यदि सहसंबंध मान 1 है। मनोविज्ञान में सांख्यिकी और डेटा प्रोसेसिंग (जारी)
पाठ्यक्रम कार्य
विषय: सहसंबंध विश्लेषण
परिचय
1. सहसंबंध विश्लेषण
1.1 सहसंबंध की अवधारणा
1.2 सहसंबंधों का सामान्य वर्गीकरण
1.3 सहसंबंध क्षेत्र और उनके निर्माण का उद्देश्य
1.4 सहसंबंध विश्लेषण के चरण
1.5 सहसंबंध गुणांक
1.6 सामान्यीकृत ब्रवाइस-पियर्सन सहसंबंध गुणांक
1.7 स्पीयरमैन का रैंक सहसंबंध गुणांक
1.8 सहसंबंध गुणांक के मूल गुण
1.9 सहसंबंध गुणांक के महत्व की जाँच करना
1.10 युग्म सहसंबंध गुणांक के महत्वपूर्ण मान
2. एक बहुक्रियात्मक प्रयोग की योजना बनाना
2.1 समस्या की स्थिति
2.2 योजना के केंद्र (मूल स्तर) और कारक भिन्नता के स्तर का निर्धारण
2.3 नियोजन मैट्रिक्स का निर्माण
2.4 विभिन्न श्रृंखलाओं में फैलाव की एकरूपता और माप की तुल्यता की जाँच करना
2.5 प्रतिगमन समीकरण गुणांक
2.6 प्रतिलिपि प्रस्तुत करने योग्यता विचरण
2.7 प्रतिगमन समीकरण गुणांकों के महत्व की जाँच करना
2.8 प्रतिगमन समीकरण की पर्याप्तता की जाँच करना
निष्कर्ष
ग्रन्थसूची
परिचय
प्रायोगिक योजना एक गणितीय और सांख्यिकीय अनुशासन है जो प्रयोगात्मक अनुसंधान के तर्कसंगत संगठन के लिए तरीकों का अध्ययन करता है - अध्ययन के तहत कारकों की इष्टतम पसंद और परिणामों के विश्लेषण के तरीकों के अनुसार इसके उद्देश्य के अनुसार वास्तविक प्रयोगात्मक योजना का निर्धारण। प्रायोगिक योजना अंग्रेजी सांख्यिकीविद् आर. फिशर (1935) के कार्यों से शुरू हुई, जिन्होंने इस बात पर जोर दिया कि तर्कसंगत प्रयोगात्मक योजना माप परिणामों के इष्टतम प्रसंस्करण की तुलना में अनुमानों की सटीकता में कोई कम महत्वपूर्ण लाभ प्रदान नहीं करती है। 20वीं सदी के 60 के दशक में प्रायोगिक योजना का आधुनिक सिद्धांत सामने आया। उनकी विधियाँ फ़ंक्शन सन्निकटन सिद्धांत और गणितीय प्रोग्रामिंग से निकटता से संबंधित हैं। इष्टतम योजनाओं का निर्माण किया गया और मॉडलों की एक विस्तृत श्रेणी के लिए उनकी संपत्तियों का अध्ययन किया गया।
प्रायोगिक योजना एक प्रयोगात्मक योजना का विकल्प है जो निर्दिष्ट आवश्यकताओं को पूरा करती है, एक प्रयोग रणनीति विकसित करने के उद्देश्य से कार्यों का एक सेट (प्राथमिक जानकारी प्राप्त करने से लेकर व्यावहारिक गणितीय मॉडल प्राप्त करने या इष्टतम स्थितियों का निर्धारण करने तक)। यह एक प्रयोग का उद्देश्यपूर्ण नियंत्रण है, जिसे अध्ययन की जा रही घटना के तंत्र के अधूरे ज्ञान की स्थितियों में कार्यान्वित किया जाता है।
माप की प्रक्रिया में, बाद में डेटा प्रोसेसिंग के साथ-साथ गणितीय मॉडल के रूप में परिणामों की औपचारिकता, त्रुटियां उत्पन्न होती हैं और मूल डेटा में निहित कुछ जानकारी खो जाती है। प्रयोगात्मक नियोजन विधियों का उपयोग गणितीय मॉडल की त्रुटि निर्धारित करना और इसकी पर्याप्तता का न्याय करना संभव बनाता है। यदि मॉडल की सटीकता अपर्याप्त हो जाती है, तो प्रयोगात्मक योजना विधियों का उपयोग पिछली जानकारी खोए बिना और न्यूनतम लागत के साथ अतिरिक्त प्रयोगों के साथ गणितीय मॉडल को आधुनिक बनाना संभव बनाता है।
किसी प्रयोग की योजना बनाने का उद्देश्य प्रयोगों के संचालन के लिए ऐसी स्थितियाँ और नियम खोजना है जिसके तहत कम से कम श्रम में किसी वस्तु के बारे में विश्वसनीय और भरोसेमंद जानकारी प्राप्त करना संभव हो, साथ ही इस जानकारी को एक संक्षिप्त और सुविधाजनक रूप में प्रस्तुत करना संभव हो। सटीकता के मात्रात्मक मूल्यांकन के साथ।
अध्ययन के विभिन्न चरणों में उपयोग की जाने वाली मुख्य नियोजन विधियाँ हैं:
एक स्क्रीनिंग प्रयोग की योजना बनाना, जिसका मुख्य महत्व कारकों के पूरे सेट से महत्वपूर्ण कारकों के समूह का चयन करना है जो आगे विस्तृत अध्ययन के अधीन हैं;
एनोवा के लिए प्रायोगिक डिज़ाइन, अर्थात। गुणात्मक कारकों के साथ वस्तुओं के लिए योजनाएँ बनाना;
एक प्रतिगमन प्रयोग की योजना बनाना जो आपको प्रतिगमन मॉडल (बहुपद और अन्य) प्राप्त करने की अनुमति देता है;
एक चरम प्रयोग की योजना बनाना जिसमें मुख्य कार्य अनुसंधान वस्तु का प्रयोगात्मक अनुकूलन है;
गतिशील प्रक्रियाओं आदि का अध्ययन करते समय योजना बनाना।
अनुशासन का अध्ययन करने का उद्देश्य नियोजन सिद्धांत और आधुनिक सूचना प्रौद्योगिकियों के तरीकों का उपयोग करके छात्रों को उनकी विशेषता में उत्पादन और तकनीकी गतिविधियों के लिए तैयार करना है।
अनुशासन के उद्देश्य: वैज्ञानिक और औद्योगिक प्रयोगों की योजना बनाने, व्यवस्थित करने और अनुकूलन करने, प्रयोगों का संचालन करने और प्राप्त परिणामों को संसाधित करने के आधुनिक तरीकों का अध्ययन।
1. सहसंबंध विश्लेषण
1.1 सहसंबंध की अवधारणा
एक शोधकर्ता को अक्सर इस बात में दिलचस्पी होती है कि अध्ययन किए जा रहे एक या अधिक नमूनों में दो या दो से अधिक चर एक-दूसरे से कैसे संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, क्या ऊंचाई किसी व्यक्ति के वजन को प्रभावित कर सकती है, या रक्तचाप उत्पाद की गुणवत्ता को प्रभावित कर सकता है?
चरों के बीच इस प्रकार की निर्भरता को सहसंबंध, या सहसंबंध कहा जाता है। सहसंबंध दो विशेषताओं में लगातार परिवर्तन है, जो इस तथ्य को दर्शाता है कि एक विशेषता की परिवर्तनशीलता दूसरे की परिवर्तनशीलता के अनुरूप है।
उदाहरण के लिए, यह ज्ञात है कि औसतन लोगों की ऊंचाई और उनके वजन के बीच एक सकारात्मक संबंध होता है, और ऊंचाई जितनी अधिक होगी, व्यक्ति का वजन उतना ही अधिक होगा। हालाँकि, इस नियम के कुछ अपवाद भी हैं, जब अपेक्षाकृत छोटे कद वाले लोगों का वजन अधिक होता है, और, इसके विपरीत, ऊंचे कद वाले दैहिक लोगों का वजन कम होता है। ऐसे अपवादों का कारण यह है कि प्रत्येक जैविक, शारीरिक या मनोवैज्ञानिक लक्षण कई कारकों के प्रभाव से निर्धारित होता है: पर्यावरणीय, आनुवंशिक, सामाजिक, पर्यावरणीय, आदि।
सहसंबंध कनेक्शन संभाव्य परिवर्तन हैं जिनका अध्ययन केवल गणितीय आंकड़ों के तरीकों का उपयोग करके प्रतिनिधि नमूनों पर किया जा सकता है। दोनों शब्द - सहसंबंध लिंक और सहसंबंध निर्भरता - अक्सर एक दूसरे के स्थान पर उपयोग किए जाते हैं। निर्भरता का तात्पर्य प्रभाव, संबंध - कोई भी समन्वित परिवर्तन है जिसे सैकड़ों कारणों से समझाया जा सकता है। सहसंबंध कनेक्शन को कारण-और-प्रभाव संबंध के प्रमाण के रूप में नहीं माना जा सकता है; वे केवल यह संकेत देते हैं कि एक विशेषता में परिवर्तन आमतौर पर दूसरे में कुछ परिवर्तनों के साथ होते हैं।
सहसंबंध निर्भरता - ये वे परिवर्तन हैं जो एक विशेषता के मूल्यों को दूसरी विशेषता के विभिन्न मूल्यों के घटित होने की संभावना में पेश करते हैं।
सहसंबंध विश्लेषण का कार्य अलग-अलग विशेषताओं के बीच संबंध की दिशा (सकारात्मक या नकारात्मक) और रूप (रैखिक, गैर-रैखिक) स्थापित करना, इसकी निकटता को मापना और अंत में, प्राप्त सहसंबंध गुणांक के महत्व के स्तर की जांच करना है।
सहसंबंध कनेक्शन रूप, दिशा और डिग्री (शक्ति) में भिन्न होते हैं .
सहसंबंध संबंध का रूप रैखिक या वक्ररेखीय हो सकता है। उदाहरण के लिए, सिम्युलेटर पर प्रशिक्षण सत्रों की संख्या और नियंत्रण सत्र में सही ढंग से हल की गई समस्याओं की संख्या के बीच संबंध सीधा हो सकता है। उदाहरण के लिए, प्रेरणा के स्तर और किसी कार्य की प्रभावशीलता के बीच संबंध वक्ररेखीय हो सकता है (चित्र 1)। जैसे-जैसे प्रेरणा बढ़ती है, पहले किसी कार्य को पूरा करने की प्रभावशीलता बढ़ती है, फिर प्रेरणा का इष्टतम स्तर प्राप्त होता है, जो कार्य को पूरा करने की अधिकतम प्रभावशीलता से मेल खाता है; प्रेरणा में और वृद्धि के साथ-साथ दक्षता में कमी आती है।
चित्र 1 - समस्या समाधान की प्रभावशीलता और प्रेरक प्रवृत्तियों की ताकत के बीच संबंध
दिशा में, सहसंबंध संबंध सकारात्मक ("प्रत्यक्ष") और नकारात्मक ("उलटा") हो सकता है। सकारात्मक रैखिक सहसंबंध के साथ, एक विशेषता के उच्च मान दूसरे के उच्च मूल्यों के अनुरूप होते हैं, और एक विशेषता के निम्न मान दूसरे के निम्न मान के अनुरूप होते हैं (चित्र 2)। नकारात्मक सहसंबंध के साथ, संबंध व्युत्क्रम होते हैं (चित्र 3)। सकारात्मक सहसंबंध के साथ, सहसंबंध गुणांक का एक सकारात्मक संकेत होता है, एक नकारात्मक सहसंबंध के साथ, इसका एक नकारात्मक संकेत होता है।
चित्र 2 - सीधा सहसंबंध
चित्र 3 - व्युत्क्रम सहसंबंध
चित्र 4 - कोई सहसंबंध नहीं
सहसंबंध की डिग्री, शक्ति या निकटता सहसंबंध गुणांक के मूल्य से निर्धारित होती है। कनेक्शन की ताकत उसकी दिशा पर निर्भर नहीं करती है और सहसंबंध गुणांक के पूर्ण मूल्य से निर्धारित होती है।
1.2 सहसंबंधों का सामान्य वर्गीकरण
सहसंबंध गुणांक के आधार पर, निम्नलिखित सहसंबंध प्रतिष्ठित हैं:
मजबूत, या सहसंबंध गुणांक r>0.70 के साथ बंद;
औसत (0.50 पर) मध्यम (0.30 बजे) कमजोर (0.20 पर) बहुत कमजोर (आर पर)<0,19). 1.3 सहसंबंध क्षेत्र और उनके निर्माण का उद्देश्य सहसंबंध का अध्ययन प्रयोगात्मक डेटा के आधार पर किया जाता है, जो दो विशेषताओं के मापा मान (x i, y i) हैं। यदि थोड़ा प्रयोगात्मक डेटा है, तो द्वि-आयामी अनुभवजन्य वितरण को x i और y i मानों की दोहरी श्रृंखला के रूप में दर्शाया जाता है। साथ ही, विशेषताओं के बीच सहसंबंध निर्भरता को विभिन्न तरीकों से वर्णित किया जा सकता है। किसी तर्क और फ़ंक्शन के बीच पत्राचार एक तालिका, सूत्र, ग्राफ़ आदि द्वारा दिया जा सकता है। सहसंबंध विश्लेषण, अन्य सांख्यिकीय तरीकों की तरह, संभाव्य मॉडल के उपयोग पर आधारित है जो एक निश्चित सामान्य आबादी में अध्ययन के तहत विशेषताओं के व्यवहार का वर्णन करता है जिससे प्रयोगात्मक मान xi और y i प्राप्त होते हैं। मात्रात्मक विशेषताओं के बीच सहसंबंध का अध्ययन करते समय, जिसके मूल्यों को मीट्रिक पैमाने (मीटर, सेकंड, किलोग्राम, आदि) की इकाइयों में सटीक रूप से मापा जा सकता है, एक द्वि-आयामी सामान्य रूप से वितरित जनसंख्या मॉडल अक्सर अपनाया जाता है। ऐसा मॉडल आयताकार निर्देशांक की प्रणाली में बिंदुओं के ज्यामितीय स्थान के रूप में चर x i और y i के बीच संबंध को ग्राफिक रूप से प्रदर्शित करता है। इस आलेखीय संबंध को स्कैटरप्लॉट या सहसंबंध क्षेत्र भी कहा जाता है। सहसंबंध गुणांकएक मान है जो +1 से -1 तक भिन्न हो सकता है। पूर्ण सकारात्मक सहसंबंध के मामले में, यह गुणांक प्लस 1 के बराबर है (वे कहते हैं कि जब एक चर का मूल्य बढ़ता है, तो दूसरे चर का मूल्य बढ़ता है), और पूरी तरह से नकारात्मक सहसंबंध के मामले में, यह शून्य से 1 है (फीडबैक का संकेत, यानी, जब एक चर का मान बढ़ता है, तो दूसरे का मान घटता है)। शर्मीलेपन और अवसाद के बीच संबंध का ग्राफ़. जैसा कि आप देख सकते हैं, बिंदु (विषय) अव्यवस्थित रूप से स्थित नहीं हैं, बल्कि एक रेखा के चारों ओर पंक्तिबद्ध हैं, और, इस रेखा को देखते हुए, हम कह सकते हैं कि किसी व्यक्ति की शर्म जितनी अधिक होगी, अवसाद उतना ही अधिक होगा, यानी ये घटनाएं आपस में जुड़ी हुई हैं। सह - संबंध- यह एक ऐसा संबंध है जहां वास्तविक डेटा के बड़े पैमाने पर अवलोकन के दौरान व्यक्तिगत कारकों का प्रभाव केवल एक प्रवृत्ति (औसतन) के रूप में प्रकट होता है। सहसंबंध निर्भरता के उदाहरण बैंक की संपत्ति के आकार और बैंक के लाभ की मात्रा, श्रम उत्पादकता की वृद्धि और कर्मचारियों की सेवा की लंबाई के बीच संबंध हो सकते हैं। सहसंबंधों को उनकी ताकत के अनुसार वर्गीकृत करने के लिए दो प्रणालियों का उपयोग किया जाता है: सामान्य और विशिष्ट। निम्न तालिका विभिन्न प्रकार के पैमानों के लिए सहसंबंध गुणांक के नाम दिखाती है। पर आर=0
कोई रैखिक सहसंबंध नहीं है. इस मामले में, चर के समूह का मतलब उनके समग्र मतलब के साथ मेल खाता है, और प्रतिगमन रेखाएं समन्वय अक्षों के समानांतर होती हैं। समानता आर=0
केवल एक रैखिक सहसंबंध निर्भरता (असंबद्ध चर) की अनुपस्थिति के बारे में बात करता है, लेकिन आम तौर पर सहसंबंध की अनुपस्थिति के बारे में नहीं, और इससे भी अधिक, एक सांख्यिकीय निर्भरता के बारे में नहीं। कभी-कभी कोई सहसंबंध न होना एक मजबूत सहसंबंध की उपस्थिति से अधिक महत्वपूर्ण होता है। दो चरों के बीच शून्य सहसंबंध यह संकेत दे सकता है कि एक चर का दूसरे पर कोई प्रभाव नहीं है, बशर्ते हम माप परिणामों पर भरोसा करें। एसपीएसएस में: 11.3.2 सहसंबंध गुणांक अब तक, हमने केवल दो विशेषताओं के बीच सांख्यिकीय संबंध के अस्तित्व के तथ्य को स्पष्ट किया है। आगे, हम यह पता लगाने की कोशिश करेंगे कि इस निर्भरता की ताकत या कमजोरी के साथ-साथ इसके प्रकार और दिशा के बारे में क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है। चरों के बीच संबंध को मापने के मानदंड को सहसंबंध गुणांक या कनेक्टिविटी के उपाय कहा जाता है। यदि दो चरों के बीच प्रत्यक्ष, यूनिडायरेक्शनल संबंध है तो वे सकारात्मक रूप से सहसंबद्ध होते हैं। यूनिडायरेक्शनल संबंध में, एक चर के छोटे मान दूसरे चर के छोटे मान के अनुरूप होते हैं, और बड़े मान बड़े मान के अनुरूप होते हैं। यदि दो चर एक-दूसरे के साथ विपरीत, बहुदिशात्मक संबंध रखते हैं तो वे एक-दूसरे के साथ नकारात्मक रूप से सहसंबंध रखते हैं। बहुदिशात्मक संबंध के साथ, एक चर के छोटे मान दूसरे चर के बड़े मानों के अनुरूप होते हैं और इसके विपरीत। सहसंबंध गुणांक का मान हमेशा -1 से +1 तक की सीमा में होता है। स्पीयरमैन गुणांक का उपयोग क्रमिक पैमाने से संबंधित चर के बीच सहसंबंध गुणांक के रूप में किया जाता है, और पियर्सन सहसंबंध गुणांक (उत्पादों का क्षण) का उपयोग अंतराल पैमाने से संबंधित चर के लिए किया जाता है। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि प्रत्येक द्विभाजित चर, यानी, नाममात्र पैमाने से संबंधित एक चर और दो श्रेणियां होने पर, क्रमिक माना जा सकता है। सबसे पहले, हम जाँच करेंगे कि क्या studium.sav फ़ाइल से लिंग और मानस चर के बीच कोई संबंध है। साथ ही, हम इस बात को भी ध्यान में रखेंगे कि द्विभाजित चर लिंग को क्रमिक माना जा सकता है। इन चरणों का पालन करें: · कमांड मेनू से वर्णनात्मक सांख्यिकी क्रॉसटैब का विश्लेषण करें का चयन करें... · परिवर्तनशील लिंग को पंक्तियों की सूची में और परिवर्तनशील मानस को स्तंभों की सूची में ले जाएँ। · सांख्यिकी... बटन पर क्लिक करें। क्रॉसटैब्स: सांख्यिकी संवाद में, सहसंबंध चेकबॉक्स का चयन करें। जारी रखें बटन से अपने चयन की पुष्टि करें। · क्रॉसटैब्स संवाद में, सप्रेस टेबल्स चेकबॉक्स को चेक करके तालिकाओं के प्रदर्शन को अक्षम करें। ओके पर क्लिक करें। स्पीयरमैन और पियर्सन सहसंबंध गुणांक की गणना की जाएगी और उनके महत्व का परीक्षण किया जाएगा: कार्य संख्या 10 सहसंबंध विश्लेषण सहसंबंध की अवधारणा सहसंबंध या सहसंबंध गुणांक एक सांख्यिकीय संकेतक है संभाव्यमात्रात्मक पैमानों पर मापे गए दो चरों के बीच संबंध। एक कार्यात्मक संबंध के विपरीत, जिसमें एक चर का प्रत्येक मान मेल खाता है सख्ती से परिभाषितदूसरे वेरिएबल का मान, संभाव्य संबंधइस तथ्य से विशेषता है कि एक चर का प्रत्येक मान मेल खाता है एकाधिक अर्थएक अन्य चर। संभाव्य संबंध का एक उदाहरण लोगों की ऊंचाई और वजन के बीच का संबंध है। यह स्पष्ट है कि विभिन्न वजन वाले लोगों की ऊंचाई समान हो सकती है और इसके विपरीत भी। सहसंबंध -1 से +1 तक का मान है और इसे अक्षर r से दर्शाया जाता है। इसके अलावा, यदि मान 1 के करीब है, तो इसका मतलब एक मजबूत कनेक्शन की उपस्थिति है, और यदि 0 के करीब है, तो यह कमजोर है। 0.2 से कम सहसंबंध मान को कमजोर सहसंबंध माना जाता है, और 0.5 से ऊपर एक उच्च सहसंबंध माना जाता है। यदि सहसंबंध गुणांक नकारात्मक है, तो इसका मतलब है कि प्रतिक्रिया है: एक चर का मूल्य जितना अधिक होगा, दूसरे का मूल्य उतना ही कम होगा। गुणांक आर के स्वीकृत मूल्यों के आधार पर, विभिन्न प्रकार के सहसंबंधों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है: मजबूत सकारात्मक सहसंबंधमान r=1 द्वारा निर्धारित किया जाता है। "सख्त" शब्द का अर्थ है कि एक चर का मान दूसरे चर के मानों द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है, और शब्द " सकारात्मक" -कि जैसे-जैसे एक वेरिएबल का मान बढ़ता है, वैसे-वैसे दूसरे वेरिएबल का मान भी बढ़ता है। सख्त सहसंबंध एक गणितीय अमूर्तता है और वास्तविक शोध में व्यावहारिक रूप से कभी नहीं होता है। सकारात्मक संबंधमान 0 से मेल खाता है कोई सह सम्बन्ध नहींमान r=0 द्वारा निर्धारित किया जाता है। शून्य सहसंबंध गुणांक इंगित करता है कि चर के मान किसी भी तरह से एक दूसरे से संबंधित नहीं हैं। कोई सह सम्बन्ध नहीं एच
हे
: 0
आर
xy
=0
प्रतिबिम्ब के रूप में तैयार किया गया है व्यर्थसहसंबंध विश्लेषण में परिकल्पनाएँ। नकारात्मक सहसंबंध: -1 सख्त नकारात्मक सहसंबंधमान r= -1 द्वारा निर्धारित किया जाता है। यह, एक सख्त सकारात्मक सहसंबंध की तरह, एक अमूर्तता है और व्यावहारिक अनुसंधान में अभिव्यक्ति नहीं पाता है। तालिका नंबर एक सहसंबंध के प्रकार और उनकी परिभाषाएँ सहसंबंध गुणांक की गणना करने की विधि उस पैमाने के प्रकार पर निर्भर करती है जिस पर चर मान मापा जाता है। सहसंबंध गुणांक आरपियर्सनबुनियादी है और नाममात्र और आंशिक रूप से आदेशित अंतराल स्केल वाले चर के लिए उपयोग किया जा सकता है, जिस पर मूल्यों का वितरण सामान्य (उत्पाद क्षण सहसंबंध) से मेल खाता है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक असामान्य वितरण के मामलों में काफी सटीक परिणाम देता है। उन वितरणों के लिए जो सामान्य नहीं हैं, स्पीयरमैन और केंडल रैंक सहसंबंध गुणांक का उपयोग करना बेहतर है। उन्हें रैंक किया गया है क्योंकि प्रोग्राम सहसंबद्ध चर को पूर्व-रैंक करता है। एसपीएसएस कार्यक्रम स्पीयरमैन के सहसंबंध की गणना निम्नानुसार करता है: सबसे पहले, चर को रैंक में परिवर्तित किया जाता है, और फिर पियर्सन का सूत्र रैंक पर लागू किया जाता है। एम. केंडल द्वारा प्रस्तावित सहसंबंध का आधार यह विचार है कि विषयों की जोड़ियों में तुलना करके संबंध की दिशा का अंदाजा लगाया जा सकता है। यदि विषयों की एक जोड़ी के लिए X में परिवर्तन Y में परिवर्तन के साथ मेल खाता है, तो यह एक सकारात्मक संबंध को इंगित करता है। यदि यह मेल नहीं खाता है, तो एक नकारात्मक संबंध है। इस गुणांक का उपयोग मुख्य रूप से छोटे नमूनों के साथ काम करने वाले मनोवैज्ञानिकों द्वारा किया जाता है। चूंकि समाजशास्त्री बड़ी मात्रा में डेटा के साथ काम करते हैं, जोड़े की गणना करना और नमूने में विषयों के सभी जोड़े की सापेक्ष आवृत्तियों और व्युत्क्रमों में अंतर की पहचान करना मुश्किल है। सबसे आम है गुणांक. पियर्सन. चूंकि पियर्सन सहसंबंध गुणांक आर बुनियादी है और मात्रात्मक पैमाने पर मापे गए सभी चर के लिए इसका उपयोग किया जा सकता है (पैमाने के प्रकार और वितरण में असामान्यता के स्तर के आधार पर कुछ त्रुटि के साथ), हम इसके उपयोग के उदाहरणों पर विचार करेंगे और परिणामों की तुलना करेंगे अन्य सहसंबंध गुणांकों का उपयोग करके माप के परिणामों से प्राप्त किया गया। गुणांक की गणना के लिए सूत्र आर- पियर्सन: r xy = ∑ (Xi-Xavg)∙(Yi-Yavg) / (N-1)∙σ x ∙σ y ∙ कहा पे: शी, यी - दो चर के मान; Xavg, Yavg - दो चर के औसत मान; σ x, σ y - मानक विचलन, N प्रेक्षणों की संख्या है. जोड़ीवार सहसंबंध उदाहरण के लिए, हम यह पता लगाना चाहेंगे कि काम करने के लिए आदर्श स्थान के बारे में छात्रों के विचारों में विभिन्न प्रकार के पारंपरिक मूल्यों के बीच उत्तर कैसे संबंधित हैं (चर: a9.1, a9.3, a9.5, a9.7) , और फिर उदार मूल्यों (a9 .2, a9.4. a9.6, a9.8) के बीच संबंध के बारे में। इन चरों को 5-आइटम क्रमित पैमानों पर मापा जाता है। हम इस प्रक्रिया का उपयोग करते हैं: "विश्लेषण", "सहसंबंध", "युग्मित"। डिफ़ॉल्ट गुणांक पियर्सन को डायलॉग बॉक्स में सेट किया गया है। हम गुणांक का उपयोग करते हैं। पियर्सन परीक्षण किए गए चर चयन विंडो में स्थानांतरित किए जाते हैं: a9.1, a9.3, a9.5, a9.7 ओके पर क्लिक करने पर हमें गणना मिलती है: सहसंबंध a9.1.t. पारिवारिक और निजी जीवन के लिए पर्याप्त समय होना कितना महत्वपूर्ण है? पियर्सन सहसंबंध मूल्य(2 पक्ष) a9.3.t. अपनी नौकरी खोने का डर न होना कितना महत्वपूर्ण है? पियर्सन सहसंबंध मूल्य(2 पक्ष) a9.5.t. एक बॉस का होना कितना महत्वपूर्ण है जो यह या वह निर्णय लेते समय आपसे परामर्श करेगा? पियर्सन सहसंबंध मूल्य(2 पक्ष) a9.7.t. एक अच्छी तरह से समन्वित टीम में काम करना और उसका हिस्सा महसूस करना कितना महत्वपूर्ण है? पियर्सन सहसंबंध मूल्य(2 पक्ष) ** सहसंबंध 0.01 स्तर (2-तरफा) पर महत्वपूर्ण है। निर्मित सहसंबंध मैट्रिक्स के मात्रात्मक मूल्यों की तालिका आंशिक सहसंबंध: सबसे पहले, आइए इन दो चरों के बीच एक जोड़ीवार सहसंबंध बनाएं: सहसंबंध s8. उन लोगों के करीब महसूस करें जो आपके बगल में रहते हैं, पड़ोसियों पियर्सन सहसंबंध मूल्य(2 पक्ष) s12. अपने परिवार के करीब महसूस करें पियर्सन सहसंबंध मूल्य(2 पक्ष) **. सहसंबंध 0.01 स्तर (2-तरफा) पर महत्वपूर्ण है। फिर हम आंशिक सहसंबंध बनाने की प्रक्रिया का उपयोग करते हैं: "विश्लेषण", "सहसंबंध", "आंशिक"। आइए मान लें कि निर्दिष्ट चर के संबंध में "अपने काम के क्रम को स्वतंत्र रूप से निर्धारित करना और बदलना महत्वपूर्ण है" का मान निर्णायक कारक बन जाता है जिसके प्रभाव में पहले से पहचाना गया कनेक्शन गायब हो जाएगा या गायब हो जाएगा। नगण्य. सहसंबंध बहिष्कृत चर s8. उन लोगों के करीब महसूस करें जो आपके बगल में रहते हैं, पड़ोसियों s12. अपने परिवार के करीब महसूस करें पृष्ठ16. उन लोगों के करीब महसूस करें जिनकी आय आपके जैसी ही है s8. उन लोगों के करीब महसूस करें जो आपके बगल में रहते हैं, पड़ोसियों सह - संबंध महत्व (दो तरफा) s12. अपने परिवार के करीब महसूस करें सह - संबंध महत्व (दो तरफा) जैसा कि तालिका से देखा जा सकता है, नियंत्रण चर के प्रभाव में, संबंध थोड़ा कम हो गया: 0.120 से 0.102 तक, हालांकि, यह मामूली कमी हमें यह बताने की अनुमति नहीं देती है कि पहले से पहचाना गया संबंध एक गलत सहसंबंध का प्रतिबिंब है। क्योंकि यह काफी ऊंचा रहता है और हमें शून्य त्रुटि के साथ शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने की अनुमति देता है। सहसंबंध की निकटता और प्रकृति को निर्धारित करने का सबसे सटीक तरीका सहसंबंध गुणांक ज्ञात करना है। सहसंबंध गुणांक सूत्र द्वारा निर्धारित एक संख्या है: जहां r xy सहसंबंध गुणांक है; x i - पहली विशेषता के मान; y i दूसरी विशेषता के मान हैं; पहली विशेषता के मानों का अंकगणित माध्य दूसरी विशेषता के मानों का अंकगणितीय माध्य सूत्र (32) का उपयोग करने के लिए, हम एक तालिका बनाएंगे जो सहसंबंध गुणांक के अंश और हर को खोजने के लिए संख्याएं तैयार करने में आवश्यक स्थिरता प्रदान करेगी। जैसा कि सूत्र (32) से देखा जा सकता है, क्रियाओं का क्रम इस प्रकार है: हम दोनों विशेषताओं x और y का अंकगणितीय औसत पाते हैं, हम विशेषता के मूल्यों और उसके औसत (x i - ) के बीच अंतर पाते हैं और y i - ), फिर हम उनका गुणनफल पाते हैं (x i - ) ( y i - ) - बाद का योग सहसंबंध गुणांक का अंश देता है। इसके हर को खोजने के लिए, अंतर (x i - ) और (y i - ) का वर्ग किया जाना चाहिए, उनका योग ज्ञात किया जाना चाहिए, और उनके उत्पाद का वर्गमूल लिया जाना चाहिए। इसलिए उदाहरण 31 के लिए, सूत्र (32) के अनुसार सहसंबंध गुणांक ज्ञात करना निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है (तालिका 50)। सहसंबंध गुणांक की परिणामी संख्या कनेक्शन की उपस्थिति, निकटता और प्रकृति को स्थापित करना संभव बनाती है। 1. यदि सहसंबंध गुणांक शून्य है, तो विशेषताओं के बीच कोई संबंध नहीं है। 2. यदि सहसंबंध गुणांक एक के बराबर है, तो विशेषताओं के बीच संबंध इतना बढ़िया है कि यह कार्यात्मक में बदल जाता है। 3. सहसंबंध गुणांक का पूर्ण मान शून्य से एक तक के अंतराल से आगे नहीं जाता है: इससे कनेक्शन की निकटता पर ध्यान केंद्रित करना संभव हो जाता है: गुणांक शून्य के जितना करीब होगा, कनेक्शन उतना ही कमजोर होगा, और एकता के जितना करीब होगा, कनेक्शन उतना ही करीब होगा। 4. सहसंबंध गुणांक के "प्लस" चिह्न का अर्थ प्रत्यक्ष सहसंबंध है, "माइनस" चिह्न का अर्थ व्युत्क्रम सहसंबंध है। मेज़ 50
इस प्रकार, उदाहरण 31 में परिकलित सहसंबंध गुणांक r xy = +0.9 है। हमें निम्नलिखित निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है: अध्ययन किए गए स्कूली बच्चों में दाएं और बाएं हाथों की मांसपेशियों की ताकत के परिमाण के बीच एक सहसंबंध है (गुणांक r xy =+0.9 शून्य से भिन्न है), संबंध बहुत करीबी है (गुणांक r xy =+0.9 एक के करीब है) , सहसंबंध प्रत्यक्ष है (गुणांक r xy = +0.9 सकारात्मक है), यानी, एक हाथ की मांसपेशियों की ताकत में वृद्धि के साथ, दूसरे हाथ की ताकत बढ़ जाती है। सहसंबंध गुणांक की गणना करते समय और इसके गुणों का उपयोग करते समय, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि जब विशेषताओं को सामान्य रूप से वितरित किया जाता है और जब दोनों विशेषताओं के बड़ी संख्या में मूल्यों के बीच संबंध पर विचार किया जाता है तो निष्कर्ष सही परिणाम देते हैं। सुविचारित उदाहरण 31 में, दोनों विशेषताओं के केवल 7 मूल्यों का विश्लेषण किया गया, जो निश्चित रूप से ऐसे अध्ययनों के लिए पर्याप्त नहीं है। हम आपको यहां एक बार फिर से याद दिलाते हैं कि सामान्य तौर पर इस पुस्तक में और विशेष रूप से इस अध्याय में दिए गए उदाहरण चित्रण विधियों की प्रकृति में हैं, न कि किसी वैज्ञानिक प्रयोग की विस्तृत प्रस्तुति। परिणामस्वरूप, कम संख्या में फीचर मानों पर विचार किया गया, मापों को गोल किया गया - यह सब इसलिए किया गया ताकि बोझिल गणना विधि के विचार को अस्पष्ट न करें। विचाराधीन रिश्ते के सार पर विशेष ध्यान दिया जाना चाहिए। यदि विशेषताओं के बीच संबंध का औपचारिक रूप से विश्लेषण किया जाता है तो सहसंबंध गुणांक सही शोध परिणाम नहीं दे सकता है। आइए एक बार फिर उदाहरण 31 पर लौटते हैं। दोनों माने गए संकेत दाएं और बाएं हाथ की मांसपेशियों की ताकत के मान थे। आइए कल्पना करें कि उदाहरण 31 (14.0; 14.2; 14.9... ...18.1) में चिह्न x i से हमारा तात्पर्य सेंटीमीटर में गलती से पकड़ी गई मछली की लंबाई से है, और चिह्न y i (12.1 ; 13.8; 14.2... ...) से है। 17.4) - प्रयोगशाला में उपकरणों का वजन किलोग्राम में। सहसंबंध गुणांक ज्ञात करने के लिए औपचारिक रूप से गणना उपकरण का उपयोग करने और इस मामले में r xy =+0>9 प्राप्त करने के बाद, हमें यह निष्कर्ष निकालना पड़ा कि मछली की लंबाई और उपकरणों के वजन के बीच एक करीबी सीधा संबंध है। ऐसे निष्कर्ष की निरर्थकता स्पष्ट है। सहसंबंध गुणांक का उपयोग करने के लिए औपचारिक दृष्टिकोण से बचने के लिए, किसी को किसी अन्य विधि का उपयोग करना चाहिए - गणितीय, तार्किक, प्रयोगात्मक, सैद्धांतिक - विशेषताओं के बीच सहसंबंध के अस्तित्व की संभावना की पहचान करने के लिए, यानी विशेषताओं की जैविक एकता की खोज करने के लिए। इसके बाद ही कोई सहसंबंध विश्लेषण का उपयोग शुरू कर सकता है और रिश्ते के परिमाण और प्रकृति को स्थापित कर सकता है। गणितीय सांख्यिकी में भी अवधारणा है एकाधिक सहसंबंध- तीन या अधिक विशेषताओं के बीच संबंध. इन मामलों में, एक बहु सहसंबंध गुणांक का उपयोग किया जाता है, जिसमें ऊपर वर्णित युग्मित सहसंबंध गुणांक शामिल होते हैं। उदाहरण के लिए, तीन विशेषताओं - x i, y i, z i - का सहसंबंध गुणांक है: जहां R xyz बहु सहसंबंध गुणांक है, यह दर्शाता है कि फीचर x i फीचर y i और z i पर कैसे निर्भर करता है; आर एक्सवाई - विशेषताओं एक्स आई और वाई आई के बीच सहसंबंध गुणांक; r xz - विशेषताओं Xi और Zi के बीच सहसंबंध गुणांक; आर वाईजेड -
सुविधाओं y i , z i के बीच सहसंबंध गुणांक सह - संबंध- दो या दो से अधिक यादृच्छिक चर (या ऐसे चर जिन्हें सटीकता की कुछ स्वीकार्य डिग्री के साथ इस तरह माना जा सकता है) के बीच सांख्यिकीय संबंध। इसके अलावा, इनमें से एक या अधिक मात्रा में परिवर्तन से दूसरी या अन्य मात्रा में व्यवस्थित परिवर्तन होता है। दो यादृच्छिक चरों के बीच सहसंबंध का एक गणितीय माप सहसंबंध गुणांक है। सहसंबंध सकारात्मक और नकारात्मक हो सकता है (यह भी संभव है कि कोई सांख्यिकीय संबंध न हो - उदाहरण के लिए, स्वतंत्र यादृच्छिक चर के लिए)। नकारात्मक सहसंबंध
- सहसंबंध, जिसमें एक चर में वृद्धि दूसरे चर में कमी के साथ जुड़ी होती है, और सहसंबंध गुणांक नकारात्मक होता है। सकारात्मक संबंध
- सहसंबंध, जिसमें एक चर में वृद्धि दूसरे चर में वृद्धि के साथ जुड़ी होती है, और सहसंबंध गुणांक सकारात्मक होता है। ऑटो सहसंबंध
- एक ही श्रृंखला से यादृच्छिक चर के बीच सांख्यिकीय संबंध, लेकिन एक बदलाव के साथ लिया गया, उदाहरण के लिए, एक यादृच्छिक प्रक्रिया के लिए - एक समय बदलाव के साथ। सांख्यिकीय डेटा को संसाधित करने की विधि, जिसमें चरों के बीच गुणांक (सहसंबंध) का अध्ययन करना शामिल है, कहलाती है सहसंबंध विश्लेषण. सहसंबंध गुणांकया जोड़ी सहसंबंध गुणांकसंभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, यह दो यादृच्छिक चर में परिवर्तन की प्रकृति का एक संकेतक है। सहसंबंध गुणांक लैटिन अक्षर आर द्वारा दर्शाया गया है और -1 और +1 के बीच मान ले सकता है। यदि पूर्ण मान 1 के करीब है, तो इसका मतलब एक मजबूत कनेक्शन की उपस्थिति है (यदि सहसंबंध गुणांक एक के बराबर है, तो हम एक कार्यात्मक कनेक्शन की बात करते हैं), और यदि यह 0 के करीब है, तो यह कमजोर है। मीट्रिक मात्राओं के लिए, पियर्सन सहसंबंध गुणांक का उपयोग किया जाता है, जिसका सटीक सूत्र फ्रांसिस गैल्टन द्वारा पेश किया गया था: होने देना एक्स,वाई- एक ही संभाव्यता स्थान पर परिभाषित दो यादृच्छिक चर। फिर उनका सहसंबंध गुणांक सूत्र द्वारा दिया गया है: जहां cov सहप्रसरण को दर्शाता है और D विचरण है, या समकक्ष, जहां प्रतीक गणितीय अपेक्षा को दर्शाता है। ऐसे रिश्ते को ग्राफ़िक रूप से दर्शाने के लिए, आप दोनों चर के अनुरूप अक्षों वाली एक आयताकार समन्वय प्रणाली का उपयोग कर सकते हैं। मूल्यों की प्रत्येक जोड़ी को एक विशिष्ट प्रतीक के साथ चिह्नित किया गया है। इस ग्राफ़ को "स्कैटरप्लॉट" कहा जाता है। सहसंबंध गुणांक की गणना करने की विधि उस पैमाने के प्रकार पर निर्भर करती है जिससे चर संबंधित हैं। इस प्रकार, अंतराल और मात्रात्मक पैमानों के साथ चर को मापने के लिए, पियर्सन सहसंबंध गुणांक (उत्पाद क्षण सहसंबंध) का उपयोग करना आवश्यक है। यदि दो चर में से कम से कम एक क्रमिक पैमाने पर है या सामान्य रूप से वितरित नहीं है, तो स्पीयरमैन के रैंक सहसंबंध या केंडल के τ (ताऊ) का उपयोग किया जाना चाहिए। ऐसे मामले में जहां दो चर में से एक द्विभाजित है, एक बिंदु-द्विक्रमिक सहसंबंध का उपयोग किया जाता है, और यदि दोनों चर द्विभाजित हैं: एक चार-क्षेत्रीय सहसंबंध। दो गैर-द्विभाजित चरों के बीच सहसंबंध गुणांक की गणना तभी समझ में आती है जब उनके बीच का संबंध रैखिक (यूनिडायरेक्शनल) हो। आपसी अव्यवस्था को मापने के लिए उपयोग किया जाता है। सहसंबंध विश्लेषण- सांख्यिकीय डेटा को संसाधित करने की विधि, जिसमें गुणांक का अध्ययन शामिल है ( सहसंबंध) चरों के बीच। इस मामले में, एक जोड़ी या विशेषताओं के कई जोड़े के बीच सहसंबंध गुणांक की तुलना उनके बीच सांख्यिकीय संबंध स्थापित करने के लिए की जाती है। लक्ष्य सहसंबंध विश्लेषण- दूसरे वेरिएबल का उपयोग करके एक वेरिएबल के बारे में कुछ जानकारी प्रदान करें। ऐसे मामलों में जहां किसी लक्ष्य को प्राप्त करना संभव है, चर कहा जाता है सहसंबंधी. अपने सबसे सामान्य रूप में, सहसंबंध की परिकल्पना को स्वीकार करने का मतलब है कि चर ए के मूल्य में परिवर्तन बी के मूल्य में आनुपातिक परिवर्तन के साथ-साथ होगा: यदि दोनों चर बढ़ते हैं, तो सहसंबंध सकारात्मक है, यदि एक चर बढ़ता है और दूसरा घटता है, सहसंबंध नकारात्मक है. सहसंबंध केवल मूल्यों की रैखिक निर्भरता को दर्शाता है, लेकिन उनकी कार्यात्मक कनेक्टिविटी को प्रतिबिंबित नहीं करता है। उदाहरण के लिए, यदि आप मात्राओं के बीच सहसंबंध गुणांक की गणना करते हैं ए = एसमैंएन(एक्स) और बी = सीहेएस(एक्स), तो यह शून्य के करीब होगा, यानी मात्राओं के बीच कोई निर्भरता नहीं है। इस बीच, मात्रा ए और बी स्पष्ट रूप से कानून के अनुसार कार्यात्मक रूप से संबंधित हैं एसमैंएन 2(एक्स) + सीहेएस 2(एक्स) = 1. सांख्यिकीय डेटा को संसाधित करने की यह विधि अर्थशास्त्र और सामाजिक विज्ञान (विशेष रूप से मनोविज्ञान और समाजशास्त्र में) में बहुत लोकप्रिय है, हालांकि सहसंबंध गुणांक के आवेदन का दायरा व्यापक है: औद्योगिक उत्पादों, धातु विज्ञान, कृषि रसायन, हाइड्रोबायोलॉजी, बायोमेट्रिक्स और अन्य का गुणवत्ता नियंत्रण। विधि की लोकप्रियता दो कारकों के कारण है: सहसंबंध गुणांक की गणना करना अपेक्षाकृत आसान है, और उनके उपयोग के लिए विशेष गणितीय प्रशिक्षण की आवश्यकता नहीं होती है। इसकी व्याख्या में आसानी के साथ, गुणांक के अनुप्रयोग में आसानी के कारण सांख्यिकीय डेटा विश्लेषण के क्षेत्र में इसका व्यापक उपयोग हुआ है। अक्सर, सहसंबंध अनुसंधान की आकर्षक सादगी शोधकर्ता को विशेषताओं के जोड़े के बीच कारण-और-प्रभाव संबंध की उपस्थिति के बारे में गलत सहज निष्कर्ष निकालने के लिए प्रोत्साहित करती है, जबकि सहसंबंध गुणांक केवल सांख्यिकीय संबंध स्थापित करते हैं। आधुनिक मात्रात्मक सामाजिक विज्ञान पद्धति ने, वास्तव में, अनुभवजन्य तरीकों का उपयोग करके देखे गए चर के बीच कारण और प्रभाव संबंध स्थापित करने के प्रयासों को छोड़ दिया है। इसलिए, जब सामाजिक विज्ञान के शोधकर्ता अध्ययन किए जा रहे चरों के बीच संबंध स्थापित करने की बात करते हैं, तो या तो एक सामान्य सैद्धांतिक धारणा या सांख्यिकीय निर्भरता निहित होती है। विकिमीडिया फाउंडेशन. 2010. सहसंबंध गुणांक दो चरों के बीच संबंध की डिग्री है। इसकी गणना से यह पता चलता है कि दो डेटा सेट के बीच कोई संबंध है या नहीं। प्रतिगमन के विपरीत, सहसंबंध मात्राओं के मूल्यों की भविष्यवाणी नहीं करता है। हालाँकि, गुणांक की गणना प्रारंभिक सांख्यिकीय विश्लेषण में एक महत्वपूर्ण कदम है। उदाहरण के लिए, हमने पाया कि प्रत्यक्ष विदेशी निवेश के स्तर और सकल घरेलू उत्पाद की वृद्धि दर के बीच सहसंबंध गुणांक उच्च है। इससे हमें यह विचार मिलता है कि समृद्धि सुनिश्चित करने के लिए विशेष रूप से विदेशी उद्यमियों के लिए अनुकूल माहौल बनाना आवश्यक है। पहली नज़र में इतना स्पष्ट निष्कर्ष नहीं! शायद सांख्यिकी का कोई अन्य क्षेत्र नहीं है जो हमारे जीवन में इतनी मजबूती से स्थापित हो गया हो। सहसंबंध गुणांक का उपयोग सामाजिक ज्ञान के सभी क्षेत्रों में किया जाता है। इसका मुख्य खतरा यह है कि लोगों को समझाने और उन्हें कुछ निष्कर्षों पर विश्वास दिलाने के लिए अक्सर इसके उच्च मूल्यों पर अटकलें लगाई जाती हैं। हालाँकि, वास्तव में, एक मजबूत सहसंबंध मात्राओं के बीच कारण-और-प्रभाव संबंध का बिल्कुल भी संकेत नहीं देता है। ऐसे कई बुनियादी संकेतक हैं जो दो चरों के बीच संबंध को दर्शाते हैं। ऐतिहासिक रूप से, पहला पियर्सन रैखिक सहसंबंध गुणांक है। यह स्कूल में पढ़ाया जाता है. इसे फादर के काम के आधार पर के. पियर्सन और जे. यूल द्वारा विकसित किया गया था। गैल्टन। यह गुणांक आपको तर्कसंगत संख्याओं के बीच संबंध देखने की अनुमति देता है जो तर्कसंगत रूप से बदलते हैं। यह हमेशा -1 से अधिक और 1 से कम होता है। एक ऋणात्मक संख्या व्युत्क्रमानुपाती संबंध को इंगित करती है। यदि गुणांक शून्य है, तो चरों के बीच कोई संबंध नहीं है। एक धनात्मक संख्या के बराबर - अध्ययनाधीन मात्राओं के बीच सीधा आनुपातिक संबंध होता है। स्पीयरमैन का रैंक सहसंबंध गुणांक आपको परिवर्तनीय मानों का पदानुक्रम बनाकर गणना को सरल बनाने की अनुमति देता है। सहसंबंध दो प्रश्नों के उत्तर देने में मदद करता है। पहला, चरों के बीच संबंध सकारात्मक है या नकारात्मक। दूसरा, लत कितनी प्रबल है. सहसंबंध विश्लेषण एक शक्तिशाली उपकरण है जो यह महत्वपूर्ण जानकारी प्रदान कर सकता है। यह देखना आसान है कि पारिवारिक आय और व्यय आनुपातिक रूप से गिरते और बढ़ते हैं। यह रिश्ता सकारात्मक माना जाता है. इसके विपरीत, जब किसी उत्पाद की कीमत बढ़ती है, तो उसकी मांग कम हो जाती है। इस रिश्ते को नकारात्मक कहा जाता है. सहसंबंध गुणांक का मान -1 और 1 के बीच होता है। शून्य का मतलब है कि अध्ययन के तहत मूल्यों के बीच कोई संबंध नहीं है। प्राप्त संकेतक चरम मूल्यों के जितना करीब होगा, संबंध उतना ही मजबूत होगा (नकारात्मक या सकारात्मक)। निर्भरता की अनुपस्थिति -0.1 से 0.1 तक के गुणांक द्वारा इंगित की जाती है। आपको यह समझने की आवश्यकता है कि ऐसा मान केवल एक रैखिक संबंध की अनुपस्थिति को इंगित करता है। दोनों संकेतकों के उपयोग में कुछ धारणाएँ शामिल हैं। सबसे पहले, एक मजबूत संबंध की उपस्थिति इस तथ्य को निर्धारित नहीं करती है कि एक मात्रा दूसरे को निर्धारित करती है। एक तीसरी मात्रा भी हो सकती है जो उनमें से प्रत्येक को परिभाषित करती है। दूसरे, उच्च पियर्सन सहसंबंध गुणांक अध्ययन किए गए चर के बीच कारण-और-प्रभाव संबंध को इंगित नहीं करता है। तीसरा, यह एक विशेष रूप से रैखिक संबंध दर्शाता है। लिंग या पसंदीदा रंग जैसी श्रेणियों के बजाय सार्थक मात्रात्मक डेटा (उदाहरण के लिए, बैरोमीटर का दबाव, वायु तापमान) का मूल्यांकन करने के लिए सहसंबंध का उपयोग किया जा सकता है। पियर्सन और स्पीयरमैन ने दो चरों के बीच संबंध की जांच की। लेकिन अगर उनमें से तीन या उससे भी अधिक हों तो क्या करें। यहीं पर एकाधिक सहसंबंध गुणांक बचाव के लिए आता है। उदाहरण के लिए, सकल राष्ट्रीय उत्पाद न केवल प्रत्यक्ष विदेशी निवेश से प्रभावित होता है, बल्कि सरकार की मौद्रिक और राजकोषीय नीतियों के साथ-साथ निर्यात के स्तर से भी प्रभावित होता है। सकल घरेलू उत्पाद की वृद्धि दर और मात्रा कई कारकों की परस्पर क्रिया का परिणाम है। हालाँकि, यह समझा जाना चाहिए कि एकाधिक सहसंबंध मॉडल कई सरलीकरणों और मान्यताओं पर आधारित है। सबसे पहले, मूल्यों के बीच बहुसंरेखता को बाहर रखा गया है। दूसरे, आश्रित और उसे प्रभावित करने वाले चर के बीच का संबंध रैखिक माना जाता है। मात्राओं के बीच संबंध खोजने की यह विधि सांख्यिकी में व्यापक रूप से उपयोग की जाती है। इसका सहारा अक्सर तीन मुख्य मामलों में लिया जाता है: चेतना को इस तरह से डिज़ाइन किया गया है कि हमें निश्चित रूप से हमारे आस-पास होने वाली घटनाओं की व्याख्या करने की आवश्यकता है। एक व्यक्ति हमेशा उस दुनिया की तस्वीर जिसमें वह रहता है और उसे प्राप्त होने वाली जानकारी के बीच संबंध की तलाश में रहता है। मस्तिष्क अक्सर अव्यवस्था से व्यवस्था बनाता है। वह आसानी से एक कारण-और-प्रभाव संबंध देख सकता है जहां कोई नहीं है। वैज्ञानिकों को विशेष रूप से इस प्रवृत्ति पर काबू पाना सीखना होगा। अकादमिक करियर में डेटा के बीच संबंधों का निष्पक्ष मूल्यांकन करने की क्षमता आवश्यक है। आइए विचार करें कि सहसंबंध की उपस्थिति की गलत व्याख्या कैसे की जा सकती है। बुरे व्यवहार वाले ब्रिटिश छात्रों के एक समूह से पूछा गया कि क्या उनके माता-पिता धूम्रपान करते हैं। फिर यह परीक्षण अखबार में छपा. परिणाम में माता-पिता के धूम्रपान और उनके बच्चों के अपराध के बीच एक मजबूत संबंध दिखाया गया। इस अध्ययन को करने वाले प्रोफेसर ने सिगरेट पैक पर इस बारे में चेतावनी लिखने का भी सुझाव दिया। हालाँकि, इस निष्कर्ष के साथ कई समस्याएं हैं। सबसे पहले, सहसंबंध यह नहीं दर्शाता है कि कौन सी मात्रा स्वतंत्र है। इसलिए, यह मान लेना काफी संभव है कि माता-पिता की हानिकारक आदत बच्चों की अवज्ञा के कारण होती है। दूसरे, यह निश्चित रूप से नहीं कहा जा सकता कि दोनों समस्याएँ किसी तीसरे कारक के कारण उत्पन्न नहीं हुईं। उदाहरण के लिए, कम आय वाले परिवार। यह अध्ययन आयोजित करने वाले प्रोफेसर के प्रारंभिक निष्कर्षों के भावनात्मक पहलू पर ध्यान देने योग्य है। वह धूम्रपान के प्रबल विरोधी थे। इसलिए, यह आश्चर्य की बात नहीं है कि उन्होंने अपने शोध के परिणामों की इस तरह से व्याख्या की। दो चरों के बीच कारण-और-प्रभाव संबंध के रूप में सहसंबंध की गलत व्याख्या करने से अपमानजनक शोध त्रुटियां हो सकती हैं। समस्या यह है कि यह मानव चेतना के मूल में है। कई मार्केटिंग युक्तियाँ इस सुविधा पर आधारित हैं। कारण और प्रभाव और सहसंबंध के बीच अंतर को समझने से आप अपने दैनिक जीवन और अपने पेशेवर करियर दोनों में जानकारी का तर्कसंगत विश्लेषण कर सकते हैं। वैज्ञानिक और व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए सार्वजनिक स्वास्थ्य और स्वास्थ्य सेवा का अध्ययन करते समय, शोधकर्ता को अक्सर सांख्यिकीय आबादी के कारक और प्रदर्शन विशेषताओं (कारण संबंध) के बीच संबंधों का सांख्यिकीय विश्लेषण करना पड़ता है या इस आबादी की कई विशेषताओं में समानांतर परिवर्तनों की निर्भरता निर्धारित करनी होती है। किसी तीसरे मान पर (उनके सामान्य कारण पर)। इस कनेक्शन की विशेषताओं का अध्ययन करने, इसका आकार और दिशा निर्धारित करने और इसकी विश्वसनीयता का मूल्यांकन करने में सक्षम होना आवश्यक है। इस प्रयोजन के लिए, सहसंबंध विधियों का उपयोग किया जाता है। कार्यात्मक संबंध- दो विशेषताओं के बीच इस प्रकार का संबंध जब उनमें से एक का प्रत्येक मान दूसरे के कड़ाई से परिभाषित मूल्य से मेल खाता है (एक वृत्त का क्षेत्रफल वृत्त की त्रिज्या पर निर्भर करता है, आदि)। कार्यात्मक संबंध भौतिक और गणितीय प्रक्रियाओं की विशेषता है। सह - संबंध- ऐसा संबंध जिसमें एक विशेषता का प्रत्येक विशिष्ट मान उससे संबंधित अन्य विशेषता के कई मूल्यों से मेल खाता है (किसी व्यक्ति की ऊंचाई और वजन के बीच संबंध; शरीर के तापमान और नाड़ी दर के बीच संबंध, आदि)। सहसंबंध चिकित्सा और जैविक प्रक्रियाओं के लिए विशिष्ट है। किसी तीसरे मान पर कई विशेषताओं में समानांतर परिवर्तन की निर्भरता। उदाहरण के लिए, कार्यशाला में उच्च तापमान के प्रभाव में रक्तचाप, रक्त की चिपचिपाहट, नाड़ी की दर आदि में परिवर्तन होता है। 1) वर्गों की विधि 2) रैंक विधि विधि 1
टी मानदंड का मूल्यांकन टी मानों की एक तालिका का उपयोग करके किया जाता है, जिसमें स्वतंत्रता की डिग्री (एन - 2) की संख्या को ध्यान में रखा जाता है, जहां एन युग्मित विकल्पों की संख्या है। टी मानदंड, संभाव्यता पी ≥99% के अनुरूप, तालिका एक के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए। विधि 2
व्यायाम:सहसंबंध गुणांक की गणना करें, पानी में कैल्शियम की मात्रा और पानी की कठोरता के बीच संबंध की दिशा और ताकत निर्धारित करें, यदि निम्नलिखित डेटा ज्ञात हो (तालिका 1)। रिश्ते की विश्वसनीयता का आकलन करें. एक निष्कर्ष निकालो। तालिका नंबर एक विधि के चुनाव का औचित्य.समस्या को हल करने के लिए वर्गों की विधि (पियर्सन) को चुना गया, क्योंकि प्रत्येक चिह्न (पानी की कठोरता और कैल्शियम की मात्रा) की एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति होती है; कोई खुला विकल्प नहीं. समाधान.
मानदंड t = 14.1, जो त्रुटि रहित पूर्वानुमान p > 99.9% की संभावना से मेल खाता है। दूसरी विधि. सहसंबंध गुणांक की विश्वसनीयता का आकलन "मानक सहसंबंध गुणांक" तालिका का उपयोग करके किया जाता है (परिशिष्ट 1 देखें)। स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या (एन - 2) = 6 - 2 = 4 के साथ, हमारी गणना की गई सहसंबंध गुणांक आर xу = + 0.99 सारणीबद्ध (आर तालिका = + 0.917 पी = 99%) से अधिक है। निष्कर्ष।पानी में जितना अधिक कैल्शियम होगा, वह उतना ही कठोर होगा (कनेक्शन प्रत्यक्ष, सशक्त और प्रामाणिक: आर xy = + 0.99, पी > 99.9%)। व्यायाम:रैंक विधि का उपयोग करके, कार्य अनुभव के वर्षों और चोटों की आवृत्ति के बीच संबंध की दिशा और ताकत स्थापित करें, यदि निम्नलिखित डेटा प्राप्त हो: विधि चुनने का औचित्य:समस्या को हल करने के लिए, केवल रैंक सहसंबंध विधि को चुना जा सकता है, क्योंकि विशेषता की पहली पंक्ति "वर्षों में कार्य अनुभव" में खुले विकल्प हैं (1 वर्ष और 7 या अधिक वर्षों तक कार्य अनुभव), जो कनेक्शन स्थापित करने के लिए अधिक सटीक विधि - वर्गों की विधि - के उपयोग की अनुमति नहीं देता है तुलना की गई विशेषताओं के बीच। समाधान. गणनाओं का क्रम पाठ में प्रस्तुत किया गया है, परिणाम तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं। 2. तालिका 2 मानक सहसंबंध गुणांक जिन्हें विश्वसनीय माना जाता है (एल.एस. कामिंस्की के अनुसार) सहसंबंध गुणांक अब तक, हमने केवल दो विशेषताओं के बीच सांख्यिकीय संबंध के अस्तित्व के तथ्य को स्पष्ट किया है। आगे, हम यह पता लगाने की कोशिश करेंगे कि इस निर्भरता की ताकत या कमजोरी के साथ-साथ इसके प्रकार और दिशा के बारे में क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है। चरों के बीच संबंध को मापने के मानदंड को सहसंबंध गुणांक या कनेक्टिविटी के उपाय कहा जाता है। यदि दो चरों के बीच प्रत्यक्ष, यूनिडायरेक्शनल संबंध है तो वे सकारात्मक रूप से सहसंबद्ध होते हैं। यूनिडायरेक्शनल संबंध में, एक चर के छोटे मान दूसरे चर के छोटे मान के अनुरूप होते हैं, और बड़े मान बड़े मान के अनुरूप होते हैं। यदि दो चर एक-दूसरे के साथ विपरीत, बहुदिशात्मक संबंध रखते हैं तो वे एक-दूसरे के साथ नकारात्मक रूप से सहसंबंध रखते हैं। बहुदिशात्मक संबंध के साथ, एक चर के छोटे मान दूसरे चर के बड़े मानों के अनुरूप होते हैं और इसके विपरीत। सहसंबंध गुणांक का मान हमेशा -1 से +1 तक की सीमा में होता है। से संबंधित चरों के बीच सहसंबंध गुणांक के रूप में क्रमवाचकस्केल लागू होता है स्पीयरमैन गुणांक, और से संबंधित चर के लिए मध्यान्तरपैमाना - पियर्सन सहसंबंध गुणांक(कार्यों का क्षण)। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि प्रत्येक द्विभाजित चर, अर्थात् नाममात्र पैमाने से संबंधित और दो श्रेणियों वाले चर को माना जा सकता है क्रमवाचक. सबसे पहले, हम जाँच करेंगे कि क्या studium.sav फ़ाइल से लिंग और मानस चर के बीच कोई संबंध है। इस मामले में, द्विभाजित चर लिंगसामान्य माना जा सकता है। इन चरणों का पालन करें: कमांड मेनू से वर्णनात्मक सांख्यिकी क्रॉसटैब का विश्लेषण करें... का चयन करें वेरिएबल को स्थानांतरित करें लिंगस्ट्रिंग्स की सूची और एक वेरिएबल के लिए मानस- स्तंभों की सूची में. बटन को क्लिक करे आंकड़े... (सांख्यिकी). क्रॉसटैब्स: सांख्यिकी संवाद में, सहसंबंध चेकबॉक्स का चयन करें। जारी रखें बटन से अपने चयन की पुष्टि करें। संवाद में क्रॉसटैब्ससप्रेस टेबल चेकबॉक्स को चेक करके टेबल प्रदर्शित करने से इंकार करें। ओके पर क्लिक करें। स्पीयरमैन और पियर्सन सहसंबंध गुणांक की गणना की जाएगी और उनके महत्व का परीक्षण किया जाएगा: सममित उपाय चूँकि यहाँ कोई अंतराल स्केल चर नहीं हैं, हम स्पीयरमैन सहसंबंध गुणांक को देखेंगे। यह 0.439 है और अधिकतम महत्वपूर्ण है (पृ<0,001). सहसंबंध गुणांक मानों के मौखिक विवरण के लिए, निम्न तालिका का उपयोग किया जाता है: उपरोक्त तालिका के आधार पर, हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं: लिंग और मानस चर (निर्भरता की ताकत के बारे में निष्कर्ष) के बीच एक कमजोर सहसंबंध है, चर सकारात्मक रूप से सहसंबंधित हैं (निर्भरता की दिशा के बारे में निष्कर्ष)। मानस चर में, छोटे मान नकारात्मक मानसिक स्थिति से मेल खाते हैं, और बड़े मान सकारात्मक से मेल खाते हैं। लिंग चर में, बदले में, मान "1" महिला लिंग से मेल खाता है, और "2" पुरुष लिंग से मेल खाता है। नतीजतन, रिश्ते की यूनिडायरेक्शनलता की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है: महिला छात्र अपने पुरुष सहकर्मियों की तुलना में अपनी मानसिक स्थिति का अधिक नकारात्मक मूल्यांकन करती हैं या, संभवतः, ऐसी व्याख्याओं का निर्माण करते समय इस तरह के मूल्यांकन से सहमत होने के लिए अधिक इच्छुक होती हैं यह ध्यान में रखना आवश्यक है कि दो लक्षणों के बीच सहसंबंध आवश्यक रूप से उनकी कार्यात्मक या कारण निर्भरता के बराबर नहीं है। इस पर अधिक जानकारी के लिए, धारा 15.3 देखें। अब आइए परिवर्तन और सेमेस्टर चर के बीच संबंध की जाँच करें। आइए ऊपर वर्णित विधि लागू करें। हमें निम्नलिखित गुणांक प्राप्त होंगे: सममित उपाय स्पर्शोन्मुख एसटीडी. त्रुटि(ए) अंतराल दर अंतराल ऑर्डिनल द्वारा ऑर्डिनल स्पीयरमैन सहसंबंध वैध मामलों की एन एक। शून्य परिकल्पना नहीं मान रहा हूँ. इ। अशक्त परिकल्पना को मानते हुए स्पर्शोन्मुख मानक त्रुटि का उपयोग करना। साथ। सामान्य सन्निकटन पर आधारित. चूँकि चर परिवर्तन और सेमेस्टर मीट्रिक हैं, हम पियर्सन गुणांक (उत्पादों का क्षण) पर विचार करेंगे। यह 0.807 है. परिवर्तन और सेमेस्टर चर के बीच एक मजबूत संबंध है। चर सकारात्मक रूप से सहसंबद्ध हैं। नतीजतन, बड़े छात्र वरिष्ठ वर्षों में पढ़ते हैं, जो वास्तव में, एक अप्रत्याशित निष्कर्ष नहीं है। आइए सामाजिक (सामाजिक स्थिति का आकलन) और मानस के चरों के सहसंबंध की जाँच करें। हमें निम्नलिखित गुणांक प्राप्त होंगे: सममित उपाय स्पर्शोन्मुख एसटीडी. त्रुटि(ए) अंतराल दर अंतराल ऑर्डिनल द्वारा ऑर्डिनल स्पीयरमैन सहसंबंध वैध मामलों की एन एक। शून्य परिकल्पना नहीं मान रहा हूँ. बी। अशक्त परिकल्पना को मानते हुए स्पर्शोन्मुख मानक त्रुटि का उपयोग करना। साथ। सामान्य सन्निकटन पर आधारित. इस मामले में, हम स्पीयरमैन सहसंबंध गुणांक को देखेंगे; यह -0.703 है. सामाजिक और मानस चर (कटऑफ़ मान 0.7) के बीच एक मध्यम से मजबूत सहसंबंध है। चर नकारात्मक रूप से सहसंबंधित होते हैं, अर्थात, पहले चर का मान जितना अधिक होगा, दूसरे का मान उतना ही कम होगा और इसके विपरीत। चूँकि सामाजिक चर के छोटे मूल्य एक सकारात्मक स्थिति (1 = बहुत अच्छा, 2 = अच्छा) की विशेषता रखते हैं, और मानस के बड़े मूल्य एक नकारात्मक स्थिति (1 = अत्यंत अस्थिर, 2 = अस्थिर) की विशेषता रखते हैं, इसलिए, मनोवैज्ञानिक कठिनाइयाँ मुख्यतः सामाजिक समस्याओं के कारण हैं।
द्वि-आयामी सामान्य वितरण (सहसंबंध क्षेत्र) का यह मॉडल हमें सहसंबंध गुणांक की स्पष्ट चित्रमय व्याख्या देने की अनुमति देता है, क्योंकि कुल मिलाकर वितरण पाँच मापदंडों पर निर्भर करता है: μ x, μ y - औसत मान (गणितीय अपेक्षाएँ); σ x ,σ y - यादृच्छिक चर X और Y के मानक विचलन और p - सहसंबंध गुणांक, जो यादृच्छिक चर X और Y के बीच संबंध का एक माप है।
यदि p = 0, तो द्वि-आयामी सामान्य जनसंख्या से प्राप्त मान x i , y i वृत्त द्वारा सीमित क्षेत्र के भीतर निर्देशांक x, y में ग्राफ़ पर स्थित होते हैं (चित्र 5, a)। इस मामले में, यादृच्छिक चर X और Y के बीच कोई सहसंबंध नहीं है और उन्हें असंबद्ध कहा जाता है। द्वि-आयामी सामान्य वितरण के लिए, असंबद्धता का अर्थ एक साथ यादृच्छिक चर X और Y की स्वतंत्रता है।
उदाहरण 1:
Ex2: शर्मीलेपन और मिलनसारिता के लिए चार्ट। हम देखते हैं कि जैसे-जैसे शर्मीलापन बढ़ता है, मिलनसारिता कम होती जाती है। उनका सहसंबंध गुणांक -0.43 है। इस प्रकार, 0 से 1 से अधिक का सहसंबंध गुणांक सीधे आनुपातिक संबंध (जितना अधिक... उतना अधिक...) को इंगित करता है, और -1 से 0 तक का गुणांक व्युत्क्रमानुपाती संबंध (जितना अधिक... उतना कम) को इंगित करता है। ..)
यदि सहसंबंध गुणांक 0 है, तो दोनों चर एक दूसरे से पूरी तरह से स्वतंत्र हैं।
द्विभाजित पैमाना (1/0)
रैंक (क्रमिक) पैमाना
द्विभाजित पैमाना (1/0)
पियर्सन का साहचर्य गुणांक, पियर्सन का चार-सेल आकस्मिकता गुणांक।
द्विक्रमिक सहसंबंध
रैंक (क्रमिक) पैमाना
रैंक-द्विक्रमिक सहसंबंध।
स्पीयरमैन या केंडल रैंक सहसंबंध गुणांक।
अंतराल और निरपेक्ष पैमाना
द्विक्रमिक सहसंबंध
अंतराल पैमाने के मानों को रैंकों में परिवर्तित किया जाता है और रैंक गुणांक का उपयोग किया जाता है
पियर्सन सहसंबंध गुणांक (रैखिक सहसंबंध गुणांक)
/ एसपीएसएस 10
सहसंबंध गुणांक
एक्स मैं
तुम मैं
(एक्स मैं - )
(आप मैं - )
(x i - )(y i - )
(x i - )2
(आप मैं - )2
14,00
12,10
-1,70
-2,30
+3,91
2,89
5,29
14,20
13,80
-1,50
-0,60
+0,90
2,25
0,36
14,90
14,20
-0,80
-0,20
+0,16
0,64
0,04
15,40
13,00
-0,30
-1,40
+0,42
0,09
1,96
16,00
14,60
+0,30
+0,20
+0,06
0,09
0,04
17,20
15,90
+1,50
+2,25
2,25
18,10
17,40
+2,40
+2,00
+4,80
5,76
4,00
109,80
101,00
12,50
13,97
13,94
सहसंबंध विश्लेषण है:
सहसंबंध विश्लेषण सहसंबंध गुणांक
पियर्सन सहसंबंध गुणांक
,
केंडेल सहसंबंध गुणांक
स्पीयरमैन सहसंबंध गुणांक
सहसंबंध गुणांक के गुण
यदि हम सहप्रसरण को दो यादृच्छिक चरों के अदिश गुणनफल के रूप में लें, तो यादृच्छिक चर का मान बराबर होगा 
, और कॉची-बुन्याकोवस्की असमानता का परिणाम होगा:। , कहाँ । इसके अलावा, इस मामले में संकेत और कमेल खाना: । सहसंबंध विश्लेषण
सहसंबंध विश्लेषण की सीमाएँ
उनमें से प्रत्येक के लिए संगत सहसंबंध गुणांक x और y के साथ जोड़े (x,y) के वितरण के ग्राफ़। ध्यान दें कि सहसंबंध गुणांक एक रैखिक संबंध (शीर्ष रेखा) को दर्शाता है, लेकिन संबंध वक्र (मध्य रेखा) का वर्णन नहीं करता है, और जटिल, गैर-रेखीय संबंधों (निचला रेखा) का वर्णन करने के लिए बिल्कुल उपयुक्त नहीं है। आवेदन क्षेत्र
मिथ्या सहसंबंध
यह सभी देखें
सहसंबंध और कारणता
सहसंबंध गुणांक: पियर्सन और स्पीयरमैन सूत्र
चरों के बीच संबंध
आवेदन की विशेषताएं
एकाधिक सहसंबंध गुणांक
सहसंबंध और प्रतिगमन विश्लेषण के उपयोग के क्षेत्र
एक व्यक्ति कारण-और-प्रभाव संबंध की तलाश में है
मीडिया पूर्वाग्रह
निष्कर्ष
वर्गों की विधि का उपयोग करने के लिए
विश्वसनीयता सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:
मानक सहसंबंध गुणांक की एक विशेष तालिका का उपयोग करके विश्वसनीयता का आकलन किया जाता है। इस मामले में, एक सहसंबंध गुणांक को विश्वसनीय माना जाता है, जब एक निश्चित संख्या में स्वतंत्रता की डिग्री (एन - 2) के साथ, यह तालिका के बराबर या उससे अधिक होता है, जो त्रुटि-मुक्त भविष्यवाणी की डिग्री पी ≥95% के अनुरूप होता है। .
गणना का क्रम पाठ में वर्णित है, परिणाम तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं। युग्मित तुलनीय विशेषताओं की श्रृंखला बनाने के बाद, उन्हें x (पानी की कठोरता डिग्री में) और y (पानी में कैल्शियम की मात्रा mg/l में) से निरूपित करें।पानी की कठोरता
(डिग्री में)
पानी में कैल्शियम की मात्रा
(मिलीग्राम/लीटर में)
डी एक्स
डी वाई
डी एक्स एक्स डी वाई
डी एक्स 2
डी वाई 2
4
8
11
27
34
37
28
56
77
191
241
262
-16
-12
-9
+7
+14
+16
-114
-86
-66
+48
+98
+120
1824
1032
594
336
1372
1920
256
144
81
49
196
256
12996
7396
4356
2304
9604
14400
एम एक्स =Σ एक्स / एन
एम वाई =Σ वाई / एन
Σ d x x d y =7078
Σ डी एक्स 2 =982
Σ डी वाई 2 =51056
एम एक्स =120/6=20
एम वाई =852/6=142
एम एक्स = Σх/एन (कॉलम 1) और
एम वाई = Σу/एन (कॉलम 2)
d x = x - M x (कॉलम 3) और d y = y - M y (कॉलम 4)।
पहली विधि. सूत्रों का उपयोग करके सहसंबंध गुणांक (एमआर एक्सवाई) और टी मानदंड की त्रुटि खोजें: 
वर्षों में कार्य अनुभव
चोटों की संख्या
क्रमवाचक संख्या (रैंक)
रैंक का अंतर
रैंकों का वर्ग अंतर
एक्स
वाई
d(x-y)
घ 2
1 वर्ष तक
24
1
5
-4
16
1-2
16
2
4
-2
4
3-4
12
3
2,5
+0,5
0,25
5-6
12
4
2,5
+1,5
2,25
7 या अधिक
6
5
1
+4
16
Σ डी 2 = 38.5
स्वतंत्रता की कोटि की संख्या - 2
संभाव्यता स्तर पी (%)
95%
98%
99%
1
0,997
0,999
0,999
2
0,950
0,980
0,990
3
0,878
0,934
0,959
4
0,811
0,882
0,917
5
0,754
0,833
0,874
6
0,707
0,789
0,834
7
0,666
0,750
0,798
8
0,632
0,716
0,765
9
0,602
0,885
0,735
10
0,576
0,858
0,708
11
0,553
0,634
0,684
12
0,532
0,612
0,661
13
0,514
0,592
0,641
14
0,497
0,574
0,623
15
0,482
0,558
0,606
16
0,468
0,542
0,590
17
0,456
0,528
0,575
18
0,444
0,516
0,561
19
0,433
0,503
0,549
20
0,423
0,492
0,537
25
0,381
0,445
0,487
30
0,349
0,409
0,449
कीमत
स्पर्शोन्मुख एसटीडी. त्रुटि (ए) (स्पर्शोन्मुख मानक त्रुटि)
लगभग। टी (बी) (लगभग टी)
लगभग। सिग. (अनुमानित महत्व)
अंतराल दर अंतराल
पियर्सन के आर
(आर पियर्सन),441
,081
5,006
.000
ऑर्डिनल बाय ऑर्डिनल (ऑर्डिनल - ऑर्डिनल)
स्पीयरमैन सहसंबंध
,439
,083
4,987
.000
वैध मामलों की एन
106
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