प्राकृतिक लघुगणक से संख्या कैसे प्राप्त करें। लोगारित्म

उदाहरण के लिए, यह प्रोग्रामों के मूल सेट से एक कैलकुलेटर हो सकता है ऑपरेटिंग सिस्टमखिड़कियाँ। इसे लॉन्च करने का लिंक ओएस के मुख्य मेनू में छिपा हुआ है - इसे "स्टार्ट" बटन पर क्लिक करके खोलें, फिर इसका "प्रोग्राम" अनुभाग खोलें, "मानक" उपधारा पर जाएं, और फिर "यूटिलिटीज" पर जाएं। अनुभाग और अंत में, "कैलकुलेटर" आइटम पर क्लिक करें। माउस का उपयोग करने और मेनू के माध्यम से नेविगेट करने के बजाय, आप कीबोर्ड और प्रोग्राम लॉन्च डायलॉग का उपयोग कर सकते हैं - विन + आर कुंजी संयोजन दबाएं, कैल्क टाइप करें (यह कैलकुलेटर निष्पादन योग्य फ़ाइल का नाम है) और एंटर दबाएं।

कैलकुलेटर इंटरफ़ेस को उन्नत मोड पर स्विच करें, जो आपको यह करने की अनुमति देता है... डिफ़ॉल्ट रूप से यह "सामान्य" दृश्य में खुलता है, लेकिन आपको "इंजीनियरिंग" या " " (आपके द्वारा उपयोग किए जा रहे ओएस के संस्करण के आधार पर) की आवश्यकता है। मेनू में "देखें" अनुभाग का विस्तार करें और उचित पंक्ति का चयन करें।

वह तर्क दर्ज करें जिसका प्राकृतिक मूल्य आप मूल्यांकन करना चाहते हैं। यह या तो कीबोर्ड से या स्क्रीन पर कैलकुलेटर इंटरफ़ेस में संबंधित बटन पर क्लिक करके किया जा सकता है।

एलएन लेबल वाले बटन पर क्लिक करें - प्रोग्राम आधार ई पर लघुगणक की गणना करेगा और परिणाम दिखाएगा।

मूल्य की वैकल्पिक गणना के रूप में -कैलकुलेटर में से किसी एक का उपयोग करें प्राकृतिक. उदाहरण के लिए, जो स्थित है http://calc.org.ua. इसका इंटरफ़ेस बेहद सरल है - एक एकल इनपुट फ़ील्ड है जहां आपको संख्या का मान टाइप करना होगा, जिसका लघुगणक आपको गणना करना होगा। बटनों में से, जो एलएन कहता है उसे ढूंढें और क्लिक करें। इस कैलकुलेटर की स्क्रिप्ट के लिए सर्वर पर डेटा भेजने और प्रतिक्रिया की आवश्यकता नहीं होती है, इसलिए आपको गणना परिणाम लगभग तुरंत प्राप्त होगा। एकमात्र विशेषता, जिसे ध्यान में रखा जाना चाहिए - भिन्नात्मक और के बीच विभाजक संपूर्ण भागयहां दर्ज किए गए नंबर में एक बिंदु होना चाहिए, न कि .

शब्द " लोगारित्म"दो ग्रीक शब्दों से बना है, एक का अर्थ है "संख्या" और दूसरे का अर्थ है "अनुपात"। यह एक परिवर्तनीय मात्रा (घातांक) की गणना करने के गणितीय संचालन को दर्शाता है, जिसमें चिह्न के नीचे दर्शाई गई संख्या प्राप्त करने के लिए एक स्थिर मान (आधार) बढ़ाया जाना चाहिए। लोगारित्मएक। यदि आधार गणितीय स्थिरांक के बराबर है जिसे संख्या "ई" कहा जाता है, तो लोगारित्म"प्राकृतिक" कहा जाता है।

आपको चाहिये होगा

• इंटरनेट एक्सेस, माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस एक्सेल या कैलकुलेटर।

निर्देश

इंटरनेट पर उपलब्ध कई कैलकुलेटर का उपयोग करें - यह शायद प्राकृतिक गणना करने का एक आसान तरीका है। आपको उपयुक्त सेवा की खोज करने की ज़रूरत नहीं है, क्योंकि कई खोज इंजनऔर उनके पास अंतर्निर्मित कैलकुलेटर हैं, जो काम करने के लिए काफी उपयुक्त हैं लोगारित्मअमी. उदाहरण के लिए, सबसे बड़े ऑनलाइन खोज इंजन - Google के मुख्य पृष्ठ पर जाएँ। मान दर्ज करने या फ़ंक्शंस का चयन करने के लिए यहां किसी बटन की आवश्यकता नहीं है, बस क्वेरी इनपुट फ़ील्ड में वांछित गणितीय क्रिया दर्ज करें। मान लीजिए, गणना करने के लिए लोगारित्मऔर आधार "ई" में संख्या 457, एलएन 457 दर्ज करें - यह Google के लिए सर्वर पर अनुरोध भेजने के लिए बटन दबाए बिना भी आठ दशमलव स्थानों (6.12468339) की सटीकता के साथ प्रदर्शित करने के लिए पर्याप्त होगा।

यदि आपको प्राकृतिक के मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है तो उपयुक्त अंतर्निहित फ़ंक्शन का उपयोग करें लोगारित्मऔर लोकप्रिय स्प्रेडशीट संपादक माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस एक्सेल में डेटा के साथ काम करते समय होता है। इस फ़ंक्शन को सामान्य नोटेशन का उपयोग करके यहां कॉल किया जाता है लोगारित्मऔर अपरकेस में - एल.एन. उस सेल का चयन करें जिसमें गणना परिणाम प्रदर्शित किया जाना चाहिए और एक समान चिह्न दर्ज करें - इस प्रकार इस स्प्रेडशीट संपादक में मुख्य मेनू के "सभी प्रोग्राम" अनुभाग के "मानक" उपधारा में शामिल कोशिकाओं में रिकॉर्ड शुरू होने चाहिए। Alt + 2 दबाकर कैलकुलेटर को अधिक कार्यात्मक मोड में स्विच करें। फिर प्राकृतिक मान दर्ज करें लोगारित्मजिसे आप गणना करना चाहते हैं, और प्रोग्राम इंटरफ़ेस में प्रतीकों एलएन द्वारा इंगित बटन पर क्लिक करें। एप्लिकेशन गणना करेगा और परिणाम प्रदर्शित करेगा।

विषय पर वीडियो

बिल्कुल भी बुरा नहीं है, है ना? जबकि गणितज्ञ आपको एक लंबी, भ्रमित करने वाली परिभाषा देने के लिए शब्दों की खोज करते हैं, आइए इस सरल और स्पष्ट परिभाषा पर करीब से नज़र डालें।

संख्या ई का अर्थ है वृद्धि

संख्या ई का अर्थ है निरंतर वृद्धि। जैसा कि हमने पिछले उदाहरण में देखा, ईएक्स हमें ब्याज और समय को जोड़ने की अनुमति देता है: "चक्रवृद्धि ब्याज" मानते हुए, 100% वृद्धि पर 3 वर्ष 300% पर 1 वर्ष के समान है।

आप किसी भी प्रतिशत और समय मान (4 वर्षों के लिए 50%) को प्रतिस्थापित कर सकते हैं, लेकिन सुविधा के लिए प्रतिशत को 100% के रूप में सेट करना बेहतर है (यह 2 वर्षों के लिए 100% हो जाता है)। 100% पर जाकर, हम केवल समय घटक पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं:

ई एक्स = ई प्रतिशत * समय = ई 1.0 * समय = ई समय

जाहिर है ई एक्स का मतलब है:

• समय की x इकाइयों के बाद मेरा योगदान कितना बढ़ेगा (100% निरंतर वृद्धि मानकर)।
• उदाहरण के लिए, 3 समय अंतराल के बाद मुझे ई 3 = 20.08 गुना अधिक "चीज़ें" प्राप्त होंगी।

ई एक्स एक स्केलिंग कारक है जो दर्शाता है कि हम एक्स समय में किस स्तर तक बढ़ेंगे।

प्राकृतिक लघुगणक का अर्थ है समय

प्राकृतिक लघुगणक ई का व्युत्क्रम है, जो विपरीत के लिए एक फैंसी शब्द है। विचित्रताओं की बात हो रही है; लैटिन में इसे लॉगरिदमस नेचुरली कहा जाता है, इसलिए इसका संक्षिप्त नाम ln है।

और इस व्युत्क्रम या विपरीत का क्या अर्थ है?

• ई एक्स हमें समय को प्रतिस्थापित करने और विकास प्राप्त करने की अनुमति देता है।
• ln(x) हमें विकास या आय लेने और इसे उत्पन्न करने में लगने वाले समय का पता लगाने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए:

• ई 3 20.08 के बराबर है। तीन अवधियों के बाद, हमारे पास जितना हमने शुरू किया था उससे 20.08 गुना अधिक होगा।
• एलएन(08/20) लगभग 3 होगा। यदि आप 20.08 गुना की वृद्धि में रुचि रखते हैं, तो आपको 3 समय अवधि की आवश्यकता होगी (फिर से, 100% निरंतर वृद्धि मानते हुए)।

अभी भी पढ़ रहे हैं? प्राकृतिक लघुगणक वांछित स्तर तक पहुँचने के लिए आवश्यक समय दिखाता है।

यह अमानक लघुगणक गणना

क्या आप लघुगणक से गुज़रे हैं? अजीब जीव. उन्होंने गुणन को जोड़ में बदलने का प्रबंधन कैसे किया? विभाजन को घटाव में बदलने के बारे में क्या? चलो देखते हैं।

ln(1) किसके बराबर है? सहज रूप से, सवाल यह है: मेरे पास जो है उससे 1 गुना अधिक पाने के लिए मुझे कितनी देर तक इंतजार करना चाहिए?

शून्य। शून्य। बिल्कुल नहीं। आपके पास यह पहले से ही एक बार है. लेवल 1 से लेवल 1 तक जाने में ज्यादा समय नहीं लगता है.

• एलएन(1) = 0

ठीक है, भिन्नात्मक मान के बारे में क्या? हमारे पास उपलब्ध मात्रा का 1/2 भाग शेष रहने में कितना समय लगेगा? हम जानते हैं कि 100% निरंतर वृद्धि के साथ, ln(2) का मतलब दोगुना होने में लगने वाला समय है। हम अगर आइए समय को पीछे घुमाएँ(यानी, नकारात्मक समय तक प्रतीक्षा करें), फिर हमारे पास जो है उसका आधा हिस्सा हमें मिलेगा।

• एलएन(1/2) = -एलएन(2) = -0.693

तार्किक, सही? यदि हम (समय पीछे) 0.693 सेकंड पर जाएं, तो हमें आधी मात्रा उपलब्ध मिलेगी। सामान्य तौर पर, आप भिन्न को पलट कर ले सकते हैं नकारात्मक मूल्य: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. इसका मतलब यह है कि यदि हम समय में 1.09 गुना पीछे जाएं, तो हमें वर्तमान संख्या का केवल एक तिहाई ही मिलेगा।

ठीक है, ऋणात्मक संख्या के लघुगणक के बारे में क्या? 1 से -3 तक बैक्टीरिया की एक कॉलोनी को "विकसित" होने में कितना समय लगता है?

ऐसा हो ही नहीं सकता! आप नकारात्मक जीवाणु गणना प्राप्त नहीं कर सकते, क्या आप कर सकते हैं? आप अधिकतम (एर...न्यूनतम) शून्य प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन ऐसा कोई तरीका नहीं है जिससे आप इन छोटे क्रिटर्स से ऋणात्मक संख्या प्राप्त कर सकें। में ऋणात्मक संख्याबैक्टीरिया का कोई मतलब नहीं है।

• ln(ऋणात्मक संख्या) = अपरिभाषित

"अपरिभाषित" का अर्थ है कि नकारात्मक मान प्राप्त करने के लिए इतना समय नहीं लगाना पड़ेगा।

लघुगणकीय गुणन अत्यंत हास्यास्पद है

चार गुना बढ़ने में कितना समय लगेगा? निःसंदेह, आप केवल ln(4) ले सकते हैं। लेकिन यह बहुत आसान है, हम दूसरे रास्ते पर जायेंगे।

आप चौगुनी वृद्धि को दोगुना करने (ln(2) इकाइयों के समय की आवश्यकता) और फिर से दोगुना करने (समय की अन्य ln(2) इकाइयों की आवश्यकता) के रूप में सोच सकते हैं:

• 4 गुना बढ़ने का समय = ln(4) = दोगुना होने और फिर दोगुना होने का समय = ln(2) + ln(2)

दिलचस्प। किसी भी विकास दर, मान लीजिए 20, को 10 गुना वृद्धि के ठीक बाद दोगुना माना जा सकता है। या 4 गुना वृद्धि, और फिर 5 गुना। या तिगुना और फिर 6.666 गुना बढ़ जाना। पैटर्न देखें?

• एलएन(ए*बी) = एलएन(ए) + एलएन(बी)

A गुना B का लघुगणक log(A) + log(B) है। विकास के संदर्भ में देखने पर यह रिश्ता तुरंत समझ में आता है।

यदि आप 30x वृद्धि में रुचि रखते हैं, तो आप एक बैठक में ln(30) प्रतीक्षा कर सकते हैं, या तीन गुना के लिए ln(3) प्रतीक्षा कर सकते हैं, और फिर 10x के लिए दूसरी ln(10) प्रतीक्षा कर सकते हैं। अंतिम परिणाम वही है, इसलिए निश्चित रूप से समय स्थिर रहना चाहिए (और ऐसा होता है)।

विभाजन के बारे में क्या? विशेष रूप से, ln(5/3) का अर्थ है: 5 गुना बढ़ने और फिर उसका 1/3 प्राप्त करने में कितना समय लगेगा?

बढ़िया, 5 गुना वृद्धि ln(5) है। 1/3 गुना वृद्धि में -ln(3) इकाई समय लगेगा। इसलिए,

• एलएन(5/3) = एलएन(5) - एलएन(3)

इसका मतलब है: इसे 5 गुना बढ़ने दें, और फिर "समय में पीछे जाएं" उस बिंदु पर जहां उस राशि का केवल एक तिहाई ही बचता है, इसलिए आपको 5/3 वृद्धि मिलती है। सामान्य तौर पर यह पता चला है

• एलएन(ए/बी) = एलएन(ए) - एलएन(बी)

मुझे आशा है कि लघुगणक का अजीब अंकगणित आपको समझ में आने लगा है: विकास दर को गुणा करना विकास समय इकाइयों को जोड़ना बन जाता है, और विभाजित करना समय इकाइयों को घटाना बन जाता है। नियमों को याद रखने की जरूरत नहीं है, उन्हें समझने की कोशिश करें।

मनमानी वृद्धि के लिए प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग करना

ठीक है, बिल्कुल," आप कहते हैं, "अगर विकास 100% है तो यह सब अच्छा है, लेकिन मुझे जो 5% मिलता है उसका क्या होगा?"

कोई बात नहीं। जिस "समय" की गणना हम ln() से करते हैं वह वास्तव में ब्याज दर और समय का एक संयोजन है, जो कि e x समीकरण से समान X है। हमने सरलता के लिए प्रतिशत को 100% पर सेट करने का निर्णय लिया है, लेकिन हम किसी भी संख्या का उपयोग करने के लिए स्वतंत्र हैं।

मान लीजिए कि हम 30 गुना वृद्धि हासिल करना चाहते हैं: ln(30) लें और 3.4 प्राप्त करें इसका मतलब है:

• ई एक्स = ऊंचाई
• ई 3.4 = 30

जाहिर है, इस समीकरण का अर्थ है "3.4 वर्षों में 100% रिटर्न 30 गुना वृद्धि देता है।" हम इस समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:

• ई एक्स = ई दर*समय
• ई 100% * 3.4 वर्ष = 30

हम "शर्त" और "समय" के मूल्यों को बदल सकते हैं, जब तक कि शर्त * का समय 3.4 रहता है। उदाहरण के लिए, यदि हम 30 गुना वृद्धि में रुचि रखते हैं, तो हमें 5% की ब्याज दर पर कब तक इंतजार करना होगा?

• एलएन(30) = 3.4
• दर * समय = 3.4
• 0.05 * समय = 3.4
• समय = 3.4 / 0.05 = 68 वर्ष

मेरा तर्क इस प्रकार है: "एलएन(30) = 3.4, इसलिए 100% वृद्धि पर 3.4 वर्ष लगेंगे। यदि मैं विकास दर को दोगुना कर दूं, तो आवश्यक समय आधा हो जाएगा।"

• 3.4 वर्षों के लिए 100% = 1.0 * 3.4 = 3.4
• 1.7 वर्ष में 200% = 2.0 * 1.7 = 3.4
• 6.8 वर्षों के लिए 50% = 0.5 * 6.8 = 3.4
• 68 वर्ष से अधिक 5% = .05 * 68 = 3.4.

बहुत बढ़िया, है ना? प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग किसी भी ब्याज दर और समय के साथ किया जा सकता है क्योंकि उनका उत्पाद स्थिर रहता है। आप वैरिएबल मानों को जितना चाहें उतना स्थानांतरित कर सकते हैं।

बढ़िया उदाहरण: बहत्तर का नियम

बहत्तर-दो का नियम एक गणितीय तकनीक है जो आपको यह अनुमान लगाने की अनुमति देती है कि आपका पैसा दोगुना होने में कितना समय लगेगा। अब हम इसका निष्कर्ष निकालेंगे (हाँ!), और इसके अलावा, हम इसके सार को समझने की कोशिश करेंगे।

100% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर आपका पैसा दोगुना होने में कितना समय लगेगा?

उफ़. हमने निरंतर वृद्धि के मामले के लिए प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग किया, और अब आप वार्षिक चक्रवृद्धि के बारे में बात कर रहे हैं? क्या यह फार्मूला ऐसे मामले के लिए अनुपयुक्त नहीं हो जाएगा? हां, यह होगा, लेकिन 5%, 6% या यहां तक ​​कि 15% जैसी वास्तविक ब्याज दरों के लिए, वार्षिक चक्रवृद्धि और निरंतर वृद्धि के बीच का अंतर छोटा होगा। तो मोटा अनुमान काम करता है, उम, मोटे तौर पर, इसलिए हम दिखावा करेंगे कि हमारे पास पूरी तरह से निरंतर संचय है।

अब प्रश्न सरल है: आप 100% वृद्धि के साथ कितनी जल्दी दोगुना हो सकते हैं? एलएन(2) = 0.693. 100% की निरंतर वृद्धि के साथ हमारी राशि को दोगुना करने में 0.693 यूनिट समय (हमारे मामले में वर्ष) लगता है।

तो, क्या होगा यदि ब्याज दर 100% नहीं है, बल्कि 5% या 10% है?

आसानी से! चूंकि शर्त * समय = 0.693, हम राशि दोगुनी कर देंगे:

• दर * समय = 0.693
• समय = 0.693/शर्त

इससे पता चलता है कि यदि वृद्धि 10% है, तो इसे दोगुना होने में 0.693 / 0.10 = 6.93 वर्ष लगेंगे।

गणना को सरल बनाने के लिए, आइए दोनों पक्षों को 100 से गुणा करें, फिर हम "0.10" के बजाय "10" कह सकते हैं:

• दोगुना होने का समय = 69.3/शर्त, जहां शर्त को प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है।

अब 5% की दर से दोगुना होने का समय है, 69.3/5 = 13.86 वर्ष। हालाँकि, 69.3 सबसे सुविधाजनक लाभांश नहीं है। आइए एक करीबी संख्या 72 चुनें, जिसे 2, 3, 4, 6, 8 और अन्य संख्याओं से विभाजित करना सुविधाजनक है।

• दोगुना करने का समय = 72/शर्त

जो बहत्तर का नियम है. सब कुछ ढका हुआ है.

यदि आपको तिगुना होने का समय ज्ञात करने की आवश्यकता है, तो आप ln(3) ~109.8 का उपयोग कर सकते हैं और प्राप्त कर सकते हैं

• तिगुना करने का समय = 110/शर्त

दूसरा क्या है उपयोगी नियम. "72 का नियम" ऊंचाई पर लागू होता है ब्याज दरें, जनसंख्या वृद्धि, जीवाणु संस्कृतियाँ, और वह सब कुछ जो तेजी से बढ़ता है।

आगे क्या होगा?

मुझे आशा है कि प्राकृतिक लघुगणक अब आपको समझ में आ गया है - यह किसी भी संख्या को तेजी से बढ़ने में लगने वाले समय को दर्शाता है। मुझे लगता है कि इसे प्राकृतिक कहा जाता है क्योंकि यह विकास का एक सार्वभौमिक उपाय है, इसलिए इस पर विचार किया जा सकता है सार्वभौमिक तरीके सेयह निर्धारित करना कि इसे बढ़ने में कितना समय लगेगा।

हर बार जब आप ln(x) देखें, तो याद रखें "इसे X गुना बढ़ने में लगने वाला समय"। आगामी लेख में मैं ई और एलएन का एक साथ वर्णन करूंगा ताकि गणित की ताज़ा खुशबू हवा में भर जाए।

परिशिष्ट: ई का प्राकृतिक लघुगणक

त्वरित प्रश्नोत्तरी: एलएन(ई) क्या है?

• एक गणित रोबोट कहेगा: चूँकि उन्हें एक दूसरे के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया गया है, यह स्पष्ट है कि ln(e) = 1।
• समझने वाला व्यक्ति: ln(e) वह संख्या है जो "e" गुना (लगभग 2.718) बढ़ने में लगती है। हालाँकि, संख्या e स्वयं 1 के कारक द्वारा वृद्धि का माप है, इसलिए ln(e) = 1।

स्पष्टता से सोचो.

9 सितंबर 2013

1.1. पूर्णांक घातांक के लिए घातांक का निर्धारण

एक्स 1 = एक्स
एक्स 2 = एक्स * एक्स
एक्स 3 = एक्स * एक्स * एक्स
…
एक्स एन = एक्स * एक्स * … * एक्स - एन बार

1.2. शून्य डिग्री.

परिभाषा के अनुसार, यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि किसी भी संख्या की शून्य घात 1 है:

1.3. नकारात्मक डिग्री.

एक्स-एन = 1/एक्स एन

1.4. आंशिक शक्ति, जड़.

एक्स 1/एन = एक्स का एन मूल।

उदाहरण के लिए: X 1/2 = √X.

1.5. शक्तियाँ जोड़ने का सूत्र.

एक्स (एन+एम) = एक्स एन *एक्स एम

1.6.घात घटाने का सूत्र.

एक्स (एन-एम) = एक्स एन /एक्स एम

1.7. शक्तियों को बढ़ाने का सूत्र.

एक्स एन*एम = (एक्स एन) एम

1.8. किसी भिन्न को घात तक बढ़ाने का सूत्र.

(एक्स/वाई) एन = एक्स एन/वाई एन

2. संख्या ई.

संख्या e का मान निम्नलिखित सीमा के बराबर है:

ई = लिम(1+1/एन), क्योंकि एन → ∞।

17 अंकों की सटीकता के साथ, संख्या ई 2.71828182845904512 है।

3. यूलर की समानता.

यह समानता पाँच संख्याओं को जोड़ती है जो गणित में विशेष भूमिका निभाती हैं: 0, 1, ई, पाई, काल्पनिक इकाई।

ई (आई*पीआई) + 1 = 0

4. घातीय फलन exp(x)

क्स्प(एक्स) = ई एक्स

5. घातांकीय फलन का व्युत्पन्न

घातांकीय फलन में एक उल्लेखनीय गुण होता है: फलन का व्युत्पन्न घातांकीय फलन के ही बराबर होता है:

(एक्सप(एक्स))" = एक्सप(एक्स)

6. लघुगणक.

6.1. लघुगणक फलन की परिभाषा

यदि x = b y, तो लघुगणक फलन है

Y = लॉग b(x).

लघुगणक दर्शाता है कि एक संख्या - लघुगणक (बी) का आधार - को किसी दी गई संख्या (एक्स) प्राप्त करने के लिए किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए। लघुगणक फ़ंक्शन को शून्य से अधिक X के लिए परिभाषित किया गया है।

उदाहरण के लिए: लॉग 10 (100) = 2।

6.2. दशमलव लघुगणक

यह आधार 10 का लघुगणक है:

Y = लॉग 10 (x) .

लॉग (x) द्वारा निरूपित: लॉग (x) = लॉग 10 (x)।

उपयोग उदाहरण दशमलव लघुगणक- डेसीबल.

6.3. डेसिबल

आइटम को एक अलग पेज डेसीबल पर हाइलाइट किया गया है

6.4. बाइनरी लघुगणक

यह आधार 2 लघुगणक है:

वाई = लॉग 2 (एक्स)।

Lg(x) द्वारा निरूपित: Lg(x) = लॉग 2 (X)

6.5. प्राकृतिक

यह आधार e का लघुगणक है:

वाई = लॉग ई (एक्स) .

Ln(x) द्वारा निरूपित: Ln(x) = Log e (X)
प्राकृतिक लघुगणक घातीय फलन exp(X) का व्युत्क्रम फलन है।

6.6. विशेषता बिंदु

लोगा(1) = 0
लॉग ए (ए) = 1

6.7. उत्पाद लघुगणक सूत्र

लॉग ए (x*y) = लॉग ए (x)+लॉग ए (y)

6.8. भागफल के लघुगणक का सूत्र

लॉग ए (एक्स/वाई) = लॉग ए (एक्स)-लॉग ए (वाई)

6.9. शक्ति सूत्र का लघुगणक

लॉग ए (x y) = y*लॉग ए (x)

6.10. भिन्न आधार वाले लघुगणक में परिवर्तित करने का सूत्र

लॉग बी (एक्स) = (लॉग ए (एक्स))/लॉग ए (बी)

उदाहरण:

लॉग 2 (8) = लॉग 10 (8)/लॉग 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. जीवन में उपयोगी सूत्र

अक्सर आयतन को क्षेत्रफल या लंबाई में बदलने की समस्या होती है और उलटी समस्या होती है - क्षेत्रफल को आयतन में बदलने की। उदाहरण के लिए, बोर्ड क्यूब्स (घन मीटर) में बेचे जाते हैं, और हमें यह गणना करने की आवश्यकता है कि एक निश्चित मात्रा में निहित बोर्डों के साथ दीवार का कितना क्षेत्र कवर किया जा सकता है, बोर्डों की गणना देखें, एक क्यूब में कितने बोर्ड हैं। या, यदि दीवार के आयाम ज्ञात हैं, तो आपको ईंटों की संख्या की गणना करने की आवश्यकता है, ईंट गणना देखें।

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प्राकृतिक

प्राकृतिक लघुगणक फ़ंक्शन का ग्राफ़. जैसे-जैसे यह बढ़ता है, फ़ंक्शन धीरे-धीरे सकारात्मक अनंत तक पहुंचता है एक्सऔर जब तेजी से नकारात्मक अनंत तक पहुंचता है एक्सकिसी की तुलना में 0 ("धीमा" और "तेज") हो जाता है शक्ति समारोहसे एक्स).

प्राकृतिकआधार का लघुगणक है , कहाँ ई- लगभग 2.718281 828 के बराबर एक अपरिमेय स्थिरांक। प्राकृतिक लघुगणक आमतौर पर ln( के रूप में लिखा जाता है एक्स), लकड़ी का लट्ठा ई (एक्स) या कभी-कभी बस लॉग करें( एक्स), यदि आधार ईनिहित.

किसी संख्या का प्राकृतिक लघुगणक एक्स(के रूप में लिखा गया है एलएन(एक्स)) वह प्रतिपादक है जिसकी संख्या बढ़ाई जानी चाहिए ईपाने के एक्स. उदाहरण के लिए, एलएन(7,389...) 2 के बराबर है क्योंकि ई 2 =7,389... . संख्या का प्राकृतिक लघुगणक ही ई (एलएन(ई)) 1 के बराबर है क्योंकि ई 1 = ई, और प्राकृतिक लघुगणक 1 है ( एलएन(1)) 0 के बराबर है क्योंकि ई 0 = 1.

प्राकृतिक लघुगणक को किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित किया जा सकता है एवक्र के नीचे के क्षेत्र के रूप में य = 1/एक्स 1 से ए. इस परिभाषा की सरलता, जो प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग करने वाले कई अन्य सूत्रों के अनुरूप है, के कारण इसका नाम "प्राकृतिक" पड़ा। इस परिभाषा को जटिल संख्याओं तक बढ़ाया जा सकता है, जैसा कि नीचे चर्चा की गई है।

यदि हम प्राकृतिक लघुगणक को वास्तविक चर का वास्तविक फलन मानते हैं, तो यह घातीय फलन का व्युत्क्रम फलन है, जो सर्वसमिकाओं की ओर ले जाता है:

सभी लघुगणक की तरह, प्राकृतिक लघुगणक गुणन को जोड़ से जोड़ता है:

इस प्रकार, लॉगरिदमिक फ़ंक्शन जोड़ के संबंध में वास्तविक संख्याओं के समूह द्वारा गुणन के संबंध में सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के समूह का एक समरूपता है, जिसे एक फ़ंक्शन के रूप में दर्शाया जा सकता है:

लघुगणक को केवल 1 के अलावा किसी भी सकारात्मक आधार के लिए परिभाषित किया जा सकता है ई, लेकिन अन्य आधारों के लिए लघुगणक प्राकृतिक लघुगणक से केवल एक स्थिर कारक द्वारा भिन्न होते हैं, और आमतौर पर प्राकृतिक लघुगणक के संदर्भ में परिभाषित होते हैं। लघुगणक उन समीकरणों को हल करने के लिए उपयोगी होते हैं जिनमें घातांक के रूप में अज्ञात शामिल होते हैं। उदाहरण के लिए, लघुगणक का उपयोग ज्ञात आधे जीवन के लिए क्षय स्थिरांक को खोजने के लिए, या रेडियोधर्मिता समस्याओं को हल करने में क्षय समय को खोजने के लिए किया जाता है। वे गणित और व्यावहारिक विज्ञान के कई क्षेत्रों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, और चक्रवृद्धि ब्याज खोजने सहित कई समस्याओं को हल करने के लिए वित्त में उपयोग किया जाता है।

कहानी

प्राकृतिक लघुगणक का पहला उल्लेख निकोलस मर्केटर ने अपने काम में किया था लॉगरिथमोटेक्निया, 1668 में प्रकाशित, हालांकि गणित शिक्षक जॉन स्पिडेल ने 1619 में प्राकृतिक लघुगणक की एक तालिका संकलित की थी। इसे पहले अतिपरवलयिक लघुगणक कहा जाता था क्योंकि यह अतिपरवलय के अंतर्गत क्षेत्र से मेल खाता है। इसे कभी-कभी नेपियर लघुगणक भी कहा जाता है, हालाँकि इस शब्द का मूल अर्थ कुछ अलग था।

पदनाम परंपराएँ

प्राकृतिक लघुगणक को आमतौर पर "ln( एक्स)", आधार 10 का लघुगणक - "एलजी() के माध्यम से एक्स)", और अन्य कारणों को आमतौर पर "लॉग" प्रतीक के साथ स्पष्ट रूप से दर्शाया जाता है।

असतत गणित, साइबरनेटिक्स और कंप्यूटर विज्ञान पर कई कार्यों में, लेखक "लॉग( एक्स)" आधार 2 के लघुगणक के लिए, लेकिन यह सम्मेलन आम तौर पर स्वीकार नहीं किया जाता है और पहली बार उपयोग किए जाने पर फ़ुटनोट या टिप्पणी द्वारा उपयोग किए गए नोटेशन की सूची में या (ऐसी सूची के अभाव में) स्पष्टीकरण की आवश्यकता होती है।

लघुगणक के तर्क के चारों ओर कोष्ठक (यदि इससे सूत्र की गलत रीडिंग नहीं होती है) आमतौर पर छोड़ दिए जाते हैं, और जब लघुगणक को एक शक्ति तक बढ़ाया जाता है, तो घातांक को सीधे लघुगणक के चिह्न पर निर्दिष्ट किया जाता है: ln 2 ln 3 4 एक्स 5 = [ एल.एन ( 3 )] 2 .

एंग्लो-अमेरिकन प्रणाली

गणितज्ञ, सांख्यिकीविद् और कुछ इंजीनियर आमतौर पर प्राकृतिक लघुगणक या "लॉग" का उपयोग करते हैं एक्स)" या "एलएन( एक्स)", और आधार 10 लघुगणक को दर्शाने के लिए - "लॉग 10 ( एक्स)».

कुछ इंजीनियर, जीवविज्ञानी और अन्य विशेषज्ञ हमेशा "एलएन( एक्स)" (या कभी-कभी "लॉग ई ( एक्स)") जब उनका मतलब प्राकृतिक लघुगणक, और अंकन "लॉग( एक्स)" उनका मतलब है लॉग 10 ( एक्स).

लकड़ी का लट्ठा ईएक "प्राकृतिक" लघुगणक है क्योंकि यह स्वचालित रूप से घटित होता है और गणित में बहुत बार दिखाई देता है। उदाहरण के लिए, एक लघुगणकीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की समस्या पर विचार करें:

यदि आधार बीके बराबर होती है ई, तो व्युत्पन्न केवल 1/ है एक्स, और जब एक्स= 1 यह व्युत्पन्न 1 के बराबर है। दूसरा कारण यह है कि आधार ईलघुगणक के बारे में सबसे स्वाभाविक बात यह है कि इसे एक साधारण अभिन्न या टेलर श्रृंखला के संदर्भ में काफी सरलता से परिभाषित किया जा सकता है, जो अन्य लघुगणक के बारे में नहीं कहा जा सकता है।

स्वाभाविकता के लिए आगे के औचित्य संकेतन से संबंधित नहीं हैं। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक लघुगणक वाली कई सरल श्रृंखलाएँ हैं। पिएत्रो मेंगोली और निकोलस मर्केटर ने उन्हें बुलाया लघुगणक प्राकृतिककई दशकों तक जब तक न्यूटन और लीबनिज़ ने डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस विकसित नहीं किया।

परिभाषा

औपचारिक रूप से ln( ए) को ग्राफ 1/ के वक्र के नीचे के क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया जा सकता है एक्स 1 से ए, यानी एक अभिन्न के रूप में:

यह वास्तव में एक लघुगणक है क्योंकि यह लघुगणक की मूलभूत संपत्ति को संतुष्ट करता है:

इसे इस प्रकार मानकर प्रदर्शित किया जा सकता है:

संख्यात्मक मान

किसी संख्या के प्राकृतिक लघुगणक के संख्यात्मक मान की गणना करने के लिए, आप इसके टेलर श्रृंखला विस्तार का उपयोग इस प्रकार कर सकते हैं:

पाने के बेहतर गतिअभिसरण, हम निम्नलिखित पहचान का उपयोग कर सकते हैं:

उसे उपलब्ध कराया य = (एक्स−1)/(एक्स+1) और एक्स > 0.

एलएन के लिए( एक्स), कहाँ एक्स> 1, मान जितना करीब होगा एक्स 1 से, फिर तेज गतिअभिसरण. लक्ष्य प्राप्त करने के लिए लघुगणक से जुड़ी पहचानों का उपयोग किया जा सकता है:

इन विधियों का उपयोग कैलकुलेटर के आगमन से पहले भी किया जाता था, जिसके लिए संख्यात्मक तालिकाओं का उपयोग किया जाता था और ऊपर वर्णित के समान जोड़-तोड़ किए जाते थे।

उच्च सटीकता

प्राकृतिक लघुगणक की गणना करने के लिए एक लंबी संख्यासटीकता संख्या, टेलर श्रृंखला कुशल नहीं है क्योंकि इसका अभिसरण धीमा है। एक विकल्प यह है कि न्यूटन की विधि का उपयोग एक घातांकीय फलन में उलटने के लिए किया जाए जिसकी श्रृंखला अधिक तेजी से परिवर्तित होती है।

अत्यधिक उच्च गणना सटीकता के लिए एक विकल्प सूत्र है:

कहाँ एम 1 और 4/s के अंकगणित-ज्यामितीय औसत को दर्शाता है, और

एमइसलिए चुना गया पीसटीकता के अंक प्राप्त होते हैं। (ज्यादातर मामलों में, m के लिए 8 का मान पर्याप्त है।) वास्तव में, यदि इस पद्धति का उपयोग किया जाता है, तो घातीय फ़ंक्शन की कुशलतापूर्वक गणना करने के लिए न्यूटन के प्राकृतिक लघुगणक के व्युत्क्रम को लागू किया जा सकता है। (स्थिरांक एलएन 2 और पीआई को किसी भी ज्ञात तेजी से अभिसरण श्रृंखला का उपयोग करके वांछित सटीकता के लिए पूर्व-गणना की जा सकती है।)

कम्प्यूटेशनल जटिलता

प्राकृतिक लघुगणक की कम्प्यूटेशनल जटिलता (अंकगणित-ज्यामितीय माध्य का उपयोग करके) O( है एम(एन)एल.एन एन). यहाँ एनपरिशुद्धता के अंकों की संख्या है जिसके लिए प्राकृतिक लघुगणक का मूल्यांकन किया जाना चाहिए, और एम(एन) दो को गुणा करने की कम्प्यूटेशनल जटिलता है एन-अंक संख्या.

निरंतर भिन्न

हालाँकि लघुगणक को दर्शाने के लिए कोई सरल निरंतर भिन्न नहीं हैं, कई सामान्यीकृत निरंतर भिन्नों का उपयोग किया जा सकता है, जिनमें शामिल हैं:

जटिल लघुगणक

घातीय फ़ंक्शन को ऐसे फ़ंक्शन तक बढ़ाया जा सकता है जो फॉर्म की एक जटिल संख्या देता है ई एक्सकिसी भी मनमानी के लिए सम्मिश्र संख्या एक्स, इस मामले में कॉम्प्लेक्स के साथ एक अनंत श्रृंखला एक्स. यह घातांक प्रकार्यएक जटिल लघुगणक बनाने के लिए इसे उलटा किया जा सकता है, जिसमें सामान्य लघुगणक के अधिकांश गुण होंगे। हालाँकि, दो कठिनाइयाँ हैं: कोई नहीं है एक्स, जिसके लिए ई एक्स= 0, और यह पता चला कि ई 2πi = 1 = ई 0 . चूँकि गुणन गुण एक जटिल घातीय फलन के लिए मान्य है ई जेड = ई जेड+2nπiसभी जटिल के लिए जेडऔर संपूर्ण एन.

लघुगणक को संपूर्ण जटिल तल पर परिभाषित नहीं किया जा सकता है, और फिर भी यह बहुमूल्यांकित है - किसी भी जटिल लघुगणक को 2 के किसी भी पूर्णांक गुणज को जोड़कर "समकक्ष" लघुगणक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है πi. जटिल लघुगणक को जटिल तल के एक टुकड़े पर केवल एकल-मूल्यांकित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एल.एन मैं = 1/2 πiया 5/2 πiया −3/2 πi, आदि, और यद्यपि मैं 4 = 1.4 लॉग मैं 2 के रूप में परिभाषित किया जा सकता है πi, या 10 πiया −6 πi, और इसी तरह।

यह भी देखें

• जॉन नेपियर - लघुगणक के आविष्कारक

टिप्पणियाँ

1. भौतिक रसायन विज्ञान के लिए गणित. - तीसरा. - एकेडमिक प्रेस, 2005. - पी. 9. - आईएसबीएन 0-125-08347-5, पृष्ठ 9 का उद्धरण
2. जे जे ओ"कॉनर और ई एफ रॉबर्टसनसंख्या ई. गणित संग्रह का मैकट्यूटर इतिहास (सितंबर 2001)। संग्रहीत
3. काजोरी फ्लोरियनगणित का इतिहास, 5वां संस्करण। - एएमएस बुकस्टोर, 1991. - पी. 152. - आईएसबीएन 0821821024
4. फ्लैशमैन, मार्टिनबहुपद का उपयोग करके समाकलन का अनुमान लगाना। 12 फ़रवरी 2012 को मूल से संग्रहीत।

तो, हमारे पास दो की शक्तियाँ हैं। यदि आप नीचे की पंक्ति से संख्या लेते हैं, तो आप आसानी से उस शक्ति का पता लगा सकते हैं जिस तक आपको इस संख्या को प्राप्त करने के लिए दो को उठाना होगा। उदाहरण के लिए, 16 प्राप्त करने के लिए, आपको दो को चौथी घात तक बढ़ाने की आवश्यकता है। और 64 प्राप्त करने के लिए, आपको दो को छठी घात तक बढ़ाने की आवश्यकता है। इसे तालिका से देखा जा सकता है।

और अब - वास्तव में, लघुगणक की परिभाषा:

x का आधार लघुगणक वह शक्ति है जिस तक x प्राप्त करने के लिए a को बढ़ाया जाना चाहिए।

पदनाम: लॉग ए एक्स = बी, जहां ए आधार है, एक्स तर्क है, बी वह है जो लघुगणक वास्तव में बराबर है।

उदाहरण के लिए, 2 3 = 8 ⇒ लघुगणक 2 8 = 3 (8 का आधार 2 लघुगणक तीन है क्योंकि 2 3 = 8)। उसी सफलता के साथ लॉग 2 64 = 6, क्योंकि 2 6 = 64।

किसी दिए गए आधार पर किसी संख्या का लघुगणक ज्ञात करने की क्रिया को लघुगणक कहा जाता है। तो, आइए अपनी तालिका में एक नई पंक्ति जोड़ें:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
लॉग 2 2 = 1	लॉग 2 4 = 2	लॉग 2 8 = 3	लॉग 2 16 = 4	लॉग 2 32 = 5	लॉग 2 64 = 6

दुर्भाग्य से, सभी लघुगणक की गणना इतनी आसानी से नहीं की जाती है। उदाहरण के लिए, लॉग 2 5 खोजने का प्रयास करें। संख्या 5 तालिका में नहीं है, लेकिन तर्क बताता है कि लघुगणक खंड पर कहीं स्थित होगा। क्योंकि 2 2< 5 < 2 3 , а чем अधिक डिग्रीदो, संख्या जितनी बड़ी होगी.

ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है: दशमलव बिंदु के बाद की संख्याओं को अनंत तक लिखा जा सकता है, और उन्हें कभी भी दोहराया नहीं जाता है। यदि लघुगणक अपरिमेय हो जाता है, तो इसे इस प्रकार छोड़ना बेहतर है: लघुगणक 2 5, लघुगणक 3 8, लघुगणक 5 100।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि लघुगणक दो चर (आधार और तर्क) के साथ एक अभिव्यक्ति है। पहले तो कई लोग भ्रमित हो जाते हैं कि आधार कहां है और तर्क कहां है। कष्टप्रद ग़लतफहमियों से बचने के लिए, बस चित्र देखें:

हमारे सामने लघुगणक की परिभाषा से अधिक कुछ नहीं है। याद करना: लघुगणक एक शक्ति है, जिसमें तर्क प्राप्त करने के लिए आधार बनाया जाना चाहिए। यह आधार है जिसे एक शक्ति तक उठाया जाता है - इसे चित्र में लाल रंग में हाइलाइट किया गया है। इससे पता चलता है कि आधार हमेशा सबसे नीचे होता है! मैं अपने विद्यार्थियों को पहले पाठ में ही यह अद्भुत नियम बता देता हूँ - और कोई भ्रम पैदा नहीं होता।

हमने परिभाषा का पता लगा लिया है - जो कुछ बचा है वह सीखना है कि लघुगणक की गणना कैसे करें, अर्थात। "लॉग" चिन्ह से छुटकारा पाएं। आरंभ करने के लिए, हम ध्यान दें कि परिभाषा से दो महत्वपूर्ण तथ्य निकलते हैं:

1. तर्क और आधार सदैव शून्य से बड़ा होना चाहिए। यह एक तर्कसंगत घातांक द्वारा डिग्री की परिभाषा से अनुसरण करता है, जिसमें लघुगणक की परिभाषा कम हो जाती है।
2. आधार एक से भिन्न होना चाहिए, क्योंकि किसी भी स्तर तक एक अभी भी एक ही रहता है। इस कारण से, यह प्रश्न कि "दो प्राप्त करने के लिए एक को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए" निरर्थक है। ऐसी कोई डिग्री नहीं है!

ऐसे प्रतिबंध कहलाते हैं क्षेत्र स्वीकार्य मूल्य (ओडीजेड)। यह पता चलता है कि लघुगणक का ODZ इस तरह दिखता है: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

ध्यान दें कि संख्या b (लघुगणक का मान) पर कोई प्रतिबंध नहीं है। उदाहरण के लिए, लघुगणक ऋणात्मक हो सकता है: लघुगणक 2 0.5 = −1, क्योंकि 0.5 = 2 −1.

हालाँकि, अभी हम केवल विचार कर रहे हैं संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ, जहां लघुगणक की सीवीडी जानने की आवश्यकता नहीं है। समस्याओं के लेखकों द्वारा सभी प्रतिबंधों को पहले ही ध्यान में रखा जा चुका है। लेकिन जब लघुगणक समीकरण और असमानताएं चलन में आएंगी, तो डीएल आवश्यकताएं अनिवार्य हो जाएंगी। आख़िरकार, आधार और तर्क में बहुत मजबूत निर्माण शामिल हो सकते हैं जो जरूरी नहीं कि उपरोक्त प्रतिबंधों के अनुरूप हों।

आइए अब लघुगणक की गणना के लिए सामान्य योजना देखें। इसमें तीन चरण होते हैं:

1. आधार a और तर्क x को एक घात के रूप में व्यक्त करें जिसका न्यूनतम संभव आधार एक से अधिक हो। साथ ही, दशमलव से छुटकारा पाना बेहतर है;
2. चर b के लिए समीकरण हल करें: x = a b ;
3. परिणामी संख्या b उत्तर होगी।

इतना ही! यदि लघुगणक अपरिमेय हो जाता है, तो यह पहले चरण में ही दिखाई देगा। यह आवश्यकता कि आधार एक से बड़ा हो, बहुत महत्वपूर्ण है: इससे त्रुटि की संभावना कम हो जाती है और गणनाएँ बहुत सरल हो जाती हैं। के साथ भी वैसा ही दशमलव: यदि आप उन्हें तुरंत नियमित में परिवर्तित करते हैं, तो बहुत कम त्रुटियां होंगी।

आइए विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके देखें कि यह योजना कैसे काम करती है:

काम। लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 5 25

1. आइए आधार और तर्क की कल्पना पाँच की घात के रूप में करें: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
लॉग 5 25 = बी ⇒ (5 1) बी = 5 2 ⇒ 5 बी = 5 2 ⇒ बी = 2;

2. हमें उत्तर मिला: 2.

काम। लघुगणक की गणना करें:

काम। लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 4 64

1. आइए आधार और तर्क की कल्पना दो की घात के रूप में करें: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
   लॉग 4 64 = बी ⇒ (2 2) बी = 2 6 ⇒ 2 2बी = 2 6 ⇒ 2बी = 6 ⇒ बी = 3;
3. हमें उत्तर मिला: 3.

काम। लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 16 1

1. आइए आधार और तर्क की कल्पना दो की घात के रूप में करें: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
   लॉग 16 1 = बी ⇒ (2 4) बी = 2 0 ⇒ 2 4बी = 2 0 ⇒ 4बी = 0 ⇒ बी = 0 ;
3. हमें उत्तर मिला: 0.

काम। लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 7 14

1. आइए आधार और तर्क की कल्पना सात की घात के रूप में करें: 7 = 7 1 ; 14 को सात की घात के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता, क्योंकि 7 1< 14 < 7 2 ;
2. पिछले पैराग्राफ से यह पता चलता है कि लघुगणक की गिनती नहीं होती है;
3. उत्तर कोई परिवर्तन नहीं है: लॉग 7 14।

अंतिम उदाहरण पर एक छोटा सा नोट। आप यह कैसे सुनिश्चित कर सकते हैं कि एक संख्या किसी अन्य संख्या की सटीक घात नहीं है? यह बहुत सरल है - बस इसे अभाज्य गुणनखंडों में शामिल करें। यदि विस्तार में कम से कम दो अलग-अलग कारक हैं, तो संख्या सटीक शक्ति नहीं है।

काम। पता लगाएँ कि क्या संख्याएँ सटीक घात हैं: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - सटीक डिग्री, क्योंकि केवल एक गुणक है;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - एक सटीक घात नहीं है, क्योंकि दो कारक हैं: 3 और 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - सटीक डिग्री;
35 = 7 · 5 - फिर से कोई सटीक शक्ति नहीं;
14 = 7 · 2 - फिर भी कोई सटीक डिग्री नहीं;

आइए हम यह भी ध्यान दें कि हम स्वयं प्रमुख संख्यावे हमेशा स्वयं की सटीक डिग्री होते हैं।

दशमलव लघुगणक

कुछ लघुगणक इतने सामान्य हैं कि उनका एक विशेष नाम और प्रतीक होता है।

x का दशमलव लघुगणक आधार 10 का लघुगणक है, अर्थात संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या 10 को जिस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए। पदनाम: एलजी एक्स.

उदाहरण के लिए, लॉग 10 = 1; एलजी 100 = 2; एलजी 1000 = 3 - आदि।

अब से, जब पाठ्यपुस्तक में "फाइंड एलजी 0.01" जैसा वाक्यांश दिखाई दे, तो जान लें: यह कोई टाइपो त्रुटि नहीं है। यह दशमलव लघुगणक है. हालाँकि, यदि आप इस संकेतन से अपरिचित हैं, तो आप इसे हमेशा फिर से लिख सकते हैं:
लॉग एक्स = लॉग 10 एक्स

जो कुछ सामान्य लघुगणक के लिए सत्य है वह दशमलव लघुगणक के लिए भी सत्य है।

प्राकृतिक

एक और लघुगणक है जिसका अपना पदनाम है। कुछ मायनों में, यह दशमलव से भी अधिक महत्वपूर्ण है। इसके बारे मेंप्राकृतिक लघुगणक के बारे में.

x का प्राकृतिक लघुगणक आधार e का लघुगणक है, अर्थात। वह शक्ति जिससे संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या e को बढ़ाया जाना चाहिए। पदनाम: एलएन एक्स .

कई लोग पूछेंगे: ई संख्या क्या है? यह एक अपरिमेय संख्या है, इसका सही मूल्यखोजना और रिकॉर्ड करना असंभव है। मैं केवल प्रथम आंकड़े दूँगा:
ई = 2.718281828459...

यह नंबर क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है, इसके बारे में हम विस्तार से नहीं बताएंगे। बस याद रखें कि ई प्राकृतिक लघुगणक का आधार है:
एलएन एक्स = लॉग ई एक्स

इस प्रकार ln e = 1 ; एलएन ई 2 = 2; एलएन ई 16 = 16 - आदि। दूसरी ओर, ln 2 एक अपरिमेय संख्या है। सामान्य तौर पर, किसी का प्राकृतिक लघुगणक तर्कसंगत संख्यातर्कहीन. बेशक, एक को छोड़कर: एलएन 1 = 0।

प्राकृतिक लघुगणक के लिए, वे सभी नियम मान्य हैं जो सामान्य लघुगणक के लिए सत्य हैं।