अक्षर भावों का संक्षिप्तीकरण. शाब्दिक अभिव्यक्तियाँ

एक बीजीय व्यंजक जिसमें जोड़, घटाव और गुणा की संक्रियाओं के साथ-साथ अक्षर व्यंजकों में विभाजन का भी प्रयोग किया जाता है, भिन्नात्मक बीजगणितीय व्यंजक कहलाता है। उदाहरण के लिए, ये अभिव्यक्तियाँ हैं

हम बीजगणितीय भिन्न कहते हैं बीजगणितीय अभिव्यक्ति, जिसमें दो पूर्णांक बीजगणितीय अभिव्यक्तियों (उदाहरण के लिए, एकपदी या बहुपद) के विभाजन के भागफल का रूप होता है। उदाहरण के लिए, ये अभिव्यक्तियाँ हैं

भावों का तीसरा भाग)।

भिन्नात्मक बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के समान परिवर्तनों का अधिकांश भाग उन्हें रूप में प्रस्तुत करने के लिए होता है बीजगणितीय अंश. उभयनिष्ठ हर ज्ञात करने के लिए, भिन्नों के हरों के गुणनखंडन का उपयोग किया जाता है - उनके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए पदों का। बीजगणितीय अंशों को कम करते समय, अभिव्यक्तियों की सख्त पहचान का उल्लंघन किया जा सकता है: उन मात्राओं के मूल्यों को बाहर करना आवश्यक है जिन पर कारक जिसके द्वारा कमी की जाती है वह शून्य हो जाता है।

आइए हम भिन्नात्मक बीजीय व्यंजकों के समान परिवर्तनों के उदाहरण दें।

उदाहरण 1: एक व्यंजक को सरल बनाएं

सभी पदों को एक सामान्य हर में घटाया जा सकता है (अंतिम पद के हर में चिह्न और उसके सामने के चिह्न को बदलना सुविधाजनक है):

इन मानों को छोड़कर सभी मानों के लिए हमारी अभिव्यक्ति एक के बराबर है; यह अपरिभाषित है और अंश को कम करना अवैध है)।

उदाहरण 2. व्यंजक को बीजगणितीय भिन्न के रूप में निरूपित करें

समाधान। अभिव्यक्ति को एक सामान्य हर के रूप में लिया जा सकता है। हम क्रमिक रूप से पाते हैं:

अभ्यास

1. निर्दिष्ट पैरामीटर मानों के लिए बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के मान ज्ञात करें:

2. गुणनखंड करना।

बीजीय व्यंजकों को सरल बनाना इनमें से एक है प्रमुख बिंदुबीजगणित सीखना और सभी गणितज्ञों के लिए एक अत्यंत उपयोगी कौशल। सरलीकरण आपको एक जटिल या लंबी अभिव्यक्ति को एक सरल अभिव्यक्ति में बदलने की अनुमति देता है जिसके साथ काम करना आसान है। सरलीकरण के बुनियादी कौशल उन लोगों के लिए भी अच्छे हैं जो गणित के प्रति उत्साही नहीं हैं। कई का अवलोकन करके सरल नियम, आप बिना किसी विशेष गणितीय ज्ञान के कई सबसे सामान्य प्रकार के बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को सरल बना सकते हैं।

कदम

महत्वपूर्ण परिभाषाएँ

1. समान सदस्य.ये समान क्रम के चर वाले सदस्य हैं, समान चर वाले सदस्य हैं, या मुक्त सदस्य हैं (वे सदस्य जिनमें कोई चर नहीं है)। दूसरे शब्दों में, समान शब्दों में एक ही चर को एक ही डिग्री तक शामिल किया जाता है, कई समान चर शामिल होते हैं, या एक चर को बिल्कुल भी शामिल नहीं किया जाता है। अभिव्यक्ति में शब्दों का क्रम कोई मायने नहीं रखता.

   • उदाहरण के लिए, 3x 2 और 4x 2 समान पद हैं क्योंकि उनमें दूसरे क्रम का (दूसरी घात तक) चर "x" होता है। हालाँकि, x और x2 समान पद नहीं हैं, क्योंकि उनमें अलग-अलग क्रम (पहले और दूसरे) के चर "x" शामिल हैं। इसी तरह, -3yx और 5xz समान पद नहीं हैं क्योंकि उनमें अलग-अलग चर होते हैं।

2. गुणनखंडीकरण।यह उन संख्याओं को ढूँढ़ रहा है जिनका गुणनफल मूल संख्या की ओर ले जाता है। किसी भी मूल संख्या के कई गुणनखंड हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 12 को कारकों की निम्नलिखित श्रृंखला में विभाजित किया जा सकता है: 1 × 12, 2 × 6 और 3 × 4, इसलिए हम कह सकते हैं कि संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 6 और 12 कारक हैं संख्या 12. गुणनखंड गुणनखंड के समान होते हैं, अर्थात वे संख्याएँ जिनसे मूल संख्या विभाजित होती है।

   • उदाहरण के लिए, यदि आप संख्या 20 का गुणनखंड करना चाहते हैं, तो इसे इस प्रकार लिखें: 4×5.
   • ध्यान दें कि फैक्टरिंग करते समय, वेरिएबल को ध्यान में रखा जाता है। उदाहरण के लिए, 20x = 4(5x).
   • अभाज्य संख्याओं का गुणनखंड नहीं किया जा सकता क्योंकि वे केवल स्वयं और 1 से विभाज्य होती हैं।

3. गलतियों से बचने के लिए संचालन के क्रम को याद रखें और उसका पालन करें।

   • कोष्टक
   • डिग्री
   • गुणा
   • विभाजन
   • जोड़ना
   • घटाव

   ऐसे ही सदस्य ला रहे हैं

   1. अभिव्यक्ति लिखिए.सरल बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ (जिनमें भिन्न, मूल आदि नहीं हैं) को कुछ ही चरणों में हल (सरलीकृत) किया जा सकता है।

      • उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति को सरल बनाएं 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. समान पदों को परिभाषित करें (समान चर वाले पद, समान चर वाले पद, या मुक्त पद)।

      • इस अभिव्यक्ति में समान शब्द खोजें। पद 2x और 4x में समान क्रम (प्रथम) का एक चर होता है। साथ ही, 1 और -3 स्वतंत्र पद हैं (इनमें कोई चर नहीं है)। इस प्रकार, इस अभिव्यक्ति में शर्तें 2x और 4xसमान हैं, और सदस्य हैं 1 और -3भी समान हैं.

   3. समान पद दीजिए।इसका अर्थ है उन्हें जोड़ना या घटाना और व्यंजक को सरल बनाना।

      • 2x + 4x = 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. दिए गए पदों को ध्यान में रखते हुए व्यंजक को पुनः लिखिए।आपको कम शब्दों में सरल अभिव्यक्ति मिलेगी। नई अभिव्यक्ति मूल अभिव्यक्ति के बराबर है.

      • हमारे उदाहरण में: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, यानी, मूल अभिव्यक्ति सरल है और उसके साथ काम करना आसान है।

   5. समान सदस्यों को लाते समय संचालन के क्रम का पालन करें।हमारे उदाहरण में, समान शर्तें प्रदान करना आसान था। हालाँकि, जटिल अभिव्यक्तियों के मामले में जिनमें पद कोष्ठक में संलग्न हैं और भिन्न और मूल मौजूद हैं, ऐसे शब्दों को लाना इतना आसान नहीं है। इन मामलों में, संचालन के क्रम का पालन करें।

      • उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x पर विचार करें। यहां तुरंत 3x और 2x को समान पदों के रूप में परिभाषित करना और उन्हें देना एक गलती होगी, क्योंकि पहले कोष्ठक खोलना आवश्यक है। इसलिए उनके आदेश के अनुसार ही कार्य करें।
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. अब, जब अभिव्यक्ति में केवल जोड़ और घटाव संक्रियाएँ हों, तो आप समान पद ला सकते हैं।
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • एक्स 2 + 12एक्स + 3

   गुणक को कोष्ठक से बाहर निकालना

   1. व्यंजक के सभी गुणांकों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी) ज्ञात कीजिए।जीसीडी है सबसे बड़ी संख्या, जिससे व्यंजक के सभी गुणांकों को विभाजित किया जाता है।

      • उदाहरण के लिए, समीकरण 9x 2 + 27x - 3 पर विचार करें। इस मामले में, जीसीडी = 3, क्योंकि इस अभिव्यक्ति का कोई भी गुणांक 3 से विभाज्य है।

   2. अभिव्यक्ति के प्रत्येक पद को gcd से विभाजित करें।परिणामी शब्दों में मूल अभिव्यक्ति की तुलना में छोटे गुणांक होंगे।

      • हमारे उदाहरण में, अभिव्यक्ति के प्रत्येक पद को 3 से विभाजित करें।
        • 9x 2 /3 = 3x 2
        • 27x/3 = 9x
        • -3/3 = -1
        • परिणाम एक अभिव्यक्ति थी 3x 2 + 9x - 1. यह मूल अभिव्यक्ति के बराबर नहीं है.

   3. मूल अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिखें उत्पाद के बराबरपरिणामी अभिव्यक्ति का जीसीडी।अर्थात्, परिणामी अभिव्यक्ति को कोष्ठक में संलग्न करें, और जीसीडी को कोष्ठक से बाहर निकालें।

      • हमारे उदाहरण में: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखकर भिन्नात्मक व्यंजकों को सरल बनाना।गुणक को कोष्ठक से बाहर क्यों रखा जाए, जैसा कि पहले किया गया था? फिर, यह सीखना कि जटिल अभिव्यक्तियों, जैसे कि भिन्नात्मक अभिव्यक्तियाँ, को कैसे सरल बनाया जाए। इस मामले में, गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखने से भिन्न (हर से) से छुटकारा पाने में मदद मिल सकती है।

      • उदाहरण के लिए, भिन्नात्मक व्यंजक (9x 2 + 27x - 3)/3 पर विचार करें। इस अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए फैक्टरिंग आउट का उपयोग करें।
        • 3 के गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखें (जैसा कि आपने पहले किया था): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • ध्यान दें कि अंश और हर दोनों में अब 3 है। इसे अभिव्यक्ति देने के लिए घटाया जा सकता है: (3x 2 + 9x – 1)/1
        • चूँकि कोई भी भिन्न जिसके हर में संख्या 1 होती है, वह अंश के बराबर होती है, मूल भिन्न की अभिव्यक्ति इस प्रकार सरल हो जाती है: 3x 2 + 9x - 1.

   अतिरिक्त सरलीकरण विधियाँ

4. आइए एक सरल उदाहरण देखें: √(90)। संख्या 90 को निम्नलिखित कारकों में विभाजित किया जा सकता है: 9 और 10, और 9 से निकाला जा सकता है वर्गमूल(3) और 3 को जड़ के नीचे से हटा दें।
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति को सरल बनाना।कुछ अभिव्यक्तियों में घातों के साथ पदों के गुणन या विभाजन की संक्रियाएँ शामिल होती हैं। पदों को समान आधार से गुणा करने की स्थिति में, उनकी घातें जोड़ दी जाती हैं; पदों को समान आधार से विभाजित करने की स्थिति में, उनकी घातें घटा दी जाती हैं।

   • उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15) पर विचार करें। गुणन की स्थिति में घातों को जोड़ें और भाग की स्थिति में उन्हें घटाएँ।
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x 7 + x 2
   • पदों को घातों से गुणा और विभाजित करने के नियमों की व्याख्या निम्नलिखित है।
     • पदों को घातों से गुणा करना पदों को स्वयं से गुणा करने के बराबर है। उदाहरण के लिए, चूँकि x 3 = x × x × x और x 5 = x × x × x × x × x, तो x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × एक्स), या एक्स 8।
     • इसी प्रकार, पदों को अंशों से विभाजित करना पदों को स्वयं से विभाजित करने के समान है। x 5 / x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). चूँकि अंश और हर दोनों में पाए जाने वाले समान पदों को कम किया जा सकता है, दो "x" या x 2 का गुणनफल अंश में ही रहता है।

• अभिव्यक्ति के पदों से पहले के चिह्नों (प्लस या माइनस) को हमेशा याद रखें, क्योंकि कई लोगों को सही चिह्न चुनने में कठिनाई होती है।
• जरूरत पड़ने पर मदद मांगें!
• बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को सरल बनाना आसान नहीं है, लेकिन एक बार जब आप इसमें पारंगत हो जाते हैं, तो यह एक ऐसा कौशल है जिसका उपयोग आप जीवन भर कर सकते हैं।

नोट 1

एक बूलियन फ़ंक्शन को बूलियन अभिव्यक्ति का उपयोग करके लिखा जा सकता है और फिर इसे लॉजिक सर्किट में ले जाया जा सकता है। यथासंभव सरलतम (और इसलिए सस्ता) तार्किक सर्किट प्राप्त करने के लिए तार्किक अभिव्यक्तियों को सरल बनाना आवश्यक है। मूलतः, एक तार्किक कार्य, एक तार्किक अभिव्यक्ति और एक तार्किक सर्किट तीन हैं विभिन्न भाषाएँ, एक इकाई के बारे में बता रहे हैं।

तार्किक अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए उपयोग करें बीजगणित तर्क के नियम.

कुछ परिवर्तन शास्त्रीय बीजगणित में सूत्रों के परिवर्तनों के समान हैं (सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालना, क्रमविनिमेय और संयोजन कानूनों का उपयोग करना, आदि), जबकि अन्य परिवर्तन उन गुणों पर आधारित होते हैं जो शास्त्रीय बीजगणित के संचालन में नहीं होते हैं (वितरणात्मक का उपयोग करके) संयोजन के नियम, अवशोषण के नियम, ग्लूइंग, डी मॉर्गन के नियम, आदि)।

तार्किक बीजगणित के नियम बुनियादी तार्किक संचालन के लिए तैयार किए गए हैं - "नहीं" - उलटा (नकारात्मक), "और" - संयोजन (तार्किक गुणन) और "ओआर" - विघटन (तार्किक जोड़)।

दोहरे निषेध के नियम का अर्थ है कि "नहीं" ऑपरेशन प्रतिवर्ती है: यदि आप इसे दो बार लागू करते हैं, तो अंत में तार्किक मान नहीं बदलेगा।

बहिष्कृत मध्य का नियम कहता है कि कोई भी तार्किक अभिव्यक्ति या तो सत्य है या गलत ("कोई तीसरा नहीं है")। इसलिए, यदि $A=1$, तो $\bar(A)=0$ (और इसके विपरीत), जिसका अर्थ है कि इन मात्राओं का संयोजन हमेशा शून्य के बराबर होता है, और विच्छेदन हमेशा एक के बराबर होता है।

$((ए + बी) → सी) \cdot (बी → सी \cdot D) \cdot C.$

आइए इस सूत्र को सरल बनाएं:

चित्र तीन।

इसका मतलब यह है कि $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$।

उत्तर:छात्र $B$, $C$ और $D$ शतरंज खेलते हैं, लेकिन छात्र $A$ नहीं खेलते हैं।

तार्किक अभिव्यक्तियों को सरल बनाते समय, आप क्रियाओं का निम्नलिखित क्रम कर सकते हैं:

1. व्युत्क्रम, संयोजन और विच्छेदन के मूल संचालन के माध्यम से सभी "गैर-बुनियादी" संचालन (समतुल्यता, निहितार्थ, अनन्य या, आदि) को उनकी अभिव्यक्तियों से बदलें।
2. डी मॉर्गन के नियमों के अनुसार जटिल अभिव्यक्तियों के व्युत्क्रमों का विस्तार इस प्रकार करें कि निषेधात्मक संक्रियाएँ केवल व्यक्तिगत चरों के लिए ही रहें।
3. फिर खुले कोष्ठकों का उपयोग करके, सामान्य कारकों को कोष्ठकों के बाहर रखकर और तार्किक बीजगणित के अन्य नियमों का उपयोग करके अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

उदाहरण 2

यहाँ, डी मॉर्गन का नियम, वितरणात्मक नियम, बहिष्कृत मध्य का नियम, क्रमविनिमेय नियम, पुनरावृत्ति का नियम, पुनः क्रमविनिमेय नियम और अवशोषण के नियम का क्रमिक रूप से उपयोग किया जाता है।

अक्सर कार्यों के लिए सरलीकृत उत्तर की आवश्यकता होती है। हालाँकि सरलीकृत और सरलीकृत दोनों उत्तर सही हैं, यदि आप अपना उत्तर सरल नहीं बनाते हैं तो आपका प्रशिक्षक आपका ग्रेड कम कर सकता है। इसके अलावा, सरलीकृत गणितीय अभिव्यक्ति के साथ काम करना बहुत आसान है। इसलिए, अभिव्यक्ति को सरल बनाना सीखना बहुत महत्वपूर्ण है।

कदम

गणितीय संक्रियाओं का सही क्रम

1. गणितीय संक्रियाओं को निष्पादित करने का सही क्रम याद रखें।गणितीय अभिव्यक्ति को सरल बनाते समय इसका अवलोकन करना आवश्यक है एक निश्चित क्रमक्रियाएँ, चूँकि कुछ गणितीय संक्रियाओं को दूसरों पर प्राथमिकता दी जाती है और उन्हें पहले किया जाना चाहिए (वास्तव में, संक्रियाओं को करने के सही क्रम का पालन न करने से आपको गलत परिणाम मिलेगा)। गणितीय संक्रियाओं के निम्नलिखित क्रम को याद रखें: कोष्ठक में अभिव्यक्ति, घातांक, गुणा, भाग, जोड़, घटाव।

   • ध्यान दें कि संक्रियाओं का सही क्रम जानने से आप अधिकांश सरल अभिव्यक्तियों को सरल बना सकेंगे, लेकिन एक बहुपद (एक चर के साथ एक अभिव्यक्ति) को सरल बनाने के लिए आपको विशेष तरकीबें जानने की आवश्यकता होगी (अगला भाग देखें)।

2. कोष्ठक में व्यंजक को हल करके प्रारंभ करें।गणित में, कोष्ठक इंगित करते हैं कि उनके भीतर की अभिव्यक्ति का मूल्यांकन पहले किया जाना चाहिए। इसलिए, किसी भी गणितीय अभिव्यक्ति को सरल बनाते समय, कोष्ठक में संलग्न अभिव्यक्ति को हल करके प्रारंभ करें (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आपको कोष्ठक के अंदर कौन से ऑपरेशन करने की आवश्यकता है)। लेकिन याद रखें कि कोष्ठक में संलग्न अभिव्यक्ति के साथ काम करते समय, आपको संचालन के क्रम का पालन करना चाहिए, अर्थात, कोष्ठक में शब्दों को पहले गुणा, विभाजित, जोड़ा, घटाया जाता है, और इसी तरह।

   • उदाहरण के लिए, आइए अभिव्यक्ति को सरल बनाएं 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). यहां हम कोष्ठक में दिए गए भावों से शुरू करते हैं: 5 + 2 = 7 और 3 + 4/2 = 3 + 2 =5।
     • कोष्ठकों की दूसरी जोड़ी में अभिव्यक्ति 5 तक सरल हो जाती है क्योंकि 4/2 को पहले विभाजित किया जाना चाहिए (संचालन के सही क्रम के अनुसार)। यदि आप इस आदेश का पालन नहीं करते हैं, तो आपको गलत उत्तर मिलेगा: 3 + 4 = 7 और 7 ÷ 2 = 7/2।
   • यदि कोष्ठकों में कोष्ठकों का एक और जोड़ा है, तो आंतरिक कोष्ठकों में अभिव्यक्ति को हल करके सरल बनाना शुरू करें और फिर बाहरी कोष्ठकों में अभिव्यक्ति को हल करने के लिए आगे बढ़ें।

3. घातांक।कोष्ठक में भावों को हल करने के बाद, घातांक की ओर बढ़ें (याद रखें कि एक घात का एक घातांक और एक आधार होता है)। संबंधित अभिव्यक्ति (या संख्या) को एक घात तक बढ़ाएं और परिणाम को आपको दिए गए अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करें।

   • हमारे उदाहरण में, घात का एकमात्र व्यंजक (संख्या) 3 2: 3 2 = 9 है। आपको दिए गए व्यंजक में, 3 2 को 9 से बदलें और आपको मिलेगा: 2x + 4(7) + 9 - 5।

4. गुणा करें.याद रखें कि गुणन संक्रिया को निम्नलिखित प्रतीकों द्वारा दर्शाया जा सकता है: "x", "∙" या "*"। लेकिन यदि संख्या और चर (उदाहरण के लिए, 2x) या संख्या और कोष्ठक में संख्या (उदाहरण के लिए, 4(7)) के बीच कोई प्रतीक नहीं हैं, तो यह भी एक गुणन संक्रिया है।

   • हमारे उदाहरण में, दो गुणन संक्रियाएं हैं: 2x (दो को चर "x" से गुणा किया गया) और 4(7) (चार को सात से गुणा किया गया)। हम x का मान नहीं जानते हैं, इसलिए हम व्यंजक 2x को वैसे ही छोड़ देंगे। 4(7) = 4 x 7 = 28. अब आप दिए गए व्यंजक को इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं: 2x + 28 + 9 - 5.

5. विभाजित करना।याद रखें कि विभाजन संक्रिया को निम्नलिखित प्रतीकों द्वारा दर्शाया जा सकता है: "/", "÷" या "-" (आप अंतिम वर्ण को भिन्नों में देख सकते हैं)। उदाहरण के लिए, 3/4 तीन को चार से विभाजित करता है।

   • हमारे उदाहरण में, अब कोई विभाजन संक्रिया नहीं है, क्योंकि कोष्ठक में व्यंजक को हल करते समय आप पहले ही 4 को 2 (4/2) से विभाजित कर चुके हैं। तो आप जा सकते हैं अगला कदम. याद रखें कि अधिकांश अभिव्यक्तियों में सभी गणितीय संक्रियाएँ शामिल नहीं होती हैं (उनमें से केवल कुछ ही)।

6. तह करना।किसी अभिव्यक्ति में पद जोड़ते समय, आप सबसे दूर के पद (बाईं ओर) से शुरू कर सकते हैं, या आप उन शब्दों को जोड़ सकते हैं जो पहले आसानी से जुड़ जाते हैं। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 49 + 29 + 51 +71 में, पहले 49 + 51 = 100, फिर 29 + 71 = 100 और अंत में 100 + 100 = 200 जोड़ना आसान है। इसे इस तरह जोड़ना अधिक कठिन है: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • हमारे उदाहरण 2x + 28 + 9 + 5 में दो जोड़ संक्रियाएँ हैं। आइए सबसे बाहरी (बाएं) पद से शुरू करें: 2x + 28; आप 2x और 28 नहीं जोड़ सकते क्योंकि आप वेरिएबल "x" का मान नहीं जानते हैं। इसलिए, 28 + 9 = 37 जोड़ें। अब अभिव्यक्ति को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: 2x + 37 - 5।

7. घटाना.यह आखिरी ऑपरेशन है सही क्रम मेंगणितीय संक्रियाएँ करना। इस स्तर पर आप भी जोड़ सकते हैं नकारात्मक संख्याएँया इसे सदस्यों को जोड़ने के चरण में करें - इससे अंतिम परिणाम पर किसी भी तरह का प्रभाव नहीं पड़ेगा।

   • हमारे उदाहरण 2x + 37 - 5 में केवल एक घटाव संक्रिया है: 37 - 5 = 32।

8. इस स्तर पर, सभी गणितीय संक्रियाएँ करने के बाद, आपको एक सरलीकृत अभिव्यक्ति मिलनी चाहिए।लेकिन यदि आपको दिए गए व्यंजक में एक या अधिक चर हैं, तो याद रखें कि चर पद वैसा ही रहेगा जैसा वह है। किसी चर के साथ किसी अभिव्यक्ति को हल करने (सरल बनाने में नहीं) में उस चर का मान ज्ञात करना शामिल है। कभी-कभी परिवर्तनीय अभिव्यक्तियों को विशेष तरीकों का उपयोग करके सरल बनाया जा सकता है (अगला भाग देखें)।

   • हमारे उदाहरण में, अंतिम उत्तर 2x + 32 है। आप दो शब्दों को तब तक नहीं जोड़ सकते जब तक आपको चर "x" का मान न पता हो। एक बार जब आप चर का मान जान लेते हैं, तो आप इस द्विपद को आसानी से सरल बना सकते हैं।

   जटिल अभिव्यक्तियों को सरल बनाना

   1. समान शब्दों का योग.याद रखें कि आप केवल समान पदों को घटा और जोड़ सकते हैं, यानी समान चर और समान घातांक वाले पद। उदाहरण के लिए, आप 7x और 5x जोड़ सकते हैं, लेकिन आप 7x और 5x 2 नहीं जोड़ सकते (क्योंकि घातांक अलग-अलग हैं)।

      • यह नियम एकाधिक चर वाले सदस्यों पर भी लागू होता है। उदाहरण के लिए, आप 2xy 2 और -3xy 2 जोड़ सकते हैं, लेकिन आप 2xy 2 और -3x 2 y या 2xy 2 और -3y 2 नहीं जोड़ सकते।
      • आइए एक उदाहरण देखें: x 2 + 3x + 6 - 8x। यहां समान पद 3x और 8x हैं, इसलिए उन्हें एक साथ जोड़ा जा सकता है। सरलीकृत अभिव्यक्ति इस तरह दिखती है: x 2 - 5x + 6.

   2. संख्या भिन्न को सरल कीजिये.ऐसे भिन्न में, अंश और हर दोनों में संख्याएँ होती हैं (बिना चर के)। एक संख्या अंश को कई तरीकों से सरल बनाया जा सकता है। सबसे पहले, बस हर को अंश से विभाजित करें। दूसरा, अंश और हर का गुणनखंड करें और समान गुणनखंडों को रद्द करें (क्योंकि किसी संख्या को स्वयं से विभाजित करने पर आपको 1 मिलेगा)। दूसरे शब्दों में, यदि अंश और हर दोनों का गुणनखंड समान है, तो आप इसे छोड़ सकते हैं और एक सरलीकृत भिन्न प्राप्त कर सकते हैं।

      • उदाहरण के लिए, भिन्न 36/60 पर विचार करें। कैलकुलेटर का उपयोग करके, 0.6 प्राप्त करने के लिए 36 को 60 से विभाजित करें। लेकिन आप अंश और हर का गुणनखंड करके इस भिन्न को दूसरे तरीके से सरल बना सकते हैं: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10)। चूँकि 6/6 = 1, सरलीकृत भिन्न है: 1 x 6/10 = 6/10। लेकिन इस भिन्न को सरल भी बनाया जा सकता है: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

   3. यदि किसी भिन्न में एक चर है, तो आप चर के साथ समान कारकों को रद्द कर सकते हैं।अंश और हर दोनों का गुणनखंड करें और समान गुणनखंडों को रद्द करें, भले ही उनमें चर हो (याद रखें कि यहां समान गुणनखंडों में चर हो भी सकता है और नहीं भी)।

      • आइए एक उदाहरण देखें: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x)। इस अभिव्यक्ति को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x)। चूँकि 3x पद अंश और हर दोनों में है, आप एक सरल अभिव्यक्ति देने के लिए इसे रद्द कर सकते हैं: (x + 1)/(5 - x)। आइए एक और उदाहरण देखें: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • कृपया ध्यान दें कि आप किसी भी पद को रद्द नहीं कर सकते - केवल अंश और हर दोनों में मौजूद समान कारक रद्द किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति (x(x + 2))/x में, चर (कारक) "x" अंश और हर दोनों में है, इसलिए एक सरलीकृत अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए "x" को कम किया जा सकता है: (x + 2)/1 = x + 2। हालाँकि, अभिव्यक्ति (x + 2)/x में, चर "x" को कम नहीं किया जा सकता है (क्योंकि "x" अंश में एक कारक नहीं है)।

   4. कोष्ठक खोलें.ऐसा करने के लिए, कोष्ठक के बाहर के पद को कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा करें। कभी-कभी यह किसी जटिल अभिव्यक्ति को सरल बनाने में मदद करता है। यह उन दोनों सदस्यों पर लागू होता है जो हैं प्रमुख संख्या, और उन सदस्यों के लिए जिनमें वेरिएबल शामिल है।

      • उदाहरण के लिए, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24, और 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x।
      • कृपया ध्यान दें कि इसमें भिन्नात्मक अभिव्यक्तियाँयदि अंश और हर दोनों में समान कारक मौजूद है तो कोष्ठक खोलने की कोई आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति (3(x 2 + 8))/3x में कोष्ठक का विस्तार करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि यहां आप 3 के कारक को रद्द कर सकते हैं और सरलीकृत अभिव्यक्ति (x 2 + 8)/x प्राप्त कर सकते हैं। इस अभिव्यक्ति के साथ काम करना आसान है; यदि आप कोष्ठकों का विस्तार करें, तो आपको निम्नलिखित जटिल अभिव्यक्ति मिलेगी: (3x 3 + 24x)/3x।

   5. गुणनखंड बहुपद.इस पद्धति का उपयोग करके, आप कुछ व्यंजकों और बहुपदों को सरल बना सकते हैं। फैक्टरिंग कोष्ठक खोलने की विपरीत क्रिया है, अर्थात, एक अभिव्यक्ति को दो अभिव्यक्तियों के उत्पाद के रूप में लिखा जाता है, जिनमें से प्रत्येक कोष्ठक में संलग्न है। कुछ मामलों में, गुणनखंडन कम हो सकता है वही अभिव्यक्ति. में विशेष स्थितियां(आमतौर पर साथ द्विघातीय समीकरण) फैक्टरिंग आपको समीकरण को हल करने की अनुमति देगा।

      • अभिव्यक्ति x 2 - 5x + 6 पर विचार करें। यह गुणनखंडित है: (x - 3)(x - 2)। इस प्रकार, यदि, उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति दी गई है (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), तो आप इसे (x - 3)(x - 2)/(2(x) के रूप में फिर से लिख सकते हैं - 2)), व्यंजक (x - 2) को कम करें और एक सरलीकृत व्यंजक (x - 3)/2 प्राप्त करें।
      • गुणनखंडन बहुपद का उपयोग समीकरणों को हल करने (मूल खोजने) के लिए किया जाता है (एक समीकरण 0 के बराबर एक बहुपद है)। उदाहरण के लिए, समीकरण x 2 - 5x + 6 = 0 पर विचार करें। इसका गुणनखंड करने पर, आपको (x - 3)(x - 2) = 0 मिलता है। चूँकि किसी भी अभिव्यक्ति को 0 से गुणा करने पर 0 के बराबर होता है, हम इसे इस तरह लिख सकते हैं यह: x - 3 = 0 और x - 2 = 0. इस प्रकार, x = 3 और x = 2, यानी, आपको दिए गए समीकरण के दो मूल मिल गए हैं।

शाब्दिक अभिव्यक्ति (या परिवर्तनीय अभिव्यक्ति) एक गणितीय अभिव्यक्ति है जिसमें संख्याएँ, अक्षर और गणितीय प्रतीक शामिल होते हैं। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित अभिव्यक्ति शाब्दिक है:

ए+बी+4

वर्णमाला अभिव्यक्तियों का उपयोग करके आप कानून, सूत्र, समीकरण और फ़ंक्शन लिख सकते हैं। अक्षर के भावों में हेरफेर करने की क्षमता बीजगणित और उच्च गणित के अच्छे ज्ञान की कुंजी है।

गणित में कोई भी गंभीर समस्या समीकरणों को हल करने पर आती है। और समीकरणों को हल करने में सक्षम होने के लिए, आपको शाब्दिक अभिव्यक्तियों के साथ काम करने में सक्षम होने की आवश्यकता है।

शाब्दिक अभिव्यक्तियों के साथ काम करने के लिए, आपको बुनियादी अंकगणित में अच्छी तरह से पारंगत होना चाहिए: जोड़, घटाव, गुणा, भाग, गणित के बुनियादी नियम, भिन्न, भिन्न के साथ संचालन, अनुपात। और सिर्फ अध्ययन ही नहीं, बल्कि पूरी तरह से समझें।

पाठ सामग्री

चर

वे वर्ण जो शाब्दिक भावों में समाहित होते हैं, कहलाते हैं चर. उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में ए+बी+4चर अक्षर हैं एऔर बी. यदि हम इन चरों के स्थान पर कोई संख्या प्रतिस्थापित करें तो शाब्दिक अभिव्यक्ति ए+बी+4संपर्क संख्यात्मक अभिव्यक्तिजिसका मूल्य ज्ञात किया जा सकता है।

वे संख्याएँ जो चर के स्थान पर प्रतिस्थापित की जाती हैं, कहलाती हैं चरों का मान. उदाहरण के लिए, आइए वेरिएबल्स के मान बदलें एऔर बी. समान चिह्न का उपयोग मूल्यों को बदलने के लिए किया जाता है

ए = 2, बी = 3

हमने वेरिएबल्स के मान बदल दिए हैं एऔर बी. चर एएक मान निर्दिष्ट किया गया 2 , चर बीएक मान निर्दिष्ट किया गया 3 . परिणामस्वरूप, शाब्दिक अभिव्यक्ति ए+बी+4एक नियमित संख्यात्मक अभिव्यक्ति में बदल जाता है 2+3+4 जिसका मूल्य पाया जा सकता है:

2 + 3 + 4 = 9

जब चरों को गुणा किया जाता है, तो उन्हें एक साथ लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, रिकार्ड अबका मतलब प्रविष्टि के समान ही है ए×बी. यदि हम चरों को प्रतिस्थापित करते हैं एऔर बीनंबर 2 और 3 , तो हमें 6 मिलता है

2 × 3 = 6

आप किसी संख्या के गुणन को कोष्ठकों में एक व्यंजक द्वारा एक साथ भी लिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, के बजाय ए×(बी + सी)लिखा जा सकता है ए(बी + सी). गुणन के वितरण नियम को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं a(b + c)=ab+ac.

कठिनाइयाँ

उदाहरण के लिए, शाब्दिक अभिव्यक्तियों में आप अक्सर एक अंकन पा सकते हैं जिसमें एक संख्या और एक चर एक साथ लिखे जाते हैं 3 ए. यह वास्तव में संख्या 3 को एक चर से गुणा करने का एक आशुलिपि है। एऔर यह प्रविष्टि इस प्रकार दिखती है 3×ए .

दूसरे शब्दों में, अभिव्यक्ति 3 एसंख्या 3 और चर का गुणनफल है ए. संख्या 3 इस काम में वे बुलाते हैं गुणक. यह गुणांक दर्शाता है कि चर कितनी बार बढ़ाया जाएगा ए. इस अभिव्यक्ति को इस प्रकार पढ़ा जा सकता है " एतीन बार" या "तीन बार ए", या "एक चर का मान बढ़ाएँ एतीन बार", लेकिन अक्सर इसे "तीन" के रूप में पढ़ा जाता है ए«

उदाहरण के लिए, यदि वेरिएबल एके बराबर 5 , फिर अभिव्यक्ति का मूल्य 3 ए 15 के बराबर होगा.

3 × 5 = 15

बोला जा रहा है सरल भाषा में, गुणांक वह संख्या है जो अक्षर से पहले (चर से पहले) आती है।

उदाहरण के लिए, कई अक्षर हो सकते हैं 5एबीसी. यहाँ गुणांक संख्या है 5 . यह गुणांक दर्शाता है कि चरों का गुणनफल एबीसीपांच गुना बढ़ जाता है. इस अभिव्यक्ति को इस प्रकार पढ़ा जा सकता है " एबीसीपाँच गुना" या "अभिव्यक्ति का मान बढ़ाएँ एबीसीपाँच बार" या "पाँच एबीसी«.

यदि चर के बजाय एबीसीसंख्याओं 2, 3 और 4 को प्रतिस्थापित करें, फिर व्यंजक का मान 5एबीसीबराबर होगा 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

आप मानसिक रूप से कल्पना कर सकते हैं कि संख्याओं 2, 3 और 4 को पहले कैसे गुणा किया गया, और परिणामी मूल्य पांच गुना बढ़ गया:

गुणांक का चिह्न केवल गुणांक को संदर्भित करता है और चर पर लागू नहीं होता है।

अभिव्यक्ति पर विचार करें −6बी. गुणांक से पहले ऋण 6 , केवल गुणांक पर लागू होता है 6 , और वेरिएबल से संबंधित नहीं है बी. इस तथ्य को समझने से आप भविष्य में संकेतों के साथ गलतियाँ नहीं कर सकेंगे।

आइए अभिव्यक्ति का मूल्य ज्ञात करें −6बीपर बी = 3.

−6बी −6×बी. स्पष्टता के लिए, आइए अभिव्यक्ति लिखें −6बीविस्तारित रूप में और चर के मान को प्रतिस्थापित करें बी

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

उदाहरण 2.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए −6बीपर बी = −5

आइए अभिव्यक्ति लिखें −6बीविस्तारित रूप में

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

उदाहरण 3.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए −5ए+बीपर ए = 3और बी = 2

−5ए+बीयह इसका संक्षिप्त रूप है −5 × ए + बी, इसलिए स्पष्टता के लिए हम अभिव्यक्ति लिखते हैं −5×a+bविस्तारित रूप में और चर के मानों को प्रतिस्थापित करें एऔर बी

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

उदाहरण के लिए, कभी-कभी अक्षर बिना किसी गुणांक के लिखे जाते हैं एया अब. इस मामले में, गुणांक एकता है:

लेकिन परंपरागत रूप से इकाई लिखी नहीं जाती, इसलिए वे बस लिख देते हैं एया अब

यदि अक्षर से पहले ऋण है, तो गुणांक एक संख्या है −1 . उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति -एकवास्तव में ऐसा दिखता है −1a. यह माइनस वन और वेरिएबल का गुणनफल है एक।यह इस प्रकार निकला:

−1 × ए = −1ए

यहाँ एक छोटी सी पकड़ है। अभिव्यक्ति में -एकवेरिएबल के सामने ऋण चिह्न एवास्तव में एक चर के बजाय एक "अदृश्य इकाई" को संदर्भित करता है ए. इसलिए, आपको समस्याओं को हल करते समय सावधान रहना चाहिए।

उदाहरण के लिए, यदि अभिव्यक्ति दी जाए -एकऔर हमें इसका मूल्य ज्ञात करने के लिए कहा जाता है ए = 2, फिर स्कूल में हमने एक चर के स्थान पर दो रख दिया एऔर उत्तर मिला −2 , बिना इस बात पर ज्यादा ध्यान दिए कि यह कैसे हुआ। वास्तव में, शून्य से एक को गुणा किया गया था सकारात्मक संख्या 2

−ए = −1 × ए

−1 × ए = −1 × 2 = −2

यदि अभिव्यक्ति दी जाए -एकऔर आपको इसका मूल्य ज्ञात करना होगा ए = −2, फिर हम स्थानापन्न करते हैं −2 एक चर के बजाय ए

−ए = −1 × ए

−1 × ए = −1 × (−2) = 2

गलतियों से बचने के लिए सबसे पहले अदृश्य इकाइयों को स्पष्ट रूप से लिखा जा सकता है।

उदाहरण 4.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए एबीसीपर ए=2 , बी=3और सी=4

अभिव्यक्ति एबीसी 1×ए×बी×सी.स्पष्टता के लिए, आइए अभिव्यक्ति लिखें एबीसी ए, बीऔर सी

1 × ए × बी × सी = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

उदाहरण 5.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए एबीसीपर a=−2 , b=−3और c=−4

आइए अभिव्यक्ति लिखें एबीसीविस्तारित रूप में और चर के मानों को प्रतिस्थापित करें ए, बीऔर सी

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

उदाहरण 6.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए − एबीसीपर a=3 , b=5 और c=7

अभिव्यक्ति − एबीसीयह इसका संक्षिप्त रूप है −1×a×b×c.स्पष्टता के लिए, आइए अभिव्यक्ति लिखें − एबीसीविस्तारित रूप में और चर के मानों को प्रतिस्थापित करें ए, बीऔर सी

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

उदाहरण 7.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए − एबीसीपर a=−2 , b=−4 और c=−3

आइए अभिव्यक्ति लिखें − एबीसीविस्तारित रूप में:

−abc = −1 × a × b × c

आइए चरों के मानों को प्रतिस्थापित करें ए , बीऔर सी

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

गुणांक का निर्धारण कैसे करें

कभी-कभी आपको किसी समस्या को हल करने की आवश्यकता होती है जिसमें आपको किसी अभिव्यक्ति का गुणांक निर्धारित करने की आवश्यकता होती है। सिद्धांत रूप में, यह कार्य बहुत सरल है। यह संख्याओं को सही ढंग से गुणा करने में सक्षम होने के लिए पर्याप्त है।

किसी अभिव्यक्ति में गुणांक निर्धारित करने के लिए, आपको इस अभिव्यक्ति में शामिल संख्याओं को अलग से गुणा करना होगा और अक्षरों को अलग से गुणा करना होगा। परिणामी संख्यात्मक कारक गुणांक होगा.

उदाहरण 1. 7m×5a×(−3)×n

अभिव्यक्ति में कई कारक शामिल हैं। यदि आप अभिव्यक्ति को विस्तारित रूप में लिखते हैं तो इसे स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है। अर्थात् कार्य 7मीऔर 5एइसे फॉर्म में लिखें 7×मीऔर 5×ए

7 × m × 5 × a × (−3) × n

आइए गुणन का साहचर्य नियम लागू करें, जो आपको किसी भी क्रम में गुणनखंडों को गुणा करने की अनुमति देता है। अर्थात्, हम संख्याओं को अलग-अलग गुणा करेंगे और अक्षरों (चर) को अलग-अलग गुणा करेंगे:

−3 × 7 × 5 × एम × ए × एन = −105 आदमी

गुणांक है −105 . पूरा होने के बाद, अक्षर भाग को वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करने की सलाह दी जाती है:

−105 पूर्वाह्न

उदाहरण 2.अभिव्यक्ति में गुणांक निर्धारित करें: −a×(−3)×2

-ए × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−ए) = −6 × (−ए) = 6ए

गुणांक 6 है.

उदाहरण 3.अभिव्यक्ति में गुणांक निर्धारित करें:

आइए संख्याओं और अक्षरों को अलग-अलग गुणा करें:

गुणांक −1 है. कृपया ध्यान दें कि इकाई को नहीं लिखा गया है, क्योंकि गुणांक 1 को न लिखने की प्रथा है।

ये सबसे सरल प्रतीत होने वाले कार्य हमारे साथ बहुत क्रूर मजाक कर सकते हैं। यह अक्सर पता चलता है कि गुणांक का चिह्न गलत तरीके से सेट किया गया है: या तो माइनस गायब है या, इसके विपरीत, यह व्यर्थ में सेट किया गया था। इन कष्टप्रद गलतियों से बचने के लिए इसका अध्ययन अच्छे स्तर पर किया जाना चाहिए।

शाब्दिक अभिव्यक्ति में जोड़ता है

कई संख्याओं को जोड़ने पर उन संख्याओं का योग प्राप्त होता है। जो संख्याएँ जुड़ती हैं उन्हें जोड़ कहते हैं। उदाहरण के लिए, कई शब्द हो सकते हैं:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

जब किसी अभिव्यक्ति में पद होते हैं, तो उसका मूल्यांकन करना बहुत आसान होता है क्योंकि जोड़ना घटाने की तुलना में आसान होता है। लेकिन अभिव्यक्ति में न केवल जोड़, बल्कि घटाव भी हो सकता है, उदाहरण के लिए:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

इस अभिव्यक्ति में, संख्या 3 और 5 उपप्रकार हैं, जोड़ नहीं। लेकिन कोई भी चीज़ हमें घटाव को जोड़ से बदलने से नहीं रोकती। तब हमें फिर से पदों से युक्त एक अभिव्यक्ति मिलती है:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि संख्याओं -3 और -5 में अब ऋण चिह्न है। मुख्य बात यह है कि इस अभिव्यक्ति में सभी संख्याएँ एक अतिरिक्त चिह्न से जुड़ी हुई हैं, अर्थात अभिव्यक्ति एक योग है।

दोनों भाव 1 + 2 − 3 + 4 − 5 और 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) समान मान के बराबर - शून्य से एक

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

इस प्रकार, यदि हम कहीं घटाव को जोड़ से बदल दें तो अभिव्यक्ति का अर्थ प्रभावित नहीं होगा।

आप शाब्दिक अभिव्यक्तियों में घटाव को जोड़ से भी बदल सकते हैं। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित अभिव्यक्ति पर विचार करें:

7ए + 6बी - 3सी + 2डी - 4एस

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

चर के किसी भी मान के लिए ए बी सी डीऔर एसअभिव्यक्ति 7ए + 6बी - 3सी + 2डी - 4एस और 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) समान मान के बराबर होगा.

आपको इस तथ्य के लिए तैयार रहना चाहिए कि स्कूल में एक शिक्षक या किसी संस्थान में एक शिक्षक उन सम संख्याओं (या चर) को कॉल कर सकता है जो जोड़ नहीं हैं।

उदाहरण के लिए, यदि अंतर बोर्ड पर लिखा है एक-बी, तो शिक्षक ऐसा नहीं कहेंगे एएक मिनट है, और बी- घटाने योग्य। वह दोनों चरों को एक सामान्य शब्द से बुलाएगा - शर्तें. और यह सब रूप की अभिव्यक्ति के कारण है एक-बीगणितज्ञ देखता है कि योग कैसा है a+(−b). इस मामले में, अभिव्यक्ति एक योग और चर बन जाती है एऔर (−बी)शर्तें बनें.

समान शर्तें

समान शर्तें- ये ऐसे शब्द हैं जिनका अक्षर भाग समान है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति पर विचार करें 7ए + 6बी + 2ए. अवयव 7एऔर 2एएक ही अक्षर भाग - चर है ए. तो शर्तें 7एऔर 2एसमान हैं.

आमतौर पर, किसी अभिव्यक्ति को सरल बनाने या किसी समीकरण को हल करने के लिए समान शब्द जोड़े जाते हैं। इस ऑपरेशन को कहा जाता है समान शर्तें ला रहे हैं.

समान पद लाने के लिए, आपको इन पदों के गुणांकों को जोड़ना होगा, और परिणामी परिणाम को सामान्य अक्षर भाग से गुणा करना होगा।

उदाहरण के लिए, आइए हम अभिव्यक्ति में समान शब्द प्रस्तुत करें 3ए + 4ए + 5ए. इस मामले में, सभी शर्तें समान हैं. आइए उनके गुणांकों को जोड़ें और परिणाम को सामान्य अक्षर भाग से - चर से गुणा करें ए

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

इसी तरह के शब्द आमतौर पर दिमाग में लाए जाते हैं और परिणाम तुरंत लिख दिया जाता है:

3ए + 4ए + 5ए = 12ए

इसके अलावा, कोई इस प्रकार तर्क कर सकता है:

उनमें 3 वेरिएबल्स a, 4 और वेरिएबल्स a और 5 और वेरिएबल्स a जोड़े गए। परिणामस्वरूप, हमें 12 चर प्राप्त हुए

आइए समान शर्तों को लाने के कई उदाहरण देखें। ध्यान में रख कर इस विषयबहुत महत्वपूर्ण है, सबसे पहले हम हर छोटी बात को विस्तार से लिखेंगे। भले ही यहां सब कुछ बहुत सरल है, फिर भी ज्यादातर लोग कई गलतियां करते हैं। मुख्यतः असावधानी के कारण, अज्ञानता के कारण नहीं।

उदाहरण 1. 3ए + 2ए + 6ए + 8ए

आइए इस अभिव्यक्ति में गुणांक जोड़ें और परिणामी परिणाम को सामान्य अक्षर भाग से गुणा करें:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

डिज़ाइन (3 + 2 + 6 + 8)×एआपको इसे लिखने की ज़रूरत नहीं है, इसलिए हम तुरंत उत्तर लिख देंगे

3ए + 2ए + 6ए + 8ए = 19ए

उदाहरण 2.व्यंजक में समान पद दीजिए 2ए+ए

दूसरी अवधि एबिना किसी गुणांक के लिखा जाता है, लेकिन वास्तव में इसके सामने एक गुणांक होता है 1 , जो हमें दिखाई नहीं देता क्योंकि यह रिकॉर्ड नहीं किया गया है। तो अभिव्यक्ति इस तरह दिखती है:

2ए + 1ए

आइए अब समान शर्तें प्रस्तुत करें। अर्थात्, हम गुणांक जोड़ते हैं और परिणाम को सामान्य अक्षर भाग से गुणा करते हैं:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

आइए संक्षेप में समाधान लिखें:

2ए + ए = 3ए

2ए+ए, आप अलग तरह से सोच सकते हैं:

उदाहरण 3.व्यंजक में समान पद दीजिए 2a−a

आइए घटाव को जोड़ से बदलें:

2ए + (−ए)

दूसरी अवधि (-ए)बिना किसी गुणांक के लिखा गया है, लेकिन वास्तव में ऐसा दिखता है (−1a).गुणक −1 यह फिर से अदृश्य है क्योंकि यह रिकॉर्ड नहीं किया गया है। तो अभिव्यक्ति इस तरह दिखती है:

2ए + (−1ए)

आइए अब समान शर्तें प्रस्तुत करें। आइए गुणांक जोड़ें और परिणाम को सामान्य अक्षर भाग से गुणा करें:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

आमतौर पर इसे छोटा लिखा जाता है:

2ए − ए = ए

व्यंजक में समान पद देना 2a−aआप अलग तरह से सोच सकते हैं:

वहां 2 वेरिएबल a थे, एक वेरिएबल a घटा दें, अंत में केवल एक वेरिएबल a बचा

उदाहरण 4.व्यंजक में समान पद दीजिए 6ए - 3ए + 4ए - 8ए

6a - 3a + 4a - 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

आइए अब समान शर्तें प्रस्तुत करें। आइए गुणांक जोड़ें और परिणाम को कुल अक्षर भाग से गुणा करें

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × ए = −1ए = −ए

आइए संक्षेप में समाधान लिखें:

6ए - 3ए + 4ए - 8ए = -ए

ऐसी अभिव्यक्तियाँ हैं जिनमें समान शब्दों के कई अलग-अलग समूह शामिल हैं। उदाहरण के लिए, 3ए + 3बी + 7ए + 2बी. ऐसी अभिव्यक्तियों के लिए, वही नियम लागू होते हैं जो दूसरों के लिए लागू होते हैं, अर्थात् गुणांक जोड़ना और परिणाम को सामान्य अक्षर भाग से गुणा करना। लेकिन गलतियों से बचने के लिए, शब्दों के विभिन्न समूहों को अलग-अलग पंक्तियों से उजागर करना सुविधाजनक है।

उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में 3ए + 3बी + 7ए + 2बीवे पद जिनमें एक चर होता है ए, को एक पंक्ति से रेखांकित किया जा सकता है, और उन शब्दों को जिनमें एक चर होता है बी, दो पंक्तियों के साथ जोर दिया जा सकता है:

अब हम समान शर्तें प्रस्तुत कर सकते हैं। अर्थात्, गुणांक जोड़ें और परिणामी परिणाम को कुल अक्षर भाग से गुणा करें। यह पदों के दोनों समूहों के लिए किया जाना चाहिए: एक चर वाले पदों के लिए एऔर एक चर वाले पदों के लिए बी.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

पुनः, हम दोहराते हैं, अभिव्यक्ति सरल है, और समान शब्द मन में दिए जा सकते हैं:

3ए + 3बी + 7ए + 2बी = 10ए + 5बी

उदाहरण 5.व्यंजक में समान पद दीजिए 5ए − 6ए −7बी + बी

आइए जहां संभव हो घटाव को जोड़ से बदलें:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

आइए हम समान शब्दों को विभिन्न पंक्तियों से रेखांकित करें। चर युक्त पद एहम एक पंक्ति से रेखांकित करते हैं, और पद चर की सामग्री हैं बी, दो पंक्तियों से रेखांकित करें:

अब हम समान शर्तें प्रस्तुत कर सकते हैं। अर्थात्, गुणांक जोड़ें और परिणामी परिणाम को सामान्य अक्षर भाग से गुणा करें:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

यदि अभिव्यक्ति में अक्षर गुणनखंडों के बिना साधारण संख्याएँ हैं, तो उन्हें अलग से जोड़ा जाता है।

उदाहरण 6.व्यंजक में समान पद दीजिए 4ए + 3ए − 5 + 2बी + 7

आइए जहां संभव हो घटाव को जोड़ से बदलें:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

आइए हम ऐसे ही शब्द प्रस्तुत करें। नंबर −5 और 7 अक्षर गुणनखंड नहीं हैं, लेकिन वे समान पद हैं - उन्हें बस जोड़ने की आवश्यकता है। और शब्द 2 बीअपरिवर्तित रहेगा, क्योंकि इस अभिव्यक्ति में यह एकमात्र ऐसा है जिसमें अक्षर कारक है बी,और इसमें जोड़ने के लिए कुछ भी नहीं है:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

आइए संक्षेप में समाधान लिखें:

4ए + 3ए − 5 + 2बी + 7 = 7ए + 2बी + 2

शब्दों को इस प्रकार क्रमबद्ध किया जा सकता है कि जिन शब्दों का अक्षर भाग समान है वे अभिव्यक्ति के समान भाग में स्थित हों।

उदाहरण 7.व्यंजक में समान पद दीजिए 5t+2x+3x+5t+x

चूँकि अभिव्यक्ति कई पदों का योग है, यह हमें किसी भी क्रम में इसका मूल्यांकन करने की अनुमति देता है। इसलिए, वेरिएबल वाले पद टी, अभिव्यक्ति की शुरुआत में, और चर वाले शब्दों को लिखा जा सकता है एक्सअभिव्यक्ति के अंत में:

5t + 5t + 2x + 3x + x

अब हम समान शर्तें प्रस्तुत कर सकते हैं:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

आइए संक्षेप में समाधान लिखें:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

विपरीत संख्याओं का योग शून्य होता है। यह नियम शाब्दिक अभिव्यक्ति के लिए भी काम करता है। यदि अभिव्यक्ति में समान पद हैं, लेकिन साथ में विपरीत संकेत, तो आप समान शर्तों को कम करने के चरण में उनसे छुटकारा पा सकते हैं। दूसरे शब्दों में, बस उन्हें अभिव्यक्ति से हटा दें, क्योंकि उनका योग शून्य है।

उदाहरण 8.व्यंजक में समान पद दीजिए 3t − 4t − 3t + 2t

आइए जहां संभव हो घटाव को जोड़ से बदलें:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

अवयव 3tऔर (−3t)विपरीत हैं. विपरीत पदों का योग शून्य है। यदि हम इस शून्य को व्यंजक से हटा दें तो व्यंजक का मान नहीं बदलेगा इसलिए हम इसे हटा देंगे। और हम केवल शर्तों को काटकर इसे हटा देंगे 3tऔर (−3t)

परिणामस्वरूप, हम अभिव्यक्ति से वंचित रह जायेंगे (−4t) + 2t. इस अभिव्यक्ति में, आप समान शब्द जोड़ सकते हैं और अंतिम उत्तर प्राप्त कर सकते हैं:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

आइए संक्षेप में समाधान लिखें:

अभिव्यक्ति को सरल बनाना

"अभिव्यक्ति को सरल बनाएं" और नीचे वह अभिव्यक्ति है जिसे सरल बनाने की आवश्यकता है। एक अभिव्यक्ति को सरल बनाएंइसका मतलब है इसे सरल और छोटा बनाना।

वास्तव में, जब हमने भिन्नों को कम कर दिया है तो हम पहले से ही अभिव्यक्तियों को सरल बना रहे हैं। घटाने के बाद अंश छोटा हो गया और समझने में आसान हो गया।

निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें. अभिव्यक्ति को सरल कीजिये.

इस कार्य को वस्तुतः इस प्रकार समझा जा सकता है: "इस अभिव्यक्ति पर कोई भी वैध कार्रवाई लागू करें, लेकिन इसे सरल बनाएं।" .

इस स्थिति में, आप भिन्न को कम कर सकते हैं, अर्थात् भिन्न के अंश और हर को 2 से विभाजित कर सकते हैं:

इसके अलावा आप क्या कर सकते हैं? आप परिणामी भिन्न की गणना कर सकते हैं. तब हमें दशमलव भिन्न 0.5 प्राप्त होता है

परिणामस्वरूप, भिन्न को 0.5 तक सरलीकृत कर दिया गया।

ऐसी समस्याओं को हल करते समय पहला प्रश्न जो आपको स्वयं से पूछना चाहिए वह है "क्या किया जा सकता है?" . क्योंकि ऐसे कार्य हैं जो आप कर सकते हैं, और ऐसे कार्य भी हैं जिन्हें आप नहीं कर सकते।

एक और महत्वपूर्ण बिंदुयाद रखने वाली बात यह है कि अभिव्यक्ति को सरल बनाने के बाद अभिव्यक्ति का मूल्य नहीं बदलना चाहिए। आइए अभिव्यक्ति पर वापस लौटें। यह अभिव्यक्ति उस विभाजन का प्रतिनिधित्व करती है जिसे निष्पादित किया जा सकता है। इस विभाजन को करने पर हमें इस व्यंजक का मान प्राप्त होता है, जो 0.5 के बराबर है

लेकिन हमने अभिव्यक्ति को सरल बनाया और एक नई सरलीकृत अभिव्यक्ति प्राप्त की। नई सरलीकृत अभिव्यक्ति का मान अभी भी 0.5 है

लेकिन हमने अभिव्यक्ति की गणना करके उसे सरल बनाने का भी प्रयास किया। परिणामस्वरूप, हमें 0.5 का अंतिम उत्तर प्राप्त हुआ।

इस प्रकार, कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम अभिव्यक्ति को कितना सरल बनाते हैं, परिणामी अभिव्यक्तियों का मान अभी भी 0.5 के बराबर है। इसका मतलब यह है कि हर स्तर पर सरलीकरण सही ढंग से किया गया। अभिव्यक्ति को सरल बनाते समय हमें यही प्रयास करना चाहिए - अभिव्यक्ति का अर्थ हमारे कार्यों से प्रभावित नहीं होना चाहिए।

प्रायः शाब्दिक अभिव्यक्तियों को सरल बनाना आवश्यक होता है। संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के समान सरलीकरण नियम उन पर भी लागू होते हैं। आप कोई भी वैध कार्य कर सकते हैं, जब तक कि अभिव्यक्ति का मान नहीं बदलता।

आइए कुछ उदाहरण देखें.

उदाहरण 1.एक अभिव्यक्ति को सरल बनाएं 5.21s × t × 2.5

इस अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए, आप संख्याओं को अलग-अलग गुणा कर सकते हैं और अक्षरों को अलग-अलग गुणा कर सकते हैं। यह कार्य उस कार्य के समान है जिसे हमने तब देखा था जब हमने गुणांक निर्धारित करना सीखा था:

5.21s × t × 2.5 = 5.21 × 2.5 × s × t = 13.025 × st = 13.025st

तो अभिव्यक्ति 5.21s × t × 2.5को सरलीकृत किया गया 13,025वां.

उदाहरण 2.एक अभिव्यक्ति को सरल बनाएं −0.4 × (−6.3b) × 2

दूसरा टुकड़ा (−6.3बी)हमारे लिए समझने योग्य रूप में अनुवादित किया जा सकता है, अर्थात् फॉर्म में लिखा गया है ( −6,3)×बी ,फिर संख्याओं को अलग-अलग गुणा करें और अक्षरों को अलग-अलग गुणा करें:

− 0,4 × (−6.3बी) × 2 = − 0,4 × (−6.3) × बी × 2 = 5.04बी

तो अभिव्यक्ति −0.4 × (−6.3b) × 2 को सरलीकृत किया गया 5.04बी

उदाहरण 3.एक अभिव्यक्ति को सरल बनाएं

आइए इस अभिव्यक्ति को और अधिक विस्तार से लिखें ताकि स्पष्ट रूप से देख सकें कि संख्याएँ कहाँ हैं और अक्षर कहाँ हैं:

आइए अब संख्याओं को अलग-अलग गुणा करें और अक्षरों को अलग-अलग गुणा करें:

तो अभिव्यक्ति को सरलीकृत किया गया −एबीसी.इस समाधान को संक्षेप में लिखा जा सकता है:

व्यंजकों को सरल बनाते समय, समाधान प्रक्रिया के दौरान भिन्नों को कम किया जा सकता है, न कि बिल्कुल अंत में, जैसा कि हमने किया था साधारण अंश. उदाहरण के लिए, यदि हल करने के दौरान हमें फॉर्म का कोई व्यंजक मिलता है, तो अंश और हर की गणना करना और कुछ इस तरह करना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है:

अंश और हर में एक गुणनखंड का चयन करके और इन गुणनखंडों को उनके सबसे बड़े मान से घटाकर एक भिन्न को कम किया जा सकता है सामान्य भाजक. दूसरे शब्दों में, वह प्रयोग जिसमें हम विस्तार से वर्णन नहीं करते कि अंश और हर को किन भागों में बाँटा गया है।

उदाहरण के लिए, अंश में गुणनखंड 12 है और हर में गुणनखंड 4 को 4 से कम किया जा सकता है। हम चार को अपने दिमाग में रखते हैं, और 12 और 4 को इस चार से विभाजित करते हुए, इन संख्याओं के आगे उत्तर लिखते हैं, सबसे पहले उन्हें पार किया

अब आप परिणामी छोटे कारकों को गुणा कर सकते हैं। इस मामले में, उनमें से कुछ ही हैं और आप उन्हें अपने मन में गुणा कर सकते हैं:

समय के साथ, आप पा सकते हैं कि किसी विशेष समस्या को हल करते समय, अभिव्यक्तियाँ "मोटी होने" लगती हैं, इसलिए त्वरित गणना की आदत डालने की सलाह दी जाती है। जो मन में गणना की जा सकती है उसकी गणना मन में ही करनी चाहिए। जिसे शीघ्रता से कम किया जा सकता है उसे शीघ्रता से कम किया जाना चाहिए।

उदाहरण 4.एक अभिव्यक्ति को सरल बनाएं

तो अभिव्यक्ति को सरलीकृत किया गया

उदाहरण 5.एक अभिव्यक्ति को सरल बनाएं

आइए संख्याओं को अलग-अलग और अक्षरों को अलग-अलग गुणा करें:

तो अभिव्यक्ति को सरलीकृत किया गया एम.एन.

उदाहरण 6.एक अभिव्यक्ति को सरल बनाएं

आइए इस अभिव्यक्ति को और अधिक विस्तार से लिखें ताकि स्पष्ट रूप से देख सकें कि संख्याएँ कहाँ हैं और अक्षर कहाँ हैं:

अब संख्याओं को अलग-अलग और अक्षरों को अलग-अलग गुणा करते हैं। गणना में आसानी के लिए, दशमलव अंश -6.4 और मिश्रित संख्यासाधारण भिन्नों में परिवर्तित किया जा सकता है:

तो अभिव्यक्ति को सरलीकृत किया गया

इस उदाहरण का समाधान बहुत संक्षेप में लिखा जा सकता है। यह इस तरह दिखेगा:

उदाहरण 7.एक अभिव्यक्ति को सरल बनाएं

आइए संख्याओं को अलग-अलग और अक्षरों को अलग-अलग गुणा करें। गणना में आसानी के लिए, एक मिश्रित संख्या और दशमलव 0.1 और 0.6 को साधारण भिन्नों में बदला जा सकता है:

तो अभिव्यक्ति को सरलीकृत किया गया ए बी सी डी. यदि आप विवरण छोड़ देते हैं, तो यह निर्णयबहुत छोटा लिखा जा सकता है:

ध्यान दें कि भिन्न को कैसे कम किया गया है। पिछले कारकों में कमी के परिणामस्वरूप प्राप्त होने वाले नए कारकों को भी कम किया जा सकता है।

अब बात करते हैं कि क्या नहीं करना चाहिए. अभिव्यक्तियों को सरल बनाते समय, यदि अभिव्यक्ति एक योग है और उत्पाद नहीं है तो संख्याओं और अक्षरों को गुणा करना सख्त वर्जित है।

उदाहरण के लिए, यदि आप अभिव्यक्ति को सरल बनाना चाहते हैं 5ए+4बी, तो आप इसे इस तरह नहीं लिख सकते:

यह वैसा ही है जैसे हमें दो संख्याओं को जोड़ने के लिए कहा गया और हमने उन्हें जोड़ने के बजाय उन्हें गुणा कर दिया।

किसी भी चर मान को प्रतिस्थापित करते समय एऔर बीअभिव्यक्ति 5ए +4बीएक सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्ति में बदल जाता है। आइए मान लें कि चर एऔर बीनिम्नलिखित अर्थ हैं:

ए = 2, बी = 3

तब व्यंजक का मान 22 के बराबर होगा

5ए + 4बी = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

सबसे पहले, गुणन किया जाता है, और फिर परिणाम जोड़े जाते हैं। और यदि हम संख्याओं और अक्षरों को गुणा करके इस अभिव्यक्ति को सरल बनाने का प्रयास करें, तो हमें निम्नलिखित प्राप्त होगा:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

इससे अभिव्यक्ति का बिल्कुल अलग अर्थ पता चलता है। पहले मामले में यह काम कर गया 22 , दूसरे मामले में 120 . इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति को सरल बनाना 5ए+4बीगलत तरीके से प्रदर्शन किया गया.

अभिव्यक्ति को सरल बनाने के बाद, चर के समान मान के साथ इसका मान नहीं बदलना चाहिए। यदि किसी चर मान को मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते समय एक मान प्राप्त होता है, तो अभिव्यक्ति को सरल बनाने के बाद सरलीकरण से पहले जैसा ही मान प्राप्त किया जाना चाहिए।

अभिव्यक्ति के साथ 5ए+4बीवास्तव में आप कुछ नहीं कर सकते। यह इसे सरल नहीं बनाता है.

यदि किसी अभिव्यक्ति में समान पद हैं, तो उन्हें जोड़ा जा सकता है यदि हमारा लक्ष्य अभिव्यक्ति को सरल बनाना है।

उदाहरण 8.एक अभिव्यक्ति को सरल बनाएं 0.3a−0.4a+a

0.3a − 0.4a + a = 0.3a + (−0.4a) + a = (0.3 + (−0.4) + 1)×a = 0.9a

या छोटा: 0.3ए − 0.4ए + ए = 0.9ए

तो अभिव्यक्ति 0.3a−0.4a+aको सरलीकृत किया गया 0.9ए

उदाहरण 9.एक अभिव्यक्ति को सरल बनाएं −7.5a − 2.5b + 4a

इस अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए, हम समान शब्द जोड़ सकते हैं:

−7.5a − 2.5b + 4a = −7.5a + (−2.5b) + 4a = ((−7.5) + 4)×a + (−2.5b) = −3.5a + (−2.5b)

या छोटा −7.5a − 2.5b + 4a = −3.5a + (−2.5b)

अवधि (−2.5बी)अपरिवर्तित रहा क्योंकि इसमें रखने के लिए कुछ भी नहीं था।

उदाहरण 10.एक अभिव्यक्ति को सरल बनाएं

इस अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए, हम समान शब्द जोड़ सकते हैं:

गुणांक गणना में आसानी के लिए था।

तो अभिव्यक्ति को सरलीकृत किया गया

उदाहरण 11.एक अभिव्यक्ति को सरल बनाएं

इस अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए, हम समान शब्द जोड़ सकते हैं:

तो अभिव्यक्ति को सरलीकृत किया गया।

में इस उदाहरण मेंपहले और आखिरी गुणांक को पहले जोड़ना अधिक उचित होगा। इस मामले में हमारे पास एक संक्षिप्त समाधान होगा. यह इस तरह दिखेगा:

उदाहरण 12.एक अभिव्यक्ति को सरल बनाएं

इस अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए, हम समान शब्द जोड़ सकते हैं:

तो अभिव्यक्ति को सरलीकृत किया गया .

यह शब्द अपरिवर्तित रहा, क्योंकि इसमें जोड़ने के लिए कुछ भी नहीं था।

इस समाधान को बहुत छोटा लिखा जा सकता है. यह इस तरह दिखेगा:

संक्षिप्त समाधान में घटाव को जोड़ से बदलने और भिन्नों को एक सामान्य हर में कैसे घटाया गया, इसका विवरण देने के चरणों को छोड़ दिया गया।

एक और अंतर यह है कि विस्तृत समाधानउत्तर जैसा दिखता है , लेकिन संक्षेप में जैसे . वास्तव में, वे एक ही अभिव्यक्ति हैं। अंतर यह है कि पहले मामले में, घटाव को जोड़ से बदल दिया जाता है, क्योंकि शुरुआत में जब हमने समाधान लिखा था विस्तार से, जहां भी संभव हो हमने घटाव को जोड़ से बदल दिया और इस प्रतिस्थापन को उत्तर के लिए संरक्षित कर लिया गया।

पहचान. समान रूप से समान भाव

एक बार जब हम किसी भी अभिव्यक्ति को सरल बना देते हैं, तो वह सरल और छोटी हो जाती है। यह जांचने के लिए कि सरलीकृत अभिव्यक्ति सही है या नहीं, किसी भी चर मान को पहले पिछली अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करना पर्याप्त है जिसे सरल बनाने की आवश्यकता है, और फिर नए में जिसे सरल बनाया गया है। यदि दोनों अभिव्यक्तियों में मान समान है, तो सरलीकृत अभिव्यक्ति सत्य है।

आइए विचार करें सबसे सरल उदाहरण. अभिव्यक्ति को सरल बनाना आवश्यक है 2a×7b. इस अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए, आप संख्याओं और अक्षरों को अलग-अलग गुणा कर सकते हैं:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

आइए जाँच करें कि क्या हमने अभिव्यक्ति को सही ढंग से सरल बनाया है। ऐसा करने के लिए, आइए चर के किसी भी मान को प्रतिस्थापित करें एऔर बीपहले पहली अभिव्यक्ति में, जिसे सरल बनाने की आवश्यकता थी, और फिर दूसरी में, जिसे सरल बनाया गया था।

चलो चर के मान ए , बीइस प्रकार होगा:

ए = 4, बी = 5

आइए उन्हें पहली अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करें 2a×7b

आइए अब अभिव्यक्ति में उन्हीं चर मानों को प्रतिस्थापित करें जो सरलीकरण के परिणामस्वरूप हुए हैं 2a×7b, अर्थात् अभिव्यक्ति में 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

हम उसे तब देखते हैं ए=4और बी=5पहली अभिव्यक्ति का मूल्य 2a×7bऔर दूसरी अभिव्यक्ति का अर्थ 14abबराबर

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

किसी भी अन्य मूल्य के लिए भी ऐसा ही होगा। उदाहरण के लिए, चलो ए=1और बी=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 =28

इस प्रकार, अभिव्यक्ति चर के किसी भी मान के लिए 2a×7bऔर 14abसमान मान के बराबर हैं. ऐसे भाव कहलाते हैं समान रूप से बराबर.

हम भावों के बीच यह निष्कर्ष निकालते हैं 2a×7bऔर 14abआप एक समान चिह्न लगा सकते हैं क्योंकि वे समान मान के बराबर हैं।

2a × 7b = 14ab

समानता कोई भी अभिव्यक्ति है जो समान चिह्न (=) से जुड़ी होती है।

और स्वरूप की समानता 2a×7b = 14abबुलाया पहचान.

एक पहचान एक समानता है जो चर के किसी भी मान के लिए सत्य है।

पहचान के अन्य उदाहरण:

ए + बी = बी + ए

ए(बी+सी) = एबी + एसी

ए(बीसी) = (एबी)सी

हाँ, गणित के जिन नियमों का हमने अध्ययन किया वे सर्वसमिकाएँ हैं।

सच्ची संख्यात्मक समानताएँ भी पहचान हैं। उदाहरण के लिए:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

किसी जटिल समस्या को हल करते समय, गणना को आसान बनाने के लिए, जटिल अभिव्यक्ति को एक सरल अभिव्यक्ति से बदल दिया जाता है जो पिछले एक के समान होती है। इस प्रतिस्थापन को कहा जाता है अभिव्यक्ति का समान परिवर्तनया बस अभिव्यक्ति को रूपांतरित करना.

उदाहरण के लिए, हमने अभिव्यक्ति को सरल बनाया 2a×7b, और एक सरल अभिव्यक्ति मिली 14ab. इस सरलीकरण को पहचान परिवर्तन कहा जा सकता है।

आप अक्सर ऐसा कार्य पा सकते हैं जो कहता है "साबित करें कि समानता एक पहचान है" और फिर वह समानता दी जाती है जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता होती है। आमतौर पर इस समानता में दो भाग होते हैं: समानता के बाएँ और दाएँ भाग। हमारा कार्य समानता के एक भाग के साथ पहचान परिवर्तन करना और दूसरा भाग प्राप्त करना है। या समानता के दोनों पक्षों पर समान परिवर्तन करें और सुनिश्चित करें कि समानता के दोनों पक्षों में समान अभिव्यक्तियाँ हों।

उदाहरण के लिए, आइए हम सिद्ध करें कि समानता 0.5a × 5b = 2.5abएक पहचान है.

आइए इस समानता के बाईं ओर को सरल बनाएं। ऐसा करने के लिए, संख्याओं और अक्षरों को अलग-अलग गुणा करें:

0.5 × 5 × ए × बी = 2.5 एबी

2.5ab = 2.5ab

एक छोटे से पहचान परिवर्तन के परिणामस्वरूप, समानता का बायाँ भाग समानता के दाएँ पक्ष के बराबर हो गया। तो हमने सिद्ध कर दिया कि समानता है 0.5a × 5b = 2.5abएक पहचान है.

समान परिवर्तनों से हमने संख्याओं को जोड़ना, घटाना, गुणा और भाग करना, भिन्नों को कम करना, समान पद जोड़ना और कुछ अभिव्यक्तियों को सरल बनाना भी सीखा।

लेकिन ये सभी समान परिवर्तन नहीं हैं जो गणित में मौजूद हैं। और भी कई समान परिवर्तन हैं। हम भविष्य में इसे एक से अधिक बार देखेंगे।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

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