विभाजनऔर उन पर भिन्न का अंश और हर सामान्य भाजक , एक से भिन्न , कहलाता है एक अंश को कम करना.

किसी सामान्य भिन्न को छोटा करने के लिए, आपको उसके अंश और हर को समान से विभाजित करना होगा प्राकृतिक संख्या.

यह संख्या दिए गए भिन्न के अंश और हर का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है।

निम्नलिखित संभव हैं निर्णय रिकॉर्डिंग प्रपत्रसामान्य भिन्नों को कम करने के उदाहरण.

छात्र को किसी भी प्रकार की रिकॉर्डिंग चुनने का अधिकार है।

उदाहरण। भिन्नों को सरल कीजिये.

भिन्न को 3 से कम करें (अंश को 3 से विभाजित करें;

हर को 3 से विभाजित करें)।

भिन्न को 7 से कम करें.

हम भिन्न के अंश और हर में संकेतित क्रियाएं करते हैं।

परिणामी अंश 5 से कम हो जाता है।

आइए इस अंश को कम करें 4) पर 5·7³- अंश और हर का सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी), जिसमें अंश और हर के सामान्य गुणनखंड शामिल होते हैं, जिन्हें सबसे छोटे घातांक के साथ घात पर लिया जाता है।

आइए इस भिन्न के अंश और हर का गुणनखंड अभाज्य गुणनखंडों में करें।

हम पाते हैं: 756=2²·3³·7और 1176=2³·3·7².

भिन्न के अंश और हर का GCD (सबसे बड़ा सामान्य भाजक) निर्धारित करें 5) .

यह सबसे कम घातांक के साथ लिए गए सामान्य कारकों का उत्पाद है।

जीसीडी(756, 1176)= 2²·3·7.

हम इस भिन्न के अंश और हर को उनकी gcd से विभाजित करते हैं, अर्थात 2²·3·7हमें एक अपरिवर्तनीय अंश मिलता है 9/14 .

या शक्ति की अवधारणा का उपयोग किए बिना, अंश और हर के अपघटन को अभाज्य गुणनखंडों के उत्पाद के रूप में लिखना संभव था, और फिर अंश और हर में समान गुणनखंडों को काटकर भिन्न को कम करना संभव था। जब कोई समान गुणनखंड नहीं बचता है, तो हम शेष गुणनखंडों को अंश में अलग-अलग और हर में अलग-अलग गुणा करते हैं और परिणामी भिन्न को लिखते हैं। 9/14 .

और आख़िरकार, इस अंश को कम करना संभव हो सका 5) धीरे-धीरे, भिन्न के अंश और हर दोनों पर संख्याओं को विभाजित करने के चिह्न लगाना। आइए इस तरह सोचें: संख्याएँ 756 और 1176 एक सम संख्या में समाप्त होता है, जिसका अर्थ है कि दोनों विभाज्य हैं 2 . हम भिन्न को कम करते हैं 2 . नये भिन्न के अंश और हर संख्याएँ हैं 378 और 588 में भी विभाजित किया गया है 2 . हम भिन्न को कम करते हैं 2 . हमने देखा कि संख्या 294 - यहां तक ​​कि, और 189 अजीब है, और 2 की कमी अब संभव नहीं है। आइए संख्याओं की विभाज्यता की जाँच करें 189 और 294 पर 3 .

(1+8+9)=18, 3 से विभाज्य है और (2+9+4)=15, 3 से विभाज्य है, इसलिए संख्याएँ स्वयं 189 और 294 में विभाजित हैं 3 . हम भिन्न को कम करते हैं 3 . आगे, 63 3 और से विभाज्य है 98 - नहीं। आइए अन्य प्रमुख कारकों पर नजर डालें। दोनों संख्याएँ विभाज्य हैं 7 . हम भिन्न को कम करते हैं 7 और हमें अपरिवर्तनीय अंश प्राप्त होता है 9/14 .

इस लेख में हम देखेंगे बीजगणितीय भिन्नों के साथ बुनियादी संक्रियाएँ:

• अंशों को कम करना
• भिन्नों को गुणा करना
• भिन्नों को विभाजित करना

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं बीजगणितीय भिन्नों की कमी.

ऐसा प्रतीत होगा कि, कलन विधिज़ाहिर।

को कम करना बीजीय भिन्न , करने की जरूरत है

1. भिन्न के अंश और हर का गुणनखंड करें।

2. समान गुणनखंडों को कम करें।

हालाँकि, स्कूली बच्चे अक्सर कारकों को नहीं, बल्कि शर्तों को "कम" करने की गलती करते हैं। उदाहरण के लिए, ऐसे शौकीन लोग हैं जो भिन्नों को "कम" करते हैं और परिणामस्वरूप परिणाम प्राप्त करते हैं, जो निश्चित रूप से सच नहीं है।

आइए उदाहरण देखें:

1. अंश कम करें:

1. आइए योग के वर्ग के सूत्र का उपयोग करके अंश का गुणनखंड करें, और वर्गों के अंतर के सूत्र का उपयोग करके हर का गुणनखंड करें।

2. अंश और हर को इससे विभाजित करें

2. अंश कम करें:

1. आइए अंश का गुणनखंड करें। चूँकि अंश में चार पद हैं, इसलिए हम समूहन का उपयोग करते हैं।

2. आइए हर का गुणनखंड करें। हम ग्रुपिंग का भी उपयोग कर सकते हैं।

3. आइए जो भिन्न हमें प्राप्त हुआ उसे लिखें और समान गुणनखंडों को घटाएं:

बीजगणितीय भिन्नों को गुणा करना.

बीजीय भिन्नों को गुणा करते समय, हम अंश को अंश से गुणा करते हैं, और हर को हर से गुणा करते हैं।

महत्वपूर्ण!भिन्न के अंश और हर को गुणा करने के लिए जल्दबाजी करने की कोई आवश्यकता नहीं है। जब हमने भिन्नों के अंशों के गुणनफल को अंश में और हरों के गुणनफल को हर में लिख लिया है, तो हमें प्रत्येक कारक का गुणनखंड करना होगा और भिन्न को कम करना होगा।

आइए उदाहरण देखें:

3. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

1. आइए भिन्नों का गुणनफल लिखें: अंश में अंशों का गुणनफल, और हर में हरों का गुणनफल:

2. आइए प्रत्येक कोष्ठक का गुणनखंड करें:

अब हमें उन्हीं कारकों को कम करने की जरूरत है।' ध्यान दें कि अभिव्यक्तियाँ और केवल संकेत में भिन्न हैं: और पहले व्यंजक को दूसरे से भाग देने पर हमें -1 प्राप्त होता है।

इसलिए,

हम बीजीय भिन्नों को निम्नलिखित नियम के अनुसार विभाजित करते हैं:

वह है भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको "उल्टे" से गुणा करना होगा।

हम देखते हैं कि भिन्नों को विभाजित करने से गुणन होता है, और गुणन अंततः भिन्नों को कम करने में आता है।

आइए एक उदाहरण देखें:

4. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

लक्ष्य:

1. शिक्षात्मक- अधिक जटिल अभ्यासों को हल करते समय बीजीय भिन्नों को कम करने में अर्जित ज्ञान और कौशल को समेकित करें, विभिन्न तरीकों से बहुपद के गुणनखंडन का उपयोग करें, और बीजगणितीय भिन्नों को कम करने में कौशल विकसित करें। संक्षिप्त गुणन सूत्र दोहराएँ: (ए+बी)2=ए2+2अब+बी2,
(ए-बी) 2 =ए 2 -2अब+बी 2,एक 2 -बी 2 =(ए+बी)(ए-बी), समूहीकरण की विधि, सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर रखना।

2. विकासात्मक-सचेतन धारणा के लिए तार्किक सोच का विकास शैक्षिक सामग्री, ध्यान, पाठ में छात्रों की गतिविधि।

3. शिक्षित करना -संज्ञानात्मक गतिविधि की शिक्षा, व्यक्तिगत गुणों का निर्माण: विचारों की मौखिक अभिव्यक्ति की सटीकता और स्पष्टता; एकाग्रता और ध्यान; दृढ़ता और जिम्मेदारी, विषय का अध्ययन करने के लिए सकारात्मक प्रेरणा, सटीकता, कर्तव्यनिष्ठा और जिम्मेदारी की भावना।

कार्य:

1. इस विषय पर काम के प्रकार को बदलकर अध्ययन की गई सामग्री को सुदृढ़ करें "बीजगणितीय अंश।" भिन्नों को कम करना।"

2. बीजगणितीय भिन्नों का उपयोग करके उन्हें कम करने में कौशल और क्षमताएं विकसित करें विभिन्न तरीकेअंश और हर का गुणनखंडन, विकास करना तर्कसम्मत सोच, सही और सक्षम गणितीय भाषण, प्रदर्शन करते समय स्वतंत्रता का विकास और अपने ज्ञान और कौशल में आत्मविश्वास अलग - अलग प्रकारकाम करता है

3. सामग्री के विभिन्न प्रकार के समेकन को शुरू करके गणित में रुचि पैदा करना: मौखिक कार्य, पाठ्यपुस्तक के साथ काम करना, ब्लैकबोर्ड पर काम करना, गणितीय श्रुतलेख, परीक्षण, स्वतंत्र कार्य, खेल "गणित टूर्नामेंट"; छात्र गतिविधियों को उत्तेजित और प्रोत्साहित करना।

योजना:
मैं। आयोजन का समय.
द्वितीय . मौखिक कार्य.
तृतीय. गणितीय श्रुतलेख.
चतुर्थ.
1.पाठ्यपुस्तक के अनुसार और ब्लैकबोर्ड पर कार्य करें।
2. कार्ड का उपयोग करके समूहों में काम करें - खेल "गणित टूर्नामेंट"।
3. स्वतंत्र कामस्तरों द्वारा (ए, बी, सी)।
वी जमीनी स्तर।
1. परीक्षण (आपसी सत्यापन)।
VI. गृहकार्य।

कक्षाओं के दौरान:

I. संगठनात्मक क्षण।

पाठ के लिए शिक्षक और छात्रों की भावनात्मक मनोदशा और तत्परता। विद्यार्थी लक्ष्य एवं उद्देश्य निर्धारित करें - यह सबक, शिक्षक के प्रमुख प्रश्नों के आधार पर, पाठ का विषय निर्धारित करें।

द्वितीय. मौखिक कार्य.

1. भिन्नों को कम करें:

2. बीजगणितीय भिन्न का मान ज्ञात कीजिए:
c = 8, c = -13, c = 11 पर।
उत्तर: 6; -1; 3.

3. प्रश्नों के उत्तर दें:

1) बहुपदों का गुणनखंड करते समय पालन करने योग्य उपयोगी क्रम क्या है?
(बहुपदों का गुणनखंड करते समय, निम्नलिखित क्रम का पालन करना उपयोगी होता है: ए) यदि सामान्य गुणनखंड है तो उसे कोष्ठक से बाहर रखें; बी) संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके बहुपद का गुणनखंड करने का प्रयास करें; ग) यदि पिछली विधियों से लक्ष्य प्राप्त नहीं हुआ तो समूहीकरण विधि लागू करने का प्रयास करें)।

2) योग का वर्ग क्या है?
(दो संख्याओं के योग का वर्ग पहली संख्या के वर्ग के गुणनफल के दोगुने और दूसरी संख्या के योग के गुणनफल के दोगुने के बराबर होता है)।

3) अंतर का वर्ग क्या है?
(दो संख्याओं के अंतर का वर्ग पहली संख्या के वर्ग के बराबर होता है जिसमें पहली संख्या के गुणनफल का दोगुना और दूसरी संख्या के गुणनफल का दोगुना और दूसरी संख्या के गुणनफल का दोगुना होता है)।

4) दो संख्याओं के वर्गों के बीच का अंतर क्या है?
(दो संख्याओं के वर्गों के बीच का अंतर इन संख्याओं और उनके योग के बीच के अंतर के गुणनफल के बराबर होता है)।

5) समूहीकरण विधि का उपयोग करते समय क्या करने की आवश्यकता है? (समूहीकरण विधि का उपयोग करके एक बहुपद का गुणनखंड करने के लिए, आपको यह करना होगा: ए) बहुपद के सदस्यों को ऐसे समूहों में संयोजित करें जिनका बहुपद के रूप में एक सामान्य गुणनखंड हो; बी) इस सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालें)।
6) सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालने के लिए, आपको ...... की आवश्यकता है?
(इस सामान्य गुणनखंड को खोजें; 2. इसे कोष्ठक से बाहर रखें)।

7) आप बहुपद का गुणनखंडन करने की कौन सी विधियाँ जानते हैं?
(सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखना, समूहीकरण विधि, संक्षिप्त गुणन सूत्र)।

8) भिन्न को कम करने के लिए क्या आवश्यक है?
(किसी भिन्न को कम करने के लिए, अंश और हर को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित करें।)

तृतीय. गणितीय श्रुतलेख.

1. बीजगणितीय भिन्नों को रेखांकित करें:

विकल्प I:

विकल्प II:

1. क्या अभिव्यक्ति की कल्पना करना संभव है

विकल्प I:

विकल्प II:

बहुपद के रूप में? आप कल्पना कर सकते हैं?

3. अभिव्यक्ति के लिए कौन से अक्षर मान स्वीकार्य हैं:
विकल्प I:

विकल्प II:
(x-5)(x+7).

4. एक बीजगणितीय भिन्न को अंश के साथ लिखिए
विकल्प I:
3x2.
विकल्प II:
5 वर्ष.
और हर

विकल्प I:
एक्स(एक्स+3).
विकल्प II:
य 2 (य+7).
और इसे छोटा करें.

चतुर्थ. विषय का समेकन: “बीजगणितीय भिन्न। भिन्नों को कम करना":

1.पाठ्यपुस्तक के अनुसार और ब्लैकबोर्ड पर कार्य करें।

भिन्न के अंश और हर का गुणनखंड करें और उसे घटाएँ।
№441(1;3).

1. ; 3.

№442(1;3;5).

1. 3.

№443(1;3).

1. 3.

№444(1;3).

1. 3.

№445(1;3).

1. 3.

№446(1;3).

2. कार्ड का उपयोग करके समूहों में काम करें - खेल "गणित टूर्नामेंट"।

(खेल के लिए कार्य - "परिशिष्ट 1"।)
इस विषय पर उदाहरणों को हल करने में कौशल का समेकन और परीक्षण एक टूर्नामेंट के रूप में किया जाता है। कक्षा को समूहों में विभाजित किया गया है और उन्हें कार्ड (विभिन्न स्तरों के कार्ड) पर कार्य दिए गए हैं।
एक निश्चित समय के बाद, प्रत्येक छात्र को अपनी टीम के कार्यों का समाधान एक नोटबुक में लिखना होगा और उन्हें समझाने में सक्षम होना होगा।
टीम के भीतर परामर्श की अनुमति है (कप्तान द्वारा संचालित)।
फिर टूर्नामेंट शुरू होता है: प्रत्येक टीम को दूसरों को चुनौती देने का अधिकार है, लेकिन केवल एक बार। उदाहरण के लिए, पहली टीम का कप्तान दूसरी टीम के छात्रों को टूर्नामेंट में भाग लेने के लिए बुलाता है; दूसरी टीम का कप्तान भी ऐसा ही करता है, वे बोर्ड के पास जाते हैं, कार्ड बदलते हैं और समस्याओं का समाधान करते हैं, आदि।

3. स्तरों पर स्वतंत्र कार्य (ए, बी, सी)

"उपदेशात्मक सामग्री" एल.आई. ज़वाविच एट अल., पी. 95, सी-52 (पुस्तक सभी छात्रों के लिए उपलब्ध है)
ए . №1: I विकल्प-1) ए, बी; 2) ए,सी; 5) ए.
II विकल्प-1) सी, डी; 2) बी, डी, 5) सी।
बी . №2: विकल्प I - ए.
विकल्प II - बी.
में . №3: विकल्प I - ए.
विकल्प II - बी.

वी जमीनी स्तर।

1. परीक्षण (आपसी सत्यापन)।
(परीक्षण के लिए कार्य - "परिशिष्ट 2"।)
(प्रत्येक छात्र के लिए कार्ड पर, विकल्पों के अनुसार)

VI. गृहकार्य।

1) "डी.एम." पृष्ठ 95 क्रमांक 1. (3,4,6);
2) क्रमांक 447 (सम);
3) §24, दोहराएँ § 19 - §23।

इस लेख में हम इसके बारे में विस्तार से जानेंगे बीजीय भिन्नों को कम करना. सबसे पहले, आइए जानें कि "बीजगणितीय अंश में कमी" शब्द का क्या अर्थ है और पता लगाएं कि क्या बीजगणितीय अंश हमेशा कम करने योग्य होता है। नीचे हम एक नियम प्रस्तुत करते हैं जो इस परिवर्तन को करने की अनुमति देता है। अंत में, हम विशिष्ट उदाहरणों के समाधान पर विचार करेंगे जो हमें प्रक्रिया की सभी जटिलताओं को समझने की अनुमति देंगे।

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बीजगणितीय भिन्न को कम करने का क्या मतलब है?

अध्ययन के दौरान हमने इनकी कमी के बारे में बात की। हम इसके अंश और हर को एक सामान्य गुणनखंड से विभाजित करना कहते हैं। उदाहरण के लिए, सामान्य भिन्न 30/54 को 6 से कम किया जा सकता है (अर्थात्, इसके अंश और हर को 6 से विभाजित किया जाता है), जो हमें भिन्न 5/9 तक ले जाता है।

बीजगणितीय भिन्न को घटाने से हमारा तात्पर्य है समान क्रिया. एक बीजगणितीय भिन्न कम करें- इसका अर्थ है इसके अंश और हर को एक सामान्य गुणनखंड से विभाजित करना। लेकिन यदि अंश और हर का उभयनिष्ठ गुणनखंड सामान्य अंशकेवल एक संख्या हो सकती है, तो बीजीय भिन्न के अंश और हर का सामान्य गुणनखंड एक बहुपद हो सकता है, विशेष रूप से, एकपदी या एक संख्या।

उदाहरण के लिए, एक बीजीय भिन्न को संख्या 3 से घटाकर भिन्न दिया जा सकता है . चर x में संकुचन करना भी संभव है, जिसके परिणामस्वरूप अभिव्यक्ति होती है . मूल बीजगणितीय अंश को एकपदी 3 x, साथ ही किसी भी बहुपद x+2 y, 3 x +6 y, x 2 +2 x y या 3 x 2 +6 x y में घटाया जा सकता है।

एक बीजगणितीय भिन्न को कम करने का अंतिम लक्ष्य एक सरल रूप का अंश प्राप्त करना है, सर्वोत्तम रूप से एक अप्रासंगिक भिन्न।

क्या किसी बीजगणितीय भिन्न को कम किया जा सकता है?

हम जानते हैं कि साधारण भिन्नों को विभाजित किया जाता है। इरेड्यूसिबल भिन्नों के अंश और हर में एक के अलावा अन्य सामान्य गुणनखंड नहीं होते हैं, और इसलिए उन्हें कम नहीं किया जा सकता है।

बीजगणितीय भिन्नों के अंश और हर में सामान्य गुणनखंड हो भी सकते हैं और नहीं भी। यदि सामान्य गुणनखंड हों, तो बीजगणितीय भिन्न को कम करना संभव है। यदि कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं हैं, तो किसी बीजगणितीय भिन्न को घटाकर सरल बनाना असंभव है।

सामान्य तौर पर, के अनुसार उपस्थितिबीजगणितीय भिन्न, यह निर्धारित करना काफी कठिन है कि क्या इसे कम किया जा सकता है। निःसंदेह, कुछ मामलों में अंश और हर के सामान्य गुणनखंड स्पष्ट होते हैं। उदाहरण के लिए, यह स्पष्ट रूप से देखा गया है कि बीजगणितीय भिन्न के अंश और हर में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 3 होता है। यह नोटिस करना भी आसान है कि एक बीजीय भिन्न को x, y, या सीधे x·y द्वारा कम किया जा सकता है। लेकिन बहुत अधिक बार, बीजीय भिन्न के अंश और हर का सामान्य गुणनखंड तुरंत दिखाई नहीं देता है, और इससे भी अधिक बार, यह अस्तित्व में ही नहीं होता है। उदाहरण के लिए, किसी भिन्न को x−1 से कम करना संभव है, लेकिन यह सामान्य कारक नोटेशन में स्पष्ट रूप से मौजूद नहीं है। और एक बीजीय भिन्न इसे कम करना असंभव है, क्योंकि इसके अंश और हर में उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं हैं।

सामान्य तौर पर, बीजीय भिन्न की न्यूनता का प्रश्न बहुत कठिन होता है। और कभी-कभी किसी बीजीय भिन्न के साथ उसके मूल रूप में काम करके किसी समस्या को हल करना आसान होता है बजाय इसके कि यह पता लगाया जाए कि पहले इस भिन्न को कम किया जा सकता है या नहीं। लेकिन अभी भी ऐसे परिवर्तन हैं जो कुछ मामलों में, अपेक्षाकृत कम प्रयास के साथ, अंश और हर के सामान्य कारकों को ढूंढना, यदि कोई हो, या यह निष्कर्ष निकालना संभव बनाते हैं कि मूल बीजगणितीय अंश अप्रासंगिक है। इस जानकारी का खुलासा अगले पैराग्राफ में किया जाएगा.

बीजगणितीय भिन्नों को कम करने का नियम

पिछले पैराग्राफ की जानकारी अनुमति देती है सहज रूप मेंनिम्नलिखित को समझें बीजगणितीय भिन्नों को कम करने का नियम, जिसमें दो चरण होते हैं:

• सबसे पहले, मूल भिन्न के अंश और हर के सामान्य गुणनखंड ज्ञात किए जाते हैं;
• यदि कोई है, तो इन कारकों द्वारा कमी की जाती है।

घोषित नियम के संकेतित चरणों को स्पष्टीकरण की आवश्यकता है।

अधिकांश सुविधाजनक तरीकासामान्य को खोजने में उन बहुपदों का गुणनखंडन शामिल होता है जो मूल बीजगणितीय भिन्न के अंश और हर में होते हैं। इस मामले में, अंश और हर के सामान्य गुणनखंड तुरंत दिखाई देने लगते हैं, या यह स्पष्ट हो जाता है कि कोई सामान्य गुणनखंड नहीं हैं।

यदि कोई सामान्य गुणनखंड नहीं हैं, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बीजीय भिन्न अप्रासंगिक है। यदि सामान्य कारक पाए जाते हैं तो दूसरे चरण में उन्हें कम कर दिया जाता है। परिणाम सरल रूप का एक नया अंश है।

बीजीय भिन्नों को कम करने का नियम बीजीय भिन्न के मूल गुण पर आधारित है, जिसे समानता द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहाँ a, b और c कुछ बहुपद हैं, और b और c गैर-शून्य हैं। पहले चरण में, मूल बीजगणितीय अंश को उस रूप में घटा दिया जाता है जिससे सामान्य कारक सी दिखाई देता है, और दूसरे चरण में कमी की जाती है - अंश में संक्रमण।

आइए उदाहरणों का उपयोग करके हल करने की ओर आगे बढ़ें इस नियम का. उन पर हम उन सभी संभावित बारीकियों का विश्लेषण करेंगे जो बीजगणितीय भिन्न के अंश और हर को गुणनखंडों में विभाजित करने और बाद में कमी करने पर उत्पन्न होती हैं।

विशिष्ट उदाहरण

सबसे पहले, हमें बीजगणितीय भिन्नों को कम करने के बारे में बात करने की ज़रूरत है जिनके अंश और हर समान हैं। ऐसे अंश इसमें शामिल चर के संपूर्ण ODZ पर समान रूप से एक के बराबर होते हैं, उदाहरण के लिए,
और इसी तरह।

अब यह याद करने में कोई हर्ज नहीं है कि साधारण भिन्नों को कैसे कम किया जाए - आख़िरकार, वे बीजगणितीय भिन्नों का एक विशेष मामला हैं। एक सामान्य भिन्न के अंश और हर में प्राकृतिक संख्याएँ, जिसके बाद सामान्य गुणनखंड रद्द हो जाते हैं (यदि कोई हो)। उदाहरण के लिए, . समान अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल को घातों के रूप में लिखा जा सकता है, और संक्षिप्त करते समय उपयोग किया जा सकता है। इस मामले में, समाधान इस तरह दिखेगा: , यहां हमने अंश और हर को एक सामान्य गुणनखंड 2 2 3 से विभाजित किया है। या, अधिक स्पष्टता के लिए, गुणन और विभाजन के गुणों के आधार पर, समाधान को इस रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

बीजीय भिन्नों को कम करने के लिए बिल्कुल समान सिद्धांतों का उपयोग किया जाता है, जिनके अंश और हर में पूर्णांक गुणांक वाले एकपदी होते हैं।

उदाहरण।

बीजगणितीय भिन्न को रद्द करें .

समाधान।

आप मूल बीजगणितीय अंश के अंश और हर को सरल कारकों और चर के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं, और फिर कमी कर सकते हैं:

लेकिन समाधान को शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति के रूप में लिखना अधिक तर्कसंगत है:

उत्तर:

.

जहां तक ​​बीजगणितीय भिन्नों को कम करने का सवाल है, जिनके अंश और हर में भिन्नात्मक संख्यात्मक गुणांक होते हैं, तो आप दो काम कर सकते हैं: या तो इन भिन्नात्मक गुणांकों को अलग-अलग विभाजित करें, या पहले अंश और हर को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करके भिन्नात्मक गुणांक से छुटकारा पाएं। हमने लेख में एक बीजगणितीय भिन्न को एक नए हर में लाने वाले अंतिम परिवर्तन के बारे में बात की, इसे बीजगणितीय भिन्न की मूल संपत्ति के कारण किया जा सकता है; आइए इसे एक उदाहरण से समझते हैं.

उदाहरण।

अंश न्यूनीकरण करें.

समाधान।

आप भिन्न को इस प्रकार कम कर सकते हैं: .

या आप सबसे पहले अंश और हर को इन गुणांकों के हर से गुणा करके, यानी LCM(5, 10)=10 से भिन्नात्मक गुणांकों से छुटकारा पा सकते हैं। इस मामले में हमारे पास है .

उत्तर:

.

हम बीजगणितीय भिन्नों की ओर आगे बढ़ सकते हैं सामान्य रूप से देखें, जिसमें अंश और हर में संख्याएं और एकपदी, साथ ही बहुपद दोनों शामिल हो सकते हैं।

ऐसे भिन्नों को कम करते समय मुख्य समस्या यह है कि अंश और हर का उभयनिष्ठ गुणनखंड हमेशा दिखाई नहीं देता है। इसके अलावा, यह हमेशा मौजूद नहीं होता है। एक सामान्य गुणनखंड खोजने या उसकी अनुपस्थिति को सत्यापित करने के लिए, आपको बीजीय भिन्न के अंश और हर का गुणनखंड करना होगा।

उदाहरण।

एक तर्कसंगत भिन्न कम करें .

समाधान।

ऐसा करने के लिए, अंश और हर में बहुपदों का गुणनखंड करें। आइए इसे कोष्ठक से बाहर रखकर प्रारंभ करें: . जाहिर है, कोष्ठकों में दिए गए भावों को इसका उपयोग करके रूपांतरित किया जा सकता है

प्रथम स्तर

अभिव्यक्तियाँ परिवर्तित करना। विस्तृत सिद्धांत (2019)

अभिव्यक्तियाँ परिवर्तित करना

हम अक्सर यह अप्रिय वाक्यांश सुनते हैं: "अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।" आमतौर पर हम कुछ इस तरह के राक्षस देखते हैं:

"यह बहुत आसान है," हम कहते हैं, लेकिन ऐसा उत्तर आमतौर पर काम नहीं करता है।

अब मैं तुम्हें सिखाऊंगा कि ऐसे किसी भी काम से मत डरो। इसके अलावा, पाठ के अंत में, आप स्वयं इस उदाहरण को एक साधारण संख्या (हाँ, इन अक्षरों के साथ नरक) तक सरल बना देंगे।

लेकिन इस पाठ को शुरू करने से पहले, आपको भिन्नों और गुणनखंड बहुपदों को संभालने में सक्षम होना होगा। इसलिए, सबसे पहले, यदि आपने पहले ऐसा नहीं किया है, तो "" और "" विषयों में महारत हासिल करना सुनिश्चित करें।

क्या आपने इसे पढ़ा है? अगर हां, तो अब आप तैयार हैं.

बुनियादी सरलीकरण संचालन

आइए अब उन बुनियादी तकनीकों पर नजर डालें जिनका उपयोग अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए किया जाता है।

सबसे सरल है

1. समान लाना

क्या समान हैं? आपने इसे 7वीं कक्षा में लिया था, जब गणित में संख्याओं के बजाय अक्षर पहली बार दिखाई दिए। समान अक्षर वाले भाग वाले पद (एकपदी) भी इसी प्रकार के होते हैं। उदाहरण के लिए, योग में, समान पद हैं और।

तुम्हे याद है?

समान लाने का अर्थ है कई समान पदों को एक-दूसरे में जोड़ना और एक पद प्राप्त करना।

हम अक्षरों को एक साथ कैसे रख सकते हैं? - आप पूछना।

यह समझना बहुत आसान है यदि आप कल्पना करें कि अक्षर किसी प्रकार की वस्तुएं हैं। उदाहरण के लिए, एक पत्र एक कुर्सी है। तो फिर अभिव्यक्ति किसके बराबर है? दो कुर्सियाँ और तीन कुर्सियाँ, कितनी होंगी? यह सही है, कुर्सियाँ: .

अब इस अभिव्यक्ति को आज़माएँ: .

भ्रम से बचने के लिए, आइए अलग-अलग अक्षरविभिन्न वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करें। उदाहरण के लिए, - (हमेशा की तरह) एक कुर्सी है, और - एक मेज है। तब:

कुर्सियाँ मेजें कुर्सी मेजें कुर्सियाँ कुर्सियाँ मेजें

वे संख्याएँ जिनसे ऐसे पदों के अक्षरों को गुणा किया जाता है, कहलाती हैं गुणांकों. उदाहरण के लिए, एकपदी में गुणांक बराबर होता है। और इसमें बराबर है.

तो, समान लाने का नियम यह है:

उदाहरण:

समान दो:

उत्तर:

2. (और इसी तरह, क्योंकि, इसलिए, इन शब्दों का अक्षर भाग एक ही है)।

2. गुणनखंडीकरण

अभिव्यक्ति को सरल बनाने में यह आमतौर पर सबसे महत्वपूर्ण हिस्सा है। आपके द्वारा समान दिए जाने के बाद, अक्सर परिणामी अभिव्यक्ति को गुणनखंडित करने की आवश्यकता होती है, अर्थात, उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। यह भिन्नों में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है: भिन्न को कम करने में सक्षम होने के लिए, अंश और हर को एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जाना चाहिए।

आपने "" विषय में विस्तार से गुणनखंडन अभिव्यक्तियों के तरीकों के बारे में जाना, इसलिए यहां आपको केवल यह याद रखना है कि आपने क्या सीखा। ऐसा करने के लिए, कुछ निर्णय लें उदाहरण(गुणनखंडित करने की आवश्यकता है):

समाधान:

3. भिन्न को कम करना।

खैर, अंश और हर के कुछ हिस्सों को काटकर उन्हें अपने जीवन से बाहर फेंकने से ज्यादा सुखद क्या हो सकता है?

आकार घटाने की यही खूबसूरती है।

यह आसान है:

यदि अंश और हर में समान गुणनखंड हों, तो उन्हें कम किया जा सकता है, अर्थात भिन्न से हटाया जा सकता है।

यह नियम भिन्न के मूल गुण से अनुसरण करता है:

अर्थात् कटौती संक्रिया का सार यही है हम भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या (या एक ही अभिव्यक्ति से) से विभाजित करते हैं।

किसी अंश को कम करने के लिए आपको चाहिए:

1) अंश और हर खंड करना

2) यदि अंश और हर में शामिल हैं सामान्य तथ्य, उन्हें पार किया जा सकता है।

मुझे लगता है, सिद्धांत स्पष्ट है?

मैं आपका ध्यान एक बात की ओर आकर्षित करना चाहूँगा सामान्य गलतीअनुबंध करते समय. हालाँकि यह विषय सरल है, बहुत से लोग इसे न समझकर हर काम गलत करते हैं कम करना- इसका मतलब यह है विभाजित करनाअंश और हर एक ही संख्या हैं।

यदि अंश या हर एक योग है तो कोई संक्षिप्ताक्षर नहीं।

उदाहरण के लिए: हमें सरलीकरण करने की आवश्यकता है।

कुछ लोग ऐसा करते हैं: जो बिल्कुल गलत है.

दूसरा उदाहरण: कम करें.

"सबसे चतुर" यह करेगा:।

मुझे बताओ यहाँ क्या गड़बड़ है? ऐसा प्रतीत होगा:- यह एक गुणक है, जिसका अर्थ है कि इसे कम किया जा सकता है।

लेकिन नहीं: - यह अंश में केवल एक पद का गुणनखंड है, लेकिन संपूर्ण अंश स्वयं गुणनखंडित नहीं है।

यहाँ एक और उदाहरण है: .

यह अभिव्यक्ति गुणनखंडित है, जिसका अर्थ है कि आप इसे कम कर सकते हैं, यानी अंश और हर को इससे विभाजित कर सकते हैं, और फिर:

आप इसे तुरंत इसमें विभाजित कर सकते हैं:

ऐसी गलतियों से बचने के लिए याद रखें आसान तरीकायह कैसे निर्धारित करें कि कोई अभिव्यक्ति गुणनखंडित है:

किसी अभिव्यक्ति के मान की गणना करते समय जो अंकगणितीय ऑपरेशन सबसे अंत में किया जाता है वह "मास्टर" ऑपरेशन होता है। अर्थात्, यदि आप अक्षरों के स्थान पर कुछ (कोई भी) संख्याएँ प्रतिस्थापित करते हैं और अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने का प्रयास करते हैं, तो यदि अंतिम क्रिया गुणन है, तो हमारे पास एक उत्पाद है (अभिव्यक्ति गुणनखंडित है)। यदि अंतिम क्रिया जोड़ या घटाव है, तो इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति गुणनखंडित नहीं है (और इसलिए इसे कम नहीं किया जा सकता है)।

समेकित करने के लिए, कुछ को स्वयं हल करें उदाहरण:

उत्तर:

1. मुझे आशा है कि आप तुरंत काटने में जल्दबाजी नहीं करेंगे और? इस तरह की इकाइयों को "कम" करना अभी भी पर्याप्त नहीं था:

पहला कदम गुणनखंडन होना चाहिए:

4. भिन्नों को जोड़ना और घटाना। भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना।

जोड़ना और घटाना साधारण अंश- ऑपरेशन सर्वविदित है: हम एक सामान्य हर की तलाश करते हैं, प्रत्येक अंश को लुप्त कारक से गुणा करते हैं और अंशों को जोड़ते/घटाते हैं। चलो याद करते हैं:

उत्तर:

1. हर और अपेक्षाकृत अभाज्य हैं, अर्थात उनमें उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं हैं। इसलिए, इन संख्याओं का LCM उनके उत्पाद के बराबर है। यह सामान्य भाजक होगा:

2. यहाँ सामान्य विभाजक है:

3. पहली बात यहां मिश्रित अंशहम उन्हें गलत में बदल देते हैं, और फिर सामान्य पैटर्न का पालन करते हैं:

यदि भिन्नों में अक्षर हों तो यह बिल्कुल अलग बात है, उदाहरण के लिए:

आइए कुछ सरल से शुरुआत करें:

ए) हर में अक्षर नहीं होते

यहां सब कुछ सामान्य संख्यात्मक भिन्नों जैसा ही है: हम सामान्य हर ढूंढते हैं, प्रत्येक भिन्न को लुप्त कारक से गुणा करते हैं और अंशों को जोड़ते/घटाते हैं:

अब अंश में आप समान, यदि कोई हो, दे सकते हैं और उनका गुणनखंड कर सकते हैं:

खुद कोशिश करना:

बी) हर में अक्षर होते हैं

आइए अक्षरों के बिना एक सामान्य हर खोजने के सिद्धांत को याद रखें:

· सबसे पहले, हम सामान्य कारकों का निर्धारण करते हैं;

· फिर हम सभी सामान्य कारकों को एक-एक करके लिखते हैं;

· और उन्हें अन्य सभी गैर-सामान्य कारकों से गुणा करें।

हर के सामान्य गुणनखंडों को निर्धारित करने के लिए, हम पहले उन्हें अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करते हैं:

आइए हम सामान्य कारकों पर जोर दें:

आइए अब सामान्य कारकों को एक-एक करके लिखें और उनमें सभी गैर-सामान्य (रेखांकित नहीं) कारकों को जोड़ें:

यह सामान्य विभाजक है.

चलिए पत्रों पर वापस आते हैं। हर बिल्कुल उसी तरह दिए गए हैं:

· हरों का गुणनखंड करें;

· सामान्य (समान) कारकों का निर्धारण करें;

· सभी सामान्य कारकों को एक बार लिखें;

· उन्हें अन्य सभी गैर-सामान्य कारकों से गुणा करें.

तो, क्रम में:

1) हरों का गुणनखंड करें:

2) सामान्य (समान) कारक निर्धारित करें:

3) सभी सामान्य कारकों को एक बार लिखें और उन्हें अन्य सभी (गैर-रेखांकित) कारकों से गुणा करें:

तो यहाँ एक सामान्य विभाजक है। पहले अंश को इससे गुणा किया जाना चाहिए, दूसरे को - से:

वैसे, एक तरकीब है:

उदाहरण के लिए: ।

हम हर में समान गुणनखंड देखते हैं, केवल सभी के साथ विभिन्न संकेतक. सामान्य भाजक होगा:

एक स्तर तक

एक स्तर तक

एक स्तर तक

एक स्तर तक।

आइए कार्य को जटिल बनाएं:

भिन्नों का हर समान कैसे बनाएं?

आइए भिन्न के मूल गुण को याद करें:

यह कहीं नहीं कहता कि भिन्न के अंश और हर में से समान संख्या को घटाया (या जोड़ा) जा सकता है। क्योंकि यह सच नहीं है!

स्वयं देखें: उदाहरण के लिए, कोई भिन्न लें, और अंश और हर में कुछ संख्या जोड़ें, उदाहरण के लिए,। आपने क्या सीखा?

तो, एक और अटल नियम:

जब आप भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाते हैं, तो केवल गुणन संक्रिया का उपयोग करें!

लेकिन क्या पाने के लिए आपको गुणा करने की आवश्यकता है?

तो गुणा करें. और इससे गुणा करें:

जिन अभिव्यक्तियों को गुणनखंडित नहीं किया जा सकता उन्हें हम "प्राथमिक कारक" कहेंगे। उदाहरणार्थ, - यह एक प्राथमिक कारक है । - वही। लेकिन नहीं: इसे गुणनखंडित किया जा सकता है।

अभिव्यक्ति के बारे में क्या? क्या यह प्राथमिक है?

नहीं, क्योंकि इसे गुणनखंडित किया जा सकता है:

(आप पहले ही विषय "" में गुणनखंडन के बारे में पढ़ चुके हैं)।

तो, जिन प्राथमिक कारकों में आप अक्षरों के साथ एक अभिव्यक्ति को विघटित करते हैं, वे उन सरल कारकों के अनुरूप होते हैं जिनमें आप संख्याओं को विघटित करते हैं। और हम उनसे वैसे ही निपटेंगे.

हम देखते हैं कि दोनों हरों में गुणक होता है। यह सामान्य भाजक से डिग्री तक जाएगा (याद रखें क्यों?)।

कारक प्राथमिक है, और उनके पास एक सामान्य कारक नहीं है, जिसका अर्थ है कि पहले अंश को बस इससे गुणा करना होगा:

एक और उदाहरण:

समाधान:

इन हरों को घबराहट में गुणा करने से पहले, आपको यह सोचने की ज़रूरत है कि उन्हें कैसे गुणनखंडित किया जाए? वे दोनों प्रतिनिधित्व करते हैं:

महान! तब:

एक और उदाहरण:

समाधान:

हमेशा की तरह, आइए हरों का गुणनखंड करें। पहले हर में हम इसे केवल कोष्ठक से बाहर रखते हैं; दूसरे में - वर्गों का अंतर:

ऐसा प्रतीत होता है कि कोई सामान्य कारक नहीं हैं। लेकिन अगर आप बारीकी से देखें, तो वे समान हैं... और यह सच है:

तो चलिए लिखते हैं:

अर्थात्, यह इस प्रकार निकला: कोष्ठक के अंदर हमने पदों की अदला-बदली की, और उसी समय भिन्न के सामने का चिह्न विपरीत में बदल गया। ध्यान रखें, ऐसा आपको अक्सर करना होगा।

आइए अब इसे एक सामान्य विभाजक पर लाएँ:

समझ गया? आइए अब इसकी जाँच करें।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

उत्तर:

यहां हमें एक और बात याद रखनी होगी - घनों का अंतर:

कृपया ध्यान दें कि दूसरे अंश के हर में "योग का वर्ग" सूत्र शामिल नहीं है! योग का वर्ग इस प्रकार दिखेगा:।

A योग का तथाकथित अपूर्ण वर्ग है: इसमें दूसरा पद पहले और अंतिम का गुणनफल है, न कि उनका दोहरा गुणनफल। योग का आंशिक वर्ग घनों के अंतर के विस्तार के कारकों में से एक है:

यदि पहले से ही तीन भिन्न हों तो क्या करें?

हाँ, वही बात! सबसे पहले, आइए यह सुनिश्चित करें अधिकतम राशिहर में गुणनखंड समान थे:

कृपया ध्यान दें: यदि आप एक कोष्ठक के अंदर चिह्न बदलते हैं, तो भिन्न के सामने का चिह्न विपरीत में बदल जाता है। जब हम दूसरे कोष्ठक में चिह्न बदलते हैं, तो भिन्न के सामने का चिह्न फिर से विपरीत दिशा में बदल जाता है। परिणामस्वरूप, यह (अंश के सामने का चिह्न) नहीं बदला है।

हम पूरे पहले हर को सामान्य हर में लिखते हैं, और फिर इसमें उन सभी कारकों को जोड़ते हैं जो अभी तक नहीं लिखे गए हैं, दूसरे से, और फिर तीसरे से (और इसी तरह, यदि अधिक भिन्न हैं)। अर्थात्, यह इस प्रकार निकलता है:

हम्म... यह स्पष्ट है कि भिन्नों के साथ क्या करना है। लेकिन दोनों का क्या?

यह सरल है: आप भिन्नों को जोड़ना जानते हैं, है ना? तो, हमें दो को भिन्न बनाना होगा! आइए याद रखें: भिन्न एक विभाजन संक्रिया है (यदि आप भूल गए हैं तो अंश को हर से विभाजित किया जाता है)। और किसी संख्या को विभाजित करने से आसान कुछ भी नहीं है। इस स्थिति में, संख्या स्वयं नहीं बदलेगी, बल्कि भिन्न में बदल जाएगी:

बिल्कुल वही जो आवश्यक है!

5. भिन्नों का गुणन और विभाजन।

खैर, सबसे कठिन हिस्सा अब खत्म हो गया है। और हमारे आगे सबसे सरल, लेकिन साथ ही सबसे महत्वपूर्ण भी है:

प्रक्रिया

गिनती की प्रक्रिया क्या है? संख्यात्मक अभिव्यक्ति? इस अभिव्यक्ति के अर्थ की गणना करके याद रखें:

क्या आपने गिनती की?

यह काम करना चाहिए।

तो, मैं आपको याद दिला दूं।

पहला कदम डिग्री की गणना करना है।

दूसरा है गुणा और भाग. यदि एक ही समय में कई गुणा और भाग हों तो उन्हें किसी भी क्रम में किया जा सकता है।

और अंत में, हम जोड़ और घटाव करते हैं। फिर, किसी भी क्रम में.

लेकिन: कोष्ठक में अभिव्यक्ति का मूल्यांकन बारी-बारी से किया जाता है!

यदि कई कोष्ठकों को एक-दूसरे से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो हम पहले प्रत्येक कोष्ठक में अभिव्यक्ति की गणना करते हैं, और फिर उन्हें गुणा या विभाजित करते हैं।

यदि कोष्ठक के अंदर अधिक कोष्ठक हों तो क्या होगा? खैर, आइए सोचें: कोष्ठक के अंदर कुछ अभिव्यक्ति लिखी हुई है। किसी व्यंजक की गणना करते समय, आपको सबसे पहले क्या करना चाहिए? यह सही है, कोष्ठक की गणना करें। खैर, हमने इसका पता लगा लिया: पहले हम आंतरिक कोष्ठक की गणना करते हैं, फिर बाकी सभी चीजों की।

तो, उपरोक्त अभिव्यक्ति की प्रक्रिया इस प्रकार है (वर्तमान क्रिया को लाल रंग में हाइलाइट किया गया है, अर्थात, वह क्रिया जो मैं अभी कर रहा हूं):

ठीक है, यह सब सरल है.

लेकिन यह अक्षरों वाली अभिव्यक्ति के समान नहीं है?

नहीं, यह वैसा ही है! केवल के बजाय अंकगणितीय आपरेशनसआपको बीजगणितीय कार्य करने की आवश्यकता है, अर्थात, पिछले अनुभाग में वर्णित क्रियाएँ: समान ला रहा हूँ, भिन्नों को जोड़ना, भिन्नों को कम करना, इत्यादि। एकमात्र अंतर बहुपदों के गुणनखंडन की क्रिया का होगा (हम अक्सर भिन्नों के साथ काम करते समय इसका उपयोग करते हैं)। अक्सर, गुणनखंड करने के लिए, आपको I का उपयोग करने की आवश्यकता होती है या बस सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखना पड़ता है।

आमतौर पर हमारा लक्ष्य अभिव्यक्ति को उत्पाद या भागफल के रूप में प्रस्तुत करना होता है।

उदाहरण के लिए:

आइए अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

1) सबसे पहले, हम कोष्ठक में दिए गए व्यंजक को सरल बनाते हैं। वहां हमारे पास भिन्नों का अंतर है, और हमारा लक्ष्य इसे उत्पाद या भागफल के रूप में प्रस्तुत करना है। इसलिए, हम भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं और जोड़ते हैं:

इस अभिव्यक्ति को और अधिक सरल बनाना असंभव है; यहां सभी कारक प्राथमिक हैं (क्या आपको अभी भी याद है कि इसका क्या अर्थ है?)।

2) हमें मिलता है:

भिन्नों को गुणा करना: इससे अधिक सरल क्या हो सकता है।

3) अब आप छोटा कर सकते हैं:

ठीक है अब सब ख़त्म हो गया। कुछ भी जटिल नहीं, है ना?

एक और उदाहरण:

अभिव्यक्ति को सरल कीजिये.

सबसे पहले, इसे स्वयं हल करने का प्रयास करें, और उसके बाद ही समाधान पर गौर करें।

सबसे पहले, आइए कार्यों का क्रम निर्धारित करें। सबसे पहले, आइए भिन्नों को कोष्ठकों में जोड़ें, ताकि दो भिन्नों के बजाय हमें एक भिन्न प्राप्त हो। फिर हम भिन्नों का विभाजन करेंगे। खैर, आइए परिणाम को अंतिम भिन्न के साथ जोड़ें। मैं चरणों को योजनाबद्ध तरीके से क्रमांकित करूंगा:

अब मैं आपको वर्तमान क्रिया को लाल रंग में रंगते हुए प्रक्रिया दिखाऊंगा:

अंत में, मैं आपको दो उपयोगी सुझाव दूंगा:

1. यदि समान हों तो उन्हें तुरंत लाया जाना चाहिए। हमारे देश में जब भी ऐसे मामले सामने आते हैं, तो उन्हें तुरंत सामने लाने की सलाह दी जाती है।

2. यही बात भिन्नों को कम करने पर भी लागू होती है: जैसे ही कम करने का अवसर मिले, इसका लाभ उठाया जाना चाहिए। अपवाद उन भिन्नों के लिए है जिन्हें आप जोड़ते या घटाते हैं: यदि अब उनके हर समान हैं, तो कमी को बाद के लिए छोड़ दिया जाना चाहिए।

यहां कुछ कार्य दिए गए हैं जिन्हें आपको स्वयं हल करना है:

और शुरुआत में ही क्या वादा किया गया था:

समाधान (संक्षिप्त):

यदि आपने कम से कम पहले तीन उदाहरणों का सामना कर लिया है, तो मान लें कि आपने विषय में महारत हासिल कर ली है।

अब सीखने पर!

भावों को परिवर्तित करना। सारांश और बुनियादी सूत्र

बुनियादी सरलीकरण संचालन:

• समान लाना: समान शब्दों को जोड़ने (घटाने) के लिए, आपको उनके गुणांक जोड़ने और अक्षर भाग निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है।
• गुणनखंडन:सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखना, उसे लागू करना, आदि।
• एक अंश कम करना: भिन्न के अंश और हर को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा या विभाजित किया जा सकता है, जिससे भिन्न का मान नहीं बदलता है।
  1) अंश और हर खंड करना
  2) यदि अंश और हर में सामान्य गुणनखंड हों, तो उन्हें काटा जा सकता है।

  महत्वपूर्ण: केवल गुणकों को ही कम किया जा सकता है!

• भिन्नों को जोड़ना और घटाना:
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• भिन्नों को गुणा और विभाजित करना:
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