केंद्र को खोजने का दूसरा तरीका (उदाहरण के लिए, बदले हुए उत्पादों का) - एक विशेष उपकरण, "केंद्र खोजक" का उपयोग करना - तथाकथित के गुणों पर आधारित है। स्पर्शरेखा रेखाएँ. किसी वृत्त की स्पर्शरेखा कोई भी सीधी रेखा होती है, जो वृत्त से मिलने के बिंदु पर, इस बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत होती है। उदाहरण के लिए, नरक में. 174 सीधे ए बी सी डीऔर ई.एफ.– एक वृत्त की स्पर्श रेखाएँ ऐस. अंक ए, सी, ई"स्पर्श बिंदु" कहलाते हैं। स्पर्शरेखा रेखा की ख़ासियत यह है कि इसमें केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु वाला एक वृत्त होता है। वास्तव में, यदि स्पर्शरेखा अब(चित्र 175) एक वृत्त के साथ था, इसके अलावा एक और सामान्य बिंदु है, उदाहरण के लिए, साथ, फिर, इसे केंद्र से जोड़ने पर, हमें एक समद्विबाहु त्रिभुज प्राप्त होगा एसओएदो समकोणों के साथ एसए,और यह, हम जानते हैं, असंभव है (क्यों?)।

हम व्यावहारिक जीवन में अक्सर वृत्त पर स्पर्शरेखा रेखाओं का सामना करते हैं। एक ब्लॉक के ऊपर फेंकी गई रस्सी अपने तनावपूर्ण हिस्सों में ब्लॉक के वृत्त की स्पर्शरेखा रेखाओं की स्थिति लेती है। लहरा के बेल्ट (कई ब्लॉकों का संयोजन, चित्र 176) पहियों की परिधि के सामान्य स्पर्शरेखा की रेखा के साथ स्थित हैं। पुली के ट्रांसमिशन बेल्ट भी तथाकथित "बाहरी" स्पर्शरेखा के पुली के हलकों में सामान्य स्पर्शरेखा की स्थिति पर कब्जा कर लेते हैं। खुला संचरण और "आंतरिक" - बंद संचरण में।

वृत्त के बाहर किसी दिए गए बिंदु से स्पर्शरेखा कैसे खींची जाए? दूसरे शब्दों में: जैसे एक बिंदु के माध्यम से ए(चित्र 177) एक सीधी रेखा खींचिए अबकोण बनाना एबीओक्या यह सीधा था? यह अग्रानुसार होगा। जोड़ना एकेंद्र के साथ के बारे में(चित्र 178)। सीधी रेखा आधे भाग में तथा उसके मध्य भाग के चारों ओर विभाजित होती है में, एक केंद्र के रूप में, त्रिज्या वाले एक वृत्त का वर्णन करें में. दूसरे शब्दों में, पर ओएव्यास के अनुसार एक वृत्त बनाएं। प्रतिच्छेदन बिंदु साथऔर डीदोनों मंडल जुड़े हुए हैं एसीधी रेखाएँ: ये स्पर्श रेखाएँ होंगी।

इसे सत्यापित करने के लिए, आइए केंद्र से बिंदुओं तक चित्र बनाएं साथऔर डीसहायक पंक्तियाँ ओएसऔर आयुध डिपो. एंगल्स हड्डाऔर ओडीए- सीधे, चूँकि वे अर्धवृत्त में अंकित हैं। और इसका मतलब ये है ओएसऔर ओ.डी.– वृत्त की स्पर्श रेखाएँ.

हमारे निर्माण पर विचार करते हुए, हम अन्य बातों के अलावा, देखते हैं कि वृत्त के बाहर प्रत्येक बिंदु से हम उस पर दो स्पर्शरेखाएँ खींच सकते हैं। यह सत्यापित करना आसान है कि ये दोनों स्पर्शरेखाएँ समान लंबाई की हैं, अर्थात् एसी।= विज्ञापन. दरअसल, अवधि के बारे मेंकोण की भुजाओं से समान दूरी पर ए; मतलब ओएएक समभाजक है, और इसलिए त्रिकोण है ओएएसऔर ओ.ए.डी.बराबर ( एसयूएस).

रास्ते में, हमने स्थापित किया कि दोनों स्पर्शरेखाओं के बीच के कोण को समद्विभाजित करने वाली सीधी रेखा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है। यह मुड़े हुए उत्पादों का केंद्र खोजने के लिए उपकरण के डिज़ाइन का आधार है - खोजक का केंद्र (चित्र 179)। इसमें दो पंक्तियाँ होती हैं अबऔर एसी, एक कोण पर स्थिर, और तीसरा रूलर बी.डी, जिसके किनारे बी.डीकिनारों के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है

पहली दो पंक्तियाँ. उपकरण को गोल उत्पाद पर लगाया जाता है ताकि शासकों के किनारे उससे सटे रहें अबऔर सूरजउत्पाद की परिधि के संपर्क में आया। इस मामले में, किनारों का वृत्त के साथ केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होगा, इसलिए स्पर्शरेखा के अब संकेतित गुण के अनुसार, रूलर के किनारे को वृत्त के केंद्र से गुजरना होगा। रूलर का उपयोग करके उत्पाद पर एक वृत्त का व्यास खींचने के बाद, उत्पाद पर केंद्र खोजक को एक अलग स्थिति में लगाएं और एक अलग व्यास बनाएं। वांछित केंद्र दोनों व्यासों के प्रतिच्छेदन पर होगा।

यदि आपको दो वृत्तों के लिए एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा खींचने की आवश्यकता है, अर्थात एक सीधी रेखा खींचना है जो एक साथ दो वृत्तों को स्पर्श करे, तो निम्नानुसार आगे बढ़ें। एक वृत्त के केंद्र के पास, उदाहरण के लिए, के बारे में में(चित्र 180), दोनों वृत्तों की त्रिज्याओं के बीच के अंतर के बराबर त्रिज्या वाले एक सहायक वृत्त का वर्णन करें। फिर बिंदु से एस्पर्शरेखाएँ खींचिए एसीऔर विज्ञापनइस सहायक सर्कल के लिए. बिंदुओं से एऔर मेंपर लंबवत् सीधी रेखाएँ खींचें एसीऔर विज्ञापन, जब तक कि वे दिए गए वृत्तों के साथ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद न करें ई, एफ, एचऔर जी. सीधी रेखाएँ जुड़ रही हैं इसाथ एफ, जीसाथ एच, इन वृत्तों में उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ होंगी, क्योंकि वे त्रिज्याओं के लंबवत हैं एई, सीएफ, एजीऔर डी.एच..

अभी-अभी खींची गई और जिन्हें बाह्य कहा जाता है, दो स्पर्शरेखाओं के अलावा, नरक की तरह स्थित दो अन्य स्पर्शरेखाओं को खींचना भी संभव है। 181 (आंतरिक स्पर्शरेखाएँ)। इस निर्माण को करने के लिए, इनमें से किसी एक वृत्त के केंद्र के चारों ओर का वर्णन करें - उदाहरण के लिए, चारों ओर में- दोनों वृत्तों की त्रिज्याओं के योग के बराबर त्रिज्या वाला एक सहायक वृत्त। बिंदु से एइस सहायक वृत्त पर स्पर्शरेखाएँ खींचिए। पाठक निर्माण की आगे की दिशा स्वयं जान सकेंगे।

प्रश्न दोहराएँ

स्पर्शरेखा किसे कहते हैं? स्पर्श रेखा और वृत्त में कितने उभयनिष्ठ बिंदु हैं? – वृत्त के बाहर स्थित किसी बिंदु से होकर वृत्त पर स्पर्शरेखा कैसे खींची जाए? – आप इस तरह की कितनी स्पर्शरेखाएँ खींच सकते हैं? – सेंट्रीफ्यूज क्या है? – इसका उपकरण किस पर आधारित है? – दो वृत्तों पर एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा कैसे बनाएं? - स्पर्श रेखाएं कितनी हैं?

ज्यामितीय निर्माण

वृत्तों पर स्पर्श रेखाएँ बनाना

आइए हम वृत्तों पर स्पर्शरेखाएँ खींचने से संबंधित अन्य समस्याओं के समाधान में अंतर्निहित समस्या पर विचार करें।

चलो बिंदु सेए(चित्र 1) वृत्त को केंद्र मानकर उस पर स्पर्शरेखा खींचना आवश्यक हैके बारे में.

स्पर्शरेखाओं के सटीक निर्माण के लिए, वृत्त की रेखाओं के स्पर्शरेखा बिंदु निर्धारित करना आवश्यक है। इस बिंदु के लिएएएक सिलाई से जुड़ा होना चाहिएके बारे मेंऔर खंड को विभाजित करेंओएआधे में। इस खंड के मध्य से - अंकसाथ, जैसे कि केंद्र से, एक वृत्त का वर्णन करें जिसका व्यास खंड के बराबर होना चाहिएओए. अंकको1 औरको2 एक बिंदु पर केन्द्रित वृत्तों का प्रतिच्छेदनसाथऔर बिंदु पर केंद्र के साथके बारे मेंरेखाओं के स्पर्श बिंदु हैंएके1 औरएके2 किसी दिए गए सर्कल के लिए.

समस्या के समाधान की शुद्धता की पुष्टि इस तथ्य से होती है कि संपर्क बिंदु पर खींचे गए वृत्त की त्रिज्या वृत्त की स्पर्शरेखा के लंबवत है। एंगल्सठीक है1 एऔरठीक है2 एसीधे होते हैं क्योंकि वे व्यास पर टिके होते हैंजेएससीबिंदु पर केंद्र के साथ वृत्तसाथ.

चावल। 1.

दो वृत्तों पर स्पर्शरेखाएँ बनाते समय, स्पर्शरेखाओं को प्रतिष्ठित किया जाता हैआंतरिकऔरबाहरी. यदि दिए गए वृत्तों के केंद्र स्पर्शरेखा के एक तरफ स्थित हैं, तो इसे बाहरी माना जाता है, और यदि वृत्तों के केंद्र स्पर्शरेखा के एक तरफ स्थित हैं अलग-अलग पक्षस्पर्शरेखा से, - आंतरिक।

के बारे में1 औरके बारे में2 आर1 औरआर2 . दिए गए वृत्तों पर बाह्य स्पर्शरेखाएँ खींचना आवश्यक है।

सटीक निर्माण के लिए सीधी रेखाओं और दिए गए वृत्तों के स्पर्श बिंदु निर्धारित करना आवश्यक है। यदि केन्द्रों वाले वृत्तों की त्रिज्याएँके बारे में1 औरके बारे में2 समान मान से क्रमिक रूप से घटाना शुरू करें, फिर आप छोटे व्यास के संकेंद्रित वृत्तों की एक श्रृंखला प्राप्त कर सकते हैं। इसके अलावा, त्रिज्या घटने के प्रत्येक मामले में, छोटे वृत्तों की स्पर्शरेखाएँ वांछित स्पर्शरेखाओं के समानांतर होंगी। दोनों त्रिज्याओं को छोटी त्रिज्या के आकार से घटाने के बादआर2 केंद्र के साथ वृत्तके बारे में2 एक बिंदु में बदल जाता है, और केंद्र के साथ वृत्तके बारे में1 त्रिज्या के साथ एक संकेंद्रित वृत्त में परिवर्तित हो जाएगाआर3 , त्रिज्याओं के बीच अंतर के बराबरआर1 औरआर2 .

बिंदु से, पहले वर्णित विधि का उपयोग करनाके बारे में2 त्रिज्या वाले वृत्त पर बाह्य स्पर्श रेखाएँ खींचिएआर3 , बिंदुओ को जोडोके बारे में1 औरके बारे में2 , एक बिंदु से विभाजित करेंसाथरेखा खंडके बारे में1 के बारे में2 आधे में और एक त्रिज्या बनाएंसीओ1 एक चाप, जिसका किसी दिए गए वृत्त के साथ प्रतिच्छेदन रेखाओं के स्पर्श बिंदु निर्धारित करेगाके बारे में2 को1 औरके बारे में2 को2 .

डॉटए1 औरए2 बड़े वृत्त के साथ आवश्यक सीधी रेखाओं की स्पर्शरेखा सीधी रेखाओं की निरंतरता पर स्थित होती हैके बारे में1 को1 औरके बारे में1 को2 . अंकमें1 औरमें2 छोटे वृत्त की स्पर्शरेखा रेखाएँ आधार पर लंबवत होती हैंके बारे में2 क्रमशः सहायक स्पर्शरेखाओं के लिएके बारे में2 को1 औरके बारे में2 को2 . संपर्क बिंदु रखकर आप वांछित सीधी रेखाएँ खींच सकते हैंए1 में1 औरए2 में2 .

चावल। 2.

मान लीजिए बिंदुओं पर केंद्र वाले दो वृत्त दिए गए हैंके बारे में1 औरके बारे में2 (चित्र 2), क्रमशः त्रिज्या वालेआर1 औरआर2 . दिए गए वृत्तों पर आंतरिक स्पर्शरेखाएँ खींचना आवश्यक है।

सीधी रेखाओं और वृत्तों की स्पर्शरेखा के बिंदु निर्धारित करने के लिए, हम पिछली समस्या को हल करते समय दिए गए तर्क के समान तर्क का उपयोग करते हैं। यदि आप त्रिज्या कम करते हैंआर2 शून्य तक, फिर केंद्र वाला वृत्तके बारे में2 मुद्दे पर जाएं. हालाँकि, इस मामले में, वांछित त्रिज्या के साथ सहायक स्पर्शरेखाओं की समानता बनाए रखने के लिएआर1 एक आकार बढ़ाया जाना चाहिएआर2 और त्रिज्या वाला एक वृत्त बनाएंआर3 , राशि के बराबरत्रिज्याआर1 औरआर2 .

बिंदु सेके बारे में2 त्रिज्या वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचिएआर3 , बिंदुओं को क्यों जोड़ेंके बारे में1 औरके बारे में2 , एक बिंदु से विभाजित करेंसाथरेखा खंडके बारे में1 के बारे में2 आधे में और बिंदु पर केंद्र के साथ एक वृत्त का चाप बनाएंसाथऔर त्रिज्यासीओ1 . त्रिज्या वाले एक वृत्त के साथ एक चाप का प्रतिच्छेदनआर3 बिंदुओं की स्थिति निर्धारित करेगाको1 औरको2 सहायक लाइनों की स्पर्शरेखाके बारे में2 को1 औरके बारे में2 को2 .

डॉटए1 औरए2 आर1 खंड के साथ इस वृत्त के प्रतिच्छेदन पर हैके बारे में1 को1 औरके बारे में1 को2 . बिंदुओं को परिभाषित करने के लिएपहले मेंऔरदो परत्रिज्या के एक वृत्त के साथ आवश्यक सीधी रेखाओं की स्पर्शरेखाआर2 बिंदु से अनुसरण करता हैO2सहायक रेखाओं पर लम्बवत पुनर्स्थापित करेंO2K1औरO2K2जब तक यह किसी दिए गए वृत्त के साथ प्रतिच्छेद न हो जाए। वांछित रेखाओं और दिए गए वृत्तों के बीच स्पर्शरेखा बिंदु रखते हुए, हम सीधी रेखाएँ खींचते हैंए1बी1औरA2B2.

चावल। 3.

इस अध्याय में हम मुख्य में से एक पर लौटते हैं ज्यामितीय आकार- सर्कल के लिए. वृत्तों से संबंधित विभिन्न प्रमेय सिद्ध किए जाएंगे, जिनमें एक त्रिभुज, चतुर्भुज और इन आकृतियों के चारों ओर अंकित वृत्तों के बारे में प्रमेय शामिल हैं। इसके अलावा, त्रिभुज के उल्लेखनीय बिंदुओं के बारे में तीन कथन सिद्ध होंगे - त्रिभुज के समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु, इसकी ऊंचाईयों का प्रतिच्छेदन बिंदु, और त्रिभुज की भुजाओं पर लंबवत समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु। पहले दो कथन 7वीं कक्षा में तैयार किए गए थे, और अब हम उन्हें सिद्ध कर सकते हैं।

आइए जानें कि एक सीधी रेखा और एक वृत्त में उनकी सापेक्ष स्थिति के आधार पर कितने उभयनिष्ठ बिंदु हो सकते हैं। यह स्पष्ट है कि यदि कोई रेखा किसी वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है, तो वह वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है - इस रेखा पर स्थित व्यास के सिरे।

मान लीजिए कि सीधी रेखा p त्रिज्या r वाले वृत्त के केंद्र O से होकर नहीं गुजरती है। आइए हम सीधी रेखा p पर एक लंब OH खींचें और इस लंब की लंबाई को अक्षर d से निरूपित करें, अर्थात केंद्र से दूरी। यह वृत्त सीधी रेखा की ओर है (चित्र 211)।

चावल। 211

आइए ढूंढते हैं आपसी व्यवस्था d और r के बीच संबंध के आधार पर रेखा और वृत्त। तीन संभावित मामले हैं.

1)डी< r. На прямой р от точки Н отложим два отрезка НА и НВ, длины которых равны (рис. 211, а). По теореме Пифагора

नतीजतन, बिंदु ए और बी वृत्त पर स्थित हैं और इसलिए, सीधी रेखा पी और दिए गए वृत्त के सामान्य बिंदु हैं।

आइए हम सिद्ध करें कि सीधी रेखा p और दिए गए वृत्त में कोई अन्य उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है। आइए मान लें कि उनके पास एक और सामान्य बिंदु C है। फिर आधार AC पर खींचे गए समद्विबाहु त्रिभुज O AC की माध्यिका OD इस त्रिभुज की ऊंचाई है, इसलिए OD ⊥ p. खंड OD और OH संपाती नहीं हैं, क्योंकि खंड AC का मध्यबिंदु D, खंड AB के मध्यबिंदु - बिंदु H से मेल नहीं खाता है। हमने पाया कि बिंदु O से सीधी रेखा p पर दो लंब (खंड OH और OD) खींचे गए, जो असंभव है।

इसलिए, यदि वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा की दूरी वृत्त की त्रिज्या से कम है (d)< r), то прямая и окружность имеют две общие точки . इस स्थिति में, वृत्त के संबंध में सीधी रेखा को तिर्यक रेखा कहा जाता है।

2) डी = आर. इस स्थिति में OH = r, यानी बिंदु H वृत्त पर स्थित है और इसलिए, रेखा और वृत्त का उभयनिष्ठ बिंदु है (चित्र 211.6)। सीधी रेखा p और वृत्त में कोई अन्य उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है, क्योंकि सीधी रेखा p के किसी भी बिंदु M के लिए, बिंदु H से भिन्न, OM > OH = r (झुका हुआ OM लंबवत OH से बड़ा है), और, इसलिए , बिंदु M वृत्त पर स्थित नहीं है।

इसलिए, यदि वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा की दूरी वृत्त की त्रिज्या के बराबर है, तो सीधी रेखा और वृत्त में केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है।

3) डी > आर। इस मामले में, OH > r, इसलिए, सीधी रेखा r OM ≥ OH > r के किसी भी बिंदु M के लिए (चित्र 211, c)। इसलिए, बिंदु M वृत्त पर स्थित नहीं है।

इसलिए, यदि वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा की दूरी वृत्त की त्रिज्या से अधिक है, तो सीधी रेखा और वृत्त में कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।

एक वृत्त की स्पर्शरेखा

हमने सिद्ध कर दिया है कि एक रेखा और वृत्त में एक या दो उभयनिष्ठ बिंदु हो सकते हैं और कोई भी उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हो सकता है।

एक सीधी रेखा जिसका वृत्त के साथ केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है, वृत्त की स्पर्शरेखा कहलाती है, और उनके उभयनिष्ठ बिंदु को रेखा और वृत्त का स्पर्शरेखा बिंदु कहा जाता है। चित्र 212 में, सीधी रेखा p केंद्र O वाले वृत्त की स्पर्शरेखा है, A स्पर्शरेखा का बिंदु है।

आइए हम एक वृत्त की स्पर्श रेखा के गुण के बारे में एक प्रमेय सिद्ध करें।

प्रमेय

सबूत

मान लीजिए कि केंद्र O वाले वृत्त की स्पर्शरेखा p है और मान लीजिए A स्पर्शरेखा बिंदु है (चित्र 212 देखें)। आइए हम सिद्ध करें कि स्पर्श रेखा p त्रिज्या OA पर लंबवत है।

चावल। 212

चलिए मान लेते हैं कि ऐसा नहीं है. तब त्रिज्या OA सीधी रेखा r की ओर झुकी होती है। चूँकि बिंदु O से सीधी रेखा p पर खींचा गया लंब झुके हुए OA से कम है, वृत्त के केंद्र O से सीधी रेखा p तक की दूरी त्रिज्या से कम है। परिणामस्वरूप, सीधी रेखा p और वृत्त में दो उभयनिष्ठ बिंदु हैं। लेकिन यह इस शर्त का खंडन करता है: सीधी रेखा p स्पर्शरेखा है।

इस प्रकार, सीधी रेखा p त्रिज्या OA पर लंबवत है। प्रमेय सिद्ध है.

केंद्र O वाले एक वृत्त की दो स्पर्शरेखाओं पर विचार करें, जो बिंदु A से होकर गुजरती हैं और वृत्त को बिंदु B और C पर स्पर्श करती हैं (चित्र 213)। आइए खंडों को AB और AC कहते हैं एक बिंदु से खींचे गए स्पर्शरेखा खंड A. उनके पास निम्नलिखित संपत्ति है:

चावल। 213

इस कथन को सिद्ध करने के लिए, आइए चित्र 213 की ओर मुड़ें। स्पर्शरेखा गुण पर प्रमेय के अनुसार, कोण 1 और 2 समकोण हैं, इसलिए त्रिभुज ABO और ACO समकोण हैं। वे समान हैं क्योंकि उनके पास एक सामान्य कर्ण OA और समान पैर OB और OS हैं। इसलिए, AB = AC और ∠3 = ∠4, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

आइए अब हम स्पर्शरेखा गुण (स्पर्शरेखा गुण) के बारे में प्रमेय के विपरीत प्रमेय को सिद्ध करें।

प्रमेय

सबूत

प्रमेय की शर्तों से यह निष्कर्ष निकलता है कि यह त्रिज्या वृत्त के केंद्र से दी गई रेखा पर खींचा गया लंबवत है। इसलिए, वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा की दूरी त्रिज्या के बराबर होती है, और इसलिए, सीधी रेखा और वृत्त में केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है। लेकिन इसका मतलब यह है कि यह रेखा वृत्त की स्पर्शरेखा है। प्रमेय सिद्ध है.

स्पर्शरेखा रेखा के निर्माण से जुड़ी समस्याओं का समाधान इस प्रमेय पर आधारित है। आइए इनमें से एक समस्या का समाधान करें।

काम

केंद्र O वाले वृत्त के दिए गए बिंदु A से होकर इस वृत्त पर एक स्पर्शरेखा खींचिए।

समाधान

आइए एक सीधी रेखा O A खींचें, और फिर सीधी रेखा O A के लंबवत बिंदु A से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा p बनाएं। स्पर्शरेखा मानदंड के अनुसार, सीधी रेखा p वांछित स्पर्शरेखा है।

कार्य

631. मान लीजिए कि r त्रिज्या वाले एक वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा r तक की दूरी d है। सीधी रेखा r और वृत्त की सापेक्ष स्थिति क्या है यदि: a) r = 16 सेमी, d = 12 सेमी; बी) आर = 5 सेमी, डी = 4.2 सेमी; सी) आर = 7.2 डीएम, (2 = 3.7 डीएम; डी) आर = 8 सेमी, डी = 1.2 डीएम; ई) आर = 5 सेमी, डी = 50 मिमी?

632. बिंदु A से वृत्त के केंद्र की दूरी वृत्त की त्रिज्या से कम है। सिद्ध करें कि बिंदु A से गुजरने वाली कोई भी रेखा दिए गए वृत्त के संबंध में एक छेदक रेखा है।

633. एक वर्ग O ABC दिया गया है, जिसकी भुजा 6 सेमी है, और एक वृत्त जिसका केंद्र त्रिज्या 5 सेमी है, OA, AB, BC और AC में से कौन सी रेखाएँ इस वृत्त के संबंध में छेदक हैं?

634. केंद्र O वाले वृत्त की त्रिज्या OM जीवा AB को आधे में विभाजित करती है। सिद्ध कीजिए कि बिंदु M से खींची गई स्पर्शरेखा जीवा AB के समानांतर है।

635. वृत्त के बिंदु A से होकर वृत्त की त्रिज्या के बराबर एक स्पर्शरेखा और एक जीवा खींची जाती है। उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

636. जीवा AB के सिरों से वृत्त की त्रिज्या के बराबर दो स्पर्शरेखाएँ खींची जाती हैं, जो बिंदु C पर प्रतिच्छेद करती हैं। कोण AC B ज्ञात कीजिए।

637. व्यास AB और जीवा AC के बीच का कोण 30° है। बिंदु C से होकर एक स्पर्शरेखा खींची गई है और रेखा AB को बिंदु D पर काटती है। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज ACD समद्विबाहु है।

638. सीधी रेखा AB त्रिज्या r वाले केंद्र O वाले एक वृत्त को बिंदु B पर स्पर्श करती है। यदि OA = 2 सेमी और r = 1.5 सेमी है तो AB ज्ञात करें।

639. रेखा AB त्रिज्या r वाले केंद्र O वाले एक वृत्त को बिंदु B पर स्पर्श करती है। यदि ∠AOB = 60° और r = 12 सेमी है तो AB ज्ञात करें।

640. केंद्र O और त्रिज्या 4.5 सेमी और बिंदु A वाला एक वृत्त दिया गया है। बिंदु A से होकर वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं। यदि OA = 9 सेमी है तो उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

641. खंड AB और AC केंद्र O वाले एक वृत्त के स्पर्शरेखा खंड हैं, जो बिंदु A से खींचे गए हैं। यदि खंड AO का मध्यबिंदु वृत्त पर स्थित है, तो कोण BAC ज्ञात करें।

642. चित्र 213 में ओबी = 3 सेमी, सीएम। = 6 सेमी. एबी, एसी, ∠3 और ∠4 खोजें.

643. रेखाएँ AB और AC केंद्र O वाले एक वृत्त को बिंदु B और C पर स्पर्श करती हैं। यदि ∠OAB = 30°, AB = 5 सेमी है तो BC ज्ञात कीजिए।

644. सीधी रेखाएं MA और MB केंद्र O वाले एक वृत्त को बिंदु A और B पर स्पर्श करती हैं। बिंदु C, बिंदु B के सापेक्ष बिंदु O के सममित है। सिद्ध करें कि ∠AMC = 3∠BMC है।

645. किसी दिए गए वृत्त के व्यास AB के सिरों से, स्पर्शरेखा पर लंब AA 1 और BB 1 खींचे जाते हैं, जो व्यास AB पर लंबवत नहीं है। सिद्ध करें कि स्पर्शरेखा बिंदु खंड A 1 B 1 का मध्यबिंदु है।

646. त्रिभुज ABC में, कोण B समकोण है। साबित करें कि: ए) सीधी रेखा बीसी त्रिज्या एबी के केंद्र ए वाले वृत्त की स्पर्शरेखा है; बी) सीधी रेखा एबी त्रिज्या सीबी के केंद्र सी वाले एक वृत्त की स्पर्शरेखा है; सी) सीधी रेखा एसी केंद्र बी और त्रिज्या बीए और बीसी वाले वृत्तों की स्पर्शरेखा नहीं है।

647. खंड AN, 3 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के केंद्र O से गुजरने वाली सीधी रेखा पर बिंदु A से खींचा गया एक लंब है, क्या सीधी रेखा AN वृत्त पर स्पर्शरेखा है यदि: a) CM। = 5 सेमी, एएन = 4 सेमी; बी) ∠HAO = 45°, CM = 4 सेमी; ग) ∠HAO = 30°, O A = 6 सेमी?

648. O केंद्र वाले एक वृत्त पर एक स्पर्शरेखा की रचना कीजिए: a) दी गई रेखा के समानांतर; बी) किसी दी गई रेखा के लंबवत।

समस्याओं के उत्तर

कम्पास कार्यक्रम पर पाठ।

पाठ #12. कम्पास 3डी में वृत्तों का निर्माण।
वक्रों के स्पर्शरेखा वाले वृत्त, दो बिंदुओं पर आधारित एक वृत्त।

कम्पास 3डी में स्पर्शरेखा वृत्त बनाने के कई तरीके हैं:

• पहले वक्र की स्पर्शरेखा वृत्त;
• 2 वक्रों की स्पर्शरेखा वृत्त;
• 3 वक्रों की स्पर्शरेखा वृत्त;

वक्र की स्पर्शरेखा वृत्त बनाने के लिए, बटन दबाएँ "1 वक्र पर स्पर्शरेखा वृत्त"कॉम्पैक्ट पैनल में, या शीर्ष मेनू में, आदेशों को क्रमिक रूप से दबाएँ "उपकरण" - "ज्यामिति" - "वृत्त" - "1 वक्र पर स्पर्शरेखा वाला वृत्त।"

कर्सर का उपयोग करते हुए, हम पहले उस वक्र को इंगित करते हैं जिसके माध्यम से सर्कल गुजरेगा, फिर इस सर्कल के पहले और दूसरे बिंदुओं को सेट करें (बिंदुओं के निर्देशांक संपत्ति पैनल में दर्ज किए जा सकते हैं)।

सभी के प्रेत स्क्रीन पर प्रदर्शित होंगे। संभावित विकल्पवृत्त. कर्सर का उपयोग करके, उन लोगों का चयन करें जिनकी हमें आवश्यकता है और "ऑब्जेक्ट बनाएं" बटन पर क्लिक करके उन्हें ठीक करें। हम "निरस्त आदेश" बटन पर क्लिक करके निर्माण पूरा करते हैं।

दूसरा बिंदु निर्दिष्ट करने से पहले, आप प्रॉपर्टी पैनल पर संबंधित फ़ील्ड में त्रिज्या या व्यास मान दर्ज कर सकते हैं। ऐसा घेरा हमेशा नहीं बनाया जाएगा. यह दी गई त्रिज्या या व्यास पर निर्भर करता है। त्रिज्या मान दर्ज करने के बाद प्रेत के गायब होने से निर्माण की असंभवता का संकेत मिलेगा।

यदि वृत्त का केंद्र बिंदु ज्ञात है, तो इसे गुण पैनल में भी सेट किया जा सकता है।

दो वक्रों पर स्पर्शरेखा वृत्त बनाने के लिए, बटन दबाएँ "2 वक्रों पर स्पर्शरेखा वृत्त बनाएं"एक कॉम्पैक्ट पैनल में. या शीर्ष मेनू में, आदेशों को क्रमिक रूप से दबाएँ "उपकरण" - "ज्यामिति" - "वृत्त" - "2 वक्रों की स्पर्शरेखा वाला वृत्त".

कर्सर का उपयोग करके, हम उन वस्तुओं को इंगित करते हैं जिन्हें सर्कल को छूना चाहिए। सभी संभावित निर्माण विकल्पों के प्रेत स्क्रीन पर प्रदर्शित किए जाएंगे।

यदि वृत्त से संबंधित किसी बिंदु की स्थिति ज्ञात है, तो इसे कर्सर का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जाना चाहिए, या निर्देशांक को संपत्ति पैनल में दर्ज किया जाना चाहिए। आप गुण पैनल में त्रिज्या या व्यास मान भी दर्ज कर सकते हैं। निर्माण पूरा करने के लिए, वांछित प्रेत का चयन करें और बटनों को क्रमिक रूप से दबाएँ "ऑब्जेक्ट बनाएं"और "निरस्त आदेश".

तीन वक्रों पर स्पर्शरेखा वृत्त बनाने के लिए, बटन दबाएँ "3 वक्रों पर स्पर्शरेखा वृत्त बनाएं"एक कॉम्पैक्ट पैनल में. या शीर्ष मेनू में, आदेशों को क्रमिक रूप से दबाएँ "उपकरण" - "ज्यामिति" - "वृत्त" - "3 वक्रों को स्पर्श करने वाला वृत्त।"

निर्माण पिछले वाले के समान हैं, इसलिए उन्हें स्वयं करें, परिणाम नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

प्रत्यक्ष ( एम.एन.), वृत्त के साथ केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु है ( ए), बुलाया स्पर्शरेखा वृत्त को.

इस मामले में सामान्य बिंदु कहा जाता है संपर्क का बिंदु।

अस्तित्व की संभावना स्पर्शरेखा, और, इसके अलावा, किसी भी बिंदु के माध्यम से खींचा गया घेरा, स्पर्शरेखा के एक बिंदु के रूप में, निम्नानुसार सिद्ध होता है प्रमेय.

इसे निभाना जरूरी है घेराकेंद्र के साथ हे स्पर्शरेखाबिंदु के माध्यम से ए. इस बिंदु से ऐसा करने के लिए ए,केंद्र से, हम वर्णन करते हैं आर्क RADIUS ए.ओ., और बिंदु से हे, केंद्र के रूप में, हम इस चाप को बिंदुओं पर काटते हैं बीऔर साथदिए गए वृत्त के व्यास के बराबर एक कम्पास समाधान।

खर्च करने के बाद फिर कॉर्ड्स ओ.बी.और ओएस, बिंदु कनेक्ट करें एबिंदुओं के साथ डीऔर इ, जिस पर ये जीवाएं किसी दिए गए वृत्त के साथ प्रतिच्छेद करती हैं। प्रत्यक्ष विज्ञापनऔर ए.ई. - एक वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हे. दरअसल, निर्माण से यह स्पष्ट है कि त्रिभुज एओबीऔर एओसी समद्विबाहु(एओ = एबी = एसी) आधारों के साथ ओ.बी.और ओएस, वृत्त के व्यास के बराबर हे.

क्योंकि ओ.डी.और ओ.ई.- त्रिज्या, फिर डी - मध्य ओ.बी., ए इ- मध्य ओएस, मतलब विज्ञापनऔर ए.ई. - माध्यिकाओं, अड्डों पर ले जाया गया समद्विबाहु त्रिभुज, और इसलिए इन आधारों के लंबवत। अगर सीधा है डी.ए.और ई.ए.त्रिज्या के लंबवत ओ.डी.और ओ.ई., तब वे - स्पर्शरेखा.

परिणाम।

एक बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाएं बराबर होती हैं और इस बिंदु को केंद्र से जोड़ने वाली सीधी रेखा के साथ समान कोण बनाती हैं.

इसलिए एडी=एईऔर ∠ ओ.ए.डी. = ∠ओएईक्योंकि समकोण त्रिभुज एओडीऔर एओई, एक आम होना कर्ण ए.ओ.और बराबर पैर ओ.डी.और ओ.ई.(त्रिज्या के रूप में), बराबर हैं। ध्यान दें कि यहाँ "स्पर्शरेखा" शब्द का वास्तव में अर्थ है " स्पर्शरेखा खंड"किसी दिए गए बिंदु से संपर्क बिंदु तक।