उदाहरण के लिए, अनुक्रम \(2\); \(5\); \(8\); \(ग्यारह\); \(14\)... एक अंकगणितीय प्रगति है, क्योंकि प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक से तीन से भिन्न होता है (तीन जोड़कर पिछले एक से प्राप्त किया जा सकता है):

इस प्रगति में, अंतर \(d\) सकारात्मक है (\(3\) के बराबर), और इसलिए प्रत्येक अगला पद पिछले से बड़ा है। ऐसी प्रगति कहलाती है की बढ़ती.

हालाँकि, \(d\) भी हो सकता है ऋणात्मक संख्या. उदाहरण के लिए, वी अंकगणितीय प्रगति\(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... प्रगति अंतर \(d\) शून्य से छह के बराबर है।

और इस मामले में, प्रत्येक अगला तत्व पिछले वाले से छोटा होगा। इन प्रगतियों को कहा जाता है घटते.

अंकगणितीय प्रगति संकेतन

प्रगति को एक छोटे लैटिन अक्षर द्वारा दर्शाया गया है।

वे संख्याएँ जो एक क्रम बनाती हैं, कहलाती हैं सदस्यों(या तत्व)।

उन्हें अंकगणितीय प्रगति के समान अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है, लेकिन क्रम में तत्व की संख्या के बराबर संख्यात्मक सूचकांक के साथ।

उदाहरण के लिए, अंकगणितीय प्रगति \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) में तत्व \(a_1=2\) शामिल हैं; \(a_2=5\); \(a_3=8\) इत्यादि।

दूसरे शब्दों में, प्रगति के लिए \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14...\right\)\)

अंकगणितीय प्रगति समस्याओं को हल करना

सिद्धांत रूप में, ऊपर प्रस्तुत जानकारी लगभग किसी भी अंकगणितीय प्रगति समस्या (ओजीई में पेश की गई समस्याओं सहित) को हल करने के लिए पहले से ही पर्याप्त है।

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति शर्तों \(b_1=7; d=4\) द्वारा निर्दिष्ट की जाती है। \(b_5\) खोजें।
समाधान:

उत्तर: \(b_5=23\)

उदाहरण (ओजीई)। एक अंकगणितीय प्रगति के पहले तीन पद दिए गए हैं: \(62; 49; 36…\) इस प्रगति के पहले नकारात्मक पद का मान ज्ञात कीजिए।
समाधान:

	हमें अनुक्रम के पहले तत्व दिए गए हैं और हम जानते हैं कि यह एक अंकगणितीय प्रगति है। अर्थात्, प्रत्येक तत्व अपने पड़ोसी से समान संख्या में भिन्न होता है। आइए अगले तत्व से पिछले तत्व को घटाकर पता लगाएं कि कौन सा है: \(d=49-62=-13\)।
	अब हम अपनी प्रगति को उस (पहले नकारात्मक) तत्व पर पुनर्स्थापित कर सकते हैं जिसकी हमें आवश्यकता है।
	तैयार। आप उत्तर लिख सकते हैं.

उत्तर: \(-3\)

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति के कई लगातार तत्वों को देखते हुए: \(...5; x; 10; 12.5...\) अक्षर \(x\) द्वारा निर्दिष्ट तत्व का मान ज्ञात करें।
समाधान:

	\(x\) को खोजने के लिए, हमें यह जानना होगा कि अगला तत्व पिछले वाले से कितना अलग है, दूसरे शब्दों में, प्रगति अंतर। आइए इसे दो ज्ञात पड़ोसी तत्वों से खोजें: \(d=12.5-10=2.5\).
	और अब हम जो खोज रहे हैं उसे आसानी से पा सकते हैं: \(x=5+2.5=7.5\).
	तैयार। आप उत्तर लिख सकते हैं.

उत्तर: \(7,5\).

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति को निम्नलिखित शर्तों द्वारा परिभाषित किया गया है: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) इस प्रगति के पहले छह पदों का योग ज्ञात कीजिए।
समाधान:

	हमें प्रगति के पहले छह पदों का योग ज्ञात करना होगा। लेकिन हम उनके अर्थ नहीं जानते; हमें केवल पहला तत्व दिया गया है। इसलिए, जो हमें दिया गया है उसका उपयोग करके हम पहले एक-एक करके मूल्यों की गणना करते हैं: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) और हमें आवश्यक छह तत्वों की गणना करने के बाद, हम उनका योग ज्ञात करते हैं।
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	आवश्यक राशि मिल गयी है.

उत्तर: \(S_6=9\).

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति में \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). इस प्रगति का अंतर ज्ञात कीजिए।
समाधान:

उत्तर: \(d=7\).

अंकगणितीय प्रगति के लिए महत्वपूर्ण सूत्र

जैसा कि आप देख सकते हैं, अंकगणितीय प्रगति पर कई समस्याओं को केवल मुख्य बात को समझकर हल किया जा सकता है - कि अंकगणितीय प्रगति संख्याओं की एक श्रृंखला है, और इस श्रृंखला में प्रत्येक बाद का तत्व पिछले एक में समान संख्या जोड़कर प्राप्त किया जाता है ( प्रगति का अंतर)।

हालाँकि, कभी-कभी ऐसी परिस्थितियाँ होती हैं जब "सिर-पर-पर" निर्णय लेना बहुत असुविधाजनक होता है। उदाहरण के लिए, कल्पना करें कि पहले उदाहरण में हमें पाँचवाँ तत्व \(b_5\) नहीं, बल्कि तीन सौ छियासीवाँ तत्व \(b_(386)\) ढूँढ़ना है। क्या हमें चार \(385\) बार जोड़ना चाहिए? या कल्पना करें कि अंतिम उदाहरण में आपको पहले तिहत्तर तत्वों का योग ज्ञात करना होगा। आप गिनते-गिनते थक जायेंगे...

इसलिए, ऐसे मामलों में वे चीजों को "सिर-पर-पर" हल नहीं करते हैं, बल्कि अंकगणितीय प्रगति के लिए प्राप्त विशेष सूत्रों का उपयोग करते हैं। और मुख्य हैं प्रगति के nवें पद का सूत्र और \(n\) प्रथम पदों के योग का सूत्र।

\(n\)वें पद का सूत्र: \(a_n=a_1+(n-1)d\), जहां \(a_1\) प्रगति का पहला पद है;
\(n\) - आवश्यक तत्व की संख्या;
\(a_n\) - संख्या \(n\) के साथ प्रगति का पद।

यह सूत्र हमें केवल पहले और प्रगति के अंतर को जानकर, तीन सौवें या दसवें तत्व को भी तुरंत ढूंढने की अनुमति देता है।

उदाहरण। अंकगणितीय प्रगति शर्तों द्वारा निर्दिष्ट है: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). \(b_(246)\) खोजें।
समाधान:

उत्तर: \(b_(246)=1850\).

पहले n पदों के योग के लिए सूत्र: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), जहां

\(a_n\) - अंतिम सारांशित पद;

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति शर्तों \(a_n=3.4n-0.6\) द्वारा निर्दिष्ट की जाती है। इस प्रगति के पहले \(25\) पदों का योग ज्ञात कीजिए।
समाधान:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		पहले पच्चीस पदों का योग ज्ञात करने के लिए, हमें पहले और पच्चीसवें पदों का मान जानना होगा। हमारी प्रगति nवें पद के सूत्र द्वारा उसकी संख्या के आधार पर दी गई है (अधिक विवरण के लिए, देखें)। आइए \(n\) के स्थान पर एक तत्व रखकर पहले तत्व की गणना करें।
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)		आइए अब \(n\) के स्थान पर पच्चीस प्रतिस्थापित करके पच्चीसवाँ पद ज्ञात करें।
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)		खैर, अब हम आवश्यक राशि की गणना आसानी से कर सकते हैं।
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		उत्तर तैयार है.

उत्तर: \(S_(25)=1090\).

पहले पदों के योग \(n\) के लिए, आप एक और सूत्र प्राप्त कर सकते हैं: आपको बस \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ की आवश्यकता है (\cdot 25\ ) \(a_n\) के बजाय इसके लिए सूत्र को प्रतिस्थापित करें \(a_n=a_1+(n-1)d\). हम पाते हैं:

पहले n पदों के योग के लिए सूत्र: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), जहां

\(S_n\) - \(n\) पहले तत्वों का आवश्यक योग;
\(a_1\) - पहला सारांशित पद;
\(d\) - प्रगति अंतर;
\(n\) - कुल तत्वों की संख्या।

उदाहरण। अंकगणितीय प्रगति के पहले \(33\)-पूर्व पदों का योग ज्ञात करें: \(17\); \(15.5\); \(14\)...
समाधान:

उत्तर: \(S_(33)=-231\).

अधिक जटिल अंकगणितीय प्रगति समस्याएं

अब आपके पास सब कुछ है आवश्यक जानकारीलगभग किसी भी अंकगणितीय प्रगति समस्या को हल करने के लिए। आइए उन समस्याओं पर विचार करके विषय को समाप्त करें जिनमें आपको न केवल सूत्र लागू करने की आवश्यकता है, बल्कि थोड़ा सोचने की भी आवश्यकता है (गणित में यह उपयोगी हो सकता है ☺)

उदाहरण (ओजीई)। प्रगति के सभी नकारात्मक पदों का योग ज्ञात करें: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
समाधान:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		यह कार्य पिछले वाले के समान ही है। हम उसी चीज़ को हल करना शुरू करते हैं: सबसे पहले हम \(d\) पाते हैं।
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		अब हम योग के सूत्र में \(d\) को प्रतिस्थापित करना चाहेंगे... और यहां एक छोटी सी बारीकियां उभर कर सामने आती है - हम \(n\) को नहीं जानते हैं। दूसरे शब्दों में, हम नहीं जानते कि कितने शब्द जोड़ने की आवश्यकता होगी। कैसे पता लगाएं? हमें सोचना चाहिए। जब हम पहले सकारात्मक तत्व पर पहुंचेंगे तो हम तत्वों को जोड़ना बंद कर देंगे। यानी आपको इस तत्व की संख्या पता करनी होगी. कैसे? आइए अंकगणितीय प्रगति के किसी भी तत्व की गणना के लिए सूत्र लिखें: हमारे मामले के लिए \(a_n=a_1+(n-1)d\)।
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)		हमें शून्य से बड़ा बनने के लिए \(a_n\) की आवश्यकता है। आइए जानें कि यह किस \(n\) पर होगा।
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\)
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\)		हम असमानता के दोनों पक्षों को \(0.3\) से विभाजित करते हैं।
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		हम संकेतों को बदलना नहीं भूलते हुए, माइनस वन स्थानांतरित करते हैं
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		आइए गणना करें...
\(n>65,333...\)		...और यह पता चला कि पहले सकारात्मक तत्व की संख्या \(66\) होगी। तदनुसार, अंतिम नकारात्मक में \(n=65\) है। बस मामले में, आइए इसकी जाँच करें।
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2\)		इसलिए हमें पहले \(65\) तत्वों को जोड़ना होगा।
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		उत्तर तैयार है.

उत्तर: \(S_(65)=-630.5\).

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति शर्तों द्वारा निर्दिष्ट है: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)वें से \(42\) तत्व तक का योग ज्ञात कीजिए।
समाधान:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	इस समस्या में आपको तत्वों का योग भी ज्ञात करना होगा, लेकिन पहले से नहीं, बल्कि \(26\)वें से शुरू करना होगा। ऐसे मामले के लिए हमारे पास कोई फॉर्मूला नहीं है. कैसे निर्णय करें? यह आसान है - \(26\)वें से \(42\)वें तक का योग प्राप्त करने के लिए, आपको पहले \(1\)वें से \(42\)वें तक का योग ज्ञात करना होगा, और फिर घटाना होगा इसमें से पहले से \(25\)वें तक का योग (चित्र देखें)।
	हमारी प्रगति \(a_1=-33\), और अंतर \(d=4\) के लिए (आखिरकार, हम अगले तत्व को खोजने के लिए पिछले तत्व में चार जोड़ते हैं)। यह जानने पर, हम पहले \(42\)-y तत्वों का योग ज्ञात करते हैं।
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	अब पहले \(25\) तत्वों का योग।
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	और अंत में, हम उत्तर की गणना करते हैं।
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

उत्तर: \(एस=1683\).

अंकगणितीय प्रगति के लिए, कई और सूत्र हैं जिन पर हमने उनकी कम व्यावहारिक उपयोगिता के कारण इस लेख में विचार नहीं किया है। हालाँकि, आप उन्हें आसानी से पा सकते हैं।

अथवा अंकगणित एक प्रकार का क्रमबद्ध संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसके गुणों का अध्ययन किया जाता है स्कूल पाठ्यक्रमबीजगणित. यह आलेख इस प्रश्न पर विस्तार से चर्चा करता है कि अंकगणितीय प्रगति का योग कैसे ज्ञात किया जाए।

यह किस प्रकार की प्रगति है?

प्रश्न पर आगे बढ़ने से पहले (अंकगणितीय प्रगति का योग कैसे ज्ञात करें), यह समझने लायक है कि हम किस बारे में बात कर रहे हैं।

वास्तविक संख्याओं का कोई भी क्रम जो प्रत्येक पिछली संख्या में कुछ मान जोड़ने (घटाने) से प्राप्त होता है, बीजगणितीय (अंकगणितीय) प्रगति कहलाता है। यह परिभाषा, जब गणितीय भाषा में अनुवादित की जाती है, तो यह रूप लेती है:

यहां मैं - क्रम संख्याश्रृंखला का तत्व ए मैं . इस प्रकार, केवल एक प्रारंभिक संख्या को जानकर, आप पूरी श्रृंखला को आसानी से पुनर्स्थापित कर सकते हैं। सूत्र में पैरामीटर d को प्रगति अंतर कहा जाता है।

यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि विचाराधीन संख्याओं की श्रृंखला के लिए निम्नलिखित समानता है:

ए एन = ए 1 + डी * (एन - 1)।

यानी क्रम से nवें तत्व का मान ज्ञात करने के लिए आपको अंतर d को पहले तत्व a में 1 n-1 बार जोड़ना चाहिए।

अंकगणितीय प्रगति का योग क्या है: सूत्र

संकेतित राशि के लिए सूत्र देने से पहले, एक सरल पर विचार करना उचित है विशेष मामला. प्रगति दी गई है प्राकृतिक संख्या 1 से 10 तक, आपको उनका योग ज्ञात करना होगा। चूंकि प्रगति (10) में कुछ पद हैं, इसलिए समस्या को सीधे हल करना संभव है, यानी सभी तत्वों को क्रम में जोड़ना।

एस 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

एक बात विचारणीय है दिलचस्प बात यह है कि: चूँकि प्रत्येक पद अगले से समान मान d = 1 से भिन्न है, तो पहले का दसवें के साथ, दूसरे का नौवें के साथ, इत्यादि का जोड़ीवार योग समान परिणाम देगा। वास्तव में:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

जैसा कि आप देख सकते हैं, इनमें से केवल 5 योग हैं, यानी श्रृंखला के तत्वों की संख्या से ठीक दो गुना कम। फिर योगों की संख्या (5) को प्रत्येक योग (11) के परिणाम से गुणा करने पर आप पहले उदाहरण में प्राप्त परिणाम पर पहुंचेंगे।

यदि हम इन तर्कों का सामान्यीकरण करें, तो हम निम्नलिखित अभिव्यक्ति लिख सकते हैं:

एस एन = एन * (ए 1 + ए एन) / 2।

यह अभिव्यक्ति दर्शाती है कि सभी तत्वों को एक पंक्ति में जोड़ना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है; यह पहले a 1 और अंतिम a n का मान जानने के लिए पर्याप्त है; कुल गणना n शर्तें.

ऐसा माना जाता है कि गॉस इस समानता के बारे में सोचने वाले पहले व्यक्ति थे जब वह किसी समस्या का समाधान ढूंढ रहे थे। स्कूल शिक्षककार्य: पहले 100 पूर्णांकों का योग करें।

एम से एन तक तत्वों का योग: सूत्र

पिछले पैराग्राफ में दिया गया सूत्र इस प्रश्न का उत्तर देता है कि अंकगणितीय प्रगति (पहले तत्वों) का योग कैसे पाया जाए, लेकिन अक्सर समस्याओं में प्रगति के बीच में संख्याओं की एक श्रृंखला का योग करना आवश्यक होता है। इसे कैसे करना है?

इस प्रश्न का उत्तर देने का सबसे आसान तरीका निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करना है: मान लीजिए कि mवें से nवें तक पदों का योग ज्ञात करना आवश्यक है। समस्या को हल करने के लिए, आपको प्रगति के m से n तक दिए गए खंड को एक नई संख्या श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत करना चाहिए। ऐसे में एम-वें प्रतिनिधित्वपद a m पहला होगा, और a n को n-(m-1) क्रमांकित किया जाएगा। इस मामले में, योग के लिए मानक सूत्र लागू करने पर, निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त होगी:

एस एम एन = (एन - एम + 1) * (ए एम + ए एन) / 2।

सूत्रों का उपयोग करने का उदाहरण

अंकगणितीय प्रगति का योग कैसे ज्ञात करें, यह जानने के लिए उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करने के एक सरल उदाहरण पर विचार करना उचित है।

नीचे एक संख्यात्मक अनुक्रम दिया गया है, आपको इसके पदों का योग ज्ञात करना चाहिए, जो 5वें से शुरू होकर 12वें पर समाप्त होता है:

दी गई संख्याएं दर्शाती हैं कि अंतर d 3 के बराबर है। nवें तत्व के लिए अभिव्यक्ति का उपयोग करके, आप प्रगति के 5वें और 12वें पदों के मान पा सकते हैं। यह पता चला है:

ए 5 = ए 1 + डी * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

ए 12 = ए 1 + डी * 11 = -4 + 3 * 11 = 29।

दिए गए के अंत में मौजूद संख्याओं का मान जानना बीजगणितीय प्रगति, और यह भी जानते हुए कि वे पंक्ति में किन संख्याओं पर कब्जा करते हैं, आप पिछले पैराग्राफ में प्राप्त राशि के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। यह निकलेगा:

एस 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148।

यह ध्यान देने योग्य है कि यह मान अलग-अलग तरीके से प्राप्त किया जा सकता है: पहले मानक सूत्र का उपयोग करके पहले 12 तत्वों का योग ज्ञात करें, फिर उसी सूत्र का उपयोग करके पहले 4 तत्वों के योग की गणना करें, फिर पहले योग से दूसरे को घटाएं।

प्रथम स्तर

अंकगणितीय प्रगति। विस्तृत सिद्धांतउदाहरण सहित (2019)

संख्या क्रम

तो, आइए बैठें और कुछ संख्याएँ लिखना शुरू करें। उदाहरण के लिए:
आप कोई भी संख्याएँ लिख सकते हैं, और उनमें से जितनी चाहें उतनी संख्याएँ हो सकती हैं (हमारे मामले में, वे हैं)। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम कितनी संख्याएँ लिखते हैं, हम हमेशा कह सकते हैं कि कौन सा पहला है, कौन सा दूसरा है, और इसी तरह आखिरी तक, यानी हम उन्हें नंबर दे सकते हैं। यह संख्या अनुक्रम का एक उदाहरण है:

संख्या क्रम
उदाहरण के लिए, हमारे अनुक्रम के लिए:

निर्दिष्ट संख्या अनुक्रम में केवल एक संख्या के लिए विशिष्ट है। दूसरे शब्दों में, अनुक्रम में तीन दूसरी संख्याएँ नहीं हैं। दूसरी संख्या (वें संख्या की तरह) हमेशा समान होती है।
संख्या वाले अंक को अनुक्रम का वां पद कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर (उदाहरण के लिए) से बुलाते हैं, और इस अनुक्रम का प्रत्येक सदस्य इस सदस्य की संख्या के बराबर सूचकांक के साथ एक ही अक्षर है:।

हमारे मामले में:

मान लीजिए कि हमारे पास एक संख्या अनुक्रम है जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और समान है।
उदाहरण के लिए:

वगैरह।
इस संख्या क्रम को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है।
"प्रगति" शब्द को रोमन लेखक बोथियस ने 6वीं शताब्दी में पेश किया था और इसे व्यापक अर्थ में एक अनंत संख्यात्मक अनुक्रम के रूप में समझा गया था। "अंकगणित" नाम निरंतर अनुपात के सिद्धांत से स्थानांतरित किया गया था, जिसका अध्ययन प्राचीन यूनानियों द्वारा किया गया था।

यह एक संख्या क्रम है, जिसका प्रत्येक सदस्य उसी संख्या में जोड़े गए पिछले सदस्य के बराबर है। इस संख्या को अंकगणितीय प्रगति का अंतर कहा जाता है और निर्दिष्ट किया जाता है।

यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन से संख्या क्रम अंकगणितीय प्रगति हैं और कौन से नहीं:

ए)
बी)
सी)
डी)

समझ गया? आइए हमारे उत्तरों की तुलना करें:
हैअंकगणितीय प्रगति - बी, सी।
क्या नहीं हैअंकगणितीय प्रगति - ए, डी।

आइए दी गई प्रगति () पर वापस लौटें और इसके वें पद का मान ज्ञात करने का प्रयास करें। मौजूद दोइसे खोजने का तरीका.

1. विधि

हम प्रगति संख्या को पिछले मान में तब तक जोड़ सकते हैं जब तक हम प्रगति के वें पद तक नहीं पहुंच जाते। यह अच्छा है कि हमारे पास संक्षेप में बताने के लिए बहुत कुछ नहीं है - केवल तीन मूल्य:

तो, वर्णित अंकगणितीय प्रगति का वां पद बराबर है।

2. विधि

यदि हमें प्रगति के वें पद का मान ज्ञात करना हो तो क्या होगा? योग करने में हमें एक घंटे से अधिक समय लगेगा, और यह सच नहीं है कि संख्याओं को जोड़ते समय हम गलतियाँ नहीं करेंगे।
बेशक, गणितज्ञों ने एक ऐसा तरीका खोज लिया है जिसमें अंकगणितीय प्रगति के अंतर को पिछले मान में जोड़ना आवश्यक नहीं है। खींची गई तस्वीर को करीब से देखें... निश्चित रूप से आपने पहले ही एक निश्चित पैटर्न पर ध्यान दिया है, अर्थात्:

उदाहरण के लिए, आइए देखें कि इस अंकगणितीय प्रगति के वें पद का मान क्या है:


दूसरे शब्दों में:

इस प्रकार किसी दी गई अंकगणितीय प्रगति के सदस्य का मान स्वयं ज्ञात करने का प्रयास करें।

क्या आपने गणना की? उत्तर के साथ अपने नोट्स की तुलना करें:

कृपया ध्यान दें कि आपको पिछली पद्धति के समान ही संख्या प्राप्त हुई थी, जब हमने क्रमिक रूप से अंकगणितीय प्रगति के पदों को पिछले मान में जोड़ा था।
आइए इस सूत्र को "प्रतिरूपण" करने का प्रयास करें - आइए इसे इसमें लाएं सामान्य फ़ॉर्मऔर हमें मिलता है:

अंकगणितीय प्रगति समीकरण.

अंकगणितीय प्रगति बढ़ या घट सकती है।

की बढ़ती- प्रगति जिसमें पदों का प्रत्येक आगामी मान पिछले मान से अधिक हो।
उदाहरण के लिए:

अवरोही- प्रगति जिसमें पदों का प्रत्येक अगला मान पिछले वाले से कम है।
उदाहरण के लिए:

व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग अंकगणितीय प्रगति के बढ़ते और घटते दोनों पदों की गणना में किया जाता है।
आइए इसे व्यवहार में जांचें।
हमें एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है जिसमें निम्नलिखित संख्याएँ शामिल हैं: आइए देखें कि यदि हम इसकी गणना करने के लिए अपने सूत्र का उपयोग करते हैं तो इस अंकगणितीय प्रगति की वीं संख्या क्या होगी:

के बाद से:

इस प्रकार, हम आश्वस्त हैं कि सूत्र घटती और बढ़ती अंकगणितीय प्रगति दोनों में काम करता है।
इस अंकगणितीय प्रगति का वां और वां पद स्वयं खोजने का प्रयास करें।

आइए परिणामों की तुलना करें:

अंकगणितीय प्रगति संपत्ति

आइए समस्या को जटिल बनाएं - हम अंकगणितीय प्रगति का गुण प्राप्त करेंगे।
मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित शर्त दी गई है:
- अंकगणितीय प्रगति, मान ज्ञात करें।
आसान है, आप कहते हैं और उस सूत्र के अनुसार गिनती शुरू करें जो आप पहले से जानते हैं:

चलो, आह, फिर:

एकदम सही। इससे पता चलता है कि हम पहले ढूंढते हैं, फिर उसे पहले नंबर में जोड़ते हैं और जो हम ढूंढ रहे हैं उसे प्राप्त करते हैं। यदि प्रगति को छोटे मानों द्वारा दर्शाया जाता है, तो इसमें कुछ भी जटिल नहीं है, लेकिन क्या होगा यदि हमें स्थिति में संख्याएं दी गई हैं? सहमत हूँ, गणना में गलती होने की संभावना है।
अब इस बारे में सोचें कि क्या किसी फॉर्मूले का उपयोग करके इस समस्या को एक चरण में हल करना संभव है? बिल्कुल हाँ, और यही वह है जिसे हम अभी सामने लाने का प्रयास करेंगे।

आइए हम अंकगणितीय प्रगति के आवश्यक पद को इस प्रकार निरूपित करें, इसे खोजने का सूत्र हमें ज्ञात है - यह वही सूत्र है जिसे हमने शुरुआत में प्राप्त किया था:
, तब:

• प्रगति का पिछला पद है:
• प्रगति का अगला पद है:

आइए प्रगति की पिछली और बाद की शर्तों को संक्षेप में प्रस्तुत करें:

इससे पता चलता है कि प्रगति के पिछले और बाद के पदों का योग उनके बीच स्थित प्रगति पद के दोगुने मान के बराबर है। दूसरे शब्दों में, ज्ञात पिछले और क्रमिक मानों के साथ प्रगति पद का मान ज्ञात करने के लिए, आपको उन्हें जोड़ना होगा और विभाजित करना होगा।

यह सही है, हमें वही नंबर मिला है। आइए सामग्री को सुरक्षित करें। प्रगति के मूल्य की गणना स्वयं करें, यह बिल्कुल भी कठिन नहीं है।

बहुत अच्छा! आप प्रगति के बारे में लगभग सब कुछ जानते हैं! यह केवल एक सूत्र का पता लगाना बाकी है, जो कि किंवदंती के अनुसार, सभी समय के महानतम गणितज्ञों में से एक, "गणितज्ञों के राजा" - कार्ल गॉस द्वारा आसानी से निकाला गया था...

जब कार्ल गॉस 9 वर्ष के थे, तब एक शिक्षक, जो अन्य कक्षाओं में छात्रों के काम की जाँच करने में व्यस्त था, ने कक्षा में निम्नलिखित कार्य पूछा: "से लेकर (अन्य स्रोतों के अनुसार) तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं के योग की गणना करें।" शिक्षक के आश्चर्य की कल्पना कीजिए जब उनके एक छात्र (यह कार्ल गॉस था) ने एक मिनट बाद कार्य का सही उत्तर दिया, जबकि साहसी के अधिकांश सहपाठियों को लंबी गणना के बाद गलत परिणाम मिला...

युवा कार्ल गॉस ने एक निश्चित पैटर्न देखा जिसे आप भी आसानी से नोटिस कर सकते हैं।
मान लीजिए कि हमारे पास एक अंकगणितीय प्रगति है जिसमें -वें पद शामिल हैं: हमें अंकगणितीय प्रगति के इन पदों का योग ज्ञात करने की आवश्यकता है। निःसंदेह, हम मैन्युअल रूप से सभी मानों का योग कर सकते हैं, लेकिन क्या होगा यदि कार्य को उसके पदों का योग खोजने की आवश्यकता हो, जैसा कि गॉस ढूंढ रहा था?

आइए हमें दी गई प्रगति को चित्रित करें। हाइलाइट की गई संख्याओं पर बारीकी से नज़र डालें और उनके साथ विभिन्न गणितीय संक्रियाएँ करने का प्रयास करें।


या तुमने कोशिश की? आपने क्या नोटिस किया? सही! उनका योग बराबर है

अब बताओ, हमें दी गई प्रगति में ऐसे कुल कितने जोड़े हैं? बेशक, सभी संख्याओं का बिल्कुल आधा, यानी।
इस तथ्य के आधार पर कि अंकगणितीय प्रगति के दो पदों का योग बराबर है, और समान जोड़े बराबर हैं, हम पाते हैं कि कुल योग बराबर है:
.
इस प्रकार, किसी भी अंकगणितीय प्रगति के पहले पदों के योग का सूत्र होगा:

कुछ समस्याओं में हम वें पद को नहीं जानते, लेकिन हम प्रगति के अंतर को जानते हैं। वें पद के सूत्र को योग सूत्र में प्रतिस्थापित करने का प्रयास करें।
तुम्हें क्या मिला?

बहुत अच्छा! अब आइए उस समस्या पर लौटते हैं जो कार्ल गॉस से पूछी गई थी: आप स्वयं गणना करें कि वें से शुरू होने वाली संख्याओं का योग कितना है और वें से शुरू होने वाली संख्याओं का योग क्या है।

आपको कितना मिला?
गॉस ने पाया कि पदों का योग और पदों का योग बराबर है। क्या आपने यही निर्णय लिया है?

वास्तव में, अंकगणितीय प्रगति के पदों के योग का सूत्र तीसरी शताब्दी में प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक डायोफैंटस द्वारा सिद्ध किया गया था, और इस पूरे समय में, बुद्धिमान लोगों ने अंकगणितीय प्रगति के गुणों का पूरा उपयोग किया।
उदाहरण के लिए, कल्पना कीजिए प्राचीन मिस्रऔर उस समय की सबसे बड़ी निर्माण परियोजना - पिरामिड का निर्माण... चित्र इसका एक पक्ष दिखाता है।

आप कहते हैं, यहाँ प्रगति कहाँ है? ध्यान से देखें और पिरामिड की दीवार की प्रत्येक पंक्ति में रेत के ब्लॉकों की संख्या में एक पैटर्न ढूंढें।


अंकगणितीय प्रगति क्यों नहीं? गणना करें कि यदि आधार पर ब्लॉक ईंटें रखी गई हैं तो एक दीवार बनाने के लिए कितने ब्लॉकों की आवश्यकता होगी। मुझे आशा है कि मॉनिटर पर अपनी उंगली घुमाते समय आप गिनती नहीं करेंगे, क्या आपको अंतिम सूत्र और अंकगणितीय प्रगति के बारे में हमने जो कुछ भी कहा था वह सब याद है?

इस मामले में, प्रगति इस तरह दिखती है:।
अंकगणितीय प्रगति अंतर.
अंकगणितीय प्रगति के पदों की संख्या.
आइए अपने डेटा को अंतिम सूत्रों में प्रतिस्थापित करें (2 तरीकों से ब्लॉकों की संख्या की गणना करें)।

विधि 1.

विधि 2.

और अब आप मॉनिटर पर गणना कर सकते हैं: प्राप्त मूल्यों की तुलना हमारे पिरामिड में मौजूद ब्लॉकों की संख्या से करें। समझ गया? शाबाश, आपने अंकगणितीय प्रगति के nवें पदों के योग में महारत हासिल कर ली है।
बेशक, आप आधार पर मौजूद ब्लॉकों से पिरामिड नहीं बना सकते, लेकिन किससे? यह गणना करने का प्रयास करें कि इस स्थिति में दीवार बनाने के लिए कितनी रेत ईंटों की आवश्यकता होगी।
क्या आप संभाल पाओगे?
सही उत्तर ब्लॉक है:

प्रशिक्षण

कार्य:

1. माशा गर्मियों के लिए आकार में आ रही है। हर दिन वह स्क्वैट्स की संख्या बढ़ा देती है। यदि माशा ने पहले प्रशिक्षण सत्र में स्क्वाट किया तो वह सप्ताह में कितनी बार स्क्वाट करेगी?
2. इसमें निहित सभी विषम संख्याओं का योग क्या है?
3. लॉग संग्रहीत करते समय, लकड़हारे उन्हें इस तरह से ढेर करते हैं कि प्रत्येक ऊपरी परतपिछले वाले की तुलना में एक कम लॉग है। यदि चिनाई की नींव लकड़ियाँ हैं, तो एक चिनाई में कितने लकड़ियाँ होती हैं?

उत्तर:

1. आइए हम अंकगणितीय प्रगति के मापदंडों को परिभाषित करें। इस मामले में
   (सप्ताह = दिन).

   उत्तर:दो सप्ताह में माशा को दिन में एक बार स्क्वाट करना चाहिए।

2. पहला विषम संख्या, अंतिम संख्या।
   अंकगणितीय प्रगति अंतर.
   हालाँकि, विषम संख्याओं की संख्या आधी है, आइए अंकगणितीय प्रगति के वें पद को खोजने के लिए सूत्र का उपयोग करके इस तथ्य की जाँच करें:

   संख्याओं में विषम संख्याएँ होती हैं।
   आइए उपलब्ध डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

   उत्तर:इसमें शामिल सभी विषम संख्याओं का योग बराबर है।

3. आइए पिरामिडों के बारे में समस्या को याद करें। हमारे मामले के लिए, ए, चूंकि प्रत्येक शीर्ष परत एक लॉग से कम हो जाती है, तो कुल मिलाकर परतों का एक गुच्छा होता है, अर्थात।
   आइए डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

   उत्तर:चिनाई में लकड़ियाँ हैं।

आइए इसे संक्षेप में बताएं

1. - एक संख्या क्रम जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और बराबर होता है। यह बढ़ या घट सकता है.
2. सूत्र ढूँढनाअंकगणितीय प्रगति का वां पद सूत्र द्वारा लिखा जाता है - , प्रगति में संख्याओं की संख्या कहां है।
3. अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संपत्ति- - संख्याओं की संख्या क्रम में कहां है।
4. अंकगणितीय प्रगति के पदों का योगदो तरीकों से पाया जा सकता है:
   
   , मानों की संख्या कहां है.

अंकगणितीय प्रगति। औसत स्तर

संख्या क्रम

आइए बैठें और कुछ संख्याएँ लिखना शुरू करें। उदाहरण के लिए:

आप कोई भी संख्याएँ लिख सकते हैं, और उनमें से जितनी चाहें उतनी संख्याएँ हो सकती हैं। लेकिन हम हमेशा कह सकते हैं कि कौन सा पहला है, कौन सा दूसरा है, इत्यादि, यानी, हम उन्हें क्रमांकित कर सकते हैं। यह संख्या क्रम का एक उदाहरण है.

संख्या क्रमसंख्याओं का एक समूह है, जिनमें से प्रत्येक को एक अद्वितीय संख्या दी जा सकती है।

दूसरे शब्दों में, प्रत्येक संख्या को एक निश्चित प्राकृतिक संख्या और एक अद्वितीय संख्या के साथ जोड़ा जा सकता है। और हम इस संख्या को इस सेट से किसी अन्य संख्या को निर्दिष्ट नहीं करेंगे।

संख्या वाले अंक को अनुक्रम का वां सदस्य कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर (उदाहरण के लिए) से बुलाते हैं, और इस अनुक्रम का प्रत्येक सदस्य इस सदस्य की संख्या के बराबर सूचकांक के साथ एक ही अक्षर है:।

यह बहुत सुविधाजनक है यदि अनुक्रम का वां पद किसी सूत्र द्वारा निर्दिष्ट किया जा सके। उदाहरण के लिए, सूत्र

क्रम निर्धारित करता है:

और सूत्र निम्नलिखित क्रम है:

उदाहरण के लिए, एक अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है (यहां पहला पद बराबर है, और अंतर है)। या (, अंतर)।

nवाँ पद सूत्र

हम एक सूत्र को आवर्ती कहते हैं जिसमें, वें पद का पता लगाने के लिए, आपको पिछले या कई पिछले को जानना होगा:

उदाहरण के लिए, इस सूत्र का उपयोग करके प्रगति का वां पद खोजने के लिए, हमें पिछले नौ की गणना करनी होगी। उदाहरण के लिए, रहने दो। तब:

खैर, क्या अब यह स्पष्ट है कि सूत्र क्या है?

प्रत्येक पंक्ति में हम जोड़ते हैं, किसी संख्या से गुणा करते हैं। कौन सा? बहुत सरल: यह वर्तमान सदस्य माइनस की संख्या है:

अब और अधिक सुविधाजनक, है ना? हम जाँच:

अपने लिए तय करें:

अंकगणितीय प्रगति में, nवें पद का सूत्र ज्ञात कीजिए और सौवाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधान:

पहला पद बराबर है. क्या अंतर है? यहाँ क्या है:

(इसीलिए इसे अंतर कहा जाता है क्योंकि यह प्रगति के क्रमिक पदों के अंतर के बराबर है)।

तो, सूत्र:

तब सौवाँ पद इसके बराबर है:

से लेकर सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग क्या है?

किंवदंती के अनुसार, महान गणितज्ञ कार्ल गॉस ने 9 साल के लड़के के रूप में कुछ ही मिनटों में इस राशि की गणना की थी। उसने देखा कि पहले और का योग अंतिम तिथीबराबर है, दूसरे और अंतिम का योग समान है, अंत से तीसरे और तीसरे का योग समान है, इत्यादि। ऐसे कुल कितने जोड़े हैं? यह सही है, सभी संख्याओं की बिल्कुल आधी संख्या, अर्थात। इसलिए,

किसी भी अंकगणितीय प्रगति के प्रथम पदों के योग का सामान्य सूत्र होगा:

उदाहरण:
सभी का योग ज्ञात कीजिये दोहरे अंकों की संख्या, गुणक।

समाधान:

ऐसा पहला नंबर ये है. प्रत्येक अगली संख्या को पिछली संख्या में जोड़कर प्राप्त किया जाता है। इस प्रकार, जिन संख्याओं में हम रुचि रखते हैं वे पहले पद और अंतर के साथ एक अंकगणितीय प्रगति बनाते हैं।

इस प्रगति के लिए वें पद का सूत्र:

प्रगति में कितने पद हैं यदि उन सभी को दो-अंकीय होना है?

बहुत आसान: ।

प्रगति का अंतिम पद बराबर होगा। फिर योग:

उत्तर: ।

अब आप स्वयं निर्णय करें:

1. हर दिन एथलीट पिछले दिन की तुलना में अधिक मीटर दौड़ता है। यदि वह पहले दिन किमी मीटर दौड़ा हो तो वह एक सप्ताह में कुल कितने किलोमीटर दौड़ेगा?
2. एक साइकिल चालक प्रतिदिन पिछले दिन की तुलना में अधिक किलोमीटर की यात्रा करता है। पहले दिन उन्होंने किमी. की यात्रा की। उसे एक किलोमीटर की दूरी तय करने में कितने दिन लगेंगे? अपनी यात्रा के अंतिम दिन में वह कितने किलोमीटर की यात्रा करेगा?
3. एक स्टोर में रेफ्रिजरेटर की कीमत हर साल समान मात्रा से घट जाती है। निर्धारित करें कि प्रत्येक वर्ष रेफ्रिजरेटर की कीमत में कितनी कमी आई है, यदि इसे रूबल के लिए बिक्री के लिए रखा गया था, छह साल बाद इसे रूबल के लिए बेचा गया था।

उत्तर:

1. यहां सबसे महत्वपूर्ण बात अंकगणितीय प्रगति को पहचानना और उसके मापदंडों को निर्धारित करना है। इस मामले में, (सप्ताह = दिन)। आपको इस प्रगति के पहले पदों का योग निर्धारित करने की आवश्यकता है:
   .
   उत्तर:
2. यहाँ यह दिया गया है: , पाया जाना चाहिए।
   जाहिर है, आपको पिछली समस्या के समान योग सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:
   .
   मानों को प्रतिस्थापित करें:

   मूल स्पष्ट रूप से फिट नहीं बैठता है, इसलिए उत्तर है।
   आइए वें पद के सूत्र का उपयोग करके अंतिम दिन में तय किए गए पथ की गणना करें:
   (किमी).
   उत्तर:

3. दिया गया: । खोजो: ।
   यह इससे अधिक सरल नहीं हो सकता:
   (रगड़ना)।
   उत्तर:

अंकगणितीय प्रगति। संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में

यह एक संख्या क्रम है जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और बराबर होता है।

अंकगणितीय प्रगति बढ़ती () और घटती () हो सकती है।

उदाहरण के लिए:

अंकगणितीय प्रगति का nवाँ पद ज्ञात करने का सूत्र

सूत्र द्वारा लिखा जाता है, जहाँ संख्याओं की संख्या क्रमानुसार होती है।

अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संपत्ति

यह आपको किसी प्रगति का एक पद आसानी से ढूंढने की अनुमति देता है यदि उसके पड़ोसी पद ज्ञात हों - प्रगति में संख्याओं की संख्या कहां है।

अंकगणितीय प्रगति के पदों का योग

राशि ज्ञात करने के दो तरीके हैं:

मानों की संख्या कहां है.

मानों की संख्या कहां है.

बीजगणित का अध्ययन करते समय माध्यमिक विद्यालय(9वीं कक्षा) महत्वपूर्ण विषयों में से एक संख्या अनुक्रम का अध्ययन है, जिसमें प्रगति - ज्यामितीय और अंकगणित शामिल हैं। इस लेख में हम अंकगणितीय प्रगति और समाधान के साथ उदाहरण देखेंगे।

अंकगणितीय प्रगति क्या है?

इसे समझने के लिए, प्रश्न में प्रगति को परिभाषित करना आवश्यक है, साथ ही बुनियादी सूत्र भी प्रदान करना आवश्यक है जिनका उपयोग बाद में समस्याओं को हल करने में किया जाएगा।

अंकगणित या क्रमबद्ध तर्कसंगत संख्याओं का एक सेट है, जिसका प्रत्येक सदस्य पिछले एक से कुछ स्थिर मान से भिन्न होता है। इस मान को अंतर कहा जाता है. अर्थात्, संख्याओं की क्रमबद्ध श्रृंखला के किसी भी सदस्य और अंतर को जानकर, आप संपूर्ण अंकगणितीय प्रगति को पुनर्स्थापित कर सकते हैं।

चलिए एक उदाहरण देते हैं. संख्याओं का निम्नलिखित क्रम एक अंकगणितीय प्रगति होगी: 4, 8, 12, 16, ..., क्योंकि इस मामले में अंतर 4 है (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12)। लेकिन संख्या 3, 5, 8, 12, 17 के समुच्चय को अब विचाराधीन प्रगति के प्रकार के लिए जिम्मेदार नहीं ठहराया जा सकता है, क्योंकि इसके लिए अंतर एक स्थिर मान नहीं है (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

महत्वपूर्ण सूत्र

आइए अब उन बुनियादी सूत्रों को प्रस्तुत करें जिनकी अंकगणितीय प्रगति का उपयोग करके समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यकता होगी। आइए हम प्रतीक a n से निरूपित करें नौवाँ पदअनुक्रम जहां n एक पूर्णांक है। हम अंतर दर्शाते हैं लैटिन अक्षरडी। तब निम्नलिखित अभिव्यक्तियाँ मान्य हैं:

1. nवें पद का मान निर्धारित करने के लिए, निम्नलिखित सूत्र उपयुक्त है: a n = (n-1)*d+a 1।
2. प्रथम n पदों का योग ज्ञात करने के लिए: S n = (a n +a 1)*n/2.

9वीं कक्षा में समाधान के साथ अंकगणितीय प्रगति के किसी भी उदाहरण को समझने के लिए, इन दो सूत्रों को याद रखना पर्याप्त है, क्योंकि विचाराधीन प्रकार की कोई भी समस्या उनके उपयोग पर आधारित है। आपको यह भी याद रखना चाहिए कि प्रगति अंतर सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: d = a n - a n-1।

उदाहरण #1: एक अज्ञात शब्द ढूँढना

आइए अंकगणितीय प्रगति का एक सरल उदाहरण और इसे हल करने के लिए उपयोग किए जाने वाले सूत्रों का उदाहरण दें।

मान लीजिए कि अनुक्रम 10, 8, 6, 4, ... दिया गया है, आपको इसमें पाँच पद खोजने होंगे।

समस्या की स्थितियों से यह पहले से ही पता चलता है कि पहले 4 पद ज्ञात हैं। पाँचवें को दो प्रकार से परिभाषित किया जा सकता है:

1. आइए पहले अंतर की गणना करें। हमारे पास है: d = 8 - 10 = -2. इसी तरह, आप किन्हीं दो अन्य सदस्यों को एक-दूसरे के बगल में खड़ा ले सकते हैं। उदाहरण के लिए, d = 4 - 6 = -2. चूँकि यह ज्ञात है कि d = a n - a n-1, तो d = a 5 - a 4, जिससे हमें प्राप्त होता है: a 5 = a 4 + d। आइए स्थानापन्न करें ज्ञात मूल्य: ए 5 = 4 + (-2) = 2.
2. दूसरी विधि के लिए भी प्रश्न में प्रगति के अंतर के ज्ञान की आवश्यकता होती है, इसलिए आपको पहले इसे ऊपर दिखाए अनुसार निर्धारित करने की आवश्यकता है (डी = -2)। यह जानते हुए कि पहला पद a 1 = 10 है, हम अनुक्रम की n संख्या के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं। हमारे पास है: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n। अंतिम व्यंजक में n = 5 प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: a 5 = 12-2 * 5 = 2।

जैसा कि आप देख सकते हैं, दोनों समाधानों का परिणाम एक ही था। ध्यान दें कि इस उदाहरण में प्रगति अंतर d एक ऋणात्मक मान है। ऐसे अनुक्रमों को घटते क्रम कहा जाता है, क्योंकि प्रत्येक अगला पद पिछले से छोटा होता है।

उदाहरण #2: प्रगति अंतर

आइए अब कार्य को थोड़ा जटिल करें, अंकगणितीय प्रगति का अंतर कैसे ज्ञात करें इसका एक उदाहरण दें।

यह ज्ञात है कि कुछ बीजीय अनुक्रम में पहला पद 6 के बराबर होता है, और 7वाँ पद 18 के बराबर होता है। अंतर ज्ञात करना और इस क्रम को 7वें पद पर पुनर्स्थापित करना आवश्यक है।

आइए अज्ञात पद निर्धारित करने के लिए सूत्र का उपयोग करें: a n = (n - 1) * d + a 1। आइए इसमें स्थिति से ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित करें, यानी संख्याएं 1 और 7, हमारे पास है: 18 = 6 + 6 * डी। इस अभिव्यक्ति से आप आसानी से अंतर की गणना कर सकते हैं: d = (18 - 6) /6 = 2। इस प्रकार, हमने समस्या के पहले भाग का उत्तर दे दिया है।

अनुक्रम को 7वें पद पर पुनर्स्थापित करने के लिए, आपको बीजगणितीय प्रगति की परिभाषा का उपयोग करना चाहिए, अर्थात, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, इत्यादि। परिणामस्वरूप, हम पूरे अनुक्रम को पुनर्स्थापित करते हैं: ए 1 = 6, ए 2 = 6 + 2 = 8, ए 3 = 8 + 2 = 10, ए 4 = 10 + 2 = 12, ए 5 = 12 + 2 = 14 , ए 6 = 14 + 2 = 16, ए 7 = 18।

उदाहरण संख्या 3: एक प्रगति तैयार करना

चलिए समस्या को और भी जटिल बनाते हैं। अब हमें इस प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है कि अंकगणितीय प्रगति कैसे ज्ञात करें। निम्नलिखित उदाहरण दिया जा सकता है: दो संख्याएँ दी गई हैं, उदाहरण के लिए - 4 और 5। एक बीजगणितीय प्रगति बनाना आवश्यक है ताकि इनके बीच तीन और पद रखे जा सकें।

इससे पहले कि आप इस समस्या को हल करना शुरू करें, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि दी गई संख्याएँ भविष्य की प्रगति में किस स्थान पर कब्जा करेंगी। चूँकि उनके बीच तीन और पद होंगे, तो a 1 = -4 और a 5 = 5। इसे स्थापित करने के बाद, हम समस्या की ओर बढ़ते हैं, जो पिछले वाले के समान है। पुनः, nवें पद के लिए हम सूत्र का उपयोग करते हैं, हमें मिलता है: a 5 = a 1 + 4 * d। से: डी = (ए 5 - ए 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25। हमें यहां जो मिला वह अंतर का पूर्णांक मान नहीं है, लेकिन यह है तर्कसंगत संख्या, इसलिए बीजगणितीय प्रगति के सूत्र वही रहते हैं।

आइए अब पाए गए अंतर को 1 में जोड़ें और प्रगति के लुप्त पदों को पुनर्स्थापित करें। हमें मिलता है: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, जो संपाती है समस्या की शर्तों के साथ.

उदाहरण संख्या 4: प्रगति का पहला पद

आइए समाधानों के साथ अंकगणितीय प्रगति के उदाहरण देना जारी रखें। पिछली सभी समस्याओं में, बीजगणितीय प्रगति की पहली संख्या ज्ञात थी। आइए अब एक भिन्न प्रकार की समस्या पर विचार करें: मान लीजिए कि दो संख्याएँ दी गई हैं, जहाँ a 15 = 50 और a 43 = 37 है। यह पता लगाना आवश्यक है कि यह क्रम किस संख्या से शुरू होता है।

अब तक उपयोग किए गए सूत्र ए 1 और डी का ज्ञान मानते हैं। समस्या कथन में इन नंबरों के बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है। फिर भी, हम प्रत्येक पद के लिए व्यंजक लिखेंगे जिसके बारे में जानकारी उपलब्ध है: a 15 = a 1 + 14 * d और a 43 = a 1 + 42 * d। हमें दो समीकरण प्राप्त हुए जिनमें 2 अज्ञात मात्राएँ (a 1 और d) हैं। इसका मतलब यह है कि समस्या को रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने तक सीमित कर दिया गया है।

इस प्रणाली को हल करने का सबसे आसान तरीका प्रत्येक समीकरण में 1 व्यक्त करना और फिर परिणामी अभिव्यक्तियों की तुलना करना है। पहला समीकरण: ए 1 = ए 15 - 14 * डी = 50 - 14 * डी; दूसरा समीकरण: ए 1 = ए 43 - 42 * डी = 37 - 42 * डी। इन भावों को समान करने पर, हमें मिलता है: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, जहाँ से अंतर d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (केवल 3 दशमलव स्थान दिए गए हैं)।

d को जानने के बाद, आप 1 के लिए उपरोक्त 2 अभिव्यक्तियों में से किसी एक का उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, पहला: ए 1 = 50 - 14 * डी = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496।

यदि आपको प्राप्त परिणाम के बारे में संदेह है, तो आप इसकी जांच कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, प्रगति का 43वां पद निर्धारित कर सकते हैं, जो शर्त में निर्दिष्ट है। हमें मिलता है: ए 43 = ए 1 + 42 * डी = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008। छोटी सी त्रुटि इस तथ्य के कारण है कि गणना में हजारवें तक पूर्णांकन का उपयोग किया गया था।

उदाहरण संख्या 5: राशि

आइए अब अंकगणितीय प्रगति के योग के समाधान के साथ कई उदाहरण देखें।

आइए एक संख्यात्मक प्रगति दी जाए निम्न प्रकार: 1, 2, 3, 4,...,. इनमें से 100 संख्याओं का योग कैसे निकालें?

विकास को धन्यवाद कंप्यूटर प्रौद्योगिकीआप इस समस्या को हल कर सकते हैं, अर्थात, सभी संख्याओं को क्रमिक रूप से जोड़ सकते हैं, जो कंप्यूटर किसी व्यक्ति के एंटर कुंजी दबाते ही कर देगा। हालाँकि, समस्या को मानसिक रूप से हल किया जा सकता है यदि आप इस तथ्य पर ध्यान दें कि संख्याओं की प्रस्तुत श्रृंखला एक बीजगणितीय प्रगति है, और इसका अंतर 1 के बराबर है। योग के लिए सूत्र लागू करने पर, हमें मिलता है: एस एन = एन * ( ए 1 + ए एन) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050।

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि इस समस्या को "गाऊसियन" कहा जाता है क्योंकि 18वीं शताब्दी की शुरुआत में प्रसिद्ध जर्मन, जो अभी भी केवल 10 वर्ष का था, इसे अपने दिमाग में कुछ ही सेकंड में हल करने में सक्षम था। लड़के को बीजगणितीय प्रगति के योग का सूत्र नहीं पता था, लेकिन उसने देखा कि यदि आप अनुक्रम के अंत में संख्याओं को जोड़े में जोड़ते हैं, तो आपको हमेशा एक ही परिणाम मिलता है, यानी 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., और चूँकि ये योग बिल्कुल 50 (100/2) होंगे, तो सही उत्तर पाने के लिए 50 को 101 से गुणा करना पर्याप्त है।

उदाहरण संख्या 6: n से m तक पदों का योग

अंकगणितीय प्रगति के योग का एक और विशिष्ट उदाहरण निम्नलिखित है: संख्याओं की एक श्रृंखला दी गई है: 3, 7, 11, 15, ..., आपको यह पता लगाना होगा कि 8 से 14 तक इसके पदों का योग किसके बराबर होगा .

समस्या का समाधान दो प्रकार से किया जाता है। उनमें से पहले में 8 से 14 तक अज्ञात पदों को ढूंढना और फिर उन्हें क्रमिक रूप से जोड़ना शामिल है। चूँकि इसमें कुछ शर्तें हैं, इसलिए यह विधि काफी श्रम-गहन नहीं है। फिर भी, इस समस्या को दूसरी विधि का उपयोग करके हल करने का प्रस्ताव है, जो अधिक सार्वभौमिक है।

विचार यह है कि पदों m और n के बीच बीजगणितीय प्रगति के योग के लिए एक सूत्र प्राप्त किया जाए, जहाँ n > m पूर्णांक हैं। दोनों मामलों के लिए, हम योग के लिए दो अभिव्यक्तियाँ लिखते हैं:

1. एस एम = एम * (ए एम + ए 1)/2.
2. एस एन = एन * (ए एन + ए 1) / 2।

चूँकि n > m, यह स्पष्ट है कि दूसरे योग में पहला भी शामिल है। अंतिम निष्कर्ष का अर्थ है कि यदि हम इन योगों के बीच का अंतर लेते हैं और इसमें a m शब्द जोड़ते हैं (अंतर लेने के मामले में, इसे योग S n से घटा दिया जाता है), तो हमें समस्या का आवश्यक उत्तर प्राप्त होगा। हमारे पास है: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * एन/2 + ए एम * (1- एम/2)। इस अभिव्यक्ति में a n और a m के लिए सूत्रों को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। तब हमें मिलता है: एस एमएन = ए 1 * (एन - एम) / 2 + एन * (ए 1 + (एन - 1) * डी) / 2 + (ए 1 + (एम - 1) * डी) * (1 - एम / 2) = ए 1 * (एन - एम + 1) + डी * एन * (एन - 1) / 2 + डी *(3 * एम - एम 2 - 2) / 2।

परिणामी सूत्र कुछ हद तक बोझिल है, हालाँकि, योग S mn केवल n, m, a 1 और d पर निर्भर करता है। हमारे मामले में, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8। इन संख्याओं को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: S mn = 301।

जैसा कि उपरोक्त समाधानों से देखा जा सकता है, सभी समस्याएं nवें पद के व्यंजक और पहले पदों के समुच्चय के योग के सूत्र के ज्ञान पर आधारित हैं। इनमें से किसी भी समस्या का समाधान शुरू करने से पहले, यह अनुशंसा की जाती है कि आप शर्त को ध्यान से पढ़ें, स्पष्ट रूप से समझें कि आपको क्या खोजने की आवश्यकता है, और उसके बाद ही समाधान के साथ आगे बढ़ें।

एक और युक्ति सरलता के लिए प्रयास करना है, अर्थात, यदि आप जटिल गणितीय गणनाओं का उपयोग किए बिना किसी प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं, तो आपको बस यही करने की आवश्यकता है, क्योंकि इस मामले में गलती होने की संभावना कम है। उदाहरण के लिए, समाधान संख्या 6 के साथ अंकगणितीय प्रगति के उदाहरण में, कोई सूत्र S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, और सूत्र पर रुक सकता है। समग्र समस्या को अलग-अलग उपकार्यों में विभाजित करें (इस मामले में, पहले शब्द a n और a m खोजें)।

यदि आपको प्राप्त परिणाम के बारे में संदेह है, तो इसे जांचने की अनुशंसा की जाती है, जैसा कि दिए गए कुछ उदाहरणों में किया गया था। हमें पता चला कि अंकगणितीय प्रगति कैसे ज्ञात की जाती है। यदि आप इसे समझ लें तो यह उतना कठिन नहीं है।