जिस पर हमने सबसे सरल व्युत्पन्नों का विश्लेषण किया, और विभेदीकरण के नियमों और कुछ से भी परिचित हुए तकनीकी तरीकेडेरिवेटिव ढूँढना. इस प्रकार, यदि आप फ़ंक्शंस के डेरिवेटिव के साथ बहुत अच्छे नहीं हैं या यदि इस लेख में कुछ बिंदु पूरी तरह से स्पष्ट नहीं हैं, तो पहले उपरोक्त पाठ पढ़ें। कृपया गंभीर मूड में आएँ - सामग्री सरल नहीं है, लेकिन फिर भी मैं इसे सरल और स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करने का प्रयास करूँगा।

व्युत्पन्न के साथ व्यवहार में जटिल कार्यआपको अक्सर इसका सामना करना पड़ता है, मैं तो यहां तक ​​कहूंगा, लगभग हमेशा, जब आपको डेरिवेटिव खोजने के लिए कार्य दिए जाते हैं।

हम एक जटिल फ़ंक्शन को अलग करने के लिए नियम (संख्या 5) की तालिका को देखते हैं:

आइए इसका पता लगाएं। सबसे पहले, आइए प्रवेश पर ध्यान दें। यहां हमारे पास दो फ़ंक्शन हैं - और, और फ़ंक्शन, लाक्षणिक रूप से बोलते हुए, फ़ंक्शन के भीतर निहित है। इस प्रकार का एक फ़ंक्शन (जब एक फ़ंक्शन दूसरे में निहित होता है) को जटिल फ़ंक्शन कहा जाता है।

मैं फ़ंक्शन को कॉल करूंगा बाह्य कार्य, और फ़ंक्शन - आंतरिक (या नेस्टेड) ​​फ़ंक्शन.

! ये परिभाषाएँ सैद्धांतिक नहीं हैं और इन्हें असाइनमेंट के अंतिम डिज़ाइन में प्रदर्शित नहीं किया जाना चाहिए। मैं अनौपचारिक अभिव्यक्तियों "बाहरी कार्य", "आंतरिक" कार्य का उपयोग केवल आपके लिए सामग्री को समझना आसान बनाने के लिए करता हूं।

स्थिति स्पष्ट करने के लिए, विचार करें:

उदाहरण 1

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

साइन के अंतर्गत हमारे पास केवल अक्षर "X" नहीं है, बल्कि एक संपूर्ण अभिव्यक्ति है, इसलिए तालिका से तुरंत व्युत्पन्न ढूँढना काम नहीं करेगा। हमने यह भी देखा कि पहले चार नियमों को यहां लागू करना असंभव है, इसमें अंतर प्रतीत होता है, लेकिन तथ्य यह है कि साइन को "टुकड़ों में नहीं तोड़ा जा सकता":

में इस उदाहरण मेंमेरे स्पष्टीकरणों से यह पहले से ही सहज रूप से स्पष्ट है कि एक फ़ंक्शन एक जटिल फ़ंक्शन है, और बहुपद एक आंतरिक फ़ंक्शन (एम्बेडिंग) और एक बाहरी फ़ंक्शन है।

पहला कदमकिसी जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ज्ञात करते समय आपको क्या करने की आवश्यकता है समझें कि कौन सा कार्य आंतरिक है और कौन सा बाह्य है.

यदि सरल उदाहरणयह स्पष्ट प्रतीत होता है कि ज्या के नीचे एक बहुपद सन्निहित है। लेकिन अगर सब कुछ स्पष्ट न हो तो क्या होगा? सटीक रूप से कैसे निर्धारित करें कि कौन सा कार्य बाहरी है और कौन सा आंतरिक है? ऐसा करने के लिए, मैं निम्नलिखित तकनीक का उपयोग करने का सुझाव देता हूं, जिसे मानसिक रूप से या ड्राफ्ट में किया जा सकता है।

आइए कल्पना करें कि हमें अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने के लिए एक कैलकुलेटर का उपयोग करने की आवश्यकता है (एक के बजाय कोई भी संख्या हो सकती है)।

हम पहले क्या गणना करेंगे? सबसे पहलेआपको निम्नलिखित क्रिया करने की आवश्यकता होगी: इसलिए बहुपद एक आंतरिक कार्य होगा:

दूसरेखोजने की आवश्यकता होगी, इसलिए साइन - एक बाहरी कार्य होगा:

हमारे बाद बिक गयाआंतरिक और बाह्य कार्यों के साथ, जटिल कार्यों के विभेदन के नियम को लागू करने का समय आ गया है .

आइए निर्णय लेना शुरू करें. पाठ से व्युत्पन्न कैसे खोजें?हमें याद है कि किसी भी व्युत्पन्न के समाधान का डिज़ाइन हमेशा इस तरह से शुरू होता है - हम अभिव्यक्ति को कोष्ठक में संलग्न करते हैं और शीर्ष दाईं ओर एक स्ट्रोक लगाते हैं:

सर्वप्रथमहम बाहरी फलन (साइन) का व्युत्पन्न पाते हैं, प्राथमिक फलन के व्युत्पन्न की तालिका को देखते हैं और ध्यान देते हैं कि। यदि "x" को एक जटिल अभिव्यक्ति से बदल दिया जाए तो सभी तालिका सूत्र भी लागू होते हैं, इस मामले में:

ध्यान दें कि आंतरिक कार्य नहीं बदला है, हम इसे नहीं छूते.

ख़ैर, यह बिल्कुल स्पष्ट है कि

सूत्र को लागू करने का परिणाम अपने अंतिम रूप में यह इस प्रकार दिखता है:

स्थिरांक कारक आमतौर पर अभिव्यक्ति की शुरुआत में रखा जाता है:

यदि कोई ग़लतफ़हमी है, तो समाधान को कागज़ पर लिखें और स्पष्टीकरणों को दोबारा पढ़ें।

उदाहरण 2

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

उदाहरण 3

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

हमेशा की तरह, हम लिखते हैं:

आइए जानें कि कहां हमारा बाहरी कार्य है और कहां हमारा आंतरिक कार्य है। ऐसा करने के लिए, हम पर अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने के लिए (मानसिक रूप से या ड्राफ्ट में) प्रयास करते हैं। आपको पहले क्या करना चाहिए? सबसे पहले, आपको यह गणना करने की आवश्यकता है कि आधार किसके बराबर है: इसलिए, बहुपद आंतरिक कार्य है:

और केवल तभी घातांक निष्पादित किया जाता है, इसलिए, पावर फ़ंक्शन एक बाहरी फ़ंक्शन है:

सूत्र के अनुसार , सबसे पहले आपको बाहरी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढना होगा, इस मामले में, डिग्री। हम तालिका में आवश्यक सूत्र की तलाश करते हैं:। हम फिर दोहराते हैं: कोई भी सारणीबद्ध सूत्र न केवल "एक्स" के लिए मान्य है, बल्कि एक जटिल अभिव्यक्ति के लिए भी मान्य है. इस प्रकार, एक जटिल फ़ंक्शन को विभेदित करने के लिए नियम लागू करने का परिणाम अगला:

मैं फिर से इस बात पर जोर देता हूं कि जब हम बाहरी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लेते हैं, तो हमारा आंतरिक फ़ंक्शन नहीं बदलता है:

अब जो कुछ बचा है वह आंतरिक फ़ंक्शन का एक बहुत ही सरल व्युत्पन्न ढूंढना है और परिणाम को थोड़ा बदलना है:

उदाहरण 4

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यह आपके लिए स्वयं हल करने के लिए एक उदाहरण है (पाठ के अंत में उत्तर दें)।

एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बारे में आपकी समझ को मजबूत करने के लिए, मैं बिना किसी टिप्पणी के एक उदाहरण दूंगा, इसे स्वयं समझने का प्रयास करूंगा, कारण बताऊंगा कि बाहरी फ़ंक्शन कहां है और आंतरिक फ़ंक्शन कहां है, कार्यों को इस तरह से क्यों हल किया जाता है?

उदाहरण 5

ए) फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

बी) फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

उदाहरण 6

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यहां हमारे पास एक जड़ है, और जड़ को अलग करने के लिए, इसे एक शक्ति के रूप में दर्शाया जाना चाहिए। इस प्रकार, सबसे पहले हम फ़ंक्शन को विभेदन के लिए उपयुक्त रूप में लाते हैं:

फ़ंक्शन का विश्लेषण करते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि तीन पदों का योग एक आंतरिक फ़ंक्शन है, और एक घात तक बढ़ाना एक बाहरी फ़ंक्शन है। हम जटिल कार्यों के विभेदन का नियम लागू करते हैं :

हम फिर से डिग्री को एक रेडिकल (रूट) के रूप में दर्शाते हैं, और आंतरिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए हम योग को अलग करने के लिए एक सरल नियम लागू करते हैं:

तैयार। आप व्यंजक को कोष्ठक में एक सामान्य हर तक भी छोटा कर सकते हैं और सब कुछ एक भिन्न के रूप में लिख सकते हैं। बेशक, यह सुंदर है, लेकिन जब आपको बोझिल लंबे डेरिवेटिव मिलते हैं, तो ऐसा न करना बेहतर है (भ्रमित होना आसान है, अनावश्यक गलती करना, और शिक्षक के लिए इसे जांचना असुविधाजनक होगा)।

उदाहरण 7

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यह आपके लिए स्वयं हल करने के लिए एक उदाहरण है (पाठ के अंत में उत्तर दें)।

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि कभी-कभी किसी जटिल फ़ंक्शन को अलग करने के नियम के बजाय, आप भागफल को अलग करने के लिए नियम का उपयोग कर सकते हैं , लेकिन ऐसा समाधान एक असामान्य विकृति की तरह दिखेगा। यहाँ एक विशिष्ट उदाहरण है:

उदाहरण 8

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यहां आप भागफल के विभेदन के नियम का उपयोग कर सकते हैं , लेकिन किसी जटिल फलन के विभेदन के नियम के माध्यम से व्युत्पन्न ज्ञात करना कहीं अधिक लाभदायक है:

हम विभेदन के लिए फ़ंक्शन तैयार करते हैं - हम व्युत्पन्न चिह्न से ऋण को हटाते हैं, और कोसाइन को अंश में बढ़ाते हैं:

कोसाइन एक आंतरिक कार्य है, घातांक एक बाहरी कार्य है।
आइए अपने नियम का उपयोग करें :

हम आंतरिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढते हैं और कोसाइन को वापस नीचे रीसेट करते हैं:

तैयार। विचार किए गए उदाहरण में, यह महत्वपूर्ण है कि संकेतों में भ्रमित न हों। वैसे, नियम का उपयोग करके इसे हल करने का प्रयास करें , उत्तर मेल खाने चाहिए।

उदाहरण 9

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यह आपके लिए स्वयं हल करने के लिए एक उदाहरण है (पाठ के अंत में उत्तर दें)।

अब तक हमने ऐसे मामलों को देखा है जहां हमारे पास एक जटिल फ़ंक्शन में केवल एक नेस्टिंग थी। व्यावहारिक कार्यों में, आप अक्सर डेरिवेटिव पा सकते हैं, जहां घोंसले बनाने वाली गुड़िया की तरह, एक दूसरे के अंदर 3 या यहां तक ​​कि 4-5 फ़ंक्शन एक साथ निहित होते हैं।

उदाहरण 10

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

आइए इस फ़ंक्शन के अनुलग्नकों को समझें। आइए प्रयोगात्मक मान का उपयोग करके अभिव्यक्ति की गणना करने का प्रयास करें। हम कैलकुलेटर पर कैसे भरोसा करेंगे?

सबसे पहले आपको खोजने की आवश्यकता है, जिसका अर्थ है कि आर्क्साइन सबसे गहरी एम्बेडिंग है:

किसी के इस आर्कसाइन को तब चुकता किया जाना चाहिए:

और अंत में, हम सात को एक घात तक बढ़ाते हैं:

अर्थात्, इस उदाहरण में हमारे पास तीन अलग-अलग फ़ंक्शन और दो एम्बेडिंग हैं, जबकि सबसे भीतरी फ़ंक्शन आर्कसाइन है, और सबसे बाहरी फ़ंक्शन घातीय फ़ंक्शन है।

आइए निर्णय लेना शुरू करें

नियम के अनुसार सबसे पहले आपको बाहरी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लेने की आवश्यकता है। हम डेरिवेटिव की तालिका को देखते हैं और डेरिवेटिव ढूंढते हैं घातांक प्रकार्य: अंतर केवल इतना है कि "x" के बजाय हमारे पास एक जटिल अभिव्यक्ति है, जो इस सूत्र की वैधता को नकारती नहीं है। तो, एक जटिल फ़ंक्शन को विभेदित करने के लिए नियम लागू करने का परिणाम अगला।

तालिका का पहला सूत्र निकालते समय, हम एक बिंदु पर व्युत्पन्न फ़ंक्शन की परिभाषा से आगे बढ़ेंगे। चलो कहाँ ले चलो एक्स- कोई भी वास्तविक संख्या, अर्थात, एक्स- फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से कोई भी संख्या। आइए फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि के अनुपात की सीमा को यहां लिखें:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सीमा चिह्न के तहत अभिव्यक्ति प्राप्त की जाती है, जो शून्य से विभाजित शून्य की अनिश्चितता नहीं है, क्योंकि अंश में एक अनंत मान नहीं होता है, लेकिन सटीक शून्य होता है। दूसरे शब्दों में, एक स्थिर फलन की वृद्धि सदैव शून्य होती है।

इस प्रकार, एक स्थिर फलन का व्युत्पन्नपरिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में शून्य के बराबर है.

एक शक्ति फलन का व्युत्पन्न.

व्युत्पन्न सूत्र शक्ति समारोहकी तरह लगता है , जहां प्रतिपादक पी- कोई भी वास्तविक संख्या।

आइए सबसे पहले प्राकृतिक घातांक के सूत्र को सिद्ध करें, अर्थात, के लिए पी = 1, 2, 3, ...

हम व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करेंगे। आइए हम किसी पावर फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि के अनुपात की सीमा लिखें:

अंश में व्यंजक को सरल बनाने के लिए, हम न्यूटन द्विपद सूत्र की ओर मुड़ते हैं:

इस तरह,

यह एक प्राकृतिक घातांक के लिए घात फलन के व्युत्पन्न के सूत्र को सिद्ध करता है।

एक घातीय फलन का व्युत्पन्न.

हम परिभाषा के आधार पर व्युत्पन्न सूत्र की व्युत्पत्ति प्रस्तुत करते हैं:

हम अनिश्चितता पर आ गये हैं। इसका विस्तार करने के लिए, हम एक नया वेरिएबल पेश करते हैं, और पर। तब । पिछले संक्रमण में, हमने एक नए लघुगणकीय आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र का उपयोग किया था।

आइए मूल सीमा में स्थानापन्न करें:

यदि हम दूसरी उल्लेखनीय सीमा को याद करते हैं, तो हम घातीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के सूत्र पर पहुंचते हैं:

लघुगणकीय फलन का व्युत्पन्न.

आइए हम सभी के लिए एक लघुगणकीय फलन के अवकलज का सूत्र सिद्ध करें एक्सपरिभाषा के क्षेत्र और आधार के सभी मान्य मानों से एलोगारित्म व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:

जैसा कि आपने देखा, प्रमाण के दौरान परिवर्तन लघुगणक के गुणों का उपयोग करके किए गए थे। समानता दूसरी उल्लेखनीय सीमा के कारण सत्य है।

त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्पन्न.

त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्पन्नों के लिए सूत्र प्राप्त करने के लिए, हमें कुछ त्रिकोणमिति सूत्रों के साथ-साथ पहली उल्लेखनीय सीमा को भी याद करना होगा।

हमारे पास साइन फ़ंक्शन के लिए व्युत्पन्न की परिभाषा है .

आइए ज्या के अंतर सूत्र का उपयोग करें:

पहली उल्लेखनीय सीमा की ओर मुड़ना बाकी है:

इस प्रकार, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाप एक्सवहाँ है क्योंकि x.

कोज्या के अवकलज का सूत्र बिल्कुल इसी प्रकार सिद्ध किया जाता है।

इसलिए, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न क्योंकि xवहाँ है -पाप एक्स.

हम विभेदन (अंश का व्युत्पन्न) के सिद्ध नियमों का उपयोग करके स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के व्युत्पन्न की तालिका के लिए सूत्र प्राप्त करेंगे।

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के व्युत्पन्न.

विभेदीकरण के नियम और डेरिवेटिव की तालिका से घातीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र हमें हाइपरबोलिक साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट के डेरिवेटिव के लिए सूत्र प्राप्त करने की अनुमति देते हैं।

व्युत्क्रम फलन का व्युत्पन्न.

प्रेजेंटेशन के दौरान भ्रम से बचने के लिए, आइए सबस्क्रिप्ट में उस फ़ंक्शन के तर्क को निरूपित करें जिसके द्वारा विभेदीकरण किया जाता है, अर्थात यह फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है एफ(एक्स)द्वारा एक्स.

अब आइये सूत्रीकरण करें व्युत्क्रम फलन का अवकलज ज्ञात करने का नियम।

चलो कार्य करें वाई = एफ(एक्स)और एक्स = जी(वाई)परस्पर व्युत्क्रम, अंतरालों पर परिभाषित और क्रमशः। यदि किसी बिंदु पर फ़ंक्शन का एक सीमित गैर-शून्य व्युत्पन्न है एफ(एक्स), तो बिंदु पर व्युत्क्रम फलन का एक परिमित व्युत्पन्न होता है जी(वाई), और . एक अन्य पोस्ट में .

इस नियम को किसी के लिए भी दोबारा बनाया जा सकता है एक्सअंतराल से, तब हम पाते हैं .

आइए इन फॉर्मूलों की वैधता की जाँच करें।

आइए प्राकृतिक लघुगणक के लिए व्युत्क्रम फलन खोजें (यहाँ यएक फ़ंक्शन है, और एक्स- तर्क)। इस समीकरण को हल करने के बाद एक्स, हमें (यहाँ) मिलता है एक्सएक फ़ंक्शन है, और य- उसका तर्क)। वह है, और परस्पर विपरीत कार्य।

डेरिवेटिव की तालिका से हम इसे देखते हैं और .

आइए सुनिश्चित करें कि व्युत्क्रम फ़ंक्शन के व्युत्पन्न खोजने के सूत्र हमें समान परिणामों तक ले जाते हैं:

व्युत्पन्न गणना- डिफरेंशियल कैलकुलस में सबसे महत्वपूर्ण ऑपरेशनों में से एक। सरल कार्यों के व्युत्पन्न खोजने के लिए नीचे एक तालिका है। अधिक जटिल नियमभेदभाव, अन्य पाठ देखें:

• घातांकीय और लघुगणकीय फलनों के व्युत्पन्नों की तालिका

दिए गए सूत्रों को संदर्भ मान के रूप में उपयोग करें। वे विभेदक समीकरणों और समस्याओं को हल करने में मदद करेंगे। चित्र में, सरल कार्यों के व्युत्पन्न की तालिका में, उपयोग के लिए समझने योग्य रूप में व्युत्पन्न खोजने के मुख्य मामलों की एक "चीट शीट" है, इसके आगे प्रत्येक मामले के लिए स्पष्टीकरण हैं।

सरल कार्यों के व्युत्पन्न

1. किसी संख्या का व्युत्पन्न शून्य है
с´ = 0
उदाहरण:
5´ = 0

स्पष्टीकरण:
व्युत्पन्न उस दर को दर्शाता है जिस पर किसी फ़ंक्शन का तर्क बदलने पर उसका मान बदलता है। चूँकि संख्या किसी भी परिस्थिति में किसी भी तरह से नहीं बदलती है, इसलिए इसके परिवर्तन की दर हमेशा शून्य होती है।

2. एक चर का व्युत्पन्नएक के बराबर
x´ = 1

स्पष्टीकरण:
तर्क (x) में प्रत्येक वृद्धि के साथ, फ़ंक्शन का मान (गणना का परिणाम) उसी राशि से बढ़ता है। इस प्रकार, फ़ंक्शन y = x के मान में परिवर्तन की दर तर्क के मान में परिवर्तन की दर के बिल्कुल बराबर है।

3. एक चर और एक गुणनखंड का व्युत्पन्न इस गुणनखंड के बराबर होता है
сx´ = с
उदाहरण:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
स्पष्टीकरण:
इस मामले में, हर बार फ़ंक्शन तर्क बदलता है ( एक्स) इसका मान (y) बढ़ जाता है साथएक बार। इस प्रकार, तर्क के परिवर्तन की दर के संबंध में फ़ंक्शन मान के परिवर्तन की दर बिल्कुल मान के बराबर है साथ.

यह कहां से इसका अनुसरण करता है
(सीएक्स + बी)" = सी
अर्थात्, रैखिक फलन y=kx+b का अंतर बराबर है ढलानसीधी रेखा का ढलान (k)।

4. एक चर का मॉड्यूलो व्युत्पन्नइस चर के भागफल के बराबर इसके मापांक के बराबर
|x|"= एक्स / |एक्स| बशर्ते कि x ≠ 0
स्पष्टीकरण:
चूंकि एक चर का व्युत्पन्न (सूत्र 2 देखें) एक के बराबर है, मॉड्यूल का व्युत्पन्न केवल इसमें भिन्न होता है कि मूल बिंदु को पार करने पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर का मान विपरीत में बदल जाता है (ग्राफ खींचने का प्रयास करें) फ़ंक्शन y = |x| का और स्वयं देखें कि यह वास्तव में क्या मान है और अभिव्यक्ति x / |x| लौटाता है< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - एक. यानी जब नकारात्मक मानचर x, तर्क में प्रत्येक वृद्धि के साथ, फ़ंक्शन का मान बिल्कुल उसी मान से घटता है, और सकारात्मक लोगों के लिए, इसके विपरीत, यह बढ़ता है, लेकिन बिल्कुल उसी मान से।

5. एक चर से एक घात का व्युत्पन्नइस शक्ति की एक संख्या के उत्पाद के बराबर और एक से कम की गई शक्ति के लिए एक चर
(x c)"= cx c-1, बशर्ते कि x c और cx c-1 परिभाषित हों और c ≠ 0
उदाहरण:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
फार्मूला याद रखना:
चर की डिग्री को एक कारक के रूप में नीचे ले जाएँ, और फिर डिग्री को एक से कम कर दें। उदाहरण के लिए, x 2 के लिए - दोनों x से आगे थे, और फिर कम हुई शक्ति (2-1 = 1) ने हमें बस 2x दिया। x 3 के लिए भी यही हुआ - हम त्रिक को "नीचे ले जाते हैं", इसे एक से कम करते हैं और एक घन के बजाय हमारे पास एक वर्ग होता है, यानी 3x 2। थोड़ा "अवैज्ञानिक", लेकिन याद रखना बहुत आसान है।

6.भिन्न का व्युत्पन्न 1/x
(1/x)" = - 1/x 2
उदाहरण:
चूँकि भिन्न को बढ़ाकर दर्शाया जा सकता है नकारात्मक डिग्री
(1/x)" = (x -1)", तो आप डेरिवेटिव की तालिका के नियम 5 से सूत्र लागू कर सकते हैं
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. भिन्न का व्युत्पन्न मनमानी डिग्री के एक चर के साथहर में
(1 / x सी)"= - सी/एक्स सी+1
उदाहरण:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. जड़ का व्युत्पन्न(वर्गमूल के अंतर्गत चर का व्युत्पन्न)
(√x)" = 1 / (2√x)या 1/2 x -1/2
उदाहरण:
(√x)" = (x 1/2)" का अर्थ है कि आप नियम 5 से सूत्र लागू कर सकते हैं
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. एक मनमानी डिग्री की जड़ के तहत एक चर का व्युत्पन्न
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

जटिल व्युत्पन्न. लघुगणकीय व्युत्पन्न.
शक्ति-घातांकीय फलन का व्युत्पन्न

हम अपनी विभेदीकरण तकनीक में सुधार करना जारी रखते हैं। इस पाठ में, हम अपने द्वारा कवर की गई सामग्री को समेकित करेंगे, अधिक जटिल व्युत्पन्नों को देखेंगे, और व्युत्पन्न खोजने के लिए नई तकनीकों और युक्तियों से भी परिचित होंगे, विशेष रूप से, लघुगणकीय व्युत्पन्न के साथ।

जिन पाठकों के पास तैयारी का स्तर कम है, उन्हें लेख का संदर्भ लेना चाहिए व्युत्पन्न कैसे खोजें? समाधान के उदाहरण, जो आपको लगभग शुरू से ही अपने कौशल में सुधार करने की अनुमति देगा। इसके बाद, आपको पृष्ठ का सावधानीपूर्वक अध्ययन करने की आवश्यकता है एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न, समझें और समाधान करें सभीमैंने जो उदाहरण दिये. यह सबकतार्किक रूप से तीसरा, और इसमें महारत हासिल करने के बाद आप आत्मविश्वास से काफी जटिल कार्यों में अंतर कर पाएंगे। "और कहाँ?" की स्थिति लेना अवांछनीय है। हाँ, यह काफी है!'' क्योंकि सभी उदाहरण और समाधान वास्तविक से लिये गये हैं परीक्षणऔर अक्सर व्यवहार में सामने आते हैं।

आइए दोहराव से शुरू करें। कक्षा में एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्नहमने विस्तृत टिप्पणियों के साथ कई उदाहरण देखे। डिफरेंशियल कैलकुलस और अन्य अनुभागों के अध्ययन के दौरान गणितीय विश्लेषण- आपको बहुत बार अंतर करना होगा, और उदाहरणों का विस्तृत विवरण देना हमेशा सुविधाजनक नहीं होता (और हमेशा आवश्यक भी नहीं)। इसलिए, हम मौखिक रूप से डेरिवेटिव खोजने का अभ्यास करेंगे। इसके लिए सबसे उपयुक्त "उम्मीदवार" सबसे सरल जटिल कार्यों के व्युत्पन्न हैं, उदाहरण के लिए:

जटिल कार्यों के विभेदन के नियम के अनुसार :

भविष्य में अन्य मटन विषयों का अध्ययन करते समय, ऐसी विस्तृत रिकॉर्डिंग की अक्सर आवश्यकता नहीं होती है, यह माना जाता है कि छात्र जानता है कि ऑटोपायलट पर ऐसे डेरिवेटिव कैसे खोजें। आइए कल्पना करें कि सुबह 3 बजे फोन बजा और सुखद आवाजपूछा: "दो एक्स की स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न क्या है?" इसके बाद लगभग तुरंत और विनम्र प्रतिक्रिया दी जानी चाहिए: .

पहला उदाहरण तुरंत स्वतंत्र समाधान के लिए अभिप्रेत होगा।

उदाहरण 1

उदाहरण के लिए, एक क्रिया में निम्नलिखित व्युत्पन्नों को मौखिक रूप से खोजें:। कार्य को पूरा करने के लिए आपको केवल उपयोग करने की आवश्यकता है प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न की तालिका(यदि आपने इसे अभी तक याद नहीं किया है)। यदि आपको कोई कठिनाई हो तो मैं पाठ को दोबारा पढ़ने की सलाह देता हूँ एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

पाठ के अंत में उत्तर

जटिल व्युत्पन्न

प्रारंभिक तोपखाने की तैयारी के बाद, कार्यों के 3-4-5 नेस्टिंग वाले उदाहरण कम डरावने होंगे। निम्नलिखित दो उदाहरण कुछ लोगों को जटिल लग सकते हैं, लेकिन यदि आप उन्हें समझते हैं (किसी को कष्ट होगा), तो अंतर कलन में लगभग बाकी सब कुछ बच्चों के मजाक जैसा लगेगा।

उदाहरण 2

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, किसी जटिल फलन का व्युत्पन्न ज्ञात करते समय, सबसे पहले, यह आवश्यक है सहीअपने निवेश को समझें. ऐसे मामलों में जहां संदेह हो, मैं आपको याद दिलाता हूं उपयोगी युक्ति: उदाहरण के लिए, हम "x" का प्रयोगात्मक अर्थ लेते हैं, और इस अर्थ को "भयानक अभिव्यक्ति" में प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं (मानसिक रूप से या ड्राफ्ट में)।

1) सबसे पहले हमें अभिव्यक्ति की गणना करने की आवश्यकता है, जिसका अर्थ है कि योग सबसे गहरा एम्बेडिंग है।

2) फिर आपको लघुगणक की गणना करने की आवश्यकता है:

4) फिर कोज्या का घन करें:

5) पांचवें चरण में अंतर:

6) और अंत में, सबसे बाहरी कार्य है वर्गमूल:

किसी जटिल फ़ंक्शन को विभेदित करने का सूत्र बाहरीतम कार्य से लेकर अंतरतम तक उल्टे क्रम में लागू किया जाता है। हमने निर्णय किया:

ऐसा प्रतीत होता है कि कोई त्रुटि नहीं है...

(1) वर्गमूल का अवकलज लीजिए।

(2) हम नियम का उपयोग करके अंतर का व्युत्पन्न लेते हैं

(3) त्रिक का अवकलज शून्य है। दूसरे पद में हम घात (घन) का अवकलज लेते हैं।

(4) कोसाइन का व्युत्पन्न लें।

(5) लघुगणक का अवकलज लीजिए।

(6) और अंत में, हम सबसे गहरे एम्बेडिंग का व्युत्पन्न लेते हैं।

यह बहुत कठिन लग सकता है, लेकिन यह सबसे क्रूर उदाहरण नहीं है। उदाहरण के लिए, कुज़नेत्सोव के संग्रह को लें और आप विश्लेषण किए गए व्युत्पन्न की सभी सुंदरता और सादगी की सराहना करेंगे। मैंने देखा कि वे परीक्षा में इसी तरह की चीज़ देना पसंद करते हैं ताकि यह जांचा जा सके कि क्या कोई छात्र किसी जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढना समझता है या नहीं समझता है।

निम्नलिखित उदाहरण आपके लिए स्वयं हल करने के लिए है।

उदाहरण 3

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

संकेत: सबसे पहले हम रैखिकता नियम और उत्पाद विभेदन नियम लागू करते हैं

पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

अब कुछ छोटी और अच्छी चीज़ की ओर बढ़ने का समय आ गया है।
किसी उदाहरण में दो नहीं, बल्कि तीन कार्यों का गुणनफल दिखाना कोई असामान्य बात नहीं है। तीन कारकों के उत्पाद का व्युत्पन्न कैसे खोजें?

उदाहरण 4

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

पहले हम देखते हैं, क्या तीन कार्यों के उत्पाद को दो कार्यों के उत्पाद में बदलना संभव है? उदाहरण के लिए, यदि हमारे उत्पाद में दो बहुपद हैं, तो हम कोष्ठक खोल सकते हैं। लेकिन विचाराधीन उदाहरण में, सभी फ़ंक्शन अलग-अलग हैं: डिग्री, घातांक और लघुगणक।

ऐसे में यह जरूरी है क्रमिक रूप सेउत्पाद विभेदीकरण नियम लागू करें दो बार

चाल यह है कि "y" से हम दो कार्यों के उत्पाद को दर्शाते हैं:, और "ve" से हम लघुगणक को दर्शाते हैं:। ऐसा क्यों किया जा सकता है? क्या सच में ऐसा है – यह दो कारकों का उत्पाद नहीं है और नियम काम नहीं करता है?! इसमें कुछ भी जटिल नहीं है:

अब नियम को दूसरी बार लागू करना बाकी है ब्रैकेट में:

आप मुड़ भी सकते हैं और कोष्ठक से कुछ निकाल भी सकते हैं, लेकिन इस मामले में उत्तर को बिल्कुल इसी रूप में छोड़ना बेहतर है - इसे जांचना आसान होगा।

विचारित उदाहरण को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है:

दोनों समाधान बिल्कुल समतुल्य हैं.

उदाहरण 5

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है; नमूने में इसे पहली विधि का उपयोग करके हल किया गया है।

आइए भिन्नों वाले समान उदाहरण देखें।

उदाहरण 6

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

आप यहां कई तरीकों से जा सकते हैं:

या इस तरह:

लेकिन यदि हम पहले भागफल के विभेदन के नियम का उपयोग करें तो समाधान अधिक सघनता से लिखा जाएगा , संपूर्ण अंश के लिए लेते हुए:

सिद्धांत रूप में, उदाहरण हल हो गया है, और यदि इसे वैसे ही छोड़ दिया जाए, तो कोई त्रुटि नहीं होगी। लेकिन यदि आपके पास समय है, तो यह हमेशा सलाह दी जाती है कि ड्राफ्ट पर जांच कर लें कि क्या उत्तर को सरल बनाया जा सकता है? आइए हम अंश के व्यंजक को एक सामान्य हर में घटाएँ और आइए तीन मंजिला अंश से छुटकारा पाएं:

अतिरिक्त सरलीकरण का नुकसान यह है कि व्युत्पन्न खोजते समय गलती करने का जोखिम नहीं होता है, बल्कि सामान्य स्कूल परिवर्तनों के दौरान गलती होने का जोखिम होता है। दूसरी ओर, शिक्षक अक्सर असाइनमेंट को अस्वीकार कर देते हैं और व्युत्पन्न को "दिमाग में लाने" के लिए कहते हैं।

स्वयं हल करने के लिए एक सरल उदाहरण:

उदाहरण 7

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

हम व्युत्पन्न खोजने के तरीकों में महारत हासिल करना जारी रखते हैं, और अब हम एक विशिष्ट मामले पर विचार करेंगे जब विभेदन के लिए एक "भयानक" लघुगणक प्रस्तावित किया जाता है।

उदाहरण 8

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यहां आप एक जटिल फ़ंक्शन को अलग करने के नियम का उपयोग करके लंबा रास्ता तय कर सकते हैं:

लेकिन पहला कदम ही आपको तुरंत निराशा में डुबो देता है - आपको इसका अप्रिय व्युत्पन्न लेना होगा आंशिक शक्ति, और फिर भिन्न से भी.

इसीलिए पहले"परिष्कृत" लघुगणक का व्युत्पन्न कैसे लें, इसे पहले प्रसिद्ध स्कूल गुणों का उपयोग करके सरल बनाया गया है:

! यदि आपके पास अभ्यास नोटबुक है, तो इन सूत्रों को सीधे वहां कॉपी करें। यदि आपके पास नोटबुक नहीं है, तो उन्हें कागज के एक टुकड़े पर कॉपी करें, क्योंकि पाठ के शेष उदाहरण इन सूत्रों के इर्द-गिर्द घूमेंगे।

समाधान स्वयं कुछ इस प्रकार लिखा जा सकता है:

आइए फ़ंक्शन को रूपांतरित करें:

व्युत्पन्न ढूँढना:

फ़ंक्शन को पूर्व-रूपांतरित करने से समाधान बहुत सरल हो गया। इस प्रकार, जब विभेदन के लिए एक समान लघुगणक प्रस्तावित किया जाता है, तो हमेशा "इसे तोड़ने" की सलाह दी जाती है।

और अब आपके लिए स्वयं हल करने के लिए कुछ सरल उदाहरण:

उदाहरण 9

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

उदाहरण 10

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

सभी परिवर्तन और उत्तर पाठ के अंत में हैं।

लघुगणकीय व्युत्पन्न

यदि लघुगणक का व्युत्पन्न इतना मधुर संगीत है, तो प्रश्न उठता है: क्या कुछ मामलों में लघुगणक को कृत्रिम रूप से व्यवस्थित करना संभव है? कर सकना! और आवश्यक भी.

उदाहरण 11

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

हमने हाल ही में ऐसे ही उदाहरण देखे। क्या करें? आप क्रमिक रूप से भागफल के विभेदन के नियम को लागू कर सकते हैं, और फिर उत्पाद के विभेदन के नियम को लागू कर सकते हैं। इस पद्धति का नुकसान यह है कि आपके पास एक बड़ा तीन-मंजिला अंश रह जाता है, जिससे आप बिल्कुल भी निपटना नहीं चाहते हैं।

लेकिन सिद्धांत और व्यवहार में लघुगणकीय व्युत्पन्न जैसी एक अद्भुत चीज़ है। लघुगणक को दोनों तरफ "लटकाकर" कृत्रिम रूप से व्यवस्थित किया जा सकता है:

अब आपको यथासंभव दाईं ओर के लघुगणक को "तोड़ने" की आवश्यकता है (सूत्र आपकी आंखों के सामने हैं?)। मैं इस प्रक्रिया का विस्तार से वर्णन करूंगा:

आइए भेदभाव से शुरू करें।
हम दोनों भागों को अभाज्य के अंतर्गत समाप्त करते हैं:

दायीं ओर की व्युत्पत्ति काफी सरल है; मैं इस पर टिप्पणी नहीं करूंगा, क्योंकि यदि आप इस पाठ को पढ़ रहे हैं, तो आपको इसे आत्मविश्वास से संभालने में सक्षम होना चाहिए।

बाईं ओर के बारे में क्या?

बाईं ओर हमारे पास है जटिल कार्य. मुझे इस प्रश्न का पूर्वाभास है: "क्यों, क्या लघुगणक के अंतर्गत एक अक्षर "Y" है?"

तथ्य यह है कि यह "एक अक्षर का खेल" - यह स्वयं एक कार्य है(यदि यह बहुत स्पष्ट नहीं है, तो अंतर्निहित रूप से निर्दिष्ट फ़ंक्शन के व्युत्पन्न लेख को देखें)। इसलिए, लघुगणक एक बाहरी फ़ंक्शन है, और "y" एक आंतरिक फ़ंक्शन है। और हम किसी जटिल फ़ंक्शन को विभेदित करने के लिए नियम का उपयोग करते हैं :

बाईं ओर, मानो जादू से, हमारे पास एक व्युत्पन्न है। अगला, अनुपात के नियम के अनुसार, हम "y" को बाईं ओर के हर से दाईं ओर के शीर्ष पर स्थानांतरित करते हैं:

और अब आइए याद करें कि विभेदीकरण के दौरान हमने किस प्रकार के "खिलाड़ी"-कार्य के बारे में बात की थी? आइए स्थिति पर नजर डालें:

अंतिम उत्तर:

उदाहरण 12

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। इस प्रकार के उदाहरण का एक नमूना डिज़ाइन पाठ के अंत में है।

लघुगणकीय व्युत्पन्न का उपयोग करके किसी भी उदाहरण संख्या 4-7 को हल करना संभव था, दूसरी बात यह है कि वहां के कार्य सरल हैं, और, शायद, लघुगणकीय व्युत्पन्न का उपयोग बहुत उचित नहीं है।

शक्ति-घातांकीय फलन का व्युत्पन्न

हमने अभी तक इस फ़ंक्शन पर विचार नहीं किया है। एक शक्ति-घातांकीय फलन एक ऐसा फलन है जिसके लिए डिग्री और आधार दोनों "x" पर निर्भर करते हैं. एक उत्कृष्ट उदाहरण जो आपको किसी भी पाठ्यपुस्तक या व्याख्यान में दिया जाएगा:

पावर-एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कैसे खोजें?

अभी चर्चा की गई तकनीक का उपयोग करना आवश्यक है - लघुगणकीय व्युत्पन्न। हम दोनों तरफ लघुगणक लटकाते हैं:

एक नियम के रूप में, दाहिनी ओर से डिग्री लघुगणक के नीचे से निकाली जाती है:

परिणामस्वरूप, दाईं ओर हमारे पास दो कार्यों का गुणनफल है, जिन्हें मानक सूत्र के अनुसार विभेदित किया जाएगा .

हम व्युत्पन्न पाते हैं; ऐसा करने के लिए, हम दोनों भागों को स्ट्रोक के नीचे संलग्न करते हैं:

आगे की कार्रवाइयां सरल हैं:

अंत में:

यदि कोई रूपांतरण पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है, तो कृपया उदाहरण #11 के स्पष्टीकरण को ध्यान से दोबारा पढ़ें।

व्यावहारिक कार्यों में, पावर-एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन हमेशा विचार किए गए व्याख्यान उदाहरण की तुलना में अधिक जटिल होगा।

उदाहरण 13

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

हम लघुगणकीय व्युत्पन्न का उपयोग करते हैं।

दाईं ओर हमारे पास एक स्थिरांक और दो कारकों का गुणनफल है - "x" और "लघुगणक x का लघुगणक" (लघुगणक के नीचे एक और लघुगणक निहित है)। विभेदन करते समय, जैसा कि हमें याद है, स्थिरांक को तुरंत व्युत्पन्न चिह्न से बाहर ले जाना बेहतर होता है ताकि यह रास्ते में न आए; और, निःसंदेह, हम परिचित नियम लागू करते हैं :

जैसा कि आप देख सकते हैं, लॉगरिदमिक व्युत्पन्न का उपयोग करने के लिए एल्गोरिदम में कोई विशेष तरकीबें या तरकीबें नहीं होती हैं, और पावर-एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढना आमतौर पर "पीड़ा" से जुड़ा नहीं होता है।

किसी पावर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति (x से a की पावर)। x की जड़ों से प्राप्त व्युत्पन्नों पर विचार किया जाता है। उच्च क्रम पावर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र। डेरिवेटिव की गणना के उदाहरण.

a की घात के लिए x का व्युत्पन्न शून्य से एक की घात के लिए x के गुना के बराबर है:
(1) .

x के nवें मूल का mth घात से व्युत्पन्न है:
(2) .

पावर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

केस x > 0

घातांक a के साथ चर x के घात फलन पर विचार करें:
(3) .
यहाँ a एक मनमाना वास्तविक संख्या है। आइए पहले मामले पर विचार करें।

फ़ंक्शन (3) का व्युत्पन्न खोजने के लिए, हम पावर फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग करते हैं और इसे निम्नलिखित रूप में बदलते हैं:
.

अब हम इसका उपयोग करके व्युत्पन्न ज्ञात करते हैं:
;
.
यहाँ ।

सूत्र (1) सिद्ध हो चुका है।

x की घात n से m की घात तक के मूल के अवकलज के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

अब एक फ़ंक्शन पर विचार करें जो निम्नलिखित फॉर्म का मूल है:
(4) .

व्युत्पन्न खोजने के लिए, हम मूल को एक पावर फ़ंक्शन में बदलते हैं:
.
सूत्र (3) से तुलना करने पर हम यह देखते हैं
.
तब
.

सूत्र (1) का उपयोग करके हम व्युत्पन्न पाते हैं:
(1) ;
;
(2) .

व्यवहार में, सूत्र (2) को याद करने की कोई आवश्यकता नहीं है। पहले जड़ों को पावर फ़ंक्शंस में बदलना और फिर सूत्र (1) का उपयोग करके उनके डेरिवेटिव ढूंढना अधिक सुविधाजनक है (पृष्ठ के अंत में उदाहरण देखें)।

केस x = 0

यदि, तो पावर फ़ंक्शन को वेरिएबल x = के मान के लिए परिभाषित किया गया है 0 . 0 आइए x = पर फ़ंक्शन (3) का व्युत्पन्न खोजें
.

. 0 :
.
इस मामले में, व्युत्पन्न से हमारा तात्पर्य दाहिने हाथ की सीमा से है जिसके लिए।

तो हमने पाया:
.
इससे यह स्पष्ट है कि , के लिए .
पर , ।
पर , ।
यह परिणाम भी सूत्र (1) से प्राप्त होता है:
(1) .
इसलिए, सूत्र (1) x = के लिए भी मान्य है 0 .

केस एक्स< 0

फ़ंक्शन (3) पर फिर से विचार करें:
(3) .
स्थिरांक a के कुछ मानों के लिए, इसे चर x के ऋणात्मक मानों के लिए भी परिभाषित किया गया है। अर्थात्, रहने दोतर्कसंगत संख्या
,
. तब इसे एक अघुलनशील अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है: जहाँ m और n बिना पूर्णांक हैं.

सामान्य विभाजक 3 यदि n विषम है, तो पावर फ़ंक्शन को वेरिएबल x के नकारात्मक मानों के लिए भी परिभाषित किया गया है। 1 उदाहरण के लिए, जब n =
.
और एम =

हमारे पास x का घनमूल है: इसे वेरिएबल x के नकारात्मक मानों के लिए भी परिभाषित किया गया है।आइए हम और के लिए पावर फ़ंक्शन (3) का व्युत्पन्न ढूंढें
.
तर्कसंगत मूल्य
.
स्थिरांक a जिसके लिए इसे परिभाषित किया गया है। ऐसा करने के लिए, निम्नलिखित रूप में x की कल्पना करें:

.
तब ,
.
हम व्युत्पन्न के चिह्न के बाहर स्थिरांक रखकर और एक जटिल फ़ंक्शन को अलग करने के लिए नियम लागू करके व्युत्पन्न पाते हैं:
.
तब
.
यहाँ । लेकिन
(1) .

के बाद से

अर्थात्, सूत्र (1) इसके लिए भी मान्य है:
(3) .
उच्च क्रम डेरिवेटिव
.

आइए अब पावर फ़ंक्शन के उच्च क्रम वाले डेरिवेटिव खोजें
.
हमने पहले ऑर्डर का व्युत्पन्न पहले ही पा लिया है:
;

.

व्युत्पन्न के चिह्न के बाहर स्थिरांक a लेते हुए, हम दूसरे क्रम का व्युत्पन्न पाते हैं: इसी प्रकार, हम तीसरे और चौथे क्रम के व्युत्पन्न पाते हैं:इससे यह स्पष्ट है कि
.

मनमाना nवें क्रम का व्युत्पन्न निम्नलिखित रूप है: ध्यान दें कि यदि कोई है
.
प्राकृतिक संख्या
,
, तो nवाँ अवकलज स्थिर है:

फिर बाद के सभी व्युत्पन्न शून्य के बराबर हैं:

पर ।

डेरिवेटिव की गणना के उदाहरण
.

उदाहरण

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
;
.
समाधान
.

आइए जड़ों को घातों में बदलें:
;
.
तब मूल फ़ंक्शन रूप लेता है:
.