हल करने की बीजगणितीय विधि क्या है? वीडियो पाठ “शब्द समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय विधि

गणितीय ज्ञान के विकास में शब्द समस्याओं को हल करना सीखना महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। शब्द संबंधी समस्याएं छात्रों की सोच को विकसित करने के लिए काफी गुंजाइश प्रदान करती हैं। समस्याओं को हल करना सीखना न केवल कुछ विशिष्ट स्थितियों में सही उत्तर प्राप्त करने की तकनीक सिखाने के बारे में है, बल्कि समाधान खोजने के लिए रचनात्मक दृष्टिकोण सीखने, मानसिक गतिविधि में अनुभव प्राप्त करने और छात्रों को विभिन्न प्रकार के समाधानों में गणित की क्षमताओं का प्रदर्शन करने के बारे में भी है। समस्याओं का. हालाँकि, ग्रेड 5-6 में शब्द समस्याओं को हल करते समय, एक समीकरण का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। लेकिन पाँचवीं कक्षा के छात्रों की सोच अभी तक समीकरणों को हल करने में शामिल औपचारिक प्रक्रियाओं के लिए तैयार नहीं है। समस्याओं को हल करने की अंकगणितीय पद्धति के बीजगणितीय पद्धति की तुलना में कई फायदे हैं क्योंकि क्रियाओं के प्रत्येक चरण का परिणाम स्पष्ट और अधिक विशिष्ट होता है, और पाँचवीं कक्षा के छात्रों के अनुभव से आगे नहीं जाता है। छात्र समीकरणों का उपयोग करने की तुलना में कार्यों का उपयोग करके समस्याओं को बेहतर और तेजी से हल करते हैं। बच्चों की सोच ठोस होती है, और इसे विशिष्ट वस्तुओं और मात्राओं पर विकसित किया जाना चाहिए, फिर धीरे-धीरे अमूर्त छवियों के साथ काम करना शुरू करना चाहिए।

कार्य पर काम करने में शर्त के पाठ को ध्यान से पढ़ना, प्रत्येक शब्द के अर्थ को समझना शामिल है। मैं उन समस्याओं के उदाहरण दूंगा जिन्हें अंकगणित का उपयोग करके आसानी से हल किया जा सकता है।

कार्य 1.जैम बनाने के लिए दो भाग रसभरी और तीन भाग चीनी लें। 2 किलो 600 ग्राम रसभरी के लिए आपको कितनी किलोग्राम चीनी लेनी होगी?

किसी समस्या को "भागों" में हल करते समय, आपको समस्या की स्थिति की कल्पना करना सीखना चाहिए, अर्थात। ड्राइंग पर भरोसा करना बेहतर है।

1. 2600:2=1300 (जी) - जाम के एक हिस्से के लिए हिसाब;
2. 1300*3=3900 (ग्राम) - आपको चीनी लेनी होगी।

कार्य 2.पहली शेल्फ पर 3 बार थे अधिक पुस्तकेंदूसरे से. दोनों अलमारियों पर मिलाकर 120 किताबें थीं। प्रत्येक शेल्फ पर कितनी किताबें थीं?

1) 1+3=4 (भाग) - सभी पुस्तकों का लेखा-जोखा;

2) 120:4=30 (किताबें) - एक भाग के लिए खाते (दूसरे शेल्फ पर किताबें);

3) 30*3=90 (किताबें) - पहली शेल्फ पर खड़ी थीं।

कार्य 3.तीतर और खरगोश एक पिंजरे में बैठे हैं। कुल 27 सिर और 74 पैर हैं। पिंजरे में तीतरों की संख्या और खरगोशों की संख्या ज्ञात कीजिए।

आइए कल्पना करें कि हमने पिंजरे के ढक्कन पर एक गाजर रखी है जिसमें तीतर और खरगोश बैठे हैं। फिर सभी खरगोश उस तक पहुंचने के लिए अपने पिछले पैरों पर खड़े हो जाएंगे। तब:

1. 27*2=54 (पैर) - फर्श पर खड़े होंगे;
2. 74-54=20 (पैर) - शीर्ष पर होंगे;
3. 20:2=10 (खरगोश);
4. 27-10=17 (तीतर)।

कार्य 4.हमारी कक्षा में 30 छात्र हैं। 23 लोग संग्रहालय के भ्रमण पर गए, और 21 लोग सिनेमा गए, और 5 लोग भ्रमण या सिनेमा में नहीं गए। कितने लोग भ्रमण और सिनेमा दोनों पर गए?

स्थिति का विश्लेषण करने और समाधान योजना का चयन करने के लिए "यूलेरियन सर्कल" का उपयोग किया जा सकता है।

1. 30-5=25 (व्यक्ति) - या तो सिनेमा देखने गए या भ्रमण पर,
2. 25-23=2 (व्यक्ति) - केवल सिनेमा देखने गया;
3. 21-2=19 (व्यक्ति) - सिनेमा देखने और भ्रमण पर गया।

कार्य 5.तीन बत्तख और चार गोस्लिंग का वजन 2 किलो 500 ग्राम है, और चार बत्तख और तीन गोस्लिंग का वजन 2 किलो 400 ग्राम है। एक गोस्लिंग का वजन कितना होता है?

1. 2500+2400=2900 (जी) - सात बत्तख और सात गोस्लिंग का वजन;
2. 4900:7=700 (जी) - एक बत्तख और एक गोस्लिंग का वजन;
3. 700*3=2100 (जी) - 3 बत्तख और 3 गोस्लिंग का वजन;
4. 2500-2100=400 (ग्राम) - कैटरपिलर का वजन।

कार्य 6.के लिए KINDERGARTEN 20 पिरामिड खरीदे: बड़े और छोटे - प्रत्येक में 7 और 5 अंगूठियां। सभी पिरामिडों में 128 वलय होते हैं। वहाँ कितने बड़े पिरामिड थे?

आइए कल्पना करें कि हमने सभी बड़े पिरामिडों से दो छल्ले हटा दिए। तब:

1) 20*5=100 (छल्ले) - बाएँ;

2) 128-100-28 (रिंग्स) - हमने हटा दिया;

3) 28:2=14 (बड़े पिरामिड)।

कार्य 7. 20 किलो वजन वाले तरबूज में 99% पानी था। जैसे ही यह थोड़ा सूख गया, इसकी पानी की मात्रा घटकर 98% रह गई। तरबूज का द्रव्यमान निर्धारित करें।

सुविधा के लिए, समाधान के साथ आयतों का चित्रण भी होगा।

99% पानी	1% शुष्क पदार्थ
98% पानी	2% शुष्क पदार्थ

इस मामले में, "शुष्क पदार्थ" के आयतों को बराबर खींचने की सलाह दी जाती है, क्योंकि तरबूज में "शुष्क पदार्थ" का द्रव्यमान अपरिवर्तित रहता है।

1) 20:100=0.2 (किलो) - "शुष्क पदार्थ" का द्रव्यमान;

2) 0.2:2=0.1 (किलो) - सूखे तरबूज का 1% है;

3) 0.1*100=10 (किलो) - तरबूज का द्रव्यमान।

कार्य 8.मेहमानों ने पूछा: तीनों बहनों में से प्रत्येक की उम्र कितनी थी? वेरा ने जवाब दिया कि वह और नाद्या एक साथ 28 साल की थीं, नाद्या और ल्यूबा एक साथ 23 साल की थीं और तीनों 38 साल की थीं। प्रत्येक बहन की आयु कितनी है?

1. 38-28=10 (वर्ष) - ल्यूबा;
2. 23-10=13 (वर्ष पुराना) - नाद्या;
3. 28-13=15 (वर्ष) - वेरा।

शब्द समस्याओं को हल करने की अंकगणितीय विधि बच्चे को सचेत रूप से, तार्किक रूप से सही ढंग से कार्य करना सिखाती है, क्योंकि इस तरह से हल करने पर "क्यों" प्रश्न पर ध्यान बढ़ता है और विकास की बड़ी संभावनाएं होती हैं। यह छात्रों के विकास, समस्याओं को सुलझाने और गणित के विज्ञान में उनकी रुचि के निर्माण में योगदान देता है।

सीखने को व्यवहार्य, रोमांचक और शिक्षाप्रद बनाने के लिए, आपको पाठ्य समस्याओं को चुनते समय बहुत सावधान रहना होगा, उन्हें हल करने के विभिन्न तरीकों पर विचार करना होगा, सर्वोत्तम को चुनना होगा और तार्किक सोच विकसित करनी होगी, जो भविष्य में ज्यामितीय समस्याओं को हल करते समय आवश्यक है।

विद्यार्थी समस्याओं का समाधान करके ही उन्हें हल करना सीख सकते हैं। "यदि आप तैरना सीखना चाहते हैं, तो साहसपूर्वक पानी में प्रवेश करें, और यदि आप समस्याओं को हल करना सीखना चाहते हैं, तो उन्हें हल करें," डी. पोल्या ने "गणितीय खोज" पुस्तक में लिखा है।

शब्द समस्याओं को हल करने का अंकगणितीय तरीका

"...जबकि हम गणित शिक्षण को जीवन से जोड़ने का प्रयास कर रहे हैं, हमारे लिए शब्द समस्याओं के बिना काम करना मुश्किल होगा - रूसी पद्धति के लिए गणित पढ़ाने का एक पारंपरिक साधन।"

ए.वी.शेवकिन

शब्द समस्याओं को हल करने की क्षमता छात्रों के गणितीय विकास और उनके सीखने की गहराई के मुख्य संकेतकों में से एक है शैक्षणिक सामग्री, तर्क में स्पष्टता, विभिन्न मुद्दों के तार्किक पहलुओं की समझ।

अधिकांश स्कूली बच्चों के लिए शब्द समस्याएं कठिन होती हैं और इसलिए उनकी पसंदीदा शैक्षिक सामग्री नहीं होती। हालाँकि, स्कूल में गणित का पाठ्यक्रम उसे दिया जाता है बड़ा मूल्यवान, चूंकि कार्य विकास में योगदान करते हैं, सबसे पहले, तार्किक सोच, स्थानिक कल्पना और मानव गतिविधि में गणितीय ज्ञान के व्यावहारिक अनुप्रयोग।

समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में, छात्र मात्राओं के साथ काम करने का अनुभव प्राप्त करते हैं, उनके बीच संबंधों को समझते हैं, और वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने के लिए गणित को लागू करने का अनुभव प्राप्त करते हैं।शब्द समस्याओं को हल करने से तार्किक संस्कृति विकसित होती है, जिससे पहले समस्या का समाधान खोजने की प्रक्रिया में और फिर अध्ययन किए जा रहे विषय में रुचि पैदा होती है।

पारंपरिक रूसी स्कूल ने हमेशा विशेष ध्यान दिया हैबच्चों को शब्द संबंधी समस्याओं को हल करना सिखाना। ऐतिहासिक रूप से, यह पर्याप्त था कब कागणितीय ज्ञान पीढ़ी-दर-पीढ़ी समाधान सहित शाब्दिक समस्याओं के रूप में हस्तांतरित होता रहा। उनका महत्व उनके व्यावहारिक महत्व में भी निहित है, क्योंकि उनकी सामग्री में ये व्यावहारिक कार्य (बैंकिंग, व्यापार, भूमि गणना, आदि) थे। रूस में, एक शिक्षित व्यक्ति वह माना जाता था जो इन विशिष्ट समस्याओं को हल करना जानता था, जो रोजमर्रा की जिंदगी में बहुत महत्वपूर्ण हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि व्यावहारिक समस्याओं को हल करना सीखना आसान नहीं था। स्थिति की सचेत समझ के बिना समाधान पद्धति को याद रखना अक्सर देखा गया। मुख्य बात यह है कि समस्या के प्रकार को निर्धारित करना और उसे हल करने के लिए एक नियम खोजना महत्वपूर्ण नहीं था;

मध्य की ओरXXशताब्दी का विकास हुआ अच्छी तकनीकसमस्या समाधान प्रशिक्षण. लेकिन, दुर्भाग्य से, शिक्षकों को अक्सर छात्रों को हल करने के लिए प्रशिक्षित करते देखा गया है विशिष्ट कार्य, मानक तकनीकों को याद रखना। लेकिन याद किए गए पैटर्न का उपयोग करके समस्याओं को हल करना सीखना असंभव है।

1960 के दशक के उत्तरार्ध में, स्कूली गणित शिक्षा के सुधार में शिक्षण समस्या समाधान को नए तरीके से व्यवस्थित करने के लिए समीकरणों की प्रारंभिक शुरूआत शामिल थी। हालाँकि, ग्रेड 5-6 में शब्द समस्याओं को हल करने की बीजगणितीय पद्धति की भूमिका को अतिरंजित किया गया था क्योंकि स्कूल के पाठ्यक्रमअंकगणितीय विधियाँ हटा दी गई हैं। और अभ्यास ने साबित कर दिया है कि छात्रों की सोच की पर्याप्त तैयारी के बिना, समीकरणों का उपयोग करके समस्याओं को हल करना अव्यावहारिक है। विद्यार्थी को तर्क करने और वस्तुओं के साथ होने वाली क्रियाओं की कल्पना करने में सक्षम होना चाहिए।

ग्रेड 5-6 में, शब्द समस्याओं को हल करने की अंकगणितीय विधि पर पर्याप्त ध्यान देना आवश्यक है और बीजगणितीय विधि पर आगे बढ़ने में जल्दबाजी न करें - समीकरण का उपयोग करके समस्याओं को हल करना। एक बार जब कोई छात्र बीजगणितीय विधि सीख लेता है, तो उसे "कार्यों द्वारा समाधान" पर वापस लाना लगभग असंभव है। एक समीकरण तैयार करने के बाद, मुख्य बात यह है कि इसे सही ढंग से हल करें और कम्प्यूटेशनल त्रुटि से बचें। और आपको यह बिल्कुल भी सोचने की ज़रूरत नहीं है कि समाधान के दौरान कौन से अंकगणितीय ऑपरेशन किए जाते हैं और उनका परिणाम क्या होता है। और यदि हम चरण दर चरण समीकरण के समाधान का अनुसरण करते हैं, तो हम अंकगणितीय विधि के समान ही क्रियाएँ देखेंगे। इस बारे में स्टूडेंट ही कम ही सोचता है.

अक्सर हम देखते हैं कि जब हम एक अमूर्त चर का परिचय देते हैं तो एक बच्चा बीजगणितीय रूप से किसी समस्या को हल करने के लिए तैयार नहीं होता है और वाक्यांश "लेट एक्स..." प्रकट होता है। यह "एक्स" कहां से आया और इसके आगे कौन से शब्द लिखे जाने चाहिए, इस स्तर पर छात्र को यह स्पष्ट नहीं है। और ऐसा इसलिए होता है क्योंकि इसे ध्यान में रखना जरूरी है आयु विशेषताएँजिन बच्चों में इस समय दृश्य-आलंकारिक सोच विकसित हो गई है। वे अभी तक अमूर्त मॉडलों में सक्षम नहीं हैं।

आवश्यकता से हमारा तात्पर्य क्या है - किसी समस्या का समाधान करना। इसका मतलब है क्रियाओं का एक क्रम खोजना, जो स्थिति का विश्लेषण करने के परिणामस्वरूप, समस्या में पूछे गए प्रश्न का उत्तर देगा। उत्तर तक पहुंचने के लिए, आपको एक लंबा रास्ता तय करना होगा, जिस क्षण से आप पाठ को समझते हैं, मुख्य बात को उजागर करने में सक्षम हों, समस्या को गणित की भाषा में "अनुवाद" करें, "तेज़" शब्दों को प्रतिस्थापित करें। धीमी" के साथ "कम" या "अधिक", एक ग्राफ़िक मॉडल या तालिका बनाएं जिससे समस्या की स्थितियों को समझना, मूल्यों की तुलना करना, स्थापित करना आसान हो जाता हैशर्त के अनुसार और आवश्यक डेटा के बीच तार्किक संबंध। और ये बच्चों के लिए बहुत मुश्किल है.

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि कार्यों का पाठ इस तरह से संकलित किया जाना चाहिए कि बच्चा समझता है और कल्पना करता है कि क्या है हम बात कर रहे हैं. अक्सर, किसी समस्या को हल करना शुरू करने से पहले, स्थिति का विश्लेषण करने में बहुत समय व्यतीत होता है, जब छात्रों को यह समझाना होता है कि कच्चा लोहा खाली क्या है, यह एक भाग से कैसे भिन्न होता है, साथ ही एक प्रबलित कंक्रीट समर्थन, एक स्वचालित मशीन, लिविंग एरियावगैरह। कार्य का पाठ उसकी धारणा के स्तर के अनुरूप होना चाहिए। निःसंदेह, समस्या के पाठ को करीब लाया जाना चाहिए वास्तविक जीवनतो आप देख सकते हैं व्यावहारिक अनुप्रयोगयह मॉडल.

किसी समस्या को हल करना शुरू करते समय, न केवल संबंधित स्थिति की कल्पना करना आवश्यक है, बल्कि इसे एक चित्र, आरेख या तालिका में चित्रित करना भी आवश्यक है। स्थिति की संक्षिप्त रिकॉर्डिंग तैयार किए बिना किसी समस्या को गुणात्मक रूप से हल करना असंभव है। यह उस स्थिति का योजनाबद्ध चित्रण है जो किसी समाधान पर चर्चा करते समय, समस्या के प्रश्न का उत्तर देने के लिए किए जाने वाले सभी कार्यों की पहचान करने की अनुमति देता है।

आइए शब्द समस्याओं को हल करने के कुछ उदाहरण देखें

आंदोलन कार्य

इस प्रकार की समस्या स्कूली गणित पाठ्यक्रमों में व्यापक है। वे संबोधित करते हैं अलग - अलग प्रकारगति: की ओर, अंदर विपरीत दिशाओं मे, एक दिशा में (एक दूसरे को पकड़ लेता है)।

इन कार्यों को समझने के लिए चित्र बनाना सुविधाजनक होता है। लेकिन, अगर कोई छात्र टेबल बना रहा है तो उसे समझाने की कोई जरूरत नहीं है यह विधिस्थितियों का संक्षिप्त विवरण बहुत अच्छा नहीं है. हम जानकारी को अलग तरह से समझते हैं। हो सकता है कि बच्चा इस प्रदर्शन में कार्य को बेहतर ढंग से "देख" सके।

उदाहरण 1. दो साइकिल चालक एक साथ दो गांवों से एक-दूसरे की ओर चले और 3 घंटे बाद मिले। पहला साइकिल चालक 12 किमी/घंटा की गति से यात्रा कर रहा था, और दूसरा 14 किमी/घंटा की गति से यात्रा कर रहा था। गाँव कितने दूर हैं?

आइए समस्या के लिए एक आरेख बनाएं जो स्थिति को पूरी तरह से दर्शाता है (आंदोलन की दिशा, साइकिल चालकों की गति, बैठक में यात्रा का समय दर्शाया गया है, प्रश्न स्पष्ट है):

आइए इस समस्या को हल करने के दो तरीकों पर विचार करें:

1 तरीका:

परंपरागत रूप से, हम "समापन गति" की अवधारणा को पेश करके और इसे आंदोलन में प्रतिभागियों की गति के योग (या अंतर) के रूप में खोजकर इन समस्याओं को हल करना पसंद करते हैं। एक दूसरे की ओर बढ़ते समय, हम गति जोड़ते हैं:

1)12 + 14 = 26 (किमी/घंटा) - दृष्टिकोण गति

यह जानते हुए कि गति का समय समान है, दूसरी क्रिया पथ सूत्र का उपयोग करने की अनुमति देती है (एस = वीटी) आवश्यक दूरी की गणना करें और समस्या में पूछे गए प्रश्न का उत्तर दें।

2) 26 3 = 78 (किमी)

आइए एक अभिव्यक्ति बनाएं:

3(12 + 14) = 78(किमी)

उत्तर : 78 किमी.

लेकिन सभी बच्चे यह नहीं समझते कि यह अमूर्त मात्रा क्या है - दृष्टिकोण की गति। दो की गति को जोड़ना और अन्य मामलों में घटाना क्यों संभव है? विभिन्न प्रतिभागीआंदोलनों, उन्हें संयोजित करना साधारण नाम. यदि आपके छात्र इस समस्या को अलग तरीके से हल करते हैं, तो उन्हें अपने पक्ष में करने का प्रयास न करें। कुछ के लिए, इसे समझने का समय अभी तक नहीं आया है, और दूसरों के लिए, पहली विधि कभी भी उपलब्ध नहीं होगी।

विधि 2:

1)12 3 = 36 (किमी) - बैठक की ओर जाने वाले पहले साइकिल चालक का मार्ग

2)14 3 = 42 (किमी) - दूसरे साइकिल चालक की बैठक से दूरी

3)36 + 42 = 78 (किमी) - गांवों के बीच की दूरी

आइए एक अभिव्यक्ति बनाएं:

12 3 + 14 3 = 78 (किमी)

उत्तर : 78 किमी.

धीरे-धीरे जब बच्चा तुलना करते हुए ऐसे कार्यों को समझना सीख जाता है संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ, हम दिखा सकते हैं कि दोनों विधियाँ आपस में जुड़ी हुई हैं, और साथ ही गुणन की वितरणात्मक संपत्ति को याद कर सकते हैं:

12 3 + 14 3 = 3(12 + 14) = 78

उदाहरण 2. दो पैक्स में 54 नोटबुक थे। जब पहले पैक से 10 नोटबुक और दूसरे पैक से 14 नोटबुक निकाली गईं, तो दोनों पैक में समान संख्या में नोटबुक थीं। प्रारंभ में प्रत्येक पैक में कितनी नोटबुक थीं?

मैं कोई शर्त कैसे प्रदर्शित कर सकता हूँ?

1. एक टेबल बनाएं:

था

निकाला गया

ये बन गया

1 पैक - ? 54 टेट.

2 पैक - ?

10 टेट.

14 टेट.

समान रूप से

2. एक चित्र बनाओ

उन्होंने 14 टुकड़े ले लिए।

उन्होंने 10 टुकड़े ले लिए।

समान रूप से

कुल 54 पीसी।

आइए प्रत्येक अंकगणितीय ऑपरेशन करते समय हम किन प्रश्नों का उत्तर देते हैं, इस पर ध्यान देते हुए समस्या के समाधान का विश्लेषण करें:

1) दोनों पैक्स से कितनी नोटबुक निकाली गईं?

10 + 14 = 24 (टुकड़े);

2) दो पैक में कितनी नोटबुक हैं?

– 24 = 30 (टुकड़े);

3) नोटबुक के प्रत्येक पैक में कितनी हैं?

30: 2 = 15 (पीसी);

4) शुरू में पहले पैक में कितनी नोटबुक थीं?

10 = 25 (टुकड़े);

5) शुरू में दूसरे पैक में कितनी नोटबुक थीं?

54 - 25 = 29 (टुकड़े)।

5वीं कक्षा में, सबसे अधिक संभावना है, छात्र समस्या को हल करने के लिए बिल्कुल यही तरीका चुनेंगे। छठी या सातवीं कक्षा में इस समस्या को हल करने के लिए उसे आमंत्रित करें। शायद स्थिति बदल जाएगी और छात्र इसे समीकरण का उपयोग करके हल कर देगा। एक जैसी क्रियाएं करने से वह अनेक प्रश्नों के बारे में नहीं सोचेगा। किसी समस्या को हल करने के साधन के रूप में एक समीकरण चुनकर, आप बहुत जल्दी उसी उत्तर पर पहुंच जाएंगे।

फिर समाधान कैसा दिखेगा?

मान लीजिए पुनर्व्यवस्था के बाद प्रत्येक पैक में x नोटबुक हैं,

तब (x + 10) नोटबुक शुरू में पहले पैक में थे, और

(x + 14) नोटबुक मूल रूप से दूसरे पैक में थीं।

यह जानते हुए कि दो पैक्स में 54 नोटबुक थे, हम समीकरण बना सकते हैं:

एक्स + 10 + एक्स + 14 = 54

समीकरण उन सभी क्रियाओं का पता लगाता है जो समस्या को हल करने की अंकगणितीय विधि में की जाती हैं।

एक्स + एक्स + (10 + 14) = 54; (अंकगणित विधि की 1 क्रिया)

2x = 54 – 24; (क्रिया 2)

एक्स = 30:2; (क्रिया 3)

15 + 10 = 25 (पीसी.) (4 क्रिया)

15 + 14 = 29 (पीसी.) (5 क्रिया)

उत्तर: 25 नोटबुक, 29 नोटबुक।

लेकिन जब हम प्रत्येक चरण को पूरा करते हैं तो हम क्या पाते हैं, इसके बारे में कोई भी कोई प्रश्न नहीं पूछता।

मैं हमेशा अपने छात्रों को दिखाता हूं कि 5वीं या 9वीं कक्षा के लिए समस्याओं का पाठ अक्सर अर्थ में समान होता है। और अभ्यास से पता चलता है कि पांचवीं कक्षा के छात्र नौवीं कक्षा की समस्या पुस्तिका से स्थिति का पता लगाने और यहां तक ​​कि एक समीकरण बनाने में भी सक्षम हैं। बेशक, ऐसे समीकरण को हल करने के लिए अभी भी पर्याप्त ज्ञान नहीं है। लेकिन साथ ही, प्रत्येक नौवीं कक्षा का छात्र अंकगणितीय विधि का उपयोग करके 5वीं कक्षा की समस्या को हल करने में सक्षम नहीं होता है।

स्कूली बच्चे आमतौर पर शब्द समस्याओं को हल करने के लिए बीजगणितीय विधि चुनते हैं; वे लगभग कभी भी अंकगणित की ओर नहीं लौटते हैं; वे बस इस पद्धति को देखना बंद कर देते हैं, वेरिएबल पेश करने और समीकरण बनाने में बहक जाते हैं।

हम शब्द समस्याओं को हल करने की अंकगणितीय पद्धति को महत्व क्यों देते हैं? पहली और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि प्रत्येक अंकगणितीय ऑपरेशन करते समय, छात्र इस प्रश्न के बारे में सोचता है: "परिणामस्वरूप मुझे क्या मिला?" वह कल्पना करता है कि समस्या किस बारे में है, क्योंकि प्रत्येक क्रिया की एक स्पष्ट और विशिष्ट व्याख्या होती है। परिणामस्वरूप, यह सक्रिय रूप से विकसित हो रहा है तर्कसम्मत सोच. गणना, माप और समस्याओं के समाधान खोजने की प्रक्रिया में, छात्र संज्ञानात्मक सार्वभौमिकता विकसित करता है सीखने की गतिविधियाँ, जिसका गठन हैसबसे महत्वपूर्ण कार्य आधुनिक प्रणालीबुनियादी सामान्य शिक्षा.

शब्द समस्याओं का संपूर्ण अध्ययन किया जाता है स्कूल पाठ्यक्रमअंक शास्त्र। लेकिन ग्रेड 5-6 में समस्याओं को समझना, स्थितियों का विश्लेषण करना, तर्क करना और तर्कसंगत समाधान ढूंढना सिखाना आवश्यक है, जबकि उनकी जटिलता का स्तर कम है, और समस्या स्वयं सबसे महत्वपूर्ण श्रेणियों में से एक है। कठिन को आसान से समझा जा सकता है।

समस्याओं को सुलझाने के लिए अंकगणितीय विधियों के प्रयोग से सरलता और बुद्धिमता, प्रश्न पूछने और उनका उत्तर देने की क्षमता अर्थात् विकसित होती है। प्राकृतिक भाषा, स्कूली बच्चों को आगे की शिक्षा के लिए तैयार करता है।

शब्द समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय तरीके आपको ज्ञात और अज्ञात मात्राओं (समस्या के प्रकार को ध्यान में रखते हुए) के बीच संबंधों को ध्यान में रखते हुए एक समाधान योजना बनाने की अनुमति देते हैं, समस्या स्थितियों के ढांचे के भीतर प्रत्येक क्रिया के परिणाम की व्याख्या करते हैं, शुद्धता की जांच करते हैं व्युत्क्रम समस्या को तैयार करके और हल करके समाधान का, अर्थात महत्वपूर्ण सामान्य शैक्षिक कौशल का निर्माण और विकास करना।

यदि कोई छात्र गणित के पाठों में शब्द समस्याओं का सामना करता है, यानी, वह अपने समाधान की तार्किक श्रृंखला का पता लगा सकता है और समझा सकता है, सभी मात्राओं का विवरण दे सकता है, तो वह भौतिकी और रसायन शास्त्र में समस्याओं को भी सफलतापूर्वक हल कर सकता है, वह तुलना और विश्लेषण कर सकता है , सभी पर जानकारी परिवर्तित करें शैक्षणिक विषयस्कूल पाठ्यक्रम.

महान डी. पोल्या ने कहा: "यदि आप तैरना सीखना चाहते हैं, तो साहसपूर्वक पानी में प्रवेश करें, और यदि आप समस्याओं को हल करना सीखना चाहते हैं, तो उन्हें हल करें।"यदि हम बच्चों को समस्याओं को हल करना सिखाते हैं, तो हम न केवल विषय में रुचि बढ़ाएंगे, बल्कि उनकी गणितीय सोच के निर्माण पर भी महत्वपूर्ण प्रभाव डालेंगे, जो अन्य क्षेत्रों में नए ज्ञान के सफल विकास में योगदान देता है।

इन समस्याओं का विश्लेषण करना, यह देखना कि गणित के दृष्टिकोण से समस्याओं में क्या समानता है, क्या अंतर हैं, समस्याओं को हल करने का एक असाधारण तरीका खोजें, समस्या निवारण तकनीकों का एक गुल्लक बनाएं, एक समस्या को हल करना सीखें विभिन्न तरीकों से.एक ही थीम "समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय तरीके", समूह में काम करने के लिए कार्य और व्यक्तिगत कार्य के तहत समूहीकृत समस्याओं का एक सिम्युलेटर।

"सिम्युलेटर मैनुअल के लिए कार्य"

प्रशिक्षक: "समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय तरीके"

"योग और अंतर के आधार पर संख्याओं की तुलना करना।"

दो टोकरियों में 80 बोलेटस मशरूम हैं। पहली टोकरी में दूसरी की तुलना में 10 कम बोलेटस हैं। प्रत्येक टोकरी में कितने बोलेटस मशरूम हैं?

सिलाई स्टूडियो को 480 मीटर डेनिम और ड्रेप प्राप्त हुआ। डेनिम कपड़े की आपूर्ति ड्रेपरी से 140 मीटर अधिक की गई। स्टूडियो को कितने मीटर डेनिम प्राप्त हुआ?

टीवी टावर मॉडल में दो ब्लॉक होते हैं। निचला ब्लॉक ऊपरी ब्लॉक से 130 सेमी छोटा है। यदि टावर की ऊंचाई 4 मीटर 70 सेमी है तो ऊपरी और निचले ब्लॉकों की ऊंचाई क्या है?

दो बक्सों में 16 किलो कुकीज़ हैं। प्रत्येक डिब्बे में कुकीज़ का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए यदि उनमें से एक में 4 किलोग्राम अधिक कुकीज़ हैं।

एल.एन. टॉल्स्टॉय द्वारा "अंकगणित" से समस्या।

a) दो व्यक्तियों के पास 35 भेड़ें हैं। एक के पास दूसरे से 9 अधिक भेड़ें हैं। प्रत्येक व्यक्ति के पास कितनी भेड़ें हैं?

ख) दो व्यक्तियों के पास 40 भेड़ें हैं, और एक के पास दूसरे से 6 भेड़ें कम हैं। प्रत्येक मनुष्य के पास कितनी भेड़ें हैं?

गैराज में साइडकार वाली 23 कारें और मोटरसाइकिलें थीं। कारों और मोटरसाइकिलों में 87 पहिये होते हैं। यदि प्रत्येक साइडकार में एक अतिरिक्त पहिया है तो गैरेज में कितनी मोटरसाइकिलें हैं?

"यूलेरियन सर्कल्स"।

घर में 120 निवासी हैं, जिनमें से कुछ के पास कुत्ते और बिल्लियाँ हैं। चित्र में एक वृत्त है साथ निवासियों को कुत्तों, वृत्त के साथ दर्शाया गया है को – बिल्लियों वाले निवासी. कितने किरायेदारों के पास कुत्ते और बिल्लियाँ दोनों हैं? कितने किरायेदारों के पास केवल कुत्ते हैं? कितने किरायेदारों के पास केवल बिल्लियाँ हैं? कितने किरायेदारों के पास न तो कुत्ते हैं और न ही बिल्लियाँ?

52 स्कूली बच्चों में से 23 वॉलीबॉल और 35 बास्केटबॉल खेलते हैं, और 16 वॉलीबॉल और बास्केटबॉल दोनों खेलते हैं। बाकी इनमें से कोई भी खेल नहीं खेलते. कितने स्कूली बच्चे इनमें से कोई खेल नहीं खेलते?

चित्र में एक वृत्त है ए यह उन सभी विश्वविद्यालय कर्मचारियों को दर्शाता है जो जानते हैं अंग्रेजी भाषा, घेरा एन - जो जर्मन और सर्कल जानते हैं एफ - फ्रेंच। कितने विश्वविद्यालय कर्मचारी जानते हैं: क) 3 भाषाएँ; बी) अंग्रेजी और जर्मन; ग) फ्रेंच? कुल कितने विश्वविद्यालय कर्मचारी हैं? उनमें से कितने लोग फ़्रेंच नहीं बोलते?

में अंतरराष्ट्रीय सम्मेलन 120 लोगों ने भाग लिया. इनमें से 60 रूसी बोलते हैं, 48 अंग्रेजी बोलते हैं, 32 जर्मन बोलते हैं, 21 रूसी और जर्मन बोलते हैं, 19 अंग्रेजी और जर्मन बोलते हैं, 15 रूसी और अंग्रेजी बोलते हैं, और 10 लोग तीनों भाषाएँ बोलते हैं। कितने सम्मेलन प्रतिभागी इनमें से कोई भी भाषा नहीं बोलते हैं?

82 छात्र गायन मंडली में गाते हैं और नृत्य का अभ्यास करते हैं। लयबद्ध जिम्नास्टिकइसमें 32 छात्र हैं, और 78 छात्र गायन मंडली में गाते हैं और लयबद्ध जिमनास्टिक करते हैं। कितने छात्र एक गायन मंडली में गाते हैं, नृत्य करते हैं और अलग-अलग लयबद्ध जिमनास्टिक करते हैं, यदि यह ज्ञात हो कि प्रत्येक छात्र केवल एक ही काम करता है?

हमारे घर में रहने वाला प्रत्येक परिवार या तो समाचार पत्र या पत्रिका या दोनों की सदस्यता लेता है। 75 परिवार एक समाचार पत्र की सदस्यता लेते हैं, और 27 परिवार एक पत्रिका की सदस्यता लेते हैं, और केवल 13 परिवार एक पत्रिका और एक समाचार पत्र दोनों की सदस्यता लेते हैं। हमारे घर में कितने परिवार रहते हैं?

"डेटा समायोजन की विधि"।

3 छोटे और 4 बड़े गुलदस्ते में 29 फूल हैं, और 5 छोटे और 4 बड़े गुलदस्ते में 35 फूल हैं। प्रत्येक गुलदस्ते में अलग-अलग कितने फूल हैं?

2 चॉकलेट बार - बड़े और छोटे - का द्रव्यमान 120 ग्राम है, और 3 बड़े और 2 छोटे - 320 ग्राम है।

5 सेब और 3 नाशपाती का वजन 810 ग्राम है, और 3 सेब और 5 नाशपाती का वजन 870 ग्राम है। एक सेब का वजन कितना है? एक नाशपाती?

चार बत्तख और पांच गोस्लिंग का वजन 4 किलो 100 ग्राम है, पांच बत्तख और चार गोस्लिंग का वजन 4 किलो है। एक बत्तख का वजन कितना होता है?

एक घोड़े और दो गायों के लिए प्रतिदिन 34 किलो घास दी जाती है, और दो घोड़ों और एक गाय के लिए 35 किलो घास दी जाती है। एक घोड़े को कितनी घास दी जाती है और एक गाय को कितनी?

3 लाल घन और 6 नीले घन की कीमत 165 टेन्ज रूबल है। इसके अलावा, पांच लाल वाले दो नीले वाले की तुलना में 95 टन अधिक महंगे हैं। प्रत्येक घन की लागत कितनी है?

2 स्केचबुक और 3 स्टैम्प एल्बम की कुल कीमत 160 रूबल है, और 3 स्केचबुक की कीमत 45 रूबल है। दो स्टैम्प एलबम से भी अधिक महंगा।

"गिनती है"।

शेरोज़ा ने अपनी माँ को उसके जन्मदिन पर फूलों का गुलदस्ता (गुलाब, ट्यूलिप या कार्नेशन्स) देने और उन्हें फूलदान या जग में रखने का फैसला किया। वह ऐसा कितने तरीकों से कर सकता है?

कितने तीन अंकों की संख्याक्या आप संख्याओं से 0, 1, 3, 5 बना सकते हैं यदि संख्या में संख्याएँ दोहराई नहीं गई हैं?

बुधवार को 5वीं कक्षा में पाँच पाठ होते हैं: गणित, शारीरिक शिक्षा, इतिहास, रूसी और विज्ञान। कितने विभिन्न विकल्पक्या आप बुधवार के लिए कोई कार्यक्रम बना सकते हैं?

"पदार्थों के मिश्रण से जुड़ी समस्याओं को हल करने का एक प्राचीन तरीका।"

तेल कैसे मिलाएं?एक निश्चित व्यक्ति के पास बिक्री के लिए दो प्रकार के तेल थे: एक 10 रिव्निया प्रति बाल्टी की कीमत पर, दूसरा 6 रिव्निया प्रति बाल्टी की कीमत पर। वह इन दोनों तेलों को मिलाकर उनसे तेल बनाना चाहता था, जिसकी लागत प्रति बाल्टी 7 रिव्निया थी। 7 रिव्निया मूल्य की एक बाल्टी तेल प्राप्त करने के लिए आपको इन दोनों तेलों के कौन से भाग लेने की आवश्यकता है?

260 टेंज प्रति 1 किलोग्राम की कीमत पर और 190 टेंज प्रति 1 किलोग्राम की कीमत पर 210 टेंज प्रति किलोग्राम की कीमत पर 21 किलोग्राम मिश्रण बनाने के लिए आपको कितना कारमेल लेने की आवश्यकता है?

किसी के पास चाय की तीन किस्में हैं - सीलोन 5 रिव्निया प्रति पाउंड, भारतीय 8 रिव्निया प्रति पाउंड और चीनी 12 रिव्निया प्रति पाउंड। 6 रिव्निया प्रति पाउंड मूल्य की चाय पाने के लिए इन तीन किस्मों को किस अनुपात में मिलाया जाना चाहिए?

किसी के पास अलग-अलग मानकों की चांदी है: किसी के पास 12वीं कक्षा की, किसी के पास 10वीं कक्षा की, किसी के पास 6वीं कक्षा की। 1 पाउंड 9वीं कक्षा की चाँदी पाने के लिए आपको कितनी चाँदी लेनी चाहिए?

व्यापारी ने 540 रूबल के लिए काले और नीले कपड़े के 138 आर्शिन खरीदे। सवाल यह है कि, अगर नीले रंग की कीमत 5 रूबल है, तो उसने दोनों के लिए कितने आर्शिन खरीदे? एक आर्शिन के लिए, और काला - 3 रूबल?

विभिन्न कार्य.

नए साल के तोहफे के लिए हमने 87 किलो फल खरीदे और इसमें संतरे से 17 किलो ज्यादा सेब थे। आपने कितने सेब और कितने संतरे खरीदे?

नए साल के पेड़ पर, कार्निवाल वेशभूषा में बच्चों के लिए अजमोद वेशभूषा की तुलना में 3 गुना अधिक बर्फ के टुकड़े थे। यदि उनमें से 12 कम थे तो पार्स्ले पोशाक में कितने बच्चे थे?

माशा को कोल्या की तुलना में 2 गुना कम नए साल की शुभकामनाएं मिलीं। यदि कुल मिलाकर 27 (9 और 18) थे तो प्रत्येक व्यक्ति को कितनी बधाइयाँ प्राप्त हुईं?

नए साल के इनाम के लिए 28 किलो मिठाइयां खरीदी गईं. कैंडीज़ "निगल" में 2 भाग होते हैं, "म्यूज़" - 3 भाग, "रोमाश्का" - 2 भाग। आपने प्रत्येक प्रकार की कितनी मिठाइयाँ खरीदीं (8, 8, 12)।

गोदाम में 2004 किलो आटा है. क्या इसे 9 किलो वजन और 18 किलो वजन वाले बैग में रखा जा सकता है?

"एवरीथिंग फ़ॉर टी" स्टोर में 5 अलग-अलग कप और 3 अलग-अलग तश्तरियाँ हैं। आप एक कप और तश्तरी कितने तरीकों से खरीद सकते हैं?

एक घोड़ा एक घास का ढेर 2 दिन में खाता है, एक गाय 3 दिन में, एक भेड़ 6 दिन में। यदि वे एक साथ घास का ढेर खाएँ तो उन्हें इसे खाने में कितने दिन लगेंगे?

दस्तावेज़ सामग्री देखें
"पाठ सारांश आरिफ एसपी"

"शब्द समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय तरीके।"

गणित के एक छात्र के लिए, तीन या चार अलग-अलग समस्याओं को हल करने की तुलना में एक ही समस्या को तीन अलग-अलग तरीकों से हल करना अक्सर अधिक उपयोगी होता है। एक समस्या को विभिन्न तरीकों से हल करके, आप तुलना करके पता लगा सकते हैं कि कौन सी समस्या छोटी और अधिक कुशल है। इस प्रकार अनुभव विकसित होता है।

डब्ल्यू.डब्ल्यू सॉयर

पाठ का उद्देश्य: पिछले पाठों में अर्जित ज्ञान का उपयोग करें, विभिन्न तरीकों से परीक्षण समस्याओं को हल करने के लिए कल्पना, अंतर्ज्ञान, कल्पना और सरलता दिखाएं।

पाठ उद्देश्य: शैक्षिक: इन समस्याओं का विश्लेषण करके, एक गणितज्ञ के दृष्टिकोण से यह देखना कि समस्याओं में क्या समानता है, क्या अंतर हैं, समस्याओं को हल करने का एक असाधारण तरीका खोजना, समस्याओं को हल करने के लिए तकनीकों का गुल्लक बनाना, एक समस्या को हल करना सीखना अलग - अलग तरीकों से।

विकासात्मक: अपने आप को एक निश्चित भूमिका वाली स्थिति में पाते समय आत्म-बोध की आवश्यकता महसूस करें।

शैक्षिक:व्यक्तिगत गुणों का विकास करें, संचार संस्कृति का निर्माण करें।

शिक्षण औज़ार: एक ही थीम "समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय तरीके", समूह में काम करने के लिए कार्य और व्यक्तिगत कार्य के तहत समूहीकृत समस्याओं का एक सिम्युलेटर।

पाठ की प्रगति.

मैं। संगठनात्मक क्षण

हैलो दोस्तों। बैठ जाओ. आज हमारे पास "शब्द समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय तरीके" विषय पर एक पाठ है।

द्वितीय. ज्ञान को अद्यतन करना।

गणित प्राचीन एवं महत्वपूर्ण विज्ञानों में से एक है। हजारों साल पहले प्राचीन काल में लोग गणितीय ज्ञान का बहुत उपयोग करते थे। वे व्यापारियों और बिल्डरों, योद्धाओं और भूमि सर्वेक्षणकर्ताओं, पुजारियों और यात्रियों के लिए आवश्यक थे।

और आजकल, गणित के अच्छे ज्ञान के बिना एक भी व्यक्ति जीवन में सफल नहीं हो सकता। गणित की अच्छी समझ का आधार गिनने, सोचने, तर्क करने और समस्याओं का सफल समाधान खोजने की क्षमता है।

आज हम शब्द समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय तरीकों को देखेंगे, हम उन प्राचीन समस्याओं का विश्लेषण करेंगे जो हमारे पास आई हैं विभिन्न देशऔर समय, समता पर कार्य, योग और अंतर द्वारा तुलना, और अन्य।

पाठ का उद्देश्य आपको इसमें शामिल करना है अद्भुत दुनियासुंदरता, समृद्धि और विविधता - दिलचस्प चुनौतियों की दुनिया। और, इसलिए, आपको कुछ अंकगणितीय तरीकों से परिचित कराते हैं जो बहुत ही सुंदर और शिक्षाप्रद समाधान देते हैं।

एक कार्य लगभग हमेशा एक खोज है, कुछ गुणों और संबंधों की खोज है, और इसे हल करने के साधन अंतर्ज्ञान और अनुमान, विद्वता और गणितीय तरीकों की महारत हैं।

गणित में समस्याओं को हल करने की अंकगणित और बीजगणितीय विधियाँ मुख्य हैं।

अंकगणितीय विधि का उपयोग करके किसी समस्या को हल करने का अर्थ है क्रियान्वित करके समस्या की आवश्यकता का उत्तर खोजना अंकगणितीय परिचालनसंख्याओं के ऊपर.

बीजगणितीय विधि से समीकरण बनाने और हल करने पर समस्या के प्रश्न का उत्तर मिल जाता है।

यह कोई रहस्य नहीं है कि जिस व्यक्ति के पास अलग-अलग उपकरण होते हैं और वह किए जाने वाले कार्य की प्रकृति के आधार पर उनका उपयोग करता है, वह उस व्यक्ति की तुलना में काफी बेहतर परिणाम प्राप्त करता है जिसके पास केवल एक सार्वभौमिक उपकरण होता है।

समस्याओं को हल करने के लिए कई अंकगणितीय विधियाँ और गैर-मानक तकनीकें हैं। आज मैं आपको उनमें से कुछ से परिचित कराना चाहता हूं।

1.शब्द समस्याओं को हल करने की विधि "संख्याओं की योग और अंतर से तुलना करना।"

काम : शरद ऋतु में दादी के साथ ग्रीष्मकालीन कुटिया 51 किलो गाजर और पत्तागोभी एकत्र की। गाजर की तुलना में पत्तागोभी 15 किलो अधिक थी। दादी ने कितने किलोग्राम गाजर और कितनी किलोग्राम गोभी एकत्र की?

प्रश्न जो इस वर्ग की समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम के बिंदुओं के अनुरूप हैं।

1. पता लगाएं कि समस्या में किन मात्राओं पर चर्चा की जा रही है

दादी द्वारा एकत्र की गई गाजर और पत्तागोभी की संख्या के बारे में, एक साथ और अलग-अलग।

2. समस्या में किन मात्राओं को खोजने की आवश्यकता है, इसका मान बताएं।

दादी ने कितने किलोग्राम गाजर और कितनी किलोग्राम गोभी एकत्र की?

3. समस्या में मात्राओं के बीच संबंध का नाम बताइए।

समस्या मात्राओं के योग और अंतर के बारे में बात करती है।

4. मात्राओं के मानों का योग और अंतर बताइए।

योग - 51 किग्रा, अंतर - 15 किग्रा।

5. मात्राओं को बराबर करके छोटी मात्रा का दोगुना मान ज्ञात करें (मात्राओं के अंतर को मात्राओं के योग से घटा दें)।

51 - 15 = 36 (किलो) - गाजर की मात्रा दोगुनी।

6. दोगुने मान को जानकर छोटा मान ज्ञात करें (दोगुने मान को दो से विभाजित करें)।

36: 2 = 18 (किलो) - गाजर।

7. मात्राओं के बीच अंतर और छोटी मात्रा के मूल्य का उपयोग करके बड़ी मात्रा का मूल्य ज्ञात करें।

18 + 15 = 33 (किलो) - पत्ता गोभी। उत्तर: 18 किलो, 33 किलो। काम।पिंजरे में तीतर और खरगोश हैं। कुल 6 सिर और 20 पैर। एक पिंजरे में कितने खरगोश और कितने तीतर हैं ?
विधि 1. चयन विधि:
2 तीतर, 4 खरगोश।
जांचें: 2 + 4 = 6 (लक्ष्य); 4 4 + 2 2 = 20 (फीट)।
यह एक चयन विधि है ("चयन करने के लिए" शब्द से)। इस समाधान विधि के फायदे और नुकसान (संख्या बड़ी होने पर चयन करना मुश्किल है) इस प्रकार, अधिक सुविधाजनक समाधान विधियों की खोज करने के लिए प्रोत्साहन मिलता है।
चर्चा के परिणाम: छोटी संख्याओं के साथ काम करते समय चयन विधि सुविधाजनक होती है; जब मान बढ़ते हैं, तो यह तर्कहीन और श्रम-गहन हो जाता है।
विधि 2. विकल्पों की पूर्ण खोज.

एक तालिका संकलित की गई है:

उत्तर: 4 खरगोश, 2 तीतर।
इस विधि का नाम "पूर्ण" है। चर्चा के परिणाम: विस्तृत खोज विधि सुविधाजनक है, लेकिन बड़े मूल्यों के लिए यह काफी श्रम-गहन है।
विधि 3. अनुमान लगाने की विधि।

आइए एक पुरानी चीनी समस्या लें:

पिंजरे में अज्ञात संख्या में तीतर और खरगोश हैं। यह ज्ञात है कि संपूर्ण कोशिका में 35 सिर और 94 पैर होते हैं। तीतरों की संख्या और खरगोशों की संख्या ज्ञात कीजिए।(2600 ईसा पूर्व संकलित चीनी गणितीय पुस्तक "किउ-चांग" से समस्या)।

यहां गणित के पुराने उस्तादों में पाया जाने वाला एक संवाद है। - आइए कल्पना करें कि हमने पिंजरे पर एक गाजर रखी है जिसमें तीतर और खरगोश बैठे हैं। गाजर तक पहुँचने के लिए सभी खरगोश अपने पिछले पैरों पर खड़े होंगे। इस समय कितने फुट जमीन पर होंगे?

लेकिन समस्या कथन में 94 पैर दिए गए हैं, बाकी कहाँ हैं?

शेष पैरों की गिनती नहीं की गई है - ये खरगोशों के अगले पैर हैं।

कितने हैं?

24 (94 – 70 = 24)

वहाँ कितने खरगोश हैं?

12 (24: 2 = 12)

तीतरों के बारे में क्या?

23 (35- 12 = 23)

इस विधि का नाम "कमी अनुमान लगाने की विधि" है। इस नाम को स्वयं समझाने का प्रयास करें (पिंजरे में बैठे लोगों के 2 या 4 पैर होते हैं, और हमने माना कि प्रत्येक के पास इनमें से सबसे छोटी संख्या है - 2 पैर)।

उसी समस्या को हल करने का दूसरा तरीका. - आइए "अधिशेष धारणा विधि" का उपयोग करके इस समस्या को हल करने का प्रयास करें: आइए कल्पना करें कि तीतर के पास अब दो और पैर हैं, तब सभी पैर होंगे 35 × 4 =140.

लेकिन समस्या की स्थिति के अनुसार, केवल 94 पैर हैं, यानी। 140 – 94 = 46 अतिरिक्त पैर, वे किसके हैं?ये तीतर के पैर हैं, उनके पास हैं अतिरिक्त जोड़ीपैर मतलब, तीतरइच्छा 46: 2 = 23, फिर खरगोश 35 -23 = 12.
चर्चा के परिणाम: अनुमान विधि है दो विकल्प- द्वारा कमी और अधिकता; पिछले तरीकों की तुलना में, यह अधिक सुविधाजनक है क्योंकि इसमें कम श्रम-गहन है।
काम। ऊँटों का एक कारवां धीरे-धीरे रेगिस्तान में चल रहा है, इनकी कुल संख्या 40 है। यदि आप इन ऊँटों के सभी कूबड़ गिनें तो आपको 57 कूबड़ मिलेंगे। कितने हैं इस कारवां में ड्रोमेडरी ऊँट? 1 रास्ता. समीकरण का उपयोग करके हल करें.

प्रति व्यक्ति कूबड़ की संख्या ऊँटों की संख्या कुल कूबड़

2 एक्स 2 एक्स

1 40 - एक्स 40 - एक्स 57

2 एक्स + 40 - एक्स = 57

एक्स + 40 = 57

एक्स = 57 -40

एक्स = 17

विधि 2.

- ऊँट के कितने कूबड़ हो सकते हैं?

(दो या एक हो सकते हैं)

आइए प्रत्येक ऊँट के कूबड़ पर एक फूल लगाएँ।

- आपको कितने फूलों की आवश्यकता होगी? (40 ऊँट - 40 फूल)

- कितने कूबड़ फूलों के बिना बचे रहेंगे?

(ऐसे होंगे 57-40=17 . यह दूसरा कूबड़ बैक्ट्रियन ऊँट).

कितने बैक्ट्रियन ऊँट? (17)

कितने ड्रोमेडरी ऊँट? (40-17=23)

समस्या का उत्तर क्या है? ( 17 और 23 ऊँट)।

काम।गैराज में साइडकार वाली कारें और मोटरसाइकिलें थीं, कुल मिलाकर 18 कारों और मोटरसाइकिलों में 65 पहिए थे। यदि कारों में 4 पहिए हैं और मोटरसाइकिलों में 3 पहिए हैं, तो गैरेज में साइडकार वाली कितनी मोटरसाइकिलें थीं?

1 रास्ता. समीकरण का उपयोग करना:

1 के लिए पहियों की संख्या कुल पहियों की संख्या

मैश करें। 4एक्स 4 एक्स

मोट. 3 18 -एक्स 3(18 - एक्स ) 65

4 एक्स + 3(18 - एक्स ) = 65

4 एक्स + 5 4 -3 एक्स =65

एक्स = 65 - 54

एक्स = 11, 18 – 11 = 7.

आइये समस्या का पुनः समाधान करें : लुटेरे, जो गैरेज में आए, जहां साइडकार वाली 18 कारें और मोटरसाइकिलें खड़ी थीं, उन्होंने प्रत्येक कार और मोटरसाइकिल से तीन पहिए निकाल दिए और उन्हें अपने साथ ले गए। यदि गैरेज में 65 पहिये थे तो कितने पहिये बचे? क्या वे कार या मोटरसाइकिल से संबंधित हैं?

3×18=54 – यानी लुटेरे कितने पहिये लूट ले गये,

65- 54 = 11 - इतने सारे पहिये बचे हैं (गैरेज में कारें),

18 - 11 = 7 मोटरसाइकिलें।

उत्तर: 7 मोटरसाइकिलें।

अपने आप:

गैराज में साइडकार वाली 23 कारें और मोटरसाइकिलें थीं। कारों और मोटरसाइकिलों में 87 पहिये होते हैं। यदि प्रत्येक साइडकार में एक अतिरिक्त पहिया है तो गैरेज में कितनी मोटरसाइकिलें हैं?

- कारों और मोटरसाइकिलों में एक साथ कितने पहिये होते हैं? (4×23=92)

- आपने प्रत्येक घुमक्कड़ में कितने अतिरिक्त पहिये लगाए? (92 - 87=5)

- गैराज में कितनी कारें हैं? (23 - 5=18).

काम।हमारी कक्षा में आप अंग्रेजी पढ़ सकते हैं या फ़्रेंच भाषाएँ(वैकल्पिक)। यह ज्ञात है कि 20 स्कूली बच्चे अंग्रेजी पढ़ते हैं, और 17 फ्रेंच पढ़ते हैं, कुल मिलाकर कक्षा में 32 छात्र हैं। कितने छात्र अंग्रेजी और फ्रेंच दोनों पढ़ते हैं?

आइए दो वृत्त बनाएं। एक में हम अंग्रेजी पढ़ने वाले स्कूली बच्चों की संख्या दर्ज करेंगे, दूसरे में - फ्रेंच पढ़ने वाले स्कूली बच्चे। चूँकि समस्या की स्थितियों के अनुसार वहां छात्र पढ़ रहे हैंदोनों भाषाएँ: अंग्रेजी और फ्रेंच, तो वृत्तों का एक उभयनिष्ठ भाग होगा।इस समस्या की स्थितियों को समझना इतना आसान नहीं है। यदि आप 20 और 17 जोड़ते हैं, तो आपको 32 से अधिक मिलता है। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि हमने यहां कुछ स्कूली बच्चों की दो बार गिनती की - अर्थात् वे जो दोनों भाषाओं का अध्ययन करते हैं: अंग्रेजी और फ्रेंच। तो, (20 + 17) – 32 = 5 छात्र दोनों भाषाएँ सीखते हैं: अंग्रेजी और फ्रेंच।

अंग्रेज़ी फ़्रैन.

20 पाठ 17 स्कूल

(20 + 17) – 32 = 5 (छात्र)।

समस्या को हल करने के लिए हम जिस योजना का उपयोग करते हैं, उसके समान योजनाओं को गणित में कहा जाता है यूलर वृत्त (या आरेख)। लियोनहार्ड यूलर (1736) स्विट्जरलैंड में पैदा हुआ. लेकिन कई वर्षों के लिएरूस में रहते थे और काम करते थे।

काम।हमारे घर में रहने वाला प्रत्येक परिवार या तो समाचार पत्र या पत्रिका या दोनों की सदस्यता लेता है। 75 परिवार एक समाचार पत्र की सदस्यता लेते हैं, और 27 परिवार एक पत्रिका की सदस्यता लेते हैं, और केवल 13 परिवार एक पत्रिका और एक समाचार पत्र दोनों की सदस्यता लेते हैं। हमारे घर में कितने परिवार रहते हैं?

समाचार पत्र पत्रिकाएँ

तस्वीर से पता चलता है कि घर में 89 परिवार रहते हैं।

काम।अंतरराष्ट्रीय सम्मेलन में 120 लोगों ने हिस्सा लिया. इनमें से 60 रूसी बोलते हैं, 48 अंग्रेजी बोलते हैं, 32 जर्मन बोलते हैं, 21 रूसी और जर्मन बोलते हैं, 19 अंग्रेजी और जर्मन बोलते हैं, 15 रूसी और अंग्रेजी बोलते हैं, और 10 लोग तीनों भाषाएँ बोलते हैं। कितने सम्मेलन प्रतिभागी इनमें से कोई भी भाषा नहीं बोलते हैं?

रूसी 15 अंग्रेजी

21 10 19

जर्मन

समाधान: 120 - (60 + 48 + 32 -21 - 19 - 15 + 10) = 25 (व्यक्ति)।

काम। तीन बिल्ली के बच्चे और दो पिल्लों का वजन 2 किलो 600 ग्राम है, और दो बिल्ली के बच्चे और तीन पिल्लों का वजन 2 किलो 900 ग्राम है। पिल्ला का वजन कितना है?

3 बिल्ली के बच्चे और 2 पिल्ले - 2 किलो 600 ग्राम

2 बिल्ली के बच्चे और 3 पिल्ले - 2 किलो 900 ग्राम।

इस शर्त से पता चलता है कि 5 बिल्ली के बच्चे और 5 पिल्लों का वजन 5 किलो 500 ग्राम है। इसका मतलब है कि 1 बिल्ली के बच्चे और 1 पिल्ला का वजन 1 किलो 100 ग्राम है

2 बिल्लियाँ और 2 पिल्ले। वजन 2 किलो 200 ग्राम

आइए स्थितियों की तुलना करें -

2 बिल्ली के बच्चे + 3 पिल्ले = 2 किलो 900 ग्राम

2 बिल्ली के बच्चे + 2 पिल्ले = 2 किलो 200 ग्राम, हम देखते हैं कि पिल्ला का वजन 700 ग्राम है।

काम।एक घोड़े और दो गायों के लिए प्रतिदिन 34 किलो घास दी जाती है, और दो घोड़ों और एक गाय के लिए 35 किलो घास दी जाती है। एक घोड़े को कितनी घास दी जाती है और एक गाय को कितनी?

आइए समस्या का एक संक्षिप्त विवरण लिखें:

1 घोड़ा और 2 गाय -34 किग्रा.

2 घोड़े और 1 गाय -35 किग्रा.

क्या यह जानना संभव है कि 3 घोड़ों और 3 गायों के लिए कितनी घास की आवश्यकता है?

(3 घोड़ों और 3 गायों के लिए - 34+35=69 किग्रा)

क्या यह पता लगाना संभव है कि एक घोड़े और एक गाय के लिए कितनी घास की आवश्यकता है? (69: 3 - 23 किग्रा)

एक घोड़े को कितनी घास चाहिए? (35-23=12किग्रा)

एक गाय को कितनी घास की आवश्यकता होती है? (23 -13 =11 किग्रा)

उत्तर: 12 किलो और 11 किलो।

काम।मदीना ने स्कूल कैफेटेरिया में नाश्ता करने का फैसला किया। मेनू का अध्ययन करें और उत्तर दें कि वह कितने तरीकों से एक पेय और एक कन्फेक्शनरी आइटम चुन सकती है?

	हलवाई की दुकान
	चीज़केक

आइए मान लें कि मदीना पेय के रूप में चाय चुनती है। वह चाय के लिए कौन सा कन्फेक्शनरी उत्पाद चुन सकती है? (चाय - चीज़केक, चाय - कुकीज़, चाय - बन)

कितने तरीके? (3)

अगर यह कॉम्पोट है तो क्या होगा? (3 भी)

आप यह कैसे पता लगा सकते हैं कि मदीना अपना दोपहर का भोजन चुनने के लिए कितने तरीकों का उपयोग कर सकती है? (3+3+3=9)

हाँ आप ठीक कह रहे हैं। लेकिन इस समस्या को हल करना हमारे लिए आसान बनाने के लिए, हम ग्राफ़ का उपयोग करेंगे। गणित में "ग्राफ" शब्द का अर्थ एक चित्र है जिसमें कई बिंदु खींचे गए हैं, जिनमें से कुछ रेखाओं से जुड़े हुए हैं। आइए पेय और कन्फेक्शनरी उत्पादों को बिंदुओं से निरूपित करें और उन व्यंजनों के जोड़े को जोड़ें जिन्हें मदीना चुनती है।

चाय दूध कॉम्पोट

चीज़केक कुकीज़ बन

आइए अब पंक्तियों की संख्या गिनें। उनमें से 9 हैं इसका मतलब है कि व्यंजन चुनने के 9 तरीके हैं।

काम।शेरोज़ा ने अपनी माँ को उसके जन्मदिन पर फूलों का गुलदस्ता (गुलाब, ट्यूलिप या कार्नेशन्स) देने और उन्हें फूलदान या जग में रखने का फैसला किया। वह ऐसा कितने तरीकों से कर सकता है?

आप कितने तरीके से सोचते हैं? (3)

क्यों? (3 रंग)

हाँ। लेकिन व्यंजन भी विभिन्न प्रकार के होते हैं: या तो फूलदान या जग। आइए कार्य को ग्राफिक रूप से पूरा करने का प्रयास करें।

फूलदान सुराही

गुलाब, ट्यूलिप, कार्नेशन्स

पंक्तियाँ गिनें. कितने हैं? (6)

तो, शेरोज़ा को कितने रास्ते चुनने होंगे? (6)

पाठ सारांश.

आज हमने कई समस्याओं का समाधान किया। लेकिन काम पूरा नहीं हुआ है, इसे जारी रखने की इच्छा है और मुझे उम्मीद है कि इससे आपको शब्द समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने में मदद मिलेगी।

यह ज्ञात है कि समस्या का समाधान है व्यावहारिक कला, तैराकी या पियानो बजाने के समान। आप इसे अनुकरण करके ही सीख सकते हैं अच्छे उदाहरण, लगातार अभ्यास कर रहे हैं।

ये केवल सबसे सरल समस्याएं हैं; जटिल समस्याएं भविष्य के अध्ययन का विषय बनी हुई हैं। लेकिन उनमें से अभी भी बहुत कुछ है जिसे हम हल नहीं कर सके। और यदि पाठ के अंत में आप "शैक्षिक सामग्री के पन्नों के पीछे" समस्याओं को हल कर सकते हैं, तो हम मान सकते हैं कि मैंने अपना कार्य पूरा कर लिया है।

गणित का ज्ञान निश्चित समाधान निकालने में मदद करता है जीवन समस्या. जीवन में आपको कुछ मुद्दों को नियमित रूप से हल करना होगा, इसके लिए आपको विकास करने की आवश्यकता है बौद्धिक क्षमताएँ, जिसकी बदौलत आंतरिक क्षमता विकसित होती है, स्थिति का पूर्वानुमान लगाने, पूर्वानुमान लगाने और गैर-मानक निर्णय लेने की क्षमता विकसित होती है।

मैं पाठ को इन शब्दों के साथ समाप्त करना चाहता हूं: “हर अच्छी तरह से हल किया गया गणित की समस्यामानसिक सुख देता है।” (जी. हेस्से).

क्या आप इस बात से सहमत हैं?

गृहकार्य .

निम्नलिखित असाइनमेंट घर पर दिया जाएगा: हल की गई समस्याओं के पाठ को नमूने के रूप में उपयोग करते हुए, हमारे द्वारा अध्ययन की गई विधियों का उपयोग करके समस्या संख्या 8, 17, 26 को हल करें।

अंकगणितीय पद्धति का उपयोग करके समस्याओं को हल करने पर सामान्य नोट्स।

कार्यों के परिणामों के आधार पर अज्ञात खोजने की समस्याएँ।

आनुपातिक विभाजन की समस्याएँ.

प्रतिशत और भागों से जुड़ी समस्याएँ।

समस्याओं का समाधान उलटा हुआ।

1. अंकगणित विधि शब्द समस्याओं को हल करने की मुख्य विधि है प्राथमिक स्कूल. इसका अनुप्रयोग मध्य प्रबंधन में भी होता है। माध्यमिक विद्यालय. यह विधि आपको किसी कार्य पर काम करने के प्रत्येक चरण के महत्व को बेहतर ढंग से समझने और उसकी सराहना करने की अनुमति देती है।

कुछ मामलों में, अंकगणितीय विधि का उपयोग करके किसी समस्या को हल करना अन्य विधियों का उपयोग करने की तुलना में बहुत आसान है।

अपनी सरलता और पहुंच से मंत्रमुग्ध करने वाली, अंकगणितीय विधि एक ही समय में काफी जटिल है, और इस विधि का उपयोग करके समस्याओं को हल करने की तकनीकों में महारत हासिल करने के लिए गंभीर और श्रमसाध्य कार्य की आवश्यकता होती है। विभिन्न प्रकार की समस्याओं से हमें समस्याओं का विश्लेषण करने और उन्हें हल करने के तरीके खोजने के लिए एक सार्वभौमिक दृष्टिकोण बनाने की अनुमति नहीं मिलती है: समस्याएं, यहां तक ​​​​कि एक समूह में संयुक्त होने पर, उन्हें हल करने के पूरी तरह से अलग तरीके होते हैं।

2 . कार्यों के लिए उनके अंतर और अनुपात के आधार पर अज्ञात ज्ञात करनाइनमें वे समस्याएं शामिल हैं जिनमें किसी निश्चित मात्रा के दो मानों के ज्ञात अंतर और भागफल का उपयोग करके इन मानों को ज्ञात करना आवश्यक होता है।

बीजगणितीय मॉडल:

उत्तर सूत्रों का उपयोग करके पाया जाता है: एक्स= एके/(के - 1), y = a/(k – 1).

उदाहरण।फास्ट ट्रेन की आरक्षित सीट वाली गाड़ियों में डिब्बे की गाड़ियों की तुलना में 432 अधिक यात्री होते हैं। आरक्षित सीट और डिब्बे वाली गाड़ियों में अलग-अलग कितने यात्री हैं, यदि आरक्षित सीट वाली गाड़ियों की तुलना में डिब्बे वाली गाड़ियों में 4 गुना कम यात्री हैं?

समाधान।समस्या का एक ग्राफिकल मॉडल चित्र में प्रस्तुत किया गया है। 4.

चावल। 4

हम कम्पार्टमेंट कारों में यात्रियों की संख्या को 1 भाग के रूप में लेंगे। फिर आप पता लगा सकते हैं कि आरक्षित सीट वाली कारों में प्रति यात्री संख्या के हिसाब से कितने हिस्से हैं, और फिर प्रति 432 यात्रियों के लिए कितने हिस्से हैं। इसके बाद, आप 1 भाग (कम्पार्टमेंट कारों में स्थित) बनाने वाले यात्रियों की संख्या निर्धारित कर सकते हैं। यह जानते हुए कि आरक्षित सीट वाली गाड़ियों में 4 गुना अधिक यात्री होते हैं, हम उनकी संख्या ज्ञात कर सकते हैं।

1  4 = 4 (घंटे) - आरक्षित सीट वाली गाड़ियों में यात्रियों के लिए खाता;

4 - 1 = 3 (एच.) - आरक्षित सीट और डिब्बे की गाड़ियों में यात्रियों की संख्या के बीच अंतर के लिए जिम्मेदार है;

432: 3 = 144 (पी.) - कम्पार्टमेंट कारों में;

144  4 = 576 (पी.) - आरक्षित सीट वाली गाड़ियों में।

इस समस्या को दूसरे तरीके से हल करके सत्यापित किया जा सकता है, अर्थात्:

1  4 = 4(एच);

4 – 1 = 3 (एच);

432: 3 = 144 (पी.);

144 + 432 = 576 (पृ.).

उत्तर: डिब्बे वाली गाड़ियों में 144 यात्री हैं, और आरक्षित सीट वाली गाड़ियों में 576 यात्री हैं।

कार्यों के लिए दो या दो अवशेषों से अज्ञात खोजना मतभेद, उन समस्याओं को शामिल करें जिनमें दो सीधे या व्युत्क्रमानुपाती मात्राओं पर विचार किया जाता है, जैसे कि एक मात्रा के दो मान और दूसरी मात्रा के संगत मानों का अंतर ज्ञात हो, और इसके मान ज्ञात करना आवश्यक है स्वयं मात्रा.

बीजगणितीय मॉडल:

उत्तर सूत्रों का उपयोग करके पाए जाते हैं:

उदाहरण।दो ट्रेनों ने समान गति से यात्रा की - एक 837 किमी, दूसरी 248 किमी, और पहली सड़क पर दूसरी की तुलना में 19 घंटे अधिक समय तक चली। प्रत्येक ट्रेन ने कितने घंटे की यात्रा की?

समाधान।समस्या का एक ग्राफिकल मॉडल चित्र 5 में प्रस्तुत किया गया है।

चावल। 5

समस्या के प्रश्न का उत्तर देने के लिए, यह या वह ट्रेन सड़क पर कितने घंटे थी, आपको यह जानने की आवश्यकता है कि उसने कितनी दूरी तय की और गति क्या है। शर्त में दूरी दी गई है. गति का पता लगाने के लिए, आपको वह दूरी और वह समय जानना होगा जिसके दौरान यह दूरी तय की गई थी। शर्त कहती है कि पहली ट्रेन को 19 घंटे अधिक लगे और इस दौरान उसने कितनी दूरी तय की, इसका पता लगाया जा सकता है। वह अतिरिक्त 19 घंटे तक चले - जाहिर है, इस दौरान उन्होंने अतिरिक्त दूरी भी तय की।

837 – 248 = 589 (किमी) – पहली ट्रेन ने इतने किलोमीटर अधिक यात्रा की;

589: 19 = 31 (किमी/घंटा) - पहली ट्रेन की गति;

837: 31 = 27 (घंटे) - पहली ट्रेन अपने रास्ते पर थी;

4) 248: 31 = 8 (घंटे) - दूसरी ट्रेन रास्ते में थी।

आइए समस्या को हल करते समय प्राप्त आंकड़ों और संख्याओं के बीच एक पत्राचार स्थापित करके समस्या के समाधान की जांच करें।

यह पता लगाने पर कि प्रत्येक ट्रेन कितने समय तक सड़क पर थी, हमें पता चलेगा कि पहली ट्रेन सड़क पर दूसरी की तुलना में कितने घंटे अधिक थी: 27 - 8 = 19 (घंटे)। यह संख्या स्थिति से मेल खाती है। अतः समस्या का समाधान सही ढंग से किया गया।

इस समस्या को दूसरे तरीके से हल करके सत्यापित किया जा सकता है। सभी चार प्रश्न और पहली तीन क्रियाएँ समान रहती हैं।

4) 27 –19 = 8 (घंटे)।

उत्तर: पहली ट्रेन को यात्रा करने में 31 घंटे लगे, दूसरी ट्रेन को 8 घंटे लगे।

जोड़े में लिए गए इन अज्ञातों के तीन योगों में से तीन अज्ञात खोजने की समस्याएँ:

बीजगणितीय मॉडल:

उत्तर सूत्रों का उपयोग करके पाया जाता है:

एक्स =(ए -बी + ग)/2, y = (ए +बी – ग)/2, जेड = (बी + साथ -ए)/ 2.

उदाहरण।अंग्रेजी और जर्मन भाषाएँ 116 स्कूली बच्चे जर्मन और पढ़ते हैं स्पैनिश भाषाएँ 46 छात्र पढ़ रहे हैं, और 90 छात्र अंग्रेजी और स्पेनिश पढ़ रहे हैं। यदि यह ज्ञात हो कि प्रत्येक छात्र केवल एक भाषा पढ़ता है, तो कितने छात्र अंग्रेजी, जर्मन और स्पेनिश अलग-अलग पढ़ते हैं?

समाधान।समस्या का एक ग्राफिकल मॉडल चित्र 6 में प्रस्तुत किया गया है।

कितने छात्र प्रत्येक भाषा पढ़ते हैं?

समस्या का ग्राफिकल मॉडल दिखाता है: यदि हम शर्त (116 + 90 + 46) में दिए गए स्कूली बच्चों की संख्या को जोड़ते हैं, तो हमें अंग्रेजी, जर्मन और स्पेनिश पढ़ने वाले स्कूली बच्चों की संख्या दोगुनी हो जाती है। इसे दो से विभाजित करने पर हम पाते हैं कुल गणनास्कूली बच्चे. अंग्रेजी पढ़ने वाले स्कूली बच्चों की संख्या ज्ञात करने के लिए, इस संख्या में से जर्मन और स्पेनिश पढ़ने वाले स्कूली बच्चों की संख्या घटाना पर्याप्त है। इसी प्रकार, हम शेष आवश्यक संख्याएँ ज्ञात करते हैं।

आइए स्पष्टीकरण के साथ कार्यों पर निर्णय लिखें:

116 + 90 + 46 = 252 (स्कूली बच्चे) - भाषाएँ पढ़ने वाले स्कूली बच्चों की संख्या दोगुनी;

252: 2 = 126 (स्कूल) - भाषाओं का अध्ययन करें;

126 - 46 = 80 (स्कूल) - अंग्रेजी का अध्ययन करें;

126 – 90 = 36 (स्कूल) – जर्मन अध्ययन करें;

126 - 116 = 10 (स्कूल) - स्पेनिश सीखें।

इस समस्या को दूसरे तरीके से हल करके सत्यापित किया जा सकता है।

116 - 46 = 70 (स्कूली बच्चे) - स्पैनिश की तुलना में बहुत अधिक स्कूली बच्चे अंग्रेजी सीखते हैं;

90 + 70 = 160 (स्कूली बच्चे) - अंग्रेजी पढ़ने वाले स्कूली बच्चों की संख्या दोगुनी;

160: 2 = 80 (स्कूल) - अंग्रेजी सीखें;

90 - 80 = 10 (स्कूल) - स्पेनिश सीखें;

116 – 80 = 36 (स्कूल) – जर्मन अध्ययन करें।

उत्तर: 80 स्कूली बच्चे अंग्रेजी पढ़ते हैं, 36 स्कूली बच्चे जर्मन पढ़ते हैं, और 10 स्कूली बच्चे स्पेनिश पढ़ते हैं।

3. आनुपातिक विभाजन की समस्याओं में वे समस्याएँ शामिल होती हैं जिनमें किसी निश्चित मात्रा के दिए गए मान को दी गई संख्याओं के अनुपातिक भागों में विभाजित करने की आवश्यकता होती है। उनमें से कुछ में, भागों को स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किया जाता है, जबकि अन्य में, इन भागों को इस मात्रा के मूल्यों में से एक को एक भाग के रूप में लेकर और यह निर्धारित करके अलग किया जाना चाहिए कि ऐसे कितने हिस्से इसके अन्य मूल्यों के हिसाब से हैं।

आनुपातिक विभाजन समस्याएँ पाँच प्रकार की होती हैं।

1) किसी संख्या को सीधे भागों में विभाजित करने से संबंधित समस्याएँपूर्ण या भिन्नात्मक संख्याओं की श्रृंखला के समानुपाती

इस प्रकार की समस्याओं में वे कार्य शामिल हैं जिनमें संख्या ए एक्स 1, एक्स 2 , एक्स 3 , ..., एक्स एन संख्याओं के सीधे आनुपातिक ए 1 , ए 2 , ए 3 , ..., ए एन .

बीजगणितीय मॉडल:

उत्तर सूत्रों का उपयोग करके पाया जाता है:

उदाहरण।ट्रैवल कंपनी के चार मनोरंजन केंद्र हैं, जिनमें समान क्षमता की इमारतें हैं। पहले मनोरंजन केंद्र के क्षेत्र में 6 इमारतें हैं, दूसरे में 4 इमारतें हैं, तीसरे में 5 इमारतें हैं, चौथे में 7 इमारतें हैं। यदि सभी 4 अड्डों पर 2,112 लोगों को ठहराया जा सकता है, तो प्रत्येक अड्डे पर कितने कैंपर रह सकते हैं?

समाधान। कार्य का सारांश चित्र 7 में दिखाया गया है।

चावल। 7

समस्या के प्रश्न का उत्तर देने के लिए, प्रत्येक बेस पर कितने छुट्टियों को समायोजित किया जा सकता है, आपको यह जानना होगा कि एक इमारत में कितने छुट्टियों को समायोजित किया जा सकता है और प्रत्येक बेस के क्षेत्र में कितनी इमारतें स्थित हैं। प्रत्येक आधार पर भवनों की संख्या शर्त में दी गई है। यह पता लगाने के लिए कि एक इमारत में कितने छुट्टियों को समायोजित किया जा सकता है, आपको यह जानना होगा कि सभी 4 अड्डों पर कितने छुट्टियों को समायोजित किया जा सकता है (यह शर्त में दिया गया है) और सभी 4 अड्डों के क्षेत्र में कितनी इमारतें स्थित हैं। उत्तरार्द्ध को स्थिति से यह जानकर निर्धारित किया जा सकता है कि प्रत्येक आधार के क्षेत्र में कितनी इमारतें स्थित हैं।

आइए स्पष्टीकरण के साथ कार्यों पर निर्णय लिखें:

6 + 4 + 5 + 7 = 22 (के.) - 4 ठिकानों के क्षेत्र पर स्थित;

2112: 22 = 96 (घंटे) - एक इमारत में रखा जा सकता है;

96  6 = 576 (एच) - पहले आधार पर रखा जा सकता है;

96  4 = 384 (एच) - दूसरे आधार पर रखा जा सकता है;

96  5 = 480 (एच) - तीसरे आधार पर रखा जा सकता है;

96  7 = 672 (h) - चौथे आधार पर रखा जा सकता है।

परीक्षा.हम गणना करते हैं कि 4 आधारों पर कितने छुट्टियों को समायोजित किया जा सकता है: 576 + 384 + 480 + 672 = 2,112 (घंटे)। कार्य की शर्तों में कोई विसंगति नहीं है। समस्या का समाधान सही ढंग से किया गया.

उत्तर: पहला आधार 576 पर्यटक, दूसरा - 384 पर्यटक, तीसरा - 480 पर्यटक और चौथा - 672 पर्यटक आधार बना सकता है।

2) किसी संख्या को पूर्णांकों या भिन्नों की श्रृंखला के व्युत्क्रमानुपाती भागों में विभाजित करने से संबंधित समस्याएँ

इनमें वे कार्य शामिल हैं जिनमें संख्या ए(एक निश्चित मात्रा का मूल्य) को भागों में विभाजित करने की आवश्यकता है एक्स 1 मैं , एक्स 2 , एक्स 3 मैं , ..., एक्स"संख्याओं के व्युत्क्रमानुपाती ए 1बी ए 2 , ए 3 ,..., ए एन .

बीजगणितीय मॉडल:

या

एक्स 1 : एक्स 2 :एक्स 3 :...:х„ = ए 2 ए 3 ...ए एन :ए 1 ए 3 ...ए एन :ए 1 ए 2 ए 4 ...ए एन :...:ए 1 ए 2 ...ए एन -1

उत्तर सूत्रों का उपयोग करके पाया जाता है:

कहाँ एस = ए 2 ए 3 ...ए„+ए एल ए मैं ... ए एन + ए ] ए 2 ए 4 ...ए एन + ... + ए 1 ए 2 ...ए एन -1.

उदाहरण।चार महीनों के लिए, फर की बिक्री से फर फार्म की आय 1,925,000 रूबल थी, और महीने के अनुसार प्राप्त धन को संख्या 2, 3, 5, 4 के विपरीत अनुपात में वितरित किया गया था। प्रत्येक महीने में फार्म की आय अलग से क्या है?

समाधान।शर्त में उल्लिखित आय निर्धारित करने के लिए, चार महीनों की कुल आय दी गई है, अर्थात, चार आवश्यक संख्याओं का योग, साथ ही आवश्यक संख्याओं के बीच संबंध। आवश्यक आय संख्या 2, 3, 5, 4 के व्युत्क्रमानुपाती है।

चलो निरूपित करें x के माध्यम से क्रमशः आवश्यक आय, एक्स 2 , एक्स 3 , एक्स 4 . फिर समस्या को संक्षेप में लिखा जा सकता है जैसा कि चित्र 8 में दिखाया गया है।

चावल। 8

प्रत्येक आवश्यक संख्या के भागों की संख्या जानकर, हम उनके योग में निहित भागों की संख्या ज्ञात करेंगे। चार महीनों के लिए दी गई कुल आय के आधार पर, यानी आवश्यक संख्याओं के योग और इस राशि में निहित भागों की संख्या के आधार पर, हम एक भाग का मूल्य और फिर आवश्यक आय का पता लगाते हैं।

आइए स्पष्टीकरण के साथ कार्यों पर निर्णय लिखें:

1. आवश्यक आय संख्या 2, 3, 5, 4 के व्युत्क्रमानुपाती हैं, जिसका अर्थ है कि वे डेटा के व्युत्क्रम संख्याओं के सीधे आनुपातिक हैं, अर्थात संबंध हैं . आइए भिन्नात्मक संख्याओं के इन अनुपातों को पूर्णांकों के अनुपातों से बदलें:

2. यह जानना एक्सइसमें 30 बराबर भाग हैं, एक्स 2 – 20, एक्स 3 – 12, एक्स 4 – 15, आइए जानें कि उनके योग में कितने भाग शामिल हैं:

30 + 20 + 12+ 15 = 77 (घंटे)।

3. एक हिस्से के लिए कितने रूबल हैं?

1,925,000: 77 = 25,000 (आर.).

4. पहले महीने में खेत की आय कितनी है?

25,000 30 = 750,000 (आर.).

5. दूसरे महीने में कृषि आय कितनी है?

25,000 20 = 500,000 (आर.).

6. तीसरे महीने में कृषि आय क्या है?

25,000-12 = 300,000 (आर.)।

7. चौथे महीने में कृषि आय कितनी है?

25,000-15 = 375,000 (आर.).

उत्तर: पहले महीने में, खेत की आय 750,000 रूबल थी, दूसरे में - 500,000 रूबल, तीसरे में - 300,000 रूबल, चौथे में - 375,000 रूबल।

3) किसी संख्या को भागों में विभाजित करने से जुड़ी समस्याएं, जब आवश्यक संख्याओं के प्रत्येक जोड़े के लिए अलग-अलग अनुपात दिए जाते हैं

इस प्रकार की समस्याओं में वे कार्य शामिल हैं जिनमें संख्या ए(एक निश्चित मात्रा का मूल्य) को भागों x 1 में विभाजित किया जाना चाहिए, एक्स 2 , एक्स 3, ..., एक्स",जब जोड़े में ली गई आवश्यक संख्याओं के लिए संबंधों की एक श्रृंखला दी जाती है। बीजगणितीय मॉडल:

एक्स 1: एक्स 2 = ए 1 : बी 1, एक्स 2 : एक्स 3 = ए 2 : बी 2, एक्स 3 : एक्स 4 = ए 3 : बी 3 , ..., एक्स एन-1 : एक्स एन = ए एन -1 : बी एन-1 .

एन = 4. बीजगणितीय मॉडल:

एक्स एक्स :एक्स 2 = ए 1 : बी 1, एक्स 2 :एक्स 3= ए 2 : बी 2, एक्स 3 : एक्स 4 = ए 3: बी 3 .

इसलिए, एक्स 1: एक्स 2 : एक्स 3: एक्स 4 = ए 1 ए 2 ए 3 : बी 1 ए 2 ए 3 : बी 1 बी 2 ए 3 : बी 1 बी 2 बी 3 .

कहाँ एस = ए 1 ए 2 ए 3 + बी 1 ए जी ए 3 + बी 1 बी 2 ए 3 + बी 1 बी 2 बी 3

उदाहरण।तीनों शहरों में 168,000 निवासी हैं। पहले और दूसरे शहर के निवासियों की संख्या अनुपात में है , और दूसरे और तीसरे शहर - के संबंध में। प्रत्येक शहर में कितने निवासी हैं?

समाधान।आइए हम तदनुसार आवश्यक जनसंख्या संख्याओं को निरूपित करें एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3 . फिर समस्या को संक्षेप में लिखा जा सकता है जैसा कि चित्र 9 में दिखाया गया है।

चावल। 9

निवासियों की संख्या निर्धारित करने के लिए, तीन शहरों में निवासियों की संख्या दी गई है, अर्थात, तीन आवश्यक संख्याओं का योग, साथ ही आवश्यक संख्याओं के बीच व्यक्तिगत संबंध। इन संबंधों को संबंधों की एक श्रृंखला के साथ प्रतिस्थापित करते हुए, हम तीन शहरों के निवासियों की संख्या को समान भागों में व्यक्त करते हैं। प्रत्येक आवश्यक संख्या के भागों की संख्या जानकर, हम उनके योग में निहित भागों की संख्या ज्ञात करेंगे। तीन शहरों में निवासियों की दी गई कुल संख्या से, यानी आवश्यक संख्याओं के योग से और इस योग में निहित भागों की संख्या से, हम एक हिस्से का आकार और फिर निवासियों की आवश्यक संख्या का पता लगाते हैं।

आइए स्पष्टीकरण के साथ कार्यों पर निर्णय लिखें।

1. भिन्नात्मक संख्याओं के अनुपात को पूर्णांकों के अनुपात से बदलें:

हम दूसरे शहर के निवासियों की संख्या का मिलान संख्या 15 (संख्या 3 और 5 का सबसे छोटा सामान्य गुणक) से करते हैं।

हम परिणामी रिश्तों को तदनुसार बदलते हैं:

एक्स 1: एक्स 2 = 4: 3 = (4-5): (3-5) = 20: 15, x 2: x 3 = 5: 7 = (5-3): (7-3) = 15: 21.

व्यक्तिगत संबंधों से हम संबंधों की एक श्रृंखला बनाते हैं:

एक्स 1: एक्स 2 : एक्स 3 = 20: 15: 21.

2. 20 + 15 + 21 = 56 (एच) - संख्या 168,000 इतने सारे समान भागों से मेल खाती है;

3. 168,000: 56 = 3,000 (एफ.) - प्रति भाग;

4. 3,000 20 = 60,000 (एफ) - पहले शहर में;

5. 3,000 15 = 45,000 (एफ) - दूसरे शहर में;

3,000 21 = 63,000 (एफ.) - तीसरे शहर में।

उत्तर: 60,000 निवासी; 45,000 निवासी; 63,000 निवासी।

4) किसी संख्या को दो, तीन और इसी प्रकार संख्याओं की पंक्तियों के अनुपात में भागों में विभाजित करने से जुड़ी समस्याएँ

इस प्रकार की समस्याओं में वे समस्याएँ शामिल हैं जिनमें संख्या ए(एक निश्चित मात्रा का मूल्य) को भागों में विभाजित करने की आवश्यकता है एक्स 1, एक्स 2 , एक्स 3 ,..., एक्स एन दो, तीन, ... के समानुपाती एनसंख्याओं की पंक्तियाँ.

समस्या को हल करने के सूत्रों की बोझिलता के कारण सामान्य रूप से देखेंआइए एक विशेष मामले पर विचार करें जब एन = 3 और एन = 2.होने देना एक्स 1 एक्स 2 , एक्स 3 संख्याओं के सीधे आनुपातिक ए 1 , ए 2 , ए 3 और संख्याओं के व्युत्क्रमानुपाती बी 1 , बी 2 , बी 3 .

बीजगणितीय मॉडल:

(इस पैराग्राफ का पैराग्राफ 1 देखें),

उदाहरण।दो श्रमिकों को 1,800 रूबल मिले। एक ने 3 दिन 8 घंटे काम किया, दूसरे ने 6 दिन 6 घंटे काम किया, यदि 1 घंटे के काम के लिए उन्हें समान वेतन मिलता हो तो प्रत्येक ने कितना कमाया?

समाधान. कार्य का सारांश चित्र 10 में दिखाया गया है।

चावल।10

यह जानने के लिए कि प्रत्येक कर्मचारी को कितना प्राप्त हुआ, आपको यह जानना होगा कि 1 घंटे के काम के लिए कितने रूबल का भुगतान किया गया और प्रत्येक कर्मचारी ने कितने घंटे काम किया। यह जानने के लिए कि 1 घंटे के काम के लिए कितने रूबल का भुगतान किया गया था, आपको यह जानना होगा कि उन्होंने पूरे काम के लिए कितना भुगतान किया (शर्त में दिया गया) और दोनों श्रमिकों ने एक साथ कितने घंटे काम किया। काम किए गए कुल घंटों की संख्या जानने के लिए, आपको यह जानना होगा कि प्रत्येक व्यक्ति ने कितने घंटे काम किया है, और इसके लिए आपको यह जानना होगा कि प्रत्येक व्यक्ति ने कितने दिन काम किया और प्रति दिन कितने घंटे काम किया। यह डेटा शर्त में शामिल है.

आइए स्पष्टीकरण के साथ कार्यों पर निर्णय लिखें:

8  3 = 24 (घंटे) - पहले कार्यकर्ता ने काम किया;

6  6 = 36 (घंटे) - दूसरे कर्मचारी ने काम किया;

24 + 36 = 60 (घंटे) - दोनों श्रमिकों ने एक साथ काम किया;

1800: 60 = 30 (आर.) - श्रमिकों को 1 घंटे के काम के लिए प्राप्त हुआ;

30  24 = 720 (आर.) - पहले कार्यकर्ता द्वारा अर्जित;

30  36 = 1080 (आर.) - दूसरे कार्यकर्ता द्वारा अर्जित।

उत्तर: 720 रूबल; 1080 रगड़।5) अनेक संख्याएँ ढूँढ़ने में समस्याएँ

उदाहरण।उनके संबंधों और योग या अंतर के अनुसार (उनमें से कुछ का योग या अंतर)

समाधानस्कूल प्रशासन ने खेल के मैदान, ग्रीनहाउस और जिम के उपकरणों पर 49,000 रूबल खर्च किए। एक खेल के मैदान को सुसज्जित करने की लागत ग्रीनहाउस की तुलना में आधी है, और ग्रीनहाउस की लागत एक जिम और खेल के मैदान की तुलना में 3 गुना कम है। इनमें से प्रत्येक सुविधा के लिए उपकरणों पर कितना पैसा खर्च किया गया?

. कार्य का सारांश चित्र 11 में दिखाया गया है।

चावल। 11

आइए स्पष्टीकरण के साथ कार्यों पर निर्णय लिखें।

प्रत्येक वस्तु के उपकरण पर खर्च की गई धनराशि का पता लगाने के लिए, आपको यह जानना होगा कि प्रत्येक वस्तु के उपकरण पर खर्च किए गए सभी धन के कितने भाग थे और प्रत्येक भाग के लिए कितने रूबल थे। प्रत्येक वस्तु के उपकरण पर खर्च किए गए धन के हिस्सों की संख्या समस्या की स्थितियों से निर्धारित होती है। प्रत्येक वस्तु के उपकरण के लिए भागों की संख्या अलग-अलग निर्धारित करने और फिर उनका योग ज्ञात करने के बाद, हम एक भाग के मूल्य (रूबल में) की गणना करते हैं।

हम खेल के मैदान के लिए उपकरणों पर खर्च की गई राशि को एक भाग के रूप में लेते हैं। शर्त के अनुसार, ग्रीनहाउस उपकरणों पर 2 गुना अधिक खर्च किया गया, यानी 1  2 = 2 (एच); ग्रीनहाउस की तुलना में खेल के मैदान और स्पोर्ट्स हॉल के लिए उपकरणों पर 3 गुना अधिक खर्च किया गया था, यानी, 2  3 = 6 (घंटे), इसलिए, 6 - 1 = 5 (घंटे) स्पोर्ट्स हॉल के लिए उपकरणों पर खर्च किए गए थे।

1 भाग खेल के मैदान के लिए उपकरण पर, 2 भाग ग्रीनहाउस के लिए और 5 भाग जिम के लिए खर्च किया गया।

संपूर्ण प्रवाह दर 1 + 2 + + 5 = 8 (एच) थी।

8 भाग 49,000 रूबल के बराबर हैं, एक भाग इस राशि से 8 गुना कम है: 49,000: 8 = 6,125 (रगड़)। नतीजतन, खेल के मैदान के लिए उपकरणों पर 6,125 रूबल खर्च किए गए।

ग्रीनहाउस उपकरणों पर दोगुना खर्च किया गया: 6,125  2 = 12,250 (आर.)।

जिम के लिए उपकरणों पर 5 भाग खर्च किए गए: 6,125  5 = 30,625 (आर.)।

उत्तर: 6,125 रूबल; रगड़ 12,250; रगड़ 30,625

उत्तर सूत्रों का उपयोग करके पाया जाता है:

इन समस्याओं को डेटा को बराबर करने की विधि, डेटा और आवश्यक डेटा को बराबर करने की विधि, डेटा को बदलने की विधि, साथ ही तथाकथित "धारणा" विधि द्वारा हल किया जाता है।

उदाहरण।एक कपड़ा कारखाने में, 24 कोट और 45 सूट में 204 मीटर कपड़े का उपयोग किया जाता है, और 24 कोट और 30 सूट में 162 मीटर कपड़े का उपयोग किया जाता है। एक सूट के लिए कितना कपड़ा उपयोग किया जाता है और एक कोट के लिए कितना?

समाधान. आइए डेटा समायोजन विधि का उपयोग करके समस्या का समाधान करें। कार्य का संक्षिप्त विवरण.

गणितीय अर्थ में समानता और विभिन्न समाधान विधियों की विनिमेयता के आधार पर, सभी अंकगणितीय विधियों को निम्नलिखित समूहों में जोड़ा जा सकता है:

• 1) एकता में कमी की विधि, एक सामान्य माप में कमी, एकता में व्युत्क्रम कमी, संबंधों की विधि;
• 2) समस्याओं को "अंत" से हल करने का एक तरीका;
• 3) अज्ञात को खत्म करने की एक विधि (एक अज्ञात को दूसरे के साथ बदलना, अज्ञात की तुलना करना, डेटा की तुलना करना, घटाव द्वारा दो स्थितियों की तुलना करना, दो स्थितियों को एक में जोड़ना); अनुमान लगाने का तरीका;
• 4) आनुपातिक विभाजन, समानता या भागों का पता लगाना;
• 5) एक समस्या को दूसरी समस्या में बदलने की एक विधि (एक जटिल समस्या को सरल, प्रारंभिक समस्याओं में विघटित करना; अज्ञात को ऐसे मूल्यों पर लाना जिनके लिए उनका संबंध ज्ञात हो जाता है; अज्ञात मात्राओं में से एक के लिए एक मनमाना संख्या निर्धारित करने की विधि)।

उपरोक्त विधियों के अलावा, अंकगणित माध्य विधि, अधिशेष विधि, ज्ञात और अज्ञात को पुनर्व्यवस्थित करने की विधि और "गलत" नियमों की विधि पर भी विचार करना उचित है।

चूँकि आमतौर पर पहले से यह निर्धारित करना असंभव है कि कौन सी विधियाँ तर्कसंगत हैं, यह अनुमान लगाने के लिए कि उनमें से कौन सी विधि छात्र के लिए सबसे सरल और सबसे समझने योग्य समाधान की ओर ले जाएगी, तो छात्रों को इससे परिचित कराया जाना चाहिए अलग - अलग तरीकों सेऔर उन्हें यह चुनने का अवसर दें कि किसी विशिष्ट समस्या को हल करते समय किसका उपयोग किया जाए।

अज्ञात को बाहर करने की विधि

इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब समस्या में कई अज्ञात हों। इस समस्या को पाँच तकनीकों में से एक का उपयोग करके हल किया जा सकता है: 1) एक अज्ञात को दूसरे से बदलना; 2) अज्ञात की तुलना; 3) घटाव द्वारा दो स्थितियों की तुलना; 4) डेटा की तुलना; 5) कई स्थितियों को एक में जोड़ना।

इनमें से किसी एक का उपयोग करने के परिणामस्वरूप सूचीबद्ध तकनीकेंकई अज्ञात के बजाय, केवल एक ही है जिसे पाया जा सकता है। इसकी गणना करने के बाद, वे अन्य अज्ञात को खोजने के लिए निर्भरता स्थिति में डेटा का उपयोग करते हैं।

आइए कुछ तकनीकों पर करीब से नज़र डालें।

1. एक अज्ञात को दूसरे से बदलना

तकनीक का नाम इसके विचार को प्रकट करता है: समस्या की स्थितियों के अनुसार दी गई निर्भरता (एकाधिक या अंतर) के आधार पर, उनमें से किसी एक के माध्यम से सभी अज्ञात को व्यक्त करना आवश्यक है।

काम। सर्गेई और एंड्री के पास केवल 126 टिकटें हैं। सर्गेई के एंड्री से 14 अंक अधिक हैं। प्रत्येक लड़के के पास कितने टिकटें थीं?

स्थिति का संक्षिप्त विवरण:

सेर्गेई -- ? अंक, 14 अंक अधिक

एंड्री -- ? टिकटों

कुल--126 टिकटें

समाधान 1.

• (बड़े अज्ञात को छोटे अज्ञात से बदलना)
• 1) बता दें कि सर्गेई के पास एंड्री जितने ही टिकट हैं। तब कुल मात्रा 126 अंक होंगे - 14 = 112 (अंक)।
• 2) चूंकि अब लड़कों के पास समान अंक हैं, हम पाएंगे कि शुरुआत में आंद्रेई के पास कितने अंक थे: 112: 2 = 56 (टिकटें)।
• 3) यह मानते हुए कि सर्गेई के एंड्री से 14 अंक अधिक हैं, हमें मिलता है: 56 + 14 = 70 (अंक)।

समाधान 2.

• (छोटे अज्ञात को बड़े अज्ञात से बदलना)
• 1) मान लीजिए आंद्रेई के पास सर्गेई के समान ही टिकटें हैं। तब टिकटों की कुल संख्या 126 + 14 = 140 (टिकटें) होगी।
• 2) चूँकि लड़कों के अब समान अंक हैं, आइए जानें कि सर्गेई के पहले कितने अंक थे: 140: 2 = 70 (अंक)।
• 3) यह मानते हुए कि एंड्री के सर्गेई से 14 अंक कम थे, हमें मिलता है: 70 - 14 = 56 (अंक)।

उत्तर: सर्गेई के 70 अंक थे, और एंड्री के 56 अंक थे।

एक छोटे अज्ञात को एक बड़े अज्ञात के साथ बदलने की विधि को छात्रों द्वारा सर्वोत्तम रूप से आत्मसात करने के लिए, इस पर विचार करने से पहले, छात्रों के साथ निम्नलिखित तथ्य को स्पष्ट करना आवश्यक है: यदि संख्या ए अधिक संख्याबी को सी इकाइयों से, फिर संख्या ए और बी की तुलना करने के लिए आपको यह करना होगा:

• ए) संख्या ए से संख्या सी घटाएं (तब दोनों संख्याएं संख्या बी के बराबर हैं);
• बी) संख्या सी को संख्या बी में जोड़ें (तब दोनों संख्याएं संख्या ए के बराबर हैं)।

एक बड़े अज्ञात को एक छोटे से बदलने की छात्रों की क्षमता, और इसके विपरीत, एक समीकरण बनाते समय अज्ञात को चुनने और इसके माध्यम से अन्य मात्राओं को व्यक्त करने की क्षमता के विकास में योगदान देती है।

2. अज्ञात की तुलना

काम। चार अलमारियों पर 188 पुस्तकें थीं। दूसरी शेल्फ पर पहली की तुलना में 16 कम किताबें थीं, तीसरी पर - दूसरी की तुलना में 8 अधिक, और चौथी पर - तीसरी शेल्फ की तुलना में 12 कम। प्रत्येक शेल्फ पर कितनी किताबें रखी हुई हैं?

कार्य विश्लेषण

चार अज्ञात मात्राओं (प्रत्येक शेल्फ पर पुस्तकों की संख्या) के बीच निर्भरता को बेहतर ढंग से समझने के लिए, हम निम्नलिखित चित्र का उपयोग करते हैं:

मैं_________________________________

II__________________________

III______________________________

चतुर्थ________________________ _ _ _ _ _

प्रत्येक शेल्फ पर पुस्तकों की संख्या को योजनाबद्ध रूप से दर्शाने वाले खंडों की तुलना करते हुए, हम निम्नलिखित निष्कर्ष पर पहुंचते हैं: पहले शेल्फ पर दूसरे की तुलना में 16 अधिक किताबें हैं; तीसरे पर दूसरे से 8 अधिक हैं; चौथे पर - 12 - 8 = 4 (किताबें) दूसरे से कम। इसलिए, प्रत्येक शेल्फ पर पुस्तकों की संख्या की तुलना करके समस्या का समाधान किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, पहली शेल्फ से 16 किताबें, तीसरी से 8 किताबें और चौथी शेल्फ पर 4 किताबें हटा दें। तब सभी अलमारियों पर उतनी ही किताबें होंगी, जितनी पहले दूसरी पर थीं।

• 1) समस्या विश्लेषण में वर्णित कार्यों के बाद सभी अलमारियों पर कितनी किताबें हैं?
• 188 -- 16 -- 8 + 4 = 168 (किताबें)
• 2) दूसरी शेल्फ पर कितनी किताबें थीं?
• 168: 4 = 42 (किताबें)
• 3) पहली शेल्फ पर कितनी किताबें थीं?
• 42 + 16 = 58 (किताबें)
• 4) तीसरी शेल्फ पर कितनी किताबें थीं?
• 42 + 8 = 50 (किताबें)
• 5) चौथी शेल्फ पर कितनी किताबें थीं?
• 50 -- 12 = 38 (किताबें)

उत्तर: चारों अलमारियों में से प्रत्येक पर 58, 42, 50 और 38 पुस्तकें थीं।

टिप्पणी। आप विद्यार्थियों को पहली, दूसरी या चौथी शेल्फ पर मौजूद अज्ञात संख्या में पुस्तकों की तुलना करके अन्य तरीकों से इस समस्या को हल करने के लिए आमंत्रित कर सकते हैं।

3. घटाव द्वारा दो स्थितियों की तुलना

इस तकनीक द्वारा हल की जाने वाली समस्या के कथानक में अक्सर दो आनुपातिक मात्राएँ (वस्तु की मात्रा और उसकी लागत, श्रमिकों की संख्या और उनके द्वारा किया गया कार्य, आदि) शामिल होती हैं। शर्त एक मात्रा के दो मान और उनके समानुपाती दो का अंतर बताती है संख्यात्मक मूल्यएक अलग आकार का.

काम। 4 किलो संतरे और 5 किलो केले के लिए उन्होंने 620 रूबल का भुगतान किया, और अगली बार उसी कीमत पर खरीदे गए 4 किलो संतरे और 3 किलो केले के लिए उन्होंने 500 रूबल का भुगतान किया। 1 किलो संतरे और 1 किलो केले की कीमत कितनी है?

स्थिति का संक्षिप्त विवरण:

• 4 किलो ऐप. और 5 किलो पर प्रतिबंध. - 620 रूबल,
• 4 किलो ऐप. और 3 किलो पर प्रतिबंध. - 500 रूबल।

• 1) आइए दो खरीद की लागत की तुलना करें। पहली बार और दूसरी बार दोनों ने समान कीमत पर समान संख्या में संतरे खरीदे। पहली बार हमने अधिक भुगतान किया क्योंकि हमने अधिक केले खरीदे। आइए जानें कि पहली बार कितने किलोग्राम अधिक केले खरीदे गए: 5 - 3 = 2 (किग्रा)।
• 2) आइए जानें कि हमने दूसरी बार की तुलना में पहली बार कितना अधिक भुगतान किया (अर्थात, हमें पता चलता है कि 2 किलो केले की कीमत कितनी है): 620 - 500 = 120 (रगड़)।
• 3) 1 किलो केले की कीमत ज्ञात करें: 120: 2 = 60 (रगड़)।
• 4) पहली और दूसरी खरीद की कीमत जानकर हम 1 किलो संतरे की कीमत पता कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए सबसे पहले खरीदे गए केले की कीमत, फिर संतरे की कीमत और फिर 1 किलो की कीमत पता करें। हमारे पास है: (620 -- 60*5) : 4 = 80 (रगड़)।

उत्तर: 1 किलो संतरे की कीमत 80 रूबल है, और 1 किलो केले की कीमत 60 रूबल है।

4. डेटा तुलना

इस तकनीक के उपयोग से डेटा की तुलना करना और घटाव विधि लागू करना संभव हो जाता है। आप डेटा मानों की तुलना कर सकते हैं:

• 1) गुणन का उपयोग करना (उनकी तुलना लघुत्तम समापवर्त्य से करना);
• 2) विभाजन का उपयोग करना (उनकी तुलना सबसे बड़े से करना)। सामान्य भाजक).

आइए इसे एक उदाहरण से दिखाते हैं.

काम। 4 किलो संतरे और 5 किलो केले के लिए उन्होंने 620 रूबल का भुगतान किया, और अगली बार उसी कीमत पर खरीदे गए 6 किलो संतरे और 3 किलो केले के लिए उन्होंने 660 रूबल का भुगतान किया। 1 किलो संतरे और 1 किलो केले की कीमत कितनी है?

स्थिति का संक्षिप्त विवरण:

• 4 किलो ऐप. और 5 किलो पर प्रतिबंध. - 620 रूबल,
• 6 किलो ऐप. और 3 किलो पर प्रतिबंध. - 660 रूबल।

आइए संतरे और केले की संख्या को लघुत्तम समापवर्तक से तुलना करके बराबर करें: LCM(4;6) = 12.

समाधान1.

• 1) आइए पहले मामले में खरीदे गए फलों की संख्या और उनकी लागत को 3 गुना और दूसरे में 2 गुना बढ़ा दें। हमें स्थिति का निम्नलिखित संक्षिप्त विवरण मिलता है:
• 12 किलो ऐप. और 15 किलो पर प्रतिबंध. - 1860 रूबल,
• 12 किलो ऐप. और 6 किलो पर प्रतिबंध. - 1320 रूबल।
• 2) पता करें कि आपने पहली बार कितने और केले खरीदे: 15-6 = 9 (किग्रा)।
• 3) 9 किलो केले की कीमत कितनी है? 1860 -- 1320 = 540 (रगड़)।
• 4) 1 किलो केले की कीमत ज्ञात करें: 540: 9 = 60 (रगड़)।
• 5) 3 किलो केले की कीमत ज्ञात करें: 60 * 3 = 180 (रगड़)।
• 6) 6 किलो संतरे की कीमत ज्ञात करें: 660 -- 180 = 480 (रगड़)।
• 7) 1 किलो संतरे की कीमत ज्ञात करें: 480: 6 = 80 (रगड़)।

समाधान2.

आइए सबसे बड़े सामान्य भाजक के साथ तुलना करके संतरे और केले की संख्या को बराबर करें: जीसीडी (4; 6) = 2।

• 1) पहली बार और दूसरी बार खरीदे गए संतरे की संख्या को बराबर करने के लिए, हम खरीदे गए उत्पाद की मात्रा और उसकी लागत को पहले मामले में 2 गुना, दूसरे में - 3 गुना कम कर देते हैं। आइए एक समस्या प्राप्त करें जिसमें शर्त का निम्नलिखित संक्षिप्त रूप है:
• 2 किलो ऐप. और 2.5 किलो का बैन. - 310 रूबल,
• 2 किलो ऐप. और 1 किलो पर प्रतिबंध. - 220 रूबल।
• 2) अब वे कितने और केले खरीद रहे हैं: 2.5 - 1 = 1.5 (किग्रा)।
• 3) आइए जानें कि 1.5 किलो केले की कीमत कितनी है: 310 -- 220 = 90 (रगड़)।
• 4) 1 किलो केले की कीमत ज्ञात करें: 90: 1.5 = 60 (रगड़)।
• 5) 1 किलो संतरे की कीमत ज्ञात करें: (660 -- 60*3) : 6 = 80 (रगड़)।

उत्तर: 1 किलो संतरे की कीमत 80 रूबल, 1 किलो केले की कीमत 60 रूबल है।

डेटा की तुलना करने की तकनीक का उपयोग करके समस्याओं को हल करते समय, आप इतना विस्तृत विश्लेषण और रिकॉर्डिंग नहीं कर सकते हैं, बल्कि केवल उन परिवर्तनों को रिकॉर्ड कर सकते हैं जो तुलना के लिए किए गए थे और उन्हें एक तालिका के रूप में लिख सकते हैं।

5. अनेक स्थितियों को एक में मिलाना

कभी-कभी आप कई स्थितियों को एक में मिलाकर अनावश्यक अज्ञात से छुटकारा पा सकते हैं।

काम। पर्यटकों ने शिविर छोड़ दिया और पहले 4 घंटे तक चले, और फिर एक निश्चित स्थिर गति से अगले 4 घंटे तक साइकिल चलाई और शिविर से 60 किमी दूर चले गए। दूसरी बार उन्होंने शिविर छोड़ा और पहले 7 घंटे तक उसी गति से साइकिल चलाई, और फिर विपरीत दिशा में मुड़ गए और 4 घंटे तक चलने के बाद, उन्होंने खुद को शिविर से 50 किमी की दूरी पर पाया। पर्यटकों ने कितनी तेजी से साइकिलें चलाईं?

समस्या में दो अज्ञात हैं: जिस गति से पर्यटक अपनी साइकिल चलाते थे और जिस गति से वे चलते थे। उनमें से किसी एक को बाहर करने के लिए, आप दो स्थितियों को एक में जोड़ सकते हैं। फिर पर्यटक पहली बार पैदल आगे बढ़ने पर 4 घंटे में जो दूरी तय करेंगे, वह दूसरी बार वापस जाने पर 4 घंटे में तय की गई दूरी के बराबर है। इसलिए हम इन दूरियों पर ध्यान नहीं देते. इसका मतलब यह है कि पर्यटक साइकिल पर 4 + 7 = 11 (घंटे) में जो दूरी तय करेंगे वह 50 + 60 = 110 (किमी) के बराबर होगी।

तो साइकिल पर पर्यटकों की गति है: 110: 11 = 10 (किमी/घंटा)।

उत्तर: साइकिल की गति 10 किमी/घंटा है।

6. धारणा की विधि

समस्याओं को हल करते समय अनुमान पद्धति का उपयोग करने से अधिकांश छात्रों के लिए कठिनाई नहीं होती है। इसलिए, छात्रों को इस पद्धति के चरणों के आरेख को यांत्रिक रूप से याद करने और उनमें से प्रत्येक पर किए गए कार्यों के सार को न समझने से रोकने के लिए, छात्रों को पहले परीक्षण विधि ("झूठा नियम" और "प्राचीन बेबीलोनियों का नियम") दिखाया जाना चाहिए। ).

नमूना पद्धति का उपयोग करते समय, विशेष रूप से "गलत नियम" में, अज्ञात मात्राओं में से एक को एक निश्चित मान ("अनुमति") दिया जाता है। फिर, सभी शर्तों का उपयोग करके, वे दूसरी मात्रा का मूल्य ज्ञात करते हैं। परिणामी मान की जाँच शर्त में निर्दिष्ट मान के विरुद्ध की जाती है। यदि परिणामी मान शर्त में दिए गए मान से भिन्न है, तो निर्दिष्ट पहला मान सही नहीं है और इसे 1 से बढ़ाया या घटाया जाना चाहिए, और दूसरे मान का मान फिर से पाया जाना चाहिए। यह तब तक किया जाना चाहिए जब तक हमें किसी अन्य मात्रा का मान प्राप्त न हो जाए, जैसा कि समस्या कथन में है।

काम। खजांची के पास 50 कोप्पेक और 10 कोप्पेक के 50 सिक्के हैं, जिनकी कुल कीमत 21 रूबल है। पता लगाएं कि कैशियर के पास कितने अलग-अलग 50k सिक्के थे। और 10k प्रत्येक।

समाधान1. (नमूना विधि)

आइए "प्राचीन" बेबीलोनियों के नियम का उपयोग करें। आइए मान लें कि खजांची के पास प्रत्येक मूल्यवर्ग के सिक्कों की समान संख्या है, यानी प्रत्येक 25 टुकड़े। तब धन की राशि 50*25 + 10*25 = 1250+250=1500 (k.), या 15 रूबल होगी। लेकिन 21 रूबल की स्थिति में, यानी प्राप्त से 21 UAH अधिक - 15 रूबल = 6 रूबल। इसका मतलब यह है कि 50-कोपेक सिक्कों की संख्या बढ़ाना और 10-कोपेक सिक्कों की संख्या कम करना आवश्यक है जब तक कि हमें कुल 21 रूबल नहीं मिल जाते। हम सिक्कों की संख्या और कुल राशि में परिवर्तन को तालिका में दर्ज करेंगे।

सिक्कों की संख्या	सिक्कों की संख्या	पैसे की राशि	पैसे की राशि	कुल राशि	अवस्था में कम या ज्यादा
					6 रूबल से कम।
					5rub60k से कम
					जैसी हालत में है

जैसा कि टेबल से देखा जा सकता है, खजांची के पास 50 कोपेक के 40 सिक्के और 10 कोपेक के 10 सिक्के थे।

जैसा कि समाधान 1 में पता चला, यदि कैशियर के पास समान संख्या में 50k सिक्के थे। और 10 हजार प्रत्येक, तो कुल मिलाकर उसके पास 15 रूबल पैसे थे। यह देखना आसान है कि प्रत्येक सिक्के का प्रतिस्थापन 10k है। प्रति सिक्का 50k. कुल राशि 40k बढ़ जाती है। इसका मतलब है कि हमें यह पता लगाना होगा कि ऐसे कितने प्रतिस्थापन करने की आवश्यकता है, ऐसा करने के लिए, आइए पहले यह पता करें कि कुल राशि को बढ़ाने के लिए हमें कितने पैसे की आवश्यकता है:

21 रूबल--15 रूबल. = 6 रगड़. = 600 कि.

आइए जानें कि ऐसा प्रतिस्थापन कितनी बार करने की आवश्यकता है: 600 k : 40 k.

तब 50 कोपेक 25 +15 = 40 (सिक्के) रह जायेंगे, और 10 कोपेक सिक्के 25 -- 15 = 10 रह जायेंगे।

चेक पुष्टि करता है कि इस मामले में कुल धनराशि 21 रूबल है।

उत्तर: खजांची के पास 50 कोपेक के 40 सिक्के और 10 कोपेक के 10 सिक्के थे।

छात्रों से अपने लिए चयन करने के लिए कहकर विभिन्न अर्थ 50 कोप्पेक के सिक्कों की संख्या, उन्हें इस विचार में लाना आवश्यक है कि तर्कसंगतता के दृष्टिकोण से सबसे अच्छा यह धारणा है कि खजांची के पास केवल एक मूल्यवर्ग के सिक्के थे (उदाहरण के लिए, 50 कोप्पेक के सभी 50 सिक्के या सभी प्रत्येक 10 कोपेक के 50 सिक्के)। इसके कारण, अज्ञातों में से एक को बाहर कर दिया जाता है और उसकी जगह दूसरे अज्ञात को ले लिया जाता है।

7. अवशेष विधि

परीक्षण और अनुमान विधियों का उपयोग करके समस्याओं को हल करते समय इस पद्धति में सोच के साथ कुछ समानताएँ हैं। हम एक दिशा में गति से जुड़ी समस्याओं को हल करते समय शेषफल की विधि का उपयोग करते हैं, अर्थात्, जब उस समय का पता लगाना आवश्यक होता है जिसके दौरान पहली वस्तु, जो अधिक गति से पीछे चल रही है, दूसरी वस्तु को पकड़ लेगी, जो कि है एक कम गति. 1 घंटे में, पहली वस्तु दूसरी वस्तु के पास इतनी दूरी पर पहुंचती है जो उनकी गति के अंतर के बराबर होती है, यानी कि दूसरी की गति की तुलना में उसकी गति के "शेष" के बराबर होती है। गति की शुरुआत में पहली वस्तु और दूसरी वस्तु के बीच की दूरी तय करने में लगने वाले समय का पता लगाने के लिए, आपको यह निर्धारित करना चाहिए कि "शेष" को इस दूरी में कितनी बार रखा गया है।

यदि हम कथानक से हटकर केवल समस्या की गणितीय संरचना पर विचार करते हैं, तो यह दो कारकों (दोनों वस्तुओं की गति की गति) या इन कारकों और दो उत्पादों के बीच अंतर (वे तय की गई दूरी) या उनके अंतर के बारे में बात करते हैं। अज्ञात कारक (समय) वही हैं और उन्हें ढूंढने की आवश्यकता है। गणितीय दृष्टिकोण से, अज्ञात कारक दर्शाता है कि उत्पादों के अंतर में ज्ञात कारकों का अंतर कितनी बार निहित है। इसलिए, जो समस्याएँ शेषफल की विधि का उपयोग करके हल की जाती हैं, उन्हें दो अंतरों द्वारा संख्याएँ ज्ञात करने की समस्याएँ कहा जाता है।

काम। छात्रों ने छुट्टियों की तस्वीरें एक एल्बम में चिपकाने का निर्णय लिया। यदि वे प्रत्येक पृष्ठ पर 4 तस्वीरें चिपकाते हैं, तो एल्बम में 20 तस्वीरों के लिए पर्याप्त जगह नहीं होगी। यदि आप प्रत्येक पृष्ठ पर 6 फ़ोटो चिपकाते हैं, तो 5 पृष्ठ निःशुल्क रहेंगे। छात्र एल्बम में कितनी तस्वीरें डालने जा रहे हैं?

कार्य विश्लेषण

पहले और दूसरे ग्लूइंग विकल्पों के लिए फ़ोटो की संख्या समान रहती है। समस्या की स्थितियों के अनुसार, यह अज्ञात है, लेकिन इसे पाया जा सकता है यदि एक पृष्ठ पर रखे गए तस्वीरों की संख्या और एल्बम में पृष्ठों की संख्या ज्ञात हो।

एक पृष्ठ पर चिपकाए गए फ़ोटोग्राफ़ों की संख्या ज्ञात होती है (पहला गुणक)। एल्बम में पृष्ठों की संख्या अज्ञात है और अपरिवर्तित रहती है (दूसरा गुणक)। चूँकि यह ज्ञात है कि एल्बम के 5 पृष्ठ दूसरी बार भी खाली रहते हैं, आप पता लगा सकते हैं कि एल्बम में कितनी और तस्वीरें चिपकाई जा सकती हैं: 6 * 5 = 30 (फोटो)।

इसका मतलब यह है कि एक पृष्ठ पर फ़ोटो की संख्या 6 - 4 = 2 बढ़ाने से, चिपकाई गई फ़ोटो की संख्या 20 + 30 = 50 बढ़ जाती है।

चूँकि दूसरी बार उन्होंने प्रत्येक पृष्ठ पर दो और तस्वीरें चिपकाईं और कुल मिलाकर उन्होंने 50 और तस्वीरें चिपकाईं, हम एल्बम में पृष्ठों की संख्या ज्ञात करेंगे: 50: 2 = 25 (पृष्ठ)।

इसलिए, कुल मिलाकर 4*25 + 20 = 120 (फोटो) थे।

उत्तर: एल्बम में 25 पेज और 120 तस्वीरें थीं।