सबसे आवश्यक त्रिकोणमितीय सूत्र. त्रिकोणमिति को सरल एवं स्पष्ट बनाया गया

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आमतौर पर, जब वे किसी को डरावने गणित से डराना चाहते हैं, तो वे उदाहरण के तौर पर सभी प्रकार के साइन और कोसाइन का हवाला देते हैं, जैसे कि कुछ बहुत ही जटिल और घृणित। लेकिन वास्तव में, यह एक सुंदर और दिलचस्प खंड है जिसे समझा और हल किया जा सकता है।
विषय 9वीं कक्षा में शुरू होता है और पहली बार में सब कुछ हमेशा स्पष्ट नहीं होता है, इसमें कई सूक्ष्मताएं और युक्तियां होती हैं। मैंने इस विषय पर कुछ कहने का प्रयास किया।

त्रिकोणमिति की दुनिया का परिचय:
सूत्रों में सिर झुकाने से पहले, आपको ज्यामिति से यह समझने की आवश्यकता है कि साइन, कोसाइन आदि क्या हैं।
कोण की ज्या- कर्ण के विपरीत (कोण) भुजा का अनुपात।
कोज्या- कर्ण से आसन्न का अनुपात.
स्पर्शरेखा- विपरीत भुजा से आसन्न भुजा
कोटैंजेंट-विपरीत के निकट।

अब निर्देशांक तल पर इकाई त्रिज्या के एक वृत्त पर विचार करें और उस पर कुछ कोण अल्फा अंकित करें: (चित्र क्लिक करने योग्य हैं, कम से कम कुछ)
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पतली लाल रेखाएं वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु से लंबवत और बैल और ओय अक्ष पर समकोण हैं। लाल x और y अक्षों पर x और y निर्देशांक का मान हैं (ग्रे x और y केवल यह इंगित करने के लिए हैं कि ये समन्वय अक्ष हैं और केवल रेखाएँ नहीं हैं)।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कोणों की गणना बैल अक्ष की वामावर्त दिशा की सकारात्मक दिशा से की जाती है।
आइए इसके लिए ज्या, कोज्या आदि ज्ञात करें।
पाप a: विपरीत भुजा y के बराबर है, कर्ण 1 के बराबर है।
पाप ए = वाई / 1 = वाई
इसे पूरी तरह से स्पष्ट करने के लिए कि मुझे y और 1 कहां से मिलता है, स्पष्टता के लिए, आइए अक्षरों को व्यवस्थित करें और त्रिकोणों को देखें।
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एएफ = एई = 1 - वृत्त की त्रिज्या।
अत: AB = 1 त्रिज्या है। एबी - कर्ण.
BD = CA = y - ओह के मान के रूप में।
AD = CB = x - ओह के अनुसार मान के रूप में।
पाप ए = बीडी / एबी = वाई / 1 = वाई
अगला कोसाइन है:
क्योंकि a: आसन्न भुजा - AD = x
क्योंकि a = AD / AB = x / 1 = x

हम आउटपुट भी देते हैं स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट.
टीजी ए = वाई / एक्स = पाप ए / कॉस ए
खाट ए = एक्स / वाई = क्योंकि ए / पाप ए
अचानक हमने स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट का सूत्र प्राप्त कर लिया है।

खैर, आइए इस पर एक ठोस नज़र डालें कि इसे कैसे हल किया जाता है।
उदाहरण के लिए, a = 45 डिग्री.
हमें 45 डिग्री के एक कोण वाला एक समकोण त्रिभुज मिलता है। कुछ लोगों के लिए यह तुरंत स्पष्ट हो गया कि यह एक समबाहु त्रिभुज है, लेकिन फिर भी मैं इसका वर्णन करूँगा।
आइए त्रिभुज का तीसरा कोण ज्ञात करें (पहला 90 है, दूसरा 5 है): b = 180 - 90 - 45 = 45
यदि दो कोण बराबर हैं, तो उनकी भुजाएँ भी बराबर होती हैं, ऐसा सुनने में आया।
तो, ऐसा लगता है कि यदि हम ऐसे दो त्रिभुजों को एक दूसरे के ऊपर जोड़ दें, तो हमें एक वर्ग मिलता है जिसका विकर्ण त्रिज्या = 1 के बराबर होता है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, हम जानते हैं कि भुजा a वाले वर्ग का विकर्ण a के बराबर होता है दो की जड़ें.
अब हम सोचते हैं. यदि 1 (कर्ण उर्फ ​​विकर्ण) वर्ग की भुजा के दो के मूल के बराबर है, तो वर्ग की भुजा 1/sqrt(2) के बराबर होनी चाहिए, और यदि हम इस भिन्न के अंश और हर को गुणा करते हैं दो के मूल से हमें sqrt(2)/2 प्राप्त होता है। और चूँकि त्रिभुज समद्विबाहु है, तो AD = AC => x = y
हमारे त्रिकोणमितीय फलन ढूँढना:
पाप 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
क्योंकि 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
टीजी 45 = वर्ग(2)/2 / वर्ग(2)/2 = 1
सीटीजी 45 = वर्ग(2)/2 / वर्ग(2)/2 = 1
आपको शेष कोण मानों के साथ भी इसी तरह काम करने की आवश्यकता है। केवल त्रिभुज समद्विबाहु नहीं होंगे, लेकिन पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके भुजाएँ उतनी ही आसानी से पाई जा सकती हैं।
इस प्रकार हमें विभिन्न कोणों से त्रिकोणमितीय फलनों के मानों की एक तालिका प्राप्त होती है:
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इसके अलावा, यह टेबल आकर्षक और बहुत सुविधाजनक है।
बिना किसी परेशानी के इसे स्वयं कैसे बनाएं:इस प्रकार एक तालिका बनाएं और संख्याएँ 1 2 3 को बक्सों में लिखें।
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अब इन 1 2 3 से आप मूल निकालें और 2 से भाग दें। यह इस प्रकार प्राप्त होता है:
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अब हम ज्या को काटकर कोज्या लिखते हैं। इसके मान प्रतिबिंबित ज्या हैं:
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स्पर्शरेखा निकालना उतना ही आसान है - आपको ज्या रेखा के मान को कोज्या रेखा के मान से विभाजित करना होगा:
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कोटैंजेंट मान स्पर्शरेखा का उलटा मान है। परिणामस्वरूप, हमें कुछ इस प्रकार मिलता है:
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टिप्पणीउदाहरण के लिए, वह स्पर्शरेखा P/2 में मौजूद नहीं है। क्यों के बारे में सोचो. (आप शून्य से भाग नहीं दे सकते।)

आपको यहां क्या याद रखने की आवश्यकता है:साइन y मान है, कोसाइन x मान है। स्पर्शरेखा y से x का अनुपात है, और कोटैंजेंट इसके विपरीत है। इसलिए, साइन/कोसाइन के मान निर्धारित करने के लिए, ऊपर वर्णित तालिका और निर्देशांक अक्षों के साथ एक वृत्त खींचना पर्याप्त है (0, 90 के कोणों पर मानों को देखना सुविधाजनक है, 180, 360).
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खैर, मुझे आशा है कि आप अंतर कर सकते हैं क्वार्टरों:
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इसकी ज्या, कोज्या आदि का चिन्ह इस बात पर निर्भर करता है कि कोण किस तिमाही में है। हालाँकि, बिल्कुल आदिम तार्किक सोच आपको सही उत्तर तक ले जाएगी यदि आप इस बात को ध्यान में रखते हैं कि दूसरी और तीसरी तिमाही में x नकारात्मक है, और तीसरी और चौथी में y नकारात्मक है। कुछ भी डरावना या डराने वाला नहीं.

मुझे लगता है कि इसका उल्लेख करना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा कमी सूत्रअला भूत, जैसा कि हर कोई सुनता है, जिसमें सच्चाई का एक अंश है। ऐसा कोई सूत्र नहीं है, क्योंकि वे अनावश्यक हैं। इस संपूर्ण क्रिया का अर्थ: हम आसानी से केवल पहली तिमाही (30 डिग्री, 45, 60) के लिए कोण मान पाते हैं। त्रिकोणमितीय फलन आवधिक होते हैं, इसलिए हम किसी भी बड़े कोण को पहली तिमाही में खींच सकते हैं। तब हमें तुरंत इसका अर्थ पता चल जाएगा। लेकिन केवल खींचना ही काफी नहीं है - आपको संकेत के बारे में याद रखने की जरूरत है। कटौती सूत्र इसी के लिए हैं।
तो, हमारे पास एक बड़ा कोण है, या यों कहें कि 90 डिग्री से अधिक: a = 120। और हमें इसकी ज्या और कोज्या ज्ञात करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम 120 को उन कोणों में विघटित करेंगे जिनके साथ हम काम कर सकते हैं:
पाप ए = पाप 120 = पाप (90 + 30)
हम देखते हैं कि यह कोण दूसरी तिमाही में स्थित है, वहां की ज्या धनात्मक है, इसलिए ज्या के सामने + का चिह्न सुरक्षित रहता है।
90 डिग्री से छुटकारा पाने के लिए, हम साइन को कोसाइन में बदलते हैं। खैर, यह एक नियम है जिसे आपको याद रखना होगा:
पाप (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
या आप इसे दूसरे तरीके से कल्पना कर सकते हैं:
पाप 120 = पाप (180 - 60)
180 डिग्री से छुटकारा पाने के लिए, हम फ़ंक्शन नहीं बदलते हैं।
पाप (180 - 60) = पाप 60 = वर्ग(3) / 2
हमें समान मूल्य मिला, इसलिए सब कुछ सही है। अब कोसाइन:
कॉस 120 = कॉस (90 + 30)
दूसरी तिमाही में कोज्या ऋणात्मक है, इसलिए हम ऋण चिह्न लगाते हैं। और हम फ़ंक्शन को विपरीत में बदलते हैं, क्योंकि हमें 90 डिग्री हटाने की आवश्यकता है।
क्योंकि (90 + 30) = - पाप 30 = - 1/2
या:
कॉस 120 = कॉस (180 - 60) = - कॉस 60 = - 1/2

कोणों को पहली तिमाही में स्थानांतरित करने के लिए आपको क्या जानने, करने में सक्षम होने और क्या करने की आवश्यकता है:
- कोण को सुपाच्य शब्दों में विघटित करें;
-इस बात का ध्यान रखें कि कोण किस तिमाही में है और यदि इस तिमाही में कार्य नकारात्मक या सकारात्मक है तो उचित चिह्न लगाएं;
-अनावश्यक चीजों से छुटकारा पाएं:
*यदि आपको 90, 270, 450 और शेष 90+180n से छुटकारा पाने की आवश्यकता है, जहां n कोई पूर्णांक है, तो फ़ंक्शन उलट जाता है (साइन से कोसाइन, स्पर्शरेखा से कोटैंजेंट और इसके विपरीत);
*यदि आपको 180 और शेष 180+180एन से छुटकारा पाना है, जहां एन कोई पूर्णांक है, तो फ़ंक्शन नहीं बदलता है। (यहां एक विशेषता है, लेकिन इसे शब्दों में समझाना मुश्किल है, लेकिन ठीक है)।
बस इतना ही। जब आप कुछ नियमों को याद रख सकते हैं और उनका आसानी से उपयोग कर सकते हैं तो मुझे नहीं लगता कि सूत्रों को याद करना आवश्यक है। वैसे, इन सूत्रों को सिद्ध करना बहुत आसान है:
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और वे बोझिल तालिकाएँ भी संकलित करते हैं, तो हम जानते हैं:
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त्रिकोणमिति के मूल समीकरण:आपको उन्हें बहुत, बहुत अच्छी तरह से, दिल से जानना होगा।
मौलिक त्रिकोणमितीय पहचान(समानता):
पाप^2(ए) + cos^2(ए) = 1
यदि आपको इस पर विश्वास नहीं है, तो बेहतर होगा कि आप स्वयं इसकी जाँच करें और स्वयं देखें। विभिन्न कोणों के मानों को प्रतिस्थापित करें।
यह फार्मूला बहुत-बहुत उपयोगी है, इसे हमेशा याद रखें। इसका उपयोग करके आप साइन को कोसाइन के माध्यम से व्यक्त कर सकते हैं और इसके विपरीत, जो कभी-कभी बहुत उपयोगी होता है। लेकिन, किसी भी अन्य फ़ॉर्मूले की तरह, आपको यह जानना होगा कि इसे कैसे संभालना है। हमेशा याद रखें कि त्रिकोणमितीय फलन का चिह्न उस चतुर्थांश पर निर्भर करता है जिसमें कोण स्थित है। इसीलिए जड़ निकालते समय आपको चौथाई जानना आवश्यक है.

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट:हमने शुरुआत में ही ये सूत्र प्राप्त कर लिए हैं।
टीजी ए = पाप ए / कॉस ए
खाट ए = कॉस ए / पाप ए

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट का उत्पाद:
टीजी ए * सीटीजी ए = 1
क्योंकि:
tg a * ctg a = (sin a/cos a) * (cos a/sin a) = 1 - भिन्न रद्द कर दिए जाते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, सभी सूत्र एक खेल और एक संयोजन हैं।
यहां दो और हैं, जो पहले सूत्र के कोसाइन वर्ग और साइन वर्ग से विभाजित करने पर प्राप्त होते हैं:
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कृपया ध्यान दें कि अंतिम दो सूत्रों का उपयोग कोण ए के मान पर एक सीमा के साथ किया जा सकता है, क्योंकि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते हैं।

अतिरिक्त सूत्र:वेक्टर बीजगणित का उपयोग करके सिद्ध किया जाता है।
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शायद ही कभी इस्तेमाल किया गया हो, लेकिन सटीक। स्कैन में सूत्र हैं, लेकिन वे अस्पष्ट हो सकते हैं या डिजिटल रूप को समझना आसान है:
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द्विकोण सूत्र:
वे योग सूत्रों के आधार पर प्राप्त किए जाते हैं, उदाहरण के लिए: दोहरे कोण की कोज्या cos 2a = cos (a + a) है - क्या यह आपको कुछ याद दिलाता है? उन्होंने बस बीटा को अल्फ़ा से बदल दिया।
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बाद के दो सूत्र पहले प्रतिस्थापन पाप^2(ए) = 1 - कॉस^2(ए) और कॉस^2(ए) = 1 - पाप^2(ए) से प्राप्त हुए हैं।
दोहरे कोण की ज्या सरल होती है और इसका प्रयोग अधिक बार किया जाता है:
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और विशेष विकृत लोग दोहरे कोण की स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट प्राप्त कर सकते हैं, यह देखते हुए कि tan a = syn a / cos a, आदि।
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उपरोक्त व्यक्तियों के लिए त्रिकोण सूत्र:वे कोण 2a और a जोड़कर प्राप्त किए जाते हैं, क्योंकि हम दोहरे कोणों के सूत्र पहले से ही जानते हैं।
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अर्धकोण सूत्र:
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मुझे नहीं पता कि वे कैसे व्युत्पन्न होते हैं, या अधिक सटीक रूप से, इसे कैसे समझाया जाए... यदि हम इन सूत्रों को लिखते हैं, मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान को ए/2 के साथ प्रतिस्थापित करते हैं, तो उत्तर एकजुट हो जाएगा।

त्रिकोणमितीय फलनों के जोड़ और घटाव के सूत्र:
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वे जोड़ सूत्रों से प्राप्त होते हैं, लेकिन किसी को परवाह नहीं है। वे अक्सर नहीं होते.

जैसा कि आप समझते हैं, अभी भी सूत्रों का एक समूह है, जिन्हें सूचीबद्ध करना बिल्कुल व्यर्थ है, क्योंकि मैं उनके बारे में पर्याप्त कुछ नहीं लिख पाऊंगा, और सूखे सूत्र कहीं भी पाए जा सकते हैं, और वे पिछले मौजूदा सूत्रों के साथ एक खेल हैं। सब कुछ बेहद तार्किक और सटीक है. मैं आपको अंत में बताऊंगा सहायक कोण विधि के बारे में:
अभिव्यक्ति a cosx + b synx को Acos(x+) या Asin(x+) के रूप में परिवर्तित करना एक सहायक कोण (या एक अतिरिक्त तर्क) पेश करने की विधि कहा जाता है। समाधान हेतु विधि का प्रयोग किया जाता है त्रिकोणमितीय समीकरणचरम समस्याओं में, कार्यों के मूल्यों का अनुमान लगाते समय, और जो ध्यान रखना महत्वपूर्ण है वह यह है कि कुछ समस्याओं को सहायक कोण पेश किए बिना हल नहीं किया जा सकता है।
इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आपने इस विधि को कैसे समझाने की कोशिश की, कुछ नहीं हुआ, इसलिए आपको इसे स्वयं करना होगा:
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एक डरावनी चीज़, लेकिन उपयोगी. यदि आप समस्याओं को हल करते हैं, तो यह काम करना चाहिए।
यहां से, उदाहरण के लिए: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm

पाठ्यक्रम में अगला त्रिकोणमितीय कार्यों के ग्राफ़ हैं। लेकिन यह एक पाठ के लिए पर्याप्त है। यह मानते हुए कि स्कूल में वे इसे छह महीने तक पढ़ाते हैं।

अपने प्रश्न लिखें, समस्याएँ हल करें, कुछ कार्यों का स्कैन माँगें, उसका पता लगाएं, प्रयास करें।
हमेशा तुम्हारा, डैन फैराडे।

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त्रिकोणमितीय रूपांतरण करते समय, इन युक्तियों का पालन करें:

1. प्रारंभ से अंत तक उदाहरण का तुरंत कोई समाधान निकालने का प्रयास न करें।
2. संपूर्ण उदाहरण को एक बार में परिवर्तित करने का प्रयास न करें. छोटे-छोटे कदम आगे बढ़ाएँ।
3. याद रखें कि त्रिकोणमिति में त्रिकोणमितीय सूत्रों के अलावा, आप अभी भी सभी निष्पक्ष लागू कर सकते हैं बीजगणितीय परिवर्तन(कोष्ठक लगाना, भिन्नों को कम करना, संक्षिप्त गुणन सूत्र, इत्यादि)।
4. यकीन मानिए सब कुछ ठीक हो जाएगा.

बुनियादी त्रिकोणमितीय सूत्र

त्रिकोणमिति में अधिकांश सूत्र अक्सर दाएँ से बाएँ और बाएँ से दाएँ दोनों जगह उपयोग किए जाते हैं, इसलिए आपको इन सूत्रों को इतनी अच्छी तरह से सीखने की ज़रूरत है कि आप कुछ सूत्रों को दोनों दिशाओं में आसानी से लागू कर सकें। आइए सबसे पहले त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषाएँ लिखें। मान लीजिए कि एक समकोण त्रिभुज है:

फिर, साइन की परिभाषा:

कोसाइन की परिभाषा:

स्पर्शरेखा परिभाषा:

कोटैंजेंट की परिभाषा:

मूल त्रिकोणमितीय पहचान:

बुनियादी त्रिकोणमितीय पहचान से सबसे सरल परिणाम:

द्विकोण सूत्र.दोहरे कोण की ज्या:

दोहरे कोण की कोज्या:

दोहरे कोण की स्पर्शरेखा:

दोहरे कोण का कोटैंजेंट:

अतिरिक्त त्रिकोणमितीय सूत्र

त्रिकोणमितीय जोड़ सूत्र.योग की ज्या:

अंतर की ज्या:

योग की कोज्या:

अंतर की कोज्या:

योग का स्पर्शरेखा:

अंतर का स्पर्शरेखा:

राशि का कोटैंजेंट:

अंतर का कोटैंजेंट:

किसी राशि को उत्पाद में बदलने के लिए त्रिकोणमितीय सूत्र।ज्याओं का योग:

साइन अंतर:

कोसाइन का योग:

कोसाइन का अंतर:

स्पर्शरेखाओं का योग:

स्पर्शरेखा अंतर:

कोटैंजेंट का योग:

कोटैंजेंट अंतर:

किसी उत्पाद को योग में बदलने के लिए त्रिकोणमितीय सूत्र।साइन का उत्पाद:

साइन और कोसाइन का उत्पाद:

कोसाइन का उत्पाद:

डिग्री कम करने के सूत्र.

अर्धकोण सूत्र.

त्रिकोणमितीय कमी सूत्र

कोज्या फलन कहलाता है सहकार्यसाइन फ़ंक्शन और इसके विपरीत। इसी प्रकार, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट फलन सह-कार्य हैं। कटौती सूत्र निम्नलिखित नियम के रूप में तैयार किए जा सकते हैं:

• यदि कटौती सूत्र में 90 डिग्री या 270 डिग्री से एक कोण घटाया (जोड़ा) जाता है, तो घटा हुआ फलन सह-कार्य में बदल जाता है;
• यदि न्यूनीकरण सूत्र में कोण को 180 डिग्री या 360 डिग्री से घटाया (जोड़ा) जाता है, तो घटे हुए फ़ंक्शन का नाम बरकरार रहता है;
• इस मामले में, यदि हम घटाए गए (जोड़े गए) कोण को तीव्र मानते हैं, तो संबंधित चतुर्थांश में कम किए गए (यानी, मूल) फ़ंक्शन का चिह्न कम किए गए फ़ंक्शन के सामने रखा जाता है।

न्यूनीकरण सूत्रतालिका के रूप में दिए गए हैं:

द्वारा त्रिकोणमितीय वृत्त त्रिकोणमितीय कार्यों के सारणीबद्ध मान निर्धारित करना आसान:

त्रिकोणमितीय समीकरण

एक निश्चित त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, इसे सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों में से एक में घटाया जाना चाहिए, जिसकी चर्चा नीचे की जाएगी। इसके लिए:

• आप ऊपर दिए गए त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं। साथ ही, आपको पूरे उदाहरण को एक बार में बदलने की कोशिश करने की ज़रूरत नहीं है, बल्कि आपको छोटे-छोटे चरणों में आगे बढ़ने की ज़रूरत है।
• हमें बीजगणितीय तरीकों का उपयोग करके कुछ अभिव्यक्ति को बदलने की संभावना के बारे में नहीं भूलना चाहिए, यानी। उदाहरण के लिए, कोष्ठक से कुछ निकालें या, इसके विपरीत, कोष्ठक खोलें, भिन्न को कम करें, संक्षिप्त गुणन सूत्र लागू करें, भिन्न को एक सामान्य हर में लाएँ, इत्यादि।
• त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते समय आप इसका उपयोग कर सकते हैं समूहीकरण विधि. यह याद रखना चाहिए कि कई कारकों का उत्पाद शून्य के बराबर होने के लिए, यह पर्याप्त है कि उनमें से कोई भी शून्य के बराबर हो, और बाकी अस्तित्व में थे.
• को लागू करने परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि, हमेशा की तरह, प्रतिस्थापन शुरू करने के बाद समीकरण सरल हो जाना चाहिए और इसमें मूल चर शामिल नहीं होना चाहिए। आपको रिवर्स रिप्लेसमेंट करना भी याद रखना होगा।
• याद रखें कि सजातीय समीकरण अक्सर त्रिकोणमिति में दिखाई देते हैं।
• मॉड्यूल खोलते समय या त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, आपको सामान्य कार्यों के साथ संबंधित समीकरणों को हल करने की सभी सूक्ष्मताओं को याद रखने और ध्यान में रखने की आवश्यकता होती है।
• ODZ के बारे में याद रखें (त्रिकोणमितीय समीकरणों में, ODZ पर प्रतिबंध मुख्य रूप से इस तथ्य पर आते हैं कि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते हैं, लेकिन अन्य प्रतिबंधों के बारे में मत भूलिए, विशेष रूप से तर्कसंगत शक्तियों में और यहां तक ​​​​कि शक्तियों की जड़ों के तहत अभिव्यक्तियों की सकारात्मकता के बारे में)। यह भी याद रखें कि साइन और कोसाइन का मान केवल माइनस वन से प्लस वन तक की सीमा में हो सकता है।

मुख्य बात यह है कि, यदि आप नहीं जानते कि क्या करना है, तो कम से कम कुछ करें, और मुख्य बात यह है कि त्रिकोणमितीय सूत्रों का सही ढंग से उपयोग करें। यदि आपको जो मिलता है वह बेहतर से बेहतर हो जाता है, तो समाधान जारी रखें, और यदि यह बदतर हो जाता है, तो शुरुआत में वापस जाएं और अन्य सूत्र लागू करने का प्रयास करें, ऐसा तब तक करें जब तक आपको सही समाधान न मिल जाए।

सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान के लिए सूत्र।साइन के लिए समाधान लिखने के दो समकक्ष रूप हैं:

अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए, अंकन स्पष्ट है। कोसाइन के लिए:

स्पर्शरेखा के लिए:

कोटैंजेंट के लिए:

कुछ विशेष मामलों में त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना:

भौतिकी में सभी सूत्र और नियम, और गणित में सूत्र और विधियाँ सीखें। वास्तव में, यह करना भी बहुत आसान है; भौतिकी में लगभग 200 आवश्यक सूत्र हैं, और गणित में तो इससे भी कम। इनमें से प्रत्येक विषय में समस्याओं को हल करने के लिए लगभग एक दर्जन मानक तरीके हैं बुनियादी स्तरकठिनाइयाँ जिन्हें सीखा भी जा सकता है, और इस प्रकार पूरी तरह से स्वचालित रूप से और बिना किसी कठिनाई के हल किया जा सकता है सही वक्तअधिकांश डी.एच. इसके बाद आपको केवल सबसे कठिन कार्यों के बारे में ही सोचना होगा।

भौतिकी और गणित में रिहर्सल परीक्षण के सभी तीन चरणों में भाग लें। दोनों विकल्पों पर निर्णय लेने के लिए प्रत्येक आरटी पर दो बार जाया जा सकता है। फिर से, सीटी पर, समस्याओं को जल्दी और कुशलता से हल करने की क्षमता, और सूत्रों और विधियों के ज्ञान के अलावा, आपको समय की उचित योजना बनाने, बलों को वितरित करने और सबसे महत्वपूर्ण बात, उत्तर फॉर्म को सही ढंग से भरने में भी सक्षम होना चाहिए, बिना उत्तरों और समस्याओं की संख्या, या अपने स्वयं के अंतिम नाम को भ्रमित करना। इसके अलावा, आरटी के दौरान, समस्याओं में प्रश्न पूछने की शैली की आदत डालना महत्वपूर्ण है, जो डीटी में एक अप्रस्तुत व्यक्ति के लिए बहुत असामान्य लग सकता है।

इन तीन बिंदुओं का सफल, मेहनती और जिम्मेदार कार्यान्वयन आपको सीटी में उत्कृष्ट परिणाम दिखाने की अनुमति देगा, जो कि आपकी क्षमता की अधिकतम सीमा है।

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1 परिचय।

स्कूल के पास पहुँचते हुए, मुझे जिम से लड़कों की आवाज़ें सुनाई देती हैं, मैं आगे बढ़ता हूँ - वे गाते हैं, चित्रकारी करते हैं... हर जगह भावनाएँ और भावनाएँ हैं। मेरा कार्यालय, बीजगणित पाठ, दसवीं कक्षा के छात्र। यहां हमारी पाठ्यपुस्तक है, जिसमें त्रिकोणमिति पाठ्यक्रम का आधा हिस्सा है, और इसमें दो बुकमार्क हैं - ये वे स्थान हैं जहां मुझे ऐसे शब्द मिले जो त्रिकोणमिति के सिद्धांत से संबंधित नहीं हैं।

कुछ ऐसे छात्र हैं जो गणित से प्यार करते हैं, इसकी सुंदरता को महसूस करते हैं और यह नहीं पूछते कि त्रिकोणमिति का अध्ययन करना क्यों आवश्यक है, सीखी गई सामग्री का उपयोग कहां किया जाता है? बहुसंख्यक वे हैं जो केवल असाइनमेंट पूरा करते हैं ताकि खराब ग्रेड न प्राप्त करें। और हमारा दृढ़ विश्वास है कि गणित का व्यावहारिक मूल्य सफलता के लिए पर्याप्त ज्ञान प्राप्त करना है एकीकृत राज्य परीक्षा उत्तीर्ण करनाऔर विश्वविद्यालय में प्रवेश (प्रवेश करें और भूल जाएं)।

प्रस्तुत पाठ का मुख्य लक्ष्य त्रिकोणमिति के व्यावहारिक मूल्य को दर्शाना है विभिन्न क्षेत्रमानवीय गतिविधि। दिए गए उदाहरण छात्रों को गणित के इस खंड और स्कूल में पढ़े जाने वाले अन्य विषयों के बीच संबंध देखने में मदद करेंगे। इस पाठ की सामग्री छात्रों के लिए व्यावसायिक प्रशिक्षण का एक तत्व है।

जो बहुत समय पहले जैसा लगता है उसके बारे में कुछ नया बताएं ज्ञात तथ्य. जो हम पहले से जानते हैं और जो सीखना बाकी है, उसके बीच तार्किक संबंध दिखाएं। थोड़ा दरवाज़ा खोलो और बाहर देखो स्कूल के पाठ्यक्रम. असामान्य कार्य, आज की घटनाओं से संबंध - ये वे तकनीकें हैं जिनका उपयोग मैं अपने लक्ष्यों को प्राप्त करने के लिए करता हूं। आख़िरकार, एक विषय के रूप में स्कूली गणित सीखने में इतना योगदान नहीं देता जितना कि व्यक्ति, उसकी सोच और संस्कृति के विकास में।

2. बीजगणित और विश्लेषण के सिद्धांतों पर पाठ सारांश (ग्रेड 10)।

आयोजन का समय:एक अर्धवृत्त (चांदा मॉडल) में छह टेबल व्यवस्थित करें, टेबल पर छात्रों के लिए वर्कशीट (परिशिष्ट 1).

पाठ के विषय की घोषणा करते हुए: "त्रिकोणमिति सरल और स्पष्ट है।"

बीजगणित और प्रारंभिक विश्लेषण के दौरान, हम त्रिकोणमिति का अध्ययन करना शुरू करते हैं, मैं गणित के इस खंड के व्यावहारिक महत्व के बारे में बात करना चाहूंगा।

पाठ थीसिस:

"प्रकृति की महान पुस्तक केवल वही लोग पढ़ सकते हैं जो उस भाषा को जानते हैं जिसमें यह लिखी गई है, और वह भाषा गणित है।"
(जी. गैलीलियो)।

पाठ के अंत में, हम एक साथ विचार करेंगे कि क्या हम इस पुस्तक को देखने और उस भाषा को समझने में सक्षम थे जिसमें यह लिखी गई थी।

त्रिकोणमिति तीव्र कोण.

त्रिकोणमिति एक ग्रीक शब्द है और अनुवादित का अर्थ है "त्रिकोणों का माप।" त्रिकोणमिति का उद्भव पृथ्वी, निर्माण और खगोल विज्ञान पर माप से जुड़ा है। और इससे आपका पहला परिचय तब हुआ जब आपने एक चाँदा उठाया। क्या आपने देखा है कि टेबल कैसे स्थित हैं? अपने मन में इसके बारे में सोचें: यदि आप एक टेबल को एक राग के रूप में लेते हैं, तो वह क्या है डिग्री मापवह चाप जिससे यह सिकुड़ता है?

आइए कोणों की माप याद रखें: 1 ° = 1/360एक वृत्त का भाग ("डिग्री" - लैटिन ग्रेड - चरण से)। क्या आप जानते हैं कि वृत्त को 360 भागों में क्यों विभाजित किया गया, 10, 100 या 1000 भागों में क्यों नहीं विभाजित किया गया, जैसा कि होता है, उदाहरण के लिए, लंबाई मापते समय? मैं आपको एक संस्करण बताऊंगा.

पहले, लोगों का मानना ​​था कि पृथ्वी ब्रह्मांड का केंद्र है और यह गतिहीन है, और सूर्य प्रति दिन पृथ्वी के चारों ओर एक चक्कर लगाता है, दुनिया की भूकेन्द्रित प्रणाली, "जियो" - पृथ्वी ( चित्र संख्या 1). खगोलीय अवलोकन करने वाले बेबीलोन के पुजारियों ने पाया कि विषुव के दिन, सूर्य, सूर्योदय से सूर्यास्त तक, स्वर्ग की तिजोरी में एक अर्धवृत्त का वर्णन करता है, जिसमें सूर्य का स्पष्ट व्यास (व्यास) ठीक 180 बार फिट बैठता है, 1 ° - सूर्य का निशान. ( चित्र संख्या 2).

लंबे समय तक, त्रिकोणमिति पूरी तरह से ज्यामितीय प्रकृति की थी। आप समकोण त्रिभुजों को हल करके त्रिकोणमिति से अपना परिचय जारी रखेंगे। आप सीखते हैं कि न्यून कोण की ज्या सही त्रिकोण- यह कर्ण के विपरीत भुजा का अनुपात है, कोसाइन कर्ण के समीपवर्ती भुजा का अनुपात है, स्पर्शरेखा विपरीत भुजा का आसन्न भुजा का अनुपात है और कोटैंजेंट आसन्न भुजा का विपरीत भुजा का अनुपात है। और याद रखें कि एक दिए गए कोण वाले समकोण त्रिभुज में भुजाओं का अनुपात त्रिभुज के आकार पर निर्भर नहीं करता है। मनमाने त्रिभुजों को हल करने के लिए ज्या और कोज्या प्रमेय सीखें।

2010 में मॉस्को मेट्रो 75 साल की हो गई। हर दिन हम मेट्रो में जाते हैं और ध्यान नहीं देते कि...

कार्य क्रमांक 1.मॉस्को मेट्रो में सभी एस्केलेटर का झुकाव कोण 30 डिग्री है। यह जानकर, एस्केलेटर पर लैंप की संख्या और लैंप के बीच की अनुमानित दूरी, आप स्टेशन की अनुमानित गहराई की गणना कर सकते हैं। स्वेत्नॉय बुलेवार्ड स्टेशन पर एस्केलेटर पर 15 लैंप और प्राज़्स्काया स्टेशन पर 2 लैंप हैं। इन स्टेशनों की गहराई की गणना करें यदि एस्केलेटर प्रवेश द्वार से पहले लैंप तक और अंतिम लैंप से एस्केलेटर निकास तक लैंप के बीच की दूरी 6 मीटर है ( चित्र संख्या 3). उत्तर: 48 मीटर और 9 मीटर

गृहकार्य. मॉस्को मेट्रो का सबसे गहरा स्टेशन विक्ट्री पार्क है। इसकी गहराई कितनी है? मेरा सुझाव है कि आप अपनी होमवर्क समस्या को हल करने के लिए गायब डेटा को स्वतंत्र रूप से ढूंढें।

मेरे हाथ में एक लेजर पॉइंटर है, जो एक रेंज फाइंडर भी है। आइए, उदाहरण के लिए, बोर्ड से दूरी मापें।

चीनी डिजाइनर हुआन किआओकुन ने दो लेजर रेंजफाइंडर और एक प्रोट्रैक्टर को एक डिवाइस में संयोजित करने का अनुमान लगाया और एक उपकरण प्राप्त किया जो आपको एक विमान पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी निर्धारित करने की अनुमति देता है ( चित्र संख्या 4). आपके अनुसार कौन सा प्रमेय इस समस्या का समाधान करता है? कोसाइन प्रमेय का सूत्रीकरण याद रखें। क्या आप मुझसे सहमत हैं कि ऐसा आविष्कार करने के लिए आपका ज्ञान पहले से ही पर्याप्त है? ज्यामिति की समस्याओं को हल करें और हर दिन छोटी-छोटी खोजें करें!

गोलाकार त्रिकोणमिति.

यूक्लिड (प्लेनिमेट्री) की समतल ज्यामिति के अलावा, अन्य ज्यामिति भी हो सकती हैं जिनमें आकृतियों के गुणों को किसी समतल पर नहीं, बल्कि अन्य सतहों पर माना जाता है, उदाहरण के लिए, एक गेंद की सतह पर ( चित्र संख्या 5). गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के विकास की नींव रखने वाले पहले गणितज्ञ एन.आई. थे। लोबचेव्स्की - "ज्यामिति का कोपरनिकस"। 1827 से 19 वर्षों तक वह कज़ान विश्वविद्यालय के रेक्टर रहे।

गोलाकार त्रिकोणमिति, जो गोलाकार ज्यामिति का हिस्सा है, एक गोले पर बड़े वृत्तों के चापों द्वारा निर्मित त्रिभुजों की भुजाओं और कोणों के बीच संबंधों पर विचार करता है ( चित्र संख्या 6).

ऐतिहासिक रूप से, गोलाकार त्रिकोणमिति और ज्यामिति खगोल विज्ञान, भूगणित, नेविगेशन और मानचित्रकला की आवश्यकताओं से उत्पन्न हुई। सोचिए इनमें से कौन सी दिशा है पिछले साल काइतनी तेजी से विकास हुआ है कि इसका परिणाम पहले से ही आधुनिक संचारकों में उपयोग किया जाता है। ... नेविगेशन का एक आधुनिक अनुप्रयोग एक उपग्रह नेविगेशन प्रणाली है, जो आपको किसी वस्तु के रिसीवर के सिग्नल से उसका स्थान और गति निर्धारित करने की अनुमति देता है।

ग्लोबल नेविगेशन सिस्टम (जीपीएस)। रिसीवर के अक्षांश और देशांतर को निर्धारित करने के लिए कम से कम तीन उपग्रहों से सिग्नल प्राप्त करना आवश्यक है। चौथे उपग्रह से संकेत प्राप्त करने से सतह के ऊपर वस्तु की ऊंचाई निर्धारित करना संभव हो जाता है ( चित्र संख्या 7).

रिसीवर कंप्यूटर चार अज्ञात में चार समीकरणों को हल करता है जब तक कि एक समाधान नहीं मिल जाता है जो सभी वृत्तों को एक बिंदु से खींचता है ( चित्र संख्या 8).

अधिक जटिल व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए तीव्र कोण त्रिकोणमिति का ज्ञान अपर्याप्त साबित हुआ। घूर्णी और वृत्ताकार गतियों का अध्ययन करते समय, कोण और वृत्ताकार चाप का मान सीमित नहीं होता है। सामान्यीकृत तर्क की त्रिकोणमिति की ओर बढ़ने की आवश्यकता उत्पन्न हुई।

सामान्यीकृत तर्क की त्रिकोणमिति.

वृत्त ( चित्र संख्या 9). सकारात्मक कोणों को वामावर्त दिशा में आलेखित किया जाता है, ऋणात्मक कोणों को दक्षिणावर्त दिशा में आलेखित किया जाता है। क्या आप ऐसे समझौते के इतिहास से परिचित हैं?

जैसा कि आप जानते हैं, यांत्रिक और सूर्य घड़ियों को इस तरह से डिज़ाइन किया गया है कि उनकी सूइयां "सूरज के साथ" घूमती हैं, यानी। उसी दिशा में जिसमें हम पृथ्वी के चारों ओर सूर्य की स्पष्ट गति देखते हैं। (पाठ की शुरुआत याद रखें - दुनिया की भूकेन्द्रित प्रणाली)। लेकिन कॉपरनिकस द्वारा सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की वास्तविक (सकारात्मक) गति की खोज के साथ, पृथ्वी के चारों ओर सूर्य की गति जो हम देखते हैं (यानी, स्पष्ट) काल्पनिक (नकारात्मक) है। हेलिओसेंट्रिक प्रणालीविश्व (हेलिओ - सूर्य) ( चित्र संख्या 10).

जोश में आना.

1. बाहर खींचें दांया हाथअपने सामने, टेबल की सतह के समानांतर और 720 डिग्री का गोलाकार चक्कर लगाएं।
2. बाहर खींचें बायां हाथअपने सामने, टेबल की सतह के समानांतर और (-1080) डिग्री का गोलाकार घुमाएँ।
3. अपने हाथों को अपने कंधों पर रखें और आगे-पीछे 4 गोलाकार गति करें। घूर्णन कोणों का योग कितना होता है?

2010 में शीतकालीन खेल हुए ओलिंपिक खेलोंवैंकूवर में, हम समस्या को हल करके स्केटर के पूर्ण किए गए अभ्यास की ग्रेडिंग के मानदंड सीखते हैं।

कार्य क्रमांक 2.यदि कोई स्केटर 12 सेकंड में "स्क्रू" व्यायाम करते समय 10,800 डिग्री का मोड़ लेता है, तो उसे "उत्कृष्ट" रेटिंग प्राप्त होती है। निर्धारित करें कि इस दौरान स्केटर कितने चक्कर लगाएगा और उसके घूमने की गति (प्रति सेकंड चक्कर) लगाएगी। उत्तर: 2.5 चक्कर/सेकंड।

गृहकार्य. स्केटर किस कोण पर मुड़ता है, जिसे "असंतोषजनक" रेटिंग प्राप्त हुई है, यदि उसी घूर्णन समय पर उसकी गति 2 क्रांति प्रति सेकंड थी।

घूर्णी गति से जुड़े चापों और कोणों का सबसे सुविधाजनक माप रेडियन (त्रिज्या) माप निकला, जो किसी कोण या चाप की माप की एक बड़ी इकाई है ( चित्र संख्या 11). कोणों को मापने का यह उपाय लियोनहार्ड यूलर के उल्लेखनीय कार्यों के माध्यम से विज्ञान में प्रवेश किया। जन्म से स्विस, वह 30 वर्षों तक रूस में रहे और सेंट पीटर्सबर्ग एकेडमी ऑफ साइंसेज के सदस्य थे। यह उनके लिए है कि हम सभी त्रिकोणमिति की "विश्लेषणात्मक" व्याख्या का श्रेय देते हैं, उन्होंने उन सूत्रों को प्राप्त किया जिनका आप अब अध्ययन कर रहे हैं, समान संकेत पेश किए: पाप एक्स,क्योंकि एक्स, टीजी एक्स,सीटीजी एक्स.

यदि 17वीं शताब्दी से पहले के सिद्धांत का विकास हुआ त्रिकोणमितीय कार्यज्यामितीय आधार पर बनाया गया था, फिर, 17वीं शताब्दी से शुरू होकर, यांत्रिकी, प्रकाशिकी, बिजली में समस्याओं को हल करने, दोलन प्रक्रियाओं और तरंग प्रसार का वर्णन करने के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग किया जाने लगा। जहां भी हमें आवधिक प्रक्रियाओं और दोलनों से निपटना होता है, त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग किया जाता है। आवधिक प्रक्रियाओं के नियमों को व्यक्त करने वाले कार्यों में केवल एक विशेष विशेषता होती है अंतर्निहित संपत्ति: वे समान तर्क परिवर्तन अंतराल के बाद अपने मूल्यों को दोहराते हैं। किसी भी फ़ंक्शन में परिवर्तन उसके ग्राफ़ पर सबसे स्पष्ट रूप से व्यक्त किए जाते हैं ( चित्र संख्या 12).

रोटेशन से जुड़ी समस्याओं को हल करने के लिए हम पहले ही मदद के लिए अपने शरीर की ओर रुख कर चुके हैं। आइए हमारी दिल की धड़कन सुनें. हृदय एक स्वतंत्र अंग है। मस्तिष्क हृदय को छोड़कर हमारी सभी मांसपेशियों को नियंत्रित करता है। इसका अपना नियंत्रण केंद्र है - साइनस नोड। हृदय के प्रत्येक संकुचन के साथ, यह पूरे शरीर में फैल जाता है - साइनस नोड (बाजरे के दाने के आकार) से शुरू होकर। बिजली. इसे इलेक्ट्रोकार्डियोग्राफ़ का उपयोग करके रिकॉर्ड किया जा सकता है। वह एक इलेक्ट्रोकार्डियोग्राम (साइनसॉइड) बनाता है ( चित्र संख्या 13).

अब बात करते हैं संगीत की. गणित संगीत है, यह बुद्धि और सौंदर्य का मिलन है।
संगीत गणना में गणित है, अमूर्तता में बीजगणित है, सौंदर्य में त्रिकोणमिति है। हार्मोनिक दोलन (हार्मोनिक) एक साइनसोइडल दोलन है। ग्राफ़ दिखाता है कि श्रोता के कान के परदे पर हवा का दबाव कैसे बदलता है: समय-समय पर एक चाप में ऊपर और नीचे। हवा का दबाव, अब मजबूत, अब कमजोर। प्रभाव का बल बहुत छोटा होता है और कंपन बहुत तेज़ी से होता है: हर सेकंड सैकड़ों और हज़ारों झटके। हम ऐसे आवधिक कंपनों को ध्वनि के रूप में अनुभव करते हैं। दो अलग-अलग हार्मोनिक्स को जोड़ने से अधिक जटिल आकार का कंपन मिलता है। तीन हार्मोनिक्स का योग और भी अधिक जटिल है, और प्राकृतिक, प्राकृतिक ध्वनियाँ और ध्वनियाँ संगीत वाद्ययंत्रइसमें बड़ी संख्या में हार्मोनिक्स शामिल हैं। ( चित्र संख्या 14.)

प्रत्येक हार्मोनिक को तीन मापदंडों की विशेषता होती है: आयाम, आवृत्ति और चरण। दोलन आवृत्ति से पता चलता है कि एक सेकंड में वायुदाब के कितने झटके लगते हैं। उच्च आवृत्तियों को "उच्च", "पतली" ध्वनि के रूप में माना जाता है। 10 किलोहर्ट्ज़ से ऊपर - चीख़, सीटी। छोटी आवृत्तियों को "कम", "बास" ध्वनि, गड़गड़ाहट के रूप में माना जाता है। आयाम कंपन की सीमा है। दायरा जितना बड़ा होगा, कान के परदे पर प्रभाव उतना ही अधिक होगा, और ध्वनि हम उतनी ही तेज़ सुनेंगे ( चित्र संख्या 15). चरण समय में दोलनों का विस्थापन है। चरण को डिग्री या रेडियन में मापा जा सकता है। चरण के आधार पर, ग्राफ़ पर शून्य बिंदु बदल जाता है। एक हार्मोनिक सेट करने के लिए, चरण को -180 से +180 डिग्री तक निर्दिष्ट करना पर्याप्त है, क्योंकि बड़े मूल्यों पर दोलन दोहराया जाता है। समान आयाम और आवृत्ति, लेकिन विभिन्न चरणों वाले दो साइनसोइडल सिग्नल बीजगणितीय रूप से जोड़े जाते हैं ( चित्र संख्या 16).

पाठ सारांश.क्या आपको लगता है कि हम प्रकृति की महान पुस्तक के कुछ पन्ने पढ़ने में सक्षम थे? त्रिकोणमिति के व्यावहारिक महत्व के बारे में जानने के बाद, क्या मानव गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में इसकी भूमिका आपके लिए स्पष्ट हो गई, क्या आप प्रस्तुत सामग्री को समझ गए? फिर त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग के उन क्षेत्रों को याद करें और सूचीबद्ध करें जिनसे आप आज मिले थे या पहले जानते थे। मुझे आशा है कि आप में से प्रत्येक को आज के पाठ में कुछ नया और दिलचस्प मिला होगा। शायद ये नई चीज़ आपको चुनने का रास्ता दिखाएगी भविष्य का पेशा, लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कौन बनते हैं, आपकी गणितीय शिक्षा आपको एक पेशेवर और बौद्धिक रूप से विकसित व्यक्ति बनने में मदद करेगी।

गृहकार्य. पाठ सारांश पढ़ें (

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पाठ्यक्रम में 5 बड़े विषय हैं, प्रत्येक विषय 2.5 घंटे का है। प्रत्येक विषय प्रारंभ से, सरल और स्पष्ट रूप से दिया गया है।

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