शक्ति कार्यों के साथ समीकरण और असमानताएँ। घातांकीय असमानताओं को हल करना: बुनियादी विधियाँ

बहुत से लोग सोचते हैं कि घातीय असमानताएँ कुछ जटिल और समझ से बाहर हैं। और उन्हें हल करना सीखना लगभग एक महान कला है, जिसे केवल चुनिंदा लोग ही समझ पाते हैं...

पूर्ण बकवास! घातांकीय असमानताएँ आसान हैं। और उनका समाधान हमेशा सरलता से किया जाता है. खैर, लगभग हमेशा :)

आज हम इस विषय को अंदर और बाहर से देखेंगे। यह पाठ उन लोगों के लिए बहुत उपयोगी होगा जो स्कूली गणित के इस खंड को समझना शुरू कर रहे हैं। चलो साथ - साथ शुरू करते हैं सरल कार्यऔर हम अधिक जटिल मुद्दों पर आगे बढ़ेंगे। आज कोई कठिन चीज़ नहीं होगी, लेकिन आप जो पढ़ने जा रहे हैं वह सभी प्रकार की परीक्षाओं और परीक्षाओं में अधिकांश असमानताओं को हल करने के लिए पर्याप्त होगा। स्वतंत्र काम. और आपकी इस परीक्षा पर भी.

हमेशा की तरह, आइए परिभाषा से शुरू करें। घातांकीय असमानता कोई भी असमानता है जिसमें शामिल है घातांक प्रकार्य. दूसरे शब्दों में, इसे हमेशा रूप की असमानता तक कम किया जा सकता है

\[((a)^(x)) \gt b\]

जहां $b$ की भूमिका एक साधारण संख्या, या शायद कुछ कठिन हो सकती है। उदाहरण? जी कहिये:

\[\begin(संरेखित) और ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ क्वाड ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(एक्स)))। \\\end(संरेखित करें)\]

मुझे लगता है कि अर्थ स्पष्ट है: एक घातीय फ़ंक्शन $((a)^(x))$ है, इसकी तुलना किसी चीज़ से की जाती है, और फिर $x$ खोजने के लिए कहा जाता है। विशेष रूप से नैदानिक ​​मामलों में, वेरिएबल $x$ के बजाय, वे कुछ फ़ंक्शन $f\left(x \right)$ डाल सकते हैं और इस तरह असमानता को थोड़ा जटिल कर सकते हैं :)

बेशक, कुछ मामलों में असमानता अधिक गंभीर दिखाई दे सकती है। उदाहरण के लिए:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

या यह भी:

सामान्य तौर पर, ऐसी असमानताओं की जटिलता बहुत भिन्न हो सकती है, लेकिन अंत में वे अभी भी सरल निर्माण $((a)^(x)) \gt b$ पर आते हैं। और हम किसी तरह इस तरह के निर्माण का पता लगाएंगे (विशेष रूप से नैदानिक ​​​​मामलों में, जब कुछ भी दिमाग में नहीं आता है, तो लघुगणक हमारी मदद करेंगे)। इसलिए, अब हम आपको ऐसे सरल निर्माणों को हल करना सिखाएंगे।

सरल घातीय असमानताओं को हल करना

आइए एक बहुत ही सरल चीज़ पर विचार करें। उदाहरण के लिए, यह:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

जाहिर है, दाईं ओर की संख्या को दो की घात के रूप में फिर से लिखा जा सकता है: $4=((2)^(2))$। इस प्रकार, मूल असमानता को बहुत सुविधाजनक रूप में फिर से लिखा जा सकता है:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

और अब मेरे हाथ $x \gt 2$ का उत्तर पाने के लिए घातों के आधारों में मौजूद दो को "काटने" के लिए उत्सुक हो रहे हैं। लेकिन किसी भी चीज़ को पार करने से पहले, आइए दो की शक्तियों को याद रखें:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

जैसा कि हम देखते हैं, से बड़ी संख्याघातांक में है, आउटपुट संख्या जितनी बड़ी होगी। "धन्यवाद, कैप!" - छात्रों में से एक चिल्लाएगा। क्या यह कुछ अलग है? दुर्भाग्य से, ऐसा होता है. उदाहरण के लिए:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ दाएं))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 ;...\]

यहाँ भी सब कुछ तार्किक है: क्या अधिक डिग्री, जितनी अधिक बार संख्या 0.5 को स्वयं से गुणा किया जाता है (अर्थात् आधे में विभाजित किया जाता है)। इस प्रकार, संख्याओं का परिणामी क्रम घट रहा है, और पहले और दूसरे अनुक्रम के बीच का अंतर केवल आधार में है:

• यदि घात का आधार $a \gt 1$ है, तो जैसे-जैसे घातांक $n$ बढ़ता है, संख्या $((a)^(n))$ भी बढ़ेगी;
• और इसके विपरीत, यदि $0 \lt a \lt 1$, तो जैसे-जैसे घातांक $n$ बढ़ता है, संख्या $((a)^(n))$ कम हो जाएगी।

इन तथ्यों को समेटने पर हमें सबसे महत्वपूर्ण कथन मिलता है जिस पर पूरा निर्णय आधारित है घातीय असमानताएँ:

यदि $a \gt 1$, तो असमानता $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ असमानता $x \gt n$ के बराबर है। यदि $0 \lt a \lt 1$, तो असमानता $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ असमानता $x \lt n$ के बराबर है।

दूसरे शब्दों में, यदि आधार एक से बड़ा है, तो आप इसे आसानी से हटा सकते हैं - असमानता का चिह्न नहीं बदलेगा। और यदि आधार एक से कम है तो उसे हटाया भी जा सकता है, लेकिन साथ ही आपको असमानता का चिन्ह भी बदलना होगा।

कृपया ध्यान दें कि हमने $a=1$ और $a\le 0$ विकल्पों पर विचार नहीं किया है। क्योंकि इन मामलों में अनिश्चितता पैदा होती है. आइए मान लें कि $((1)^(x)) \gt 3$ के रूप की असमानता को कैसे हल करें? किसी भी शक्ति को एक फिर से एक देगा - हमें कभी भी तीन या अधिक नहीं मिलेंगे। वे। कोई समाधान नहीं हैं.

साथ नकारात्मक कारणअभी भी अधिक दिलचस्प है. उदाहरण के लिए, इस असमानता पर विचार करें:

\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]

पहली नज़र में, सब कुछ सरल है:

सही? लेकिन कोई नहीं! $x$ के स्थान पर कुछ सम इकाईयों और एक जोड़े को स्थानापन्न करना पर्याप्त है विषम संख्यायह सुनिश्चित करने के लिए कि समाधान गलत है। नज़र रखना:

\[\begin(संरेखित करें) और x=4\दायां तीर ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\दायां तीर ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\दायां तीर ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\दायां तीर ((\बाएं(-2 \दाएं))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(संरेखित)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, संकेत वैकल्पिक होते हैं। लेकिन और भी बहुत कुछ है आंशिक शक्तियांऔर अन्य टिन. उदाहरण के लिए, आप $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (दो की घात सात को घटाकर) की गणना कैसे करेंगे? बिलकुल नहीं!

इसलिए, निश्चितता के लिए, हम मानते हैं कि सभी घातीय असमानताओं में (और समीकरणों में, वैसे भी) $1\ne a \gt 0$। और फिर सब कुछ बहुत सरलता से हल हो जाता है:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\दायां तीर \left[ \begin(संरेखित) और x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(संरेखित करें) \दाएं।\]

सामान्य तौर पर, मुख्य नियम को फिर से याद रखें: यदि किसी घातीय समीकरण में आधार एक से बड़ा है, तो आप इसे आसानी से हटा सकते हैं; और यदि आधार एक से कम है तो उसे हटाया भी जा सकता है, लेकिन असमानता का चिन्ह बदल जायेगा।

समाधान के उदाहरण

तो, आइए कुछ सरल घातांकीय असमानताओं पर नजर डालें:

\[\begin(संरेखित करें) और ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(संरेखित करें)\]

सभी मामलों में प्राथमिक कार्य एक ही है: असमानताओं को सरलतम रूप $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ में कम करना। यह वही है जो अब हम प्रत्येक असमानता के साथ करेंगे, और साथ ही हम डिग्री और घातीय कार्यों के गुणों को दोहराएंगे। तो चलते हैं!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

आप यहां क्या कर सकते हैं? खैर, बाईं ओर हमारे पास पहले से ही एक सांकेतिक अभिव्यक्ति है - कुछ भी बदलने की जरूरत नहीं है। लेकिन दाहिनी ओर कुछ बकवास है: एक अंश, और यहां तक ​​कि हर में एक जड़ भी!

हालाँकि, आइए हम भिन्नों और घातों के साथ काम करने के नियमों को याद रखें:

\[\begin(संरेखित) और \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(संरेखित करें)\]

इसका मतलब क्या है? सबसे पहले, हम भिन्न को ऋणात्मक घातांक वाली घात में बदलकर आसानी से उससे छुटकारा पा सकते हैं। और दूसरी बात, चूँकि हर का एक मूल है, इसलिए इसे घात में बदलना अच्छा होगा - इस बार भिन्नात्मक घातांक के साथ।

आइए इन क्रियाओं को असमानता के दाईं ओर क्रमिक रूप से लागू करें और देखें कि क्या होता है:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

यह मत भूलिए कि किसी डिग्री को घात तक बढ़ाने पर, इन डिग्री के घातांक जुड़ जाते हैं। और सामान्य तौर पर, घातीय समीकरणों और असमानताओं के साथ काम करते समय, शक्तियों के साथ काम करने के लिए कम से कम सबसे सरल नियमों को जानना नितांत आवश्यक है:

\[\begin(संरेखित करें) और ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(संरेखित करें)\]

दरअसल, हमने अभी आखिरी नियम लागू किया है। इसलिए, हमारी मूल असमानता को इस प्रकार फिर से लिखा जाएगा:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\राइटएरो ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

अब हम आधार पर दोनों से छुटकारा पा लेते हैं। चूँकि 2 > 1, असमानता चिह्न वही रहेगा:

\[\begin(संरेखित करें) और x-1\le -\frac(1)(3)\दायां तीर x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(संरेखित)\]

यही समाधान है! मुख्य कठिनाई घातीय फ़ंक्शन में बिल्कुल नहीं है, बल्कि मूल अभिव्यक्ति के सक्षम परिवर्तन में है: आपको इसे सावधानीपूर्वक और जल्दी से इसके सरलतम रूप में लाने की आवश्यकता है।

दूसरी असमानता पर विचार करें:

\[((0.1)^(1-x)) \lt 0.01\]

इतना तो। दशमलव अंश यहां हमारा इंतजार कर रहे हैं। जैसा कि मैंने कई बार कहा है, घात वाले किसी भी अभिव्यक्ति में आपको दशमलव से छुटकारा पाना चाहिए - यह अक्सर त्वरित और सरल समाधान देखने का एकमात्र तरीका है। यहां हम छुटकारा पाएंगे:

\[\begin(ign) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\दायां तीर ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\end(संरेखित करें)\]

यहां फिर से हमारे पास सबसे सरल असमानता है, और यहां तक ​​कि 1/10 के आधार के साथ भी, यानी। एक से भी कम. खैर, हम आधारों को हटाते हैं, साथ ही चिह्न को "कम" से "अधिक" में बदलते हैं, और हमें मिलता है:

\[\begin(संरेखित) और 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(संरेखित करें)\]

हमें अंतिम उत्तर प्राप्त हुआ: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. कृपया ध्यान दें: उत्तर बिल्कुल एक सेट है, और किसी भी स्थिति में $x \lt -1$ के रूप में निर्मित नहीं है। क्योंकि औपचारिक रूप से, ऐसा निर्माण बिल्कुल भी एक सेट नहीं है, बल्कि चर $x$ के संबंध में एक असमानता है। हाँ, यह बहुत आसान है, लेकिन यह उत्तर नहीं है!

महत्वपूर्ण लेख. इस असमानता को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है - दोनों पक्षों को एक से अधिक आधार वाली शक्ति में कम करके। नज़र रखना:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\दायां तीर ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\राइटएरो ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

इस तरह के परिवर्तन के बाद, हम फिर से एक घातीय असमानता प्राप्त करेंगे, लेकिन 10 > 1 के आधार के साथ। इसका मतलब है कि हम केवल दस को काट सकते हैं - असमानता का संकेत नहीं बदलेगा। हम पाते हैं:

\[\begin(संरेखित) और -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(संरेखित करें)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, उत्तर बिल्कुल वैसा ही था। साथ ही, हमने साइन बदलने और आम तौर पर किसी भी नियम को याद रखने की आवश्यकता से खुद को बचाया :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

हालाँकि, इसे आपको डराने न दें। संकेतकों में चाहे कुछ भी हो, असमानता को हल करने की तकनीक वही रहती है। इसलिए, आइए पहले ध्यान दें कि 16 = 2 4. आइए इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए मूल असमानता को फिर से लिखें:

\[\begin(संरेखित) और ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(संरेखित करें)\]

हुर्रे! हमें सामान्य द्विघात असमानता मिली! चिन्ह कहीं भी नहीं बदला है, क्योंकि आधार दो है - एक से बड़ी संख्या।

संख्या रेखा पर किसी फ़ंक्शन का शून्य

हम फ़ंक्शन के संकेतों को व्यवस्थित करते हैं $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - जाहिर है, इसका ग्राफ शाखाओं के साथ एक परवलय होगा, इसलिए "प्लस" होंगे " किनारों पर। हम उस क्षेत्र में रुचि रखते हैं जहां फ़ंक्शन शून्य से कम है, यानी। $x\in \left(2;5 \right)$ मूल समस्या का उत्तर है।

अंत में, एक और असमानता पर विचार करें:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

फिर से हम आधार पर दशमलव अंश के साथ एक घातांकीय फलन देखते हैं। आइए इस भिन्न को सामान्य भिन्न में बदलें:

\[\begin(संरेखित करें) और 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2) )^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(संरेखित)\]

इस मामले में, हमने पहले दी गई टिप्पणी का उपयोग किया - हमने अपने आगे के समाधान को सरल बनाने के लिए आधार को घटाकर संख्या 5 > 1 कर दिया। आइए दाईं ओर के साथ भी ऐसा ही करें:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ दाएं))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

आइए दोनों परिवर्तनों को ध्यान में रखते हुए मूल असमानता को फिर से लिखें:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\दायां तीर ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \दाएं)))\ge ((5)^(-2))\]

दोनों तरफ के आधार समान हैं और एक से अधिक हैं। दायीं और बायीं ओर कोई अन्य शब्द नहीं हैं, इसलिए हम बस पाँचों को "काट" देते हैं और एक बहुत ही सरल अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:

\[\begin(संरेखित) और -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \बाएँ(-1 \दाएँ) \दाएँ। \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(संरेखित)\]

यहीं पर आपको अधिक सावधान रहने की जरूरत है। कई छात्र केवल निकालना पसंद करते हैं वर्गमूलअसमानता के दोनों पक्षों पर $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$ जैसा कुछ लिखें। किसी भी स्थिति में आपको ऐसा नहीं करना चाहिए, क्योंकि एक सटीक वर्ग का मूल है मॉड्यूल, और किसी भी स्थिति में मूल चर नहीं:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\दाएं|\]

हालाँकि, मॉड्यूल के साथ काम करना सबसे सुखद अनुभव नहीं है, है ना? तो हम काम नहीं करेंगे. इसके बजाय, हम बस सभी पदों को बाईं ओर ले जाते हैं और अंतराल विधि का उपयोग करके सामान्य असमानता को हल करते हैं:

$\begin(संरेखित करें) और ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(संरेखित)$

हम प्राप्त बिंदुओं को फिर से संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं और संकेतों को देखते हैं:

कृपया ध्यान दें: बिंदु छायांकित हैं

चूँकि हम एक गैर-सख्त असमानता को हल कर रहे थे, ग्राफ़ पर सभी बिंदु छायांकित हैं। इसलिए, उत्तर होगा: $x\in \left[ -1;1 \right]$ एक अंतराल नहीं है, बल्कि एक खंड है।

सामान्य तौर पर, मैं यह नोट करना चाहूंगा कि घातीय असमानताओं के बारे में कुछ भी जटिल नहीं है। आज हमारे द्वारा किए गए सभी परिवर्तनों का अर्थ एक सरल एल्गोरिदम में आता है:

• वह आधार खोजें जिससे हम सभी डिग्रियों को कम कर देंगे;
• $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ के रूप की असमानता प्राप्त करने के लिए परिवर्तनों को सावधानीपूर्वक करें। बेशक, वेरिएबल $x$ और $n$ के बजाय और भी बहुत कुछ हो सकता है जटिल कार्य, लेकिन अर्थ नहीं बदलेगा;
• डिग्रियों के आधारों को काट दें। इस मामले में, आधार $a \lt 1$ होने पर असमानता चिह्न बदल सकता है।

वास्तव में, यह ऐसी सभी असमानताओं को हल करने के लिए एक सार्वभौमिक एल्गोरिदम है। और इस विषय पर वे आपको जो कुछ भी बताएंगे वह केवल विशिष्ट तकनीकें और तरकीबें हैं जो परिवर्तन को सरल और तेज कर देंगी। अब हम इनमें से एक तकनीक के बारे में बात करेंगे :)

युक्तिकरण विधि

आइए असमानताओं के एक और सेट पर विचार करें:

\[\begin(संरेखित) और ((\text()\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text() )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \दाएँ))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(संरेखित)\]

तो उनमें ऐसा क्या खास है? वे हल्के हैं. हालाँकि, रुकें! क्या संख्या π को किसी घात तक बढ़ाया गया है? क्या बकवास है?

संख्या $2\sqrt(3)-3$ को एक घात तक कैसे बढ़ाएं? या $3-2\sqrt(2)$? समस्या लेखकों ने काम पर बैठने से पहले स्पष्ट रूप से बहुत अधिक नागफनी पी ली :)

वास्तव में, इन कार्यों में कुछ भी डरावना नहीं है। मैं आपको याद दिला दूं: एक घातीय फ़ंक्शन $((a)^(x))$ के रूप की एक अभिव्यक्ति है, जहां आधार $a$ कोई है सकारात्मक संख्या, एक को छोड़कर। संख्या π धनात्मक है - यह हम पहले से ही जानते हैं। संख्याएँ $2\sqrt(3)-3$ और $3-2\sqrt(2)$ भी सकारात्मक हैं - यदि आप उनकी तुलना शून्य से करते हैं तो यह देखना आसान है।

यह पता चला है कि इन सभी "भयावह" असमानताओं का समाधान ऊपर चर्चा की गई सरल असमानताओं से अलग नहीं है? और क्या उनका समाधान भी इसी तरह किया जाता है? हाँ, यह बिल्कुल सही है। हालाँकि, उनके उदाहरण का उपयोग करते हुए, मैं एक ऐसी तकनीक पर विचार करना चाहूँगा जो स्वतंत्र कार्य और परीक्षाओं में समय की काफी बचत करती है। हम युक्तिकरण की विधि के बारे में बात करेंगे। तो, ध्यान दें:

$((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ के रूप की कोई भी घातीय असमानता $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \) के बराबर है दाएं) \gt 0 $.

यह पूरी विधि है :) क्या आपने सोचा था कि कोई अन्य प्रकार का खेल होगा? ऐसा कुछ नहीं! लेकिन एक पंक्ति में अक्षरशः लिखा गया यह सरल तथ्य हमारे काम को बहुत सरल बना देगा। नज़र रखना:

\[\begin(मैट्रिक्स) ((\text()\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text() )\!\!\pi\ !\!\text() ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ डाउनएरो \\ लेफ्ट(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text() )\!\!\pi\!\!\text() )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

अतः अब कोई घातांकीय फलन नहीं हैं! और आपको यह याद रखने की ज़रूरत नहीं है कि चिन्ह बदलता है या नहीं। लेकिन यह उठता है नई समस्या: कमबख्त गुणक के साथ क्या करें \[\left(\text() )\!\!\pi\!\!\text()-1 \right)\]? हम नहीं जानते कि यह सब क्या है सही मूल्यसंख्या π. हालाँकि, कप्तान स्पष्ट संकेत देते प्रतीत होते हैं:

\[\text()\!\!\pi\!\!\text()\लगभग 3.14... \gt 3\राइटएरो \text()\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

सामान्य तौर पर, π का ​​सटीक मान वास्तव में हमें चिंतित नहीं करता है - हमारे लिए केवल यह समझना महत्वपूर्ण है कि किसी भी स्थिति में $\text()\!\!\pi\!\!\text()-1 \gt 2 $, टी.ई. यह एक सकारात्मक स्थिरांक है, और हम असमानता के दोनों पक्षों को इससे विभाजित कर सकते हैं:

\[\begin(संरेखित) और \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text()\!\! \pi\!\!\text()-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \बाएँ(-1 \दाएँ) \दाएँ। \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक निश्चित समय पर हमें शून्य से एक से भाग देना पड़ा - और असमानता का संकेत बदल गया। अंत में, मैंने विएटा के प्रमेय का उपयोग करके द्विघात त्रिपद का विस्तार किया - यह स्पष्ट है कि मूल $((x)_(1))=5$ और $((x)_(2))=-1$ के बराबर हैं . फिर शास्त्रीय अंतराल विधि का उपयोग करके सब कुछ हल किया जाता है:

अंतराल विधि का उपयोग करके असमानता को हल करना

सभी बिंदु हटा दिए गए हैं क्योंकि मूल असमानता सख्त है। हम नकारात्मक मान वाले क्षेत्र में रुचि रखते हैं, इसलिए उत्तर $x\in \left(-1;5 \right)$ है। यही समाधान है :)

चलिए अगली समस्या पर चलते हैं:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

यहां सब कुछ आम तौर पर सरल है, क्योंकि दाईं ओर एक इकाई है। और हमें याद है कि एक वह संख्या है जिसे शून्य घात तक बढ़ा दिया गया है। भले ही यह संख्या बाईं ओर के आधार पर एक अपरिमेय अभिव्यक्ति है:

\[\begin(संरेखित करें) और ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \दाएं))^(0)); \\\end(संरेखित करें)\]

खैर, आइए तर्कसंगत बनाएं:

\[\begin(संरेखित) और \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(संरेखित)\ ]

जो कुछ बचा है वह संकेतों का पता लगाना है। कारक $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ में वेरिएबल $x$ नहीं है - यह केवल एक स्थिरांक है, और हमें इसका चिह्न पता लगाने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, निम्नलिखित पर ध्यान दें:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \दाएं)=0 \\\end(मैट्रिक्स)\]

इससे पता चलता है कि दूसरा कारक सिर्फ एक स्थिरांक नहीं है, बल्कि एक नकारात्मक स्थिरांक है! और इससे विभाजित करने पर मूल असमानता का चिन्ह विपरीत में बदल जाता है:

\[\begin(संरेखित करें) और \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\बाएँ(x-2 \दाएँ) \gt 0. \\\end(संरेखित)\]

अब सब कुछ पूरी तरह स्पष्ट हो गया है. दाईं ओर वर्ग त्रिपद की जड़ें हैं: $((x)_(1))=0$ और $((x)_(2))=2$। हम उन्हें संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं और फ़ंक्शन $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ के संकेतों को देखते हैं:

मामला जब हम पार्श्व अंतराल में रुचि रखते हैं

हम धन चिह्न से चिह्नित अंतरालों में रुचि रखते हैं। जो कुछ बचा है वह उत्तर लिखना है:

चलिए अगले उदाहरण पर चलते हैं:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ दाएँ))^(16-x))\]

खैर, यहां सब कुछ पूरी तरह से स्पष्ट है: आधारों में समान संख्या की शक्तियां होती हैं। इसलिए, मैं सब कुछ संक्षेप में लिखूंगा:

\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ डाउनएरो \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matrix)\]

\[\begin(संरेखित करें) और ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \दाएं))) \gt ((3)^(-2\cdot \ बाएँ(16-x \दाएँ))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \बाएँ(-1 \दाएँ) \दाएँ। \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, परिवर्तन प्रक्रिया के दौरान हमें गुणा करना था एक ऋणात्मक संख्या, इसलिए असमानता का संकेत बदल गया है। अंत में, मैंने द्विघात त्रिपद का गुणनखंड करने के लिए फिर से विएटा के प्रमेय को लागू किया। परिणामस्वरूप, उत्तर निम्नलिखित होगा: $x\in \left(-8;4 \right)$ - कोई भी संख्या रेखा खींचकर, बिंदुओं को चिह्नित करके और संकेतों को गिनकर इसे सत्यापित कर सकता है। इस बीच, हम अपने "सेट" से अंतिम असमानता की ओर बढ़ेंगे:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, आधार पर फिर से एक अपरिमेय संख्या है, और दाईं ओर फिर से एक इकाई है। इसलिए, हम अपनी घातीय असमानता को इस प्रकार फिर से लिखते हैं:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ दाएँ))^(0))\]

हम युक्तिकरण लागू करते हैं:

\[\begin(संरेखित) और \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(संरेखित)\ ]

हालाँकि, यह बिल्कुल स्पष्ट है कि $1-\sqrt(2) \lt 0$, चूँकि $\sqrt(2)\लगभग 1,4... \gt 1$। इसलिए, दूसरा कारक फिर से एक नकारात्मक स्थिरांक है, जिसमें असमानता के दोनों पक्षों को विभाजित किया जा सकता है:

\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(मैट्रिक्स)\]

\[\begin(संरेखित करें) और 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \बाएँ(-1 \दाएँ) \दाएँ। \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\बाएँ(x-3 \दाएँ) \lt 0. \\\end(संरेखित)\]

दूसरे आधार पर जाएँ

घातीय असमानताओं को हल करते समय एक अलग समस्या "सही" आधार की खोज है। दुर्भाग्य से, किसी कार्य को पहली नज़र में देखना हमेशा स्पष्ट नहीं होता है कि आधार के रूप में क्या लेना है और इस आधार की डिग्री के अनुसार क्या करना है।

लेकिन चिंता न करें: यहां कोई जादू या "गुप्त" तकनीक नहीं है। गणित में, कोई भी कौशल जिसे एल्गोरिदमीकृत नहीं किया जा सकता, उसे अभ्यास के माध्यम से आसानी से विकसित किया जा सकता है। लेकिन इसके लिए आपको समस्याओं का समाधान करना होगा अलग - अलग स्तरकठिनाइयाँ। उदाहरण के लिए, इस तरह:

\[\begin(संरेखित करें) और ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ अंत(संरेखित करें)\]

कठिन? डरावना? यह डामर पर मुर्गे को मारने से भी आसान है! आओ कोशिश करते हैं। पहली असमानता:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

खैर, मुझे लगता है कि यहां सब कुछ स्पष्ट है:

हम मूल असमानता को फिर से लिखते हैं, हर चीज़ को आधार दो पर लाते हैं:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\दायां तीर \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \दाएं)\cdot \बाएं(2-1 \दाएं) \lt 0\]

हाँ, हाँ, आपने सही सुना: मैंने अभी ऊपर वर्णित युक्तिकरण विधि लागू की है। अब हमें सावधानी से काम करने की जरूरत है: हमारे पास एक भिन्नात्मक-तर्कसंगत असमानता है (यह वह है जिसमें हर में एक चर होता है), इसलिए किसी भी चीज को शून्य के बराबर करने से पहले, हमें हर चीज को एक सामान्य हर में लाना होगा और स्थिर कारक से छुटकारा पाना होगा .

\[\begin(संरेखित) और \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(संरेखित)\]

अब हम मानक अंतराल विधि का उपयोग करते हैं। अंश शून्य: $x=\pm 4$। हर केवल तभी शून्य पर जाता है जब $x=0$। कुल मिलाकर तीन बिंदु हैं जिन्हें संख्या रेखा पर अंकित करने की आवश्यकता है (सभी बिंदुओं को पिन कर दिया गया है क्योंकि असमानता का चिह्न सख्त है)। हम पाते हैं:

अधिक कठिन मामला: तीन जड़ें

जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, छायांकन उन अंतरालों को चिह्नित करता है जिन पर बाईं ओर की अभिव्यक्ति होती है नकारात्मक मान. इसलिए, अंतिम उत्तर में एक साथ दो अंतराल शामिल होंगे:

अंतराल के सिरों को उत्तर में शामिल नहीं किया गया है क्योंकि मूल असमानता सख्त थी। इस उत्तर के और अधिक सत्यापन की आवश्यकता नहीं है। इस संबंध में, घातांकीय असमानताएँ लघुगणकीय असमानताओं की तुलना में बहुत सरल हैं: कोई ODZ, कोई प्रतिबंध नहीं, आदि।

चलिए अगले कार्य पर चलते हैं:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

यहां भी कोई समस्या नहीं है, क्योंकि हम पहले से ही जानते हैं कि $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, इसलिए पूरी असमानता को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

\[\begin(संरेखित करें) और ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\राइटएरो ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\बाएँ(-2 \दाएँ) \दाएँ। \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(संरेखित करें)\]

कृपया ध्यान दें: तीसरी पंक्ति में मैंने छोटी-छोटी बातों में समय बर्बाद न करने और हर चीज़ को तुरंत (−2) से विभाजित करने का निर्णय लिया। मिनुल पहले ब्रैकेट में चला गया (अब हर जगह प्लस हैं), और दो को एक स्थिर कारक के साथ घटा दिया गया था। स्वतंत्र और पर वास्तविक प्रदर्शन तैयार करते समय आपको बिल्कुल यही करना चाहिए परीक्षण- प्रत्येक क्रिया और परिवर्तन का वर्णन करने की आवश्यकता नहीं है।

इसके बाद, अंतराल की परिचित विधि चलन में आती है। अंश शून्य: लेकिन कोई नहीं है। क्योंकि विवेचक नकारात्मक होगा. बदले में, हर केवल तभी रीसेट होता है जब $x=0$ - पिछली बार की तरह। खैर, यह स्पष्ट है कि $x=0$ के दाईं ओर अंश लगेगा सकारात्मक मूल्य, और बाईं ओर नकारात्मक हैं। चूँकि हम नकारात्मक मूल्यों में रुचि रखते हैं, अंतिम उत्तर है: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0.16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \right))^(x))\ge 1\]

घातांकीय असमानताओं में दशमलव भिन्नों के साथ आपको क्या करना चाहिए? यह सही है: उन्हें सामान्य में परिवर्तित करके उनसे छुटकारा पाएं। यहां हम अनुवाद करेंगे:

\[\begin(संरेखित करें) और 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\दायां तीर ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ बाएँ(\frac(4)(25) \दाएँ))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25) (4)\दाएं))^(x)). \\\end(संरेखित करें)\]

तो घातीय फलनों की नींव से हमें क्या मिला? और हमें दो परस्पर व्युत्क्रम संख्याएँ प्राप्त हुईं:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\राइटएरो ((\left(\frac(25)(4) \ दाएं))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ बाएँ(\frac(4)(25) \दाएँ))^(-x))\]

इस प्रकार, मूल असमानता को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

\[\begin(संरेखित) और ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \दाएं))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(संरेखित करें)\]

निःसंदेह, जब घातों को समान आधार से गुणा किया जाता है, तो उनके घातांक जुड़ जाते हैं, जो दूसरी पंक्ति में हुआ। इसके अलावा, हमने दाईं ओर की इकाई को आधार 4/25 में एक शक्ति के रूप में भी दर्शाया है। जो कुछ बचा है वह तर्कसंगत बनाना है:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \दायाँ तीर \बाएं(x+1-0 \दाएं)\cdot \बाएं(\frac(4)(25)-1 \दाएं)\ge 0\]

ध्यान दें कि $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, यानी। दूसरा कारक एक ऋणात्मक स्थिरांक है, और इससे विभाजित करने पर असमानता का चिह्न बदल जाएगा:

\[\begin(संरेखित करें) और x+1-0\le 0\दायां तीर x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(संरेखित)\]

अंत में, वर्तमान "सेट" से अंतिम असमानता:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

सिद्धांत रूप में, यहां समाधान का विचार भी स्पष्ट है: असमानता में शामिल सभी घातीय कार्यों को आधार "3" तक कम किया जाना चाहिए। लेकिन इसके लिए आपको जड़ों और शक्तियों के साथ थोड़ा छेड़छाड़ करनी होगी:

\[\begin(संरेखित) और \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(संरेखित करें)\]

इन तथ्यों को ध्यान में रखते हुए, मूल असमानता को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

\[\begin(संरेखित करें) और ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\दाएं))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(संरेखित करें)\]

गणना की दूसरी और तीसरी पंक्तियों पर ध्यान दें: असमानता के साथ कुछ भी करने से पहले, इसे उस रूप में लाना सुनिश्चित करें जिसके बारे में हमने पाठ की शुरुआत से ही बात की थी: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. जब तक आपके पास बायीं या दायीं ओर कुछ बायें हाथ के कारक, अतिरिक्त स्थिरांक आदि हैं, आधारों का कोई युक्तिकरण या "सीमा से बाहर निकलना" नहीं किया जा सकता है! इसकी समझ के अभाव में अनगिनत कार्य गलत ढंग से सम्पन्न हुए हैं साधारण तथ्य. जब हम घातीय और लघुगणकीय असमानताओं का विश्लेषण करना शुरू कर रहे होते हैं तो मैं स्वयं अपने छात्रों के साथ लगातार इस समस्या का अवलोकन करता हूँ।

लेकिन चलिए अपने काम पर वापस आते हैं। आइए इस बार बिना किसी युक्तिकरण के काम करने का प्रयास करें। आइए याद रखें: डिग्री का आधार एक से बड़ा है, इसलिए त्रिगुणों को आसानी से काटा जा सकता है - असमानता का चिह्न नहीं बदलेगा। हम पाते हैं:

\[\begin(संरेखित करें) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(संरेखित करें)\]

बस इतना ही। अंतिम उत्तर: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

एक स्थिर अभिव्यक्ति को अलग करना और एक चर को प्रतिस्थापित करना

अंत में, मैं चार और घातीय असमानताओं को हल करने का प्रस्ताव करता हूं, जो पहले से ही अप्रशिक्षित छात्रों के लिए काफी कठिन हैं। उनसे निपटने के लिए, आपको डिग्री के साथ काम करने के नियमों को याद रखना होगा। विशेष रूप से, सामान्य कारकों को कोष्ठक से बाहर रखना।

लेकिन सबसे महत्वपूर्ण बात यह समझना सीखना है कि वास्तव में कोष्ठक से क्या निकाला जा सकता है। ऐसी अभिव्यक्ति को स्थिर कहा जाता है - इसे एक नए चर द्वारा दर्शाया जा सकता है और इस प्रकार घातीय फ़ंक्शन से छुटकारा मिल सकता है। तो, आइए कार्यों पर नजर डालें:

\[\begin(संरेखित करें) और ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768. \\\end(संरेखित)\]

आइए सबसे पहली पंक्ति से शुरू करें। आइए इस असमानता को अलग से लिखें:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

ध्यान दें कि $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, तो दाहिना हाथ पक्ष पुनः लिखा जा सकता है:

ध्यान दें कि असमानता में $((5)^(x+1))$ के अलावा कोई अन्य घातांकीय फलन नहीं हैं। और सामान्य तौर पर, वेरिएबल $x$ कहीं और दिखाई नहीं देता है, तो चलिए एक नया वेरिएबल पेश करते हैं: $((5)^(x+1))=t$। हमें निम्नलिखित निर्माण मिलता है:

\[\begin(संरेखित) और 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(संरेखित करें)\]

हम मूल वेरिएबल ($t=((5)^(x+1))$) पर लौटते हैं, और साथ ही याद रखते हैं कि 1=5 0। हमारे पास है:

\[\begin(संरेखित करें) और ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(संरेखित करें)\]

यही समाधान है! उत्तर: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. आइए दूसरी असमानता पर चलते हैं:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

यहां हर एक चीज़ समान है। ध्यान दें कि $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . फिर बाईं ओर फिर से लिखा जा सकता है:

\[\begin(संरेखित) और ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \दाएं। \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\राइटएरो ((3)^(x))\ge 9\राइटएरो ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\दायां तीर x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\end(संरेखित करें)\]

वास्तविक परीक्षणों और स्वतंत्र कार्य के लिए आपको लगभग इसी तरह समाधान तैयार करने की आवश्यकता है।

खैर, आइए कुछ अधिक जटिल प्रयास करें। उदाहरण के लिए, यहाँ असमानता है:

\[((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

यहाँ क्या समस्या है? सबसे पहले, बाईं ओर घातांकीय फलनों के आधार भिन्न हैं: 5 और 25। हालाँकि, 25 = 5 2, इसलिए पहले पद को रूपांतरित किया जा सकता है:

\[\begin(संरेखित) और ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(संरेखित करें )\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, सबसे पहले हम सब कुछ एक ही आधार पर लाए, और फिर हमने देखा कि पहले पद को आसानी से दूसरे पद तक घटाया जा सकता है - आपको बस घातांक का विस्तार करने की आवश्यकता है। अब आप सुरक्षित रूप से एक नया वेरिएबल पेश कर सकते हैं: $((5)^(2x+2))=t$, और पूरी असमानता इस प्रकार फिर से लिखी जाएगी:

\[\begin(संरेखित) और 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(संरेखित करें)\]

और फिर, कोई कठिनाई नहीं! अंतिम उत्तर: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. आइए आज के पाठ में अंतिम असमानता की ओर बढ़ें:

\[((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768\]

निःसंदेह, सबसे पहली चीज़ जिस पर आपको ध्यान देना चाहिए, वह है दशमलवप्रथम डिग्री के आधार पर. इससे छुटकारा पाना आवश्यक है, और साथ ही सभी घातीय कार्यों को एक ही आधार पर लाना आवश्यक है - संख्या "2":

\[\begin(संरेखित) और 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\दायां तीर ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\दायां तीर ((16)^(x+1.5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(संरेखित)\]

बहुत बढ़िया, हमने पहला कदम उठा लिया है—सब कुछ एक ही बुनियाद पर पहुंच गया है। अब आपको सेलेक्ट करना है स्थिर अभिव्यक्ति. ध्यान दें कि $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. यदि हम एक नया वेरिएबल $((2)^(4x+6))=t$ पेश करते हैं, तो मूल असमानता को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

\[\begin(संरेखित) और 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\end(संरेखित करें)\]

स्वाभाविक रूप से, यह प्रश्न उठ सकता है: हमने यह कैसे खोजा कि 256 = 2 8? दुर्भाग्य से, यहां आपको केवल दो की शक्तियों (और साथ ही तीन और पांच की शक्तियों) को जानने की आवश्यकता है। ठीक है, या 256 को 2 से विभाजित करें (आप विभाजित कर सकते हैं, क्योंकि 256 है सम संख्या) जब तक हमें परिणाम नहीं मिल जाता। यह कुछ इस तरह दिखेगा:

\[\begin(संरेखित करें) और 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(संरेखित करें) )\]

तीन के साथ भी यही सच है (संख्या 9, 27, 81 और 243 इसकी डिग्री हैं), और सात के साथ (संख्या 49 और 343 भी याद रखना अच्छा होगा)। खैर, पाँचों में "सुंदर" डिग्रियाँ भी हैं जिन्हें आपको जानना आवश्यक है:

\[\begin(संरेखित करें) और ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(संरेखित करें)\]

निःसंदेह, यदि आप चाहें, तो इन सभी संख्याओं को एक-दूसरे से क्रमिक रूप से गुणा करके आपके दिमाग में पुनर्स्थापित किया जा सकता है। हालाँकि, जब आपको कई घातांकीय असमानताओं को हल करना होता है, और प्रत्येक अगली पिछले एक की तुलना में अधिक कठिन होती है, तो आखिरी चीज जिसके बारे में आप सोचना चाहते हैं वह कुछ संख्याओं की शक्तियां हैं। और इस अर्थ में, ये समस्याएँ "शास्त्रीय" असमानताओं से अधिक जटिल हैं जिन्हें अंतराल विधि द्वारा हल किया जाता है।

घातांकीय समीकरण और असमानताएँ वे हैं जिनमें घातांक में अज्ञात निहित होता है।

घातीय समीकरणों को हल करने से अक्सर समीकरण a x = a b को हल करना पड़ता है, जहां a > 0, a ≠ 1, x एक अज्ञात है। इस समीकरण का एक ही मूल x = b है, क्योंकि निम्नलिखित प्रमेय सत्य है:

प्रमेय. यदि a > 0, a ≠ 1 और a x 1 = a x 2, तो x 1 = x 2.

आइए हम सुविचारित कथन की पुष्टि करें।

आइए मान लें कि समानता x 1 = x 2 कायम नहीं है, यानी। एक्स 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, तो घातांकीय फलन y = a x बढ़ता है और इसलिए असमानता a x 1 संतुष्ट होनी चाहिए< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >एक एक्स 2. दोनों ही मामलों में हमें स्थिति a x 1 = a x 2 का विरोधाभास प्राप्त हुआ।

आइए कई समस्याओं पर विचार करें.

समीकरण 4 ∙ 2 x = 1 को हल करें।

समाधान।

आइए समीकरण को 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0 के रूप में लिखें, जिससे हमें x + 2 = 0 प्राप्त होता है, अर्थात। एक्स = -2.

उत्तर। एक्स = -2.

समीकरण 2 3x ∙ 3 x = 576 हल करें।

समाधान।

चूँकि 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, समीकरण को 8 x ∙ 3 x = 24 2 या 24 x = 24 2 के रूप में लिखा जा सकता है।

यहाँ से हमें x = 2 प्राप्त होता है।

उत्तर। एक्स = 2.

समीकरण 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25 को हल करें।

समाधान।

बाईं ओर के कोष्ठकों में से उभयनिष्ठ गुणनखंड 3 x - 2 निकालने पर, हमें 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25 प्राप्त होता है।

जहाँ से 3 x - 2 = 1, अर्थात्। एक्स - 2 = 0, एक्स = 2.

उत्तर। एक्स = 2.

समीकरण 3 x = 7 x को हल करें।

समाधान।

चूँकि 7 x ≠ 0, समीकरण को 3 x /7 x = 1 के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ से (3/7) x = 1, x = 0।

उत्तर। एक्स = 0.

समीकरण 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0 को हल करें।

समाधान।

3 x = a को प्रतिस्थापित करने से यह समीकरण कम हो जाता है द्विघात समीकरणए 2 – 4ए – 45 = 0.

इस समीकरण को हल करने पर, हमें इसके मूल मिलते हैं: a 1 = 9, और 2 = -5, जहाँ से 3 x = 9, 3 x = -5।

समीकरण 3 x = 9 का मूल 2 है, और समीकरण 3 x = -5 का कोई मूल नहीं है, क्योंकि घातांकीय फलन ऋणात्मक मान नहीं ले सकता है।

उत्तर। एक्स = 2.

घातांकीय असमानताओं को हल करने का मतलब अक्सर असमानताओं a x > a b या a x को हल करना होता है< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

आइए कुछ समस्याओं पर नजर डालें.

असमानता 3x को हल करें< 81.

समाधान।

आइए असमानता को 3x के रूप में लिखें< 3 4 . Так как 3 >1, तो फलन y = 3 x बढ़ रहा है।

इसलिए, x के लिए< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

इस प्रकार, x पर< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 एक्स< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

उत्तर। एक्स< 4.

असमानता 16 x +4 x – 2 > 0 को हल करें।

समाधान।

आइए हम 4 x = t को निरूपित करें, फिर हमें द्विघात असमानता t2 + t - 2 > 0 प्राप्त होती है।

यह असमानता टी के लिए है< -2 и при t > 1.

चूँकि t = 4 x, हमें दो असमानताएँ 4 x प्राप्त होती हैं< -2, 4 х > 1.

पहली असमानता का कोई समाधान नहीं है, क्योंकि सभी x € R के लिए 4 x > 0 है।

हम दूसरी असमानता को 4 x > 4 0 के रूप में लिखते हैं, जहाँ से x > 0.

उत्तर। एक्स > 0.

ग्राफ़िक रूप से समीकरण (1/3) x = x - 2/3 को हल करें।

समाधान।

1) आइए फ़ंक्शन y = (1/3) x और y = x - 2/3 के ग्राफ़ बनाएं।

2) हमारे आंकड़े के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि विचार किए गए कार्यों के ग्राफ भुज x ≈ 1 के साथ बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। जाँच करने से साबित होता है कि

x = 1 इस समीकरण का मूल है:

(1/3) 1 = 1/3 और 1 - 2/3 = 1/3।

दूसरे शब्दों में, हमें समीकरण का एक मूल मिल गया है।

3) आइए अन्य जड़ें खोजें या सिद्ध करें कि कोई नहीं हैं। फ़ंक्शन (1/3) x घट रहा है, और फ़ंक्शन y = x - 2/3 बढ़ रहा है। इसलिए, x > 1 के लिए, पहले फ़ंक्शन का मान 1/3 से कम है, और दूसरे का - 1/3 से अधिक है; एक्स पर< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 और एक्स< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

उत्तर। एक्स = 1.

ध्यान दें कि इस समस्या के समाधान से, विशेष रूप से, यह पता चलता है कि असमानता (1/3) x > x - 2/3 x के लिए संतुष्ट है< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

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पर यह सबकहम सरलतम चरघातांकीय असमानताओं को हल करने की तकनीक के आधार पर विभिन्न चरघातांकीय असमानताओं को देखेंगे और सीखेंगे कि उन्हें कैसे हल किया जाए

1. एक घातांकीय फलन की परिभाषा और गुण

आइए हम घातीय फ़ंक्शन की परिभाषा और बुनियादी गुणों को याद करें। सभी घातीय समीकरणों और असमानताओं का समाधान इन्हीं गुणों पर आधारित होता है।

घातांक प्रकार्यफॉर्म का एक फ़ंक्शन है, जहां आधार डिग्री है और यहां x स्वतंत्र चर, तर्क है; y आश्रित चर, फलन है।

चावल। 1. घातांकीय फलन का ग्राफ

ग्राफ क्रमशः एक से अधिक और एक से कम लेकिन शून्य से अधिक आधार वाले घातांकीय फ़ंक्शन को दर्शाते हुए बढ़ते और घटते घातांक को दर्शाता है।

दोनों वक्र बिंदु (0;1) से होकर गुजरते हैं

घातीय फलन के गुण:

कार्यक्षेत्र: ;

मूल्यों की श्रृंखला: ;

फ़ंक्शन मोनोटोनिक है, साथ बढ़ता है, साथ घटता है।

एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन अपने प्रत्येक मान को एक एकल तर्क मान देता है।

जब, जब तर्क माइनस से प्लस इनफिनिटी तक बढ़ता है, तो फ़ंक्शन शून्य समावेशी से प्लस इनफिनिटी तक बढ़ जाता है, अर्थात, तर्क के दिए गए मानों के लिए हमारे पास एक नीरस रूप से बढ़ता हुआ फ़ंक्शन () होता है। इसके विपरीत, जब तर्क माइनस से प्लस इनफिनिटी तक बढ़ता है, तो फ़ंक्शन अनंत से घटकर शून्य समावेशी हो जाता है, यानी, तर्क के दिए गए मानों के लिए हमारे पास एक नीरस रूप से घटता हुआ फ़ंक्शन () होता है।

2. सरलतम घातीय असमानताएँ, समाधान विधि, उदाहरण

उपरोक्त के आधार पर, हम सरल घातांकीय असमानताओं को हल करने की एक विधि प्रस्तुत करते हैं:

असमानताओं को हल करने की तकनीक:

डिग्रियों के आधारों को बराबर करना;

सेव करके या बदलकर मेट्रिक्स की तुलना करें विपरीत संकेतअसमानताएँ

जटिल घातांकीय असमानताओं का समाधान आम तौर पर उन्हें सरलतम घातांकीय असमानताओं तक कम करने में होता है।

डिग्री का आधार एक से अधिक है, जिसका अर्थ है कि असमानता चिह्न संरक्षित है:

आइए डिग्री के गुणों के अनुसार दाईं ओर को रूपांतरित करें:

डिग्री का आधार एक से कम है, असमानता का चिन्ह उलटा होना चाहिए:

द्विघात असमानता को हल करने के लिए, हम संबंधित द्विघात समीकरण को हल करते हैं:

विएटा के प्रमेय का उपयोग करके हम मूल पाते हैं:

परवलय की शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं।

इस प्रकार, हमारे पास असमानता का समाधान है:

यह अनुमान लगाना आसान है कि दाईं ओर को शून्य के घातांक के साथ एक शक्ति के रूप में दर्शाया जा सकता है:

डिग्री का आधार एक से अधिक है, असमानता चिह्न नहीं बदलता है, हमें मिलता है:

आइए हम ऐसी असमानताओं को हल करने की तकनीक को याद करें।

भिन्नात्मक-तर्कसंगत फ़ंक्शन पर विचार करें:

हम परिभाषा का क्षेत्र पाते हैं:

फ़ंक्शन की जड़ें ढूँढना:

फ़ंक्शन का एक ही रूट है,

हम स्थिर चिह्न के अंतराल का चयन करते हैं और प्रत्येक अंतराल पर फ़ंक्शन के चिह्न निर्धारित करते हैं:

चावल। 2. चिन्ह की स्थिरता का अंतराल

इस प्रकार, हमें उत्तर प्राप्त हुआ।

उत्तर:

3. मानक घातीय असमानताओं को हल करना

आइए समान संकेतकों, लेकिन अलग-अलग आधारों वाली असमानताओं पर विचार करें।

एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन के गुणों में से एक यह है कि यह तर्क के किसी भी मूल्य के लिए सख्ती से सकारात्मक मान लेता है, जिसका अर्थ है कि इसे एक एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन में विभाजित किया जा सकता है। आइए दी गई असमानता को उसके दाहिने पक्ष से विभाजित करें:

डिग्री का आधार एक से अधिक होने पर असमानता का चिह्न सुरक्षित रहता है।

आइए समाधान का वर्णन करें:

चित्र 6.3 कार्यों के ग्राफ दिखाता है और। जाहिर है, जब तर्क शून्य से बड़ा होता है, तो फ़ंक्शन का ग्राफ़ ऊंचा होता है, यह फ़ंक्शन बड़ा होता है। जब तर्क मान नकारात्मक होते हैं, तो फ़ंक्शन कम हो जाता है, छोटा हो जाता है। जब तर्क समान होता है, तो कार्य समान होते हैं, जिसका अर्थ है दिया गया बिंदुदी गई असमानता का समाधान भी है।

चावल। 3. उदाहरण 4 के लिए चित्रण

आइए दी गई असमानता को डिग्री के गुणों के अनुसार रूपांतरित करें:

यहां कुछ समान शब्द दिए गए हैं:

आइए दोनों भागों को इसमें विभाजित करें:

अब हम उदाहरण 4 के समान हल करना जारी रखते हैं, दोनों भागों को इस प्रकार विभाजित करते हैं:

डिग्री का आधार एक से अधिक होने पर असमानता का चिह्न बना रहता है:

4. घातांकीय असमानताओं का आलेखीय समाधान

उदाहरण 6 - असमानता को आलेखीय रूप से हल करें:

आइए बायीं और दायीं ओर के कार्यों को देखें और उनमें से प्रत्येक के लिए एक ग्राफ बनाएं।

फ़ंक्शन घातीय है और इसकी परिभाषा के पूरे क्षेत्र में बढ़ता है, अर्थात, तर्क के सभी वास्तविक मूल्यों के लिए।

फ़ंक्शन रैखिक है और इसकी परिभाषा के पूरे क्षेत्र में घटता है, अर्थात, तर्क के सभी वास्तविक मूल्यों के लिए।

यदि ये फ़ंक्शन प्रतिच्छेद करते हैं, यानी सिस्टम के पास कोई समाधान है, तो ऐसा समाधान अद्वितीय है और इसका आसानी से अनुमान लगाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम पूर्णांकों पर पुनरावृति करते हैं ()

यह देखना आसान है कि इस प्रणाली की जड़ है:

इस प्रकार, फ़ंक्शन के ग्राफ़ एक बिंदु पर एक के बराबर तर्क के साथ प्रतिच्छेद करते हैं।

अब हमें उत्तर पाना होगा. दी गई असमानता का अर्थ यह है कि घातांक रैखिक फलन से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए, अर्थात उच्चतर होना चाहिए या उसके साथ मेल खाना चाहिए। उत्तर स्पष्ट है: (चित्र 6.4)

चावल। 4. उदाहरण 6 के लिए चित्रण

इसलिए, हमने विभिन्न मानक घातीय असमानताओं को हल करने पर ध्यान दिया। आगे हम अधिक जटिल चरघातांकीय असमानताओं पर विचार करने के लिए आगे बढ़ते हैं।

ग्रन्थसूची

मोर्दकोविच ए.जी. बीजगणित और सिद्धांत गणितीय विश्लेषण. - एम.: निमोसिन। मुराविन जी.के., मुराविन ओ.वी. बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत। - एम.: बस्टर्ड. कोलमोगोरोव ए.एन., अब्रामोव ए.एम., डुडनित्सिन यू. पी. एट अल। बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत। - एम.: आत्मज्ञान।

गणित। एम.डी. गणित-पुनरावृत्ति. com. डिफ्यूर. केम्सू. आरयू.

गृहकार्य

1. बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत, ग्रेड 10-11 (ए. एन. कोलमोगोरोव, ए. एम. अब्रामोव, यू. पी. डुडनित्सिन) 1990, संख्या 472, 473;

2. असमानता का समाधान करें:

3. असमानता का समाधान करें.