ऋणात्मक संख्याओं का योग, नियम, उदाहरण। पोस्ट टैग किए गए "नकारात्मक संख्याओं का जोड़"

सकारात्मक और नकारात्मक संख्याएँ
समन्वय रेखा
चलिए सीधे चलते हैं. आइए इस पर बिंदु 0 (शून्य) अंकित करें और इस बिंदु को प्रारंभिक बिंदु के रूप में लें।

हम निर्देशांक की उत्पत्ति से दाईं ओर एक सीधी रेखा में गति की दिशा को एक तीर से इंगित करते हैं। इस दिशा में बिंदु 0 से हम धनात्मक संख्याएँ आलेखित करेंगे।

अर्थात् शून्य को छोड़कर जो संख्याएँ हमें पहले से ज्ञात हैं, वे धनात्मक कहलाती हैं।

कभी-कभी सकारात्मक संख्याएँ "+" चिह्न के साथ लिखी जाती हैं। उदाहरण के लिए, "+8"।

संक्षिप्तता के लिए, सकारात्मक संख्या से पहले "+" चिह्न आमतौर पर हटा दिया जाता है और "+8" के बजाय वे बस 8 लिखते हैं।

इसलिए, "+3" और "3" एक ही संख्या हैं, केवल अलग-अलग रूप से निर्दिष्ट हैं।

आइए कुछ खंड चुनें जिनकी लंबाई हम एक के रूप में लेते हैं और इसे बिंदु 0 से दाईं ओर कई बार ले जाते हैं। पहले खंड के अंत में संख्या 1 लिखी जाती है, दूसरे के अंत में - संख्या 2, आदि।

इकाई खंड को मूल बिंदु से बाईं ओर रखने पर हमें ऋणात्मक संख्याएँ प्राप्त होती हैं: -1; -2; वगैरह।

नकारात्मक संख्याएँविभिन्न मात्राओं को दर्शाने के लिए उपयोग किया जाता है, जैसे: तापमान (शून्य से नीचे), प्रवाह - अर्थात, नकारात्मक आय, गहराई - नकारात्मक ऊंचाई, और अन्य।

जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, ऋणात्मक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जो हमें पहले से ही ज्ञात हैं, केवल ऋण चिह्न के साथ: -8; -5.25, आदि।

• संख्या 0 न तो सकारात्मक है और न ही नकारात्मक है।

संख्या अक्ष आमतौर पर क्षैतिज या लंबवत रूप से स्थित होता है।

यदि समन्वय रेखा लंबवत स्थित है, तो मूल से ऊपर की दिशा आमतौर पर सकारात्मक मानी जाती है, और मूल से नीचे की दिशा नकारात्मक होती है।

तीर सकारात्मक दिशा दर्शाता है.

सीधी रेखा चिह्नित:
. उत्पत्ति (बिंदु 0);
. इकाई खंड;
. तीर सकारात्मक दिशा को इंगित करता है;
बुलाया समन्वय रेखा या संख्या अक्ष.

एक निर्देशांक रेखा पर विपरीत संख्याएँ
आइए निर्देशांक रेखा पर दो बिंदुओं ए और बी को चिह्नित करें, जो क्रमशः दाएं और बाएं बिंदु 0 से समान दूरी पर स्थित हैं।

इस मामले में, खंड OA और OB की लंबाई समान है।

इसका मतलब यह है कि बिंदु A और B के निर्देशांक केवल चिह्न में भिन्न हैं।


बिंदु ए और बी को मूल बिंदु के बारे में सममित भी कहा जाता है।
बिंदु A का निर्देशांक धनात्मक "+2" है, बिंदु B के निर्देशांक पर ऋण चिह्न "-2" है।
ए (+2), बी (-2)।

• वे संख्याएँ जो केवल चिह्न में भिन्न होती हैं, विपरीत संख्याएँ कहलाती हैं। संख्यात्मक (समन्वय) अक्ष के संगत बिंदु मूल के सापेक्ष सममित हैं।

हर नंबर केवल एक विपरीत संख्या है. केवल संख्या 0 का कोई विपरीत नहीं है, लेकिन हम कह सकते हैं कि यह स्वयं का विपरीत है।

अंकन "-ए" का अर्थ "ए" की विपरीत संख्या है। याद रखें कि एक अक्षर या तो धनात्मक संख्या या ऋणात्मक संख्या को छिपा सकता है।

उदाहरण:
-3, 3 की विपरीत संख्या है।

हम इसे एक अभिव्यक्ति के रूप में लिखते हैं:
-3 = -(+3)

उदाहरण:
-(-6) ऋणात्मक संख्या -6 की विपरीत संख्या है। अतः -(-6) एक धनात्मक संख्या 6 है।

हम इसे एक अभिव्यक्ति के रूप में लिखते हैं:
-(-6) = 6

जोड़ना नकारात्मक संख्याएँ
धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं के योग का विश्लेषण संख्या रेखा का उपयोग करके किया जा सकता है।

एक समन्वय रेखा पर छोटी मॉड्यूलो संख्याओं को जोड़ना सुविधाजनक है, मानसिक रूप से कल्पना करना कि संख्या को दर्शाने वाला बिंदु संख्या अक्ष के साथ कैसे चलता है।

आइए कुछ संख्या लें, उदाहरण के लिए, 3. आइए इसे संख्या अक्ष पर बिंदु A द्वारा निरूपित करें।

आइए संख्या में सकारात्मक संख्या 2 जोड़ें। इसका मतलब यह होगा कि बिंदु ए को दो इकाई खंडों को सकारात्मक दिशा में, यानी दाईं ओर ले जाना होगा। परिणामस्वरूप, हमें निर्देशांक 5 के साथ बिंदु B मिलता है।
3 + (+ 2) = 5

किसी धनात्मक संख्या, उदाहरण के लिए, 3, में एक ऋणात्मक संख्या (- 5) जोड़ने के लिए, बिंदु A को ऋणात्मक दिशा में, यानी बाईं ओर, 5 इकाई लंबाई तक ले जाना होगा।

इस स्थिति में, बिंदु B का निर्देशांक - 2 है।

तो, जोड़ने का क्रम भिन्नात्मक संख्याएंएक संख्या अक्ष का उपयोग करना होगा:
. पहले पद के बराबर निर्देशांक वाली निर्देशांक रेखा पर एक बिंदु A अंकित करें;
. इसे कुछ दूरी पर ले जाएं मापांक के बराबरउस दिशा में दूसरा पद जो दूसरे नंबर के सामने के चिह्न से मेल खाता है (प्लस - दाईं ओर जाएं, माइनस - बाईं ओर);
. अक्ष पर प्राप्त बिंदु B का एक निर्देशांक होगा जो इन संख्याओं के योग के बराबर होगा।

उदाहरण।
- 2 + (- 6) =

बिंदु - 2 से बायीं ओर जाने पर (चूँकि 6 के सामने ऋण चिह्न है), हमें - 8 मिलता है।
- 2 + (- 6) = - 8

समान चिन्हों वाली संख्याएँ जोड़ना
यदि आप मापांक की अवधारणा का उपयोग करते हैं तो परिमेय संख्याओं को जोड़ना आसान हो सकता है।

आइए हमें उन संख्याओं को जोड़ना होगा जिनके चिह्न समान हों।
ऐसा करने के लिए, हम संख्याओं के चिह्नों को हटा देते हैं और इन संख्याओं के मॉड्यूल लेते हैं। आइए मॉड्यूल जोड़ें और उस योग के सामने चिह्न लगाएं जो इन संख्याओं के लिए सामान्य था।

उदाहरण।

ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने का एक उदाहरण.
(- 3,2) + (- 4,3) = - (3,2 + 4,3) = - 7,5

• समान चिह्न की संख्याओं को जोड़ने के लिए, आपको उनके मॉड्यूल को जोड़ना होगा और योग के सामने वह चिह्न लगाना होगा जो शर्तों से पहले था।

के साथ संख्याएँ जोड़ना विभिन्न संकेत
यदि संख्याओं में अलग-अलग चिह्न हैं, तो हम समान चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ने की तुलना में कुछ अलग तरीके से कार्य करते हैं।
. हम संख्याओं के सामने चिह्नों को हटा देते हैं, अर्थात हम उनके मॉड्यूल लेते हैं।
. बड़े मॉड्यूल से हम छोटे मॉड्यूल को घटाते हैं।
. अंतर से पहले हमने वह चिह्न लगाया जो बड़े मॉड्यूल वाले नंबर में था।

एक ऋणात्मक और एक धनात्मक संख्या जोड़ने का एक उदाहरण.
0,3 + (- 0,8) = - (0,8 - 0,3) = - 0,5

मिश्रित संख्याओं को जोड़ने का एक उदाहरण.

विभिन्न चिह्नों की संख्या जोड़ने के लिए आपको चाहिए:
. बड़े मॉड्यूल से छोटे मॉड्यूल को घटाएं;
. परिणामी अंतर से पहले बड़े मापांक वाली संख्या का चिह्न लगाएं।

ऋणात्मक संख्याओं को घटाना
जैसा कि आप जानते हैं, घटाव जोड़ के विपरीत है।
यदि a और b धनात्मक संख्याएँ हैं, तो संख्या a में से संख्या b घटाने का मतलब एक संख्या c खोजना है, जिसे संख्या b में जोड़ने पर संख्या a प्राप्त होती है।
ए - बी = सी या सी + बी = ए

घटाव की परिभाषा सभी परिमेय संख्याओं के लिए सत्य है। वह है धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को घटानाजोड़ द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

• एक संख्या में से दूसरी संख्या घटाने के लिए, आपको घटाई जाने वाली संख्या में विपरीत संख्या जोड़नी होगी।

या, दूसरे तरीके से, हम कह सकते हैं कि संख्या b को घटाना जोड़ के समान है, लेकिन b के विपरीत संख्या के साथ।
ए - बी = ए + (- बी)

उदाहरण।
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2

उदाहरण।
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2

• नीचे दिए गए भावों को याद रखना उचित है।
• 0 - ए = - ए
• ए - 0 = ए
• ए - ए = 0

ऋणात्मक संख्याओं को घटाने के नियम
जैसा कि ऊपर दिए गए उदाहरणों से देखा जा सकता है, किसी संख्या b को घटाना b के विपरीत संख्या के साथ एक जोड़ है।
यह नियम न केवल बड़ी संख्या में से छोटी संख्या घटाने पर लागू होता है, बल्कि आपको छोटी संख्या में से घटाने की सुविधा भी देता है। बड़ी संख्यायानी, आप हमेशा दो संख्याओं के बीच अंतर पा सकते हैं।

अंतर एक धनात्मक संख्या, एक ऋणात्मक संख्या या शून्य संख्या हो सकता है।

ऋणात्मक और धनात्मक संख्याओं को घटाने के उदाहरण.
. - 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
. - 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
. 5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
संकेत नियम को याद रखना सुविधाजनक है, जो आपको कोष्ठकों की संख्या कम करने की अनुमति देता है।
प्लस चिह्न संख्या का चिह्न नहीं बदलता है, इसलिए यदि कोष्ठक के सामने प्लस है, तो कोष्ठक में चिह्न नहीं बदलता है।
+ (+ ए) = + ए

+ (- ए) = - ए

कोष्ठक के सामने ऋण चिह्न कोष्ठक में संख्या के चिह्न को उलट देता है।
- (+ ए) = - ए

- (- ए) = + ए

समानता से यह स्पष्ट है कि यदि कोष्ठक के पहले और अंदर समान चिन्ह हों तो हमें "+" मिलता है, और यदि चिन्ह भिन्न-भिन्न हों तो हमें "-" मिलता है।
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0

कोष्ठक में एक भी संख्या न होने पर भी चिह्नों का नियम सुरक्षित रहता है बीजगणितीय योगनंबर.
ए - (- बी + सी) + (डी - के + एन) = ए + बी - सी + डी - के + एन

कृपया ध्यान दें कि यदि कोष्ठक में कई संख्याएँ हैं और कोष्ठक के सामने ऋण चिह्न है, तो इन कोष्ठक में सभी संख्याओं के सामने का चिह्न अवश्य बदलना चाहिए।

चिह्नों के नियम को याद रखने के लिए, आप किसी संख्या के चिह्न निर्धारित करने के लिए एक तालिका बना सकते हैं।
संख्याओं के लिए चिह्न नियम

या एक सरल नियम सीखें.

• दो नकारात्मक एक सकारात्मक बनाते हैं,
• प्लस गुणा माइनस बराबर माइनस होता है।

ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करना
किसी संख्या के मापांक की अवधारणा का उपयोग करके, हम धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के नियम बनाते हैं।

समान चिन्हों से संख्याओं को गुणा करना
पहला मामला जो आपके सामने आ सकता है वह समान चिह्नों वाली संख्याओं का गुणन है।
समान चिह्नों वाली दो संख्याओं को गुणा करने के लिए:
. संख्याओं के मॉड्यूल को गुणा करें;
. परिणामी उत्पाद के सामने "+" चिह्न लगाएं (उत्तर लिखते समय, बाईं ओर पहले नंबर से पहले का "प्लस" चिह्न छोड़ा जा सकता है)।

ऋणात्मक और धनात्मक संख्याओं को गुणा करने के उदाहरण.
. (- 3) . (- 6) = + 18 = 18
. 2 . 3 = 6

संख्याओं को विभिन्न चिन्हों से गुणा करना
दूसरा संभावित मामला विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं का गुणन है।
दो संख्याओं को विभिन्न चिह्नों से गुणा करने के लिए:
. संख्याओं के मॉड्यूल को गुणा करें;
. परिणामी कार्य के सामने "-" चिन्ह लगाएं।
ऋणात्मक और धनात्मक संख्याओं को गुणा करने के उदाहरण.
. (- 0,3) . 0,5 = - 1,5
. 1,2 . (- 7) = - 8,4

गुणन चिह्न के नियम
गुणन के लिए चिह्न नियम को याद रखना बहुत सरल है। यह नियमकोष्ठक खोलने के नियम से मेल खाता है।

• दो नकारात्मक एक सकारात्मक बनाते हैं,
• प्लस गुणा माइनस बराबर माइनस होता है।

"लंबे" उदाहरणों में, जिनमें केवल गुणन क्रिया होती है, उत्पाद का चिह्न नकारात्मक कारकों की संख्या से निर्धारित किया जा सकता है।

पर यहां तक ​​कीनकारात्मक कारकों की संख्या, परिणाम सकारात्मक होगा, और साथ में विषममात्रा - नकारात्मक.
उदाहरण।
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) =

उदाहरण में पाँच नकारात्मक कारक हैं। इसका मतलब है कि परिणाम का चिन्ह "माइनस" होगा।
आइए अब संकेतों पर ध्यान न देते हुए मॉड्यूल के उत्पाद की गणना करें।
6 . 3 . 4 . 2 . 12 . 1 = 1728

मूल संख्याओं को गुणा करने का अंतिम परिणाम होगा:
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) = - 1728

शून्य और एक से गुणा करना
यदि गुणनखंडों में कोई संख्या शून्य या धनात्मक हो तो गुणा उसके अनुसार किया जाता है ज्ञात नियम.
. 0 . ए = 0
. एक। 0 = 0
. एक। 1 = ए
उदाहरण:
. 0 . (- 3) = 0
. 0,4 . 1 = 0,4
परिमेय संख्याओं को गुणा करते समय ऋणात्मक (-1) एक विशेष भूमिका निभाता है।

• (- 1) से गुणा करने पर संख्या उलट जाती है।

में शाब्दिक अभिव्यक्तियह संपत्ति लिखी जा सकती है:
एक। (- 1) = (- 1) . ए = - ए

तर्कसंगत संख्याओं को एक साथ जोड़ने, घटाने और गुणा करने पर, सकारात्मक संख्याओं और शून्य के लिए स्थापित संचालन का क्रम बनाए रखा जाता है।

ऋणात्मक और धनात्मक संख्याओं को गुणा करने का एक उदाहरण.

ऋणात्मक संख्याओं का विभाजन
यह समझना आसान है कि ऋणात्मक संख्याओं को कैसे विभाजित किया जाए, यह याद रखते हुए कि विभाजन गुणन का व्युत्क्रम है।

यदि a और b धनात्मक संख्याएँ हैं, तो संख्या a को संख्या b से विभाजित करने का अर्थ है एक संख्या c ज्ञात करना, जिसे b से गुणा करने पर संख्या a प्राप्त होती है।

विभाजन की यह परिभाषा किसी भी परिमेय संख्या पर तब तक लागू होती है जब तक कि भाजक गैर-शून्य हों।

इसलिए, उदाहरण के लिए, संख्या (- 15) को संख्या 5 से विभाजित करने का अर्थ है एक ऐसी संख्या खोजना, जिसे संख्या 5 से गुणा करने पर संख्या (- 15) प्राप्त हो। चूँकि यह संख्या (- 3) होगी
(- 3) . 5 = - 15

मतलब

(- 15) : 5 = - 3

परिमेय संख्याओं को विभाजित करने के उदाहरण.
1. 10: 5 = 2, चूंकि 2। 5 = 10
2. (- 4) : (- 2) = 2, चूँकि 2। (- 2) = - 4
3. (- 18) : 3 = - 6, चूँकि (- 6) . 3=-18
4.12: (- 4) = - 3, चूँकि (- 3) . (-4)=12

उदाहरणों से यह स्पष्ट है कि समान चिह्नों वाली दो संख्याओं का भागफल एक धनात्मक संख्या है (उदाहरण 1, 2), और भिन्न चिह्नों वाली दो संख्याओं का भागफल एक ऋणात्मक संख्या है (उदाहरण 3,4)।

ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने के नियम
किसी भागफल का मापांक ज्ञात करने के लिए, आपको लाभांश के मापांक को भाजक के मापांक से विभाजित करना होगा।
तो, दो संख्याओं को समान चिह्नों से विभाजित करने के लिए, आपको यह करना होगा:

. परिणाम के सामने "+" चिन्ह लगाएं।
संख्याओं को समान चिन्हों से विभाजित करने के उदाहरण:
. (- 9) : (- 3) = + 3
. 6: 3 = 2

दो संख्याओं को विभिन्न चिह्नों से विभाजित करने के लिए, आपको यह करना होगा:
. लाभांश के मॉड्यूल को भाजक के मॉड्यूल से विभाजित करें;
. परिणाम के सामने "-" चिन्ह लगाएं।
विभिन्न चिह्नों से संख्याओं को विभाजित करने के उदाहरण:
. (- 5) : 2 = - 2,5
. 28: (- 2) = - 14
आप भागफल चिह्न निर्धारित करने के लिए निम्न तालिका का भी उपयोग कर सकते हैं।
विभाजन के लिए चिन्हों का नियम

"लंबे" भावों की गणना करते समय जिसमें केवल गुणा और भाग दिखाई देते हैं, संकेत नियम का उपयोग करना बहुत सुविधाजनक होता है। उदाहरण के लिए, भिन्न की गणना करने के लिए

कृपया ध्यान दें कि अंश में 2 ऋण चिह्न हैं, जिन्हें गुणा करने पर प्लस मिलेगा। हर में तीन ऋण चिह्न भी होते हैं, जिन्हें गुणा करने पर ऋण चिह्न मिलेगा। इसलिए, अंत में परिणाम ऋण चिह्न के साथ निकलेगा।

एक अंश को कम करना (संख्याओं के मॉड्यूल के साथ आगे की कार्रवाई) पहले की तरह ही किया जाता है:

• शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से भाग देने पर शून्य का भागफल शून्य होता है।
• 0: ए = 0, ए ≠ 0
• आप शून्य से भाग नहीं दे सकते!

एक से विभाजन के सभी पहले से ज्ञात नियम परिमेय संख्याओं के समुच्चय पर भी लागू होते हैं।
. ए: 1 = ए
. ए: (- 1) = - ए
. ए: ए = 1
, जहां a कोई परिमेय संख्या है।

गुणा और भाग के परिणामों के बीच संबंध, जो सकारात्मक संख्याओं के लिए जाना जाता है, सभी तर्कसंगत संख्याओं (शून्य को छोड़कर) के लिए समान रहता है:
. यदि एक । बी = सी; ए = सी: बी; बी = सी: ए;
. यदि ए: बी = सी; ए = सी. बी; बी = ए: सी
इन निर्भरताओं का उपयोग अज्ञात कारक, लाभांश और विभाजक (समीकरणों को हल करते समय) को खोजने के लिए किया जाता है, साथ ही गुणन और विभाजन के परिणामों की जांच करने के लिए भी किया जाता है।

अज्ञात को खोजने का एक उदाहरण.
एक्स। (-5)=10

एक्स = 10: (- 5)

एक्स = - 2

अंशों में ऋण चिह्न
संख्या (- 5) को 6 से और संख्या 5 को (- 6) से विभाजित करें।

हम आपको याद दिलाते हैं कि एक साधारण भिन्न के अंकन में रेखा एक ही विभाजन चिह्न है, और हम इनमें से प्रत्येक क्रिया के भागफल को ऋणात्मक भिन्न के रूप में लिखते हैं।

इस प्रकार, भिन्न में ऋण चिह्न हो सकता है:
. एक अंश से पहले;
. अंश में;
. हर में.

• ऋणात्मक भिन्न लिखते समय, ऋण चिह्न को अंश के सामने रखा जा सकता है, अंश से हर में स्थानांतरित किया जा सकता है, या हर से अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है।

इसका उपयोग अक्सर भिन्नों के साथ काम करते समय किया जाता है, जिससे गणना आसान हो जाती है।

उदाहरण। कृपया ध्यान दें कि कोष्ठक के सामने ऋण चिह्न लगाने के बाद, हम अलग-अलग चिह्नों के साथ संख्याओं को जोड़ने के नियमों के अनुसार बड़े मॉड्यूल से छोटे को घटाते हैं।


भिन्नों में चिह्न स्थानांतरण की वर्णित संपत्ति का उपयोग करके, आप यह पता लगाए बिना कार्य कर सकते हैं कि दिए गए भिन्नों में से किस अंश का मापांक अधिक है।

इस लेख में हम बात करेंगे ऋणात्मक संख्याएँ जोड़ना. पहले हम ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने का नियम देते हैं और उसे सिद्ध करते हैं। इसके बाद, हम ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के विशिष्ट उदाहरण देखेंगे।

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ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने का नियम

ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने का नियम बनाने से पहले, आइए लेख में दी गई सामग्री की ओर मुड़ें: धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएँ। वहां हमने उल्लेख किया कि ऋणात्मक संख्याओं को ऋण के रूप में माना जा सकता है, और इस मामले में इस ऋण की राशि निर्धारित होती है। इसलिए, दो ऋणात्मक संख्याओं का योग दो ऋणों का योग है।

यह निष्कर्ष हमें यह समझने की अनुमति देता है ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने का नियम. दो ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के लिए, आपको चाहिए:

• उनके मॉड्यूल मोड़ो;
• प्राप्त राशि के सामने ऋण चिह्न लगाएं।

आइए ऋणात्मक संख्याओं -a और -b को अक्षर रूप में जोड़ने का नियम लिखें: (−a)+(−b)=−(a+b).

यह स्पष्ट है कि बताया गया नियम ऋणात्मक संख्याओं के योग को धनात्मक संख्याओं के योग से कम कर देता है (ऋणात्मक संख्या का मापांक एक धनात्मक संख्या है)। यह भी स्पष्ट है कि दो ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने का परिणाम एक ऋणात्मक संख्या है, जैसा कि मॉड्यूल के योग के सामने रखे गए ऋण चिह्न से प्रमाणित होता है।

ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने का नियम किसके आधार पर सिद्ध किया जा सकता है? वास्तविक संख्याओं के साथ संक्रियाओं के गुण(या तर्कसंगत या पूर्णांक संख्याओं के साथ संचालन के समान गुण)। ऐसा करने के लिए, यह दिखाना पर्याप्त है कि समानता (−a)+(−b)=−(a+b) के बाएं और दाएं पक्षों के बीच का अंतर शून्य के बराबर है।

चूँकि किसी संख्या को घटाना विपरीत संख्या को जोड़ने के समान है (पूर्णांक घटाने का नियम देखें), तो (−a)+(−b)−(−(a+b))=(−a)+(−b)+(a+b). जोड़ के क्रमविनिमेय और संयोजनात्मक गुणों के कारण, हमारे पास है (−a)+(−b)+(a+b)=(−a+a)+(−b+b). चूंकि विपरीत संख्याओं का योग शून्य के बराबर है, तो (−a+a)+(−b+b)=0+0, और शून्य के साथ एक संख्या जोड़ने की संपत्ति के कारण 0+0=0। यह समानता (−a)+(−b)=−(a+b) सिद्ध करता है, और इसलिए ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने का नियम सिद्ध होता है।

जो कुछ बचा है वह यह सीखना है कि ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के नियम को व्यवहार में कैसे लागू किया जाए, जो हम अगले पैराग्राफ में करेंगे।

ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के उदाहरण

आइए इसे सुलझाएं ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के उदाहरण. आइए सबसे सरल मामले से शुरू करें - नकारात्मक पूर्णांकों का जोड़ हम पिछले पैराग्राफ में चर्चा किए गए नियम के अनुसार जोड़ देंगे।

उदाहरण।

ऋणात्मक संख्याएँ −304 और −18,007 जोड़ें।

समाधान।

आइए ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के नियम के सभी चरणों का पालन करें।

सबसे पहले हम जोड़े जा रहे नंबरों के मॉड्यूल ढूंढते हैं: और . अब आपको परिणामी संख्याओं को जोड़ने की आवश्यकता है; यहां कॉलम जोड़ना सुविधाजनक है:

अब हम परिणामी संख्या के सामने ऋण चिह्न लगाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप हमें −18,311 मिलता है।

आइए संपूर्ण समाधान लिखें संक्षिप्त रूप: (−304)+(−18 007)= −(304+18 007)=−18 311 .

उत्तर:

−18 311 .

नकारात्मक परिमेय संख्याओं का योग, संख्याओं के आधार पर, या तो प्राकृतिक संख्याओं के योग तक, या साधारण भिन्नों के योग तक, या दशमलव भिन्नों के योग तक कम किया जा सकता है।

उदाहरण।

एक ऋणात्मक संख्या और एक ऋणात्मक संख्या −4,(12) जोड़ें।

समाधान।

ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के नियम के अनुसार, आपको सबसे पहले मॉड्यूल के योग की गणना करनी होगी। जोड़े जा रहे ऋणात्मक संख्याओं के मॉड्यूल क्रमशः 2/5 और 4, (12) के बराबर हैं। परिणामी संख्याओं के योग को योग में घटाया जा सकता है साधारण अंश. ऐसा करने के लिए, हम आवधिक दशमलव भिन्न को साधारण भिन्न में परिवर्तित करते हैं: . इस प्रकार, 2/5+4,(12)=2/5+136/33. अब चलो यह करते हैं

इस सामग्री के ढांचे के भीतर हम इस पर बात करेंगे महत्वपूर्ण विषय, जैसे ऋणात्मक संख्याएँ जोड़ना। पहले पैराग्राफ में हम आपको इस क्रिया के लिए बुनियादी नियम बताएंगे, और दूसरे में हम ऐसी समस्याओं को हल करने के विशिष्ट उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे।

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प्राकृत संख्याओं को जोड़ने का मूल नियम

इससे पहले कि हम नियम निकालें, आइए याद रखें कि हम आम तौर पर सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं के बारे में क्या जानते हैं। पहले, हम इस बात पर सहमत थे कि नकारात्मक संख्याओं को ऋण, हानि के रूप में माना जाना चाहिए। ऋणात्मक संख्या का मापांक इस हानि के सटीक आकार को व्यक्त करता है। तब ऋणात्मक संख्याओं के योग को दो हानियों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।

इस तर्क का उपयोग करते हुए, हम ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने का मूल नियम बनाते हैं।

परिभाषा 1

पूर्ण करने के क्रम में ऋणात्मक संख्याएँ जोड़ना, आपको उनके मॉड्यूल के मूल्यों को जोड़ना होगा और परिणाम के सामने एक माइनस लगाना होगा। शाब्दिक रूप में, सूत्र इस तरह दिखता है (− a) + (− b) = − (a + b) .

इस नियम के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ना धनात्मक संख्याओं को जोड़ने के समान है, केवल अंत में हमें एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त करनी होगी, क्योंकि हमें मॉड्यूल के योग के सामने ऋण चिह्न लगाना होगा।

इस नियम के लिए क्या प्रमाण दिया जा सकता है? ऐसा करने के लिए, हमें वास्तविक संख्याओं (या पूर्णांकों के साथ, या तर्कसंगत संख्याओं के साथ - वे इन सभी प्रकार की संख्याओं के लिए समान हैं) के साथ संचालन के मूल गुणों को याद रखने की आवश्यकता है। इसे साबित करने के लिए, हमें बस यह प्रदर्शित करना होगा कि समानता (- a) + (- b) = - (a + b) के बाएँ और दाएँ पक्षों के बीच का अंतर 0 के बराबर होगा।

एक संख्या को दूसरी संख्या से घटाना उसी विपरीत संख्या को जोड़ने के समान है। इसलिए, (− a) + (− b) − (− (a + b)) = (− a) + (− b) + (a + b) । याद रखें कि योग के साथ संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में दो मुख्य गुण होते हैं - साहचर्य और क्रमविनिमेय। तब हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) । चूँकि, विपरीत संख्याओं को जोड़ने पर, हमें हमेशा 0 मिलता है, तो (- a + a) + (- b + b) = 0 + 0, और 0 + 0 = 0. हमारी समानता को सिद्ध माना जा सकता है, जिसका अर्थ है नियम ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने पर हमने इसे सिद्ध भी कर दिया।

दूसरे पैराग्राफ में, हम विशिष्ट समस्याएं लेंगे जहां हमें नकारात्मक संख्याओं को जोड़ने की आवश्यकता है, और हम सीखे गए नियम को उन पर लागू करने का प्रयास करेंगे।

उदाहरण 1

दो ऋणात्मक संख्याओं - 304 और - 18,007 का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान

आइए चरणों को चरण दर चरण निष्पादित करें। सबसे पहले हमें जोड़े जा रहे नंबरों के मॉड्यूल खोजने होंगे: - 304 = 304, - 180007 = 180007। आगे हमें अतिरिक्त कार्रवाई करने की आवश्यकता है, जिसके लिए हम कॉलम गिनती विधि का उपयोग करते हैं:

हमारे पास जो कुछ बचा है वह परिणाम के सामने माइनस लगाना है और प्राप्त करना है - 18,311।

उत्तर: - - 18 311 .

हमारे पास कौन सी संख्याएँ हैं यह इस बात पर निर्भर करता है कि हम जोड़ने की क्रिया को क्या कम कर सकते हैं: प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करना, साधारण या दशमलव भिन्नों को जोड़ना। आइए इन नंबरों के साथ समस्या का विश्लेषण करें।

उदाहरण एन

दो ऋणात्मक संख्याओं - 2 5 और − 4, (12) का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान

हम आवश्यक संख्याओं के मॉड्यूल ढूंढते हैं और 2 5 और 4, (12) प्राप्त करते हैं। हमें दो मिले अलग-अलग अंश. आइए हम समस्या को दो साधारण भिन्नों के योग तक सीमित करें, जिसके लिए हम आवर्त भिन्न को एक साधारण भिन्न के रूप में निरूपित करते हैं:

4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 - 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33

परिणामस्वरूप, हमें एक भिन्न प्राप्त हुआ जिसे पहले मूल पद के साथ जोड़ना आसान होगा (यदि आप भूल गए हैं कि भिन्नों को सही ढंग से कैसे जोड़ा जाए विभिन्न भाजक, प्रासंगिक सामग्री दोहराएं)।

2 5 + 136 33 = 2 33 5 33 + 136 5 33 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105

अंत में हमें मिल गया मिश्रित संख्याजिसके आगे हमें सिर्फ माइनस लगाना है. इससे गणना पूरी हो जाती है.

उत्तर: - 4 86 105 .

वास्तविक ऋणात्मक संख्याएँ इसी प्रकार जुड़ती हैं। ऐसी कार्रवाई का परिणाम आमतौर पर लिखा जाता है संख्यात्मक अभिव्यक्ति. इसके मूल्य की गणना नहीं की जा सकती या इसे अनुमानित गणना तक सीमित नहीं किया जा सकता। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि हमें योग - 3 + (− 5) ज्ञात करना है, तो हम उत्तर - 3 − 5 के रूप में लिखते हैं। हमने वास्तविक संख्याओं को जोड़ने के लिए एक अलग सामग्री समर्पित की है, जिसमें आप अन्य उदाहरण पा सकते हैं।

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पाठ के लक्ष्य और उद्देश्य:

• इस विषय पर छात्रों के ज्ञान को सारांशित और व्यवस्थित करें।
• विषय और सामान्य शैक्षणिक कौशल और क्षमताओं का विकास करना, किसी लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए अर्जित ज्ञान का उपयोग करने की क्षमता; व्यवस्थित ज्ञान के स्तर को प्राप्त करने के लिए कनेक्शन की विविधता के पैटर्न स्थापित करना।
• आत्म-नियंत्रण और पारस्परिक नियंत्रण कौशल विकसित करना; प्राप्त तथ्यों को सामान्य बनाने की इच्छाएँ और आवश्यकताएँ विकसित करना; विषय में स्वतंत्रता और रुचि विकसित करें।

शिक्षण योजना:

I. शिक्षक का प्रारंभिक भाषण।

द्वितीय. होमवर्क की जाँच करना.

तृतीय. विभिन्न चिन्हों वाली संख्याओं को जोड़ने और घटाने के नियमों की समीक्षा करना। ज्ञान को अद्यतन करना।

चतुर्थ. कार्डों का उपयोग करके कार्यों को हल करना

वी स्वतंत्र कामविकल्पों के अनुसार.

VI. पाठ का सारांश. होमवर्क सेट करना.

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण

छात्र, शिक्षक के मार्गदर्शन में, एक डायरी, कार्यपुस्तिका, उपकरणों की उपस्थिति की जाँच करते हैं, गायब लोगों को चिह्नित करते हैं, पाठ के लिए कक्षा की तत्परता की जाँच करते हैं, और शिक्षक मनोवैज्ञानिक रूप से बच्चों को पाठ में काम के लिए तैयार करते हैं।

लोकप्रिय ज्ञान हमें बताता है "दोहराव सीखने की जननी है।"

आज हम आपको धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं के जोड़ और घटाव के विषय पर अंतिम पाठ पढ़ाएंगे।

हमारे पाठ का उद्देश्य इस विषय पर सामग्री की समीक्षा करना और तैयारी करना है परीक्षण कार्य.

और मुझे लगता है कि हमारे पाठ का आदर्श वाक्य यह कथन होना चाहिए: "हम "5" के साथ जोड़ना और घटाना सीखेंगे!"

द्वितीय. होमवर्क की जाँच करना

№1114. तालिका के रिक्त स्थान भरें:

№1116. एल्बम में 1105 टिकटें हैं, विदेशी टिकटों की संख्या रूसी टिकटों की संख्या का 30% है। एल्बम में कितने विदेशी और कितने रूसी टिकट थे?

तृतीय. विभिन्न चिन्हों वाली संख्याओं को जोड़ने और घटाने के नियमों की समीक्षा करना। ज्ञान को अद्यतन करना।

छात्र दोहराते हैं: ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने का नियम, विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ने का नियम, विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को घटाने का नियम। फिर इनमें से प्रत्येक नियम को लागू करने के लिए उदाहरण हल करें। (स्लाइड्स 4-10)

किसी निर्देशांक रेखा पर किसी खंड के सिरों के ज्ञात निर्देशांकों का उपयोग करके उसकी लंबाई ज्ञात करने के बारे में विद्यार्थियों के ज्ञान को अद्यतन करना:

4)कार्य "शब्द का अनुमान लगाओ"

पर ग्लोबपक्षी रहते हैं - गर्मियों के लिए मौसम के पूर्वानुमान के अचूक "संकलक"। कार्ड पर इन पक्षियों का नाम एन्क्रिप्ट किया गया है।

सभी कार्यों को पूरा करने के बाद, छात्र को एक मुख्य शब्द मिलता है, और प्रोजेक्टर का उपयोग करके उत्तरों की जाँच की जाती है।

प्रमुख राजहंस शंकु के आकार में घोंसला बनाते हैं: ऊँचे - से बरसाती गर्मी; कम - सूखना। (छात्रों को मॉडल स्लाइड 14-16 दिखाएँ)

चतुर्थ. कार्डों का उपयोग करके कार्यों को हल करना।

V. विकल्पों पर स्वतंत्र कार्य।

प्रत्येक छात्र के पास एक व्यक्तिगत कार्ड है।

विकल्प 1।

अनिवार्य भाग.

1. संख्याओं की तुलना करें:

ए)-24 और 15;

बी) -2 और -6।

2. विपरीत संख्या लिखिए:

3. इन चरणों का पालन करें:

4. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

VI. पाठ का सारांश. होमवर्क सेट करना.

प्रश्न स्क्रीन पर प्रक्षेपित किए जाते हैं।

1. वह संख्या जो निर्देशांक रेखा पर एक बिंदु से मेल खाती है...
2. एक निर्देशांक रेखा पर दो संख्याओं में से जो संख्या स्थित होती है...
3. वह संख्या जो न तो ऋणात्मक है और न ही धनात्मक...
4. संख्या रेखा पर संख्या से मूल तक की दूरी...
5. पूर्णांकों, उनके विपरीत और शून्य...

होमवर्क सेट करना:

• परीक्षण के लिए तैयारी करें:
• धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने और घटाने के नियमों की समीक्षा करें;
• हल संख्या 1096 (के, एल, एम) संख्या 1117

पाठ सारांश.

एक साधु पैदल जा रहे थे, और तीन लोग उनसे मिले, जो तेज़ धूप में निर्माण के लिए पत्थरों से भरी गाड़ियाँ ले जा रहे थे। ऋषि रुके और प्रत्येक से एक प्रश्न पूछा। पहले ने पूछा, "तुम सारा दिन क्या करते रहे?" और उसने मुस्कुराते हुए उत्तर दिया कि वह पूरे दिन शापित पत्थरों को ढोता रहा है। ऋषि ने दूसरे से पूछा: "तुमने पूरे दिन क्या किया?" और उन्होंने उत्तर दिया: "और मैंने अपना काम कर्तव्यनिष्ठा से किया।" और तीसरा मुस्कुराया, उसका चेहरा खुशी और प्रसन्नता से चमक उठा: "और मैंने मंदिर के निर्माण में भाग लिया।"

दोस्तो! आइए पाठ के लिए प्रत्येक के कार्य का मूल्यांकन करने का प्रयास करें।

जिसने भी पहले व्यक्ति की तरह काम किया वह नीले वर्ग उठाता है।

जिन लोगों ने कर्तव्यनिष्ठा से काम किया वे हरे वर्ग बनाते हैं।

जिन लोगों ने "ज्ञान" के मंदिर के निर्माण में भाग लिया, वे लाल वर्ग बनाते हैं।

प्रतिबिंब- क्या आपका ज्ञान और कौशल पाठ के आदर्श वाक्य के अनुरूप हैं?

आज आपको किस ज्ञान की आवश्यकता थी?

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने और घटाने के उदाहरण"

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दोस्तों, आइए हमारे द्वारा कवर की गई सामग्री की समीक्षा करें।

जोड़ना- यह एक गणितीय संक्रिया है, जिसके बाद हमें मूल संख्याओं (पहला पद और दूसरा पद) का योग प्राप्त होता है।

किसी संख्या का निरपेक्ष मान- यह निर्देशांक रेखा पर मूल बिंदु से किसी बिंदु तक की दूरी है।
संख्या मॉड्यूल में कुछ गुण होते हैं:
1. संख्या शून्य का मापांक शून्य होता है।
2. किसी धनात्मक संख्या का मापांक, उदाहरण के लिए, पाँच, संख्या पाँच ही है।
3. किसी ऋणात्मक संख्या का मापांक, उदाहरण के लिए, ऋण सात, धनात्मक संख्या सात है।

दो ऋणात्मक संख्याएँ जोड़ना

दो ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ते समय, आप मापांक की अवधारणा का उपयोग कर सकते हैं। फिर आप संख्याओं के चिह्नों को हटा सकते हैं और उनके मॉड्यूल जोड़ सकते हैं, और योग निर्दिष्ट कर सकते हैं नकारात्मक संकेत, चूँकि दोनों संख्याएँ प्रारंभ में ऋणात्मक थीं।

उदाहरण के लिए, आपको संख्याएँ जोड़नी होंगी: - 5 + (-23) =?
हम चिह्नों को हटाते हैं और संख्याओं के मॉड्यूल जोड़ते हैं। हमें प्राप्त होता है: 5 + 23 = 28.
अब हम परिणामी राशि को ऋण चिह्न निर्दिष्ट करते हैं।
उत्तर:-28.

जोड़ के और भी उदाहरण.

39 + (-45) = - 84
-193 + (-205) = -398

भिन्नों को जोड़ते समय आप उसी विधि का उपयोग कर सकते हैं।

उदाहरण: -0.12 + (-3.4) = -3.52

धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं का योग

विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ना समान चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ने से थोड़ा अलग है।

आइए एक उदाहरण देखें: 14 + (-29) =?
समाधान।
1. हम चिह्नों को त्याग देते हैं, हमें संख्याएँ 14 और 29 प्राप्त होती हैं।
2. बड़ी संख्या में से छोटी संख्या घटाएँ: 29 - 14.
3. अंतर से पहले हम उस संख्या का चिन्ह लगाते हैं जिसका मापांक अधिक होता है। हमारे उदाहरण में, यह संख्या -29 है।

14 + (-29) = -15

उत्तर:-15.

संख्या रेखा का उपयोग करके संख्याओं को जोड़ना

यदि आपको ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने में कठिनाई हो रही है, तो आप संख्या रेखा विधि का उपयोग कर सकते हैं। यह छोटी संख्याओं के लिए दृश्यात्मक और सुविधाजनक है।
उदाहरण के लिए, आइए दो संख्याएँ जोड़ें: -6 और +8। संख्या रेखा पर बिंदु -6 अंकित करें।

फिर हम संख्या -6 को आठ स्थानों पर दर्शाने वाले बिंदु को दाईं ओर ले जाते हैं, क्योंकि दूसरा पद +8 के बराबर है और हम संख्या +2 को दर्शाने वाले बिंदु पर पहुँचते हैं।

उत्तर: +2.

उदाहरण 2.
आइए दो ऋणात्मक संख्याएँ जोड़ें: -2 और (-4)।
संख्या रेखा पर बिंदु -2 अंकित करें।

फिर इसे बाईं ओर चार स्थान पर ले जाएं, क्योंकि दूसरा पद -4 के बराबर है और हम बिंदु -6 पर पहुँचते हैं।

उत्तर है -6.

यह विधि सुविधाजनक है, लेकिन बोझिल है क्योंकि इसमें आपको एक संख्या रेखा खींचनी पड़ती है।