माइनस प्लस प्लस चिन्ह नियम है. गुणन और जोड़ के नियमों पर हस्ताक्षर करें

निर्देश

गणितीय संक्रियाएँ चार प्रकार की होती हैं: जोड़, घटाव, गुणा और भाग। अत: उदाहरण चार प्रकार के होंगे। उदाहरण के भीतर नकारात्मक संख्याओं को हाइलाइट किया गया है ताकि गणितीय ऑपरेशन भ्रमित न हो। उदाहरण के लिए, 6-(-7), 5+(-9), -4*(-3) या 34:(-17)।

जोड़ना। यह क्रिया इस प्रकार दिख सकती है: 1) 3+(-6)=3-6=-3. क्रिया को प्रतिस्थापित करना: सबसे पहले, कोष्ठक खोले जाते हैं, "+" चिह्न को विपरीत में बदल दिया जाता है, फिर बड़ी (मॉड्यूलो) संख्या "6" से छोटी संख्या "3" को घटा दिया जाता है, जिसके बाद उत्तर सौंपा जाता है बड़ा चिह्न, अर्थात, "-"।
2) -3+6=3. इसे सिद्धांत ("6-3") के अनुसार या "बड़े में से छोटे को घटाएं और उत्तर में बड़े का चिह्न निर्दिष्ट करें" सिद्धांत के अनुसार लिखा जा सकता है।
3) -3+(-6)=-3-6=-9. खोलते समय, जोड़ की क्रिया को घटाव द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, फिर मॉड्यूल को सारांशित किया जाता है और परिणाम को ऋण चिह्न दिया जाता है।

घटाव.1) 8-(-5)=8+5=13. कोष्ठक खोले जाते हैं, क्रिया का चिह्न उलट दिया जाता है, और जोड़ का एक उदाहरण प्राप्त होता है।
2) -9-3=-12. उदाहरण के तत्व जोड़े जाते हैं और मिलते हैं सामान्य संकेत "-".
3) -10-(-5)=-10+5=-5. कोष्ठक खोलने पर, चिह्न फिर से "+" में बदल जाता है, फिर से अधिकउत्तर से छोटी संख्या घटा दी जाती है और बड़ी संख्या का चिन्ह हटा दिया जाता है।

गुणा और भाग: गुणा या भाग करते समय, संकेत ऑपरेशन को प्रभावित नहीं करता है। उत्तर के साथ संख्याओं को गुणा या विभाजित करते समय, एक "ऋण" चिह्न निर्दिष्ट किया जाता है; यदि संख्याओं में समान चिह्न होते हैं, तो परिणाम में हमेशा एक "प्लस" चिह्न होता है 1) -4*9=-36; -6:2=-3.
2)6*(-5)=-30; 45:(-5)=-9.
3)-7*(-8)=56; -44:(-11)=4.

स्रोत:

• विपक्ष के साथ तालिका

कैसे निर्णय करें उदाहरण? बच्चे अक्सर अपने माता-पिता के पास यह सवाल लेकर आते हैं कि क्या होमवर्क घर पर ही करना होगा। किसी बच्चे को बहु-अंकीय संख्याओं को जोड़ने और घटाने के उदाहरणों का समाधान सही ढंग से कैसे समझाएँ? आइए इसे जानने का प्रयास करें।

आपको चाहिये होगा

• 1. गणित पर पाठ्यपुस्तक।
• 2. कागज.
• 3. संभाल.

निर्देश

उदाहरण पढ़ें. ऐसा करने के लिए, प्रत्येक बहुमान को वर्गों में विभाजित करें। संख्या के अंत से शुरू करते हुए, एक बार में तीन अंक गिनें और एक बिंदु (23.867.567) लगाएं। आइए याद रखें कि संख्या के अंत से पहले तीन अंक इकाई के होते हैं, अगले तीन अंक वर्ग के होते हैं, फिर लाखों आते हैं। हमने संख्या पढ़ी: तेईस आठ सौ सड़सठ हजार सड़सठ।

एक उदाहरण लिखिए. कृपया ध्यान दें कि प्रत्येक अंक की इकाइयाँ एक दूसरे के ठीक नीचे लिखी गई हैं: इकाइयों के नीचे इकाइयाँ, दहाई के नीचे दहाई, सैकड़ों के नीचे सैकड़ों, आदि।

जोड़ या घटाव करना. इकाइयों के साथ क्रिया निष्पादित करना प्रारंभ करें. परिणाम को उस श्रेणी के अंतर्गत लिखें जिसके साथ आपने कार्रवाई की थी। यदि परिणाम संख्या() है, तो हम उत्तर के स्थान पर इकाइयाँ लिखते हैं, और अंक की इकाइयों में दहाई की संख्या जोड़ते हैं। यदि मिनटेंड में किसी अंक की इकाइयों की संख्या उपट्रेंड से कम है, तो हम अगले अंक की 10 इकाइयां लेते हैं और कार्रवाई करते हैं।

उत्तर पढ़ें.

विषय पर वीडियो

कृपया ध्यान

किसी उदाहरण का समाधान जांचने के लिए भी अपने बच्चे को कैलकुलेटर का उपयोग करने से रोकें। जोड़ का परीक्षण घटाव द्वारा किया जाता है, और घटाव का परीक्षण जोड़ द्वारा किया जाता है।

उपयोगी सलाह

यदि बच्चे को 1000 के भीतर लिखित गणना की तकनीक की अच्छी समझ है, तो समान तरीके से किए गए बहु-अंकीय संख्याओं के संचालन से कोई कठिनाई नहीं होगी।
अपने बच्चे को यह देखने के लिए प्रतियोगिता दें कि वह 10 मिनट में कितने उदाहरण हल कर सकता है। इस तरह के प्रशिक्षण से कम्प्यूटेशनल तकनीकों को स्वचालित करने में मदद मिलेगी।

गुणन चार बुनियादी गणितीय संक्रियाओं में से एक है जो कई अन्य कार्यों को रेखांकित करती है जटिल कार्य. वास्तव में, गुणन जोड़ की संक्रिया पर आधारित है: इसका ज्ञान आपको किसी भी उदाहरण को सही ढंग से हल करने की अनुमति देता है।

गुणन संक्रिया के सार को समझने के लिए यह ध्यान रखना आवश्यक है कि इसमें तीन मुख्य घटक शामिल हैं। उनमें से एक को पहला कारक कहा जाता है और यह एक संख्या है जो गुणन संक्रिया के अधीन है। इस कारण से, इसका एक दूसरा, कुछ हद तक कम सामान्य नाम है - "गुणक"। गुणन संक्रिया के दूसरे घटक को आमतौर पर दूसरा कारक कहा जाता है: यह उस संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जिससे गुणक को गुणा किया जाता है। इस प्रकार, इन दोनों घटकों को गुणक कहा जाता है, जो उनकी समान स्थिति पर जोर देता है, साथ ही इस तथ्य पर भी कि उन्हें बदला जा सकता है: गुणन का परिणाम नहीं बदलेगा। अंत में, गुणन संक्रिया का तीसरा घटक, जो उसके परिणाम से उत्पन्न होता है, उत्पाद कहलाता है।

गुणन संक्रिया का क्रम

गुणन संक्रिया का सार सरलता पर आधारित है अंकगणितीय संक्रिया- . वास्तव में, गुणन पहले कारक या गुणक का योग है, जो कई बार दूसरे कारक से मेल खाता है। उदाहरण के लिए, 8 को 4 से गुणा करने के लिए, आपको संख्या 8 को 4 बार जोड़ना होगा, जिसके परिणामस्वरूप 32 होगा। इस विधि का उपयोग गुणन संक्रिया के सार की समझ प्रदान करने के अलावा, प्राप्त परिणाम की जांच करने के लिए किया जा सकता है। वांछित उत्पाद की गणना करते समय। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि सत्यापन आवश्यक रूप से मानता है कि सारांश में शामिल शर्तें समान हैं और पहले कारक के अनुरूप हैं।

गुणन उदाहरणों को हल करना

इस प्रकार, गुणन करने की आवश्यकता से जुड़ी समस्या को हल करने के लिए, पहले कारकों की आवश्यक संख्या को एक निश्चित संख्या में जोड़ना पर्याप्त हो सकता है। यह विधि इस ऑपरेशन से संबंधित लगभग किसी भी गणना को करने के लिए सुविधाजनक हो सकती है। साथ ही, गणित में अक्सर ऐसे मानक होते हैं जिनमें मानक एकल-अंकीय पूर्णांक शामिल होते हैं। उनकी गणना को सुविधाजनक बनाने के लिए, तथाकथित गुणन बनाया गया, जिसमें शामिल है पूरी सूचीधनात्मक एकल-अंकीय पूर्णांकों का गुणनफल, अर्थात 1 से 9 तक की संख्याएँ। इस प्रकार, एक बार जब आप सीख लेते हैं, तो आप ऐसी संख्याओं के उपयोग के आधार पर गुणन उदाहरणों को हल करने की प्रक्रिया को महत्वपूर्ण रूप से सुविधाजनक बना सकते हैं। हालाँकि, अधिक जटिल विकल्पों के लिए इस गणितीय ऑपरेशन को स्वयं करना आवश्यक होगा।

विषय पर वीडियो

स्रोत:

• 2019 में गुणा

गुणन चार बुनियादी अंकगणितीय संक्रियाओं में से एक है, जिसका सामना अक्सर स्कूल और स्कूल दोनों में किया जाता है रोजमर्रा की जिंदगी. आप दो संख्याओं को शीघ्रता से कैसे गुणा कर सकते हैं?

सबसे जटिल गणितीय गणनाओं का आधार चार बुनियादी अंकगणितीय ऑपरेशन हैं: घटाव, जोड़, गुणा और भाग। इसके अलावा, अपनी स्वतंत्रता के बावजूद, बारीकी से जांच करने पर ये ऑपरेशन आपस में जुड़े हुए पाए जाते हैं। ऐसा संबंध मौजूद है, उदाहरण के लिए, जोड़ और गुणा के बीच।

संख्या गुणन संक्रिया

गुणन संक्रिया में तीन मुख्य तत्व शामिल होते हैं। इनमें से पहला, जिसे आमतौर पर पहला कारक या गुणक कहा जाता है, वह संख्या है जो गुणन संक्रिया के अधीन होगी। दूसरा, जिसे दूसरा गुणनखंड कहा जाता है, वह संख्या है जिससे पहला गुणनखंड गुणा किया जाएगा। अंत में, निष्पादित गुणन संक्रिया के परिणाम को अक्सर उत्पाद कहा जाता है।

यह याद रखना चाहिए कि गुणन संक्रिया का सार वास्तव में जोड़ पर आधारित है: इसे पूरा करने के लिए, पहले कारकों की एक निश्चित संख्या को एक साथ जोड़ना आवश्यक है, और इस योग के पदों की संख्या दूसरे के बराबर होनी चाहिए कारक। प्रश्न में दो कारकों के उत्पाद की गणना करने के अलावा, इस एल्गोरिदम का उपयोग परिणामी परिणाम की जांच करने के लिए भी किया जा सकता है।

गुणन समस्या को हल करने का एक उदाहरण

आइए गुणन समस्याओं के समाधान देखें। मान लीजिए, कार्य की शर्तों के अनुसार, दो संख्याओं के उत्पाद की गणना करना आवश्यक है, जिनमें से पहला कारक 8 है, और दूसरा 4 है। गुणन संक्रिया की परिभाषा के अनुसार, इसका वास्तव में मतलब है कि आप संख्या 8 को 4 बार जोड़ने की आवश्यकता है, परिणाम 32 है - यह प्रश्न में संख्याओं का गुणनफल है, अर्थात उनके गुणन का परिणाम है।

इसके अलावा, यह याद रखना चाहिए कि तथाकथित क्रमविनिमेय कानून गुणन संक्रिया पर लागू होता है, जो स्थापित करता है कि मूल उदाहरण में कारकों के स्थान बदलने से इसका परिणाम नहीं बदलेगा। इस प्रकार, आप संख्या 4 को 8 बार जोड़ सकते हैं, जिसके परिणामस्वरूप एक ही उत्पाद प्राप्त होता है - 32।

गुणन सारणी

यह स्पष्ट है कि इस प्रकार बड़ी संख्या में समान उदाहरणों को हल करना एक कठिन कार्य है। इस कार्य को सुविधाजनक बनाने के लिए, तथाकथित गुणन का आविष्कार किया गया था। वास्तव में, यह धनात्मक एकल-अंकीय पूर्णांकों के गुणनफलों की एक सूची है। सीधे शब्दों में कहें तो, एक गुणन तालिका 1 से 9 तक एक दूसरे से गुणा करने के परिणामों का एक सेट है। एक बार जब आप इस तालिका को सीख लेते हैं, तो आपको हर बार ऐसे उदाहरणों को हल करने के लिए गुणन का सहारा नहीं लेना पड़ेगा। प्रमुख संख्या, लेकिन बस इसके परिणाम को याद रखें।

विषय पर वीडियो

दो नकारात्मक एक सकारात्मक बनाते हैं- यह एक नियम है जो हमने स्कूल में सीखा और जीवन भर लागू किया। और हममें से किसकी दिलचस्पी इसमें क्यों थी? निःसंदेह, अनावश्यक प्रश्न पूछे बिना और मुद्दे के सार में गहराई से उतरे बिना इस कथन को याद रखना आसान है। अब पहले से ही पर्याप्त जानकारी मौजूद है जिसे "पचाने" की आवश्यकता है। लेकिन जो लोग अभी भी इस प्रश्न में रुचि रखते हैं, उनके लिए हम इस गणितीय घटना की व्याख्या देने का प्रयास करेंगे।

प्राचीन काल से, लोगों ने सकारात्मक प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग किया है: 1, 2, 3, 4, 5,... संख्याओं का उपयोग पशुधन, फसलों, दुश्मनों आदि की गिनती के लिए किया जाता था। दो धनात्मक संख्याओं को जोड़ने और गुणा करने पर, आपको हमेशा एक धनात्मक संख्या मिलती है; एक मात्रा को दूसरे से विभाजित करने पर, आपको हमेशा एक धनात्मक संख्या नहीं मिलती है प्राकृतिक संख्या- इस प्रकार भिन्नात्मक संख्याएँ प्रकट हुईं। घटाव के बारे में क्या? बचपन से, हम जानते हैं कि अधिक में कम जोड़ना और अधिक में से कम घटाना बेहतर है, और फिर हम ऋणात्मक संख्याओं का उपयोग नहीं करते हैं। इससे पता चलता है कि अगर मेरे पास 10 सेब हैं, तो मैं किसी को 10 या 10 से कम ही दे सकता हूँ। मेरे पास 13 सेब देने का कोई तरीका नहीं है, क्योंकि मेरे पास वे नहीं हैं। लम्बे समय तक ऋणात्मक संख्याओं की कोई आवश्यकता नहीं थी।

केवल 7वीं शताब्दी ई. से।कुछ गणना प्रणालियों में नकारात्मक संख्याओं का उपयोग सहायक मात्राओं के रूप में किया जाता था जिससे उत्तर में सकारात्मक संख्या प्राप्त करना संभव हो जाता था।

आइए एक उदाहरण देखें, 6x – 30 = 3x – 9. उत्तर खोजने के लिए, बाईं ओर अज्ञात वाले पदों को छोड़ना आवश्यक है, और शेष को दाईं ओर: 6x – 3x = 30 – 9, 3x = 21, x = 7 इस समीकरण को हल करते समय, हमारे पास कोई ऋणात्मक संख्या भी नहीं थी। हम अज्ञात वाले पदों को दाईं ओर और बिना अज्ञात वाले पदों को बाईं ओर ले जा सकते हैं: 9 - 30 = 3x - 6x, (-21) = (-3x)। बंटवारा करते समय ऋणात्मक संख्यानकारात्मक का हमें सकारात्मक उत्तर मिलता है: x = 7.

हम क्या देखते हैं?

ऋणात्मक संख्याओं के साथ काम करने से हमें वही उत्तर मिलना चाहिए जो केवल सकारात्मक संख्याओं के साथ काम करने पर मिलता है। हमें अब कार्यों की व्यावहारिक असंभवता और सार्थकता के बारे में सोचने की ज़रूरत नहीं है - वे समीकरण को केवल सकारात्मक संख्याओं के रूप में कम किए बिना, समस्या को बहुत तेज़ी से हल करने में हमारी सहायता करते हैं। हमारे उदाहरण में, हमने जटिल गणनाओं का उपयोग नहीं किया, लेकिन कब बड़ी मात्रा मेंऋणात्मक संख्याओं के साथ गणनाएँ जोड़ने से हमारा काम आसान हो सकता है।

समय के साथ, लंबे प्रयोगों और गणनाओं के बाद, उन नियमों की पहचान करना संभव हो गया जो सभी संख्याओं और उन पर संचालन को नियंत्रित करते हैं (गणित में उन्हें स्वयंसिद्ध कहा जाता है)। यहीं से यह आया है एक सिद्धांत जो बताता है कि जब दो नकारात्मक संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो हमें एक सकारात्मक संख्या प्राप्त होती है।

ब्लॉग.साइट, सामग्री को पूर्ण या आंशिक रूप से कॉपी करते समय, मूल स्रोत के लिंक की आवश्यकता होती है।

माइनस गुणा माइनस प्लस क्यों देता है?

• • (1 छड़ी) - (2 छड़ें) = ((1 छड़ी)+(2 छड़ें))= 2 छड़ें (और दो छड़ें बराबर हैं + क्योंकि एक खंभे पर 2 छड़ें हैं)))

माइनस बाय माइनस एक प्लस देता है क्योंकि यह है स्कूल नियम. पर इस समयमेरी राय में, इसका कोई सटीक उत्तर नहीं है कि ऐसा क्यों है। यह नियम है और यह कई वर्षों से चला आ रहा है। आपको बस यह याद रखना है कि ज़ुल्फ़ के बदले ज़ुल्फ़ कपड़े की सूई देता है।

से स्कूल पाठ्यक्रमगणित में, हम जानते हैं कि माइनस गुणा माइनस प्लस देता है। इस नियम की एक सरलीकृत, विनोदी व्याख्या भी है: एक ऋण एक पंक्ति है, दो ऋण दो पंक्तियाँ हैं, एक प्लस में दो पंक्तियाँ होती हैं। इसलिए, माइनस बाय माइनस एक प्लस चिह्न देता है।

मैं इस तरह सोचता हूं: माइनस एक स्टिक है - एक और माइनस स्टिक जोड़ें - फिर आपको दो स्टिक मिलती हैं, और यदि आप उन्हें क्रॉसवाइज जोड़ते हैं, तो आपको + चिह्न मिलता है, प्रश्न पर मेरी राय के बारे में मैंने यही कहा: माइनस बाय माइनस प्लस .

माइनस के बदले माइनस हमेशा प्लस नहीं देता, यहां तक ​​कि गणित में भी। लेकिन मूलतः मैं इस कथन की तुलना गणित से करता हूँ, जहाँ यह सबसे अधिक बार होता है। वे यह भी कहते हैं कि वे इसे क्राउबार से नष्ट कर देते हैं - मैं इसे किसी तरह नुकसान से भी जोड़ता हूं।

कल्पना कीजिए कि आपने 100 रूबल उधार लिए। अब आपका स्कोर: -100 रूबल। फिर तुमने यह कर्ज चुकाया. तो यह पता चलता है कि आपने अपना कर्ज़ (-100) उतनी ही राशि कम कर लिया है। हमें मिलता है: -100-(-100)=0

ऋण चिह्न इसके विपरीत को इंगित करता है: 5 की विपरीत संख्या -5 है। लेकिन -(-5) विपरीत की विपरीत संख्या है, अर्थात। 5.

जैसा कि मजाक में है:

पहला - सड़क के विपरीत दिशा कहाँ है?

दूसरा - दूसरी तरफ

पहला - और उन्होंने कहा कि इस पर...

आइए दो कटोरे वाले एक पैमाने की कल्पना करें। दाएँ कटोरे पर हमेशा प्लस चिह्न होता है, बाएँ कटोरे पर हमेशा ऋण चिह्न होता है। अब, धन चिह्न वाली संख्या से गुणा करने का मतलब यह होगा कि यह उसी कटोरे में होता है, और ऋण चिह्न वाली संख्या से गुणा करने का मतलब यह होगा कि परिणाम दूसरे कटोरे में ले जाया जाता है। उदाहरण. हम 5 सेबों को 2 से गुणा करते हैं। हमें दाहिने कटोरे पर 10 सेब मिलते हैं। हम - 5 सेब को 2 से गुणा करते हैं, और बाएं कटोरे पर 10 सेब प्राप्त करते हैं, यानी -10। अब -5 को -2 से गुणा करें। इसका मतलब यह है कि बाएं कटोरे के 5 सेबों को 2 से गुणा किया गया और दाएं कटोरे में स्थानांतरित कर दिया गया, यानी उत्तर 10 है। दिलचस्प बात यह है कि प्लस को माइनस से गुणा करने पर, यानी दाएं कटोरे के सेबों को नकारात्मक परिणाम मिलता है। , यानी सेब बाईं ओर चलते हैं। और बाएं सेब के माइनस को प्लस से गुणा करने पर वे बाएं कटोरे में माइनस में रह जाते हैं।

मुझे लगता है कि इसे इस प्रकार प्रदर्शित किया जा सकता है। यदि आप पाँच टोकरियों में पाँच सेब रखें, तो कुल 25 सेब होंगे। टोकरियों में. और माइनस पांच सेब का मतलब है कि मैंने उनकी रिपोर्ट नहीं की, बल्कि उन्हें पांच टोकरियों में से प्रत्येक से निकाल लिया। और परिणाम वही 25 सेब निकले, परन्तु टोकरियों में नहीं। इसलिए, टोकरियाँ माइनस में चली जाती हैं।

इसे निम्नलिखित उदाहरण से भी पूरी तरह प्रदर्शित किया जा सकता है। अगर आपके घर में आग लग जाए तो यह एक माइनस है। लेकिन अगर आप भी बाथटब में नल बंद करना भूल गए हैं और आपके पास बाढ़ आ गई है तो यह भी एक माइनस है। लेकिन ये अलग है. लेकिन अगर यह सब एक ही समय में हुआ, तो माइनस के लिए माइनस प्लस देता है, और आपके अपार्टमेंट के पास जीवित रहने का मौका है।

गणित शिक्षक की बात सुनकर, अधिकांश छात्र सामग्री को एक सिद्धांत के रूप में देखते हैं। साथ ही, कुछ लोग इसकी तह तक जाने की कोशिश करते हैं और यह पता लगाने की कोशिश करते हैं कि "प्लस" से "माइनस" क्यों "माइनस" चिन्ह देता है, और दो नकारात्मक संख्याओं को गुणा करने पर एक सकारात्मक परिणाम आता है।

गणित के नियम

अधिकांश वयस्क खुद को या अपने बच्चों को यह समझाने में असमर्थ हैं कि ऐसा क्यों होता है। उन्होंने स्कूल में इस सामग्री पर दृढ़ता से महारत हासिल की, लेकिन यह पता लगाने की कोशिश भी नहीं की कि ऐसे नियम कहां से आए। परन्तु सफलता नहीं मिली। अक्सर, आधुनिक बच्चे इतने भोले-भाले नहीं होते हैं; उन्हें चीजों की तह तक जाने और यह समझने की ज़रूरत होती है कि, "प्लस" और "माइनस" क्यों "माइनस" देते हैं। और कभी-कभी टॉमबॉय विशेष रूप से पूछते हैं पेचीदा सवाल, उस क्षण का आनंद लेने के लिए जब वयस्क स्पष्ट उत्तर नहीं दे सकते। और अगर कोई युवा शिक्षक मुसीबत में पड़ जाए तो यह वास्तव में एक आपदा है...

वैसे बता दें कि ऊपर बताया गया नियम गुणा और भाग दोनों के लिए मान्य है. एक ऋणात्मक और एक धनात्मक संख्या का गुणनफल केवल "ऋण" देगा। अगर हम बात कर रहे हैं"-" चिह्न के साथ लगभग दो अंक, परिणाम एक सकारात्मक संख्या होगी। विभाजन के लिए भी यही बात लागू होती है. यदि संख्याओं में से एक ऋणात्मक है, तो भागफल में "-" चिन्ह भी होगा।

गणित के इस नियम की सत्यता को समझाने के लिए वलय के अभिगृहीतों का सूत्रीकरण करना आवश्यक है। लेकिन पहले आपको यह समझने की जरूरत है कि यह क्या है। गणित में, रिंग एक ऐसा सेट है जिसमें दो तत्वों पर दो ऑपरेशन शामिल होते हैं। लेकिन इसे एक उदाहरण से समझना बेहतर होगा.

वलय स्वयंसिद्ध

कई गणितीय नियम हैं.

• इनमें से पहला क्रमविनिमेय है, इसके अनुसार, C + V = V + C.
• दूसरे को साहचर्य (V + C) + D = V + (C + D) कहा जाता है।

गुणन (V x C) x D = V x (C x D) भी उनका पालन करता है।

किसी ने भी उस नियम को रद्द नहीं किया है जिसके अनुसार कोष्ठक खोले जाते हैं (V + C) x D = V x D + C x D यह भी सत्य है कि C x (V + D) = C x V + C x D;

इसके अलावा, यह स्थापित किया गया है कि एक विशेष, अतिरिक्त-तटस्थ तत्व को रिंग में पेश किया जा सकता है, जब उपयोग किया जाता है तो निम्नलिखित सत्य होगा: सी + 0 = सी। इसके अलावा, प्रत्येक सी के लिए एक विपरीत तत्व है, जो कर सकता है (-C) के रूप में दर्शाया जाएगा। इस स्थिति में, C + (-C) = 0.

ऋणात्मक संख्याओं के लिए अभिगृहीतों की व्युत्पत्ति

उपरोक्त कथनों को स्वीकार करने के बाद, हम इस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं: "प्लस और माइनस क्या संकेत देते हैं?" ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के बारे में सिद्धांत को जानने के बाद, यह पुष्टि करना आवश्यक है कि वास्तव में (-C) x V = -(C x V)। और यह भी कि निम्नलिखित समानता सत्य है: (-(-C)) = C.

ऐसा करने के लिए, आपको पहले यह साबित करना होगा कि प्रत्येक तत्व का उसके विपरीत केवल एक "भाई" है। प्रमाण के निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें. आइए कल्पना करने का प्रयास करें कि C के लिए दो संख्याएँ विपरीत हैं - V और D. इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि C + V = 0 और C + D = 0, यानी C + V = 0 = C + D. के नियमों को याद रखना रूपान्तरण और संख्या 0 के गुणों के बारे में, हम सभी तीन संख्याओं के योग पर विचार कर सकते हैं: सी, वी और डी। आइए वी का मान जानने का प्रयास करें। यह तर्कसंगत है कि वी = वी + 0 = वी + (सी) + डी) = वी + सी + डी, क्योंकि सी + डी का मान, जैसा कि ऊपर माना गया था, 0 के बराबर है। इसका मतलब है वी = वी + सी + डी।

D का मान इसी प्रकार निकाला जाता है: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. इससे यह स्पष्ट हो जाता है कि V = D.

यह समझने के लिए कि क्यों "प्लस" से "माइनस" अभी भी "माइनस" देता है, आपको निम्नलिखित को समझने की आवश्यकता है। तो, तत्व (-C) के लिए, C और (-(-C)) विपरीत हैं, अर्थात वे एक दूसरे के बराबर हैं।

तब यह स्पष्ट है कि 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि C x V, (-)C x V के विपरीत है, जिसका अर्थ है (- C) x V = -(C x V).

पूर्ण गणितीय कठोरता के लिए, यह पुष्टि करना भी आवश्यक है कि किसी भी तत्व के लिए 0 x V = 0 है। यदि आप तर्क का पालन करते हैं, तो 0 x V = (0 + 0) x V = 0 x V + 0 x V। इसका मतलब है कि उत्पाद 0 x V जोड़ने से स्थापित मात्रा में किसी भी तरह से बदलाव नहीं होता है। आख़िरकार, यह उत्पाद शून्य के बराबर है।

इन सभी सिद्धांतों को जानकर, आप न केवल यह अनुमान लगा सकते हैं कि "प्लस" और "माइनस" कितना देते हैं, बल्कि यह भी पता लगा सकते हैं कि ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने पर क्या होता है।

दो संख्याओं को "-" चिह्न से गुणा और विभाजित करना

यदि आप गणितीय बारीकियों में गहराई तक नहीं जाते हैं, तो आप और प्रयास कर सकते हैं सरल तरीके सेऋणात्मक संख्याओं से निपटने के नियम समझाइए।

आइए मान लें कि C - (-V) = D, इसके आधार पर, C = D + (-V), यानी, C = D - V. हम V को स्थानांतरित करते हैं और हमें वह C + V = D मिलता है। सी + वी = सी - (-वी)। यह उदाहरण बताता है कि क्यों एक अभिव्यक्ति में जहां एक पंक्ति में दो "माइनस" हैं, उल्लिखित संकेतों को "प्लस" में बदल दिया जाना चाहिए। अब गुणा पर नजर डालते हैं.

(-C) x (-V) = D, आप अभिव्यक्ति में दो समान उत्पादों को जोड़ और घटा सकते हैं, जिससे इसका मान नहीं बदलेगा: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x वी) = डी.

कोष्ठक के साथ काम करने के नियमों को याद रखने पर, हमें मिलता है:

1) (-सी) एक्स (-वी) + (सी एक्स वी) + (-सी) एक्स वी = डी;

2) (-सी) एक्स ((-वी) + वी) + सी एक्स वी = डी;

3) (-सी) एक्स 0 + सी एक्स वी = डी;

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि C x V = (-C) x (-V).

इसी प्रकार, यह सिद्ध किया जा सकता है कि दो ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने पर एक धनात्मक संख्या प्राप्त होगी।

सामान्य गणितीय नियम

बेशक, यह स्पष्टीकरण स्कूली बच्चों के लिए उपयुक्त नहीं है कनिष्ठ वर्गजो अभी-अभी अमूर्त ऋणात्मक संख्याएँ सीखना शुरू कर रहे हैं। उनके लिए "लुकिंग ग्लास" शब्द का उपयोग करके, जिससे वे परिचित हैं, दृश्यमान वस्तुओं पर व्याख्या करना बेहतर है। उदाहरण के लिए, आविष्कृत लेकिन अस्तित्वहीन खिलौने वहां स्थित हैं। उन्हें "-" चिह्न के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है। दो दर्पण वस्तुओं का गुणन उन्हें दूसरी दुनिया में स्थानांतरित कर देता है, जो वास्तविक के बराबर होता है, अर्थात, परिणामस्वरूप हमारे पास होता है सकारात्मक संख्या. लेकिन एक अमूर्त ऋणात्मक संख्या को एक धनात्मक संख्या से गुणा करने पर केवल वही परिणाम मिलता है जो सभी के लिए परिचित होता है। आख़िरकार, "प्लस" को "माइनस" से गुणा करने पर "माइनस" प्राप्त होता है। सच है, बच्चे वास्तव में सभी गणितीय बारीकियों को समझने की कोशिश नहीं करते हैं।

हालाँकि, आइए इसका सामना करें, कई लोगों के लिए, यहां तक ​​​​कि इसके साथ भी उच्च शिक्षाकई नियम रहस्य बने हुए हैं. शिक्षक उन्हें जो पढ़ाते हैं उसे हर कोई हल्के में लेता है, बिना किसी कठिनाई के उन सभी जटिलताओं को समझ लेता है जिन्हें गणित छुपाता है। "माइनस" के लिए "माइनस" "प्लस" देता है - बिना किसी अपवाद के हर कोई यह जानता है। यह पूर्ण और भिन्नात्मक दोनों संख्याओं के लिए सत्य है।

गणित शिक्षक की बात सुनकर, अधिकांश छात्र सामग्री को एक सिद्धांत के रूप में देखते हैं। साथ ही, कुछ लोग इसकी तह तक जाने की कोशिश करते हैं और यह पता लगाने की कोशिश करते हैं कि "प्लस" से "माइनस" क्यों "माइनस" चिन्ह देता है, और दो नकारात्मक संख्याओं को गुणा करने पर एक सकारात्मक परिणाम आता है।

गणित के नियम

अधिकांश वयस्क स्वयं या अपने बच्चों को यह समझाने में असमर्थ हैं कि ऐसा क्यों होता है। उन्होंने स्कूल में इस सामग्री पर दृढ़ता से महारत हासिल की, लेकिन यह पता लगाने की कोशिश भी नहीं की कि ऐसे नियम कहां से आए। परन्तु सफलता नहीं मिली। अक्सर, आधुनिक बच्चे इतने भोले-भाले नहीं होते हैं; उन्हें चीजों की तह तक जाने और यह समझने की ज़रूरत होती है कि, "प्लस" और "माइनस" क्यों "माइनस" देते हैं। और कभी-कभी टॉमबॉय उस क्षण का आनंद लेने के लिए जानबूझकर पेचीदा प्रश्न पूछते हैं जब वयस्क कोई समझदार उत्तर नहीं दे पाते हैं। और अगर कोई युवा शिक्षक मुसीबत में पड़ जाए तो यह वास्तव में एक आपदा है...

वैसे बता दें कि ऊपर बताया गया नियम गुणा और भाग दोनों के लिए मान्य है. एक ऋणात्मक और एक धनात्मक संख्या का गुणनफल केवल "ऋण" देगा यदि हम "-" चिह्न के साथ दो अंकों के बारे में बात कर रहे हैं, तो परिणाम एक धनात्मक संख्या होगी संख्याएँ ऋणात्मक हैं, तो भागफल में "-" चिह्न भी होगा।

गणित के इस नियम की सत्यता को समझाने के लिए वलय के अभिगृहीतों का सूत्रीकरण करना आवश्यक है। लेकिन पहले आपको यह समझने की जरूरत है कि यह क्या है। गणित में, रिंग एक ऐसा सेट है जिसमें दो तत्वों पर दो ऑपरेशन शामिल होते हैं। लेकिन इसे एक उदाहरण से समझना बेहतर होगा.

वलय स्वयंसिद्ध

कई गणितीय नियम हैं.

• इनमें से पहला क्रमविनिमेय है, इसके अनुसार, C + V = V + C.
• दूसरे को साहचर्य (V + C) + D = V + (C + D) कहा जाता है।

गुणन (V x C) x D = V x (C x D) भी उनका पालन करता है।

किसी ने भी उस नियम को रद्द नहीं किया है जिसके अनुसार कोष्ठक खोले जाते हैं (V + C) x D = V x D + C x D यह भी सत्य है कि C x (V + D) = C x V + C x D;

इसके अलावा, यह स्थापित किया गया है कि एक विशेष, अतिरिक्त-तटस्थ तत्व को रिंग में पेश किया जा सकता है, जब उपयोग किया जाता है तो निम्नलिखित सत्य होगा: सी + 0 = सी। इसके अलावा, प्रत्येक सी के लिए एक विपरीत तत्व है, जो कर सकता है (-C) के रूप में दर्शाया जाएगा। इस स्थिति में, C + (-C) = 0.

ऋणात्मक संख्याओं के लिए अभिगृहीतों की व्युत्पत्ति

उपरोक्त कथनों को स्वीकार करने के बाद, हम इस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं: "प्लस और माइनस क्या संकेत देते हैं?" ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के बारे में सिद्धांत को जानने के बाद, यह पुष्टि करना आवश्यक है कि वास्तव में (-C) x V = -(C x V)। और यह भी कि निम्नलिखित समानता सत्य है: (-(-C)) = C.

ऐसा करने के लिए, आपको पहले यह साबित करना होगा कि प्रत्येक तत्व का केवल एक विपरीत "भाई" है। प्रमाण के निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें. आइए कल्पना करने का प्रयास करें कि C के लिए दो संख्याएँ विपरीत हैं - V और D. इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि C + V = 0 और C + D = 0, यानी C + V = 0 = C + D. के नियमों को याद रखना रूपान्तरण और संख्या 0 के गुणों के बारे में, हम सभी तीन संख्याओं के योग पर विचार कर सकते हैं: सी, वी और डी। आइए वी का मान जानने का प्रयास करें। यह तर्कसंगत है कि वी = वी + 0 = वी + (सी) + डी) = वी + सी + डी, क्योंकि सी + डी का मान, जैसा कि ऊपर माना गया था, 0 के बराबर है। इसका मतलब है वी = वी + सी + डी।

D का मान इसी प्रकार निकाला जाता है: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. इससे यह स्पष्ट हो जाता है कि V = D.

यह समझने के लिए कि क्यों "प्लस" से "माइनस" अभी भी "माइनस" देता है, आपको निम्नलिखित को समझने की आवश्यकता है। तो, तत्व (-C) के लिए, C और (-(-C)) विपरीत हैं, अर्थात वे एक दूसरे के बराबर हैं।

तब यह स्पष्ट है कि 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि C x V, (-)C x V के विपरीत है, जिसका अर्थ है (- C) x V = -(C x V).

पूर्ण गणितीय कठोरता के लिए, यह पुष्टि करना भी आवश्यक है कि किसी भी तत्व के लिए 0 x V = 0 है। यदि आप तर्क का पालन करते हैं, तो 0 x V = (0 + 0) x V = 0 x V + 0 x V। इसका मतलब है कि उत्पाद 0 x V जोड़ने से स्थापित मात्रा में किसी भी तरह से बदलाव नहीं होता है। आख़िरकार, यह उत्पाद शून्य के बराबर है।

इन सभी सिद्धांतों को जानकर, आप न केवल यह अनुमान लगा सकते हैं कि "प्लस" और "माइनस" कितना देते हैं, बल्कि यह भी पता लगा सकते हैं कि ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने पर क्या होता है।

दो संख्याओं को "-" चिह्न से गुणा और विभाजित करना

यदि आप गणितीय बारीकियों में गहराई से नहीं जाते हैं, तो आप ऋणात्मक संख्याओं के साथ संचालन के नियमों को सरल तरीके से समझाने का प्रयास कर सकते हैं।

आइए मान लें कि C - (-V) = D, इसके आधार पर, C = D + (-V), यानी, C = D - V. हम V को स्थानांतरित करते हैं और हमें वह C + V = D मिलता है। सी + वी = सी - (-वी)। यह उदाहरण बताता है कि क्यों एक अभिव्यक्ति में जहां एक पंक्ति में दो "माइनस" हैं, उल्लिखित संकेतों को "प्लस" में बदल दिया जाना चाहिए। अब गुणा पर नजर डालते हैं.

(-C) x (-V) = D, आप अभिव्यक्ति में दो समान उत्पादों को जोड़ और घटा सकते हैं, जिससे इसका मान नहीं बदलेगा: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x वी) = डी.

कोष्ठक के साथ काम करने के नियमों को याद रखने पर, हमें मिलता है:

1) (-सी) एक्स (-वी) + (सी एक्स वी) + (-सी) एक्स वी = डी;

2) (-सी) एक्स ((-वी) + वी) + सी एक्स वी = डी;

3) (-सी) एक्स 0 + सी एक्स वी = डी;

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि C x V = (-C) x (-V).

इसी प्रकार, यह सिद्ध किया जा सकता है कि दो ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने पर एक धनात्मक संख्या प्राप्त होगी।

सामान्य गणितीय नियम

बेशक, यह स्पष्टीकरण प्राथमिक विद्यालय के छात्रों के लिए उपयुक्त नहीं है जो अभी-अभी अमूर्त नकारात्मक संख्याएँ सीखना शुरू कर रहे हैं। उनके लिए दृश्यमान वस्तुओं पर व्याख्या करना बेहतर है, "लुकिंग ग्लास" शब्द का उपयोग करके जिससे वे परिचित हैं। उदाहरण के लिए, आविष्कृत लेकिन अस्तित्वहीन खिलौने वहां स्थित हैं। उन्हें "-" चिह्न के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है। दो दर्पण वस्तुओं को गुणा करने से उन्हें दूसरी दुनिया में स्थानांतरित किया जाता है, जो वास्तविक के बराबर होता है, यानी, परिणामस्वरूप हमारे पास सकारात्मक संख्याएं होती हैं। लेकिन एक अमूर्त ऋणात्मक संख्या को एक धनात्मक संख्या से गुणा करने पर केवल वही परिणाम मिलता है जो सभी के लिए परिचित होता है। आख़िरकार, "प्लस" को "माइनस" से गुणा करने पर "माइनस" प्राप्त होता है। सच है, बच्चे वास्तव में सभी गणितीय बारीकियों को समझने की कोशिश नहीं करते हैं।

हालाँकि, सच्चाई का सामना करने के लिए, कई लोगों के लिए, यहाँ तक कि उच्च शिक्षा प्राप्त करने के बावजूद, कई नियम एक रहस्य बने हुए हैं। शिक्षक उन्हें जो पढ़ाते हैं उसे हर कोई हल्के में लेता है, बिना किसी कठिनाई के उन सभी जटिलताओं को समझ लेता है जिन्हें गणित छुपाता है। "माइनस" के लिए "माइनस" "प्लस" देता है - बिना किसी अपवाद के हर कोई यह जानता है। यह पूर्ण और भिन्नात्मक दोनों संख्याओं के लिए सत्य है।

ध्यान दें, केवल आज!

• प्रोग्रामिंग में सॉर्टिंग के तरीके: बबल सॉर्ट