक की विशेषता 2 है। तालिका में हमें बाईं ओर एक पंक्ति मिलती है जिसके बाईं ओर 73 और स्तंभ 6 है। इस पंक्ति और इस स्तंभ के चौराहे पर है संख्या 8669। रैखिक भागों में हम स्तंभ 4 पाते हैं। पंक्ति 73 और स्तंभ 4 के प्रतिच्छेदन पर संख्या 2 है। 8669 में 2 जोड़ने पर, हमें मंटिसा मिलता है - यह 8671 के बराबर है। इस प्रकार, लॉग736.4 = 2.8671.

प्राकृतिक लघुगणक.

प्राकृतिक लघुगणक की तालिकाएँ और गुण सामान्य लघुगणक की तालिकाओं और गुणों के समान होते हैं। दोनों के बीच मुख्य अंतर यह है कि प्राकृतिक लघुगणक का पूर्णांक भाग दशमलव बिंदु की स्थिति निर्धारित करने में महत्वपूर्ण नहीं है, और इसलिए मंटिसा और विशेषता के बीच का अंतर कोई विशेष भूमिका नहीं निभाता है। संख्याओं के प्राकृतिक लघुगणक 5.432; 54.32 और 543.2 क्रमशः 1.6923 के बराबर हैं; 3.9949 और 6.2975. यदि हम उनके बीच के अंतरों पर विचार करें तो इन लघुगणक के बीच संबंध स्पष्ट हो जाएगा: log543.2 - log54.32 = 6.2975 - 3.9949 = 2.3026; अंतिम संख्यासंख्या 10 के प्राकृतिक लघुगणक से अधिक कुछ नहीं है (इस तरह लिखा गया है: ln10); लॉग543.2 - लॉग5.432 = 4.6052; अंतिम संख्या 2ln10 है. लेकिन 543.2 = 10ґ54.32 = 10 2ґ5.432। इस प्रकार, किसी दी गई संख्या के प्राकृतिक लघुगणक द्वारा एआप संख्याओं के प्राकृतिक लघुगणक पा सकते हैं, उत्पादों के बराबरनंबर एकिसी भी डिग्री के लिए एनसंख्या 10 यदि एल.एन ए ln10 को गुणा करके जोड़ें एन, यानी एलएन( एґ10एन) = लॉग ए + एनएलएन10 = एलएन ए + 2,3026एन. उदाहरण के लिए, ln0.005432 = ln(5.432ґ10 –3) = ln5.432 – 3ln10 = 1.6923 – (3ґ2.3026) = – 5.2155. इसलिए, सामान्य लघुगणक की तालिकाओं की तरह, प्राकृतिक लघुगणक की तालिकाओं में आमतौर पर केवल 1 से 10 तक की संख्याओं के लघुगणक होते हैं। प्राकृतिक लघुगणक की प्रणाली में, कोई एंटीलघुगणक के बारे में बात कर सकता है, लेकिन अधिक बार वे एक घातीय फ़ंक्शन या एक घातांक के बारे में बात करते हैं। अगर एक्स= लॉग य, वह य = पूर्व, और यका प्रतिपादक कहा जाता है एक्स(टाइपोग्राफ़िक सुविधा के लिए, वे अक्सर लिखते हैं य= ऍक्स्प एक्स). घातांक संख्या के प्रतिलघुगणक की भूमिका निभाता है एक्स.

दशमलव और प्राकृतिक लघुगणक की तालिकाओं का उपयोग करके, आप 10 और के अलावा किसी भी आधार में लघुगणक की तालिकाएँ बना सकते हैं ई. यदि लॉग करें बी ० ए = एक्स, वह बी एक्स = ए, और इसलिए लॉग करें सी बी एक्स= लॉग सी एया एक्सलकड़ी का लट्ठा सी बी= लॉग सी ए, या एक्स= लॉग सी ए/लकड़ी का लट्ठा सी बी= लॉग बी ० ए. इसलिए, आधार लघुगणक तालिका से इस व्युत्क्रम सूत्र का उपयोग करें सीआप किसी अन्य आधार में लघुगणक की तालिकाएँ बना सकते हैं बी. गुणक 1/लॉग सी बीबुलाया संक्रमण मॉड्यूलआधार से सीआधार तक बी. उदाहरण के लिए, व्युत्क्रम सूत्र का उपयोग करने या लघुगणक की एक प्रणाली से दूसरे में संक्रमण करने, सामान्य लघुगणक की तालिका से प्राकृतिक लघुगणक खोजने या विपरीत संक्रमण करने से कुछ भी नहीं रोकता है। उदाहरण के लिए, लॉग105.432 = लॉग ई 5.432/लॉग ई 10 = 1.6923/2.3026 = 1.6923ґ0.4343 = 0.7350। संख्या 0.4343, जिससे एक साधारण लघुगणक प्राप्त करने के लिए किसी दिए गए संख्या के प्राकृतिक लघुगणक को गुणा किया जाना चाहिए, सामान्य लघुगणक की प्रणाली में संक्रमण का मापांक है।

विशेष टेबल.

लघुगणक का आविष्कार मूल रूप से इसलिए किया गया था ताकि, उनके गुणों का उपयोग करके लॉग किया जा सके अब= लॉग ए+ लॉग बीऔर लॉग करें ए/बी= लॉग ए-लकड़ी का लट्ठा बी, गुणनफल को योग में और भागफल को अंतर में बदलें। दूसरे शब्दों में, यदि लॉग एऔर लॉग करें बीज्ञात हैं, तो जोड़ और घटाव का उपयोग करके हम उत्पाद और भागफल का लघुगणक आसानी से पा सकते हैं। हालाँकि, खगोल विज्ञान में, अक्सर लॉग के मान दिए जाते हैं एऔर लॉग करें बीलॉग ढूंढने की आवश्यकता है( ए + बी) या लॉग( ए – बी). निःसंदेह, कोई भी सबसे पहले लघुगणक की तालिकाओं से पता लगा सकता है एऔर बी, फिर संकेतित जोड़ या घटाव करें और, फिर से तालिकाओं का संदर्भ लेते हुए, आवश्यक लघुगणक खोजें, लेकिन ऐसी प्रक्रिया के लिए तालिकाओं को तीन बार संदर्भित करने की आवश्यकता होगी। जेड लियोनेली ने 1802 में तथाकथित की तालिकाएँ प्रकाशित कीं। गाऊसी लघुगणक- योगों और अंतरों को जोड़ने के लिए लघुगणक - जिससे स्वयं को तालिकाओं तक एक पहुंच तक सीमित करना संभव हो गया।

1624 में, आई. केप्लर ने आनुपातिक लघुगणक की तालिकाएँ प्रस्तावित कीं, अर्थात्। संख्याओं के लघुगणक ए/एक्स, कहाँ ए– कुछ सकारात्मक स्थिरांक मान. इन तालिकाओं का उपयोग मुख्य रूप से खगोलविदों और नाविकों द्वारा किया जाता है।

आनुपातिक लघुगणक पर ए=1 कहलाते हैं लघुगणक द्वाराऔर गणना में उपयोग किया जाता है जब किसी को उत्पादों और भागफल से निपटना होता है। किसी संख्या का कोलोगैरिथ्म एन लघुगणक के बराबर पारस्परिक संख्या; वे। कोलॉग एन= लॉग1/ एन= – लॉग एन. यदि log2 = 0.3010, तो colog2 = - 0.3010 = 0.6990 - 1. कोलोगारिथ्म का उपयोग करने का लाभ यह है कि जैसे भावों के लघुगणक के मान की गणना करते समय पीक्यू/मॉड्यूल के माध्यम सेधनात्मक दशमलव का तिगुना योग लॉग करें पी+ लॉग क्यू+कोलॉग मॉड्यूल के माध्यम सेमिश्रित योग और अंतर लॉग की तुलना में इसे खोजना आसान है पी+ लॉग क्यू-लकड़ी का लट्ठा मॉड्यूल के माध्यम से.

कहानी।

लघुगणक की किसी भी प्रणाली के अंतर्निहित सिद्धांत को बहुत लंबे समय से जाना जाता है और इसका पता प्राचीन बेबीलोनियन गणित (लगभग 2000 ईसा पूर्व) में लगाया जा सकता है। उन दिनों, चक्रवृद्धि ब्याज की गणना के लिए पूर्णांकों की सकारात्मक पूर्णांक शक्तियों के तालिका मानों के बीच प्रक्षेप का उपयोग किया जाता था। बहुत बाद में, आर्किमिडीज़ (287-212 ईसा पूर्व) ने तत्कालीन ज्ञात ब्रह्मांड को पूरी तरह से भरने के लिए आवश्यक रेत के कणों की संख्या की ऊपरी सीमा खोजने के लिए 108 की शक्तियों का उपयोग किया। आर्किमिडीज़ ने घातांकों की उस संपत्ति की ओर ध्यान आकर्षित किया जो लघुगणक की प्रभावशीलता को रेखांकित करती है: शक्तियों का उत्पाद घातांकों के योग से मेल खाता है। मध्य युग के अंत और आधुनिक युग की शुरुआत में, गणितज्ञों ने तेजी से ज्यामितीय और अंकगणितीय प्रगति के बीच संबंधों की ओर रुख करना शुरू कर दिया। एम. स्टिफ़ेल ने अपने निबंध में पूर्णांक अंकगणित(1544) ने संख्या 2 की सकारात्मक और नकारात्मक शक्तियों की एक तालिका दी:

स्टिफ़ेल ने देखा कि पहली पंक्ति (घातांक पंक्ति) में दो संख्याओं का योग नीचे की पंक्ति (घातांक पंक्ति) में दो संगत संख्याओं के उत्पाद के बराबर है। इस तालिका के संबंध में, स्टिफ़ेल ने घातांक पर संचालन के लिए चार आधुनिक नियमों या लघुगणक पर संचालन के लिए चार नियमों के बराबर चार नियम तैयार किए: शीर्ष रेखा पर योग नीचे की रेखा पर उत्पाद से मेल खाता है; शीर्ष रेखा पर घटाव निचली रेखा पर विभाजन से मेल खाता है; शीर्ष रेखा पर गुणन नीचे की रेखा पर घातांक से मेल खाता है; शीर्ष रेखा पर विभाजन निचली रेखा पर रूटिंग से मेल खाता है।

जाहिरा तौर पर, स्टिफ़ेल के नियमों के समान नियमों ने जे. नेपर को औपचारिक रूप से अपने काम में लघुगणक की पहली प्रणाली पेश करने के लिए प्रेरित किया। लघुगणक की अद्भुत तालिका का विवरण, 1614 में प्रकाशित। लेकिन नेपियर के विचार तभी से उत्पादों को रकम में परिवर्तित करने की समस्या में व्यस्त थे, अपने काम के प्रकाशन से दस साल से अधिक पहले, नेपियर को डेनमार्क से खबर मिली कि टाइको ब्राहे वेधशाला में उनके सहायकों के पास एक विधि थी जो बनाई गई थी उत्पादों को रकम में परिवर्तित करना संभव है। नेपियर को प्राप्त संदेश में उल्लिखित विधि उपयोग पर आधारित थी त्रिकोणमितीय सूत्रप्रकार

इसलिए नेपर की तालिकाओं में मुख्य रूप से लघुगणक शामिल थे त्रिकोणमितीय कार्य. यद्यपि नेपियर द्वारा प्रस्तावित परिभाषा में आधार की अवधारणा को स्पष्ट रूप से शामिल नहीं किया गया था, उनके सिस्टम में लघुगणक प्रणाली के आधार के बराबर भूमिका संख्या (1 - 10 -7)ґ10 7 द्वारा निभाई गई थी, जो लगभग 1/ के बराबर थी। ई.

नेपर से स्वतंत्र रूप से और लगभग उसके साथ ही, जे. बर्गी द्वारा प्राग में लघुगणक की एक प्रणाली का आविष्कार और प्रकाशन किया गया था, जो 1620 में प्रकाशित हुआ था। अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति तालिकाएँ. ये आधार (1 + 10 -4) ґ10 4 के प्रति लघुगणक की तालिकाएँ थीं, जो संख्या का काफी अच्छा अनुमान था ई.

नेपर प्रणाली में, संख्या 10 7 का लघुगणक शून्य माना जाता था, और जैसे-जैसे संख्याएँ घटती गईं, लघुगणक बढ़ते गए। जब जी. ब्रिग्स (1561-1631) ने नेपियर का दौरा किया, तो दोनों इस बात पर सहमत हुए कि संख्या 10 को आधार के रूप में उपयोग करना और एक के लघुगणक को शून्य मानना ​​​​अधिक सुविधाजनक होगा। फिर, जैसे-जैसे संख्याएँ बढ़ती गईं, उनके लघुगणक भी बढ़ते गए। तो हमें मिल गया आधुनिक प्रणालीदशमलव लघुगणक, जिसकी एक तालिका ब्रिग्स ने अपने काम में प्रकाशित की लघुगणक अंकगणित(1620). आधार के लिए लघुगणक ई, हालांकि नेपर द्वारा पेश किए गए बिल्कुल सही नहीं हैं, फिर भी उन्हें अक्सर नेपर कहा जाता है। ब्रिग्स द्वारा "विशेषतावादी" और "मेंटिसा" शब्द प्रस्तावित किए गए थे।

बल में प्रथम लघुगणक ऐतिहासिक कारणसंख्याओं के लिए प्रयुक्त सन्निकटन 1/ ईऔर ई. कुछ समय बाद, प्राकृतिक लघुगणक का विचार हाइपरबोला के अंतर्गत क्षेत्रों के अध्ययन से जुड़ा होने लगा xy= 1 (चित्र 1)। 17वीं सदी में यह दिखाया गया कि इस वक्र, अक्ष से घिरा क्षेत्र एक्सऔर निर्देशांक एक्स= 1 और एक्स = ए(चित्र 1 में यह क्षेत्र मोटे और विरल बिंदुओं से ढका हुआ है) में वृद्धि होती है अंकगणितीय प्रगति, कब एतेजी से बढ़ता है. यह वह निर्भरता है जो घातांक और लघुगणक के साथ संचालन के नियमों में उत्पन्न होती है। इसने नेपेरियन लघुगणक को "अतिशयोक्तिपूर्ण लघुगणक" कहने को जन्म दिया।

लघुगणकीय कार्य.

एक समय था जब लघुगणक को केवल गणना के साधन के रूप में माना जाता था, लेकिन 18 वीं शताब्दी में, मुख्य रूप से यूलर के काम के लिए धन्यवाद, एक लघुगणक फ़ंक्शन की अवधारणा का गठन किया गया था। ऐसे फ़ंक्शन का ग्राफ़ य= लॉग एक्स, जिसके निर्देशांक अंकगणितीय प्रगति में बढ़ते हैं, जबकि भुज ज्यामितीय प्रगति में बढ़ते हैं, चित्र में प्रस्तुत किया गया है। 2, ए. व्युत्क्रम या घातांकीय फलन का ग्राफ़ वाई = ई एक्स, जिनके निर्देशांक ज्यामितीय प्रगति में बढ़ते हैं, और जिनके भुज अंकगणितीय प्रगति में बढ़ते हैं, क्रमशः चित्र में प्रस्तुत किए गए हैं। 2, बी. (वक्र य= लॉग एक्सऔर य = 10एक्सआकार में वक्र के समान य= लॉग एक्सऔर य = पूर्व.) लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की वैकल्पिक परिभाषाएँ भी प्रस्तावित की गई हैं, उदाहरण के लिए।

केपीआई; और, इसी प्रकार, संख्या -1 के प्राकृतिक लघुगणक हैं सम्मिश्र संख्याएँप्रकार (2 के + 1)अनुकरणीय, कहाँ के- पूर्णांक। समान कथन सामान्य लघुगणक या लघुगणक की अन्य प्रणालियों के लिए सत्य हैं। इसके अतिरिक्त, जटिल संख्याओं के जटिल लघुगणक को शामिल करने के लिए यूलर की पहचान का उपयोग करके लघुगणक की परिभाषा को सामान्यीकृत किया जा सकता है।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की एक वैकल्पिक परिभाषा कार्यात्मक विश्लेषण द्वारा प्रदान की जाती है। अगर एफ(एक्स) - एक वास्तविक संख्या का निरंतर कार्य एक्स, जिसमें निम्नलिखित तीन गुण हैं: एफ (1) = 0, एफ (बी) = 1, एफ (पराबैंगनी) = एफ (यू) + एफ (वी), वह एफ(एक्स) को संख्या के लघुगणक के रूप में परिभाषित किया गया है एक्सपर आधारित बी. इस लेख की शुरुआत में दी गई परिभाषा की तुलना में इस परिभाषा के कई फायदे हैं।

अनुप्रयोग।

लघुगणक का उपयोग मूल रूप से केवल गणनाओं को सरल बनाने के लिए किया गया था, और यह एप्लिकेशन अभी भी उनके सबसे महत्वपूर्ण में से एक है। उत्पादों, भागफलों, घातों और मूलों की गणना न केवल लघुगणक की प्रकाशित तालिकाओं की व्यापक उपलब्धता से, बल्कि तथाकथित के उपयोग से भी सुगम होती है। स्लाइड नियम - एक कम्प्यूटेशनल उपकरण जिसका संचालन सिद्धांत लघुगणक के गुणों पर आधारित है। रूलर लघुगणकीय पैमानों से सुसज्जित है, अर्थात्। नंबर 1 से किसी भी नंबर की दूरी एक्सलॉग के बराबर होने के लिए चुना गया एक्स; एक पैमाने को दूसरे के सापेक्ष स्थानांतरित करके, लघुगणक के योग या अंतर को आलेखित करना संभव है, जिससे सीधे पैमाने से संबंधित संख्याओं के उत्पादों या भागफल को पढ़ना संभव हो जाता है। आप संख्याओं को लघुगणकीय रूप में प्रस्तुत करने के लाभों का भी लाभ उठा सकते हैं। ग्राफ़ बनाने के लिए लॉगरिदमिक पेपर (दोनों समन्वय अक्षों पर लॉगरिदमिक स्केल मुद्रित होने वाला पेपर)। यदि कोई फ़ंक्शन प्रपत्र के शक्ति नियम को संतुष्ट करता है y = kxn, तो इसका लघुगणक ग्राफ एक सीधी रेखा जैसा दिखता है, क्योंकि लकड़ी का लट्ठा य= लॉग के + एनलकड़ी का लट्ठा एक्स- लॉग के संबंध में समीकरण रैखिक यऔर लॉग करें एक्स. इसके विपरीत, यदि किसी कार्यात्मक निर्भरता का लघुगणक ग्राफ एक सीधी रेखा जैसा दिखता है, तो यह निर्भरता एक शक्ति है। अर्ध-लघुगणकीय पेपर (जिसमें y-अक्ष में एक लघुगणकीय पैमाना होता है और भुज अक्ष में एक समान पैमाना होता है) उन मामलों में सुविधाजनक होता है जहां आपको पहचान करने की आवश्यकता होती है घातीय कार्य. प्रपत्र के समीकरण वाई = केबी आरएक्सयह तब होता है जब कोई मात्रा, जैसे जनसंख्या, रेडियोधर्मी सामग्री की मात्रा, या बैंक बैलेंस, उपलब्ध के अनुपातिक दर से घटती या बढ़ती है इस समयनिवासियों की संख्या, रेडियोधर्मी पदार्थया पैसा. यदि ऐसी निर्भरता अर्ध-लघुगणक कागज पर अंकित की जाती है, तो ग्राफ़ एक सीधी रेखा जैसा दिखेगा।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन विभिन्न प्रकार के प्राकृतिक रूपों के संबंध में उत्पन्न होता है। सूरजमुखी के पुष्पक्रम में फूल लघुगणक सर्पिल में व्यवस्थित होते हैं, मोलस्क के गोले मुड़े होते हैं नॉटिलस, सींग का पहाड़ी भेड़और तोते की चोंच. ये सभी प्राकृतिक आकृतियाँ एक लघुगणकीय सर्पिल के रूप में जाने जाने वाले वक्र के उदाहरण के रूप में काम कर सकती हैं, क्योंकि एक ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में, इसका समीकरण है आर = एई बीक्यू, या एल.एन मॉड्यूल के माध्यम से= लॉग ए + bq. इस तरह के वक्र को एक गतिमान बिंदु द्वारा वर्णित किया जाता है, जिसके ध्रुव से दूरी ज्यामितीय प्रगति में बढ़ती है, और इसके त्रिज्या वेक्टर द्वारा वर्णित कोण अंकगणितीय प्रगति में बढ़ता है। इस तरह के वक्र की सर्वव्यापकता, और इसलिए लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की, इस तथ्य से अच्छी तरह से चित्रित होती है कि यह एक विलक्षण कैमरे के समोच्च और प्रकाश की ओर उड़ने वाले कुछ कीड़ों के प्रक्षेपवक्र के रूप में इतने दूर और पूरी तरह से अलग क्षेत्रों में होता है।

किसी संख्या b से आधार a तक का लघुगणक वह घातांक है जिस पर संख्या b प्राप्त करने के लिए संख्या a को ऊपर उठाया जाना चाहिए।

यदि , तो

लघुगणक - चरम महत्वपूर्ण गणितीय मात्रा, चूंकि लॉगरिदमिक कैलकुलस न केवल हल करने की अनुमति देता है घातीय समीकरण, लेकिन संकेतकों के साथ भी काम करते हैं, घातीय और लघुगणकीय कार्यों को अलग करते हैं, उन्हें एकीकृत करते हैं और गणना के लिए अधिक स्वीकार्य रूप की ओर ले जाते हैं।

लघुगणक के सभी गुण सीधे गुणों से संबंधित होते हैं घातीय कार्य. उदाहरण के लिए, तथ्य यह है कि मतलब कि:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विशिष्ट समस्याओं को हल करते समय, लघुगणक के गुण शक्तियों के साथ काम करने के नियमों की तुलना में अधिक महत्वपूर्ण और उपयोगी हो सकते हैं।

आइए कुछ पहचान प्रस्तुत करें:

यहां बुनियादी बीजगणितीय अभिव्यक्तियां हैं:

;

.

ध्यान!केवल x>0, x≠1, y>0 के लिए मौजूद हो सकता है।

आइए इस प्रश्न को समझने का प्रयास करें कि प्राकृतिक लघुगणक क्या हैं। गणित में विशेष रुचि दो प्रकार का प्रतिनिधित्व करते हैं- पहले वाले के आधार पर संख्या "10" है, और इसे "कहा जाता है" दशमलव लघुगणक" दूसरे को प्राकृतिक कहा जाता है। प्राकृतिक लघुगणक का आधार संख्या "ई" है। इसी बारे में हम इस लेख में विस्तार से बात करेंगे।

पदनाम:

• एलजी एक्स - दशमलव;
• एलएन एक्स - प्राकृतिक।

पहचान का उपयोग करके, हम देख सकते हैं कि ln e = 1, साथ ही यह तथ्य भी कि lg 10=1।

प्राकृतिक लघुगणक ग्राफ

आइए बिंदु दर बिंदु मानक शास्त्रीय विधि का उपयोग करके प्राकृतिक लघुगणक का एक ग्राफ बनाएं। यदि आप चाहें तो फ़ंक्शन की जांच करके यह जांच सकते हैं कि हम फ़ंक्शन का निर्माण सही ढंग से कर रहे हैं या नहीं। हालाँकि, लघुगणक की सही गणना कैसे करें, यह जानने के लिए इसे "मैन्युअल रूप से" बनाना सीखना समझ में आता है।

फलन: y = ln x. आइए उन बिंदुओं की एक तालिका लिखें जिनसे होकर ग्राफ़ गुज़रेगा:

आइए हम बताएं कि हमने तर्क x के इन विशेष मानों को क्यों चुना। यह सब पहचान के बारे में है: . प्राकृतिक लघुगणक के लिए यह पहचान इस तरह दिखेगी:

सुविधा के लिए, हम पाँच संदर्भ बिंदु ले सकते हैं:

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;

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;

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इस प्रकार, प्राकृतिक लघुगणक की गणना करना एक काफी सरल कार्य है, इसके अलावा, यह शक्तियों के साथ संचालन की गणना को सरल बनाता है, उन्हें परिवर्तित करता है सामान्य गुणन.

बिंदु-दर-बिंदु ग्राफ़ बनाने पर, हमें एक अनुमानित ग्राफ़ मिलता है:

प्राकृतिक लघुगणक की परिभाषा का क्षेत्र (अर्थात् सभी वैध मानतर्क X) - सभी संख्याएँ शून्य से बड़ी हैं।

ध्यान!प्राकृतिक लघुगणक की परिभाषा के क्षेत्र में केवल शामिल हैं सकारात्मक संख्या! परिभाषा के दायरे में x=0 शामिल नहीं है। लघुगणक के अस्तित्व की शर्तों के आधार पर यह असंभव है।

मानों की श्रेणी (अर्थात् फ़ंक्शन y = ln x के सभी मान्य मान) अंतराल में सभी संख्याएँ हैं।

प्राकृतिक लॉग सीमा

ग्राफ़ का अध्ययन करने पर प्रश्न उठता है - फ़ंक्शन y पर कैसे व्यवहार करता है<0.

जाहिर है, फ़ंक्शन का ग्राफ़ y-अक्ष को पार करता है, लेकिन ऐसा करने में सक्षम नहीं होगा, क्योंकि x पर प्राकृतिक लघुगणक है<0 не существует.

प्राकृतिक की सीमा लकड़ी का लट्ठाइस प्रकार लिखा जा सकता है:

लघुगणक के आधार को बदलने का सूत्र

प्राकृतिक लघुगणक से निपटना मनमाना आधार वाले लघुगणक से निपटने की तुलना में बहुत आसान है। इसीलिए हम यह सीखने का प्रयास करेंगे कि किसी भी लघुगणक को प्राकृतिक लघुगणक में कैसे कम किया जाए, या प्राकृतिक लघुगणक के माध्यम से इसे एक मनमाना आधार पर कैसे व्यक्त किया जाए।

आइए लघुगणकीय पहचान से शुरू करें:

फिर किसी भी संख्या या चर y को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

जहाँ x कोई संख्या है (लघुगणक के गुणों के अनुसार धनात्मक)।

इस अभिव्यक्ति को दोनों तरफ लघुगणकीय रूप से लिया जा सकता है। आइए इसे एक मनमाना आधार z का उपयोग करके करें:

आइए संपत्ति का उपयोग करें (केवल "सी" के बजाय हमारे पास अभिव्यक्ति है):

यहाँ से हमें सार्वभौमिक सूत्र मिलता है:

.

विशेष रूप से, यदि z=e, तो:

.

हम दो प्राकृतिक लघुगणक के अनुपात के माध्यम से एक लघुगणक को एक मनमाने आधार पर प्रस्तुत करने में सक्षम थे।

हम समस्याओं का समाधान करते हैं

प्राकृतिक लघुगणक को बेहतर ढंग से समझने के लिए, आइए कई समस्याओं के उदाहरण देखें।

समस्या 1. समीकरण ln x = 3 को हल करना आवश्यक है।

समाधान:लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए: यदि , तो , हमें मिलता है:

समस्या 2. समीकरण (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3 को हल करें।

समाधान: लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए: यदि, तो, हम पाते हैं:

.

आइए फिर से लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करें:

.

इस प्रकार:

.

आप उत्तर की लगभग गणना कर सकते हैं, या आप इसे इस रूप में छोड़ सकते हैं।

कार्य 3.प्रश्न हल करें।

समाधान:आइए एक प्रतिस्थापन करें: t = ln x। तब समीकरण निम्नलिखित रूप लेगा:

.

हमारे पास एक द्विघात समीकरण है. आइए इसका विभेदक खोजें:

समीकरण का पहला मूल:

.

समीकरण का दूसरा मूल:

.

यह याद रखते हुए कि हमने प्रतिस्थापन t = ln x किया है, हमें मिलता है:

सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में, लघुगणकीय मात्राएँ बहुत बार पाई जाती हैं। यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि संख्या ई अक्सर घातीय मात्रा की वृद्धि दर को दर्शाती है।

कंप्यूटर विज्ञान, प्रोग्रामिंग और कंप्यूटर सिद्धांत में, लघुगणक अक्सर पाए जाते हैं, उदाहरण के लिए, एन बिट्स को मेमोरी में संग्रहीत करने के लिए।

फ्रैक्टल और आयामों के सिद्धांतों में, लघुगणक का लगातार उपयोग किया जाता है, क्योंकि फ्रैक्टल के आयाम केवल उनकी सहायता से निर्धारित किए जाते हैं।

यांत्रिकी और भौतिकी मेंऐसा कोई अनुभाग नहीं है जहाँ लघुगणक का उपयोग न किया गया हो। बैरोमेट्रिक वितरण, सांख्यिकीय थर्मोडायनामिक्स के सभी सिद्धांत, त्सोल्कोवस्की समीकरण, आदि ऐसी प्रक्रियाएं हैं जिन्हें केवल लघुगणक का उपयोग करके गणितीय रूप से वर्णित किया जा सकता है।

रसायन विज्ञान में, लघुगणक का उपयोग नर्नस्ट समीकरणों और रेडॉक्स प्रक्रियाओं के विवरण में किया जाता है।

आश्चर्यजनक रूप से, संगीत में भी, एक सप्तक के भागों की संख्या जानने के लिए, लघुगणक का उपयोग किया जाता है।

प्राकृतिक लघुगणक फलन y=ln x इसके गुण

प्राकृतिक लघुगणक की मुख्य संपत्ति का प्रमाण